Es el interés por devengado o cobrado linealmente proporcional al capital, a la tasa de interés y al número de periodos de interés por los que el principal se impone.

P= Stock inicial, valor actualS(F)= Stock final, valor futuroA= Flujo constante, series de sumas de dinero consecutivos e iguales en fin de periodoN= Número de periodos de interés, años, semestres, trimestres, meses o díasi= Tasa de interés por periodo de interés, porcentaje anual, porcentaje mensual, etc.t= Tiempo expresado en periodos, años, meses, días, etc.

Año Dirección ascendente de

flechas ingresos

(entradas)

0 1 2 3 4 5

A A A A A

Dirección descendente de

flechas egresos

(salidas) i= 10%

P= Inversión del proyecto en el momento de ahora “cero”A= Flujos de caja del proyecto A= Ingresos – egresosVR= Valor de rescate del proyectoI= Costo de oportunidad

P

VR

P= Valor presente o stock inicialN= Número de periodos ( por lo general en años) en que la cuenta ganará intereses.i= Tasa de interés expresada generalmente en porcentaje anualF= Valor futuro al cabo de “n” años.

Ecuación financiera o modelo matemático de capitalización compuesta

Ecuación financiera o modelo matemático de descuento compuesto

Donde:JK = Interés Nominal anualK= Periodo de capitalizacióniK= Interés periódico y efectivo

Es la tasa de interés que se paga o se gana en realidad. En esta tasa se incluye la frecuencia de capitalización de los intereses.

La ecuación que determina la tasa de interés efectiva a partir de la tasa de interés nominal se generaliza con la siguiente ecuación:

Donde:i = Tasa efectiva anualj = Tasas nominan anualm= Número de periodo de capitalizaciónj/m = Tasa proporcional o tasa efectiva periódica

I= P* i* n° de días

Exprese (j) en “tanto por uno”

Exprese (i anual) en “tanto por uno”0

Una tasa efectiva anual ( i anual),Se maneja por radicación y potenciación

Una serie o anualidad es una corriente de flujos de efectivo anual, mensual o equivalentes. Estos flujos de efectivo pueden ser entradas por el rendimiento obtenido sobre inversiones o salidas de fondos invertidos para obtener rendimientos futuros.

Cuando un préstamo P se empieza a pagar desde el primer periodo ( en su etapa final)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 …. n

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 …. n

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

Cuando un préstamo P se empieza a pagar desde el primer periodo ( en su etapa inicial).

Cuando un préstamo P siempre empieza a devolverse después de m periodos, pero desde el término del periodo ( m+1)

0 1 2 3 m m+1 ……… n

A

A

A

A

A

A

A

A

Cuando un préstamo P siempre se empieza a devolver después de m periodos, pero desde el inicio del periodo ( m+1)

0 1 2 3 m m+1 ……… n

A

A

A

A

A

A

A

A

Factor de capitalización de la serie (FCS)

Ecuación simplificada para calcular el valor futuro de una serie uniforme

,

La ecuación que permite calcular el valor de A serie uniforme o pago para acumular una suma futura, se obtiene despejando el valor de A de la ecuación:

El valor entre corchete recibe el nombre de :

Factor de depósito al fondo de amortización o acumulación

Fórmula abreviada:

Ecuación financiera para calcular el valor presente de una serie uniforme

Ecuaciones simplificadas para calcular el valor presente de la serie uniforme

Factor de actualización de la serie (FAS)

Partiendo de la ecuación del valor presente de la serie:

Despejando el valor de A en la ecuación :

Factor de recuperación de capital

Fórmula abreviada:

G

2 3 N-1 N-21

2G(N-3)G

(N-2)G

(N-1)GNota: No hay pago al final del primer periodo Pagos gradientes

( típicos)

P= G(P/G,i%,N)

Pg= Valor presente de la serie escalonada en el año 1 d= Representa la cantidad de dólares en el año 1g = Representa la tasa de crecimiento geométrico

Simplificando:Pg =?

