UNIVESIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

UNIDAD AJUSCO

PEDAGÓGIA

El RAZONAMIENTO PROPORCIONAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA: UN ESTUDIO

CON ALUMNOS DE 6° GRADO EN UNA ESCUELA PÚBLICA DEL DISTRITO FEDERAL

TESIS

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENDIADO EN PEDAGÓGIA

PRESENTA:

SARAI ALVARADO CARRILLO

DIRECTORA DE TESIS: DRA. CRISTIANNE M. BUTTO ZARZAR

MÉXICO D.F. 2011

Resumen

Los problemas de razonamiento proporcional representan una dificultad para la mayoría de los

estudiantes de educación básica, a pesar de que este contenido matemático forma parte de los planes y

programas de estudio de la Secretaria de Educación Pública (SEP), los estudiantes enfrentan una serie de

dificultades, que se derivan, en parte, de las dificultades que los alumnos tienen con los problemas de

estructura multiplicativa. Por otro lado, el razonamiento proporcional ha sido uno de los temas más

investigados en los campos de la psicología y de la educación matemática, por ejemplo, el trabajo de

Lesh y Cramer, citado en Gómez (1996), considera que este contenido matemático es el cimiento del

álgebra y una síntesis de la aritmética. Piaget, citado en Gómez (1996) señala que este contenido

requiere de varios momentos o etapas de aprendizaje para que el niño lo desarrolle, En el campo

educativo, Noelting (1980), citado en Butto (2005), estudia el razonamiento proporcional con problemas

de comparación numérica (jugo de naranja y agua para preparar dos bebidas con el mismo o con

diferente sabor de naranja). Entre los estudios sobre desarrollo de estrategias de resolución de problemas

se pueden destacar los de Richard y Briars (1992, citados en Maza 1991), cuyo análisis sobre la

construcción de secuencias numéricas corrobora las deducciones de Piaget, en cuanto a la etapa en que

se adquiere el razonamiento proporcional en el desarrollo del niño, por ejemplo; Piaget menciona que el

razonamiento proporcional se adquiere en el estudiante a partir de los 12 años, al alcanzar la etapa de las

operaciones formales y ya que estos autores eran seguidores de Piaget; estos consideraban la

construcción de las secuencias numéricas como un proceso de diferenciación de las palabras dentro de la

propia secuencia y de construcción de las relaciones entre las mismas, es decir, destacan el hecho de que

el recuento de las palabras era tardío y que además este recuento va muy relacionado con los problemas

de adición, pero con marcada influencia en los problemas multiplicativos. El objetivo del estudio fué

identificar las dificultades que los alumnos de sexto grado de educación básica enfrentan en la

resolución de problemas que involucren el razonamiento proporcional. El marco teórico se fundamenta

en las aportaciones de Vergnaud (1991); este autor propone estudiar los contenidos matemáticos a partir

de dos tipos de problemas; los de estructura aditiva y de estructura multiplicativo. En esta tesis se hizo

referencia a los problemas de estructura multiplicativa. La metodología del estudio fue de tipo

descriptivo, explicativo y el corte del estudio fue de tipo cualitativo. Las etapas del estudio fueron dos:

aplicación de un cuestionario diagnóstico sobre razonamiento proporcional, y una entrevista clínica

individual. Los resultados del estudio revelaron dificultades con los problemas de razonamiento

proporcional, principalmente los problemas que involucraban proporcionalidad geométrica y variación

proporcional.

Agradecimientos

AL CREADOR

Por darme la oportunidad de vivir esta experiencia. Por conservar mi vida. Por hace de mi la persona que soy, pero sobre todo: Por permitir mi superación personal y profesional.

.

A la doctora Cristianne:

Por dejar en mí su legado, por compartir su conocimiento, por su dedicado esfuerzo y esmero trabajo. Por su constante e imprescindible enseñanza. Por su infinita paciencia.

A LA MEMORIA DE MI PADRE:

Con amor, cariño, gratitud y respeto. Por su valioso esfuerzo, por sus Sabios consejos y apoyo incondicional.

A LOS PROFESORES

EPIFANIO MARTINEZ RODRIGUEZ y ALFREDO SALAZAR DUQUE

Por su dedicación, tiempo y espacio Ofrecido a este.

Pág.

ÍNDICE

Resumen

Introducción…………………………………………………………………………1

Capítulo I. El razonamiento proporcional: revisión de literatura………………….7 1.1 Estudios de demanda cognitiva ………………………………………………………………9 1.2 Estudios concernientes al campo educativo …………………………………..…………….14

1.2.1 Estudios en desarrollo de estrategias…………………………………………………..21

1.2.1.1 Estrategias de resolución de problemas……………………………….…………21

1.3 Resolución y clasificación de problemas aritméticos…………………………..………….....26

1.3.1 Fases en la resolución de problemas aritméticos……………………………………….27

1.3.2 Factores que influyen en la resolución de problemas aritméticos……………………...30

1.3.3Resolución de problemas de estructura multiplicativa…………………………..…......31

1.4 Aportaciones de la revisión de literatura a esta tesis…………………………….…………...38

Capítulo II. Enfoque teórico pedagógico del razonamiento proporcional en el plan y programa

de estudio de educación primaria 2009

2.1 Finalidad de la educación Básica…………………………………………………………….40

2.1.1 Perfil de egreso………………………………………………………………………... 40

2.1.2 Características de planes y programa de estudio ……………………………………...41

2.2 Mapa curricular de matemáticas en la educación básica……………………………………..43

2.3 Propósitos de las matemáticas de la educación básica………………………………………43 2.4 Metodología didáctica del programa de estudio 2009…………………………………….....44 2.5 Las matemáticas de la educación básica primaria……………………………………………….46 2.5.1 Propósitos de las matemáticas en el programa 2009…………………………………46

2.5.2 Enfoque de las matemáticas en el programa 2009…………………………………... 47

2.5.3 Organización del programa de estudio 2009………………………………………... 48

2.5.4 Bloques y aprendizajes esperados en las matemáticas en los programa 2009……… .50

2.5.5 Competencias a desarrollar en el programa de matemáticas 2009 …………………..50

2.5.6 La evaluación de las matemáticas en el plan y programa de estudios………………..51

2.6 El Plan de Estudios y la proporcionalidad…………………………………………………..52

2.6.1La proporcionalidad en los ejes temático del plan y programa de estudios2009…….....52

2.6.2 El razonamiento proporcional en los programas de 6°………………………………...56

2.6.2.1 Tipos de variación proporcional en los programas de estudio……………………..57

Capítulo III. Marco teórico

3.1 La teoría de los campos conceptuales………………………………………………………...58

3.2 La estructura multiplicativa como campo conceptual………………………………………..59 3.3 Problemas de estructura

multiplicativa……………………………………………………….59

3.3.1 Clases de problemas de estructura

multiplicativa……………………………….……...62

3.3.1.1 Representación gráfica de la estructura de proporción simple……………….…….62

3.3.1.2 Representación grafica de la estructura de proporción doble …………………….. 63

Pág.

3.4 Tipos de problemas de estructura multiplicativa………………………………………… ….63

3.4.1 Los problemas de isomorfismo de medida (Función lineal)…………………………...64

3.4.1.1 Clases de problemas de isomorfismo de medida…………………… ……………65

3.4.1.2 Subclases de problemas de isomorfismo de medida………………………………66

3.4.1.3 Ejemplos de problemas de isomorfismo de medida……………………………….67

3.4.1.4 Problemas de división…………………………………………………………… 75

3.5 Los problemas de producto medida (Función bi lineal)…………………………………….75

3.6 Los problemas de proporción múltiple o espacio único de medida ………………………...79

3.6.1 Las Subclases de problemas según los conceptos a los cuales se hace referencia…….81

3.7 Subclase de problemas de estructura proporcional múltiple……..……………….…...…… 81

3.8 Noción de dimensión…………….………………………….….……………………..…… 82

Capítulo IV Metodología

4.1 Tipo de estudio Descriptivo y Explicativo…………………………………………………...85

4.2 Corte de estudio: Cualitativo…………….…………………………………………….……. 86

4.3 Escenario y población participante…………………………………………………………. 87

4.4 Etapas del estudio…………………………………………………………………………… 91

4.5 Instrumentos utilizados……………………………………………………………………… 91

4.5.1 Cuestionario ……..…………………………………………………………………… 92

4.5.2 Descripción y aplicación de los instrumentos…………………………………………92

4.5.2.1 Descripción del cuestionario………………………………………………………92

4.5.2.2 Aplicación del cuestionario………………………………………………………. 95

4.6 Propuesta del análisis de datos………………………………………………………………97

4.6.1 La primera propuesta: Análisis de nivel de logro…………………………………….. 97

4.6.2 La segunda propuesta: Estrategias de resolución de problemas……………………… 99

4.7 La entrevista clínica……………………………………………………………………… 100

4.7.1 Análisis de la entrevista clínica…………………………………………………… 101

4.7.2 La aplicación de la entrevista clínica individual…………………………………… 102

4.7.3 Resultados del estudio piloto…………………………………………………….…. 103

Capítulo V. Análisis de resultados del cuestionario inicial y entrevista clínica individual 5.1 Descripción del cuestionario de razonamiento proporcional…………………………… 106

5.2 Aplicación del cuestionario inicial de razonamiento proporcional……………………… 108

5.3 Procedimiento……………………………………………….. …………………………… 109

5.4 Resultados del cuestionario inicial ……………………………………………………… 109

5.5 Resultados por idea matemática ………….……………………………………………… 126

5.6 Conclusiones finales: niveles de logro…………………………………………………… 130

5.7 La entrevistas clínicas …..………………………………………………………………… 131

5.8 Niveles de conceptualización matemática ……………………………………………… 149

5.9 Resultados de la entrevista clínica ……………………………………………………… 150

Conclusiones

Consideraciones didácticas

Referencias documentales

Anexos

Introducción

Para los profesores de educación básica los procesos de enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas son complicados; atribuyen a esto que en muchas ocasiones no se alcance el éxito

esperado. Muchas de las dificultades que enfrentan los alumnos de secundaria surgen

precisamente en la escuela primaria.

