UNMSM TEORIA ARITMETICA

7/29/2019 UNMSM TEORIA ARITMETICA

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UNMSM ARITMTICAFinito: Si posee una cantidadlimitada de elementos es decir elproceso de contar sus diferenteselementos termina en algn

momento.

Ejemplo:N = {3n + 2 / n ZZ 1 n 4}N es finito pues n (N) =4P = {x/x es un da de la semana}P es finito pues n (U) = 7Infinito: Si posee una cantidadilimitada de elementos. Ejm:M = {x/x Q 1 < x 2}M es infinito pues n (M) = ...?

Conjuntos Especiales1. Vaco o Nulo. Es aquel conjunto

que carece de elementos.Notacin ; {}.Ejm.:

A = {x/o < x < 5 x = 100} = { } = * A : A* {}* {{}}

2. Unitario o Singleton (singular)Es aquel conjunto que tiene unsolo elemento.B = {x/x > 0 x = 9} = {3}

Aplicacin: Si los siguientesconjuntos son unitarios e iguales,calcule a + b + c.A = {(2a + b); c}B = {(2c - 7); (5b + 2)}

3. Universal: Es un conjuntoreferencial para el estudio de unasituacin particular, que contiene atodos los conjuntos considerados.No existe un conjunto universalabsoluto y se le denotageneralmente por U.

Ejemplo:A = {2,6,10,12}B = {x+3/x es impar 0


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UNMSM ARITMTICA ab = 6 = 36 Rpta.

5. Cuntos subconjuntos propiostiene el conjunto M?

M = {x/x ZZ ; -7 < 4 x + 1 < 21}Resolucin-7 < 4x + 1 < 21-8 < 4x < 20-2 < x < 5 x = -1, 0, 1, 2, 3, 4M = {-1,0,1,2,3,4} n (M) = 6

N subconjuntos = 2n(M)1 = 26-1 = 63 Rpta.propios deM

6. Indicar el cardinal del conjunto

1

Base 10

Un grupo de 10

Base 5 22(5)ConvencinReferencial(subndice)

Base 4 30(4) no sobranada

3 grupo de 4

REGLA DE SIGNOS

En una igualdad de 2 numerales a mayornumeral aparente le corresponde menorbase.

- +a1) Ejm: 32(x) = 120(z)

+ -

Se cumple: Z < x

. . .

. .

Sobran2

12

NUMERACION Y CONTEO


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- +a2) Ejm: OPTIMUS(E) = INGRESO 99(F)

+ -

Se cumple: F < E

- +a3)Ejm: CEPREUNAC(P) =INGRESO2001(F)

+ -

Se cumple: F < P

3. DE LAS CIFRASLas cifras son nmeros naturales inclusive elcero, que siempre son menores que la base enla cual son empleadas o utilizadas.

cifras en base n0, 1,2,3,4, . . .,(n-2),(n-1)

cifra cifras significativasno significativa

CIFRA MAXIMA: n-1CIFRA MINIMA: 0 El cero no tiene valor por si mismo sino

nicamente valor posicional es decir

por el orden que ocupa. As pues, cada cifra dentro de unnumeral tiene un valor digital o valorabsoluto y un valor de posicin o valorrelativo.

VALOR ABSOLUTO (VA)Es el valor que tiene la cifra por suapariencia o figura.

VAPOR RELATIVO (VR)Es el valor que tiene una cifra de acuerdoal orden que ocupa dentro de un numeral.

VA(2) = 2VA(4) = 4VA(5) = 5VA(3) = 3

2453

VR(3)=3x1 = 3 unidadesVR(5)=5x101=50 unidades=5 decenasVR(4)=4x102=400 unidades=4 centenasVR(2)=2x103=2000 unidades=2 millaresDESCOMPOSICIN POLINMICA

Viene a ser la suma de los valores relativosde cada una de sus cifras.

2453 = VR(2)+VR(4)+VR(5)+VR(3)

D.P.

3796 = 3x103 + 7x102+9x101+6abba = ax103+ bx102+bx101+a

nabcd = an3+bn2+cn+d

DESCOMPOSICIN POLINOMICA PORBLOQUESabab = abx 102 +ab = 101 ababcabc=abc x 103+abc =abc(1001)

103 1nabab = nab . 2n +abn.1 = nab (n2+1)

n2 1

CAMBIOS DE BASE1) DE BASE N A BASE 10 (N 10)* Expresar 3576(8) en base 10

UsandoRuffini 3 5 7 6

8 24 232 19123 29 239 1918

>35768 = 191810

* Expresar 13234 en base 10por descomposicin polinmica13234 = 1.43 +3.42+2.41+3 = 123

2) De Base 10 a Base n(n 10)* Expresar 2437 en base 5

Usando Divisin Sucesiva2437 5

487 597 5

19 5

2437 = 342225* Expresar 8476 en base 12

22

24 3


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Usando divisin sucesiva

8476 12706 12

58 12

8476 = 4 4(12)

OBS: = Diez = 10 = A = once = 11 = B = Gamma = 12 = C

NUMERAL CAPICUAEs aquel nmero que visto y ledo dederecha a izquierda y viceversa nosrepresenta el mismo numeral.

Ejemplo:abba,ana A los numerales

,Radar,Somos capicas que

expresan alguna

oso;reconocer palabra con

sentido se ledenominaPALINDROMAS

Numeral capica de 2 cifra, aaNumeral capica de 3 cifra, aba ,aaaNumeral capica de 4 cifra, abba ,aaa

PROPIEDADESPropiedad (1)

1x)1x()1x(Nk

)x(

==

k cifra

Problema Resueltos1. Calculo x si:

255)1x)(1x)(1x)(1x()x(

=

a) 2 b)3 c)4 d)5 e)6

Resolucin2551x)1x)(1x)(1x)(1x(

4

)x(==

k = 4 cifrasx4 = 256 = 28 = (22)4 = 44

x = 42. Sabiendo que los numerales estn

correctamente escritos

842C , 43a; b5a ; c42b

Hallar a+b+ca) 15 b)16 c)17 d)18 e)19

Resolucin43a 4 < a

b5a a < b 4 < a < b < c < 8

c42b b < c

842C c < 8 5 6 7

a + b + c = 18 Rpta.

Propiedad (2) a1 = b+Ka

a1 a1

K numerales a1

(b)

3. Si13 = 2445

13

13

20 numerales13

(x)Hallar x

ResolucinAplicando Propiedad (2) y descomponiendopolinomicamentex + 20(3) = 2445

5251

x+60=50+20+4

4

10

410


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x = 14 Rpta4. Calcular a+b+n si:

+ -

n5ab = 74n1- +

5 < n < 7se deduce n = 6

65ab = 1647 65ab

7271

= 49 + 42 + 4 65ab = 9510

Por divisin sucesiva95 6

15 62

2356 = 65ab

a=2 b=3

a+b+n = 11 Rpta.PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Si las siguientes numerales

)a()c()4(c2,bb,a est bien

representados. Calcular a + b + c

a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

2. Hallar (a + b) si:221aba )7( =

a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 9

3. Si ( ) 1a11a1a1 )4( =+Hallar a

a) 9 b) 4 c) 8 d) 16 e) 1

4. Hallar a + b si se cumple:8aba = 1106n

a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 85. Al escribir el nmero 4235 en base 10

obtenemos

a) 103 b) 108 c) 113 d) 118 e) 123

6. Cuntos nmeros enteros son mayoresque 234 pero menores que 326.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

7. Sean los numerales

213(m), )7()p()n( mnp,4n2,m10

Calcular m + n + p

a) 12 b) 14 c) 15 d) 17 e) 18

8. Si 11223 = )n(abcdefHallar a + b + c + d + e + f + n

a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 2

9. Dado el nmero

N =)2a(

2)1a(a)1a(a)1a( ++++Calcular: P(a) si P(x) = x + x + 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7

9. Si bb2

ab)a2(a

)ba(

=+

Hallar a x b

a) 4 b) 5 c) 12 d) 7 e) 8

10. Sin5 pbo2abc4 =

y 97 bn7bpnb =Calcular a + b + c + n + p

a) 17 b) 18 c) 32 d) 24 e) 16

11. Si se cumple que:

12)1b2(nm)1b2(a)6a)(5a2)(2a( ++=+Calcular L = a + b + m + n

a) 25 b) 27 c) 26 d) 24 e) 28

12. Sabiendo que: 210)m1(14abm ++=

53 2


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ab

ab

m numerales ab.

. ab (

3)

Calcular a + b + m

a) 5 b) 7 c) 8 d) 6 e) 4

13. Si mn bcnaba =

Hallar c sabiendo que b > 4, m


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Es una sucesin donde la diferencia de2 trminos consecutivos es un valorconstante llamado razn.