d

1 2 3 4 n

Ejercicio 1: El Ing. Juan Pérez va a invertir $150 000 a 3 años con un interés con un interés compuesto de 18 % anual, capitalizable cada año. ¿Cuánto va a recibir al vencimiento de la inversión?Solución:Capital Inicial= $ 150 000Tasa de interés= 18 % anual

intereses en simple

saldo coninterés simple

intereses en compuesto

saldo coninterés

compuestoaño

0   $150,000   $150,000

1 $27,000 $177,000 $27,000 $177,000

2 $27,000 $204,000 $31,860 $208,860

3 $27,000 $231,000 $37,595 $246,455

Diferencia entre saldos = $ 15 455

Ejercicio 2:

Compare el interés devengado por 500 dólares durante 10 años a un interés simple del 8% con el que devenga la misma cantidad en 10 años con un interés compuesto anual del 8%.

Solución :

Interés simple

Datos:

Entonces:

Interés compuesto

Ahora:Entonces:

Finalmente:

2(a) Se pide calcular el interés devengado al 3º año por el método compuesto.

2(b) Se pide calcular el capital del cliente al 8º año. Utilice el método de actualización.

De acuerdo con la ecuación financiera, nos sale:

Por el método de actualización:

Ejercicio 1 :Si la tasa nominal anual es del 56% con capitalización trimestral, ¿cuál es la tasa efectiva mensual?

Solución:

Datos:

Siguiendo la relación:

Luego:

Ejercicio 2 :¿Cuál es el interés por un capital de $ 5 000 en 35 días con un interés del 8% efectivo anual?Solución

Solución :

Del diagrama, se tiene la siguiente ecuación financiera:

Ahora:

Ejercicio 1 :¿Qué valor de A hace que los dos flujos de efectivos anuales de la figura sean equivalentes a un interés compuesto del 10% anual?

100 100 100150

52 3 40 1

200i =10 %

A A

52 3 40 1

A

Solución:

Como los flujos de efectivo son equivalentes:

Ejercicio 1:

Parte del ingreso que genera una maquina se coloca a un fondo de amortización a fin de poder reemplazar una vez que se desgaste. Si se depositan $500 anuales a una tasa de interés del 6% ¿Cuántos años hay que conservar la maquina antes de poder comprar la nueva con un costo de $10000?

Solución:

RESPUESTA: Para poder comprar una maquina nueva de $10000 es necesario conservar la maquina conservar la maquina que usamos actualmente por un periodo de 13.53 años.

Ejercicio 2 :Usted ha obtenido un préstamo de $10000 a una tasa de interés del 15%. Se efectuaran pagos iguales durante un periodo de 3 años (el primer pago al final del primer año). a)El pago anual será de (), b) El pago de interés del segundo año de ().

Solución:

Final del Periodo

Amortización Interés Cuota Balance

0 $10000

1 $2879.77 $1500 $4379.77 $7120.23

2 $3311.74 $1068.03 $4379.77 $3808.49

3 $3808.49 $571.27 $4379.77 0

RESPUESTA: El pago de interés del segundo año es de $1068.03

Ejercicio 1 :Suponga que se depositan 1000 dólares en una cuenta bancaria al final de cada trimestre durante los próximos 10 años. Determine el valor futuro al final de los 10 años si la tasa de interés es del 8% compuesto:

a)Trimestralmenteb)Mensualmente

Solución:

F

A=$1000; j=8%

402 3 …0 1

a)

(2% de efectivo trimestral)

De la fórmula:

(0.67 % efectivo mensual)

b)

De la fórmula

Calculamos la tasa efectiva trimestral:

Ecuación Financiera:

21

Ejercicio 1:Un aparato eléctrico que tiene un precio de contado de $ 12,000 se compra a crédito bajo las siguiente condiciones: Interés mensual 3%, pago de seis mensualidades iguales, las primeras tres mensualidades se pagan al final de los meses 1,2, y 3, se suspenden los pagos en los meses 4, 5,6, y 7 y las últimas tres mensualidades se cubren al final de los meses 8,9 y 10. Calcular el valor de cada una de las seis mensualidades.

Solución:

0 3 4 5 6 7 8

$ 12000

9 10

El monto a pagar mensualmente es de $339.85.

