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Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica
Procesamiento Digital de Señales
(TC61)(TC61)
Sesión: 5 y 6
Ing. José C. Benítez P.
Sistemas LIT
Sesión 5 y 6. Temas
Sistemas LIT
�Sistemas
�Ecuación de recurrencia
�REE
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 2
�RMU
�Sistemas Lineales e Invariantes al tiempo (LIT).
�Otras propiedades de los sistemas
�Conexión de sistemas LIT.
�Ecuaciones en Diferencia Lineales.
Sistemas
�Un sistema (también llamado procesador de señal) es cualquier proceso que genera una señal de salida como respuesta a una señal de entrada.
x ySISTEMA
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 3
�Esto puede extenderse a múltiples entradas y salidas.
x1, x2, … xnSISTEMA
y1, y2, … yn
Sistemas
� En función de la distribución temporal de las señales que procesa existen dos tipos de sistemas:
� Sistemas continuos: procesan señales en tiempo continuo.
x(t) y(t)SISTEMA
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 4
� Sistemas discretos: procesan señales en tiempo discreto.
SISTEMA
x[n] y[n]SISTEMA
Sistemas
�Nos centraremos en los segundos por lo que, en adelante, cuando se hable de sistema nos referiremos a sistemas en tiempo discreto.
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 5
x[n] y[n]SISTEMAh[n]
Sistemas
� El flujo de señal a través de un sistema puede representarse de dos formas. Suponiendo que la señal de entrada es x[n] y la de salida es y[n] podemos decir que:
� x[n] produce y[n]: lo que denotaremos como
x[n] → y[n]
� y[n] es la respuesta ante x[n]: lo que denotaremos como
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 6
� y[n] es la respuesta ante x[n]: lo que denotaremos como
y[n] = T{x[n]}
� Ambas representaciones son equivalentes.
x[n] y[n]SISTEMA
Ecuación de recurrencia
� Modelo de un sistema: Es una representación matemática de su comportamiento; y se representa mediante su ecuación de recurrencia, que determina cómo se calcula su salida.
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 7
su salida.
� Este cálculo puede realizarse, en principio, a partir de cualquier otra muestra; ya sea ésta de entrada o de salida, o bien, previa, actual o posterior.
Ecuación de recurrencia
� Sistema recursivo: y[n] depende de sí misma:
y[n] = x[n] + 3y[n - 1]
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 8
� Sistema no recursivo: y[n] depende sólo de x[n]:
y[n] = 2x[n] - x[n - 1]
Respuesta de estado estable (REE)
� La respuesta de estado estable de un sistema se define como su respuesta ante una determinada señal una vez superados los efectos transitorios producidos por la activación repentina de la entrada:
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 9
� Ejemplo: promediador móvil de 5 términos.
Respuesta a la muestra unitaria (RMU)
� La respuesta a la muestra unitaria (también llamada respuesta al impulso o respuesta impulsional) es la respuesta del sistema ante la secuencia muestra unitaria o secuencia delta:
h[n] = T{δ[n]}
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 10
� La RMU de un determinado sistema caracteriza inequívocamente su comportamiento ante cualquier entrada, por lo que constituye un modelo del mismo.
δ[n] h[n]SISTEMA
x[n] y[n]SISTEMAh[n]
Respuesta a la muestra unitaria (RMU)
� La respuesta a la muestra unitaria es una secuencia y, como tal, puede ser finita o infinita:
� Sistemas FIR (finite impulse response), cuya respuesta a la muestra unitaria es
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 11
cuya respuesta a la muestra unitaria es finita.
� Sistemas IIR (infinite impulse response), cuya respuesta a la muestra unitaria es infinita.
RMU
� ¿Un sistema recursivo es siempre de tipo IIR?. No siempre?
y[n] = x[n] - 0,25x[n - 2] + 0,5y[n - 1]
h[n] = d[n] - 0,25d[n - 2] + 0,5h[n - 1]h[0] = d[0] - 0,25d[-2] + 0,5h[-1] = 1h[1] = d[1] - 0,25d[-1] + 0,5h[0] = 0,5
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 12
h[1] = d[1] - 0,25d[-1] + 0,5h[0] = 0,5h[2] = d[2] - 0,25d[0] + 0,5h[1] = 0h[3] = d[3] - 0,25d[1] + 0,5h[2] = 0h[4] = d[4] - 0,25d[2] + 0,5h[3] = 0...
