V14N1

IngenieraInvestigacin y Tecnologa

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Vol

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201

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PP.

1- 1

38

Universidad Nacional Autnoma de Mxico w Facultad de Ingeniera w Mxico 2013

ISSN 1405-7743

www.ingenieria.unam.mx/~revistafi

1-9

37-42 43-51 53-63

65-80 81-88 89-98

99-111 113-123 125-138

11-22 23-35Fuzzy Controller for Automatic Steering in Heavy Vehicle Semi-Trailers

Bortoni-Anzures L.Gmez-Melndez D.Herrera-Ruz G.Martnez-Madrid M.

Reaching High Interactive Levels with Situated Agents

Ibarra-Martnez S.Castn-Rocha J.A. Laria-Menchaca J.Guzmn-Obando J.Castn-Rocha E.

Minimizacin del makespan en mquinas paralelas idnticas con tiempos de preparacin dependientes de la secuencia utilizando unalgoritmo gentico

Salazar-Hornig E.Medina-S. J.C.

Estudio de validacin de un mtodo para seleccionar tcnicas de pronstico de series de tiempo mediante redes neuronales artificiales

Acosta-Cervantes M.C. Villarreal-Marroqun M.G. Cabrera-Ros M.

Optimization of Power Train and Control Strategy of a Hybrid Electric Vehicle for Maximum Energy Economy

Osornio-Correa C. Villarreal-Calva R.C.Molina-Cristbal A.Estavillo-Galsworthy J.Santilln-Gutirrez S.D.

Redes de transmisin inteligente. Beneficios y riesgos

Velasco-Ramrez E. ngeles-Camacho C. Garca-Martnez M.

Investigacin numrica de las condiciones de lubricacin enchumaceras hidrodinmicas con el efecto del desalineamiento del eje

Antonio Garca A.Linares-Flores J. Arias-Montiel M.

Aproximacin de perfiles discretos en elementos de contacto de ensambles mecnicos

Bedolla-Hernndez J.Szwedowicz-Wasik D.Cortes-Garca C. Majewski-Szymiec T. Martnez-Rayn E.Gutirrez-Wing E.S.

Contraste de la distribucin Logstica Generalizada en 31 registros histricos de eventos mximos anuales

Campos-Aranda D.F.

Modelado de filtros IIR usando un algoritmoinspirado en el electromagnetismo

Cuevas E.Oliva D.

Mtodo del elemento finito estocstico en geotecnia.Enfoque espectral

Pineda-Contreras A.R.Auvinet-Guichard G.

Optimizacin de forma de un cuerpo suspendido basada en reglas evolutivas y modelado paramtrico: la forma de un fruto

Velzquez-Villegas F.Santilln- Gutirrez S.D.

Vol. XIV Nm. 1, enero - marzo 2013

e0x

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Contenido

1-9 Fuzzy Controller for Automatic Steering in Heavy Vehicle Semi-TrailersControlador difuso para conduccin automtica de vehculos pesados tipo semi-trailerBortoni-Anzures L., Gmez-Melndez D., Herrera-Ruz G. and Martnez-Madrid M.

11-22 Mtodo del elemento finito estocstico en geotecnia. Enfoque espectralStochastic Finite Element Method in Geotechnical Engineering. Spectral ApproachPineda-Contreras A.R. y Auvinet-Guichard G.

23-35 Optimizacin de forma de un cuerpo suspendido basada en reglas evolutivas y modelado paramtrico: la forma de un frutoShape Optimization of a Hanging Body Based on Evolutive Rules and Parametric Modeling: The Shape of a FruitVelzquez-Villegas F. y Santilln-Gutirrez S.D.

37-42 Reaching High Interactive Levels with Situated AgentsAlcanzando altos niveles de interaccin con agentes situadosIbarra-Martnez S., Castn-Rocha J.A., Laria-Menchaca J., Guzmn-Obando J. y Castn-Rocha E.

43-51 Minimizacin del makespan en mquinas paralelas idnticas con tiempos de preparacin dependientes de la secuencia utilizando un algoritmo genticoMakespan Minimization for The Identical Machine Parallel Shop with Sequence Dependent Setup Times Using a Genetic AlgorithmSalazar-Hornig E. y Medina-S.J.C.

53-63 Estudio de validacin de un mtodo para seleccionar tcnicas de pronstico de series de tiempo mediante redes neuronales artificialesValidation Study on Artificial Neural Network-Based Selection of Time Series Forecasting TechniquesAcosta-Cervantes M.C., Villarreal-Marroqun M.G. y Cabrera-Ros M.

65-80 Optimization of Power Train and Control Strategy of a Hybrid Electric Vehicle for Maximum Energy EconomyOptimizacin del tren de potencia y la estrategia de control de un vehculo elctrico hbrido para mxima economa de energaOsornio-Correa C., Villarreal-Calva R.C., Molina-Cristbal A., Estavillo-Galsworthy J. and Santilln-Gutirrez S.D.

81-88 Redes de transmisin inteligente. Beneficios y riesgosSmart Transmission Grids - Benefits and RisksVelasco-Ramrez E., ngeles-Camacho C. y Garca-Martnez M.

89-98 Investigacin numrica de las condiciones de lubricacin en chumaceras hidrodinmicas con el efecto del desalineamiento del ejeNumerical Investigations of the Lubrication Conditions in Hydrodynamic Bearings with Shaft Misalignment EffectAntonio-Garca A., Linares-Flores J. y Arias-Montiel M.

99-111 Aproximacin de perfiles discretos en elementos de contacto de ensambles mecnicosDiscrete Profile Approximation in Contact Elements of Mechanical AssembliesBedolla-Hernndez J., Szwedowicz-Wasik D., Corts-Garca C., Majewski-Szymiec T., Martnez-Rayn E. y Gutirrez-Wing E.S.

113-123 Contraste de la distribucin Logstica Generalizada en 31 registros histricos de eventos mximos anualesContrast of Generalized Logistic Distribution in 31 Historical Records of Annual Extreme EventsCampos-Aranda D.F.

125-138 Modelado de filtros IIR usando un algoritmo inspirado en el electromagnetismoIIR Filter Modeling Using an Algorithm Inspired on ElectromagnetismCuevas-Jimnez E., Oliva-Navarro D.A.

Portada/cover

Ingeniera. Investigacin y Tecnologa es una publicacin trimestral de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico.Ingeniera. Investigacin y Tecnologa is a magazine published quarterly by the Facultad de Ingeniera, UNAM.

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Certificado de Licitud de Ttulo No. 10273 y de Contenido No. 7202, expedidos por la Comisin Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas el 7 de enero de 1998.

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ISSN 1405-7743

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Los artculos firmados son responsabilidad de los autores.

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Vol. XVI - Nm.1 - enero - marzo 2013

Off-tracking and swept path width during a stationary turn

Transient turn with fixed semi-trailer axle

Vista en 3D de una chumacera desalineada

Vista frontal de una chumacera desalineada

Ingeniera Investigacin y Tecnologa, volumen XIV (nmero1), enero-marzo 2013: 1-9

ISSN 1405-7743 FI-UNAM

(artculo arbitrado)

Fuzzy Controller for Automatic Steering in Heavy Vehicle Semi-Trailers

Controlador difuso para conduccin automtica de vehculos pesados tipo semi-trailer

Information on the article: received: November 2007, reevaluated: April 2008, accepted: February 2012

Keywords:

Semi-trailer automaticsteering fuzzycontrol maneuverability

Bortoni-Anzures L.Universidad Autnoma de Quertaro

Facultad de IngenieraE-mail: [email protected]

Gmez-Melndez D.Universidad Autnoma de Quertaro


Herrera-Ruz G.Universidad Autnoma de Quertaro


Martnez-Madrid M.Instituto Mexicano del Transporte

Tamaulipas, Mxico E-mail: [email protected]

Abstract

Trucks with semi-trailers are widely used for transportation of goods due their low operation cost, but inherent to these vehicles are some problems such as a poor maneuverability. To minimize the effects of this disadvanta-ge, among other solutions, the incorporation of steerable axles in the semi-trailers has been proposed. This paper presents a steering equation, and a fuzzy-logic controller for a semi-trailer automatic forced-steering system to minimize the off-tracking and the total swept path width, resulting in an improvement of vehicles maneuverability at low speeds. To accomplish this, the suggested control algorithm considers the articulation angle and parameters such as vehicle speed and direction. The system was tested on an instrumented experimental semi-trailer during various predetermined test maneuvers.