La forma como en la escuela se aborden los contenidos matemáticos, el significado que los

alumnos le otorgan a los contenidos escolares, la construcción de conceptos que se generen en

ellos, los procedimientos que adquieran y las estrategias que desarrollen marcan la transición o

la dificultad a conceptos cada vez más abstractos; tal es el caso de los relacionado con la

variación proporcional.

El razonamiento proporcional tiene vínculos con otros contenidos curriculares de aritmética que

se abordan en la escuela primaria (medida, números enteros, números fraccionarios, división,

multiplicación y función), y en la actualidad vínculos entre los mismo ejes temáticos como entre

contenidos de la misma o diferente asignatura, vínculos entre contenidos de primaria y secundaria.

Numerosos estudios demuestran que los alumnos de primaria, secundaria y hasta de preparatoria

tienen dificultad con conceptos básicos de fracción, razón y proporción, incluyendo problemas

que involucran el concepto de proporcionalidad.

La enseñanza y aprendizaje de conceptos que requieren del uso del razonamiento proporcional

son indispensables tanto en la vida diaria como en las aulas, porque son el cimiento para el

aprendizaje de otros contenidos matemáticos que llevan al niño a abstracciones cada vez más

generales. Además, trabajar con situaciones de proporcionalidad propicia el desarrollo lógico del

pensamiento del alumno, así como su aplicación en muchos campos del conocimiento.

Por otro lado, en los planes y programas de estudio de la Secretaria de educación pública (SEP

2003 - 2009 se enseña y se aprende mediante la resolución de problemas eje vertebral del

currículo matemático; en el ámbito escolar se promueve primero los problemas de estructura

aditiva y en los últimos grados escolares los problemas de estructura multiplicativa,

separadamente, pues el desarrollo de las estructuras multiplicativas involucra gran cantidad de

ideas, conceptos y estrategias matemáticas que requiere del alumno un amplio periodo de tiempo;

entre los conceptos involucrados está: fracciones, números racionales, funciones, razón y

proporción; esta última temática es fundamental en el desarrollo del pensamiento matemático, y

es una de las que presentan mayores dificultades a los estudiantes de educación primaria.

Las dificultades surgidas al poner en práctica el razonamiento proporcional dentro de las

escuelas, son sin duda un gran obstáculo, que impide el desarrollo de habilidades en un año de

jornada académica y en consecuencia, genera un importantísimo retraso educativo en nuestro

país. En la última década, a nivel nacional el aprendizaje de las matemáticas se ha considerado

deficiente; los datos son alarmantes: bajísimo promedio escolar, altos índices de reprobación

escolar de esta materia en instituciones educativas de todos los niveles de nuestro país.

En lo que respecta a los resultados de la Evaluación Nacional de Logro Académico en centros

escolares (ENLACE) 2008,la calidad de la educación matemática en la educación básica primaria

es “insuficiente”, considerado el más bajo desempeño escolar, especialmente en matemáticas; y

casi 80 % de los alumnos evaluados en cinco de los nueve grados de educación básica se ubicaron

en los niveles insuficiente y elemental, que significan:

Insuficiente: que el estudiante necesita adquirir conocimientos y desarrollar las

habilidades necesarias de la asignatura.

Elemental: el alumno requiere fortalecer la mayoría de los conocimientos y desarrollar

las habilidades de la asignatura.

El Instituto Nacional de Evaluación Educativa (INEE) en la aplicación de la prueba denominada

Exámenes de Calidad y Logro Educativo (EXCALE), señala que los resultados de aprendizaje en

matemáticas en 6º de primaria a nivel nacional son los siguientes:

Un 17.4 % de los estudiantes se encuentra por debajo del nivel suficiente.

Poco más de la mitad 52.3 % se ubica en el nivel básico.

Casi una cuarta parte 23.5 % se encuentran en el nivel medio, y sólo

Siete de cada cien estudiantes (6.9 %) se encuentran en el avanzado.

El INEE Subraya, además, que los temas con los que se tienen mayores dificultades de

aprendizaje, con respecto a los contenidos matemáticos, son los siguientes:

Fracciones

Medición

Porcentajes y

Variación proporcional

Tales contenidos matemáticos son enseñados por la escuela y forman parte de los Planes y

programas de estudio (2009), articulados en tres ejes temáticos:

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida

Manejo de información.

El enfoque, señala que la construcción del conocimiento amerita procesos de estudio largos que

van de lo informal a lo formal; la actividad intelectual se apoya más en el razonamiento que en la

memorización, pues; en el caso de que el alumno olvide algunos procedimientos o conceptos, sea

capaz de apoyarse en alternativas que lo lleven a reconstruir lo que se le ha olvidado, es decir

construya nuevos conocimientos y supere los obstáculos que surgen en el proceso de aprendizaje.

Las soluciones a situaciones difíciles; deben ser instituidas en el entendido de que existen

diversas estrategias y que al menos una debe utilizarse para llegar a la solución; siempre

partiendo de sus conocimientos previos.

La metodología didáctica que acompañan los programas de matemáticas está orientada al

desarrollo de las competencias; una competencia moviliza y dirige todos los conocimientos hacia

la consecución de objetivos concretos.

La movilización de saberes expresa: “saber hacer con saber y con conciencia del efecto de ese

hacer.” (SEP 2009:p.12), significa que el alumno es capaz de hacer la tarea conociendo las causas

y las consecuencias del hacer. Las competencias que el plan y programa de estudios contribuye a

lograr del perfil del egresado, propician oportunidades y experiencias de aprendizaje significativo

para los alumnos.

Es esencial, entonces, lograr en los estudiantes de sexto grado la transición del pensamiento

aditivo al multiplicativo; pues, esto le permitirá el manejo de algoritmos cada vez mas complejos

que a su vez facilitaran la transición de la aritmética al algebra, es decir la transición de primaria

a secundaria, se propiciara haciendo uso de estructuras multiplicativas a través de las relaciones

cuaternarias propuestas por Vergnaud, con ejemplos provenientes de su contexto mas cercano, en

el que adquirirá una rápida contextualización de fuentes significativas, me refiero, a que el

alumno debe ser introducido mediante ejemplos que se encuentren en su entorno inmediato para

facilitar el aprendizaje esperado, de este modo podría tomarle el sentido práctico, utilitario, a lo

que aprende y permitiría utilizar sus conocimientos previos y movilizar sus saberes, relacionados

con el razonamiento proporcional; por otra parte, el entendimiento y majo de estos significados

podrían llevar a los estudiantes a trasladarse a la secundaria con menos dificultades, a darles

sentido a los nuevos conocimientos y a entender ideas matemáticas más relevantes del estudio de

la aritmética y del algebra.

En lo que refiere a las investigaciones realizadas sobre este contenido matemático, podemos citar

los estudios de Hoyles, Noss y Pozzi (2001), en Butto (2005), señalan, que a pesar de todas las

investigaciones realizadas, el razonamiento proporcional continúa siendo un problema para los

estudiantes: éstos adoptan más estrategias aditivas que multiplicativas; pero el razonamiento

proporcional está dentro de los problemas de estructura multiplicativa y no solo aditiva como lo

considera la escuela. Al respecto, Kouba (1989) señala que el éxito en la solución de problemas

estructura multiplicativa se incrementa a medida que el niño avance en sus niveles de escolaridad

e igualmente debe haber una cierta evolución en las estrategias de solución en los estudiantes;

entonces: los alumnos de sexto grado de educación primaria pueden logar dominar estas

estructuras multiplicativas y a su vez utilizarlas.