� ¿Un sistema recursivo es siempre de tipo FIR?. No siempre?
y[n] = x[n] – 2 x[n - 3] + 2 y[n - 2]
Graficar las respuestas de los sistemas recursivos dados.
Sistemas LIT
Lineal ���� Principio de superposición
Principio de superposición ����
- Homogéneo(escalado)
- Aditivo
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 13
� Un sistema es lineal si cumple el principio de superposición (si cumple la homogeneidad y la aditividad)
- Aditivo(no interacción)
Sistemas LIT
� Un sistema cumple la propiedad de homogeneidad(también llamada de escalado) si un cambio de amplitud en la entrada produce el mismo cambio de amplitud en la salida:
T{Ka[n]} = KT{a[n]
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 14
� Un sistema cumple la propiedad de aditividad si dos señales sumadas lo atraviesan sin interactuar entre ellas:
T{a[n] + b[n]} = T{a[n]} + T{b[n]}
� Así, si un sistema es homogéneo y aditivo cumple el principio de superposición; el cual puede formularse como:
T{Ka[n] + Lb[n]} = KT{a[n]} + LT{b[n]}
Sistemas LIT
� Un sistema es invariante con el tiempo si un desplazamiento en la señal de entrada produce otro desplazamiento igual en la señal de salida. Es decir, si se cumple que:
y[n] = T{x[n]} => T{x[n - k]} = y[n - k]
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 15
y[n] = T{x[n]} => T{x[n - k]} = y[n - k]
� Cuando un sistema cumple todas estas propiedades se dice que es lineal e invariante con el tiempo (LIT).
Sistemas LIT
� En los sistemas LIT, la respuesta ante cualquier entrada puede calcularse como la convolución de la señal de entrada y de su respuesta a la muestra unitaria.
� Esto se refleja en lo que se conoce como ecuación de convolución:
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 16
convolución:
y[n] = T{x[n]} = x[n] * h[n] = Σk=-∞,∞ x[k]h[n - k]
x[n] y[n]SISTEMAh[n]
y[n]=x[n] * h[n]
Otras propiedades de los sistemas
� Un sistema no tiene memoria si y sólo si la muestra de salida para cualquier valor de n depende exclusivamente de la muestra de entrada para ese valor.
� Un ejemplo de este tipo de sistemas sería el sistema amplificador en el que:
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 17
amplificador en el que:
y[n] = Gx[n], siendo G una constante
Otras propiedades de los sistemas
� Un sistema es causal si y sólo si cumple el principio de causalidad.
� Este principio dice que el efecto no puede preceder a la causa.
� En un sistema esto se traduce en que la muestra de
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� En un sistema esto se traduce en que la muestra de salida y[n] sólo puede calcularse a partir de las muestras anteriores.
� Formalmente, un sistema es causal si y sólo si su respuesta a la muestra unitaria lo es:
T{} es causal ↔ T{d[n]} = 0, n < 0
Otras propiedades de los sistemas
� Un sistema es estable si y sólo si cualquier secuencia acotada a su entrada produce otra secuencia a su salida también acotada.
� Esto es equivalente a decir que un sistema es estable si y sólo si su respuesta a la muestra
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estable si y sólo si su respuesta a la muestra unitaria es módulo sumable:
T{} es estable ↔ Σn=-∞,∞ |h[n]| < ∞
Conexión sistemas LIT
� Si dos sistemas LIT (definidos por h1[n] y
h1[n] h2[n]
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� Si dos sistemas LIT (definidos por h1[n] y h2[n]) se encuentran conectados en serie, la respuesta a la muestra unitaria del sistema, equivalente h3[n] es la convolución de h1[n] y h2[n]:
h3[n] = h1[n] * h2[n]
Conexión sistemas LIT
h1[n]
h2[n]
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 21
� Si dos sistemas LIT (definidos por h1[n] y h2[n]) se encuentran conectados en paralelo, la respuesta a la muestra unitaria del sistema, equivalente h3[n] es la suma de h1[n] y h2[n]:
h3[n] = h1[n] + h2[n]
Ecuación en diferencias lineal
� Una subclase importante de los sistemas LIT son aquellos sistemas en que la entrada y la salida satisfacen una ecuación en diferencias finitas.
� Para ser estrictos debemos hablar de una ecuación en diferencias lineal con coeficientes
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 22
ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes de la forma:
y[n] = Σk=0,Q b[k]x[n - k] - Σk=1,P a[k]y[n - k]
� Si se diseña un sistema cuya ecuación de recurrencia sea una ecuación de este tipo, ese sistema será: (a) lineal, y (b) invariante con el tiempo.
