Valuación de Proyectos de Inversión a través de Opciones

Reales

Trabajo presentado para el IX Premio de Investigación sobre Seguros y Fianzas 2002,

Lic. Florencia Eugenia Solórzano Vargas

“Remedios Varo”

IX Premio de Investigación sobre Seguros y Fianzas 2002

Segundo Lugar Categoría de Seguros

ÍNDICE

RESEÑA 1

INTRODUCCIÓN........................................................................................... 3CAPÍTULO 1. ANÁLISIS DE INVERSIONES, ESTADOS FINANCIEROS Y SU RELACIÓN CON EL SECTOR ASEGURADOR.................................................... 6

1.1 Criterios para el análisis de inversiones................................................... 6

1.1.1 Tasa interna de retorno (TIR)...................................................... 6

1.1.2 Valor presente neto (VPN)........................................................... 8

1.1.3 Relación beneficio / costo (B /C).................................................. 8

1.1.4 Período de recuperación.............................................................. 9

1.1.5 Tasa simple de rendimiento sobre la inversión............................... 9

1.1.6 Enfoque terminal....................................................................... 10

1.2 Tasa de rendimiento requerida............................................................... 11

1.2.1 Rendimiento requerido y costo de capital...................................... 12

1.3 Análisis de las proporciones financieras................................................... 14

1.3.1 Estados financieros básicos......................................................... 14

1.3.2 Particularidades para una compañía de seguros............................. 161.4 Otros instrumentos para evaluación de inversiones: razones financieras

básicas.............................................................................................. 191.4.1 Razones de liquidez.................................................................... 19

1.4.2 Razones de solvencia y apalancamiento........................................ 20

1.4.3 Suficiencia de la prima (estructura de costos)................................ 21

1.4.4 Reaseguro................................................................................ 21

1.5 Flujos de fondos.................................................................................. 22

1.5.1 Consideraciones sobre los flujos de caja o efectivo (cash flows)....... 22

1.5.2 Forma general para los flujos de fondos........................................ 24

1.5.3 Flujos de fondos para el accionista............................................... 25CAPÍTULO 2. TEORÍA DE OPCIONES FINANCIERAS: MÉTODOS DE CONSTITUCIÓN Y TARIFICACIÓN DE OPCIONES.......................................... 27

2.1 Conceptos básicos de la tarificación de opciones....................................... 28

2.1.1 Opciones put y call: descripción y diagramas de pago..................... 29

2.2 Determinantes del valor de una opción................................................... 32

2.2.1 Valor por tiempo y valor intrínseco............................................... 352.3 Opciones Americanas y Europeas: variables relacionadas al ejercicio

anticipado.......................................................................................... 362.4 Modelos de tarificación de opciones........................................................ 37

2.4.1 Modelo binomial........................................................................ 37

2.4.2 Modelo Black – Scholes............................................................... 39

2.4.3 Evaluación de opciones put......................................................... 432.5 Algunas modificaciones al aplicar el modelo de tarificación de

opciones............................................................................................ 44CAPÍTULO 3. OPCIONES REALES.................................................................. 46

3.1 Cómo ajustar los pagos finales de opciones a las decisiones contingentes de inversión............................................................................................

46

3.2 Evaluación de las opciones sobre activos reales........................................ 48

3.2.1 Costos de réplica (o costos tracking)............................................ 50

3.2.2 Intercambio entre error de réplica y costos de réplica..................... 51

3.3 El proceso de aplicación de opciones reales............................................. 51

3.3.1 Cómo se convierte el proceso de inversión en una opción................ 51

3.3.2 La coincidencia entre el valor presente neto y el valor de la opción... 52

3.4 Opciones sobre análisis de inversión y presupuestos de capital.................. 54

3.4.1 La opción de posponer un proyecto.............................................. 54

3.4.2 La opción de expandir un proyecto............................................... 63

3.4.3 Opción de abandonar un proyecto................................................ 69CAPÍTULO 4. UNA APLICACIÓN PRÁCTICA: LA ADQUISICIÓN DE UNA ASEGURADORA Y LA OPCIÓN DE POSPONER................................................ 72

RESULTADOS DEL MODELO................................................................. 78

CONCLUSIONES........................................................................................... 82

ANEXOS....................................................................................................... 84

ANEXO 1: UN EJEMPLO DE VALUACIÓN BINOMIAL DE OPCIONES........................ 84ANEXO 2: OBTENCIÓN DE LA TASA LIBRE DE RIESGO PARA EL MODELO A

TRAVÉS DE LAS TASAS HISTÓRICAS................................................. 87ANEXO 3: OBTENCIÓN DEL VALOR PRESENTE DE LOS FLUJOS DE LA

INVERSIÓN.................................................................................... 92ANEXO 4: DETERMINACIÓN DE LA VARIANZA (VOLATILIDAD DE LOS

FLUJOS)........................................................................................ 109ANEXO 5: VALUACIÓN DE LA OPCIÓN DE POSPONER (DOS AÑOS DESPUÉS).... 117

BIBLIOGRAFÍA............................................................................................. 118

1

RESEÑA El mercado asegurador mexicano se encuentra en un proceso de cambio constante. La tendencia a la globalización se hace patente en la fusión de grandes compañías y en la unión de esfuerzos y recursos económicos para garantizar mayor rentabilidad a menores costos. Bajo este esquema, la prospectación de negocios debe fortalecerse con modelos que incorporen toda la información disponible y también buscando que el riesgo asociado a cada fuente de información sea considerado. Cada decisión financiera que se toma en una empresa involucra un costo de oportunidad. El destinar recursos para una alternativa implica reducir los recursos de otra. Inclusive. Si se toma una decisión sobre no llevar a cabo un proyecto, existen costos asociados a la cancelación de éste. Adicionalmente a los costos, existen niveles de incertidumbre asociados a cada opción: ¿El ampliar las líneas de negocio existente será redituable?, ¿En qué porcentaje?, ¿Esperar necesariamente implica perder mercado o ganar experiencia?. Los modelos tradicionales de valuación de proyectos únicamente toman en cuenta los flujos futuros que tendrá el proyecto. Se lleva a cabo la comparación con la inversión inicial requerida y en caso que la diferencia sea positiva, se toma la decisión de continuar con la implementación del proyecto. Lo que este trabajo plantea es el enriquecimiento del modelo tradicional a través de la incorporación de información adicional disponible: la valuación de todas las alternativas que existen para un proyecto de inversión en particular y la incertidumbre asociada a cada una de ellas. Esta posibilidad permite que los pronósticos se efectúen sobre bases teóricas más robustas y que una vez observados los resultado reales, pueda incorporarse esta información para modelos futuros. Todo este esquema encuentra su fundamento teórico en las Finanzas de Derivados, empatando las alternativas con una Opción Financiera. A través de esto, es que pueden hacerse tantas modificaciones a los modelos como la teoría lo permite y de esta manera pueden evaluarse las alternativas de inversión como una opción de expansión o una opción de posponer (para determinar el tiempo y forma de llevar a cabo la inversión) o las de cancelación de un negocio o línea de negocios como una opción de abandonar. Este trabajo fue desarrollado en diciembre del año 2001, como tesis profesional. Se planteó el ejemplo práctico del caso 4 describiendo el caso de una aseguradora mexicana que se encontraba en proceso de venta. Se evaluó la opción de haber pospuesto esta venta con respecto a los datos observados de 1999 a 2001. El precio final de compra que se obtuvo por esta aseguradora en el año 2002 fue de 965 millones de dólares (aproximadamente 9,264 fue de 9,279 millones de pesos. Como puede observarse, los resultados obtenidos presentan una variación del 0.16% con respecto a la realidad. Adicionalmente puede observarse que se considera que las características particulares que esa aseguradora tiene, tienen un valor extra que es el que determina su principal atractivo como inversión. Es por esto que puede explicarse el hecho de que el comprador haya pagado el 100% del valor presente de los flujos y aún así obtener una utilidad futura de aproximadamente 3,000 millones de pesos. Este esquema de análisis puede representar una gran herramienta de toma de decisiones para cualquier proyecto de cualquier aseguradora. Dado que incorpora toda la información histórica

2

y de mercado disponible y le asigna un riesgo asociado, los resultados (como se observó en el caso práctico) pueden ser exactos y confiables. La utilidad que este enfoque puede representar para el sector asegurador mexicano implica ahorro en tiempo y recursos humanos al momento de tomar una decisión corporativa, y tiene un costo nulo para su implementación, pues incorpora elementos de análisis que ya están en marcha en todas las aseguradoras mexicanas.

3

INTRODUCCIÓN “La planeación estratégica necesita de las Finanzas. Los cálculos de valor presente se necesitan para entender y revisar los análisis estratégicos y viceversa. Sin embargo, las técnicas comunes de flujos descontados tienden a subestimar el valor de la opción asociada al crecimiento de líneas de negocio más redituables. La teoría de finanzas corporativas requiere esta extensión para tratar con opciones reales”1.

Las herramientas de valuación y toma de decisiones de uso común en el ámbito financiero, ya no se adaptan a las realidades de las nueva forma de hacer negocios; pues ésta involucra inversiones estratégicas con gran incertidumbre y elevados requerimientos de capital, proyectos que deben adaptarse a condiciones continuamente cambiantes, estructuras complejas de activos que incluyen sociedades, licencias tecnológicas, patentes y “joint ventures”. A todo esto se suma la presión que ejercen los mercados financieros en demanda de una estrategia que genere valor al momento de tomar decisiones a partir de la incertidumbre. La incertidumbre es la aleatoriedad del ambiente. Ni las decisiones financieras ni las estratégicas pueden cambiar su medida. La exposición al riesgo de una empresa (la sensibilidad de los flujos y el valor de ésta hacia la fuente de incertidumbre) se determina a raíz de muchos factores que incluyen la línea de negocios, la estructura de costos y la naturaleza de los contratos necesarios para obtener entradas y vender salidas. Las decisiones empresariales pueden cambiar la exposición al riesgo de los activos a través de las inversiones, después de que se analiza la incertidumbre externa. Para una empresa, la consecuencia económica adversa de esta exposición se llama riesgo.

El crecimiento de los negocios requiere que se asuma constantemente el riesgo de tomar decisiones estratégicas bajo un ambiente incierto; esto es, manejar proactivamente las inversiones ajustando y cambiando subsecuentemente los planes como respuesta a las condiciones del mercado.

La experiencia ha demostrado que las herramientas financieras usadas con más frecuencia (valor presente neto, tasa interna de retorno, período de recuperación, costo de capital, etc.), no funcionan satisfactoriamente en situaciones de inversión, valuación de transacciones y visión estratégica, debido a que los supuestos y las condiciones del mercado que se utilizan para la evaluación de proyecto, cambian constantemente y los modelos estáticos no permiten modelar (y por consiguiente, tomar en cuenta) estos cambios. El enfoque que ofrecen las opciones reales es una manera de plantear la valuación y la toma de decisiones que ya ha logrado cambiar la ecuación económica de varias industrias, principalmente por los tres componentes clave que involucran:

a. Las opciones son decisiones contingentes

Una opción es la oportunidad de tomar la decisión después de que se observó cómo se desarrollaron los eventos; si en la fecha en que debe tomarse la decisión los eventos se desenvolvieron favorablemente, se tomará una decisión, pero si su comportamiento fue el opuesto, se opta por la alternativa que se adapte más a las nuevas condiciones. Esto significa que el resultado final de dicha opción es no lineal, ya que cambia de acuerdo a la decisión que se tome; en contraposición de los esquemas tradicionales basados en las

1 Myers, S. (1984) Teoría financiera y Estrategia Financiera, Interfaces, Vol.14, Enero-Febrero, p.p.13

4

decisiones no contingentes que tienen resultados finales lineales porque, sin importar cómo se desarrollen los eventos, la decisión será la misma.

b. La valuación de opciones integra la metodología de valuación de los mercados financieros El enfoque de opciones reales utiliza entradas de los mercados financieros y conceptos para evaluar resultados finales para todos los tipos de activos reales2. Como resultado, se comparan en un ámbito similar todos los agentes involucrados: opciones directivas, alternativas de los mercados financieros, oportunidades internas de inversión y transacción como las joint ventures, licencias tecnológicas y adquisiciones.

c. El enfoque de opciones puede usarse para diseñar y manejar dinámicamente las inversiones estratégicas. Los resultados finales no lineales también pueden ser una herramienta de diseño para modelar la exposición al riesgo, el incremento de buenos resultados (salidas del modelo), etc. siguiendo tres pasos:

• Identificar y evaluar las opciones involucradas en un proyecto de inversión • Rediseñar el proyecto para usar las opciones en su nivel óptimo • Manejar las inversiones dinámicamente a través de las opciones creadas

Así pues, podemos afirmar que el enfoque de opciones reales es la extensión de la teoría financiera de opciones tradicionales hacia opciones sobre activos reales no financieros, la diferencia es que las opciones financieras se detallan en un contrato mercantil y las opciones reales implícitas en proyectos de inversión pueden identificarse y tarificarse pero son más una herramienta de análisis y toma de decisión que un contrato que pueda ser intercambiable per se.

Al integrar la valuación con el proceso de toma de decisiones bajo cierto nivel de incertidumbre en un período de tiempo, el modelo de opciones reales responde muchos de los cuestionamientos que surgen en la estrategia corporativa, creando un método para aprender del desempeño histórico de los negocios, pues distingue los elementos de suerte de los de premonición. Esta aproximación expande el conjunto de alternativas que se consideran en la toma de decisiones para que se puedan identificar y evaluar las oportunidades de elaborar contratos en los mercados financieros y de productos.

Otra característica de esta estrategia de valoración de proyectos, es la creación de un vínculo entre los análisis de proyectos de inversión y las visiones de estrategia corporativa, al identificar las oportunidades que son únicas para la empresa (o el proyecto de inversión) y el monto y tipo de riesgo que debe ser tomado y el que debe ser eliminado para la creación de valor al implementar las decisiones.

Adicionalmente, este enfoque sienta las bases para agregar el valor del proyecto y la estructura para manejar la exposición neta al riesgo de la empresa. Esto permite ver más claramente los efectos que la incertidumbre tiene sobre el valor de un proyecto. Este trabajo tiene el objetivo de demostrar que al momento de evaluar un proyecto de inversión y para obtener resultados que permitan tomar decisiones con información clara y contundente, es fundamental:

2 Se entiende como activo real, aquél cuyo bien subyacente no es un instrumento intercambiable en mercados financieros, sino cualquier otro bien (de consumo o servicio). También pueden enfocarse como activos no financieros

5

• Considerar la incertidumbre y sus efectos en la valuación a través del tiempo • Incorporar la teoría de los mercados financieros a la valuación interna para la toma de

decisiones • Ajustar los proyectos con la aplicación a las opciones reales, especialmente lo relativo a

la naturaleza de la incertidumbre y las oportunidades que presenta un esquema contingente para la toma de decisiones

• Tener claro que un enfoque de opciones reales puede usarse en cualquier tipo de organización y proyecto

Lo anterior permite manejar las oportunidades para tomar la mejor ventaja posible sobre las opciones que origina cada inversión, incluyendo la creación de opciones en el diseño original del proyecto para incrementar el valor a priori. El enfoque de opciones reales representa una herramienta de toma de decisiones y valuación que refleja una buena dirección de proyectos al asegurar que estas decisiones implicarán la valuación más alta del mercado de estrategias corporativas. Esta metodología requiere que las empresas creen valor a través del manejo exitoso de inversiones estratégicas en un mundo de incertidumbre.

El esquema de análisis será el siguiente: CAPÍTULO 1. Análisis de inversiones, estados financieros y su relación con el sector asegurador Este capítulo resumirá los métodos tradicionales de valuación y toma de decisiones para proyectos de inversión, para entender el contexto en el que surge la teoría de opciones financieras. Se incluye la elaboración de estados financieros para entender la construcción de flujos de efectivo y las particularidades que presentan los rubros financieros del sector asegurador. CAPÍTULO 2. Teoría de opciones financieras. Métodos de constitución y tarificación de opciones En este capítulo se ahonda en la teoría de opciones financieras para entender el desarrollo y modelos utilizados en las opciones reales. CAPÍTULO 3. Opciones reales Se profundiza en la teoría de opciones reales, describiéndose los tres principales modelos de adaptación (opción de posponer, opción de expandir y opción de abandonar). CAPÍTULO 4. Una aplicación práctica: La adquisición de una aseguradora y la opción de posponer Un ejercicio tomando en cuenta el entorno financiero y mercantil del sector asegurador mexicano para la venta de una empresa aseguradora con 100% de capital mexicano a una empresa aseguradora con 100% de capital estadounidense. Finalmente, se presentarán las CONCLUSIONES respecto a los resultados obtenidos en el ejercicio práctico y al modelo de opciones reales en general.

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CAPÍTULO 1. Análisis de Inversiones, Estados Financieros y su relación con el Sector Asegurador

1.1 CRITERIOS PARA EL ANÁLISIS DE INVERSIONES

1.1.1 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

La tasa interna de retorno, denominada también, tasa de rentabilidad, es la medida más simple de rentabilidad de las inversiones en los métodos que emplean flujos descontados. La diferencia principal que esta técnica tiene con respecto a otros criterios, se encuentra en la tasa de descuento que utiliza.

El caso más general de las inversiones, es cuando éstas generan fondos durante varios períodos (principalmente delimitados por años). Cuando se conoce la inversión inicial que los produce, puede obtenerse la tasa de interés que reporta dicha inversión.

Supóngase entonces, una inversión inicial denominada F0 que genera flujos de fondos durante los años 1, 2, 3, ... , n, representados por F1, F2, F3, ... , Fn. Dado que los flujos de fondos se generan durante varios años, deben actualizarse para que tomen en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Para esto, deben multiplicarse por el factor v de descuento:

jj i)(11v+

=

donde: j = año de evaluación i = tasa de interés La tasa de descuento genera un valor presente total, al aplicarse sobre los flujos esperados. Este valor será igual al valor presente de la inversión considerada para obtenerlos. La tasa que iguala esta ecuación recibe el nombre de tasa interna de retorno (TIR). Es decir, la TIR es aquella i que satisface:

0i)(1

Fi)(1

FF

i)(1F...

i)(1F

i)(1F

i)(1FF

n

0jj

j

n

1jj

j0

nn

33

221

0

=+

+=

+++

++

++

+=

∑

∑

=

=

Bajo este criterio, la tasa de interés utilizada para descontar los flujos se trata como una incógnita que será determinada a partir del conocimiento de los flujos de fondos.

La importancia de obtener la tasa que iguale la inversión inicial con la corriente de flujos actualizados radica en que es dicha tasa la máxima tasa de retorno requerida (o costo de

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a. Fj b.

Tiempo Tiempo

Fj

capital) que la empresa puede aceptar para financiar el proyecto sin perder dinero. Si un proyecto se financia con una tasa igual a la TIR, la empresa logrará que los fondos generados por el proyecto alcancen exactamente para pagar el servicio de la deuda (capital más intereses). Si por el contrario, la TIR es superior a la tasa de financiamiento, el proyecto será rentable y análogamente si la TIR es inferior, se perderá dinero si el proyecto se lleva adelante. La regla de aceptación para la TIR es aceptar toda inversión cuya tasa sea superior a la tasa de rendimiento requerida.

Es importante profundizar en el concepto de tasa de rendimiento requerida. Una decisión de inversión debe continuar en la medida en que la rentabilidad del proyecto supere las opciones que ofrece el mercado financiero. Estas opciones representarán la tasa de rendimiento requerida, que será la que se acepte y estará compuesta por el costo de los financiamientos de las inversiones. Si se trata de una deuda, el costo de ésta está dado en el mercado, y si se trata de fondos propios, la tasa requerida por éstos conforme al riesgo, también estará dada por el mercado.

De acuerdo a los diferentes escenarios de tasa de rendimiento requerida (o posible tasa requerida cuando ésta no se conoce con exactitud), se clasifican los resultados obtenidos para la tasa interna de retorno, mostrando como el proyecto más atractivo, aquél que tenga una mayor TIR, y siempre que la diferencia entre ésta y la tasa de rendimiento requerida sea mayor a cero. La TIR representa una tasa de rentabilidad promedio por el período que se considera, en el cual se divide la vida útil de la inversión. De acuerdo al comportamiento de los flujos, se presentarán una o más tasas internas de retorno: a. Si el patrón de flujos de fondos muestra que luego de un flujo negativo, que puede

extenderse por un período o más, aparecen flujos positivos que se continúan hasta el fin de la vida útil de la inversión, existe una sola tasa de rentabilidad.

b. Cuando existe un patrón de flujos de fondos irregular, en el que luego de los negativos aparecen los positivos y luego vuelven a ocurrir los negativos, surge la posibilidad de que exista más de una tasa, debido a la regla de los signos de Descartes3. En este caso, el criterio falla al no saber cuál es la tasa a considerar como válida en caso de presentarse más de una solución real positiva a la ecuación y se toma en cuenta la que sea más probable de presentarse de acuerdo a lo observado en el mercado, o se elaboran diferentes escenarios para cada tasa.

Diagrama 1.1.1 ILUSTRACIÓN DE LOS INCISOS a. Y b.

3 La regla afirma que: “El número de raíces positivas de la ecuación P(x) = 0 no es mayor que el número de variaciones de signos que presentan la serie de coeficientes del polinomio P(x) y se diferencia de éste sólo en un número par”. Grimaldi, Ralph P. “Matemática Discreta y Combinatoria”, 1991.

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1.1.2 VALOR PRESENTE NETO (VPN)

Este concepto puede definirse como el valor presente del conjunto de flujos de fondos que derivan de una inversión, descontados a la tasa de retorno requerida menos la inversión inicial, todo valuado al momento justo de desembolsar la inversión.

Si k es el costo del capital (o la tasa de retorno requerida) de la inversión, se define el VPN:

0

n

1jj

j Fk)(1

FVPN −

+=∑

=

El criterio de aceptación o rechazo de la inversión se establece en función del monto del valor presente neto. La regla es aceptar toda inversión cuyo VPN sea mayor a cero. La clasificación de conveniencia de las inversiones en este criterio, se efectúa sobre la base de valor de éstos, en orden decreciente (esto es, las inversiones más atractivas serán aquellas con mayor VPN).

Profundizando en el concepto de VPN mayor a cero, el valor obtenido equivaldría a que la empresa pidiera un préstamo igual a la inversión inicial más el VPN a la tasa de retorno requerida. Si la empresa repartiera a los propietarios de la inversión, el VPN al momento de obtener el préstamo, realizaría la inversión con el monto restante del préstamo (que sería igual a la inversión inicial). El préstamo más sus intereses (determinados por la tasa de mercado que será la tasa de retorno requerida) se pagarían con los flujos de los fondos que genera el proyecto. De acuerdo a la definición establecida al inicio de este capítulo, la tasa de rentabilidad es la tasa de interés que se utiliza para descontar que hace que el valor presente neto sea cero. Por la similitud en sus planteamientos, puede afirmarse que la conclusión del análisis que origina el criterio de TIR comparada con la derivada del VPN en la mayoría de los casos serán coincidentes (siempre que la TIR presente un valor real).

1.1.3 RELACIÓN BENEFICIO / COSTO (B/C)

Esta relación surge del cociente ente los flujos de fondos actualizados a la tasa de rendimiento requerida (k) y el valor actual de la inversión:

0

n

1jj

j

Fk)(1

F

B/C Relación∑

= +=

Si la inversión se realiza en m años y los beneficios comenzaran a partir de m + 1, la ecuación es:

∑

∑

=

+=

+

+=

m

0jj

j

n

mjj

j

k)(1F

k)(1F

B/C Relación 1

9

Una inversión es aceptable, bajo este criterio, cuando la relación sea mayor a 1. La clasificación de conveniencia de las inversiones, se establecerá según el valor del cociente, cuando éste rebase el 1.

1.1.4 PERÍODO DE RECUPERACIÓN

También es llamado período de repago o reembolso. Se define como el lapso en el cual los beneficios derivados de una inversión, medidos en términos de flujos de fondos, recuperan la inversión inicialmente efectuada:

1F

Ft

1jj

0 ≥∑

=

donde: F0 = inversión inicial Fj = monto anual del flujo de fondos t = Período de recuperación, para el cual se resuelve la ecuación

En estos flujos no se cuentan las depreciaciones y otros cargos que no implican egresos dentro de los costos, pero sí se consideran los cargos financieros (intereses por ejemplo), mismos que ya se encuentran implícitos en los flujos.

La clasificación de inversiones bajo este criterio, se efectúa sobre la base de la extensión de su período de recuperación. La aceptabilidad de las inversiones, sobre la base de la fijación de ciertos estándares con carácter de máximo. 1.1.5 TASA SIMPLE DE RENDIMIENTO SOBRE LA INVERSIÓN (ROI4) Se define como el cociente entre el promedio de ganancias netas (de depreciaciones e impuestos) sobre inversión inicial (la inversión fija más el capital de trabajo).

trabajo) de capital y fijos activos (en incial Inversiónneta anual promedio GananciaROI =

Existen discrepancias en esta definición, pues en ocasiones se toman las ganancias sin descontar depreciaciones o impuestos o se considera el concepto de una ganancia promedio, la ganancia de un año representativo o la del primer año (de dudosa utilidad). También existen problemas en la definición de inversiones pues a veces no se añade a la inversión fija la inversión que representa un incremento al capital de trabajo. En otros modelos se considera una inversión promedio o inversiones contablemente capitalizadas o adición al concepto de inversión, otros rubros de gastos.

4 Se define ROI por sus siglas en inglés, que significan “Return on Investments”

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Bajo este criterio, una inversión es aceptable en la medida que su tasa de retorno (ROI) sea superior a una determinada tasa de corte y el ranking entre varias inversiones se asigna sobre la base de sus tasas de retorno. La principal ventaja de este método es que se calcula sencillamente a partir de datos que se obtienen con facilidad, aunque existen algunas deficiencias de este criterio, entre las que pueden mencionarse: a. No tiene en cuenta el valor tiempo del dinero, pues es indiferente que un beneficio se reciba

en el primer año que en el décimo, es decir, ignora la vida útil de la inversión. En el siguiente cuadro podrá observarse que aunque el criterio de rendimiento sobre la inversión considera que las inversiones A y B son similares, definitivamente la opción A es superior a la B (bajo un criterio que considere el valor del dinero en el tiempo) porque presenta flujos positivos y mayores en un tiempo más cercano a la inversión inicial.

Inversión Inversión

inicial F0

F1 F2 F3 F4 Flujos

promedio Fp

ROI (en %)

A - 7,000 500 400 300 200 350 5 B - 7,000 350 350 350 350 350 5

b. Se comete a menudo el error de emplear como tasa de corte la tasa de retorno requerida

por los accionistas. Es equivocado utilizarla porque los flujos se consideran netos de intereses y otros costos financieros, entonces se estaría midiendo el rendimiento de la inversión considerando sus costos de financiamiento (no se tendría el análisis de la inversión neta).

1.1.6 ENFOQUE TERMINAL En las descripciones de tasa interna de retorno y valor presente neto (TIR y VPN), se afirmó que sus conclusiones eran coincidentes a menudo. Sin embargo existen excepciones en las que, al comparar dos o más inversiones bajo estos criterios, los resultados que arrojan son discrepantes. Esto porque a medida que los flujos de fondos estén distribuidos en el tiempo, en forma diferente, al suponerse reinversiones distintas de ellos, se llega a soluciones contradictorias. La diferencia en estas reinversiones estriba en que el criterio de TIR implica la oportunidad de reinvertir los flujos de fondos intermedios a una misma tasa, mientras que el criterio de VPN supone que estos flujos se reinvierten a la tasa de retorno requerida. Estos problemas tienen origen en el desconocimiento de una estimación razonable para la tasa de reinversión. Sin embargo, hay ocasiones que ésta puede conocerse. Cuando puede conocerse la tasa de reinversión, debe calcularse el valor terminal de los flujos de fondos, capitalizando los flujos intermedios hasta el final de la vida útil de la inversión a la tasa de reinversión a considerar. La tasa de rentabilidad terminal será la i que satisface:

11

n0 i)(1terminal ValorF+

=

donde: F0 = Inversión inicial n = Vida útil de la inversión Valor terminal = Suma de los flujos de fondos compuestos a la tasa de reinversión, a partir del período 1 hasta el n

∑=

−+=n

1k

knk tr)(1*Fterminal Valor

donde: tr = Tasa de reinversión Para aplicar esta técnica a la de valor presente neto, se reinvierten los flujos intermedios a la tasa de reinversión indicada y al obtener el valor terminal de éstos, se descuenta a la tasa de retorno requerida. En la medida en que se conozcan las tasas de reinversión apropiadas, tanto la tasa de rentabilidad terminal como el valor presente neto terminal reportarán una medida de rentabilidad más afinada que las versiones comunes de ambos criterios. 1.2 TASA DE RENDIMIENTO REQUERIDA Los cuatro aspectos fundamentales que aparecen en el análisis de inversiones son: a. Elección del criterio para efectuar la evaluación de la inversión b. Definición de los flujos relevantes para trabajar con el criterio seleccionado c. Análisis del riesgo de los proyectos d. Tasa de rendimiento requerida La tasa de rendimiento requerida5 puede utilizarse como tasa de descuento en los diferentes modelos de análisis de inversiones. En el criterio de valor presente neto es la tasa a la que se descuentan los flujos de fondos para obtenerlo, en el de tasa de rentabilidad es la tasa contra la que se compara la rentabilidad obtenida para establecer su conveniencia. La ROA es el mínimo rendimiento aceptable para una inversión. Esta tasa requerida, en la teoría financiera no se refiere a la que la administración de la empresa tienen en consideración sino a la que tienen como objetivo los propietarios de la firma. Cuando se efectúa una inversión, destinando fondos a ella, se pospone otra que reportaría una rentabilidad r, es decir, se pierde la oportunidad de efectuar una inversión de un riesgo similar. Como definición general, se define a la tasa de rendimiento requerida de una inversión como la tasa que se deja de obtener en la mejor inversión alternativa de riesgo

5 También denominada ROA, por sus iniciales en inglés, que vienen de Return On Assets, que significa retorno en activos

12

Tasa libre de riesgo

Rendimiento Rendimiento requerido

Riesgo

similar. Esta tasa será mínima de rendimiento cuando se utiliza el criterio de tasa de rentabilidad, o sería aquella tasa a la que se supone se reinvierten los fondos cuando se usa el valor presente neto. Con respecto a la postura relativa al riesgo, los inversores pueden ser: a. Aversos al riesgo b. Neutrales al riesgo c. Buscadores de riesgo La teoría y la práctica del análisis de inversiones suponen que los inversores son aversos al riesgo. En términos de inversiones, la aversión al riesgo implica que el inversor, por tomar riesgo, requiere de una compensación en el rendimiento que obtendrá de dichas inversiones, situación que deriva en un concepto básico en el análisis de inversiones: El rendimiento requerido de una oportunidad de inversión depende del riesgo del proyecto que se está considerando. Diagrama 1.2.1 ASOCIACIÓN ENTRE RIESGO Y RENDIMIENTO Como se observa en la figura 1.2.1, a medida que se opta por las inversiones que implican un mayor riesgo, el inversor exigirá mayor rendimiento. En caso de no existir riesgo, de cualquier forma se requerirá un rendimiento, representado por la tasa libre de riesgo (rf). Al ir incrementando el riesgo, la compensación por éste, debe irse proporcionando con el rendimiento. Bajo este esquema, la tasa de rendimiento requerida (ROA) es la suma de una tasa libre de riesgo (rf) más una prima por el riesgo (Pr):

ROA = rf +Pr

1.2.1 RENDIMIENTO REQUERIDO Y COSTO DE CAPITAL El costo de capital puede referirse como la tasa de rendimiento requerida por aquellos que suministran de capital a la firma. Para los propósitos de evaluación de inversiones, el costo de capital puede interpretarse como los rendimientos esperados que toman en cuenta el riesgo involucrado. Así pues, ambos términos (ROA y costo de capital), son términos intercambiables. El costo de deuda kd y el costo de inversión ke (ROI) son las tasas de rendimiento requeridas por los representantes de cada una de estas características (acreedores e inversionistas,

13

Costo promedio de capital

Rendimiento Rendimiento requerido

Riesgo

•

•

X

Y

respectivamente). También en estas tasas se toman en cuenta las oportunidades de inversión y por lo tanto, el riesgo involucrado. Las empresas tienen un costo promedio del capital que resulta de:

FPDFPk

FPDDt)k(1k ed +

++

−=0

donde: t = Tasa de impuesto sobre la renta kd = Tasa de costo de deuda ke = Tasa de costo de los fondos propios FP = Monto de los fondos propios D = Monto de deudas El promedio ponderado de las tasas de costo de deuda después de impuestos y de los fondos propios (k0) debe utilizarse como la tasa de rendimiento requerida cuando se evalúa una nueva inversión. Al efectuar una inversión se están comprometiendo fondos que pueden provenir de acreedores (los que provienen de las deudas) y de inversores (los que son aportados por los propietarios). La aversión al riesgo es un supuesto implícito ya mencionado anteriormente. Tanto los acreedores como los inversores demandan rendimientos acordes con los riesgos involucrados; por lo tanto, las nuevas inversiones tienen su tasa de rendimiento requerida particular, que depende de su nivel de riesgo. Usar el costo promedio del capital de la firma implica reconocer que el riesgo del nuevo proyecto es igual que el promedio de la firma. Diagrama 1.2.2: EVALUACIÓN DE LAS INVERSIONES X Y Y Existen algunas imprecisiones que surgen de tomar el costo promedio del capital para la evaluación. Si se utiliza el k0 como la tasa requerida de rendimiento, el proyecto X hubiera sido rechazado, pues tiene menor rendimiento que el costo promedio y el proyecto Y hubiera sido aceptado porque su rendimiento lo supera. Sin embargo, la decisión es errónea debido a que si se toman las consideraciones de riesgo propias de cada proyecto, X sería aceptado puesto que para ese nivel de riesgo, el rendimiento requerido era menor y para el proyecto Y existiría un rechazo por no alcanzar el nivel de rendimiento requerido para el riesgo implícito. Por lo tanto, las nuevas inversiones y cada proyecto (salvo casos muy especiales), deben analizarse con su propio rendimiento requerido (costo de capital), esto es, la tasa de rendimiento requerida depende del destino al que se asignen los recursos.

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La tasa de rendimiento requerida depende del riesgo involucrado en cada inversión. Existen tres modelos generales de inversión para los cuales se arrojará una tasa diferente: a. Análisis de una inversión financiada en un 100% con fondos propios y que sea impulsada

por una empresa que también se financia totalmente con fondos propios. El riesgo operativo es igual en ambos casos. Como no existe endeudamiento, el riesgo que se considera es el derivado de los flujos de la inversión. El capítulo 4 de este trabajo presenta un caso con una inversión de este tipo.

b. Análisis de una inversión que tenga endeudamientos en su componente de financiamiento y que la proporción de deudas a fondos propios, así como el riesgo operativo son iguales que los de la empresa en su conjunto. La tasa de rendimiento requerida en este caso, será el costo promedio de capital (k0), aunque este caso es muy particular y rara vez observado en la práctica.

c. Análisis de una inversión que tiene un riesgo operativo diferente al riesgo operativo de la

empresa. Sin embargo, el financiamiento de la inversión mantiene las mismas proporciones de deudas a fondos de la empresa en su conjunto. En esta situación debe trabajarse con el rendimiento requerido que refleje el nivel de riesgo operativo propio de la inversión. Estos desarrollos requieren de la obtención de la beta del modelo de Capital Asset Pricing Model (CAPM), que no es objeto de esta investigación.

