VALIDACIÓN DE LA CALIDAD DE LAS SOLUCIONES OBTENIDAS …

VALIDACIÓN DE LA CALIDAD DE LAS SOLUCIONES OBTENIDAS EN LA

TESIS DE MAESTRÍA OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL PROBLEMA DE

CARGA DE CONTENEDORES TRIDIMENSIONALES.

Trabajo de grado para obtener el título de

Pregrado de Ingeniero Industrial

AUTORES

Ernesto Cáliz Cabrales

Diana Esmeralda Sarmiento De Los Ríos

DIRECTOR

Ing. Carlos Alberto Vega Mejía, M.Sc.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

BOGOTÁ

2012

TABLA DE CONTENIDO

1. RESUMEN. .................................................................................................................................. 1

2. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 1

3. ANTECEDENTES Y MARCO TEÓRICO.................................................................................... 2

4. DESARROLLO ............................................................................................................................. 25

4.1 MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LA TESIS “OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL PROBLEMA DE

CARGA DE CONTENEDORES”. ............................................................................................................ 25

4.1.1 Modelo matemático propuesto. ................................................................................................. 26

4.2 MÉTODO DE SOLUCIÓN PROPUESTO. ....................................................................................... 30

4.2.1. Algoritmo genético (AG). ........................................................................................................... 30

4.3 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO META-HEURÍSTICO. .......................................................... 32

4.3.1 Generación de la población inicial. ........................................................................................... 32

4.3.2 Operación de cruce. ................................................................................................................... 39

4.3.3 Operación de mutación. ............................................................................................................. 42

4.3.4 Procedimiento completo del algoritmo genético. ................................................................... 43

4.3.5 Evaluación del centro de gravedad (CG). ............................................................................... 45

5. RESULTADOS COMPUTACIONALES. ................................................................................... 46

5.1 ANÁLISIS ESTADÍSTICO INSTANCIA 24 CAJAS ......................................................................... 46

5.1.1 Variable de estudio: valor obtenido de la función objetivo.................................................... 47 5.1.2 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: valor obtenido de la

función objetivo. .................................................................................................................................... 52

5.1.3 Variable de estudio: desvío del centro de gravedad. ............................................................ 55

5.1.4 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: desvío del centro de

gravedad. ............................................................................................................................................... 60

5.1.5 Variable de estudio: tiempo de ejecución del programa. ...................................................... 63

5.2 ANÁLISIS ESTADÍSTICO INSTANCIA 72 CAJAS ......................................................................... 68

5.2.1 Variable de estudio: valor obtenido de la función objetivo. ................................................. 69 5.2.2 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: valor obtenido de la

función objetivo. .................................................................................................................................... 73

5.2.3 Variable de estudio: desvío del centro de gravedad. ........................................................... 76 5.2.4 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: desvío del centro de

gravedad. ............................................................................................................................................... 80

5.2.5 Variable de estudio: tiempo de ejecución del programa. ...................................................... 83

6. CONSIDERACIONES DEL PROBLEMA DE CARGA DE CONTENEDORES. ...................... 88

7. CONCLUSIONES ...................................................................................................................... 89

8. REFERENCIAS ......................................................................................................................... 91

LISTA DE TABLAS

Tabla 1: Artículos de solución al problema de carga de contenedores ................................... 4

Tabla 2: Ejemplo de cálculo de la función objetivo ................................................................... 38

Tabla 3: Resumen de resultados para la instancia de 24 Cajas. ........................................... 47

Tabla 4: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza de los valores obtenidos de

la función objetivo en niveles del AG en la instancia de 24 cajas. ......................................... 47

Tabla 5: Pruebas de Normalidad para los residuos de los parámetros 500, 1000, 2000,

3000 y 4000 generaciones. ........................................................................................................... 50

Tabla 6: Prueba estadística de Tamhane, instancia 24 cajas. ................................................ 51

Tabla 7: Prueba de Levene de Homogeneidad de Varianza. ................................................. 52

Tabla 8: Pruebas de normalidad de residuos para Metodologías AG y GRASP. ................ 53

Tabla 9: Prueba estadística U de Mann-Whitney de los valores obtenidos de la función

objetivo bajo las metodologías AG y GRASP. ........................................................................... 54

Tabla 10: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para el desvío del centro de

gravedad, instancia 24 cajas. ....................................................................................................... 55

Tabla 11: Pruebas de normalidad de residuos para cada nivel de AG para datos del

desvío del centro de gravedad, instancia 24 cajas. .................................................................. 58

Tabla 12: Prueba de Tamhane para diferencia de medias para datos de desvío de centro

de gravedad. ................................................................................................................................... 60

Tabla 13: Prueba de Levene Homogeneidad de varianza Instancia 24 cajas Metodología

AG y GRASP. .................................................................................................................................. 60

Tabla 14: Pruebas de normalidad de residuos para los datos arrojados por el AG y

GRASP para desvío de centro de gravedad. ............................................................................. 62

Tabla 15: Prueba estadística U de Mann-Whitney para desvío de centro de gravedad. .... 62

Tabla 16: Estadístico descriptivos para los valores de Tiempo de ejecución en la instancia

de 24 cajas. ..................................................................................................................................... 65

Tabla 17: Resumen de resultados obtenidos en la instancia de 72 cajas. ........................... 69

Tabla 18: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza de los valores obtenidos de

la función objetivo en niveles del AG en la instancia de 72 cajas. ......................................... 69

Tabla 19: Pruebas de Normalidad de residuos para los parámetros 500, 1000, 2000, 3000

y 4000 generaciones, instancia 72 cajas. ................................................................................... 71

Tabla 20: Prueba de Tamhane para diferencia de medias varianza de los valores

obtenidos de la función objetivo en niveles del AG en la instancia de 72 cajas. ................. 72

Tabla 21: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para comparación de

metodología AG y GRASP en la instancia de 72 cajas............................................................ 73

Tabla 22: Prueba de normalidad para los residuos de las metodologías AG y GRASP en

la instancia de 72 cajas. ................................................................................................................ 74

Tabla 23: Prueba estadística U de Mann-Whitney para metodologías AG y GRASP en la

instancia 72 cajas. .......................................................................................................................... 75

Tabla 24: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para desvío de centro de

gravedad en la instancia de 72 cajas. ......................................................................................... 76

Tabla 25: Prueba de normalidad de residuos para datos desviación de centro de

gravedad para la instancia de 72 cajas. ..................................................................................... 78

Tabla 26: Prueba de Tamhane para diferencia de medias para datos de desvío del centro

de gravedad en la instancia de 72 cajas. ................................................................................... 80


gravedad en la instancia de 72 cajas para metodologías AG y GRASP. .............................. 80

Tabla 28: Prueba de normalidad de residuos para desviación del centro de gravedad en la

instancia de 72 cajas. .................................................................................................................... 82

Tabla 29: Prueba U de Mann-Whitney para diferencia de medias en la instancia de 72

cajas con metodologías AG y GRASP. ....................................................................................... 82

Tabla 30: Estadístico descriptivos para los valores de Tiempo de ejecución en la instancia

de 72cajas. ...................................................................................................................................... 85

LISTA DE FIGURAS.

Ilustración 1: Descripción el funcionamiento del AG ............................................................... 31

Ilustración 2: Ejemplo de mecanismo de Cruce ........................................................................ 31

Ilustración 3: Representación gráfica de un vector de cajas organizado. ............................. 34

Ilustración 4: Representación gráfica de un contenedor. ......................................................... 35

Ilustración 5: Validación de peso ................................................................................................. 36

Ilustración 6: Ejemplo de vector para validación de peso ........................................................ 36

Ilustración 7: Segundo ejemplo validación de peso .................................................................. 37

Ilustración 8: Pseudocódigo generación de población inicial. ................................................. 39

Ilustración 9: Representación gráfica de un cruce .................................................................... 40

Ilustración 10: Representación de un cruce por medio de vectores, donde la línea

representa la posición de corte. ................................................................................................... 40

Ilustración 11: Representación de cruce con procedimiento de corrección para cajas

repetidas .......................................................................................................................................... 41

Ilustración 12: Pseudocódigo procedimiento de cruce ............................................................. 41

Ilustración 13: Representación de una mutación por medio de vectores, la línea

representa el corte ......................................................................................................................... 42

Ilustración 14: Representación gráfica de la mutación. ............................................................ 43

Ilustración 15: Pseudocódigo proceso de mutación. ................................................................ 43

Ilustración 16: Selección de la población. .................................................................................. 44

Ilustración 17: Pseudocódigo del algoritmo genético propuesto ............................................. 44

Ilustración 18: Representación de división del contenedor ..................................................... 45

Ilustración 19: Pseudocódigo evaluación del centro de gravedad ......................................... 46

Ilustración 20: Diagrama de caja y bigotes de resultados de metodologías AG y GRASP

en la instancia de 24 cajas. ........................................................................................................... 54

Ilustración 21: Diagrama de caja y bigotes de desvío de centro de gravedad para

metodologías AG y GRASP, instancia de 24 cajas. ................................................................. 63

Ilustración 22: Gráficos descriptivos para el tiempo de ejecución del programa para 24

cajas. ................................................................................................................................................ 67

Ilustración 23: Diagrama de Caja y bigotes del tiempo de ejecución del programa para 24

cajas. ................................................................................................................................................ 68

Ilustración 24: Diagrama de caja y bigotes para porcentaje de ocupación en las

metodologías AG y GRASP en la instancia de 72 cajas. ......................................................... 75

Ilustración 25: Diagrama de caja y bigotes para desviación de centro de gravedad en la

instancia de 72 cajas con las metodologías AG y GRASP. ..................................................... 83


cajas. ................................................................................................................................................ 87

Ilustración 27: Diagrama de caja y bigotes para tiempos de ejecución instancia 72 cajas. 87

1

1. RESUMEN.

Esta tesis presenta un Algoritmo Genético (AG) para resolver un problema combinatorio

de empaquetamiento tridimensional, el cual es del tipo NP-Hard que consiste básicamente

en colocar una serie de cajas tridimensionales dentro de un contenedor tridimensional con

medidas conocidas, buscando optimizar la utilización del espacio [Pisinger, 2002].

La importancia de este trabajo radica en continuar con las perspectivas de investigación

planteadas en la tesis de maestría OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL PROBLEMA DE

CARGA DE CONTENEDORES TRIDIMENSIONALES realizada por el ingeniero Carlos

Alberto Vega Mejía (M.Sc) y cuyos resultados se pueden consultar en [García et al.,

2011], con el fin de complementar los estudios realizados a la fecha.

Se evidenció que en relación al espacio ocupado, el trabajo del Ing. Vega Mejía

estadísticamente logró un mejor aprovechamiento del mismo, pero en cuanto al desvío del

centro de gravedad el método planteado por los autores ofrece un mejor equilibrio del

contenedor en la instancia de 72 cajas.

2. INTRODUCCIÓN

Dadas las condiciones del mundo actual donde el fenómeno de la globalización requiere

del comercio entre agentes que se encuentran en diferentes partes del mundo, el envío de

carga aparece como una situación que diferentes empresas tienen que afrontar, ser

competitivos y buscar beneficios. El elemento más común y estandarizado de carga

masiva de bienes sin importar el medio en el cual sean transportadas es el contenedor

[Huang & He 2009].

La distribución de los productos dentro del contenedor es asunto de vital importancia, con

el fin de optimizar la utilización del mismo, para ello en el desarrollo de esta tesis se

consideraron una serie de restricciones prácticas:

El número de cajas almacenadas en el contenedor no puede exceder el número

de celdas dicho contenedor.

Cada caja ocupa una posición única dentro del contenedor, es decir que no debe

de existir más de una caja en cada celda del contenedor.

Todas las cajas que no tengan contacto con la base del contenedor deben ser

soportadas por otras ubicadas en posiciones inferiores.

El peso equivalente a la suma de los pesos de todas las cajas ubicadas dentro del

contenedor, no puede exceder la capacidad de carga del mismo.

El centro de gravedad de las cajas cargadas dentro del contenedor calculado a lo

largo de este, debe de acercarse al centro geométrico del largo del contenedor.

2

La suma total de los pesos de las cajas que soporta una caja en particular no

puede superar su capacidad.

Por medio de un procedimiento matemático computacional se busca minimizar el

desperdicio de espacio dentro del contenedor. La solución obtenida puede determinar de

manera formal los procedimientos para que la carga de contenedores sea un proceso

eficiente, preciso y confiable que en consecuencia reduzca costos de empaquetamiento y

transporte [Xue y Lai, 1997a; Chan et al., 2006].