Ecuación en diferencias lineal
� Esta ecuación puede expresarse de forma equivalente:
Σk=0,P a[k]y[n - k] = Σk=0,Q b[k]x[n - k] (a[0] = 1)
� De manera simplificada, podemos expresar esta ecuación mediante operaciones de convolución:
b[n] * x[n] = a[n] * y[n]
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 23
b[n] * x[n] = a[n] * y[n]
Revisión
• En este capítulo se estudiaron diversas propiedades de los sistemas.
• Dos de ellas, la linealidad y la invarianza con el tiempo juegan un papel fundamental en el análisis de señales y sistemas, debido a que muchos fenómenos físicos se pueden modelar mediante sistemas LIT.
• Un problema fundamental en el análisis de sistemas es hallar la
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 24
• Un problema fundamental en el análisis de sistemas es hallar la respuesta a una entrada determinada.
• Esto se puede obtener mediante ecuaciones en diferencias o explotando el hecho de la linealidad e invarianza en el tiempo. De lo anterior surge el concepto de sumatoria de convolución.
• Un sistema LIT se puede formular mediante una ecuación en diferencias de coeficientes constantes, la cual presenta la forma general siguiente:
Revisión
• Resolver la ecuación en diferencias consiste en encontrar una expresión para y[n], es decir, generar la secuencia:
{y(0), y(1), y(2), ....,y(N),...}
• Antes de estudiar apropiadamente los métodos de solución de una ecuación en diferencias, presentaremos algunas propiedades importantes de los sistemas
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algunas propiedades importantes de los sistemas lineales invariantes.
Revisión
Propiedades de los sistemas LIT.
1 Superposición.
El principio de superposición establece que:
a) Si un sistema se excita con K veces una función, la respuesta es K veces la respuesta original.
b) Si el sistemas se excita con la suma de dos funciones, la
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b) Si el sistemas se excita con la suma de dos funciones, la respuesta es la suma de las respuestas individuales.
Entrada Salida x[n] y[n]
Kx[n] Ky[n] Kx1[n] + Kx2[n] Ky1[n] + Ky2[n]
Revisión
Propiedades de los sistemas LIT.
2 Desplazamiento.
Si la excitación de un sistema lineal invariante se traslada en el tiempo, entonces la respuesta se traslada en la misma cantidad:
Entrada Salida x[n-n0] y[n-n0]
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 27
0 0
3 Respuesta natural. Es la respuesta de un sistema cuando se excita con el impulso digital unitario. La denotamos por: h(n).
Revisión
Propiedades de los sistemas LIT.
4. Convolución. Cuando un sistema lineal invariante se excita con una señal cualquiera: x(n), la respuesta es la convolución entre la entrada y la respuesta natural, así:
y[n] = conv( x[n] , h[n] )
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 28
y[n] = conv( x[n] , h[n] )
La convolución de dos funciones de variable discreta: x[n] y h[n], se define de la siguiente manera:
Revisión
Propiedades de los sistemas LIT.
A continuación se presenta una deducción poco rigurosa de la sumatoria de convolución de dos funciones. Supongamos que la respuesta al impulso unitario es h[n], esto es:
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 29
Ahora aplicamos la importante propiedad de la función impulso:
Revisión
Ahora bien, si sumamos las entradas correspondientes a k desde menos infinito hasta infinito, tenemos:
Teniendo en cuenta que la entrada así expresada corresponde
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 30
Teniendo en cuenta que la entrada así expresada corresponde a la función: x[n], obtenemos finalmente que:
Entrada Salidax[n] y[n]=conv(x[n],h[n])
Revisión
Ejemplo 1. Encuentre la fórmula para expresar la siguiente suma:
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Restando las expresiones anteriores, tenemos:
Revision
Ejemplo 2. Encuentre una fórmula para la suma:
Hacemos uso de la fórmula encontrada previamente, teniendo en cuenta que la suma dada se puede escribir como:
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De lo anterior podemos concluir que si, la sumatoria llevada hasta el infinito es convergente y está dada por:
Revisión
Ejemplo 3.
Si la señal de entrada: x[n]= 3 δ(n-2) se aplica a un sistema lineal, causal e invariante con el tiempo la salida es:
para n >=2.
Encontrar la respuesta al impulso, h[n] del sistema.