En este sentido, varios autores han investigado los problemas de estructuras multiplicativas;

entre ellos, según Vergnaud (1991) los problemas de estructura multiplicativa consisten en un

conjunto de problemas que involucran operaciones aritméticas y nociones de tipo multiplicativo,

entre las que se encuentran la multiplicación, división, fracción, razón, proporcionalidad; se

refiere a todas aquellas situaciones las que pueden ser analizadas como problemas de proporción

simple o múltiple, indica que al hacer uso de este concepto al alumno le permite abordar y obtener

conocimientos cada vez más complejos, en razón a esto se puede suponer que desde el punto de

vista formal la multiplicación y la división sean casos particulares de la regla de tres, en donde

uno de sus elementos sea la unidad y de puede abordad mediante una función lineal, a este

tratamiento Vergnaud lo llama campos conceptuales y dentro de estos menciona los de estructura

aditiva y los de estructura multiplicativa, y esta tesis se centra en los de problemas de estructura

multiplicativa, de donde se describen tres tipos de problemas: 1: isomorfismo de medida,2:

producto medida, 3: proporción múltiple o espacio único de medida, de las cuales se supone

trabajar como una relación cuaternaria y no ternaria, de este tratamiento provienen clases y

subclases de problemas, así como sus dificultades; sus investigaciones prueban la existencia de

dificultades importantes en dos niveles diferentes: 1. Dificultades de carácter psicológico: la

adquisición de dicha noción se efectúa sobre un largo periodo del individuo (de 7 a 16 e incluso

18 años); 2. Dificultades de carácter didáctico: la adquisición de la proporcionalidad está

obligatoriamente sujeta a problemas de enseñanza, ya sea porque el modelo matemático propuesto

no es siempre asimilado por el alumno, o porque no es utilizado para la resolución de problemas,

incluso si ha sido comprendido.

Por otra parte, las aportaciones de la teoría Psicogenética han brindado valiosa información para

comprender el proceso de pensamiento de los niños en cuanto a la construcción de nociones

como razón y proporción. Piaget afirma que sólo al llegar a la etapa de las operaciones formales el

razonamiento proporcional adoptará formas más abstractas, incluidas la lógica deductiva, la

separación y el control de variables. En cuanto al razonamiento proporcional, sostiene que el niño

adquiere primero la identidad cualitativa y lógica antes de estructurarse cuantitativamente.

Esta investigación presenta un estudio con alumnos de nivel primaria alrededor del concepto de

razonamiento proporcional. A partir de esto se pretende responder a la pregunta de

investigación: ¿Cuáles son las dificultades que enfrentan los alumnos de sexto grado de educación

primaria al resolver problemas que involucran el contenido matemático razonamiento

proporcional? Esta pregunta pretendió dar cumplimiento o responder a los siguientes objetivos:

Objetivos del estudio: Identificar las dificultades que enfrentan los alumnos de sexto grado de

educación primaria al resolver problemas que involucren en su solución el razonamiento

proporcional. El marco teórico de esta tesis se fundamenta en las aportaciones de Vergnaud, de

aquellas referentes al tratamiento de los problemas que requieren de una abstracción superior, es

decir, a aquellas que desarrollan estrategias multiplicativas, para darle solución al problema

planteado, este autor, señala, que “los contenidos matemáticos se deben estudiar a partir de los

tipos de problemas, es decir, los de estructura aditiva y los de estructura multiplicativa”, estas

estructuras permiten en el estudiante hacer uso de abstracciones cada vez mas complicadas y

completas, que lo acercan a contenidos curriculares mas complejos y le abren el camino para

transitar de la educación primaria a secundaria, es decir, la transición de un pensamiento aditivo a

un pensamiento multiplicativo le permitirá al alumno resolver problemas de razonamiento

proporcional, variación proporcional y entre otros contenidos escolares, que lleven al estudiante

transitar de la aritmética al algebra, este autor, se ha interesado en el estudio del campo de las

estructuras multiplicativas, el cuál involucra nociones como multiplicación división, fracción y

proporcionalidad entre otras ideas matemáticas.

La metodología utilizada en este estudio fue de tipo descriptivo, explicativo; los resultados

tienen ese carácter, el estudio es de corte cualitativo al valorar el fenómeno en su contexto real, y

permitir la interacción entre el estudiante y la investigadora, para describir las dificultades que

presentan los alumnos de manera detallada tal tomo lo escribe o expresa el alumno. La muestra

poblacional con la que se trabajó fue de 17 alumnos de sexto grado de entre 11 y 12 años de

edad, que cursan el sexto grado de educación primaria en una escuela pública ubicada en la

delegación Magdalena Contreras en el Distrito Federal. El estudio se efectúo en dos etapas: la

elaboración y aplicación del cuestionario inicial de razonamiento proporcional, cuyo antecedente

fue un estudio piloto y la entrevista clínica individual.

En el primer capítulo se menciona la revisión de literatura, investigaciones sobre el razonamiento

proporcional y sus diferentes abordajes. El segundo capítulo contiene el enfoque teórico

pedagógico como tratamiento del razonamiento proporcional en los planes y programas 2009,

el tercer capítulo señala el marco teórico, el cual trata sobre el pensamiento proporcional a través

de las estructuras multiplicativas, con base en las aportaciones de Vergnaud (1991); este autor

señala los problemas de estructuras multiplicativas como un conjunto de problemas que

involucran la multiplicación, división, fracción, razón y semejanza, entre otras, así como sus

diversas dificultades. Esta tesis considera estas dificultades como parte fundamental de su

desarrollo. El cuarto capítulo plantea la metodología del estudio: describe los instrumentos de

investigación que fueron utilizados en el estudio principal, así como las etapas de la

investigación, el tipo de estudio utilizado, el corte del estudio, incluyendo la población con la

cual se realizó, el escenario, el marco de análisis de los datos y finalmente, consideraciones de

los resultados del estudio piloto para el estudio principal.

En el quinto capítulo se describen los resultados del cuestionario inicial de razonamiento

proporcional, explorando el tipo de estructura desarrollada por los alumnos, así como los

resultados de la segunda parte del estudio: el análisis de las entrevistas clínicas individuales

aplicadas. Por último se ofrecen los resultados del estudio.

CAPÍTULO I

RAZONAMIENTO PROPORCIONAL: REVISIÓN DE LA LITERATURA

El presente capítulo inicia con la revisión de la literatura concerniente al razonamiento

proporcional; hace referencia a las aportaciones de la teoría psicogenética en los estudios de

demanda cognitiva; estudios concernientes al campo educativo de demanda didáctica;

estudios que tratan del desarrollo de estrategias utilizadas por los estudiantes; finalmente

se mencionan las aportaciones de los estudios para esta tesis.

El razonamiento proporcional:

El razonamiento proporcional es un contenido matemático requerido tanto en nivel

primaria como en el de secundaria del sistema educativo nacional. Se utiliza, regularmente, en el

entorno social, económico, cultural que rodea al estudiante para resolver la mayor parte de los

problemas de la vida cotidiana; basta considerar el precio de los productos y servicios que se

venden y compran, o bien en las cantidades de ingrediente utilizados en una receta de cocina, o al

comprar la ropa de acuerdo con la talla y la estatura, entre otros; se considera un tema

fundamental en los contenidos matemáticos de la educación básica y además uno de los temas con

mayor dificultad de comprensión entre los estudiantes de educación primaria.

En el nivel básico, primaria, las situaciones de proporcionalidad planteadas deben ayudar a los

niños a desarrollar sus conocimientos de las operaciones básicas, mediante la resolución de

problemas en contextos reales. Al respecto, Fiol y Fortuny (1990), señalan que este concepto es

de gran importancia en el currículo escolar, pues está relacionado con la mayoría de los

contenidos matemáticos de otras asignaturas como la física y la biología, entre otras, pero

advierten que no es un concepto sencillo de aprender.

Por su parte, Raspetti (2003), menciona, que el aprendizaje de la noción de proporción no es

simple y que requiere del alumno una gama de situaciones de diferente complejidad numérica y el

tipo de magnitudes relacionadas; esto se convierte en obstáculo para la comprensión de

contenidos.

A su vez; Ben-Chaim (1998), dice, que el razonamiento proporcional es el corazón de las

matemáticas correspondiente a los cursos finales de primaria y comienzos de secundaria.

Nesher y Sukenit (1989), estudian, los conceptos de razón y proporción y señalan que uno de los

errores dominantes en las estrategias usadas por los niños de diferentes edades es la estrategia

aditiva, en donde la razón es vista como una diferencia entre términos de la forma a – b, en vez

de comprender que es de carácter multiplicativo.

Por lo anterior, el razonamiento proporcional ha sido uno de los temas más investigados en el

campo de la psicología y la educación matemática; existe una literatura muy extensa al respecto,

entre la cual destacan los estudios de Lesh y Cramer citados en Gómez (1996, p.11), quienes

ubican el razonamiento proporcional como “un cimiento del álgebra y una síntesis de la

aritmética”; ellos investigan las dificultades por las cuales atraviesan los estudiantes al resolver

tareas de proporcionalidad por el tipo de estrategias que utilizan. Destacan estos autores:

a) El reconocimiento del uso y la importancia de los métodos intuitivos.

b) La reconsideración de las situaciones de tipo cualitativo como favorecedoras del empleo

del razonamiento proporcional, a diferencia de quienes han planteado que las respuestas de

tipo cualitativo identifican a los sujetos que no aplican el razonamiento proporcional.

En un contexto nacional también se han realizado investigaciones al respecto. En el Departamento

de Matemática Educativa, del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto

Politécnico Nacional (CINVESTAV–IPN), se han desarrollado investigaciones sobre los indicios

del pensamiento proporcional y temas directamente relacionados como los de razón y fracciones.

