Valores Trigonométricos Exactos de La Función Seno y Coseno

7/25/2019 Valores Trigonomtricos Exactos de La Funcin Seno y Coseno

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C. I. JORGE GABRIEL CHI GARCA

VALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS (SENO Y COSENO)

En trigonometra plana, es fcil de encontrar el valor exacto de la funcin seno ycoseno de los ngulos de 30, 45 y 60, gracias a la ayuda de tringulos rectngulosy el uso de identidades trigonomtricas en conjunto con el teorema de Pitgoras.

Todo parte de dos tringulos: uno equiltero y el otro issceles. Si enfocamos nuestraatencin al tringulo equiltero, vemos que sus ngulos internos miden 60 (portratarse de un tringulo equiltero) y suponiendo que sus lados midan, por ejemplo,la cantidad de dos, se tiene la siguiente figura:

Este tringulo equiltero puede ser transformado, mediante una lnea perpendiculara una de sus bases, en dos tringulos rectngulos. Si tomamos de referencia a sloun tringulo rectngulo, obtenemos la siguiente figura:

Al aplicar el Teorema de Pitgoras, se obtiene que = 3. Entonces el seno y cosenodel ngulo de 30 y 60 pueden ser calculados. De ah que se obtengan los siguientesvalores:

sin30=1

2 sin60= 32 cos30=

32

cos60= 12

22

260 60

60

2

1

a

60

30


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Si ahora usamos un tringulo issceles, vemos que dos de sus ngulos internosmiden 45 y el otro 90 y suponiendo que dos de sus lados miden la cantidad de uno,llegaremos al siguiente tringulo:

Al aplicar el Teorema de Pitgoras, se obtiene que = 2.Entonces el seno y coseno del ngulo de 45 pueden ser calculados. De ah que seobtengan los siguientes valores:

sin45=12 cos45= 12

En base a los ngulos de 30 y 45, se puede calcular el seno y coseno de 15 en formaexacta, debido al hecho de que 15=45-30. Para ello, hay que recordar la frmulade adicin de dos ngulos para las funciones seno y coseno:

sin(

)= sin

cos

cos

sin

(1)

cos( )= cos cos sin sin (2)Al usar estas dos frmulas para= 45y = 30, se obtiene que:sin15= sin(45 30)= sin45cos30 cos45sin30

= = (3)

cos15= cos(45

30)= cos45cos30+sin45sin30

= + = (4)Llegando a ste punto y al observar las expresiones (3) y (4), es posible presentar deotra manera stos resultados, si hacemos uso de radicales anidados(tambin llamadosradicales jerarquizados). Debido a que es de vital importancia conocer este tema, harun parntesis para dar a conocer lo bsico sobre radicales anidados.

45

45

1

1

c


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Los radicales anidados, son expresiones radicales que contiene en su interior otraexpresin radical. Como por ejemplo:

3

5

6+2

7

9 +4

2

3

6

Si nosotros tenemos una raz cuadrada anidada, es posible expresarla como unasuma o resta de dos races cuadradas y viceversa. Es decir, se tiene la siguienteexpresin: = (5)Lo que nos interesa, es encontrar expresiones algebraicas para , y . Y tambin,de ser posible para y .Hay que darse cuenta que la expresin anterior, puede ser manipulada

algebraicamente, de tal forma que:= + 2Al igualar trminos semejantes, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

= += 4 (6)Resolver ese sistema de ecuaciones, es relativamente fcil. Por lo tanto, al despejar

y , nos queda: ,= (7)Entonces, hemos encontrado expresiones que permiten simplificar una razcuadrada anidada en una suma de races cuadradas.

Volviendo a lo que encontramos en (3), veamos cmo expresar los resultadosobtenidos usando radicales anidados:

sin15= = (8)De acuerdo con (6), se encuentra el valor de ,,sabiendo que = 6y = 2:= 6+2= 8, = 4(6)(2)=4 3 = 4, = 3Sustituyendo estos valores en (3):


4/20


5/20


16 20+ 5 = 0; donde = sinAl resolverla con la frmula de Bhskara, se tiene que:

=20

400

320

32 =

5

5

8

Entonces, el valor de es:= 55

8 =

10254

Finalmente, tomando en cuenta que

= sin

, se concluye que:

sin36= (13)De este resultado, se deduce que:

cos36= (14)

de acuerdo con la identidad trigonomtrica sin +cos = 1.Los resultados (13) y (14) son importantes porque son la parte clave para encontrar

valores exactos de las funciones seno y coseno de ngulos con incrementos de 3. Acontinuacin, voy a mostrar cmo calcularlos en forma exacta.

ngulo de 18:Para el ngulo de 18, hay que notar que 18= . Debido a ello, se puede utilizarla frmula de ngulo mitad para la funcin seno y coseno:

sin=

(15)

cos= (16)donde = 36.