Desafortunadamente, no existe un herramental teórico que permita resolver en forma general y correcta todas las situaciones, aunque estas aproximaciones que dan un marco teórico, son de utilidad para el tratamiento del tema. Para el caso práctico que se tratará en el Capítulo 4, en el que se hablará del proyecto de inversión que representa la adquisición de una Compañía de Seguros, no será necesario especificar modelos que involucren modelos de riesgo de quiebra por endeudamiento, pues las aseguradoras deben estar completamente autofinanciadas, de acuerdo a la Ley General de Instituciones y Sociedades Mutualistas de Seguros, en su artículo 35, fracciones IX y X, para garantizar las obligaciones contraídas con los asegurados y evitar un posible quebranto en la industria (similar al bancario), no se permite que las instituciones de seguros contraigan deudas o préstamos con organismos financieros o de otro tipo para cubrir sus riesgos de siniestralidad. 1.3 ANÁLISIS DE LAS PROPORCIONES FINANCIERAS 1.3.1 ESTADOS FINANCIEROS BÁSICOS a. Balance General

Muestra el valor de los activos de una empresa y el valor de los derechos sobre estos activos en un momento específico en el tiempo (un día del año, generalmente el fin de algún mes). Los activos se disponen de arriba abajo en orden de liquidez decreciente; es decir los activos que se encuentran en la parte superior de la columna se convertirán en efectivo más pronto que los que se encuentran en la parte inferior de ella. Los activos reflejan los recursos de los cuales dispone una empresa para la realización de su actividad. Los activos circulantes comprenden al efectivo, valores negociables, cuentas por cobrar e inventarios, y son el tipo de activos que se espera que se conviertan en efectivo en el transcurso de un año. Los activos que se encuentran en la parte inferior del estado (planta

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y equipo, etc.) que se espera que se conviertan en efectivo en un lapso mayor a un año se definen como activos fijos. Los pasivos muestran la totalidad de las obligaciones contratadas por la empresa con terceros. Las partidas que se encuentran en la parte superior de la columna de derechos vencerán y tendrán que ser pagadas en un plazo relativamente corto; las que se encuentran hacia abajo de la columna vencerán en un futuro más distante. Los pasivos circulantes deben pagarse en un año; toda vez que la empresa nunca tiene que liquidar sus deudas a los accionistas comunes, en sentido estricto, el capital social indica la inversión de los accionistas de la empresa y en conjunto con las utilidades retenidas representan el patrimonio de la empresa. Diagrama 1.3.1: BALANCE ILUSTRATIVO

Activos

A. Efectivo B. Valores negociables C. Inversiones D. Total de activo circulante

(A+B+C) E. Planta y equipo bruto F. Depreciación acumulada G. Planta y equipo neto (E-F) H. Total de activo (D+G)

Derechos sobre los activos (Pasivos) A. Gastos acumulados B. Documentos por pagar (a la tasa de

financiamiento) C. Provisión para impuestos federales

sobre ingresos D. Total de pasivo circulante (A+B+C) E. Bonos de la primera hipoteca (a la

tasa de financiamiento) F. Bonos seculares (a la tasa de

financiamiento) G. Capital accionario H. Utilidades retenidas I. Total de capital contable (G+H) J. Total de pasivo (D+E+F+I)

En todo balance, los activos deben igualar a los pasivos.

b. Estado de resultados En él, los ingresos (ventas, cobro por servicios) se encuentran en la parte superior. Se deducen diversos costos, incluyendo los impuestos, para poder llegar al ingreso neto disponible para los accionistas comunes. Las utilidades por acción se calculan como el ingreso neto dividido entre el número de acciones en circulación Diagrama 1.3.2 ESTADO DE RESULTADOS ILUSTRATIVO

A. Ingreso neto B. Costos de producción C. Utilidad bruta (A-B) D. Gastos operativos (D.1+D.2+D.3)

D.1 Gastos de venta (comisiones) D.2 Gastos generales y administrativos (salarios, insumos admvos., etc.) D.3 Pagos por rentas y fianzas

E. Ingreso bruto operativo (C-D)

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F. Depreciación G. Ingreso neto operativo (E-F) H. Otros gastos e ingresos exceptuando intereses I. Utilidades antes de intereses e impuestos – EBIT – (G±±±±H) J. Gastos de intereses (J.1+J.2+J.3)

J.1 Intereses sobre documentos por pagar J.2 Intereses sobre la primera hipoteca J.3 Intereses sobre los bonos seculares

K. Ingreso neto antes del impuesto sobre la renta (I-J) L. Impuesto sobre la renta M. Utilidad neta disponible para los accionistas (K-L)

1.3.2 PARTICULARIDADES PARA UNA COMPAÑÍA DE SEGUROS Los resultados y cifras se presentan en el mismo orden para cualquier empresa, pero en la industria de seguros se ven involucradas algunas variables que requieren ser destacadas para poder comprender la construcción de flujos que se llevará a cabo en el análisis del capítulo 4. PARTICULARIDADES PARA EL BALANCE GENERAL La principal diferencia es que en la industria aseguradora, el pasivo apalanca la operación. Para la conformación de los activos, es necesario establecer pocas precisiones, pues se toman en cuenta los mismos conceptos que en el modelo general. Sin embargo es necesario mencionar, que el efectivo e inversiones están compuestos por el capital propio de la empresa, pues, como se mencionó, las compañías de seguros y mutualidades no tienen capacidad de endeudamiento por ley, y deben ser autofinanciadas. Se separa el concepto de inversiones del de activo circulante, por estar las inversiones, más desglosadas que en otro tipo de industria. A los activos circulantes, debe añadirse el concepto de Reaseguro y Reafianzamiento, que incluyen ingresos por la gestión de esos contratos (siniestros recuperados y dividendos del año anterior, que se registraron como ingreso). El reaseguro y reafianzamiento son operaciones particulares del sector asegurador, por lo tanto estos conceptos no serán encontrados en el balance general de una firma que pertenezca a otro giro de negocios. La depreciación es otro concepto que no juega un papel tan importante como en otras industrias, pues no se utiliza maquinaria o equipo para generar la producción (seguros). A últimas fechas toma importancia la depreciación del equipo de cómputo que se utiliza para administrar la cartera, aunada a la del edificio y sus contenidos. Pero es importante tener en claro que la depreciación no es un concepto de costo de producción, sino más bien administrativo. En la conformación de los pasivos se introduce la precisión más importante y diferente del resto de modelos: las reservas. El pasivo circulante está conformado por las reservas, que se dividen en los siguientes rubros:

a. Reservas técnicas b. Reservas por obligaciones laborales c. Reserva de previsión d. Reserva de siniestros ocurridos y no reportados (IBNR) e. Otras reservas

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Equiparando los conceptos, podrían pensarse las reservas como el monto de gastos acumulados y documentos por pagar, pues representan las obligaciones presentes y pasadas (IBNR) que no han sido cubiertas y para lo cual debe constituirse un monto que cubrirá las reclamaciones de los asegurados. Al representar el pago de siniestros, el objetivo último y principal del contrato de seguros, las reservas son el pasivo mayor de cualquier compañía de seguros, y en muy pocos casos (representados por las nuevas empresas que han adquirido pocas obligaciones) son menores al capital contable. Este tipo de pasivos se constituyen por disposición legal. La ley determina el monto exacto para las reservas por obligaciones laborales y de previsión, mientras que especifica los lineamientos básicos para las reservas técnicas y de siniestros ocurridos y no reportados, quedando la técnica de constitución de éstas, a cargo del departamento actuarial de la institución. Una vez más, se hacen las precisiones correspondientes a los apartados referentes a endeudamientos (emisión de bonos, documentos a alguna tasa de financiamiento e hipotecas), que son apartados que no se encuentran en una aseguradora, salvo para la adquisición de edificios u otros activos. En cuanto a la constitución del capital contable, se observan los mismos conceptos, intercambiando el de capital accionario por capital pagado, que es el capital mínimo de garantía devengado. Este capital es aportado por la institución al momento de su constitución, de acuerdo a las disposiciones legales específicas que existen para la operación de cada ramo. Diagrama 1.3.3: BALANCE ILUSTRATIVO DE UNA COMPAÑÍA DE SEGUROS

Activos A. Caja y bancos B. Deudores por prima C. Primas por cobrar D. Otros circulantes E. Total de activo circulante

(A+B+C+D) F. Inversiones en valores G. Depósitos en sociedades de

crédito H. Inmobiliarias I. Préstamos J. Total de inversiones

(F+G+H+I) K. Planta y equipo bruto L. Depreciación acumulada M. Planta y equipo neto (K-L) N. Total de activo (E+J+M)

Derechos sobre los activos (Pasivos) A. Agentes B. Reaseguradores C. Total de pasivo circulante (A+B) D. Reservas (técnicas, previsión, etc.) E. Total de otros pasivos (D) F. Capital accionario G. Capital Legal H. Total de Capital (F+G) I. Utilidades o pérdidas del ejercicio

anterior J. Total de capital contable (I+J) K. Total de pasivo (C+E+H+J)

PARTICULARIDADES PARA EL ESTADO DE RESULTADOS El ingreso neto está conformado por las primas netas retenidas. Como el negocio está conformado por la venta de seguros, las ventas totales son las primas cobradas en el año, sin embargo y como se mencionó anteriormente, es necesario considerar el concepto de reaseguro (la cobertura que la compañía de seguros necesita para no perder su solvencia ante siniestros

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mayores). Al ceder parte de su riesgo a otra empresa, la obligación consiguiente para la compañía es ceder parte de su ingreso como prima de dicho riesgo. De igual forma, es necesario considerar la parte de prima que se necesita extraer para constituir la reserva correspondiente a los nuevos negocios y que es llamada reserva de riesgos en curso. Así pues, no puede considerarse como ingreso para resultados el monto que representa las ventas o primas totales, sino las primas retenidas:

A. Primas suscritas B. Primas cedidas al reaseguro C. Incremento a la reserva de riesgos en curso D. Primas netas retenidas (A-B-C)

Los costos de producción por definición, son los costos de producir el bien que se comercializa y que es la razón última de ser de la empresa. Así pues, el pago del siniestro es el objetivo de la cobertura del seguro. Otro costo implícito a la “producción” de una unidad de venta (seguro), es el de adquisición y que representa las comisiones y pagos que se efectúan a agentes, brokers y demás distribuidores del producto. Por lo tanto, los costos de siniestralidad y adquisición se intercambian por la unión de los conceptos de costos de producción y operación:

A. Comisiones a agentes B. Compensaciones adicionales (bonos, comisiones pendientes, etc.) C. Costos netos de adquisición (A+B) D. Siniestros ocurridos E. Siniestros recuperados por reaseguro F. Pago de dividendos (a pólizas de seguro que así lo tengan especificado) G. Costos de siniestralidad (D-E+F) H. Total de costos operativos (C+G)

Así pues, el término de utilidad bruta se conoce como utilidad técnica:

A. Primas netas retenidas B. Costos operativos C. Utilidad técnica (A-B)

Los gastos de administración incluyen los usuales para cualquier empresa: sueldos, salarios, insumos administrativos, rentas, fianzas, etc. Así pues, el ingreso bruto operativo se calcula de la misma manera que el modelo general, al igual que el ingreso neto operativo y las utilidades antes de intereses e impuestos, llamadas utilidades antes de impuestos en el sector asegurador, recordando la limitación que existe de emitir instrumentos de deuda o contraerla con cualquier institución financiera. Por lo tanto, no existe el concepto de gastos por intereses de hipotecas, documentos por pagar o bonos. Los ingresos netos antes del impuesto sobre la renta y la utilidad neta disponible para los accionistas se calculan de la misma manera que en el modelo general. Los conceptos relativos a los estados financieros anteriormente mencionados son de utilidad para la construcción de los flujos de fondos y es por ello que las aseveraciones y particularidades descritas aplican en dicha construcción de la misma manera. Este análisis será de utilidad para comprender más efectivamente el desarrollo del modelo del capítulo 4.

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Diagrama 1.3.4 ESTADO DE RESULTADOS ILUSTRATIVO PARA UNA COMPAÑÍA DE SEGUROS

A. Primas directas B. Primas tomadas por reaseguro C. Primas emitidas (A+B) D. Primas cedidas en reaseguro E. Primas retenidas (C-D) F. Incremento a la reserva de riesgos en curso G. Primas devengadas de retención (E-F) H. Primas por cobrar por exceso de pérdida I. Ingreso neto de prima (G-H) J. Siniestros ocurridos K. Gastos operativos (K.1+K.2+K.3)

K.1 Gastos de venta o adquisición (comisiones) K.2 Gastos generales y administrativos (salarios, insumos admvos., etc.) K.3 Pagos por rentas y fianzas

L. Ingreso bruto operativo (I-J-K) M. Depreciación N. Ingreso neto operativo (L-M) O. Productos financieros P. Incremento de otras reservas Q. Utilidades antes de impuestos – EBIT – (N+O+P) R. Impuesto sobre la renta S. Participación de utilidades T. Utilidad neta disponible para los accionistas (Q-R-S)

1.4 OTROS INSTRUMENTOS PARA EVALUACIÓN DE INVERSIONES: RAZONES FINANCIERAS BÁSICOS

1.4.1 RAZONES DE LIQUIDEZ Índice de circulante: mide el número de veces que la empresa puede cubrir sus obligaciones de corto plazo con sus activos líquidos.

IC = Activo circulante / Pasivo

circulante

Indicador rápido o prueba del ácido: muestra cuántas veces la compañía puede absorber las obligaciones de realización inmediata a través de sus activos PA = Activo disponible / Pasivo exigible

Combinación de las razones anteriores: para conocer la capacidad de la empresa de hacer frente a sus obligaciones de realización inmediata por medio de sus activos líquidos

C = Activo circulante / Pasivo exigible

Grado de respuesta: medida de la respuesta frente a las obligaciones técnicas con los asegurados por medio de sus activos líquidos

GR = Activo circulante / Reservas técnicas

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Liquidez financiera: número de veces que las inversiones financieras respaldan las obligaciones de corto plazo LF = Inversiones financieras / pasivo

circulante

Capital de trabajo: monto de recursos que se necesitan para operar a corto plazo CT = Inversiones productivas + activos

contractuales – reservas técnicas + activo circulante – pasivo circulante

1.4.2 RAZONES DE SOLVENCIA Y APALANCAMIENTO Solvencia: número de veces que la empresa puede hacer frente al total de sus obligaciones con el total de sus recursos S = Activos totales / Pasivos totales

Solvencia financiera: número de veces que los activos disponibles cubren las obligaciones de acreedores SF = (Activo total – Fijo) / (Pasivo total

– Rva. de previsión – Rva. Riesgos en curso – Rva. obligaciones pend. de

cumplir) Requerimiento de capital: cuántas veces se cubren los requerimientos de capital para hacer frente a las desviaciones en siniestralidad

RC = (Capital contable + Rva. de previsión) / RBS

RBS = Requerimiento bruto de solvencia

Porcentaje de retención: respecto a la capacidad potencial de retención PR = Prima retenida / (Capital contable

+ Rva. de previsión)

Margen de solvencia: indica la suficiencia o insuficiencia del capital mínimo requerido MS = Capital de garantía / Cap. mín.

de garantía

Margen de desviaciones en siniestralidad: como porcentaje de siniestros

MDS = Rva. de previsión / (Siniestros retenidos + siniestros recuperados por

reaseguro) Sobrante de capital = en porcentaje del mínimo requerido

SC = Margen de solvencia / Capital de garantía

Compromiso de los recursos de los inversionistas : en número de veces en relación con las obligaciones de la empresa

Compromiso invers. = Pasivo total / Capital contable

Compromiso de los recursos de los accionistas: con relación a las obligaciones con los asegurados Compromiso accionistas = Reservas

técnicas / Capital contable

Suficiencia en el año para respaldar el cambio en reservas (Rvas.técnicast – Rvas. Técnicast-1) / Cap. contable

Respaldo de inversiones: con respecto a las obligaciones contractuales (respaldo de reservas de los asegurados)

(Inversiones + deudores por prima – comisiones por devengar) / (Rvas. Técnicas + obligaciones contractuales + Rva. de jubilación)

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1.4.3 SUFICIENCIA DE LA PRIMA (ESTRUCTURA DE COSTOS) Costo medio de operación: porcentaje que se destina a cubrir los costos de operación de la empresa

CMO = Costo de operación / Prima directa

Costo medio de adquisición: porcentaje de la prima que se destina a cubrir los costos de adquisición de la empresa CMA = (Costo de adquisición del seguro

directo + comisiones por reaseguro tomado – comisiones por reaseguro

cedido) / Prima retenida Costo medio de siniestralidad: proporción del ingreso por primas que se destina a cubrir siniestros

CMS = Siniestros de retención / Prima devengada de retención

Índice combinado: referenciado a la prima relevante en cada caso

IC = CMO + CMA +CMS Suficiencia de la prima: porcentaje en el que la prima cubre la totalidad de los costos

Suficiencia = 1 – IC

Suficiencia de la prima incluyendo productos financieros

Suficiencia PF = 1 – IC – (Productos financieros / Prima devengada de

retención) 1.4.4 REASEGURO Porcentaje de cesión : determina la dependencia del reaseguro proporcional

PC = Prima cedida / Prima emitida

Porcentaje de retención: porcentaje en que la empresa absorbe la prima del asegurado

PR = Prima retenida / Prima emitida Recuperación en gastos: por concepto del reaseguro proporcional

Recuperación = Comisión de reaseguro cedido / Prima cedida

Costo de reaseguro por exceso de pérdida Cobertura de exceso de pérdida / Prima retenida

Índice de siniestralidad del reasegurador

Siniestros recuperados / (Prima cedida devengada + cobertura de

exceso de pérdida)

Aproximación del resultado técnico del reaseguro

(Siniestros recuperados + Comisión recuperada por reaseguro) / Prima

cedida Utilidad del reasegurador

(Prima cedida devengada + cobertura de exceso de pérdida –

comisión de reaseguro – siniestros recuperados) / (Prima cedida

devengada + cobertura de exceso de pérdida)

Porcentaje de siniestros en la operación de la empresa después del reaseguro Siniestros Retenidos / Prima devengada

de retención

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1.5 FLUJOS DE FONDOS 1.5.1 CONSIDERACIONES SOBRE LOS FLUJOS DE CAJA O EFECTIVO

(CASH FLOWS) Los flujos de fondos son la base de cálculo de la mayoría de los criterios para el análisis de inversiones. El flujo de efectivo puede exponerse como la diferencia entre lo cobrado y lo gastado. Este enfoque obedece al valor tiempo del dinero. El inversionista solo podrá utilizar los fondos una vez que disponga de ellos, esto es, la utilidad generada es disponible cuando se realiza. En los criterios que manejan flujos de fondos descontados, se trabaja con una base de efectivo o caja, calculando las inversiones y los costos operativos no en el momento en que se devengan, sino en el que se pagan, al igual que los beneficios se incluyen cuando se perciban. El flujo de efectivo es diferente a los resultados contables de una propuesta de inversión, tomándose después de la deducción de impuestos. En contraposición, los cargos por depreciaciones no implican una salida de fondos y por lo tanto no deben incluirse en el cálculo. Los créditos se contabilizan como ingresos al momento de incluirlos al modelo. Los flujos de efectivo que deben considerarse son los que se atribuyen DIRECTAMENTE a la inversión que se está analizando, esto es, los flujos de caja que representan la diferencia entre los flujos que resultan de la situación de llevar adelante el proyecto y los flujos que resultan de no llevar adelante el proyecto y son llamados flujos de caja incrementales. Para construirlos se parte de la inversión inicial del proyecto, que es el resultante de la inversión total menos el valor de los activos con los que ya se cuenta que puedan integrarse al proyecto o que puedan venderse o subarrendarse para ser reemplazados por los nuevos (inversión marginal). Al determinar el monto de la inversión, debe incluirse no solo los requerimientos de activos fijos, sino también los relacionados con el capital neto de trabajo, que es variable a medida que el proyecto va llegando a su maduración y al final de la vida útil del proyecto analizado, se vuelve un ingreso (valor residual). En ciertos proyectos pueden calcularse ciertos costos que no necesariamente representan un gasto: los costos de oportunidad, que se definen como la segunda mejor alternativa, a la que se renuncia para el mismo nivel de riesgo; por ejemplo, la tasa de rendimiento utilizada para el cálculo del valor presente neto es una tasa de interés de oportunidad (tasa de rendimiento requerida). Los gastos que se efectuaron en el pasado y que son irreversibles (costos hundidos), no deben incluirse en el análisis, simplemente se consideran los efectos incrementales que genera ese gasto. Cuando un proyecto produce efectos sobre otras inversiones ya realizadas (efectos incidentales), deben incluirse las cantidades en los flujos de caja.

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También es preciso establecer un tiempo durante el cual se analizarán los flujos, que depende de muchos factores, entre los que están: la importancia de la inversión, el esfuerzo que se puede destinar, el período por el que se sabe que se generarán los fondos, el período específico del que se requiere conocer un análisis detallado, etc. SUPUESTOS BÁSICOS PARA CONSIDERAR LA INFLACIÓN La mayor parte de los países de América Latina sufren procesos inflacionarios agudos, y el no tomar en cuenta la inflación en los flujos de fondos afectaría la validez de las conclusiones u obligaría a trabajar bajo las siguientes suposiciones: a. Que el movimiento de los precios de los ingresos es igual al movimiento de costos

operativos b. Que las normas fiscales establecen reevaluaciones de los activos fijos en los períodos en los

que se dividieron los flujos del proyecto, y que esas reevaluaciones son iguales a los incrementos en precios, intereses y costos operativos

c. Que la tasa de aumento de precios que toma el inversionista para medir el proyecto en términos reales es igual a la tasa de fluctuación en ingresos, costos operativos, depreciaciones, etc.

d. Que no existen rubros monetarios (como el caso de los activos monetarios) que pueden producir pérdidas por estar expuestos al proceso inflacionario, al representar pérdida de poder adquisitivo

e. Que la renta determinada por estos procedimientos es equivalente a la renta neta fiscal sobre la cual se calcula el impuesto sobre la renta

La imposibilidad de trabajar con todos estos supuestos dentro de un mismo modelo de flujos, implica que es necesario replantearlos de tal forma que reflejen de manera adecuada los efectos de la inflación y aumenten la significación del análisis de la inversión. En un proceso inflacionario, los precios de los distintos bienes o servicios no aumentan al mismo ritmo. Se producen entonces variaciones en los precios relativos. Estos cambios y su inclusión en el análisis de inversiones toman especial importancia.

De esta forma, los precios de la empresa pueden crecer a una tasa determinada en tanto que los costos pueden crecer a otra, mayor o menor; al igual que los cargos por depreciaciones que suelen crecer como repercusión de normas fiscales, en contextos inflacionarios lo pueden hacer a otra tasa que la de los precios de los productos de la empresa o de sus costos operativos.

Es necesario, entonces, asignar las distintas tasas de crecimiento de los precios involucrados en la inversión. Una vez definido el problema de precios relativos que influye en el flujo de fondos de una inversión, se considera el aspecto de la obtención de flujos reales. Por lo afirmado en el inciso anterior, es posible tener un flujo de fondos en términos corrientes de los futuros períodos en los que se desarrollará la inversión al conocer la tasa de crecimiento de los distintos precios involucrados.

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Para trabajar en términos de unidades monetarias constantes, es preciso deflactar los flujos en unidades monetarias corrientes por medio de un índice que refleje los cambios a precios en la forma más adecuada. El índice deflactor que se utiliza más comúnmente es el índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), calculado por el Banco de México, a partir de los consumos ponderados de una familia urbana promedio. En ocasiones cuando la información disponible lo permite, es posible trabajar con índices deflactores propios de la industria o rama de negocio con la que se involucra el proyecto a evaluar. Estos índices son más adecuados pues tienen más vinculación con los negocios que el conjunto de bienes de consumo básico que conforman el INPC y representan más adecuadamente el poder de compra de la firma, la evolución de precios de la empresa o de sus principales insumos.

Flujo realj

+=

inflación) de tasa(11*jnominal Flujo

También pueden existir ganancias que resultan de financiarse con fuentes monetarias y este aspecto se ingresa a través del costo de capital o tasa de rendimiento requerida. A menudo, en México y otros países latinoamericanos con sistemas financieros inestables e impredecibles, el costo de capital debe ser fijado subjetivamente, teniendo una tasa que reflejará en términos reales el mínimo rendimiento que el accionista juzgue prudente aceptar, que puede ser el promedio ponderado de las tasas reales de cada una de las fuentes de financiamiento bajo consideración (préstamos y fondos propios), por ejemplo, la tasa de interés del mercado es una tasa nominal a la que hay que despojar del efecto inflación que lleva implícito para conocer la tasa real, cuando se desea calcular el costo de deuda. En condiciones de inflación, la tasa de interés nominal de un activo financiero se compone de la tasa de interés del mismo más la tasa de inflación que se espera que prevalezca. La siguiente equivalencia se utiliza para encontrar la tasa real a partir de la tasa de inflación y la tasa nominal de interés:

π1πir

+−=

donde: r = tasa real de interés i = tasa nominal de interés � = tasa de inflación

Es importante destacar que si se trabaja con flujos de fondos reales, también deben utilizarse tasas de descuento reales y si se utilizan flujos nominales, las tasas también deben estar en términos nominales.

1.5.2 FORMA GENERAL PARA LOS FLUJOS DE FONDOS En la práctica del análisis de inversiones suele usarse el siguiente modelo general para la de determinación de flujos de fondos, en una año j cualquiera:

tj

tjjjjjjjj IVR∆GP∆Dt))(1∆GP∆D∆C V(∆F −+++−−−−=

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donde: ∆∆∆∆Vj: Incremento de las ventas del año j derivadas de la nueva inversión ∆∆∆∆Cj: Incremento de costos de producción, distribución, administración, etc. Del año j

derivados de la inversión. Dentro de estos costos no se consideran las depreciaciones, cargos por amortización de gastos preliminares ni los intereses de financiamiento

∆∆∆∆Dj: Incremento de depreciaciones del año j derivadas de la nueva inversión ∆∆∆∆GPj: Incremento de las amortizaciones de gastos preliminares del año j derivadas de

la nueva inversión t: Tasa de impuesto a la renta I t

j : Inversiones que se realizarán en el año j, tomando en consideración sus repercusiones impositivas

VR tj : Valor residual de las inversiones en el año j, después de los efectos impositivos

La definición de flujo de fondos difiere de lo que comúnmente se acepta como resultado de la empresa. Se suman las depreciaciones y la amortización de gastos preliminares (buscando acercarse a la base de caja), al igual que se calcularán los valores residuales cuando se vende algún activo fijo y se deducen las inversiones (por ejemplo, la reposición de una máquina desgastada). De la misma forma, toda vez que en un año, por aumento de las ventas o por cualquier otra razón, se produzca un incremento de capital de trabajo, también deberá computarse como una inversión en el año que se produzca y deberá, por consiguiente, deducirse en el flujo de fondos. La tasa impositiva t que se utiliza deberá ser la tasa efectiva de impuesto sobre la renta, que surge de la vinculación entre el impuesto que se paga y la ganancia antes de impuestos medida en términos del flujo de caja y se supone que el impuesto se paga en el mismo período en que se genera la renta. 1.5.3 FLUJOS DE FONDOS PARA EL ACCIONISTA El modelo anteriormente descrito toma en cuenta la inversión inicial financiada con fondos propios y/o ajenos. Si se invierte en un proyecto y se calcula la tasa de rentabilidad, el cálculo señalado implica obtenerla prescindiendo de la forma de financiamiento. Otro enfoque consistiría en analizar la rentabilidad que reporta la máquina sobre la inversión de fondos propios del empresario. Este enfoque se conoce como “del accionista” o “residual” y debe redefinirse el flujo de fondos para un año j que tiene dos variaciones fundamentales con respecto al mo2delo básico:

a. Por inversión se denota tpjI , que debe entenderse como el volumen de fondos propios

asignados al financiamiento de la misma en el año j luego de los efectos tributarios b. Del flujo de fondos del año j debe deducirse el servicio de la deuda contraída, esto es:

intereses (Intsj) y la amortización del capital (Aj), así como calcularse los efectos fiscales derivados, entre otros, de las diferencias de cambios y revaluaciones.

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Estas definiciones originan un flujo que se expresa de la siguiente forma:

jtjp

tjjjjjjjjj AIVR∆GP∆Dt))(1Ints∆GP∆D∆C V(∆F −−+++−−−−−=

En análisis de la aceptabilidad de la inversión bajo este enfoque debe efectuarse comparando la inversión con la tasa de rendimiento requerida, introduciendo el concepto de costo de deuda, esto es, la inversión al menos debe cumplir con el criterio de “pagar” los intereses que genera. Los apartados de esta sección que se refieren a las generalidades de los estados de resultados, balances generales y la construcción de flujos serán de gran utilidad para comprender el desarrollo y evolución del ejercicio del capítulo 4. Como se ha observado a lo largo de este capítulo, los diversos métodos de evaluación de inversiones pasan por alto la incertidumbre (volatilidad de los activos) y su relación con el tiempo que dura dicha inversión. Un instrumento financiero que tiene en cuenta estas características es la opción financiera, y es por ello que en el siguiente capítulo se trata a profundidad la teoría de dichos instrumentos del mercado de derivados.

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CAPÍTULO 2. Teoría de opciones Financieras: Métodos de constitución y tarificación de opciones El modelo de flujos de efectivo descontados representa la plataforma básica para la mayoría de los análisis financieros. En el análisis de inversiones, por ejemplo, el punto de vista convencional es que el valor presente neto de un proyecto es la medida del valor que ese proyecto añadirá a la empresa que lo lleve a cabo. De esta forma, el invertir en un proyecto con valor presente neto positivo (o negativo), aumentará (o disminuirá) el valor de la firma. En las decisiones de estructura de capital, una mezcla financiera que minimiza el costo de capital sin desequilibrar los flujos operativos de efectivo, incrementa el valor de la empresa y es visto como la mezcla óptima. En valuación, el valor de una compañía es el valor presente de los flujos de efectivo esperados de los activos de la firma. Estos trabajos han fallado en la consideración de las alternativas involucradas en cada uno de estos proyectos. Por ejemplo, el valor presente neto de un proyecto no captura los valores de las opciones de posponer, expandir o abandonar un proyecto. Cuando se compara con inversiones, la aproximación tradicional de escoger el modelo con el retorno más alto o el valor presente puede pasar por alto a las inversiones que ofrecen más flexibilidad para las operaciones de una empresa. Un modelo financiero que se enfoca en minimizar los costos de capital actuales, no considera el valor de la flexibilidad financiera que implica tener una capacidad de exceso de deuda. En un enfoque similar, las empresas que se abstienen de regresar utilidades a sus accionistas y acumulan grandes saldos de efectivo, tendrían también la posibilidad de ser guiadas por el objetivo de flexibilidad financiera. El valor de la acción obtenido de un modelo de valuación de flujos de efectivo descontados, no cuantifica la opción de controlar, y de ser necesario, liquidar la empresa que los inversionistas de dicha acción poseen, e ignora otras opciones que podría tener la empresa, como patentes, licencias y derechos a reservas naturales. En valuación de adquisiciones, a menudo no son consideradas las opciones estratégicas que pueden abrirse para la firma adquiriente como resultado de la transacción. Las limitantes principales que han encontrado los esquemas tradicionales de valuación, se pueden resumir en que se apoyan totalmente en los pronósticos de los flujos, creando una ilusión de certidumbre sobre los números que éstos presentan. Algunas compañías tratan de evitar esto expandiendo el análisis a varios escenarios de predicción, sin que tal estrategia pueda eliminar la subjetividad de los pronósticos de los flujos. Otro problema es que estos modelos hacen tomar decisiones estáticas que al final del período, pueden no ajustarse a la realidad presentada. Cuando se considera a la incertidumbre como una variable para los modelos de valuación, el marco de toma de decisiones cambia por completo y ésta es uno de los principales objetivos de la manera de enfocar un problema bajo opciones reales: la incertidumbre crea oportunidades. Al rediseñar las estrategias de valuación, deben enfocarse los mercados en términos de la fuente, tendencia y evolución de la incertidumbre, determinar el grado de exposición de la inversión (cómo se traducen los eventos externos a ganancias o pérdidas) y reposicionar los planteamientos de tal manera que se tome la mayor ventaja posible de la incertidumbre. El enfoque de opciones reales intercala los efectos de tiempo e incertidumbre en la valuación a través de la teoría financiera que respalda los modelos de tarificación de opciones y es por esto

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que debe explorarse con profundidad dicha teoría antes de determinar y definir las opciones involucradas en la toma de decisiones con respecto a activos reales. Estas opciones necesitan no solo ser consideradas de forma explícita y ser evaluadas, sino que también el valor de estas opciones puede ser sustancial. Muchas inversiones y adquisiciones que no serían justificables por otros medios de valuación, pueden tener un valor muy atractivo si se consideran las opciones incluidas en ellas. Aunque existan opciones involucradas en las acciones, deben tenerse en cuenta las condiciones que tienen que cumplirse para que estas opciones tengan valor. 2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TARIFICACIÓN DE OPCIONES Definición Una opción representa el derecho mas no la obligación que tiene el tenedor de ésta, para vender o comprar una cantidad determinada de un bien o activo subyacente (puede ser una acción, mercancía básica, divisa, instrumento financiero, etc.) a un precio preestablecido (llamado precio de ejercicio o precio strike) dentro de un período determinado que comprende cualquier fecha anterior o igual a la fecha de expiración de la opción. Aunque las opciones son los instrumentos más sencillos, también son los más flexibles y sofisticados que existen en la administración de riesgos. En los mercados financieros internacionales se comercian opciones sobre acciones, divisas, instrumentos de deuda y sobre tasas de interés, así como contratos de futuros. Muchas entidades mexicanas utilizan opciones de divisas, de tasas de interés y de precios de mercancías básicas para especular y cubrirse. Las opciones sobre tasas de interés internacionales y tipos de cambio tienen un gran potencial para los mexicanos que participan en los mercados cambiarios y de divisas. Por ejemplo, los bancos mexicanos tienen activos y pasivos en dólares estadounidenses y sus portafolios con frecuencia están expuestos al riesgo de un alza en las tasas de interés internacionales. De igual manera, algunas empresas mexicanas son deudoras netas en dólares estadounidenses y, en la medida que avance la apertura económica, están más expuestas a movimientos de tipos de cambio, no sólo del peso frente al dólar sino también del peso/yen, peso/dólar canadiense, etc. Todos estos riesgos deben cubrirse con opciones. La manera más sencilla de entender la esencia de un contrato de opciones es estableciendo su similitud con una póliza de seguro. Por ejemplo, si una persona desea asegurar su automóvil contra riesgos de accidente durante un año, le paga a una compañía aseguradora una prima (cuyo monto dependerá de la probabilidad de que el accidente suceda). A cambio, la aseguradora subsana con cierta cantidad de dinero, en caso de que en el transcurso del contrato, ocurra un accidente. Si el siniestro no se presenta, el asegurado pierde su prima y únicamente pagó por la protección. Aunque el enfoque no siempre se centra en estas coincidencias, la póliza de seguro es una opción. De hecho, la aseguradora vendió la opción de recibir una indemnización determinada; opción que puede ser ejercida únicamente si existe el accidente.

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Lo que en los mercados internacionales se conoce como opciones es lo que se refiere a opciones financieras (de acciones, índices accionarios, divisas, tasas de interés) y opciones sobre mercancías básicas (petróleo, plata, café, etc.). Éstas funcionan como una póliza de seguros en la siguiente forma: un inversionista con acciones de una empresa quiere proteger el precio de venta de dichas acciones. Puede pagar una prima por una opción de venta para adquirir derecho a vender sus acciones a un precio dado – el precio de ejercicio – durante un período determinado. Si el precio de las acciones baja hasta el precio de ejercicio o incluso por debajo de éste, el inversionista estará protegido. Puede vender sus acciones al precio más alto posible, de acuerdo con su contrato de opciones. Sin embargo, si el precio de las acciones se mantiene por arriba del precio de ejercicio, la opción expira sin haberse utilizado y el inversionista solo pierde la prima de cobertura. Como es un derecho y no una obligación, el poseedor de la opción puede elegir no ejercer el derecho y permitir que la opción expire. Existen dos tipos de opciones:

• Opción put u opción de venta • Opción call u opción de compra

En principio, todos los contratos de opciones, ya sea para comprar (call) o para vender (put) deben especificar las siguientes características:

• El activo o bien subyacente • El monto o precio de el activo subyacente • El precio de ejercicio al cual se puede ejercer la opción (también conocido como precio

strike) • El tiempo de vencimiento

2.1.1 OPCIONES PUT Y CALL: DESCRIPCIÓN Y DIAGRAMAS DE PAGO

Una opción call indica el derecho (mas no la obligación) del comprador de la opción a comprar el activo subyacente a un precio de ejercicio, en cualquier tiempo determinado anterior o igual a la expiración de la opción. El comprador paga un precio (prima) por este derecho. Si a la fecha de expiración, el valor del activo es menor al precio strike, la opción no se ejerce y expira sin valor. Si, por otro lado, el valor del activo es mayor que el precio de ejercicio, entonces la opción es ejercida; esto es, el tenedor de la opción compra el activo al precio de ejercicio y la diferencia entre el valor del activo y este precio constituye la ganancia bruta de la inversión. La ganancia neta de la inversión es la diferencia entre la ganancia bruta y el precio pagado por el call al inicio.

El diagrama de perfil de riesgo (pérdidas o ganancias) ilustra el pago en efectivo de una opción al momento de su expiración. El eje Y muestra las utilidades o pérdidas netas derivadas de los movimientos en el precio del bien subyacente, una vez que se adquirió la opción. El eje X indica el precio del bien subyacente, teniendo a P.E. como el valor de precio de ejercicio. El comprador de la opción paga una prima, la cual representa una pérdida neta indicada como P* en la figura. Para un call, el pago final neto es negativo (e igual al precio pagado por el call) si el valor del activo subyacente es menor que el precio de ejercicio y bajo este esquema, la pérdida máxima ascendería al monto de la prima. Si, por otro lado, el precio del activo subyacente es mayor que el precio de ejercicio, el pago bruto es la diferencia entre el valor

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P.E.

Precio del activo subyacente

( - )

Cambio neto

P*

0

( + )

P.E.

Precio del activo subyacente

Cambio neto

P*

0

( + )

del activo subyacente y el precio de ejercicio y el pago neto es la diferencia existente entre el pago bruto y el precio de la prima de la opción call. Mientras más alto sea el precio del mercado con relación al precio de ejercicio, mayor será la utilidad neta; así lo muestra la recta de pendiente positiva. Esta función no corta el eje de las X en P.E., aunque el poseedor de la opción call puede ejercerla en este punto, sus utilidades netas son positivas hasta que recupera la prima P*. El comprador de un call tiene un riesgo conocido y limitado de pérdida, y una posibilidad desconocida e ilimitada de ganancia. Cuando un individuo adquiere un seguro, paga una cuota de riesgo sin conocer en algunos casos, a cuánto ascenderá el monto máximo de cobertura. Diagrama 2.1.1: PERFIL PARA EL COMPRADOR DE UN CALL

En la siguiente figura, se muestra el perfil de riesgo o ganancia del vendedor de la opción call. Es una imagen inversa a la anterior: el vendedor de esta opción recibe una prima P*. A medida que el precio del bien subyacente permanece por debajo del precio de ejercicio (P.E)., la opción no se ejerce y su utilidad es la prima. Pero si se ejerce, el vendedor está obligado a ofrecer cierta cantidad del bien subyacente al precio de ejercicio, que por definición, será menor al del mercado. Mientras mayor sea el precio en el mercado con respecto al precio de ejercicio, mayores serán las pérdidas netas del vendedor de la opción y esto es representado por la función con pendiente negativa. Esta línea no corta el eje de las X en P.E. pues aunque la opción se ejerza, el vendedor no registrará una pérdida neta hasta que el precio de mercado sea tan alto en relación con el precio de ejercicio que sobrepase el monto de la prima. El vendedor de un call tiene potencial de ganancia que es conocido y limitado y un potencial de pérdida desconocido e ilimitado. Por esta razón, las bolsas requieren que los vendedores de opciones entreguen margen. Aquél que venda opciones en los mercados de mostrador, debe contar con una calidad crediticia muy alta y, en caso de que se les pida, constituir un depósito como margen en el banco comprador (concepto equivalente al capital mínimo de garantía de una compañía de seguros). Diagrama 2.1.2: PERFIL PARA EL VENDEDOR DE UN CALL

31

( - )

P.E.

Precio del activo subyacente

( - )

P*

0

( + ) Cambio neto

Una opción put le otorga a su comprador el derecho (mas no la obligación) de vender cierta cantidad de un bien (el activo subyacente) a un precio determinado (precio strike o de ejercicio), durante un lapso previsto (cualquier fecha anterior o igual a la fecha de expiración). Para adquirir este derecho, se debe pagar una prima. Si el precio del activo subyacente es mayor que el precio de ejercicio, la opción no será ejercida y expirará sin valor. Si por otro lado, el precio del activo subyacente es menor que el precio de ejercicio, el poseedor de la opción put ejercerá la opción y venderá la acción al precio strike, siendo el pago bruto la diferencia entre el precio strike y el valor de mercado del activo. Una vez más, al incluir el costo inicial pagado por el put (prima), se obtiene el pago neto de la transacción.

Un put tiene pago neto negativo si el valor del activo subyacente es mayor que el precio de ejercicio, y tiene un pago bruto igual a la diferencia entre el precio strike y el valor del bien subyacente si el valor del activo es menor a este precio. El Diagrama 2.1.3 muestra el perfil de riesgo o ganancia del comprador de una opción put. El eje Y indica las ganancias y pérdidas netas, que corresponden a movimientos del precio del bien subyacente durante el plazo de vigencia de la opción. El eje X mide el precio del activo subyacente, siendo P.E. el precio de ejercicio. El comprador de la opción paga una prima que representa el gasto neto P*. Si el precio del activo subyacente es mayor que el de ejercicio, el comprador del put solamente pierde la prima. En cambio, si el precio es menor o igual que P.E., el tenedor del put puede ejercerla y vender el activo al precio de ejercicio. Mientras más bajo sea el precio de mercado con relación al de ejercicio, mayores serán las ganancias, hecho que demuestra la función de pendiente negativa. Ésta no corta el eje X en P.E. pues si el comprador ejerce su opción de venta, sus utilidades netas serán positivas hasta que recupere la prima. El comprador de un put tiene un riesgo conocido y limitado de pérdida, y una posibilidad desconocida de ganancias, limitada a que el precio del subyacente baje hasta cero (no es ilimitada porque este precio no puede ser negativo). Diagrama 2.1.3: PERFIL PARA EL COMPRADOR DE UN PUT

La siguiente gráfica muestra el perfil de riesgo o ganancia del vendedor de una opción put. Análogamente, representa el inverso del gráfico anterior. El vendedor de un put recibe la prima P* y a medida que el precio del activo subyacente sea mayor que el de ejercicio (P.E)., el vendedor conserva la prima. Una vez que la opción es ejercida su vendedor está obligado a comprar una cantidad del bien subyacente de acuerdo con el contrato de opción, al precio de ejercicio (que por definición, es superior al de mercado). Mientras menor sea el precio de

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P.E.