Dos aspectos que se derivan de esta caracterización:

El razonamiento cualitativo, el cual se refiere al uso de comparaciones, como correspondencia y

seriaciones de tipo cualitativo, es decir, se refiere a seriación de objetos representativos sin el uso

datos numéricos. y el razonamiento cuantitativo, que se refiere a comparaciones de valores

numéricos; éste es el campo más frecuente de aplicación de la proporcionalidad.

Hart, citado en Karplus (1983), identifica y caracteriza la estrategia pre-operacional como un

razonamiento concreto no basado en una comparación de dos razones. Piaget elabora una

epistemología genética que es el estudio del como un sujeto pasa de un estado de menor

conocimiento a un estado de mayor conocimiento, es decir como alguien aprende, y en ese intento

de describir el desarrollo cognitivo humano, Piaget clasifica dicho desarrollo en etapas o estadios

y uno de esas etapas es el periodo pre-operacional, de acuerdo con esa caracterización, Piaget, en

sus primeros trabajos afirma que el razonamiento proporcional se presenta en el estadio de las

operaciones formales, pero en estudios posteriores que en la primera y en la segunda etapa

reconoce que el niño podría entender y desarrollar algunas ideas de razonamiento proporcional,

pero además estudios posteriores a los de Piaget y que además hacen su critica afirman y

demuestran que los niños pueden aprender ese contenido matemático antes de alcanzar el

pensamiento formal. Resnick y Singer (1993), citados en Butto (2005), comentan el desarrollo

del razonamiento proporcional en los niños; aportan un análisis de los orígenes de dicho

razonamiento en edades tempranas.

Cramer y otros, citados en Butto (2005), comentan que el razonamiento proporcional involucra la

habilidad de excluir el razonamiento proporcional del razonamiento no-proporcional.

1.1 Estudios de demanda cognitiva

En cuánto a los estudios de demanda cognitiva que representa el razonamiento proporcional, se

puede hacer referencia a los diferentes trabajos de investigación de Piaget, citado en Gómez

(1996), este agrupa su atención en dos características que utilizan los niños al resolver situaciones

que requieren del razonamiento proporcional: las cualitativas y las cuantitativas; el autor destaca

que este proceso es seguido de varios momentos o etapas: en la primera etapa, el niño hace uso

de la correspondencia y la seriación cualitativa; en la etapa intermedia, usa compensaciones

aditivas o razones de tipo 2:1 y, por último, en la etapa avanzada aplica el razonamiento

cualitativo como alternativa ya que este prevalece sin importar los valores numéricos de los

datos.

Piaget (1972), describió asimismo el avance en el razonamiento proporcional, que se ubica en la

etapa de las operaciones concretas, explicando que éste aparece en tanto el niño se aproxima a la

adolescencia; lo señala como razonamiento formal y en él distingue que sus características

fueron diferentes a las que especificó como razonamiento concreto, revela que el razonamiento

proporcional, junto con la habilidad de formular hipótesis y trabajar con un cierto número de

variables es indicativo de que el estudiante se encuentra en la etapa del razonamiento formal; y

es entonces cuando el sujeto tiene que reflexionar y hacer abstracciones para entender a las

razones como: relaciones entre cantidades y vincularlas a otras razones, destacando que, en la

solución de problemas, la solución plena que involucra proporciones exhibe el razonamiento

formal, mientras que una solución incompleta muestra el nivel del razonamiento concreto.

En estudios posteriores, Piaget propone un seguimiento de las etapas del desarrollo intelectual,

hasta llegar a la de las operaciones formales; indica que este conduce a entender los fundamentos

de los temas de razón y proporción. En sus experimentos señala que el niño adquiere la identidad

cualitativa antes que la conservación cuantitativa y hace una distinción entre comparaciones

cualitativas y la verdadera cuantificación. Para Piaget la noción de proporción empieza siempre de

una forma cualitativa y lógica, antes de estructurarse cuantitativamente; él argumenta que entre

los 11 y 12 años, se ve en el sujeto la presencia de la noción de las proporciones en diferentes

ámbitos, tales como las proporciones espaciales (figuras semejantes), las relaciones entre pesos y

longitudes de los brazos de la balanza y las probabilidades.

En el caso de la balanza de barra el sujeto puede comprender, mediante la manipulación del

dispositivo, que es posible conservar el equilibrio, teniendo dos pesos iguales a las mismas

distancias del centro, pero también se conserva el equilibrio disminuyendo el peso, pero

alejándolo y aumentando el otro, aunque aproximándolo al centro. Es decir:

La comprensión de la proporcionalidad (tanto directa como inversa), se da en primer lugar

cualitativamente: “es lo mismo aumentar el peso que la distancia”, luego en formas métricas

simples: “disminuir el peso aumentando la longitud”, equivalente a “aumentar el peso

disminuyendo la longitud”.

En Piaget (1978b) se menciona que el sujeto puede construir el esquema de proporcionalidad

cualitativa, cuando comprende que un incremento en una variable independiente da el mismo

resultado que un decremento en la variable dependiente, es decir, cuando comprende que requiere

de un elemento de compensación.

Sin embargo, Butto (2005) señala que esta postura de Piaget es cuestionada por diversos

autores principalmente por dos razones: primero porque Piaget, afirmaba en la primera etapa que

el razonamiento proporcional caracteriza al estadio de las operaciones formales,pero en la tercera

etapa y cuarta reconoció que los niños mas pequeños podrían desarrollar algunas ideas del

razonamiento proporcional, de ahí que sus críticos como(Bryant y Spinillo ) pensaban que Piaget

subestimo la habilidad de los menores afirmando que los estudiantes de corta edad podrían dar

soluciones que evidenciaran el razonamiento proporcional; Butto dice, que a este respecto, Bryant

y Spinillo (1990), Spinillo & Bryant, (1989) y Spinillo (1990, 1992), comentan que el

razonamiento proporcional no es una experiencia propia de las operaciones formales y puede ser

desarrollado en niños de menor edad. Pone en evidencia los estudios realizados con niños de 4 a

6 años de edad, quienes comprenden la idea de mitad, y son capaces de adquirir un juicio

perceptual al empezar a comparar razones de cantidad antes de tener cualquier experiencia con

razones numéricas.

Esto indica que por otra parte, que el juicio perceptual (geométrico) es una habilidad que

puede ser desarrollada a temprana edad; El segundo, está relacionado con los elementos que

perjudican el desempeño y entendimiento de las tareas propuestas a los niños, entre los que

menciona destaca el lenguaje utilizado y el contexto de los problemas presentados. Resultados

que son avalados por el propio Piaget quien, descripción de los estadíos tempranos en el

pensamiento el cual llamo estadío intermediario, utilizado en las correspondencias cualitativas y

seriaciones, para sumar compensaciones de dos razones 2:1ejemplo………., en el cual se aplicó

el razonamiento proporcional para valores numéricos con los datos y sus razones; y concluye que

puede haber un entendimiento temprano de algunos conceptos matemáticos, como el de

proporcionalidad. Por otra parte, Butto señala que entre las réplicas a los estudios de Piaget se

encuentran las de Lunzer y Pumfrey (1996) los cuales observaron que los alumnos son capaces

de registrar razones como (1:1, 2:1, y 3:1) de manera fácil al resolver los problemas de manera

aditiva.

Entre las réplicas de Piaget, en lo referente al desarrollo cognitivo, se pueden mencionar a Lunzer

(1973), quien centra su atención en el desempeño de los estudiantes en tareas de proporción y en

la descripción de los métodos usados por ellos: estas investigaciones hacen referencia al tema de

proporcionalidad y plantean que su dominio apropiado origina la comprensión del conjunto de

relaciones y sus inversos: tales como a/b = c/d ad = bc.

Lunzer (1973) opina que es probable que este tipo de relaciones sean enseñadas adecuadamente,

pero que no son integradas directamente a nuevos problemas, sino hasta que las capacidades de

razonamiento del sujeto hayan alcanzado un nivel de desarrollo. El autor informa sobre un

conjunto de tareas con niños de 6 a 14 años, de donde describe las estrategias usadas, y especifica

las diferentes demandas hechas por distintas razones. Al respecto comenta que los niños de todas

las edades tienden a escoger modos aditivos de solución, aunque el problema sugiera métodos

multiplicativos.

Al respecto, English y Halford (1995) citados en Butto (2005) testifican que una de las

particularidades esenciales del razonamiento proporcional incluye recomendaciones de 2º orden,

es decir, relaciones entre dos cantidades directamente claras. Perspectiva que defiende que la fase

temprana del razonamiento proporcional en los niños, incluye un razonamiento aditivo, de la

forma a-b = c-d.

Entretanto, el trabajo de Lesh (1988) citado en Butto (2005) registra como indicador del uso del

razonamiento proporcional; un razonamiento destacado, que los niños usan en varias tareas

multiplicativas, que son característicamente de una ecuación de tipo a b = c d, especialmente

cuando tienen una solución algorítmica.

Schliemann y Carraher (1986) se dieron a la tarea de evaluar el desarrollo cognitivo de niños y

adolescentes con diferente instrucción escolar en relación al esquema de proporcionalidad,

mediante dos tareas piagetianas: el equilibrio de la balanza y la cuantificación de probabilidades.

