{v1,v - IQCCstark.udg.edu/~perico/docencia/curs_07_08/TC_QTC_0708.pdf ·

$: {v1,v - IQCCstark.udg.edu/~perico/docencia/curs_07_08/TC_QTC_0708.pdf ·$
Técnicas Computacionales, Curso 2007-2008. Pedro Salvador

1

2.1- Nociones de Álgebra lineal

No entraremos en detalle ni en definiciones demasiado formales sino que veremos

únicamente aquellos conceptos que necesitaremos durante el curso.

2.1.1 Espacios vectoriales

Un espacio vectorial es una estructura algebraica que incluye dos tipos de elementos

que cumplen una serie de propiedades y axiomas. Éstos elementos son los escalares y

los vectores.

En general, los escalares serán el conjunto de números reales o complejos.

Los vectores son objetos abstractos que cumplen una serie de propiedades y no tienen

porque ser únicamente los vectores geométricos que conocemos. El término vector

también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones. Por

ejemplo, los vectores que se usan en mecánica cuántica son funciones.

2.1.2 Combinación lineal, independencia lineal y base

Supongamos un conjunto de N vectores de un espacio vectorial determinado

{ }Nvvv ,...,, 21 .

Una combinación lineal de dichos elementos se define como la suma siguiente

∑=++N

iiiNN vavavava ...2211

donde a1, a2,.., an son escalares.

El conjunto de N vectores es linealmente independiente si se cumple que

0=∑N

iiiva

únicamente cuando a1 = a2 =...= an = 0.

Esto implica que ningún vector del conjunto { }Nvvv ,...,, 21 puede expresarse como

combinación lineal de los demás.

El conjunto de vectores será un conjunto generador del espacio vectorial si cualquier

vector w que pertenezca al espacio vectorial puede expresarse como combinación lineal

de ellos


2

∑=++=N

iiiNN vavavavaw ...2211 .

Además, si esta combinación es única el conjunto generador será una base del espacio.

En este caso, los vectores del conjunto serán además linealmente independientes.

Los coeficientes escalares a1, a2,.., an serán las componentes del vector w en la base.

El numero de vectores de una base determina la dimensión del espacio vectorial. En

realidad, los espacios vectoriales pueden ser de dimensión finita o infinita1. El conjunto

de todos los vectores de n componentes reales conforma el espacio vectorial Rn, cuya

dimensión es precisamente n.

Por ejemplo, para el espacio Euclidiano tridimensional, R3. el conjunto de vectores

{(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)},

son generadores del espacio pero no son base, porque no son linealmente

independientes. Una base del espacio la forman los vectores

{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.

Sin embargo, los vectores

{(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)}

no son generadores (ni base) de R3 porque los vectores cuya tercera componente sea

diferente de cero no pueden expresarse como combinación lineal de ellos.

2.1.3 Producto escalar

Aparte de las propiedades propias del espacio vectorial se define también un producto

interno que permite introducir las nociones de distancia, ángulo y norma, llamado

producto escalar.

Un producto escalar debe cumplir también una serie de propiedades y de hecho su

definición depende del tipo de espacio vectorial.

Para el espacio vectorial Rn se define el producto escalar entre dos vectores como

1 En los espacios que intervienen en la mecánica cuántica, Espacios de Hilbert, los vectores son

funciones definidas sobre el cuerpo complejo que cumplen una serie de condiciones y la dimensión del

espacio es infinita.


3

∑=++==⋅n

iiinn

T vwvwvwvwvwvw ...2211

es decir, la suma de los productos de las componentes de los vectores.

A partir del producto escalar de un vector con sigo mismo

22)( vwvvN

ii

rrr ==⋅ ∑

encontramos el concepto de norma

( ) 21vvv rrr ⋅=

Diremos que un vector esta normalizado cuando su norma es la unidad

1=vr

Se demuestra también que el producto escalar entre dos vectores también cumple

αcosvwvw =⋅

donde α es el ángulo que forman ambos vectores. Por tanto, cuando dos vectores son

ortogonales entre si, su producto escalar se anula

vwsivw rrrr ⊥=⋅ 0

Si los vectores de una base { }ivr son ortogonales ente si y están normalizados diremos

que la base es ortonormal o que está ortonormalitzada.

Podemos escribir ambas condiciones al mismo tiempo usando la función delta de

Kronecker

ijji vv δ=⋅ rr

donde

⎩⎨⎧

=≠

=jiji

ij 10

δ


4

2.1.4 Matrices: propiedades y operaciones

Definiciones y propiedades elementales

Una matriz es una tabla rectangular de (generalmente) números que pueden ser sumados

o multiplicados. Las líneas horizontales de números se llaman filas y las verticales

columnas. Decimos matriz de dimensión n x m a una matriz compuesta por n filas y m

columnas.

Dada una matriz A de dimensión n x m , representamos el elemento que ocupa la y-

ésima fila y j-ésima columna como Aij o bien A(y,j).

Un vector no es mas que una matriz donde una de las dimensiones es 1. Así, un vector

fila es una matriz de dimensión 1 x m y un vector columna una matriz de dimensión

n x 1.

Suma de matrices

Dadas dos matrices de dimensión n x m, A y B, podemos definir su suma C = A + B

como la matriz de dimensión n x m los elementos de la cual vienen dados por la suma

de los elementos correspondientes de las matrices A y B tal que

jiBAC ijijij ,∀+=

Para poder sumar dos matrices, éstas deben tener las mismas dimensiones. La matriz

resultante tendrá también las mismas dimensiones.

Producto de matriz por escalar

Dada una matriz A cualquiera y un escalar α definimos el producto escalar de α por A,

B = α·A como el producto de α por cada elemento de la matriz A de manera que

jiAB ijij ,∀=α

Producto de matrices

El producto matricial entre dos matrices A y B solamente se puede llevar a cabo cuando

el numero de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B. En tal

caso, sea una matriz A de dimensión n x m y una matriz B de dimensión m x p tenemos

que el producto matricial A·B es otra matriz C de dimensión m x p , los elementos de la

cual vienen dados por

pjmiBABABABACn

kkjiknjinjijiij ,1,1...2211 ∈∀∧∈∀=+++= ∑


5

El producto de matrices no es conmutativo, por tanto, en general

A·B ≠ B·A

De hecho, en el ejemplo anterior el producto B·A no es ni siquiera posible ya que el

número de filas de B no coincide con el número de columnas de A.

Tipos de matrices :

Matriz cuadrada

Matriz donde el número de filas es igual al número de columnas. El producto entre dos

matrices cuadradas es otra matriz cuadrada. Con matrices cuadradas los productos

matriciales A·B y B·A son posibles, a pesar de que, en general, no dan el mismo

resultado.

Matriz simétrica

Una matriz cuadrada A es simétrica si cumple que

jiAA jiij ,∀=

Cuando los elementos de la matriz están definidos en el cuerpo complejo se define

matriz hermítica como

jiAA jiij ,* ∀=

donde *jiA representa el conjugado complejo del elemento de matriz.

Matriz diagonal

Una matriz cuadrada A es diagonal si los elementos de fuera de la diagonal principal son

cero

jiAij ≠∀= 0

Matriz identidad

La matriz identidad es una matriz cuadrada diagonal donde los elementos de la diagonal

principal son la unidad. Por tatnto, podemos escribir sus elementos a partir de una delta

de Kronecker

ijijI δ=

La matriz identidad hace el papel de elemento neutro para el producto matricial. Es

decir, el producto de una matriz cuadrada por la matriz identidad de dimensión


6

adecuada (y viceversa) da como resultado la propia matriz.

A·I = I·A = A

Matriz transpuesta

Dada una matriz A de dimensión n x m , definimos su matriz transpuesta, AT, que será

de dimensión m x n, intercambiando sus filas y columnas,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nmmm

n

n

T

nmnn

m

m

aaa

aaaaaa

A

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

...............

...

...

21

22212

12111

21

22221

11211

Por tanto, podemos escribir

jiAA jiTij ,∀=

Para una matriz simétrica se cumple que

A = AT

Por otro lado, en general

(AT)T = A

(A + B)T = AT + BT

(A·B)T = BT· AT

Por tanto, el producto de una matriz cualquiera por su transpuesta resulta en una matriz

simétrica

B = AT·A → BT = (AT·A)T = AT·(A T)T= AT·A =B

Cuando los elementos de la matriz están definidos en el cuerpo complejo se definen los

elementos de la matriz adjunta como

jiAA jiij ,* ∀=+

En este caso, para una matriz hermítica se cumple que

A = A+


7

Matriz Inversa

Dada una matriz cuadrada A de dimensión n, se define su matriz inversa A-1 como la

matriz que cumple que

A-1·A = A·A-1·= I

donde I es la matriz identidad de dimensión n. La matriz inversa A-1 es única y en

general

(A-1)-1 = A

(A·B)-1 = B-1· A-1

Matriz singular

Una matriz es singular cuando no existe su matriz inversa, es decir, cuando no es

invertible. Cuando el determinante de una matriz cuadrada es cero (vide infra) la matriz

es singular.

Matriz ortogonal

Una matriz cuadrada U es ortogonal cuando su transpuesta es su propia inversa, por

tanto

U-1 = UT·

Si dos matrices A y B son ortogonales, su producto es también una matriz ortogonal.

Una matriz es ortogonal si y solo si sus vectores columna son ortonormales, es decir,

cuando éstos forman una base ortonormalitzada.

Cuando los elementos de la matriz están definidos en el cuerpo complejo tenemos que

una matriz cuadrada es unitaria cuando su adjunta es su propia inversa.

V-1 = V+·

Traza de una matriz

Se define la traza de una matriz cuadrada de dimensión n como la suma de los

elementos de su diagonal principal

∑=N

iiiAAtr )(


8

Determinante de una matriz

El determinante de una matriz cuadrada no es mas que una función que aplicada a la

matriz retorna un escalar (número)

det(A) = α

Cuando el determinante de una matriz es cero la matriz es singular (no invertible).

También indica que una o más filas o columnas de la matriz se puede expresar como

combinación lineal de las otras; por tanto, indica dependencia lineal de los vectores fila

o columna que componen la matriz.

Se cumplen las propiedades siguientes

det(AB) = det(A) det(B) = det (BA)

det(AT) = det(A)

det(U) = 1

Además

• Si se intercambian dos filas o columnas de una matriz su determinante cambia

de signo

• Multiplicando una fila o columna por un escalar α multiplica el valor del

determinante por α

• Añadir un múltiplo de una fila o columna a otra no afecta al valor del

determinante

En secciones siguientes veremos como se obtiene el determinante de una matriz

cuadrada.

2.5 Cambio de base.

Dadas dos bases de vectores { }iwr y { }iwr de un espacio vectorial Rn, podemos escribir

cada vector de la base { }iwr como combinación lineal de los vectores de la base { }iwr .

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+++=

+++=+++=

nnnnnn

nn

nn

vavavaw

vavavawvavavaw

rrrr

rrrr

rrrr

......

......

2211

22221212

12121111

Los coeficientes de la combinación lineal se pueden escribir en forma de una matriz,

que representa la matriz de cambio de base.


9

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

11211

Podemos escribir el proceso de cambio de base de la manera siguiente

AVW ⋅=

donde W y V son matrices que contienen, en columnas, las componentes de los vectores

de las bases { }iwr y { }iwr , respectivamente.

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≡≡

nnnn

n

n

n

www

wwwwww

wwwW

...............

...

...

...;;;

21

22221

11211

21rrr

Por tanto, podemos escribir

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

vvv

vvvvvv

www

wwwwww

...............

...

...

...............

...

...

...............

...

...

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211


10

2.2.- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

2.2.1. Algoritmo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordan

Partimos de un sistema de N ecuaciones lineales con N incógnitas (x1,x2,...,xN).

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+++

=+++=+++

NNNNNN

NN

NN

bxa...xaxa...

bxa...xaxabxa...xaxa

2211

22222121

11212111

(1)

donde los elementos aij y bi corresponden a los coeficientes y términos independientes

de las ecuaciones. Podemos escribir la expresión (1) en forma matricial de manera que

bAx = (2)

donde

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

NNNNNN

N

N

x...xx

x

b...bb

b

a...aa............

a...aaa...aa

A 2

1

2

1

21

22221

11211

(3)

El algoritmo de Gauss-Jordan se basa en sustituir ecuaciones (filas de la matriz A y

elementos del vector de términos independientes b) por combinaciones lineales de

ecuaciones del propio sistema (entre filas de la matriz A) de tal manera que

conseguimos transformar la matriz A en una matriz diagonal.

Vamos a ver como funciona. El objetivo es, tomando una de las ecuaciones (filas de A)

como referencia (eqref) , sustituir las otras ecuaciones (eqk) por una combinación lineal

del tipo

refkeqeqeq refkk ≠∀×+⇐ α' (4)

de tal manera que se consiga eliminar de la eqk la dependencia con la variable de


11

referencia (hacer cero el elemento correspondiente de la columna ref en A). Para ello se

escoge de manera adecuada el factor α para cada fila k.

En forma matricial, esto implica que si hemos escogido la primera fila de A como

referencia, sustituimos cada una de las otras filas por combinaciones lineales tales que

hagan que el elemento Ak1 se anule. Es decir, pretendemos conseguir que en la primera

columna de la matriz A todos los elementos sean cero excepto el primero (el de la fila de

referencia). Se puede comprobar fácilmente que si sustituimos la segunda de las

ecuaciones por la combinación lineal

111

2122 eq

aaeqeq' ×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⇐ (5)

la nueva eq2 tendrá la forma

'bx'a...x'ax NN 1121210 =+++ (6)

Si lo hacemos para todas las ecuaciones (excepto la de referencia) tendremos un

sistema de ecuaciones equivalente al original

'bx'A = (7)

donde tanto la matriz de los coeficientes como el vector de términos independientes

habrán cambiado a la forma

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

'b...

'b'b

'b

'a...'a............

'a...'a'a...'aa

'A

NNNN

N

N

2

1

2

222

11211

0

0

(8)

Si tomamos ahora como fila de referencia la segunda y repetimos el proceso para todas

las demás filas (incluida la primera, que fue referencia en el paso anterior) el sistema

quedaría de la forma


12

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

''b...

''b''b

'b

''a...............

''a...'a''a...a

''A

NNN

N

N

2

1

222

111

00

00

(9)

Vemos que en este segundo paso hemos generado ceros en la segunda columna (excepto

para la segunda fila), mientras que los cero de la primera columna generados en el paso

anterior se mantienen (esto es así porque la segunda fila de referencia ya tiene un cero

en la primera columna, por lo que al llevar a cabo la combinación lineal correspondiente

para las demás filas su primer elemento no se ve modificado).

