Variable Compleja/ Complex Variable

Variable Compleja

José Darío Sánchez Hernández

Bogotá -Colombia - abril 2005

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El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuaciónencontrará más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas,corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos,por favor hágalo, de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones esindispensable el uso de una biblioteca con un buen número de textos de Variable Compleja, enesta forma el estudiante utiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luegoencontrará resultados en donde se ha dado una posible demostración, la cual se supone escorrecta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores; el lector deberá revisarlasanalizando cuál de los resultados básicos se ha utilizado en la prueba.

§1. RESULTADOS BÁSICOS

1.Si es un cuerpo conmutativo se dice que la aplicación esun valor absoluto arquimediano si

Para todo ,

Existen tal que max

2. es el único cuerpo con valorabsoluto arquimediano completo y tal que la ecuación tieneuna solución salvo isomorfismos .

3.Sea un abierto no vacío del plano complejo . . Denotemospor la variable en . Por donde

, se denotará a una función de variable compleja.La función es continua si y sólo si las funciones son

continuas.

4.Sea , se dice que una función de variable compleja escomplejamente diferenciable en el punto , si existe lim

En este caso se llama la derivada de en el punto y se nota Si es complejamente diferenciable en , entonces es continua en .

5.Ecuaciones de Cauchy-Riemann: Si una función escomplejamente diferenciable en el punto entonces en elpunto existen las derivadas parciales y se tiene

.

Darío Sánchez H Variable Compleja 2

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden también escribir en la

forma

6.En general dada la función el hecho de que existan lasderivadas parciales en un punto y que se cumplan las

condiciones de Cauchy-Riemann en ese punto no garantiza que seacomplejamente diferenciable en .

Tómese como contra-ejemplo a la función

, si

, si

7.Sea y . Para que la función seacomplejamente diferenciable en el punto es necesario y suficienteque cada una de las funciones sea diferenciable en el punto

y que las derivadas parciales cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann.

8. es diferenciable en un punto , si existen tales que para cada punto en una vecindad de se tenga que

donde , en este caso .lim

9.Sean abierto no vacío de , funciones complejamentediferenciable en el punto . Entonces las funciones soncomplejamente diferenciables en y

Además, si , entonces es complejamente diferenciable en y

.

10.Regla de la cadena: Sean abiertos no vacíos de , , . Entonces, si es complejamente

diferenciable en y es complejamente diferenciable en también es complejamente diferenciable en y

11. Sea un abierto no vacío de y se dice que es HOLOMORFA

en si es complejamente diferenciable en todos los puntos de . Sedice que es en el punto si es holomorfa en unaHOLOMORFA

vecindada de .Las funciones holomorfas de forman un anillo conmutativo con

elemento unidad .


12. en este caso vale

el criterio de Cauchy, o sea

se sigue que si la serie converge entonces .lim

converge absolutamente cuando .

13.Sea ø un conjunto cualquiera y . Se denota por

sup . Se dice que una serie de

funciones es normalmente convergente sobre si

.

14.Sea ø un conjunto cualquiera, una serie de funciones

complejas sobre , normalmente convergente. Entonces

, la serie es absolutamente convergente.

La serie es uniformemente convergente sobre .

15.Sea ø y una serie de funciones complejas continuas

uniformemente convergentes sobre . Entonces, la función

es continua en .

16. Sea . Llámase de convergencia de alradio

número real extendido sup

Llámase de convergencia de al conjunto círculo

17.Lema de Abel: Sea y tales que ,

supongamos que existe tal que para todo , entonces la serie es normalmente convergente en el círculo

.

Sea el radio de convergencia de la serie . Entonces

Si la serie converge normalmente en .

Si tal que entonces es divergente.


18.Fórmula de Hadamard: El radio de convergencia de la serie

está dada por la fórmula .lim sup

Sea , entonces; es convergente si

es divergente si >

lim sup

lim sup

19. Sean , y , series absolutamente convergentes de números

complejos, si entonces la serie es absolutamente

convergente y .

20.Sean con donde

. Pongamos entonces, y si ,

21.Sea con y sea

entonces

ø.

Para todo . Si y si entonces | y .

22.Sean una serie inversible es decir; con .Entonces, la serie tiene . De aquí se sigue que si

min entonces .

23.Para todo . Además de eso para todo con tenemos . En otras palabras la funciónlim

es holomorfa en el disco de convergencia y .

24.Sea con . Entonces la función es

indefinidamente diferenciable en el disco de convergencia de y para

todo , . Sean tales que y que exista

y tal que para se tenga, entonces.

25.Sea con y sea la serie recíproca(es decir, ). Entonces si también .

26.Defínase por la fórmula . . y está bienexp exp

definida, pues su radio de convergencia es infinito.


27.La aplicación es un homomorfismo del grupo aditivo en elgrupo multiplicativo .El homomorfismo aplica sobre y el núcleo es .

min cos

28.Si es compacto, inyectiva y continua entonces escompacto y es un homeomorfismo.

29.Dado se llama logaritmo de cualquier complejo tal que.

Para todo .log ln arg

Para todo log log log mod

Si se llama aquel tal que arg cos sin

30.Sea un abierto conexo de y una función continua tal quepara todo , Entonces se tiene que es una exp rama de

log en .Si es un abierto conexo y es una rama de en entonceslog

para todo ; es una rama de , recíprocamente todaslog

las ramas de en tienen esta forma.log

31. Sean , una vecindad de . Se dice que es

analítica en el punto si existe con y existe tal

que < y para todo , con

.

Si es un abierto de y , entonces se dice que es analíticaen , si es analítica en cada punto de .

32.Sea una función analítica en el punto . Entonces es

indefinidamente diferenciable en una vecindad de y si es

su expansión en serie alrededor de , entonces , Toda función analítica en un abierto es indefinidamente diferenciable

en .

33.Sean funciones analíticas en . Entonces y son funciones analíticas en .

Si , la función es analítica en .

Si en una vecindad de , entonces ,o, en unavecindad de

Finalmente existe una función , analítica en tal que en unavecindad de . Esta función está determinada en la vecindad de a menos de una constante aditiva por


y

34. Sea con . Entonces es una

función analítica en el disco de convergencia de . Más exactamente para

todo con la serie de potencias tiene

radio de convergencia y su suma para es iguala .

35.Una función que es analítica en todo el se llama una funciónplano

entera. Las funciones exponencial y trigonométricas son enteras.

36. Sean un abierto conexo de , una función analítica en y. La siguientes afirmaciones son equivalentes:

Para todo , Existe sucesión de puntos diferentes en con y para todo

en una vecindad de en .

Si es un abierto conexo en las funciones analíticas en forman undominio de integridad.

37.PRINCIPIO DE PROLONGAMIENTO ANALÍTICO. Sean abiertos conexos de con ø y para sea una función analítica en . Si

en entonces existe una función analítica única en tal que

38.Sea una función analítica en tal que , pero en

una vecindad de . Sea la serie de potencias

correspondiente. El número se llama omin orden

multiplicidad del cero de .

Si la multiplicidad es se dice que es un cero de .simpleSea , es analítica en , es el orden del cero de

si y sólo si , para y . Lo cual esequivalente a decir que en una vecindad de donde es analítica en y ya que

Sean un abierto conexo de y una función analítica tal que . Entonces es un conjunto discreto en . (Es decir,

consta solamente de puntos aislados).