Ingeniera Investigacin y Tecnologa, volumen XIV (nmero1), enero-marzo 2013: 1-9 ISSN 1405-7743 FI-UNAM2

Introduction

Articulated vehicles have proven their economic profi-tability, but as the number of these vehicles grows, it becomes evident that there is a substantial need to im-prove their handling control performance.

Different approaches have been taken into conside-ration; one important and promising is related to trajec-tory matching and lateral control of these heavy vehicles. In this line of work the objective is, in general, to make the articulated vehicles able to follow a secure and efficient path (Bolzern and Locatelli, 2001; El-Gin-dy, 1978; Hingwe et al., 2000; Sampei et al., 1995 and Tsao et al., 2006), are a few of researchers who specialize in trajectory matching.

The biggest project in this area is the California Part-ners for Advanced Transit and Highways (California Paths) (Hingwe et al., 2000) where numerous groups of government, public and private institutions are invol-ved in the development of automated highway systems (AHS).

A different approach is to propose design modifica-tions or the implementation of mechanical components that improve overall vehicular maneuverability perfor-mance. Steerable axles on semi-trailers are an option to, not only improve maneuverability, but also reduce risk of accidents and decrease fuel consumption and tire wear. Further, it may also minimize hazards and dama-ge to roadway infrastructures. Several mechanical con-figurations have been tested via computer simulation (Sankar et al., 1991), yet few of them are already used as prototypes or are in early commercial stages.

Those mechanisms represent significant benefits for vehicles, but they still need to be improved since some stability problems have been raised. Inside the group of steering axles of a semitrailer, the command-steer sys-tem is the most efficient option (Jujnovich and Cebon, 2002).

In 2000 an Australian company, Gayat Pty. Ltd. (Prem and Ramsay, 2001) and in 2005 the Cambridge Vehicle Dynamics Consortium (Cambridge University) (Neads, 2006) presented full scale prototypes of semi-trailers with command steer axles systems, each of them is part of the evolution of this technology.

Moreover, results from the tests carried out for this paper present work on an actual experimental semitrai-ler. These results also show a control equation with a proposed method of employment for a system of con-trol based on fuzzy-logic that could further advance in command steering technology.

Materials and methods

An experimental semi-trailer was made in order to ob-tain a better understanding of the articulated vehicles maneuverability performance and the most significant characteristics affecting it.

Figure1.Experimentalvehicle

Resumen

Los vehculos tractor-semirremolque se usan ampliamente para el transporte de mer-cancas debido su bajo costo de operacin, pero hay algunos problemas inherentes a estos vehculos, como una pobre maniobrabilidad. Para minimizar los efectos de esta desventaja, entre otras soluciones, se ha propuesto la incorporacin de ejes direccio-nales en los semirremolques. En este trabajo se presenta una ecuacin de direccin y un control mediante lgica difusa para un sistema automtico de direccin forzada para semirremolque para minimizar el despiste y el ancho de va, mejorando la maniobrabilidad del vehculo a velocidades bajas. El algoritmo de control sugerido con-sidera el ngulo de la articulacin y parmetros como velocidad del vehculo y su direccin. El sistema se prob en un semirremolque experimental instrumentado durante varias maniobras experimentales predeterminadas.

Descriptores:

semirremolque direccin automtica control difuso maniobrabilidad

3Bortoni-Anzures L., Gmez-Melndez D., Herrera-Ruz G. and Martnez-Madrid M.

Ingeniera Investigacin y Tecnologa, volumen XIV (nmero1), enero-marzo 2013: 1-9 ISSN 1405-7743 FI-UNAM

Pulled by a pickup truck, this semi-trailer which is shown in Figure 1 incorporates several configurable characteristics such as the location on the fifth wheel (G) in front, on top or in the back from the traction axle. The length of the semi-trailer (H) and an axle in the se-mi-trailer that is configurable as fixed or steerable, allowing the testing of different control schemes.

Instrumentation

To track the geometric behavior of the vehicle, a GPS receiver was installed on top of the fifth wheel, and an-gular transducers in the steering wheels of the truck, in the hitch and in the steering wheels of the semi-trailer. This procedure is clearly explained in (Bortoni et al., 2007).

Also accurate yaw rate sensors and lateral accelero-meters were placed in the chassis of the truck and the semi-trailer. Finally a mini camera was installed in the front of the truck pointed toward the ground to guide the driver during specific maneuvers (Figure 2).

The signals were monitored by two portable com-puters. The sample rate was established in 50 samples per second per channel. This sampling frequency was considered high enough to have a detailed time history of the measurements.

Handling performance

Handling performance is the result of a vehicles stee-ring inputs determined by the vehicle weights, dimen-sions, and mechanical properties of the tires, suspension, vehicle frames, and weight distribution among the axles (Sampson, 2000).

Consequently, a number of performance measures can be compiled to assess the maneuverability perfor-mance of the vehicles, particularly with regard to arti-culated trucks. This study considers the performance measures related to geometrical requirements, as:

Off-tracking

Whenever a vehicle with more than one axle turns, rear wheels fail to follow the path of front wheels precisely. Off tracking measures the maximum distance between the paths of the steering axle and the axle of the most rearward wheels (Battelle Team, 1995).

Swept path width

Jujnovich and Cebon (2002) describe the swept path width as the maximum width of the swept trajectory in a small radius turn. Figure 3 shows both, the off-trac-

Figure2.Videocameraandvideocameraviewatmarksatthefrontofthetruck

Figure3.Off-trackingandsweptpathwidthduringastationaryturn



king and swept path width measurements during cir-cular constant radius turns, also called stationary turns.

Test maneuvers

For testing, three different maneuvers were considered: two related to a predetermined defined following path and one slalom type. The first two consisted of a statio-nary turn and a 90 transient turn, performed at a very low velocity.

Circular and transient curve paths were traced on the pavement surfaces which were to be followed by the truck to facilitate the path following an 8, 9.5 and 11.25 m. radius, the stationary turn like the illustration in Figure 3 and transient turn in Figures 4 and 5.

Figure 4 shows the typical maneuverability perfor-mance of an articulated vehicle. f stands for the angle of the front axle, the steering axle on the truck, and a for the articulation angle.

In the case when the 9.5 m maneuver was made, the results observed demonstrated that the angle of the ar-ticulation reached 40 which means an off-tracking of 2.95 m and a swept path width of 4.6 m.

When the semi-trailer axle is set to command steer as seen in Figure 5, it was found that the maneuver

results in a maximum articulation angle of barely 22, which is an improvement of approximately 50%, therefore resulting in a negative off-tracking and a swept path width that equals that of the width of the vehicle.

The line r represents the angle of the semi-trailer axle, and as Figure 5 shows, the driver in the semi-trai-ler performs a momentary opposite turn to get better alignment with the truck. When it leaves the transient part of the maneuver, in this case a 20 turn, the semi-trailer axle was applied.

Besides the different radius, these maneuvers were performed from the left and from the right, under diffe-rent vehicular configurations as the longitude of the semi-trailer and the fifth wheel location.

The slalom type maneuver consists of a series of di-rectional changes around vial cones that were placed 10 meters apart on a street that was 7 m wide while main-taining a constant speed of 8 km/h. Figure 1 shows the vehicle during the slalom maneuver.

In these maneuvers there is not a defined trajectory, so the driver relies on his perception and expertise to deal with the obstacles. In this case the way to evaluate the maneuver is directly related to the lateral speed of the truck in contrast with the one on the semi-trailer.

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Figure4.Transientturnwithfixedsemi-traileraxle

Figure5.Transientturnwithcommandsteeringsemi-traileraxle



In Figure 6A, the lateral speed of the truck is almost twice that of the semi-trailer. This means that the truck is under high demand for the vehicle to avoid obstacles. On the other hand, in Figure 6B when the command steering was activated the speed of the truck and the semi-trailer, is almost the same, requiring less lateral space.

The difference in magnitude in the left verses the right turn corresponds to the perception of the driver. Note: It is easier to follow the obstacle and the edge on the drivers side. Also, in the pictures can be noticed de difference in road space demand, with the fixed axle semi-trailer, the vehicle use the full wide of the road, and even then it fails to deal with all of the obstacles. While the command steer semi-trailer succeed all obs-tacles occupying less space.