Por tanto, si repetimos el proceso consecutivamente para cada fila de la matriz A

conseguiremos finalmente tener un sistema de ecuaciones equivalente al original pero

con las matrices de coeficientes y de términos independientes de la forma

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

finalN

final

final

final

finalNN

finalfinal

b...

bb

b

a...............

...a

...a

A 2

1

22

11

00

0000

(10)

Ahora, cada ecuación depende únicamente de una variable y por tanto la solución del

sistema es trivial

finalNN

finalN

Nfinal

final

final

final

abx,...,

abx,

abx ===

22

22

11

11 (11)

Visualmente, si dividimos cada ecuación final por el coeficiente correspondiente a la

variable de que depende cada una tenemos que la matriz de coeficientes es la matriz

identidad de la dimensión del problema.


13

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

finalNN

finalN

finalfinal

final

finalfinal

ab

abab

xbA...

1...00............0...00...01

222

111

(10)

En este punto, el vector de términos independientes coincide con la solución del

sistema de ecuaciones.

El algoritmo en pseudocodigo para este proceso seria el siguiente

do Por cada fila de referencia i

do Por las demás filas k (k ≠ i)

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇐

∀⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇐

iii

kikk

ijii

kikjkj

baab'b

jaaaa'a

end do

end do

iabx final

ii

finali

i ∀=

Internamente, las modificaciones de la matriz de coeficientes y de términos

independientes se pueden guardar en las posiciones de memoria de las propias matrices

iniciales por lo que se sobrescriben sus valores iniciales. De esta manera no se necesita

definir ninguna matriz o vector auxiliar para llevar a cabo el proceso de Gauss-Jordan.


14

Otras consideraciones

• Debemos procurar de que los elementos de la diagonal de la matriz A (akk) deben ser

diferentes de cero, de lo contrario α no seria calculable. Si al principio se detectara

este problema (a11 = 0), entonces la primera fila de referencia debería ser otra donde

(ak1 ≠ 0). Por otro lado, dado que la matriz A se va modificando conforme vamos

avanzando el proceso de eliminación, cada vez que debamos escoger una fila de

referencia deberemos comprobar que el elemento de la diagonal principal no se

anula, y si es así, intercambiar esta fila por otra de las que no ha sido utilizada

anteriormente como referencia para seguir con el proceso. Si se llega a un punto

en que ninguna de las ecuaciones restantes cumple dicha condición entonces querría

decir que el sistema no es compatible (no tiene solución).

Para una discusión mas detallada ver la sección de Pivoteo Parcial.

• Fíjense que para calcular el factor α se utilizan los elementos de la matriz de

coeficientes antes de ser transformada .O sea que puesto que tenemos que

ijii

kikjkj a

aaa'a ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇐

conforme vamos recalculando los nuevos elementos de la fila k (para cada columna

j; 'kja ), eventualmente sobrescribiremos el valor aki (cuando j=i). Esto implicaría

utilizar para una misma fila dos factores α diferentes, ii

ki

aa

=α para j ≤ i y ii

ki

aa '

=α

para j > i). Para evitarlo debemos calcular el valor de α y guardarlo en una variable

antes de aplicar las sustituciones oportunas.

• Una manera de hacer más sencillo el algoritmo es definir la matriz ampliada

siguiente

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

NNNNN

N

N

b...bb

||||

a...aa............

a...aaa...aa

2

1

21

22221

11211


15

donde la columna de términos independientes se ha añadido a la matriz cuadrada de

coeficientes. De esta manera la matriz A ahora tendría dimensiones N x(N+1) y

tendríamos todos los efectos que )N(ii ab 1+≡

Esto quiere decir que podriamos recalcular los elementos de la matriz de

coeficientes y el vector de terminos independientes de una vez haciendo

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇐ 11 N,ja

aaa'a ij

ii

kikjkj


16

2.2.2. La técnica del pivoteo en el algoritmo de Gauss-Jordan

El algoritmo de eliminación Gaussiana tal y como lo hemos visto es bastante inestable y

comporta una serie de problemas. Entre ellos, el más evidente es cuando nos

encontramos con que un elemento de la diagonal de la matriz de coeficientes

(inicialmente o según la vamos transformando) es cero (o un número muy pequeño, del

orden de la precisión de la máquina).

La estrategia de pivoteo combinada con el escalado nos puede ayudar a diseñar un

algoritmo mas estable y de aplicación general.

Recordemos que el algoritmo de Gauss-Jordan resuelve un sistema de ecuaciones

lineales del tipo,

bAx = (1)

o más de uno simultáneamente (algoritmo de inversión matricial)

1−≡= AXIAX (1)

mediante la aplicación de operaciones básicas que consisten en sustituir una fila de A

por una combinación lineal entre ella misma y otra que se elige como pivote. Se puede

ver facilmente que el hecho de realizar este tipo de operación no afecta al resultado

siempre y cuando apliquemos la misma operación al vector/matriz de términos

independentes, es decir a la derecha de la eq. (1) o (2).

Así mismo, hay otras operaciones elementales que podemos realizar y que no nos afecta

a la solución de las eq (1) o (2): el intercambio de filas o columnas.

Intercambiar dos filas de A y las correspondientes de b o I no afecta a la solución del

sistema ya que solo implica cambiar el orden en que se escriben las N ecuaciones.

Si se intercambian dos columnas entonces debemos ir con cuidado ya que el resultado

final del sistema se verá alterado a menos que realicemos los mismos intercambios

entre las filas del vector (x) o matriz (X) de soluciones.

La técnica de pivoteo implica realizar estas operaciones con el fin de seleccionar el

mejor elemento de la diagonal que se utilizará para llevar a cabo el proceso de


17

eliminación de Gauss-Jordan. El uso del intercambio de filas únicamente recibe el

nombre de pivoteo parcial (partial pivoting), mientras que si se aplica a demás el

intercambio de columnas estaremos aplicando pivoteo total (full pivoting).

Con el pivoteo parcial conseguiremos fácilmente a) evitar divisiones per cero y b)

determinar si el sistema es incompatible o la matriz es singular (no tiene inversa).

Lo que haremos será escoger la fila de referencia siempre como aquella (disponible)

que presente un valor más grande (en valor absoluto) en el elemento situado en la

columna donde pretendemos generar los ceros. Así, si pretendemos generar ceros en

la primera columna elegiremos como fila de referencia aquella cuyo primer elemento

sea mayor en valor absoluto. Si ésta fila no corresponde con la primera, procederemos al

intercambio de los valores de la fila escogida de la matriz ampliada por los de la

primera, y procederemos seguidamente al proceso de eliminación. El paso siguiente es

el de generar ceros en la segunda columna de la matriz ampliada. Para ellos

escogeremos como fila de referencia aquella que presente un elemento mayor en valor

absoluto en la segunda columna, exceptuando la fila primera, que acababa de ser

usada como fila de referencia. Esto es así porque si volviéramos a usar como referencia

una fila anterior perderíamos los cero que habíamos generado previamente en columnas

anteriores.

Por tanto, siempre debemos buscar la nueva fila de referencia para generar ceros

en la columna i entre las i, i+1 ,..., n filas disponibles.

La ventaja de este proceso es que, si se llega a un punto en el que no hay ninguna fila

disponible con un valor diferente de cero en la columna en la que se pretenden generar

ceros podemos asegurar que el sistema no es compatible (o bien que la matriz no tiene

inversa).

Por otro lado, si en un sistema de ecuaciones multiplicáramos una de las ecuaciones por

un factor de 106 la solución no se verá afectada, y esto provocaría que, casi con total

seguridad, esta ecuación pasaría a ser la primera referencia para el proceso de

eliminación. Normalmente se combina la técnica del pivoteo parcial con la del

escalado, según la cual se escalan las ecuaciones originales del sistema de manera que

los coeficientes de las mismas sean comparables entre si. Una manera de hacerlo es

dividir los coeficientes de cada ecuación por el elemento máximo (en valor absoluto)

de cada una.


18

Ejemplo

Encontrar el polinomio interpolador de 3er orden que pasa por los puntos (-1,0), (3,2),

(0,-4), (-3,2).

Debemos plantear un sistema de ecuaciones del tipo

yi = a xi3 + b xi

2 +c xi +d ∀ i,

en este caso:

0 = a (-1)3 + b (-1)2 +c(-1) +d

2 = a 33 + b 32 +c 3 +d

-4 = a 03 + b 02 +c 0 +d

2 = a (-3)3 + b (-3)2 +c(-3) +d

Así pues, debemos resolver el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

0 = -a + b -c +d

2 = 27a + 9b +3c +d

-4 = d

2 = -27a + 9b -3c +d

y en forma matricial

-1 1 –1 1 0

27 9 3 1 2

0 0 0 1 -4

-27 9 -3 1 2

Si aplicáramos Gauss-Jordan sin pivoteo parcial tendríamos:

Generando ceros en columna 1

-1.00000 1.00000 -1.00000 1.00000 0.00000

0.00000 36.00000 -24.00000 28.00000 2.00000

0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 -4.00000

0.00000 -18.00000 24.00000 -26.00000 2.00000

Generando ceros en columna 2

-1.00000 0.00000 -0.33333 0.22222 -0.05556

0.00000 36.00000 -24.00000 28.00000 2.00000

0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 -4.00000

0.00000 0.00000 12.00000 -12.00000 3.00000

No es posible generar ceros en la columna 3 debido a la presencia de un cero en el elemento


19

correspondiente de la diagonal y el algoritmo falla.

Solo si aplicamos un algoritmo más robusto incluyendo pivoteo parcial (intercambiando

filas) podemos solucionar el problema, llegando a la solución final:

1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.4166667

0.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.6666667

0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.0000000 -3.7500000

0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 -4.0000000

y por tanto el polinomio interpolador que buscábamos es

f(x) = 0.4166667 x3 + 0.6666667 x2 -3.7500000 x -4.0000000

En este caso particular el problema se puede solucionar sin pivoting. Solo debemos

introducir las ecuaciones en un orden diferente. Cual? A pesar de ello, no podemos

encontrar a menudo casos donde independientemente del orden inicial de las ecuaciones

necesitemos implementar pivoting para llegar a la solución.

Tècniques Computacionals, Curs 2007-2008. Pedro Salvador

2.3.- Inversió de Matrius

2.3.1 Algorisme general d’inversió de matrius quadrades

Partim d’una matriu quadrada, A, de dimensions N×N i volem determinar la seva matriu

inversa, A-1, és a dir la matriu amb la que es compleix

IAAAA == −− 11 (1)

De fet, podríem plantejar el problema de trobar la matriu inversa com la resolució de N

sistemes d’equacions del tipus

N,ibAx ii 1=∀= (2)

on

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1

00

0

10

0

01

21 ...b,...,

...b,

...b N

(3)

Si escrivim l’eq (2) de la següent manera

[ ] [ ]4342143421

I

N

A

N b,...,b,bx,...,x,xA 21211

=−

(4)

podem veure fàcilment que els vectors xi corresponen a les columnes de la matriu

inversa

1


[ ]⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==−

NNNN

N

N

N

x...xx............

x...xxx...xx

x,...,x,xA

21

22221

11211

211

(4)

Podem trobar la inversa de la matriu resolent les N equacions simultàniament construint

la següent matriu auxiliar

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1000010001

21

22221

11211

...

.........

...

...

||||

a...aa............

a...aaa...aa

B

NNNN

N

N

(5)

que construïm a partir de la matriu original, A, i la matriu identitat , I.

Ara, l’algorisme per determinar la matriu inversa és anàleg al de Gauss-Jordan per la

resolució de sistemes d’equacions que hem vist prèviament.

L’objectiu és, mitjançant la tècnica de l’eliminació Gaussiana, transformar el primer

bloc de la matriu en la matriu identitat. És a dir, el que farem és substituir files de la

matriu B per combinacions lineals de files de la pròpia matriu de tal manera que

aconseguim transformar el primer bloc de la matriu en una matriu diagonal.

Posteriorment, dividim cada fila per l’element de la diagonal del primer bloc per tal

d’aconseguir la matriu identitat. Arribats a aquest punt, al segon bloc de la matriu B hi

trobarem la matriu inversa que estàvem buscant.

2


Per tant l’algorisme serà, pràcticament, anàleg al de Gauss-Jordan, amb la diferència

que la matriu sobre la que fem les transformacions tindrà 2N columnes

do Per cada fila de referència i do Per totes les altres files k (k≠i)

[ ]⎭⎬⎫

∈∀⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇐ N,ja

aaa'a ij

ii

kikjkj 21 !Apliquem Gauss-Jordan

end do end do do Per cada fila i

[ ]⎭⎬⎫

∈∀⇐ N,jaa

aii

ijij 21 !Dividim cada fila per aconseguir

!matriu diagonal al primer bloc end do

( ) Nj'jaa 'ijij+=∧≡−1

!Elements de la matriu inversa

Anàlogament al mètode de Gauss-Jordan, ens podem trobar amb zeros a la diagonal (del

primer bloc de la matriu B), que implicarien eventualment una divisió per zero. Aquests

elements nuls podem existir inicialment a la matriu A, o bé aparèixer a mesura que la

matriu original es va transformant. Tant en un cas com en un altre, podem evitar el

problema simplement seleccionant una altra fila de referència (veure pivotatge)

3


2.4.- Equacions seculars

2.4.1. Definicions

Les equacions seculars, o equacions de valors i vectors propis, son potser les equacions

matricials més importants i les seves aplicacions son il·limitades en el camp de l’àlgebra

lineal.

Suposem que tenim una matriu quadrada A de dimensió N i un vector columna v de la

mateixa dimensió. El resultat de multiplicar la matriu pel vector

wvA rr = (1)

serà una altre vector w, de la mateixa dimensió.

Direm que el vector v és un vector propi o eigenvector de la matriu A si es compleix

que

vvA rr λ= (2)

o bé desenvolupant el producte de matriu per vector

NivvAN

kikik ,1=∀=∑ λ (3)

a on λ és un escalar. És a dir, si el resultat de multiplicar una matriu per un vector

columna dona un múltiple d’aquest,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

NNNNNNN

N

N

v

vv

v

vv

v

vv

AAA

AAAAAA

............

..................

2

1

2

1

2

1

21

22221

11211

λ

λ

λλ

(4)

el vector serà un vector propi de la matriu. Per tant, els vectors propis d’una matriu són

aquells que quan son transformats (multiplicats) per la matriu no canvien la seva

direcció.

1


Per altra banda, l’escalar λ rep el nom de valor propi o eigenvalor associat al vector

propi.

Fixeu-vos que en una equació del tipus (2)-(4), les incògnites son tant el vector propi

(cada component) com el valor propi associat, el que provoca que la seva resolució, és a

dir, el procés de determinar valors i vectors propis no sigui trivial.