Se observó la dificultad tocante a las dos tareas. Estudio en el que participaron 83 estudiantes de

5o y 6º año de primaria y 1º año de secundaria de escuelas públicas brasileñas y dos escuelas

privadas de la ciudad de Recife. La tarea de cuantificar probabilidad fue aplicada por Piaget e

Inhelder (1951), tomando en consideración los elementos consistentes en esquemas utilizados por

Carraher (1983), en la tarea del equilibrio de la balanza se utilizó un esquema desarrollado para

su aplicación.

Este esquema, involucra las siguientes actividades: el entrevistador coloca un peso en uno de los

dos lados de la balanza y el estudiante debe reequilibrar la balanza utilizando un peso igual; en

seguida, el entrevistador realiza algunos cambios de peso y el alumno hace otros cambios, de tal

forma que reequilibra la balanza utilizando dos pesos, cada uno de ellos de igual valor al

utilizado por el experimentador; después de una serie de cambios de peso realizados por el

entrevistador, el estudiante obtiene el equilibrio de la balanza; en este tercer momento, el

entrevistador coloca un peso de un lado de la balanza y el alumno debe reequilibrarla utilizando

tres pesos, cada uno igual al peso unitario, seguido de cambios; y en el cuarto momento el

entrevistador coloca el peso unitario en el octavo gancho y el estudiante tiene tres pesos, cada

uno de igual valor al unitario, para intentar reequilibrar la balanza (en esta parte la solución es

imposible); el último momento de resolución imposible es especialmente útil para estimular al

estudiante a enunciar la ley de la compensación de pesos y distancia en forma cuantitativa.

Los resultados revelaron que el 50% de los alumnos intentan resolver el problema utilizando

solamente una variable y, por lo tanto, los autores sugieren que la enseñanza de la

proporcionalidad se debe relacionar con variables en diversos contextos, con el objetivo de que

los estudiantes puedan examinar, en diversas situaciones, que las variables afectan el resultado de

un problema.

Sin embargo, Gelman (1972) citado en Judith (2000, p.121) dice que muchos teóricos

contemporáneos piensan que Piaget subestimó las capacidades de los niños de corta edad; estos

consideran, que quizá el niño posee la habilidad de resolver problemas de niveles cognitivos

superiores, sólo que les falta la habilidad verbal para probar la presencia o la ausencia de los

conceptos básicos. Este autor dice que Piaget ha sido fuertemente criticado por sus ideas

concernientes a la naturaleza cualitativa del desarrollo cognitivo.

Algunos otros teóricos como Flavell (1985); Miller (1993); Siegler (1991 citados en Judith 2000)

ponen en tela de juicio que los cambios en los sistemas cognitivos del niño sean tan

“Fundamentales, decisivos, cualitativos y graduales; como para señalar que el modelo de

equilibrio no logra explicar satisfactoriamente los progresos en el desarrollo cognitivo” esto,

porque no señala de manera explícita las actividades cognitivas, me refiero al pensamiento, a las

estrategias operacionales, al desarrollo cognitivo asociado a contenidos matemáticos, es decir , el

aprendizaje, que utilizan para solucionar el problema que tienen lugar durante el proceso de

asimilación, de acomodación y de equilibrio; Miller por su parte dice que los cambios por etapas

en el pensamiento del niño se debe al desarrollo gradual cualitativo y cuantitativo alcanzado, es

decir, se explicitan las actividades de mayor complejidad, dependiendo del grado de madurez

cognitiva y contenido matemático explorado. En las capacidades de su atención y de su memoria.

Siegler (1991) indica que los niños no pueden realizar esta tarea porque entre otras cosas no se

concentran en las dimensiones relevantes, no codifican la información apropiada, no relacionan la

información con los conocimientos actuales, no recuperan en la memoria la solución

correspondiente.

1.2 Estudios concernientes al campo educativo

En los estudios concernientes al campo educativo, que reportan acerca de las dificultades,

procedimientos y estrategias al trabajar con problemas o ejercicios vinculados con el concepto de

proporcionalidad, podemos señalar a Vergnaud (1983); Riccó y Rouchier (1979); Pluvinage y

Dupuis (1981);Sokona (1989); además interesa hacer referencia a estudios como el de Winch

(citado en Karplus1983), quien estudia la habilidad de los estudiantes de la escuela elemental

para resolver correctamente problemas de proporción y en su reporte da cuenta de tres métodos

de solución que ellos emplean:

La búsqueda del valor unitario, que consiste en encontrar el valor correspondiente

a la unidad; en ella subyace la pregunta: ¿cuántos para uno? y se accede a dicho

valor por medio de una división.

El razonamiento aditivo, que se basa en comparaciones por medio de diferencias.

El razonamiento cualitativo, que se basa en comparaciones como mayor que, más

que o igual que, sin llegar a una cuantificación de las mismas.

El primer método de la búsqueda del valor unitario se reconoce como el usado con mayor

frecuencia, lo cual lo lleva a expresar la siguiente hipótesis: “Los problemas en los que hace

mención explícita de las cantidades unitarias son más sencillos que aquellos en los que no hace

referencia de dichas cantidades”

Noelting (1980) citado en Butto (2005) se refiere a problemas de comparación, dos de razones

enteras y dos de razones fraccionarias, y cuatro problemas de valor perdido con dos razones

enteras y dos fraccionarias. Lo hace en dos grupos, uno con instrucción y el otro sin ella. En su

estudio El jugo de naranja indica que sus resultados revelaron que los estudiantes mostraron

mayormente el uso de estrategias aditivas y que este tipo de estrategia era más usual en las tareas

de los clips de papel. El grupo de estudiantes que no había recibido instrucción escolar de

proporcionalidad también presentaba un razonamiento aditivo; concluye que la instrucción escolar

en dicho contenido matemático no estaba siendo eficaz, que los problemas de comparación son

resueltos más fácilmente que los problemas de valor ausente, y que los de razones fraccionarias

eran más difíciles que los de razones enteras. Para la autora, una posible explicación para estos

resultados es que los estudiantes, independientemente de haber recibido instrucción escolar o no,

en la vida diaria mantienen contacto con problemas de comparación y en la mayoría de las veces

utilizan razones enteras. No así en las comparaciones de otro tipo.

Estos estudios destacan por lo menos dos datos interesantes: uno de ellos es encontrado en la

tarea de los problemas formales: algunos estudiantes armaban correctamente los problemas, pero

se equivocaban en la resolución de los mismos problemas cuando involucraban números

decimales; el otro dato interesante es que los sujetos, después de intentar inútilmente resolver los

problemas a la manera de la escuela, pasaban a hacerlo por sus propios caminos, y llegaban así

a una respuesta al problema, pero con dificultades para utilizar los algoritmos enseñados por la

escuela.

Noelting (1980), citado en Butto (2005), señala que el autor propone la teoría de la

reestructuración adaptativa para permitir la transición del primer estadio al segundo (o sea, del

estadio temprano al intermedio) y, para analizar el tipo de comparación que los sujetos hacen

cuando resuelven un problema, comparan el jugo de limón y el agua en cada primer recipiente y,

comparando esas dos relaciones, seleccionan dos jugos, de limón y de agua primero, formando así

el abordaje denominado entre estrategias; así estudia el razonamiento proporcional con problemas

de comparación numérica, Estableciendo razones completas sin requerir en su solución

necesariamente una respuesta numérica, pues los niños deben comparar las razones de acuerdo

con el dibujo mostrado:

Noelting (1980, citado en Butto 2005:30)

Los alumnos debían responder ¿cuál jarra contiene la limonada con un sabor más fuerte o si las

dos tienen el mismo sabor. El estudio se realizó con niños entre 6 y 12 años. Concluye que

los estudiantes tienen un mejor desempeño: cuando una cantidad de la razón completa es un

múltiplo entero los estudiantes usan estrategias aditivas. Además observa que en los problemas

de comparación, los estudiantes presentan dificultades. Por ello diferenció la investigación con

problemas de valor perdido, comparación cualitativa, abordaje aditivo y el cálculo de razones.

Según la autora, en otra investigación como la de Tournaire y Pulus (1985), estos, comentan

acerca de las distintas metodologías y tareas que utilizan los alumnos con el razonamiento

proporcional. Aquí, se destacan dos pares de métodos utilizados: la comparación contra valores, y

explicaciones contra una sola respuesta. Las tareas son variadas y con intervenciones individuales.

La ventaja de esos estudios es que, en cada método, se identifican numerosos pensamientos

utilizados en el estudio de razonamiento proporcional; también se distinguen categorías como

tareas físicas, problemas de razón, problemas de mezcla y tareas de probabilidad; en todas ellas

varía el contexto, y citan tres tipos de estrategias más utilizadas por los entrevistados: variación

de las estrategias, estrategias desfavorables, desarrollo de una secuencia de estrategias.

Además examinan de qué manera esas variables (como la variación de estrategias, estrategias

desfavorables y el desarrollo de una secuencia de estrategias), interfieren en el desempeño de los

estudiantes afectando el desempeño del razonamiento proporcional y el futuro desarrollo de

secuencias didácticas; Mencionan las siguientes:

complejidad numérica,

estructuras de las variables,

contexto de las variables,

modelos de instrucción, intervención individual.