There is a significant amount of literature regarding studies comparing the behavior between fixed axles and steering command ones using simulation models. In most cases it was concluded that by incorporating steering axles important benefits can be obtained such as improving handling capabilities of the vehicle and reduction of tire friction demand (Jujnovich and Ce-bon, 2002; Billing and Patten, 2003).

Test results using an experimental vehicle confirm this, but it also extends the scope of testing beyond most simulation results and illustrates some aspects of the drivers perception on the experimental as-sessments which in turn affects the maneuver perfor-mance.

Control equation

During previous tests on full scale vehicles (Figure 7) and from the Ackerman equations, the angle in the se-mi-trailer axle that would minimize the off-tracking for each radios turn were geometrically calculated This de-fines the general behavior required for the specific se-mi-trailer dimensional configuration.

The same dimensional characteristics were conside-red in the construction of the experimental semi-trailer, in order to fine tune the control equation and to later experiment with the width the parameters in the algo-rithm of control.

After this, by combining the dimensional characte-ristics of the semi-trailer with the Ackerman equations, an evaluation computer program was set up to track the off-tracking results during the test maneuvers pe-

Figure6.Showsyawratesandsemi-trailersaxlelateralaccelerationhistory,a)isthefixedsemi-traileraxle,whileb)isthesteerablesemi-trailersaxle

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a) b)



riod and by using interpolation regression techniques, a control equation was defined (Eq. 1 and 2, Figure 8).

Figure 8 shows the final curve of response in the command steering axle of the semi-trailer in relation to the articulation angle. The resulting equation of control was defined as:

X = exp(1.370004G + 0.099728H + 0.833331J 1.102983) (1)where

G = 5th wheel to rear tractor axle distanceH = 5th wheel pin to last trailer axle distance

J = spacing between trailer axles

Note: G, H and L are illustrated in figure 1.

Y = 3.36E-07LX5 + 9.3698E-06LX4 + 1.4672E-03LX3 7.2697E-02

LX2 + 1.5551LX 1.9183 (2)

where

L = articulation angle

Factor X in equation 1 refers to the dimensional specifi-cation of the semi-trailer G, H, L and Y are all illustrated in Figure 1. In equation 2, L is the articulation on the fifth wheel measured in degrees and Y corresponds to the angle required by the steering axle of the semi-trai-ler to minimize off-tracking.

Fuzzy-logic control

As well as prior prototypes developed in Australia and England, endow of steering control in the semi-trailer improves maneuverability, but also increases the risk of vehicular instability.

During the testing, there was some experimentation with certain parameters that could minimize potential stability loss, for example, consider vehicles speed. These defined behaviors would apply during maneu-vers at lower vehicular speeds and, as speed is increa-sed, the systems angle of the steering axle of the semi-trailer should decrease proportionally, to the point were the system will be set to null response at speeds higher than 60 Km/h (Figure 9).

Also the vehicles speed has an impact on the res-ponse speed of the system which means that at very low vehicular speeds, the system will promptly execute angular adjustments, but as vehicle speed increases, these adjustments to the steering wheels will be perfor-med more slowly.

Figure7.Testvehiclesusedinthedefinitionofthecontrolequation

Figure8.Articulationanglevs.steeringangleonsemi-traileraxletominimizeoff-tracking(valuesindegrees) Figure9.Responseinthesystembasedinvehicularvelocity



Another parameter to be considered is the marginal angular changes. This consists of a time delay in the res-ponse of the system to changes in the articulation angle in order to prevent undesired oscillations that could oc-cur during fast angle variations for example when the vehicle encounters a road or speed bump. If the angle variation doesnt remain for at least two seconds, the system should ignore it.

Finally, all this considerations will be affected by the weight carried in the semitrailer, due this and the multi-variable and non-linear nature of the system, an intelli-gent control technique was required, taking into con- sideration fuzzy logic which is part of artificial intelli-gence techniques and is an attractive and well-establis-hed approach to solving control problems (Lee, 1990).

Fuzzy logic provides a methodology to represent, manipulate and implement expert heuristic knowledge for controlling a system. Also, with a fuzzy controller, robustness and low cost are inherent to each develop-ment (Passino, 1998).

The set of fuzzy rules to develop the control system for each variable was obtained and fine tuned during the test rides of the experimental semi-trailer.

Figure 10 shows the example of two membership groups: a) articulation angle, with six linguistic varia-

bles to represent all the angle values: Zero, 4 to 20, 20 to 50, 50 to 74, 74 to 82 and 82 to 90; as an example 4 to 20 means that the value is between 4 and 20 degrees, con-sidering zero degrees when the tractor and the semi-trailer are aligned or in angles between 0 and 4, and b) vehicular speed, with four linguistic variables: low, middle, middle-high, and high, both articulation angle and vehicular speed will be used to feed the fuzzy an-gle estimator in order to calculate the angle of the stee-ring axles.

This calculated angle is then compared with the cu-rrent steering wheels angle to determine the corrections that should be applied to the steering mechanism (block diagram illustrated in Figure 11).

The corrections made by the fuzzy mechanical con-trol are then compared cyclically retro-feeding the sys-tem to avoid over-steer. Figure 12 shows the membership functions group belonging to the error variable of the fuzzy control module, with low, ok and high as linguistic variables, to deal with the vehicular specific characteristics, such as: deformations caused by the lateral forces, deformations caused by the longi-tudinal forces, deformations caused by the auto-align-ment forces, semi-trailer length, rigidity of the steering mechanism and drift rigidity of the tires.

Figure10.Membershipfunctions:a)articulationangleandb)vehiclespeedVehicular speed domain

Articulation angle domain



Conclusion

Heavy articulated vehicles are used world-wide, as one of the most feasible solutions for freight. Due to the length dimensions and weight they encounter poor ma-neuverability.

The handling of this kind of such vehicles can be greatly improved by using steering axles in the semi-trailer to reduce the required road surface necessary to perform a turn maneuver placing less demand on late-ral tire efforts and consequently decreasing the risk of loosing vehicular directional control, not to mention the reduction of tire wear and scrub. Likewise, by redu-cing lateral tire friction, the damage to road infrastruc-tures will be minimized.

Fuzzy control represents a useful tool in dealing with non-linear systems. The controller approach pre-sented in this paper is an alternative to solve some of the problems related to command steering in semi-trai-lers without detriment to the improved maneuverabili-ty provided from this type of systems.

The growing demand in freight transportation sys-tems will soon require more efficient vehicles that are more secure and intelligent, as well as environmentally friendly. IE: Will not cause damage to the road infras-tructures. In the years to come these varied demands will lead to the implementation of new technologies and designs.

Acknowledgments

This research was sponsored by Consejo Nacional de Ciencia, Tecnologa, Universidad Autnoma de Quer-taro and Instituto Mexicano del Transporte.

References

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Figure11.Fuzzy-controllerblockdiagram

Figure12.Errormembershipfunction



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About the authors

Liborio Bortoni-Anzures. Bsc in Industrial Engineer, Instituto Tecnologico de Cd. Victo-ria, Mexico; Masters degree in Mechanical Engineering, Universidad Politecnica de Madrid, Spain; Doctor in Engineering, University of Queretaro, Mxico. Mem-ber of research group of Mexico Institute of Transportation; lecturer on Physics and Electrocnics in different universities of Mexico. Project development leader on sys-tems and production control, as well as research on intelligent vehicles at Chrysler de Mexico.

Domingo Gmez-Melndez. Mechanical Enegineer, Universidad de Santander, Spain; Masters on Engineering and Control and Doctor in Engineering from University of Queretaro, Mexico. Currently working on fussy control for irrigation and climate control in green house of University of Queretaro.

Gilberto Herrera-Ruz. Electronic systems Engineer and Masters degree in Electronics Engineering, Institute of Technology of Monterrey, Mexico. Doctor in Automation Systems, Technology University of Budapest, Hungary. Post Doc in Industrial Au-tomation and Modern Manufacturing Techniques, Institute of Mechanical Engi-neering, Tsukuba, Japan. Currenty director of the University of Queretaro.

Miguel Martnez-Madrid. BsC in Metallurgy Engineer, National University of Mexico. PhD in Metallurgy and Materials Science, University of Cambridge, UK. Member of the national researchers system of Mexico, Number Member of Mexican Aca-demy of Engineering; Technical consultant of different high technology companies in Mexico and USA; currently head of research group named Structural Integrity and Vehicle Dynamics at Mexicos Institute of Transportation.