3. ANTECEDENTES Y MARCO TEÓRICO.

Como una primera idea, el problema de carga de contenedores (Container Loading

Problem, CLP) se define como el acomodamiento de cajas dentro de un elemento más

grande [Washer et al, 2007], este tipo de problemas se han venido estudiando desde hace

50 años aproximadamente [Pisinger, 2002].

Para realizar la búsqueda del estado del arte se consultaron las bases de datos

disponibles en la biblioteca de la Universidad Javeriana, en donde se pudo obtener como

fuentes primarias artículos actuales (2004-2012) que tratan la problemática desde

diferentes puntos de vista.

Antes de hablar de la revisión cabe resaltar los planteamientos de Bischoff y Ratcliff

(1995), quienes hacen un llamado a tener en cuenta nuevos enfoques al momento de

plantear un problema de carga de contenedores, por ende proponen una serie de

consideraciones con el ánimo de tenerlas en cuenta en situaciones prácticas tales como:

Máximo peso de carga permitido para el contenedor.

Distribución del peso en el contenedor.

Orientación de las cajas. No sólo tener en cuenta la orientación vertical de las

cajas.

Cargamentos con destinos diferentes.

Separación de bienes que no pueden tener contacto con otros debido a sus

características y/o composición.

Ubicación de un Ítem dentro del contenedor de acuerdo su tamaño.

Garantizar estabilidad de la carga en los casos en que se lleva mercancía frágil.

Claro está que además de tenerlas presentes es necesario saber cómo involucrarlas en la

formulación del modelo; es decir cómo plantear matemáticamente dichas situaciones, ya

sea por medio de parámetros o restricciones [Bischoff y Ratcliff, 1995].

Teniendo en cuenta la información encontrada, un problema CLP es un problema NP-

HARD [Pisinger, 2002] los cuales a medida que el problema aumenta de tamaño

requieren de tiempos de ejecución computacionales más largos. Por lo tanto para la

3

solución de esta clase de problemas se usan, por lo general métodos heurísticos y Meta-

heurísticos los cuales son algoritmos que logran resultados satisfactorios en tiempos de

ejecución razonables [Glover y Kochenberger, 2003]. De acuerdo a lo encontrado en la

revisión realizada se puede observar una tendencia a resolver el problema buscando

maximizar del espacio ocupado dentro del contenedor, usando métodos meta-heurísticos

como AG [Goh et al, 2009; Chaiyaratana y Pimpawat, 2004; THAPATSUWAN, P. et al

2011]. GRASP [Álvarez-Valdez et al, 2008; García et al, 2011; Moura y Oliveira , 2008], o

heurísticas híbridas [Egeblad et al, 2009; Turkay y Guilesin, 2010; LIU, J. et al 2011]. De

acuerdo a la revisión realizada (ver tabla 1), los autores proponen continuar con sus

investigaciones previamente realizadas ya sea cambiando las condiciones del problema o

proponiendo un método de solución diferente para la situación planteada.

4

Tabla 1: Artículos de solución al problema de carga de contenedores

Autor Año Problema Restricciones Método

Solución Gap-computacional

Perspectivas de investigación

ZHANG, D. et al

2012

• Determinar un plan de llenado del contenedor,

cumpliendo con las restricciones de carga dada, maximizando el volumen utilizado en el

contenedor.

• No debe haber superposición de cajas.

• La superficie de las cajas que se cargan debe ser

paralela a la superficie del contenedor.

• Restricción de orientación: se permiten hasta 5 orientaciones de

caja. • Restricción de apoyo: las cajas deben ser apoyadas

por completo por otras cajas.

block-loading algorithm basado

en multi-layer search

• Algoritmos BR1–BR7: volumen de utilización promedio 94.63% • Algoritmos BR8–BR15: Volumen de utilización promedio 91.22%

• Para optimizar aún más, se requiere mejorar

la velocidad en los cálculos.

• Aplicar a diferentes problemas con

aplicaciones prácticas y restricciones adicionales.

5




LIM, A. et al.

2012

Maximizar el volumen de utilización del

contenedor o minimizar el número

de contenedores requeridos.

• Cada caja debe estar completamente empacada

en el contenedor. • No se permite

superposición de cajas. • Las cajas deben ser de la

misma dimensión y características.

• El peso de las cajas debe ser el mismo.

• Las cajas pueden ser cargadas en 6 diferentes posibles orientaciones.

Meta-heurística greedy.

Volumen de utilización: 91%

Superar limitaciones de estabilidad de carga, distribución de peso

dentro del contenedor y la fuerza de carga de los

elementos.

6




LIU, J. et al

2011

Obtener la mejor utilización del espacio dentro del contenedor

satisfaciendo las limitaciones prácticas

• Restricción de orientación: las cajas

pueden rotar en cualquiera de las 6 orientaciones.

• Las cajas no pueden estar suspendidas en el aire, estas deben estar en

contacto entre sí o con el piso del contenedor.

• Restricción de peso: el peso de la carga total no puede exceder el límite máximo de peso que admite el contenedor.

• Distribución de peso: el centro de gravedad debe

estar cerca al punto geométrico medio del piso

del contenedor.

Algoritmo híbrido Búsqueda tabú y

heurística de carga iterativa

• RW1: Porcentaje de utilización 90.58%.

• RW2: Porcentaje de utilización: 94.63%

• RW2: Porcentaje de utilización: 94.74%

N.A

7




THAPATSUWAN, P. et al

2011

• Describir el desarrollo de computer aided

packing(CAP), programa que incluye AG, Particle Swarm

Optimisation (PSO) y Artificial Immune

Systems (AIS) en la resolución de

problemas de carga de contenedores.

Algoritmo Genético

Tablas de tiempo de ejecución y volumen de utilización para

diferentes instancias del problema y los

métodos de solución planteados.

N.A

8




• Diseño de experimentos para encontrar la mejor configuración de

parámetros de Artificial Immune Systems (AIS) para diversos tipos de

problemas. • Comparar

rendimientos de CAP, AG Y PSO en términos

de calidad de soluciones obtenidas y el tiempo requerido de

cálculo.

• Cajas de forma rectangular.

• Las cajas deben estar distribuidas en todo el contenedor y debe ser paralela a las paredes

laterales. • No puede haber

superposición de cajas. • Las cajas pueden o no

girar. • Las limitaciones de peso y

carga de contenedor pueden pasarse por alto.

Particle Swarm Optimisation

(PSO) y Artificial Immune Systems

(AIS)

9




CESCHIA, S. y

SCHAERF, A.

2011

• Un problema CLP que debe tener en cuenta la posibilidad que las cajas deban ser entregadas en diferentes lugares • Minimizar el número total de paradas.

• Las cajas pueden girar en direcciones ortogonales dependiendo de cada tipo de caja • El peso máximo que una caja puede mantener depende de su tipo y orientación vertical. • Las dimensiones de base de la caja de arriba debe ser menor o igual a los de la caja de abajo. • La suma total de la carga no debe exceder el límite de peso del contenedor.

• Recocido simulado. • Búsqueda tabú.

N.A.

• Reducir el espacio libre a nivel del suelo. • Para el (TS) investigar nuevas estrategias de memorias de adaptación. • Experimentar con otras meta-heurísticas.

10




GONCALVES, JF.

et al.

2011

Determinar el espacio máximo en el que se coloca cada caja dentro del contenedor.

• Cada caja se puede cargar en el contenedor en un mínimo de 6 variantes de rotación. • Garantizar la estabilidad de carga. • Construir pilas de cajas que permitan ahorrar espacio. • Llenar el contenedor de abajo a arriba usando capas horizontales. • Llenar el contenedor con cajas en forma de cubos. • Segmentar el contenedor en partes pequeñas.

Algoritmo Genético.

Volumen de utilización del contenedor: 92,24%

N.A

11




TURKAY, D. y

GULESIN S.

2011 Maximizar la tasa de utilización de los contenedores

• Las cajas deben ser rectangulares con dimensiones conocidas • Las cajas se pueden rotar •Cada caja puede ser apilada encima de otra. • No puede haber superposición de cajas.

‘bee(s) algorithm’ (BA)

Volumen de utilización : 84,63%

• Mejorar en los mecanismos locales de búsqueda. • Integración del algoritmo BA con otras técnicas • Comprensión y mejora del intercambio de información entre el mecanismo disponible y BA. • Mejoramiento de técnicas de programación a través de un enfoque basado en agentes.

12




HOW CHE et

al. 2011

Minimizar el costo de cargar bienes de varios tipos en múltiples contenedores de tamaños diferentes

Peso total de las cajas, espacio disponible de almacenamiento por contenedor determinado por un porcentaje de garantía

G4-heuristic Bin-packing (G4BP) strategy; the Sequential Application of GRASP (S-GRASP) Strategy; and the Application of GRASP on Combinations (C-GRASP) Strategy.

Más del 90% del espacio total utilizado

Agregar variantes al modelo propuesto para el estudio de carga de múltiples contenedores.

13




GARCÍA et al.

2011 Minimizar el volumen desperdiciado del contenedor.

• Las cajas ubicadas en las posiciones inferiores deben soportar el peso de las cajas superiores. • Las cajas deben estar en contacto entre sí o con el contenedor • No debe haber más de una caja en una posición. • Distribución del peso dentro del contenedor. • Límite de peso del contenedor y distribución del peso dentro del mismo. • Características estructurales del contenido del contenedor.

Integral Analysis Method, GRASP

• Utilización del espacio del contenedor: 81,43% • Utilización de la capacidad de peso del contenedor: 99,89%

• Complejidad de disposición de carga que facilite la descarga.

14




JIDONG et al.

2011

Almacenamiento de cubos dentro de un contenedor teniendo en cuenta su prioridad de envió

Prioridad de embarque del artículo, empaque de manera ortogonal, no se pueden traslapar unos elementos a otros, cada artículo debe ser empacado completamente dentro del contenedor

Algoritmo Recorrido de árboles.

En promedio un 96,47% del volumen total utilizado

Considerar en el modelo propuesto aspectos como ubicación de los ítems de acuerdo al destino de estos. Buscar un balance entre el alto uso del volumen y la reducción de esfuerzo en cuanto a carga y descarga de productos.

15




ALMEIDA y

FIGUEIREDO.

2010

Cargar un conjunto de terminado de cajas con tamaños variables minimizando el costo de envió.

• No debe haber rotación de las cajas. • Las cajas se ordenaran por orden decreciente de volumen. • Priorización por envió. • Agrupar las cajas por fecha de entrega.

Algoritmo 3D-corners.

• Valor de espacio no utilizado para el criterio de prioridad de accesibilidad: 8,63%. • Valor de espacio no utilizado para el criterio de prioridad en fecha de salida: 5, 77%. • Valor de espacio no utilizado para el criterio misma prioridad para los dos criterios: 3,58%.

Diseño de una nueva heurística capaz de incorporar el equilibrio estático del embalaje.

16




HE y HUANG

2010

Optimizar el volumen de utilización del espacio del contenedor.

• Restricción de rotación. • Todos los artículos deben ser soportados por otros artículos o por el piso del contenedor.

• Algoritmo básico CDFA. • Strengthened Algorithm CDFA.

Volumen de utilización promedio: 92,89%

Utilizar otros métodos de meta-heurística para obtener mayor volumen de puntos de referencia.

17




JUNQUEIRA et al.

2010

Cargar una cantidad de cajas en el contenedor de tal manera que se pueda maximizar el valor total de carga.

• Orientación de las cajas. • Manejo de cajas. • Agrupamiento de cajas. • Separación de cajas. • Cargar grupos de cajas completos. • Prioridad de carga. • Límite de peso del contenedor. • Distribución del peso dentro del contenedor.

Lenguaje de moldeamiento GAMS y solver CPLEX.

Volumen promedio ocupado: 83,93%

• Extender los modelos más a allá de consideraciones de carga y estabilidad de carga. • Explorar nuevas restricciones para reducir simetría en patrones de carga. • Integrar modelos de enrutamiento de vehículos y modelos de carga de contenedores.

18




JIAMIN LIU et al.

2010 Maximizar la utilización del contenedor.

• Las cajas se pueden rotar hasta en orientaciones, sin embargo algunas cajas tienen algunas limitaciones de rotación. • Las cajas deben estar puestas una sobre otra utilizando llenando todo el contenedor. • Las cajas idénticas deben ser cargadas juntas. • El total de peso de las cajas no puede exceder el límite del contenedor. • El centro de gravedad debe estar cerca al punto medio geométrico del contenedor.