Els vectors propis d’una matriu A no estan únicament definits en el sentit de que si v és

un vector propi de A amb valor propi λ, un múltiple del vector v també serà vector propi

i tindrà associat el mateix valor propi. Si definim el vector w con un múltiple de v

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

NN v

vv

v

w

ww

w

α

αα

α......

2

1

2

1

rr

(5)

i comprovem si és vector propi a partir de l’eq (2)

wvvvAvAwA rrrrrr λαλαλαα ===== )()( (6)

veiem que en efecte es compleix la condició, on hem fet servir les propietats del

producte d’una matriu o vector per un escalar. Podem veure-ho també desenvolupant el

producte de la matriu pel vector, tal i com hem fet a l’equació (3)

Niw

vvvAvAwA

i

N

ki

N

kikikkik

N

kkik

,1=∀=

=====∑ ∑∑λ

λααλαα

(7)

Així doncs, sempre podrem multiplicar un vector propi per un escalar i el resultat

seguirà essent un vector propi amb el mateix vector propi. No considerem però que

aquest nou vector sigui un altre vector propi diferent, és a dir, una altra solució de l’eq.

(2). A la pràctica això vol dir que podem triar la longitut (mòdul) de cada vector propi.

Normalment s’escullen de manera que la seva norma sigui la unitat, és a dir,

normalitzats.

Ara veurem algunes propietats i teoremes importants pel cas particular de les matrius

simètriques.

2


2.4.2. Propietats

a) Una matriu quadrada i simètrica A de dimensió N sempre serà diagonalitzable,

és a dir, tindrà N vectors propis amb els seus valors propis corresponents. Per tant, l’eq.

(2) tindrà N solucions diferents

NivvA iii ,1=∀= rr λ (8)

on el subíndex i ara fa referència a vectors diferents i no a la component i del vector.

Podem escriure en una sola equació matricial totes les solucions possibles de la forma

Λ= XXA (9)

a on la matriu X és una matriu quadrada de dimensió N que conté en les seves columnes

els vectors propis de A.

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

NNNN

N

N

N

vvv

vvvvvv

vvvX

...............

...

...

...

21

22221

11211

21rrr

(10)

Per altra banda, la matriu Λ és una matriu diagonal i conté a la diagonal principal els

corresponents valors propis associats a cada vector propi (columna de la matriu X)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=Λ

Nλ

λλ

...00............0...00...0

2

1

(11)

i en el mateix ordre. Per tant, λ1 és el valor propi del vector propi v1, λ2 és el valor propi

del vector propi v2, etc...

Les matrius i X Λ no son úniques en el sentit que les seves columnes es poden reordenar

de manera arbitrària. Tot i això, si les columnes de X apareixen en un ordre determinat,

el mateix ha de ser per les de la matriu Λ, de manera que per un determinat vector propi

que es trobi a la columna k de la matriu X, el seu corresponent valor propi ha d’ocupar

3


precisament la columna k de la matriu diagonal Λ.

b) El conjunt de vectors propis diferents { }ivr formen una base de vectors de

dimensió N.

Per tant, els vectors propis són linealment independents entre sí.

c) Els vectors propis associats a valors propis diferents són ortogonals entre si.

Suposem que v i w son vectors propis de la matriu A amb valors propis λ i τ,

respectivament.

wwAvvA rrrr τλ == (12)

A partir de la primera equació anterior podem escriure

vwvwvAw TTT rrrrrr λλ == (13)

multiplicant a un cantó i altre de la igualtat pel vector w transposat (filera).

Fent el mateix a partir de la segona, en aquest cas multiplicant per l’esquerra pel vector

v transposat tenim

wvwAv TT rrrr τ= (14)

Transposant ara a un canto i altre de l’equació (14)

( ) ( )TTTT wvwAv rrrr τ= (15)

i aplicant les propietats del transposat del producte i de les matrius simètriques

vwvAwvAw TTTT rrrrrr τ== (16)

Comparant les equacions (13) i (16)

vwvw TT rrrr τλ = (17)

podem veure que si τ ≠ λ llavors forçosament

0=vwT rr,

és a dir que el producte escalar entre els dos vectors propis s’anul·la, i per tant són

ortogonals entre si.

d) Una combinació lineal entre dos o més vectors propis que tenen un mateix valor

propi associat és també vector propi i amb el mateix valor propi.

4


Segons l’equació (17), en el cas de que τ = λ la ortogonalitat dels respectius vectors

propis no esta assegurada. De fet, quan els valors propis són degenerats (coincideixen)

els vectors propis no estan definits únicament i qualsevol combinació lineal entre ells

compleix també la condició de vector propi. Per veure-ho simplement definim un nou

vector com a combinació lineals dels altres dos

wvx rrr βα += (18)

on α i β són escalars, i comprovem que en efecte és també vector propi de A

( ) xwvwvwAvAwvAxA

rrr

rrrrrrr

λβαλλβαλβαβα

=+==+=+=+= )(

(19)

i amb el mateix valor propi.

Així, quan hi hagi degeneració podrem combinar linealment entre sí els vectors propis

que comparteixen el mateix valor propi de tal manera que els vectors resultants siguin

ortogonals entre si.

Per tant, la conclusió final és que conjunt de vectors propis d’una matriu quadrada i

simètrica es poden triar de manera que formin una base ortogonalitzada de l’espai.

Això vol dir que el producte escalar entre diferents vectors propis s’anul·la, mentre que

el producte escalar entre un vector propi i ell mateix serà la unitat, perquè l’escollim

normalitzat. Per tant, podem escriure

ijjT

i vv δ=rr (20)

En l’eq. (9) hem vist que els vectors propis ocupen les columnes de la matriu X. Si la

multipliquem per la esquerra per ella mateix transposada el resultat és precisament la

matriu que conté el productes escalars entre tots els vectors propis.

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

NT

NT

NT

N

NTTT

NTTT

N

TN

T

T

T

vvvvvv

vvvvvvvvvvvv

vvv

v

vv

XX

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrr

r

r

r

...............

...

...

......

21

22212

12111

212

1

(21)

5


Llavors, segons l’eq. (20), el resultat del producte matricial és la matriu identitat

IXX T =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1...00............0...100...01

(22)

i per tant, les matrius X que contenen els vectors propis d’una matriu simètrica són

matrius unitàries. Com veurem més endavant, aquest fet fa que el procés de

diagonalització es pugui fer servir com a pas previ per a la determinació de inverses de

matrius, determinants, funcions de matrius, etc...

6

perico

Highlight


2.4.3 Algorisme de diagonalització de matrius pel mètode de les rotacions elementals de Jacobi.

Partim d’una matriu quadrada (N×N) i simètrica A. L’objectiu és resoldre l’equació

matricial següent

Λ= XAX (1)

on X és una matriu unitària (tal que XT = X-1) i Λ és una matriu diagonal.

La matriu diagonal conté a la seva diagonal principal els N valors propis de la matriu

original A, mentre que les columnes de la matriu X són els N vectors propis

corresponents.

Per tant, amb les matrius X i Λ , multiplicant per un costat o altre a ambdós costats de

l’eq. (1) per XT obtenim les igualtats següents

TXXA Λ≡ (2)

o bé

AXX T≡Λ (3)

Veiem ara com podem resoldre l’eq (1), és a dir, trobar la matriu diagonal Λ és i la

matriu de transformació, X, aplicant l’anomenat mètode de les rotacions de Jaboi.

L’algorisme de Jacobi es basa en l’ús de matrius elementals de rotació, .

Aquestes son matrius unitàries (com X) que tenen la forma següent

)(R pq α

q

p

....cos..sin..

..................

sin..cos................

....

....

)(R

qp

pq

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=

1000000000000100000000000010000001

αα

ααα

Si ens fixem, la matriu és gairebé la matriu identitat, I, amb només quatre )(R pq α

7

perico

Highlight


elements de la matriu modificats, precisament els corresponents a les fileres i columnes

a què fan referència els superíndexos pq .

Veiem amb un exemple què fan aquests tipus de matrius. Suposem que tenim un punt P

en l’espai 2D que ve donat per les coordenades P(x, y). En coordenades polars tindríem

)sin(ry)rcos(x

αα

==

a on r i α representen el mòdul i angle respecte l’eix de les x, respectivament. Si

realitzen una rotació del vector en el pla de θ graus en el sentit de les agulles del rellotge

arribarem a un altre punt del pla que vindrà donat per altres coordenades P’(x’,y’)

x

y

(x,y)

θ

α

(x’,y’ )

x

y

(x,y)

θ

α

(x’,y’ )

Escrivint-lo en funció de les seves coordenades polars i fent ús de relacions

trigonomètriques conegudes i de l’expressió en coordenades polars del punt original

podem escriure

ycosθxsinθ)sinθcosαcosθr(sinαθ)sin(αry'ysinθxcosθ)sinθsinαcosθr(cosαθ)rcos(αx'

+−=−=−=+=+=−=

En forma matricial tindrem

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

cossin-inscos

yx

θθθθ

''

XRX )(' θ=

Per tant, la matriu R(θ) representa la rotació de θ graus en el sentit de les agulles del

rellotge.

Es pot comprovar que en un espai 3D, la mateixa rotació d’un punt repecte l’eiz z (és a

dir, en el pla xy) vindria donada per la matriu,

8


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1000cosθsinθ-0sinθcosθ

per tant ja poden intuir que la matriu és una generalització en un cas

multidimensional a on la rotació de α graus es dona en el pla pq , i per tant només afecta

a les coordenades p i q del punt.

)(R pq α

Una de les propietats de les matrius unitàries és que el producte entre dues matrius

unitàries qualsevol és també una matriu unitària. Per tant, podem representar una rotació

complexa com una sèrie de rotacions elementals, i la matrius unitària que correspon a

aquesta rotació complexa serà el producte de les respectives matrius de les rotacions

elementals de què consta.

Tenint en compte això, l’estratègia que segueix l’algorisme de Jacobi és la següent:

Amb una matriu de rotació escollida escaientment, transformem la matriu

inicial A de tal manera que

)(αpqRR ≡

ARRA T=' (4)

La nostra matriu A ha canviat (ara és A’). Degut a la forma particular de les matrius de

rotació (gairebé son la matriu identitat), els canvis només afectaran a les files i

columnes p i q de la matriu original A. En concret, anem a veure com canvia l’element

A(p,q). Desenvolupant el producte matricial de les tres matrius anteriors tenim

[ ][ ] [ qqqqpqqp

Tpqqqpqpqpp

Tpp

kqqkqpqkp

Tpk

lklqkl

Tpkpq

RARARRARAR

RARARRARA

+++=

=+==

]∑∑

,'

(5)

Substituint els elements de la matriu de rotació R tenim

)cos(A)AA()sin(

sincosAsinAcosAsincosA'A

pqqqpp

qqqppqpppq

αα

αααααα

222

22

−−=

=−−+=

(6)

on hem fet servir la relació , donat que A és simètrica. qppq AA =

9


Per tant tenim una expressió per la forma final de l’element p,q de la matriu

transformada en funció de l’angle de rotació α. El que farem es trobar l’angle α tal

que provoca que l’element p,q de la matriu A’ esdevingui zero. És a dir, imposant

que A’pq= 0 tenim

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

−=⇒=

qqpp

pq

qqpp

pqpq

AAA

AAA

A

2arctan

21

2)2tan()2cos(

2)2sin(

α

ααα

(7)

Per tant, si fem la transfomació donada per l’eq (4) per aquest angle α, aconseguirem

que l’element A’pq (i per simetria l’ A’qp) sigui zero.

Si la matriu A’ resultés ser diagonal, l’eq (4) seria equivalent a l’eq (3) i per tant ja

hauríem resolt el problema: la matriu de rotació R seria la matriu X i la matriu diagonal

A’ seria Λ.

Excepte en algun cas particular (matrius 2x2), això no serà així. Tanmateix podríem dir

que la matriu A’ està, en principi, més a prop de ser diagonal ja que hem aconseguit

anular alguns dels seus elements.

L’estratègia és tornar a aplicar una altra vegada la transformació sobre la matriu

transformada A’ amb una altra matriu de rotació per tal d’aconseguir anular un altre

element, i així successivament fins que tots els elements de fora de la diagonal fossin

zero (o suficientment petits).

Així, en anar aplicant rotacions successives tindrem

k

''A

'A

TTTk R...RARRR...R

4434421321 2112≅Λ

(8)

fins arribar a tenir una matriu diagonal.

Comparant l’eq.(8) amb la (3) poden veure fàcilment que la matriu de transformació X

que estem buscant

kR...RRX 21≅ (9)

seria el resultat del producte matricial de les successives rotacions que hem anat fent (i

en aquest ordre!).

10


La pregunta és: com escollim la matriu de rotació? El que farem és, en cada iteració

(transformació), determinar l’element de fora de la diagonal de la nostra matriu amb

un valor absolut més gran (per tant més diferent al nostre objectiu, el zero). La fila i

columna on es trobi aquest element determinarà el valor de p i q de la matriu de rotació,

mentre que l’eq (7) ens donarà l’angle tal que fa que l’element target s’anul·li en fer la

transformació.

Malauradament, quan es fa un transformació com la de l’eq (4), no només l’element Apq

canvia sinó que tots els elements de les files i columnes p i q també canvien. Per tant,

no podem esperar que amb un nombre determinat de transformacions aconseguim

diagonalitzar la matriu, excepte en el cas trivial d’una matriu 2x2. De tota manera, es

pot demostrar que aconseguirem el nostre objectiu si en cada iteració realitzem la

transformació de manera que anul·lem l’element més gran fora de la diagonal, i per tant

això és el que farem.

Per dur a terme la transfomació de l’eq (4) en cada iteració cal fer un producte matricial

de tres matrius. Tot i això, donada la simplicitat de les matrius de rotació, és més fàcil

determinar de quina manera canvien els elements de la matriu A desprès de la

transformació i introduir aquests canvis directament, en comptes de realitzar el producte

matricial. Amb un anàlisi anàleg al de les eq. (5) i (6) es troba que

{

qpiAAAA

AAAA

AAAAA

AAAAA

AA

iqipqiiq

iqippiip

pqqqppqqqq

pqqqpppppp

qppq

,cossin''

sincos''

2sinsin)('

2sinsin)('

0''

2

2

≠∀⎪⎩

⎪⎨⎧

+−⇐=

+⇐=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−+=

+−−=

==

αα

αα

αα

αα

(10)

Per tant el que fem amb l’algorisme de Jacobi és recalcular els elements de la matriu A

que canvien en cada iteració (per tant, sobreescrivim la matriu original)

Finalment, hem vist que la matriu X es troba com a producte de les matrius de rotació

11


de cada transformació. Seria molt més eficient computacionalment el anar multiplicant

les matrius de rotació en cada iteració que no pas guardar-les totes i multiplicar-les al

final. Per tant, en cada iteració hauríem de fer el producte acumulatiu amb la nova

matriu. Però, tenint en compte l’estructura d’aquestes matrius, ens resulta encara més

eficient fer el mateix que amb la matriu A , és a dir, determinar quins elements de R1

canvien i de què manera quan es fes el producte X’ = R2 R1 i guardar-ho, per en la

següent iteració multiplicar-ho per R3 i així successivament

Es pot demostrar que si fem el producte X’ = R pq(α) X, els únics elements diferents

entre les matrius X’ i X es troben a les fileres p i q i la seva relació és la següent

iXXX

XXX

iqipiq

iqipip∀

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+=

αα

αα

cossin'

sincos' (11)

Només hem de vigilar amb la primera iteració, on la matriu X’ seria directament la

matriu R1. Tanmteix, podem fer servir l’eq. (11) en qualsevol cas si inicialitzem la

matriu X con a matriu identitat, I, ja que X = R1 I = R1.