Citation for this article:

Chicago citation style

Bortoni-Anzures, Liborio, Domingo Gmez-Melndez, GilbertoHerrera-Ruz,MiguelMartnez-Madrid.FuzzyControllerforAuto-maticSteeringinHeavyVehicleSemi-Trailers.Ingeniera Investiga-cin y TecnologaXIV,01(2013):1-9.

ISO 690 citation style

Bortoni-AnzuresL.,Gmez-MelndezD.,Herrera-RuzG.,Mart-nez-MadridM.FuzzyControllerforAutomaticSteeringinHeavyVehicleSemi-Trailers.Ingeniera Investigacin y Tecnologa,volumeXIV(issue1),January-March2013:1-9.



(artculo arbitrado)

Mtodo del elemento finito estocstico en geotecnia. Enfoque espectral

Stochastic Finite Element Method in Geotechnical Engineering. Spectral Approach

Informacin del artculo: recibido: abril de 2009, reevaluado: febrero de 2012, aceptado: julio de 2012

Pineda-Contreras A.R. Instituto de Ingeniera

Universidad Nacional Autnoma de MxicoCorreo: [email protected]

Auvinet-Guichard G.Instituto de Ingeniera

Universidad Nacional Autnoma de Mxico Correo: [email protected]

Descriptores:

mdulodedeformacin incertidumbre variacinespacial campoaleatorio expansindeKarhunen-

Love expansinencaospolino-

mial elementofinito

Resumen

En este artculo se exponen las herramientas matemticas que constituyen la base de la formulacin del mtodo del elemento finito estocstico espectral para problemas de elasticidad lineal. Se ilustra el potencial que presenta este m-todo para modelar la variacin espacial de las propiedades de materiales heterogneos y en particular de los suelos, mediante un ejemplo sencillo en el que se analiza cmo se propaga la incertidumbre del mdulo de deforma-cin de un material al campo de desplazamientos calculados. Se muestra en particular la influencia de la distancia de correlacin sobre la distribucin de la incertidumbre. Finalmente, se evala la utilidad del mtodo para las apli-caciones en geotecnia y se presentan conclusiones.

Abstract

This paper presents the mathematical tools in which the formulation of Spectral Stochastic Finite Element Method is based. The usefulness of this method to model the spatial variability of heterogeneous materials, and in particular of soils, is illus-trated by a practical example in which the propagation of the uncertainty on the deformation modulus to the computed displacement field is assessed. The influence of the correlation length on the distribution of uncertainty is set forth. Finally, the advantages of the method in geotechnical engineering are evaluated and some con-clusions are presented.

Keywords:

deformation modulus uncertainty spatial variability random field Karhunen-Love expansion chaos polynomial expansion finite element



Introduccin

Generalmente, los resultados de los anlisis geotcni-cos se encuentran afectados por una incertidumbre im-portante, debido a que los geomateriales son heterogneos y complejos. Estos resultados dependen de numerosos factores aleatorios (realizacin de prue-bas de laboratorio, remoldeo de muestras, etctera) que influyen directamente en la determinacin de los par-metros de los materiales. Estimar la incertidumbre que afecta dichos resultados ha sido una tarea que ha inte-resado a los ingenieros geotecnistas desde tiempo atrs. Casagrande (1965) enfatiza, por ejemplo, la importan-cia de evaluar no slo los riesgos calculados, inherentes a las obras geotcnicas, sino tambin los relacionados con las fallas humanas. En los ltimos decenios, se ha recurrido a las tcnicas probabilistas y estadsticas para modelar la incertidumbre dentro de un marco racional para diversos problemas en el campo de la geotecnia (Auvinet, 2002).

Un mtodo que permite modelar y cuantificar la in-certidumbre que induce la dispersin de los parme-tros de los materiales en los resultados de los anlisis, es el mtodo del elemento finito estocstico (MEFE), el cual es una combinacin del mtodo del elemento finito (MEF) con la teora de la probabilidad (Cambou, 1974; Van-marcke, 1983), donde los parmetros afectados por in-certidumbre se representan por medio de variables aleatorias o campos aleatorios. Las principales tcnicas usadas en geotecnia hasta el momento, las cuales per-miten aplicar el MEFE son los mtodos de perturbacio-nes (variables aleatorias) y de simulacin (Monte Carlo: variables y campos aleatorios) (Auvinet, 2002).

Los anlisis con el MEFE han permitido ilustrar la influencia de la incertidumbre en los parmetros cons-titutivos en los desplazamientos, esfuerzos y deforma-ciones de estructuras trreas (Orlandi, 1996; Bouayed, 1997; Mellah, 1999; Auvinet et al., 2000; Vzquez, 2005) y han resultado ser un camino apropiado para decidir cules parmetros deben definirse con especial cuidado en la etapa de diseo. Por ejemplo, con el mtodo de perturbaciones y mediante un anlisis elstico lineal, en el que el material se puede caracterizar por dos par-metros: mdulo de deformacin (E) y relacin de Pois-son (n), se ha podido poner en evidencia que la relacin de Poisson desempea un papel predominante en la posicin y extensin de zonas de tensin en la cortina de presas de tierra y enrocamiento (Louault, 1997; P-rez, 2000). Por otro lado, respecto a los anlisis de flujo de agua, se han podido definir tcnicas basadas en el MEFE para tomar en cuenta la considerable incerti-dumbre asociada con la conductividad hidrulica (L-

pez, 2010). La importancia de estos resultados para la geotecnia ha alentado la bsqueda de nuevas herra-mientas numricas que permitan incorporar otras va-riantes (como la variacin espacial, debida a las condiciones de depsito del suelo) en los anlisis esto-csticos con el MEF.

Recientemente, los avances computacionales auna-dos a los mtodos numricos, han permitido el desarro-llo de nuevas tcnicas matemticas que hacen posible modelar e integrar cada vez mejor las incertidumbres en los anlisis mecnicos con elementos finitos. Tal es el caso del enfoque espectral (Ghanem y Spanos, 1991), cuyas bases matemticas se fincan en los mtodos del anlisis funcional y, de manera ms especfica, en el es-pacio de funciones de Hilbert. La estrategia consiste en representar el campo aleatorio del parmetro de inters (por ejemplo, el mdulo de deformacin), por un con-junto de variables aleatorias y funciones ortogonales, lo que permite tratar la variabilidad espacial de las pro-piedades del material analticamente. La formulacin aleatoria de los desplazamientos se realiza entonces en trminos de una nueva dimensin que permite una me-jor representacin matemtica del sistema. Por tal moti-vo, el MEFE enfoque espectral (MEFEE) resulta ser una tcnica numrica atractiva para modelar en geotecnia la incertidumbre de los parmetros constitutivos provo-cada por la variacin espacial, y a su vez, mostrar cmo sta influye en los resultados de los anlisis con el MEF.

En este trabajo se muestra la utilidad de esta tcnica para modelar la variabilidad espacial de las propieda-des de los geomateriales mediante campos aleatorios. Asimismo, se expone cmo es posible analizar la pro-pagacin de la incertidumbre existente en el mdulo de deformacin de un material en el campo de desplaza-mientos calculados mediante el mtodo del elemento finito estocstico (MEFE), utilizando el enfoque espectral, m-todo que hasta el momento se ha utilizado poco en geo-tecnia (Pineda, 2007).

Se sealan las fuentes de incertidumbre ms impor-tantes que afectan parmetros como el mdulo de de-formacin y se resumen brevemente los conceptos probabilista que permiten la representacin de la incer-tidumbre. Adems, se presentan brevemente los con-ceptos matemticos bsicos del mtodo del elemento finito estocstico espectral (MEFEE) los cuales se reducen a dos expansiones: Karhunen-Love y caos polinomial. Se pre-senta la formulacin del enfoque espectral tal como la desarrollaron Ghanem y Spanos (1991). La utilidad de esta tcnica se ilustra con el anlisis de un slido cbico de dimensiones unitarias sujeto a carga axial. Tomando en cuenta las limitaciones prcticas actuales de esta tc-nica, en este trabajo se limitan los anlisis presentados

13

Pineda-Contreras A.R. y Auvinet-Guichard G.


al caso en que el material se puede considerar en prime-ra aproximacin como elstico lineal (mdulo de defor-macin y relacin de Poisson). La validez de la hiptesis de un comportamiento aproximadamente elstico li-neal de los materiales constitutivos en los anlisis de esfuerzo-deformacin con el MEF de estructuras t-rreas ha sido confirmada con mediciones de campo (Al-berro et al., 1998) a la condicin de tomar en cuenta la no-linealidad geomtrica (construccin por capas).