Búsqueda Tabú

• Utilización promedio para el caso RW1: 88,21% • Utilización promedio para el caso RW2: 93,10% • Utilización promedio para el caso RW3: 93,11%

N.A

19




EGEBLAD et al.

2009

Utilización óptima del espacio de los contenedores para la distribución de mercancías.

• Los artículos deben estar ubicados en un lugar estable y están permitidas un conjunto limitado de rotaciones. • Los elementos más pequeños deben ser colocados encima de los más grandes. • Cada ítem tiene un nivel de fragilidad y orientaciones aceptables.

• Algoritmo recorrido de árboles. •Algoritmo búsqueda local. • Algoritmo voraz. • Wall-building heuristic.

Utilización promedio: 91,3% con un tiempo de ejecución de 100 s.

N.A

20




HE, K. y HUANG,

W. 2009

Maximizar el volumen total de cuboides empacados

• Cada cuboide empacado está completamente en el contenedor. • No puede haber superposición entre cuboides dentro del contenedor. • Cada cuboide lleno se coloca paralelo a la superficie del contenedor.

Quasi-human Algorithm.

• Resultados experimentales con restricción de orientación: Volumen de utilización: 87,31% • Resultados experimentales sin restricción de orientación: Volumen de utilización: 92,05%

Mejorar la eficiencia del algoritmo quasi-human probando otros puntos de referencia representativa.

21




GOH et al

2009 Minimizar el valor costo/volumen.

• Flexibilidad de orientación de caja dentro del contenedor. • Flexibilidad en la altura del contenedor.

Algoritmo genético Utilización del 75% capacidad para contenedor grande.

N.A

ALBARES-

VALDÉS et al.

2008

Minimización del espacio vacío en el almacenamiento de cajas en contenedores

Cantidad de cajas a empacar, máximo espacio disponible en el contenedor, tipo de caja a empacar.

GRASP 93 % del volumen total disponible fue ocupado

El uso de meta-heurísticas que puedan generar mejores resultados y el planteamiento de restricciones que pueda convertir al modelo en una herramienta representativa de la vida real.

22




FANSLAU, T. y

BORTFELDT, A.

2008

Carga de un conjunto de cajas rectangulares en un recipiente rectangular

Volumen ocupado Algoritmo recorrido de árboles

93,6 % del espacio total utilizado

Adición de restricciones adicionales como por ejemplo distribución de peso y variante en 2 dimensiones.

23




MOURA, A. y

OLIVEIRA, JF.

2008

• Maximizar la eficiencia de carga del contenedor. • Servir a los clientes en un periodo de tiempo determinado.

• Los clientes deben ser visitados en un plazo determinado. • La capacidad del vehículo debe ser siempre respetada. • La demanda del cliente son cajas que con limitaciones de rotación. Podría haber una, dos o tres posibles orientaciones de caja. • Las demandas de los clientes son heterogéneas y las ventanas de tiempo deben ser respetadas. • La densidad de carga es tal que el peso máximo de los contenedor no son obstáculo para el problema. • La demanda de cada cliente debe ser embarcada junta para facilitar la descarga para esto se usa la política LIFO. • La carga debe ser embarcada de tal manera que se mantenga estable.

•Procedimiento Monte Carlo. • Algoritmo búsqueda local. • GRASP.

• Grupo 1. Número de cajas asociados a una demanda pequeña: No. vehículos: 4; Volumen de utilización: 93,75. % • Grupo 2. No. Vehículos: 6; volumen de utilización: 84,00%.

N.A

24




CHAIYARATANA

, N. y PIMPAW

AT, C.

2004

Empacar un número De paquetes en un Conjunto de contenedores.

Máxima capacidad del contenedor, número de cajas a empacar

Algoritmo genético cooperativo evolutivo.

Diferentes valores de volumen total vacío de acuerdo al algoritmo usado, un número de contenedores tenidos en cuenta y la forma de cargar las cajas

N.A

25

4. DESARROLLO

4.1 MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LA TESIS “OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL

PROBLEMA DE CARGA DE CONTENEDORES”.

Este trabajo plantea una metodología de optimización integral, la cual incluye

criterios cualitativos y cuantitativos [García et al., 2011]. El análisis cuantitativo,

sobre el cual se basa esta investigación, considera las restricciones básicas

definidas por Wäscher et al. (2007) y algunas restricciones definidas por Bischoff y

Ratcliff (1995) tales como: (i) no exceder el límite de peso soportado definido para el

contenedor y (ii) una vez el contenedor ha sido cargado, el centro de gravedad (CG)

debe estar cerca al centro geométrico de su base (distribución de peso dentro del

contenedor). Adicionalmente, existe una consideración estocástica, la cual tiene que

ver con el soporte de carga de los objetos dentro del contenedor, la deformación

experimentada por cada una de las cajas es directamente proporcional al peso

soportado por la caja en su cara superior [García et al., 2011].

El modelamiento de la deformidad de las cajas parte de los siguientes supuestos

[Ibídem]:

Las cajas pueden o no ser deformadas.

La deformación sólo afecta la altura de las cajas y es homogénea en su cara

superior.

Las cajas pueden ser de diferentes materiales y diversos contenidos.

La carga máxima que cada caja puede soportar es una característica

conocida.

Las cajas tienen un límite de deformación.

Bajo dichas condiciones el trabajo emplea la meta-heurística GRASP la cual

matemáticamente se define bajo la premisa de que se tiene un espacio finito

{ }, un conjunto de soluciones factibles y la función objetivo

. Para el caso de minimización, se busca la solución óptima donde

se tiene ( ) ( ) , el conjunto , la función de costo y el conjunto de

soluciones factibles definidas para el problema específico [Glover y Kochenberger,

2003].

GRASP consiste en un proceso iterativo constituido por dos fases, llamadas

construcción y búsqueda local. En la fase constructiva las soluciones factibles son

examinadas hasta alcanzar el mínimo local por último la mejor solución encontrada

se mantiene como resultado. En cada iteración de esta fase el conjunto de

elementos candidatos está formado por todos los elementos que pueden ser

26

incorporados en la solución parcial sin destruir su viabilidad. La selección del

siguiente elemento a incorporar está determinado por la evaluación de todos los

candidatos teniendo en cuenta una función de utilidad de tal manera que se crea

una lista restringida de candidatos (RCL) formada por los mejores elementos. Un

elemento es seleccionado de manera aleatoria a partir del RCL para luego ser

incorporado en la solución parcial, entonces la lista de candidatos se actualiza y los

costos incrementales son reevaluados. La fase de búsqueda local por lo general

mejora la solución construida, la eficiencia de esta fase depende de varios

elementos tales como la estructura del vecindario, la técnica de búsqueda en la

vecindad y la evaluación rápida de los costos [Glover y Kochenberger, 2003].

Implementación para solucionar el problema de carga de contenedores.

Durante la fase constructiva el GRASP resuelve una relajación del problema;

específicamente, no se tiene en cuenta la restricción del centro de gravedad. En

esta fase se buscan las mejores cajas candidatas para ubicar dentro del contenedor,

dando lugar a que la RCL esté constituida por aquellas cajas que tienen una menor

deformación bajo un mayor peso soportado, de tal manera que las más pesadas se

colocan en un nivel inferior buscando una menor deformación entre éstas. En la

segunda fase se utiliza un método de búsqueda que está enfocado hacia la

minimización de la deformación de las cajas y la distribución del peso, lo que

eventualmente constituye una mejor utilización del espacio disponible, esto se

consigue mediante la aproximación del centro de gravedad del contenedor cargado

a su centro geométrico calculado en su longitud. La etapa de búsqueda local se

compone de cuatro fases, en la primera fase, pares de cajas son intercambiadas

hasta reducir la deformación total y así minimizar el volumen desocupado, en la

segunda fase se comprueba la existencia de un espacio disponible para ubicar una

caja adicional, si se llega a añadir por lo menos una caja la primera fase se repite,

periódicamente el procedimiento se realiza verificando el cumplimiento de las

restricciones. Las dos últimas etapas la fase de búsqueda local mejoran la

distribución del peso dentro del contenedor dividiendo e intercambiando muros del

mismo, de tal manera que se conduzca el centro de gravedad de la carga del

contenedor lo más cerca posible al centro geométrico en su longitud. Por último el

objetivo de esta fase de búsqueda local es mejorar el valor de la solución

encontrada en la fase constructiva a través del intercambio de los elementos de la

solución inicial. [García et al, 2011]

4.1.1 Modelo matemático propuesto.

Para el presente trabajo se tomó el modelo matemático propuesto en la tesis

OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL PROBLEMA DE CARGA DE CONTENEDORES

TRIDIMENSIONALES para la solución un problema de carga de contenedores

tridimensionales.

27

4.1.1.1 Consideración estocástica del modelo

Se asume que la deformación experimentada por la caja es directamente

proporcional al peso en la cara superior, la manera en que las cajas llegan a su

máxima deformación es cuando se llega al peso máximo permitido, adicionalmente

se incluye un factor estocástico que modela la deformación y se determina de la

siguiente manera:

{

( )

(1)

Nivel en el que la caja es localizada { ⁄ }

deformación experimentada por la caja al nivel

Peso soportado por la caja igual a:

∑ es el peso ejercido por la caja al nivel

máximo peso soportado por la caja

mínima deformación experimentada al nivel .

máxima deformación experimentada al nivel

: parámetro estocástico que explica la deformación que no es atribuida a

la relación funcional de la caja al nivel .

4.1.1.2 Modelo MIP

El modelo incluye los siguientes parámetros:

Número de cajas a ser almacenadas.

( ) Dimensiones del contenedor: ancho, largo y alto.

( ): Dimensiones de las cajas: ancho, largo y alto.

Cada caja coincide con el centro geométrico.

( ) Número de cajas que pueden ser acomodadas en el contenedor a lo

largo, ancho y alto, respectivamente. Donde { [ ⁄ ]}

{ [ ⁄ ]} y { [ ⁄ ]}.

peso de la caja

Máximo peso soportable por la caja , para .

Máxima capacidad de carga medida en peso.

distancia entre el COG del contenedor cargado predeterminado a un

valor ( ). Esta distancia solo es medida a lo largo del contenedor.

Mínima deformación determinística experimentada en el nivel del

contenedor.

28

Máxima deformación determinística experimentada en el nivel del

contenedor.

Función de densidad de probabilidad que determina la deformación

estocástica experimentada por la caja en el nivel del contenedor.

posible valor mínimo de deformación estocástica, parámetro para cajas

en el nivel del contenedor.

posible valor máximo de deformación estocástica, parámetro para

cajas en el nivel del contenedor.

El modelo emplea las siguientes variables:

{ ( )

total de carga soportada por la caja en el nivel

: deformación estocástica experimentada por la caja al nivel .

: total deformación experimentada por la caja en la celda ( ).

Restricciones del modelo:

(R1) Capacidad en volumen: El número de cajas almacenadas en el contenedor no

puede exceder el número de espacios disponibles en dicho contenedor

∑∑ ∑ ∑

( )

(R2) Cada caja ocupa una posición única dentro del contenedor.

∑ ∑ ∑

{ } ( )

(R3) No debe de existir más de una caja en una posición especifica del contendor.

∑

( )

(R4) Todas las cajas que no tengan contacto con la base del contenedor deben ser

soportadas por otras ubicadas en posiciones inferiores.

29

∑ ∑

( )

(R5) El peso equivalente a la suma de los pesos de todas las cajas ubicadas dentro

del contenedor, no puede exceder la capacidad de carga del contenedor.

∑

∑ ∑ ∑

( )

(R6) El centro de gravedad de las cajas cargadas dentro del contenedor calculado a

lo largo de este, debe acercarse a la mitad del largo del contenedor. La distancia

entre este punto y

no puede ser mayor a G. Para calcular el COG del

contenedor es dividido en muros de dimensión , cada

uno de ellos con peso el cual se imprime en el punto medio de su base; esto es

.

∑ ∑ ∑ ∑ ( )

∑ ∑ ∑ ∑

( )

(R7) El peso soportado por la caja en la celda ( ) se obtiene del total de las

sumas de los pesos de las cajas que soporta, es decir, aquellas celdas ( ) que

satisfagan la condición .. Este peso no puede exceder el límite que

puede soportar la caja.

∑ ∑

( ) ( )

( )

( )

De acuerdo con lo anterior el peso soportado por las cajas en el nivel superior es 0.

(R8)La deformación de la caja es calculada teniendo en cuenta el rango de

deformación determinística [ ] para el nivel la relación de peso soportado

(

⁄ ) y la función de probabilidad ( (

)) corresponde al nivel

donde la caja es cargada. La deformación de las cajas se encuentra en el nivel

superior del contenedor y es igual a cero.