12

perico

Highlight


Per tant, el mètode de Jacobi es podria resumir amb l’algorisme següent

llegir matriu A

Inicialitzar matriu X a identitat

set toler

ilog=0

iter=0

do mentre (ilog=0)

trobar l’element maxim de fora de la diagonal (offdiag) i posició :fila p, columna q

if (offdiag>toler o maxim nombre d’iteracions exhaurit)

determinar l’angle de rotació α

recalcular els nous elements de A (equacions 10)

Apq=Aqp=0

App, Aqq

Aip, Aiq ∀i≠p,q

recalcular els elements de la matriu X (equacions 11)

Xip, Xiq

else

ilog=1

end if

iter = iter + 1

end do

escriure X i A

fi

13


Exemple 1:

Matriu topològica per a la molècula de ciclobutè:

0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000

Tolerància: 1.0e-6

Resultats:

Matriu després de la iteració 1: -1.0000 0.0000 -0.7071 0.7071 0.0000 1.0000 0.7071 0.7071 -0.7071 0.7071 0.0000 1.0000 0.7071 0.7071 1.0000 0.0000

Iter 2 -1.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 -1.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000

Iter 3 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -2.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000

Iter 4 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -2.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2.0000

Matriu diagonal final:

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -2.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2.0000

Matriu de vectors propis (X)

0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.5000 0.5000 -0.5000 0.5000 -0.5000 -0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.5000 -0.5000 0.5000

Error: (Element més gran de fora de la diagonal) 5.55E-17

14


Exemple 2:

Matriu topològica per a la molècula de benzè:

0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

Tolerància: 1.0e-6

Matriu diagonal final (després de 32 iteracions):

-1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -2.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2.0000

Matriu de vectors propis (X)

0.5136 0.5026 0.4082 -0.2841 0.2638 0.4082 -0.4852 0.4974 -0.4082 0.2932 0.3129 0.4082 -0.0284 -0.0053 0.4082 0.5773 -0.5767 0.4082 0.5136 -0.5026 -0.4082 0.2841 0.2638 0.4082 -0.4852 -0.4974 0.4082 -0.2932 0.3129 0.4082 -0.0284 0.0053 -0.4082 -0.5773 -0.5767 0.4082

Error: (Element més gran de fora de la diagonal) 9.7 E-7

15


Altres consideracions:

Cal tenir en compte que els valors propis d’una matriu són únics (tot i que poden ser

degenerats), però la matriu Λ no és única ja que els valors propis es poden ordenar de

manera arbitrària a la diagonal principal. Per tant, hom pot arribar a una matriu diagonal

diferent a les que aquí es donen, però només pel que fa a l’ordre de les columnes. Tot i

això, si les columnes de la matriu diagonal es troben en un altre ordre, el mateix ha de

ser amb les columnes de la matriu de vectors propis.

Un altre factor a tenir en compte és que, com hem vist en la secció 1, els vectors propis

associat s a valors propis iguals (degenerats) no estan definits de manera única, de

manera que qualsevol combinació lineal entre vectors propis associats a un mateix valor

propi degenerat són també vectors propis vàlids.

Aplicat a l’exemple anterior de la matriu topològica del benzè això vol dir que podríem

substituir les columnes 2 i 4 de la matriu X per qualsevol combinació lineal entre elles

(sempre i quan els dos vectors columna finals siguin linealment independents). El

mateix succeeix per les columnes 1 i 5 de la mateixa matriu o per les columnes 1 i 2 de

la matriu X de l’exemple 1.

16

perico

Highlight

1

2.5 Aplicacions de la diagonalització de matrius quadrades simètriques

Ja hem vist que, si tenim una matriu quadrada (N×N) i simètrica A, i resolem l’equació

secular següent

Λ= XAX (1)

podem escriure l’eq (1) com

TXXA Λ≡ (2)

on X és una matriu unitària (tal que XT = X-1) i Λ és una matriu diagonal.

Ara veurem com el fet de poder expressar la nostra matriu original A en funció de les

matrius X i Λ ens permetrà determinar-ne fàcilment la seva matriu inversa, determinant,

etc...

2.5.1. Determinant d’una matriu

Calcular el determinat d’una matriu de manera directa és força costos a més de

relativament difícil d’implementar. Tanmateix, tenint en compte que

)Bdet()Adet()ABdet( = (3)

i si fem servir l’eq (2) i el fet que la matriu X és unitària tenim

)det()det()Idet()det()XXdet()det()Xdet()Xdet(

)Xdet()det()Xdet()Adet(TT

T

Λ=Λ==Λ=Λ=

=Λ=

(3)

2

Per tant, El determinat de la nostra matriu original A és igual que el de la matriu

diagonal Λ. Però en el cas d’una matriu diagonal el determinat és trivial

∏==Λi

iN...)det( λλλλ 21 (5)

És a dir, el determinant és simplement el productori dels valors propis de la matriu.

En el cas que la matriu no sigui simètrica, podem determinar de manera similar el valor

absolut del seu determinant. Primer de tot, definim una nova matriu S així

AAS T= (6)

Es pot demostrar fàcilment que aquesta nova matriu és simètrica. Per tant, es

diagonalitzable i llavors

Σ= ZSZ , o bé

TZZS Σ= (7)

on Z és una matriu unitària i Σ una matriu diagonal. Aleshores tenim que, donat que el

determinat d’una matriu i el de la seva transposta són equivalents (intercanviar files per

columnes no afecta el determinant) i aplicant l’eq. (3)

2)Adet()Adet()Adet()det()Sdet( T ==Σ= (8)

i per tant

)Sdet()Adet( = (9)

3

2.5.2 Matriu Inversa

En aquest cas podem trobar la matriu inversa d’una matriu simètrica quadrada utilitzant

la relació (2). Tenim

TTT XXXX)XX(A 11111 −−−−−− Λ=Λ=Λ= (10)

on hem fet servir les propietats de la inversa del producte de matrius.

Per tant, si sabéssim la inversa de la matriu diagonal Λ, podríem determinar igualment

la inversa de A fent el producte matricial TXX 1−Λ . Tot i que pot semblar més

complicat, el càlcul de la matriu inversa d’una matriu diagonal és trivial. Es pot veure

fàcilment que la inversa d’una matriu diagonal és també una matriu diagonal a on els

elements de la diagonal no son més que la inversa dels elements de la diagonal de la

matriu original, és a dir ,

( )kk

kk Λ=Λ− 11

(11)

Així, l’expressió pels elements de la matriu inversa queda simplement

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∑

∑∑∑

Λ=

=Λ=Λ= −−−

k kk

jkik

kkj

Tkkik

k llj

Tklikij

XX

XXXXA 111

(12)

A partir de l’equació anterior veiem que una condició per a què una matriu sigui

invertible (no singular) és que tots el valors propis de la matriu siguin diferent de

zero.

4

2.5.3 Potències d’una matriu

La diagonalització ens simplifica molt el càlcul de les potències de matrius. Per

exemple, anem a veure com determinar el quadrat de A. Aplicant l’eq. (2) tenim

T

T

I

TTT

XX

X)XX(X)XX)(XX(AAA

2

2

Λ=

=ΛΛ=ΛΛ==43421

(13)

Per tant només cal determinar el quadrat de la matriu diagonal. Un altre cop, donada la

forma de la matriu diagonal el càlcul és immediat

( )( ) 22

2 0

iiiiiik

kiikii

ijiik

kjikij

Λ=ΛΛ=ΛΛ=Λ

=ΛΛ=ΛΛ=Λ

∑

∑

(14)

Com es pot veure a l’expressió anterior, el quadrat d’una matriu diagonal Λ és també

una matriu diagonal, on els elements de la diagonal són els quadrats dels elements de la

matriu original.

En el cas d’una potència qualsevol k

TkT

I

T

I

T

TTTk

XXX...)XX()XX(X)XX)...(XX)(XX(A...AAA

Λ=ΛΛΛ

=ΛΛΛ==

4342143421 (15)

on els elements de la matriu Λk és calculen simplement a partir dels elements de la

matriu diagonal

( ) ( )kiiiik Λ=Λ (16)

5

De fet, la diagonalització permet determinar no només potències de matrius sinó

qualsevol funció en general d’una matriu.

Per exemple, podem fer la exponencial d’una matriu A com

TA XXee Λ= (17)

essent la matriu Λe una matriu diagonal amb elements

( ) iiee iiΛΛ = (18)

2.5.4 Ortonormalització d’una base de vectors

Suposem que tenim un conjunt de N vectors linealment independents de dimensió N.

Amb aquests podem formar una matriu quadrada on les columnes de la matriu siguin

cadascun dels vectors.

)x...xx(X N21≡ (19)

Aquest conjunt de vectors (base) seria ortonormal si es complís que

⎪⎭

⎪⎬⎫

≠∀=

∀=

jixx

ixx

jT

i

iT

i

0

1

(20)

és a dir que el producte escalar entre dos vectors diferents fos zero, i la norma de cada

vector fos la unitat. En forma matricial això equival a que es compleixi1

IXX T ≡ (21)

Suposem, però, que en un cas general, el nostre conjunt de vectors no és ortonormal.

1 Per tant podem dir que una base és ortonormal si la matriu dels vectors és unitària

6

Llavors tindríem

ISXX T ≠≡ (22)

on S rep el nom de matriu de la mètrica, i conté tots el productes escalars entre els

vectors. La pregunta és, com podem aconseguir un conjunt ortonormalitzat de vectors a

partir del conjunt que disposem? És a dir, com podem trobar un conjunt de vectors que

la seva matriu de la mètrica sigui la matriu identitat?

Anem a veure-ho. Primer definim una altra matriu transformada, Z, com

21−= XSZ (23)

utilitzant la matriu 21−S (arrel quadrada de la matriu de la mètrica S).

Comprovem ara que la nova matriu Z conte vectors ortonormals en columnes

( ) ( ) ( )( ) 2121

21212121

−−

−−−−

=

===

SSS

XSXSXSXSZZT

TTTT

(24)

La matriu S, per construcció, és simètrica i per tant serà diagonalitzable. Podem

expressar tant S com 21−S (una potència de S) com

⎩⎨⎧

Σ=Σ=

⇒Σ=−− T

T

UUSUUS

USU2121 (25)

i llavors substituint en (24) tenim

( ) ( ) ( )( ){ { IUUUUUUUUUU

UUUUUUSSSZZTT

I

T

I

T

I

T

TTTTTT

==ΣΣΣ=ΣΣΣ=

=ΣΣΣ==−−−−

−−−−

4342121212121

21212121

(26)

7

on hem fet servir el fet que la transposada d’una matriu diagonal és ella mateixa i que

els elements del producte de matrius diagonals és el producte dels elements de la

diagonal de les respectives matrius.

Hem demostrat que la matriu Z conté vectors ortonormals, que és el que buscàvem. Així

doncs, per ortogonalitzar el nostre conjunts de vector inicial, X, només cal multiplicar la

matriu per la dreta per l’arrel quadrada de la matriu de la mètrica del conjunt de vectors

inicial

( )Tiótransfomac UUXXSZX 2121 −− Σ==⎯⎯⎯⎯ →⎯ (27)

i aquesta darrera la podem trobar a partir la diagonalització de la matriu de la mètrica.

Aquest procés rep el nom de ortogonalització de Löwdin i ´s’utilitza freqüentment en el

camp de la Química Quàntica.


3.1 - Ajuste de curvas e interpolación El ajuste de curvas es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de N pares de

puntos {xi, yi} (siendo x la variable independente e y la dependiente), se determina una

función matemática f(x) de tal manera que la suma de los cuadrados de la diferencia

entre la imagen real y la correspondiente obtenida mediante la función ajustada en cada

punto sea mínima:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑

N

iii xfy 2))((minε

Generalmente, se escoge una función genérica f(x) en función de uno o más parámetros

y se ajusta el valor de estos parametros de la manera que se minimice el error

cuadrático, ε. La forma más típica de esta función ajustada es la de un polinomio de

grado M; obteniendose para M = 1 un ajuste lineal (o regresión lineal),

xaaxf 10)( +=

para M = 2 un ajuste parabólico, 2

210)( xaxaaxf ++=

etc..

Por otro lado podemos tener un conjunto de datos multidimensionales; es decir, un

conjunto de N puntos en un espacio k+1-dimensional del tipo { xi(1), xi

(2), ..., xi(k),... yi,}.

La función que ajustaremos a estos puntos será una función de k variables

y = f(x(1) (2) (k), x ,..., x )

El ajuste multidimensional más sencillo es considerar una dependencia lineal de la

función respecto a cada una de las variables de que depende; es decir, ajustando una

funcion del tipo )()2(

2)1(

10)()2()1( ...),...,,( k

kk xaxaxaaxxxf ++++=

de tal manera que se minimice el error cuadrático respecto al conjunto de parámetros

{a , a0 1,..,ak}. Es lo que se conoce como ajuste o regresión multilineal.

En esta sección veremos que el ajuste lineal, el de un polinomio de grado M y el ajuste

multilineal se pueden expresar dentro de un mismo formalismo de manera que las

respectivas soluciones al problema se pueden determinar mediante algoritmos

prácticamente análogos.

1


3.1.1. Regresión lineal

Supongamos que tenemos un conjunto de N puntos en el plano {xi, yi}. El objetivo es

determinar la ecuación de la recta tal que minimiza el error cuadrático

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑∑

N

iii

N

i

calcii xaayyy 2

102 )(min)(minε

(ordenada al origen) y arespecto a los parámetros a (pendiente). 0 1

Matemáticamente:

0222)(2 10100

=−−=−−=∂∂ ∑∑∑

N

ii

N

ii

N

iii xaNayxaay

aε

0222)(2 21010

1

=−−=−−=∂∂ ∑∑∑∑

N

ii

N

ii

N

iii

N

iiii xaxayxxxaay

aε

Simplificando las ecuaciones anteriores vemos que se debe cumplir que

∑∑ =+N

ii

N

ii yxaNa 10

∑∑∑ =+N

iii

N

ii

N

ii yxxaxa 2

10

o bien, dividiendo ambas ecuaciones por el numero total de puntos e introduciendo

valores medios

xyxaxa

yxaa

=+

=+2

10

10

En forma matricial, podemos escribir

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xyy

aa

xxx

1

02

1

por lo que determinar los parámetros de la recta se resume a resolver el sistema de

ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas anterior.