Ejemplo:

P.A. 4,6,8,10,12.......... (CRECIENTE)P.A.: ,1,3/2,2,5/2,.....(CRECIENTE)P.A.:25,23,21,19 ......(DECRECIENTE)

NOTACION:P.A.: a1, a2, a3,... ana1 = 1 trminoan = ltimo trminon : # trminosr : raznEn general: an = a1 + (n-1) r

CONTEO DE NUMEROSFrmula para hallar el nmero detrminos en una progresin aritmtica.

razn

primeroalanterioromintrltimoomintrN

=

Ejemplo: Determinar el nmero detrminos en:

a) 24, 27, 30, ..., 726# trmino = 235

3

705

3

21726==

2) Cuntos trminos tiene la progresinaritmtica

a) 7,9,11,...,421Rpta. 208

b) 12,17,22,...527Rpta. 104

Observacin1

r

aan 1n +

=

r

)ra(an 1n

=

Dada la P.A.P.A. a1,a2,a3,.....ap,....aq,.......an

p trminos q trminos

Siempre se cumple:i) La suma de los trminos equidistantes

de los extremos siempre es constante

a1 + an = ap + aq

ii) Trmino Central (ac)* Si n es impar

2

1 nc

aaa

+=

* Si n es par y no hay trminocentral

a1+an = ap + aq

n2

)aa(S n1

+=

SUMA DE UNA PROGRESION ARITMETICA* Progresin Aritmtica 2 OrdenSea la Sucesin:C a0, a1, a2, a3, a4,......an

B b0, b1, b2, b3, ......bn

A c1, c1, c1, .........c1

Pivot PrincipalPivot Secundario

Cn2

ABn

2

AT 2 +

+

=

S = n31n

21

n

11 CcCbCa ++

Cantidad de cifras en una serie naturalDada la sucesin


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1,2,3,4,5,....(N-1), N

N numeral de k cifras entonces

N cifras = (N + 1)k 111....1

K cifras

Ejemplo:Cuantas cifras se usan en la numeracin de unlibro de 350 hojas.

Resolucin:350 hojas = 700 pginas

La numeracin es:1,2,3,4,...,700

N cifras = 701 x 3 111 = 2103 111N cifras = 1992Ejemplo:Determinar la cantidad de cifras

a) Del 1 al 38b) Del 1 al 324c) Del 1 al 3999

Anlisis CombinatorioSe reconoce del siguiente modo:Cuntos numerales de esta forman existen?a) Cuntos nmeros de 3 cifras existen?

Sea N =10cba a 0

1 0 02 1 1. . .. . .9 9 99x10x10 = 900 nmeros

b) Cuntos numerales de esta formaexisten

( ) ( )192c2

b1b

3

1a2a

+

Rpta. 1026 nmeros

Mtodo Combinatorioa) Cuntos nmeros pares de 3 cifras

existen?

b) Cuntos nmeros capicas de 5 cifrastienen un slo 6 en su escritura?

c) Cuntos nmeros de la forma

)1b)(2b)(3a(a ++ existen?

Resolucin:a) cba b) abcba

1 0 0 1 0 62 1 2 2 13 2 4 3 2. . 6 . .. . 8 . .9 9 6 6 se excluyen9.10.5=450 . .

. .

. .9 98. 9.1 = 72

c) )1b)(2b)(3a(a ++1 22 33 4. .. .. .6 8

6 x 7 = 42

d) Cuntos nmeros de 3 cifras, seescriben con un 8, con 9 y algunas otracifra diferente de los anteriores?Resolucin:CASOS8 9 a 8 a 9 a 8 9

0 0 11 1 22 2 .

. . .. . .

. . .7 7 7

Permutando 8x 8x 7x8 y 9 2 2 2

16 16 14Cantidad de nmeros = 46

PROBLEMAS PARARESOLVER EN CLASE1. Calcular cuantas cifras tiene el trminode lugar 77 de la siguiente progresin

42(6); 45(6); 52(6);........


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a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2. Cuntos trminos tiene la siguientesecuencia8(60); 9(59); (58); (57) :.....

a) 17 b) 18 c) 19 d) 25 e) 26

3. Hallar el trmino de lugar ba de lasiguiente progresin aritmtica

5ba;04b;93a;b8a ;......

a) 302 b) 303 c) 352d) 402 e) 403

4. Cuntos trminos tiene la siguienteprogresin aritmtica?

9)2n()1n(n )1n(64;.....,88;ba;ab +++

a) 14 b) 18 c) 23 d) 24 e) 72

5. Cuntos trminos tiene la siguientesecuencia?

100111; 111122; 122133; .., 0bbabba

a) 70 b) 80 c) 90d) 101 e) 110

6. Si los trminos a y a + 1 de unaprogresin aritmtica son 251 y 259respectivamente. Hallar la suma delprimer y ltimo trmino de la seriesabiendo que antes del trmino dellugar a hay 30 trminos y despus deltrmino de lugar a+1 hay 45trminos.

a) 330 b) 339 c) 397d) 630 e) 679

7. En la siguiente sucesin13x; 24(x+1); 35(x+2);.......Se cumple que la diferencia entre el18avo y dcimo trmino es 264. Calcularla suma de cifras correspondientes a labase duodecimal.

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

8. Hallar el mximo valor que puedetomar el ltimo trmino de la siguienteprogresin aritmtica

9554 ......;;)1)(1(;; mnabbaab ++

a) 859 b) 869 c) 879 d) 889 e) N.A.

9. Si la siguiente progresin aritmtica

nnnnn ma2,........,0b,7a,5a,3aTiene 57 trminos. Hallar a+b+m+n

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 25

10. Los siguientes nmeros se llamannmeros triangulares1;3;6;10; .......Cul es el vigsimo nmero triangular?

a) 180 b)210 c) 215d) 220 e) 246

11. Determinar el nmero de trminos de lasiguiente progresin8;18;38;68; ......., 1908

a) 16 b)17 c)18 d)19 e)20

12. Cuando tipos de imprenta se emplearonpara imprimir la siguiente secuencia.10077; 10078;10079;....;100300

a) 941 cifras b)1321 cifrasc) 1426 cifras d) 1584 cifras

e) 2403 cifras

13. Si se escribe la serie de los nmerosnaturales a partir del 1, sin separar lascifras. Cul es en esta serie la cifraque ocupa el 1992 lugar?

a) 0 b)1 c) 2 d) 5 e)6


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OBJETIVOS: Deducir las operaciones de adicin y sustraccin como una relacin binaria. Establecer Relaciones Binarias con los elementos de dos conjuntos. Deducir las propiedades que cumplen los elementos que forman parte de la adicin

y sustraccin. Aplicar las propiedades en situaciones concretas.

ADICINLa adicin es una operacin binaria, lacual es representada mediante la ayudadel smbolo + y asigna a cada pareja de

elementos un tercer nmero comoresultado de la operacin.2 y 3 + 2 + 3

Pareja de Operacin Nmeroelementos Asignado como

Resultados

Si utilizamos el concepto de parordenado podemos expresar la nocinanterior de la siguiente forma.

2 , 3 (+) 2 + 3Par Ordenado Operacin Resultado

de adicin (Considere elorden)

Sin embargo es usual que la expresemosas:

2 + 3 = 5

1 elemento 2 elemento Resultado

Operador elementode la adicin

Definicin:Dados dos nmeros naturales a y b sellama suma de a y b y se denota(a+b) al nmero natural S tal quea+b=S.Se llama adicin a la operacin quehace corresponder a ciertos pares denmeros naturales (a, b) su suma (a+b).

Ejemplo: 18 + 5 = 13

Ejemplo: 23 + 5 + 11 = 19

Sumandos Suma

Ejemplo:3

7 + 8 + 12 = 27

Sumandos Suma

Al realizar la operacin ADICION de doso ms sumandos se efecta de lasiguiente forma:

475 +32189

885Los sumandos se colocan uno debajo delotro, haciendo coincidir las cifras demenor orden de cada sumando en unamisma columna.Para hallar el resultado, se suman losvalores de una misma columna dederecha a izquierda, colocando debajo de

cada una, la cifra de menor orden delresultado obtenido y las cifras restantes(si hubiera) se suman a la siguientecolumna.

EsquemticamenteS = S1+S2+....+Sn

Suma Sumandos

CUATRO OPERACIONESADICION Y SUSTRACCION


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Leyes Formales1. Clausura o Cerradura: La suma de

dos o ms nmeros enterosresulta otro nmeroa, b, c, ZZ a + b = C CZ

2. Asociativa: Dadas ciertascantidades de sumandos la sumatotal tambin resulta al hacergrupos de sumandos.a + b + c = a +(b+c)=(a+b) + c

3. Conmutativa: El orden de lossumandos no altera la suma totala + b = b + a

4. Modulativa: Para todo nmeroentero existir su elemento neutroo mdulo de la suma denotada por

cero, talque se cumpla que a+0=a5. Uniformidad: Si se tienen variasigualdades, estas se puedensumar miembro a miembroresultando otra igualdad

a = bc = d

a + c = b + d

6. Monotona:a = b a < b a > bc < d c < d c < d

a+c


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)1n2)(1n(n

3

2

)n2(....642)i2(S 2222n

1i

2

)n2( 2

++=

++++===

7. Suma de los productos de 2 nmerosconsecutivos

3

)2n)(1n(n

)1n(n...4.33.22.1)1i(in

1i

++=

+++++=+=

8. S = a + a + a3... + an = an+1-1a

a

9. Suma de trminos en Progresin

AritmticaS = t1 + t2 + t3 + .... + tn

S = )tt(2

nn1 +

Donde:n = nmero de trminost1 = primer trminotn = ultimo trmino

Ejemplo (1)

Calcular el valor de SS = 2 + 4 + 6 + .... + 98

Resolucin

Se tiene que: n = 492

098=

Luego S = 2450)982(2

49=+

Ejemplo (2)Hallar ASi A = 1 + 2 + 3 + ... + 10

ResolucinUtilizando (1) Suma de los n primerosnmeros

A = 552

)11(10= Rpta.

