.

Bloc II: Tècnic

2%02%3%.4!#)s $ͻ/"*%#4%3

2

Pag

Triangles i Quadrilàters 10 Proporcions i escales

17

Simetria

22

Formes modulars

23

Polígons

25

Sistemes de Representació 34

Sumari

10

El triangle: Figura plana, tancada i limitada per tres costats. Els seus angles sumen 180º. Es classifiquen segons com siguin els costats o els angles. Classificació segons els costats

Equilàter: 3 costats iguals

Isòsceles: 2 costats iguals

Escalè Cap costat igual

Classificació segons els angles

Equiangle: 3 angles iguals

Obtusangle Té 1 angle obtús

Rectangle 1 angle recte

Acutangle 3 angles aguts

TRIA7GLES I QUADRILÀTERS

11

Punts i rectes notables del triangle

La recta d’Euler és la que uneix l’Ortocentre, el Baricentre i el Circumcentre.

MEDIATRIUS: Rectes perpendiculars als costats que passen pel seu punt mitjà. CIRCUMCENTRE: Punt on es tallen les mediatrius. És el centre de la circumferència circumscrita.

BISECTRIUS: Rectes que divideix els angles interiors d’un triangle en 2 d’iguals. INCENTRE: Punt on es tallen les bisectrius. És el centre de la circumferència inscrita.

ALTURES: Rectes perpendiculars a un costat traçades des del vèrtex oposat. ORTOCENTRE: Punt on es tallen les altures

MITJANES: Rectes que uneixen el vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat. BARICENTRE: Punt on es tallen les mitjanes

12

Construcció de triangles Coneguts tres costats

• Es pren com a base AB= c • Amb centre A es traça un arc de radi el costat b, i amb centre a B un

altre arc de radi a. • La intersecció dels dos arcs és el vèrtex C

Triangle isòsceles coneguda la base i l’altura

• Es dibuixa AB=a, es traça la seva mediatriu i s’obté el punt mitjà M. • A partir de M i sobre la mediatriu, es transporta la mesura h

corresponent a l’altura de manera que s’obté el tercer vèrtex C

13

Triangle rectangle coneguda la hipotenusa

• Es dibuixa el segment AB=c i es traça una perpendicular per l’extrem A.

• Amb centre a B i radi a es traça un arc que talla la perpendicular anterior a C. Unint A, B i C s’obté el triangle.

Exercicis Practica la construcció de triangles a partir d’aquests dos exercicis i seguint les pautes:

1. Coneguts 2 costats i un angle. (L’angle conegut ha de ser inferior a 180º)

• Es trasllada l’angle sobre una recta. • A partir dels vèrtex es col·loquen els costats. • S’uneixen els extrems

14

2. Coneguts 2 angles i un costat. (La suma dels dos angles coneguts ha de ser inferior a 180º).

• Es traça una recta i es col·loca la mida del costat. • Es traslladen els angles sobre els costats • Es prolonguen els costats fins que es toquen.

3. Copia dos dels triangles que tens a continuació i pinta’ls.

15

Els quadrilàters. Figura plana, tancada i limitada per 4 costats. Els seus angles sumen 360º. Es classifiquen en Paral·lelograms ,Trapezis, i Trapezoides.

Paral·lelograms

Tenen els costats oposats paral·leles dos a dos.

Quadrat

Rectangle Rombe Romboide

Diagonals iguals i perpendiculars. Costats iguals

Diagonals iguals no perpendiculars. Costats iguals dos a dos

Diagonals diferents i perpendiculars. Costats iguals.

Diagonals diferents i no perpendiculars. Costats iguals dos a dos

Trapezis

Només tenen dos costats oposats paral·lels. Base.

La seva altura és la distància entre tots dos.

Rectangle

Isòsceles Escalè

Costats no paral·lels diferents. Dos angles de 90

Costats o paral·lels iguals. Angles iguals dos a dos

Costats no paral·lels diferents. Angles formant qualsevol angle.