La complejidad numérica se refiere al uso de los números y a las razones, a la presencia de la

unidad y a problemas de comparación y de razón. La estructura de las variables puede ser usada

para definir una secuencia jerárquica de razonamiento. El contexto de las variables en muchos

estudios varía la estructura de los problemas usados en dicho contexto, y los modelos de

instrucción se refieren al tipo de instrucción escolar recibida y a los efectos que ésta tiene en el

aprendizaje del razonamiento proporcional.

Por su parte Carraher, Schliemann y Ruiz (1986) citado en Butto (2005) investigaron el desarrollo

de la concepción de cantidades medidas por razones, en un estudio con 49 estudiantes que

cursaban 5º y 6º año de primaria y 1º año de secundaria con edades entre 10 y 16 años. Los

estudiantes fueron expuestos a dos tipos de contenidos: problemas de compra y venta y

problemas de velocidad. En la primera actividad (problemas de compra y venta) el entrevistador

solicitaba al alumno que indicara, entre dos posibles compras, cuál era la mejor y que en seguida

la justificara. En la segunda ( problemas de velocidad), el estudiante disponía de diversas medidas

de tiempo y distancia recorridas por dos autos que eran movidos por el entrevistador, y debía

indicar si los dos autos los habían movidos a la misma velocidad o no.

El desempeño de los estudiantes en la primera actividad se clasificó de acuerdo con las

siguientes categorías:

Nivel 1: respuesta de los estudiantes que involucraban sólamente una variable en las soluciones y

comparaciones directas.

Nivel 2: respuesta de los estudiantes que intentaban considerar ambas variables de manera

simultánea, pero con algunas dificultades.

Nivel 3: los sujetos que utilizaban estrategias correctas considerando todas las variables.

Para la actividad de velocidad el desempeño de los estudiantes se clasificó en cuatro niveles:

Nivel 1: los estudiantes presentaron dos tipos de respuesta: a) considerar solamente una variable,

distancia o tiempo, y confundían el significado de velocidad con la variable usada; b) ignorar los

datos cuantitativos, buscando apenas la velocidad de los dos autos mientras el entrevistador los

movía.

Nivel 2: los estudiantes que reflexionaban acerca de la cuantificación imprecisa de la velocidad,

pero consideraban ambas variables.

Nivel 3: los alumnos que utilizaban una cuantificación aditiva incorrecta.

Nivel 4: los estudiantes que indicaban una consideración de las dos variables. Aquí se observaron

dos tipos de estrategias: a) calcular el número en centímetros por segundo, y b) dividir la

distancia por el tiempo para los dos coches y comparar los resultados.

A partir de los resultados obtenidos en las dos actividades, los autores encontraron cierta

influencia de la instrucción escolar sobre el desempeño de los estudiantes en la actividad de

velocidad. Contrariamente a la actividad de compra y venta en la cual no se observó ningún

efecto de la instrucción escolar, los resultados revelaron que algunos alumnos son capaces de

hacer los cálculos para encontrar una respuesta correcta. Pero los autores también sugieren una

discusión acerca de la enseñanza de la regla de tres, pues opinan que a pesar de que los cálculos

involucrados en su resolución son simples, la regla de tres involucra un modelo matemático

complejo, cuyo uso los niños no han conseguido comprender.

Karplus y Peterson (1970), citado en Butto (2005) categorizaron las respuestas de los niños a

partir de su nivel de comprensión. Aquí se menciona el estudio sobre el señor bajo y el señor alto

haciendo la representación con clips: comentan que no todos los niños tienen una estrategia de

tipo aditiva y que este pensamiento está fuertemente influenciado por la instrucción recibida en

las escuelas; es decir, privilegia el trabajo en torno de las estructuras aditivas, abordando más

tarde el desarrollo de las estructuras de tipo multiplicativo; por ello que dificulta la significación

de conceptos, procedimientos en los alumnos con respecto del razonamiento proporcional.

Karplus y Peterson (1970 citado en Butto 2005:30)

Karplus (1972) estableció como estrategias intuitivas las categorías I(Sin explicación), IC (usando

la información, de una manera ilógica), dado que el 65% de los niños en 1970 usaron estos

métodos y para 1972 los habían sustituido. Una cantidad similar de niños pasó de la categoría A

(usando toda la información, pero aplicando la diferencia, más que la razón de mediciones) a la S

(usando la multiplicación, pero no a través del factor recto (usualmente mediante duplicación)

porque no hubo base para ordenarlas.

Estas categorías son relevantes porque a partir de ellas se pudo diversificar métodos para obtener

las respuestas correctas.

En relación a las estrategias que utilizan los niños, Karplus(1983) propone cuatro categorías,

producto del análisis de los diferentes métodos de solución empleados por los alumnos en tareas

que involucran el razonamiento proporcional:

Estrategias:

Incompleta-ilógica: cuando adivinan la respuesta o emplean una operación cuantitativa

inapropiada.

Cualitativa, si comparan las cuatro cantidades dadas, usando los términos más, menos o

términos equivalentes.

Aditiva: al comparar los datos a partir de diferencias o residuos.

Razonamiento proporcional, si usan datos para calcular y comparar relaciones

proporcionales.

Los estudiantes fueron sometidos a las siguientes tareas: un problema (clips de papel, Karplus,

Karplus y Wollman, 1974), que consiste en buscar el valor ausente y tratar con razones

fraccionarias.

Noelting (1980ª;1980b) estudió el razonamiento proporcional con tareas que requerían de los

sujetos la comparación de dos proporciones (jugo de naranja y agua, para preparar dos bebidas

con el mismo o diferente sabor de naranja) con el requerimiento de que calcularan una respuesta

que produjera la proporción deseada.

Las cantidades totales de la mezcla ¿saben igual?

El contenido del problema también es familiar.

Niños de 6 – 7 años comprenden que a más agua menos sabor a naranja en las

comparaciones sencillas.

El 78% de niños de 6 años y 86% de 8 años pudieron indicar cuál de las dos mezclas

sabría más a naranja en 3c/1ta 2c/1ta.

Menos del 25% de los 10 años y 67” de 12 años lograron responder correctamente

entre 3c/2ta y 4c/3ta.

Los resultados expresan las dificultades de los niños en los problemas de proporción

en la co-variación.

Por otro lado, Czarnocha (1999) en Butto (2005) indica que este desarrolló un estudio usando

la técnica de Bruner (1961), cuya principal idea es que el estudiante aprende de manera más

efectiva cuando descubre el conocimiento por sí solo en vez de hacerlo por instrucción directa.

El profesor actúa como agente para que aquél pueda realizar el descubrimiento. Esta técnica

propicia que los estudiantes revelen su proceso de pensamiento, denominado así momentos de

cognición matemática, que ayudan a que ellos construyan su propia realidad matemática, y ésta

les permite acercarse de manera creativa y muy semejante a la manera como actúa un científico

cuando plantea un nuevo concepto o teorema.

Tal técnica no se debe tomar como ejercicio estimulante para los alumnos, en el cual se les

muestra su error y se les conduce a un momento de reflexión que concluye con la reestructuración

de su pensamiento. La técnica, se convierte, así, en una herramienta de investigación,

recientemente asociada a la enseñanza experimental constructivista, a su vez relacionada a la idea

vygotskiana que indica que es necesario estudiar los cambios mentales bajo la instrucción, y la

interacción con el estudiante. Aquí el papel del profesor es semejante al de un investigador, en el

sentido de encontrar medios y caminos para facilitar lo que los estudiantes necesitan para alcanzar

un descubrimiento particular; el autor indica que esos momentos de descubrimientos sólo pueden

ocurrir dentro de las estructuras cognoscitivas matemáticas autónomas de ellos, y el profesor debe

investigar esas estructuras mentales que surgen durante la secuencia didáctica.

En este sentido, la resolución de problemas se ha convertido en una forma de indagar los

procesos del pensamiento que generan los alumnos cuando resuelven una situación problemática,

está, a la vez permiten determinar los procedimientos informales o estrategias que utilizan al

enfrentarse a dichos problemas, así como las dificultades a las que se enfrentan los alumnos al

tratar de darle solución.

Entre los estudios sobre estrategias de resolución de problemas se pueden destacar los de

Fuson,Richards y Briars (1982) en Maza (1991), en cuyo análisis sobre la construcción de la

secuencia numérica, corroboran, desde otra perspectiva, las deducciones piagetanas; dichos

autores consideran la construcción de las secuencias numéricas como un proceso de

diferenciación de las palabras dentro de la propia secuencia y de construcción de las relaciones

entre las mismas; destacan el hecho de que el recuento de las palabras era tardío. y que estaba

íntimamente relacionado con la adición, pero con marcada influencias de la multiplicación.

1.2.1 Estudios en desarrollo de estrategias

1.2.1.1 Estrategias de resolución de problemas

Uno de los primeros avances de en este terreno fue el reconocimiento de la distinta naturaleza del

multiplicador y el multiplicando; expuesta en Dienes y Golding (1966, citados en Maza,1991:28),

estos autores sostenían que la suma se refería a un solo universo, y que la multiplicación se

realizaba a partir de dos elementos distintos; además, Dienes decía que la multiplicación

correspondía a una operación lógicamente más difícil que la suma, con mayor dificultad y por lo

tanto requería de mayor abstracción que esta.