Ejemplo (3)Hallar BSi B = 1 + 2 + 3 + ... + 10

Resolucin: Utilizando (2)

B = 6

1)10(2)110(10 ++

B = 3856

)21)(11(10=

Ejemplo 4Hallar el valor de CSi C = 13+ 23 + 33 + ...+103

Resolucin Utilizando (3)

C = 3025211.10

2

=

La Adicin en otros Sistemas deNumeracinEjemplo IHalle la suma de: 4357., 1647., 4167ResolucinLos sumandos son colocados en formavertical para efectuar la operacin deacuerdo al orden que ocupa sus cifras.

3 2 1 Orden414

361

5(7)4(7)6(7)

+

Suma ........................?

Orden Procedimiento1 5 + 4 + 6 = 15 = 2.7 + 1

queda

Se lleva

2 3 + 6 + 1 + 2 = 12 = 1.7 + 5queda

Se lleva

3 4 + 1 + 4 + 1 = 10 = 1.7 + 3queda

Se lleva

14 3 5(7) +1 6 4(7)4 1 6(7)

1 3 5 1(7)Ejemplos para que practiques

1) Efectuar25368 + 65758 + 7658

2) Dado que a +b + c = 9Calcule el valor de:S = 555 cabbcaabc ++


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3) Sabiendo que:2143n + 3541n = n26cba -6512n

Calcule a + b + c + n

Suma de Numerales CondicionadosHallar la suma de todos los nmerospares de 3 cifras que empiezan en cifraimpar.

ResolucinSi el nmero es de 3 cifras ser de laforma abc donde a toma los valores1,3,5,7,9 por ser cifras impares (segncondicin) como los nmeros son paresentonces su cifra terminal es decir Ctomar valores pares 0,2,4,6,8 y dadoque no hay restricciones para la cifracentral tomar todos los valoresmenores que 10.

cba

1 0 03 1 2

5 2 47 . 6..

9 9 85 x10x 5 = 250 nmeros

Luego para calcular la suma de estos250 nmeros se procede del siguientemodo.

En las unidades: Se divide la cantidad

de nmeros entre la cantidad de valoresque toma la cifra de unidades y semultiplica por la suma de todos losvalores que toma la cifra de susunidades.En forma anloga se hace para lasdecenas, centenas etc y luego se aplicauna suma abreviada cuyo resultado finalser efectivamente la suma de todosestos 250 numerales de esta forma.

U : 1000)86420(5

250

=++++

D: 1125)9...3210(10

250=+++++

C = 1250)97531(5

250=++++

Suma total:1000

11251250

Rpta. 137250

Ejemplo de AplicacinHallar la suma de todos los nmeroscapicas de 3 cifras que se puedenformar con las cifras 0,1,3,7,8 y 9.

Resolucin:Sean los nmeros de la forma:

aba Obs.: a 0

0 11 33 77 8

89 96 . 5 = 30 nmeros

U : 168)98731(5

30=++++

D: 140)987310(6

30=+++++

Suma : 168 UTotal : 140 D168 C

Rpta.: 18368Problemas Tipo1. Hallar C en la siguiente suma

68bbaa7c2ba5b74a =++

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Resolucin

Ordenando en columna

Por ser a cifrasignificativa


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1. Clausura. En naturales esrestrictiva. En enteros, ladiferencia de 2 nmeros enteroses otro nmero entero.

2. Ley del Inverso Aditivo. Si se

tiene un nmero a existir uno yslo un nmero denominado (-a)tal que: a + (-a) = 0

3. Uniformidad. Dadas 2 igualdadesestas se podrn restar miembro amiembro, dando como resultadootra igualdad.

a = bc = d

a-c = b-d

4. Monotona

a = b a < bc < d c = d .

a-c > b-d a-c < b-d

a > b a < bc < d c < d .

a-c > b-d a-c ? b-d

? (El resultado no se puedeanticipar pudiendo ser >, cSe cumple:

mnp)ca(99

mnpcbaabc

=

=

donde:m + p = 9n = 9a c = m + 1Ejm:341 - 672- 993-143 276 399198 396 594

3) Sea N = abcd donde a > d

a) Si b c : abcd - mnpqdcba = m +n + p + q = 18

b) Si b = c:abbd - mnpqdbba = m + q = 9n = p = 9


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As:4781 - 7552-1847 25572907 4995

Problemas de Aplicacin1. Sabiendo que:

5175cba22abc =adems b + c = 10Calcular el minuendo

ResolucinIncgnita: cba2

Toda sustraccin se convierte en adicin

5175cba22abc +

2abc

5175

cba2 +

De las unidades: a + 5 = 2. Se deduce a = 7Se lleva 1En las decenas: 1 + b + 7 = c1 = 10 + c

8 + b = 10 + c b c = 2 b = 6Dato: b + c = 10 c = 4

Luego minuendo: 2467cba2 = Rpta.

La sustraccin en otros sistemas denumeracinEjm. 1 Halle la diferencia de lossiguientes nmeros 432(5) y 143(5)ResolucinSe disponen los trminos de maneravertical para trabajar de acuerdo alorden.

3 2 1 orden

Minuendo 4 3 2(5)

Sustraendo 1 4 3(5)

Diferencia ..............?

Orden Procedimiento

1

Como a 2 no se le puede disminuir3 lo que se hace es regresar delorden 2 una vez a la base (es decir 5)Luego 5 + 2 3 = 4 queda

2

Como se ha regresado una vez labase, quiere decir que en este ordense tiene ahora 3-1 = 2 pero a 2 no lepodemos disminuir en 4, luego delorden 3 regresamos una vez la base(es decir 5)5 + 2 4 = 3 queda

3Aqu se tena 4 veces la base, peroregresamos al orden anterior luegoaqu quedo4-1 = 3, entonces3 1 = 2 queda

Al final se tiene que:4 3 2(5) -1 4 3(5)2 3 4(5)

Practicando:Realizar las siguientes sustracciones6438 - 5326- 7469-3468 - 2356- 6479-____ ____ ____

Se llega a la siguiente conclusin:

)k(

)k(

)k(

xyz

cba

abc

x + z = y = k -1

Aplicacin:

1) Si 88 cba2abc =Calcule a x b x c

2) Si 777 mn4cbaabc =Hallar a c + m + n

3) Efectuar las siguientessustracciones5413 - 7241- 6113-3145 1427 3116

6524(7) - 4132(5)- 1786(9)-

4526(7) 2314(5) 586(9)

Complemento Aritmtico (C.A.)


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Se denomina complemento aritmtico deun nmero natural a la cantidad que lefalta a dicho nmero para ser igual a unaunidad del orden inmediato superior, a

su cifra de mayor orden.Ejemplo: Hallar el C.A. de 24

CA (24) = 10 - 24 = 76

Ejemplo: Hallar el C.A. de 327

CA(327)=1000 327 = 673

En general:

C.A. (N) = 10k N

Siendo k el nmero de cifras que tieneN.

Mtodo Prctico para calcular el C.A.de los nmerosA partir del menor orden se observa laprimera cifra significativa, la cual va adisminuir a la base y las dems cifrasdisminuyen a la base menos 1.

Ejemplo:

9 9 10

CA (7 4 8) = 252

9 9 9 10

CA (5 1 3 6)= 4864

9 9 10

CA (7 0 4 0)= 2960

8 8 9

CA (2 1 89) = 671(9)

Excedencia de un nmero

Se denomina excedencia de un nmero ala diferencia entre el nmero dado y unaunidad de su orden ms elevado.

Ejemplo:

Excedencia de 18= 18-10 = 8

Excedencia de 326 = 326 100 = 226

Excedencia de 4753=47531000= 3753

En general:

Ex(N) = N 10K-1

Siendo k el nmero de cifras que tieneN.


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5. Uniformidad. Multiplicandomiembro a miembro variasigualdades resulta otra igualdad.

Si: a = bc = d

a x c = b x d6. Modulativa. Existe uno y slo un

elemento que se denota por 1(denominado elemento neutromultiplicativo o mdulo de lamultiplicacin) tal que siempre secumple:

a x 1 = 1 x a = a

7. Monotona:a) Multiplicando miembro a

miembro desigualdades (relacinde orden), todas del mismosentido, con trminos positivos ytambin multiplicando igualdades,resulta una igualdad del mismosentido que las dadas.

*) Si: a > b *) Si: a < bc > d c = de = f e < f

a.c.e>b.d.f. a.c.e. bc < d c > d

a x c < b x d a . c > b. d

Escolio. Si se multiplica miembro amiembro desigualdades de sentidocontrario, el resultado no puedeanticiparse, pudiendo ser unadesigualdad o una igualdad.Si a < b

c > d

Puede ocurrir que:

a x c < b x d

a x c = b x d a x c> b x d

Determinacin de la cantidad decifras de un producto

La cantidad de cifras de un producto den factores ser mxima cuando seaigual a la suma de la cantidades decifras de cada factor y como mnimodicha suma disminuida en (n-1)

Sea:P = A1 . A2 . A3 ...... An

a1cifras

a2cifras

a3cifras

ancifras

Cuantas cifras como mximo y comomnimo puede tener P.Mximo: a1 + a2 + a3 + .... + an = SMnimo: S (n-1)

Ejemplo (1)

P = A . B . C . D

6 cifras8 cifras 3 cifras

4 cifrasdonde n = 4 (N factores)Mximo : 6 + 8 + 4 + 3 = 21Mnimo = 21 (4-1) = 18

Ejemplo (2)Dos nmeros enteros escritos en elsistema decimal tienen 5 y 8 cifrasrespectivamente Cuntas cifras tendrel producto del cuadrado del primeropor el cubo del segundo?