16

Trapezoides

Nom que rep tot quadrilàter que no té els costats oposats paral·lels

http://www.edu365.cat/primaria/muds/matematiques/quadrilaters/index.ht

m En aquest enllaç hi trobaràs exercicis pràctics per entendre els quadrilàters.

Copia dos dels quadrats que tens a continuació i pinta’ls.

17

La proporció és la relació que mantenen entre si les parts d’un element i la relació d’aquet element amb el conjunt.

La proporció de les figures és un element que ha tingut molta importància

al llarg de la història de l’art. Cada època i cada estil artístic ha donat com a vàlids unes proporcions a l’hora de dibuixar les coses de la realitat.

A l’època Grega i Romana les proporcions eren motiu de discussions i tractats. En el Renaixement es varen donar les bases per a les proporcions en relació a la perspectiva. Actualment hi ha autors que basen el seu art en una distorsió de les proporcions com a característica de la seva obra.

L’home de Vitruvi Vitruvi va ser un arquitecte romà del segle I aC que va escriure un tractat d’arquitectura de gran influència. Leonardo da Vinci basant-se en la descripció que en aquest tractat es fa del cos humà va fer-ne aquest dibuix que s’ha convertit en un símbol de la mentalitat del Renaixement i que en molts aspectes encara és vàlida avui dia.

La proporció en el cos humà Al segle V aC. Policlet un famós escultor grec va estudiar les proporcions del cos humà i va considerar que la proporció perfecta era aquella en què l’alçada total del cos era igual a la mesura de 7 caps. Actualment encara es considera com a correcta aquesta proporció, tot i que en alguns dibuixos, principalment de dissenyadors de moda s’allarga molt més el cos.

PROPORCIO7S I ESCALES

18

TEOREMA DE TALES: Relaciona de manera proporcionada diferents segments de rectes que són travessades per un conjunt de rectes paral·leles. Volem dividir el segment AB en 8 parts iguals: 1-Traçem una recta per un dels extrems del segment en qualsevol direcció amb una distància igual o múltiple de 8.

2-Unim l’últim punt d’aquesta recta auxiliar amb l’altre extrem de la recta que és el punt B. 3.El segment que uneix els últims punts de les dues rectes defineix una direcció sobre la qual traçarem rectes paral·leles que passaran per les divisions de la recta auxiliar i dividiran al segment AB en 8 parts proporcionals. EXERCICI: Divideix una recta de 10 cm en 7 parts iguals.

19

Obtenció de figures semblants: Es considera que dues figures son semblants quan tenen una forma idèntica i una grandària diferent. En les figures geomètriques els angles han de ser iguals i els costats proporcionals. Per obtenir figures iguals de diferents tamanys hi ha diverses maneres:

• A partir d’un vèrtex • A partir d’un punt exterior: Homotecia • Per mitjà d’una quadrícula

HOMOTEICA És la relació de proporcionalitat que mantenen les figures que estan

relacionades respecte un punt comú d’homotecia. Volem realitzar una figura proporcional al triangle ABD però que sigui el

doble de gran.

1. Dibuixem el centre d’homotecia C en un punt qualsevol.

2. Unim el centre de l’homotecia amb tots els punts del triangle.

3. Mesurem la distància entre un vèrtex del triangle i el centre d’homotecia i doblem aquesta distància per tal d’obtenir A’

4. Fem rectes paral·leles respecte la figura inicial per construir el nou triangle.

20

A partir d’un vèrtex: Volem realitzar una figura el doble de gran que la donada:

1. S’uneix un vèrtex de la figura amb tota la resta per mitjà de rectes, fins que tota la figura quedi dividida en triangles.

2. Allarguem les rectes que hem traçat el doble de la mesura donada.

3. Unim els segments amb els punts obtinguts amb línies paral·leles a la figura original.

Per mitjà d’una quadrícula Aquest sistema s’utilitza per còpies de pintures o dibuixos artístics.