2


Algoritmo general matricial

Consideremos ahora el mismo problema desde otra perspectiva. Vamos a suponer que

los N puntos pueden pasar exactamente por la recta que buscamos. En este caso,

plantearíamos el siguiente sistema N de ecuaciones con 2 incógnitas

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+=+

NN yxaa

yxaayxaa

10

2210

1110

...

o bien, en forma matricial

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

NN y

yy

aa

x

xx

...1

......11

2

1

1

02

1

yxA rr =⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

Ny

yy

y...

2

1

r

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

Nx

xx

A

1......

11

2

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

0

aa

xr

Como ya hemos visto, una manera directa de resolver los sistemas de ecuaciones

expresados en forma matricial es la de multiplicar por la izquierda a ambos lados de la

igualdad por la inversa de la matriz de coeficientes. sin embargo, en este caso, al tener

mas ecuaciones que incógnitas, la matriz de coeficientes, A, no es una matriz cuadrada

(tendrá dimensión N × 2) por lo que no esta definida su inversa. Una posible estrategia a

seguir es multiplicar la ecuación matricial anterior por la transpuesta de la matriz de

coeficientes (el producto de una matriz por su transpuesta es siempre una matriz

cuadrada y simétrica) de manera que tendremos

yAxAA TT rr ⋅=⋅⋅ yAz T rr ⋅= AAS T ⋅=

El sistema de N ecuaciones y dos incógnitas inicial lo hemos condensado en otro

sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas dado por

zxS rr =⋅

Ahora bien, la matriz S es una matriz cuadrada de dimensión 2×2 y simétrica por lo que

es invertible así que podemos escribir

yASxSS T rr ⋅⋅=⋅⋅ −− 11

y por tanto, el vector que buscamos nos quedaría de la forma

yASx T rr ⋅⋅= −1

3


Ahora bien, representa esta estrategia una solución diferente al problema de la que

hemos deducido anteriormente mediante minimización del error cuadrático?

Veremos a continuación que no es el caso.

A partir de la estructura de la matriz A, el producto de su transpuesta por ella misma

resulta en

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅

∑∑

∑

==

=N

ii

N

ii

N

ii

N

N

T

xx

xN

x

xx

xxxAA

1

2

1

12

1

21

1......

11

...1...11

Del mismo modo, el producto de AT por el vector de términos independientes queda

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅=

∑

∑

=

=N

iii

N

ii

N

N

T

yx

y

y

yy

xxxyAz

1

12

1

21 ......1...11rr

por lo que la ecuación matricial 2×2 anterior la podemos escribir mas explicitamente

como

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑

∑

∑∑

∑

=

=

==

=N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

yx

y

aa

xx

xN

1

1

1

0

1

2

1

1 .

Dividiendo cada ecuación por N y utilizando la notación típica para el valor medio

llegamos a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xyy

aa

xxx

1

02

1

que es exactamente el mismo sistema de ecuaciones al que habíamos llegado

anteriormente imponiendo la condición de mínimo error cuadrático.

Así pues, podemos plantear el siguiente algoritmo para el ajuste lineal

a) Lectura de los N pares de valores {xi, yi} y construcción de las matriz A y vector y.

b) Construcción de la transpuesta de la matriz A: AT

c) Construcción de la matriz S mediante el producto matricial ATA

d) Construcción del vector z mediante el producto matriz por vector ATy -1e) Inversión de matriz S: S

f) Producto matriz por vector S-1 z para obtener el vector de soluciones final.

4


A priori puede parecer un algoritmo demasiado complicado para un problema tan

simple como la regresión lineal, para el que existen fórmulas directas de

implementación sencilla. Sin embargo, vamos a ver que podemos extender este

algoritmo de manera trivial a otro tipo de ajustes.

5


3.1.2. Ajuste polinómico por mínimos cuadrados.

De manera análoga al caso lineal, el objetivo es determinar la ecuación del polinomio de

grado M que minimiza el error cuadrático

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑∑

N

i

MiMiii

N

i

calcii xaxaxaayyy 22

2102 )...(min)(minε

, a ,... arespecto a los parámetros M +1 parámetros a0 1 M .

Por ejemplo, para un ajuste parabólico (M = 2), la condición de mínimo del error

cuadrático lleva a las ecuaciones siguientes:

02222)(2 2210

2210

0

=−−−=−−−=∂∂ ∑∑∑∑

N

ii

N

ii

N

ii

N

iiii xaxaNayxaxaay

aε

02222)(2 32

210

2210

1

=−−−=−−−=∂∂ ∑∑∑∑∑

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

N

iiiii xaxaxayxxxaxaay

aε

02222)(2 42

31

20

222210

2

=−−−=−−−=∂∂ ∑∑∑∑∑

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

N

iiiii xaxaxayxxxaxaay

aε

Procediendo de manera análoga al caso lineal llegamos a que la determinación de los

parámetros del polinomio pasa por la resolución de un sistema de ecuaciones de la

forma:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

yxxyy

aaa

xxxxxxxx

22

1

0

432

32

21

Para el caso general de un polinomio de grado M ya podemos intuir que la solución

vendrá dada por un sistema de ecuaciones lineales de dimensión (M+1) ×(M+1) de la

forma

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

yx

xyy

a

aa

xxx

xxxxx

MM

MMM

M

M

.........

..................1

1

0

21

12

Una manera de implementar el ajuste polinomial general es la de escribir un

6


subprograma (función) general de la forma

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≡→ ∑

=

N

i

qi

pi

qp yxN

yxyxqpNf1

1),,,,( rr

para determinar todos los promedios de potencias de x y productos de éstas por y que

aparecen en la matriz de coeficientes y de términos independientes.

3),,0,3,(

),,1,1,(),,0,1,(

xyxNf

xyyxNfxyxNf

→

→

→

rr

rr

rr

Sin embargo, es mucho mas sencillo aplicar el algoritmo general matricial descrito

anteriormente para el caso lineal. Ahora, para el ajuste de un polinomio de grado M

plantearíamos un sistema N de ecuaciones con M+1 incógnitas (incluyendo el término

independiente)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++++

=++++

=++++

NMNMNN

MM

MM

yxaxaxaa

yxaxaxaa

yxaxaxaa

......

...

...

2210

22222210

11212110


⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

NMMN

MN

M

NN y

yy

a

aa

x

xx

xx

xxxx

............1.........1...1...1

2

1

1

01

2

222

211

yxA rr =⋅

Así pues, una vez construida la matriz A de dimensión N × M + 1 y el vector de

coeficientes y a partir de los N pares de puntos {xi, yi}, simplemente aplicamos los

pasos b) a f) descritos anteriormente.

Un algoritmo general de ajuste de una función polinómica debería solicitar únicamente:

a) el numero de total de pares de puntos de que disponemos, N, y

b) el grado del polinomio que se pretende ajustar, M

A partir de aquí, deberemos definir en nuestro programa la matriz de coeficientes A de

dimensión N × M + 1 y el vector de coeficientes y de dimensión N. Los diferentes pasos

7


del algoritmo requieren el uso de la matriz transpuesta (de dimensión M + 1 × N), la

matriz resultante del producto de la transpuesta de A por ella misma y su inversa (de

dimensión M+1 × M+1 ambas) y el vector transformado por la transpuesta de A (de

dimensión M + 1), así como el vector de soluciones, de dimensión M + 1.

8


3.1.3. Regresión multilineal

El algoritmo matricial anterior se puede adaptar de manera sencilla para el caso de la

regresión multilineal.

En este caso disponemos de un conjunto de datos multidimensionales; es decir, un

conjunto de N puntos en un espacio k+1-dimensional del tipo { xi(1), xi

(2), ..., xi(k),... yi,}.

La función que ajustaremos a estos puntos será del tipo )()2(

2)1(

10)()2()1( ...),...,,( k

kk xaxaxaaxxxf ++++=

Si planteamos el sistema de ecuaciones N ecuaciones con k incógnitas para la solución

exacta tendremos

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++++

=++++

=++++

Nk

NkNN

kk

kk

yxaxaxaa

yxaxaxaa

yxaxaxaa

)()2(2

)1(10

2)(

2)2(

22)1(

210

1)(

1)2(

12)1(

110

......

...

...


⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Nkk

N

kN

k

NN y

yy

a

aa

x

xx

xx

xxxx

............1.........1...1...1

2

1

1

0

)(

)(

)(1

)2()1(

)2(2

)1(2

)2(1

)1(1

yxA rr =⋅

donde las columnas de la matriz de coeficientes A corresponden simplemente a los N

valores de entrada de cada dimensión o categoría (incluyendo una columna extra de “1”

relativa al término independiente).

En este punto podemos aplicar el algoritmo matricial general exactamente de la misma

manera que lo haríamos para ajustar un polinomio de grado k a un conjunto de N pares

de puntos.

9


3.1.4. Coeficiente de determinación

El coeficiente de determinación, R2, definido entre 0 y 1, nos da una idea de la bondad

del ajuste, de manera que para valores cercanos a 1 el ajuste es perfecto mientras que

para valores cercanos a cero indica inexistencia de relación entre x e y con el modelo de

ajuste propuesto.

El coeficiente R2 viene dado por la relación entre la varianza de los datos explicada con

el modelo y la varianza de los datos experimentales. En concreto

( )

( )∑

∑

−

−= N

ii

N

i

calci

yy

yyR

2

2

2

ydonde representa el valor medio de los valores de la variable independiente e

los valores calculados para cada punto usando el modelo ajustado a los datos.

calciy

La implementación computacional de este índice es muy sencilla una vez ajustado el

modelo tras resolver el sistema de ecuaciones que plantea el algoritmo matricial general.

En el caso de la regresión lineal, el coeficiente de determinación tiene la misma

expresión que el coeficiente de regresión r2, que indica también cómo de

correlacionadas estadísticamente están las variables aleatorias x e y . Es importante ver

que ambos coeficientes tiene significados e interpretaciones diferentes y que, salvo en el

caso de la regresión lineal, no coinciden.

Así, se puede comprobar que para el caso de la regresión lineal este índice coincide con

el coeficiente de regresión, definido a partir de la relación entre la covarianza de las

variables aleatorias x e y y el producto de la raíz cuadrada de las varianzas individuales

(desviación típica) de ambas variables, con el fin de obtener un parámetro adimensional

( )( ) yx

XYCov

yyxx

yxxyrσσ

)(2222=

−−

−=

Como se puede ver, el valor de este coeficiente es independiente del modelo ajustado,

ya que únicamente indica la relación estadística entre el conjuntos de datos.

10

1

3.2- Integració numèrica de funcions

Si tenim una funció f(x) d’una variable x, és defineix la integral de la funció en el rang

x∈[a,b] com

∫=b

adx)x(fA (1)

Gràficament, aquest valor correspon a l’àrea definida enter els valors x = a, x = b, la

funció f i l’eix de les x.

a b

f(a)

f(b)f(x)

Els mètodes d’integració numèrica que veurem es basen en discretitzar la integral de

manera que fem la següent aproximació;

∑∫ ≈n

iii

b

ax)x(fdx)x(f δ (2)

és a dir que en determinem el valor de la integral simplement el valor de l’integrant

(funció) avaluada a una sèrie de punts xi d’amplada δxi.

L’objectiu és el de determinar l’àrea sota la corba de manera el més acurada possible

però minimitzant el nombre d’avaluacions de la funció (integrand), i per tant el nombre

de punts.

Si suposem que els punts estan equiespaiats en el domini d’integració llavors podem

escriure l’eq (2) com

2

∑ ∑ ∑−==≈

n

i

n

i

n

iiii )x(f

nab)x(fhh)x(fA (3)

on n representa el nombre d’intervals en que dividim l’interval [a,b].

Tot seguit presentarem una colla de mètodes basats principalment l’equació anterior

3.2.1 Mètode dels rectangles

Com hem vist, si definim n intervals enter els límits d’integració, tindrem que la

distància entre dos punts consecutius, h, és

nabh −

= (4)

L’anomenat mètode dels rectangles es basa simplement en determinar l’àrea dels

rectangles d’alçada f(xi) i de la mateixa amplada, h, que es podem definir sota la corba.

Així, com es pot veure en el gràfic inferior

f(a)

b

h

a+h a+2h a+(n-1)h

f(a+h)

a

f(a+(n-1)h)

podem aproximar l’àrea sota la corba com la suma dels rectangles

∑−

=

+=−+++++≈1

01

n

in )iha(fh)h)n(a(hf...)ha(hf)a(hfA (5)

3

Tanmateix, també podríem haver triat un altre conjunt de rectangles

a b

h

a+h a+2h a+(n-1)h

f(a+h)

f(a+2h)

f(b)

i l’àrea en aquest cas vindria donada per

∑=

+=+++++≈n

in )iha(fh)b(hf...)ha(hf)ha(hf'A

1

2 (6)

En principi, conforme el nombre d’intervals, n, augmenta, les àrees determinades amb

les dues aproximacions tendeixen a un mateix nombre. Formalment, en el límit quan

n→∞ aquests valors coincideixen amb el valor exacte de la integral. Tot i això, donat

que les maquines tenen una precisió i capacitat donada, mai podrem aspirar a determinar

de manera estrictament exacte el valor de la integral.

4

3.2.2 Mètode dels trapezis

Acabem de veure que podem definir dos grups de rectangles per aproximar la integral.

De fet, una possibilitat òbvia per evitar aquesta arbitrarietat podria ser prendre com a

aproximació a la integral el valor mitjà.

Analitzem, però, què implica geomètricament. Si prenem un sol interval entre [a,b] i

fem la mitjana entre les dues àrees

a b

f(a)

f(b)

el que estem fent és trobar l’àrea del rectangle d’alçada menor i afegir-li la meitat de la

diferència entre les àrees dels dos rectangles

)'AA())a(f)b(f)(ab(

))a(f)b(f)(ab()a(f)ab(A

trianglegletanrec

+=+−

=

=−−

+−≈

21

2

2 4444 34444 2143421

(7)

Per tant, el que fem en el fons és determinar l’àrea d’un trapezi format a partir de les

imatges de la funció en els dos punts de l’interval. Generalitzant a n intervals tenim la

típica fórmula d’integració pel mètode dels trapezis

5

[ ]

[ ]

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++=

=++++++

+−+++++=+=

∑−

=

1

12

2

22

122

1

n

i

nntrapn

)iha(f)b(f)a(fh

)b(f...)ha(f)ha(fh

)h)n(a(f...)ha(f)a(fh)'AA(A

(8)

Fixeu-vos que per trobar l’àrea en necessitem avaluar la funció en n+1 punts.