ResolucinSea A tiene 5 cifras

B tiene 8 cifrasA . B3 = A . A . B . B . B Producto de 5

factores


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Entonces:

N de cifras Mximo: 5+5+8+8+8=34de AB3 Mnimo: 34-(5-1) = 30

ConclusinCuando se multipliquen potenciasenteras de nmeros enteros seproceder del modo siguiente:

Para determinar el mximo nmero decifras de su producto se suma todos losproductos parciales de los exponentespor sus respectivas cantidades decifras.

En el ejemplo dado:

Mximo = 2(5) + 3(8) = 34

Para determinar la menor cantidad decifras que acepta el producto, almximo nmero de cifras se lesustraer la suma de los exponentes delas potencias aumentndose la unidad.

En el ejm. Min= 34 (2 + 3) + 1 = 30

Ejemplo (3)Se dispone de 4 nmeros enteros, loscuales se representan como A, B, C, Den el sistema decimal admitiendo 4,6,8y 5 cifras. Cuntas cifras tendr E?

Siendo E = [A4 . B . C1 . D3]2

ResolucinSabemos que:

A 4 cifras C 8 cifrasB 6 cifras D 5 cifras

E = A8 . B4 . C . D6

Entonces N de Cifras de E:

Mximo = 8.4 + 4.6 + 2.8 + 6.5 = 102Mnimo = 102 (8 + 4 + 2 + 6)+1=83

MULTIPLICACION EN OTROSSISTEMAS DE NUMERACION

Ejm.: Efectuar 2437 . 367

Procedimiento. Los trminos soncolocados en la forma siguiente, paraefectuar la operacin de acuerdo alorden que ocupan sus cifras.

3 2 1 orden

2 4 3(7) x multiplicando3 6(7) multiplicador........?

* Para la cifra de orden 1 delmultiplicador:

6 x 3 = 18 = 2 x 7 + 4 queda

Se lleva

6 x 4 + 2 = 26 = 3 x 7 + 5 quedaSe lleva

6 x 2 + 3 = 15 = 2 x 7 + 1 queda

Se lleva

* Para la cifra de orden 2 delmultiplicador:

3 x 3 = 9 = 1 x 7 + 2 quedaSe lleva

3 x 4 + 1 = 13 = 1 x 7 + 6 queda

Se lleva

3 x 2 + 1 = 7 = 1 x 7 + 0 queda

Se lleva


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Al final se tiene que:

Multiplicando 2 4 3(7) xMultiplicador 3 6(7)Productos 2 1 5 4(7)Parciales 1 0 6 2(7)

ProductoFinal 1 3 1 0 4(7)

Aplicacin 1Al multiplicar abc por 137 se observque la suma de los productos parcialesfue 3157. Calcule a + b + c

ResolucinOBS: P.P. (Producto Parcial)

abc x137

7 x abc 1 P.P.3 x abc 2 P.P.

1 x abc 3 P.P.

Condicin en el problema

7abc + 3abc + 1abc = 315711abc = 3157

abc = 287

a = 2b = 8c = 7

a + b + c = 17 Rpta

Aplicacin 2Disminuyendo en 3 a los trminos de lamultiplicacin, el producto disminuyeen 231. Halle los factores si ladiferencia de ellos es 36.

ResolucinSean M y N los trminos de lamultiplicacin

Sabemos que M x N = P

Condicin del problema

(M - 3) (N - 3) = P 231

M.N 3M 3N + 9 = M.N 231

231 + 9 = 3M + 3N240 = 3(M + N)80 = M + N ....... (1)

DATO: 36 = M N ....... (2)Resolviendo (1) y (2)

2

3680M

+= M = 58

2

3680N

= N = 22

Los factores son 58 y 22 Rpta.

Aplicacin 3Si 973dd237xabc =

Calcule la suma de los productosparciales.

Rpta. 3948Aplicacin 4Calcule (a + b + c + d) si:

dddcd.ab =

Rpta. 21

Aplicacin 5Efectuar 4132(5) . 234(5)

Rpta. 21440435

Aplicacin 6

Cul es la suma de cifras de:

xmyn.abcd , sabiendo que:

xoy.abcd = 1782312

mon.abcd = 2353344


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Ej. 342 x 25 = 8550

342 25342 1684 2

+ 1368 4 1+8 + 16= 25

+ 2736 8+ 5472 16

MULTIPLICACIN COSACA O A LARUSAEl conocimiento de la tabla de multiplicacin no esmuy extendida en la Estepa, se dice que los Mujiclos ms instruidos saben apenas ms que unacolumna, la de los mltiplos de 2. Esto les bastasin embargo para efectuar el producto de dosnmeros cualesquiera. Ellos emplean para esto un

proceso muy curioso: ellos toman la mitad de unode los factores con la unidad tomada por defectoy escriben al lado el doble del otro factor. Si estamitad es un nmero impar, ellos marcan de unsigno * el factor doblado. Continan as,dividiendo por 2 los nmeros de una columna, ydoblando aquellos de la otra, la operacin terminacuando se llega a 1 en la primera columna.

La suma de los nmeros inscritos en lacolumna de los dobles, y que, sonmarcados del signo * es igual al

producto buscado veamos tresejemplos de este clculo.

38 x 25 45 x 57 *19 50 * 22 1149 100 * 11 228 *4 200 5 456 *2 400 2 9121 800 * 1 1824 *

38 x 25 = 950 45 x 27 = 2565

42 x 3621 72 *10 1445 288 *2 5761 1152 *

42 x 36 = 1512Ser suficiente escribir las operacionespara comprender el principio delmtodo:38 x 25 = 2 x 19 x 25 = 19 x 50

= (2 x 9 + 1) 50= 9 x 100 + 50*

9 x 100 = (2 x 4 + 1) 100= 4 x 200 + 100*

4 x 200 = 800 *

MULTIPLICACIN DE INAUDIEl famoso calculista Inaudi se sirve parala multiplicacin de un mtodoparticular.Este consiste del modo siguiente.Multipliquemos 532 x 468500 x 400 = 200000500 x 68 = 34000468 x 30 = 14040468 x 2 = 936TOTAL = 248976

Para probar que el mtodo seguido esexacto, bastar observar que:532 x 468 = (500 + 32) x 468532 x 468 = 500 x 468 + 32 x 468532 x 468 = 500 x 400 + 500 x 68 +

30 x 468 + 2 x 468

MULTIPLICACIN CHINALos chinos multiplicaban con varillas. Secuentan los puntos de interseccin en unamisma diagonal empezando por los deabajo a la derecha. Despus, se suman las

unidades, las decenas, ......, empezandopor la derecha.

342 x 25 = 8550

8550

243

2

56

2 3 2 4 1 0

0558


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UNMSM ARITMTICA

DIVISIBILIDADI. RESUMEN TERICO1.1 Nmero Divisibles

Si A representa un nmero entero yB un nmero natural diferente decero:

A es divisible por B => AB A: B es exacta con cocienteentero.

a B se denominar Divisor de A

Ejemplo: 91: 13 = 7 91 es divisible por 13 => 91

13y 13 es divisor de 91!

1.2 Mltiplos de un NmeroNatural

Mltiplos de n = n.K (K Z)

SIMBOLOGANotacin de Leibnitz

Mltiplos de n =

n= m.n = n.K.

Z = { 0; + 1; + 2;+ 3; .... }

Ejemplo:

7 = { 0; + 7; + 14;+ 21; .... }

1.3 Principios de Divisibilidad

Si A y B son divisibles por n!

Se cumplen las siguientespropiedades

(1)A + B es divisible por n

Conclusin:

n +

n =

n

(2)A B es divisible por nConclusin:

n -

n =

n

(3)A.K es divisible por n

n .K =

n (n ZZ )

(4)Am es divisible por nConclusin:

(

n )m =

n (m ZZ+)

(5)Todo nmero es divisible por losfactores naturales que contiene

Ejemplo:105 = 3. 5. 7105 es divisible por: 1: 3: 5: 7 ylas combinaciones de estosfactores:15; 21; 35 y 105

(6)Si A. B =

n , adems: A y n

tienen como nico factor comnla unidad

Entonces: B =

n* (Principio de Arqumedes)Ejemplo:

7.B = 15 B =

15

2A + 4 B =

9 A + 2B =

9

1.4 Expresar un Nmero comoMltiplo de otro Nmero.

Ejemplo: Expresar 400 como mltiplo de23

DIBISIBILIDAD I


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UNMSM ARITMTICARpta. 270

6. En una fiesta donde asistieron280 personas entre damas,caballeros y nios, la cantidad decaballeros que no bailaban en unmomento dado era igual a lacuarta parte del nmero dedamas; la cantidad de niosasistentes era igual a la stimaparte del nmero de damas. Si laquinta parte de las damas estncasadas, se desea saber cuntasdamas no bailaban en dichomomento.

a) 55 b) 65 c) 45 d) 75 e) 80Rpta. 55

7. Si: a + b + c = 6.

Entonces: bcacababc ++Siempre es mltiplo de:

a) 11 b) 74 c) 7

d) 13 e) 27Rpta. 74

PROBLEMAS PARARESOLVER EN CLASE

1. Del 1 al 5000,cuntosnmeros son:

I Divisibles por 16II Divisibles por 13

Dar la suma de ambosresultados.

a)646 b)672 c)696d) 698 e) 692

2. Cuntos nmeros decuatro cifras son divisiblesentre 11?a)800 b)809 c)810d)819 e) 820

3. Hallar cuntos nmeros detres cifras que terminan en 4resultan ser mltiplos de 7

a) 72 b) 90 c) 29d) 13 e) 10

4.