30

( (

)) ( ) (9)

( )

( ) (10)

Finalmente la función objetivo es minimizar el espacio desocupado dentro del

contendor.

∑ ∑ ∑ ∑( )

( )

4.2 MÉTODO DE SOLUCIÓN PROPUESTO.

De acuerdo a la revisión bibliográfica realizada en esta tesis el método más

referenciado para la solución de problemas de empaquetamiento tridimensional es

el AG, razón por la cual se decidió utilizarla en el desarrollo de esta tesis.

4.2.1. Algoritmo genético (AG).1

Asumiendo un espacio de búsqueda , y la función:

El problema general es lograr:

Dónde es el vector de variables de decisión y es la función objetivo. Esta

metodología consta de 3 fases importantes. La primera es la generación de

población (cromosomas); la segunda es la recombinación de estos cromosomas o

criterio de cruce y la última la mutación. La búsqueda de la mejor solución es guiada

por los resultados y la evaluación de la función objetivo para cada uno de los

individuos generados. Por último, basándose en esta evaluación, el cromosoma con

mayor valor de representa la mejor solución [Glover y Kochenberger, 2003].

1 GLOVER, Fred; KOCHENBERGER, Gary A (2003). “Handbook of Metaheuristics”. Springer

International series in operations research & management science, 2003. Páginas 55-82

31

Ilustración 1: Descripción el funcionamiento del AG

4.2.1.1 Población inicial

Generalmente se puede asumir su inicialización de manera aleatoria aunque se ha

demostrado que la mayoría de veces este enfoque no necesariamente cubre todo el

espacio de búsqueda de manera uniforme. Otra propuesta sería crear una población

inicial con buenas soluciones conocidas, se han encontrado resultados de gran

calidad obtenidos por otra técnica heurística que ayudan al algoritmo genético a

encontrar mejores soluciones de manera más rápida que cuando se inicializa de

manera aleatoria [Ibídem].

4.2.1.2 Cruce.

Luego de generar aleatoriamente la población de cromosomas, el siguiente paso es

la selección aleatoria de individuos que van a ser sujetos para las operaciones de

cruce y mutación. En el cruce las características de dos padres se combinan para

generar descendencia [Thapatsuwan, P. et al, 2011].

En otras palabras el cruce es la construcción de un individuo basado en la

combinación de algunos genes de otros individuos. Se genera un punto o dos de

cruce de manera aleatoria y como resultado se produce una combinación de piezas

de los “padres” originales [Glover y Kochenberger, 2003].

Ilustración 2: Ejemplo de mecanismo de Cruce

4.2.1.3 Mutación

32

La mutación es un operador que tiene una función secundaria que ayuda a

preservar un nivel razonable de diversidad en la población, adicionalmente permite

salir de las regiones sub-optimas del espacio de solución [Ibídem].

Un subconjunto de genes del cromosoma es elegido de manera aleatoria con el fin

de cambiar los valores del alelo de los genes seleccionados, modificando de esta

manera los individuos para ampliar los espacios de búsqueda y contemplar diversas

soluciones [Ibídem].

4.3 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO META-HEURÍSTICO.

Se emplea un algoritmo genético para llegar a la solución final bajo las etapas de

población inicial, cruce y mutación. Esta solución al igual que la metodología

expuesta en [García et al., 2011] se encuentra relajada en lo que se refiere la

restricción del centro de gravedad, esta restricción se evalúa posteriormente.

4.3.1 Generación de la población inicial.

Creación de un individuo: Función de producción Cobb-Douglas.

Para la creación de un individuo se usa una metodología donde se utiliza la función

de producción Cobb-Douglas. En el contexto del problema tratado en esta tesis,

esta función busca organizar las cajas con el fin de dar prioridad de ubicación en los

primeros niveles del contenedor a aquellas cajas con mayor peso y capacidad de

soportar peso.

La función de producción Cobb-Douglas es una ecuación muy usada en economía,

la cual fue propuesta por Paul Douglas y Charles Cobb a partir de una observación

realizada por los autores en cuanto a medida que la economía se había vuelto más

próspera con el paso del tiempo, la renta de los trabajadores y la renta de los

propietarios del capital habían crecido casi exactamente a la misma tasa. Teniendo

en cuenta dicha observación se plantea una función la cual describe la manera

como las economías reales transforman el capital y el trabajo en producto interno

bruto, [Mankiw, 2006] Usualmente esta función se encuentra formulada como:

En donde:

Parámetro de Ponderación

Variable de incidencia (capital).

Variable de incidencia(trabajo).

33

Factor de Ponderación.

Esta función permite producir participaciones constantes de los factores incidentes

sobre el valor de un indicador; es decir, este planteamiento matemático tiene en

cuenta las participaciones constantes de los factores y la participación de estos a

partir de un parámetro [Mankiw, 2006].

Teniendo en cuenta lo mencionado, la importancia de esta metodología en el

problema de carga de contenedores radica en que se puede realizar una

ponderación entre los dos componentes determinantes para la ubicación de una

caja (peso y capacidad) de tal manera que se establezca un parámetro (el cual se

encuentra representado cómo Y en el planteamiento matemático) para la ubicación

de las cajas dentro del contenedor. Por lo tanto se replantea la función Cobb-

Douglas adapta a este problema:

En donde:

: Ponderación referente para la ubicación de la caja .

: Peso máximo que puede soportar la caja .

: Peso contenido por la caja .

: Factor de ponderación; para este caso toma valores entre 0,5 y 1.

A partir de cada valor obtenido para cada caja, dichos valores son organizados de

mayor a menor con el ánimo de establecer un orden de asignación de posiciones.

Cabe anotar que el parámetro usado en el presente trabajo se diferencia del

empleado en el trabajo OPTIMIZACIÓN INTEGRAL DEL PROBLEMA DE CARGA

DE CONTENEDORES TRIDIMENSIONALES, en cuanto a que en el GRASP este

es definido como un número aleatorio entre cero y uno con el propósito de elaborar

una lista de candidatos restringidos bajo la cual se evalúan aquellos elementos que

pueden hacer parte de una posible solución teniendo en cuenta una función de

utilidad.

4.3.1.1 Aplicación en el Algoritmo Genético propuesto

Con el propósito de ejemplificar lo anteriormente mencionado y entender cómo esta

parte está incluida en el AG propuesto, lo primero que se hace es obtener la

información del contenedor (medidas y máximo peso soportable). Posteriormente se

crea un vector el cual almacena en cada posición la información de cada caja tal

cual se encuentra en la instancia. Luego para cada una de las cajas se calcula el

coeficiente Y de la función Cobb-Douglas y a continuación este vector es organizado

de acuerdo a su valor Y en orden descendente. La figura tres representa un ejemplo

34

de lo anteriormente comentado en una situación en las que se reciben seis cajas, en

donde el primer vector es el almacenamiento de la información y el segundo vector

representa la organización de cajas. Cada individuo (contenedor) es ubicado dentro

de otro vector el cual almacena toda la población inicial.

Ilustración 3: Representación gráfica de un vector de cajas organizado.

4.3.1.2 Ubicación de Cajas

Luego de priorizar las cajas de acuerdo al cálculo de la función Cobb-Douglas, a

continuación se establece el máximo número de cajas que pueden almacenarse a lo

ancho, largo y alto del contenedor, en base a lo expuesto en [García et al, 2011].

Lo anterior conlleva a que el contenedor se dividirá en espacios disponibles para la

ubicación de cajas, en donde éstas van a ir siendo ubicadas primero hacia lo ancho

( ), luego hacia lo largo ( ) y por último hacia lo alto ( ). Esto se hace con el

propósito de cumplir con las restricciones 2 y 3 formuladas en el modelo

matemático.

A continuación se muestra una representación gráfica para una instancia de 24

cajas, en donde resultan tres espacios disponibles hacia lo ancho, dos espacios

hacia lo largo (lo que implicaría que en cada nivel se pueden colocar seis cajas) y

cuatro cajas hacia lo alto.

35

Ilustración 4: Representación gráfica de un contenedor.

4.3.1.3 Validación de peso

Es necesario validar la restricción 4 del modelo matemático con el propósito de

saber si una caja puede ir en cierta posición. Esta restricción exige que las cajas

que se encuentran en un nivel deben resistir el peso de las cajas que se ubiquen

directamente sobre ella en niveles , con . Al momento de intentar almacenar

una nueva caja dentro del contenedor, se verifica que el peso de esta, no exceda el

peso que pueden soportar las cajas que estarían ubicadas directamente de ella.

Adicionalmente, se revisa también que el peso total de las cajas almacenadas no

supere la capacidad de carga del contenedor. Aquellas cajas que no pudieron ser

ubicadas en una primera validación, se intentan colocar después de que hayan sido

evaluadas las cajas restantes. En caso de que estas no puedan ser ubicadas, son

descartadas. Para finalizar, se calcula su función objetivo.

4.3.1.4 Ejemplo de llenado de contenedor

Con el ánimo de dar un ejemplo de la estrategia de empaquetamiento suponga una

situación en la cual se reciben 24 cajas para transportar y, dado el tamaño de las

cajas, en cada nivel del contenedor pueden almacenarse 6 cajas. Asumiendo que

las posiciones disponibles del primer nivel ya han sido ocupadas, se quiere ubicar la

séptima caja como muestra la siguiente figura:

( 1, 0, 0 )

( 0, 1, 0 )

( 0, 0, 0 )

( 0, 0, 1 )

k

l

j

36

Ilustración 5: Validación de peso

Teniendo en cuenta las condiciones de ubicación antes descritas, bajo este caso la

caja que se desea ubicar (identificada con el número 18), estaría colocada en la

primera posición a lo ancho y a lo largo. Para validar la ubicación, el algoritmo crea

un nuevo vector con aquellas cajas que tienen igual ubicación en el ancho y largo

del contenedor (coordenadas mostradas en la ilustración 4) y se comprueba

que el peso de la caja a ser ubicada pueda ser soportado por las cajas que se

encuentra en los niveles inferiores, como se muestra a continuación:

Ilustración 6: Ejemplo de vector para validación de peso

Bajo la situación representada anteriormente, suponga que ahora se desea llenar el

tercer nivel del contenedor, en este caso se debe validar si la caja ubicada en la

parte inferior puede soportar el peso de dos cajas y la caja ubicada en el segundo

nivel puede soportar el peso de una caja encima, tal y como se muestra en la

siguiente figura:

37

Ilustración 7: Segundo ejemplo validación de peso

A partir de la ubicación de las cajas se procede al cálculo de la deformación de

acuerdo a lo planteado en [García et al., 2011] y al porcentaje de ocupación del

contenedor, a continuación se muestra un ejemplo del cálculo de dichos valores:

38

Tabla 2: Ejemplo de cálculo de la función objetivo

4.3.1.5 Generación de la Población Inicial

Para la creación de una población inicial, se repite la estrategia de

empaquetamiento para cada individuo pero generando un factor de ponderación de

manera aleatoria, en donde: { | } para cada uno, esto con el fin

de calcular diferentes valores de la función Cobb-Douglas para cada caja en cada

individuo, con el propósito de dar una organización diferente a cada uno de los

contenedores.

39

Ilustración 8: Pseudocódigo generación de población inicial.

4.3.2 Operación de cruce.

Luego de generar la población inicial, se realiza una selección de las parejas que

van a ser sujetos de la operación de cruce. La mitad de la población son padres y la

segunda mitad son madres. Se determinó para el cruce de individuos el criterio de

selección aleatoria de un único punto de corte para cada pareja de contenedores

Padre y Madre. Estos son recombinados para la creación de un contenedor distinto.

Las ilustraciones 9 y 10 ejemplifican el proceso de cruce en donde las cajas se

pueden identificar mediante un código de colores que representan aquellas

pertenecientes al contenedor Padre (Azul) y Madre (Verde). Posteriormente el hijo

resultante se forma por los colores que se encuentran antes del punto de corte

(punto de cruce) para el padre y cajas pertenecientes al contenedor madre ubicadas

después del punto de corte, tal y como se muestra a continuación:

40

Ilustración 9: Representación gráfica de un cruce

Ilustración 10: Representación de un cruce por medio de vectores, donde la línea

representa la posición de corte.

Claro está que hay casos en que este procedimiento puede generar contenedores

con cajas repetidas, en caso tal de que esto ocurra la caja repetida se reemplaza

por una caja faltante derivada de una comparación realizada entre el Hijo y el

contenedor padre. En el caso anteriormente mostrado para un contenedor formado

por seis cajas

41

Ilustración 11: Representación de cruce con procedimiento de corrección para cajas

repetidas

Por último se evalúan las restricciones y la función objetivo para cada uno de los

contenedores “Hijos” que se generen a partir del cruce.