Precio del activo subyacente

( - )

P*

0

( + ) Cambio neto

mercado, respecto al de ejercicio, mayores serán las pérdidas netas del vendedor de la opción put. La anterior aseveración puede observarse en la línea con pendiente positiva, que no corta el eje X en P.E. ya que incluso cuando se ejerce la opción, el vendedor no registrará una pérdida neta sino hasta que el precio de mercado sea más bajo que el de ejercicio, generando una pérdida que supere la ganancia neta obtenida de la prima. El vendedor de una opción put tiene una ganancia potencial conocida y limitada, y una pérdida potencial desconocida y limitada a que el precio del subyacente baje hasta cero. Se requiere que los vendedores de opciones en bolsa constituyan un depósito de margen y si el precio del activo subyacente se mueve en contra del vendedor, puede requerírsele margen adicional. Los vendedores de opciones en el mercado extrabursátil deben contar con una calificación crediticia muy alta y probablemente se les exija constituir depósitos o reservas de buena fe. Diagrama 2.1.4: PERFIL PARA EL COMPRADOR DE UN PUT

2.2 DETERMINANTES DEL VALOR DE UNA OPCIÓN Las primas de las opciones se determinan mediante la interacción de la oferta y la demanda, que depende de las variables que relacionan el activo subyacente con los mercados financieros: a. Valor Actual del Activo Subyacente: Las opciones son acciones que derivan su valor de

un activo subyacente. Consecuentemente, los cambios en el valor de éste, afectan el valor de las opciones sobre esa acción. Como los calls dan el derecho de comprar el activo subyacente a un precio establecido, un incremento en el valor de dicho activo, incrementará su valor. Por otro lado, los puts se vuelven menos valiosos al incrementar el valor del activo subyacente.

b. Varianza en el Valor del Activo Subyacente: El comprador de una opción adquiere el

derecho de comprar o vender el activo subyacente a un precio fijo. Mientras más alta sea la varianza en el valor de ese activo, mayor será el valor de la opción. Esto se cumple tanto para los puts como para los calls. Aunque pareciera obvio que un incremento en la medida de riesgo (varianza) debería incrementar el valor, el supuesto no es redundante al tener en

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P.E.

P*

0

( + )

( - )

P.E.

P*

0

( + )

( - )

cuenta que las opciones son diferentes a otros o instrumentos ya que los compradores de opciones nunca pueden perder más que el precio que pagaron por ellas; de hecho, tienen el potencial de ganar retornos significativos al existir movimientos de precio grandes.

c. Precio de Ejercicio de la Opción: Una característica clave que se usa para describir una

opción es su precio del ejercicio. En el caso de calls, donde el comprador adquiere el derecho de comprar a un precio fijo, el valor del call declinará mientras dicho precio se incremente. En el caso de puts, donde el comprador tiene derecho de vender a un precio fijo, el valor incrementará mientras este precio se incrementa.

Los siguientes diagramas explican la relación entre el precio de mercado y el de ejercicio para los dos tipos de opciones. En un call, si el precio de mercado es menor que el de ejercicio, la opción no puede ser ejercida y queda “fuera del dinero” (“out of the money”). Si el precio de mercado es igual al de ejercicio, entonces sí puede ejercerse y se dice que está “en el dinero” (“at the money”). Cuando el precio de mercado es mayor que el de ejercicio, la opción puede ejercerse con una utilidad, en la medida que el precio de mercado sea más alto en relación con el precio de ejercicio y en este caso se dice que la opción está “dentro del dinero” (“in the money”). Cuando una opción put, está fuera del dinero su valor es menor. Diagrama 2.2.1: RELACIÓN ENTRE EL PRECIO DE MERCADO Y EL DE EJERCICIO PARA UNA OPCIÓN CALL

Diagrama 2.2.2: RELACIÓN ENTRE EL PRECIO DE MERCADO Y EL DE EJERCICIO PARA UNA OPCIÓN PUT

Si el precio de mercado > P.E., está dentro del dinero

Precio de mercado del bien subyacente

Si el precio de mercado = P.E., está en el dinero

Si el precio de mercado < P.E., está fuera del dinero

Precio de mercado del bien subyacente

Si el precio de mercado = P.E., está en el dinero

Si el precio de mercado > P.E., está fuera del dinero

Si el precio de mercado < P.E., está dentro del dinero

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Prima de valor por tiempo

t 0

d. Tiempo de Duración de la Opción: Las opciones son activos que se deprecian con el tiempo. De la misma forma en que una póliza de seguro por un año cuesta más que otra por una semana, una opción a más largo plazo cuesta más que una a plazo menor. Tanto los puts como los calls incrementan su valor dependiendo de su duración. Esto es porque mientras más grande sea el período, es mayor el tiempo que el activo subyacente tiene para variar su valor, y la opción para ejercerse, haciendo que el valor para ambos tipos de opciones crezca. Adicionalmente, en el caso de un call donde el comprador tiene que pagar un precio fijo a la expiración, el valor presente de este precio fijo disminuye cuando la duración de la opción se incrementa, haciendo que el valor del call aumente.

Diagrama 2.2.3: EL VALOR DE UNA OPCIÓN DECRECE EN EL TIEMPO

e. Tasa de Interés Libre de Riesgo correspondiente al período de vida de la Opción:

Cuando el comprador de una opción paga el precio de carátula de la opción, se involucra un costo de oportunidad por haber invertido en una opción en vez de elegir otro instrumento financiero. Este costo dependerá del nivel de las tasas de interés y el tiempo hasta la expiración de la opción. La tasa libre de riesgo también entra en la valuación de opciones cuando el valor presente del precio de ejercicio se calcula, pues este precio no tiene que ser pagado (o recibido) hasta la expiración de los calls (o puts). Cuando la tasa de interés aumente, se incrementará el valor de los calls y se reducirá el valor de los puts.

f. Dividendos Pagados sobre el Activo Subyacente: El valor del activo subyacente puede

disminuir si se hacen pagos de dividendos sobre este activo durante la duración de la opción. En consecuencia, el valor de un call es una función decreciente del monto esperado de los pagos de dividendos, y el valor de un put es una función creciente de los pagos esperados de dividendos.

Una manera más intuitiva para enfocar los pagos de dividendos en las opciones call, es el costo de posponer el ejercicio de las opciones “in the money”.

Considérese una opción sobre una acción intercambiada. Una vez que la opción call está “in the money”, esto es, el poseedor de la opción tendrá un pago bruto al ejercer la opción. El ejercer la opción call proveerá al tenedor con la acción y lo hace acreedor a los dividendos sobre la acción en períodos subsecuentes. El no ejercer la opción implicará que estos dividendos se pierdan.

(Plazo al vencimiento)

35

El valor intrínseco es cero hasta que el precio del bien subyacente alcanza el precio de ejercicio

El área sombreada representa en valor por tiempo de la opción, en exceso de su valor intrínseco Línea de valor

intrínseco

Precio de la opción

P.E.

Diagrama 2.2.4 RESUMEN DE VARIABLES QUE AFECTAN LOS PRECIOS DE PUTS Y CALLS

EFECTO EN FACTOR VALOR DE CALL VALOR DE PUT

Incremento en el valor del activo subyacente

Aumenta Disminuye

Incremento en Precio de ejercicio Disminuye Aumenta Incremento en la varianza del activo subyacente

Aumenta Aumenta

Incremento en el tiempo a la expiración Aumenta Aumenta Incremento en tasas de interés Aumenta Disminuye Incremento en dividendos pagados Disminuye Aumenta

2.2.1 VALOR POR TIEMPO Y VALOR INTRÍNSECO El tiempo al vencimiento y la varianza determinan el valor por tiempo de una opción y la relación entre el precio del bien subyacente con el precio de ejercicio determinan el valor intrínseco. El valor total de una opción está dado por:

Valor de la opción = valor por tiempo + valor intrínseco En la siguiente figura, la línea punteada indica el valor intrínseco de la opción call como una función del precio del activo subyacente en relación con el precio de ejercicio. En el rango de precios en el cual el precio del activo subyacente es menor que el de ejercicio, el valor intrínseco de la opción es cero (la opción no puede ejercerse). Una vez que el precio del activo subyacente iguala o supera al de ejercicio, la opción comienza a tener un valor intrínseco positivo (puede ejercerse con utilidades). El área sombreada entre la curva del precio de la opción y la línea del valor intrínseco, representa la prima del valor por tiempo de la opción. Por lo tanto, en el rango de precios del activo subyacente donde la opción no puede ejercerse (por ser su valor intrínseco cero), aún tiene una prima positiva, ya que tiene valor por tiempo. Diagrama 2.2.5: VALOR INTRÍNSECO Y VALOR POR TIEMPO EN LA OPCIÓN CALL

Curva de precio de una call

Precio del bien subyacente

36

Precio de la opción

P.E.

3 meses

9 meses

6 meses

Diagrama 2.2.6: CURVAS DE PRECIOS PARA OPCIONES CALL CON PLAZOS DE VENCIMIENTO A 3, 6 Y 9 MESES El diagrama anterior muestra la disminución del valor por tiempo durante la vida de la opción. Por ejemplo, la opción call a 9 meses tiene un valor por tiempo mayor que la de 6 y ésta más que la de 3. Finalmente, al vencimiento de la opción, su valor de tiempo es de cero, y el valor de la opción es precisamente su valor intrínseco. 2.3 OPCIONES AMERICANAS Y EUROPEAS: VARIABLES

RELACIONADAS AL EJERCICIO ANTICIPADO Una distinción primaria entre las opciones Americanas y las Europeas es que las primeras pueden ser ejercidas en cualquier tiempo anterior a su expiración, mientras las segundas solamente se pueden ejercer en la fecha de expiración. La posibilidad de un ejercicio anticipado hace que las opciones Americanas sean más valiosas que sus similares Europeas; también por eso son más difíciles de valuar aunque existe un factor de compensación que permite que lo continuo (ejercicio en cualquier período anterior a la fecha puntual) sea valuado usando modelos diseñados para lo discreto (ejercicio en la fecha puntual). En muchos casos, la prima de tiempo asociada a la vida restante de una opción y los costos de transacción hacen que el ejercicio anticipado no sea la decisión óptima. En otras palabras, los tenedores de opciones “in the money” generalmente obtendrán más vendiéndolas a alguien más (en caso de que no quieran conservarlas) que ejerciéndolas anticipadamente.

Aunque el ejercicio anticipado no es lo más recomendable generalmente, existen al menos dos excepciones a la regla: a. Cuando el activo subyacente paga grandes dividendos, ya que esta característica

reduce el valor del activo y cualquier opción call sobre ese activo. En este caso, las opciones call pueden ejercerse justo antes de una fecha anterior a la entrega de dividendos si la prima de tiempo de las opciones es menor que la disminución esperada en el valor del activo a consecuencia del pago de tal dividendo.

Mientras menor sea el plazo al vencimiento, más se acerca la curva de precio de la opción a la línea del valor intrínseco

Precio del bien subyacente

37

b. Cuando un inversionista tiene una put “in-the money” sobre un activo en un período en que las tasas de interés son altas. En este caso, la prima de tiempo del put puede ser menor que la ganancia potencial de ejercer el put anticipadamente y ganar interés sobre el precio del ejercicio.

2.4 MODELOS DE TARIFICACIÓN DE OPCIONES La teoría de tarificación de opciones ha mostrado algunos cambios desde 1972 cuando Black y Scholes6 publicaron su trabajo mostrando un modelo para valuar opciones Europeas protegidas de la entrega de dividendos. Black y Scholes utilizaron un “portafolio de réplica” para obtener su fórmula final. Este portafolio estaba compuesto por el activo subyacente y el activo libre de riesgo que tenía los mismos flujos de efectivo que la opción que se estaba evaluando. Mientras esta derivación es matemáticamente complicada, existe un modelo binomial para valuar opciones que es bastante más simple y que contiene la misma lógica. 2.4.1 MODELO BINOMIAL Está basado en una formulación simple para el proceso de precio del activo, en el cual el activo, en cualquier período de tiempo, puede moverse de uno a dos precios posibles. La fórmula general de un proceso de precio accionario que sigue de una binomial es de la siguiente forma: Diagrama 2.4.1: FORMULACIÓN GENERAL PARA EL MODELO BINOMIAL DE PRECIO

En esta figura, S es el precio accionario actual; el precio se mueve hacia arriba hasta Su con probabilidad p y hacia abajo hasta Sd con probabilidad (1 – p) en cualquier periodo de tiempo.

6 Fisher Black y Myron Scholes ganaron el premio nobel en 1997 por su teoría de tarificación de opciones y obligaciones corporativas desarrollada en 1973, que fue el año en que las opciones sobre acciones se negociaron por primera vez en un mercado bursátil

S

Su

Sd

Su2

Sud

Sd2

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a. Creación del portafolio de réplica

El objetivo, es el uso de una combinación de una tasa libre de riesgo que combine los factores de deuda e inversión y el activo subyacente para crear los mismos flujos de efectivo que en la opción que se está evaluando. En este apartado aplican los principios del arbitraje, además de que el valor de la opción debe ser igual al valor de su portafolio de réplica. En el caso de la formulación general mencionada antes, donde los precios de la acción pueden moverse tanto hacia arriba (Su) como hacia abajo (Sd) en cualquier periodo de tiempo, el portafolio de réplica para un call con precio de ejercicio K, implica que será necesario pedir prestado B y adquirir ∆ ∆ ∆ ∆ unidades del activo subyacente, donde:

SdSuCdCu∆

−−=

∆∆∆∆ = Número de unidades del activo subyacente que se han comprado Cu = Valor del call si el precio de la acción es Su Cd = Valor del call si el precio de la acción es Sd En un proceso binomial multiperiódico, la valuación debe proceder iterativamente; esto es, empezando con el último período de tiempo y moviéndose hacia atrás en el tiempo hasta el punto actual. Los portafolios que replican la opción son creados en cada paso y deben evaluarse; obteniendo así, valores para la opción en cada periodo de tiempo. La salida final para el modelo binomial de tarificación de opciones es el valor de la opción en términos de los portafolios de réplica, compuestos por � acciones (opción delta) del activo subyacente y la tasa combinada de deuda e inversión libre de riesgo. Valor del call = Valor actual del activo subyacente * Opción delta – cantidad que se pide prestada necesaria para replicar la opción = S∆∆∆∆ – B

b. Los determinantes de valor

El modelo binomial representa un enfoque para los determinantes del valor de una opción. El valor de una opción no está determinado por el precio esperado del activo, sino por su precio actual, que por supuesto, refleja las expectativas sobre el futuro. Esto es una consecuencia directa del arbitraje. Si el valor de la opción se desvía del valor del portafolio de réplica, los inversionistas pueden crear una posición de arbitraje; esto es, un negocio que no requiere inversión, no involucra riesgo y entrega retornos positivos. Si el portafolio que replica el call cuesta más que el call en el mercado, un inversionista podría comprar el call, vender el portafolio de réplica y de esta forma garantizar la diferencia como ganancia. Los flujos de efectivo en las dos posiciones se compensarían uno con otro, originando inexistencia de flujos en períodos subsecuentes. El valor de la opción también aumenta al extenderse el tiempo hasta la expiración, al aumentar los movimientos de precio (u y d), y al incrementarse la tasa de interés.

39

2.4.2 MODELO BLACK – SCHOLES

Mientras que el modelo binomial representa la aproximación intuitiva para los determinantes del valor de una opción, se requiere un gran número de entradas (en términos de los futuros precios esperados) en cada nodo. El modelo Black – Scholes no es alternativo al binomial, es más bien un caso limitante de éste.

El modelo binomial es un modelo discreto de tiempo para movimientos de precio de un activo, que incluye un intervalo (t) de tiempo entre estos movimientos. Mientras se acorta este intervalo de tiempo, la distribución límite que se forma mientras t se aproxima a 0, puede tomar dos formas:

• Si al aproximarse t a 0, los cambios de precio van haciéndose menores cada vez, la

distribución límite es la normal y se trata de un proceso de precio continuo. • Si al aproximarse t a 0, los cambios en precio permanecen espaciados, la distribución

límite es la Poisson; esto es, una distribución que permite saltos de precio y se habla de un proceso de precio discreto.

El modelo Black – Scholes aplica cuando la distribución límite es la normal7 y se asume explícitamente que el proceso de precio es continuo y no existen brincos en los precios de activos. a. El modelo

La versión del modelo presentado por Black – Scholes fue diseñada para valuar opciones Europeas, que están protegidas de dividendos. Esto implica que el modelo no puede ser afectado por la posibilidad de ejercicio anticipado ni por pagos de dividendos. El valor de una opción call en el modelo Black – Scholes puede ser descrito como una función de las siguientes variables: S = Valor actual del activo subyacente K = Precio de ejercicio de la acción t = Tiempo a la expiración de la opción r = Tasa de interés libre de riesgo que corresponde a la duración de la opción �2 = Varianza en el valor del activo subyacente El modelo puede expresarse de la siguiente forma:

Valor de call = SN(d1) – Ke-rtN(d2)

donde:

7 Los precios accionarios no pueden ser menores a cero, porque los accionistas tienen obligaciones limitadas. Por lo tanto, los precios por sí, no pueden distribuirse normalmente porque una distribución normal requiere una parte probabilística de valores infinitamente negativos (cola izquierda). La distribución de los logaritmos naturales de los precios se asume como lognormal en el modelo Black – Scholes. Esto es porque la varianza usada en este modelo es la varianza del logaritmo de tales precios.

40

tσ

)t2σ(r

KSln

d

2

1

++

= tσdd 12 −=

El proceso de tarificación de opciones usando el modelo Black – Scholes involucra los siguientes pasos: PASO 1: Se utilizan las entradas de Black – Scholes para estimar d1 y d2

PASO 2: Se estiman las distribuciones normales N(d1) y N(d2) correspondientes a estas variables normales estandarizadas PASO 3: Se estima el valor presente del precio de ejercicio, usando la versión para tiempo continuo de la fórmula de valor presente:

Valor presente del precio de ejercicio = Ke-rt

PASO 4: El valor de la call se estima desde el modelo Black – Scholes

b. El portafolio de réplica para Black – Scholes

Los determinantes de valor en este modelo son los mismos que en el binomial: el valor actual del precio accionario del activo subyacente, la variabilidad en los precios, el tiempo de duración de la opción, el precio de ejercicio y la tasa libre de riesgo. El principio de los portafolios de réplica que se utiliza para la valuación binomial, también sustenta este modelo. De hecho, el portafolio de réplica se encuentra implícito en el modelo Black – Scholes .

Valor de call = SN(d1) – Ke-rtN(d2) N(d1), que es el número de acciones que se necesitan para crear el portafolios de réplica se llama opción delta. Este portafolio es autofinanciado y tiene el mismo valor que el call en cada estado de la vida de la opción. Las probabilidades N(d1) y N(d2), implícitas en el modelo de tarificación de opciones también tienen uso en el análisis. Representan (en términos aproximados) el rango de probabilidad de que la opción estará “in the money” en la fecha de expiración, esto es, la probabilidad de que S > K. N(d1) representa el final superior del rango porque siempre será mayor que N(d2).

Pedir prestado este montoComprar N(d1) acciones

41

c. Ajustes y limitaciones del modelo La versión del modelo de Black – Scholes presentada anteriormente, no toma en cuenta la posibilidad de ejercicio anticipado (por tratarse de una opción Europea la que se está modelando) o el pago de dividendos. Ambas características impactan el valor de las opciones. Existen ajustes que otorgan correcciones parciales al valor, aunque no son perfectos.

1) Dividendos El pago de dividendos reduce el precio del activo subyacente. En consecuencia, las opciones call se volverán menos valiosas y las opciones put más valiosas mientras el pago de dividendos se incremente. Un aproximación para determinar el valor de las opciones, es manejar los dividendos de tal forma que pueda estimarse el valor presente del esperado de dividendos pagados por el activo subyacente durante la vida de la opción y sustraerlo del valor actual del activo para usar “S” como en el modelo. Como esto se vuelve más impráctico mientras el tiempo de vida de la opción se alargue, se sugeriría utilizar una aproximación alternativa.

Si se espera que el campo de dividendos (activo del actual valor

dividendosy = ) del activo

subyacente permanezca sin cambios durante la vida de la opción, el modelo Black – Scholes puede modificarse de tal forma que tome en cuenta los dividendos:

C = Se-yt N(d1) – Ke-rt N(d2)

donde:

tσ

)t2σy-(r

KSln

d

2

1

++

= tσdd 12 −=

Intuitivamente, los ajustes tienen dos efectos. Primero, el valor del activo se descuenta a la tasa de los dividendos con el fin tomar en cuenta la caída esperada en el valor a partir del pago de éstos. Segundo, la tasa de interés está compensada por el campo de dividendos para reflejar el costo de conservar el activo en el portafolio de réplica. El efecto neto será la reducción en el valor de los calls, con ajuste y un incremento en el valor de los puts.

2) Ejercicio anticipado

El modelo Black – Scholes está diseñado para evaluar opciones Europeas, esto es, opciones que no pueden ser ejercidas hasta su fecha de expiración. Algunas opciones importantes son Americanas, (que pueden ser ejercidas cualquier fecha anterior a su expiración). Sin trabajar con la mecánica de los modelos de valuación, una opción Americana siempre debe valer al menos tanto o más que la Europea debido a la

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posibilidad del ejercicio anticipado. La primera de tres aproximaciones básicas diseñadas para manejar esta posibilidad, es continuar usando el Black – Scholes sin ajustar y mantener el valor resultante como un piso o estimación conservadora del valor verdadero. La segunda aproximación es valuar la opción en cada fecha potencial de ejercicio. Con opciones sobre acciones, esto requiere básicamente, que se evalúen las opciones a cada fecha de retiro de dividendos y se elija el máximo de los valores call estimados. La tercer aproximación es utilizar una versión modificada del modelo binomial para considerar la posibilidad de ejercicio anticipado. Mientras que es difícil estimar precios para cada nodo de una binomial, existe una forma en que las varianzas estimadas a partir de datos históricos pueden utilizarse para calcular los movimientos esperados hacia arriba o hacia abajo de la binomial. Para ilustrar, si �2 es la varianza de los precios, los movimientos hacia arriba o hacia abajo en la binomial pueden estimarse como sigue:

+

−=

mtσ

mt

2σrEu

22

−

−=

mtσ

mt

2σrEd

22

donde u y d son los movimientos hacia arriba y hacia abajo por unidad de tiempo de la binomial, t es el tiempo de vida de la opción y m es el número de períodos en ese tiempo. Multiplicando el precio en cada estadía por u y d originará los precios superior e inferior, que podrán entonces ser usados para valuar el activo.

3) El impacto de ejercicio en el valor del activo subyacente La derivación del modelo Black – Scholes está basada en el supuesto de que el ejercicio de una opción no afecta el valor del activo subyacente. Esto puede ser cierto para opciones enlistadas en los mercados accionarios, pero no lo es para algunos tipos de opciones. Por ejemplo, el ejercicio de warrants incrementa el número de acciones vencidas y contribuye con efectivo fresco para una empresa. Ambos, hechos que afectan el precio8. El impacto negativo esperado (dilución) por el ejercicio, disminuirá el valor de los warrants comparados con otras opciones call similares. El ajuste por dilución en Black – Scholes para el precio del activo subyacente es muy simple; este precio se ajusta para la dilución esperada por ejercer las opciones. Por ejemplo, para el caso de warrants:

wnsnwWnsSn

ajustada SDilución+

+=−

donde:

8 Los warrants son opciones call emitidas por empresas, ya sea como parte de contratos de compensación directiva o para incrementar la participación accionaria

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P.E.

Posición neta = posición larga en el bien subyacente

Cambio neto

S = valor actual de stock W = Valor de mercado de los warrants vencidos nw = Número de warrants vencidos ns = Número de acciones vencidas Cuando los warrants se ejercen, el número de acciones sobresalientes se incrementará, reduciendo el precio del activo. El numerador refleja el valor de mercado de la acción, incluyendo ambos: activos y warrants sobresalientes. La reducción en S reducirá el valor de la opción call. Existe un elemento cíclico en este análisis, pues se necesita el valor del warrant para estimar la S ajustada por dilución, y ésta a su vez, se necesita para estimar el valor del warrant. El problema puede resolverse iniciando el proceso con un valor estimado del warrant (por ejemplo, el valor de ejercicio) y luego iterando con el nuevo valor estimado para el warrant, hasta que exista convergencia.

2.4.3 EVALUACIÓN DE OPCIONES PUT El valor de un put puede derivarse del valor de un call con el mismo precio de ejercicio y la misma fecha de expiración, a través de una relación de arbitraje que especifique que:

C – P = S – K e –rt

donde: C = Valor del call P = Valor del put (que tiene el mismo precio de ejercicio y tiempo de expiración) Esta relación de arbitraje puede derivarse muy fácilmente y se llama paridad put – call, que se satisface por completo para las opciones Europeas, mientras que para las Americanas solo se cumple de manera aproximada. Al nivel más sencillo, esta paridad se expresa como la relación entre las posiciones larga y corta en los mercados de opciones y posiciones larga y corta sobre el activo subyacente. Cuando los precios de ejercicio de las opciones son iguales al precio de mercado del bien subyacente se tiene que: Posición larga en el activo subyacente = Posición larga en opción call + posición corta en opción put Diagrama 2.4.2: PARIDAD PUT / CALL

( + )

( 0 )

Posición larga en opción call (compra de opción call)

Posición corta en opción put (venta de opción put)

Precio del bien subyacente

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Si las primas de las opciones son tales que dichas posiciones no son equivalentes, existen oportunidades para obtener ganancias sin riesgo. En la medida que los arbitrajistas vendan la opción sobrevaluada y compren la subvaluada, las primas de las opciones call y put se realinearán nuevamente Otra forma de demostrar cómo se mantiene esta paridad, es considerando la creación del siguiente portafolio:

a) Vender un call y comprar un put con precio de ejercicio K y la misma fecha de expiración t

b) Vender el activo a su precio actual, S

El pago desde esta posición es libre de riesgo y siempre lleva a K a la expiración (t). Debe suponerse que el precio accionario a la expiración es S*: POSICIÓN PAGOS EN t SI S*>K PAGOS EN t SI S*<K Vender call -(S* - K) 0 Comprar put 0 K – S* Comprar activo S* S* TOTAL K K Como esta posición utiliza a K con certeza, debe ser igual al valor presente de K a la tasa libre de riesgo (Ke-rt):

S + P – C = Ke-rt C – P = S – Ke-rt

Esta relación puede usarse para evaluar puts. Al sustituir la fórmula Black – Scholes por el valor de un call equivalente:

Valor de put = Se-yt (N(d1) – 1) – Ke-rt (N(d2) – 1)

donde:

tσ

)t2σy-(r

KSln

d

2

1

++

= tσdd 12 −=

2.5 ALGUNAS MODIFICACIONES AL APLICAR EL MODELO DE TARIFICACIÓN DE OPCIONES

Los modelos anteriormente descritos pueden usarse para evaluar cualquier activo que tenga las características de una opción, con algunas modificaciones. En los capítulos subsecuentes, se aplicará la teoría de tarificación de opciones en una variedad de contextos. En muchos de los casos descritos, las opciones que están evaluándose no son activos de intercambio financiero (como stocks o commodities) sino opciones reales (como proyectos o reservas de recursos naturales). Empezaremos por ofrecer algunas implicaciones de las aplicaciones de los modelos

( - )

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de tarificación de opciones a estos casos y se sugieren algunos ajustes que se podrían necesitar para hacer estos modelos:

a. El activo subyacente no se intercambia: La teoría de tarificación de opciones , tal

como se presenta en los modelos Binomial y Black – Scholes, se construye bajo la premisa de que puede crearse un portafolio de réplica usando el activo subyacente y el préstamo bilateral (borrowing / lending) libre de riesgo. Mientras que este es un supuesto perfectamente justificable en el contexto de opciones enlistadas o acciones intercambiados, se vuelve menos robusto cuando el activo subyacente no es intercambiado y entonces el arbitraje no es factible. Cuando las opciones a evaluar se construyen sobre activos que no son intercambiados en ningún tipo de mercado, los valores de los modelos de tarificación de opciones deben ser interpretados con mucha cautela.

b. El precio del activo sigue un proceso continuo: Como se pudo notar anteriormente,

el modelo de tarifaje de opciones Black – Scholes deriva del supuesto de que el proceso de precio del activo subyacente es continuo (esto es, no existen brincos de precio). Si se viola dicho supuesto, como en muchas opciones reales, el modelo subestimará el valor de las opciones “out of the money”. Una solución es usar estimaciones de varianza más altas para evaluar este tipo de opciones y menores estimaciones de varianza para las opciones “at the money” o las “in the money”; otra solución es el utilizar un modelo de tarificación de opciones que explícitamente permita brincos en el precio, aunque es muy difícil estimar las entradas de estos modelos9.

c. La varianza es conocida y no cambia a través del tiempo de vida de la opción: El

supuesto que sustenta los modelos de tarificación de opciones es el de que la varianza es conocida y no cambia sobre el tiempo de duración de la opción. Este pareciera muy lógico cuando se aplica a opciones a corto plazo de lista o a acciones intercambiarias. Cuando la teoría de tarificación de opciones se aplica a opciones reales a largo plazo, existen problemas con este supuesto, pues es poco probable que la varianza se mantenga constante a lo largo de periodos extendidos de tiempo y de hecho, puede ser mucho más difícil de estimar bajo estas condiciones.

Una vez más, existen versiones modificadas del modelo de tarificación de opciones, que permiten cambiar varianzas, aunque requieren que el proceso por el cual cambia la varianza sea modelado de manera muy explícita.

d. El ejercicio es instantáneo: Los modelos de tarificación de opciones están basados en

la premisa de que el ejercicio de una opción es instantáneo. Este supuesto puede ser difícil de justificar con opciones reales; sin embargo, el ejercicio puede requerir el construir una planta o construir un pozo petrolero, por ejemplo. Estas acciones no pasan en un instante. El hecho de que el ejercicio tome tiempo también implica que la vida real de una opción real a menudo es menor a la que se considera. Así, mientras una empresa pueda poseer los derechos de una reserva de petróleo por los siguientes diez años, el hecho de que toma mucho tiempo el extraer el petróleo reduce la vida de la opción del recurso natural que la firma posee.

9 Los modelos de procesos con brincos que incorporan el proceso Poisson, requieren entradas en la probabilidad de brincos en el precio, la magnitud promedio y la varianza. Todas éstas pueden ser estimadas, pero con un monto muy significativo de sesgo.

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CAPÍTULO 3

OPCIONES REALES El primer cuestionamiento que surge al abordar este tema es el saber si puede adaptarse eficientemente el modelo de valuación de opciones financieras en las opciones que surgen de los proyectos de inversión de activos reales, de tal forma que puedan extraerse datos concisos que permita tomar decisiones incorporando más información que la que se obtiene por métodos tradicionales de flujos de efectivo descontados. Una razón para que este modelo funcione bien para aplicaciones de activos reales es que los pagos de las decisiones contingentes de inversión pueden ser empatados con cualquier situación, característica que es particularmente importante para el diseño proactivo de productos y contratos. Otra razón es que enfoca la naturaleza del riesgo implícito en activos reales. Las empresas saben que aunque algunos de los riesgos que enfrentan provienen de la naturaleza del mercado, otros vienen de fuentes particulares por producto o condiciones financieras específicas de la empresa. El enfoque de opciones reales extiende el modelo de valuación financiera de opciones incorporando los efectos del riesgo del mercado de precios y el riesgo particular de valuación de oportunidades estratégicas de inversión. 3.1 CÓMO AJUSTAR LOS PAGOS FINALES DE OPCIONES A LAS DECISIONES CONTINGENTES DE INVERSIÓN Como se observó en el capítulo 2, los diagramas de pago final para opciones se presentan en varias formas. Las opciones reales pueden tener pagos finales muy complejos. Estos pagos pueden construirse para las decisiones de inversión que aprovechan las ventajas que ofrecen los valores elevados del activo subyacente o la información privilegiada que afecte positivamente a este activo. Se conoce como opción call en los mercados financieros este pago, que comprende el derecho de comprar el activo subyacente a un precio fijo - figura (a) -. El pago final de una inversión estratégica que se beneficia por las malas noticias y alcanza su máximo valor cuando el activo subyacente tiene el menor valor posible se conoce como opción put y su pago surge del derecho de vender el activo subyacente a un precio fijo - (b) - y las contrapartes de la transacción (la parte que tiene que otorgar el pago final a quien tiene derecho) se muestran en las figuras (c) y (d):

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Valor del activo subyacente a la fecha de decisión

Pago de la opción

$0 $0

$0 $0

Pago de la opción

Valor del activo subyacente a la fecha de decisión

Diagrama 3.1.1: LOS CUADROS BÁSICOS PARA LAS DECISIONES CONTINGENTES

La aproximación de cuadros básicos para valuar opciones desglosa los pagos finales complejos en componentes más fáciles de evaluar y comprender. Todo lo que se necesita son las cuatro formas básicas mostradas en el diagrama anterior más los dos tipos de decisiones de inversión no contingentes que se observan en el diagrama 3.1.2. El inciso (a) muestra el pago que se obtendrá al poseer un activo, conocida esta figura dentro de los mercados financieros, como posición larga. El inciso (b) muestra el pago al vender un activo y es conocido dentro de los mercados financieros como posición corta. Un contrato forward es la obligación de comprar o vender un activo en una fecha específica a un precio específico. Los pagos finales de un forward son no contingentes para una decisión futura (por lo tanto, la línea es puramente recta y sin dobleces) pero depende del valor de un activo incierto (la línea tiene una inclinación). Diagrama 3.1.2: CUADROS BÁSICOS PARA LAS DECISIONES NO CONTINGENTES

(a) Adquisición del derecho de comprar a

un precio fijo

(b) Adquisición del derecho de vender

a un precio fijo

(d) Venta del derecho de vender

a un precio fijo

(c) Venta del derecho de comprar

a un precio fijo

(b) Venta del forward (posición corta)

(a) Adquisición del forward (posición

larga)

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Valor Valor

Tiempo Tiempo

Opción

Portafolio (a) (a)

La valuación de opciones tiene varias aplicaciones pues es una teoría que puede evaluar cualquier tipo de decisión contingente. En desarrollo de productos, por ejemplo, las diferentes elecciones de diseño originan diferentes oportunidades que pueden abordarse y que se vuelven diferentes decisiones contingentes. En las grandes (e irreversibles) inversiones, la teoría puede usarse para evaluar las modificaciones a los programas de construcción o intercambios entre los costos de construir opciones de abandonar, posponer, expandir o acelerar contra el valor adicional que cada una de ellas crea. El modelo de cuadros básicos puede utilizarse para comparar diferentes contratos de opciones con el fin de obtener los pagos finales que cada corporación requiera. 3.2 EVALUACIÓN DE LAS OPCIONES SOBRE ACTIVOS REALES La valuación de opciones, tanto financieras como reales, puede ser poco precisa en la práctica debido a ciertas características de los propios activos y del mercado que pueden evitar que se cumpla la Ley de un Solo Precio que afirma que dos activos que tienen los mismos pagos finales futuros deben tener el mismo valor actual. El modelo de valuación de opciones utiliza el supuesto de ausencia de arbitraje para asegurar de manera dinámica, que el valor de la opción iguala el valor del portafolio mientras evolucionan los precios accionarios. Esto se conoce como tracking dinámico 10. Las consecuencias de la imprecisión dependen directamente de los requerimientos financieros y de comercialización de la firma y el tipo de industria en el que se desarrolla. El modelo de valuación de opciones puede representar claramente y de forma visual, la magnitud de la imprecisión en la valuación, ya que cada vez que el activo subyacente fluctúa en valor, la composición del portafolio tracking (o de réplica) se actualiza dinámicamente (el cambio en el valor de la opción se ajusta con precisión a través del cambio de valor en el portafolio tracking). Se mostrarán dos comportamientos simples para una opción y su portafolio. La figura (a) muestra un portafolio de réplica exacta a la opción al moverse ambos en las mismas cantidades, mientras que la figura (b) muestra un portafolio con tracking imperfecto al virar lejos de la opción. Diagrama 3.2.1: TRACKING PERFECTO E IMPERFECTO

10 (Bernstein, P. “Capital Ideas: the improbable origins of modern Wall Street”. New York Free Press, 1992)

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Cambio en valor durante un intervalo corto de tiempo

Opción Porta-folio

Porta-folio

(a) (b) Existen dos características básicas en los activos reales que provocan el error de réplica: a. Los costos de replicar b. La calidad de la réplica (qué tan cerca se mueve el portafolio del valor de la opción) El tracking (o réplica) perfectamente dinámico requiere de actualizaciones frecuentes al portafolio. Cuando es muy costoso cambiar las posiciones del portafolio, puede ser óptimo el dejar que el valor del portafolio de réplica se mueva hacia el valor de la opción durante un período corto de tiempo. En las opciones reales, el portafolio de réplica puede incluir mercancías básicas, productos, servicios y otros activos reales que tienen tres características que dificultan el tracking dinámico: • “Mermas” al valor: Los activos reales pueden generar salidas similares a los dividendos o

requerir inyecciones de efectivo. La tasa de conveniencia, que es un retorno adicional, puede comenzarse a ganar al llevar un inventario de mercancías básicas que puede ser fácilmente surtido del mercado. Solamente el tenedor del activo (y no de la opción) obtiene dicha tasa y los flujos del activo subyacente. Para los otros integrantes de la transacción, esto aparece como una “merma” en el valor del activo subyacente y se requiere de un ajuste al modelo de valuación de opciones debido a que el tenedor de la opción y el portafolio de réplica no obtienen flujos de las tasas de conveniencia.

• Riesgo base: Las acciones que se intercambian en el portafolio, a menudo están altamente

correlacionadas al valor de la opción (aunque esta coincidencia no es perfecta). Se llama riesgo base al ajuste imperfecto que es causado por diferencias en la calidad del producto, localización o retrasos la entrega. Este riesgo surge cuando existen diferencias entre la seguridad estandarizada que se intercambia y el verdadero activo subyacente, causando que los valores del portafolio de réplica sean diferentes al valor de la opción. Estas diferencias pueden estar causadas por la calidad del producto, condiciones geográficas, planeación, etc. Las consecuencias de este tipo de riesgo dependen específicamente de la clase de opción y la empresa.

• Riesgo Privado: Las opciones reales contienen riesgos que no se observan en otras

seguridades de intercambio y que no están tarificados en los mercados financieros. Por ejemplo, el riesgo de fallar al desarrollar una nueva tecnología se clasifica como un riesgo privado para una empresa de alta tecnología, o el riesgo de no encontrar una cantidad suficiente de petróleo en un prospecto de reserva petrolera es un riesgo particular de una empresa petrolera. El efecto del riesgo privado en el modelo de valuación de opciones puede ser cuantificado, pero no replicado en las acciones intercambiadas. Para entender mejor este concepto, puede pensarse que las decisiones personales son opciones que

Error de réplica:• “Mermas” al valor • Riesgo base • Riesgo privado

Riesgo de mercado y precios

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solamente involucran el riesgo privado: utilizar una sombrilla en un día nublado (la opción de tener refugio de la lluvia), la decisión de adquirir una extensión de cobertura para la póliza de seguro del auto (la opción de limitar pérdidas si se tiene un accidente), etc. La información acerca de este riesgo se obtiene de la experiencia histórica o los datos actuariales y no está influenciada por los precios del mercado. Las decisiones de negocios siempre se ven afectadas por el precio de algunos activos de la economía y la aproximación de opciones reales extiende la disciplina de las mercados financieros a la valuación de opciones cuyo valor depende de una mezcla de riesgo privado y riesgo de precios de mercados.

3.2.1 COSTOS DE RÉPLICA (O COSTOS TRACKING) Cuando existen costos significativos de réplica, el portafolio se debe actualizar con menos frecuencia y esto origina el error de réplica. En adición a los impuestos directos y gastos de inversión, entre los principales costos de réplica se cuentan: • Intercambio esporádico: los activos del mercado sostienen un intercambio continuo en

los mercados, pero tratándose de bienes de consumo, los mercados de productos y servicios tienen un intercambio mucho menos frecuente y el tracking dinámico solo se puede lograr de una manera poco continua.

