VARIABLE ALEATORIA

Definición.- Una v.a. X es una función de valor real de los elementos de un espacio real S. Es decir, es toda función que aplica a cualquier elemento del espacio muestral un número real. El dominio de una variable aleatoria es un espacio muestral y su rango un conjunto de números reales. Notación.- A esta función se representa con una letra mayúscula, las últimas del alfabeto y un elemento genérico se representa con una letra minúscula. Ejemplos: 1.- Se tira una vez un dado. Sea X el número que aparece en su cara superior, entonces el espacio muestral es:

{ 6,5,4,3,2,1/ == XXS }

}

}

}

= Dominio de la v.a. X y como X = Número que sale en su cara superior, entonces

Rx = = Rango de X { 6,5,4,3,2,1 2.- Para el mismo ejemplo, sea Y = Número que sale elevado al cuadrado, entonces:

{ 6,5,4,3,2,1/ == YYS = Dominio de la v.a. Y y como Y = Número que sale elevado al cuadrado

RY = = Rango de Y { }36,25,16,9,4,1 3.- Se lanzan 3 monedas y nos interesa saber el número de caras que salen

S= = Dominio de W { }csc;;;;;;; sscscssccssscssccsccc W = Número de caras que sale

Rw= = Rango de W { 3,2,1,0 Variable Aleatoria Discreta.- Se llama v.a. discreta, si su rango es un conjunto de valores discretos.

1

Variable Aleatoria Continua.- Se llama v.a. continua, si su rango es un intervalo o unión de intervalos, sobre la línea de los reales. FUNCION DE CUANTIA O FUNCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Es la probabilidad e que la v.a. X tome un determinado valor x, cumple con las siguientes propiedades:

0 < P(X=xi) < 1 y ∑∞

=

==1

1)(i

ixXP

Si se tiene un experimento dado y un espacio muestral S para tal experimento y se ha definido la v.a. X, en los elemento de S, entonces se puede hallar la función de probabilidad de X. Ejemplos: 1.- Se tira una vez un dado. Sea X el número que aparece en su cara superior, entonces la función de probabilidad de X será:

P(X=1) = 1/6 P(X=2) = 1/6 P(X=3) = 1/6 P(X=4) = 1/6 P(X=5) = 1/6 P(X=6) = 1/6

2.- Para el mismo ejemplo, sea Y = Número que sale elevado al

cuadrado, entonces Y ={ }36,25,16,9,4,1 ,la función de probabilidad de Y será:

P(Y=1) = 1/6 P(Y=4) = 1/6 P(Y=9) = 1/6 P(Y=16) = 1/6 P(Y=25) = 1/6 P(Y=36) = 1/6

3.- Se lanzan 3 monedas, sea W= el número de caras que salen

S= = Dominio de W { }csc;;;;;;; sscscssccssscssccscccW = . { }3,2,1,0La función de probabilidad de W será: 2

P(W=0) = 1/8 P(W=1) = 3/8 P(W=2) = 3/8 P(W=3) = 1/8

FUNCION DE DISTRIBUCION DE UNA V.A. DISCRETA La función de distribución de una v.a. X (denotada por Fx(t)) es una función de una variable t, tal que:

a) El dominio de Fx es la línea completa de los reales b) Para todo t real Fx(t) = P( x ≤ t)

La función de distribución asociada a cada t real es la probabilidad de que X sea menor o igual a t, la función Fx crece conforme crece t. Ejemplo: 1.- Se tira una vez un dado. Sea X el número que aparece en su cara superior, entonces la función de distribución de X será:

P(t < 1) = 0 P(1 ≤ t <2) = 1/6 P(2 ≤ t <3) = 2/6 P(3 ≤ t <4) = 3/6 P(4 ≤ t <5) = 4/6 P(5 ≤ t <6) = 5/6 P( t ≥ 6) = 1

2.- Para el mismo ejemplo, sea Y = Número que sale elevado al

cuadrado, entonces Y ={ }36,25,16,9,4,1 ,la función de probabilidad de Y será:

P(t < 1) = 0 P(1 ≤ t < 4) = 1/6 P(4 ≤ t < 9) = 2/6 P(9 ≤ t <16) = 3/6 P(16 ≤ t <25) = 4/6 P(25 ≤ t <36) = 5/6 P( t ≥ 36) = 1