Ilustración 12: Pseudocódigo procedimiento de cruce

42

4.3.3 Operación de mutación.

En el caso particular de esta tesis, la mutación se genera a partir de dos individuos

en la generación seleccionada para este procedimiento. Se eligen los contenedores

Padre y Madre para someterlos al proceso de cruce y así crear dos contenedores

Hijos, posteriormente se genera aleatoriamente un nuevo punto de corte, se realiza

nuevamente el cruce pero utilizando los contenedores derivados del proceso

anterior (contenedores Hijos) dando como resultado el individuo mutado. Para

garantizar una solución distinta a “Padre” o “Madre”, el cruce de este individuo se

realiza con un punto de corte distinto así como se muestra en la ilustración 13. De

igual forma se realiza la validación de las cajas repetidas.

El proceso de mutación se realiza de manera periódica (intervalo entre iteraciones) y

ayuda a garantizar una variabilidad en las soluciones obtenidas en el proceso de

cruce. Por último se evalúa la función objetivo para las mutaciones y se seleccionan

los mejores cromosomas que pasan a la siguiente generación entre Padres, Madres

e Hijos.

Ilustración 13: Representación de una mutación por medio de vectores, la línea representa

el corte

43

Ilustración 14: Representación gráfica de la mutación.

Ilustración 15: Pseudocódigo proceso de mutación.

4.3.4 Procedimiento completo del algoritmo genético.

Los procesos descritos anteriormente corresponden a una generación conformada

por un conjunto de posibles soluciones al problema de carga de contenedores, en

donde se seleccionan los mejores elementos que pasarán a la siguiente generación.

44

A continuación se muestra un ejemplo gráfico en donde se ilustra el procedimiento

general del algoritmo genético:

Ilustración 16: Selección de la población.

El siguiente es el procedimiento del método de solución propuesto:

Ilustración 17: Pseudocódigo del algoritmo genético propuesto

45

4.3.5 Evaluación del centro de gravedad (CG).

Luego de ser generada la solución final a partir del Algoritmo genético se procede al

cumplimiento de la restricción 6 del modelo matemático. Para entender a fondo esta

parte de la solución suponga que se cuenta con un contenedor de la instancia de 24

cajas, como el que se encuentra mostrado en la figura 3. Para este contenedor

propuesto se subdivide en secciones o muros a lo largo, como se muestra en la

siguiente figura:

Ilustración 18: Representación de división del contenedor

A partir de dicha división, a cada sección se le calcula su peso y la distancia del

centro de dicho muro al origen, con el propósito de obtener el desvío del centro de

gravedad de la organización de cajas final con respecto al centro geométrico del

contenedor medido hacia lo largo con base en lo expuesto en [García et al., 2011],

pero dicho cálculo correspondería a una posible ubicación de los muros en que se

encuentra dividido el contenedor, por lo que se calculan todos los desvíos de centro

de gravedad posibles para todas las combinaciones posibles de ubicaciones de

cada uno de los muros, en donde se escoge aquel desvío más cercano a cero (0).

k

l

j

46

Ilustración 19: Pseudocódigo evaluación del centro de gravedad

5. RESULTADOS COMPUTACIONALES.

El algoritmo genético propuesto fue implementado en Dev C++ versión 4.9.9.2. Las

instancias establecidas en [García et al., 2011] fueron ejecutadas en un PC con

procesador Intel CORE i3, 2.GB RAM en el sistema operativo Windows 7.

Teniendo en las metodologías encontradas en los antecedentes se prepone un AG

que sirva para comprar las variables del valor objetivo de la función y el desvío del

centro de gravedad con respecto a los resultados arrojados por la investigación

encontrada en [García et al, 2011], esta comparación se realiza bajo las instancias

de 24 y 72 cajas. Adicionalmente se analiza el comportamiento del tiempo de

ejecución del programa.

5.1 ANÁLISIS ESTADÍSTICO INSTANCIA 24 CAJAS

Con el propósito de comparar los resultados de ambas metodologías es pertinente

observar el comportamiento de los resultados obtenidos bajo la metodología del

algoritmo genético. Se realizan una serie de pruebas estadísticas para diferentes

ejecuciones del AG en las cuales se tiene una población inicial de 50 individuos,

bajo los parámetros de prueba de 500, 1000, 2000, 3000 y 4000 generaciones, en

donde se toma un intervalo de mutación de cada 10 generaciones, estas

consideraciones fueron tomadas del articulo [TANG, 2011].

En resumen se obtienen los siguientes resultados

UTILIZACIÓN DEL ESPACIO EN EL CONTENEDOR

DISTANCIA DEL COG DEL CONTENEDOR CARGADO

Número de cajas

Número de generaciones

Tiempo promedio de ejecución (s)

Mínimo Máximo Promedio Mínimo Máximo Promedio

24

500 9 83,47% 86,00% 84,95% 5,5876 22,3214 17,5047

1000 13 83,14% 86,03% 84,82% 2,5876 22,3214 13,1086

2000 19 83,26% 85,94% 84,89% 5,5876 22,3214 13,1086

3000 26 82,50% 86,06% 84,58% 5,5876 22,3214 15,0762

4000 34 82,60% 86,04% 84,65% 5,5876 22,3214 16,0331

47

Tabla 3: Resumen de resultados para la instancia de 24 Cajas.

5.1.1 Variable de estudio: valor obtenido de la función objetivo.

Se analizan los resultados de deformación obtenidos bajo los diferentes parámetros

del AG, primero se validan los supuestos del modelo para determinar qué prueba

estadística realizar.

5.1.1.1 Homogeneidad de varianzas

Se establece si los resultados de cada nivel tienen igual varianza, para esto se

aplica la prueba de Levene.

Prueba de homogeneidad de varianzas

Zfo

Estadístico de

Levene gl1 gl2 Sig.

9,948 4 2495 ,000

Tabla 4: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza de los valores obtenidos de la

función objetivo en niveles del AG en la instancia de 24 cajas.

Mediante la prueba de Levene, se muestra evidencia estadística de no

homogeneidad entre las varianzas para las diferentes generaciones del AG con un

intervalo de confianza del 95%.

5.1.1.2 Normalidad de residuos

La normalidad de los residuos debe probarse para cada uno de los grupos o

subpoblaciones, pero al menos que los grupos sean muy grandes, es suficiente la

prueba de normalidad en conjunto, sobre todo si los grupos tienen varianzas

similares [Díaz, 2009]. Dado que no se cumple el supuesto de homogeneidad de

varianza se verifica la normalidad de los residuos para cada uno de los grupos, para

lo anterior se hace uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov.

Nivel: 500 Generaciones

Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestrac

48

Residuo

estandarizado

para Zfo

N 500

Parámetros normalesa,b Media ,0000

Desviación típica ,89673

Diferencias más

extremas

Absoluta ,115

Positiva ,115

Negativa -,091

Z de Kolmogorov-Smirnov 2,560

Sig. asintót. (bilateral) ,000

a. La distribución de contraste es la Normal.

b. Se han calculado a partir de los datos.

c. Grupos = 500



Residuo

estandarizado

para Zfo

N 500


Desviación típica 1,03524

Diferencias más

extremas

Absoluta ,129

Positiva ,129

Negativa -,090





c. Grupos = 1000



49

Residuo

estandarizad

o para Zfo

N 500



Diferencias más

extremas

Absoluta ,117

Positiva ,117

Negativa -,098





c. Grupos = 2000



Zfo

N 500

Parámetros normalesa,b Media -

2,5548E

7


E5

Diferencias más

extremas

Absoluta ,135

Positiva ,135

Negativa -,090





c. Grupos = 3000



50

Residuo

estandarizad

o para Zfo

N 500



Diferencias más

extremas

Absoluta ,131

Positiva ,131

Negativa -,081





c. Grupos = 4000

Tabla 5: Pruebas de Normalidad para los residuos de los parámetros 500, 1000, 2000, 3000

y 4000 generaciones.

Dadas la prueba aplicada, se muestra evidencia bajo un nivel de confianza del 95%

de que los residuos de los niveles no tienen distribución normal.

5.1.1.3 Prueba estadística

Dado el incumplimiento de los supuestos de normalidad de residuos y

homogeneidad de varianzas en los datos arrojados existen al menos tres maneras

de solucionar o minimizar el problema de la situación anteriormente descrita: 1.

utilizar métodos de análisis no paramétricos, que no requieren suposiciones de

normalidad y varianza constante 2. hacer análisis mediante modelos lineales

generalizados 3. hacer análisis sobre la respuesta transformada a una escala en

que los supuestos se cumplan [Gutiérrez, H. y De La Vara, R., 2003]. Teniendo

como patrón la metodología aplicada en [García et al, 2011] se realiza un método de

análisis no paramétrico aplicando la prueba estadística de Tamhane para analizar la

diferencia de medias entre los diferentes tratamientos, cuyos resultados fueron:

Comparaciones múltiples

Zfo

Tamhane

51

(I) Grupos (J) Grupos Diferencia de

medias (I-J) Error típico Sig.

Intervalo de confianza al 95%

Límite inferior Límite superior

dimension2

500

dimension3

1000 -38754,66000 16113,03860 ,152 -83967,2461 6457,9261

2000 -17323,84000 15187,58389 ,947 -59937,8267 25290,1467

3000 -12997,70000 16603,95774 ,997 -59589,5176 33594,1176

4000 -15088,34000 16122,58896 ,986 -60327,7533 30151,0733

1000

dimension3

500 38754,66000 16113,03860 ,152 -6457,9261 83967,2461

2000 21430,82000 16361,55683 ,879 -24478,2190 67339,8590

3000 25756,96000 17684,15251 ,793 -23862,1637 75376,0837

4000 23666,32000 17232,98327 ,845 -24686,6065 72019,2465

2000

dimension3

500 17323,84000 15187,58389 ,947 -25290,1467 59937,8267

1000 -21430,82000 16361,55683 ,879 -67339,8590 24478,2190

3000 4326,14000 16845,23498 1,000 -42941,4683 51593,7483

4000 2235,50000 16370,96221 1,000 -43699,9523 48170,9523

3000

dimension3

500 12997,70000 16603,95774 ,997 -33594,1176 59589,5176

1000 -25756,96000 17684,15251 ,793 -75376,0837 23862,1637

2000 -4326,14000 16845,23498 1,000 -51593,7483 42941,4683

4000 -2090,64000 17692,85483 1,000 -51734,1695 47552,8895

4000

dimension3

500 15088,34000 16122,58896 ,986 -30151,0733 60327,7533

1000 -23666,32000 17232,98327 ,845 -72019,2465 24686,6065

2000 -2235,50000 16370,96221 1,000 -48170,9523 43699,9523

3000 2090,64000 17692,85483 1,000 -47552,8895 51734,1695

Tabla 6: Prueba estadística de Tamhane, instancia 24 cajas.

Bajo un nivel de confianza del 95%, se concluye que los resultados de los diferentes

parámetros del AG no presentan diferencia significativa, lo anterior debido a que las

significancias de las diferentes comparaciones son mayores a 0,05. Por

consiguiente se toman 1000 individuos de manera aleatoria de los resultados

obtenidos en los distintos parámetros para comparar los resultados del presente

trabajo frente la meta-heurística GRASP.

52

5.1.2 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: valor

obtenido de la función objetivo.

A partir del análisis de resultados realizado al valor de la función objetivo para la

instancia de 24 cajas, se continúa a la comparación de resultados de ambas

metodologías. Se toman los mejores resultados de la metodología GRASP con un

frente a los 1000 elementos tomados aleatoriamente de los parámetros

del algoritmo genético.


Se valida si los resultados de cada metodología presentan homogeneidad de

varianzas.


ZFO

Estadístico de

Levene gl1 gl2 Sig.

2800,980 1 1998 ,000

Tabla 7: Prueba de Levene de Homogeneidad de Varianza.

A partir de la prueba de homogeneidad de varianza realizada a los datos arrojados

por el AG y el GRASP con un intervalo de confianza del 95%, se muestra que estos

presentan varianza heterogénea.





similares [Díaz 2009]. Dado que el supuesto de homogeneidad de varianza no se

cumple, se verifica la normalidad de los residuos para cada uno de los grupos, para



53

ErrorZFO

N 1000

Parámetros normalesa,b

Media ,000


Diferencias más extremas Absoluta ,121

Positiva ,121

Negativa -,083





c. MetaHeurística = 1,00


ErrorZFO

N 1000


Media ,0000



Positiva ,099

Negativa -,164






Tabla 8: Pruebas de normalidad de residuos para Metodologías AG y GRASP.