• Liquidez: Un volumen bajo de intercambio en las acciones incrementa el costo del tracking

dinámico porque origina rangos de precio más extendidos y puede causar que el precio se mueva aleatoriamente antes de establecer y actualizar el portafolio de réplica. El intercambio esporádico origina pocos pagos finales para las acciones, volviéndose éstas acciones sin liquidez, característica que se presenta en ciertos segmentos del mercado financiero muy frecuentemente, principalmente en aquellos de tecnologías estáticas y costosas (por ejemplo, los sistemas de información gubernamental en los países latinoamericanos presentan dificultad en su valuación al no encontrar un activo que pueda replicar su comportamiento de escasa movilidad).

• Elevados costos de monitoreo, coordinación y documentación: Por definición, los

activos reales requieren infraestructuras a la medida. Por ejemplo: ¿cómo replicar la propiedad de la electricidad si ésta se mueve a través del mercado nacional?, ¿Cómo puede utilizarse como activo subyacente en los contratos de opciones? En la actualidad, muchos mercados de activos reales no están tan estandarizados como los mercados financieros, reduciendo con esto, el valor obtenido del activo subyacente y la opción.

• Comprobación esporádica: El portafolio de réplica para una opción real puede incluir

activos financieros que se intercambian extraoficialmente y no cuentan con reportes oficiales. Por ejemplo, el mercado de gas en Estados Unidos, antes de ser regulado establecía contratos mensuales que debían ser renegociados; a través del mes, los errores de réplica eran altos y se perdían las oportunidades de ejercer las opciones a su más alto valor. Una empresa se aprovechó de esta oportunidad de mercado y comenzó ofreciendo seguridades de gas natural basándose en precios diarios.

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3.2.2 INTERCAMBIO ENTRE ERROR DE RÉPLICA Y COSTOS DE RÉPLICA Al seleccionar activos financieros para modelar el portafolio de réplica, a menudo se requiere de un intercambio entre una acción que se correlaciona débilmente con el activo subyacente pero que tiene costos bajos de réplica y una acción que está altamente correlacionada con el activo pero que tiene altos costos de réplica. Cualquiera de estas elecciones causará error de réplica. Y el caracterizar y cuantificar este intercambio es uno de los mayores retos de la investigación de mercados financieros. La experiencia reciente acerca de productos fracasados en intercambios de mercancías básicas muestra que los participantes del mercado están dispuestos a pasar por alto la calidad de réplica a cambio de reducir los costos de ésta. Aunque el modelo de tarificación de opciones incrementa la habilidad para evaluar activos financieros y no financieros, no pasa de ser un modelo. La experiencia indica que el modelar el riego causado por entradas poco estructuradas y un marco estricto, se falla en la captura de los factores que realmente indican el valor de una opción y es la fuente potencial más remarcada para encontrar errores en la aproximación de opciones reales. Los modelos de ajuste requieren de intercambios. El error más común al aplicar las opciones reales es incluir demasiadas fuentes de incertidumbre en el modelo, incrementando el potencial del error de réplica, otro error común en el modelo es sobreespecificar el riesgo privado. En muchos casos, puede evitarse el modelaje de éste porque los mercados financieros ya han tarificado el nivel de riesgo base con un margen que considera el privado. La aproximación de opciones reales puede ser ajustada a cada aplicación, incluyendo las características específicas de los activos reales. A través de innovaciones continuas, los mercados financieros están cambiando el riesgo privado y el base hacia precio tarificado por el mercado y otorgando con ello nuevas oportunidades para manejar el riesgo de las inversiones estratégicas. La teoría de réplica respalda el supuesto de que es posible adaptar las condiciones de un activo real a las de un activo financiero siempre que se tengan en cuenta las restricciones representadas en los errores y costos de réplica. 3.3 EL PROCESO DE APLICACIÓN DE OPCIONES REALES 3.3.1 CÓMO SE CONVIERTE EL PROYECTO DE INVERSIÓN EN UNA OPCIÓN Una oportunidad corporativa de inversión es como una opción call porque la corporación tiene el derecho, pero no la obligación de adquirir por ejemplo, los activos operantes de un nuevo negocios. Si pudiera encontrarse una opción call lo suficientemente similar a la oportunidad de inversión, el valor de la opción proporcionaría información relevante sobre el valor de la oportunidad. Desafortunadamente, muchas oportunidades de negocio son únicas, así que la posibilidad de encontrar una opción similar es muy baja y la única manera viable de lograrlo es construyendo la opción.

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Para hacerlo, es necesario establecer la correspondencia entre las características del proyecto y las cinco variables que determinan el valor de una opción call simple en un intercambio de acciones. Al relacionar estas características con la oportunidad de negocio, bajo la estructura de una opción call, se obtiene un modelo del proyecto que combina sus características particulares con la estructura de dicha opción. Se modela con un call Europeo, que es la más simple de todas las opciones porque puede ser ejercida solo en una fecha: su fecha de expiración y la opción que resulta de este modelo no es un sustituto perfecto para la oportunidad real, pero como se ha diseñado de tal forma que se parezca lo más posible, es per se, informativa. Diagrama 3.3.1: CORRESPONDENCIAS BÁSICAS PARA CONVERTIR UNA OPORTUNIDAD DE INVERSIÓN EN UNA OPCIÓN CALL

OPORTUNIDAD DE INVERSIÓN VARIABLE OPCIÓN CALL Valor presente de los activos operantes que serán adquiridos

S Precio de venta de la acción

Gasto requerido para adquirir los activos del proyecto (inversión inicial)

K Precio de ejercicio

Duración del tiempo en que la decisión puede ser diferida

t Tiempo a la expiración de la opción

Valor del dinero en el tiempo rf Tasa libre de riesgo

Riesgo de los activos del proyecto (volatilidad en los flujos de resultados)

σσσσ2 Varianza de las ganancias a la venta

Algunos proyectos involucran un gasto grande para construir un activo productivo. Invertir para explotar una oportunidad de negocios tal, es análogo a ejercer una opción en un intercambio de acciones. El monto de dinero invertido corresponde al precio de ejercicio de la opción (K). El valor presente del activo adquirido corresponde al precio de venta de las acciones (S). El tiempo en la cual la compañía puede diferir la decisión de inversión sin perder la oportunidad corresponde al tiempo de expiración de la opción (t). La incertidumbre sobre el valor futuro de los flujos de efectivo del proyecto, esto es, el riesgo del proyecto, corresponde a la desviación estándar de ganancias sobre el activo (σσσσ). El valor del dinero en el tiempo, está dado en ambos casos por la tasa libre de riesgo (rf). 3.3.2 LA COINCIDENCIA ENTRE EL VALOR PRESENTE NETO Y EL VALOR DE LA OPCIÓN Los métodos tradicionales de flujos de efectivo descontados, califican las oportunidades al presentar los valores presentes netos. El valor presente neto (VPN) es la diferencia entre cuánto valen los activos operantes (su valor presente) y cuánto cuestan (la inversión que debe efectuarse):

VPN = Valor presente de los activos (S) – Costo de capital requerido (K)

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Si el VPN es positivo, la empresa incrementará su propio valor al llevar a cabo la inversión. Cuando el VPN es negativo, es más recomendable que la empresa no invierta. Cuando una decisión final sobre el proyecto no puede ser diferida por más tiempo el VPN y el valor de opción del proyecto son iguales; esto es, cuando la “opción” de la compañía ha alcanzado su fecha de expiración. En ese momento, se toma el que sea mayor de ambos:

Valor de la opción = S – K ó

Valor de la opción = 0 Se sabe que a partir del mapa de correspondencias, S es el valor presente de los activos del proyecto y K es igual al gasto de capital requerido para la inversión. Para compararlos solamente es necesario observar que cuando el VPN es negativo, la corporación no invertirá, así que el valor del proyecto es efectivamente cero (como en el valor de una opción), en vez de negativo (ya que todavía no se ha elaborado la inversión y por eso no se pierde nada). De esta forma, puede concluirse que ambos métodos recurren al mismo número y la misma decisión: Diagrama 3.3.2: ¿CUÁNDO SON IDÉNTICOS EL VPN Y EL VALOR DE LA OPCIÓN? Esto ocurre cuando la decisión de inversión no puede ser diferida por más tiempo

VPN Convencional Valor de Opción VPN = S(Valor de los activos del proyecto) – K(Gasto requerido) Así pues, VPN = S – K

Cuando t =0, σ2 y rf no afectan el valor de la opción call. Solo importan S y K. Al momento de la expiración, el valor de la opción call es S – K ó 0, el que sea mayor

Aquí, debe decidirse entre “invertir” o “no invertir” Aquí, debe decidirse entre “ejercer” o “no ejercer”

Esta coincidencia entre el VPN y el valor de las opciones, tiene una gran utilidad práctica. Significa que la información de una corporación que se combinan para el VPN convencional son relevantes para la tarificación de opciones. Cualquier cálculo que derive el VPN ya contiene la información necesaria para computar S y K, que son dos de las cinco variables en la tarificación de opciones. De acuerdo a esto, los ejecutivos que quieren utilizar la tarificación de opciones no necesitan desechar sus sistemas de valuación basados en el flujo de efectivo descontado. ¿En qué momento divergen el VPN y la tarificación de opciones? Cuando la decisión de inversión puede diferirse. La posibilidad de aplazamiento da cabida a dos recursos adicionales de valor:

a. Siempre se prefiere pagar una deuda en el mayor plazo de tiempo posible (estando todo lo demás constante), porque podría ganarse el valor del dinero en el tiempo con el gasto diferido.

b. Mientras se espera, el entorno puede cambiar. En específico, el cambio puede ser sobre

el valor de los activos operantes que se adquirirán. Si los valores suben, aún pueden adquirirse simplemente llevando a cabo la inversión (ejerciendo la opción). Si el valor baja, podría decidirse no adquirirlos; esto también es correcto (y adecuado) porque al esperar, se evita llevar a cabo una mala inversión, preservando la habilidad de participar en buenas salidas.

54

3.4 OPCIONES SOBRE ANÁLISIS DE INVERSIÓN Y PRESUPUESTOS DE CAPITAL En el análisis de inversión tradicional, un proyecto o nueva inversión debería ser aceptado solamente si los retornos sobre el proyecto exceden la tasa de deuda o el costo de capital; en el contexto de flujos de efectivo y tasas de descuento, esto se traduce en proyectos con valores presentes netos positivos. La limitante con este punto de vista, que analiza proyectos en la base de flujos esperados y tasas de descuento, es que falla en considerar completamente las múltiples opciones que usualmente están asociadas con algunas inversiones. Se analizarán tres opciones que están implícitas en proyectos de presupuesto de capital. La primera, es la opción de posponer un proyecto, especialmente cuando la empresa tiene derechos exclusivos sobre él. La segunda, es la opción de expandir un proyecto para cubrir nuevos productos o mercados en algún tiempo futuro. La tercera, es la opción de abandonar un proyecto si los flujos de efectivo no alcanzan las expectativas. 3.4.1 LA OPCIÓN DE POSPONER UN PROYECTO Los proyectos son analizados comúnmente basándose en los flujos de efectivo esperados y las tasas de descuento al momento del análisis; el valor presente neto calculado bajo esas bases es una medida de su valor y aceptabilidad a ese tiempo. Los flujos de efectivo esperados y las tasas de descuento cambian a lo largo del tiempo y de la misma forma, lo hace el valor presente neto. Así pues, un proyecto que tiene valor presente neto negativo el día de hoy puede tener valor presente neto positivo en el futuro. En un medio competitivo, en el que las empresas no tienen ventajas especiales sobre sus competidoras al tomar los proyectos, esto pudiera no parecer significativo. Pero en un medio en el que un proyecto puede tomarse solamente por una empresa (debido a las restricciones legales u otras barreras de entrada para competidores), los cambios en el valor del proyecto a través del tiempo, le dan las características de una opción call. En abstracto, se supone que un proyecto requiere una inversión inicial de K y el valor presente esperado de los flujos internos calculado al día de hoy es S. El valor presente neto del proyecto es la diferencia entre los dos:

VPN = S – K

Ahora, suponer que la empresa tiene derechos exclusivos sobre el proyecto por los siguientes n años y que el valor presente de los flujos internos puede cambiar a través del tiempo, debido a cambios ya sea en los flujos de efectivo o la tasa de descuento. Así, el proyecto pudiera tener un valor presente neto negativo ahora, pero aún así ser un buen proyecto si la empresa espera. Al redefinir S como el valor presente de los flujos de efectivo, la regla de decisión de la empresa sobre este proyecto puede resumirse de la siguiente forma:

Si S > K ⇒⇒⇒⇒ Tomar el proyecto pues tiene valor presente neto positivo

Si S < K ⇒⇒⇒⇒ No tomar el proyecto pues tiene valor presente neto negativo

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Valor Presente de los Flujos de

Efectivo Inversión inicial del

proyecto Valor presente de los

Flujos de Efectivo esperados El proyecto tiene Valor Presente Neto NEGATIVO en este rango

El proyecto tiene Valor Presente Neto POSITIVO en este rango

Si la empresa no toma el proyecto, esto implica que no habrá flujos de efectivo adicionales, aunque se pierda lo que originalmente se invirtió en dicho proyecto. Esta relación puede presentarse en un diagrama de pagos de flujos de efectivo sobre este proyecto, como se muestra en el Diagrama 3.4.1, suponiendo que la empresa espera hasta el final del periodo para el que tiene derechos exclusivos sobre el proyecto: Diagrama 3.4.1: LA OPCIÓN DE POSPONER UN PROYECTO

Hay que destacar que este diagrama de pagos es para una opción call: el activo subyacente es el proyecto, el precio de ejercicio de la opción es la inversión que se necesita para tomar el proyecto y la vida de la opción es el periodo por el cual la empresa tiene derecho sobre el proyecto. El valor presente de los flujos de efectivo sobre este proyecto y la varianza esperada en dicho valor presente representan el valor y la varianza del activo subyacente.

DEFINICIÓN DE LAS ENTRADAS PARA EVALUAR LA OPCIÓN DE POSPONER

Las entradas que se necesitan para aplicar la teoría de tarificación de opciones para evaluar la opción de posponer son las mismas que se necesitan para cualquier opción. Se necesita el valor del activo subyacente, la varianza sobre ese valor, el tiempo a la expiración de la opción, el precio de ejercicio, la tasa libre de riesgo y la equivalente de dividendos (el costo de posponer).

a. Valor del activo subyacente

En el caso de opciones de productos, el activo subyacente es el proyecto por sí mismo. El valor actual de este activo es el valor presente de flujos de efectivo esperados de iniciar el proyecto ahora, sin incluir la inversión inicial, que puede obtenerse al hacer un análisis estándar de presupuesto de capital. Sin embargo, es posible que exista discrepancia y confusión en las estimaciones de los flujos de efectivo y el valor presente. En vez de verlo como un problema, esta incertidumbre debe verse como la razón por la que la opción de posponer el proyecto tiene valor. Si los flujos de efectivo esperados sobre el proyecto se conocieran con certeza y no se esperara que cambiaran, no habría necesidad de adoptar un soporte de tarificación de opciones, pues no habría valor para la opción.

b. Varianza en el valor del activo Como se puede observar en la sección anterior, es posible que exista incertidumbre asociada con las estimaciones de los flujos de efectivo y el valor presente que mide el valor del activo a la fecha actual. Esto es, en parte porque el tamaño del mercado potencial del

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producto puede ser desconocido y en parte porque los avances tecnológicos pueden cambiar la estructura de costos y rentabilidad del producto. La varianza en el valor presente de los flujos de efectivo del proyecto puede estimarse en tres posibles formas:

1) Si se han introducido proyectos similares en el pasado, la varianza en los flujos de efectivo sobre estos proyectos se puede utilizar como un estimado. Esta puede ser la forma en la que una compañía de productos de consumo podría estimar la varianza asociada a introducir una en alguna de sus marcas.

2) Se pueden asignar probabilidades a varios escenarios de mercado, flujos de efectivo

estimados bajo cada escenario y la varianza estimada a través de valores presentes. Alternativamente, las distribuciones probabilísticas se pueden estimar para cada una de las entradas del análisis del proyecto: el tamaño del mercado, la participación de mercado y el margen de beneficio, por ejemplo; y las simulaciones que se usan para estimar la varianza en los valores presentes que se requieran. Esta aproximación tiende a trabajar mejor cuando solamente existen una o dos fuentes (como la aleatoriedad en ingresos y egresos)11 de incertidumbre sobre los flujos de efectivo futuros.

3) Como un estimado de la varianza puede utilizarse la varianza en el valor de la

empresa o empresas involucradas en el mismo negocio que el proyecto que se está considerando. Así, la varianza promedio en el valor de una empresa aseguradora, podría representar la varianza del valor presente de un proyecto particular de seguros. Desgraciadamente, en México este tipo de información no se da a conocer públicamente.

El valor de la opción está ampliamente influido por la varianza en los flujos de efectivo: a mayor varianza, mayor será el valor de la opción de posponer el proyecto. Entonces el valor de la opción de hacer un proyecto en un negocio estable será menor que el valor de una en un entorno donde la tecnología, competencia y resultados finales cambian constantemente.

c. Precio de ejercicio de una opción Una opción de posponer un proyecto se ejerce cuando la empresa que posee derechos sobre el proyecto decide invertir en él. El costo de hacer esta inversión es el precio de ejercicio de la opción. El supuesto implícito es que este costo permanece constante (en valor presente monetario) y que cualquier incertidumbre asociada con el producto se refleja en el valor presente de los flujos de efectivo del producto.

d. Expiración de la opción y tasa libre de riesgo

La opción de posponer el proyecto expira cuando los derechos sobre el proyecto terminan su plazo, se supone que las inversiones hechas después de que los derechos del proyecto expiran, originan un valor presente neto de cero como retornos de competencia hacia la tasa requerida. La tasa libre de riesgo que se usa en la tarificación de opciones debe ser la que corresponda a la expiración de la opción. Mientras esta variable puede estimarse relativamente fácil cuando las empresas tienen derechos explícitos sobre un proyecto (a través de una licencia o patente, por ejemplo), se vuelve más difícil de obtener cuando las

11 En términos prácticos, las distribuciones probabilísticas para variables como el tamaño del mercado y la participación de mercado pueden obtenerse a menudo de estudios de mercado

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empresas solo tienen una ventaja competitiva para tomar un proyecto. Como las ventajas competitivas se disuelven al pasar el tiempo, el número de años por los que la empresa puede esperar tener estas ventajas es la vida de la opción.

e. Costo de posponer (tasa de dividendos) Existe un costo al posponer un proyecto, una vez que el valor presente neto se vuelve positivo. Como los derechos sobre un proyecto expiran después de un período fijo, se elabora el supuesto de que los beneficios en exceso (que son la fuente de un valor presente positivo) desaparecen después del tiempo a la par que van emergiendo nuevos competidores, cada año de retraso se traduce en un año menos de flujos de efectivo que crean valor12. Si los flujos de efectivo se distribuyen sobre el tiempo y la vida de la patente es de n años, el costo de posponer se puede expresar como:

n1posponer de anual Costo =

Así pues, si los derechos sobre el proyecto son por 20 años, el costo anual de posponer se vuelve de 5% anual. Este costo de posponer se incrementa cada año de 1/19 al año 2, 1/18 en el año 3 y así sucesivamente haciendo que el ejercicio del costo de posponer sea mayor a lo largo del tiempo.

f. Ejemplo: Cómo evaluar la opción de posponer un proyecto Un inversionista está interesado en adquirir los derechos exclusivos del mercado de un producto nuevo que hará más fácil a las personas el acceso remoto a su e – mail. Si se adquieren los derechos sobre el producto, se tendrán que pagar $500 millones al inicio para montar la infraestructura necesaria para proveer el servicio. Basándose en las proyecciones actuales, se cree que el servicio solamente generará $100 millones en los flujos libres de impuesto cada año. Adicionalmente, se espera operar sin competencia seria durante los primeros 5 años. Desde un punto de vista estático, el valor presente neto de este proyecto puede calcularse tomando el valor presente de los flujos de efectivo esperados por los siguientes 5 años. Se considera una tasa de descuento del 15% (basada en el alto riesgo de este proyecto) y se obtiene el siguiente valor presente neto para el proyecto: VPN del proyecto = -$500 millones + $100 millones*(

15%5a ) (ANUALIDAD AL 15% DE

INTERÉS DURANTE 5 AÑOS) VPN = -$500 millones + $335 millones = -$165 millones (Este proyecto tiene valor presente neto negativo) La mayor fuente de incertidumbre en este proyecto es el número de gente que estará interesada en este producto. Mientras que las pruebas de mercado indican que podrá capturarse un número relativamente pequeño de clientes (trabajadores en viajes de negocios), también indican la posibilidad de que el mercado potencial pueda ampliarse

12 Un flujo de efectivo que crea valor es el que añade valor al valor presente neto porque está en exceso del retorno requerido para inversiones de riesgo equivalente

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mucho más a través del tiempo. De hecho, una simulación de los flujos del proyecto, muestra una desviación estándar del 42% en el valor presente de éstos, con un valor esperado de $335 millones. Para evaluar los derechos exclusivos para este proyecto, se definen las entradas para el modelo de tarificación de opciones: Valor del activo subyacente (S) = Valor presente de los flujos si el proyecto empezara hoy mismo Valor del activo subyacente (S) = 335 millones Precio de ejercicio (K) = Inversión inicial necesitada para iniciar el proyecto Precio de ejercicio (K) = 500 millones Varianza en el valor del activo subyacente (σσσσ2) = 0.422 = 0.1764 Tiempo a la expiración (t) = Período de derechos exclusivos sobre el proyecto = 5 años Tasa de dividendos (y) = 1/Vida de la patente = 1/5 = 0.20 Se supuso que la tasa libre de riesgo por 5 años es 5%. El valor de la opción se estima de la siguiente forma:

)N(dKe)N(dSe call de Valor 2rt

1yt −− −=

tσ

)t2σy-(r

KSln

d

2

1

++

= tσdd 12 −=

d1= - 0.755448 d2 = - 1.694596

(Recordar que d1 y d2 se evalúan en la función normal estándar de media cero y varianza 1) N(d1) = 0.224990 N(d2) = 0.045076 Valor del call = 335 e (-0.2)(5)(0.2250) – 500 e (-0.05)(5)(0.0451) = 27.7289 – 17.5620 Valor del call = $10.18 millones Los derechos sobre este producto, que tiene valor presente neto negativo si se inicia el día de hoy, equivalen a $10.18 millones. Hay que destacar que la probabilidad de que este proyecto se vuelva viable antes de su expiración es muy baja (entre 4.5% y 22.5%) de acuerdo a lo que indican las variables N(d1) y N(d2).

CONSIDERACIONES PRÁCTICAS

Es muy claro que la opción de posponer está asociada a muchos proyectos sin embargo, existen algunos problemas asociados al uso de modelos de tarificación de opciones para evaluar éstos:

• El activo subyacente en esta opción, que es el proyecto, no es intercambiado en un

mercado financiero, haciendo que sea difícil la estimación de su valor y varianza. Se podría argumentar que el valor puede estimarse a partir de los flujos esperados y la tasa de descuento para el proyecto, que sería el modelo más simple. La varianza es más

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complicada de estimar, pues está tratándose de estimar la varianza del valor de un proyecto a través del tiempo.

• El comportamiento de los precios sobre el tiempo PUEDE NO REPRESENTAR la tendencia

de precios que se consideró en el modelo de tarificación de opciones. En particular, el supuesto de que el valor sigue un proceso de difusión y que la varianza en el valor permanece sin cambio sobre el tiempo, puede ser difícil de justificar en el contexto de un proyecto. Por ejemplo, un desarrollo tecnológico repentino puede cambiar dramáticamente el valor de un proyecto (negativa o positivamente).

• Puede NO EXISTIR UN PERÍODO DE TIEMPO ESPECÍFICO para el que la firma tenga

derechos exclusivos sobre el proyecto. A menudo estos derechos pueden ser definidos con poca claridad (en ambos términos: de exclusividad y tiempo). Por ejemplo, una empresa puede tener ventajas significativas sobre sus competidoras, que podrían, a cambio estar dotadas con derechos exclusivos para un proyecto durante un período de tiempo. Los derechos, sin embargo, no son restricciones legales y podrían expirar más rápido de lo establecido. En tales casos, la vida esperada del proyecto, por sí mismo, es incierta y únicamente representa una estimación. En la sección anterior, al valuar los derechos sobre un producto, se usó un tiempo de opción de 5 años, pero los competidores, podrían entrar antes de lo que se anticipó. Alternativamente, las barreras a la entrada podrían volverse mayores a lo esperado y permitir que la empresa gane exceso de retornos por más de 5 años. Irónicamente, la incertidumbre sobre la vida esperada de la opción puede incrementar la varianza en valor presente y, a través de eso, incrementar también el valor esperado de los derechos sobre el proyecto.

IMPLICACIONES DE VER COMO UNA OPCIÓN EL DERECHO A POSPONER UN NEGOCIO Existen algunas implicaciones que surgen del análisis de que el posponer un negocio sea visto como una opción:

• El proyecto pudiera tener valor presente neto negativo, basándose en los flujos de

efectivo esperados actualmente, pero aún ser “valioso” debido a las características de la opción; esto es, mientras un valor presente neto negativo debería orientar a la empresa a rechazar el proyecto, no debería orientarla a concluir que los derechos sobre este proyecto no valen la pena.

• Un proyecto puede tener valor presente neto positivo, pero no ser aceptado de

inmediato. Esto es porque la empresa puede ganar más al esperar y tomar el proyecto en un período futuro, por las mismas razones que los inversionistas no siempre ejercen la opción solo porque está “in the money”. Esto es más probable que pase cuando la empresa tiene derechos para el proyecto durante un largo período de tiempo y la varianza en los flujos del proyecto es alta. Como ejemplo, hay que pensar en una empresa que tiene derechos de patente para producir un nuevo tipo de entrada de disco para construir sistemas, y que la construcción de una nueva planta originaría un valor presente neto positivo al día de hoy. Si la tecnología para fabricar esa unidad de disco está en constante desarrollo, la firma podría retrasar el tomar el proyecto, esperando que una nueva tecnología incremente los flujos esperados y en consecuencia, el valor del proyecto. Tiene que comparar esto contra el costo de posponer el proyecto, que serán los flujos que se sacrificarán al no tomar el proyecto ahora mismo.

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Pago final neto por introducir

el producto

Costo de introducirel producto

Valor presente de losflujos esperados del producto

• Algunos factores que pueden volver un proyecto menos atractivo en un análisis estático, pueden hacer los derechos sobre el proyecto más valiosos. Un ejemplo es el considerar el efecto de la incertidumbre sobre cuánto tiempo será capaz de operar una empresa sin competencia y ganar exceso de retornos. En un análisis estático, al incrementarse la incertidumbre se incrementa el riesgo del proyecto y pudiera parecer menos atractivo. Cuando el proyecto se ve como una opción, el incremento en incertidumbre, puede de hecho, hacer que la opción sea más valiosa.

CASO 1: EVALUACIÓN DE UNA PATENTE

La patente sobre un producto le da a una empresa el derecho de desarrollar y comercializar un producto. Esto se hará únicamente si el valor presente de los flujos esperados de las ventas excede el costo de desarrollar un producto (Diagrama 3.4.2). Si esto no pasa, la empresa puede dejar a un lado esta patente y no incurrir en más costos. Si S es el valor presente de los costos de desarrollar el producto y K es el valor presente de los flujos esperados del desarrollo, los pagos finales de poseer una patente de producto puede describirse como:

≤>−IK si 0IK siK S

Entonces, la patente del producto puede verse como una opción call, donde el producto por sí mismo es el activo subyacente. Diagrama 3.4.2: PAGO FINAL PARA INTRODUCIR UN PRODUCTO

EJEMPLO: EVALUACIÓN DE LA PATENTE DE UNA MEDICINA13 La empresa “B” es una empresa de biotecnología con una patente sobre una droga para la esclerosis múltiple. Se trata de evaluar la patente para la empresa y se llega a las siguientes estimaciones para poder aplicar el modelo de tarificación de opciones:

a. Un análisis interno del comportamiento de la droga, basado en el mercado potencial y el precio que la empresa podría esperar cobrar, deriva en un valor presente de los flujos de $3,422 millones, antes de considerar el costo inicial de desarrollo

b. El costo inicial de desarrollar la droga para su uso comercial se estima en $2,875

millones, si se introduce el día de hoy

13 Tomado de “La promesa y el peligro de las Opciones Reales”, de Aswath Damodaran. NYUniversity, 1992

Pago final por poseer una patente de producto =

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c. La empresa tiene la patente de la droga durante los siguientes 17 años, y la tasa actual para ese plazo es del 6.7%

d. La varianza promedio en el valor de la empresa para empresas de biotecnología que son

públicamente intercambiadas es del 0.224, aunque se dificulta el hacer simulaciones razonables de los flujos de efectivo y valores presentes

El potencial para que exista exceso en retornos es solamente durante la duración de la patente ya que la competencia eliminará dicho exceso después de ese período. De esta forma, cualquier retraso al introducir el producto (una vez que se determina que éste es viable), costará a la empresa un año de exceso de retornos protegidos por la patente. (De acuerdo al análisis inicial, el costo de retraso es 1/17, al siguiente año será 1/16, dentro de dos años será 1/15 y así sucesivamente).

Basándose en estos supuestos, se obtienen las siguientes entradas para el modelo de tarificación de opciones:

Valor presente de los flujos si la droga se introduce hoy = S = $3,422 millones Costo inicial de desarrollar la droga para uso comercial (al día de hoy) = K = $ 2,875 millones Duración de la patente = t = 17 años Tasa libre de riesgo = r = 6.7% (bono gubernamental por 17 años) Varianza en las valores presentes esperados = �2 = 0.224 (varianza promedio en la industria de empresas biotecnológicas) Costo esperado por posponer = y = 1/17 = 5.89% Estos datos originan las siguientes estimaciones para d y N(d):

tσ

)t2σy-(r

KSln

d

2

1

++

= tσdd 12 −=

d1 = 1.1362 N(d1) = 0.8720 d2 = -0.8512 N(d2) = 0.2076

)N(dKe)N(dSe call de Valor 2

rt1

yt −− −= Valor de la patente = 3,422*e-(.0589)(17)(0.8720) – 2.875*e-(0.067)(17)(0.2076) = 1,097 –190 Valor de la patente = $907 millones En contraste, el valor presente neto de este proyecto es: VPN = $3,422 millones - $2,875 millones = $547 millones

La prima de tiempo sobre esta opción sugiere que la empresa debe esperar en vez de desarrollar la droga de inmediato. Sin embargo, el costo de posponer se incrementará con el tiempo y esto hará que el ejercicio de la opción (desarrollar el producto) sea más viable.

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NOTAS PARA AFINAR DETALLES

En el curso de esta discusión, se han formulado varios supuestos para simplificar la estimación de valores, por ejemplo:

• Se elaboró el supuesto de que toda la incertidumbre en el valor de la patente viene del

valor presente de los flujos, y que la inversión inicial se conoce con certeza. En la práctica, la inversión inicial también se estima con algo de “ruido” y el valor de la opción debería reflejarlo de alguna manera como por ejemplo, incluyendo algún factor de incertidumbre hacia S, que es el estimado del valor esperado de los flujos. Otra forma podría ser, elaborando el análisis completo en términos escalados. Para ilustrar esto, se toman en cuenta las cifras del ejercicio anterior, considerando que los estimados para S y K pueden cambiar en el tiempo, entonces el análisis puede reexpresarse en las siguientes unidades:

S = Valor presente de los flujos / Inversión Inicial = 3,422 / 2,875 = 1.1903 K = Inversión inicial en términos escalados = 1.00 σσσσ2 = Varianza en el índice de valor presente sobre el tiempo (en vez de sobre el valor presente de los flujos) = 0.224

Todas las demás entradas pueden permanecer sin cambio. El valor de la opción será estimado como un porcentaje de la inversión inicial:

Valor de la opción = 0.3154 (31.54% de la inversión inicial)

Como se utilizó la misma estimación de varianza en ambos casos, el valor de la opción aun es de $907 millones. Ampliar la varianza en la razón del valor presente de los flujos puede resultar diferente de la varianza del valor presente de dichos flujos, el valor de la opción podría cambiar con el reescalamiento.

• Se supuso que el exceso en retornos está restringido a la duración de la patente y que

desaparece en el instante en que la patente expira. En el sector farmacéutico, la expiración de una patente no necesariamente significa pérdida en el exceso de retornos. De hecho, muchas firmas pueden cargar un precio de prima por sus productos y ganar este exceso en retornos, aún después que la patente expira como consecuencia del nombre de la marca y la imagen que les otorga el haber construido el proyecto. Una forma simple de ajustar a este hecho es incrementar el valor presente de los flujos del proyecto (S) y disminuir el costo de posponer (y) para reflejar las características. El efecto neto es una mayor verosimilitud con las empresas que posponen los desarrollos comerciales mientras esperan a reunir más información y demanda de mercado.

Al hacer estos ajustes, vale la pena mantener presente que un valor aproximado del valor de la opción es suficiente en la mayoría de los casos.

3.4.2 LA OPCIÓN DE EXPANDIR UN PROYECTO En algunos casos, las empresas inician proyectos únicamente porque al hacerlo, se permiten acceso a otros proyectos o la entrada a otros mercados en el futuro. En tales casos, puede argumentarse que los proyectos iniciales son opciones que permiten que la firma amplíe sus

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Costo de expansión Valor presente de los

Flujos esperados del producto VPN de expansión se vuelve

positivo en este rangoVPN de expansión es negativo en este rango

Valor presente de los flujos

horizontes y por lo tanto, debería estar dispuesta a pagar un precio por dichas opciones, aceptando valores presentes netos negativos en el proyecto inicial debido a la probabilidad de valores presentes positivos elevados en proyectos futuros. Para examinar esta opción utilizando el método desarrollado anteriormente, se supone que el valor presente de los flujos esperados al entrar a un mercado nuevo o tomar un nuevo proyecto es S y que la inversión total que se necesita es K. Se considera que la empresa tiene un horizonte de tiempo al final del cual tiene que tomar la decisión final sobre si toma o no ventaja sobre esta oportunidad. También se supone que la empresa no puede seguir adelante con esta oportunidad si no toma el proyecto inicial. Este escenario implica que los pagos finales son como en la siguiente figura: Diagrama 3.4.3 LA OPCIÓN DE EXPANDIR UN PROYECTO

Como puede observarse, en la expiración del horizonte fijo de tiempo, la empresa ingresará al nuevo mercado o tomará el nuevo proyecto si el valor presente de los flujos esperados en ese punto de tiempo excede al costo de entrar al mercado. OBTENIENDO LAS ENTRADAS PARA EVALUAR LA OPCIÓN DE EXPANSIÓN: EL CASO DE UNA MACROTIENDA PARA INSUMOS ARQUITECTÓNICOS14 Se asume que una gran corporación de macrotiendas para insumos arquitectónicos está considerando abrir una sucursal reducida en Zacatecas. La construcción de la tienda costará 10 millones de pesos y el valor presente de los flujos esperados de dicha tienda es de 12 millones, por lo que, a primera vista, la tienda tiene un valor presente neto negativo de 2 millones de pesos. Sin embargo, se sabe que al abrir la sucursal, el inversionista adquiere la opción de expandirse y convertirse en la tienda más grande durante los siguientes 5 años y el costo de esta expansión será de 20 millones y será llevada a cabo solo si el valor presente de los flujos esperados excede esta cantidad. En este momento, el valor presente de los flujos esperados de la expansión se estima en solamente 15 millones. Si fuera mayor, la corporación hubiera abierto la sucursal en grande desde el principio. La empresa todavía no conoce mucho sobre el mercado potencial y real de productos arquitectónicos para instalar en casa en la provincia norte de México y existe una considerable incertidumbre sobre la estimación. La varianza es 0.08. El valor de la opción de expandir puede ser estimado, definiendo las entradas al modelo de tarificación de opciones de la siguiente manera: Valor del activo subyacente (S) = Valor presente de los flujos esperados de la

expansión al día de hoy 14 Modelado a partir de “La Promesa y el peligro de las opciones reales”, op. cit.

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Valor del activo subyacente (S) = 15 millones de pesos Varianza del activo subyacente (σσσσ2) = 0.08 Precio de ejercicio (K) = Costo de expansión = 20 millones de pesos Tiempo a la expiración (t) = Período en el que aplica la opción de expansión = 5 años Suponer que la tasa libre de riesgo para un período de 5 años es del 6%. El valor de la opción se estima de la siguiente forma: Estos datos originan las siguientes estimaciones para d y N(d):

tσ

)t2σ(r

KSln

d

2

1

++

= tσdd 12 −=

d1 = 0.3357 N(d1) = 0.6314 d2 = -0.2968 N(d2) = 0.3833

)N(dKe)N(dSe call de Valor 2

rt1

rt −− −= = 15e(-0.06)(5)(0.6314) – 20e(-0.06)(5)(0.3833) Valor de call = 7.0163 – 2.3090 = 4.7073 Este valor puede añadirse al valor presente neto del proyecto original que se está considerando. Valor Presente Neto (VPN) de la tienda = 10 millones – 12 millones = -2 millones Valor de la opción de expandir = 4.7073 millones Valor Presente Neto de la tienda con la opción de expansión = -2 + 4.7073 millones Valor Presente Neto de la tienda con la opción de expansión = 2.71 millones Por lo tanto, la corporación debe optar por abrir la sucursal pequeña, aunque el proyecto tenga VPN negativo porque en consecuencia, adquiere una opción de mucho más valor. CONSIDERACIONES PRÁCTICAS Este apartado es similar a las consideraciones asociadas a la valuación de la opción de posponer. En la mayoría de los casos, las empresas con opciones de expansión no tienen un horizonte de tiempo específico durante el cual tendrían que tomar una decisión de expansión, haciendo que éstas sean decisiones con finales abiertos o en el mejor de los casos, opciones con tiempos “arbitrarios” de duración. Aún en estos casos (en los que pudiera estimarse un tiempo de duración para la opción) no pueden conocerse ni el tamaño ni las características el mercado potencial del producto y esta estimación se puede volver un problema. Considérese el ejemplo anterior, en el que, aunque se adoptaba un período de 5 años al final del cual la empresa tiene que decidir su expansión en la provincia (Zacatecas). Es posible que este período no especifique exactamente la fecha en la que se abrirá la tienda, y más aún, se supuso que tanto el costo como el valor presente de la expansión se conocen desde el principio. En la realidad, la empresa pudiera no poseer buenas estimaciones para ninguna de estas características antes de abrir la primer tienda porque no posee información suficiente sobre el mercado implícito.

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IMPLICACIONES La opción de expansión se utiliza implícitamente en las empresas que toman proyectos que tienen valor presente neto negativo, pero saben que esto origina oportunidades para incursionar en nuevos mercados o vender nuevos productos. La teoría de tarificación de opciones aporta rigor a este argumento al estimar el valor de esta opción y profundiza en las ocasiones en que estas oportunidades son más valiosas. En general, la opción de expandir es claramente más valiosa para los negocios valiosos con altos retornos sobre los proyectos (como biotecnología o software) que en los negocios estables con bajos retornos (como construcción o producción de automóviles o bienes de consumo). a. Consideraciones estratégicas / Opciones

En algunas adquisiciones o inversiones, la firma adquiriente supone que la transacción le dará futuras ventajas competitivas, como las siguientes:

1) Entrada en un mercado grande o en proceso expansivo: Una inversión o adquisición puede permitir que la firma entre en un mercado grande o potencialmente grande mucho más pronto de lo que se hubiera logrado con otra estrategia. Un buen ejemplo de esto sería la adquisición por parte de una empresa estadounidense, de una empresa mexicana de seguros, con el objetivo de penetrar un mercado particular mexicano, como se verá en el capítulo 4.