39. Sea un intervalo compacto de


Una aplicación continua se llama continuo en camino Si para , entonces (excepto eventualmente

en el caso ), se dice que es un camino (o, un arco).simple

Si , se dice que es un camino .cerrado Sean un intervalo compacto de y un homeomorfismo

de sobre . Entonces se dice que el camino esdeducido de por transformación de parámetros.Si y (respectivamente )se dice que la transformación de parámetros no cambia (resp. cambia) laorientación del camino.Sean caminos tales que entonces el camino

definido por se llama camino sisi

compuesto

de y el cual se denota por .

40.Sea un abierto de Si y son dos caminos es con y se dice que y son en sihomotópicos

existe continua, tal que

y Si es conexo se puede definir

Sean caminos cerrados, se dice que sonhomotópicos en si existe continua tal que para todo

y . Si | se reduce a unpunto se dice que es homotópica a un punto.

41.Prolongamiento analítico a lo largo de un camino:Sean un arco, una función analítica en

. Se toma la expansión en serie alrededor de . Tómese talque (disco de convergencia de la serie expandida). Sea

y si es analítica en existe tal que para algún . Si es analítica en existe .

Suponiendo que el proceso puede prolongarse a un punto tal que , se obtiene así una función analítica en .

42.Sean abiertos de con ø. Sea una función analíticaen supóngase que es prolongación analítica de a . Sean

y un camino simple un arco de a en . Entoncesla expansión de la serie alrededor de puede ser obtenida a partir de laexpansión de alrededor de por prolongación analítica a lo largo de .

43.Teorema de Monodromia: Sean dos caminoshomotópicos de a y una función analítica en , supóngase que paratodo camino simple intermediario entre y la función


sea continuamente prolongable a lo largo de . Entonces losprolongamientos analíticos de a lo largo de y dan la mismaserie alrededor de .

44.Se dice que una aplicación es un camino

diferenciable si las funciones , y, son continuamente

diferenciables. Una en un abierto es una expresiónforma diferencial

donde y son funciones continuas en . Si es una forma diferencial en un abierto y

es un camino diferenciable, se define la integral por la

fórmula donde .

En la misma notación tenemos que donde es

una forma diferenciable sobre .

45.Se dice que un camino es sidiferenciable por partes existe una partición de tal que elcamino es un camino diferenciable. En este caso para ,

forma diferencial en , se define .

Sean un abierto conexo de , . Entonces existe una poligonalen con punto inicial y punto final .

46.Sean un abierto conexo de , .

Entonces, si es un camino diferenciable por partes con punto inicial ypunto final tenemos . En particular si en ,

es constante en .

47. Una forma diferencial en un abierto conexo posee unaprimitiva en si y solamente si para todo camino cerrado diferenciablepor partes en , .

Sean un disco abierto en y una forma diferenciable en tal quepara todo rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas y

.

48. Fórmula de Green: Sean un abierto de tal que es un

camino cerrado simple diferenciable por partes, una formadiferencial definida en una vecindad de y tal que las derivadasparciales y existan y sean continuas en la vecindad de . Entonces


49.Sea un abierto continuo conexo una formadiferencial en , tal que , existan y sean continuas en ,

entonces para que posea una primitiva en es necesario que en

es suficiente que sea un disco y que en .

Se dice que una forma diferencial en un abierto es cerrada si paratodo , existe vecindad de tal que tiene unaprimitiva.

50.Sea una forma diferencial en un abierto .Entonces

es cerrada si y sólo si para todo rectángulo suficientementepequeño con lados paralelos a los ejes, la integral

Si las derivadas parciales , existen y son continuas en entonces

es cerrada si y solamente si en .

51.Sean abiertos de , una forma diferencial cerrada en y un camino. Entonces existe una función continua

con la siguiente propiedad: Para todo , existe vecindad de, existe primitiva de en , existe vecindad de en tales

que para todo , . Además de eso la función está unívocamente determinada a menos de una constante aditiva. Eneste caso se dice que es una de . primitiva de a lo largoBajo las mismas hipótesis si no es diferenciable por partes y si es

una primitiva de a lo largo de , se define

52.Si es un camino cerrado en entonces es un número entero.

Sean un abierto de , una forma diferencial cerrada en y: continua entonces existe una función

continua con la siguiente propiedad: existen vecindad de , primitiva de

en vecindad de en tales que y .Una tal función esta unívocamente determinada a menos de unaconstante aditiva en este caso se dice que es una primitiva de con

respecto a .

53.Sean un abierto de y forma diferencial cerrada en . Si son dos caminos homotópicos en con extremos iguales

entonces

Si son dos caminos cerrados homotópicos en entonces.


Se dice que un abierto es simplemente conexo si todo caminocerrado en es homotópico a un punto.Toda forma diferencial cerrada en un abierto simplemente conexo posee

una primitiva en .

54.Sean un camino cerrado en y . Llámase índice de conrespecto a al número

Si y son dos caminos cerrados homotópicos en entonces

Fijando el camino cerrado en , la aplicación es unafunción localmente constante en . La aplicación que escontinua ya que es compacto entonces es constante en lascomponentes conexas de .Sea un camino diferenciable con derivada continua y

además existe vecindad de en tal que esinyectiva en y existe una vecindad de tal que es dividida endos regiones por .

55.Se dice que una colección finita de caminos cerrados simples diferenciables por partes es el de unBORDE ORIENTADO

compacto si:

ø si si es diferenciable entonces para todo

y si las regiones de la vecindad de divididas por el

arco son tales que ø.Si es un borde orientado de un compacto y si es una

forma diferenciable definida en una vecindad abierta de con

entonces

56.Teorema de Cauchy: Si es una función holomorfa en un abierto de entonces la forma diferencial es cerrada en .

Si es una función holomorfa en un abierto entonces poseelocalmente una primitiva que también es holomorfa .Forma usual del teorema de Cauchy: Si es una función holomorfa

en un abierto y si es un camino cerrado homotópico a un puntoen entonces .

57.Si es una función continua en un abierto de y es holomorfa en, excepto eventualmente en puntos situados sobre una recta paralela

al eje real entonces la forma diferencial es cerrada en (en


particular, es cerrada si es continua en y holomorfa en excepto eventualmente en un conjunto finito de puntos de ).

58. Sean una función holomorfa enFórmula integral de Cauchy:un abierto y un camino cerrado en , homotópico a un punto.Entonces se tiene que

59.Sea una función holomorfa en el disco entonces es analítica en y la expresión de en serie de

potencias de tiene radio de convergencia

donde

60.Si es una función holomorfa en un abierto entonces es analíticaen . En particular, es indefinidamente diferenciable y para todo ,

si entonces

que constituye la para las derivadas.fórmula integral de Cauchy

61.Teorema de Morera. Si es una función continua en un abierto tal que la forma diferencial es cerrada entonces es

holomorfa en .Si es continua en un abierto y es holomorfa en excepto

eventualmente en puntos situados sobre una recta (o sobre un númerofinito de rectas ) entonces es holomorfa en todo .Sea el borde orientado de un compacto y una función

holomorfa en un abierto entonces

62.Principio de simetría de Schwarz: Sea un abierto de simétrico con respecto al eje real

una función continua en y holomorfa en con . Entonces puede extenderse de manera única a una

función holomorfa en todo , donde

63.Sea un abierto de , función holomorfa en , entonces

donde

con . La serie convergente en el mayor disco abiertocon centro en y contenido en , . Esta serie es llamadaserie de Taylor de en el punto .

