7/25/2019 Valor Esperado y Momentos Prof. I.lillo

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Apuntes Estadstica 2

Profesora Ivonne Lillo

Valor esperado de una v.a. o de una funcin de v.a.

La media de una distribucin de probabilidad es simplemente la esperanza matemtica de la

v.a. correspondiente:

=

La media de una distribucin de probabilidad mide su centro en el sentido de un promedio o,

mejor an, en el sentido de un centro de gravedad. La frmula anterior representa el PRIMER

MOMENTO CON RESPECTO AL ORIGEN (Sistema discreto de masas f(x) dispuestos en una lnea

recta a distancias x del origen).

Por su parte la variancia:

=

mide el esparcimiento o dispersin de una distribucin de probabilidad con valores. Lafrmula anterior representa en fsica el segundo momento o momento de inercia.

Momentos y funciones generadoras de momentos

Se define el k-simo momento con respecto al origen como:

=

Adems se define el k-simo momento con respecto a la media como:

=

Notas:

1. El tercer momento con respecto a la media se utiliza para describir la simetra o sesgo

de una distribucin.

2. El cuarto momento con respecto a la media se utiliza para medir la picudez o

curtosis de una distribucin.

3. Para el segundo momento alrededor de la media se tiene:

=

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Apuntes Estadstica 2

Profesora Ivonne Lillo

Ejemplo: La tabla muestra las probabilidades de que cierto computador personal presente 0, 1,

2, 3, 4, 5 6 veces en un da cualquiera.

N de fallas x 0 1 2 3 4 5 6Probabilidad 0,17 0,29 0,27 0,16 0,07 0,03 0,01

Calcule y responda:

a) La media de esta distribucin de probabilidad

b) La desviacin estndar.

Ejercicios:

1.

Para la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria X, que se indica acontinuacin, determine la media de X:

= 3 (14)

(34)

= 0,1, 2, 3

2. Una moneda est cargada de manera que la probabilidad de ocurrencia de una cara es

tres veces mayor que la de una cruz. Encuentre el nmero esperado de cruces cuando se

lanza dos veces esta moneda.

3. Suponga que un distribuidor de joyera antigua se interesa en comprar un collar de oro,

para el que las probabilidades son 0,22; 0,36; 0,28 y 0,14, respectivamente, de que

pueda venderlo con una ganancia de $250.000, venderlo con una ganancia de $150.000,

venderlo al costo o con una prdida de $150.000. Cul es la ganancia esperada?.

4. Sea X una v.a. con la siguiente distribucin de probabilidad:

x -3 6 9

1/6 1/3

Encuentre , donde g(X) = (2X+1)25. La v.a. X, que representa el nmero de errores por 100 lneas de cdigo de

programacin, tiene la siguiente distribucin de probabilidad:

x 2 3 4 5 6

0,01 0,25 0,4 0,3 0,04

Calcule la varianza de X.

6. Para los ejercicios 1 al 4 anteriores, encuentre la variancia y la desviacin estndar de X.