Arribats a aquest punt ens hem de preocupar ara per la pressió dels resultats que podem

obtenir. En principi (veure més endavant), conforme augmentem el nombre d’intervals

hauríem de ser capaços de trobar el valor de la integral amb més precisió. Una manera

obvia de determinar la pressió amb la que estem treballant és la de comparar el resultat

obtingut amb un nombre determinat d’intervals amb el que obtenim augmentant-ne el

nombre d’intervals. Tanmateix, tenint en compte que un dels objectius per qüestions

computacionals és el de calcular la imatge de la funció en el mínim nombre de punts,

hem de trobar una manera intel·ligent d’augmentar el nombre d’intervals.

La idea consisteix simplement en doblar el nombre de punts però de tal manera que

podem aprofitar els n+1 punts anteriors. Això ho farem subdividint en dos els intervals

existents.

Tot seguit veurem les avantatges d’aquesta tècnica. Primer de tot, anomenarem k a

l’ordre del càlcul, que es relaciona amb el nombre d’intervals, n, de la següent manera

,..,,kn k 2102 == (9)

Definim Tk com l’aproximació de trapezis d’ordre k, que correspon un càlcul realitzat

amb 2k intervals

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++= ∑

−

=

1

12

2

n

ik

kk )iha(f)b(f)a(fhT (10)

Òbviament, la mida del interval (hk, distància entre punts) depèn de l’ordre. El què és

més important, però, és la relació entre la mida de dos intervals d’ordres consecutius

perico

Highlight

perico

Highlight

6

11 21

221

2 −− =−

=−

= kkkk hababh (11)

És a dir que si augmentem l’ordre del càlcul en una unitat estarem dividint per dos la

mida de l’interval.

Amb la nomenclatura anterior i prenent l’eq (8) anem a veure les expressions per als

primers ordres. Per un interval (k = 0)

( ))b(f)a(fhT +=20

0 (12)

Per dos (k =1):

( ))ha(f)b(f)a(fhT 11

1 22

+++= (13)

Per quatre (k = 2):

( ))ha(f)ha(f)ha(f)b(f)a(fhT 2222

2 322222

+++++++= (14)

Fixem-nos, però , que podem escriure l’expressió (13) com

( )

)ha(fhT)ha(fh))b(f)a(f(h

)ha(f)b(f)a(fhT

110110

11

1

21

221

22

++=+++=

=+++=

(15)

Similarment, per l’expressió (14)

( )

))ha(f)ha(f(hT

))ha(f)ha(f(h))ha(f)b(f)a(f(h

)ha(f)ha(f)ha(f)b(f)a(fhT

ha

2221

22221

2222

2

321

32222

1

322222

1

++++=

=+++++++=

=+++++++=

+321 (16)

De fet, es pot veure que en un cas general tenim la relació següent

7

senari)iha(fhTTn

ikkkk ∈++= ∑

−

=−

1

112

1 (17)

L’avantatge d’aquest mètode es que un cop calculada la integral per un determinat ordre

k, l’aproximació corresponent al següent ordre (k+1) només necessita avaluar la funció

als punts centrals de cada interval. Això és així perquè doblem el nombre d’intervals i

per tant si incrementem el nombre d’intervals d’una altra manera (per exemple passar de

50 a 70) hauríem de recalcular la funció en tots (o gran part) dels punts.

Això ens permet dissenyar un algorisme força intel·ligent per determinar la integral amb

una precisió determinada. Bàsicament en calculem el valor per un ordre determinat i el

comparem amb el trobat amb un ordre una unitat inferior. Si la diferència entre els dos

valors és suficientment petita per poder considerar-lo convergit, acabarem. En cas

contrari en determinarem la integral amb un ordre més a partir de la formula (17) i així

successivament. L’algorisme podria ser, per exemple

Definir interval d’integració, a,b Definir ordre màxim de càlcul, kmax

Definir tolerància, toler

( ))b(f)a(fhT +=20

0

k = 1 fer mentre k menor que kmax i error més gran que toler n = 2k h = (b-a)/n

senari)iha(fhTTn

inou ∈++= ∑

−

=

1

102

1

error = abs(Tnou-T0) T0 = Tnou end do si k no és igual a kmax llavors Integral=Tnou end if

A banda d’això, el fet de definir el nombre d’intervals d’aquesta manera ens permet

relacionar la tècnica dels trapezis amb una altra molt més acurada: el mètode de

Simpson.

8

3.2.3 Mètode de Simpson (1/3)

El mètode dels trapezis es basa en aproximar la funció per rectes (aproximació de

primer ordre) dins de cada interval. Per tal d’augmentar la precisió de la integració, el

següent pas natural seria el d’ajustar paràboles rectes (aproximació de primer ordre), i és

això mateix en el que es basa el mètode de Simpson.

La primera diferència obvia és que si necessitem dos punts per ajustar una recta en

necessitarem tres per ajustar una paràbola. Per tant, l’aproximació més senzilla del

mètode equival a definir dos intervals equiespaiats, i per tant ajustar una paràbola que

passi pels límits d’integració i el seu punt mig.

a b

f(a)

f(b)

x’=(b+a)/2

f(x’)

y(x)=c0 + c1x + c2x2

f(x)

Poder trobar una expressió anàloga a la del mètode dels trapezis de manera senzilla si

suposem que a = -h, b = h i x’ = 0.

Vegem-ho. El que es proposa és aproximar el valor de la integral pel de la funció de

segon ordre amb coeficients c0, c1, c2.

320

30

200 3

2231

21 hchcxcxcxcdx)x(yAA

h

h

h

h

S +=++==≈−

−∫ (18)

Aquesta paràbola passa pels punts que defineixen els intervals per tant s’ha de complir

9

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=

+−=−

0

2210

2210

0 c)(fhchcc)h(f

hchcc)h(f

(19)

Si resolem el sistema tenim

22

22

0

202

202

0

h)(f)h(f)h(fc

hc)(f)h(f)h(f

)(fc

−+−=⇒

⇒+=+−

=

(20)

I substituint en l’expressió (18) arribem a l’expressió

( ))(f)h(f)h(fh

hh

)(f)h(f)h(fh)(fAS

043

202

3202 3

2

++−=

=−+−

+=

(21)

Finalment, si desfem el canvi anterior tenim l’expressió general final

( ))ha(f)b(f)a(fhAS +++= 43 (22)

Podem definir més intervals per millorar-ne la precisió. Tanmateix, el pas següent seria

definir quatre intervals, i no tres. De fet, es pot veure fàcilment que el nombre

d’intervals ha de ser parell, sinó ens quedaria un últim interval amb només dos punts

disponibles per ajustar una paràbola.

En el cas de quatre intervals, tindrem

10

a b

f(x)

h

a+h a+2h a+3h

i l’àrea total serà la suma de les àrees dels dos segments parabòlics

( )

( )

( ))ha(f)ha(f)ha(f)b(f)a(fh

)ha(f)b(f)ha(fh

)ha(f)ha(f)a(fhAS

342243

3423

423

+++++++=

=+++++

+++++=

(23)

Ja es pot intuir que l’expressió general per n intervals serà de la forma

parelln))iha(f)iha(f)b(f)a(f(hA

parelli

n

i

senari

n

i

Sn ∈+++++=

∈

−

=

∈

−

=∑∑

44344214434421

2

2

1

124

3 (24)

Podem fer servir una nomenclatura anàloga a la del mètode dels trapezis per expressar

la dependència del valor de la integral respecte l’ordre de càlcul. En aquest cas tindrem

que l’ordre mínim és de k=1 ,que equival a 21 intervals

))ha(f)b(f)a(f(hS 11

1 43

+++= (25)

Per quatre (k=2)

11

))ha(f)ha(f)ha(f)b(f)a(f(hS 2222

2 342243

+++++++= (26)

Si analitzem l’expressió (25) podem veure que

321

34

31

34

6

34

3

011010

21

11

31

0

111

1

010

TTT)TT(T

)ha(fh))b(f)a(f(h

)ha(fh))b(f)a(f(hS

TTT

−+=−+=

=+++=

=+++≡

−

43421444 3444 21 (27)

i, de fet, fent el mateix per l’expressió (26)

321

34

31

33422

231

122121

21

22221

2

121

TTT)TT(T

))ha(f)ha(f(h))ha(f)b(f)a(f(hS

TTT

−+=−+=

=+++++++≡

−

4444 34444 21444444 344444 21

(28)

Per tant, podríem dir que en un cas general

,...,,nTTTS kkkk 321

31 =

−+= − (29)

Existeix doncs una relació clara entre el mètode de Simpson i el dels trapezis.

Si coneixem el valor de la integral calculat amb el mètode dels trapezis amb dos

ordres de càlcul consecutius, k i k-1, podem determinar fàcilment el valor pel

mètode de Simpson d’ordre k mitjançant la senzilla regla donada en l’equació

anterior.

12

Exemple numèric

Veiem els resultats d’aplicar els mètodes que hem vist fins ara a la integral

∫ −−

5

1

2

1dx

exx

k Tk (trapezis) Sk (Simpson)

0 (1) -53.50313616

1 (2) -45.69469062 -43.09187544

2 (4) -43.77193365 -43.13101465

3 (8) -43.29300082 -43.13335655

4 (16) -43.17337456 -43.13349914

5 (32) -43.14347464 -43.13350800

6 (64) -43.13600007 -43.13350855

7 (128) -43.13413146 -43.13350859

8 (256) -43.13366431 -43.13350859

... ...

16 (65536) -43.13350859

Exacte -43.13350859 En parèntesi el nombre d’intervals

Podem veure que mentre que amb el mètode dels trapezis necessitem 216 punts per

obtenir la precisió desitjada, amb Simpson la convergència és molt millor.

Pel que fa a la implementació del mètode, només ens caldrà modificar lleugerament

l’algorisme previ proposat pel mètode dels trapezis. Ara, tot i que no seria estrictament

necessari, el que farem serà emmagatzemar en un vector els resultats de la integració

per trapezis fins a l’ordre desitjat. Un cop disposem d’aquests nombres, podrem obtenir

els resultats amb el mètode de Simpson simplement aplicant l’eq (29).

En aquest cas ens podria resultar útil que el primer índex del vector fos el zero, enlloc

de ú. Per aconseguir això haurem de declarar el vector com

DIMENSION T(0:MAXDIM)

i llavors podrem escriure

T(0)=(b-a)*(f(a)+f(b))

13

3.2.4 Mètode de Romberg

Si hem deduït les expressions per la integració de segments parabòlics (Simpson) a

partir dels valors obtinguts a partir de segments lineals (trapezis), ens podríem plantejar

si a partir dels resultats amb el mètode de Simpson podem arribar a les expressions que

obtindríem d’ajustar segments polinòmics d’ordre més alt. La resposta és sí.

Mitjançant anàlisis anàlegs als descrit anteriorment, es pot demostrar que

,...,kCCCD

,...,kSSSC

kkkk

kkkk

4363

3215

1

1

=−

+=

=−

+=

−

−

(30)

essent Ck i Dk les expressions per a la integral aproximada a partir de segments

polinòmics d’ordre 4 (mètode de Cotes) i 8, respectivament.

Si utilitzem ara la nomenclatura següent

mk

kk

kk

kk

T

CotesCT

SimpsonST

trapecioTT

→≡

→≡

→≡

2

1

0

(31)

on k representa l’ordre del càlcul (relacionat amb el nombre d’intervals) i m l’ordre

d’aproximació del polinomi interpolador (primer, segon, quart, vuitè...), es pot veure

que es compleix

14

11

11

−−

+=−

−−

−m

mk

mkm

km

kTTTT (32)

El mètode de Romberg no és més que la generalització natural de l’esquema anterior

fins a un ordre arbitrari, m.

Fixeu-vos que podem obtenir la integral aproximada amb un ordre de Romberg m i 2k

intervals només amb els valors obtinguts amb un 2k i 2k-1 intervals i un ordre m-1.

La manera més fàcil d’aplicar el mètode és mitjançant la construcció de la anomenada

perico

Highlight

14

Taula de Romberg que es presenta a continuació

mk

mkkk

m

TT...TT............

T...TT...TT

TTT

110

13

13

03

12

02

11

01

00

−

− (33)

La primera columna correspon a les integrals calculades amb el mètode dels trapezis

amb ordre creixent. Les següents columnes corresponen als valors calculats amb els

mètodes de Simpson, Cotes, etc..., però obtinguts, en última instància, únicament a

partir dels valors de la primer columna.

Això vol dir que, amb el mateix cost computacional (no ens cal avaluar la funció en més

punts, només combinar linealment els valors ja obtinguts) d’un càlcul amb el mètode

dels trapezis d’ordre k, aplicant la Taula de Romberg podem obtenir un resultat d’ordre

de Romberg fins a k, el que equival a una integració a partir de segments polinòmics

d’ordre 2k!

Veiem l’efecte en la precisió de la integral de l’exemple anterior

k m=0 m=1 m=2 m=3

0 (1) 53.50313616

1 (2) 45.69469062 43.09187544

2 (4) 43.77193365 43.13101465 43.13362394

3 (8) 43.29300082 43.13335655 43.13351268 43.13351091

4 (16) 43.17337456 43.13349914 43.13350865 43.13350859

5 (32) 43.14347464 43.13350800 43.13350859 43.13350859

6 (64) 43.13600007 43.13350855 43.13350859 43.13350859

7 (128) 43.13413146 43.13350859 43.13350859 43.13350859

Exacte -43.13350859

Ara, amb només 16 intervals aconseguim la precisió desitjada si anem fins a ordre 3 en

la sèrie de Romberg. Òbviament, sempre hi ha la opció de deduir les equacions

corresponents a un mètode amb un polinomi interpolador d’ordre suficientment gran,

implementar el mètode i determinar el valor de la integral directament. L’esquema

15

anterior, no obstant, és més senzill i flexible, ja que permet assolir de manera econòmica

i sistemàtica la precisió desitjada, que pot variar segons les nostres necessitats

computacionals.

Pel que fa a l’algorisme, no serà gaire diferent al del mètode dels trapezis. En aquest

cas, l’opció més senzilla és la d’emmagatzemar la taula de Romberg conforme l’anem

generant. Aquest procés s’haurà de dur a terme per columnes. és a dir, primer caldrà

determinar, fins a un ordre k les aproximacions corresponents al mètode dels trapezis i,

a partir d’elles determinar les corresponents aproximacions per Simpson. Tot seguit, els

valors per Cotes a partir dels de Simpson i així successivament fins a l’ordre de

Romberg màxim, m (m ≤ k).