Fuentes de incertidumbre en los anlisis realizados por el MEF

En los anlisis con MEF en geotecnia, los resultados se ven afectados por la incertidumbre asociada a parmetros como el mdulo de deformacin. Las principales fuentes que dificultan la determinacin de este parmetro son:

a) La variabilidad espacial de las propiedades del sue-lo que depende principalmente de la historia geol-gica de formacin del suelo y, en su caso, del procedimiento constructivo. La evaluacin de esta va-riabilidad est condicionada por la cantidad de in-formacin obtenida en la exploracin geotcnica.

b) Errores aleatorios y sistemticos, los primeros se co-meten durante la realizacin de las pruebas de labo-ratorio; los segundos se deben a un sesgo en la medicin, producido por ejemplo, por el remoldeo de muestras o por el uso de correlaciones aproxima-das entre propiedades fsicas y mecnicas.

Representacin de incertidumbre en geotecnia

La teora ms aceptada hasta el momento para represen-tar la incertidumbre en ingeniera es la de la probabili-dad (Benjamin y Cornell, 1970). A travs de ella, es posible modelar la incertidumbre de los parmetros de los materiales que intervienen en los anlisis con elemen-tos finitos por medio de variables o campos aleatorios.

a)Variablesaleatorias

Se recurre al concepto de variable aleatoria (funcin del resultado q de un experimento) cuando se re-quiere modelar la incertidumbre asociada a escasa informacin respecto al parmetro mecnico de in-ters V para el medio estudiado. La estimacin de las caractersticas generales de una poblacin (espe-ranza E{V} y varianza Var[V]) se realiza mediante estimaciones puntuales o intervalos de confianza. La representacin de la variacin espacial mediante

variables aleatorias no toma en cuenta la posicin especfica de las muestras ni la dependencia existen-te entre ellas.

b)Camposaleatorios

Dentro de la teora de probabilidad, un concepto adecuado para representar la variabilidad espacial, en un dominio dado, de las propiedades del medio analizado es el de campo aleatorio V(X, q). La pro-piedad de inters en cada punto X del medio se con-sidera entonces una variable aleatoria (funcin del resultado del experimento, q). Por medio de la fun-cin de autocovarianza CV(X1, X2), se describe la co-rrelacin espacial entre las distintas variables, quedando el campo definido por esta funcin, su valor esperado E{V(X,q)} y su varianza Var[V(X,q)]. Cuando no existe confusin posible en el contexto, el campo se escribe simplemente V(X). Los parme-tros y funciones que describen un campo son enton-ces (Auvinet, 2002):

Valor esperado: mV(X)=E{V(X)}

Varianza: s2V(X) = Var[V(X)]. La raz cuadrada sV(X) de la varianza se llama desviacin estndar

Coeficiente de variacin: CVV(X) = sV(X)/E{V(X)}

Funcin de autocovarianza: CV(X1, X2) = Cov[V(X1), V(X2)]=E{[V(X1)-mV(X1)][V(X2) - mV(X2)]}

Autocovarianza normalizada (tambin llamada coeficiente de autocorrelacin): V (X1, X2) = CV (X1, X2)/sV (X1) sV (X2).

Auvinet (2002) ha clasificado los campos como: estima-tivos o descriptivos.

Estimativos

Cuando no se cuenta con muestreo ni mediciones de campo, se realiza un anlisis de incertidumbre a priori. La variacin espacial de los parmetros de los materia-les es entonces definida generalmente mediante una variable aleatoria para cada subdominio que rene cier-tas condiciones de homogeneidad. El grado de correla-cin entre diferentes variables estimativas es siempre difcil de estimar. Conviene considerar que existe corre-lacin entre las propiedades de materiales diferentes cuando se tiene el mismo tipo de dudas respecto a su valor, o cuando han sido determinadas experimental-



mente por el mismo procedimiento (Auvinet, 2002). Es tambin posible definir a priori uno o varios campos aleatorios representativos de las variaciones de las pro-piedades, con una funcin de autocovarianza estimada a partir de la experiencia obtenida en sitios con caracte-rsticas semejantes.

Descriptivos

El campo de tipo descriptivo corresponde a una situa-cin en la que se tiene un nmero significativo de me-diciones en distintos puntos de la masa del suelo, el anlisis de incertidumbre es entonces a posteriori. Los parmetros del campo se obtienen directamente a par-tir de las mediciones o modificando los parmetros de un campo estimativo definido a priori usando un enfo-que Bayesiano. El campo aleatorio descriptivo resul-tante es entonces de tipo condicional con respecto a las mediciones.

Enfoque espectral

Los anlisis estocsticos que se realizan con el MEF en geotecnia, mediante el mtodo de perturbaciones, re-presentan generalmente la incertidumbre de los par-metros constitutivos a travs de variables aleatorias. El enfoque espectral tiene la ventaja de permitir represen-tar la variabilidad espacial por medio de campos alea-torios Gaussianos1. En esta seccin se describen las herramientas matemticas que permiten la formula-cin del MEFEE tal como la desarrollaron Ghanem y Spanos (1991).

Este mtodo se puede utilizar en geotecnia para rea-lizar anlisis de incertidumbre en donde la variabilidad espacial de las propiedades de los materiales (por ejem-plo el mdulo de deformacin) se modela como un campo aleatorio Gaussiano, eventualmente despus de una transformacin del campo real. Posteriormente, las caractersticas (esperanza, desviacin estndar) del campo aleatorio de la respuesta (desplazamientos, de-formaciones, etctera) son determinadas a travs de un anlisis de segundos momentos (Sudret y Der Kiu-reghian, 2000).

1UncampoaleatorioesGaussianosilasvariablesqueconstituyenelcampotienenunadensidaddeprobabilidadconjuntaGaussiana.2Uncampoesestacionarioenelsentidoampliosielvaloresperadodelavariabledeintersesconstanteentodoeldominioysilafun-cindeautocovarianzadependesolamentedeladistanciaentredospuntosX1yX2.

En el caso de la elasticidad lineal, el enfoque espec-tral consiste en utilizar la funcin de autocovarianza para representar el campo aleatorio del mdulo de de-formacin, a travs de una expansin en serie llamada de Karhunen-Love (Papoulis, 1991) que utiliza un n-mero finito de variables aleatorias; las cuales posterior-mente se emplean para representar la respuesta del sistema mediante una expansin en caos polinomial (Wiener, 1938). Se trata de un artificio matemtico que permite finalmente, formular el mtodo de elementos finitos estocsticos.

a)Representacindelaincertidumbre

En el enfoque espectral el campo aleatorio V(X) del m-dulo de deformacin se representa mediante la expan-sin en serie de Karhunen-Love. Esta expansin, considera que el campo es estacionario en el sentido amplio2; se basa en la descomposicin espectral de la funcin de autocovarianza y permite reducir la dimen-sin del campo aleatorio de forma abstracta a travs de un conjunto finito M de variables aleatorias y funciones deterministas ortogonales. Tal serie se expresa de la si-guiente manera

(1)

donde E{V(X)} representa la esperanza matemtica del campo aleatorio; xi(q ) son las coordenadas de realiza-cin del campo aleatorio con respecto a un conjunto de funciones deterministas ji y forman un conjunto de va-riables aleatorias no correlacionadas con media cero y varianza unitaria; li y ji son los valores y funciones ca-ractersticos de la funcin de autocovarianza, definidas a su vez, por la solucin de la ecuacin integral, cuya forma es

(2)

donde W es el dominio espacial en el cual se define el campo aleatorio.

La ecuacin (2) se conoce como ecuacin integral de Fredholm homognea de segundo gnero, en la cual el ncleo CV (X1,X2), est definido por la funcin de auto-covarianza, que es real, simtrica y positiva; X1 y X2 son las coordenadas espaciales. La solucin de la ecuacin integral puede ser obtenida analtica y numricamente; ambas soluciones fueron propuestas por Ghanem y Spanos (1991) para el caso de campos aleatorios Gaus-sianos.

