Valoración de la deuda y los recursos propios deuna empresa mediante opciones extensibles

Isabel Abínzano Javier F. NavasDepartamento de Empresa Instituto de Empresa yFacultad de Económicas Universidad Pablo de OlavideUniversidad de Navarra Ctra. de Utrera, Km. 1

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Esta versión: Junio de 2003

Palabras clave: Riesgo de crédito, crisis financiera, reestructuración, opciones exten-sibles.

Clasificación JEL: G13, G32, G34.

Valoración de la deuda y los recursos propios deuna empresa mediante opciones extensibles∗

Junio de 2003

Resumen

Ante la presencia de dificultades financieras las empresas poseen diferentesalternativas, entre las cuales se encuentra la reorganización. En este artículo valo-ramos la deuda y los recursos propios de una empresa cuando ésta tiene la posibi-lidad de llevar a cabo una reorganización de su estructura financiera. Las fórmulasde valoración obtenidas se basan en el concepto de opción de compra extensiblepropuesto por Longstaff (1990). A diferencia de otros modelos, este modelo per-mite que la reorganización tenga un coste no nulo, al mismo tiempo que contempladiferentes modalidades de estructura financiera, así como la posibilidad de que lareorganización requiera de varias negociaciones.

∗Agradecemos a Manuel Moreno y a Santiago Forte sus útiles comentarios y sugerencias.

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1 Introducción

A lo largo de los dos últimos años, la desaceleración económica, el pinchazo de la bur-buja tecnológica y la crisis bursátil han conducido a buen número de empresas haciaproblemas financieros. Según la definición de Ross et al. (1999), una empresa presentadificultades financieras cuando sus flujos de efectivo no son suficientes para satisfacerlas obligaciones actuales, tales como los créditos comerciales o los gastos por intere-ses, y la empresa se ve obligada a tomar las medidas correspondientes. Cuando existenproblemas financieros, la empresa tiene a su alcance varias alternativas para resolver lasituación. La elección de la combinación de medidas adecuadas depende en gran medi-da de las características de la empresa. Podemos clasificar estas medidas en operativasy financieras.

Las medidas operativas son aquellas que persiguen la reorganización operativa ofuncional de la empresa. La reducción de plantilla, el cierre de plantas de producción yel cambio de la dirección de la empresa son casos particulares de medidas operativas.La reducción de plantilla llevada a cabo en Boeing en marzo de 2002 o la venta departe de los activos de Fiat en enero del mismo año para poder reducir su deuda son unejemplo de ellas.

Las medidas de reestructuración financiera son aquellas que pretenden, medianteel acuerdo con los acreedores, modificar la estructura de vencimientos de la deuda y/oreducir su valor nominal. Las empresas que no pueden cumplir con los pagos contrac-tualmente pactados ante los acreedores o que toman la decisión de no hacer tales pagos,tienen dos opciones básicas: la liquidación o la reorganización. La liquidación hace re-ferencia al finiquito de una empresa como un negocio en marcha. Implica la venta delos activos del negocio a su valor de rescate. Los fondos obtenidos, después de deducirlos costes de los procedimientos judiciales derivados de la liquidación, impuestos ysalarios, se distribuyen entre los acreedores en el orden de las prioridades establecidaspreviamente. Como ejemplo podemos citar la empresa Alcodata, que afectada por lacrisis de la Nueva Economía, llevó a cabo su liquidación en el mes de enero de 2002.La reorganización es la opción de mantener a la empresa como un negocio en marcha,y consiste en una disminución (“quita”) de las deudas pendientes, en un aplazamiento(“espera”) del pago de éstas , o bien en una combinación de ambas. Como ejemplo,en mayo de 2002, la juguetera Jesmar ofrecía como alternativa la quita del 50% de ladeuda y el pago del resto en siete años.

Tanto la liquidación como la reorganización pueden realizarse negociando directa-mente con los acreedores de la empresa, o bien por medio de un proceso dentro delsistema concursal. Dicho proceso consiste en un procedimiento judicial que puede rea-lizarse de manera voluntaria, cuando la empresa presenta una petición al respecto, oinvoluntariamente, cuando los acreedores presentan dicho pedido. En el caso de la peti-ción de quiebra voluntaria por parte de la empresa, puede deberse a que, en el casode empresas con una estructura de capital muy complicada, lograr acuerdos medianteuna negociación privada puede ser más difícil que mediante el proceso formal. Otromotivo puede ser el conflicto de intereses entre los acreedores, el cual se ve acentuado

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cuando éstos poseen información incompleta sobre las circunstancias de las dificultadesfinancieras. Esta falta de información hace menos probable el logro de negociacionesprivadas.

La existencia o no de la posibilidad de llevar a cabo una reorganización o varias,deberá reflejarse en el valor de la empresa. Merton (1974) fue el primero en aplicarla teoría de valoración de opciones desarrollada por Black y Scholes (1973) a la valo-ración de deuda. Sin embargo, dicha aplicación no contempla la posibilidad de que laempresa pueda llevar a cabo una reorganización. Leland (1994) estudia el efecto queuna reorganización tiene en el valor de la empresa, y observa cómo el valor de los re-cursos propios de la empresa aumenta cuando se lleva a cabo una reorganización . Sinembargo, no desarrolla una expresión que valore los recursos propios en función delvalor nominal y la fecha de vencimiento de la deuda. Anderson y Sundaresan (1996),Mella-Barrall y Perraudin (1997), y Mella-Barral (1999), estudian la influencia del va-lor nominal de la deuda y su vencimiento en el proceso dinámico de negociación previoa la reorganización, pero tampoco desarrollan un modelo que valore la deuda o los re-cursos propios de la empresa.

Como vemos, los estudios anteriores no tienen como propósito el desarrollar unmodelo de valoración en caso de que exista la posibilidad de reorganización. En la li-teratura existen pocos trabajos que persiguen formular un modelo de valoración de losrecursos propios o de la deuda en caso de que pueda llevarse a cabo una reorganiza-ción de la empresa. Franks y Torous (1989) estudian la reorganización de una empresaconsiderando la opción del aplazamiento de la deuda como una opción de compra. Sinembargo, dichos autores suponen que la deuda emitida para financiar la deuda inicialha de ser necesariamente mayor que ésta. Por su parte, Forte y Peña (2003), estudianlos efectos de la refinanciación de la deuda sobre el diferencial de crédito y sobre lacalificación de la deuda. Este artículo también impone una limitación, que consiste enque no se permite que exista un coste de negociación, lo cual difiere significativamentede la realidad. Dumitrescu (2002) sí que posibilita que la reorganización sea costosa.Además, demuestra cómo el valor de los recursos propios de la empresa aumenta cuan-do existe la posibilidad de llevar a cabo una reorganización. Sin embargo, sólo conside-ra la posibilidad de que la empresa esté financiada por dos deudas, y que sólo la deudacon vencimiento anterior se pueda refinanciar. Además, la expresión desarrollada sólopermite analizar si la reorganización aumenta o disminuye el valor de los recursos pro-pios, esto es, no permite calcular el valor de los recursos propios para una determinadaestructura de capital.

En este trabajo valoramos los recursos propios de una empresa en el caso de quepueda llevar a cabo tanto una como varias reorganizaciones de su deuda, ya sea median-te la petición formal de quiebra o mediante negociaciones privadas. Concretamente,estudiamos el caso de que dicha reorganización consista en la emisión de nueva deudapara financiar los pagos de la deuda pendiente, contemplando la posibilidad de ambostipos de reorganización,quitao espera, así como una combinación de ambas. De igualmodo, permitimos que dicha valoración no incluya restricciones sobre el valor nominalde la deuda emitida ni sobre el coste de las negociaciones necesarias para llevar a cabo

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la reorganización.En la sección 2 se revisan los modelos de valoración existentes en la literatura. En la

sección 3 se presenta el modelo propuesto, tanto para una sola deuda como para variasdeudas, así como las posibles aplicaciones del mismo. En último lugar, en la sección 4,se exponen las conclusiones derivadas de su desarrollo y aplicación.

2 Una introducción al problema de la reorganización

Franks y Torous (1989) estudian la reorganización de una empresa en el caso de que éstase acoja al capítulo 11 de la Reforma del Código de Quiebra de 1978 estadounidense(Bankruptcy Reform Act). El objetivo general de este procedimiento es planificar lareestructuración de la empresa previendo adecuadamente el reembolso a los acreedores.

La principal aportación de Franks y Torous (1989) consiste en que el aplazamientodel pago de la deuda puede verse como el ejercicio de una opción de compra adquiridapor la empresa al acreedor en la fecha de vencimiento inicial. A continuación mostramosel planteamiento.