2) Experiencia tecnológica: En algunos casos, la adquisición es motivada por el

deseo de adquirir una propiedad tecnológica, que permite al comprador expandirse ya sea en un mercado existente o en uno nuevo.

3) Nombre de la marca: A menudo, las empresas pagan primas mayores a las del

precio del mercado (aún para compañías en quiebra) para adquirir firmas con nombres de marca valiosos y conocidos porque creen que dichos nombres pueden utilizarse para la expansión a nuevos mercados en el futuro.

Mientras que todas estas ventajas potenciales podrían usarse para justificar las inversiones iniciales que no se ajustan a los indicadores financieros tradicionales (VPN negativo para el valor de los proyectos, primas de adquisición, empresas en quiebra, etc.), no todas crean opciones valiosas. El valor de la opción se deriva del grado en el cual estas ventajas competitivas (en caso de que existan) se traducen en un exceso en retornos sustancioso.

b. Investigación y desarrollo de mercados Las empresas que invierten considerables montos en investigación, desarrollo y pruebas de mercado a menudo encuentran dificultades al evaluar estos gastos pues los pagos finales siempre están en términos de proyectos futuros. Así mismo, existe una posibilidad real de que una vez que se ha gastado el dinero, los proyectos o productos pueden volverse no viables y en consecuencia, el gasto se maneja como costo de quiebra. De hecho, puede argumentarse que el campo de investigación y desarrollo tiene las características de una opción call, pues el monto gastado en este rubro es el costo del call y los proyectos o productos que podrían surgir de la investigación representan los pagos finales de las opciones. Si estos productos son viables (esto es, el valor presente de los flujos excede la

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inversión necesaria), el pago final es la diferencia entre éstos y si no, el proyecto no se acepta y tiene un pago final de cero. De este enfoque a la investigación y desarrollo, surgen varias implicaciones. Primero, los gastos de investigación originan un valor mayor para empresas de tecnologías o negocios volátiles, pues la varianza en los flujos del proyecto está correlacionada positivamente con el valor de la opción call. Un ejemplo es la empresa que gasta gran parte de su presupuesto en el rubro de investigación y desarrollo de productos básicos de oficina (hojas pegables – POST ITS – de notas y otros) y debería recibir menos valor15 por su investigación que lo que recibe otra cuya investigación primaria sea sobre productos biotecnológicos. Segundo, el valor de la investigación y la cantidad óptima para gastarse en ella cambiarán a través del tiempo y la maduración de los negocios. El mejor ejemplo es en la industria farmacéutica invirtió la mayoría de su presupuesto de la década de los 80’s en la investigación y ganaron altos retornos sobre los nuevos productos a medida que el negocio de cuidados en la salud se expandió. Sin embargo, en la década de los 90’s los costos de salud empezaron a nivelarse a medida que el negocio maduraba y muchas de estas empresas descubrieron que no estaban obteniendo los mismos pagos finales sobre la investigación y comenzaron a reducir sus costos. Algunas empresas cambiaron los presupuestos de las drogas convencionales hacia productos de biotecnología en los que la incertidumbre acerca de futuros flujos, permanecía alta.

c. Proyectos e inversiones multifacéticos Cuando se habla de nuevas inversiones o entradas a un nuevo negocio, las empresas en ocasiones tienen la opción de entrar a la industria por etapas. Al hacerlo, pueden reducir pérdidas potenciales y protegerse del riesgo al decidir en cada etapa, evaluando la demanda y decidiendo si se pasa o no a la siguiente etapa. En otras palabras, un proyecto estándar puede reclasificarse como una serie de opciones de expansión, estando cada opción dependiendo de su predecesora. Existen dos preposiciones que seguir:

1) Algunos proyectos que no lucen bien en una base de inversión integral, pueden ser valiosos si la empresa puede invertir en etapas

2) Algunos proyectos que lucen atractivos en una base de inversión integral pueden

volverse aún más atractivos si ésta se lleva a cabo en etapas La ganancia en valor de las opciones que crea una inversión multifacética debe sopesarse contra el costo. El tomar inversiones por etapas puede permitir competidores que decidan entrar al mercado para retenerlo a escala completa (desventaja de competencia). También puede originar costos más altos en cada etapa, pues la empresa no estaría aprovechando completamente la ventaja de las economías de escala. Existen numerosas implicaciones al ver esta elección entre inversiones multifacéticas e integrales en la teoría de opciones. Los proyectos donde las ganancias se incrementarían al realizar la inversión en varias facetas incluyen:

1) Proyectos donde existen barreras a la entrada hacia competidores que ingresan en un mercado y toman ventaja de los retrasos de la producción a grandes

15 Esta afirmación se basa en el supuesto de que la calidad de investigación es la misma para ambas empresas, aunque la investigación sea diferente, constituyéndose la única diferencia en la volatilidad del negocio implícito

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escalas. Así pues, una firma con una patente sobre un producto u otra ventaja legal sobre la competencia paga un precio mucho menor por iniciar modestamente y luego expandirse mientras aprende más sobre el producto.

2) Proyectos en los que existe una incertidumbre alta sobre el tamaño del mercado y

el éxito del proyecto. Comenzando “en pequeño” y luego expandirse permite que la firma reduzca sus pérdidas si el producto no se vende tan bien como se pensó y permite también aprender más sobre el mercado en cada etapa. Esta información puede ser útil en etapas subsecuentes de diseño y mercadeo de productos.

3) Los proyectos donde existe una inversión cuantiosa necesaria para la

infraestructura (costos fijos elevados) y un alto nivel operativo. Como los ahorros de hacer un proyecto en múltiples etapas pueden convertirse en inversiones que cada etapa necesita, éstos serán mayores en las empresas en que los costos sean elevados. Los proyectos intensivos de capital y los proyectos que requieren grandes costos iniciales de marketing (una nueva marca para una compañía de productos de consumo) ganará más de las opciones creadas al tomar el proyecto en múltiples etapas.

ALGUNAS CLAVES PARA DESCUBRIR CUÁNDO SON VALIOSAS LAS OPCIONES REALES Existe peligro al utilizar el argumento de que algunas inversiones son valiosas para la estrategia o la expansión: cuando se utiliza para justificar inversiones “pobres”. De hecho, los adquirientes han justificado ampliamente las enormes primas de adquisición en los campos de sinergia y estrategia. Para prevenir que las opciones reales caigan en el mismo abismo, es necesario ser más riguroso en la medida de valor de estas opciones. a. Estimación cuantitativa

Cuando se utilizan las opciones reales para justificar una decisión, esta justificación debe estar realizada en términos cualitativos, ya que los directivos que defienden la toma de un proyecto con bajos retornos o el pago de una prima de adquisición con bases de opciones reales, deben presentar la valuación de estas opciones y demostrar que los beneficios económicos exceden los costos. Existirán dos argumentos contra esta solicitud:

1) Las opciones reales no pueden evaluarse fácilmente pues las entradas son difíciles de obtener y a menudo, inciertas

2) Las entradas de los modelos de tarificación de opciones pueden manipularse

fácilmente para respaldar cualquier conclusión que se desee

Mientras que ambos argumentos tienen bases sólidas, una mala estimación puede ser mejor que nada y el proceso de tratar de estimar cuantitativamente el valor de una opción real, es de hecho, el primer paso para entender las características que generan valor.

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b. Pruebas clave No todas las inversiones tienen opciones implícitas en ellas y no todas las opciones (aun en caso de existir) tienen valor. Para saber cuándo una inversión crea opciones valiosas que necesitan analizarse y evaluarse, existen tres preguntas que se necesitan responder afirmativamente:

1) ¿La primera inversión es un requisito imprescindible para la expansión o posterior inversión? Si no lo es, ¿Qué tan necesario es esta primera inversión para la posterior?

Considérese el ejemplo de análisis de valor de la patente de medicina para esclerosis de la empresa “A”. Una empresa no puede generar patentes sin invertir en investigación o pagarle a otra firma por dichas patentes. De forma clara, se requiere de la inversión inicial (gasto en investigación y desarrollo, tomar la oportunidad) para que la empresa disponga de la segunda opción. Ahora, considérese el ejemplo de la macrotienda de arquitectura en Zacatecas y la opción de crecer en el mercado provinciano después. A diferencia del ejemplo de patentes, la inversión inicial no es un prerrequisito para la segunda, aunque la alta dirección pudiera enfocarlo así. La conexión se vuelve más débil cuando se enfoca una empresa que tenga la opción de entrar en un mercado mayor a través de la adquisición de otra.

2) ¿La empresa posee un derecho exclusivo para la inversión/ expansión

posterior? Si no, ¿La inversión inicial otorga ventajas competitivas para inversiones subsecuentes?

El valor de la opción no deriva de los flujos generados por las inversiones subsecuentes sino del exceso de retorno que éstas originan. Entre mayor sea el potencial para exceso de retornos en la segunda inversión, mayor será el valor de la opción en la primera inversión. El potencial para exceso en retornos está cercanamente unido a la ventaja competitiva que la primera inversión otorga a la empresa cuando se trata de inversiones subsecuentes. En un extremo, considérese la inversión en investigación y desarrollo para adquirir una patente. La patente otorga a la firma que los posee , derechos exclusivos para producir el producto y si el mercado potencial es extenso, le da el derecho al exceso en retornos del proyecto. En otro extremo, la empresa podría no tener ventajas competitivas en las inversiones subsecuentes, en cuyo caso, es cuestionable en dónde podrían encontrarse los excesos de retornos. En la realidad, la mayoría de las inversiones caen entre estos dos extremos, con mayores ventajas competitivas asociadas al mayor exceso en retornos y mayores valores de opción.

3) ¿Qué tan sostenidas son las ventajas competitivas? En un mercado competitivo, el exceso en retornos atrae competencia y ésta aleja el exceso de retornos. Entre más sustentables sean las ventajas competitivas que una empresa posee, mayor será el valor de las opciones implícitas a la inversión inicial. La sustentabilidad de las ventajas competitivas es una función de dos fuerzas: la primera es la naturaleza de la competencia, pues mientras otras características permanecen estables, las ventajas competitivas desaparecen mucho más rápido en los sectores donde existen competidores agresivos. La segunda es la naturaleza de la ventaja competitiva; si el recurso que la firma administra es finito y escaso (reservas

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Valor de rescate del abandono

Valor Presente de los flujos del proyecto

naturales y terrenos, por ejemplo), la ventaja competitiva puede sostenerse por períodos más extensos. Alternativamente, la ventaja competitiva se deriva al ser el primero en penetrar un mercado (first mover) o de la experiencia tecnológica. La forma más directa de reflejar esto en el valor de la opción es en su duración, la duración de la opción puede ajustarse al periodo de ventaja competitiva y solamente el exceso de retornos adquirido sobre este período cuenta para el valor de la opción.

3.4.3 OPCIÓN DE ABANDONAR UN PROYECTO La opción final que se considerará es la de abandonar un proyecto cuando sus flujos no cumplen con las expectativas. Una forma de reflejar este valor es a través de árboles de decisión. Esta aproximación ha limitado la aplicación en la mayoría de análisis de inversión del mundo real, trabaja típicamente en proyectos multifacéticos y requiere entradas de probabilidad a cada fase del proyecto. La aproximación de tarificación de opciones representa una forma más general de estimar y construir el valor de abandono en un valor de opción. Para ilustrar, supóngase que S es el valor remanente de un proyecto si este continúa hasta el final de su duración, y K es la liquidación o valor de abandono para el mismo proyecto en el mismo punto del tiempo. Si el proyecto tiene una vida de n años, el valor de continuar con el proyecto puede compararse al valor de liquidación o abandono; si el valor de continuar es mayor, entonces debe seguirse adelante y si el valor de abandono es alto, el tenedor de la opción de abandono podría considerar abandonar el proyecto:

≤>

KS si S -K KS si 0

Diagrama 3.4.4 PAGOS FINALES DE LA OPCIÓN DE ABANDONAR UN PROYECTO A diferencia de los casos anteriores, la opción de abandonar tiene las características de una opción put. VALUACIÓN DE LA OPCIÓN DE ABANDONAR: EJEMPLO Supóngase que una firma considera tomar un proyecto de 10 años que requiere una inversión inicial de 100 millones en una sociedad de gobierno, donde el valor presente de los flujos esperados es de 110 millones. Aunque el valor presente neto de 10 millones es pequeño, se supone que la empresa tiene la opción de abandonar este proyecto en cualquier momento durante los siguientes 10 años al vender su participación de la sociedad a los otros socios en 50 millones. La varianza en el valor presente de los flujos de estar en la sociedad es de 0.09. El valor de la opción de abandonar puede estimarse al determinar las características de la opción put:

Pago final por poseer una opción de abandono =

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Valor del activo subyacente (S) = Valor presente de los flujos del proyecto = 110 millones Precio de ejercicio (K) = Valor de rescate del abandono = 50 millones Tiempo a la expiración (t) = Período en que se tiene la opción de abandono = 10 años Se considera una la tasa libre de riesgo por 10 años al 6% y que se espera que la propiedad no pierda valor durante los siguientes 10 años. El valor de la opción put puede estimarse de la siguiente forma: d1 = 1.9382 d2 = 0.9891 N(d1) = 0.9737 N(d2) = 0.8387 Valor del Call = 110(0.9737) – 50e(-0.06)(10)(0.8387) = 84.09 millones Valor del Put = 84.09 – 110 + 50e(-0.06)(10) = 1.53 millones El valor de la opción de abandono tiene que añadirse al valor presente neto del proyecto de 10 millones, originando un valor presente neto total con la opción de abandono de 11.53 millones. Hay que destacar que aunque el abandono se vuelve una opción más y más atractiva mientras la duración del proyecto disminuye, pues el valor presente de los flujos remanentes va a disminuir. CONSIDERACIONES PRÁCTICAS En el análisis anterior, se asumió (algo poco real) que el valor del abandono estaba claramente especificado y que no cambiaba durante la duración del proyecto. Esto podría cumplirse en algunos casos muy específicos, en los que la opción se construye desde el contrato. A menudo, sin embargo, la empresa posee la opción de abandono y el valor de rescate puede estimarse con mucha dificultad, pudiendo cambiar el valor de abandono a través de la duración del proyecto dificultando la aplicación de técnicas tradicionales de tarificación. Finalmente, es posible que abandonar el proyecto pueda no incluir el valor de liquidación y sí incluir costos adicionales, por ejemplo, una fábrica podría tener que pagar la liquidación de los trabajadores. En tales casos, no tendría sentido abandonar a menos que los flujos del proyecto se vuelvan exponencialmente negativos. También se supuso que la inversión gubernamental no perdía valor en el tiempo. En un proyecto real, puede haber pérdida en el valor del proyecto mientras este tiene vida. La pérdida esperada de valor en una base anual, puede construirse como la tasa de dividendos y usarse para evaluar la opción de abandono. Esto hará que la opción sea más valiosa. IMPLICACIONES El hecho de que la opción de abandono tenga valor, representa una razón para que las empresas planeen con flexibilidad operativa para cancelar o terminar proyectos si no cumplen con las expectativas. También indica que las firmas que se enfocan en generar más ganancias al ofrecer a sus clientes la opción de alejarse de compromisos, podría ser más pérdida que ganancia a lo largo del proceso.

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a. Cláusulas de escape en los contratos La primera y más directa forma, es construir flexibilidad operativa desde el contrato y entre las partes involucradas en el proyecto. Así, los contratos con acreedores y proveedores pueden circunscribirse en una base anual (en vez de una a largo plazo) y los empleados pueden contratarse en una base temporal (en vez de permanente). La planta física que se usa para el proyecto, puede rentarse por un plazo corto en vez de comprarse y la inversión financiera puede llevarse a cabo en fases en lugar de una sola exhibición. Aunque existe un costo de construir esta flexibilidad, las ganancias pueden ser mucho mayores, especialmente en negocios volátiles. b. Incentivas al cliente En el otro lado de la transacción, el ofrecer opciones de abandono a los clientes y socios en joint ventures puede tener un impacto negativo en el valor. Como ejemplo, supóngase una empresa que vende sus productos en contratos multianuales ofrece a los clientes una opción de cancelar el contrato en cualquier tiempo. Mientras esto podría hacer más atractivas las negociaciones e incrementar las ventas, es probable enfrentar un costo sustancial. En un evento de recesión, las empresas que son incapaces de enfrentar sus obligaciones muy probablemente cancelen sus contratos. Cuando existe suficiente volatilidad en el ingreso, cualquier beneficio obtenido de la venta inicial (obtenido de la oferta de inducción de cancelación por parte del vendedor) puede ser neutralizado por el costo de la opción que se dio a los consumidores.

Al tener en claro que cualquier proyecto de inversión puede ser evaluado bajo la teoría de opciones reales, con la finalidad de disponer más información y considerar variables de comportamiento aleatorio (como la volatilidad de los ingresos), puede desarrollarse un caso práctico en el entorno de la realidad mexicana contemporánea con el fin de demostrar la factibilidad de la aplicación del modelo a cualquier esquema administrativo. De esto trata el siguiente capítulo.

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CAPÍTULO 4. Una aplicación práctica: La adquisición de una aseguradora y la opción de posponer Para ilustrar la teoría de valuación de proyectos de inversión a través de la construcción de opciones reales se tomará el siguiente caso: La aseguradora “A” es una institución de seguros de vida que planea liquidar el 100% de sus activos. Para hacer más atractivo el proyecto ante los inversionistas, ha desarrollado e instrumentado planes de seguro para incursionar en el ramo de seguro de automóviles. Así mismo, ha renovado sus planes de seguro individual y colectivos para incursionar en nuevos mercados, pues su nicho natural son los trabajadores gubernamentales, a quienes ha asegurado a través de planes que se les otorgan como prestación y que están pactados con sus empleadores y funcionan como seguros colectivos. Los trabajadores complementan la protección básica con la que cuentan (en caso de necesitarlo), al adquirir los planes de seguro de vida individual de la compañía. La aseguradora “A” tiene la mayor participación del mercado de seguros de vida principalmente debido a que un decreto presidencial establecía que todas las dependencias gubernamentales debían contratar ahí los seguros que ofrecieran como prestación a sus trabajadores. Varias aseguradoras del mercado se ampararon contra esta ley y en la actualidad existe la obligación por parte de dichas dependencias, de elaborar licitaciones para establecer sus contratos de seguro. Sin embargo, debido al sistema de cobranza por descuento en nómina que la aseguradora “A” tiene implantado con sus clientes y a que sus precios son considerablemente más bajos que los de la competencia, la derogación de la ley de exclusividad no ha afectado negativamente la cartera de clientes, que ha permanecido estable y sin cambios drásticos provocados por la competencia. Así pues, se estima que la ventaja competitiva que la mencionada “exclusividad” representa para esta empresa, surta efectos hasta el final del sexenio presidencial 2001 – 2006, que es cuando se podrán evaluar retrospectivamente todos los cambios que provoca un nuevo partido político en el gobierno. En el año de 1999 se intentó vender la aseguradora “A”, pero el proyecto se canceló por situaciones de regulación gubernamental; el proceso se reanudó para el año 2001, y se pudieron obtener las autorizaciones necesarias para continuar con el proyecto. El accionista, pretende vender la aseguradora “A” a una empresa privada, de preferencia sin participación en el mercado mexicano. Durante el proceso de venta del año 1999, se manifestó el interés de una compañía estadounidense (Aseguradora “B”) quien ingresará de nueva cuenta al proceso de venta del año 2001. En este ejercicio se presentará el punto de vista de la empresa adquiriente (Aseguradora “B”), sobre la opción que tuvo en 1999, en caso de que no se hubiera cancelado el proceso de venta. Aunque a simple vista, adquirir la aseguradora “A” no parecía una buena inversión, la compañía “B” manifestó su interés. Basándose en los flujos de efectivo que la compañía “A” proyectó para sus nuevos negocios, y el precio que se pedía por la empresa, existía la opción de esperar para comprarla, debido a la característica de la exclusividad, que implicaría una opción de posponer la adquisición del negocio.

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En el capítulo 3, se mencionó que existe la posibilidad de posponer una inversión cuando se tienen derechos exclusivos sobre ella. La aseguradora “A” puede tener una ventaja sobre el resto del mercado dados los efectos de su exclusividad de contratación. Este supuesto puede modificar el valor de la inversión al enfocarse como una opción real, en la que el bien subyacente es la compañía “A” y el inversionista, (la compañía “B”) puede evaluar el valor adicional (opción implicada) que la exclusividad representa en este negocio. Se evaluará la opción de posponer el proyecto hasta el año 2006, partiendo desde el año inicial de valuación de la empresa (1999) y se comparará con el valor de la opción de posponer partiendo desde el nuevo año de adquisición de la empresa (2001), comparando las conclusiones para cada caso, con la finalidad de conocer si los supuestos son válidos y las decisiones finales que surjan del modelo son concordantes Para construir el portafolio de réplica que se necesita para evaluar la opción real, se necesitan las cinco variables del modelo Black – Scholes (tiempo de duración de la opción, tasa libre de riesgo, valor presente de los flujos del proyecto, valor de la inversión inicial y volatilidad de éstos); adicionalmente, se utilizan los datos conocidos, que serán los flujos proyectados que se mostraron a los potenciales interesados en la adquisición de la empresa en 1999. Estos flujos fueron presentados por producto, y agregando los resultados de utilidad en libros después de impuestos, se construirán los flujos consolidados que representarán el valor total de la compañía. 1. Determinación del tiempo de duración de la opción (t) En estricto sentido de la teoría de opciones reales, el tiempo de duración de la opción es aquél durante el cual se estima que tendrá duración los efectos ventajosos que proporciona el tener derechos exclusivos sobre la explotación de un bien, en este caso, la venta de contratos de seguros. Para la opción que se evalúa de 1999 a 2006 (primer período de venta) el tiempo de duración de la opción es de 8 años. Para la segunda opción (el segundo período de venta) se toman en cuenta los flujos de los años 2001 a 2006, por lo que la duración de la opción es de 6 años. 2. Determinación de la tasa de interés libre de riesgo (i)

Se utilizaron los datos históricos de la tasa anualizada de CETES a 28 días16, por ser la tasa libre de riesgo más representativa del mercado financiero mexicano y una común referencia para los consultores extranjeros. Como este ejercicio de evaluación se lleva a cabo en el año 2001, se conocen todas las tasas CETES desde su aparición hasta la actualidad, sin embargo, se necesita asignar valores a las tasas de 2001 a 2006, para poder definir una única tasa libre de riesgo durante el período de duración de la opción.

16 Los datos históricos correspondientes a estas tasas fueron tomados de las consultas elaboradas a la página del Banco de México: www.banxico.org.mx

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Para pronosticar los datos anuales necesarios, se determinó que la muestra de tasas proviene de una distribución lognormal, corroborando la hipótesis a través de una prueba Kolmogorv – Smirnov de bondad de ajuste (El desarrollo se encuentra en el ANEXO 2). Bajo este criterio, el resultado del valor crítico es de 0.14852, que no debe ser superado por el máximo de las diferencias entre funciones. Al efectuar la prueba se encuentra que no existe evidencia para rechazar que las tasas de interés siguen una distribución lognormal con parámetros �, �2: (-0.22034, 0.09749). El siguiente paso, para determinar la tasa libre de riesgo a pronosticar es determinar cuál será el siguiente valor que se presente en una distribución lognormal, con probabilidad del 95%. El dato obtenido es la tasa mensual anualizada que se observará en el siguiente período mensual, dada la muestra. Se incorpora este dato a la muestra previa, y de la misma manera, en un proceso iterativo, se determinan las siguientes tasas. Para el caso de las tasas en México y dados los eventos de recesión e inestabilidad que presenta la economía del país, únicamente se pronosticaron las tasas nominales hasta el final del año 2001. Las tasas mensuales anualizadas pronosticadas se mensualizan y se componen hasta obtener una tasa nominal anual que se dejará constante para el pronóstico. Sin embargo, y con el fin de que el modelo no pierda significado y validez, se trabajará con datos reales indizados por la inflación presentada hasta el año 2001 y la proyectada hasta 200617. En el ANEXO 2 también pueden observarse las diferentes tasas libres de riesgo reales anuales después de considerar la inflación, aunque las tasas nominales libres de riesgo del año 2001 hasta 2006 sean constantes. Estas tasas reales son las que se compondrán durante el tiempo de duración de la opción, para determinar la tasa a considerar en el modelo: Para la opción 1 (que se evalúa de 1999 a 2006): 75.02% Para la opción 2 (que se evalúa de 2001 a 2006): 48.90% 3. Determinación de la tasa de descuento de flujos Para obtener el valor presente de la oportunidad de inversión, deben descontarse sus flujos a la fecha de valuación, pero no puede utilizarse la tasa libre de riesgo, pues no se reflejaría el costo real de éstos a través del tiempo. El costo de oportunidad de que una empresa extranjera (compañía “B”) invierta en un negocio en México en vez de reservar sus recursos para otra alternativa sería reflejado por una combinación del requerimiento de los accionistas (retorno sobre acciones) y el requerimiento de los inversionistas extranjeros cuando llevan a cabo un negocio en México. Antes de determinar la tasa de descuento, deben conocerse los flujos. Las proyecciones presentadas en el ANEXO 3, se construyeron con base en los supuestos que ahí se observan y con los cálculos actuariales (para siniestralidad, cancelaciones y emisión de primas) que determinó la compañía “A” en su presentación a la compañía “B”. Los flujos se presentan desagregados por producto pues cada línea de negocios tiene diferentes gastos y rubros, aunque para los cálculos finales, solamente se tomarán en cuenta los resultados de utilidades en libros. Análogo a la teoría desarrollada para la tasa libre de riesgo, deben actualizarse con el factor de la inflación todos los resultados de los flujos (multiplicando su valor en pesos por el

17 Los datos de inflación observada se consultaron en la página www.banxico.org.mx y los proyectados, en el documento “Evolución reciente y Perspectivas de la Economía Mexicana”, Dr. Guillermo Ortiz, octubre 20 de 2001

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valor de la UDI en cada año), para poder trabajar con cifras en términos reales, es por ello que otra parte del ANEXO 3 es la presentación de los flujos reexpresados en unidades de inversión o UDIS. Finalmente, la tasa de descuento de los flujos debe considerar los requerimientos de la inversión extranjera expresados en moneda nacional, para lo cual es necesario llevar a cabo una predicción sobre el comportamiento del tipo de cambio peso / dólar. Para tales efectos, se define el concepto de Cambio Esperado. El cambio esperado en el tipo de cambio peso / dólar estará determinado por los diferenciales presentados entre la tasa de interés libre de riesgo mexicana y la estadounidense. Cuando la diferencia sea positiva, el tipo de cambio se aprecia en ese porcentaje y cuando sea negativa, se deprecia en el porcentaje resultante. Como ya se cuentan con las proyecciones de tasa libre de riesgo para México, únicamente es necesario elaborar las de la tasa libre de riesgo estadounidense. Para ello se sigue el mismo proceso detallado en el punto 1 para las tasas de fondos federales a corto plazo18, que son las equiparables estadounidenses a los CETES. Al desarrollar la prueba Kolmogorv – Smirnov, se concluye que los logaritmos de las tasas se distribuyen normal con parámetros (-0.05265, 0.00605). El proceso iterativo de pronóstico de tasas se realiza para todos los años de proyección, pues dada la baja variabilidad de las tasas estadounidenses (aún cuando se tomaron en consideración aquéllas pertenecientes a períodos económicos de fuerte recesión) es posible aventurarse a elaborar un pronóstico confiable. Una vez que se tienen las tasas nominales anuales libres de riesgo para cada país, se determina el cambio esperado al tipo de cambio y se pronostica éste para los años necesarios. Al conocer el tipo de cambio en cada año, es posible determinar un retorno en acciones para cada año, indizándolo con el tipo de cambio. La base de que se parte es el retorno en acciones para el año inicial de valuación, 1999. El resultado de este proceso es un retorno en acciones expresado en unidades mexicanas. A la tasa resultante, se añade el riesgo país que enfrentará un inversionista estadounidense por invertir en México y se obtiene la tasa de costo de capital para un inversionista extranjero. Por último, esta tasa se actualiza con los factores de inflación para que quede en términos reales. Las tasas reales de descuento para cada año de inversión serán las siguientes

AÑO 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

TASA 7.46% 10.67% 13.28% 15.55% 16.27% 18.69% 18.86% 18.86%

4. Determinación del Valor Presente de los Flujos (S) Al tener todos los flujos reexpresados en términos reales y la tasa de descuento para cada año, se determina el valor presente de los flujos, que representará el valor de la inversión, de acuerdo al enfoque tradicional de flujos de efectivo descontados. Para obtener este dato se aplica la fórmula:

18 Las tasas históricas fueron obtenidas del acervo electrónico del Federal Reserve Bank of Minneapolis

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∑∏=

=

+=

2006

1999jj

1999kk

j

)i(1

FVP

donde: VP = Valor presente de los flujos j = Año de valuación Fj= Flujo de efectivo en el año j expresado en udis ik = Tasa de interés en el año k El valor presente que se obtiene se le resta el efecto inflacionario de las unidades de inversión para expresarlo en pesos:

Valor presente opción 1 (1999 – 2006): 6,543,480,000 (6.5 miles de millones de

pesos) Valor presente opción 2 (2001 – 2006): 9,278,974,000 (9.3 miles de millones de

pesos) 5. Determinación de la inversión inicial (K) En la mayoría de los casos en los que se elabora un concurso para adjudicar el proyecto al mejor oferente, como es la situación de venta de la aseguradora “A”, no se conoce el precio mínimo que está dispuesto a aceptar el vendedor, por lo que el enfoque de opciones reales también es efectivo para conocer cuánto dinero más o menos puede ofrecerse por la inversión, al contar con más información que la que ofrece el Valor Presente Neto. Para este ejemplo, se supuso un precio de venta de la empresa de 8 mil millones de pesos, que está basado en anteriores estudios sobre la suficiencia de reserva de la compañía y los índices de solvencia que reporta al mercado. Se supone que este precio se mantiene constante a través de los años de valuación. Al restar el valor presente de los flujos de la inversión requerida, se obtienen los siguientes valores presentes netos a la fecha de valuación (ANEXO 3): Valor Presente Neto Opción 1 (1999 – 2006): -1,456,520,000 (menos 1.5 miles de millones de pesos) Valor Presente Neto Opción 2 (2001 – 2006): 1,278,974,000 (1.3 miles de millones de pesos) Bajo el enfoque tradicional de valuación de inversiones puede observarse que en 1999 no era una buena idea pagar 8 mil millones de pesos por una inversión que resultaba una pérdida de casi 1.5 miles de millones. La tasa real requerida para ese año era 7.46% sobre la inversión, la mínima ganancia que se hubiera exigido para que el proyecto fuera considerado como viable es de 596.8 millones de pesos. Siguiendo con ese enfoque, para las cifras de 2001, el valor presente neto positivo de 1.3 mil millones de pesos supera la expectativa de ganancia pues la tasa real requerida para ese período es del 13.28% de la inversión, cantidad equivalente a 1.06 miles de millones de pesos. Sin embargo, sigue sin ser un proyecto muy atractivo pues no muestra ganancias

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excesivas que justificaran el tiempo y los inconvenientes legales que deberían vencerse para concluir la transacción. El desarrollo del modelo de opciones reales mostrará si estas conclusiones se sostienen y puede observarse un cambio de perspectiva.

6. Determinación de la varianza de los flujos (σ2) En el ANEXO 4, se presenta el consolidado de los flujos para cada año, con las cifras de media y varianza en la siniestralidad (índice que relaciona los siniestros en porcentaje de las primas cobradas). Se enfoca la siniestralidad para determinar la variabilidad en los flujos, pues el componente aleatorio en el resultado final de éstos, está determinado por los siniestros (ya que todos los demás datos, incluyendo los ingresos pueden ser metas conocidas y preestalecidas). Sin embargo, los siniestros que se presenten pueden tener valores entre 0 e infinito. El riesgo base en la industria de seguros sería la emisión de primas, pues depende específicamente de la calidad y variedad de productos de seguros de la compañía y la habilidad de ésta para colocarlos eficientemente en el mercado. El riesgo privado lo representan los siniestros pues, aunque existen medidas de selección de riesgos, finalmente nunca se sabe con certidumbre la “calidad” de los asegurados de una empresa hasta que se hace frente al riesgo. Así pues, para que al construir el portafolio de réplica se consideren la mayor cantidad de comportamientos reales, se seguirá la siguiente metodología: Se supone que el monto de los siniestros sigue una distribución normal, con media y varianza conocidas (de los datos de siniestralidad de los flujos observados) y se elabora una simulación de siniestralidad. El supuesto se sostiene debido a que la cartera de riesgos es muy grande y puede aplicarse la ley de los grandes números, con el fin de determinar los posibles valores de los flujos, al elaborar distintos probables escenarios de siniestralidad. Así pues, se determinan los flujos antes y después de impuestos resultantes de la simulación entre algunos posibles valores que pudiera tomar el componente aleatorio de los resultados de la empresa. Como la volatilidad que se desea conocer es la que se presenta en el resultado final y no en los siniestros, debe obtenerse la relación entre los flujos resultantes de la simulación con los ingresos de cada año, para determinar qué tan rentable es la empresa bajo diferentes posibles escenarios. Puede observarse en los cuadros, que la varianza de esta rentabilidad es constante en todos los casos, debido a que la simulación ocasiona que los resultados puedan generalizarse, al tender el número de muestras al infinito. Al observar esta característica, puede elaborarse un intervalo de confianza que establezca cuál será el rango de fluctuación de las ganancias o rentabilidad esperada. Los resultados llevan a que la varianza que determina la volatilidad de los flujos puede oscilar entre el (11.53% y el 24.01%) con un αααα de 0.01. Para el modelo se toma la cifra de 24.01%, por ser el escenario más inestable posible y así tener en consideración cuál sería la mayor incertidumbre que se pudiera enfrentar. 7. Costo de posponer (y) Como se considera que la exclusividad añade valor al proyecto de inversión, entonces cada año que pase sin que se lleve a cabo el proyecto, implicará un costo de oportunidad. A medida que

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pasan los años durante los cuales se tiene el derecho exclusivo y no se utilice, el costo de posponer se incrementa, pues está determinado por la siguiente ecuación:

t1

posponer de Costo =

Para la opción 1 (1999 – 2006) es de 12.50% Para la opción 2 (2001 – 2006) es de 16.67% Puede observarse cómo el costo de posponer se incrementa mientras menos tiempo le quede a la exclusividad. RESULTADOS DEL MODELO Al aplicar la ecuación de Black – Scholes que genera los valores de la opción, se observan los siguientes resultados para la opción de 1999 a 2006:

1. Valor del activo subyacente (S) = Valor presente de los flujos de la inversión

S = 6,543,480

2. Costo inicial para adquirir el proyecto (K) = Inversión inicial

K = 8,000,000

3. Duración de la opción en años (t)

t = 8

4. Tasa real anual libre de riesgo (i)

i1999 = 10.07% # 110.07%

i2000 = 6.79% # 106.79%

i2001 = 5.02% # 105.02%

i2002 = 5.46% # 105.46%

i2003 = 6.06% # 106.06%

i2004 = 8.22% # 108.22%

i2005 = 8.22% # 108.22%

i2006 = 8.22% # 108.22%

i1999 - 2006 = 75.02% Tasa de interés real libre de riesgo compuesta para el período

5. Varianza del activo subyacente (σ2)

σσσσ2 = 24.01%

6. Costo esperado por posponer (y = 1/t)

79

y = 12.50%

d1= 4.15629 d2 = 2.77025

N(d1) = 0.99998 N(d2) = 0.99720 Valor de la exclusividad = 6,543,480 * e -(0.1250)(8)(0.99998) - 8,000,000 * e -(0.7502)(8)(0.99720)

Valor de la exclusividad = 2,387,422

Valor Presente Neto = -1,456,520 Aunque esta es una oportunidad de inversión cuyo valor presente neto es negativo y el análisis tradicional la clasificaría como una inversión no viable, puede apreciarse que el valor del proyecto reside en los derechos exclusivos sobre el mercado. Así pues, el conservar la exclusividad por 8 años más a partir de la fecha de inversión, genera un valor de casi 2.4 mil millones de pesos (un valor neto de 930 millones de pesos si se substrae el valor presente neto) y la posibilidad de que el proyecto se vuelva viable (esto es, que el valor presente de los flujos (S) sea mayor a la inversión inicial (K)) es muy alta, oscilando entre el 99.7% y el 100% de probabilidad. De manera que, aunque a simple vista parezca un proyecto no rentable, el monto que se pide como inversión inicial es razonable, considerando el valor de la exclusividad en combinación con el valor del proyecto a través de sus flujos descontados. Si no se tomara en cuenta la exclusividad, no tendría sentido el pedir una cantidad de inversión tan elevada para la adquisición de la aseguradora “A”. Al aplicar el modelo con valores porcentuales (escalando valores como se describió en el capítulo 3, en el inciso 3.4.1.5) se obtienen los siguientes resultados:

1. Valor del activo subyacente (S) = Valor presente de los flujos de la inversión

S = 0.81794

2. Costo inicial para adquirir el proyecto (K) = Inversión inicial

K = 1

(Todos los demás valores se toman iguales)

Valor de la exclusividad = 29.84%

(en términos de la inversión inicial)

tσ

)t2σy-(r

KSln

d

2

1

++

=tσdd 12 −=

)N(dKe)N(dSe call opción la de Valor 2rt

1yt −− −=

80

Esto quiere decir, que si se compara el retorno requerido en términos reales para 1999, (el 7.46%), esta inversión reditúa 4 veces más que el mínimo requerido para invertir. Así pues, si la compañía “B” hubiera pagado los 8 mil millones de pesos por la aseguradora “A” en 1999, hubiera obtenido un valor presente neto positivo con una probabilidad oscilante entre el 99.7% y el 100%; esto es, el valor presente neto negativo era menos probable que el positivo, aunque las cifras del análisis tradicional mostraran lo contrario. También, el esperar para llevar a cabo la inversión representaba una buena idea pues la opción de posponer (el valor de la exclusividad durante 8 años) es muy alto. Puede entonces pensarse que el tiempo que transcurrió cancelado el proceso de venta fue benéfico para la empresa que lo adquiriera, pues de acuerdo al modelo de opciones reales, la empresa “A” aumentaría su valor durante el tiempo que tuviera la exclusividad. Para reforzar o abandonar esta conclusión, se llevó a cabo el desarrollo de la opción de 2001 a 2006, con los siguientes resultados:

1. Valor del activo subyacente (S) = Valor presente de los flujos de la inversión

S = 9,278,974

2. Costo inicial para adquirir el proyecto (K) = Inversión inicial

K = 8,000,000

3. Duración de la opción en años (t)

t = 6

4. Tasa real anual libre de riesgo (i)

i2001 = 5.02% # 105.02%

i2002 = 5.46% # 105.46%

i2003 = 6.06% # 106.06%

i2004 = 8.22% # 108.22%

i2005 = 8.22% # 108.22%

i2006 = 8.22% # 108.22%

i2001 - 2006 = 48.90% Tasa de interés real libre de riesgo compuesta para el período

5. Varianza del activo subyacente (σ2)

σσσσ2 = 24.01%

6. Costo esperado por posponer (y = 1/t)

y = 16.67%

tσ

)t2σy-(r

KSln

d

2

1

++

= tσdd 12 −=

81

d1=3.07181 d2 =1.87146

N(d1) =0.99894 N(d2) =0.96936 Valor de la exclusividad = 9,278,974 * e -(0.1667)(6)(0.99894) - 8,000,000 * e -(0.4890)(6)(0.86936)

Valor de la exclusividad = 2,997,385

Valor Presente Neto = 1,278,974 Al transcurrir dos años desde la evaluación inicial del proyecto, puede observarse que la opción incrementó su valor (aunque la varianza permaneció constante y el lapso de duración de la opción disminuyó). Esto se debe a que el costo de posponer el ejercicio se incrementó también, haciendo la característica de exclusividad más valiosa mientras menos tiempo de vida le resta. El rango de probabilidad de que el ejercer la opción (invertir en el negocio) sea viable se hizo más amplio (entre 97% y 100%), pero aún así, sigue siendo recomendable altamente recomendable la adquisición de la aseguradora. Es importante destacar que, consistentemente con lo concluido en la primera etapa de evaluación, los flujos de efectivo (S) fueron mayores a la inversión requerida (K) Una vez más, se aplica el ejercicio escalado, llegando a las siguientes conclusiones: 1. Valor del activo subyacente (S) = Valor presente de los flujos de la inversión

S = 1.15987

2. Costo inicial para adquirir el proyecto (K) = Inversión inicial

K = 1

(Todos los demás valores se toman iguales) Valor de la exclusividad

= 37.47%

(en términos de la inversión inicial) De acuerdo a la tasa real requerida para el año 2001, equivalente a 13.28%, los retornos que ofrece esta inversión, considerando el valor de la exclusividad, son 2.8 veces mayores. Esto es, es una inversión atractiva que va decreciendo en su exceso de rentabilidad (en 1999 era 4 veces mayor al costo de capital y en 2001 es de 2.8), por lo cual, aunque el valor de la opción de posponer haya aumentado, es mejor que se ejerza de una vez, esto es, que la inversión se lleve a cabo en 2001 sin necesidad de esperar más.