El objetivo de la serie de Karhunen-Love es discreti-zar, de forma abstracta, el campo aleatorio en el espacio

1 2 2 12( , ) ( ) ( )V i X i iC X X X d Xj l j

WW =

1( ) { ( )} ( ) ( )l x q j

== +

M

i i ii

V X E V X X

15



1 1 21 1 2

10 0 1 2

1 1 11 1 2

...( ( )) ( ( ), ( ))( ) i i ii i ii

u ui i i

u u x q x q x qq= = =

+ + + =

de funciones de Hilbert. La variabilidad de la propie-dad (mdulo de deformacin) se representa como una suma de proyecciones ortogonales (funciones caracte-rsticas) a travs de los valores caractersticos, los cuales expresan la cantidad de varianza que las funciones ca-ractersticas llevan a ese espacio (Matthies et al., 2005).

b)Representacindelarespuesta

Como la respuesta del sistema es una funcin de la va-riabilidad del mdulo de deformacin, queda expresa-da en trminos de funcionales no lineales, representados a travs de un conjunto de polinomios ortogonales de variables aleatorias Gaussianas llamado caos polinomial. La respuesta se expande por medio de estos polinomios sobre el espacio de Hilbert, debido a que la funcin de autocovarianza no es conocida a priori como en el caso del campo aleatorio del mdulo de deformacin.

La formulacin del caos polinomial est basada en el concepto de caos homogneo que fue introducido por Wiener, cuyos fundamentos fueron el resultado de in-vestigaciones de funcionales no lineales del movimien-to Browniano (Wiener, 1938). Se puede decir que el concepto de caos polinomial es una generalizacin de las series de Taylor a funcionales no lineales (Cameron y Martin, 1947).

Para representar cada desplazamiento nodal aleato-rio dentro de una estructura que capture la variabilidad posible de estos, se requiere crear una base estocstica a travs de expansiones no lineales. As, cada variable aleatoria se puede expandir mediante un caos polinomial de la siguiente manera:

(3)

donde: denota el caos homogneo de orden p y

piu son las coordenadas de la variable u(q)

asociadas a este orden (cero, primero, segundo, etcte-ra). Se define como caos polinomial al conjunto de poli-nomios multidimensionales y al espacio que ocupan tales polinomios se le llama caos homogneo.

La construccin del caos polinomial de dimensin fi-nita es a partir de un nmero M de variables aleatorias Gaussianas ortonormales, ( )ix q que

provienen de la expansin en serie de Karhunen-Love.

El caos polinomial de dimensin M y orden p se obtie-ne a partir de polinomios multidimensionales Gaussia-nos. Cada uno de estos polinomios se define como una secuencia de M enteros no negativos {a1 , , aM} de la siguiente manera

(4)

donde: i

Ha es el polinomio de Hermite unidimensio-nal asociado a la secuencia a, cuyo grado es menor o igual que p.

El nmero P de coeficientes que conforman el caos polinomial y que contiene toda la estructura probabilista de cada desplazamiento nodal aleatorio, se obtiene me-diante una combinacin binomial (Benjamin y Cornell, 1970)

0

1p

k

M kP

k=+ -

=

(5)

Los valores usuales utilizados en las aplicaciones son M = 4 y p = 2,3.

As, cada desplazamiento expresado en la ecuacin (3) se puede escribir en trminos de estos coeficientes, como

1

0( ) [{ }]

P

i i ki

u aq x-

== Y (6)

donde ia y Yi[{xk}] corresponden a piu y

1( ( ), ..., ( ))

pp i ix q x q , respectivamente.

c)FormulacindelMEFEE

En el anlisis lineal por el mtodo del elemento finito clsico se establece un sistema de ecuaciones de equili-brio

K U F = (7)

F es un vector de fuerzas nodales y volumtricas; U es un vector de desplazamientos nodales y K corresponde a la matriz de rigidez total, con forma

TB DBdK W W= (8)

dondeW es el dominio de estudio, B es la matriz de forma y D es la matriz de elasticidad.

La formulacin de la ecuacin de equilibrio estocstica del MEFEE se basa en representar la variabilidad espa-cial de la propiedad del material (mdulo de deforma-cin) como un campo aleatorio VE(X) mediante la expansin de Karhunen-Love, quedando la matriz de elasticidad D expresada como

1( ( ), ..., ( ))

pp i ix q x q

1( ), 0

M

i iiH

ia ax aY =

=



D(X) = VE (X) D0 (9)

donde D0 es una matriz de elasticidad calculada con un mdulo de deformacin unitario. Si la expresin 9 se sustituye en la matriz de rigidez (8), sta queda expre-sada por una parte determinista K y una parte estocs-tica como

01

( )e

MT

i i ei

K K X B D Bdl jW

=

+ W= (10)

De acuerdo con Ghanem y Spanos (1991) la ecuacin de equilibrio estocstica se obtiene al sustituir en la ecua-cin de equilibrio (7) la matriz de rigidez estocstica (10) y los desplazamientos estocsticos representados en trminos del caos polinomial (6), finalmente la ecua-cin se expresa como

(11)

siendo F un vector de cargas deterministas.El punto principal en la formulacin del MEFEE es

minimizar el error M,P , resultante del truncamiento de las series, mediante el mtodo de Galerkin (Zienkiewi-cz y Taylor, 1995) con el fin de obtener la mejor aproxi-macin de los desplazamientos.

Se requiere, entonces, que el residuo M,P sea cero, es decir, ortogonal al espacio que ocupa el caos polinomial

10}{

-=Y

Pkk , quedando

(12)

donde {}E denota la esperanza matemtica.Para minimizar el error, ambos lados de la ecuacin

(11) se multiplican por Yk, y se toman esperanzas, obte-niendo

(13)

La ecuacin (13), que representa la ecuacin de equili-brio estocstica global, es una funcin de la base polino-mial sobre el espacio de funciones de Hilbert; donde Fk= E{FYk} es cero si k > 0 para cargas deterministas y

{ }i j kE x Y Y es la esperanza del producto de dos poli-nomios y una variable aleatoria (Sudret y Der, 2000; Dumitriu et al., 2007), denotada por ijkc . Agrupando trminos en la ecuacin (13), se tiene finalmente que la ecuacin de equilibrio estocstica es

1

0

P

jk j kj

K U F-

== (14)

con

0jk ijk i

M

iK c K=

= (15)

La ecuacin (14) establece un sistema de ecuaciones li-neales con dimensiones N.P N.P, donde N est deter-minado por el nmero fsico de grados de libertad en el modelo de elemento finito y P por el nmero de coefi-cientes que se utilizan en la expansin en caos polino-mial, dicho sistema se expresa como:

00 0, 0

10 1, 1

,0 ,

0

0

P o

P

P P P P

=

K K U FK K U

K K U

(16)

d)Clculodelaincertidumbresobrelosdesplazamientos

Para conocer las caractersticas (esperanza y matriz de covarianza) del campo aleatorio de la respuesta, se re-curre a un anlisis de segundos momentos (Sudret y Der, 2000), ya que los coeficientes de la ecuacin (14) por s solos no dan una idea clara de la incertidumbre sobre los desplazamientos, as se tiene

0{ }E U U= (17)1 2

0( , ) { }

P Ti i i

iCov U U E U U

-

== Y (18)

La expresin (17) representa la esperanza matemtica de los desplazamientos U y la expresin (18) define la matriz de covarianza (incertidumbre) sobre los despla-zamientos en trminos de la norma al cuadro ( 2{ }iE Y ).

Aplicacin

Para ilustrar la utilidad del mtodo espectral en la mo-delacin de la variabilidad espacial de las propiedades del suelo, se expone un ejemplo sencillo de inters prc-tico para la ingeniera y la geotecnia. Este anlisis per-mite observar la propagacin de la incertidumbre del mdulo de deformacin en los desplazamientos hori-zontales y verticales en un slido cbico. Para la reali-zacin del ejemplo, se adapt una subrutina del programa FERUM versin 3 (finite element reliability using matlab), llamada FERUMssfem (Sudret y Der, 2000) que permite realizar anlisis de incertidumbre con el MEFEE en dos dimensiones.