Sea una empresa que tiene una deuda con valor nominalK y vencimiento enT.Si no puede devolver su deuda enT, según el Capítulo 11 de esta ley, puede ejercerla opción de aplazar el pago de la deuda hastaT ′, conT ′ ≥ T. Suponiendo que existeinformación simétrica, el valor de los recursos propios enT es:

E(T) = max{e(T),C(T)} (1)

dondee(T) es el valor de lor recursos propios si la empresa no se acoge al Capítulo 11de la Reforma de la Ley de Quiebra de 1978, yC(T) es el valor de la opción a pagar elvalor nominal de la deuda, ajustado por intereses, en cualquier momento hastaT ′.

Dicha opción a retrasar el pago es una opción americana, puesto que una vez en elCapítulo 11, la empresa tiene derecho a resolver sus obligaciones en cualquier momen-to hastaT ′. El precio de ejercicio de la opción sube determinísticamente a lo largo deltiempo. Así, cuanto más tiempo tarde la dirección en ejercer esta opción, más interesesdeberá pagar. Otro supuesto de Franks y Torous es que los costes directos de adminis-tración derivados de la ampliación del pago de la deuda, proporcionales al valor de laempresa, tienen lugar continuamente a lo largo del proceso de reorganización en lugarde en un instante de tiempo concreto.

En un trabajo posterior, Franks y Torous (1994) encuentran que el valor de la opcióna retrasar el pago de la deuda es mayor cuanto más cercano esté el valor nominal de ladeuda del valor total de la empresa. El significado de este resultado es que cuanta másimportancia tenga la deuda en el pasivo de la empresa, el derecho a retrasar el pago dela deuda va a ser más valioso.

A pesar de la importancia de sus aportaciones, Franks y Torous (1994) no desarro-llan un modelo que valore los recursos propios de la empresa en caso de que exista laposibilidad de llevar a cabo una reorganización. Además, suponen que el precio de ejer-

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cicio aumenta determinísticamente a lo largo del tiempo, sin contemplar la posibilidadde que los acreedores ofrezcan una rebaja de la deuda con el fin de recuperar su dinero.

Forte y Peña (2003) analizan los efectos a largo plazo de la refinanciación de la deu-da sobre los diferenciales de crédito y sobre la calificación de la deuda. Concretamente,estudian la refinanciación de la deuda cuando ésta se hace mediante la emisión de nuevadeuda, que como hemos visto en la introducción, corresponde a un tipo particular dereorganización. Los supuestos que realizan a lo largo de su trabajo son los siguientes:

1. Los mercados son perfectos.

2. La negociación es continua en el tiempo.

3. Existe un activo libre de riesgo con tipo de interés constante igual para prestamis-tas que para prestatarios.

4. Cada individuo actúa como si pudiera vender o comprar tanto de cualquiera acti-vo como desee sin afectar al precio de mercado.

5. Es posible tomar posiciones cortas.

6. Se cumple la Proposición I de Modigliani-Miller, esto es, el valor de la empresaes independiente de su estructura de capital.

7. El valor de la empresa sigue el siguiente proceso de difusión:

dV = µVdt+σVdz (2)

dondeµ es la tasa de rendimiento instantáneo esperado deV, σ es la volatilidadde este rendimiento, que se supone constante, yz es un movimiento Brownianoestándar.

Los autores parten de una proposición según la cual siempre que el valor de losrecursos propios sea mayor que cero, la deuda se va a poder financiar mediante laemisión de nueva deuda con vencimiento mayor que el vencimiento de la deuda actual,lo cual significa que se amplía el plazo de pago, permaneciendo constante el valor de losrecursos propios. Además, esta proposición establece la existencia de un nuevo valornominal positivo que permite a la empresa refinanciarse. Así mismo, demuestran queel nuevo valor nominal tiene como cota inferior el valor nominal inicial capitalizado altipo de interés libre de riesgo, por lo que el valor nominal de la nueva deuda va a sersiempre mayor que el valor nominal de la deuda inicial.

A pesar del interés de su trabajo, los resultados obtenidos por Forte y Peña estánlimitados, ya que el modelo supone que el coste de reorganización es nulo y que el valornominal de la nueva deuda es siempre mayor que el valor nominal de la deuda inicial,lo que difiere de la realidad, puesto que las negociaciones pueden tener un coste no nuloy además, puede ocurrir que los acreedores ofrezcan una rebaja de la deuda con el finde recuperar su capital. A lo largo de la siguiente sección trataremos de cubrir dichaslimitaciones.

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3 Reorganización costosa con posible reducción de ladeuda

Como hemos señalado, pretendemos obtener un modelo que valore los recursos pro-pios de una empresa cuando ésta tenga la posibilidad de reorganizarse mediante una ovarias negociaciones. En este modelo queremos contemplar el caso de que la empresaesté financiada por uno o más tipos de deuda. Además, deseamos que el modelo noimponga restricciones sobre el coste de reorganización ni sobre el valor nominal dela nueva deuda, esto es, el coste de dichas negociaciones puede ser no nulo y el valornominal de la deuda aplazada puede ser inferior al valor nominal inicial. Antes de pasaral desarrollo del modelo debemos hacer un supuesto.

Supuesto 1La liquidación de la empresa tiene un coste, L, con L≥ 0.

Cuando la liquidación tiene lugar, los acreedores reciben el control de la empresay dicha transferencia de control desde los accionistas hasta los acreedores puede tenerun coste positivo. La existencia del coste de liquidación justifica la posibilidad de quelos acreedores ofrezcan una rebaja de la deuda. Esto se debe a que en caso de que laempresa se liquide enT, los acreedores recibiránVT−L, y en caso de que se reorganice,recibiránVT −ST , dondeVT es el valor de la empresa enT, y ST es el valor de losrecursos propios enT. Los acreedores aceptarán la reorganización de la empresa si secumple lo siguiente:

VT −ST ≥VT −L (3)

esto es, si su valor en caso de reorganización es mayor o igual que lo recibido en caso deliquidación. En caso contrario, los acreedores rechazarán la reorganización y forzaránla liquidación de la empresa1.

3.1 Una sola deuda

Esta primera sección está dedicada a la valoración de los recursos propios de una em-presa cuya deuda consiste en un único bono cupón-cero. Distinguiremos tres casos:cuando no existe la posibilidad de reorganización, cuando existe la posibilidad de lle-var a cabo una reorganización y cuando existe la posibilidad de llevar a cabo variasreorganizaciones.

3.1.1 Sin posilibidad de reorganización

Sea una empresa cuya deuda está compuesta por un bono cupón-cero con valor nominalK y vencimiento enT. LlamemosV al valor total de la empresa. Para valorar estaempresa utilizaremos el trabajo realizado por Merton (1974).

1Agradecemos a Santiago Forte sus sugerencias sobre este punto.

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Merton (1974) desarrolla un modelo de valoración de deuda cuando existe riesgode impago. Como aplicación de dicho modelo, estudia el valor de los recursos propiosde una empresa cuya estructura de capital está formada por recursos propios y porun único bono cupón-cero con valor nominalK y vencimiento enT. El valor de losrecursos propios ent, S(V, t), debe cumplir:

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σ2V2SVV + rVSV − rS+St = 0 (4)

sujeto a:

S(V,T) = max(0,V−K) (5)

S(0, t) = 0 (6)

V−S(V, t)V

≤ 1 (7)

donder es el tipo de interés libre de riesgo.Merton (1974) muestra que el valor de los recursos popios de una empresa con

recursos propios y una sola deuda que no paga cupones se puede calcular como unaopción de compra donde el activo subyacente es el valor de la empresa, el precio deejercicio es el valor nominal de la deuda, y la fecha de ejercicio de la opción es la fechade vencimiento de la deuda. De este modo, el valor actual de los recursos propios deesta empresa, en el caso de que no exista la posibilidad de reorganización viene dadopor la fórmula de Black y Scholes (1973):

S(V,0) = VN(d1)−Ke−rT N(d2) (8)

con:

d1 =ln V

K +(r + σ2

2 )T

σ√

T(9)

d2 = d1−σ√

T (10)

En la Figura 1, podemos ver el valor de los recursos propios de una empresa paradistintos valores nominales de la deuda. Observamos que a mayor valor de la empresa,mayor valor de los recursos propios. De igual manera, vemos cómo cuanto mayor es elvalor nominal de la deuda, menor es el valor de los recursos propios de la empresa.

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3.1.2 Con posibilidad de una reorganización

Consideremos ahora el caso de que la empresa enT, no pudiendo devolver la deuda convalor norminalK y vencimiento enT, lleve a cabo una reorganización, posponiendo elpago de la deuda hastaT ′, conT ′ > T, momento en el que pagaráK′. Esta reorganiza-ción tendrá un costeA, conA≥ 0. Como vemos, no es necesario que el valor nominalde la nueva deuda sea mayor que el de la anterior. Esto se debe a que es posible que losacreedores de la empresa prefieran cobrar una cantidad inferior aK que arriesgarse aque la empresa se declare en suspensión de pagos y no cobrar nada.