Se aplica una prueba Kolmogorov-Smirnov a los niveles del factor, dicha prueba

aplicada muestra evidencia bajo un intervalo de confianza del 95% que los residuos

no presentan distribución normal.


Dada la no homogeneidad de varianzas y el hecho de que los residuos no se

distribuyen de manera normal, adicionalmente teniendo en cuenta que se están

comparando únicamente dos niveles, se aplica la prueba estadística U de Mann-

54

Whitney en aras de comparar los resultados de los tratamientos [Alvarado, J. y

Obagi, J., 2008]. Para efectos de comparación de las metodologías presentadas, se

usa el numeral 1 para los resultados del AG y 2 para los resultados del GRASP.

Rangos

MetaHeurística

N

Rango

promedio

Suma de

rangos

COG

dimension1

1,00 1000 1500,50 1500500,00

2,00 1000 500,11 500500,00

Total 2000

Estadísticos de contrastea

ZFO

U de Mann-Whitney ,000

W de Wilcoxon 501500,000

Z -38,722


a. Variable de agrupación:

MetaHeurística

Tabla 9: Prueba estadística U de Mann-Whitney de los valores obtenidos de la función

objetivo bajo las metodologías AG y GRASP.

Ilustración 20: Diagrama de caja y bigotes de resultados de metodologías AG y GRASP en

la instancia de 24 cajas.

55

En un intervalo de confianza del 95%, se concluye que los resultados de las

diferentes metodologías presentan diferencia significativa en la instancia de 24

cajas, por lo tanto se puede concluir teniendo en cuenta las tabla de resumen de

resultados y el diagrama de caja y bigotes que las soluciones dadas por el GRASP

descritas en [García et al., 2011] con un son mejores en cuanto a

porcentaje de ocupación que las arrojadas por el AG.

5.1.3 Variable de estudio: desvío del centro de gravedad.

Se analizan los resultados obtenidos de la desviación del centro de gravedad con

respecto al centro geométrico del contenedor con respecto a su largo bajo los

diferentes parámetros del AG, primero se validan los supuestos del modelo para

determinar que prueba estadística realizar.


Se establece si los resultados para cada variación del número de las generaciones

tienen igual varianza.


DesvíoGOG

Estadístico de

Levene gl1 gl2 Sig.

88,612 4 2495 ,000

Tabla 10: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para el desvío del centro de

gravedad, instancia 24 cajas.

Mediante la prueba de Levene presentada en la tabla 10 se evidencia que el valor p

es menor a 0,05 por lo tanto es posible afirmar que no se cumple el supuesto de

homogeneidad de varianza.

56





similares [Díaz 2009]. Debido a que se presenta heteroscedasticidad en las

varianzas se verifica la normalidad de los residuos para cada uno de los grupos,

para lo anterior se hace uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov, como se muestra

a continuación:



Residuo

estandarizado

para

DesvíoGOG

N 500


Media ,0000


Diferencias más

extremas

Absoluta ,223

Positiva ,143

Negativa -,223





c. Grupos = 500



Residuo

estandarizado

para

DesvíoGOG

N 500


Media ,0000

57


Diferencias más

extremas

Absoluta ,186

Positiva ,186

Negativa -,150





c. Grupos = 1000



Residuo

estandarizado

para

DesvíoGOG

N 500


Media ,0000


Diferencias más

extremas

Absoluta ,182

Positiva ,124

Negativa -,182





c. Grupos = 2000 Nivel 3000 Generaciones:


Residuo

estandarizado

para

DesvíoGOG

N 500

58


Media ,0000


Diferencias más

extremas

Absoluta ,204

Positiva ,204

Negativa -,161





c. Grupos = 3000

Nivel 4000 Generaciones:


Residuo

estandarizado

para

DesvíoGOG

N 500


Media ,0000


Diferencias más

extremas

Absoluta ,306

Positiva ,306

Negativa -,123





c. Grupos = 4000 Tabla 11: Pruebas de normalidad de residuos para cada nivel de AG para datos del desvío

del centro de gravedad, instancia 24 cajas.

Teniendo en cuenta la prueba Kolmogorov-Smirnov aplicada a los niveles del

factor, se muestra bajo un nivel de confianza del 95% de que los residuos de cada

tratamiento no presentan distribución normal.

59



homogeneidad de varianzas en los datos existen al menos tres maneras de

solucionar o minimizar el problema de falta normalidad y varianza heterogénea de

residuos: 1. utilizar métodos de análisis no paramétricos, que no requieren

suposiciones de normalidad y varianza constante 2. hacer análisis mediante

modelos lineales generalizados 3. hacer análisis sobre la respuesta transformada a

una escala en que los supuestos se cumplan [Gutiérrez, H. y De La Vara, R., 2003].

Teniendo como patrón la metodología aplicada en [García et al, 2011] se aplica la

prueba estadística de Tamhane para analizar la diferencia de medias entre los

diferentes tratamientos.


DesvíoGOG

Tamhane

(I) Grupos (J) Grupos Diferencia de




dimension2

500

dimension3

1000 4,39617* ,34037 ,000 3,4409 5,3514

2000 1,67277* ,30764 ,000 ,8095 2,5360

3000 2,42858* ,27880 ,000 1,6463 3,2108

4000 1,47168* ,23993 ,000 ,7983 2,1451

1000

dimension3

500 -4,39617* ,34037 ,000 -5,3514 -3,4409

2000 -2,72341* ,36282 ,000 -3,7415 -1,7053

3000 -1,96760* ,33871 ,000 -2,9182 -1,0170

4000 -2,92449* ,30751 ,000 -3,7881 -2,0609

2000

dimension3

500 -1,67277* ,30764 ,000 -2,5360 -,8095

1000 2,72341* ,36282 ,000 1,7053 3,7415

3000 ,75581 ,30581 ,128 -,1023 1,6139

4000 -,20109 ,27084 ,998 -,9615 ,5593

3000

dimension3

500 -2,42858* ,27880 ,000 -3,2108 -1,6463

1000 1,96760* ,33871 ,000 1,0170 2,9182

2000 -,75581 ,30581 ,128 -1,6139 ,1023

4000 -,95690* ,23757 ,001 -1,6237 -,2901

4000

dimension3

500 -1,47168* ,23993 ,000 -2,1451 -,7983

1000 2,92449* ,30751 ,000 2,0609 3,7881

2000 ,20109 ,27084 ,998 -,5593 ,9615

60

3000 ,95690* ,23757 ,001 ,2901 1,6237

*. La diferencia de medias es significativa al nivel 0.05.

Tabla 12: Prueba de Tamhane para diferencia de medias para datos de desvío de centro de

gravedad.

En un intervalo de confianza del 95%, se concluye que el mejor valor del desvío del

centro de gravedad se obtiene en el parámetro de 1000 generaciones. Por ende se

utiliza dicho parámetro para comparar los resultados del algoritmo genético frente a

la meta-heurística GRASP.

5.1.4 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP:

desvío del centro de gravedad.

A partir del análisis de resultados realizado al desvío del centro de gravedad para la

instancia de 24 cajas, se continúa con la comparación de resultados de ambas


frente a los resultados arrojados por el algoritmo genético con 1000

generaciones. Primero se validan los supuestos con el ánimo de determinar la

prueba estadística a realizar.


Se valida si el tratamiento con cada metodología posee igual varianza.


COG

Estadístico de

Levene gl1 gl2 Sig.

389,367 1 1998 ,000

Tabla 13: Prueba de Levene Homogeneidad de varianza Instancia 24 cajas Metodología AG y GRASP.


homogeneidad entre las varianzas para los valores del AG y GRASP con un


61





similares [Díaz 2009]. Debido a la no homogeneidad de las varianzas, se verifica la

normalidad de los residuos para cada uno de los grupos, para lo anterior se hace

uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov.

Algoritmo genético


ErrorCOG

N 1000


Media ,0000



Positiva ,128

Negativa -,148






Meta-heurística GRASP


ErrorCOG

N 1000


Media ,0000



Positiva ,128

Negativa -,099


62





Tabla 14: Pruebas de normalidad de residuos para los datos arrojados por el AG y GRASP

para desvío de centro de gravedad.

La prueba aplicada sobre cada nivel, muestra evidencia bajo un nivel de confianza

del 95% que los residuos no presentan distribución normal.


Dada la heteroscedasticidad de varianzas y la no normalidad de residuos, además

teniendo en cuenta que se están comparando únicamente dos niveles, se aplica la

prueba estadística U de Mann-Whitney en aras de comparar los resultados de los

tratamientos [Alvarado, J. y Obagi, J., 2008]. Para efectos de comparación de las

metodologías presentadas, se usa el numeral 1 para los resultados del AG y 2 para

los resultados del GRASP donde el valor 1 representa el AG y el valor 2 representa

GRASP.

Rangos

MetaHeurística

N

Rango

promedio

Suma de

rangos

COG

dimension1

1,00 1000 1464,89 1464889,00

2,00 1000 536,11 536111,00

Total 2000


COG

U de Mann-Whitney 35611,000


Z -36,020


a. Variable de agrupación:

MetaHeurística

Tabla 15: Prueba estadística U de Mann-Whitney para desvío de centro de gravedad.

63

Ilustración 21: Diagrama de caja y bigotes de desvío de centro de gravedad para

metodologías AG y GRASP, instancia de 24 cajas.

En un nivel de confianza del 95%, se concluye que los resultados arrojados por la

prueba U Mann-Whitney indica que las diferentes metodologías AG y GRASP

presentan diferencia significativa de medias, en consecuencia se puede concluir que

la metodología GRASP ofrece mejores resultados, teniendo en cuenta la tabla de

resumen de resultados y el diagrama de caja y bigotes encontrados en esta tesis

para el GA y en [García et al., 2011] para él GRASP.

5.1.5 Variable de estudio: tiempo de ejecución del programa.

A raíz de los diferentes tiempos obtenidos a lo largo de cada muestra del algoritmo

genético, se procede a una descripción del comportamiento de esta variable.

Descriptivos

Grupos Estadístico Error típ.

Tiempo 500 Media 9,1860 ,07431

Intervalo de confianza

para la media al 95%

Límite inferior 9,0400

Límite superior 9,3320

Media recortada al 5% 9,1511

Mediana 9,0000

64

Varianza 2,761

Desv. típ. 1,66160

Mínimo 7,00

Máximo 12,00

Rango 5,00

Amplitud intercuartil 2,00

Asimetría ,297 ,109

Curtosis -1,101 ,218

1000 Media 12,6820 ,11205






Mediana 12,0000

Varianza 6,277

Desv. típ. 2,50548

Mínimo 9,00

Máximo 17,00

Rango 8,00




2000 Media 18,5180 ,09665






Mediana 18,0000

Varianza 4,671

Desv. típ. 2,16125

Mínimo 15,00

Máximo 22,00

Rango 7,00




65

3000 Media 25,9120 ,10552






Mediana 26,0000

Varianza 5,567

Desv. típ. 2,35953

Mínimo 22,00

Máximo 30,00

Rango 8,00



Curtosis -,986 ,218

4000 Media 33,7260 ,15149






Mediana 34,0000

Varianza 11,474

Desv. típ. 3,38731

Mínimo 28,00

Máximo 39,00

Rango 11,00


Asimetría -,096 ,109


Tabla 16: Estadístico descriptivos para los valores de Tiempo de ejecución en la instancia de

24 cajas.

67


cajas.

Según los histogramas generados para los tiempos de ejecución del programa a

diferentes variaciones de número de generaciones muestran: el parámetro de 500

generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra en el rango de 8

segundos es 107 de forma contraria el menor valor encontrado está en 11 segundos

con una frecuencia de 58.

El parámetro de 1000 generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra en

los rangos de 14 y 15 segundos cuyo valor es 107 de forma contraria el menor valor

encontrado está en los rangos 9 y 11 segundos cuyo valor es de 19.


el rango de 16 segundos cuyo valor es 76 de forma contraria el menor valor

encontrado está en el rango 15 segundos cuyo valor es de 38.



encontrado está en los rangos 22 y 29 segundos cuyo valor es de 45.



encontrado está en los rangos 28 segundos cuyo valor es de 34.

68

Ilustración 23: Diagrama de Caja y bigotes del tiempo de ejecución del programa para 24

cajas.

En la gráfica se observa una tendencia creciente en el aglomerado de los datos de

acuerdo a los parámetros, lo cual indica que se tardan más segundos el código en

arrojar un resultado a medida que el número de generaciones aumenta.