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INTRODUCCINEl estudio de los nmeros primos fueabordado por matemticas desde hacemucho tiempo. Fue el matemtico griegoEUCLIDES el primero en descubrir quelos nmeros primos constituyen una serieinfinita (Aprox. 350 A a.J.c).

En el campo de los enterosZ : = 0, + 1, + 2, + 3, ...Se descubre inmediatamente la existenciade nmeros p cuyos nicos divisores sonlos nmeros 1, -1, p,-p nmeros con estapropiedades y que no sean 1 y 1 sedenominan primos. Podemos decir

entonces que un nmero entero es primosi y slo si posee exactamente 4divisores.(Aspectos de la teora elemental deNmeros Enzo. R. Gentile(Universidad de Buenos Aires)Por muchos aos ilustres matemticostrataron de encontrar una formula paradeterminar a los nmeros primos entreellos:Euler (1772)x2x + 41 = primo, x = 0,1,2,..., 40Legendre (1789)x2 +x+41 = primo, x = 0,1,2,..., 39Tambin Pierre Fermat conjeturo que los

nmeros Fn:= n22 +1 eran primos paratodos los n N

Esta conjetura result errnea pues paran = 5, Euler probo que F5 es divisibles por641. Se sabe que Fn es primo para 0 < n< 4 y compuestos para 5 < n < 19 y paramuchos valores de n. Se ignora hasta elpresente si existen infinitos primos de laforma Fn (primos de FERMAT). Como undato actual ANDREW. J. WilesMatemtico Britnico de la Universidad dePRINCETON, demostr el celebrrimoTeorema de Fermat en 1994, tras undecenio de concentrados esfuerzos en elcual Fermat afirmaba que no existansoluciones enteras no triviales para laecuacin an + bn = cn, donde n es unentero cualquiera mayor que 2. Wilespara completar su clculo de 100 paginasnecesito recurrir a muchas modernasideas de la matemtica y desarrollarlasms todava.

En particular tuvo que demostrar laconjetura de Shimura Taniyama paraun subconjunto de curvas elpticas,objetos descritos por ecuaciones cbicastales como

y2 = x3 + ax2 + bx + cDEFINICIONES BSICAS1. Nmero Primo Absolutos:

Definido en Z+ un nmero serprimo absoluto si posee dosdivisores distintos una de ellos launidad y el otro el mismonmero.

Ejemplo 3,5,7,2 etc.

2. Divisor:

NUMEROS PRIMOS


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Cmo se determina si un nmero esprimo o no?Se divide al nmero entre cada uno delos nmeros primos menores o igualesa su raz cuadrada aproximada. Si en

ningn caso la divisin es exactaentonces el nmero es primo en casocontrario es compuesto (Criterio de laraz cuadrada)

Ejemplo:223 es un nmero primo?Paso 1 14,...223

Paso 2 # primos 142, 3, 5, 7, 11, 13

Paso 3

213+

311+

223 67+

35+

13+

12+

Como en ningn caso las divisiones sonexactas, entonces 223 es un nmeroprimo.

Nmeros PESi 2 o 2Son aquellos nmeros PESi, que al

formar grupos de 2 con dichosnmeros resultan tambin PESi.

Ejemplo: 8,21 y 25 son PESi 2 a 2

Porque: 8 y 21 son PESi8 y 25 son PESi

21 y 25 son PESi

PROPIEDADES Si un grupo de nmeros son PESi. 2

a 2 entonces son PESi lo reciprocono siempre se cumple.

Dos nmeros consecutivos siempreson PESi.

Ejemplo: 24 y 25 son PESi

CRIBA DE ERATOSTENESEratostenes de cirene, naci en 276A.C. en cirene (ahora Shahhat,Libia) y falleci en 197 A.C. enAlejandra, Egipto. Es recordadopor su aporte en la teora de losnmeros primos.

Y dio el mtodo que nos da a conocerlos primeros nmeros primos absolutosde la siguiente manera: Se colocan losnmeros naturales consecutivos aexcepcin de la unidad y se procede aeliminar los mltiplos de 2 excepto el 2,todos los mltiplos de 3 excepto el 3 yas sucesivamente hasta eliminar losmltiplos de la raz cuadradaaproximada del nmero excepto esta,luego los nmeros que quedan sernlos primeros primos absolutos.

Se tiene:

5 0

4 0

3 0

2 0

4 9

2 9

1 9

1 9

4 84 74 64 5

3 83 73 63 5

2 82 72 62 5

1 81 71 61 5

4 44 34 24 1

3 43 33 23 1

2 42 32 22 1

1 41 31 21 1

1 098765432

Los primos absolutos son:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAARITMETICA(Descomposicin Canonica)

Todo nmero entero positivo mayorque la unidad se puede expresar comola multiplicacin indicada de susdivisores primos diferentes elevadospara uno de ellos a exponente enteropositivos.


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EL CONJUNTO DE LOS NUMEROSRACIONALESSe conoce que las operaciones de adicin,sustraccin y multiplicacin estn biendefinidas en el conjunto de los nmerosenteros Z, es decir que la suma,diferencia y producto de dos nmerosenteros, es otro entero (Ley de clausura ocerradura).

Ejemplo: Sean los nmeros enteros 13 y

7,Luego:* 13 + 7 = 20 ........(20 ZZ )* 13 - 7 = 6 ........( 6 ZZ )* 13 . 7 = 91 ........(91 ZZ )Sin embargo la divisin es una operacinque est parcialmente definida, pues elcociente no siempre es entero, porejemplo:

*5

20= 4 (4 ZZ )

*7

13= c (c ZZ )

como en la vida diaria se van a dar estoscasos, es necesario ampliar el conjuntode los nmeros enteros.Empezaremos tomando a los nmerosenteros en pares ordenados, denotndoloa travs de la divisin, como por ejemplo:

* (5, 3) =3

5* (-8, 2) =

2

8

* (0, 9) =9

0* (7, 0) =

0

7

Indeterminado

Luego hay que tener cuidado que lasegunda componente del par ordenadono sea cero.

Formemos el conjunto ZZ x ZZ *, donde:ZZ = (....-3,-2,-1,0,1,2,3,...)ZZ * = (....-3,-2,-1,1,2,3, ....)

Grficamente:

Z x ZZ * = {(a,b)/a ZZ b ZZ *}

* (a,b) representab

a

Observando algunos pares y denotandolas componentes mediante la divisin:

...(2,4) (4,8) (6,12)....

...4

28

412

6...

son equivalentes

La observacin nos permite indicar queestos concientes son equivalentes, pero

si nos preguntarn: los cocientes24

18 y

20

15son equivalentes?

Necesitaramos un fundamento tericopara responder dicha pregunta.

En el conjunto ZZ x ZZ *, definimos lasiguiente relacin :

(a,b) (c,d) cuando a.d b.c

.

.

.

- 3- 2

- 1

0

12

3.

.

.

.

.

.

- 3- 2

- 1

0

12

3.

.

.

( a , b )

x

Z Z +

CONJUNTO DE LOS NUMEROSRACIONALES


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POTENCIACINIntroduccinLos babilnicos ya haban conocido muy bien latabla de los cuadrados de los nmeros, tal comolo prueba la tabla de los cuadrados hallados porlos arquelogos a orillas del Eufrotes, en un lugardonde existi un templo.

Ellos emplearon la potencia cuadrada sobre todopara efectuar sus multiplicaciones siguiendo elprocedimiento que se indica a continuacin:

1. La semisuma de los dos factores laelevan al cuadrado.2. La semidiferencia de dichos factores

la elevaban al cuadrado.3. La diferencia de estos dos cuadrados

obtenidos era el resultado final.

Ejemplo: Efectuar el producto 26 x 18,siguiendo el anterior procedimiento.

1. La semisuma de 26 y 18 es 22, yel cuadrado de 22 es 484

2. La semidiferencia de 26 y 18 es 4,y el cuadrado de 4 es 16.

3. La diferencia de 484 y 16 es 468,que viene hacer el producto de 26por 18.

Notacin de la Potenciacin: Bhaskaraempleo la inicial de la palabra cuadrado paraindicar la Segunda Potencia (ao 1150). Elescocs James Hume (1636) quien adopta laactual notacin pero cuando los nmerosromanos para exponente. Ya Descartes (1637)

adopta los nmeros actuales como exponentes.

PotenciacinDefinicin: Es una operacin matemticaque consiste en multiplicar un nmeropor si mismo varias veces.As tenemos:

P = k x k x k .... x k = kn

n factores

donde k Z+, n Z+

Adems k es la base, n es el

exponente y P es la potencia degrado n.

POTENCIA PERFECTA DE GRADO nPara que un entero positivo sea una potenciaperfecta de grado n es condicin necesaria ysuficiente que los exponentes de los factoresprimos en su descomposicin cannica seanmltiplos de n.