Podemos estudiar este problema utilizando el concepto de opción de compra exten-sible propuesto por Longstaff (1990). Una opción de compra extensible es una opciónde compra que puede ejercerse en su fecha de ejercicio,T, pero que al mismo tiempopermite que su poseedor extienda el vencimiento de la opción hastaT ′, conT ′ > T,mediante el pago del coste de la extensión,A, conA≥ 0. Así, vemos que podemos con-siderar el valor de los recursos propios,S(V, t), como una opción de compra, extensiblesobre el valor de la empresa,V, con precios de ejercicioK, K′, vencimientosT, T ′, ycoste de la extensión,A.

Longstaff (1990) desarrolló una fórmula para este tipo de opciones. Los supuestosprevios al desarrollo de esta fórmula son los mismos que aparecen en el trabajo deForte y Peña (2003). Los resultados obtenidos para las opciones extensibles son portanto aplicables al estudio de la reorganización de las empresas introducido por Forte yPeña (2003).

LlamemosEC(V,K,K′,T,T ′,A) al valor actual de una opción de compra extensible,y C(V,K,T) al valor de una opción de compra europea ordinaria con precio de ejercicioK y vencimiento enT. Con esta notación, el pago de la opción extensible enT es:

max{0,C(VT ,K′,T ′−T)−A,VT −K} (11)

Esta función de pagos permite al poseedor de la opción elegir el máximo de tres pagosdiferentes, en lugar de solamente dos, como ocurre en el caso de una opción de comprasimple. Estos tres pagos son el valor de no extenderla, el valor de extender la opciónmediante el pago de A, y el valor de ejercer la opción. También podemos escribir (11)de la siguiente manera:

max{max{0,C(VT ,K′,T ′−T)−A},max{0,VT −K}} (12)

Expresando los pagos de esta forma, vemos que la función de pagos de una opción decompra extensible es el máximo de dos pagos: el valor de una opción de compra sobreotra opción de compra, esto es, el valor de una opción compuesta, y el valor de unaopción de compra simple.

Antes de pasar a la valoración de la opción de compra extensible y por tanto delos recursos propios de una empresa en caso de reorganización, debemos analizar los

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factores que determinan su valor. Podemos distinguir tres situaciones diferentes (véasela Figura 2):

- Si A > 0, existe un valor crítico deV enT, I1, por debajo del cual la opción nose extiende ni se ejerce, esto es, la opción expira sin valor. En el caso de unaempresa, significa que el valor de la empresa es tan bajo que no se reorganiza, nose extiende el plazo de la deuda, sino que se procede a la liquidación.

- Existe otro valor crítico deV en T, I2, por encima del cual la opción no se ex-tiende pero se ejerce, esto es, la empresa paga su deuda. En este caso no existereorganización.

- Si enT el valor de la empresa se encuentra entre estos dos valores, esto es,I1 ≤V ≤ I2, la opción se extiende, es decir, la empresa se reorganiza, emitiendo deudacon valor nominalK′ y vencimientoT ′ y pagando un coste de reorganizaciónigual aA, conA≥ 0.

El valor deI1 se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:

C(I1,K′,T ′−T) = A (13)

Esto es,I1 es aquel valor de la empresa para el cual, el valor de la opción al extender elpago de la deuda es igual al coste de llevar a cabo la reorganización. Además, se puededemostrar que:

A≤ I1 ≤ A+K′e−r(T ′−T) (14)

y que:

A = 0⇒ I1 = 0 (15)

Esto es, si el coste de reorganización es nulo, la empresa prefiere siempre reorganizarseque llevar a cabo una liquidación.

De manera similar, el valor deI2 se obtiene resolviendo:

C(I2,K′,T ′−T) = I2−K +A (16)

Además, tenemos que:

I1 < K ⇒ K < I2 ≤ ∞ (17)

y que:

A < K−K′e−r(T ′−T) ⇒ I2 = ∞ (18)

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Lo anterior significa que si el coste de la reorganización,A, es inferior aK−K′e−r(T ′−T),la empresa nunca paga la deuda enT, sino que extiende su vencimiento hastaT ′.

Por lo tanto, los recursos propios de esta empresa, con una sola deuda y con la po-sibilidad de llevar a cabo una reorganización, se pueden considerar como una opciónde compra extensible. Para valorarlos, utilizaremos la expresión ofrecida por Longstaff(1990) para valorar opciones extensibles, lo cual nos conduce a la siguiente proposi-ción:

Proposición 1 El valor actual de los recursos propios de una empresa financiada conun único bono cupón-cero, con valor nominal K y vencimiento en T, con la posibilidadde llevar a cabo una reorganización mediante la emisión de un nuevo bono cupón-cerocon valor nominal K′ y vencimiento en T′, teniendo esta reorganización un coste A,con A≥ 0, viene dado por la siguiente expresión:

S(V,0)≡ EC(V,K,K′,T,T ′,A) =

= C(V,K,T)+VN(γ1,γ2,−∞,γ3,ρ)

−K′e−rT ′N(γ1−

√σ2T,γ2−

√σ2T,−∞,γ3−

√σ2T ′,ρ)

−VN(γ1,γ4)+Ke−rT N(γ1−√

σ2T,γ4−√

σ2T)

−Ae−rT N(γ1−√

σ2T,γ2−√

σ2T) (19)

con:

γ1 =ln(V/I2)+(r +σ2/2)T√

σ2T(20)

γ2 =ln(V/I1)+(r +σ2/2)T)√

σ2T(21)

γ3 =ln(V/K′)+(r +σ2/2)T ′

√σ2T ′

(22)

γ4 =ln(V/K)+(r +σ2/2)T√

σ2T(23)

ρ =

√TT ′ (24)

y donde N(a,b,c,d,ρ) es la función de distribución de una normal estándar bivariantecon coeficiente de correlaciónρ para la región rectangular dada por[a,b]× [c,d], yN(a,b) es la función de distribución de la normal estándar univariante en el intervalo[a,b].

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El primer término de la expresión (19) corresponde al valor de una opción de com-pra simple sobreV con precio de ejercicioK y fecha de ejercicioT, es decir, el valor delos recursos propios de la empresa cuando no existe la posibilidad de reorganización.La suma del resto de términos representa el valor del derecho a extender el vencimientode la opción o "privilegio de extensión", es decir, el valor de la posibilidad de llevar acabo una reorganización. El privilegio de extensión,P, tiene un valor mayor o igualque cero, por lo que el valor de los recursos propios de una empresa con posibilidad dellevar a cabo una reorganización va a ser como mínimo el valor de los recursos propioscuando no existe dicha posibilidad. Para valorar el privilegio de extensión utilizaremosla siguiente expresión:

P = EC(V,K,K′,T,T ′,A)−C(V,K,T) (25)

Chung y Johnson (1994) ofrecen una fórmula equivalente para valorar la opción decompra extensible, que es la siguiente:

S(V,0)≡ EC(V,K,T,K′,T ′,A) =

= VN(d1(I2,T))−Ke−rT N(d2(I2,T))

+V[N2(−d1(I2,T),d1(K′,T ′),−ρ)−N2(−d1(I1,T),d1(K

′,T ′),−ρ)]

−K′e−rT ′[N2(−d2(I2,T),d2(K

′,T ′),−ρ)−N2(−d2(I1,T),d2(K′,T ′),−ρ)]

−Ae−rT [N(−d2(I2,T))−N(−d2(I1,T))] (26)

dondeρ =√

TT ′ , y dondeN(x) y N2(x,y,ρ) son respectivamente la probabilidad acumu-

lada de una normal univariante y de una normal bivariante con coeficiente de correlaciónρ, y con:

- d1(q, t) = ln(V/q)+(r+1/2σ2)tσ√

t

- d2(q, t) = d1−σ√

t

Esta ecuación es equivalente a la obtenida en Longstaff (1990) utilizando las siguientesrelaciones:

N(a,b) = N(b)−N(a) (27)

N(−a) = 1−N(a) (28)

N2(−a,b,ρ)+N2(a,b,−ρ) = N(b) (29)

N(a,b,c,d,ρ) = N2(b,d,ρ)−N2(a,d,ρ)−N2(b,c,ρ)+N2(a,c,ρ) (30)

N2(x,−∞,ρ) = 0 (31)

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La Figura 3 muestra el valor de la empresa en caso de que no exista la posibilidadde reorganización y en caso de que sí que exista2. Vemos que en caso de que exista laposibilidad de reorganización, el valor de los recursos propios de la empresa es mayorque en caso de que no exista dicha posibilidad. Por lo tanto, vemos cómo el modelorefleja los resultados obtenidos por Leland (1994) y Dumitrescu (2002), que afirmanque en caso de que exista la posibilidad de reorganización, el valor de los recursospropios es mayor. Además, se observa que esta diferencia entre el valor de los recursospropios sin y con posibilidad de reorganización es mayor para aquellos valores de laempresa situados entreI1 e I2, puesto que es entonces cuando la empresa se reorganiza.