64.Desigualdad de Cauchy. Sea una función holomorfa en el disco y para sea


sup

Entonces, para todo , para los coeficientes de

Taylor

65.Teorema de Liouville: Si una función entera es acotada en todo elplano, entonces ella es constante.Si es un polinomio no constante con coeficientes complejos

entonces la ecuación tiene por lo menos una raíz en .Este enunciado es conocido como el teorema fundamental del álgebra.

66. Se dice que una función real o complejo definida en un abierto del plano tiene la si propiedad del valor medio

con .Si es una función holomorfa en un abierto entonces tiene la

propiedad del valor medio en .Si es holomorfa en el abierto entonces las funciones , e,

tiene la propiedad del valor medio en .

67.Principio del máximo: Sea un abierto de y una funcióncontinua en con la propiedad del valor medio. Entonces si tiene unmáximo relativo en un punto es constante en una vecindad de

.Sea ø un subconjunto abierto acotado y conexo de , una función

continua en con la propiedad del valor medio en ysup . Entonces

Para todo , | Si existe con | , entonces constante en .

Sea , una función continua en holomorfaen un disco . Entonces toma su máximo sobre enun punto de , .sup

68.Lema de Schwarz: Sea una función holomorfa en el disco tal que y | . Entonces

Para todo Si existe con entonces existe con

tal que .

69.Sea un abierto conexo de consideremos el cuerpo de fracciones del dominio de integridad . Todo elemento de tiene la

forma , donde y son llamados .funciones meromorfas

70.Dado , si la función es analítica en una vecindad de

, si tenemos en una vecindad de , donde , holomorfas y

. Tenemos dos posibilidades


, en ese caso la función se puede extender analíticamente a

el punto poniendo en la vecindad de

en este caso y se dice que tiene unlim

polo en .El número es llamado la ( )multiplicidad del polo o también orden

Si un polo tiene multiplicidad , se dice que el .polo es simple

71.Si es una función meromorfa en un abierto conexo entonces estambién una función meromorfa en y si es un polo de orden de ,

es un polo de orden de (los polos de son los mismos polosde ).

72.Sea con . Entonces la serie de

funciones es convergente en . Si , la serie

es normalmente convergente en . Además la función

es holomorfa en y la derivada es (converge

en ).

73.Sea tal que

El radio de convergencia de la serie es mayor que o

igual a .

El radio de convergencia de la serie es mayor que o igual a

donde | | , , Entonces

La serie es convergente en el anillo Si , es uniformemente convergente

en el anillo La función es holomorfa en y

74.Sea una función en el anillo circular ( ,

+ ) dada por una serie de Laurent, .

Entonces, los coeficientes estan unívocamente determinados por .Teniéndose que .Sea , + , y una función

holomorfa en . Entonces es representable por una serie de Laurenten .


Sean , . Si es

holomorfa en y es la serie de Laurent entonces

tomando tenemossup

,

75.Sea y una funciónholomorfa en entonces donde es una función holomorfaen y es holomorfa en (llamada descomposiciónde Laurent). Se tiene unicidad en la descomposición si se exige quelim .

Sean abierto de , , una función holomorfa en .Entonces puede ser extendida analíticamente al punto si ysolamente si es acotada en una vecindad de . Llamada unasingularidad removible.

76.Si y ø tenemos dos

posibilidades Si es finito, sea entoncesmin

donde es holomorfa en una vecindad de y , esmeromorfa en una vecindad de y el punto es un polo de orden de

Si es infinito, se dice que es un punto singular esencial aisladode .

77. Casorati-Weierstrass .Sea , una función holomorfaen el disco punteado con como punto singularesencial. Entonces para todo el conjunto esdenso en .Picard . Con las hipótesis del teorema anterior, tenemos más

precisamente que la función toma en todos losvalores en excepto en lo máximo en uno para todo .

78.Se dice que es holomorfa en una vecindad de si esholomorfa en una vecindad de . Si es holomorfa en entonces donde

ya que es compacta y es continua en entonces es acotada por elteorema de Liouville se sigue que es constante.Para una función compleja definida en , o en abiertos de , se

extienden los conceptos de función meromorfa en el punto , ordendel polo, singularidad esencial, etc, y se consideran las propiedadescorrespondientes de las funciones en una vecindad de .


79. Si es una serie de Laurent en entonces

tiene en un polo de orden y tiene una singularidad esencial en #

Una función es meromorfa en todo es una función racional

80.Sean un camino cerrado en el anillo, una función holomorfa en y el

coeficiente de en la serie de Laurent de en entonces

Sean y una función holomorfa en una vecindad de con como punto singular aislado se llama de en el punto elresiduo

coeficiente de la serie de Laurent de en , y se le nota .Sea una función holomorfa en con además teniendo a

como punto singular aislado. Si es la serie de

Laurent en | . Se llama residuo de en el punto al número.

81.Teorema de los residuos: Sean un abierto de , una funciónholomorfa en excepto en un conjunto de singularidadesaisladas, un compacto con bordes orientados tal que paratodo y entonces ; es un conjunto finito y

Si es una función holomorfa en todo excepto en un conjunto desingularidades aisladas entonces el conjunto es finito y

82.Cálculo de residuos: Si es meromorfa en una vecindad de y

tiene en un polo simple, entonces .lim

Si es meromorfa en una vecindad de tiene un polo de orden

en entonces con holomorfa. Si

entonces entonces .

Más técnicamente se tiene que, si es un polo de orden de unafunción analítica , entonces el residuo en es dado por

Sea una función meromorfa no constante en una vecindad de y "derivada logarítmica de " . Entonces

si tiene en un cero de orden .


Si es holomorfa en y es holomorfa en

si tiene en un polo de orden , .

83.Si es un abierto de , un compacto con borde orientado una función meromorfa en , no constante, holomorfa en los puntos de

y tal que . Además, sea la suma de lasmultiplicidades de las raíces de la ecuación en y la suma delas multiplicidades de los polos de en . Entonces

84.Sea una función holomorfa no constante en una vecindad de ,con un cero de orden en de . Entonces para toda vecindad (suficientemente pequeña) de existe vecindad de en tal que paratodo , la ecuación tiene exactamente raíces simplesen .

85.Teorema de Rouche: Sean un abierto de funcionesholomorfas en y un compacto con borde orientado tal que paratodo . Entonces las funciones y tienen elmismo número de ceros en .

86.Algunos tipos de integrales definidas

cos sin

donde es una función racional no tiene polos reales lim

donde es holomorfa en todos sus puntos con exceptoen lo máximo en un conjunto finito no tiene puntos singulares reales lim

La integral es convergente (o por lo menos existe el valorprincipal )lim

donde es holomorfa en todos los puntos con excepto enun conjunto finito lim


La integral es convergente (o por lo menos existe el valorprincipal )lim

tiene un polo simple en y es holomorfa en los puntosreales

donde es una función racional no tiene polos en el semi-eje real positivo lim

log log

donde es una función racional sin polos sobre el semi-eje realpositivo lim

arg

también log

87.Sea un abierto de . Se dice que una sucesión en converge uniformemente en el interior de si para todo compacto contenido en , la sucesión converge uniformemente sobre

Se dice que una serie de funciones continuas en converge

uniformemente resp. normalmente en el interior de , si para todocompacto la serie es uniformemente convergente (resp.

normalmente convergente) en . Una sucesión puede converger uniformemente en el interior de y no

converger en como en es una sucesión de funciones definidaen , convergente uniformemente en y no converge en larecta. Si es una serie normalmente convergente en el interior de ,

entonces es uniformemente convergente en el interior de .