)N(dKe)N(dSe call opción la de Valor 2rt

1yt −− −=

82

CONCLUSIONES El modelo de opciones reales es una herramienta conveniente y sencilla de adaptar al esquema de toma de decisiones de cualquier empresa con cualquier giro de negocios. No implica costos adicionales, pues las entradas son extraídas de información que la compañía usa cotidianamente y que toma en consideración. Es por esto que puede ser un esquema de análisis muy eficiente, pues como se ha observado a lo largo de este trabajo, proporciona información adicional al esquema tradicional de valuación, sin necesidad de emplear más horas hombre ni programas sofisticados para lograrlo. La gran aportación de este modelo es tomar en consideración la dinámica implícita en un proyecto de inversión y permitir enfocarla en función del tiempo de análisis, complementando todos los demás esquemas de valuación tradicional. Para el caso práctico que se desarrolló en este trabajo, también podrían haberse enfocado la opción de expandir, en cuyo caso se hubieran necesitado los flujos de efectivo de la compañía compradora para añadirlos a los del proyecto de inversión y así decidir si era un buen momento para añadir una línea de negocios dadas sus condiciones de operación. Si no fuera un hecho la venta de la aseguradora “A” y sus accionistas quisieran evaluar la posibilidad de conservarla, pudiera haberse evaluado la opción de posponer. De esta manera, queda demostrado cómo cada decisión de inversión tiene varios tipos de salidas, aún antes de convertirse en una propuesta de inversión y las herramientas financieras actuales permiten establecer modelos dinámicos que se adapten a la realidad de un entorno globalizado y en extremo dinámico. Al pasar por el proceso de diseño y obtener los resultados, pueden destacarse las características que hacen el modelo de opciones reales más ventajoso: • La incertidumbre incrementa el valor de cualquier proyecto de inversión. El análisis

tradicional enfoca la incertidumbre como la peor de los defectos en un proyecto de inversión y los analistas más conservadores recomiendan tomar proyectos con bajas varianzas aunque también los retornos sean bajos. El enfoque de opciones reales transporta el concepto de incertidumbre financiera, reservado a las casas de bolsa y el mercado intangible para la mayor parte de la población, a un entorno cotidiano y desmitifica su maleabilidad. Este modelo puede ayudar a cualquier pequeño, mediano o gran inversionista a que la toma de decisiones sea con bases financieras y teóricas sólidas, sin necesidad de incursionar en complicaciones y gastos por consultoría. La práctica de este modelo demuestra que cualquiera puede invertir bajo incertidumbre, modelarla e incorporarla a su esquema de negocios sin necesidad de salir huyendo.

• Identificar las opciones genera valor adicional para el proyecto de inversión. En el

ejemplo presentado, la aseguradora “A” no hubiera tenido una coartada sólidamente financiera para el costo de su proyecto y seguramente no hubiera podido obtener ese monto como paga. Para cualquiera que trate de vender su empresa, es de utilidad cuantificar el valor agregado que tiene, y al final de cuentas, puede encontrar que no es tan mala idea el continuar con su negocio o disponer de más argumentos para demostrar que “vale lo que cuesta”.

83

• El mercado financiero aporta información relevante y fácil de incorporar. En el análisis tradicional, generalmente se toman en cuenta como tasas de descuento, las que el accionista pide o un rango de tasas para ver todas las salidas posibles. Sin embargo, el concepto de portafolio de réplica implícito en las opciones, exige que éstas se construyan con cimientos sólidos y estrictamente reales, que a la vez proporcionan la seguridad de que se está modelando la verdadera situación que enfrenta el proyecto y no simplemente se está decidiendo entre un conjunto de escenarios de los cuales no se conoce cuál será el más factible de presentarse.

• Demasiada precisión no siempre aporta más información, ya que las cifras que

arroja el modelo de opciones reales están afectadas ampliamente por la volatilidad, puede observarse la cantidad resultante como un buen estimador, pero el mayor valor del enfoque es la información adicional que otorga al analista y no las cifras que le arroja. La posibilidad de profundizar en cada salida del modelo (el valor de la opción, su probabilidad de ejercicio, su relación con la inversión inicial, el tiempo y la variabilidad) es una herramienta más útil que una cifra precisa, sobre todo entre mayores sean las inversiones.

84

t = 0 50

A N E X O S ANEXO 1: UN EJEMPLO DE VALUACIÓN BINOMIAL DE OPCIONES.

Como se desarrolla en el capítulo 2, en el apartado 2.4.1, a continuación se presenta un ejemplo de valuación binomial: Supóngase que el objetivo es valuar una call con un precio de ejercicio de 50, que se espera expire en dos períodos de tiempo, en un activo subyacente cuyo precio actualmente es 50 y se espera que siga el siguiente proceso binomial:

Precio de ejercicio de la call: 50 Expira en t = 2

Se considera que la tasa de interés es del 11%. Adicionalmente, se define: ∆∆∆∆ = número de acciones en el portafolio de réplica B = Dinero que se pedirá prestado en el portafolio de réplica

El objetivo es combinar ∆∆∆∆ acciones del activo subyacente y B unidades monetarias que deben pedirse prestadas para replicar los flujos de efectivo de la call con un precio de ejercicio de 50. Esto se puede hacer en un proceso iterativo, empezando con el último período y trabajando hacia atrás del árbol binomial.

PASO 1: Empezar con los nodos finales y trabajar hacia atrás:

Portafolios de réplica:

a) (100*∆) – (1.11*B) = 50

t = 2100

Precio de la call 50

t = 1 70

35

50

25

0

0

t = 2 100

Precio de la call 50 a)

t = 1 70

50 0 b)

85

b) (50*∆) – (1.11 * B) = 0

Resolviendo para ∆ y B, ∆∆∆∆ = 1 ⇒ debe comprarse una acción B = 45 ⇒ deben pedirse prestados $45

Entonces, si el precio accionario es $70 en t = 1, se piden prestados $45 y se compra 1 (una) acción del activo subyacente, se tendrán los mismos flujos de efectivo que si se compra la call. El valor de la call en t = 1, si el precio accionario es $70, es:

Valor de la Call = Valor de la posición de réplica = 70 * ∆∆∆∆ – B = 70 * 1 – 45 = 25

Considerando la otra parte del árbol binomial en t = 1

Portafolios de réplica:

a) (50*∆) – (1.11*B) = 0 b) (25*∆) – (1.11*B) = 0

Resolviendo para ∆ y B,

∆ ∆ ∆ ∆ = 0 ⇒ deben comprarse cero acciones B = 0 ⇒ deben pedirse prestados $0

Si el precio accionario es 35 en t = 1, entonces la call no vale nada. PASO 2: Moverse hacia atrás al periodo inicial de tiempo y crear un portafolio de réplica que provea los mismos flujos de efectivos que provee la opción

t = 250

Precio de la call 0

t = 1 35

25 0

t = 170

t = 0 50

35

86

Portafolios de réplica:

a) (70*∆) – (1.11*B) = 25 (del PASO 1) b) (35*∆) – (1.11*B) = 0 (del PASO 1)

Resolviendo para ∆ y B,

∆∆∆∆ = 5/7 = .7143 ⇒ debe comprarse 5/7 de acción B = 22.5 ⇒ deben pedirse prestados $22.5

En otras palabras, al pedir prestados $22.5 y comprar 5/7 de acción se obtendrá el mismo flujo que en una call con precio de ejercicio de $50.

Valor de la Call = Valor de la posición de réplica = ∆∆∆∆* Actual precio stock - B Valor de la Call = (5/7)*50 – 22.5 = 13.21

87

ANEXO 2: OBTENCIÓN DE LA TASA LIBRE DE RIESGO PARA EL MODELO, A TRAVÉS DE LAS TASAS HISTÓRICAS

Descripción de la prueba Kolmogorov – Smirnov para las tasas de interés Esta prueba se llevó a cabo obteniendo la distribución observada (la frecuencia de los logaritmos de las tasas) y la distribución teórica (utilizando como parámetros de la normal, la media y varianza presentada en los logaritmos de tasas). En la hipótesis nula se especifica una distribución F*(X). Una muestra aleatoria X1, X2, ... Xn se toma de una población y se compara con F*(X) para saber si es razonable el supuesto de que F*(X) es la verdadera función de la muestra aleatoria. Se compara la distribución hipotética F*(X) con la función de distribución empírica S(X) que es la fracción de Xi’s que son menores o iguales a x para cada x, -∞ < x < + ∞. S(X) es un estimador útil de F(X), que es la función de distribución desconocida para las Xi’s. Se compara entonces, la distribución empírica S(X) con la función hipotética de distribución F*(X) para evaluar la concordancia. Si ésta no existe, se puede rechazar la hipótesis nula y concluir que la función verdadera (pero desconocida) F(X) no está dada por F*(X). El estadístico de prueba que puede usarse como medida de la discrepancia entre S(X) y F*(X) es la mayor distancia vertical entre ellas. Esto es, el estadístico D es la máxima distancia en valor absoluto entre S(X) y F*(X):

D = max x (ABS(F*(X) – S(X)) La regla de decisión es rechazar H0 al nivel de significancia αααα si D excede el cuantil (1-αααα) w1-αααα. Por convención con la tabla desarrollada por Miller, en el año 195619, se determina el valor crítico D* para una muestra mayor a 40 elementos al 95% de confianza con la siguiente fórmula:

n1.36D* =

Sin embargo, y para lograr una mejor aproximación, se utiliza como

denominador10nn + cuando la muestra es mayor a 60 elementos, como es en este caso

particular, que está determinada por 61 casos (valores desde el mes de enero de 1995 hasta agosto de 2001).

19Tomada de “Practical nonparametric statistics”, de W.J. Conover. Editorial Wiley, p.p.462

88

TASA CETES A 28 DÍAS RENDIMIENTO PROMEDIO MENSUAL EN PORCENTAJE ANUAL

Mes/Año Tasa porcentual -Ln(1+i) F(X) teórica F(X) observada Abs(Fobs-Fteo)

Abr / 1995 74.75 -0.55819 0.00026 0.01722 0.01696 Mar / 1995 69.54 -0.52792 0.00080 0.03393 0.03313 May / 1995 59.17 -0.46480 0.00608 0.04962 0.04354 Nov / 1995 53.16 -0.42631 0.01731 0.06472 0.04740 Dic / 1995 48.62 -0.39622 0.03561 0.07936 0.04375 Jun / 1995 47.25 -0.38696 0.04372 0.09388 0.05016 Feb / 1995 41.69 -0.34847 0.09437 0.10784 0.01347 Mar / 1996 41.45 -0.34678 0.09733 0.12178 0.02445 Ene / 1996 40.99 -0.34352 0.10321 0.13568 0.03247 Jul / 1995 40.94 -0.34316 0.10386 0.14957 0.04571 Sep / 1998 40.80 -0.34217 0.10571 0.16345 0.05773 Oct / 1995 40.29 -0.33854 0.11267 0.17727 0.06460 Feb / 1996 38.58 -0.32628 0.13860 0.19093 0.05234 Ene / 1995 37.25 -0.31663 0.16164 0.20446 0.04282 Abr / 1996 35.21 -0.30166 0.20210 0.21779 0.01568 Ago / 1995 35.14 -0.30114 0.20360 0.23110 0.02750 Oct / 1998 34.86 -0.29907 0.20968 0.24440 0.03472 Dic / 1998 33.66 -0.29013 0.23704 0.25757 0.02053 Sep / 1995 33.46 -0.28863 0.24180 0.27072 0.02892 Ene / 1999 32.13 -0.27862 0.27499 0.28375 0.00875 Nov / 1998 32.12 -0.27854 0.27525 0.29677 0.02152 Jul / 1996 31.25 -0.27193 0.29832 0.30970 0.01138 Nov / 1996 29.57 -0.25905 0.34565 0.32247 0.02317 Feb / 1999 28.76 -0.25278 0.36965 0.33516 0.03449 May / 1996 28.45 -0.25037 0.37902 0.34782 0.03120 Jun / 1996 27.81 -0.24537 0.39866 0.36042 0.03824 Dic / 1996 27.23 -0.24083 0.41677 0.37296 0.04381 Ago / 1996 26.51 -0.23515 0.43961 0.38543 0.05418 Oct / 1996 25.75 -0.22913 0.46408 0.39782 0.06626 Sep / 1996 23.90 -0.21430 0.52466 0.41004 0.11463 Ene / 1997 23.55 -0.21148 0.53621 0.42221 0.11399 Mar / 1999 23.47 -0.21083 0.53885 0.43438 0.10446 Ago / 1998 22.64 -0.20408 0.56620 0.44647 0.11973 Mar / 1997 21.66 -0.19606 0.59832 0.45846 0.13986 Abr / 1997 21.35 -0.19351 0.60841 0.47042 0.13799

89

Jun / 1999 21.08 -0.19128 0.61715 0.48235 0.13480

Mes/Año Tasa porcentual -Ln(1+i) F(X) teórica F(X) observada Abs(Fobs-Fteo)

Ago / 1999 20.54 -0.18681 0.63453 0.49423 0.14029 Abr / 1999 20.29 -0.18474 0.64250 0.50609 0.13641 Jun / 1997 20.17 -0.18374 0.64632 0.51793 0.12838 Nov / 1997 20.16 -0.18365 0.64663 0.52978 0.11686 Jul / 1998 20.08 -0.18299 0.64917 0.54161 0.10756 May / 1999 19.89 -0.18140 0.65517 0.55343 0.10175 Mar / 1998 19.85 -0.18107 0.65643 0.56524 0.09119 Feb / 1997 19.80 -0.18065 0.65801 0.57705 0.08096 Jul / 1999 19.78 -0.18049 0.65863 0.58885 0.06978 Sep / 1999 19.71 -0.17990 0.66083 0.60065 0.06018 Jun / 1998 19.50 -0.17815 0.66740 0.61243 0.05497 Abr / 1998 19.03 -0.17421 0.68195 0.62416 0.05779 Ago / 1997 18.93 -0.17336 0.68502 0.63588 0.04914 Dic / 1997 18.85 -0.17269 0.68747 0.64760 0.03987 Jul / 1997 18.80 -0.17227 0.68899 0.65930 0.02969 Feb / 1998 18.74 -0.17177 0.69082 0.67101 0.01982 May / 1997 18.42 -0.16907 0.70051 0.68268 0.01783 Sep / 1997 18.02 -0.16568 0.71245 0.69431 0.01814 Ene / 1998 17.95 -0.16509 0.71453 0.70594 0.00859 Oct / 1997 17.92 -0.16484 0.71541 0.71756 0.00215 May / 1998 17.91 -0.16475 0.71571 0.72918 0.01347 Ene / 2001 17.89 -0.16458 0.71630 0.74080 0.02450 Oct / 1999 17.87 -0.16441 0.71689 0.75242 0.03553 Nov / 2000 17.56 -0.16178 0.72596 0.76400 0.03805 Feb / 2001 17.34 -0.15991 0.73232 0.77557 0.04325 Dic / 2000 17.05 -0.15743 0.74061 0.78710 0.04650 Nov / 1999 16.96 -0.15666 0.74316 0.79863 0.05547 Dic / 1999 16.45 -0.15229 0.75739 0.81011 0.05272 Ene / 2000 16.19 -0.15006 0.76450 0.82156 0.05706 Oct / 2000 15.88 -0.14738 0.77285 0.83298 0.06013 Feb / 2000 15.81 -0.14678 0.77471 0.84439 0.06968 Mar / 2001 15.80 -0.14669 0.77498 0.85581 0.08083 Jun / 2000 15.65 -0.14540 0.77895 0.86721 0.08826 Ago / 2000 15.23 -0.14176 0.78987 0.87856 0.08870

90

Sep / 2000 15.06 -0.14028 0.79421 0.88990 0.09570 Abr / 2001 14.96 -0.13941 0.79674 0.90123 0.10450

Mes/Año Tasa porcentual -Ln(1+i) F(X) teórica F(X) observada Abs(Fobs-Fteo)

May / 2000 14.18 -0.13261 0.81590 0.91249 0.09659

Jul / 2000 13.73 -0.12866 0.82648 0.92370 0.09721

Mar / 2000 13.66 -0.12804 0.82810 0.93490 0.10680

Abr / 2000 12.93 -0.12160 0.84441 0.94603 0.10162

May / 2001 11.95 -0.11288 0.86480 0.95706 0.09226

Jun / 2001 9.43 -0.09011 0.90917 0.96785 0.05867

Jul / 2001 9.39 -0.08975 0.90979 0.97863 0.06884

Sep / 2001 9.32 -0.08911 0.91085 0.98940 0.07856

Ago / 2001 7.51 -0.07241 0.93540 1.00000 0.06460

MEDIA -0.22034 101.46

DESVIACIÓN ESTÁNDAR 0.09749

Ho: La muestra de tasas proviene de una distribución normal con parámetros N(-0.22034, 0.09749)

ESTADÍSTICO KOLMOGOROV - SMIRNOV 0.14029

VALOR CRÍTICO AL 95% DE CONFIANZA 0.14852

El estadístico Kolmogorov - Smirnov es menor al valor crítico, no existe evidencia suficiente para rechazar Ho

Por lo tanto, puede asegurarse que –Ln(1+i) proviene de una distribución N(-0.20234, 0.09749) Sea x la tasa de interés; de la prueba Kolmogorov - Smirnov se sabe que -Ln(1+x) se distribuye Normal con los siguientes parámetros

µµµµn= -0.22034 σσσσn= 0.09749

µµµµn, σσσσn son estadísticos obtenidos de los históricos de tasas de fondos

federales a corto plazo desde el año 1995 hasta el año 2001

P(-Ln(1+x) = j) = 0.95 Se calcula esta probabilidad para despejar j y pronosticar la tasa de interés

91

Se obtiene j del despeje de una normal inversa con los parámetros hipotéticos

N-1(0.95, µµµµn, σσσσn) = -0.05997 0.94179

entonces P(-Ln(1+x) = - 0.05997) = 0.95 desvest 0.114293937

de donde: Ln(1+x) = 0.05997 x -0.04% exp(Ln(1+x)) =exp(0.05997) 1+x =1.06180758

x = 6.18%

Este dato se incorpora a la muestra y se sigue pronosticando iterativamente

TASA REAL LIBRE DE RIESGO

PERÍODO TASA NOMINAL ANUAL

LIBRE DE RIESGO AÑO INFLACIÓN TASA REAL

1999 23.63215% 1999 12.32% 10.07% 2000 16.35482% 2000 8.96% 6.79%

2001 A 2006 11.47018% 2001 6.14% 5.02% 2002 5.70% 5.46%

La tasa anual se obtiene al componer 2003 5.10% 6.06% las tasas mensuales pronosticadas: 2004 3.00% 8.22%

2005 3.00% 8.22%

Mes Tasa mensual anualizada Tasa mensual 1+i 2006 3.00% 8.22%

Ene / 2001 17.89% 1.4908% 1.014908 Feb / 2001 17.34% 1.4450% Mar / 2001 15.80% 1.3167% Abr / 2001 14.96% 1.2467% May / 2001 11.95% 0.9958% Jun / 2001 9.43% 0.7858% Jul / 2001 9.39% 0.7825% Ago / 2001 7.51% 0.6258% Sep / 2001 9.32% 0.7767% Oct / 2001 6.18% 0.5150% Nov / 2001 5.80% 0.4833% Dic / 2001 5.42% 0.4517%

Las tasas inflacionarias se obtuvieron del documento "Evolución reciente y Perspectivas de la Economía Mexicana", en un cálculo que involucra las predicciones del Banco de México, JP Morgan, Goldman Sachs y el Deutsche Bank para el discurso de Guillermo Ortiz, presidente del Banco de México al 20 de Octubre de 2001 NOTA: solamente se elaboraron proyecciones hasta diciembre de 2001 debido al volátil entorno económico que enfrenta México, sin embargo sí se elaboraron proyecciones para las tasas estadounidenses porque históricamente son estables sin importar las diferentes crisis que han enfrentado

92

ANEXO 3: OBTENCIÓN DEL VALOR PRESENTE DE LOS FLUJOS DE LA INVERSIÓN SUPUESTOS A GASTOS EN PORCENTAJE DE LAS PRIMAS O RESULTADOS

Primer año 20% Primer año 0% Primer año 5%

Renovación 20% Renovación 0% Renovación 5%

Administración 6% Administración 10% Administración 21%

Primer año 5% Primer año 8%

Renovación 5% Adquisición 3%

Administración 13% Administración 10%

AÑO AÑO VALOR DE UDIS

1999 1999 2.67127

2000 2000 2.90916

2001 2001 3.02610

2002 2002 3.21190

2003 2003 3.39498

2004 2004 3.56812

2005 2005 3.67516

2006 2006 3.78542

10,937,657,000

68,992,452,000

15.85%

(Las cifras no incluyen el ramo de Pensiones derivadas de la Seguridad Social)

AÑO

199920002001 El pronóstico de tasas nominales para cada año2002 se lleva a cabo componiendo con inflación la tasa inicial2003200420052006 22.26%

19.38%20.37%20.98%21.61%

TASA NOMINAL

15.85%17.27%18.33%

Inversiones en Libros

PRODUCTO FINANCIERO MERCADO ASEGURADOR 1999

RESERVAS TÉCNICAS MERCADO ASEGURADOR 1999

RENDIMIENTO NOMINAL

5.7%

Valores calculados con base en la inflación

esperada

5.1%

3.0%

3.0%

3.0%

INFLACIÓN MÉXICO

12.3%Valores reportados al

cierre del año9.0%

6.1%

SEGURO INDIVIDUAL SEGURO INSTITUCIONAL COLECTIVO SEGURO DE GRUPO

SEGURO DE GASTOS MÉDICOS MAY. Y ACC.Y ENF. SEGURO DE AUTOMÓVILES

Impuesto aplicable al resultado técnico

Impuesto Sobre la Renta (ISR) 34%

Gastos sobre primas

FLUJOS BÁSICOS: CIFRAS OBSERVADAS Y PROYECTADAS (EN MILES DE PESOS)

93

SEGURO INDIVIDUAL

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006INGRESOS POR PRIMAS

PRIMER AÑO 609,671 709,475 747,692 205,121 226,735 229,252 225,736 223,154 RENOVACIÓN 1,258,657 1,598,212 1,972,880 511,286 453,068 406,655 364,685 327,142

INVERSIONES EN LIBROS 296,194 398,627 498,803 138,837 138,462 133,407 127,580 122,477 TOTAL 2,164,522 2,706,314 3,219,375 855,244 818,265 769,313 718,001 672,773

SINIESTRALIDADMUERTE 342,728 422,824 555,410 27,922 38,454 53,448 71,462 90,486

CANCELACIONES 379 330 360 32 871 5,252 14,691 28,944 RETIROS PARCIALES 857 1,057 1,389 689 15,038 45,767 80,153 111,830

TOTAL 343,964 424,211 557,159 28,643 54,363 104,467 166,305 231,260

GASTOSCOMISIONES PRIMER AÑO 121,934 141,895 149,538 41,024 45,347 45,850 45,147 44,631

COMISIONES RENOVACIÓN 251,731 319,642 394,576 102,257 90,614 81,331 72,937 65,428 ADMINISTRACIÓN 112,100 138,461 163,234 42,984 40,788 38,154 35,425 33,018

TOTAL 485,765 599,999 707,349 186,266 176,749 165,336 153,510 143,077

UTILIDADES EN LIBROSANTES DE IMPUESTOS 1,334,793 1,682,104 1,954,868 640,335 587,152 499,510 398,187 298,436

ISR 453,829 571,915 664,655 217,714 199,632 169,833 135,383 101,468 TOTAL 880,963 1,110,189 1,290,213 422,621 387,521 329,677 262,803 196,968

FLUJOS BÁSICOS: CIFRAS OBSERVADAS Y PROYECTADAS (EN MILES DE PESOS)

94

SEGURO INSTITUCIONAL COLECTIVO

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006INGRESOS POR PRIMAS

PRIMER AÑO 4,337,404 17,565,536 2,375,780 3,386,518 3,697,004 3,936,557 4,147,240 4,379,654 RENOVACIÓN 3,828,892 4,045,876 4,433,256 - - - - -

INVERSIONES EN LIBROS 1,294,636 3,733,129 1,248,402 656,292 753,003 825,848 896,149 974,761 TOTAL 9,460,932 25,344,541 8,057,438 4,042,810 4,450,007 4,762,405 5,043,389 5,354,415

SINIESTRALIDADINVALIDEZ Y MUERTE ACCIDENTAL 5,709,682 27,413,356 3,205,646 2,266,281 3,268,615 3,575,819 3,782,546 3,990,825

INCREMENTO EN RESERVA 55,487 993,471 -158,938 900,113 188,084 104,862 95,123 104,152 RETIROS PARCIALES - - - - - - - -

TOTAL 5,765,169 28,406,827 3,046,708 3,166,394 3,456,699 3,680,681 3,877,669 4,094,977

GASTOSCOMISIONES PRIMER AÑO - - - - - - - -

COMISIONES RENOVACIÓN - - - - - - - - ADMINISTRACIÓN 449,789 1,821,546 246,368 351,182 383,379 408,221 430,069 454,170

TOTAL 449,789 1,821,546 246,368 351,182 383,379 408,221 430,069 454,170

UTILIDADES EN LIBROSANTES DE IMPUESTOS 3,245,975 -4,883,832 4,764,362 525,234 609,928 673,504 735,651 805,268

ISR 1,103,631 - 1,619,883 178,580 207,376 228,991 250,121 273,791 TOTAL 2,142,343 -4,883,832 3,144,479 346,655 402,553 444,512 485,530 531,477

FLUJOS BÁSICOS: CIFRAS OBSERVADAS Y PROYECTADAS (EN MILES DE PESOS)

95

SEGURO DE GRUPO

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006INGRESOS POR PRIMAS

PRIMER AÑO 11,098 15,725 15,182 29,167 79,167 129,167 179,167 229,167 RENOVACIÓN 50,860 54,976 41,845 - - - - -

INVERSIONES EN LIBROS 9,822 12,213 10,456 5,652 16,125 27,098 38,715 51,005 TOTAL 71,780 82,914 67,483 34,819 95,292 156,265 217,882 280,172

SINIESTRALIDADINVALIDEZ Y MUERTE ACCIDENTAL 49,280 57,735 48,868 9,149 38,495 72,403 106,713 141,023

INCREMENTO EN RESERVA 30,608 22,578 -670 10,865 15,829 16,231 16,231 16,231 RETIROS PARCIALES - - - - - - - -

TOTAL 79,888 80,313 48,198 20,014 54,324 88,634 122,944 157,254

GASTOSCOMISIONES PRIMER AÑO 555 786 759 1,458 3,958 6,458 8,958 11,458

COMISIONES RENOVACIÓN 2,543 2,749 2,092 - - - - - ADMINISTRACIÓN 13,247 15,116 12,192 6,236 16,926 27,616 38,306 48,996

TOTAL 16,345 18,651 15,044 7,694 20,884 34,074 47,264 60,454

UTILIDADES EN LIBROSANTES DE IMPUESTOS 24,452- 16,050- 4,241 7,111 20,083 33,557 47,674 62,463

ISR - - 1,442 2,418 6,828 11,409 16,209 21,238 TOTAL -24,452 -16,050 2,799 4,693 13,255 22,147 31,465 41,226

FLUJOS BÁSICOS: CIFRAS OBSERVADAS Y PROYECTADAS (EN MILES DE PESOS)

96

SEGURO DE GASTOS MÉDICOS Y ACCIDENTES Y ENFERMEDADES

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006INGRESOS POR PRIMAS

PRIMER AÑO 311,698 541,034 776,916 594,000 1,306,800 1,746,211 1,838,761 1,939,893 RENOVACIÓN - - - - - - - -

INVERSIONES EN LIBROS 49,415 93,458 142,444 115,115 266,168 366,337 397,325 431,754 TOTAL 361,113 634,492 919,360 709,115 1,572,968 2,112,548 2,236,086 2,371,647

SINIESTRALIDADGASTOS MÉDICOS Y ACCIDENTES 332,347 611,218 597,770 108,980 483,512 929,190 1,232,649 1,366,884

INCREMENTO EN RESERVA 460 11,209 -593 398,395 570,838 426,240 156,062 98,570 RETIROS PARCIALES - - - - - - - -

TOTAL 332,807 622,427 597,177 507,375 1,054,350 1,355,430 1,388,711 1,465,454

GASTOSCOMISIONES PRIMER AÑO 15,585 27,052 38,846 29,700 65,340 87,311 91,938 96,995

COMISIONES RENOVACIÓN - - - - - - - - ADMINISTRACIÓN 38,962 67,629 97,115 74,250 163,350 218,276 229,845 242,487

TOTAL 54,547 94,681 135,960 103,950 228,690 305,587 321,783 339,481

UTILIDADES EN LIBROSANTES DE IMPUESTOS 26,241- -82,616 186,222 97,790 289,928 451,531 525,592 566,711

ISR - - 63,316 33,248 98,575 153,520 178,701 192,682 TOTAL -26,241 -82,616 122,907 64,541 191,352 298,010 346,891 374,030

FLUJOS BÁSICOS: CIFRAS OBSERVADAS Y PROYECTADAS (EN MILES DE PESOS)

97

SEGURO DE AUTOMÓVILES

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006INGRESOS POR PRIMAS

PRIMER AÑO - 86 4,828 331,563 729,438 974,712 1,231,646 1,515,951 RENOVACIÓN - - - - - - - -

INVERSIONES EN LIBROS - 15 885 64,255 148,571 204,484 266,138 337,399 TOTAL - 101 5,713 395,818 878,009 1,179,196 1,497,784 1,853,350

SINIESTRALIDADDAÑOS MATERIALES/ROBO TOTAL - - 624 76,059 310,068 550,915 731,401 917,066

INCREMENTO EN RESERVA - - - 197,480 250,273 162,042 162,867 179,637 RETIROS PARCIALES - - - - - - - -

TOTAL - - 624 273,539 560,341 712,957 894,268 1,096,703

GASTOSCOMISIONES PRIMER AÑO - 6 362 24,867 54,708 73,103 92,373 113,696 GASTOS DE ADQUISICIÓN - 2 121 8,289 18,236 24,368 30,791 37,899

ADMINISTRACIÓN - 9 483 33,156 72,944 97,471 123,165 151,595 TOTAL - 17 966 66,313 145,888 194,942 246,329 303,190

UTILIDADES EN LIBROSANTES DE IMPUESTOS - 84 4,124 55,967 171,781 271,297 357,187 453,457

ISR - 28 1,402 19,029 58,405 92,241 121,444 154,175 TOTAL - 55 2,722 36,938 113,375 179,056 235,743 299,281

FLUJOS REEXPRESADOS DE ACUERDO AL AJUSTE INFLACIONARIO (EN MILES DE UDIS)

98

SEGURO INDIVIDUAL NUEVOS NEGOCIOS (CIFRAS EN UDIS)

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006INGRESOS POR PRIMAS

PRIMER AÑO 1,628,594 2,063,975 2,262,587 547,934 605,670 612,392 603,002 596,103 RENOVACIÓN 3,362,209 4,649,451 5,970,122 1,365,781 1,210,265 1,086,284 974,171 873,884

INVERSIONES EN LIBROS 791,213 1,159,669 1,509,425 445,929 470,074 476,010 468,878 463,627 TOTAL 5,782,015 7,873,095 9,742,135 2,359,644 2,286,009 2,174,686 2,046,051 1,933,614

SINIESTRALIDADMUERTE 915,518 1,230,062 1,680,723 74,587 102,721 142,774 190,894 241,711

CANCELACIONES 1,012 960 1,089 85 2,327 14,029 39,243 77,318 RETIROS PARCIALES 2,289 3,075 4,202 1,841 40,171 122,257 214,109 298,728

TOTAL 918,819 1,234,097 1,686,015 76,513 145,219 279,060 444,246 617,757

GASTOSCOMISIONES PRIMER AÑO 325,719 412,795 452,517 109,587 121,134 122,478 120,600 119,221

COMISIONES RENOVACIÓN 672,442 929,890 1,194,024 273,156 242,053 217,257 194,834 174,777 ADMINISTRACIÓN 299,448 402,806 493,963 114,823 108,956 101,921 94,630 88,199

TOTAL 1,297,609 1,745,491 2,140,504 497,566 472,143 441,656 410,065 382,197

UTILIDADES EN LIBROSANTES DE IMPUESTOS 3,565,587 4,893,507 5,915,616 1,785,565 1,668,647 1,453,971 1,191,740 933,660

ISR 1,212,300 1,663,792 2,011,309 607,092 567,340 494,350 405,192 317,444 TOTAL 2,353,288 3,229,715 3,904,306 1,178,473 1,101,307 959,621 786,548 616,216

FLUJOS REEXPRESADOS DE ACUERDO AL AJUSTE INFLACIONARIO (EN MILES DE UDIS)

99

SEGURO INSTITUCIONAL COLECTIVO (CIFRAS EN UDIS)

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006INGRESOS POR PRIMAS

PRIMER AÑO 11,586,364 51,100,920 7,189,336 10,877,148 12,551,238 14,046,104 15,241,782 16,578,819 RENOVACIÓN 10,227,993 11,770,093 13,415,454 - - - - -

INVERSIONES EN LIBROS 3,458,320 10,860,261 3,777,784 2,107,943 2,556,426 2,946,726 3,293,493 3,689,877 TOTAL 25,272,677 73,731,273 24,382,573 12,985,091 15,107,663 16,992,830 18,535,275 20,268,696

SINIESTRALIDADINVALIDEZ Y MUERTE ACCIDENTAL 15,252,085 79,749,784 9,700,589 7,279,062 11,096,867 12,758,948 13,901,472 15,106,939

INCREMENTO EN RESERVA 148,221 2,890,164 -480,961 2,891,070 638,541 374,160 349,593 394,259 RETIROS PARCIALES - - - - - - - -

TOTAL 15,400,306 82,639,948 9,219,628 10,170,132 11,735,408 13,133,108 14,251,064 15,501,198

GASTOSCOMISIONES PRIMER AÑO - - - - - - - -

COMISIONES RENOVACIÓN - - - - - - - - ADMINISTRACIÓN 1,201,506 5,299,165 745,534 1,127,960 1,301,563 1,456,581 1,580,573 1,719,224

TOTAL 1,201,506 5,299,165 745,534 1,127,960 1,301,563 1,456,581 1,580,573 1,719,224

UTILIDADES EN LIBROSANTES DE IMPUESTOS 8,670,865 -14,207,840 14,417,411 1,686,999 2,070,692 2,403,141 2,703,638 3,048,275

ISR 2,948,094 - 4,901,920 573,580 704,035 817,068 919,237 1,036,413 TOTAL 5,722,771 -14,207,840 9,515,492 1,113,419 1,366,657 1,586,073 1,784,401 2,011,861

FLUJOS REEXPRESADOS DE ACUERDO AL AJUSTE INFLACIONARIO (EN MILES DE UDIS)

100

SEGURO DE GRUPO (CIFRAS EN UDIS)

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006INGRESOS POR PRIMAS

PRIMER AÑO 29,646 45,747 45,942 93,681 268,770 460,883 658,468 867,493 RENOVACIÓN 135,861 159,934 126,627 - - - - -

INVERSIONES EN LIBROS 26,238 35,529 31,640 18,155 54,743 96,688 142,284 193,074 TOTAL 191,745 241,209 204,209 111,836 323,513 557,572 800,752 1,060,567

SINIESTRALIDADINVALIDEZ Y MUERTE ACCIDENTAL 131,640 167,960 147,879 29,386 130,690 258,343 392,188 533,831

INCREMENTO EN RESERVA 81,762 65,683 -2,027 34,897 53,739 57,914 59,652 61,441 RETIROS PARCIALES - - - - - - - -

TOTAL 213,402 233,643 145,852 64,283 184,429 316,257 451,839 595,272

GASTOSCOMISIONES PRIMER AÑO 1,482 2,287 2,297 4,684 13,439 23,044 32,923 43,375

COMISIONES RENOVACIÓN 6,793 7,997 6,331 - - - - - ADMINISTRACIÓN 35,385 43,974 36,895 20,029 57,463 98,537 140,780 185,470

TOTAL 43,661 54,258 45,524 24,713 70,902 121,581 173,704 228,845

UTILIDADES EN LIBROSANTES DE IMPUESTOS -65,318 -46,692 12,833 22,840 68,183 119,734 175,209 236,450

ISR - - 4,363 7,766 23,182 40,710 59,571 80,393 TOTAL -65,318 -46,692 8,470 15,075 45,001 79,024 115,638 156,057

FLUJOS REEXPRESADOS DE ACUERDO AL AJUSTE INFLACIONARIO (EN MILES DE UDIS)

101

SEGURO DE GASTOS MÉDICOS Y ACCIDENTES Y ENFERMEDADES (CIFRAS EN UDIS)

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006INGRESOS POR PRIMAS

PRIMER AÑO 832,629 1,573,953 2,351,022 1,907,867 4,436,554 6,230,689 6,757,746 7,343,305 RENOVACIÓN - - - - - - - -

INVERSIONES EN LIBROS 132,000 271,883 431,048 369,736 903,634 1,307,133 1,460,236 1,634,368 TOTAL 964,629 1,845,836 2,782,070 2,277,603 5,340,187 7,537,822 8,217,981 8,977,673

SINIESTRALIDADGASTOS MÉDICOS Y ACCIDENTES 887,788 1,778,130 1,808,909 350,033 1,641,511 3,315,461 4,530,186 5,174,227

INCREMENTO EN RESERVA 1,229 32,609 -1,794 1,279,604 1,937,981 1,520,875 573,553 373,129 RETIROS PARCIALES - - - - - - - -