En la Figura 4 estudiamos la relación entre el coste de reorganización y los valoresI1 e I2. Podemos ver que cuanto mayor es el coste de reorganización,A, mayor es elvalor de la empresa a partir del cual la empresa refinancia su deuda,I1, y menor es elvalor de la empresa a partir del cual la empresa paga su deuda en lugar de refinanciarla,I2, puesto que la reorganización es más costosa.

En la sección 2.1. hemos indicado que para Franks y Torous (1994) el valor de laopción a retrasar el pago de la deuda es mayor cuanto más cerca esté el valor nominalde la deuda del valor de la empresa. Como hemos visto anteriormente, el valor de laopción a extender el vencimiento de la deuda consiste en la diferencia entre el valorde los recursos propios de la empresa cuando existe la posibilidad de llevar a cabo unareorganización y el valor de los recursos propios de la empresa cuando no existe dichaposibilidad, es decir, en la diferencia entre el valor de una opción de compra extensibley el valor de una opción de compra estándar. En la Figura 5 podemos ver cómo nuestromodelo de valoración de los recursos propios es consistente con los resultados de Franky Torous (1984): el valor del derecho a extender el vencimiento de la deuda crece conel valor nominal de ésta. De igual manera, podemos observar cómo el valor máximode la opción a extender el pago de la deuda se alcanza cuando el valor de la empresase encuentra entre los límites de extensión,I1 e I2, pues es entre dichos valores dondetiene lugar la extensión del vencimiento de la deuda.

3.1.3 Con posibilidad de varias reorganizaciones

Consideremos una empresa con una sola deuda con vencimiento enT1 y valor nominalK1 que puede refinanciar su deuda emitiendo nueva deuda, con valor nominal igual aK2, vencimiento enT2, y con un coste de reorganización igual aA1, conA1≥ 0. Una vezenT2, si la empresa no puede hacer frente a la devolución de la deuda con nominalK2,puede llevar a cabo una nueva reorganización, con costeA2, conA2≥ 0, emitiendo nue-va deuda con valor nominalK3 y vencimiento enT3, conT3 ≥ T2. Y así sucesivamentehasta llegar aTn−1, donde la empresa podrá refinanciar su deuda emitiendo deuda convalor nominalKn y vencimiento enTn mediante el pago deAn−1, conAn−1 ≥ 0. Paravalorar los recursos propios de la empresa en este caso necesitaremos una expresión

2Para el cálculo de la probabilidad acumulada de la distribución normal bivariante que aparece en lasexpresiones (19) y (26), hemos utilizado la aproximación ofrecida por Curnow y Dunnett (1962), quepuede verse detenidamente en el Apéndice.

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que recoja estas nuevas posibles extensiones del pago.Siguiendo el esquema planteado en el apartado anterior, consideraremos el valor

de los recursos propios de la empresa como una opción de compra extensiblen− 1veces, cuya fórmula de valoración se desarrolla en Chung y Johnson (1994). Se trata deuna opción con precios de ejercicioKi , y vencimientos enTi , con i = 1, . . . ,n, y costede extensiónAi , parai = 1, . . . ,n−1. Al igual que en el caso de la opción extensibleuna sola vez, dependiendo del precio del activo subyacente enTi , Vi , tendremos tressituaciones diferentes:

- Si el valor de la empresa,Vi , es menor que un valor críticoI i1, la opción expirará

sin valor, esto es, la empresa no se reorganiza y lleva a cabo su liquidación.

- Si Vi es mayor que un valor críticoI i2, la opción se ejerce, esto es, la empresa

satisface el pago de la deuda.

- Si I i1 < Vi < I i

2, la empresa pagaAi y la opción se extiende hastaTi+1, esto es, laempresa refinancia su deuda mediante la emisión de nueva deuda.

Para obtener los valores deI i1 e I i

2 debemos resolver las siguientes ecuaciones3:

C(In−11 ,Kn,Tn−Tn−1) = An−1 (32)

ECn−i(Ii1,Ki+1, . . . ,Kn,Ti+1−Ti , . . . ,Tn−Ti ,Ai+1, . . . ,An−1) =

= Ai , i = 1,2, . . . ,n−2 (33)

C(In−12 ,Kn,Tn−Tn−1) = In−1

2 −Kn−1 +An−1 (34)

ECn−i(Ii2,Ki+1, . . . ,Kn,Ti+1−Ti , . . . ,Tn−Ti ,Ai+1, . . . ,An−1) =

= I i2−Ki +Ai , i = 1,2, . . . ,n−2 (35)

dondeECn(V,K1, . . . ,Kn,T1, . . . ,Tn,A1, . . . ,An−1) es el valor de una opción de compraextensiblen−1 veces, con precio de ejercicioK1 enT1, precio de ejercicioKi y costede extensiónAi , a pagar enTi , coni = 2, . . . ,n.

Por tanto, para valorar los recursos propios de esta empresa con una única deuda,y con la posibilidad de llevar a cabo varias reorganizaciones, los consideraremos comouna opción de compra extensible varias veces. Para valorarlos, podemos utilizar la fór-mula de valoración para opciones extensibles varias veces dada por Chung y Johnson(1994), lo cual nos lleva a la siguiente proposición:

3Ha sido necesaria la corrección de algunos errores. En el trabajo original de Chung y Johnson (1994)las ecuaciones (33) y (35) incluyen como costes de extensiónAi ,Ai+1, . . . ,An−1, que como hemos vistoanteriormente, serían los costes de extensión a incluir en una opción extensiblen− i veces, y no en unaopción extensiblen− i−1 veces, como es el caso.

13

Proposición 2 Los recursos propios de una empresa financiada con un único bonocupón-cero, en caso de que sea posible llevar a cabo n−1 reorganizaciones, se puedenconsiderar como una opción de compra extensible n− 1 veces sobre el valor de laempresa, V , con precios de ejercicio el valor nominal de la deuda inicial, K1, y losvalores nominales de las nuevas deudas, K2, K3, . . . , Kn, y fechas de ejercicio la fechade vencimiento de la deuda inicial, T1, y de las nuevas deudas, T2, T3, . . . , Tn, y costes deextensión los costes de reorganización, A1, A2,. . . , An−1. Aplicando la fórmula obtenidapor Chung y Johnson (1994)4 para opciones de compra extensibles n−1 veces, es decir,con n períodos, tenemos que la expresión para los recursos propios es la siguiente:

S(V,0)≡ ECn(V,K1, . . . ,Kn,T1, . . . ,Tn,A1, . . . ,An−1) =

= VN(d1(I12,T1))−K1e−rT1N(d2(I

12,T1))

+V{

N2(d1(I11,T1),d1(I

22,T2),ρ12)−N2(d1(I

12,T1),d1(I

22,T2),ρ12)

}+ . . .

+V{

Nn(d1(I11,T1),d1(I

21,T2), . . . ,d1(Kn,Tn),ρ12,ρ13, . . . ,ρn−1,n)

−Nn(d1(I12,T1),d1(I

22,T2), . . . ,d1(Kn,Tn),ρ12,ρ13, . . . ,ρn−1,n)

}−K2e−rT2

{N2(d2(I

11,T1),d2(I

22,T2),ρ12)−N2(d2(I

12,T1),d2(I

22,T2),ρ12)

}− . . .

−Kne−rTn{

Nn(d2(I11,T1),d2(I

21,T2), . . . ,d2(Kn,Tn),ρ12,ρ13, . . . ,ρn−1,n)

−Nn(d2(I12,T1),d2(I

22,T2), . . . ,d2(Kn,Tn),ρ12,ρ13, . . . ,ρn−1,n)

}−A1e−rT1

{N(d2(I

11,T1))−N(d2(I

12,T1))

}−A2e−rT2

{N2(d2(I

11,T1),d2(I

21,T2),ρ12)−N2(d2(I

12,T1),d2(I

22,T2),ρ12)

}− . . .

