Using formula of derivative for quotients
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Fórmulas de derivación G. Edgar Mata Ortiz
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Explicación detallada para la aplicación de la fórmula de derivación de un cociente.
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𝝏𝒚
𝝏𝒙
Fórmulas de derivación
G. Edgar Mata Ortiz
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Fórmula para el cociente de dos funciones
Esta fórmula se emplea cuando la expresión que se va a derivar es un cociente cuya obtención sería muy laboriosa o incluso imposible.
En lugar de efectuar la división indicada, se aplica la fórmula:
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Fórmula para el cociente de dos funciones
La fórmula se lee:
La derivada de 𝒖 entre 𝒗 es igual a:
𝒗 por la derivada de 𝒖menos
𝒖 por la derivada de 𝒗 entre
El denominador al cuadrado 𝒗𝟐
Se emplean colores para identificar las dos funciones y sus derivadas
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Derivar
𝑦 =𝒙
(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟑
La fórmula es:
Es necesario identificar claramente cuál de las funciones se identificará como 𝒖 y cuál como 𝒗
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Derivar
𝑦 =𝒙
(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟑
𝑢 = 𝒙𝑑𝑢
𝑑𝑥= 𝟏
𝑣 = 𝑥2 − 𝟏 𝟑
𝑑𝑣
𝑑𝑥= 𝟑 𝑥2 − 𝟏 𝟐 𝟐𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥= 𝟔𝑥 𝑥2 − 𝟏 𝟐
La función 𝒖 y
su derivada se
identifican con
color rojo.
La función 𝒗 y
su derivada se
identifican con
color azul
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Las funciones y sus derivadas se sustituyen en la fórmula.
𝑦 =𝒙
(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟑
𝑣 = 𝑥2 − 𝟏 𝟑 𝑑𝑢
𝑑𝑥= 𝟏 𝑢 = 𝒙
𝑑𝑣
𝑑𝑥= 𝟔𝑥 𝑥2 − 𝟏 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝟏 − 𝒙 𝟔𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟑 𝟐
𝑣 = 𝑥2 − 𝟏 𝟑 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Se efectúan las operaciones indicadas (multiplicaciones y potencia).
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝟏 − 𝒙 𝟔𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟑 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝒙𝟐 − 𝟏𝟑− 𝟔𝒙𝟐(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Se efectúan las operaciones indicadas (multiplicaciones y potencia).
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝒙𝟐 − 𝟏𝟑− 𝟔𝒙𝟐(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
Se observa que puede tomarse factor común en el numerador.
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝒙𝟐 − 𝟏𝟑− 𝟔𝒙𝟐(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Se obtiene factor común.
𝑦 =𝒙
(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟑
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝟏 − 𝒙 𝟔𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟑 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝒙𝟐 − 𝟏𝟑− 𝟔𝒙𝟐(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
𝒅𝒚
𝒅𝒙=(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟏)𝟏−𝟔𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
El paréntesis rectangular se emplea solamente para visualizar, con
mayor claridad, los factores que quedan después de extraer el
factor común.
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Se efectúan las operaciones dentro del paréntesis rectangular.
𝑦 =𝒙
(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟑
𝒅𝒚
𝒅𝒙=(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟏)𝟏−𝟔𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
𝒅𝒚
𝒅𝒙=(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝟔𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
La expresión algebraica dentro del paréntesis rectangular se
puede simplificar reduciendo términos semejantes.
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Operaciones.
𝑦 =𝒙
(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟑
𝒅𝒚
𝒅𝒙=(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟏)𝟏−𝟔𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
𝒅𝒚
𝒅𝒙=(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝟔𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
𝒅𝒚
𝒅𝒙=(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 −𝟏 − 𝟓𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
Se puede simplificar el numerador y el denominador.
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Operaciones.
𝑦 =𝒙
(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟑
𝒅𝒚
𝒅𝒙=(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟏)𝟏−𝟔𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
𝒅𝒚
𝒅𝒙=(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝟔𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
𝒅𝒚
𝒅𝒙=(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 −𝟏 − 𝟓𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
Se puede simplificar el numerador y el denominador.
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Operaciones.
𝑦 =𝒙
(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟑
𝒅𝒚
𝒅𝒙=(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟏)𝟏−𝟔𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
𝒅𝒚
𝒅𝒙=(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 −𝟏 − 𝟓𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 𝟔
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
−𝟏−𝟓𝒙𝟐
𝒙𝟐−𝟏𝟒
Este último es el resultado.
𝒅
𝒅𝒙
𝒖
𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙
− 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙
𝒗𝟐
𝝏𝒚
𝝏𝒙
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