88.Si es una sucesión de uniformemente convergente en el

interior de y si entonces es unalim lim

función continua en , o sea .(El resultado se sigue del hecho de ser localmente compacto).

una sucesión en , converge uniformemente en el interior de converge uniformemente en todo disco cerrado .


89.Si es una sucesión de funciones holomorfas en uniformementeconvergente en el interior de y si , entonces lim

(Aplíquese los teoremas de Morera y Cauchy). Sea un abierto de , una sucesión en uniformemente

convergente para en el interior de . Entonces la sucesión converge uniformemente en el interior de para .(Para la demostración use la fórmula integral de Cauchy para ).

90.Teorema de Hurwitz: Sean un abierto conexo de y unasucesión de funciones holomorfas uniformemente convergentes para

en el interior de . Entonces si para todo , setiene: , o .(Por contradicción suponga que y tal que Use el teorema del residuo.y concluya que ).

Si es una sucesión en , abierto conexo de las funciones son inyectivas y si uniformemente en el interior de entonces esinyectiva o -(Por contradicción; construya un abierto, aplique el teorema de Hurwitz y concluya que no esinyectiva).

Sea una función holomorfa , abiertos de . Si esinyectiva en una vecindad de un punto entonces La propiedad no es verdadera en variable real. Como contra-ejemplotome, es uno a uno y .(Para la demostración suponga aplique el resultado 84, para llegar a una contradicción).

91. Si es una funciónTeorema de la aplicación abierta:holomorfa no constante definida en un abierto conexo de , entonces

es una aplicación abierta.(Es suficiente mostrar que , la imagen contiene todos los puntos de una vecindad

de , para lo cual considere la ecuación donde aplíquese el resultado

84 dos veces).

92.Función inversa: Sea una función holomorfainyectiva en una vecindad de un punto , existe vecindad de y existe

vecindad de tales que es una biyección de sobre y laaplicación inversa es holomorfa y para todo ,

.

(Mediante el resultado 84 construya una vecidad de suficientemente pequeña de manera

que exista vecindad de . Tome es sobre y del teorema de la aplicación abierta, es continua).

93.Sean , abiertos no vacíos de , y una aplicación -diferenciablede sobre . Se dice que la aplicación es si es localmenteconformeinyectiva, y si , caminos diferenciables en a través de entonces el ángulo entre las tangentes a y en es igual al ánguloentre las tangentes a los caminos y de en el punto .


Una aplicación , -lineal de sobre es conforme en tieneuna de las formas

, ,

En el caso conserva la orientación de los ángulos. En el segundocaso cambia la orientación de los ángulos.Sea un abierto de y continuamente -diferenciable y

además con en todo punto de . Entonces es una aplicación

conforme en si y solamente si es holomorfa o es anti-holomorfaes decir, función holomorfa en en .

94. Sea una función holomorfa e inyectiva en un abierto conexo de .Entonces es un homeomorfismo de sobre y la función inversa es holomorfa en . En este caso se dice que es un isomorfismo de sobre .Observaciones: El concepto de isomorfismo se extiende a los abiertos

de la esfera de Riemann y son meromorfas . Un isomorfismo de sobre se llama automorfismo de .

Los automorfismos de un abierto conexo , forman un grupo . Si es un isomorfismo de un abierto sobre un abierto entonces

es un isomorfismo de sobre . y el disco abierto no son isomorfos.

(Pues si lo fueran la función es un isomorfismo, es entera y acotada luego constante)absurdo .

95.El grupo de los automorfismos de se compone de lastransformaciones lineales o sea .Observaciones: Si con y entonces es una

transformación sin punto fijo. El grupo opera transitivamente sobre (es decir;

tal que ). Si es un abierto conexo de y se llama enisotropía de

al subgrupo Si el grupo de isotropia de es

96.Sea un abierto conexo de y un subgrupo de tal que opera transitivamente sobre Existe tal que el grupo de isotropía de en esta contenido

en . Entonces .Observación: La condición se puede sustituir por donde

Si el grupo de isotropía de está contenido en entonces dadocualquier existe tal que .


97. está formado por las transformaciones donde

(también son llamadas "transformaciones

homográficas"). Toda transformación homográfica es compuesta de una o más de las

siguientes clases de transformaciones: Translación Homotecia más rotación Inversiones más simetrías (inversión con respecto a la circunferencia

) más reflexión con respecto al eje real.

98.Toda transformación homográfica transforma rectas y circunferenciasen rectas y circunferencias.La transformación es un isomorfismo del semiplano sobre disco

.Sea un automorfismo de tal que Entonces

, .Sea entonces

Sea . Entonces esta formado por lastransformaciones homográficas de la forma , , .

Si y , donde

99.Sea ø un abierto de . Existe una sucesión de compactosde tal que

Por ejemplo puede tomarse

100.Para todo , sea .sup

Consideremos la aplicación dada por

. Entonces

es una métrica sobre Una sucesión es convergente en el espacio métrico si y

solamente si es uniformemente convergente sobre todo compacto.

El espacio métrico es completo.


101.Sea abierto de . Se dice que es una familia normal defunciones holomorfas en si toda sucesión en contiene unasubsucesión uniformemente convergente en el interior de .Equivalentememente; es una familia normal en si y solamente si es un subconjunto relativamente compacto ( es compacto) del espacio

.

102.Toda familia uniformemente acotado en cada compacto de (o en el interior de ) es en todo compacto de .equicontinua

es equicontinua si , , tal que , para todo .

sucesiones de compactos en , tal que . con |

= |

existe .sup

103.Teorema de Montel: Sea ø un abierto de y una familiauniformemente acotada en el interior de de funciones holomorfas en .Entonces es una familia normal de .

104.Sea ø un abierto simplemente conexo. Entonces existe un

abierto isomorfo a tal que .Con tóme una rama de defínase mediante log

.

Sea simplemente conexo abierto tal que y es inyectiva , y Entonces sup

105.Teorema de Riemann: Todo abierto no vacío simplemente conexo es isomorfo al disco .

106. Sea se dice que es armónica en si

en se llama operador Laplaciano .

es armónica si y solamente si y son armónicas.Para todo es armónica si y solamente si en .En un abierto toda función holomorfa es armónica.Si es una función armónica real definida en un abierto entonces

localmente es la parte real de una función holomorfa unívocamentedeterminada a menos de una constante aditiva .


Sea un abierto simplemente conexo en y una función armónicareal en , existe tal que ( está determinada a menosde una constante aditiva).Toda función armónica en un abierto es en .Toda función armónica en un abierto tiene la propiedad del valor

medio en (es decir, ).(Esto nos indica que una función que satisface la propiedad del valor medio nonecesariamente es holomorfa. Como ejemplo tomamos que es armónicacumple la propiedad del valor medio y no es holomorfa).

107.Sea , , una función armónica real

en . Sea donde

cos sincos sin

cos sin

así tenemos

cos sin

entonces si

cos sin

llamada . El término es llamado el fórmula de Poisson núcleo de

Poisson.