Sustituyendo este valor en (15) y usando (14), se obtiene el siguiente resultado:


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sin 18= = = sin18= Al aplicar (7) con = 6,= 2y = 5, se obtiene que (,)= (5,1). Entonces:

sin18=

(17)

De manera similar, al usar (16) y (14), se obtiene el siguiente resultado:

cos 18= = = cos18= Por lo tanto:

cos18=

(18)

ngulo de 12:Para el ngulo de 12, hay que notar que 12=30-18. Entonces, se puede ocupar (1)con= 30y = 18:

sin12= sin(30 18)= sin30cos18 cos30sin18=

= 10+25 15+ 3 (19)Conviene simplificar la expresin (19) usando radicales anidados. Primero vamos a

simplificar 15 3: 15 3 = En este caso, se tiene el valor de = 15y = 3. Al usar (6), se tiene que:= 15+ 3 = 18

= 4

15

3 = 6

5

= 6,

= 5

Entonces: 15 3 = 18 65 (20)Sustituyendo (20) en (19), se tiene:

sin12= 10+25 18 65 (21)


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Ahora, se va a simplificar (21), usando (6) con = 10+ 25y = 18 65:= 10+ 25+18 65 = 28 45

= 4

10+2

5

18

6

5

=16

30

6

5

= 4,

= 30

6

5

Sustituyendo estos valores en (21), se llega a:

sin12= 28 45 430 65=

Por lo tanto:

sin12= (22)

Al usar (2) con= 30y = 18:cos12= cos(30 18)= cos30cos18+sin30sin18=

32

10+254

+1

2 5 1

4 =

1

830+65+ 5 1

De modo que:

cos12= (23)

ngulo de 24:

Para el ngulo de 24, hay que notar que 12= . Debido a ello, se puede utilizarla frmula de ngulo mitad para la funcin seno y coseno con = 24.Sustituyendo este valor de

en (15), se tiene que:

sin 12= (24)De la expresin (24), se puede despejar cos24y usar (22), de donde se obtiene:


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cos24= 1 2sin 12= 1 2 = 1

7

5

30

6

5

=

Por lo tanto:

cos24= (25)

Para conocer el seno de 24, se puede utilizar la identidad trigonomtrica:

sin 24+cos 24= 1 (26)Al despejar sin

24de (26) y usar (25), se tiene lo siguiente:

sin 24=1 164

1+5+ 30 65= 28+45 2120+24564

De manera que el sin24ser:

sin24=

28+45 2120+2458

=

7+ 5 30+654

Por lo tanto:

sin24= (27)

ngulo de 9:

Para el ngulo de 9, hay que notar que9 =

. Debido a ello, se puede utilizar lafrmula de ngulo mitad para la funcin seno y coseno con = 18.Sustituyendo este valor en (15) y usando (18), se obtiene el siguiente resultado:

sin 9= = = sin9=


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Por lo tanto:

sin9= (28)

Para conocer el coseno de 9, se usa (16) y (18), de donde se tiene que:

cos 9= = = cos9= Entonces:

cos9= (29)

ngulo de 6:En este caso, hay que notar que 6=36-30. Entonces, podemos usar (1) con= 36y = 30:

sin6= sin(36 30)= sin36cos30 cos36sin30Sustituyendo (13) y (14) en la expresin anterior, se llega a lo siguiente:

sin6= 32 10 254 12 1+54 = 1 5+ 30 658 Por lo que:

sin6= (30)

De manera muy similar, se puede calcular el coseno de 6 si usamos (2) con = 36y

= 30:

cos6= cos(36 30)= cos36cos30+sin36sin30De la misma manera, al usar (13) y (14), se tiene que:

cos6=32

1+ 54

+1

2 10 25

4 =

1

818+65+10 25


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Esta ltima expresin se puede simplificar si usamos (6), con = 18+ 65y =10 25. De manera que:

= 28+ 4

5

= 418+6510 25=4 30+65 = 4, = 30+ 65Sustituyendo estos valores en el coseno de 6:cos6=

1

828+45+430+65= 7+ 5+ 30+65

4

De modo que:

cos6= (31)

ngulo de 3:

Para el ngulo de 3, vemos que se puede escribir como 3= . Entonces al haceruso de (15) y (31) con = 6:sin 3= = = sin3= Por lo tanto:

sin3=

(32)De forma similar, se puede calcular el coseno de 3, usando (16) y (31):

cos 3= = = cos3=

De modo que:


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cos3=

(33)ngulo de 27:Se puede plantear que 27= 45 18. Entonces, al usar (1), (17) y (18), con = 45y = 18, se llega a lo siguiente:


22

10+254

5 14

=18

20+45 10+2Primero hay que simplificar

10

2. Se observa que

= 10y

= 2, y al usar (6)

se llega a:

10 2 = 12 45De modo que:

sin27=1

8

20+4

5

12

4

5

Repitiendo la misma operacin, se usa (6) con = 20+ 45 y = 12 45, seobtiene:sin27=

1

832 810 25 = 8 210 25

4

Por lo tanto:

sin27= (34)Para calcular el coseno de 27, se usar la identidad trigonomtrica:

sin 27+cos 27= 1


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Despejando el coseno de 27 de la expresin anterior, se tiene que:

cos 27= 1

sin 27= 1

=

cos27=

Por lo tanto:

cos27= (35)

ngulo de 42:Para el ngulo de 42, hay que notar que 42=45-3. De modo que al usar (1), (32) y(33) con

= 45y

= 3, se llega a que:


=

16+47+

5+

30+6

5

16

47+

5+

30+6

5

Esta expresin puede ser simplificada si se usa (6), por lo que se obtiene que:

sin42= 32 89 5 30+65 =

Por lo tanto:

sin42= (36)El clculo del coseno de 42 es ms fcil si usamos la identidad trigonomtricasiguiente:


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sin 42+cos 42= 1Despejando el coseno de 42 de la expresin anterior, se tiene que:

cos 42= 1 sin 42= 1 = Por lo tanto:

cos42=

(37)ngulo de 21:Se observa que 21= 30 9, de modo que al usar (2), (28) y (29), se llega a losiguiente:

cos21= cos(30 9)=cos30cos9+sin30sin9=

24+610+25+ 8 210+25= 32+410+25+418 65 = Por lo tanto:

cos21=

(38)Una vez calculado el coseno de 21, se procede a calcular el seno de 21 con laidentidad trigonomtrica:

sin 21+cos 21= 1Despejando el seno de 21 de la expresin anterior, se tiene que:


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sin 21= 1 cos 21= 1 = Por lo tanto:

sin21=

(39)ngulo de 33:Para el ngulo de 33, se puede proponer que sea 33=15+18. Al usar (1), (9), (10),(17) y (18), con

= 15y

= 18, se tiene que:

sin33= sin(15+3)= sin15cos18+cos15sin18= 6 24

10+254

+ 6+24

6 254

Para simplificar la expresin anterior, se tiene que aplicar (6) un total de 4 vecesseguidas a fin de poderlo expresar en un solo radical, por lo que se obtiene que:

sin33=

32+4

10

2

5

4

18+6

5

=

No es difcil llegar a la expresin anterior usando (6). Por lo tanto:

sin33=

(40)Una vez calculado el seno de 33, se procede a calcular el coseno de 33 con laidentidad trigonomtrica:

sin 33+cos 33= 1Despejando el coseno de 33 de la expresin anterior, se tiene que:

cos 33= 1 sin 33= 1 =


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Por lo tanto:

cos33= (41)ngulo de 39:Para el ngulo de 39, se puede proponer que sea 39=30+9. Al usar (1), (28) y (29),con= 30y = 9, se tiene que:

sin39= sin(30+9)=sin30cos9+ cos30sin9=

+

= 8+210+25+ 24 610+25Haciendo las simplificaciones usando (6), se tiene que:

sin39= 32 410+25+418 65 =

Por lo tanto:

sin39=

(42)Una vez calculado el seno de 39, se procede a calcular el coseno de 39 con laidentidad trigonomtrica:

sin

39+cos

39= 1

Despejando el coseno de 39 de la expresin anterior, se tiene que:

cos 39= 1 sin 39= 1 = Por lo tanto:


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cos39=

(43)Hasta ste punto hemos logrado cubrir los ngulos con incrementos de 3 de lamitad del primer cuadrante: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42y 45, con su respectiva demostracin. En base a estos ngulos, es fcil deducir lossiguientes de la otra mitad del primer cuadrante. Por ejemplo, si quisiramos el de48, tendramos que aplicar (1) y (2) con= 45y = 3y as sucesivamente hastacubrir los 90.