TOTAL 889,016 1,810,738 1,807,114 1,629,636 3,579,492 4,836,336 5,103,739 5,547,355

GASTOSCOMISIONES PRIMER AÑO 41,631 78,698 117,551 95,393 221,828 311,534 337,887 367,165

COMISIONES RENOVACIÓN - - - - - - - - ADMINISTRACIÓN 104,079 196,744 293,878 238,483 554,569 778,836 844,718 917,913

TOTAL 145,710 275,442 411,429 333,877 776,397 1,090,371 1,182,606 1,285,078

UTILIDADES EN LIBROSANTES DE IMPUESTOS -70,098 -240,344 563,526 314,090 984,298 1,611,116 1,931,637 2,145,239

ISR - - 191,599 106,791 334,661 547,779 656,757 729,381 TOTAL -70,098 -240,344 371,927 207,299 649,637 1,063,337 1,274,880 1,415,858

FLUJOS REEXPRESADOS DE ACUERDO AL AJUSTE INFLACIONARIO (EN MILES DE UDIS)

102

SEGURO DE AUTOMÓVILES (CIFRAS EN UDIS)

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006INGRESOS POR PRIMAS

PRIMER AÑO - 250 14,610 1,064,946 2,476,424 3,477,889 4,526,499 5,738,508 RENOVACIÓN - - - - - - - -

INVERSIONES EN LIBROS - 43 2,679 206,382 504,396 729,625 978,101 1,277,195 TOTAL - 293 17,289 1,271,328 2,980,820 4,207,513 5,504,600 7,015,703

SINIESTRALIDADDAÑOS MATERIALES/ROBO TOTAL - - 1,888 244,294 1,052,673 1,965,730 2,688,018 3,471,478

INCREMENTO EN RESERVA - - - 634,285 849,671 578,185 598,563 680,001 RETIROS PARCIALES - - - - - - - -

TOTAL - - 1,888 878,579 1,902,344 2,543,916 3,286,580 4,151,479

GASTOSCOMISIONES PRIMER AÑO - 19 1,096 79,871 185,732 260,842 339,487 430,388 GASTOS DE ADQUISICIÓN - 6 365 26,624 61,911 86,947 113,162 143,463

ADMINISTRACIÓN - 25 1,461 106,495 247,642 347,789 452,650 573,851 TOTAL - 50 2,922 212,989 495,285 695,578 905,300 1,147,702

UTILIDADES EN LIBROSANTES DE IMPUESTOS - 243 12,478 179,760 583,191 968,020 1,312,720 1,716,522

ISR - 83 4,243 61,118 198,285 329,127 446,325 583,618 TOTAL - 161 8,236 118,641 384,906 638,893 866,395 1,132,905

OBTENCIÓN DE LA TASA DE DESCUENTO: ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE LAS TASAS ESTADOUNIDENSES LIBRES DE RIESGO

103

TASAS DE FONDOS FEDERALES A CORTO PLAZORENDIMIENTO PROMEDIO MENSUAL EN PORCENTAJE ANUAL

Mes/Año Tasa porcentual -Ln(1+i) F(X) teórica F(X) observada Abs(Fobs-Fteo)Jul / 2000 6.54 -0.06335 0.03859 0.01248 0.02611

Jun / 2000 6.53 -0.06326 0.03990 0.02496 0.01495

Sep / 2000 6.52 -0.06316 0.04125 0.03743 0.00382

Oct / 2000 6.51 -0.06307 0.04264 0.04991 0.00726

Nov / 2000 6.51 -0.06307 0.04264 0.06238 0.01974

Ago / 2000 6.50 -0.06297 0.04407 0.07485 0.03079

Dic / 2000 6.40 -0.06204 0.06055 0.08732 0.02676

May / 2000 6.27 -0.06081 0.08879 0.09976 0.01097

Abr / 1995 6.05 -0.05874 0.15723 0.11218 0.04504

Abr / 2000 6.02 -0.05846 0.16873 0.12460 0.04413

May / 1995 6.01 -0.05836 0.17268 0.13702 0.03567

Jun / 1995 6.00 -0.05827 0.17669 0.14943 0.02726

Mar / 1995 5.98 -0.05808 0.18489 0.16184 0.02305

Ene / 2001 5.98 -0.05808 0.18489 0.17426 0.01064

Feb / 1995 5.92 -0.05751 0.21089 0.18666 0.02423

Jul / 1995 5.85 -0.05685 0.24380 0.19906 0.04474

Mar / 2000 5.85 -0.05685 0.24380 0.21146 0.03234

Sep / 1995 5.80 -0.05638 0.26891 0.22385 0.04506

Nov / 1995 5.80 -0.05638 0.26891 0.23624 0.03267

Oct / 1995 5.76 -0.05600 0.28991 0.24863 0.04128

Ago / 1995 5.74 -0.05581 0.30069 0.26101 0.03968

Feb / 2000 5.73 -0.05572 0.30615 0.27340 0.03276

Dic / 1995 5.60 -0.05449 0.38072 0.28576 0.09496

Ene / 1996 5.56 -0.05411 0.40478 0.29813 0.10665

Jun / 1997 5.56 -0.05411 0.40478 0.31049 0.09428

Ene / 1998 5.56 -0.05411 0.40478 0.32285 0.08192

Jun / 1998 5.56 -0.05411 0.40478 0.33522 0.06956

Ago / 1998 5.55 -0.05401 0.41085 0.34758 0.06327

Ago / 1997 5.54 -0.05392 0.41695 0.35994 0.05701

Sep / 1997 5.54 -0.05392 0.41695 0.37230 0.04464

Jul / 1998 5.54 -0.05392 0.41695 0.38466 0.03228

Ene / 1995 5.53 -0.05383 0.42307 0.39702 0.02604

Jul / 1997 5.52 -0.05373 0.42920 0.40938 0.01982

Nov / 1997 5.52 -0.05373 0.42920 0.42174 0.00746

Abr / 1997 5.51 -0.05364 0.43536 0.43410 0.00126

Feb / 1998 5.51 -0.05364 0.43536 0.44646 0.01110

OBTENCIÓN DE LA TASA DE DESCUENTO: ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE LAS TASAS ESTADOUNIDENSES LIBRES DE RIESGO

104

Sep / 1998 5.51 -0.05364 0.43536 0.45881 0.02346

May / 1997 5.50 -0.05354 0.44153 0.47117 0.02964

Oct / 1997 5.50 -0.05354 0.44153 0.48353 0.04200

Dic / 1997 5.50 -0.05354 0.44153 0.49588 0.05436

Mar / 1998 5.49 -0.05345 0.44771 0.50824 0.06053

May / 1998 5.49 -0.05345 0.44771 0.52059 0.07288

Feb / 2001 5.49 -0.05345 0.44771 0.53295 0.08524

Ene / 2000 5.46 -0.05316 0.46634 0.54530 0.07896

Abr / 1998 5.45 -0.05307 0.47257 0.55765 0.08508

Nov / 1999 5.42 -0.05278 0.49130 0.57000 0.07870

Jul / 1996 5.40 -0.05259 0.50380 0.58234 0.07854

Mar / 1997 5.39 -0.05250 0.51005 0.59469 0.08463

Mar / 1996 5.31 -0.05174 0.55987 0.60702 0.04716

Nov / 1996 5.31 -0.05174 0.55987 0.61936 0.05949

Mar / 2001 5.31 -0.05174 0.55987 0.63169 0.07182

Sep / 1996 5.30 -0.05160 0.56913 0.64402 0.07489

Dic / 1999 5.30 -0.05164 0.56605 0.65636 0.09031

Dic / 1996 5.29 -0.05155 0.57221 0.66869 0.09648

Jun / 1996 5.27 -0.05131 0.58754 0.68102 0.09348

Ene / 1997 5.25 -0.05117 0.59668 0.69334 0.09666

May / 1996 5.24 -0.05107 0.60274 0.70567 0.10293

Oct / 1996 5.24 -0.05107 0.60274 0.71800 0.11525

Feb / 1996 5.23 -0.05098 0.60878 0.73032 0.12154

Abr / 1996 5.23 -0.05093 0.61179 0.74264 0.13085

Ago / 1996 5.22 -0.05090 0.61354 0.75497 0.14143

Sep / 1999 5.21 -0.05079 0.62079 0.76729 0.14651

Oct / 1999 5.18 -0.05050 0.63857 0.77961 0.14104

Feb / 1997 5.15 -0.05022 0.65607 0.79193 0.13585

Oct / 1998 5.07 -0.04946 0.70107 0.80423 0.10316

Ago / 1999 5.07 -0.04946 0.70107 0.81654 0.11547

Jul / 1999 4.99 -0.04869 0.74321 0.82883 0.08562

Nov / 1998 4.83 -0.04717 0.81732 0.84111 0.02380

Mar / 1999 4.81 -0.04698 0.82554 0.85339 0.02784

Abr / 2001 4.80 -0.04688 0.82957 0.86566 0.03609

Feb / 1999 4.76 -0.04650 0.84507 0.87793 0.03286

Jun / 1999 4.76 -0.04650 0.84507 0.89020 0.04513

OBTENCIÓN DE LA TASA DE DESCUENTO: ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE LAS TASAS ESTADOUNIDENSES LIBRES DE RIESGO

105

Abr / 1999 4.74 -0.04631 0.85246 0.90247 0.05001May / 1999 4.74 -0.04631 0.85246 0.91474 0.06228

Dic / 1998 4.68 -0.04574 0.87321 0.92700 0.05379Ene / 1999 4.63 -0.04526 0.88888 0.93925 0.05037

May / 2001 4.21 -0.04124 0.97028 0.95146 0.01882Jun / 2001 3.97 -0.03893 0.98827 0.96363 0.02463

Jul / 2001 3.77 -0.03701 0.99511 0.97579 0.01933

Ago / 2001 3.65 -0.03585 0.99724 0.98793 0.00931Sep / 2001 3.07 -0.03024 0.99989 1.00000 0.00011

MEDIA -0.0526585.38

DESVIACIÓN ESTÁNDAR 0.00605

Ho: La muestra de tasas proviene de una distribución normal con parámetros N(-0.05265, 0.00605)

0.14651

0.14852

El estadístico Kolmogorov - Smirnov es menor al valor crítico, no existe evidencia suficiente para rechazar Ho

ESTADÍSTICO KOLMOGOROV - SMIRNOV

VALOR CRÍTICO AL 95% DE CONFIANZA

Por lo tanto, puede asegurarse que X=Ln(1+i) proviene de una distribución N(-0.05265, 0.00605)

ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE LAS TASAS ESTADOUNIDENSES LIBRES DE RIESGO

106

Sea x la tasa de interés; de la prueba Kolmogorov - Smirnovse sabe que -Ln(1+x) se distribuye Normal con los siguientes parámetros

-0.05265 0.00605

2001 4.52947%

2002 4.24543%

2003 3.96270%

P(-Ln(1+x) = j) = 0.95 Se calcula esta probabilidad para despejar j y pronosticar la tasa de interés 2004 3.68584%

Se obtiene j del despeje de una normal inversa con los parámetros hipotéticos 2005 3.41481%

2006 3.14957%0.95821

-0.04179 Media -0.045465401entonces P(-Ln(1+x) = - 0.04269) = 0.95 desvest 0.009744263

N-1 -0.02944x 2.99%

exp(Ln(1+x)) = exp(0.04269)

1+x = 1

x = 0.00%

Mes Tasa anualizada 1+i Mes Tasa anualizada

Tasa mensualizada

Ene / 2001 5.98% 1.004983 Ene / 2004 3.75% 0.3125%Feb / 2001 5.49% 1.004575 Feb / 2004 3.72% 0.3100%Mar / 2001 5.31% 1.004425 Mar / 2004 3.70% 0.3083%Abr / 2001 4.80% 1.004000 Abr / 2004 3.68% 0.3067%May / 2001 4.21% 1.003508 May / 2004 3.66% 0.3050%Jun / 2001 3.97% 1.003308 Jun / 2004 3.64% 0.3033%Jul / 2001 3.77% 1.003142 Jul / 2004 3.61% 0.3008%Ago / 2001 3.65% 1.003042 Ago / 2004 3.59% 0.2992%Sep / 2001 3.07% 1.002558 Sep / 2004 3.57% 0.2975%Oct / 2001 4.36% 1.003633 Oct / 2004 3.55% 0.2958%Nov / 2001 4.34% 1.003617 Nov / 2004 3.53% 0.2942%Dic / 2001 4.31% 1.003592 Dic / 2004 3.50% 0.2917%Ene / 2002 4.29% 1.003575 Ene / 2005 3.48% 0.2900%Feb / 2002 4.27% 1.003558 Feb / 2005 3.46% 0.2883%Mar / 2002 4.25% 1.003542 Mar / 2005 3.44% 0.2867%Abr / 2002 4.22% 1.003517 Abr / 2005 3.42% 0.2850%May / 2002 4.20% 1.003500 May / 2005 3.39% 0.2825%Jun / 2002 4.18% 1.003483 Jun / 2005 3.37% 0.2808%Jul / 2002 4.15% 1.003458 Jul / 2005 3.35% 0.2792%Ago / 2002 4.13% 1.003442 Ago / 2005 3.33% 0.2775%Sep / 2002 4.11% 1.003425 Sep / 2005 3.31% 0.2758%Oct / 2002 4.08% 1.003400 Oct / 2005 3.29% 0.2742%Nov / 2002 4.06% 1.003383 Nov / 2005 3.27% 0.2725%Dic / 2002 4.04% 1.003367 Dic / 2005 3.24% 0.2700%Ene / 2003 4.02% 1.003350 Ene / 2006 3.22% 0.2683%Feb / 2003 3.99% 1.003325 Feb / 2006 3.20% 0.2667%Mar / 2003 3.97% 1.003308 Mar / 2006 3.18% 0.2650%Abr / 2003 3.95% 1.003292 Abr / 2006 3.16% 0.2633%May / 2003 3.93% 1.003275 May / 2006 3.14% 0.2617%Jun / 2003 3.90% 1.003250 Jun / 2006 3.12% 0.2600%Jul / 2003 3.88% 1.003233 Jul / 2006 3.09% 0.2575%Ago / 2003 3.86% 1.003217 Ago / 2006 3.07% 0.2558%Sep / 2003 3.84% 1.003200 Sep / 2006 3.05% 0.2542%Oct / 2003 3.81% 1.003175 Oct / 2006 3.03% 0.2525%Nov / 2003 3.79% 1.003158 Nov / 2006 3.01% 0.2508%Dic / 2003 3.77% 1.003142 Dic / 2006 2.99% 0.2492%

0.3158%0.3142%

0.3233%0.3217%0.3200%0.3175%

0.3308%0.3292%0.3275%0.3250%

0.3383%0.3367%0.3350%0.3325%

0.3458%0.3442%0.3425%0.3400%

0.3542%0.3517%0.3500%0.3483%

0.3617%0.3592%0.3575%0.3558%

0.3142%0.3042%0.2558%0.3633%

0.4425%0.4000%0.3508%0.3308%

Este dato se incorpora a la muestra y se sigue pronosticando iterativamente

Tasa mensualizada

0.4983%0.4575%

La tasa anual se obtiene al componerlas tasas mensuales pronosticadas

Ln(1+x) = 0.04269

RESULTADOS OBTENIDOS

AÑO TASA NOMINAL ANUAL LIBRE DE RIESGO

son estadísticos obtenidos de los históricos de tasas de fondos federales a corto plazo desde el año 1995 hasta el año 2001

( ) 04269.0,,95.01 −=−nnN σµ

=nµ=nσ

nn σµ ,

107

1 De acuerdo al índice de JP Morgan para nuevos negocios en mercados locales

TIPO DE CAMBIO

Año Cierre a la venta Cierre a la compra

1999 9.5100 9.5000

2000 9.4540 9.4500

2001 9.2870 9.2395

2002 9.9317 9.8809

2003 10.6494 10.5950

2004 11.4491 11.3906

2005 12.3405 12.3385

2006 13.3014 13.3653

CAMBIO ESPERADO PARA EL PERÍODO 2002 - 2006

AÑO TASA MÉXICO TASA U.S.A.

2001 11.47% 4.53%

2002 11.47% 4.25%

2003 11.47% 3.96%

2004 11.47% 3.69%

2005 11.47% 3.41%

2006 11.47% 3.15%

El cambio esperado está determinado por el diferencial de tasas entre los dos países

AÑO 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Tipo de Cambio 9.50 9.45 9.24 9.88 10.59 11.39 12.34 13.37

Retorno sobre acciones (ajuste a pesos de acuerdo al TdC)

8.26% 8.22% 8.08% 8.83% 8.86% 8.88% 8.95% 8.95%

Riesgo País 150.00% 150.00% 150.00% 150.00% 150.00% 150.00% 150.00% 150.00%

Tasa de inflación 12.32% 8.96% 6.14% 5.70% 5.10% 3.00% 3.00% 3.00%

Tasa de Costo de Capital 20.65% 20.54% 20.19% 22.08% 22.14% 22.20% 22.37% 22.37%

Tasa de Costo de Capital en UDIS 7.46% 10.67% 13.28% 15.55% 16.27% 18.69% 18.86% 18.86%

La tasa equivalente se saca tomando como base los retornos sobre acciones iniciales e indizando los años subsecuentes de acuerdo al tipo de cambio esperado en cada año

Retorno sobre acciones requerido para la industria de seguros en Estados Unidos de Norteamérica (1999) 8.26%

Tasa de retorno nominal requerida por los inversionistas estadounidenses en México1 20.70%

De acuerdo a datos históricos del Banco Nacional de México

De acuerdo a predicciones por cambio esperado en el diferencial

de tasas

CAMBIO ESPERADO

6.94%

8.32%

7.23%

7.51%

7.79%

8.06%

108

FLUJOS POR PRODUCTO Y TOTALES EN TÉRMINOS REALES (CIFRAS EN MILES DE UDIS)

AÑO Individual Colectivo Grupo GMM/AyE Automóvil TOTAL

1999 2,353,288 5,722,771 -65,318 -70,098 0 7,940,6432000 3,229,715 -14,207,840 -46,692 -240,344 161 -11,265,0012001 3,904,306 9,515,492 8,470 371,927 8,236 13,808,4312002 1,178,473 1,113,419 15,075 207,299 118,641 2,632,9072003 1,101,307 1,366,657 45,001 649,637 384,906 3,547,5072004 959,621 1,586,073 79,024 1,063,337 638,893 4,326,9482005 786,548 1,784,401 115,638 1,274,880 866,395 4,827,8622006 616,216 2,011,861 156,057 1,415,858 1,132,905 5,332,897

AÑO 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

FLUJO 7,940,643 -11,265,001 13,808,431 2,632,907 3,547,507 4,326,948 4,827,862 5,332,897

TASA 7.46% 10.67% 13.28% 15.55% 16.27% 18.69% 18.86% 18.86%

VP 7,389,337 -9,471,812 10,248,970 1,691,216 1,959,896 2,014,021 1,890,656 1,757,099

6,543,480

8,000,000

-1,456,520

VALOR PRESENTE DE LOS FLUJOS (EN MILES DE PESOS)

INVERSIÓN INICIAL (EN MILES DE PESOS)

VALOR PRESENTE NETO (EN MILES DE PESOS)

FLUJOS TOTALES (EN MILES DE UDIS)

109

ANEXO 4: DETERMINACIÓN DE LA VARIANZA (VOLATILIDAD DE LOS FLUJOS). FLUJOS TOTALES: SUMA DE PRODUCTOS (EN UDIS)

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006INGRESOS POR PRIMAS

PRIMER AÑO 14,077,232 54,784,845 11,863,497 14,491,576 20,338,655 24,827,957 27,787,497 31,124,228 RENOVACIÓN 13,726,062 16,579,478 19,512,203 1,365,781 1,210,265 1,086,284 974,171 873,884

INVERSIONES EN LIBROS 4,407,771 12,327,385 5,752,575 3,148,145 4,489,272 5,556,183 6,342,991 7,258,141 TOTAL 32,211,066 83,691,707 37,128,275 19,005,503 26,038,192 31,470,423 35,104,659 39,256,252

SINIESTRALIDADMUERTE 915,518 1,230,062 1,680,723 74,587 102,721 142,774 190,894 241,711

INVALIDEZ Y MUERTE ACCIDENTAL 15,383,725 79,917,744 9,848,469 7,308,447 11,227,557 13,017,291 14,293,660 15,640,770 GASTOS MÉDICOS Y ACCIDENTES 887,788 1,778,130 1,808,909 350,033 1,641,511 3,315,461 4,530,186 5,174,227

DAÑOS MATERIALES / ROBO TOTAL - - 1,888 244,294 1,052,673 1,965,730 2,688,018 3,471,478 SUBTOTAL SINIESTROS 17,187,031 82,925,936 13,339,989 7,977,361 14,024,463 18,441,256 21,702,757 24,528,185

CANCELACIONES 1,012 960 1,089 85 2,327 14,029 39,243 77,318 INCREMENTO EN RESERVA 231,212 2,988,456 -484,783 4,839,857 3,479,931 2,531,135 1,581,360 1,508,830

RETIROS PARCIALES 2,289 3,075 4,202 1,841 40,171 122,257 214,109 298,728 TOTAL 17,421,543 85,918,427 12,860,497 12,819,144 17,546,892 21,108,676 23,537,469 26,413,061

GASTOSCOMISIONES PRIMER AÑO 368,833 493,799 573,461 289,535 542,132 717,899 830,899 960,149

COMISIONES RENOVACIÓN 679,235 937,887 1,200,356 273,156 242,053 217,257 194,834 174,777 GASTO DE ADQUISICIÓN - 6 365 26,624 61,911 86,947 113,162 143,463

ADMINISTRACIÓN 1,640,418 5,942,715 1,571,731 1,607,790 2,270,194 2,783,663 3,113,352 3,484,657 TOTAL 2,688,485 7,374,407 3,345,913 2,197,105 3,116,290 3,805,766 4,252,247 4,763,045

UTILIDADES EN LIBROSANTES DE IMPUESTOS 12,101,037 -9,601,126 20,921,865 3,989,254 5,375,011 6,555,981 7,314,943 8,080,146

ISR 4,160,394 1,663,875 7,113,434 1,356,346 1,827,504 2,229,034 2,487,081 2,747,250 TOTAL 7,940,643 -11,265,001 13,808,431 2,632,907 3,547,507 4,326,948 4,827,862 5,332,897

SINIESTRALIDAD (SINIESTROS/PRIMAS) 61.82% 116.20% 42.52% 50.31% 65.08% 71.16% 75.46% 76.66%

SINIESTRALIDAD PROMEDIO 69.9%

VARIANZA DE SINIESTRALIDAD 4.9%

SIMULACIÓN DE SINIESTROS Y RESULTADOS OBTENIDOS

110

Número aleatorio Siniestralidad 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 20061 0.05365 34.18% 9,502,238 24,389,943 10,723,167 5,419,515 7,364,702 8,856,622 9,829,778 10,935,8862 0.51016 70.46% 19,591,460 50,286,531 22,108,738 11,173,812 15,184,344 18,260,347 20,266,773 22,547,3173 0.45446 67.36% 18,728,867 48,072,464 21,135,312 10,681,840 14,515,793 17,456,362 19,374,446 21,554,5814 0.43901 66.50% 18,487,853 47,453,841 20,863,331 10,544,380 14,328,995 17,231,723 19,125,125 21,277,2055 0.69917 81.48% 22,653,791 58,146,793 25,564,544 12,920,385 17,557,802 21,114,613 23,434,662 26,071,6776 0.74854 84.76% 23,565,807 60,487,716 26,593,743 13,440,544 18,264,659 21,964,663 24,378,114 27,121,2937 0.59167 75.04% 20,864,270 53,553,525 23,545,089 11,899,747 16,170,835 19,446,678 21,583,456 24,012,1628 0.00349 10.06% 2,797,811 7,181,303 3,157,298 1,595,706 2,168,441 2,607,718 2,894,251 3,219,9309 0.50835 70.36% 19,563,569 50,214,942 22,077,263 11,157,904 15,162,728 18,234,351 20,237,920 22,515,218

10 0.73865 84.08% 23,376,474 60,001,744 26,380,083 13,332,560 18,117,916 21,788,193 24,182,255 26,903,39411 0.50361 70.10% 19,490,266 50,026,790 21,994,542 11,116,097 15,105,914 18,166,028 20,162,091 22,430,85612 0.17708 49.35% 13,720,122 35,216,230 15,483,001 7,825,147 10,633,769 12,787,929 14,193,052 15,790,14313 0.27717 56.78% 15,787,978 40,523,915 17,816,553 9,004,530 12,236,459 14,715,287 16,332,186 18,169,98614 0.30478 58.57% 16,284,848 41,799,259 18,377,264 9,287,915 12,621,558 15,178,398 16,846,183 18,741,82115 0.45878 67.60% 18,796,042 48,244,886 21,211,118 10,720,152 14,567,857 17,518,973 19,443,937 21,631,89116 0.85896 93.76% 26,068,251 66,910,884 29,417,722 14,867,791 20,204,176 24,297,082 26,966,817 30,001,29317 0.06005 35.42% 9,848,596 25,278,960 11,114,028 5,617,058 7,633,146 9,179,448 10,188,075 11,334,50118 0.99248 123.83% 34,428,297 88,369,099 38,851,939 19,635,868 26,683,623 32,089,117 35,615,033 39,622,66019 0.31900 59.46% 16,532,872 42,435,878 18,657,157 9,429,374 12,813,789 15,409,571 17,102,757 19,027,26620 0.15839 47.69% 13,260,434 34,036,320 14,964,247 7,562,968 10,277,488 12,359,473 13,717,518 15,261,09921 0.74312 84.38% 23,461,521 60,220,039 26,476,057 13,381,066 18,183,832 21,867,462 24,270,234 27,001,27322 0.35752 61.80% 17,182,904 44,104,351 19,390,710 9,800,114 13,317,595 16,015,437 17,775,194 19,775,37123 0.46390 67.89% 18,875,634 48,449,180 21,300,937 10,765,547 14,629,545 17,593,157 19,526,273 21,723,49224 0.18554 50.06% 13,918,107 35,724,409 15,706,425 7,938,066 10,787,217 12,972,462 14,397,861 16,017,99925 0.37335 62.74% 17,442,518 44,770,718 19,683,682 9,948,182 13,518,809 16,257,412 18,043,758 20,074,15526 0.91014 99.66% 27,708,558 71,121,155 31,268,790 15,803,325 21,475,495 25,825,941 28,663,665 31,889,08127 0.71962 82.80% 23,021,898 59,091,635 25,979,948 13,130,331 17,843,103 21,457,709 23,815,458 26,495,32328 0.55457 72.94% 20,280,733 52,055,729 22,886,575 11,566,933 15,718,565 18,902,789 20,979,805 23,340,58529 0.67554 80.00% 22,242,109 57,090,105 25,099,965 12,685,585 17,238,728 20,730,901 23,008,789 25,597,88330 0.67200 79.78% 22,181,566 56,934,707 25,031,643 12,651,055 17,191,804 20,674,472 22,946,160 25,528,20631 0.91969 101.02% 28,086,915 72,092,308 31,695,762 16,019,118 21,768,740 26,178,591 29,055,065 32,324,52332 0.47661 68.60% 19,072,652 48,954,876 21,523,269 10,877,914 14,782,243 17,776,789 19,730,082 21,950,23433 0.99819 134.42% 37,373,491 95,928,697 42,175,557 21,315,632 28,966,293 34,834,204 38,661,746 43,012,20934 0.39385 63.93% 17,773,690 45,620,756 20,057,405 10,137,063 13,775,483 16,566,083 18,386,345 20,455,29235 0.25539 55.31% 15,378,764 39,473,561 17,354,759 8,771,139 11,919,298 14,333,876 15,908,866 17,699,03236 0.40551 64.60% 17,959,833 46,098,539 20,267,466 10,243,228 13,919,753 16,739,578 18,578,904 20,669,51937 0.74562 84.56% 23,509,632 60,343,530 26,530,351 13,408,506 18,221,121 21,912,305 24,320,004 27,056,64338 0.99212 123.46% 34,325,203 88,104,481 38,735,599 19,577,069 26,603,720 31,993,028 35,508,385 39,504,01239 0.84011 91.97% 25,570,280 65,632,715 28,855,769 14,583,778 19,818,224 23,832,945 26,451,682 29,428,19240 0.94191 104.75% 29,122,989 74,751,657 32,864,959 16,610,033 22,571,748 27,144,270 30,126,851 33,516,91441 0.67297 79.84% 22,198,197 56,977,394 25,050,411 12,660,541 17,204,694 20,689,973 22,963,364 25,547,34642 0.48116 68.85% 19,143,087 49,135,667 21,602,755 10,918,086 14,836,834 17,842,438 19,802,945 22,031,29743 0.68136 80.36% 22,342,363 57,347,434 25,213,101 12,742,765 17,316,430 20,824,344 23,112,499 25,713,26344 0.87671 95.60% 26,580,440 68,225,550 29,995,722 15,159,913 20,601,148 24,774,471 27,496,662 30,590,75945 0.40720 64.69% 17,986,623 46,167,303 20,297,698 10,258,507 13,940,517 16,764,548 18,606,617 20,700,351

♦♦♦♦ Siniestralidad 69.90%

♦♦♦♦2 Siniestralidad 4.92%

♦♦♦♦ Siniestralidad 22.18%

SIMULACIÓN DE SINIESTROS PARA CADA AÑO

SIMULACIÓN DE SINIESTROS Y RESULTADOS OBTENIDOS

111

Número aleatorio Siniestralidad 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

SIMULACIÓN DE SINIESTROS PARA CADA AÑO

46 0.29357 57.86% 16,085,692 41,288,074 18,152,519 9,174,329 12,467,202 14,992,773 16,640,162 18,512,61847 0.33301 60.33% 16,772,554 43,051,082 18,927,635 9,566,074 12,999,554 15,632,967 17,350,700 19,303,10948 0.69018 80.91% 22,495,616 57,740,797 25,386,045 12,830,171 17,435,209 20,967,185 23,271,035 25,889,63849 0.47675 68.61% 19,074,776 48,960,329 21,525,666 10,879,126 14,783,889 17,778,769 19,732,279 21,952,67950 0.34377 60.98% 16,954,090 43,517,042 19,132,497 9,669,612 13,140,253 15,802,169 17,538,494 19,512,03551 0.41843 65.33% 18,164,521 46,623,923 20,498,453 10,359,970 14,078,396 16,930,359 18,790,647 20,905,08952 0.59797 75.40% 20,964,538 53,810,891 23,658,241 11,956,934 16,248,548 19,540,133 21,687,181 24,127,55953 0.89743 98.00% 27,248,448 69,940,166 30,749,562 15,540,906 21,118,887 25,397,093 28,187,696 31,359,55354 0.84319 92.25% 25,648,849 65,834,382 28,944,432 14,628,589 19,879,119 23,906,176 26,532,959 29,518,61455 0.17836 49.46% 13,750,565 35,294,370 15,517,355 7,842,510 10,657,364 12,816,303 14,224,544 15,825,17956 0.89329 97.50% 27,107,942 69,579,520 30,591,002 15,460,769 21,009,988 25,266,133 28,042,346 31,197,84857 0.26095 55.69% 15,484,866 39,745,899 17,474,494 8,831,653 12,001,532 14,432,769 16,018,625 17,821,14258 0.01176 19.66% 5,466,703 14,031,703 6,169,112 3,117,885 4,236,964 5,095,276 5,655,139 6,291,49159 0.71956 82.80% 23,020,790 59,088,792 25,978,698 13,129,699 17,842,244 21,456,677 23,814,312 26,494,04860 0.96129 109.07% 30,324,781 77,836,367 34,221,168 17,295,464 23,503,196 28,264,409 31,370,069 34,900,02761 0.03479 29.65% 8,243,177 21,158,239 9,302,331 4,701,421 6,388,868 7,683,107 8,527,318 9,486,86562 0.87818 95.76% 26,624,962 68,339,827 30,045,964 15,185,306 20,635,654 24,815,968 27,542,718 30,641,99863 0.80111 88.66% 24,649,276 63,268,721 27,816,426 14,058,492 19,104,401 22,974,518 25,498,931 28,368,23164 0.86675 94.55% 26,287,101 67,472,621 29,664,693 14,992,610 20,373,796 24,501,063 27,193,212 30,253,16365 0.53317 71.75% 19,947,816 51,201,211 22,510,882 11,377,056 15,460,538 18,592,491 20,635,412 22,957,43966 0.48110 68.85% 19,142,169 49,133,310 21,601,718 10,917,563 14,836,122 17,841,582 19,801,995 22,030,24067 0.10175 41.69% 11,592,137 29,754,208 13,081,594 6,611,471 8,984,476 10,804,527 11,991,716 13,341,09968 0.54575 72.45% 20,143,242 51,702,822 22,731,418 11,488,516 15,612,003 18,774,639 20,837,575 23,182,35069 0.01963 24.17% 6,721,333 17,252,034 7,584,947 3,833,451 5,209,364 6,264,662 6,953,016 7,735,41370 0.02051 24.58% 6,832,953 17,538,535 7,710,909 3,897,113 5,295,874 6,368,698 7,068,483 7,863,87371 0.64738 78.29% 21,767,199 55,871,125 24,564,034 12,414,725 16,870,649 20,288,258 22,517,509 25,051,32072 0.11392 43.15% 11,997,194 30,793,891 13,538,696 6,842,491 9,298,415 11,182,062 12,410,735 13,807,26873 0.03083 28.45% 7,909,215 20,301,039 8,925,459 4,510,949 6,130,031 7,371,835 8,181,844 9,102,51674 0.95076 106.55% 29,624,184 76,038,105 33,430,553 16,895,885 22,960,199 27,611,413 30,645,323 34,093,72875 0.60480 75.80% 21,073,683 54,091,039 23,781,410 12,019,184 16,333,140 19,641,863 21,800,088 24,253,17176 0.98693 119.23% 33,151,232 85,091,180 37,410,785 18,907,505 25,693,834 30,898,820 34,293,947 38,152,91777 0.85847 93.71% 26,054,677 66,876,044 29,402,405 14,860,049 20,193,656 24,284,430 26,952,775 29,985,67178 0.21595 52.47% 14,587,265 37,441,976 16,461,562 8,319,715 11,305,848 13,596,155 15,090,085 16,788,11679 0.00962 17.98% 4,998,685 12,830,414 5,640,959 2,850,955 3,874,227 4,659,057 5,170,989 5,752,86180 0.72005 82.83% 23,029,821 59,111,971 25,988,889 13,134,850 17,849,243 21,465,094 23,823,653 26,504,44181 0.79965 88.54% 24,617,249 63,186,514 27,780,283 14,040,225 19,079,578 22,944,666 25,465,800 28,331,37182 0.60628 75.88% 21,097,339 54,151,758 23,808,106 12,032,676 16,351,475 19,663,911 21,824,559 24,280,39683 0.48456 69.04% 19,195,721 49,270,766 21,662,151 10,948,106 14,877,628 17,891,496 19,857,393 22,091,87284 0.08856 39.96% 11,110,742 28,518,582 12,538,345 6,336,911 8,611,371 10,355,839 11,493,726 12,787,07385 0.96521 110.15% 30,625,818 78,609,056 34,560,885 17,467,158 23,736,515 28,544,992 31,681,483 35,246,48386 0.55582 73.01% 20,300,169 52,105,615 22,908,508 11,578,017 15,733,629 18,920,904 20,999,911 23,362,95387 0.90601 99.10% 27,553,903 70,724,193 31,094,264 15,715,119 21,355,629 25,681,793 28,503,679 31,711,09288 0.09719 41.11% 11,430,948 29,340,473 12,899,694 6,519,537 8,859,546 10,654,289 11,824,970 13,155,59089 0.68004 80.28% 22,319,485 57,288,712 25,187,284 12,729,716 17,298,698 20,803,021 23,088,833 25,686,93390 0.86207 94.07% 26,154,686 67,132,743 29,515,264 14,917,088 20,271,168 24,377,644 27,056,232 30,100,76991 0.62014 76.68% 21,320,635 54,724,905 24,060,092 12,160,031 16,524,540 19,872,036 22,055,552 24,537,38292 0.58625 74.73% 20,778,311 53,332,891 23,448,086 11,850,722 16,104,213 19,366,559 21,494,535 23,913,23593 0.75757 85.39% 23,742,190 60,940,449 26,792,789 13,541,143 18,401,364 22,129,062 24,560,577 27,324,28894 0.26290 55.83% 15,521,710 39,840,470 17,516,072 8,852,667 12,030,088 14,467,110 16,056,740 17,863,54595 0.11531 43.31% 12,041,323 30,907,159 13,588,495 6,867,660 9,332,617 11,223,193 12,456,385 13,858,05596 0.63981 77.84% 21,641,963 55,549,675 24,422,707 12,343,297 16,773,585 20,171,531 22,387,956 24,907,19097 0.76497 85.92% 23,889,532 61,318,642 26,959,064 13,625,178 18,515,562 22,266,393 24,712,999 27,493,86198 0.99126 122.61% 34,090,970 87,503,260 38,471,269 19,443,476 26,422,178 31,774,709 35,266,077 39,234,43899 0.39295 63.87% 17,759,268 45,583,737 20,041,130 10,128,837 13,764,305 16,552,640 18,371,425 20,438,694

100 0.42109 65.48% 18,206,581 46,731,883 20,545,918 10,383,959 14,110,996 16,969,562 18,834,158 20,953,496101 0.77984 87.02% 24,193,451 62,098,727 27,302,032 13,798,516 18,751,114 22,549,663 25,027,393 27,843,633

SIMULACIÓN DE SINIESTROS Y RESULTADOS OBTENIDOS

112

Número aleatorio Siniestralidad 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 20061 0.05365 34.18% 4,416,244 -68,137,119 18,305,043 1,431,409 -1,284,750 -3,028,652 -4,558,036 -5,512,1532 0.51016 70.46% 14,505,466 -42,240,531 29,690,614 7,185,705 6,534,893 6,375,073 5,878,959 6,099,2783 0.45446 67.36% 13,642,873 -44,454,598 28,717,188 6,693,733 5,866,341 5,571,087 4,986,633 5,106,5424 0.43901 66.50% 13,401,860 -45,073,221 28,445,207 6,556,273 5,679,544 5,346,449 4,737,312 4,829,1665 0.69917 81.48% 17,567,797 -34,380,268 33,146,420 8,932,278 8,908,350 9,229,338 9,046,848 9,623,6386 0.74854 84.76% 18,479,813 -32,039,345 34,175,619 9,452,438 9,615,207 10,079,388 9,990,301 10,673,2547 0.59167 75.04% 15,778,276 -38,973,536 31,126,966 7,911,640 7,521,383 7,561,403 7,195,642 7,564,1238 0.00349 10.06% -2,288,183 -85,345,758 10,739,174 -2,392,401 -6,481,011 -9,277,556 -11,493,563 -13,228,1099 0.50835 70.36% 14,477,575 -42,312,120 29,659,140 7,169,797 6,513,276 6,349,077 5,850,107 6,067,179

