V. Corrientes eléctricaslaplace.us.es/campos/teoria/grupo1/T5/Leccion_V_4.pdf® Gabriel Cano...
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®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2008/09 mez, 2008/09 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn
V. Corrientes V. Corrientes elelééctricasctricas
4. Conductores lineales: 4. Conductores lineales: medios medios óóhmicos hmicos
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2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas
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Comportamiento lineal de conductorComportamiento lineal de conductorrégimen estacionario en medio conductor:
equilibrio dinámico
modelo lineal de fuerza “disipativa”efecto del medio sobre la corriente
Ley de OhmLey de Ohmrelación constitutiva del medio óhmico:
Conductividad eléctrica “σ”sólo depende del medio: σ≠σ(|E|)en medios óhmicos es siempre positiva: σ ≥0medio óhmico inhomogéneo: σ=σ(r)
( )dis( )q d dt± ± ±= ⇒ =E r + F 0 v 0
Ley de Ohm: conductividad (medio Ley de Ohm: conductividad (medio óóhmico)hmico)
dis ( )γ± ±= −F v r
( )( ) ( )q γ±± =v r E r ( ) ( )⇒ = σJ r E r
→ velocidad arrastre
conductor perfectodieléctrico ideal
0 ⎧⎨⎩
σ → ∞ :σ = :
→
E(r)J(r)
ΔτΔτ ∼∼PPt t ≥≥ tt00
ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.
q_
v_(r)
Fe_
Fdis_
q+v+(r)
Fe+
Fdis+ Ω; σ
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Tubo de corriente (estacionaria)Tubo de corriente (estacionaria)conjunto de líneas de corriente entre dos superficies equipotenciales:
J es tangente a la superficie lateral SLen medio óhmico, J es normal a S1 y S2
ley de conservación de la carga:en el tubo entra y sale la misma intensidad
Resistencia elResistencia elééctricactricarelación dif. de potencial−intensidad en τ:
sólo depende de su geometría y de σ
unidades (en el SI):
Resistencia elResistencia elééctricactrica
J(r)= σE(r)
nL ⊥ J
Ω; σ
n1S1: φ(r)=V1
|| J
|| J
0d∂τ
⋅⋅ =∫ J S 2 12 1S SI dS dS⇒ = ⋅⋅ = − ⋅⋅∫ ∫J n J n
(ohmio)V A = = Ω[ ] [ ] [ ]R V Iτ =
ley de Ohmley de Ohm(integral)(integral)
S
dSn|| Jτ
SL
P1
P2
dr
n2
1 2V VRIτ−
=( )2
1
P
P
S
σ=
⋅
⋅∫
∫J dr
J dS
S2: φ(r)=V2
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Ejercicio 5.4: resistencia elEjercicio 5.4: resistencia elééctrica de corona cilctrica de corona cilííndricandrica
a)a) en la direccien la direccióón longitudinaln longitudinal
Ω; σ
z=0
z=L
Jext=0
nlat=uρn=uz
S
V =V1−V2
S2:φ(z=L)=V2
S1:φ(z=0)=V1
I
long VRIΩ
= ( )2 2L
b aπ=
−σ
JΩ(r)
EΩ(r)
Eext≠0;
ε0; σ=0
JΩ(r)
Ω; σ Ω; σ
EΩ(r)
JΩ ⊥
Z
ba∂τ
K
n2
Jext=0
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Ω; σ Ω; σ
Ejercicio 5.4: resistencia elEjercicio 5.4: resistencia elééctrica de corona cilctrica de corona cilííndricandrica
b)b) en la direccien la direccióón transversaln transversal
Ω; σ
z=0
z=L
Jext=0 S
V =V1−V2
S2:φΩ(ρ=b)=V2
Itran VR
IΩ= ( )ln
2b a
Lπ=
σ
JΩ(r)
EΩ(r)
Eext≠0;
ε0; σ=0
JΩ(r)
EΩ(r)
⊥ JΩ
ba
S1:φΩ(ρ=a)=V1
n=uρ
nlat=uz Z
Jext=0
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( )( ) ( )
lI
S≈J r T r
J(r)
DescripciDescripcióónn“hilo” de material óhmico Ωfil:
se identifica con curva C: r=r(l)T(r) vector tangente unitario
Densidad de corrienteDensidad de corrientelíneas de J confinadas en Ωfil ≈ C:
verifica condiciones de contornoen general, no verifica ∇·J=0
sección variable S(l):Resistencia del hiloResistencia del hilo
el hilo constituye un tubo de corriente
Conductores filiformesConductores filiformes
dS=dS T
nL
Ωfil; σ
L δδ→0
T(r)
SL
S→0
Jext=0
nL·[J]SL=0
Ωfil ≈ C
S1φ( )=V1 φ( )=V2S2II
1 2fil
V VRI−
=0
L dlS
≈σ∫ ( , ctes.) S
LS
σ=σ
( )( ) ( )I S⇒ ≈J r T r0d
SI
→= ⋅∫ J S S≈ J
[ ] [ ][ ][ ]1 S(siemens)m m
LR S
= = =Ω
σ
l=0 l=L
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Potencia disipada en medio Potencia disipada en medio óóhmicohmicotrabajo “disipativo” en Δτ~P:
en régimen estacionario: potencia “disipativa” (por unidad de volumen):
potencia disipada (perdida) en región Ω:
Ley de JouleLey de Joulecalor por unidad de tiempo cedido por Ω:
la energía se pierde en forma de calor: efectoJoule
DisipaciDisipacióón de energn de energíía. Ley de Joulea. Ley de Joule
dis ( )q± ±= −F E r
( )dis disdis n nW dtτ + + − − −Δ +δ ≈ ⋅ ⋅ Δτ+F Fv v
E(r)
J(r)
ΔτΔτ ∼∼ PP ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.
q_
v_(r)
Fe_
Fdis_
q+v+(r)
Fe+Fdis+
Ω; σ
δQ
I
ΩJ(r)=σ E(r)
=|δWdis|
dis dP Ω Ω= − ⋅ τ∫J E
2 dσΩ
= − τ∫ E 0<
( )disdis0
limP
W dtdPd τ τΔ →
δ
Δ=
τ
Qdt
δ
Ω
= 2I RΩ disd PΩ
= ⋅ =τ∫J E
( ) ( )= − ⋅J r E r
φ( )=V2S2φ( )=V1S1