1. Tracem una quadrícula sobre el dibuix original.

2. Si volem obtenir un dibuix ampliat el doble dibuixarem una quadricula que sigui el doble de gran que la primera.

3. Copiarem el dibuix original.

21

ESCALES GRÀFIQUES: Les escales resolen el problema de representar objectes que son de mida

diferent al paper que disposem. L’escala es representa per mitjà del següent quocient: 1 1 cm del paper 100 100 cm de la realitat

Un dibuix fet a aquesta escala representa que cada cm del paper equival a

100 cm de l’objecte a la mida real. En aquest cas l’objecte és més gran que el paper on el representem.

Tipus d’escales

Natural

1/1 1cm paper 1 cm realitat

L’objecte és igual al dibuix que a la realitat

Ampliació

2/1 2 cm paper 1 cm realitat

L’objecte real és més petit que en el dibuix

Reducció

1/5 1 cm paper 5 cm realitat

L’objecte real és més gran que en el dibuix.

22

Les formes simètriques son les que tenen la mateixa forma i la mateixa mida però la seva posició està invertida en relació a l’eix de simetria. Son simètrics objectes com un gerro, o animals com la papallona, la tortuga o les petxines. Hi pot haver simetria entre dues formes completes que s’oposen respecte un eix o bé entre dues parts d’un mateix objecte. Simetria axial o bilateral: té un eix de simetria únic. Simetria central: els elements son simètrics respecte un punt. Simetria radial: té diferents eixos que passen per un punt central. Ex. Roda de bicicleta. La Simetria ha estat utilitzada per les civilitzacions com un sistema per ordenar les formes dels quadres, els dibuixos, els edificis... La Asimetria: és utilitzada en l’art modern i contemporani com a recurs estètic. Transposició: consisteix a obtenir composicions a partir de figures geomètriques. Traçat de formes simètriques (pg. 108) Llibre de làmines Pg. 60, 66, 67

Formes naturals amb simetria axial. Formes naturals amb simetria radial.

SIMETRIA

23

Una composició modular consisteix en repetir moltes vegades una figura sobre una superfície. Mòduls son les figures que es repeteixen per formar la composició modular. Per exemple un triangle. Xarxes son línies geomètriques sobre la qual es disposen els mòduls. Per exemple: Per fer una xarxa triangular cal seguir els següents passos: 1. Dibuixar un triangle equilàter amb compàs. 2. Prolongar els costats del triangle. 3. Traslladar la mida del costat a cada prolongació. 4. Fer paral·leles obliqües i horitzontals.

FORMES MODULARS

24

Deures: 1. Fes un quadrat de 8 x 8 amb xarxa quadrada i repetició d’un mòdul. 2. Fes dos quadrats de 8 x 8 amb xarxa triangular i mòduls diferents. 3.Copia un d’aquests quadrats.

25

Polígon: és la part del pla limitada per una línea poligonal tancada. Els polígons segons la forma es poden classificar en:

• Polígons equilàters: tenen tots els costats iguals • Polígons equiangulars: tenen tots els angles iguals

• Polígons regulars: tenen els costats i ens angles iguals. • Polígons irregulars: no tenen res igual.

Els polígons s’anomenen segons el nombre de costats o d’angles que tinguin. Triangle equilàter vol dir tres (tri) angles (angle) iguals (equi) costats (later) La resta s’anomenen polígon de x costats.