Sea k = a . b . c

Descomposicin Cannica (D.C)

Tenemos que:

Kn = an x bn x cn

(D.C.)

Ejemplos:

N = 36

x 53

x 79

como 6, 3 y 9 son

3 entonces N es una potencia perfecta degrado 3.

8 es una potenciaM = 8 x 8 = 64 perfecta de grado 2

43 es una potenciaperfecta de grado 3

64 es una potencia de grado 6 (26

= 64)

CASO PARTICULARESPotencia Perfecta de grado 2 o cuadrado perfecto(K)

Sea a . b . c

D.C.

tenemos k = a2.b2.c2

POTENCIACION Y RADICACION


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d. Por criterios de Divisibilidad* Todo nmero: n Z+

N { 4 ,

4 + 1}

N3{ 4 -1,

4 ,

4 + 1}

* Tambin se cumple

N {

9 ,

9+1,

9+4,

9+7}

N3{

9 - 1,

9 ,

9 + 1}

Ejemplos:

Cuales no son cubos perfectos.

* 82mn (NO) 82

4 ,

4 -1,

4+1* 42875 = 353

* 373248 = 723

RADICACINDefinicin: Es una operacin matemticainversa a la potenciacin que consiste enque dados dos nmeros llamados ndice yradicando se calcula un tercer nmerollamado raz donde este ltimo elevado alndice reproduzca el radicando. Astenemos:

nn RNNR ==

Donde:N Z+ , n Z+ , n > 1

Adems:

N es el radicandon es el ndiceR es la raz ensima

Ejm:14196 =

4643 =

Observacin:Toda potencia perfecta de grado nposee raz ensima exacta.

1. Raz Cuadrada:Se clasifica en:

a) Exacta:Ejm:

0r

15225

=por que: 225 = 152

En general:

0

2

=

=

r

KNKN

b) Inexacta: (r 0)Por defecto Por exceso

=

=

5

26re225

1623015230

230 = 15 + 5 230 = 16 -26En general: En general:

Err

KNKN 1+

N = K + rd N = (k+1)-re

Observaciones:1. rmin = 12. rmax = 2k

k + rd = (k+1)-re rd+re=2k+1

2. Raz Cbica:a) Exacta:Ejm:

0r7343

3

=


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UNMSM ARITMTICAEK

esconsecuentdeProducto

esantecedentdeProducto=

Donde: E es el nmero de razones quese multiplican

NOTAEn las siguientes series de rezones geomtricas

*27

18

18

12

12

8== *

16

24

24

36

36

54

54

81===

Se observa que el primer consecuente es igual alsegundo antecedente, el segundo consecuente

igual al tercer antecedente y as sucesivamente. Aeste tipo de serie se le denomina: serie derazones geomtricas continuas equivalentes.

En general ke

d

d

c

c

b

b

a====

PROMEDIOINTRODUCCINEl origen de la palabra promedio seremonta a la poca en que los viajes pormar implicaban gran riesgo, era frecuenteque los barcos durante una tormentatiraran una parte de la carga.Se reconoci que aquellos cuyos bienesse sacrificaban podan reclamar conjusticia una indemnizacin a expensas deaquellos que no haban sufridodisminucin en sus bienes.El valor de los bienes perdidos se pagaba

mediante un acuerdo entre todos los quetenan mercadera en el mismo buque.El dao causado por el mar se conocacomo havaria y la palabra lleg aaplicarse naturalmente al dinero que cadaindividuo tenia que pagar comocompensacin por el riesgo.De esta palabra latina se deriva lamoderna palabra average (promedio). Laidea de un promedio tiene por races en

los primitivos segurosPROMEDIO

Dado un conjunto de datos es frecuentecalcular un valor referencial (querepresente a dichos datos) cuyo valor seencuentra comprendido entre los valores

extremos (mnimo y mximo dato) o esigual a uno de los extremos y se ledenomina promedio.

Ejemplo 1A una ama de casa se le pregunta sobreel gasto diario que realiza den unasemana y contesta:Lun. Mar. Mi. Jue. Vier. Sb. Dom.S/.13 S/.17 S/.15 S/.16 S/.14 S/.18 S/.19

A lo cual ella agregar: En promedio migasto diario es de S/. 16. La seora loque ha hecho es reunir todos los gastosdiarios y dividirlo entre 7:

167

112

7

19181416151713==

++++++

y precisamente, esa facilidad paraobtener un valor referencial de los datosque se tiene hace que este promedio sea

el ms utilizado, adems se puede notarque:13 < 16 < 19

Gasto Gasto GastoMnimo Promedio Mximo

Alumno Notas PromedioBeto 12 13 11 12 12

Arturo 10 10 10 18 12

Sin embargo aqu se podra sealar que

no es justo que Arturo tenga igualpromedio que Beto, pues sus notasreflejan que no ha sido buen estudiante,esto nos lleva a pensar que debe haberotro procedimiento (y no el de la suma dedatos y dividirlo entre el nmero dedatos) que nos permita hallar el valor quesea realmente representativo de losdatos.

Ejemplo 3.Las edades de 7 personas son:12,19,18,11,15,21,14 y 9. Cules de las


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UNMSM ARITMTICA)tetancons(2

24

48

18

36

6

12

3

6

2

4

alturaladevalor

sombraladevalor======

De la cual surge la grfica siguiente

Donde los puntos corresponden a unarecta que pasa por el origen decoordenadas, la cual presenta unainclinacin respecto al eje horizontal(llamada pendiente) que numricamentees igual a la razn geomtrica de losvalores correspondientes a lasmagnitudes.

Podemos observar que las magnitudessombra proyectada y altura de lasestacas cumplen que el cociente de susvalores correspondientes es constante yque su grfica es una recta. Cuando 2magnitudes cumplen esta 2 condicionesles llamaremos magnitudesdirectamente proporcionales. De aqupodemos mencionar que si los valoresde las magnitudes aumentan (odisminuyen) en la misma proporcin

son directamente proporcionales.En general para dos magnitudes A y Bestas se relacionan en formadirectamente proporcional si el cocientede sus valores correspondientes es unaconstante.

Notacin:A D.P. B

tetancons

)B(devalor

)A(devalor=

NOTA1. La grfica de dos magnitudes

D.P., son puntos que pertenecena una recta que pasa por elorigen de coordenadas.

2. En cualquier punto de la grfica(excepto el origen decoordenadas) el cociente de cadapar de valores resulta unaconstante.

Observacin:Como el grfico es una recta la funcin eslineal y la ecuacin es de la forma: y =

mx donde m es la pendiente.Tambin: f(x) = mxy = valor de la magnitud Ax = valor de la magnitud B

Ejemplo 2:Una empresa constructora estudia eltiempo que emplea un grupo de obreropara realizar una obra (todos los obrerosrinden igual) y estos son los datos

obtenidos.

Nmerodeobreros

10 20 24 30 40 50

Tiempo(das)

60 30 25 20 15 12

Se observa cuando hay ms obrerosmenos tiempo se emplea. El

comportamiento de los valores esinverso, esto lleva a sealar que lamagnitud obreros y tiempo soninversamente proporcionales. Adems deello se tiene que:10(60)=20(30) = 24(25)=30(20)=40(15)=50(12)=600

De donde:

)realizaaobra(tetanconstiempo

deValor

obreros

deValor

=

SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO

4

6

1 2

3 6

4 8

S o m b r a( c m )

2 3 6 1 8 2 4

.

.

.

.

A l t u r a ( c m )

.


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UNMSM ARITMTICAGrficamente:

Cada sector rectangular que se generacon un punto de la grfica y los ejestienen la misma superficie y quefsicamente corresponde a la obrarealizada.En general, dos magnitudes A y B soninversamente proporcionales si elproducto de sus valorescorrespondiente es constante.

Notacin

AIPB=(valor de A)(valor de B)=constante

NOTA1. La grfica de dos magnitudes IP,

son puntos que pertenecen a unarama de una hiprbolaequiltera.

2. En cualquier punto de la grfica elproducto de cada par de valorescorrespondientes resulta unaconstante.

Observacin

y = valor de la magnitud Ax = valor de la magnitud Byx = k

k = constante

De donde se obtiene la funcin:

y =x

K

Propiedad: Cuando se tienen ms de 2magnitudes como A,B,C y D se analizan dosa dos, tomando a una de ellas comoreferencia para el anlisis y manteniendo alas otras en su valor constante.

* A DP B (C y D constantes)

* A IP C (B y D constantes) tetanconsD.B

C.A=

* A DP D (B y C constantes)

REPARTO PROPORCIONAL

Es un procedimiento que tiene comoobjetivo dividir una cantidad en partesque sean proporcionales a ciertos valores,

llamados ndicesClases:1. Reparto simple: Se llama as

porque intervienen slo dosmagnitudes proporcionales,puede ser.

1.1 Directo (cuando intervienendos magnitudes D.P.)

Analicemos el siguiente caso: Unpadre quiere repartir S/. 2 000entre sus tres hijos, cuyasedades son 8, 12 y 20 aos elpadre piensa, con justa razn,que su hijo de 20 aos tienemayores necesidades econmicasque su otro hijo de 8 aos,entonces decide hacer el repartoD.P. a las edades de sus hijos.Esto implica que aquel hijo quetenga ms edad recibir msdinero, y el que tenga menosedad, recibir menos dinero.Veamos lo que sucede.

