UNIVERSIDAD DE CIENCIAS HUMANIDADES_________________________________________PROCESOS ESTOCASTICOS

F.N.Q.C Página 1

VARIABLE ALEATORIA MULTIDIMENSIONAL

VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL DISCRETA El par (X, Y) constituye una Variable Aleatoria Bidimensional Discreta, si el número de posibles valores de (X, Y) es una cantidad finita o finita numerable. , ;

Para cada valor posible podemos asociar un número

Función de Probabilidad Conjunta, que satisface:

.

.

= .

Función de Distribución.

Función de Probabilidad Marginal

Las funciones de distribución marginal de X e Y , denotadas por y ,

respectivamente, están dadas por

Ejemplo 1: Una tienda comercial tiene dos vendedores A y B. Sea X el numero de

celulares vendidos en un día por A, e Y el numero de celulares vendidos en un día por B. Suponga que por experiencias pasadas se sabe que la distribución de probabilidad conjunta (X,Y) esta dado por la siguiente tabla

y x 0 1 2

0

1

2

a) ¿Cuál es la probabilidad que cada vendedor vende a lo mas 1 celular? b) ¿Cuál es la probabilidad que B venda mas celulares que A? c) Indique la distribución de probabilidad marginal de X e Y.

Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Sea Ω una σ-álgebra asociada a E. Llamaremos variable aleatoria multidimensional o variable aleatoria n-dimensional a una función.

,

Cada variable componente de una variable aleatoria n dimensional es una variable aleatoria unidimensional que recibe el nombre de variable marginal.

Caso más sencillo: estudio conjunto de dos variables (X,Y) (variables aleatorias bidimensionales)

UNIVERSIDAD DE CIENCIAS HUMANIDADES_________________________________________PROCESOS ESTOCASTICOS

F.N.Q.C Página 2

Función de Probabilidad Condicionadas

La distribución condicional de la variable aleatoria Y, cuando , viene dada por:

;

La distribución condicional de la variable aleatoria X, cuando Y = y, viene dada por:

;

Ejemplo 2:

La distribución de probabilidad conjunta de la variable aleatoria (X,Y) esta dado por

y x -1 1

0

1

0

2

Hallar:

a) / Y=0) b) / X=-1)

Ejemplo 3: Sean X e Y dos variables aleatorias cuya función de probabilidad conjunta

esta definida por:

, ;

Hallar:

a) La función de probabilidad condicional de X, dado b) La función de probabilidad condicional de

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS n-DIMENSIONALES

Se puede generalizar a n variables. es discreta si toma un número finito o numerable de valores.

Los valores que toma son n-uplas de puntos .

Las probabilidades de todas las n-uplas, son positivas y suman 1.

UNIVERSIDAD DE CIENCIAS HUMANIDADES_________________________________________PROCESOS ESTOCASTICOS

F.N.Q.C Página 3

VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL CONTINUA Para una Variable Bidimensional Continua, se define la Función de Densidad Conjunta

, satisfaciendo las siguientes propiedades: a)

b)

c)

Para la Variable Aleatoria bidimensional (X, Y) se define su Función de Distribución Acumulada:

donde resulta ser la Función de Densidad, si la Función de Distribución tiene derivadas

segundas se cumplirá que:

Función de Densidad Marginal: Es cuando nos piden una sola variable en particular.

Ejemplo 4:

Un banco dispone tanto de ventanilla para automovilistas como de una ventanilla normal. En un día seleccionado al azar, sea X= la proporción de tiempo que la ventanilla para automovilistas esta en uso (por lo menos un cliente esta siendo atendido o está esperando ser atendido) y Y=la proporción del tiempo que la ventanilla normal esta en uso. Entonces el conjunto de valores posibles de (X, Y) es el rectángulo .Suponga que la función de densidad de probabilidad conjunta (X,Y) esta dada por

a) Verificar que es una función de densidad conjunta b)

c) Indicar su función de densidad marginal de X e Y.

UNIVERSIDAD DE CIENCIAS HUMANIDADES_________________________________________PROCESOS ESTOCASTICOS

F.N.Q.C Página 4

Ejemplo 5:

Hallar el valor de K, de tal manera que la función:

Sea una función de densidad de una variable aleatoria (X,Y). Función de Densidad Condicionadas

La distribución condicional de la variable aleatoria Y, cuando , viene dada por:

;

La distribución condicional de la variable aleatoria X, cuando Y = y, viene dada por:

;

Ejemplo 6: Sea (X,Y) una variable bidimensional, con función de densidad conjunta.

a) Calcular la probabilidad

b) Hallar la función de densidad marginal de X e Y c) x/y) ; x/y)

VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES Intuitivamente, A y B son sucesos independientes cuando la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro. Dos variables X e Y son independientes cuando el conocimiento del valor de una de ellas, por ejemplo, , no modifica la distribución de probabilidad de la otra variable, Y. Recordando:

• A y B son sucesos independientes si y sólo sí: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)

Para el caso de las variables aleatorias

• Sea (X,Y) discreta, X e Y son independientes sí y sólo si:

• Sea (X, Y) continua, con densidad X e Y son independientes sí y sólo si:

UNIVERSIDAD DE CIENCIAS HUMANIDADES_________________________________________PROCESOS ESTOCASTICOS

F.N.Q.C Página 5

Ejemplo 7:

Sean X e Y variables aleatorias continuas, cuya función de densidad conjunta es,

¿Son independientes las variables X e Y?

VARIABLES ALEATORIAS Continua n-DIMENSIONALES

Se puede generalizar a n variables.

es continua si toma valores en recintos de .

En ese caso, tiene asociada una función de densidad, , que es

una función de n variables, positiva y que integra 1 (integral múltiple).