Quadrat: 4 costats Pentagon: 5 costats Hexagon: 6 costats Heptagon : 7 costats Octagon: 8 costats Enneagon: 9 costats Decagon: 10 costats Hendecagon: 11 costats Dodecagon: 12 costats Pentadecàgon: 15 costats Icosàgon: 20 costats

POLÍGO7S

26

El centre d’un polígon regular és el centre de la circumferència circumscrita i inscrita per on passen les altures, les mediatrius dels costats, i les bisectrius dels angles. Tots els polígons es poden construir si se’n sap el costat o bé el radi de la circumferència. La construcció de polígons regulars està directament relacionada amb la divisió de la circumferència en parts iguals; per tant també els podrem construir a partir dels angles dividint 360º pel nombre de costats que té el polígon. http://www.educacionplastica.net/poligonos.htm En aquest enllaç hi ha vídeos que expliquen pas a pas com fer cadascun dels polígons. Troba la circumferència que passa per tres punts donats:

1. Unir els tres punts. 2. Fer la mediatriu dels segments. 3. El punt on es tallen és el centre i radi a qualsevol dels punts.

27

Triangle equilàter circumscrit en una circumferència:

1. Fer la circumferència i el seu diàmetre vertical. 2. Amb centre P i radi OP fer un arc per trobar A i B. 3. A B C son els vèrtex.

Hexàgon donat el radi:

1. Fer el diàmetre vertical. 2. Amb centre A i radi OA fer un arc per trobar B i F. Repetir la

operació amb centre a D. 3. Unir els segments.

28

Hexàgon donat el costat:

1. El costat d’un hexàgon és igual al radi de la circumferència que el circunscriu.

2. Es dibuixa el costat AB. 3. Amb radi AB fer dos arcs que es tallin un amb centre A i l’altre en B

per obtenir O. 4. Amb centre O i radi AO fer la circumferència. 5. Transportar am el compàs la mesura del costat AB.

Heptàgon donat el radi:

1. Fer la circumferència i dos diàmetres. 2. Fer la mediatriu del segment OX i allargar-lo fins la

circumferència per obtenir V i W. 3. El segment WV és el costat de l’heptàgon. 4. Partint de A traslladar la mesura.

29

Quadrat i Octàgon circumscrit en una circumferència:

1. Fer la circumferència i dos diàmetres AC i BD perpendiculars entre ells.

2. Unir els punts consecutius. 3. Per obtenir l’octàgon es divideixen els segments del quadrat per la

meitat.

30

Mètode general

1. Fem dos diàmetres perpendiculars i la circumferència 2. Dividim el diàmetre vertical en el mateix nombre de costats que el

polígon. En aquest cas 11. Per fer-ho apliquem el Teorema de Tales. 3. Amb centre a C i radi igual al diàmetre de la circumferència fem dos

arcs que es tallen en el punt E. 4. Unim el punt C amb el punt nº 2 i prolonguem la línia fins que talli la

circumferència obtenint el punt F. 5. Transportem amb el compàs la distància CF.

31

Exercicis

1. Fes tres punts que distin entre ells 2 i 3 cm i seguidament traça la

circumferència que passi per tots ells. 2. Fes una circumferència de 3 cm de radi amb un triangle equilàter

circumscrit. 3. Fes una circumferència de 5 cm. de diàmetre amb un quadrat

circumscrit. 4. Fes una circumferència de 6 cm. de radi amb un octàgon inscrit.

Dins de l'octàgon traça-hi una altra circumferència amb un triangle inscrit.

32

Polígons estrellats És la figura que resulta quan en un polígon regular tracem cordes unint els vèrtex no consecutius. Els polígons tenen nombre, gènere, pas i espècie: Nombre: nº de puntes que té. Gènere: nº de cordes utilitzades per dibuixar-lo. Pas: nº de costats que compren cada corda utilitzada. Espècie: nº de voltes que cal donar a la circumferència per tancar el polígon.

33

En aquest enllaç podràs dibuixar amb l’ordinador polígons estrellats. Mira’t també la galeria d’imatges que hi ha exemples molt interessants. http://www.educacionplastica.net/PolEst.htm A partir dels polígons que tens aquí fes-ne estrelles.

34

Els sistemes de representació son un conjunt de recursos i mètodes que permeten obtenir en el pla imatges objectives i precises dels cossos amb volum. Tot sistema de representació ha de complir la condició de reversibilitat: donada un afigura en l’espai, obtenir-ne la representació en el pla. I, al revés, a partir de la representació en el pla, conèixer les característiques i la posició en l’espai. Els sistemes de representació es fonamenten en el concepte de projecció.