108.Problema de Dirichlet. Sea una función continua con . Hallar tal que esarmónica en y para .(Este problema tiene siempre una solución única y esta dada por

).

109.Si es un abierto de y tiene la propiedad del valor medioentonces es armónica en .( . Sea un disco cerrado con centro en y Por el problema de Dirichlet

existe armónica en el interior de y tal que , .

Entonces tiene la propiedad del valor medio en y es continua en Si se tuviera .

sup tendría un máximo local en entonces por el principio del

máximo en en el interior de entonces es localmente armónica en ).

110.Una función , definida y continua en un disco cerrado, armónica enel disco abierto, nula sobre el borde del disco entonces es idénticamentenula.


111.Teorema de Harnack: Sea un abierto conexo. Sea una sucesiónde funciones armónicas en tales que

para todo y todo es una sucesión acotada para un .

Entonces converge uniformemente en cada compacto de a unafunción armónica en .

§2 RESULTADOS PROBADOS.

1.Sea un abierto no vacío de y . Tómese

. Mostrar que si y son funciones

diferenciables de en el punto y cumplen en las

ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces es complejamente

diferenciable en el punto SOLUCIÓN: Sabemos que y son diferenciables en el punto

, esto implica que

con lim

y

con lim

Veamos ahora que es

y


o sea que

con lim lim lim lim

luego existe el límite de cuando y se tiene

o sea es diferenciable en .lim

.se usan las ecuaciones de Cauchy-Riemann

.

2.Sea una función holomorfa en tal

que y .

Usando el hecho que la función es armónica, determine y

Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, dar la expresión de

en términos de .

Dar la expresión de en terminos de .SOLUCIÓN:

esto es válido para todo y para todo por el método de los coeficientesindeterminados se tiene que y .

integrando con respecto a se tiene

Con el fin de hallar derivamos con respecto a , y tenemos igualando con se tiene

o sea que de donde asíPara hallar tenemos por hipótesis que

o sea que de donde tenemos que

se tiene entonces que


de aquítenemos que también se ve que

esto nos indica entonces que

3.Hallar los términos de grado de la serie recíproca de la serie formal

SOLUCIÓN:Sea

donde Se tiene que y . Luego por un resultado básico¿cuál? se tiene que existe tal que . Sea entonces

tenemos

Ahora reemplazando los valores de los dados en se tiene


Comparando coeficientes se tiene

Así

4.Hallar los radios de convergencia de las series siguientes:

donde y

SOLUCIÓN: Sea

La fórmula de Hadamard nos dice que , donde lim sup

es el radio de convergencia de , asílim sup lim

donde, sup

sup

o sea que sup

lim sup lim

entonces es infinito .

Si es una sucesión convergente de números reales, entonces

lim sup lim

En efecto, sea Dado existe tal que . , lim

o sea para Así, si entonces es una cota superior para y , no es cota superior. Por lo tanto

supAsí por el criterio de comparación para sucesiones

lim

Pero Así puesto que es . , lim lim sup lim sup

arbitrario, esto implica que lim sup. .


.

Sea , por la fórmula de Hadamard se tiene

lim sup lim

donde y se conoce que porsup lim

lo tanto , esto indica quelim sup

o sea que lim sup lim sup lim

, donde , entonces

De aquí se tiene que

Ahora de la fórmula de Hadamard se tienelim sup lim sup lim

de dondesup sup

o sea que de donde .sup inf

5.Hallar el subconjunto de donde es convergente la serie

SOLUCIÓN:Considerando = se tiene la convergencia de esta

serie cuando , de donde, se debe tener que

o sea cuando

Haciendo se tiene que | toma la forma siguiente

o sea - así, ;


6.Dadas las series formales , y , . Tomemos

. Mostrar que

SOLUCIÓN: Sean , dos sucesiones de números reales positivosentonces .sup sup sup

En efecto; sea , entonces por la definición de sup sup sup

se tiene que ,de donde entonces

sup sup sup

Sean dos sucesiones de números reales positivos entonceslim sup lim sup lim sup

En efecto de la afirmación se tienesup sup sup

Tomando límite a los dos lados se tiene

lim sup lim sup sup lim sup lim sup

Ahora tenemoslim sup lim sup lim sup lim sup

o sea que

de donde

7.Sea una serie formal con radio de convergencia .

Para sean , y ,

Tomando , y , , mostrar que

con

SOLUCIÓN:

, o sea que

8.Hallar la expansión de la función en serie de potencias de

. ¿Cuál es el radio de convergencia de esa serie?.


SOLUCIÓN:Se pide escribir . Una forma sencilla de

hacerlo es usando le serie geométrica la cual converge si y sólo si

y se tiene que en el disco unitario , en esta forma se

tiene que y por coeficientes indeterminados se

obtiene que y , en esta forma

=

Luego

La cual converge para se sigue entonces que

9.Mostrar que , lim

SOLUCIÓN:Se sabe que es convergente, esto indica que dado

, existe tal que

Sea ahora y

mostremos que , en efecto dado lim

|


Como donde yindica suma de potencias mayores o iguales a de , además se

sabe de la teoría de series que es absolutamente convergente

luego . Por otro lado la sucesión es acotada por lim

en esta forma . Así se tiene quelim lim

De donde tenemos

|

Como es acotado por | se sigue que

<

a partir de un > para algún Luego | para , o sea que .lim

10.Sea una serie formal, cuyos coeficientes están definidos

respectivamente por las fórmulas

si

donde .

Mostrar que para , donde .max

Deducir que .

Muestre que para ,

Sean los ceros de la ecuación . Usar para

mostrar que los pueden ser expresados en términos de , y deducir

que min

SOLUCIÓN: Por recurrencia se tiene para supongamos verdadero para o sea Para , se tiene |


.Esta desigualdad se tiene ya que

.LuegoAhora, |lim sup lim sup

donde así,

para tenemos

.Luego,para entonces

no es raíz de y cualquier otra raíz no pertenece alcírculo de convergencia pues si es raíz se tendría

lo cual es contradictorio. Sea dos raíces de .

Luego = , entonces por se tiene

se sabe que así

de donde y Consideremos el caso entonces se tiene así

Así se tiene que

también


de donde

Ahora sea

Como para entonces min

Ahora como no pertenecen al círculo de convergencia de sesigue que

de donde . Luego min min

11.Sea una función compleja continua sobre la circunferencia

.Mostrar que

SOLUCIÓN: Se sabe que es una forma diferencial en unabierto y es un camino diferenciable se define , con

Como se sabe es un camino diferenciable que suele serparametrizado en la siguiente forma

Según esto

.

12.Sean un abierto conexo de , una función analítica en , y un

camino diferenciable cerrado en . Mostrar que el número

es imaginario puro.SOLUCIÓN:Podemos considerar entoncestenemos que y , además

. Ahora


Además

Sea

Entonces

como y, son formas diferenciales cerradas, pues ellas admitenprimitivas en , entonces por un resultado básico ¿cuál? se tiene que

Luego o sea es imaginario puro.

13. Sea una función entera y supongamos que existen y dos

números reales tales que , si , entonces

. Mostrar que es un polinomio de grado .SOLUCIÓN:Si , la expresión del -ésimo coeficientesup

de la expansión en serie de Taylor de alrededor de está dado por .

De la hipótesis tenemos que si , para Puestoque se sigue inmediatamente que ,sup

entonces . Así para se tiene para , dedonde | .lim

De todo lo anterior tenemos que el cual es un

polinomio de grado menor o igual a .