Piaget (1977 en Maza 1991) señala que las respuestas de los alumnos se podían dividir en tres

estadios gradualmente más complejos y tanto con mayor nivel de abstracción: En el primero los

alumnos añadían unos grupos de elementos a otros sin tener previamente un plan preestablecido

para solucionar el problema; sustenta que a esta edad (4-7 años) la acción del alumno consiste en

la Sucesión de adiciones antes que en una adición de adiciones; cataloga esa acción como una

labor mecánica que se mueve en el nivel más bajo desde el punto de vista operativo, que no le

permite prever resultado alguno, ni volver a repetir su proceso. En el segundo, la acción más

común de los estudiantes consiste en realizar una adición de adiciones, tomar conciencia del

número de veces que se repiten los grupos, anticipando sus resultados, pues intuye que un grupo

de pequeño tamaño debe repetirse más veces para compensar el número mayor; alcanza así la

solución del problema, por medios más aditivos que multiplicativos.

Para Piaget, en el tercer estadio el alumno manifiesta una diferencia cualitativa: no se centra en

el resultado de sus acciones, sino que es capaz de considerar como objeto de conocimiento su

propia acción; aquí no forma montones sino que repite una misma acción sobre un grupo, la

diferencia para este autor es esencial, desde el punto de vista de la abstracción, pues cuando estas

acciones se transforman en objeto de conocimiento para el alumno, se puede concluir que el

alumno ha pasado de la abstracción empírica a la abstracción reflexionante o lógico –matemática.

Esquemáticamente, ese planteamiento se puede expresar de la siguiente forma:

Maza (1991:30)

Otro estudio relevante que reconoce la perspectiva piagetiana sobre la construcción de la

secuencia numérica es señalada por (Fuson, Richards y Briars1982 citado en Maza 1991:30); en

ese estudio se reconoce la perspectiva sobre deducciones piagetanas y se destaca el hecho de que

el recuento de las palabras era tardío; este recuento va muy relacionado con los problemas de

adicción, pero con marcada influencia en los problemas multiplicativos.

En los dos primeros estadios En el tercer estadio

perciben perciben

El estadio aditivo de sus colocaciones. El número de colocaciones

La enumeración de fichas. La enumeración de acciones

Los resultados finales de sus acciones El mecanismo de sus acciones

Otras investigaciones interesadas en descubrir las estrategias de los niños desde la resolución de

problemas aditivos hasta el empleo de métodos multiplicativos son las de (Anghileri1989;

Kouba, 1989), en Maza (1991:30); ellos usaron el modelo descriptivo único para exponer sus

resultados, según el cual el desarrollo progresivo de las estrategias puede contar cinco niveles:

Modelo descriptivo único

Anghileri (1989), Kouba (1989), en Maza (1991:31);

Este modelo; señala cinco niveles de desarrollo progresivo en las estrategias desarrolladas por los

estudiantes al resolver problemas: los cuales se explican a continuación.

Nivel de desarrollo 1

Utiliza la eestrategia recuento unitario: El alumno que desarrolla esta estrategia regularmente

requiere de una representación directa con material o con dibujos figurativos de la situación

creada para la solución ó la extensión de los dedos.

Recuento unitario

Doble recuento

Recuento

transaccional

Estrategia aditiva

Recuperación de un

hecho multiplicativo

Nivel de desarrollo 2

Estrategia doble recuento: El alumno percibe claramente la regularidad de los recuentos y la

repetición de los grupos de palabras (unidades verbales) (acción que corresponde al segundo

estadio Piagetiano); considera los cuatro procedimientos que reflexiona Baroody (1988) citado

en Maza (1991).

1.- Se generan números de la secuencia numérica standard 1 2 3 4 5 6

2.- Se lleva la cuenta de cada segundo número contando 1 2 , 1 2 , 1 2 .

3.- Se lleva la cuenta del número de grupos de dos; 1 2 (pausa), 3 4 (pausa),5 6.

(según Maza este paso no es tomado a un como objeto de conocimiento)

4.- Se detiene la secuencia numérica después de completar el tercer grupo de dos y dar el

último número de contado como respuesta 6

La actitud desarrollada por el alumno; depende del desarrollo del principio cardinal Gelman

y Gallistel (1978), en el cual la última palabra de un recuento tiene para el alumno un

significado especial, que le señala todos los elementos del conjunto contado. El énfasis la

pauta le indica que es el final de un grupo de dos o en el caso del seis que es el final de todo.

Nivel de desarrollo 3

Estrategia recuento transaccional: El alumno utiliza unidades abstractas antes que las

verbales; reconoce el número progresivo de grupos (Steffe y otros (1983), citados en Maza

1991:33); indica que esta estrategia se manifiesta, inicialmente, por un recuento subvocal de la

palabra (el empleo de múltiplos de dos), que no marca el final de un grupo para concluir con su

interiorización.

1 (susurrado) 2 3 (susurrada) 4 5 (susurrado) 6

2 4 6

Nivel de desarrollo 4

Estrategia aditiva: El alumno domina plenamente el procedimiento de recuento de grupos,

puede aplicar distintas rutinas aditivas para calcular la suma resultante de la adición de

grupos. La forma más habitual reside en manipular los dobles de un número, aunque la rutina

aditiva depende de los datos numéricos del problema.

Ejemplo: un grupo de 2 sumado a otro grupo de 2 … a otro grupo de 2

2, 2 y 2 son 4 , luego 4 y 2 son 6

Nivel de desarrollo 5

Estrategia recuperación de un hecho multiplicativo: Entre los problemas de multiplicación

destacan los de combinación como los más difíciles [Hart (1981); Vergnaud (1983) ]; Quintero

(1985); seguidos de los problemas de razón que implican el uso del cuantificador, sin embargo

hay diferencias en el aprendizaje de cada uno de los dos tipos: en los problemas de razón la

dificultad más común consiste en comprender el significado de la razón Puig y Cerdán (1988)

citados en Maza 1991; señalan que estos problemas son mejor resueltos si el denominador de

la razón es el tiempo (Km/h); es decir, en la existencia de una confusión conceptual en torno a

los problemas de combinación. Ejemplo: Si se tienen dos colores (blanco y negro) y tres

formas (triangulo, cuadrado y círculo) se pide formar las posibles combinaciones considerando

la forma y el color:

Este problema es meramente asociativo y no implica el cálculo previo de los elementos

resultantes.

Sin embargo los problemas en los que se pide al alumno una matriz de puntos de la cual se

conoce el número de elementos en horizontal y vertical, se debe descubrir el número de

puntos existentes:

Para Anghileri (1989); Este problema es resuelto de manera semejante a los de razón y

comparación; mediante una suma reiterada de una de las filas o columnas.

Señala que la dificultad de estos problemas reside en la forma de combinar todos los

elementos de un conjunto con los del otro conjunto. El obstáculo más frecuente en esta

estrategia es el conceptual: ya que la multiplicación es concebida como suma reiterada y este

modelo va a impedir la aplicación de la multiplicación a los problemas de combinación.

En este contexto; Según Quintero (1985), los problemas de comparación resultan más

sencillos que los de razón; sin embargo, la dificultad más común en éstos es de tipo

lingüístico, y altera notablemente los resultados.

Ejemplo de problemas de comparación:

Maza (1991:34)

1.3 Resolución y clasificación de problemas aritméticos

Desde comienzos de la década de los ochenta, se plantea la necesidad de incorporar el

curriculum de matemáticas en torno a la resolución de problemas; este hecho tiene bases tanto

económicas, como sociales y pedagógicas; dado que la escuela prepara a los alumnos para

enfrentar su vida presente y futura, en ella la resolución de problemas es actividad constante.

Juan tiene 7 pesetas y María tres

veces más ¿Cuántas pesetas

tiene María?

Juan tiene 7 pesetas y María tiene tres veces las

Pesetas de Juan ¿Cuántas pesetas tiene María?

Repuesta

La respuesta inclina al alumno a

sumar los Números 7 + 3 = 10

Repuesta

Se observa que la palabra más viene a distorsionar el

sentido de la palabra veces: aunque la frase tres veces

más es cotidiana, impide la generalidad en los

resultados Quintero (1985).

Algunos de los autores que reconocen la resolución de problemas, entre ellos Polya (1965), Glass

y Holyak (1986), Bransfor y Stein (1984) y otros, proponen una primera etapa que consiste en la

identificación o reconocimiento de la existencia de un problema y de la necesidad de resolverlo.

Esto lleva a Orton (1988), citado en Maza (1991), a afirmar que: “La resolución de problemas se

concibe como generadora de un proceso a través del cual quién aprende combina elementos del

conocimiento, reglas, técnicas, destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar una

solución a una situación nueva”. Así se puede concluir que la verdadera esencia de las

matemáticas es la resolución de problemas.

1.3.1 Fases en la resolución de problemas aritméticos

En este tópico Polya (1965), hace mención, de cómo se debe de trabajar los contenidos

matemáticos con base en la resolución de problemas, al respecto considera como principal tarea

del maestro; la de auxiliar al alumno en cuanto al trabajo que se realiza en el salón de clases, de

tal manera propicie un equilibrio.