−An−1e−rTn−1{

Nn−1(d2(I11,T1),d2(I

21,T2), . . . ,d2(I

n−11 ,Tn−1),ρ12,ρ13, . . . ,ρn−1,n)

−Nn−1(d2(I12,T1),d2(I

22,T2), . . . ,d2(I

n−12 ,Tn−1),ρ12,ρ13, . . . ,ρn−1,n)

}(36)

donde Nn es la función de distribución de una variable aleatoria normal n-variante,

ρi j = ±√

TiTj

, con i< j, donde el signo viene dado por el producto de los signos que

preceden a d1 y/o d2, y:

d1(q, t) =ln(V/q)+(r +1/2σ2)t

σ√

t

d2(q, t) = d1−σ√

t

4Ha sido necesario corregir algunos errores en dicha fórmula puesto que los autores parten dela siguiente equivalenciaNn(a1,a2, . . . ,an,ρa) − Nn(b1,b2, . . . ,bn,ρb) =Nn(−b1,−b2, . . . ,bn,−ρb) −Nn(−a1,−a2, . . . ,an,−ρa), dondeρa y ρb son matrices de correlaciones.

14

Debemos darnos cuenta de que sin = 2, esta ecuación coincide con el caso de unaúnica posibilidad de reorganización, estudiado en la sección anterior.

En el caso de que la empresa tenga la posibilidad de llevar a cabon−1 reorgani-zaciones, el valor del privilegio de extensión,P, vendrá dado por la diferencia entre elvalor de los recursos propios cuando existe la posibilidad den−1 reorganizaciones yel valor de los recursos propios cuando no existe dicha posibilidad, esto es:

P = ECn(V,K1, . . . ,Kn,T1, . . . ,Tn,A1, . . . ,An−1)−C(V,K,T) (37)

Como aplicación, supongamos que una empresa con deuda con valor nominalK1 yvencimiento enT1 acuerda de antemano con sus acreedores una ampliación del pago dela deuda de forma que se pueda devolverK2 enT2 o, si no le es posible, pagarK3 enT3,mediante el abono deA1 enT1 y A2 enT2, conA1≥ 0 y A2≥ 0. El valor de los recursospropios de esta empresa vendrá dado por el valor de una opción de compra extensibledos veces, con precios de ejercicioK1, K2 y K3, fechas de ejercicioT1, T2 y T3 y costesde extensiónA1 y A2.

En la Figura 6 representamos gráficamente el valor de los recursos propios de unaempresa que tiene la posibilidad de llevar a cabo dos reorganizaciones. Mostramostambién el valor de los recursos propios cuando la empresa puede llevar a cabo unareorganización o ninguna. Observemos cómo el valor de los recursos propios es mayorcuantas más posibilidades de reorganización existan. Además, la diferencia es mayorpara aquellos valores comprendidos entre los límitesI i

1 e I i2, puesto que cuando el valor

de la empresa se encuentra entre estos valores, es cuando se lleva a cabo la reorganiza-ción de la empresa.

Por otro lado, en la Figura 7 estudiamos en primer lugar la relación existente entreel coste de la primera reorganización,A1 y los límites enT1, esto es,I1

1 e I12. Vemos

que cuanto mayor esA1, mayor esI11. Esto se debe a que cuanto mayor sea el coste de

reorganizarse, mayor será el valor de la empresa a partir del cual ésta se reorganiza. ConI12 sucede lo contrario.I1

2 disminuye al aumentarA1, esto es, cuanto mayor esA1, menores el valor de la empresa hasta el cual ésta se reorganiza, puesto que la reorganizaciónes más costosa. En la Figura 7 también podemos ver la relación entre el coste de lasegunda reorganización,A2, y los valores deI1

1, I12, I2

1 e I22. Al igual que ocurría conA1,

I i1 aumenta conA2. A mayorA2, mayor esI i

1, esto es, mayor es el valor de la empresaa partir del cual se lleva a cabo la reorganización. Y, de forma contraria, a mayorA2,menor es el valor deI i

2 obtenido, esto es, cuanto más costosa sea la reorganización,menor será el valor de la empresa a partir del cual ésta hace frente a sus deudas en lugarde llevar a cabo la reorganización.

En la Figura 8 podemos ver el valor del derecho a retrasar el pago de la deudacuando la empresa tiene un sólo tipo de deuda y existe la posibilidad de llevar a cabodos reorganizaciones. Este valor lo hemos calculado restando al valor de los recursospropios de esta empresa el valor que tendrían los recursos propios en caso de que nopudiese llevar a cabo dos reorganizaciones. Al igual que en el caso de una única reor-ganización posible, el valor de la opción a extender el pago de la deuda es mayor amayor valor nominal de la deuda. Además, podemos ver también que se cumple que el

15

valor máximo se encuentra para valores de la empresa comprendidos entre los límitesde extensión,I i

1 e I i2.

3.2 Varias deudas

En esta sección estudiamos el valor de los recursos propios cuando la deuda de laempresa está compuesta por varias deudas con diferentes vencimientos. En particular,analizaremos el caso de que la empresa tenga una deuda a corto plazo y una deuda alargo plazo.

En primer lugar, valoramos los recursos propios cuando no existe la posibilidad dereorganización por parte de la empresa, y más tarde, cuando sí existe la posibilidad dereorganización, bien mediante una única refinanciación de la deuda o mediante varias.

3.2.1 Sin posibilidad de reorganización

Sea una empresa con deuda a corto plazo con valor nominalK1 y vencimiento enT1, ydeuda a largo plazo con valor nominalK2 y vencimiento enT2, conT2 > T1. Para valorarlos recursos propios de esta empresa seguiremos el esquema utilizado por Geske (1977)y más tarde corregido por Geske y Johnson (1984).

Geske (1977) aplica la técnica de valoración de opciones compuestas a la valoraciónde un bono con pago de cupones y riesgo de impago. Como caso particular de esteproblema, se valoran los recursos propios de una empresa cuya deuda está compuestapor dos bonos cupón-cero con valores nominalesK1 y K2, y vencimientos enT1 y T2,con T2 > T1. En el desarrollo de la expresión, Geske utiliza la teoría de Rubinstein(1976) para descontar flujos inciertos, que puede verse en el Apéndice B.

Aplicando dicha teoría, Geske y Johnson (1984) llegan a la siguiente expresión parael valor de los recursos propios de la empresa:

S= VN2(h1,h2,ρ)−K2e−rT2N2(h′1,h

′2,ρ)−K1e−rT1N(h′1) (38)

donde:

h1 =ln(V/V∗

1 )+(r +σ2/2)T1

σ√

T1

(39)

h′1 = h1−σ√

T1 (40)

h2 =ln(V/K2)+(r +σ2/2)T2

σ√

T2

(41)

h′2 = h2−σ√

T2 (42)

ρ =

√T1

T2(43)

16

y dondeV∗1 es el valor crítico de la empresa para el cual existe quiebra enT1, es decir,

aquel valor que satisface la ecuaciónV∗1 = K1 +K1

2. Para obtenerK12, debemos fijarnos

que enT2, si el valor de la empresa es mayor que el valor nominal de la deuda quevence en esa fecha, esto es, siV2 > K2, los acreedores recibirán el valor nominal de ladeuda, y los accionistas recibirán la diferencia entre el valor de la empresa y el valorde la deuda. Si por el contrario el valor de la empresa enT2 es inferior al valor nominalde la deuda,K2, los acreedores recibirán los activos de la empresa,V2, y los accionistasno recibirán nada. En otras palabras, podemos decir que enT2 los accionistas recibenmax(V2−K2,0). Por lo tanto, siguiendo Merton (1974), podemos decir que enT1 losaccionistas poseen una opción de compra sobre el valor de la empresa enT1, con fechade ejercicioT2, y precio de ejercicioK2. De este modo, el valor enT1 de la deuda convalor nominalK2, será igual al valor de la empresa enT1 menos el valor de los recursospropios, esto es:

K12 = V1−C(V1,K2,T2−T1) =

= V1[1−N(a)]+K2e−r(T2−T1)N(b) (44)

donde:

a =ln(V1/K2)+(r + 1

2σ2)(T2−T1)σ

√T2−T1

(45)

b = a−σ√

T2−T1 (46)

Consideremos una empresa financiada con dos bonos cupón-cero. En la Figura 9vemos el valor para los recursos propios obtenido mediante la aplicación de la expresión(38). En la Figura 10 analizamos la influencia del valor nominal de la deuda a corto y alargo plazo en el valor de los recursos propios de la empresa. Vemos que tanto para ladeuda a corto plazo como para la deuda a largo plazo se cumple que cuanto mayor esel valor nominal de la deuda, menor es el valor de los recursos propios.

3.2.2 Con posibilidad de una o varias reorganizaciones

Consideremos ahora el caso de una empresa con varias deudas que tiene la posibilidadde refinanciar una de sus deudas en caso de que llegado el vencimiento de dicha deu-da no pueda hacer frente a su devolución. En esta sección trataremos de obtener unaexpresión general que se pueda aplicar tanto para el caso de que la empresa tenga unaúnica posibilidad de reorganización como varias posibilidades.

