Probabil idades

Vamos a estudiar los conceptos de:

Sucesos excluyentes

Sucesos independientes

Empecemos por sucesos excluyentes o mutuamente excluyentes

Sucesos mutuamente excluyentes

Excluir significa “dejar fuera”, de manera que dos sucesos serán excluyentes o mutuamente excluyentes si ellos no tienen elementos comunes (es decir uno excluye al otro)

Observe cuidadosamente la siguiente urna

Esta urna tiene bolitas rojas, bolitas azules y bolitas verdes.

Supongamos que se elige una bolita al azar, entonces hay tres tipos de sucesos que son de interés

Sucesos mutuamente excluyentes

El suceso “que la bolita sea azul” que lo denotamos por la letra A

El suceso “que la bolita sea roja” que lo denotamos por la letra R

El suceso “que la bolita sea verde” que lo denotamos por la letra V

Observe que ninguno de estos sucesos tienen elementos comunes, de manera que entre ellos son mutuamente excluyentes.

Podemos calcular la probabilidad de obtener una bolita azul, esto es

5Pr( )

12A =

Sucesos mutuamente excluyentes

De igual forma podemos calcular la probabilidad de sacar una bolita roja, esto es 4

Pr( )12

R =

Y la probabilidad de obtener una bolita verde, que es

3Pr( )

12V =

Ahora bien, nos preguntamos ¿cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja o una bolita azul?

Sucesos mutuamente excluyentes

Es decir, estamos preguntando ¿con que probabilidad puede ocurrir el suceso R (sacar bolita roja) o A (sacar bolita azul)?

4 5 9Pr( ) Pr( ) Pr( )

12 12 12R o A R A= + = + =

Es decir, cuando los sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia de uno de ellos es simplemente la suma de cada una de las probabilidades

Sucesos mutuamente excluyentes

¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja o una bola verde?

Los sucesos bola roja, R, y bola verde, V, son mutuamente excluyentes, de modo que la probabilidad de que ocurra uno de ellos es

4 3 7Pr( ) Pr( ) Pr( )

12 12 12R o V R V= + = + =

Veamos ahora el concepto de sucesos independientes...

Nos vamos a apoyar en la urna anterior con las bolitas de color roja, azul y verde

Pero ahora sacaremos dos bolitas, una tras otra y con reposición.

Esto significa que sacamos la primera bolita, anotamos su color, y la regresamos a la urna, y luego hacemos la segunda extracción.Definamos el suceso “la primera bolita extraída fue de color azul, que llamaremos suceso A1; y definamos el suceso “la segunda bolita extraída fue de color azul”, que llamaremos A2.

Sucesos independientes

Queremos calcular la probabilidad del siguiente suceso “la primera bolita sea azul y la segunda bolita también sea azul”.

En términos de nuestra notación de sucesos, queremos calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A1 y que ocurra el suceso A2.

Mire cuidadosamente los siguiente cuadritos, el primer cuadro denotará las formas de obtener una bola cualquiera y el segundo cuadro las formas de obtener una bola cualquiera de la segunda extracción

12 12 = 144 formas diferentes

Sucesos independientes

Ahora vamos a calcular las formas diferentes de obtener una bola azul en la primera extracción y una bola azul en la segunda extracción:

5 5 = 25 formas diferentes

Luego la probabilidad de obtener dos bolitas azules de dos extracciones con reposición (con reemplazo) es

25

144

Sucesos independientes

Por otro lado, la probabilidad de que en la primera extracción la bolita sea azul, esto es

5Pr( 1)

12A =

Una vez repuesta la bolita, la probabilidad de sacar en la segunda extracción una bolita azul, esto es

5Pr( 2)

12A =

Sucesos independientes

De manera que podemos ver que la probabilidad de obtener A1 y A2, es igual al producto de la probabilidad de A1 por la probabilidad de A2, esto es

Pr( 1 2) Pr( 1) Pr( 2)A y A A A=

Y cuando esto ocurre, se dice que los sucesos A1 y A2 son independientes.

De otra forma A y B dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno en nada altera la ocurrencia del otro.

Sucesos independientes

Con la misma urna, nuevamente sacaremos dos bolitas, pero esta vez lo haremos sin reposición (sin reemplazo).

Esto significa que una vez que hagamos la primera extracción, la bolita no es devuelta a la urna, o sea que en la segunda extracción tendremos una bolita menos.

Sea el suceso “la primera bolita es azul”, que denotaremos por A1

Sea el suceso “la segunda bolita es roja”, que denotaremos por R2

Queremos calcular la probabilidad de que la primera bolita sea azul y la segunda bolita sea roja, ¿cómo la calculamos?

Sucesos independientes

Como antes, utilicemos nuestros cuadraditos para saber todos los posibles resultados de estas dos extracciones sin reposición

12 11 = 132 formas diferentes

Luego, vamos a ver nuestros resultados para que la primera sea azul, y la segunda sea roja (sin reemplazo)

5 4 = 20

Luego la probabilidad de A1 y R2 es20

132

(una bolita menos, la que no fue reemplazada)

Sucesos independientes

Con el ejemplo anterior queremos decir que cualquier suceso que dependa de la primera extracción afectará a cualquier otro suceso que dependa de la segunda extracción, y por lo tanto ellos no serán independientes (se dice que son dependientes)

A modo de ejemplo, calcular la probabilidad de que (siempre sin reemplazo) en la primera extracción salga bolita verde (V1) y en la segunda extracción salga bolita verde (V2)

3 2 6

12 11 132⋅ =