3.- Se lanzan 3 monedas, sea W= el número de caras que salen

S= = Dominio de W { }csc;;;;;;; sscscssccssscssccsccc

3

W = . la función de distribución de W será: { 3,2,1,0 }P(t < 0) = 0 P(0 ≤ t <1) = 1/8 P(1 ≤ t <2) = 4/8 P(2 ≤ t <3) = 7/8 P( t ≥ 3) = 1

FUNCION DE DENSIDAD Y FUNCION DE DISTRIBUCION DE UNA V.A. CONTINUA

La función de densidad para una v.a. continua Y denotada por fY(t)), es una función de una variable real tal que:

a) El dominio de fy es la línea completa de los reales. b) Para todo número real t se cumple que :

c) La función de distribución )()()( tyPdyyftFyt

y ≤== ∫∞−

El rango de Y es { }0)(; >= yfyR yy En toda función de densidad se cumple lo siguiente:

1.- )()()( tFdtddyyf

dtdtf y

t

yy ∫∞−

==

De manera que se puede hallar una función de densidad con solo tomar la derivada de la función de distribución respecto a t. Puede suceder que esta derivada no exista en un número contable de puntos t1,t2, etc. Ya que es cero la probabilidad de que Y sea igual a cualquier valor adecuado en estos puntos. 2.- Ya que:

)()( tFdtdtf yy =

Se ve que el valor de la función de densidad fy en t es igual a la pendiente de la función de distribución en t.

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3.- Ya que la función de probabilidad para una v.a. continua es igual a cero en todos los puntos, las siguientes cuatro probabilidades son iguales: P(a ≤ y ≤ b) = P (a ≤ y < b) = P(a < y ≤ b) = P(a < y < b)

= dyyfb

ay )(∫

Es decir, no interesa si se incluyen o no los puntos extremos. 4.- Finalmente la probabilidad de que a < y < b es el área bajo fy entre a y b. Cualquier función h(t) puede considerarse como función de densidad, si:

h(t) ≥ 0, para todo t

∫∞

∞−

= 1)( dtth

Cualquier función H(t) puede considerarse como función de distribución si cumple con: 1.- 0 ≤ H(t) ≤ 1

2.- 0)( =−∞→ tHLimt 1)( =∞→ tHLimt 3.- H( a ) ≤ H(b), para todo a ≤ b , es decir, H (t) es creciente Lo cual es necesario, ya que : P( a ≤ x ≤ b) = H(b) – H(a)

4.- , para todo b, es decir, H(t) es continua por la derecha.

)()(0 bHhbHLimh =+→

Ejemplo: La producción diaria de cemento en cierta fábrica, en miles de kg., según la función: f(x) = 6x ( 1 – x ) ; 0 ≤ x ≤ 1 Si analizamos la función f(x), cumple con las condiciones para ser una función de densidad

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VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Definición.- Sea x una v.a. discreta que toma los valores x1,x2,...........xn, con probabilidades P(x=x1); P(x= x2);………...P(x=x2) Llamaremos valor esperado o esperanza matemática de la variable x al número:

)()(1

i

n

jix xxPxxE === ∑

=

μ

Al valor esperado de x también se le llama media o valor promedio de x, además:

[ ] )()()(1

i

n

ji xxPxHxHE == ∑

=

Ejemplo VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Si X es una v.a. continua con función de densidad f entonces:

dxxfxxE x ∫∞

∞−

== )(*)( μ , además:

[ ] dxxfxHxHE ∫∞

∞−

= )(*)()(

Propiedades del valor esperado de una variable aleatoria: 1.- E(c) = c 2.- E(c H(x)) = c E(H(x)) 3.- E(H(x) + G(x)) = E(H(x)) + E(G(x)) VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA:

[ ] [ ]2222 2)()( xxxx xxExExV μμμσ +−=−==

22 )(2)( xx xExE μμ +−=

22 2)( xxxxE μμμ +−=

222 2)( xxxE μμ −−=

22 )( xxE μ−=

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DESVIACION ESTANDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA

)( xVS X = Ejemplos:

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