Sea una empresa con dos deudas con valores nominalesK1 y K2, y vencimientosT1y T2. SeaK2≡ K(1)

2y T2≡ T(1)

2. Supongamos que la empresa, llegadoT(1)

2, si no puede

hacer frente al pago deK(1)2

, tiene la posibilidad de refinanciar la deuda mediante la

emisión de nueva deuda con valor nominalK(2)2

y vencimiento enT(2)2

, con un coste

17

A(1), A(1) ≥ 0. Una vez enT(2)2

, si la empresa no puede satisfacerK(2)2

, puede llevar a

cabo una nueva reorganización, con costeA(2), conA(2) ≥ 0, emitiendo nueva deudacon valor nominalK(3)

2y vencimientoT(3)

2, conT(3)

2> T(2)

2. Y así sucesivamente hasta

llegar aT(n−1)2

, donde la empresa podrá refinanciar su deuda emitiendo deuda con valor

nominalK(n)2

y vencimiento enT(n)2

, mediante el pago deA(n−1).Para valorar los recursos propios de esta empresa seguiremos la teoría de Rubinstein

(1974), que puede analizarse detenidamente en el Apéndice B. Esta teoría supone quetodas las carteras de activos con idénticos pagos deben valer lo mismo. También suponeque si los inversores no están saciados, debe existir un conjunto de variables aleatorias,{Z}, con factor de descuento positivo, de tal modo que todos los ativos puedan servalorados. Si llamamosX[s(t)] al flujo generado por un activo ent, el precio actual dedicho activo viene dado por:

P0 =∞

∑t=1

∫{s}

X[s(t)]Z[s(t)] (47)

DefiniendoZ′t ≡ Z[s(t)]/π[s(t)], dondeπ[s(t)] es una medida de probabilidad, la expre-sión (47) se puede escribir de la siguiente manera:

P0 = ∑t

E[XtZ′t ] (48)

Así, cualquier flujo incierto se puede valorar utilizando la esperanza. De este modo, elvalor actual de la deuda de la empresa vendrá dado por el valor esperado descontadode los flujos que recibirán los acreedores de la empresa. Consideremos el vencimientode la primera deuda,T1. En caso de que enT1 no exista quiebra, el valor de la deudaseráK1, que los acreedores recibirán en ese momento, más el valor enT1 de la deudacon vencimiento enT2, esto es,K1

2. En caso de que enT1 exista quiebra, los acreedoresrecibirán el valor de la empresa,V1. LlamemosV∗

1 al valor crítico de la empresa para elque existe quiebra enT1, es decir, aquel valor que satisface la ecuaciónV∗

1 = K1 +K12.

De este modo, lo anterior se puede reflejar en la siguiente expresión:

B = E[V1Z′1|V1 < V∗1 ]+E[(K1

2 +K1)Z′1|V1 > V∗

1 ] (49)

Para obtener el valor enT1 de la deuda con valor nominalK2, K12, consideremos

los recursos propios de la empresa enT1, justo después de la devolución de la deu-da con valor nominalK1. Conociendo las posibilidades de refinanciación de la deudacon nominalK(1)

2, podemos considerar que enT1 los accionistas poseen una opción de

compra extensiblen−1 veces sobre el valor de la empresa enT1, V1, con precios deejercicioK(1)

2,K(2)

2, . . . ,K(n)

2, fechas de ejercicioT(1)

2,T(2)

2, . . . ,T(n)

2y costes de exten-

siónA(1),A(2), . . . ,A(n−1). Por lo tanto, el valor enT1 de la deuda con valor nominalK2

18

viene dado por la siguiente expresión:

K12 = V1−ECn(V1,K

(1)2

, . . . ,K(n)2

,T(1)2

−T1, . . . ,T(n)2

−T1,A(1), . . . ,A(n−1)) (50)

que se puede calcular aplicando la expresión (36)Una vez conocida la expresión paraK1

2(V1), la sustituimos en la expresión (49). Elresultado ofrecido por dicha expresión dependerá de la relación estocástica entreVt yZ′t .

Supuesto 2Los cambios en el valor de la empresa siguen un paseo aleatorio esta-cionario, el valor de la empresa, Vt , y la variable aleatoria Z′t , son variables lognor-males conjuntamente distribuidas para todo t, la empresa no paga dividendos, y losinversores están de acuerdo sobre la varianza del logaritmo de los cambios en el valorde la empresa.

Podemos definir la variable aleatoriaZ′t tal queZ′t ≡XtR−1Ft

/E(Xt). DefiniendoWt ≡Vt/Vt−1, tenemos que:

E(WZ′t) = 1 (51)

E(Z′t) = R−1Ft

(52)

Seawt ≡ lnWt , y seay≡ lnZt . Puesto que hemos supuesto queWt y Z′t son variableslognormales conjuntamente distribuidas,w ey serán variables normales conjuntamentedistribuidas con función de densidad conjuntaf (w,y).

Aplicando las expresiones (51), (52), y los resultados (3) y (8) del Apéndice C,podemos enunciar la siguiente proposición:

Proposición 3 El valor de los recursos propios de una empresa financiada con dosdeudas con valores nominales K1 y K2, y vencimiento en T1 y T2, y que tiene la posibili-dad de llevar a cabo varias reorganizaciones mediante la refinanciación de la segundade sus deudas, viene dado por la siguiente expresión:

S= V−B (53)

con:

B =∫ ∞

−∞

∫ ln(V∗1 /V)

−∞Vewey f (w,y)dwdy

+∫ ∞

−∞

∫ ∞

ln(V∗1 /V)

K12ey f (w,y)dwdy+

∫ ∞

−∞

∫ ∞

ln(V∗1 /V)

K1ey f (w,y)dwdy (54)

19

donde K12 viene dado por la expresión (50), para la que utilizamos las siguientes igual-

dades:

d1(q, t) =w+ ln(V)− ln(q)+(r +1/2σ2)t

σ√

t(55)

d2(q, t) = d1(q, t)−σ√

t (56)

donde w≡ lnWt .

Para ver la aplicación de el modelo, consideremos el caso de una empresa con dosdeudas con posibilidad de llevar a cabo una reorganización mediante la refinanciaciónde la segunda de ellas. En la Figura 11 comparamos el valor de los recursos propiosde esta empresa cuando existe la posibilidad de llevar a cabo una reorganización ycuando no existe dicha posibilidad. Para la obtención del valor de los recursos pro-pios en caso de que exista la posibilidad de reorganización hemos utilizado el modeloaquí propuesto, dado por (53). La implementación de dicha expresión requiere la uti-lización de aproximaciones numéricas que originan formas gráficas menos exactas quelas obtenidas para el caso de una única deuda. Sin embargo, observamos que ésto noimpide que el modelo satisfaga los resultados de Leland (1994) y Dumitrescu (2002),esto es, que el valor de los recursos propios de la empresa es mayor cuando existe laposibilidad de llevar a cabo una reorganización.

En la Figura 12 analizamos la influencia del valor nominal de cada una de las deudassobre el valor de los recursos propios de la empresa. En el gráfico superior de dichafigura se observa la influencia del valor deK1 y en el gráfico inferior se observa lainfluencia del valor deK2. En ambos casos vemos que cuanto mayor es el valor nominalde la deuda menor es el valor de los recursos propios de la empresa.

4 Conclusiones

En este trabajo hemos desarrollado un modelo de valoración de los recursos propios yla deuda de una empresa en caso de que ésta pueda llevar a cabo la renegociación de sudeuda en situación de crisis financiera. En la literatura encontramos artículos que estu-dian la reorganización de las empresas pero no ofrecen una expresión para los recursospropios o la deuda de la empresa. Además, en dichos artículos no se contempla la posi-bilidad de que los acreedores prefieran rebajar la deuda con el objetivo de recuperar sucapital, esto es, que el valor nominal de la nueva deuda pueda ser inferior al de la deudaa refinanciar. Y, por otro lado, tampoco permiten que las negociaciones necesarias parallevar a cabo la reorganización tengan un coste.

En este trabajo hemos logrado cubrir las limitaciones encontradas en dichos traba-jos. Hemos considerado dos estructuras de deuda diferentes: empresas con un único

20

tipo de deuda, y empresas con dos tipos de deuda. Para ambos casos hemos contem-plado tres situaciones: que la empresa no pueda llevar a cabo una reorganización, quepueda lleva a cabo una única reorganización o que pueda llevar a cabo varias reorgani-zaciones. En el caso de un único tipo de deuda, hemos utilizado el modelo de Merton(1974) para valorar los recursos propios cuando no existe la posibilidad de reorgani-zación. Cuando existe la posibilidad de una única reorganización, hemos aplicado elconcepto de opción extensible propuesto por Longstaff (1990) y para el caso de variasreorganizaciones, hemos aplicado el concepto de opción extensiblen veces desarrolla-do por Chung y Johnson (1994). Cuando la deuda de la empresa está formada por dostipos de deuda diferentes y no existe la posibilidad de reorganización, hemos utilizadoel modelo de Geske y Johnson (1984). En el caso de que la empresa sí pueda refinanciaruna de sus deudas una o varias veces, hemos desarrollado una fórmula de valoraciónpara opciones compuestas extensibles varias veces.