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Solución:
Por definición, h[n] es la respuesta del sistema a la entrada δ[n]. Como el sistema es lineal e invariante con el tiempo, se tiene:
x[n+2] = 3 δ[n], o sea que δ[n] = 1/3 x[n+2]. Como la convolución de h[n] con δ[n] es por definición igual a h[n] , se tiene que h[n] = 1/3 y[n+2].
Revisión
La salida se puede expresar en la siguiente forma:
De forma que, h[n] = 1/3 y[n+2]:
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 34
Revisión
Ejemplo 4. Encuentre la convolución entre las funciones: a) h(n)= 2-n .u(n)) y x1(n)= u(n) .Represéntela gráficamente b) h(n)= 2-n .u(n)) y x2(n)= u(n) -u(n-5). Represéntela gráficamente
Solución:Hacemos la correspondientes asignaciones.
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 35
Hacemos la correspondientes asignaciones.
Podemos calcular las convoluciones de manera simbólica, asi:
Revisión
Puede notarse que u(n - k)=1 para K = 0,1,2,....n con lo que podemos escribir;
Simplificando y denotando la convolución por y1(n), se obtiene y1[n]=
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 36
Simplificando y denotando la convolución por y1(n), se obtiene y1[n]= 2(1-2-(n+1))u(n).
Para el caso b), se obtiene: x2[n]= u(n)-u(n-5).
Por tanto, usando la propiedad de traslación y el resultado anterior, tenemos:y2[n]= y1[n]-y1[n-5].y2[n]= 2(1-2
-(n+1))u(n)- 2(1-2-(n-5+1))u(n-5).
Simplificado, se encuentra que: y2[n]= 2(1-2-(n+1))u(n)- 2(1-24-n)u(n-5).
Revisión
Si se hacen las correspondientes asignaciones, se tiene que:y1[n]= 2(1-2
-(n+1))u(n).y2[n]= 2(1-2
-(n+1))u(n)-2(1-24-n)u(n-5).
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Revisión
Ejemplo 5. En un sistema lineal e invariante con el tiempo, determine y(n) sabiendo que:
Solución.
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 38
Revisión
Se sabe que u(m) u( n-m) =1 para y 0 para otra asignación.
Se sabe que u(m-7) u(n-m) = 1 para y 0 para otra asignación.
Por tanto
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 39
Cuando la excitación es u[n-5], la respuesta será y[n-5]. Por tanto, para la excitación dada, la respuesta es:
Revisión
Ejercicios1. Sean
calcule las siguientes convoluciones: a) x [n]* h[n] b) x [n]* h[n-2] c) x[n-2]* h[n]
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 40
2. Considere una entrada y una respuesta al impulso unitario dado por:
determine y dibuje la salida y[n] .
3. Calcule y dibuje y[n] = x[n] * h[n] donde
Revisión
4. Sea:
es un entero.Determine y[n] = x[n] * h[n] si y[4] = 5 y y[14] = 0
5. Un sistema lineal invariante con el tiempo se excita con el impulso digital unitario y su respuesta es:Determine y[k] sabiendo que
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 41
Determine y[k] sabiendo que x[k]= u(k)-u(k-4). Represente x[k] y
6. Un sistema lineal S tiene la relación :donde g[n]=u(n)-u(n-4). Determine y[n] cuando:
Revisión
7. Considere el sistema discreto cuya respuesta al impulso es:
Determinar el entero A tal que:
8. En el sistema lineal invariante cuyas respuestas al impulso son:
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 42
respuestas al impulso son:
¿Cuales corresponden a sistemas causales y cuales a sistemas estables?
Tarea 4
1. Realizar los mapas semántico y/o mapas conceptuales de
todo el contenido de la Diapositiva de la Sesión 7 y 8. DFT y FFT.
2. Adjuntar fuentes que le han ayudado a consolidar la tarea.
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 43
Presentación:
• Impreso y en USB el desarrollo de la tarea.
• Los mapas semánticos se deben hacer en PowerPoint y los mapas
conceptuales en CMapTools.
• En USB adjuntar las fuentes (05 PDFs, 05 PPTs y 01 Video.).
• La fuente debe provenir de una universidad.
Presentación
� Todas las fuentes deben presentarse en formato digital
(USB), dentro de una carpeta que lleve las iniciales del curso,
sus Apellidos, guion bajo y luego el numero de la Tarea.
Ejemplo:
PDS_BenitezPalacios_T4
44Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P.
PDS_BenitezPalacios_T4
� La fuente debe conservar el nombre original y agregar
_tema.
Las Tareas que no cumplan las indicaciones
no serán recepcionados por el profesor.