5.2 ANÁLISIS ESTADÍSTICO INSTANCIA 72 CAJAS

Con el propósito de comparar los resultados de ambas metodologías es pertinente

observar el comportamiento de los resultados obtenidos bajo el algoritmo genético.

Se diseña un experimento basándonos en el documento de [TANG, 2011 ], en el

cual se considera una población inicial de 50 individuos, bajo parámetros de prueba

de 500, 1000, 2000, 3000 y 4000 generaciones, en donde se toma un intervalo de

mutación de cada 10 generaciones.

En resumen se obtienen los siguientes resultados:

UTILIZACIÓN DEL ESPACIO EN EL CONTENEDOR

DISTANCIA DEL COG DEL CONTENEDOR CARGADO

Número de cajas

Número de generaciones

Tiempo promedio de ejecución (s)

Mínimo Máximo Promedio Mínimo Máximo Promedio

72

500 22,9261477 78,75% 78,91% 78,82% 0,000268 0,003372 0,000677

1000 40,112 78,75% 78,94% 78,84% 0,000268 0,789402 0,788415

2000 64,8697395 78,76% 78,91% 78,83% 0,000115 0,011364 0,000726

3000 92,5903614 78,75% 78,92% 78,84% 0,000114 0,001548 0,000727

4000 116,551308 78,77% 79,01% 78,88% 0,000114 0,003372 0,000786

69

Tabla 17: Resumen de resultados obtenidos en la instancia de 72 cajas.

5.2.1 Variable de estudio: valor obtenido de la función objetivo.

Se analiza los resultados de deformación obtenidos bajo los diferentes parámetros,

primero se validan los supuestos del experimento para determinar la prueba

estadística a realizar.


Se establece si los resultados para cada variación del número de las generaciones

poseen igual varianza.


ZFO

Estadístico de

Levene gl1 gl2 Sig.

59,929 4 2500 ,000

Tabla 18: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza de los valores obtenidos de la

función objetivo en niveles del AG en la instancia de 72 cajas.

A partir de la prueba de varianza realizada bajo un intervalo de confianza del 95%,

se concluye que no hay homogeneidad de varianzas.





similares [Díaz 2009]. Dada la heteroscedasticidad de las varianzas, la prueba de

normalidad de residuos se aplica independientemente para cada tratamiento, para lo

anterior se hace uso del estadístico Kolglomorov-Smirnov.

Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra

Instancia Residuo

estandarizado

para ZFO

500 N 501


Media ,0000


70


Positiva ,062

Negativa -,065



1000 N 501


Media ,0000



Positiva ,045

Negativa -,043



2000 N 501


Media ,0000



Positiva ,042

Negativa -,035

Z de Kolmogorov-Smirnov ,943


3000 N 501


Media ,0000



Positiva ,052

Negativa -,044



4000 N 501


Media ,0000



Positiva ,051

Negativa -,064

71





Tabla 19: Pruebas de Normalidad de residuos para los parámetros 500, 1000, 2000, 3000 y

4000 generaciones, instancia 72 cajas.

Se aplica una prueba Kolmogorov-Smirnov a los niveles del factor, dicha prueba

aplicada muestra evidencia de que los residuos de los tratamientos de 1000, 2000 y

3000 generaciones tienen distribución normal, caso contrario ocurre con los niveles

de 500 y 4000 generaciones.


Debido al el incumplimiento de los supuestos anteriormente descritos, existen al

menos tres maneras de solucionar o minimizar el problema de falta normalidad y

varianza heterogénea de residuos: 1. utilizar métodos de análisis no paramétricos,

que no requieren suposiciones de normalidad y varianza constante 2. hacer análisis

mediante modelos lineales generalizados 3. hacer análisis sobre la respuesta

transformada a una escala en que los supuestos se cumplan [Gutiérrez, H. y De La

Vara, R., 2003]. Teniendo como patrón la metodología aplicada en [García et al,

2011] se aplica la prueba estadística de Tamhane para analizar la diferencia de

medias entre los diferentes tratamientos, cuyos resultados fueron:


ZFO

Tamhane

(I) Instancia (J) Instancia Diferencia de




dimension2

500

dimension3

1000 5,486227549E3 917,8622864 ,000 2,910697433E3 8,061757656E3

2000 2,839421157E3 794,7544348 ,004 609,427795720 5,069414520E3

3000 4,048862755E3 860,5158738 ,000 1,634387903E3 6,463336647E3

4000 1,815109784E4 1,076229E3 ,000 1,513034982E4 2,117184578E4

1000

dimension3

500 -5,48622759E3 917,8622864 ,000 -8,06175765E3 -2,91069743E3

2000 -2,64680638E3 881,6372991 ,027 -5,12092812E3 -172,684649123

3000 -1,43736526E3 941,3486525 ,743 -4,07870102E3 1,203970482E3

72

4000 1,266487025E4 1,141885E3 ,000 9,460525922E3 1,586921460E4

2000

dimension3

500 -2,83942117E3 794,7544348 ,004 -5,06941452E3 -609,427795720

1000 2,646806387E3 881,6372991 ,027 172,684649123 5,120928125E3

3000 1,2094411178E

3

821,7668284

833

,782 -1,09642430E3 3,515306541E3

4000 1,531167664E4 1,04549753

E3

,000 1,237668695E4 1,824666634E4

3000

dimension3

500 -

4,048862275E3

860,5158743

508

,000 -

6,463336647E3

-

1,634387903E3

1000 1,437365269E3 941,3486525 ,743 -1,20397048E3 4,078701021E3

2000 -

1,2094411178E

3

821,7668284

833

,782 -

3,515306541E3

1,096424306E3

4000 1,4102235529E

4

1,096320230

9E3

,000 1,102533143E4 1,717913962E4

4000

dimension3

500 -

1,8151097804E

4

1,076221138

9E3

,000 -

2,117184578E4

-

1,513034982E4

1000 -

1,2664870259E

4

1,141885132

4E3

,000 -

1,586921460E4

-

9,460525922E3

2000 -

1,5311676647E

4

1,045497532

4E3

,000 -

1,824666634E4

-

1,237668695E4

3000 -

1,4102235529E

4

1,096320230

9E3

,000 -

1,717913962E4

-

1,102533143E4


Tabla 20: Prueba de Tamhane para diferencia de medias varianza de los valores obtenidos de la función objetivo en niveles del AG en la instancia de 72 cajas.

Bajo un nivel de confianza del 95%, se concluye que el mejor valor de la función

objetivo se obtiene con el parámetro de 4000 generaciones. Por ende se utiliza

dicho parámetro para comparar los resultados del algoritmo genético frente a los

mejores resultados arrojados por meta-heurística GRASP.

73

5.2.2 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP: valor

obtenido de la función objetivo.

A partir del análisis de resultados realizado al valor de la función objetivo para la



frente a los resultados obtenidos en el nivel de las 4000 generaciones.

Para efectos de comparación de las metodologías presentadas, se usa 1 para los

resultados del GRASP y 2 para los resultados del AG.


Se valida si el tratamiento con cada metodología tiene igual varianza.


ZFO

Estadístico de

Levene gl1 gl2 Sig.

518,607 1 1499 ,000

Tabla 21: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para comparación de metodología AG y GRASP en la instancia de 72 cajas.


homogeneidad entre las varianzas para los valores del AG y GRASP con un






similares [Díaz 2009]. Dado que no se cumple el supuesto de homogeneidad de



74


Metodología Residuo

estandarizado

para ZFO

1 N 1000


Media ,0000



Positiva ,064

Negativa -,082



2 N 501


Media ,0000



Positiva ,051

Negativa -,064





Tabla 22: Prueba de normalidad para los residuos de las metodologías AG y GRASP en la

instancia de 72 cajas.

La prueba aplicada sobre cada nivel, muestra evidencia bajo un nivel de confianza

del 95% que los residuos no presentan distribución normal.


Debido a la no homogeneidad de varianzas y el hecho de que los residuos no se

distribuyen de manera normal, adicionalmente teniendo en cuenta que se están

comparando únicamente dos niveles, se aplica la prueba estadística U de Mann-

Whitney en aras de comparar los resultados de los tratamientos [Alvarado, J. y

Obagi, J., 2008].

75

Rangos

Metodología

N

Rango

promedio

Suma de

rangos

ZFO

dimension1

1 1000 500,50 500500,00

2 501 1251,00 626751,00

Total 1501


ZFO

U de Mann-Whitney ,000


Z -31,637


a. Variable de agrupación: Metodología

Tabla 23: Prueba estadística U de Mann-Whitney para metodologías AG y GRASP en la

instancia 72 cajas.

Ilustración 24: Diagrama de caja y bigotes para porcentaje de ocupación en las

metodologías AG y GRASP en la instancia de 72 cajas.

76

Bajo un nivel de confianza del 95% se concluye que los resultados arrojados por la

prueba U de Mann-Whitney indican que las diferentes metodologías AG y GRASP

presentan diferencia significativa y teniendo en cuenta el diagrama de caja y

bigotes, se observa que la metodología GRASP obtiene menores valores que el

algoritmo genético, por ende se deriva que el primer método mencionado obtiene

porcentajes mayores de ocupación.

5.2.3 Variable de estudio: desvío del centro de gravedad.

Se analizan los resultados obtenidos de la desviación del centro de gravedad con

respecto al centro geométrico del contenedor con respecto a su largo bajo los

diferentes parámetros del AG, primero se validan los supuestos del modelo para

determinar que prueba estadística realizar.


Se establece si el tratamiento con cada nivel tiene igual varianza.


Desvío-CG

Estadístico de

Levene gl1 gl2 Sig.

8,546 4 2500 ,000

Tabla 24: Prueba de Levene para homogeneidad de varianza para desvío de centro de gravedad en la instancia de 72 cajas.

Mediante la prueba de Levene aplicada, se evidencia que el valor p es menor a

0,05 por lo tanto es posible afirmar que no se cumple el supuesto de homogeneidad

de varianza.





similares [Díaz 2009]. Debido a que no se cumple el supuesto de homogeneidad de

77

varianza se verifica la normalidad de los residuos para cada uno de los niveles, para



Instancia Residuo

estandarizado

para DesvíoCG

500 N 501


Media ,0000



Positiva ,333

Negativa -,236



1000 N 501


Media ,0000



Positiva ,043

Negativa -,045



2000 N 501


Media ,0000



Positiva ,285

Negativa -,255



3000 N 501


Media ,0000



Positiva ,324

78

Negativa -,315



4000 N 501


Media ,0000



Positiva ,299

Negativa -,230





Tabla 25: Prueba de normalidad de residuos para datos desviación de centro de gravedad

para la instancia de 72 cajas.

Aplicando una prueba Kolmogorov-Smirnov a los niveles del factor con el propósito

de determinar la normalidad de los residuos, dicha prueba aplicada muestra

evidencia de que los residuos del nivel de 1000 generaciones presentan distribución

normal, caso contrario ocurre con los demás niveles.



homogeneidad de varianzas en los datos, existen al menos tres maneras de

solucionar o minimizar el problema de la situación presentada: 1. utilizar métodos de

análisis no paramétricos, que no requieren suposiciones de normalidad y varianza

constante 2. hacer análisis mediante modelos lineales generalizados 3. hacer

análisis sobre la respuesta transformada a una escala en que los supuestos se

cumplan [Gutiérrez, H. y De La Vara, R., 2003]. Teniendo como patrón la

metodología aplicada en [García et al, 2011]se aplica la prueba estadística de

Tamhane para analizar la diferencia de medias entre los diferentes tratamientos.