Sean las partes A,B, y C talesque cumplan las siguientescondiciones:

A+B+C=S/. 200 ,K20

C

12

B

8

A===

Entonces: 8K+12K+20K = 200040 K = 2000 K = 50


A=8 KB=12KC=20K

1 2

1 5

2 5

2 0

3 0

1 0 2 0 2 4 3 0 4 0

.

.

.

O b r e r o s

5 0

.

.

6 0

.


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1. REGLA DE TRES SIMPLEEs un mtodo en el cual intervienen dosmagnitudes proporcionales, que tienecomo objetivo hallar un cuarto valor,dado tres valores correspondientes aestas dos magnitudes.

Clases:1.1 Directa: (Cuando intervienen

dos magnitudes directamenteproporcionales)

Esquema:D.P.

A B# huevos Costo (S/.)

a1...............b1a2...............x

Por teora de magnitudes proporcionales,

se cumple que:

1

21

2

1

1

a

abx

x

a

b

a==

Una forma prctica para hallar la incgnita x esusando el mtodo de las fracciones. El valor de xse obtiene multiplicando el valor que se encuentrasobre l con la fraccin obtenida de los otros valores.

Veamos como se procede.

D.P.

A B x = b11

2

a

a

# huevos Costo (S/.)

2

1

a

a

x

b1

La fraccin2

1

a

aqueda invertido debido

a que se relaciona dos magnitudes D.P.

Ejemplo: Cien obreros emplean 45 daspara hacer una obra. Cuntos dasemplearn 225 obreros para hacer lamisma obra?

IP

# Obreros #das

x.........

45..........

225

100 x = 45.

225

100

x = 20 das.......Rpta.

a1, b1 y a2 son datos, mientras que x esla incgnita

2. REGLA DE TRES COMPUESTA

Se llama as cuando intervienenms de dos magnitudesproporcionales.

2

1

a

a

x

b1

2

1

c

c

2

1

d

d

2

1

e

e

2

1

f

f

Usando el mtodo de las fracciones,hallaremos el valor de x. Previo niclculo. Se debe establecer la relacinde proporcionalidad entre la incgnitax (# das) y las dems magnitudes.Por ejemplo las magnitudes A(# obreros) y la magnitud B (# das)

son I.P. ya que a MAS obrerostrabajando se emplearn MENOS das;

A B C D E F

I . P . I . P .

I . P .

I . P .

I . P .

# O b r e r o s # d a # h / d o b r a e f i c i e n c i a d i f i c u l t a d

REGLA DE TRES, PORCENTAJEASUNTOS COMERCIALES


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de igual modo se har con lasmagnitudes restantes. Entonces.

Recuerde que:D.P.: Diferente escritura

ya que se invierte lafraccin

I.P.: Igual escritura

1

2

2

1

1

2

2

1

2

11

f

f.

e

e.

d

d.

c

c.

a

a.bx =

Ejemplo: Con 18 obreros se puedehacer una obra en 42 das. En cuntosdas 15 obreros 6 veces ms rpidosque los anteriores, harn una obra cuya

dificultad es el quntuple del a anterior?

SolucinColocaremos en dos filas los datoscorrespondientes a cada una de estasmagnitudes, es decir:

15

18x

42

1

1

r7

r

d5

d

d

d5.

r7

r.

3

15

1842x

6

2

=

x = 36 das ..........Rpta

Observacin:Si la rapidez de los otros obreros es 6veces ms entonces es:r +6r = 7r

PROBLEMAS PARA RESOLVEREN CLASE

1. Si H hombres realizan un trabajoen n das cuantos demorara en realizadoun solo hombre.

a) nH b) H/n c) n/Hd) Es imposible calculare) Faltan datos

2. Si h hombres hacen un trabajo end das h + r lo harn en .......(das).

a)rh

d.h

+b)

rh

dh

c) d + r

d) d r e)h

rh

3. 15 obrero han hecho la mitad deun trabajo en 20 das en ese momento

abandonaron el trabajo 5 obreros.Cuntos das tardaron en terminar losobreros que quedan.

a) 24 das b) 30 das c) 36 dasd) 32 das e) 28 das

4. Alexander de cada 5 tiros alblanco acierta 1, si no acert96 tiros Cuntos acert?

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

5. Un reloj tiene 3 minutos deretraso y sigue retrasndose arazn de 3 segundos por minutode Cuntos minutos debestranscurrir para que el relojmarque una hora de retrazo?

a) 1 140 b) 120 c) 1300d) 180 e) 1200

# O b r e r o s # d a s o b r a r p i d e z d i f i c u l t a d

I . P I . P

D . P


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6. 4 huevos de gallinas cuestan 9soles y 5 huevos de pata cuestan11 soles. Encontrar la raznentre el precio de un huevo degallina y un huevo de pata.

a) 1: 1,5 b) 45.44 c) 1:4d) 44:45 e) 1,5:1

7. Un caballo atado a una cuerda de2m de longitud puede comer todo elpasto que esta a su alrededor en 5hr. Encuantas horas comer el pasto que esta asu alcance si la longitud de la cuerdafuera 3 veces mayor.

a) 75 h b) 80 hc) 85 h.d) 90h e) 95 h

8. 20 operarios pueden producir 240zapatos en 18 das. Cuantos operariospueden producir 80 pares de zapatos en24 das.

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

9. Un Albail ha construido un muroen 16 das. Si hubiera trabajado 4 horasmenos habra empleado 8 das ms parahacer el muro Cuntas horas hubieratrabajado por da?

a) 6h b) 12h c) 10hd) 8h e) 16h

10. Si 4 hombres y 5 mujereshacen un trabajo en 54 das

En cuantos das realizaran elmismo trabajo 5 hombres y 6mujeres. Sabiendo que eltrabajo de una mujer son los2/3 del trabajo de unhombre?

a) 66 b) 67 c) 48d) 44 e) 49

11. Una fuente que da 120 lt.

Cada 6 minutos llena 1tanque de agua en 4h 30Qu tiempo tardar en llenar

el tanque conjuntamente conotra fuente que da 20 litroscada 75 segundos?

a) 3h b) 2.5h c) 3.5h

d) 2h e) 4h

12. Si 36 obreros cavan 120m de 1zanja diaria. Cul ser el avancediario cuando se ausenten 9obreros?

a) 70m b) 60m c) 80md) 90m e) 100m

13. Si 60 obreros trabajando 8h/d

construyen 320 m de 1 obra en20 das. En cuantos das 50obreros trabajando 6 horasdiarias harn 300m de la mismaobra.

a) 40 das b) 30 das c)35 dasd) 28 das e) 36 das

14. Se ha calculado que 750m deuna zanja pueden ser excavadosen 10 das. Si 7 obreros hicieron350m y posteriormente con 5ayudantes concluyen la obra enel plazo fijado los das trabajadospor los ayudantes son:

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

15. Una cuadrilla de 12 obrerospueden cavar un techo en 8horas. Qu tiempo tardaran 15obreros en elevar el mismotecho?

a) 6,5 hr b) 6,3 hr c) 6,9 hrd) 6,4 hr e) 6,2 hr

16. Un ingeniero puede construir600m de carretera con 40hombres en 50 das trabajado8h/d Cuntos das tardara esteingeniero den construir 800m, decarretera con 50 obreros


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doblemente eficiente que losanteriores en un terreno de tripledificultad trabajando 2hr ms porda?

a) 80 das b) 65 das c)74 dasd) 64 das e) 22 das

17. Se ha estimado que 45 obrerospueden construir una obra en 36das. Pasado 12 das, seaccidentaron 6 de ellos y nopudieron continuar laborando 8das ms tarde se tuvo quecontratar otros obreros y si

entregan la obra en la fechaestablecida. Cuntos obreros secontrataran sabiendo que son dela misma eficiencia que losaccidentados?

a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10

18. Una cuadrilla de obreros puedehacer una obra en 18 das. En losprimeros 10 das trabajo

solamente la mitad de la cuadrillapara terminar la obra trabajan 13obreros durante 24 das Cuntosobreros construyen la cuadrilla?

a) 18 b) 20 c) 24d) 25 e) 21

19. Una bomba puede llenar untanque en 10h 25 cuando se hallenado la quinta parte del tanquese malogra la bomba y reduce surendimiento en 1/3 de su valor.En que tiempo total se llen eltanque?

a) 12 h 30min b) 12h 05 minc) 11h 45min d) 11H 30 mine) 14 h 35 min

20. Un grupo de obreros en nmerode 30 se comprometi hacer una

obra en 40 das trabajando 8h/d.Despus de hacer de la obrase acord que la obra quedar

terminada 10 das antes del plazoestipulado y as se hizo. Concuntos obreros debernreforzarse si ahora todostrabajada 10h/d.

a) 36 b) 14 c) 18d) 6 e) 10

21. La hierba crece en todo el pradocon igual rapidez y espesura. Sesabe que 70 vacas se la comieranen 24 das, 30 vacas en 60 dasCuntas vacas se comieron todala hierba en 96 das?

a) 24 b) 20 c) 25

d) 28 e) 32

REGLA DE TANTO POR CIENTO

DefinicinSe llama porcentaje o tanto por cientoa una determinada cantidad conrelacin a 100 unidad.La regla del tanto por ciento es unaaplicacin de la regla de 3 simpledirecta.

NOTACINRepresentar a por ciento N

a por ciento de N a % de N

a por ciento de N a100

1de N

a por ciento de N N.100

a

Obs: Ntese que para efecto desolucin el % es un operadormatemtico que significa POR1/100%.