SISTÈMES DE REPRESENTACIÓ

35

Classificació dels sistemes de representació: Hi ha quatre sistemes de representació diferents: acotat, dièdric, axonomètric i cònic. L’acotat i el dièdric son considerats com a sistemes de mesura. L’axonomètric i el cònic són la base dels diversos tipus de perspectives. Aquests sistemes ofereixen una visió de conjunt molt clara, però introdueixen distorsions en la forma i les dimensions.

SISTÈMA ASPECTE VISUAL ÚS

DIÈDRIC

• Imatge múltiple • Cada cara per separat

• Arquitectura • Enginyeria • Disseny

ACOTAT

• Imatge única

•

• Topografia • Cartografia • Enginyeria

AXONOMÈTRIC

• Isomètric • Dimetric • Trimètric • Persp. Cavallera • Persp. Militar

Deforma les distàncies

• Arquitectura • Mecànica • Enginyeria • Disseny

CÒNIC

• Cònic frontal • Cònic obliqua

Deforma les mesures

• Art • Arquitectura • Escenografia • Decoració

http://www.edu365.cat/eso/muds/visual/diedric/index.htm En aquesta pàgina podràs practicar el sistema dièdric

36

SISTÈMA AXO7OMÈTRIC Si la direcció de projecció és perpendicular al pla del dibuix és ortogonal (isomètric, dimètric, trimètric) i si la projecció és obliqua s’anomena obliqua (militar i cavallera). En les perspectives axonomètriques s’estableixen 3 direccions diferents corresponents a l’alçada, l’amplada i la profunditat. Aquestes 3 direccions es representen a través dels eixos axonomètrics X, Y, Z. X i Y= profunditats i amplades Z= alçades Les perspectives axonomètriques també es caracteritzen per l’aplicació de coeficients de reducció, que s’apliquen a cada una de les dimensions en funció de l’eix a què son paral·leles.

Isomètrica Dimètrica Trimètrica Els eixos formen tres angles iguals de 120º

Els eixos formen dos angles iguals i un desigual.

Els tres angles son diferents.

El coeficient de reducció és el mateix pels tres eixos i és 1.

El coeficient de reducció és el mateix per als eixos d’angles iguals.

El coeficient de reducció és diferent per a cada eix.

37

PERSPECTIVA CAvALLERA Característiques:

1. El pla vertical és paral·lel al pla de projecció. 2. Els eixos X,Z formen un angle recte i l’eix Y pot variar d’angle tot i

que acostuma a fer 135º 3. En l’eix Y el coeficient de reducció pot variar tot i que habitualment

s’utilitza la reducció ½.

Exercicis:

1. Fes la perspectiva cavallera dels objectes que tenen la següent planta.

2. Fes la perspectiva cavallera d’aquestes figures en un full quadriculat respectant les proporcions a partir dels quadrats.

38

SISTÈMA ISOMÈTRIC Els eixos formen angles de 120º No s’aplica coeficient de reducció

Perspectiva cavallera Sistèma Isomètric

És habitual la utilització del sistema isomètric per la realització de plànols dels interiors dels habitatges.

39

Exercicis:

Fes la perspectiva isomètrica de les peces que tens a continuació

40

PERSPECTIVA MILITAR Característiques:

1. Els eixos X i Y son perpendiculars entre ells. 2. Els coeficients de reducció s’apliquen a l’eix Z i els més habituals

son 3/4, 2/3 o 1/2. Exercicis:

1. Escriure el nom en aquesta perspectiva. 2. Fer la perspectiva dels cossos la planta dels quals hi ha a

continuació.

http://www.xtec.cat/~jroca1/geometric.htm En aquesta adreça hi ha explicacions molt clares de tots els conceptes que hem vist. Et pot ser d’utilitat per repassar i estudiar.