14.Sea una función holomorfa en el disco , , y para

, sea . Probar las siguientessup

afirmaciones

es una función continua y monótona de .

Si no es constante, entonces la función es estrictamente

monótona en SOLUCIÓN: Como es holomorfa en el disco el cual escompacto entonces toma el máximo en un punto del borde . Tomando


y con tenemos entonces de donde tenemos que es monótona.

; en efecto sea , dado , veamos que existe es continuatal que si |Como es uniformemente continua en .Sabemos que existe tal que si entonces

. Tomando se tiene que todos los puntos de laforma tales que son tales que entonces . Ahora se tiene:

Supóngase que entonces como es monótona ,así

Por hipótesis de la definición se sigue quesup

para el dado .También se sabe que se sigue de lasup

definición de que para el dadosup

De y se sigue que

Luego | . Resulta así que es continua para y porlo tanto es continua en

Supóngase que no es estrictamente monótona entonces existentales que y se tiene . Como, | | es

continua en el compacto entonces existe tal que. Tomando vemos que como 2

entonces toma su valor máximo en su interior, por lo tanto esconstante, esto es una contradicción . Por lo tanto esestrictamente monótona.

15. Mostrar que la función es meromorfa en que sus

polos son los puntos y que todos estos polos son de orden

Mostrar que la serie de Laurent de en el punto tiene la forma

donde los los números de Bernoulli son todos positivos y satisfacen

la siguiente fórmula recurrente :

SOLUCIÓN: Que es meromorfa se sigue del hecho depertenecer al cuerpo de fracciones de las funciones holomorfas en (es holomorfa). Los polos de se hallan en aquellos puntos donde


entonces entonces , y porcos sin

otra parte .cos

sin

De donde se tiene que los polos son los puntos de la forma .Los polos son simples ya que , donde

Por lo tanto donde es analítica en una vecindad de

y entonces los polos son simples o sea son polos de orden .

Se sabe que la serie de Laurent de en una vecindad del origen es

de la forma o sea , de donde

En el primer intento de comparación de los coeficientes se obtiene quepara se tiene , luego

lo cual es lo mismo que

o sea (usando la fórmula del producto de Cauchy)

Tomando el coeficiente de tenemos

Los coeficientes de orden par son nulos (excepto ), en efecto para eso

tómese en , como , obteniéndose

, pero

entonces-

Comparando los coeficientes de se tiene

De y se obtiene que entonces

Si es par entonces . Luego


+

De se tiene que . Por lo tanto

Haciendo , se tiene que

Usando la fórmula recurrente de los dada por hipótesis se tiene

Teniendo en cuenta que los coeficientes de orden par son nulos,cambiando por

entonces

.

Por la definición de los coeficientes de Bernoulli, son números racionales,pues se puede escribir con

y se obtiene así el desarrollo de Taylor de reemplazando por en

la serie entera . El coeficiente de en el desarrollo de es la

suma, según el producto de Cauchy, de los coeficientes de para los depara un cálculo da para los primeros valores de que

La numeración de estos valores juegan un papel importante enmatemáticas, como en la teoría de los números algebráicos y en latopología diferencial. Se puede mostrar que

En esta forma se puede afirmar que los números de Benoulli son todospositivos.

16.Sea una función meromorfa en la vecindad del punto con un

polo simple en ese punto. Sea , arbitrario, mostrar que la serie de

Laurent de la función en el punto tiene la forma

donde es un polinomio en de grado .


SOLUCIÓN: Sea en una vecindad de , donde es analítica y. Entonces:

.

Como se tiene que es analítica en una vecindad de .lim

Por lo tanto también su derivada es analítica en una vecindad de . Sea, manteniendo se tiene que -

entonces

Obsérvese que es analítica en una vecindad de , y suvalor en el origen es dado por

.

Se sigue entonces que tiene un polo en el origen y el residuo es

.La serie de Laurent será dada por

con

ya que , ahora

o sea que

de donde y

Sea entonces de donde

Mostremos que es un polinomio en de grado ;comparando los coeficientes de se tiene

de donde

Para , se obtiene

Entonces es un polinomio en de grado ; admitiendo por inducciónque , es un polinomio en de grado , se sigue de que


es también un polinomio en de grado . De donde se concluyeque es un polinomio en para todo . Como , entonces es un polinomio en de grado . Se concluye que la seriede Laurent tiene la forma

donde es un polinomio en de grado .

17.Sea , y una función continua en y

holomorfa en . Mostrar que ,

SOLUCIÓN: Demostremos que si es continua en y holomorfa en excepto en un punto entonces , en efecto por un

resultado básico (¿cuál?) para todo tal que

. Sea cualquiera, por continuidad uniforme de sobre, existe tal que si y .

Por consiguiente | implica

Sea tal que | y de manera que entonces

Luego y por consiguiente

Para todo se define

sisi

como es holomorfa en y continua en entonces es holomorfa en excepto en el punto y continua en , luego por , de

donde se sigue, teniendo en cuenta que que

18.Hallar un camino en cuya imagen sea la elipse de ecuación

. Calculando de dos formas diferentes, mostrar

quecos sin

SOLUCIÓN: , donde

cos sin

es claro quecos sin cos sin


Como , cos sin sin cos

por lo tantosin cos sin cos cos sin

cos sin cos sinsin cos sin cos sin cos

cos sin cos sin

log cos sincos sin

log logcos sin cos sin

Sea el compacto cuyo borde es , como interior de la elipse ,sea para donde es un abierto de que claramentees holomorfa en . Entonces

o sea que

De y se recibe que

cos sin

o sea que =cos sin

19.Sea una función compleja continua definida sobre el borde

(orientado) de un compacto . Sea el complemento de en y

se define para

Para , sea ; mostrar que y deducirinf

que la función es analítica en

Mostrar que ,

SOLUCIÓN: , porque supongamos que entonces como es el de números positivos, no puede ser negativo asíinf

, o sea queinf

esto significa que dado , existe tal que | .Como es compacto entonces es secuencialmente compacto, así existeuna subsucesión de la cual es convergente, por la compacidadde en y por la completez de existe tal que , enlim

particular para el dado , existe tal que | Ahora |


Como es arbitrario se sigue que por lo tanto lo cual es contradictorio ya que .

Como es abierto y entonces existe . Tomemos así que ø.

Sea entonces , manteniendo se tiene

esta igualdad se tiene dado queinf

Para fijo la serie converge uniformemente en .

Así .

Por hipótesis es continua sobre que es compacto, por lo tantoexiste tal que para todo .Como es una curva rectificable, por ser el contorno de un campactoexiste . Así

Ahora

lim sup lim sup

lim sup lim sup

o sea que

es tal que Luego es analítica en

Se sabe entonces de la parte que

También se concluye que es analítica en , esto indica por un

resultado básico (¿cuál?) que donde

De las identidades y se tiene que

o sea que .

20.Sea un polinomio y Mostrar que para todo


SOLUCIÓN:Sea . Como o

equivalentemente de donde se tiene que y en esta forma y

por lo tanto , así;

.

Nótese que en la última igualdad se ha aplicado la fórmula integral deCauchy.