Mediante la aplicación de las expresiones obtenidas hemos comprobado cómo elmodelo corrobora la evidencia empírica obtenida por Franks y Torous (1994), de-mostrando que cuanto mayor es la importancia de la deuda en el pasivo de una empresa,mayor es el valor de la opción a extender el vencimiento de la deuda. Por otra parte,hemos visto cómo el modelo sostiene las conclusiones obtenidas por Leland (1994) yDumitrescu (2002), esto es, el valor de los recursos propios es mayor cuando existe laposibilidad de llevar a cabo una reorganización. Además, hemos analizado la influenciadel coste de reorganización, obteniendo que cuanto mayor es dicho coste, menor es elvalor de los recursos propios, ya sea una empresa con un tipo de deuda o con variasdeudas, y ya exita una sola posibilidad de reorganización o varias. También hemos vis-to que el valor a partir del cual la empresa se reorganiza es mayor cuanto mayor es elcoste de dicha reorganización.

21

Apéndice A: Aproximación de la función de distribuciónde la distribución Normal Multivariante

En este trabajo hemos utilizado la aproximación propuesta por Curnow y Dunnett(1962) para calcular el valor de la función de distribución de la normal multivariante.

SeaNn la probabilidad acumulada de una distribución normal conn variables. Estoes:

Nn(h1,h2, . . . ,hn;{ρi j}) =∫ h1

−∞

∫ h2

−∞. . .

∫ hn

−∞f (x1,x2, . . . ,xn;{ρi j})dx1 . . .dxn (1)

dondef es la función de densidad de dicha distribución normal y{ρi j} es la matriz decorrelación de las variablesXi , con i, j = 1, . . . ,n. Estas variablesXi pueden generarsea partir den+ 1 variables estándarZ1,Z2, . . . ,Zn e Y, utilizando la siguiente transfor-mación:

Zi =Xi −δiY

(1−δ 2i )

12

(2)

dondeδi = cov(Xi ,Y).En el caso de que la matriz de correlaciones tenga la estructuraρi j = γi/γ j , donde∣∣γi

∣∣ <∣∣∣γ j

∣∣∣, coni < j, Curnow y Dunnett (1962) desarrollan una fórmula para la integral

(1), que la reduce de dimensiónn a una de dimensiónn/2 sin es par, o a(n−1)/2 sines impar. La expresión es la siguiente:

Nn(h1,h2, . . . ,hn;{ρi j}) =∫ h2

−∞N(h′1)Nn−2(h

′i ;ρi j2; i 6= 1,2) f (y)dy (3)

donde:

ρi j2 =ρi j −ρi2ρ j2

(1−ρi2)1/2(1−ρ j2)1/2

h′i =hi −ρi2y

(1−ρ2i2)

12

Paran = 2, (3) queda de la siguiente forma:

N2(h1,h2, ;{ρi j}) =∫ h2

−∞N

(h1− γ1y/γ2

(1− γ21/γ2

2)1/2

)f (y)dy (4)

Paran = 3, (3) queda como sigue:

N3(h1,h2,h3;{ρi j}) =∫ h2

−∞N

(h1− γ1y/γ2

(1− γ21/γ2

2)1/2

)N

(h3− γ2y/γ3

(1− γ22/γ2

3)1/2

)f (y)dy (5)

22

y, paran = 4:

N4(h1,h2,h3,h4;{ρi j}) =

=∫ h2

−∞N

(h3− γ2y/γ3

(1− γ22/γ2

3)1/2

)[∫ h′4

−∞N

(h′3− γ ′3z/γ ′4

(1− γ ′32/γ ′4

2)1/2

)f (z)dz

]f (y)dy (6)

donde:

γ′i = (γ2

i − γ22)1/2

h′i =hi −ρi2y

(1−ρ2i2)

12

23

Apéndice B: Teoría de Rubinstein (1976) para descontarflujos inciertos

Geske, en su trabajo de 1977, parte de la teoría expuesta por Rubinstein (1976) paradescontar flujos inciertos, que explicamos a continuación.

Supongamos que existen estados de la naturaleza tales que dada la revelación delestado en cada fecha, el flujo de caja recibido por cada activo es conocido con certeza.Seas(t) el estado en la fechat, cont = 0,1, . . . , X[s(t)] el dividendo proporcionado porun activo en el estados(t), y P[s(t)] el precio del activo ens(t). Los supuestos son lossiguientes:

(1) Se cumple la ley del precio único, esto es, si dos activos o dos carteras de activos,producen los mismos flujos para cada estado futuro, sus precios actuales debenser iguales. Dado que no puede haber más activos linealmente independientesque estados, debe existir un conjunto de variables aleatorias {Z[s(t)]}, el mismopara todos los activos, tal que para cualquier activo se cumpla:

P0 = Σ∞t=1Σs(t)Z[s(t)]X[s(t)] (1)

El número de variables aleatorias no será único a no ser que el número de activoslinealmente independientes iguale al número de estados. Definamos un activonormalizado sin riesgo para una fechat como aquel que paga un dividendo ciertode X[s(t)] = 1 en t y de cero en cualquier otra fecha. Además, llamandoR−1

Ftal precio actual del activo normalizado libre de riesgo en fechat, tenemos queR−1

Ft= Σs(t)Z[s(t)].

(2) Ceteris paribus, a mayor dividendo para cada estado, mayor valor actual del ac-tivo. Lo cual significa queZ[s(t)] > 0 ∀ s(t).

Rubinstein (1976), partiendo de los supuestos anteriores, llamaπ[s(t)] a la probabili-dad ent = 0 de que el estados(t) ocurra. Si definimos la variable aleatoriaZ′[s(t)] ≡Z[s(t)]/π[s(t)], entonces se cumple que:

P0 = ΣtE(XtZ′t) (2)

De este modo, podemos decir que cualquier flujo incierto puede valorarse aplicando laesperanza.

24

Apéndice C: Propiedades de la normal bivariante

En la sección 3.2. hemos utilizado algunos resultados obtenidos para la distribuciónnormal bivariante. A continuación mostraremos cómo obtener dichos resultados.

Seanx e y variables aleatorias normales, conµx ≡ E(x), µy ≡ E(y), σ2x ≡Var(x),

σy ≡Var(y), ρ ≡ ρ(x,y). La función de densidad conjunta vine dada por la siguienteexpresión:

f (x,y) =1

2π

√σ2

x σ2y (1−ρ2)

×e− 1

2(1−ρ2)

[(x−µx)2

σ2x

−2ρ(x−µx)(y−µy)

σxσy+

(y−µy)2

σ2y

](1)

y la función de densidad marginal dex ( y similarmente dey) es:

(2)Los resultados utilizados en el artículo son los siguientes:

Lema 1∫ ∞

−∞

∫ ∞

aey f (w,y)dwdy= eµy+ 1

2σ2y N

(−a+ µw

σw+ρσy

)(3)

Demostración:Como sabemos, la función de densidad marginal dew , f (w), vienedada por:

f (w)≡∫ ∞

−∞f (w,y)dy=

1

σw√

2πe

[− 1

2σ2w

(w−µw)2

](4)

por lo tanto, podemos escribir lo siguiente:

∫ ∞

aew f (w)dw= eµw+1/2σ2

w

∫ ∞

a

1

σw√

2πe− 1

2σ2w

[w−(µw+σ2

w)]2

dw (5)

Aplicando (5) al caso dey y sustituyendoa por−∞, podemos demostrar que se cumplelo siguiente:

∫ ∞

−∞ey f (y|w)dy= eµy+ρ

µyµw

(w−µw)+ 12(1−ρ2)σ2

y (6)

y de este modo tenemos que:∫ ∞

−∞

∫ ∞

aey f (w,y)dwdy=

∫ ∞

af (w)

[∫ ∞

−∞ey f (y|w)dy

]dw=

25

=∫ ∞

aeµy+ρ

σyσw

(w−µw)+ 12(1−ρ2)σ2

y f (w)dw=

= eµy+ 12σ2

y

∫ ∞

a

1

σw√

2πe− 1

2σ2w

[w−(µw+ρσwσy)]2dw (7)

quedando así demostrado el primer resultado.