10 0.73865 84.08% 18,290,480 -32,525,318 33,961,959 9,344,453 9,468,465 9,902,919 9,794,441 10,455,35511 0.50361 70.10% 14,404,272 -42,500,272 29,576,418 7,127,990 6,456,462 6,280,754 5,774,277 5,982,81712 0.17708 49.35% 8,634,128 -57,310,832 23,064,877 3,837,041 1,984,318 902,654 -194,762 -657,89613 0.27717 56.78% 10,701,984 -52,003,147 25,398,429 5,016,424 3,587,008 2,830,013 1,944,372 1,721,94714 0.30478 58.57% 11,198,854 -50,727,803 25,959,141 5,299,809 3,972,106 3,293,123 2,458,369 2,293,78215 0.45878 67.60% 13,710,048 -44,282,175 28,792,995 6,732,046 5,918,405 5,633,698 5,056,123 5,183,85216 0.85896 93.76% 20,982,257 -25,616,177 36,999,599 10,879,684 11,554,724 12,411,808 12,579,003 13,553,25417 0.06005 35.42% 4,762,602 -67,248,102 18,695,904 1,628,951 -1,016,306 -2,705,827 -4,199,739 -5,113,53818 0.99248 123.83% 29,342,303 -4,157,963 46,433,816 15,647,761 18,034,171 20,203,843 21,227,219 23,174,62119 0.31900 59.46% 11,446,878 -50,091,184 26,239,033 5,441,267 4,164,337 3,524,296 2,714,943 2,579,22720 0.15839 47.69% 8,174,440 -58,490,741 22,546,124 3,574,861 1,628,036 474,199 -670,296 -1,186,94021 0.74312 84.38% 18,375,527 -32,307,022 34,057,934 9,392,959 9,534,380 9,982,188 9,882,420 10,553,23422 0.35752 61.80% 12,096,910 -48,422,710 26,972,586 5,812,007 4,668,144 4,130,162 3,387,381 3,327,33223 0.46390 67.89% 13,789,640 -44,077,881 28,882,813 6,777,440 5,980,093 5,707,883 5,138,459 5,275,45324 0.18554 50.06% 8,832,113 -56,802,652 23,288,301 3,949,960 2,137,766 1,087,188 10,047 -430,04025 0.37335 62.74% 12,356,524 -47,756,343 27,265,558 5,960,075 4,869,357 4,372,138 3,655,944 3,626,11626 0.91014 99.66% 22,622,564 -21,405,907 38,850,666 11,815,218 12,826,043 13,940,666 14,275,851 15,441,04227 0.71962 82.80% 17,935,904 -33,435,426 33,561,825 9,142,224 9,193,651 9,572,435 9,427,644 10,047,28428 0.55457 72.94% 15,194,739 -40,471,333 30,468,452 7,578,826 7,069,114 7,017,514 6,591,992 6,892,54629 0.67554 80.00% 17,156,115 -35,436,957 32,681,841 8,697,478 8,589,276 8,845,627 8,620,975 9,149,84430 0.67200 79.78% 17,095,572 -35,592,355 32,613,520 8,662,949 8,542,353 8,789,198 8,558,346 9,080,16731 0.91969 101.02% 23,000,922 -20,434,754 39,277,639 12,031,011 13,119,289 14,293,317 14,667,251 15,876,48432 0.47661 68.60% 13,986,658 -43,572,185 29,105,145 6,889,807 6,132,791 5,891,514 5,342,268 5,502,19533 0.99819 134.42% 32,287,497 3,401,635 49,757,433 17,327,525 20,316,841 22,948,930 24,273,933 26,564,17034 0.39385 63.93% 12,687,696 -46,906,306 27,639,282 6,148,956 5,126,032 4,680,808 3,998,531 4,007,25335 0.25539 55.31% 10,292,770 -53,053,501 24,936,635 4,783,032 3,269,846 2,448,602 1,521,052 1,250,99336 0.40551 64.60% 12,873,839 -46,428,522 27,849,342 6,255,121 5,270,302 4,854,304 4,191,090 4,221,48037 0.74562 84.56% 18,423,638 -32,183,532 34,112,227 9,420,399 9,571,669 10,027,030 9,932,190 10,608,60438 0.99212 123.46% 29,239,209 -4,422,581 46,317,475 15,588,962 17,954,268 20,107,754 21,120,571 23,055,97339 0.84011 91.97% 20,484,286 -26,894,347 36,437,645 10,595,671 11,168,773 11,947,671 12,063,868 12,980,15240 0.94191 104.75% 24,036,995 -17,775,405 40,446,836 12,621,926 13,922,296 15,258,996 15,739,038 17,068,87541 0.67297 79.84% 17,112,203 -35,549,668 32,632,287 8,672,434 8,555,242 8,804,699 8,575,550 9,099,30742 0.48116 68.85% 14,057,093 -43,391,394 29,184,631 6,929,980 6,187,382 5,957,164 5,415,131 5,583,25843 0.68136 80.36% 17,256,369 -35,179,628 32,794,977 8,754,658 8,666,978 8,939,070 8,724,685 9,265,22444 0.87671 95.60% 21,494,446 -24,301,512 37,577,599 11,171,806 11,951,696 12,889,197 13,108,848 14,142,72045 0.40720 64.69% 12,900,629 -46,359,758 27,879,574 6,270,401 5,291,065 4,879,274 4,218,804 4,252,312

♦♦♦♦ Siniestralidad #

♦♦♦♦2 Siniestralidad #♦♦♦♦ Siniestralidad #

FLUJOS ANTES DE IMPUESTOS RESULTANTES DE LA SIMULACIÓN

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 20062,914,721 -44,970,499 12,081,328 944,730 -847,935 -1,998,910 -3,008,304 -3,638,0219,573,607 -27,878,750 19,595,805 4,742,565 4,313,029 4,207,548 3,880,113 4,025,5249,004,296 -29,340,035 18,953,344 4,417,864 3,871,785 3,676,918 3,291,178 3,370,3188,845,227 -29,748,326 18,773,837 4,327,140 3,748,499 3,528,656 3,126,626 3,187,249

11,594,746 -22,690,977 21,876,637 5,895,303 5,879,511 6,091,363 5,970,920 6,351,60112,196,676 -21,145,968 22,555,909 6,238,609 6,346,037 6,652,396 6,593,598 7,044,34810,413,662 -25,722,534 20,543,797 5,221,683 4,964,113 4,990,526 4,749,124 4,992,321-1,510,201 -56,328,201 7,087,855 -1,578,984 -4,277,467 -6,123,187 -7,585,751 -8,730,5529,555,199 -27,925,999 19,575,032 4,732,066 4,298,762 4,190,391 3,861,070 4,004,338

12,071,717 -21,466,710 22,414,893 6,167,339 6,249,187 6,535,927 6,464,331 6,900,5359,506,819 -28,050,179 19,520,436 4,704,473 4,261,265 4,145,298 3,811,023 3,948,6595,698,525 -37,825,149 15,222,819 2,532,447 1,309,650 595,752 -128,543 -434,2117,063,310 -34,322,077 16,762,963 3,310,840 2,367,425 1,867,809 1,283,286 1,136,4857,391,244 -33,480,350 17,133,033 3,497,874 2,621,590 2,173,461 1,622,523 1,513,8969,048,632 -29,226,236 19,003,376 4,443,150 3,906,147 3,718,241 3,337,041 3,421,342

13,848,290 -16,906,677 24,419,735 7,180,591 7,626,118 8,191,793 8,302,142 8,945,1483,143,317 -44,383,747 12,339,297 1,075,108 -670,762 -1,785,846 -2,771,828 -3,374,935

19,365,920 -2,744,256 30,646,318 10,327,522 11,902,553 13,334,536 14,009,964 15,295,2507,554,940 -33,060,181 17,317,762 3,591,236 2,748,463 2,326,036 1,791,862 1,702,2905,395,130 -38,603,889 14,880,442 2,359,409 1,074,504 312,971 -442,396 -783,381

12,127,848 -21,322,635 22,478,236 6,199,353 6,292,691 6,588,244 6,522,397 6,965,1347,983,961 -31,958,989 17,801,907 3,835,924 3,080,975 2,725,907 2,235,671 2,196,0399,101,163 -29,091,402 19,062,657 4,473,111 3,946,861 3,767,203 3,391,383 3,481,7995,829,195 -37,489,751 15,370,279 2,606,973 1,410,925 717,544 6,631 -283,8268,155,306 -31,519,187 17,995,268 3,933,650 3,213,776 2,885,611 2,412,923 2,393,236

14,930,892 -14,127,898 25,641,440 7,798,044 8,465,188 9,200,840 9,422,062 10,191,08811,837,697 -22,067,381 22,150,804 6,033,868 6,067,810 6,317,807 6,222,245 6,631,20710,028,528 -26,711,079 20,109,178 5,002,025 4,665,615 4,631,560 4,350,714 4,549,08011,323,036 -23,388,392 21,570,015 5,740,336 5,668,922 5,838,114 5,689,844 6,038,89711,283,078 -23,490,954 21,524,923 5,717,546 5,637,953 5,800,871 5,648,508 5,992,91015,180,608 -13,486,938 25,923,242 7,940,467 8,658,730 9,433,589 9,680,386 10,478,4809,231,194 -28,757,642 19,209,396 4,547,273 4,047,642 3,888,399 3,525,897 3,631,449

21,309,748 2,245,079 32,839,906 11,436,167 13,409,115 15,146,294 16,020,795 17,532,3528,373,879 -30,958,162 18,241,926 4,058,311 3,383,181 3,089,333 2,639,030 2,644,7876,793,228 -35,015,311 16,458,179 3,156,801 2,158,099 1,616,077 1,003,895 825,6558,496,734 -30,642,825 18,380,566 4,128,380 3,478,399 3,203,841 2,766,119 2,786,177

12,159,601 -21,241,131 22,514,070 6,217,463 6,317,302 6,617,840 6,555,245 7,001,67919,297,878 -2,918,903 30,569,534 10,288,715 11,849,817 13,271,117 13,939,577 15,216,94213,519,629 -17,750,269 24,048,846 6,993,143 7,371,390 7,885,463 7,962,153 8,566,90115,864,417 -11,731,767 26,694,912 8,330,471 9,188,716 10,070,937 10,387,765 11,265,45811,294,054 -23,462,781 21,537,310 5,723,806 5,646,460 5,811,101 5,659,863 6,005,5429,277,682 -28,638,320 19,261,856 4,573,787 4,083,672 3,931,728 3,573,987 3,684,950

11,389,204 -23,218,555 21,644,685 5,778,074 5,720,206 5,899,786 5,758,292 6,115,04814,186,334 -16,038,998 24,801,215 7,373,392 7,888,119 8,506,870 8,651,840 9,334,1958,514,415 -30,597,441 18,400,519 4,138,464 3,492,103 3,220,321 2,784,410 2,806,526

FLUJOS DESPUÉS DE IMPUESTOS RESULTANTES DE LA SIMULACIÓN

SIMULACIÓN DE SINIESTROS Y RESULTADOS OBTENIDOS

113

Número aleatorio Siniestralidad 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 200646 0.29357 57.86% 10,999,698 -51,238,988 25,734,395 5,186,222 3,817,750 3,107,499 2,252,348 2,064,57847 0.33301 60.33% 11,686,560 -49,475,980 26,509,511 5,577,967 4,350,102 3,747,693 2,962,886 2,855,07048 0.69018 80.91% 17,409,622 -34,786,265 32,967,922 8,842,064 8,785,757 9,081,910 8,883,221 9,441,59949 0.47675 68.61% 13,988,782 -43,566,732 29,107,543 6,891,019 6,134,438 5,893,494 5,344,465 5,504,64050 0.34377 60.98% 11,868,096 -49,010,020 26,714,373 5,681,505 4,490,802 3,916,895 3,150,680 3,063,99651 0.41843 65.33% 13,078,527 -45,903,138 28,080,330 6,371,863 5,428,945 5,045,085 4,402,833 4,457,05052 0.59797 75.40% 15,878,544 -38,716,171 31,240,118 7,968,828 7,599,096 7,654,859 7,299,367 7,679,52053 0.89743 98.00% 22,162,455 -22,586,896 38,331,438 11,552,799 12,469,435 13,511,818 13,799,882 14,911,51454 0.84319 92.25% 20,562,855 -26,692,680 36,526,309 10,640,482 11,229,667 12,020,901 12,145,145 13,070,57555 0.17836 49.46% 8,664,571 -57,232,692 23,099,232 3,854,404 2,007,912 931,029 -163,270 -622,86056 0.89329 97.50% 22,021,948 -22,947,542 38,172,878 11,472,662 12,360,536 13,380,859 13,654,533 14,749,80857 0.26095 55.69% 10,398,872 -52,781,163 25,056,370 4,843,546 3,352,081 2,547,495 1,630,812 1,373,10358 0.01176 19.66% 380,710 -78,495,358 13,750,989 -870,222 -4,412,488 -6,789,998 -8,732,674 -10,156,54859 0.71956 82.80% 17,934,796 -33,438,270 33,560,575 9,141,593 9,192,793 9,571,402 9,426,498 10,046,00960 0.96129 109.07% 25,238,787 -14,690,695 41,803,045 13,307,358 14,853,745 16,379,134 16,982,256 18,451,98861 0.03479 29.65% 3,157,183 -71,368,823 16,884,207 713,315 -2,260,584 -4,202,168 -5,860,496 -6,961,17462 0.87818 95.76% 21,538,968 -24,187,235 37,627,841 11,197,199 11,986,203 12,930,694 13,154,904 14,193,95963 0.80111 88.66% 19,563,282 -29,258,341 35,398,302 10,070,385 10,454,949 11,089,243 11,111,117 11,920,19264 0.86675 94.55% 21,201,107 -25,054,441 37,246,569 11,004,503 11,724,344 12,615,789 12,805,398 13,805,12465 0.53317 71.75% 14,861,822 -41,325,851 30,092,758 7,388,949 6,811,086 6,707,217 6,247,599 6,509,40066 0.48110 68.85% 14,056,175 -43,393,752 29,183,595 6,929,456 6,186,670 5,956,308 5,414,181 5,582,20167 0.10175 41.69% 6,506,143 -62,772,853 20,663,471 2,623,364 335,025 -1,080,748 -2,396,098 -3,106,94068 0.54575 72.45% 15,057,248 -40,824,240 30,313,294 7,500,409 6,962,551 6,889,365 6,449,761 6,734,31069 0.01963 24.17% 1,635,339 -75,275,028 15,166,824 -154,655 -3,440,088 -5,620,612 -7,434,798 -8,712,62670 0.02051 24.58% 1,746,959 -74,988,527 15,292,785 -90,994 -3,353,577 -5,516,576 -7,319,331 -8,584,16671 0.64738 78.29% 16,681,205 -36,655,937 32,145,911 8,426,618 8,221,197 8,402,984 8,129,695 8,603,28172 0.11392 43.15% 6,911,200 -61,733,171 21,120,572 2,854,384 648,964 -703,212 -1,977,079 -2,640,77173 0.03083 28.45% 2,823,221 -72,226,023 16,507,335 522,842 -2,519,421 -4,513,439 -6,205,970 -7,345,52374 0.95076 106.55% 24,538,191 -16,488,957 41,012,429 12,907,779 14,310,748 15,726,139 16,257,509 17,645,68975 0.60480 75.80% 15,987,689 -38,436,023 31,363,286 8,031,077 7,683,689 7,756,588 7,412,274 7,805,13276 0.98693 119.23% 28,065,238 -7,435,882 44,992,662 14,919,398 17,044,383 19,013,546 19,906,133 21,704,87877 0.85847 93.71% 20,968,683 -25,651,018 36,984,281 10,871,942 11,544,204 12,399,156 12,564,962 13,537,63278 0.21595 52.47% 9,501,272 -55,085,085 24,043,438 4,331,608 2,656,396 1,710,881 702,271 340,07779 0.00962 17.98% -87,309 -79,696,647 13,222,835 -1,137,152 -4,775,225 -7,226,217 -9,216,825 -10,695,17880 0.72005 82.83% 17,943,827 -33,415,091 33,570,766 9,146,743 9,199,792 9,579,819 9,435,840 10,056,40281 0.79965 88.54% 19,531,255 -29,340,548 35,362,160 10,052,118 10,430,126 11,059,392 11,077,986 11,883,33282 0.60628 75.88% 16,011,345 -38,375,303 31,389,982 8,044,570 7,702,023 7,778,637 7,436,746 7,832,35783 0.48456 69.04% 14,109,727 -43,256,296 29,244,028 6,959,999 6,228,176 6,006,222 5,469,579 5,643,83384 0.08856 39.96% 6,024,748 -64,008,479 20,120,221 2,348,804 -38,081 -1,529,436 -2,894,087 -3,660,96685 0.96521 110.15% 25,539,824 -13,918,005 42,142,762 13,479,051 15,087,063 16,659,718 17,293,669 18,798,44486 0.55582 73.01% 15,214,175 -40,421,447 30,490,384 7,589,911 7,084,177 7,035,629 6,612,097 6,914,91487 0.90601 99.10% 22,467,909 -21,802,869 38,676,140 11,727,012 12,706,177 13,796,519 14,115,865 15,263,05388 0.09719 41.11% 6,344,954 -63,186,588 20,481,570 2,531,431 210,095 -1,230,986 -2,562,844 -3,292,44989 0.68004 80.28% 17,233,491 -35,238,350 32,769,160 8,741,610 8,649,247 8,917,747 8,701,019 9,238,89490 0.86207 94.07% 21,068,692 -25,394,319 37,097,140 10,928,982 11,621,716 12,492,370 12,668,418 13,652,73091 0.62014 76.68% 16,234,641 -37,802,157 31,641,969 8,171,924 7,875,089 7,986,761 7,667,738 8,089,34392 0.58625 74.73% 15,692,317 -39,194,171 31,029,962 7,862,615 7,454,761 7,481,285 7,106,721 7,465,19693 0.75757 85.39% 18,656,196 -31,586,612 34,374,666 9,553,036 9,751,913 10,243,787 10,172,764 10,876,24994 0.26290 55.83% 10,435,716 -52,686,592 25,097,948 4,864,560 3,380,637 2,581,836 1,668,926 1,415,50695 0.11531 43.31% 6,955,329 -61,619,902 21,170,372 2,879,553 683,166 -662,081 -1,931,429 -2,589,98496 0.63981 77.84% 16,555,969 -36,977,387 32,004,583 8,355,191 8,124,133 8,286,257 8,000,142 8,459,15197 0.76497 85.92% 18,803,538 -31,208,420 34,540,940 9,637,072 9,866,110 10,381,119 10,325,185 11,045,82298 0.99126 122.61% 29,004,976 -5,023,801 46,053,145 15,455,369 17,772,726 19,889,435 20,878,264 22,786,39999 0.39295 63.87% 12,673,274 -46,943,325 27,623,006 6,140,731 5,114,854 4,667,366 3,983,611 3,990,654

100 0.42109 65.48% 13,120,587 -45,795,178 28,127,795 6,395,852 5,461,544 5,084,288 4,446,344 4,505,457101 0.77984 87.02% 19,107,457 -30,428,334 34,883,909 9,810,409 10,101,662 10,664,388 10,639,580 11,395,594

FLUJOS ANTES DE IMPUESTOS RESULTANTES DE LA SIMULACIÓN

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 20067,259,801 -33,817,732 16,984,701 3,422,906 2,519,715 2,050,949 1,486,550 1,362,6227,713,129 -32,654,147 17,496,277 3,681,458 2,871,067 2,473,477 1,955,505 1,884,346

11,490,351 -22,958,935 21,758,828 5,835,762 5,798,599 5,994,061 5,862,926 6,231,4559,232,596 -28,754,043 19,210,978 4,548,073 4,048,729 3,889,706 3,527,347 3,633,0637,832,943 -32,346,613 17,631,486 3,749,793 2,963,929 2,585,151 2,079,449 2,022,2378,631,828 -30,296,071 18,533,018 4,205,430 3,583,104 3,329,756 2,905,870 2,941,653

10,479,839 -25,552,673 20,618,478 5,259,426 5,015,403 5,052,207 4,817,582 5,068,48314,627,220 -14,907,351 25,298,749 7,624,847 8,229,827 8,917,800 9,107,922 9,841,59913,571,484 -17,617,169 24,107,364 7,022,718 7,411,580 7,933,795 8,015,796 8,626,580

5,718,617 -37,773,577 15,245,493 2,543,906 1,325,222 614,479 -107,758 -411,08814,534,486 -15,145,378 25,194,100 7,571,957 8,157,954 8,831,367 9,011,992 9,734,874

6,863,255 -34,835,567 16,537,204 3,196,740 2,212,373 1,681,347 1,076,336 906,248251,268 -51,806,936 9,075,652 -574,346 -2,912,242 -4,481,399 -5,763,565 -6,703,322

11,836,966 -22,069,258 22,149,979 6,033,451 6,067,243 6,317,126 6,221,489 6,630,36616,657,600 -9,695,859 27,590,010 8,782,856 9,803,472 10,810,229 11,208,289 12,178,312

2,083,741 -47,103,423 11,143,577 470,788 -1,491,985 -2,773,431 -3,867,928 -4,594,37514,215,719 -15,963,575 24,834,375 7,390,151 7,910,894 8,534,258 8,682,237 9,368,01312,911,766 -19,310,505 23,362,880 6,646,454 6,900,267 7,318,901 7,333,337 7,867,32713,992,731 -16,535,931 24,582,736 7,262,972 7,738,067 8,326,421 8,451,563 9,111,382

9,808,803 -27,275,062 19,861,220 4,876,707 4,495,317 4,426,763 4,123,415 4,296,2049,277,075 -28,639,876 19,261,172 4,573,441 4,083,202 3,931,163 3,573,359 3,684,2524,294,055 -41,430,083 13,637,891 1,731,420 221,116 -713,293 -1,581,425 -2,050,5819,937,784 -26,943,998 20,006,774 4,950,270 4,595,284 4,546,981 4,256,842 4,444,6451,079,324 -49,681,519 10,010,104 -102,073 -2,270,458 -3,709,604 -4,906,967 -5,750,3331,152,993 -49,492,428 10,093,238 -60,056 -2,213,361 -3,640,940 -4,830,758 -5,665,549

11,009,595 -24,192,918 21,216,301 5,561,568 5,425,990 5,545,969 5,365,599 5,678,1664,561,392 -40,743,893 13,939,578 1,883,894 428,316 -464,120 -1,304,872 -1,742,9091,863,326 -47,669,175 10,894,841 345,076 -1,662,818 -2,978,870 -4,095,940 -4,848,045

16,195,206 -10,882,712 27,068,203 8,519,134 9,445,093 10,379,251 10,729,956 11,646,15410,551,875 -25,367,775 20,699,769 5,300,511 5,071,235 5,119,348 4,892,101 5,151,38718,523,057 -4,907,682 29,695,157 9,846,803 11,249,293 12,548,940 13,138,048 14,325,22013,839,331 -16,929,672 24,409,625 7,175,482 7,619,175 8,183,443 8,292,875 8,934,837

6,270,839 -36,356,156 15,868,669 2,858,861 1,753,221 1,129,181 463,499 224,451-57,624 -52,599,787 8,727,071 -750,520 -3,151,648 -4,769,303 -6,083,104 -7,058,817

11,842,926 -22,053,960 22,156,705 6,036,850 6,071,863 6,322,681 6,227,654 6,637,22512,890,628 -19,364,762 23,339,025 6,634,398 6,883,883 7,299,199 7,311,471 7,842,99910,567,488 -25,327,700 20,717,388 5,309,416 5,083,335 5,133,901 4,908,252 5,169,356

9,312,420 -28,549,156 19,301,058 4,593,599 4,110,596 3,964,106 3,609,922 3,724,9303,976,334 -42,245,596 13,279,346 1,550,211 -25,133 -1,009,427 -1,910,098 -2,416,238

16,856,284 -9,185,884 27,814,223 8,896,174 9,957,462 10,995,414 11,413,822 12,406,97310,041,355 -26,678,155 20,123,654 5,009,341 4,675,557 4,643,515 4,363,984 4,563,84314,828,820 -14,389,894 25,526,252 7,739,828 8,386,077 9,105,703 9,316,471 10,073,615

4,187,669 -41,703,148 13,517,836 1,670,744 138,663 -812,450 -1,691,477 -2,173,01711,374,104 -23,257,311 21,627,646 5,769,462 5,708,503 5,885,713 5,742,673 6,097,67013,905,337 -16,760,251 24,484,112 7,213,128 7,670,332 8,244,964 8,361,156 9,010,80210,714,863 -24,949,424 20,883,699 5,393,470 5,197,558 5,271,263 5,060,707 5,338,96610,356,929 -25,868,153 20,479,775 5,189,326 4,920,142 4,937,648 4,690,436 4,927,02912,313,089 -20,847,164 22,687,279 6,305,004 6,436,262 6,760,900 6,714,024 7,178,324

6,887,573 -34,773,151 16,564,646 3,210,610 2,231,220 1,704,012 1,101,491 934,2344,590,517 -40,669,136 13,972,445 1,900,505 450,889 -436,974 -1,274,743 -1,709,389

10,926,939 -24,405,075 21,123,025 5,514,426 5,361,928 5,468,930 5,280,094 5,583,03912,410,335 -20,597,557 22,797,020 6,360,467 6,511,633 6,851,538 6,814,622 7,290,24219,143,284 -3,315,709 30,395,076 10,200,544 11,729,999 13,127,027 13,779,654 15,039,023

8,364,361 -30,982,594 18,231,184 4,052,882 3,375,803 3,080,462 2,629,184 2,633,8328,659,588 -30,224,818 18,564,345 4,221,262 3,604,619 3,355,630 2,934,587 2,973,601

12,610,922 -20,082,701 23,023,380 6,474,870 6,667,097 7,038,496 7,022,123 7,521,092

FLUJOS DESPUÉS DE IMPUESTOS RESULTANTES DE LA SIMULACIÓN

SIMULACIÓN DE SINIESTROS Y RESULTADOS OBTENIDOS

114

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Media Varianza1 10.48% -63.02% 38.51% 5.96% -3.93% -7.71% -10.46% -11.37% -5.19% 8.14%2 34.43% -39.07% 62.46% 29.91% 20.02% 16.24% 13.49% 12.58% 18.76% 8.14%3 32.39% -41.11% 60.41% 27.86% 17.97% 14.19% 11.44% 10.53% 16.71% 8.14%4 31.81% -41.69% 59.84% 27.29% 17.40% 13.62% 10.87% 9.96% 16.14% 8.14%5 41.70% -31.80% 69.72% 37.18% 27.28% 23.51% 20.76% 19.85% 26.03% 8.14%6 43.87% -29.63% 71.89% 39.34% 29.45% 25.67% 22.92% 22.01% 28.19% 8.14%7 37.45% -36.04% 65.48% 32.93% 23.04% 19.26% 16.51% 15.60% 21.78% 8.14%8 -5.43% -78.93% 22.59% -9.96% -19.85% -23.63% -26.37% -27.28% -21.11% 8.14%9 34.37% -39.13% 62.39% 29.84% 19.95% 16.17% 13.42% 12.51% 18.69% 8.14%

10 43.42% -30.08% 71.44% 38.89% 29.00% 25.22% 22.48% 21.57% 27.74% 8.14%11 34.19% -39.31% 62.22% 29.67% 19.77% 16.00% 13.25% 12.34% 18.52% 8.14%12 20.50% -53.00% 48.52% 15.97% 6.08% 2.30% -0.45% -1.36% 4.82% 8.14%13 25.40% -48.09% 53.43% 20.88% 10.99% 7.21% 4.46% 3.55% 9.73% 8.14%14 26.58% -46.91% 54.61% 22.06% 12.17% 8.39% 5.64% 4.73% 10.91% 8.14%15 32.55% -40.95% 60.57% 28.02% 18.13% 14.35% 11.60% 10.69% 16.87% 8.14%16 49.81% -23.69% 77.83% 45.28% 35.39% 31.61% 28.87% 27.96% 34.13% 8.14%17 11.31% -62.19% 39.33% 6.78% -3.11% -6.89% -9.64% -10.55% -4.37% 8.14%18 69.65% -3.85% 97.68% 65.13% 55.24% 51.46% 48.71% 47.80% 53.98% 8.14%19 27.17% -46.33% 55.19% 22.65% 12.75% 8.98% 6.23% 5.32% 11.50% 8.14%20 19.40% -54.09% 47.43% 14.88% 4.99% 1.21% -1.54% -2.45% 3.73% 8.14%21 43.62% -29.88% 71.64% 39.09% 29.20% 25.42% 22.68% 21.77% 27.94% 8.14%22 28.72% -44.78% 56.74% 24.19% 14.30% 10.52% 7.77% 6.86% 13.04% 8.14%23 32.73% -40.76% 60.76% 28.21% 18.32% 14.54% 11.79% 10.88% 17.06% 8.14%24 20.97% -52.53% 48.99% 16.44% 6.55% 2.77% 0.02% -0.89% 5.29% 8.14%25 29.33% -44.17% 57.35% 24.81% 14.91% 11.14% 8.39% 7.48% 13.66% 8.14%26 53.70% -19.80% 81.72% 49.18% 39.28% 35.50% 32.76% 31.85% 38.03% 8.14%27 42.58% -30.92% 70.60% 38.05% 28.16% 24.38% 21.63% 20.72% 26.90% 8.14%28 36.07% -37.43% 64.09% 31.54% 21.65% 17.87% 15.13% 14.22% 20.39% 8.14%29 40.73% -32.77% 68.75% 36.20% 26.31% 22.53% 19.78% 18.87% 25.05% 8.14%30 40.58% -32.92% 68.60% 36.06% 26.16% 22.38% 19.64% 18.73% 24.91% 8.14%31 54.60% -18.90% 82.62% 50.07% 40.18% 36.40% 33.66% 32.75% 38.92% 8.14%32 33.20% -40.30% 61.22% 28.68% 18.78% 15.00% 12.26% 11.35% 17.53% 8.14%33 76.64% 3.15% 104.67% 72.12% 62.23% 58.45% 55.70% 54.79% 60.97% 8.14%34 30.12% -43.38% 58.14% 25.59% 15.70% 11.92% 9.18% 8.27% 14.44% 8.14%35 24.43% -49.07% 52.46% 19.91% 10.01% 6.24% 3.49% 2.58% 8.76% 8.14%36 30.56% -42.94% 58.58% 26.03% 16.14% 12.36% 9.62% 8.71% 14.88% 8.14%37 43.73% -29.76% 71.76% 39.21% 29.32% 25.54% 22.79% 21.88% 28.06% 8.14%38 69.41% -4.09% 97.43% 64.88% 54.99% 51.21% 48.47% 47.56% 53.73% 8.14%39 48.63% -24.87% 76.65% 44.10% 34.21% 30.43% 27.68% 26.77% 32.95% 8.14%40 57.06% -16.44% 85.08% 52.53% 42.64% 38.86% 36.12% 35.21% 41.38% 8.14%41 40.62% -32.88% 68.64% 36.10% 26.20% 22.42% 19.68% 18.77% 24.94% 8.14%42 33.37% -40.13% 61.39% 28.84% 18.95% 15.17% 12.43% 11.52% 17.69% 8.14%43 40.96% -32.54% 68.99% 36.44% 26.55% 22.77% 20.02% 19.11% 25.29% 8.14%44 51.02% -22.47% 79.05% 46.50% 36.61% 32.83% 30.08% 29.17% 35.35% 8.14%45 30.62% -42.87% 58.65% 26.10% 16.21% 12.43% 9.68% 8.77% 14.95% 8.14%46 26.11% -47.39% 54.13% 21.59% 11.69% 7.91% 5.17% 4.26% 10.43% 8.14%47 27.74% -45.76% 55.76% 23.22% 13.32% 9.54% 6.80% 5.89% 12.07% 8.14%48 41.33% -32.17% 69.35% 36.80% 26.91% 23.13% 20.38% 19.47% 25.65% 8.14%49 33.21% -40.29% 61.23% 28.68% 18.79% 15.01% 12.26% 11.35% 17.53% 8.14%50 28.17% -45.33% 56.19% 23.65% 13.75% 9.98% 7.23% 6.32% 12.50% 8.14%51 31.05% -42.45% 59.07% 26.52% 16.63% 12.85% 10.10% 9.19% 15.37% 8.14%

RENTABILIDAD RESULTANTE DE LA SIMULACIÓN DE SINIESTROS

SIMULACIÓN DE SINIESTROS Y RESULTADOS OBTENIDOS

115

52 37.69% -35.81% 65.71% 33.17% 23.27% 19.50% 16.75% 15.84% 22.02% 8.14%53 52.61% -20.89% 80.63% 48.08% 38.19% 34.41% 31.67% 30.76% 36.93% 8.14%54 48.81% -24.69% 76.83% 44.29% 34.39% 30.62% 27.87% 26.96% 33.14% 8.14%55 20.57% -52.93% 48.59% 16.04% 6.15% 2.37% -0.37% -1.28% 4.89% 8.14%56 52.28% -21.22% 80.30% 47.75% 37.86% 34.08% 31.33% 30.42% 36.60% 8.14%57 24.69% -48.81% 52.71% 20.16% 10.27% 6.49% 3.74% 2.83% 9.01% 8.14%58 0.90% -72.60% 28.93% -3.62% -13.51% -17.29% -20.04% -20.95% -14.77% 8.14%59 42.57% -30.92% 70.60% 38.05% 28.16% 24.38% 21.63% 20.72% 26.90% 8.14%60 59.91% -13.59% 87.93% 55.39% 45.49% 41.72% 38.97% 38.06% 44.24% 8.14%61 7.49% -66.00% 35.52% 2.97% -6.92% -10.70% -13.45% -14.36% -8.18% 8.14%62 51.13% -22.37% 79.15% 46.60% 36.71% 32.93% 30.19% 29.28% 35.45% 8.14%63 46.44% -27.06% 74.46% 41.91% 32.02% 28.24% 25.50% 24.59% 30.76% 8.14%64 50.33% -23.17% 78.35% 45.80% 35.91% 32.13% 29.38% 28.47% 34.65% 8.14%65 35.28% -38.22% 63.30% 30.75% 20.86% 17.08% 14.34% 13.43% 19.60% 8.14%66 33.37% -40.13% 61.39% 28.84% 18.95% 15.17% 12.42% 11.51% 17.69% 8.14%67 15.44% -58.05% 43.47% 10.92% 1.03% -2.75% -5.50% -6.41% -0.23% 8.14%68 35.74% -37.76% 63.77% 31.22% 21.32% 17.55% 14.80% 13.89% 20.07% 8.14%69 3.88% -69.62% 31.90% -0.64% -10.54% -14.31% -17.06% -17.97% -11.79% 8.14%70 4.15% -69.35% 32.17% -0.38% -10.27% -14.05% -16.80% -17.71% -11.53% 8.14%71 39.60% -33.90% 67.62% 35.07% 25.18% 21.40% 18.66% 17.75% 23.92% 8.14%72 16.41% -57.09% 44.43% 11.88% 1.99% -1.79% -4.54% -5.45% 0.73% 8.14%73 6.70% -66.80% 34.72% 2.18% -7.72% -11.50% -14.24% -15.15% -8.97% 8.14%74 58.25% -15.25% 86.27% 53.72% 43.83% 40.05% 37.31% 36.40% 42.57% 8.14%75 37.95% -35.55% 65.97% 33.43% 23.53% 19.75% 17.01% 16.10% 22.28% 8.14%76 66.62% -6.88% 94.64% 62.10% 52.20% 48.42% 45.68% 44.77% 50.95% 8.14%77 49.78% -23.72% 77.80% 45.25% 35.36% 31.58% 28.83% 27.92% 34.10% 8.14%78 22.55% -50.94% 50.58% 18.03% 8.14% 4.36% 1.61% 0.70% 6.88% 8.14%79 -0.21% -73.71% 27.81% -4.73% -14.63% -18.40% -21.15% -22.06% -15.88% 8.14%80 42.60% -30.90% 70.62% 38.07% 28.18% 24.40% 21.65% 20.74% 26.92% 8.14%81 46.36% -27.14% 74.39% 41.84% 31.95% 28.17% 25.42% 24.51% 30.69% 8.14%82 38.01% -35.49% 66.03% 33.48% 23.59% 19.81% 17.07% 16.16% 22.33% 8.14%83 33.49% -40.00% 61.52% 28.97% 19.08% 15.30% 12.55% 11.64% 17.82% 8.14%84 14.30% -59.20% 42.32% 9.78% -0.12% -3.90% -6.64% -7.55% -1.37% 8.14%85 60.63% -12.87% 88.65% 56.10% 46.21% 42.43% 39.68% 38.77% 44.95% 8.14%86 36.12% -37.38% 64.14% 31.59% 21.70% 17.92% 15.17% 14.26% 20.44% 8.14%87 53.33% -20.16% 81.36% 48.81% 38.92% 35.14% 32.39% 31.48% 37.66% 8.14%88 15.06% -58.44% 43.08% 10.54% 0.64% -3.14% -5.88% -6.79% -0.61% 8.14%89 40.91% -32.59% 68.93% 36.38% 26.49% 22.71% 19.97% 19.06% 25.23% 8.14%90 50.01% -23.49% 78.04% 45.49% 35.59% 31.82% 29.07% 28.16% 34.34% 8.14%91 38.54% -34.96% 66.56% 34.01% 24.12% 20.34% 17.60% 16.69% 22.86% 8.14%92 37.25% -36.25% 65.27% 32.73% 22.83% 19.05% 16.31% 15.40% 21.57% 8.14%93 44.29% -29.21% 72.31% 39.76% 29.87% 26.09% 23.34% 22.43% 28.61% 8.14%94 24.77% -48.73% 52.79% 20.25% 10.35% 6.58% 3.83% 2.92% 9.10% 8.14%95 16.51% -56.99% 44.53% 11.99% 2.09% -1.69% -4.43% -5.34% 0.83% 8.14%96 39.30% -34.20% 67.32% 34.78% 24.88% 21.10% 18.36% 17.45% 23.62% 8.14%97 44.64% -28.86% 72.66% 40.11% 30.22% 26.44% 23.69% 22.78% 28.96% 8.14%98 68.85% -4.65% 96.87% 64.33% 54.43% 50.66% 47.91% 47.00% 53.18% 8.14%99 30.08% -43.41% 58.11% 25.56% 15.67% 11.89% 9.14% 8.23% 14.41% 8.14%

100 31.15% -42.35% 59.17% 26.62% 16.73% 12.95% 10.20% 9.29% 15.47% 8.14%101 45.36% -28.14% 73.38% 40.83% 30.94% 27.16% 24.41% 23.50% 29.68% 8.14%

116

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA DE LOS FLUJOS

♦♦♦♦ 0.01

1 - ♦♦♦♦ 0.99

Media de la Rentabilidad Promedio 15%

♦♦♦♦2 en la Media de la Rentabilidad 2.59%

♦♦♦♦ en la Media de la Rentabilidad 16.09%

(n-1)S 16.17

♦♦♦♦ Mínima 67.33

♦♦♦♦ Máxima 140.17

Extremo superior 24.01%

Extremo inferior 11.53%

Tamaño de la muestra 101

Se toma como varianza del modelo la cotasuperior del intervalo

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ANEXO 5: VALUACIÓN DE LA OPCIÓN DE POSPONER (DOS AÑOS DESPUÉS). FLUJOS POR PRODUCTO Y TOTALES EN TÉRMINOS REALES (CIFRAS EN MILES DE UDIS)

AÑO Individual Colectivo Grupo GMM/AyE Automóvil TOTAL

2001 3,904,306 9,515,492 8,470 371,927 8,236 13,808,4312002 1,178,473 1,113,419 15,075 207,299 118,641 2,632,9072003 1,101,307 1,366,657 45,001 649,637 384,906 3,547,5072004 959,621 1,586,073 79,024 1,063,337 638,893 4,326,9482005 786,548 1,784,401 115,638 1,274,880 866,395 4,827,8622006 616,216 2,011,861 156,057 1,415,858 1,132,905 5,332,897

AÑO 2001 2002 2003 2004 2005 2006

FLUJO 13,808,431 2,632,907 3,547,507 4,326,948 4,827,862 5,332,897

TASA 13.28% 15.55% 16.27% 18.69% 18.86% 18.86%

VP 12,189,290 2,011,394 9,073,026 1,457,526 1,652,263 1,695,558

9,278,974

8,000,000

1,278,974

VALOR PRESENTE DE LOS FLUJOS (EN MILES DE PESOS)

INVERSIÓN INICIAL (EN MILES DE PESOS)

VALOR PRESENTE NETO (EN MILES DE PESOS)

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