}{ 0 0, ..., 1,M P kE k P Y = = -

1

01( ) ( )x q q

-

==

+

Y =

PMi i j j

jiK K U F

1

,1 0

}{ , { } { }x-

= = Y = Y Y - Y

M P

M P k i j i j k ki j

E k U E E F

17



Planteamiento

Se considera un slido cbico de dimensiones unitarias (111 m), constituido de un solo material con mdulo de deformacin aleatorio, sometido a presin vertical de 100 kPa. Los apoyos en el extremo inferior restringen el movimiento verticalmente; el central, lo restringe tambin horizontalmente. En la figura 1 se observan es-tas condiciones. El anlisis se realiza suponiendo en primera aproximacin que prevalece un estado de es-fuerzos planos. Se evaluar la incertidumbre en los des-plazamientos horizontales y verticales con el MEFEE. Para realizar el anlisis, el cubo se discretiz con una malla de 100 elementos, la presin se represent como cargas puntuales aplicadas en los puntos nodales supe-riores de la malla, como se muestra en la figura 2.

Figura1.Representacinisomtricadelslidocbico

Se acepta que el mdulo de deformacin vara en dos dimensiones de acuerdo con un campo aleatorio esta-cionario. Se ignora la variacin en la direccin perpen-dicular al plano de anlisis, lo que equivale a suponer correlacin perfecta en esta direccin, es decir, que no existen variaciones del mdulo de deformacin de un punto a otro en esta direccin. Las caractersticas su-puestas del campo aleatorio bidimensional del mdulo de deformacin E son: E{E}=100kPa; CV(E)=0.1; la rela-cin de Poisson (n) se considera determinista con: E{n}=0.3; CV(n)=0. Se acepta que la funcin de autocova-rianza normalizada del mdulo de deformacin es de tipo exponencial:

2 1 2

1 2( , )X X

LE X X e

--

= (19)

donde L se define en forma convencional como distan-cia de correlacin, y corresponde a la distancia a partir de la cual la correlacin se considera despreciable.

Resultados

A travs del coeficiente de variacin, CV, es posible eva-luar la influencia de la incertidumbre del mdulo de deformacin sobre los desplazamientos horizontales y verticales en todo el cuerpo del slido. En las curvas de isovalores de las siguientes grficas se aprecia con clari-dad tal variacin, establecida para distintas distancias de correlacin.

En este primer anlisis, el campo aleatorio es del tipo ruido blanco (sin autocorrelacin). Las figuras 3b y 4b muestran que la incertidumbre en los desplaza-mientos verticales y horizontales es nula, debido a un efecto de promedio espacial o compensacin estadstica que anula la desviacin estndar y, por consecuencia, el CV es igual a cero en todo el cuerpo del slido. Un ma-terial cuyo mdulo presenta una variacin aleatoria es-pacial que puede representarse con un campo de ruido blanco se comporta, por tanto, como un material homo-gneo no aleatorio.

En este segundo anlisis, la distancia de correlacin (0.64m) es ligeramente inferior al ancho del slido (1m). La figura 5b muestra que, como deba esperarse, la in-certidumbre sobre los desplazamientos verticales es nula en la parte inferior del slido, donde el movimien-to fue restringido. En el resto del slido se observa que la incertidumbre no es uniforme debido al efecto de promedio espacial o compensacin estadstica. Por ejem-plo, la incertidumbre en el punto superior central es menor que en el punto superior de la esquina del slido debido a que el nmero de materiales puntuales con baja correlacin que interactan es mayor en el punto central que en el de la esquina. Por otra parte, en la figu-ra 6b se observa cmo el CV de los desplazamientos ho-rizontales tiende a infinito sobre el eje de simetra; en este caso, el comportamiento del material es fuertemen-te heterogneo lo que da lugar a que se presenten varia-ciones aleatorias alrededor de su valor esperado (que es nulo), originando una incertidumbre relativa infinita sobre tal eje.

100 kPa

1 x 1 x 1

Y

X

Figura2.Malladeelementosfinitos



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

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Figura3.Esperanzaycoeficientedevariacindelosdesplazamientosverticales

a)Esperanza b)Coeficientedevariacin

DistanciadecorrelacinL=0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

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Figura4.Esperanzaycoeficientedevariacindelosdesplazamientoshorizontales


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

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1

DistanciadecorrelacinL=0.64m


19



Distancia de correlacin infinita

Cuando la distancia de correlacin es infinita, el mate-rial se comporta como un slido homogneo pero alea-torio. En la figura 7b, se observa que, nuevamente, en los nodos donde el movimiento se restringi no existe incertidumbre.

En el resto del espcimen, la misma magnitud de la incertidumbre en el mdulo de deformacin se refleja directamente en los desplazamientos verticales. Por otro lado, tomando en cuenta que se conserva en este caso la simetra de los desplazamientos horizontales, la incertidumbre sobre el eje del slido, donde el despla-zamiento es necesariamente nulo, es tambin nula, como se muestra en la figura 8b. En el resto del espci-men, la misma magnitud de la incertidumbre en el m-

dulo de deformacin se refleja en los desplazamientos horizontales.

La variabilidad del desplazamiento vertical para el centro superior del cubo (punto A) en funcin de la distancia de correlacin se muestra en la figura 9. Para distancias de correlacin pequeas, la incertidumbre (desviacin estndar) sobre este desplazamiento es nula; tal resultado se debe al efecto de compensacin es-tadstica ya mencionado, debido a que el material es fuertemente heterogneo (ruido blanco) pero estadsti-camente homogneo. Conforme la distancia de correla-cin aumenta, la incertidumbre crece y se presenta una incertidumbre mayor para el punto A que para el B, hasta alcanzar la magnitud de la incertidumbre im-puesta en el mdulo de deformacin, cuando el mate-rial se vuelve estrictamente homogneo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

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La incertidumbre (desviacin estndar) sobre el despla-zamiento horizontal en funcin de la distancia de corre-lacin para el punto central superior (punto A) se observa en la figura 10. Nuevamente, para distancias de correla-cin pequeas, la incertidumbre de tal desplazamiento es nula, existiendo tambin un efecto de compensacin estadstica. Posteriormente, la incertidumbre se incre-menta y alcanza su mximo valor para una distancia de correlacin del mismo orden que la dimensin horizon-tal del dominio en estudio; conforme la distancia de co-rrelacin se sigue incrementando, el material comienza a estabilizarse estadsticamente y la desviacin estndar de los desplazamientos comienza a disminuir, hasta al-canzar nuevamente un valor nulo, lo cual representa la homogeneidad estricta del material con rigurosa sime-tra axial. El comportamiento estadstico del material para el punto superior de la esquina del slido es similar

al del punto superior central del espcimen, a excepcin de que para este punto el menor valor alcanzado no es nulo y est condicionado por la incertidumbre impuesta en el mdulo de deformacin.

Este sencillo ejemplo muestra que la distancia de co-rrelacin constituye un parmetro importante que repre-senta la heterogeneidad local que puede presentar un material estadsticamente homogneo y condiciona la incertidumbre que se puede esperar en el comportamien-to del mismo. Mayor atencin debera prestarse a este parmetro, especialmente en los anlisis geotcnicos.

Ventajas y limitaciones del mtodo

Una de las ventajas del enfoque espectral en compara-cin con otras tcnicas probabilistas comnmente em-pleadas (mtodos de perturbaciones) es que permite

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

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Figura9.Influenciadeladistanciadecorrelacinsobrelaincertidumbreenlosdesplazamientosverticales

0.0E+00

2.0E-03

4.0E-03

6.0E-03

8.0E-03

1.0E-02

1.2E-02

1.E-08 1.E-06 1.E-04 1.E-02 1.E+00 1.E+02 1.E+04 1.E+06 1.E+08Distancia de correlacin, m

Des

viac

in e

stn

dar d

e los

des

plaz

amie

ntos

verti

cale

s, m

Un materialUn material

Un material

Punto de la esquina superior

Punto central superior

Material fuertementeheterogneo

Material estrictamentehomogneo

A B

0.0E+00

1.0E-03

2.0E-03

3.0E-03

4.0E-03

5.0E-03

6.0E-03

7.0E-03

1.E-08 1.E-05 1.E-02 1.E+01 1.E+04 1.E+07Distancia de correlacin, m

Material estrictamente homogneoMaterial fuertemente

heterogneo

Un materialUn material

Un material

A

Punto centralsuperior (A)

Punto de la esquina superior (B)

Des

viac

ine

stn

dar d

e los

des

plaz

amie

ntos

horiz

onta

les,

mB

Figura10.Influenciadeladistanciadecorrelacinsobrelaincertidumbreenlosdesplazamientoshorizontales

21



realizar anlisis de incertidumbre que toman en cuen-ta la variabilidad espacial de las propiedades del suelo mediante campos aleatorios. Tal como se plante en este trabajo, en su estado actual, el mtodo solamente se aplica a problemas de elasticidad lineal y permite representar la variabilidad espacial de un solo campo aleatorio (mdulo de elasticidad, E), cuyas variables aleatorias tienen una distribucin Gaussiana. Sin em-bargo, la formulacin del MEFEE se puede extender al caso en el que se considere la relacin de Poisson, n, tambin aleatoria (debido al intervalo de valores que n puede tomar, este parmetro se considera como un campo aleatorio tipo Beta), an cuando esto ocasiona un mayor esfuerzo de clculo. Este es el tema de una investigacin que estn realizando actualmente los autores del presente trabajo. Ghanem (1999) extendi la formulacin del MEFEE a problemas de conduccin de calor con campos aleatorios lognormales. Por su parte, Matthies y Keese (2005) han planteado la ecua-cin de equilibrio estocstica del MEFEE para campos no Gaussianos. Recientemente Sett et al. (2011) propu-sieron una formulacin del MEFEE que permitira abordar el caso elasto-plstico, lo que aumentara su inters en Geotecnia.