Desvío-CG

Tamhane

(I) Instancia (J) Instancia Diferencia de Error típico Sig. Intervalo de confianza al 95%

79

medias (I-J) Límite inferior Límite superior

dimension2

500

dimension3

1000 -

,787738290647*

,0000344613

47

,000 -,78783498451 -,78764159678

2000 -,000048264286 ,0000414961

17

,940 -,00016471176 ,00006818319

3000 -,000049718679 ,0000316382

09

,710 -,00013850560 ,00003906824

4000 -,000109400755 ,0000414633

83

,082 -,00022575622 ,00000695471

1000

dimension3

500 ,787738290647* ,0000344613

47

,000 ,78764159678 ,78783498451

2000 ,787690026360* ,0000403202

94

,000 ,78757686766 ,78780318506

3000 ,787688571968* ,0000300794

72

,000 ,78760416633 ,78777297761

4000 ,787628889892* ,0000402866

05

,000 ,78751582593 ,78774195385

2000

dimension3

500 ,000048264286 ,0000414961

17

,940 -,00006818319 ,00016471176

1000 -

,787690026360*

,0000403202

94

,000 -,78780318506 -,78757686766

3000 -,000001454392 ,0000379357

08

1,000 -,00010795446 ,00010504568

4000 -,000061136469 ,0000464473

23

,876 -,00019145947 ,00006918653

3000

dimension3

500 ,000049718679 ,0000316382

09

,710 -,00003906824 ,00013850560

1000 -

,787688571968*

,0000300794

72

,000 -,78777297761 -,78760416633

2000 ,000001454392 ,0000379357

08

1,000 -,00010504568 ,00010795446

4000 -,000059682076 ,0000378998

99

,708 -,00016608140 ,00004671724

4000 dimension3

500 ,000109400755 ,0000414633

83

,082 -,00000695471 ,00022575622

80

1000 -

,787628889892*

,0000402866

05

,000 -,78774195385 -,78751582593

2000 ,000061136469 ,0000464473

23

,876 -,00006918653 ,00019145947

3000 ,000059682076 ,0000378998

99

,708 -,00004671724 ,00016608140


Tabla 26: Prueba de Tamhane para diferencia de medias para datos de desvío del centro de

gravedad en la instancia de 72 cajas.

Bajo un nivel de confianza del 95%, se concluye que los resultados obtenidos no

presentan diferencias significativas.

5.2.4 Comparación de resultados de algoritmo genético frente a GRASP:

desvío del centro de gravedad.

A partir del análisis de resultados realizado al desvío de centro de gravedad para la



frente a una selección aleatoria de 500 individuos de los parámetros del

algoritmo genético. Para efectos de comparación de las metodologías presentadas,

se usa 1 para los resultados del GRASP y 2 para los resultados del AG.


Se valida si los resultados de cada metodología presentan homogeneidad de

varianzas.


DesvíoCG

Estadístico de

Levene gl1 gl2 Sig.

25,326 1 1499 ,000


gravedad en la instancia de 72 cajas para metodologías AG y GRASP.

81

A partir de la prueba de homogeneidad de varianza realizada a los datos arrojados

por el AG y el GRASP. Dado que el valor p de la prueba no es mayor a 0,05, se

concluye que se presenta heteroscedasticidad en las varianzas.





similares [Díaz 2009]. Dado que no se cumple el supuesto de homogeneidad de




Metodología Residuo

estandarizado

para DesvíoCG

1 N 1000


Media ,0000



Positiva ,374

Negativa -,415



2 N 501


Media ,0000



Positiva ,299

Negativa -,230



82



Tabla 28: Prueba de normalidad de residuos para desviación del centro de gravedad en la

instancia de 72 cajas.

La prueba aplicada sobre cada nivel bajo un nivel de confianza del 95%, muestra

que los residuos no presentan distribución normal.


Debido a la heteroscedasticidad de varianzas y la no normalidad de residuos,

además teniendo en cuenta que se están comparando únicamente dos niveles, se

aplica la prueba estadística U de Mann-Whitney en aras de comparar los resultados

de los tratamientos [Alvarado, J. y Obagi, J., 2008].

Rangos

Metodología

N

Rango

promedio

Suma de

rangos

DesvíoCG

dimension1

1 1000 1000,61 1000606,00

2 501 252,78 126645,00

Total 1501


DesvíoCG

U de Mann-Whitney 894,000


Z -31,529


a. Variable de agrupación: Metodología

Tabla 29: Prueba U de Mann-Whitney para diferencia de medias en la instancia de 72 cajas

con metodologías AG y GRASP.

83

Ilustración 25: Diagrama de caja y bigotes para desviación de centro de gravedad en la

instancia de 72 cajas con las metodologías AG y GRASP.

En un intervalo de confianza del 95%, se concluye que los resultados de las

diferentes metodologías AG y GRASP presentan diferencia significativa de medias,

debido a lo anterior se toman en cuenta las tablas de resumen de resultados y el

diagrama de caja y bigotes encontradas en la presente tesis y en [García et al,

2011] para concluir que la metodología AG arroja mejores resultados que el GRASP

en esta instancia, con una diferencia de 0,08466 cm.

5.2.5 Variable de estudio: tiempo de ejecución del programa.

A raíz de los diferentes tiempos obtenidos a lo largo de cada muestra del algoritmo

genético, se procede a una descripción del comportamiento de esta variable.

Descriptivos

Instancia Estadístico Error típ.

tiempo 500 Media 22,93 ,062

Intervalo de confianza para

la media al 95%




Mediana 23,00

84

Varianza 1,905

Desv. típ. 1,380

Mínimo 21

Máximo 25

Rango 4

Amplitud intercuartil 2



1000 Media 40,11 ,149


la media al 95%




Mediana 40,00

Varianza 11,094

Desv. típ. 3,331

Mínimo 35

Máximo 46

Rango 11




2000 Media 64,86 ,090


la media al 95%




Mediana 65,00

Varianza 4,079

Desv. típ. 2,020

Mínimo 62

Máximo 68

Rango 6




85

3000 Media 92,59 ,098


la media al 95%




Mediana 93,00

Varianza 4,834

Desv. típ. 2,199

Mínimo 89

Máximo 96

Rango 7




4000 Media 116,57 ,169


la media al 95%




Mediana 117,00

Varianza 14,333

Desv. típ. 3,786

Mínimo 110

Máximo 123

Rango 13




Tabla 30: Estadístico descriptivos para los valores de Tiempo de ejecución en la instancia de

72cajas.

87


cajas.

Según los histogramas generados para los tiempos de ejecución del programa a

diferentes variaciones de número de generaciones muestran: el parámetro de 500

generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra en el rango de 22

segundos, y el rango de menor frecuencia en 24 segundos.

El parámetro de 1000 generaciones indica que la mayor frecuencia se encuentra

dentro de los rangos concernientes a los 37 segundos, en tanto a que los rangos

pertenecientes entre los 42,5 y los 45 segundos, aparecen con la menor frecuencia.

Observando el tratamiento de 2000 generaciones, se aprecia que los rangos poseen

frecuencias sin grandes diferencias, claro está que los rangos con menores tiempo

poseen la mayor periodicidad.

Teniendo en cuenta el histograma mostrado para el parámetro de 3000, se observa

que la mayor frecuencia se concentra en el rango de los 93 segundos, y que las

menores ocurrencias ocurren en los rangos con los tiempos mínimos y máximos del

nivel, es decir 89 y 96 segundos.


el rango de 117 segundos, de forma contraria el menor valor encontrado se

encuentra en los rangos apartados de los datos medios.

Ilustración 27: Diagrama de caja y bigotes para tiempos de ejecución instancia 72 cajas.

88

Se observa una tendencia creciente en el aglomerado de los datos por instancias en

la gráfica, lo cual indica que se tardan más segundos el código en arrojar un

resultado a medida que el número de generaciones aumenta.

6. CONSIDERACIONES DEL PROBLEMA DE CARGA DE

CONTENEDORES.

A partir del proceso realizado en el presente trabajo se consideran los siguientes

aspectos de la temática trabajada:

Los experimentos realizados en este trabajo de grado se basan en la comparación

de dos metodologías para la solución de un problema de empaquetamiento

tridimensional, en primera instancia se tomaron los resultados derivados de la

variación de los parámetros de entrada del algoritmo genético y se realizaron las

pruebas estadísticas para la comparación con los mejores resultados arrojados por

la metodología GRASP en las instancias de 24 y 72 cajas. Se encontraron

diferencias significativas de medias entre las dos metodologías y luego de hacer una

comparación de los resultados obtenidos se estableció que en porcentaje de

ocupación la meta-heurística GRASP logró mejores resultados que el AG propuesto

en este trabajo, por otro lado en distancia de CG para la instancia de 72 cajas el

Algoritmo Genético presento un mejor valor de desviación que el GRASP. Dado los

anteriores resultados proponemos las siguientes consideraciones a tener en cuenta

en futuras investigaciones.

Cabe resaltar la importancia de la meta-heurística como herramienta alternativa que

apoya la búsqueda de soluciones a problemas relacionados con la optimización de

recursos, y en este caso esencial para la proposición de soluciones a las instancias

propuestas en este problema de carga de contenedores. Adicionalmente se

recomienda aplicar nuevas restricciones para así continuar con las perspectivas de

investigación de la tema en cuestión, con la finalidad de mantener una actualización

constante de metodologías y restricciones que hagan frente al problema de carga de

contenedores, tales como: se propone considerar la evaluación del centro de

gravedad con respecto al centro geométrico de la figura bajo un espacio de tres

dimensiones, es decir que además del largo se tenga en cuenta el ancho y el alto

para la solución propuesta. Adicional se propone tener en cuenta la estrategia

empleada en el presente trabajo, siempre y cuando se aplique a un número mayor a

2 divisiones bajo el largo del contenedor.

En aras de continuar con el estudio de este tipo de problemas de empaquetamiento

se recomienda la continuación del uso de diferentes metodologías menos utilizadas

según la revisión realizada en esta tesis tales como: Particle Swarm Optimization, o

89

Artificial Immune Systems (AIS) con el objetivo de comparar los valores obtenidos

por las diferentes estrategias y mejorar estos resultados.

Considerando el método especifico empleado en el presente trabajo, se sugiere

continuar investigando criterios de selección y priorización de cajas teniendo en

cuenta las ventajas que puede presentar el coeficiente ponderador propuesto en

este trabajo de grado. Dada la buena respuesta que género en las instancias dando

posibles ubicaciones de cajas, se propone que se analicen aspectos como el

método de generación del parámetro de incidencia y la forma en que las

ponderaciones asignan posiciones dentro del contenedor, en donde se estudie la

posibilidad que el orden priorizado no sea un único determinante al momento de

ubicar cajas, lo anterior se podría direccionar creando una analogía junto con la

metodología GRASP en cuanto a la evaluación de una función de utilidad en una

lista de candidatos restringidos, generando diferentes estrategias híbridas para la

generación de la población inicial.

Con el propósito de tener un mejor entendimiento y aplicación de herramientas

usadas para solucionar problemas de empaquetamiento se recomienda aplicar

programación gráfica. Este tipo de instrumentos presenta ventajas al momento de

exponer soluciones a profesionales y empresarios del medio perteneciente a la

temática en cuestión.

7. CONCLUSIONES

El presente trabajo de grado describe el desarrollo y aplicación del Algoritmo

genético con una variable de ponderación para la solución de un problema de

empaquetamiento tridimensional de carga homogénea, y su posterior comparación

con los resultados arrojados por el algoritmo GRASP desarrollado en la ya

nombrada tesis de maestría.

Para la generación de la población inicial en el AG se tiene en cuenta un criterio

para la agrupación de las cajas dentro del contenedor y está dado por un algoritmo

de ponderación que propone un nuevo procedimiento cuyo objetivo está en

seleccionar las cajas para ubicar dentro del contenedor en cada una de las

posiciones, de tal manera que aquellas con mayor capacidad para soportar peso

queden en el primer nivel del contenedor y así disminuir la deformación total de la

carga. Estas cajas candidatas son agrupadas de forma distinta para cada uno de

los contenedores teniendo en cuenta un valor único para cada uno. Dado lo

anterior y según lo observado en la ejecución del código, los individuos con mayor

ponderación de la capacidad también poseían altos valores de peso, por lo que la

metodología presentada en este trabajo también consideraba en cierta medida las

cajas pesadas dando a estas una ubicación prioritaria en los primeros niveles.

90

La validación del peso soportado por cada contenedor se tuvo en cuenta durante el

proceso de llenado del mismo a medida que estas cajas candidatas iban ingresando

según el anterior criterio se calculaba el peso total de la carga y se comparaba con

el límite de peso que podía resistir el contenedor, de tal manera que las últimas

cajas se descartaban (estas generalmente eran las de menor peso), en

consecuencia según lo observado se eliminaban más cajas utilizando esta

estrategia que con la metodología manejada en el GRASP lo que como resultado

originó un mejor valor de función objetivo para las dos instancias del problema con

el algoritmo GRASP.

Por otro lado en la desviación del centro de gravedad al centro geométrico de la

base del contenedor desde su largo se observó que a medida que aumentaba el

número de muros la estrategia utilizada por el algoritmo genético mejoraba los

resultados mostrando un valor menor de desviación, dando mejores valores que con

la metodología utilizada en el GRASP en la instancia de 72 cajas.

Los experimentos computacionales realizados en este trabajo muestran que el

enfoque utilizado de algoritmo genético funciona adecuadamente en las dos

instancias del problema obteniendo buenos resultados globales en tiempos de

ejecución razonables.

91

8. REFERENCIAS

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