A = $ 339.85

Ejercicio 1:

El señor Jaime Perez está planeando hacer una contribución a la universidad de la cual es egresado. Él desearía donar hoy una cantidad de dinero, de modo que la universidad pueda apoyar estudiantes. Específicamente, desearía proporcionar apoyo financiero para las matrículas de cinco estudiantes por año durante 15 años en total (es decir, 16 becas), efectuando la primera beca de matrícula de inmediato y continuando en intervalos de 1 año. El costo de la matrícula en la universidad es de $3800 anuales y se espera que se mantenga en esa cantidad durante 2 años más. Después de ese momento, sin embargo, el costo de la matrícula aumentará en $30 por año. Si la universidad puede depositar la donación y obtener un interés a una tasa 8%, ¿Cuánto debe donar el señor Pérez?

Año Pago Año Pago

0 $3,800 8 $3,9801 $3,800 9 $4,0102 $3,800 10 $4,0403 $3,830 11 $4,0704 $3,860 12 $4,1005 $3,890 13 $4,1306 $3,920 14 $4,1607 $3,950 15 $4,190

Pago por año

Como podemos darnos cuenta, esta serie compuesta se puede descomponer en otras dos claramente notables: una simple serie de pagos de 3800 desde el año 0 hasta el año 15, y otra con gradiente aritmético de $30 desde el año 1 hasta el año 15 (posteriormente habrá que llevarla al año 1).

P=PA+PG

Paso 1: Se debe trabajar con la serie uniforme con A=$3800, el esquema de calculo del valor actual de serie funciona a partir del año 1, por ello adicionamos el 3800 del año 0.

Paso 2 :Se debe con el gradiente aritmético de G=$30, desde el año 1, luego trasladarlo con un factor de actualización

Paso 3: Calculamos el total que el señor Pérez debe donar

El monto calculado es por alumno, por lo tanto el monto total debe ser $187688.15

Rpta: El monto total donado por el señor Pérez vale en la actualidad $187688.15

Ejercicio 1 :Un padre de familia desea que su hijo de 7 años estudie una profesión. En la Universidad donde él desea inscribirlo normalmente las carreras duran 8 semestres y la colegiatura semestral actualmente es de $20,000 y crece por razón de la inflación un 10% semestral. Para lograrlo el padre de familia decide ahorrar una cantidad anual durante 10 años, empezando al final del octavo cumpleaños de su hijo. Si la cuenta de ahorros le da el 15% anual de intereses y el primer pago de colegiatura se hará al final de la primera mitad del año 18 del ahorro, ¿De qué tamaño deben ser las anualidades que se depositan en dicha cuenta de ahorros de modo que al pagar la última colegiatura se agote este ahorro?

Solución:

PASO 1: Debemos calcular la mensualidad del último semestre del año 17.

La fórmula financiera es:El número de semestres son 22 semestres

F=P (F/P, 10%,22)F= 20000(1.10)22=162805.50

PASO 2: Debemos calcular la tasa de interés semestral

(1+1.15)(1/5)= (1+i)i=0.0724

PASO 3. Debemos calcular el valor presente

P=A

PASO 4. Calcular el valor de A

A=P(A/P, 15%,10)

A=1329730.202

P=162805.5 (8.1676) = 132970.202

Ejercicio 1 :David Kapamagan obtuvo un préstamo de un banco para financiar una pequeña embarcación de pesca. Los términos del préstamo bancario le permiten diferir los pagos durante seis meses y luego efectuar 36 pagos mensuales iguales. El préstamo original fue por 3000 dólares con una tasa de interés del 12% compuesto mensualmente. Tras 16 pagos mensuales, David se encontró en problemas financieros y acudió a una compañía de préstamos para obtener ayuda. Por fortuna tal compañía se ofreció a pagar toda su deuda si él les pagaba 73.69 dólares mensuales durante 40 meses. ¿Qué tasa de interés mensual está cobrando la compañía de préstamos por la transacción?

Solución

Capitalizando $ 3000

0.02 27.355

I 25.39

0.03 23.1148

Interpolando:

Respuesta: La tasa mensual de interés que está cobrando la compañía es del 2.34%