El enfoque espectral presenta, por tanto, un poten-cial importante. Su mayor inconveniente es probable-mente que la representacin matemtica de los campos aleatorios a la que recurre se aleja del concepto fsico, y puede parecer muy abstracta a los ingenieros geotcni-cos prcticos.

Conclusiones

Se presentaron brevemente los conceptos probabilistas que permiten modelar la incertidumbre (variacin es-pacial) en los parmetros de materiales y evaluar su in-fluencia sobre los resultados de los anlisis con elemento finito (MEF). Asimismo, se presentaron las he-rramientas matemticas de una nueva tcnica: el enfo-que espectral, donde se evalu su utilidad a travs del anlisis de un slido cbico. Los resultados del ejemplo analizado son de gran utilidad para ilustrar cualitativa-mente cmo la variabilidad espacial puede afectar los resultados de los anlisis con el MEF. Ponen en particu-lar evidencia el fenmeno de compensacin estadstica y la importancia de la distancia de correlacin. Un anli-sis de incertidumbre que tome en cuenta la variabilidad espacial de las propiedades de los materiales puede re-sultar particularmente til en el caso de estructuras t-rreas, obras que se construyen con materiales, cuyas propiedades tienen un grado alto de incertidumbre de-bido a su heterogeneidad inherente.

Los comentarios presentados en este trabajo marcan las ventajas y limitaciones del mtodo espectral y debe-ran ser tiles para el ingeniero deseoso de utilizar este tipo de tcnicas.

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Este artculo se cita:

Citacin Chicago

Pineda-Contreras,AlmaRosa,GabrielAuvinet-Guichard.Mtododelelemento finitoestocsticoengeotecnia.Enfoqueespectral.Ingeniera Investigacin y TecnologaXIV,01(2013):11-22.

Citacin ISO 690

Pineda-ContrerasA.R.,Auvinet-GuichardG.Mtododelelemen-to finito estocstico en geotecnia. Enfoque espectral. Ingeniera Investigacin y Tecnologa,volumenXIV(nmero1),enero-marzo2013:11-22.

Semblanza de los autores

Alma Rosa Pineda-Contreras. Ingeniera civil graduada por la Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacio-nal Autnoma de Mxico. En 2007, obtuvo el grado de maestra en ingeniera en el rea de mecnica de suelos en el programa de posgrado en ingeniera de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico. Ac-tualmente es estudiante de doctorado en ingeniera (geotecnia) y becaria del Instituto de Ingeniera.

Gabriel Auvinet-Guichard. Se gradu como ingeniero civil en la Ecole Spciale des Travaux Publics de Paris en 1964. Obtuvo el grado de doctor en ingeniera por la Divisin de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico en 1986. Es profesor en la misma Divisin de Estudios de Posgrado desde 1968. Ha sido profesor invitado en las Universidades francesas de Gre-noble (1986), Nancy (1993-1994) y de Clermont (2003-2004). Ha dirigido 35 tesis de licenciatura, 48 de maestra y 9 de doctorado. Ha ocupado el puesto de subdirector del Instituto de Ingeniera de la UNAM. Ha sido presidente de la Sociedad Mexicana de Mecnica de Suelos y ha recibido distintos premios y reconocimientos, incluyendo el premio Larivire del CNAM de Paris, Francia, el premio Javier Ba-rrios Sierra del Colegio de Ingenieros Civiles de Mxico y el premio Liebermann de Ingeniera de la Ciudad de Mxico. Es profesor honorario de las universidades Ricardo Palma y Antenor Orrego, Per. Es miembro de la Academia de Ciencias y de la Academia Nacional de Ingeniera de Mxico. Ha dedica-do su trabajo de investigacin a problemas de mecnica de suelos con nfasis en la ingeniera de cimen-taciones en suelos blandos en zonas ssmicas y en presencia de hundimiento regional. Actualmente dirige el laboratorio de Geoinformtica del Instituto de Ingeniera de la UNAM y es vice-presidente por Norte Amrica de la Sociedad Internacional de Mecnica de Suelos e Ingeniera Geotcnica.



(artculo arbitrado)


Shape Optimization of a Hanging Body Based on Evolutive Rules and Parametric Modeling: The Shape of a Fruit

Informacin del artculo: recibido: junio de 2009, aceptado: junio de 2012.

Descriptores:

diseoptimo optimizacindeforma optimizacinestructural anlisisporelementosfinitos

Velzquez-Villegas F. Centro de Diseo Mecnico e Innovacin Tecnolgica

Facultad de Ingeniera Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Correo: [email protected]

Santilln-Gutirrez S.D.Centro de Alta Tecnologa

Facultad de Ingeniera Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Correo: [email protected]

Resumen

En este trabajo se desarrolla la optimizacin de forma de un cuerpo suspen-dido y sometido a fuerzas de cuerpo. La geometra del cuerpo es modelada con curvas paramtricas B-Spline. Dicha optimizacin se logra por medio de la modificacin del contorno de la geometra con base en el nivel de esfuerzo calculado usando Anlisis por Elementos Finitos. Reglas evolutivas clsicas son empleadas en el proceso de optimizacin; sin embargo, el mtodo para realizar la modificacin del contorno de la geometra no es ni clsico ni tri-vial. A diferencia de la mayora de los mtodos de optimizacin de forma, que utilizan slo la informacin de los puntos del contorno aisladamente, en este trabajo se aplica un mtodo que toma en cuenta la informacin de los puntos del contorno y su vecindad.

Abstract

This paper develops the shape optimization of a body, which is hanged and subjected to body forces. The geometry of the body is modeled using parametric curves B-Spline. The shape optimization is carried out modifying the boundary of the body based on the stress level calculated via Finite Element Analysis (FEA). Traditional evolutive rules are used for the optimization process; however, the method of bound-ary modification in the optimization process is neither traditional nor trivial. Unlike most shape optimization methods, which only use the information of boundary points in a isolated way, in this approach the geometry boundary is modified consid-ering both points and neighborhood information.

Keywords:

optimal design shape optimization structural optimization finite element analysis



Introduccin

Los mtodos de optimizacin pueden agruparse en dos tipos: mtodos basados en el gradiente y mtodos heursticos. Los primeros implican que los problemas a resolver estn representados por funciones conti-nuas de las que es necesario calcular sus derivadas para obtener sus mnimos (mximos). Por otra parte, los mtodos heursticos no requieren derivadas ni fun-ciones continuas, en lugar de ello, aplican iterativa-mente bsquedas seudoaleatorias, regidas por algunas reglas para obtener soluciones cercanas a la ptima.

Gracias al impresionante desarrollo de los equipos de cmputo, ahora es posible utilizar poderosos mto-dos numricos, como el mtodo de los elementos finitos (FEM) y el mtodo de los elementos frontera (BEM), en la creacin de algoritmos eficientes aplicados a la optimi-zacin estructural, cuya meta es obtener las mejores so-luciones para problemas estructurales.

Uno de los problemas ms interesantes en la optimi-zacin estructural es la optimizacin de forma. La pre-gunta fundamental en estos problemas es cul es la forma que debe tener una estructura bajo ciertas condi-ciones de

V14N1

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