De igual manera Polya señala que al maestro le corresponde favorecer la motivación; parte

importante para que el alumno se interese en la resolución de problemas; argumenta que como el

proceso de enseñanza-aprendizaje requiere de un largo tiempo, el alumno debe ir progresando por

niveles, de tal manera desarrollara habilidades, que le sirvan de base para solucionar otros

problemas; de esta manera, que se pueda observar que el alumno no resuelve los problemas

mecánicamente.

A este respecto dicho autor señala que existen cuatro fases para abordar los problemas:

Polya (1945) citado en Maza (1991) señala que la resolución de problemas se ha propuesto en

cuatro fases:

1. Compresión

2. Planificación

3. Ejecución

4. Revisión

Análisis del problema

La comprensión del problema, El alumno tiene plena claridad del problema, de las incógnitas,

incluye la construcción de una representación interna o externa, en dos fases:

a) El análisis de los elementos del problema

b) Su representación posterior se refiere a descomponer la información del

problema , respondiendo las siguientes preguntas

¿Cuáles son los datos?

¿Qué se desea encontrar?

¿Cuál es la incógnita?

¿Qué condiciones cumplen los datos del problema?

Representación del problema

Se pide relacionar los datos con la incógnita, con el fin de encontrar ideas y trazar un plan;

en esta fase los elementos son relacionados entre sí y expresados mediante una representación

icónica; para conseguirlo se puede:

Manipular sobre objetos reales, figurativos o material estructurados

Dramatizar en clases el problema planteado

Expresar en dibujo, los elementos del problema y sus relaciones mutuas.

Esto permite determinar:

¿Cuáles son las relaciones entre los elementos del problema?

¿Cuál es la mejor representación del mismo? Así concluye la transposición de estas

representaciones con el objetivo de encontrar la que mejor refleje el estado del problema.

¿Se disponen de datos suficientes para alcanzar la solución?

Planificación:

Significa elegir una estrategia de solución; por ello, para el autor, al estar ante un problema

de multiplicación no existe la planificación; sólo se trata de elegir la operación adecuada y

realizarla. Las preguntas claves para lograrlo serían las siguientes:

¿Se parece a algún problema anterior? ¿En qué?

¿Qué pasos debo dar? ¿En qué orden? ¿A dónde me conduce?

¿Por qué creo que son adecuados?

¿Qué operación puede resolver el problema?

Ejecución:

Una vez que se tienen las ideas claras, se debe trazar un plan de resolución, que consiste en

aplicar la estrategia planificada con anterioridad; desde el punto de vista meta- cognitivo conviene

controlar en todo momento el proceso, valorar si cada paso es correcto y si el camino es el más

eficaz; el autor dice que es el momento del “insight”, es decir, la aparición de la idea que lleve al

alumno, que ejecuta el proceso aditivamente, a descubrir que puede aplicar directamente una

multiplicación.

Generalización del problema

Una vez encontrada la solución, revisarla y discutirla; se deja para la última etapa y se llega

mediante la pregunta ¿Se puede emplear el resultado o el método en algún otro problema?. El

descubrimiento de alguna relación entre la estrategia utilizada o el propio resultado con otros

problemas puede servir de motivación para construir principios más generales. El autor, considera

que el resolutor “puede transitar de una fase a otra fácilmente en el momento más creativo”.

A este respecto; una aportación importante desde la psicología y su articulación en la enseñanza

de las matemáticas es la del psicólogo Francés Gerard Vergnaud quien afirma que “ el significado

de la enseñanza de las matemáticas está estrechamente ligado a la motivación y el alumno, para

interesarse, necesita encontrar un sentido a las enseñanzas que se le transmiten “ (Vergnaud;

1997:29), este explica que para que un contenido tenga sentido en el alumno es preciso que lo

relacione con actividades que le sean significativas, de exploración y experimentación de orden

científico o actividades de la vida cotidiana; también se necesita que el alumno encuentre en el

contenido un problema información que no sea excesivamente fácil, ni excesivamente difícil

Al respecto, Shoenfeld (1987:17) asegura que muchos educadores las han adoptado las

aproximaciones de Polya, este asegura que esta labor es un arte, que sólo se puede aprender por

imitación y práctica; su trabajo consiste en agrupar y ordenar las preguntas y sugerencias que su

experiencia ha mostrado como útiles para la resolución de problemas.

1.3.2 Factores que influyen en la resolución de problemas aritméticos

Tres factores principales influyen en la resolución de problemas: un factor cognitivo, un

factor afectivo, un factor de metacognición, los cuales suponen las interrelaciones en el aula.

En cuanto al factor afectivo Lester (1980:66),señala que tenemos: el interés, la motivación, la

confianza, la perseverancia y la complacencia.

Entre estos la motivación; depende de la forma de enseñar el alumno, Sternberg (1983)

Contrasta que los alumnos aprenden más y mejor si están motivados; se refiere a que: “A igualdad

de habilidad en los alumno las diferencias en la motivación dan cuenta de las diferencias

observadas en la realización de problemas”. Lo que quiere decir que un niño es más creativo

cuando esta motivado.

Para Nicholls (1983 citado en Maza 1991), la motivación puede tener tres fuentes: La

misma tarea, el propio yo del resolutor y una fuente externa: la primera se refiere a una

motivación ideal; donde la exploración, el entendimiento, la relación que se establezca con otros

problemas y el desarrollo adecuado de los componentes cognitivos de las tareas; son la fuente de

satisfacción para el resolutor Buchanan (1987) en maza 1991; la segunda concluye, que el

resolutor prefiere ejecutar un procedimiento que le permita llegar a la solución, se inclina menos a

la reflexión, sobre si le conviene o no tal procedimiento; En la tercera fuente la actitud de los

alumnos cambia, esta es circunstancial, los alumnos se preocupan de caer en el fracaso, son

faltos de seguridad propia, esperan una idea que apruebe el profesor, para resolver el problema.

Otro factor a considerar en la resolución de problemas es la metacognición la cual se

puede clasificar en: 1).-Conocimiento de la cognición y la regulación de la cognición: la primera

se refiere a “Disponer de la información acerca de lo que se piensa”, la segunda se refiere “al

control que uno mismo ejerce sobre sus actos cognitivos”

Si nos referimos al conocimiento de la cognición:

Por ejemplo: Si el niño lee un libro puede saber que percibe palabras, estas se codifican por sus

características sintácticas en la memoria a corto plazo, se almacenan en la memoria a largo por su

significado y luego.

Si nos referimos a la regulación de la cognición:

El alumno puede leer más rápido si cuenta con técnicas adecuadas, puede, también

recordar mejor lo leído, y desplegar una serie de claves que le permitan recuperar la información

almacenada, es decir ejerce control sobre sus actos cognitivos.

Ahora bien para (Brown y otro 1983, en Maza 1991:68) los procesos metacognitivos son los

siguientes:

La planeación de actividades, el alumno (predice resultados, estrategias posibles,

establece y distingue metas y submentas)

El control de actividades durante el aprendizaje, el alumno (revisa y valora lo que aprende)

Corroboración de los resultados, el alumno valora conforme a criterios de efectividad y

eficacia.

En este terreno de la meta cognoción se debe:

Fomentar una constante reflexión no solo en la conclusión sino en el mismo proceso

En la planeación se debe analizar las estrategias, la asignación de valores espaciales a

determinadas palabras (tres veces más, repartir, etc) y debe de seleccionar la

operación adecuada a utilizar, el profesor debe de introducir preguntas, sugerencias,

que ayuden al alumno a pensar en lo que está haciendo, controlando sus decisiones y

evaluándolas.

Desde esta perspectiva, interesa entonces determinar el método más adecuado para enseñar la

multiplicación y la división a partir del planteamiento de problemas; esto permite guiar al profesor

en la construcción de su propio método teniendo en cuenta las peculiaridades propias, las de la

materia, las del alumno y las del contexto.

1.3.3 Resolución de problemas de estructura multiplicativa

a) Referentes a multiplicación – razón

(Maza 1991:76)

Si cada sello nos cuesta 6 pesetas y queremos comprar 7 sellos ¿Cuánto dinero tendremos que reunir para comprarlos?

1. Analizar el problema diferenciando lo que conoce y lo que no conoce

2. Representación icónica figurativa del problema, mediante diagramas o listas bloques

multi-fase

sellos

6 pesetas

Esta representación soporta un grado de abstracción que facilitará el paso de una

representación icónica a una representación simbólica, es decir, a una representación más

abstracta.

a) Se dibujan las pesetas que vale cada sello

b) Se reitera el proceso hasta que se acabe con los sellos

c) Se cuentan todas las pesetas

La estrategia más usual será la aditiva, que en este caso consiste en repetir las pesetas dentro

del diagrama en cada uno de los sellos y sumar al final todas las pesetas

6

6 + 6 = 12

12 + 6 =18

Cuando el estudiante reflexiona qué es lo que está haciendo y sobre lo que va a hacer, se llega

a la otra fase: planificación:

d) Se generaliza: mediante el descubrimiento de una relación del problema con otros ya

resueltos, relación que aquí no se cumple.

Sabemos No sabemos

Que 1 sello vale 6 pesetas

y que compramos 7 sellos

Cuántas pesetas valen los 7

sellos?

b) Referentes a agrupación - razón

(Maza 1991:76)

1. El análisis será igual que el anterior

2. La representación