Es posible calcular en forma exacta el seno y coseno de ngulos ms pequeos que

el de 3 si se hace uso de la frmula del ngulo mitad. A continuacin, voy a mostrarla forma de cmo calcularlos y ver si nos podemos acercar al ngulo de 1.

ngulo de 0.75:Para calcular el seno y coseno de 0.75, una opcin sera partir del ngulo de 3 yusar la frmula de ngulo mitad y a ese resultado volver a aplicar la frmula dengulo mitad para obtener el de 0.75. Este proceso se puede simplificar mucho sinos basamos en la siguiente identidad trigonomtrica del ngulo cudruple:

cos

4 cos

4+

1

8

(1

cos

)=0

Si hacemos que = 3, llegamos a la siguiente ecuacin bicuadrada:cos 0.75 cos 0.75+1

8(1 cos3)=0

Donde la incgnita es el coseno de 0.75. Al resolverla con la frmula de Bhskaraydespejando el coseno de 0.75, se llega a la siguiente expresin:

cos0.75= (44)

Para calcular el seno de 0.75, se utiliza la siguiente identidad trigonomtrica:


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sin +cos = 1Sustituyendo

= 0.75, despejando el seno de 0.75 y haciendo reducciones, nos

queda que:

sin0.75=

(45)

ngulo de 0.1875:Para calcular el coseno de 0.1875, usamos la identidad:

cos 4 cos 4 +18(1 cos)=0Si ahora hacemos que = 0.75en la identidad anterior, se tiene que:cos 0.1875 cos 0.1875+1

8(1 cos0.75)=0

que volvemos a encontrar una ecuacin bicuadrada. Al resolverla, se tiene que:

cos0.1875= 2+

2+2cos0.75

2

donde cos0.75ya es conocido.

Sustituyendo lo que equivale el cos0.75en la expresin anterior, resulta que:

cos0.1875=

(46)

Se puede verificar, al usar la identidad trigonomtrica

sin +cos = 1que el seno de 0.1875puede quedar expresado como:


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sin0.1875=

(47)

ngulo de 0.09375:Ahora bien, con estos resultados, podemos calcular el coseno de 0.09375. Al usar(15), (16) y (46), se llegan a las siguientes expresiones:

cos0.09375=

(48)

sin0.09375=

(49)

ngulo de 1.03125:Este proceso lo podemos continuar hasta donde queramos, slo que entre mspequeo sea el ngulo, se incrementan el nmero de races.Hay que observar un hecho muy interesante; si observamos cuidadosamente los tresltimos ngulos, se puede calcular el seno y coseno de 1.03125 en forma exacta,porque:

1.03125=0.75+0.1875+0.09375.

Entonces conviene tener una frmula que permita calcular el seno y coseno de tresngulos. Esas frmulas las podemos deducir.

Sea el ngulo + += +, donde = +, por lo tanto:sin( + + )=sin( + )= sin cos+cos sin

Si a la expresin anterior, se sustituye = + , se tiene que:


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sin( + +) =sin cos cos+cos sin cos+cos cos sin sin sin sin (50)

Algo similar pasar con el coseno de tres ngulos, por lo que:

cos( ++)= cos cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin (51)Si asignamos que = 0.75 = 0.1875 = 0.09375sean los ngulos correspondientes en (50) y (51), entonces hemos encontrado dosexpresiones que permite calcular el seno y coseno de 1.03125 en forma exacta:

sin(1.03125) =sin0.75cos0.1875cos0.09375+cos0.75sin0.1875cos0.09375+cos0.75cos0.1875sin0.09375sin0.75sin0.1875sin0.09375 (52)

cos(1.03125)= cos0.75cos0.1875cos0.09375sin0.75sin0.1875cos0.09375 sin0.75cos0.1875sin0.09375

cos0.75sin0.1875sin0.09375 (53)

donde el seno y coseno de 0.75, 0.1875 y 0.09375 estn dados por (44), (45), (46),(47), (48) y (49).

ngulo de 1.0078125:Hay que destacar que con la metodologa que se est llevando, jams llegaremos a1 en forma exacta pero si nos acercaremos suficiente. Para el clculo de ste ngulo,se puede plantear que 1.0078125=1.03125-(0.09375/4). Simplemente se tendraque calcular el seno y coseno de 0.0234375 y eso resulta fcil si se aplica la identidadtrigonomtrica del ngulo cudruple, tomando como base el ngulo de 0.09375 (eso

se lo dejo al lector como ejercicio). Y para el ngulo de 1.03125, se puede usar lasexpresiones (52) y (53). Por lo tanto, es posible calcular el seno y coseno de 1.0078125en forma exacta.


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Con esto concluyo la primera parte de este tema, esperando que lo aqu expuestosirva de base para aquellas personas que tienen dificultades en calcular los valoresexactos de las funciones senos y cosenos.

De esta manera, he demostrado que s es posible calcular en forma exacta los valoresde funciones trigonomtricas, con un incremento de 0.09375. Cabe destacar que eseincremento puede variar y hacerlo cada vez ms pequeo, pero son expresiones muycomplejas de manejar.

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