Lema 2∫ ∞

−∞

∫ ∞

aewey f (w,y)dwdy= eµw+µy+ 1

2(σ2w+2σwσy+σ2

y )N

(−a+ µw

σw+ρσy+σw

)(8)

Demostración:Podemos escribir el primer miembro de esta ecuación de la siguien-te forma:∫ ∞

−∞

∫ ∞

aewey f (w,y)dwdy=

∫ ∞

aew f (w)

[∫ ∞

−∞ey f (y|w)dy

]dw (9)

y utilizando (6), lo anterior queda de la siguiente forma:

∫ ∞

−∞

∫ ∞

aewey f (w,y)dwdy=

=∫ ∞

aeµy+ρ

σyσw

(w−µw)+ 12(1−ρ2)σ2

y ew f (w)dw=

=∫ ∞

a

1

σw√

2πe

µy+ρσyσw

(w−µw)+ 12(1−ρ2)σ2

y +w− 12σ2

w(w−µw)2

dw (10)

quedando este segundo resultado demostrado.

26

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28

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Valor de la empresa

Val

or d

e lo

s re

curs

os p

ropi

os

K = 9K = 10K = 11

Figura 1: Valor de los recursos propios en función del valor de la empresa cuandoésta tiene una única deuda y no existe la posibilidad de reorganización, para diferentesvalores nominales de la deuda. Los datos utilizados sonT = 0,2, r = 0,06 yσ = 0,2. Ktoma diferentes valores: 9, 10 y 11.

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

I1

I2

Precio del activo subyacente

Val

or d

e la

opc

ion

desp

ues

de la

ext

ensi

on

Figura 2: Valor de una opción de compra extensible tras pagar el coste de la extensión.Los datos utilizados sonr = 0,06,σ = 0,2,K = 10,T = 0,2,K′ = 11,T ′ = 1 y A= 0,03.

29

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 120

0.5

1

1.5

2

2.5

I1

I2Valor de la empresa

Val

or d

e lo

s re

curs

os p

ropi

os

Con posibilidad de reorganizacionSin posibilidad de reorganizacion

Figura 3: Valor de los recursos propios de una empresa que tiene una sola deuda cuandoexiste la posibilidad de llevar a cabo una reorganización y cuando no existe dicha po-sibilidad. El tipo de interés libre de riesgo es el 0,06 anual, la varianza del rendimientodel valor de la empresa es el 0,04 anual, el vencimiento inicial de la deuda es 0,2 años,y el ampliado 1 año. El precio inicial de la deuda es de 10, el precio nuevo de la deudaes de 11 y el coste de la reorganización es de 0,03 unidades monetarias.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

A

I 1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.210

10.5

11

11.5

12

A

I 2

Figura 4: Relación entre el coste de reorganización,A, e I1 e I2 para una empresa conuna sola deuda y una única posibilidad de reorganización. Los datos utilizados sonr = 0,06,σ = 0,2, K = 10,T = 0,2, K′ = 11,T ′ = 1.

30

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 120

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Valor de la empresa

Val

or d

el d

erec

ho a

ext

ende

r el v

enci

mie

nto

de la

deu

da

I2(K=9)

I2(K=9.5)

I1

I2(K=10)

K = 10K = 9.5K = 9

Figura 5: Valor del derecho a extender el vencimiento de la deuda cuando la empresatiene una única deuda y existe la posibilidad de llevar a cabo una reorganización. Losdatos utilizados sonr = 0,06, σ = 0,2, T = 0,2, T ′ = 1, K = 9, 9,5, 10, K′ = 11,A = 0,03.

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 120

0.5

1

1.5

2

2.5

Valor de la empresa

Val

or d

e lo

s re

curs

os p

ropi

os

I11 I

12 I

21 I

22

Con posibilidad de dos reorganizacionesCon posibilidad de una reorganizacionSin posibilidad de reorganizacion

Figura 6: Comparación del valor de los recursos propios de una empresa cuando tieneuna única deuda y a) no existe posibilidad de reorganización, b) existe la posibilidad dereorganizarse una vez y c) existe la posibilidad de reorganizarse dos veces. Los datosutilizados sonr = 0,06,σ = 0,2,K1 = 10,K2 = 11,K3 = 12,T1 = 0,2,T2 = 1,T3 = 1,2,A1 = 0,03 yA2 = 0,03.

31

0 0.05 0.15.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

A1

I11

0 0.05 0.110.85

10.9

10.95

11

11.05

11.1

11.15

11.2I21

0 0.05 0.17.68

7.7

7.72

7.74

7.76

A2

I11

0 0.05 0.111.05

11.06

11.07

11.08

11.09

A2

I12

0 0.05 0.10

2

4

6

8

10

12

A2

I21

0 0.05 0.111

11.05

11.1

11.15

11.2

A2

I22

Figura 7: Relación entreA1, e I11 e I1

2 paraA2 = 0,03, y entreA2, e I11, I1

2, I21 e I2

2 paraA1 = 0,03, cuando la empresa tiene una única deuda y existe la posibilidad de llevara cabo dos reorganizaciones. Los datos utilizados sonr = 0,06, σ = 0,2, K1 = 10,K2 = 11,K3 = 12,T1 = 0,2, T2 = 1, T3 = 1,2.

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Valor de la empresa

Val

or d

el d

erec

ho a

ext

ende

r el v

enci

mie

nto

de la

deu

da

I12(K

1=10)

I11 I

12 I

22I1

2(K1=9.5)

I12(K

1=9)

K1 = 10

K1 = 9.5

K1 = 9

Figura 8: Valor del derecho a retrasar el pago de la deuda cuando la empresa tiene unúnico tipo de deuda y existe la posibilidad de llevar a cabo dos reorganizaciones. Losdatos utilizados sonT1 = 1,T2 = 2,T3 = 3,K1 = 8, 9 y 10,K2 = 11,K3 = 12,A1 = 0,03,A2 = 0,03, r = 0,06 y σ = 0,04.

32

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 120

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Valor de la empresa

Val

or d

e lo

s re

curs

os p

ropi

os

Figura 9: Valor de los recursos propios de una empresa con dos deudas cuando no existela posibilidad de llevar a cabo una reorganización. La primera deuda tiene vencimientoenT1 = 1 y valor nominalK1 = 10, y la segunda deuda tiene vencimiento enT2 = 2 yvalor nominalK2 = 5. El tipo de interés libre de riesgo esr = 0,06 y la volatilidad delos rendimientos de la empresa esσ = 0,2.

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Valor de la empresa

Val

or d

e lo

s re

curs

os p

ropi

os K1 = 8

K1 = 9

K1 = 10

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Valor de la empresa

Val

or d

e lo

s re

curs

os p

ropi

os K2 = 3

K2 = 4

K2 = 5

Figura 10: Influencia del valor nominal de la deuda sobre el valor de los recuros propiosde una empresa financiada con dos deudas y sin posibilidad de reorganización. Arribavemos los valores que toman los recursos propios de una empresa conT1 = 1, K1 = 8,9, 10,T2 = 2, K2 = 5, r = 0,06 yσ = 0,2. Abajo vemos el valor de los recursos propiospara una empresa conT1 = 1, K1 = 10,T2 = 2, K2 = 3, 4 y 5,r = 0,06 y σ = 0,2.

33

8 9 10 11 12 13 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Valor de la empresa

Val

or d

e lo

s re

curs

os p

ropi

os

Con posibilidad de una reorganizacionSin posibilidad de reorganizacion

Figura 11: Valor de los recursos propios de una empresa con dos deudas cuando tiene laposibilidad de refinanciar la segunda deuda una vez y cuando no tiene dicha posibilidad.Las deudas tienen valores nominalesK1 = 10 y K2 = 8, vencimientosT1 = 1 y T2 = 2,respectivamente. La refinanciación de la segunda deuda se hace mediante la emisiónde deuda con valor nominalK′

2 = 9, vencimientoT ′2 = 2,5, y coste de reorganización,

A = 0,03. Además,r = 0,06 y σ = 0,2.

8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 130

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Valor de la empresa

Val

or d

e lo

s re

curs

os p

ropi

os K1 = 8

K1 = 9

K1 = 10

8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 130

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Valor de la empresa

Val

or d

e lo

s re

curs

os p

ropi

os K2 = 7.5

K2 = 8

K2 = 8.5

Figura 12: Influencia del valor nominal de la deuda sobre el valor de los recursos pro-pios de una empresa cuando la empresa está financiada por dos deudas y existe laposibilidad de llevar a cabo la reorganización de una de ellas. Los datos utilizados en elgráfico superior sonr = 0,06,σ = 0,2, K1 = 8, 9 y 10,K2 = 8, K′

2 = 9, T1 = 1, T2 = 2,T ′

2 = 2,5 y A = 0,03. Por su parte, en el gráfico inferiorr = 0,06, σ = 0,2, K1 = 10,K2 = 7,5, 8 y 8,5, K′

2 = 9, T1 = 1, T2 = 2, T ′2 = 2,5 y A = 0,03.

34