21.Cálcular la integral

SOLUCIÓN: , así;

Como tomando que es una función holomorfa

en un abierto que es compacto y entonces

y

Por lo tanto

22.Sea una función holomorfa en la vecindad del disco cerrado

. Mostrar que

si |si

SOLUCIÓN: Supongamos que en ese caso tenemos;

esta última igualdad se tiene que es normalmente convergente.

Ahora esto significa que también se tiene que


de donde

Por lo tanto tenemos que

Por el problema tenemos que

Luego

Ahora es una forma cerrada para todo (esto según elteorema de Cauchy ya que es holomorfa en el disco | | )Ahora como es un camino cerrado se sigue que

Luego se reduce a

fórmula integral de Cauchy

Supongamos ahora que , en ese caso se tiene

=

Como , luego

Por lo tanto

o sea que

Nótese que

es la fórmula integral de Cauchy para las derivadas en .


23.Mostrar que toda función meromorfa sobre la esfera de Riemann es

una función racional.SOLUCIÓN: Se sabe que si es una función holomorfa en entonces es constante.

Sea un polinomio definido en puesto que es unaparametrización de la variedad analítica , se sigue que es unpolinomio en -Afirmación: es un polinomio la única singularidad de en es unpolo en y en este caso el orden del polo es igual al grado delpolinomio.En efecto; si es un polinomio de grado tieneun polo en cuyo orden es , de donde tiene una singularidad del tipo polo en de orden .Recíprocamente si el único punto singular de es el polo de orden en entonces

donde es una función holomorfa en Ahora es una funciónholomorfa en cualquier punto y la parte principal es holomorfaen es decir; es entera en por lo tanto por constante . Entonces

es un polinomio de grado Supóngase que es racional, entonces es el cociente de dos

polinomios y la única singularidad de es de tipo polo entonces esmeromorfa en todo .

Supongamos que es meromorfa en todo entonces las únicassingularidades son del tipo polo.Si tiene un número finito de polos entonces

donde los polinomios numerador tienen su grado menor que el de losdenominadores, por consiguiente el factor entre [ ] corchetes esholomorfa en De donde tiene a lo más un polo en sesigue entonces de que es un polinomio o una constante. Entonces

es una función racional.Si tiene infinitos polos su punto de acumulación,digamos puede ser es un punto donde no es holomorfa,entonces no es punto singular a islado, lo cual es contradictorio con elhecho de ser meromorfa.

Sea una función meromorfa en entonces el número desingularidades de sobre es finito, en particular el número desingularidades de sobre es finito.


Sean los polos de en , con multiplicidades respectivamente. Entonces

donde es una función holomorfa sobre , ahora es unasingularidad de es una singularidad de , así

Si no es singularidad de entonces es una función holomorfasobre y como es compacto entonces es constante y porconsiguiente

Si es un polo de , entonces es una función entera y tiene un polo

en , luego es un polinomio, esto es , luego

es una función racional.

24.Sean , y, el camino cerrado descrito en la figura

Considerando la integral de la función donde selog

log

debe tomar tal que - a lo largo de mostrar quearg

log log

SOLUCIÓN:Se sabe que .log log arg arg

Sea , dondelim

=

Por el teorema de los residuos se sigue que .

Tomando suficientemente grande y suficientemente pequeño demanera que todas las singularidades de estén dentro de setiene que

log

log


Sumando estas dos identidades se tiene + + =

log log

log log

log log log

log

log

Haciendo . Por lo tantolog log log

log

De donde

log log

log log log

.teniendo en cuenta que

log log

.Así

lim lim lim limlog log

log log

log log log

Por lo tanto


limlog

Cáculo del residuo es una singularidad de y es un polo simple, así


son también polos simples de por lo tantolim

log log log

limlog log log

siendo .Luego finalmente tenemos


log log log

log

Por lo tanto

log log

25. Mostrar que para todo entero ; sin

Calcular para entero y , la integral SOLUCIÓN: Sea dondelim

Ahora,

tomando

así

ya que lim lim

Por lo tanto

o sea que,

de donde

lim lim

es un polo simple de así;

de donde o equivalentemente


sin

Supondremos inicialmente que , en ese caso usamos el mismocontorno de integración y tenemos que dondelim

lim lim

Así

Luego

o lo que es equivalente a

sin

Nótese que no puede ser estrictamente menor que ya que, así si entonces o sea donde

en ese caso se tiene que

y se aplica el teorema de los residuos al siguiente contorno:

En ese caso dondelim


lim lim

lim lim

Luego

Finalmente

sin

26. Sean y subconjuntos disyuntos del plano, si es compacto y

es cerrado. Mostrar que existe un tal que para todo

y , con un espacio métrico en una región del plano.SOLUCIÓN: Sea inf

Si existen tales que | Como es compacto, existe tal que Tenemos | entonces es un conjunto acotado, sea un punto de acumulaciónde supóngase que es infinito , entonces ya que es cerrado y

Por consiguiente | o sea . Esto es llegando a una contradicción.


27.Supóngase que y son polinomios tales que el grado de excede

al grado de por lo menos en y la función racional no tiene

un polo en el eje real. Probar que la integral de sobre es

veces la suma de los residuos de en el semiplano superior ¿Cuál es el

análogo para el semiplano inferior?. Use este método para calcular

SOLUCIÓN: Sea la curva en la figura

Si es mayor que el valor absoluto de todos los ceros de tenemos

Cla suma total de los residuos en el semiplano superior

max

luego

.lim la suma de los residuosen el plano superior

Los ceros de son El residuo de en es

lim

El residuo de en es

lim

Luego

28.Calcule para real, por el método descrito en el problema 27.

Chequear su respuesta frente al teorema de inversión para la transformada

de Fourier.


SOLUCIÓN: tiene un punto singular esencial en , razón por la cual elmétodo del problema 27 no sirve. Aplicando mecánicamente el métodoanterior, se tendría. .Por la fórmula de inversión de Fourier se tiene:

Si entonces donde

pero la integral no converge!.Revisemos la fórmula del problema 27. La fórmula sirve, aunque , nosean polinomios, si

Si tenemos

sin cos

sin

Nótese que si , , pero si ya que cuando

sin

sin sin

Luego si .Si haga el cambio:

Entonces para todo el resultado en Por lo tanto:

la cual es la fórmula inversa de Fourier.

29. Sea el círculo unitario orientado positivamente y cálcular

SOLUCIÓN: Se sabe que

parte analíticaEl residuo en es . .

30.Suponga que es un número complejo tal que y calcule

cos

integrando sobre el círculo unitario.

SOLUCIÓN: Sea . Usando la fórmula integral dePoisson se tiene


cos cos

Por otra parte, el residuo de en supóngase | es:lim lim

luego;cos

Nota si; se tiene .

31.Supóngase , es el círculo orientado

positivamente con centro en y radio y no teniendo ceros en . Para

la integral

es igual al número de ceros de en ¿Cuál es el valor de esta

integral en términos de los ceros de para ?. ¿Cuál es la

respuesta si es reemplazada por algún ?SOLUCIÓN: Sea un cero de grado de la función :

Por consiguiente

Esto es, es el residuo de es , luegonúmero total de los cerosde que estan en

Ahora, parte analítica de

grado del cero en

Si reemplazamos por se tiene;

la parte analíticaluego


donde son ceros de en con su respectivo grado.