Definir interval d’integració, a,b Definir ordre màxim de càlcul, kmax Definir ordre màxim de Romberg, mmax

( ))b(f)a(fab),(T +−

=2

00

do k=1 fins kmax n = 2k h = (b-a)/n

senari)iha(fh),k(T),k(Tn

i

∈++−= ∑−

=

1

1

01210

end do do m =1,mmax

14

1111−

−−−−+−= m

)m,k(T)m,k(T)m,k(T)m,k(T

end do escriure T end

16

3.2.5 Anàlisi d’errors i pèrdua de precisió

L’anàlisi d’errors següent ens ajudarà a veure la importància del mètode de Romberg a

la vegada que les seves limitacions

Anem a considerar de nou el mètode dels trapezis. Com hem discutit abans, el què fem

es substituir la integral de la funció en cada interval per la d’un polinomi de primer

ordre (recta)

Per tant podem dir que dins l’interval

)x(Oxcc)x(f 210 ++≈ (33)

on el terme d’error O(xn) vol dir que s’ignoren els termes d’ordre igual o superior a n.

Per tant, també vol dir que l’aproximació és exacta per funcions polinomques

d’ordre inferior a n, en aquest cas una recta

Tanmateix, el que acabem fent és integrar aquesta funció aproximada de manera que

l’error integrat és de l’ordre

)x(O)x(Ob

a

32 =∝ ∫ε (34)

L’estimació de l’error en un cas general, amb n intervals la podem escriure com

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∝⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=∝ ∑∑ 2

33 1

nO)

nab(O

nab)h(Oh

ii

ε (35)

És a dir, en cada interval l’error és de l’ordre de k , o bé 1/n3 ,però com que s’acumula

per n intervals l’error final serà de l’ordre de 1/n2.

A més, el fet clau de l’aproximació dels trapezis és que es pot demostrar que l’error de

l’aproximació, que comença com hem vist en l’ordre 1/n2 és, de fet, únicament

parell expressat en potències de 1/n.

Això vol dir que si d’alguna manera aconseguim eliminar el terme principal d’error, el

nostre mètode passaria a tenir un error de l’ordre de 1/n4 , el que implicaria que la

integració seria exacta per polinomis d’ordre 3.

17

Com ho podem aconseguir? Suposem que avaluem la integral amb n intervals. L’error

seria 21 nn ∝ε . Si ara doblem el nombre de punts tindrem

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∝⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∝ 222 4

121

n)n(nε (36)

Llavors, si fem la combinació

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∝− 422

131

34

nnn εε (36)

es pot veure com el terme principal d’error es cancel·la, quedant el següent, que, com

hem dit abans no contindria ordre senar en 1/n.

A més, és fàcil veure que aquesta combinació correspon, de fet, a la descrita en l’eq (29)

pel mètode de Simpson. És a dir, que en passar de trapezis a Simpson en disminuïm

l’error en dos ordres de magnitud, el que implica no només una major precisió sinó una

convergència millor.

Una altra conseqüència immediata és el fet que, tot i basar-se en segments parabòlics, el

mètode de Simpson és exacte per polinomis d’ordre 3.

Ja pots intuir ara la base del mètode de Romberg. El que s’aconsegueix és eliminar els

termes d’error fins a ordre 1/n2(m+1), on m es l’ordre de la sèrie de Romberg. Per tant, el

mètode de Cotes (m=2) té un error de l’ordre 1/n6, la següent columna de la taula 1/n8 i

així successivament.

Fixa’t en les conseqüències d’aquest fet. Per exemple, la integració exacta d’un

polinomi d’ordre 10 és podria aconseguir aplicant Romberg fins a ordre m=4. I

per poder aplicar-ho només en necessitem saber els aproximacions a la integral pel

mètode dels trapezis fent servir 20, 21, 22, 23 i 24 intervals! Curiós, no?

Hi ha, però, un altre factor que no hem tingut en compte fins ara i es que cal tenir

presents els errors d’arrodoniment. La computadora, com ja sabem té una precisió

limitada. En FORTRAN aquesta depèn també del tipus de dada. Les dades tipus REAL

tenen 8 xifres significatives, mentre que les REAL*8 (double precision) en tenen el

18

doble, 16. Això vol dir que la nostra precisió en la integració mai podrà superar (o

igualar) la del tipus de dades que fem servir degut als errors d’arrodoniment.

Per il·lustrar aquest fet, s’ha recalculat la Taula de Romberg per la integral anterior

utilitzant variables de tipus REAL, enlloc de DOUBLE PRECISION.

k m=0 m=1 m=2 m=3

0 (1) -53.50313568

1 (2) -45.69469070 -43.09187698

2 (4) -43.77193451 -43.13101578 -43.13362503

3 (8) -43.29299927 -43.13335419 -43.13351059 -43.13351059

4 (16) -43.17337418 -43.13349915 -43.13351059 -43.13351059

5 (32) -43.14347458 -43.13350677 -43.13350677 -43.13350677

6 (64) -43.13600159 -43.13351059 -43.13351059 -43.13351059

7 (128) -43.13413239 -43.13351059 -43.13351059 -43.13351059

... ... ... ... ...

19 (~5·105) -43.13350296 -43.13349915 -43.13349915 -43.13349915

Exacte -43.13350859

La propagació d’errors és clara. Tot i que els resultats semblen convergits a un nombre,

si anem a ordres més grans els resultats oscil·len. En aquest cas, no aconseguir arribar a

la mateixa precisió que abans ni augmentant el nombre d’intervals ni incrementant

l’ordre de Romberg. La raó principal és que, com més gran és el nombre d’intervals,

més petit és la mida d’aquest i per tant major serà l’error relatiu degut a l’arrodoniment.

El que podem aprendre d’això és que incrementant el nombre d’intervals no sempre ens

assegura una major precisió i convergència

19

3.2.6 Integració numèrica de funcions: Integrals impròpies

Fins ara hem assumit que l’integrand era una funció que es comportava bé, amb uns

límits d’integració ben definits. En realitat, ens podem trobar amb certs casos on els

mètodes descrits amb anterioritat fallaran.

En distingirem de varis tipus i en veurem quines tècniques podem fer servir per

solucionar-ho.

Límits d’integració no avaluables

En aquest cas, el problema és que no podem determinar la imatge de la funció al/als

límits d’integració. I no podem determinar aquest valor a) perquè no és finit, o b) perquè

no és determinable numèricament.

Exemples típics poden ser les integrals següent1:

11

0−=∫ dx)xln( (1)

85193710

.dxx

)xsin(=∫

π

(2)

En el primer cas la imatge del límit inferior tendeix a -∞, mentre que en el segon tenim

una indeterminació del tipus 0/0. En aquest cas, aplicant l’Hôpital es pot veure que el

seu valor és 1, però mai podrem determinar-ho numèricament. En altres paraules, si el

programa arriba a un càlcul del tipus 0/0 l’algorisme serà inestable (dependent de les

opcions de compilació i del compilador mateix potser que fins i tot s’aturi).

Pel que fa a la resta de l’interval d’integració, no presenta cap problema.

Per tant, l’únic problema és que no podem avaluar la funció en un dels extrems de

l’interval d’integració. La solució podria ser intentar trobar una fórmula que no en

depengués dels valors de la funció als intervals, i això és el que farem.

1 Obviament, només cal preocuparse per integrals que tenen un valor finit. Si una integral divergeix no cal

intentar trobar el valor numèricament!

20

Partirem de l’expressió per al mètode dels trapezis d’ordre k

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= ∑

−

=

1

12

2

kn

ik

kk )iha(f)b(f)a(fhT (3)

on la mida del interval (hk, distància entre punts) depèn de l’ordre de manera que

121

−= kk hh (4)

Amb les expressions 3 i 4 podem escriure la corresponent a l’ordre k-1.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

∑

∑−

=

−

=−

−−

−

−

1

1

1

11

11

1

1

22

22

k

k

n

ikk

n

ik

kk

)hia(f)b(f)a(fh

)iha(f)b(f)a(fhT

(5)

Es pot veure fàcilment que si prenem la combinació 2Tk – Tk-1

senari)iha(fh

)hia(f)iha(fhTT

k

kk

n

ikk

n

ik

n

ikkkk

∈+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+=−

∑

∑∑−

=

−

=

−

=−

−

1

1

1

1

1

11

2

22221

(6)

arribem a una expressió on no apareixen els valors de la funció en els límits

d’integració. A més, si suposem que Tk , conforme augmenta k, convergeix al valor de la

integral, això vol dir que

kkkkk TTTTT ≈−→≈ −− 11 2 (7)

i així, les eq (3) i (6) tendeixen al mateix valor.

Les expressions que no depenen del valor de la funció als límits d’integració (6)

21

s’anomenen fórmules obertes i, de fet, es poden deduir de manera similar expressions

anàlogues pel mètode del Simpson, etc...

Límits d’integració no finits

Aquest és el cas d’integrals impròpies del tipus

∫∫ ∞−

∞ a

adx)x(fdx)x(f (8)

Es presenten dos tipus de problemes. El primer és que no podem representar

numèricament l’infinit. Per tant, hauríem d’aproximar el límit d’integració per un

nombre suficientment gran. Aquesta aproximació serà, en general, força bona donat que

una condició per a que el valor d’una integral d’aquest tipus convergeixi és que la

funció tendeixi a zero als límits no finits. Per tant, tenim que la contribució al valor de la

integral per a valors de x suficientment grans (o petits) serà menyspreable. Fixeu-vos

que en el cas anterior, l’efecte és ben be el contrari. És al voltant de la discontinuïtat (on

la funció es fa no finita) on hi ha una major contribució al valor de la integral. És per

això que es sol recórrer a formules obertes.

L’altre problema és que, tot i aproximar l’infinit numèricament (1012, etc) , l’interval

d’integració és extremadament gran, pel que caldria avaluar la funció en un gran

nombre de punts a fi que la distància enter intervals sigui suficientment petita.

El que es pot fer en aquests casos és un mapping de la funció i intervals d’integració

originals en uns altres, amb la obvia restricció de que l’àrea sota la corba sigui

exactament la mateixa.

Farem el següent canvi de variable

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

=

dxx

dt

xt

2

1

1

(9)

Si ho substituïm a l’expressió de la integral tindrem, per exemple

22

∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−≡

a/

b/

b/

a/

b

adt

tf

tdt

tf

tdx)x(f

1

1 2

1

1 2

1111 (10)

Amb això, hem passat d’avaluar la integral dins un interval infinit x∈[a,∞] a un interval

t∈[0,1/a]. Òbviament, la funció a integrar ha canviat. Aquesta tècnica del “mapeig” no

és útil només en cas de límits d’integració no finits, sinó que pot servir en molts casos

per escurçar l’interval d’integració a fi d’obtenir una millor precisió amb menys punts.

Fixeu-vos, però, que solucionem la presència de l’interval infinit, però introduïm una

discontinuïtat, ja que no podem avaluar la imatge de la nova funció per t = 0. Això

també implica que no podem fer aquest canvi de variable per escurçar un interval

d’integració quan els respectius límits d’integració canvien de signe (passaríem pel zero

i ens trobaríem amb la discontinuïtat a l’interior de l’interval!).

Podem evitar aquest problema utilitzant formules obertes o bé prenent com a límit

d’integració original un nombre suficientment gran (o petit).

23

Exemple 1:

11

0−=∫ dx)xln(

Mètode dels trapezis amb formula tancada i oberta

k Tk * 2Tk-Tk-1

1 13.81551075 ---

2 7.25432873 0.836988217

3 4.04565859 0.915951454

4 2.48080492 0.957328752

5 1.71906686 0.978501874

6 1.34878433 0.989210263

7 1.16899729 0.99459496

8 1.08179617 0.997294937

9 1.03954554 0.998646833

10 1.01909614 0.999323257

11 1.00920975 0.999661589

12 1.00443554 0.999830785

13 1.00213385 0.99991539

14 1.00102496 0.999957694

15 1.00049150 0.999978847 * Límit inferior d’integració 10-12

Veiem que per ordres d’integració petits la formula oberta dóna clarament millors

resultats mentre que conforme augmentem el nombre d’intervals tots dos mètodes

tendeixen al mateix valor ( tot i que la fórmula oberta és superior en tots els casos)

24

Exemple 2:

∫∞

∞− +dx

x211

El valor exacte d’aquesta integral impròpia és π. Per tal de determinar-ne el valor

numèricament tenim el problema de dos límits d’integració no finits. No poden aplicar

directament la transformació (10) per raons òbvies. Tanmateix podríem plantejar-nos

trobar el valor de la integral a partir de

∫∫∫∞

∞−

∞

∞− ++

+≡

+ 0 2

0

22 11

11

11 dx

xdx

xdx

x

El problema ara és que el mapeig de l’eq (10) tornaria a donar un límit d’integració

infinit, ja que el un dels límits original és el 0. Per tant, podríem descomposar novament

la integral en

∫∫∫∫∞

−

−

∞−

∞

∞− ++

++

+≡

+ 1 2

1

1 2

1

22 11

11

11

11 dx

xdx

xdx

xdx

x

i aplicar la tècnica del mapeig i posterior formula oberta a la primera i tercera de les

integrals, mentre que la segona no comporta cap problema addicional.

25

3.2.7 Integració numèrica de funcions de una o més variables: Mètode de Monte Carlo

Suposem ara que volem avaluar la integral d’una funció de vàries variables dins un

volum determinat Ω.

∫Ω nn dx..dxdx)x,..,x,x(f 2121 (1)

Aplicant les idees de la secció anterior, podríem aproximar la integral per sumatoris,

discretitzant el domini d’integració

n

n

n

ii

np

i

np

i

np

iiiiinn x...xx)x,..,x,x(f...dx..dx)x,..,x(f ΔΔΔ≈∑∑ ∑∫Ω 2

1

1

2

2

132111 (1)

En una funció d’una variable, aproximem la integral per la suma de les àrees de np

figures planes com trapezis (on np es el nombre d’intervals). Si tenim una funció de

dues variables, la integral vindria donada per la suma dels np1×np2 volums de figures

tridimensionals, etc...

El que és important és veure que si ens calgués avaluar la funció en cap a 100 punts per

una funció monodimensional, per una bidimensional en caldrien 1002 per obtenir una

precissió similar, 1003 per una 3D, etc... Per tant, per funcions de vàries variables no és

precisament el mètode més eficient.

Un dels mètodes més eficients en aquests casos el l’anomenat mètode de Monte Carlo.