100

1% =

Ejm: Hallar el 20% de 450

20% de 450 = 90450.100

20=


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REPRESENTACIN GENERAL DEUNA OPERACIN DE TANTO PORCIENTO

Si: P es el a por ciento N

Representacin: P = a% N

(Parte o porcentaje) Tanto por cientoTotal

CONSIDERACIONES

a) 8% significan que de cada 100unidades se consideran 8.

b) Una cantidad total representa el1005

N = 100% N

EJEMPLO PRACTICO:

1. Cual es el 5% de 700

P = 5%.70100

5700 P = 25

2. Hallar el 125% de 80

P = 125%. 80 =100

12580 P =

1003. Que tanto por ciento de 3000

representan 45.

45 =100

a3000 a = 1,5

4. 920 es el 20% de que cantidad

920 =100

20.N N = 4600

PORCENTAJE A LO MAS Y A LOMENOS

30% ms del 205 menos de 1 ciertonmero.

30% ms 130%20% menos 80%

APLICACIONES COMERCIALESPv: Precio de Venta

PL: Precio Marcado o de lista

Pc: Precio de Costo

G: Gasto

P : Perdida

GB: Ganancia BrutaGN: Ganancia Neta

1) Pv = Pc + G 3) Pv=Pc+Gasto+G2) Pv = Pc P 4) Pfijado -D = P.V.5) GN = GB -G

TANTO POR CIENTOEn la regla de porcentaje consideramosrespeto a 100 pero si refiere a otronmero cualquiera se tiene la regla del

tanto por ciento.Hallar el 3 por 4 de 200

Resolucin: x 200 = 150

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Calcular EL 30% de 8000

a) 3600 b) 4800 c) 2400d) 1200 e) 2600

2. Hallar el 10% de 90% del 50% de200.

a) 3 b) 6 c)12 d) 9 e)10

3. El 60% de que nmero es 42

a) 50 b) 60 c) 40 d) 30 e) 70

4. Que porcentaje de 400 es 320

a) 60% b) 80% c) 105%

d) 50% e) 90%


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UNMSM ARITMTICA

DEFINICINSe llama inters rdito, a la suma oganancia que produce un capitalprestado, durante tiempo y segn unatasa fijada (en porcentaje).

CLASES:El inters puede ser simple o compuestose llama simple cuando los intereses seretiran permaneciendo el capital

constante durante todo el tiempo delprstamo. El inters se llama compuesto,cuando los intereses no se retiran; sinose van acumulando al capital primitivoformando nuevos capitales, se diceentonces, que los intereses se capitalizan.

TASA: (Expresada en %)El inters (ganancia) que se obtiene por

cada 100 unidades de capital.

FORMULA PARA CALCULAR ELINTERES SIMPLESabiendo que un capital de S/.100prestado durante 1 ao produce uncapital C al cabo de t aos.

Causa Circunstancia efectoCapital Tiempo Inters

100 l r

c t l

100.l.i = C. t.r.

I =100

.r.t.C

Notacin:l : Inters t: tiempo

C: Capital r: Tasa %

Observaciones:1. La formula para calcular el inters

no es esttica, el denominadorvara de acuerdo a como estaexpresado el tiempo. Si elprstamo es en:

DenominadorAos 100Meses 1200Das 36000

* En el comercio se considera que elao contiene 12 meses de 30 dascada uno.1 mes = 30 das1 ao = 360 das

2. La tasa (r) porcentual queintervienen en la formula debe seranual. Si estuviese en otro perodode tiempo se debe considera unatasa anual equivalente.

% Semestral x 2 = r Anual% Trimestral x 4 = r Anual% Bimestral x 6 = r Anual% Semanal x 52 = r Anual

3. El monto representa la suma delcapital ms el inters.

M = C +IM = C +

100

t.r.C

M = C

+ 100t.r

1


INTERES SIMPLEDESCUENTO


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UNMSM ARITMTICA

CALCULO DEL INTERES ENFUNCION DEL MONTO

Si M = C + I

Como I-.r.t

1001C

100

r.t.C=

M = C + I = I +txr

I100

Despejando:

I =.r.t100

.r.t.M+

DESCUENTOExisten dos tipos de descuento:

a. Descuento Comercial Bancario (DC)b. Descuento Racional Matemtico(DR)

Trminos utilizados

Valor Nominal.Es el valor impreso en el (Vn)documento (Letra, cheque, pagar)

Valor Actual.Es el valor tasado en el momento (VA)de realizar la transaccin comercial.

RELACIONES BSICA

VA = Vn - DC Dc = 100

.r.t.Vn

DR =t.r100

t.r.Vn

+Vn =

rC

RC

DD

D.D

PROBLEMAS

1. Calcular el inters producidopor S/. 2000 impuesto al 20%

durante 5 aos.

a) 500 b) 1000 c) 2000

d) 1500 e) 25002. Determinar el inters generado al

depositar S/. 1200 al 10% trimestraldurante 6 meses.

a) S/.120 b)S/.150 c)S/. 180d) S/. 210 e) S/. 240

3. Cul es el capital que se coloca al30% durante 2 aos para obtener uninters de S/. 120

a) S/.180 b) S/.200 c) S/. 210d) S/.250 e) S/.400

4. A que tasa de inters la suma de S/.20000 llegara a un monto de 21200

colocada a inters simple en 9meses?

a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9%

5. Un capital estuvo impuesto al 9% deinters anual y despus de 4 aos seobtuvo un monto de S/. 10200.Cul es el valor del capital?

a) S/. 6528 b) S/. 12000c) S/. 13872 d) S/. 9260

e) S/. 7500

6. Cul es la suma que al 5% deinters simple anual se convierte en3 aos en S/. 31747?

a) S/.2760 b) S/.2116 c) S/.1055d) S/.1380 e) S/.2670

7. Si 10000 soles se dividen en 2partes, de tal modo que al serimpuestos una de las partes al 42%y la otra al 54% anual producenigual inters. Hallar la parteimpuesta al 42%.

a) S/. 6250 b) S/.5000 c) S/.4375d) S/.3475 e) S/.5625

8. Los 2/5 de un capital han sidoimpuesto al 30%, 1/3 al 35% y elresto al 40%. El inters total es de41200 soles anuales. Calcular elcapital.



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UNMSM ARITMTICAa) S/. 75000 b) S/. 90000c) S/. 62000 d) S/.120000e) S/. 15000

9. Calcular el inters producido por uncapital de s/. 40000 durante 4 aosal 60% anual.

a) 98000 b) 96000 c) 48000d) 72000 e) 54000

10. Calcular el inters producido por uncapital de S/. 60000 impuestodurante 30 meses al 40% anual.

a) 40000 b) 60000 c) 50000d) 70000 e) 30000

11. Calcular el inters que produce uncapital de S/. 3000 impuesto al 1,5mensual durante 1 ao 3 meses.

a) 765 b) 635 c) 965 d) 975 e) 87512. Un capital de 2100 soles impuesto al

6% anual ha dado un monto deS/. 2400. Calcular el tiempo.

a) 2 aos 5 meses 15 das, 2 hr

b) 2 aos 4 meses 17 das 3 3/7 hr c) 3aos 2 meses 17 das 2 1/2 hrd) 2 aos 4 meses 27 das 2 1/7 hre) 2 aos 4 meses 19 das 3 hr

13. Se han colocado las 2/7 partes de uncapital al 6% y las 3/5 al 10% y elresto al 9%. Si se obtiene una rentade S. 12000 Calcular el capital?

a) 137 254.90 b) 137854.90c) 147 254.80 d) 133250.70

e) 137454.60

14. Se han colocado a inters simple 2/3de un capital al 5% y del otro tercioal 4.5%, se han retirado al cabo deun ao S/. 15725 entre capital einters. Hallar el capital.

a) 13000 b) 14000c) 15000 d) 17000 e) 19000

15. Un capital colocado durante 2 aos ymedio entre capital e inters es de

2728 nuevos soles, el inters ha sido1/10 del capital. Calcular la tasa.

a) 3% b) 4% c) 5% d) 3.5% e) 6%16. Se deposito un capital al 8%

mensual de inters. Al cabo de quetiempo se debe retirar el capital msel inters para que la sumadepositada represente el 75% de loque se retira.

a) 110 b) 125 c) 130d) 140 e) 150

17. Una persona presta dinero cobrandoun inters diario D.P. al nmero de

das transcurrido, al cabo de 14 dasse le paga entre lo prestado einters 4 veces la suma prestadaCunto tiempo desde el primer dadebe transcurrir para que el intersde un solo da sea igual al dineroprestado?

a) 21 b) 24 c) 28 d) 32 e) 5

18. Hallar el monto que produce un

capital de 10800 soles al sercolocado al 5% durante 2 aos, 3meses, 20 das.

a) 11220 b) 12045 c) 1245d) 11145 e) 13045

19. Durante cuanto tiempo estuvodepositada un capital al 12% anualsi el inters producido alcanza el60% del capital.

a) 2 aos b) 4 aosc) 3 aos d) 5 aos e) 6 aos

20. Un capital aumenta la mitad de suvalor al cabo de cierto tiempo. Cuales este, sabiendo que expresado enaos es igual a la mitad del tantopor ciento al cual se impuso elcapital.

a) 4 aos b) 5 aos c) 3 aos

d) 1 ao e) 6 aos



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