Vegem en què es basa mitjançant un exemple senzill. Posteriorment entrarem en més

detall. Suposem que volem avaluar la integral següent,

a b

f(a)

f(b)f(x)

26

que correspon a l’àrea sota la corba. Tot seguit definim un àrea que englobi l’àrea que

busquem. Per exemple, el rectangle definit pels segment b-a i f(b).

a b

f(a)

f(b)f(x)

f(b)

Òbviament, l’àrea d’aquest rectangle (Arect) serà una cota superior de l’àrea que

busquem. A més, si definim g com la proporció entre les àrees sota la funció (integral) i

l’àrea total del rectangle, podem escriure la integral com

rect

b

agAdx)x(fI == ∫ (3)

Suposem ara que definim N punts aleatoris distribuïts uniformement dins l’àrea Arect.

a b

f(a)

f(b)f(x)

f(b)..

.. ...

..

..

.. ...

..

.. ...

..

.. ...

..

.. ...

..

.. ...

La filosofia del mètode Monte Carlo és la de determinar aquesta proporció entre les

àrees, g, estimant-la com la proporció entre els punts que queden per sota de la

corba respecte els totals.

Només per curiositat, en el cas particular del gràfic anterior, la proporció és de 29/37

(compta’ls!) per tant la integral seria

)ab)(b(fAI rect −==3729

3729

(4)

27

Mètodes Monte Carlo

En general, el teorema en què és basen els mètodes Monte Carlo és el que ens diu que la

integral d’una funció en un volum multidimensional V, dins el qual escollim N punts

(x1,..., xN) de manera aleatòria i uniforme, es pot expressar com

( )∫

−±≈

V NffVfVfdV

22

(5)

on

∑∑ ==N

ii

N

ii )x(f

Nf)x(f

Nf 22 11

(6)

representen les mitjanes aritmètiques de la funció i el quadrat de la mateixa, i el segon

terme de l’eq (5) representa una estimació de l’error (desviació standard).

A partir d’aquest teorema podem plantejar-nos dues maneres de determinar una integral

multidimensional. Escollirem un o altra bàsicament en funció de la regió d’integració,

és a dir segons aquesta es pugui “samplejar” fàcilment o no.

Vegem-ho amb un exemple:

Exemple 1

Volem determinar la integral següent

∫ ∫− −

+−1

1

1

1

22

dxdye )yx(

En aquest cas, la regió d’integració és simple; ve definida pels intervals x∈[-1,1] i y∈[-

1,1], és a dir, per un quadrat d’àrea 2×2 = 4. Segons les eq (5)-(6), si avaluem la funció

en N punts aleatoris uniformement distribuïts dins la regió d’integració (quadrat) i en

determinem el valor mitjà, f , el valor de la integral serà

ffVdxdye )yx( 41

1

1

1

22

=≈∫ ∫− −

+−

De vegades, però, la regió d’integració no es tan simple, i pot resultar difícil obtenir una

distribució uniforme de punts per tal de determinar la mitjana de la funció a integrar.

28

El que fem és tractar de trobar un volum multidimensional (regió d’integració) conegut,

W, que contingui la regió d’integració original, V. Posteriorment, generem els N

nombres aleatoris dins aquest volum W , tot determinant per cada punt si pertany a la

regió d’integració, V. En cas negatiu, el punt no es pren per determinar el valor mig de

la funció dins l’interval, f (de fet és com considerar que la funció es fa zero en els

punts de fora de l’interval d’integració....). Finalment, el producte del valor mitjà de la

funció, f , pel volum “samplejat” ,W, ens donarà el valor de la integral.

Exemple 2

Per exemple, imaginem ara que volem determinar l’integral de la funció

)yx(e22 +−

en un interval circular de radi R al voltant del centre de coordenades2. Com a volum W

podríem prendre simplement un quadrat de costat 2R centrat a l’eix de coordenades

x

y

R

Cada punt aleatori dins W, pi , vindrà donat per les seves coordenades (xi, yi). Aquest

punt pertanyerà també a la regió d’integració, V, si xi2+ yi

2 ≤ R2. Llavors, per cada punt

generat caldrà comprovar si es compleix la inequació anterior per tal de tenir-ho en

compte. És clar que els punts “no vàlids” tenen el seu efecte: l’eq (5) ens diu que l’error

estimat serà major (en aquest cas el volum serà W, essent W > V).

Existeix encara una manera més intuïtiva d’aplicar la tècnica de Monte Carlo. Aquest

2 En aquest cas un canvi de variable a coordenades polars seria molt més eficient, però es tracta només

d’un exemple.

29

pot ser el cas, per exemple, de determinar el volum de figures 3D complexes.

La manera de fer en aquest cas seria una generalització de l’esquema presentat a l’inici

del tema. En aquest cas es tractaria de trobar un volum multidimensional conegut, W,

que contingui el volum3 (integral) que busquem, V. Es generen els N nombres aleatoris

dins aquest volum es determinen quants d’aquest punts es troben dins el volum V. La

relació entre aquests punts “vàlids” i els totals ens donarà la relació entre els volums V i

W, i per tant V, que és el que busquem

Exemple 3

Per exemple, podem determinar el volum d’una esfera de radi R (com pots imaginar hi

ha mill maneres més eficients de fer-ho).

En aquest cas, el volum W podria ser el d’un cub de costat 2R, és a dir 8R3. Cada punt

aleatori dins W, pi , vindrà donat per les seves coordenades, en aquest cas (xi, yi, zi). En

aquest cas, el punt pertanyerà també al volum que busquem, V, si xi2+ yi

2 + zi2≤ R2.

Finalment V vindrà donat simplement pel producte de W per la fracció de punts que

han caigut dins el volum que buscàvem.

De fet, la funció 2D en coordenades cartesianes que defineix la superfície de l’esfera i

que integrada ens dóna el volum és simplement f(x,y)=R2 - xi2- yi

2. Pots aplicar Monte

Carlo de manera anàloga a l’exemple 2 per tal de determinar-ne el volum per

integració de f(x,y). Sol: En surt la meitat, no? Per què?

3 Un volum N dimensional sempre es pot entendre com la integral d’una funció N-1 dimensional. Tot i

això, de vegades no és senzill trobar l’equació matemàtica que descriu la forma de l’objecte i que

integrada ens donaria el seu volum.

30

3.2.8. Generació de nombres aleatoris en FORTRAN

El FORTRAN 77 standard no té cap funció o subrutina intrinseca que generi nombres

aleatoris. Existeixen algunes funcions no standard com, ran, rand o srand que son

proveïdes de fet pel propi compilador i que funcionen en entorns de hardware específic

(no PC’s... supercomputadors tipus IBM, Sillicon Graphics, CRAY, etc..).

El FORTRAN90 si que inclou subrutines intrínseques standard per generar nombres

aleatoris i, donat que de fet fem servir un compilador de FORTRAN95, les utilitzarem

com si fossin part del FORTRAN 77.

Per generar un nombre aleatori i emmagatzemar-lo en una variable de tipus REAL, x,

farem simplement

call random_number(x)

Cal tenir en compte que la sentència anterior ens genera un nombre aleatori només

dins l’interval [0,1]. Això no és cap restricció, si volem un nombre aleatori dins

l’interval [a,b] , a < b, només cal realitzar la transformació següent

x = x*(b - a) + a

Amb el factor multiplicatiu expandim/contraiem el rang inicial (una unitat) a la mida

desitjada, mentre que afegint a aconseguim ajustar el valor mínim possible que es pot

generar al menor valor de l’interval, en aquest cas a.

Per generar nombres aleatoris en un volum multidimensional caldrà determinar

cadascuna de les components del punt de manera aleatòria, mitjançant successives

crides a la subrutina.

Per exemple, per un punt dins un volum 3D donat per les components (x,y,z) caldrà fer

call random_number(x)

call random_number(y)

call random_number(z)

Val a dir també que cal incialitzar el generador de nombres aleatoris per tal de no

obtenir sempre la mateixa seqüència. Això es pot fer cridant a una altra subrutina

intrínseca un sol cop abans de començar a generar els nombres aleatoris . La

subrutina en qüestió es diu random_seed i pot ser cridada sense arguments. En concret

call random_seed( )

31

3.2.7 Quadratures Gaussianes

De forma general, els mètodes d’integració numèrica que hem vist es basen en

discretitzar la integral a calcular de manera que

∑∫ ≈n

iii

b

axwxfdxxf )()()(

És a dir, determinem el valor de la integral simplement a partir de productes del valor de

la funció avaluada a una sèrie de punts xi i amb uns pesos w(xi), tal que w(xi) >0.

En el cas del mètode dels rectangles aquests pesos corresponen a les amplades

d’aquests. En el cas de mètodes una mica més elaborats com Simpson aquests pesos

prenen diferents valors segons el valor de xi. Així, recordant la fórmula de Simpson per

n intervals

parelln))iha(f)iha(f)b(f)a(f(hA

parelli

n

i

senari

n

i

Sn ∈+++++=

∈

−

=

∈

−

=∑∑

44344214434421

2

2

1

124

3

podem veure que per x = a i x = b el pes corresponent és de h/3, on h és l’amplada de

l’interval. En canvi, pels punts x = a + ih, essent i senar, el pes és de 4h/3, mentre que

quan i pren valors parells el pes és de 2h/3.

Veiem doncs que el pes de cada punt que s’utilitza per aproximar la integral pot variar,

de manera que hi ha punts que potencialment hi contribueixen més al valor de la

integral numèrica.

En el cas del mètode de trapezis, Simpson i en definitiva el mètode de Romberg els

punts a on cal avaluar la funció (i determinar el pes corresponent) venen determinats pel

nombre d’intervals que escollim aplicar i pel rang d’integració de la funció. Això és així

per què cal utilitzar intervals de mateixa amplada.

32

El mètode de la Quadratura Gaussiana elimina aquesta restricció i proposa una

estratègia per tal de determinar de manera òptima tant la posició dels punts a on cal

avaluar la funció com els seus pesos corresponents. Il·lustrarem la estratègia amb un

exemple:

Suposem que volem aproximar el valor de la integral d’una funció en l’interval [-1,1]

fent servir només dos punts d’integració (n = 2), x0 i x1. Això vol dir que volem

aproximar la integral per

)()()()()( 1100

1

1xwxfxwxfdxxf +≈∫−

Com veurem més endavant el fet que la quadratura estigui definida per a integrals en el

rang [-1,1] no suposa cap problema i sempre podrem extendre la formulació a qualsevol

rang.

Així doncs, tenim que determinar quatre paràmetres, els dos punts de integració {x0 , x1}

i valor dels pesos corresponents {w(x0), w(x1)}. Per fer-ho imposarem la condició de que

la integral sigui exacta per qualsevol polinomi de grau 2n-1, és a dir de grau 3 en aquest

cas. Per tant

)()()()(322 110020

1

1

33

2210 xwxfxwxfaadxxaxaxaa +=+=+++∫−

i substituint per la expressió del polinomi

( ) ( ) 2013

132

1211003

032

02010 322)()( aaxwxaxaxaaxwxaxaxaa +=+++++++

Aquesta condició dóna lloc a quatre equacions de la formar

2)()( 10 =+ xwxw

0)()( 1100 =+ xwxxwx

32)()( 1

210

20 =+ xwxxwx

0)()( 13

103

0 =+ xwxxwx

33

Es pot veure fàcilment com les solucions en aquest cas son

1)()( 10 == xwxw 31

31

10 =−= xx

Per tant, hem demostrat que

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=∫− 3

13

1)(1

1ffdxxf

essent f(x) un polinomi qualsevol de grau 3.

Es pot demostrar que una quadratura de n punts proporciona integrals exactes dins

l’interval [-1,1] per a polinomis de grau 2n-1 o inferior.

De fet, es demostra també que els punts {x0, x1, ..., xn-1} d’una quadratura de n punts

corresponen als zeros del polinomi ortogonal de Legendre de grau n,

( )

( )

( )...

3303581

3521

1321

1

244

33

22

1

0

+−=

−=

−=

==

xxP

xxP

xP

xPP

Polinomis de Legendre

mentre que els pesos corresponents es poden obtenir a partir de l’expressió

∫− −=

1

1

)()('

1)( dxxxxP

xPxw

k

n

knk

34

Val a dir que la quadratura que acabem de veure no és la única quadratura que existeix.

En un cas més general la integral es pot representar introduint una funció W(x) de

manera que

∫b

adxxfxW )()(

El cas a = -1, b = 1 i W(x) = 1 correspon al cas que hem vist anteriorment,i dona lloc a

l’anomenada Quadratura de Gauss-Legendre. Altres casos particulars queden recollits a

la taula següent.

Interval W(x) Polinomis ortogonals associats Quadratura

[-1,1] 21 x− Chebyshev Gauss-Chebyshev

[0,∞) xe− Laguerre Gauss-Laguerre

(-∞,∞) 2xe− Hermite Gauss-Hermite

Límits d’integració

Per poder aplicar la integració numèrica mitjançant una quadratura gaussiana cal

expressar primer la integral general entre els límits [a,b] com a una integral en el rang

[-1,1]. Això es pot fer fàcilment mitjançant un canvi de variable. Per exemple si

definim una relació lineal amb la nova variable

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

++−=

dtabdx

abtabx

2

2)(

llavors podem veure que l’aproximació a la integral queda de la forma

∑∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−−

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−−

=−

iii

b

a

abtabftwabdtabtabfabdxxf22

)(2222

)(1

1

35

Fixa’t que de fet també podem interpretar aquest resultat com que la transformació

lineal també fa variar els pesos corresponents de forma que

)(2

)( ii xwabtw −=

Altres transformacions no lineals son també possibles i de fet s’han de fer servir per

extendre els límits d’integració a l’infinit. Per exemple, fent

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−+

=

dtt

rdr

ttrr

20

0

12

11

podem escriure la integral següent com

dtt

rttrfdrrf 2

01

1 00 )1(2

11)(

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

= ∫∫ −

∞

El paràmetre r0 controla el mapeig entre tots dos rangs d’integració. És facil veure que

els punts de la quadratura en el rang [-1,0) mostregen els valors de r entre 0 i r0. Així es

pot escollir el valor de r0 segons la forma de la funció que es vol integrar.

Per altra banda l’aproximació numèrica a la integral queda de la forma

∑∫ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

≈−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−i

iii

i twtr

ttrfdt

tr

ttrf )(

)1(2

11

)1(2

11

20

0201

1 0

i podem fer la associació

)()1(

2)(' 20

kk

k rwtrtw

−≡ i )

11

()( 0k

kk t

trftf

−+

=

però també

36

)()(' kk rwtw ≡ i 20

0 )1(2

)11

()(kk

kk t

rtt

rftf−−

+=

La primera opció sembla més natural i així doncs considerem que es recalculen els

pesos de la quadratura original per tal d’adaptar-los al nou rang d’integració (en realitat

al nou diferencial de volum).

{v1,v - IQCCstark.udg.edu/~perico/docencia/curs_07_08/TC_QTC_0708.pdf ·

Documents

Transcript of {v1,v - IQCCstark.udg.edu/~perico/docencia/curs_07_08/TC_QTC_0708.pdf ·