32.Considere una polinomial en dos variables con coeficientes complejos

. Supóngase es escogido de tal manera que todos los ceros de

son distintos. Use el teorema de Rouche para probar que esta

propiedad se mantiene para todo en alguna vecindad de . ¿Puede

usted generalizar, de polinomios a otras funciones?.SOLUCIÓN:Sean los ceros de . Sean tales que

son disyuntos. Tómese .min

Por la continuidad uniforme de , existe tal que | | o sea, | en El resultado se sigue tomando:

min

Se puede generalizar a la función tal que es continua para dos variables es analítica con respecto a (para cada fijo) tiene un número finito de ceros.

33.Supóngase que es una región, para , ninguna de

las funciones tiene un cero en y converge a uniformemente en

subconjuntos compactos de . Probar que se tiene una de las dos

siguientes alternativas ,o, tiene un cero en , o , .SOLUCIÓN: De la hipótesis se tiene que dado , existe tal que si

entonces para todo conjunto compacto .Si existe tal que sea tal que si

. Tomando se tiene quemin

| en |Por el teorema de Rouche, tiene cero en | lo cual esabsurdo .

es analítica en , luego hay a lo más un número finito de ceros de en un conjunto compacto, esto es, existe tal , a menos que idénticamente,


34.Supóngase

donde .

¿Que puede usted decir a cerca de la localización de los ceros de y

para grande? . Especifique tanto como pueda.SOLUCIÓN:Se sabe que . Ahoralim uniformemente en cualquier compacto. Por el teorema de

Taylor

Si es una raíz de entonces

|

Considérese el caso , o sea |esto significa que

Para el caso . o sea

Esto es cuando

Sea . Sea tal que no contiene los puntos, entonces

| en si es suficientemente grande.Como no tiene ceros en , no tiene ceros en ( porun razonamiento análogo para ) teniéndose Los ceros de


35.Supóngase que y son funciones enteras, y para cada

¿Qué conclusión se puede obtener?SOLUCIÓN:Según la hipótesis , son funciones enteras y para todo . Si es un cero de grado de , entonces con ,y se tiene |o

y lim

Esto es, tiene un cero de grado mayor que o igual a en . O seano tiene polos, además para todo esto es

constante .

36.Supóngase que es una función entera y para

todo donde y son números positivos. Probar que debe ser una

polinomial.

SOLUCIÓN:Se tiene que puede tener un único polo en o sea

donde es holomorfa en no tiene puntos singulares ni es . Esto es constante , luego

polinomio de grado a lo más .

37.Supóngase que contiene al disco unidad cerrado, y

si . ¿Cuantos puntos fijos debe tener dentro del disco?.

esto es, ¿cuántas soluciones debe tener la ecuación ?SOLUCIÓN: En se tiene |

Por el teorema de Rouche, el número de ceros de es igual alnúmero de ceros de , esto es , existe una raíz de en


38. Supóngase conteniendo el disco unidad cerrado,

si y . ¿Debe tener un cero en el interior del disco unidad?SOLUCIÓN: Si para todo entonces es analítica

en el disco unitario, y

imposible!. Entonces, debe tener por lo menos un cero en el discounitario.

39.Supóngase que es una región, , no tiene ceros en ,

, y . Pruebe que si tiene un cero

de orden en , entonces también tiene un cero de orden en .

¿Cómo es ésto modificado, si tiene un cero de orden en ?SOLUCIÓN:

tiene un cero de grado en Luego, Como

donde es una función analítica en y tenemos ,esto es, tiene un cero de grado en .Si tiene un cero de grado en , tenemos .

entonces tiene un cero de grado en .

40.Supóngase que es una medida compleja en un espacio de medida

es un conjunto abierto en el plano, es una función acotada en


tal que es una función medible de para cada y

es holomórfica en , para cada . Defínase

para .

Probar que .SOLUCIÓN: Se agrega la condición de que es totalmente finito, o sea

.Sea una cota de .Sea , tomemos tal que entonces | si .Por el teorema del valor medio;

si .

Como por el teorema de la convergencia dominada:

lim lim lim

o sea, es derivable en .

41.Use el problema 40 para determinar las regiones en la cuales las

siguientes funciones están definidas y son holomorfas:

.

SOLUCIÓN: aquí .Si entonces es acotada en cualquier conjuntocompacto , luego es analítica en .Nota: La función , tiene una linea de discontinuidad de log

a . . Sean .tan

Si entonces es acotada en , luego esanalítica en .

. Aquí se toma arctan

.Como es acotada en {cualquier compacto en } se tiene que es una función entera.

42.Supóngase una sucesión uniformemente acotada de funciones

holomorfas en tal que converge para cada . Probar que la

convergencia es uniforme en cada subconjunto compacto de .SOLUCIÓN:Sea un compacto contenido en . Sea tal que para todo y para todo . Se puede cubrir el conjunto compacto con unnúmero finito de bolas contenidas en , basta demostrar el enunciadopara una bola tal que .


Si se tiene: , luego

| |

por convergencia dominada, ya que | sobre . Por lotanto, satisface la condición de Cauchy para la convergenciauniforme en .

43.Supóngase que , donde es el disco unitario abierto, es

uno a uno en y Probar que el área de es

.

SOLUCIÓN:

Área de = donde

o sea, cossin

Pero

.


Área de

44.Hay una región tal que . Mostrar que es uno a unoexp exp

en , pero que hay muchos semejantes a . Fije uno, y defina paralog

, como siendo un para el cual . Probar que

log . Halle los coeficientes en y de aquí halle los

coeficientes en la expansión ¿En cuál otro discolog

esto puede ser dado?SOLUCIÓN: cos sin

cos sin cos .Como se tiene .cos

Para existe un tal que (ver la figura).log cos

Se define para |log

log

log


esto es; usando |e si se tiene |o sea

por consiguiente esto es, .lim log

Tenemos por otra parte

log

de donde si

esto es es acotado y además; . .

46.Supóngase que y son regiones planas, y son funciones

complejas no constantes definidas en y repectivamente, y

. Póngase . Si y son holomorfas, conocemos que

es tambien holomorfa. Supóngase conocido que y son holomorfas.

¿Podemos concluir alguna cosa a cerca de ?.¿Qué, si conocemos que y

son holomorfas?SOLUCIÓN: , o,

Sean entonces


Si entonces en esto es, la aplicación eslocalmente uno a uno, así que implica que . Por lo tanto

lim

De aquí se sigue que es analítica en .También se tiene

Si , entonces es analítica en donde .

46.Supóngase que , y ni , ni tienen ceros en . Si

hallar otra relación más simple entre y .SOLUCIÓN:Se sabe que . Como en ,

y son analíticas en . Como y , de acuerdo con el

teorema de coincidencia: , o sea que

constantelog log log log

esto es; en o sea en .

47.CalcularSOLUCIÓN:Sea el único punto singular de en el interior del

contorno es y el residuo de en es;

lim lim

Además se tiene cuando , ya que cuando

De y se sigue que o sea que

sin

48.Supóngase que y son funciones reales armónicas en una región

plana . ¿Bajo qué condiciones es armónica?. (Note que la respuesta

depende de que la pregunta se hace acerca de funciones reales). Mostrar


que no puede ser armónica en , a menos que sea constante. ¿Para

qué es armónica?.

SOLUCIÓN: De la hipótesis se tiene; .

Ahora

,

luego es armónica si y sólo si o sea ,

es armónica si .

Como es una región en particular es conexo por arcos entonces en .

Sea entonces .

Nótese que y son armónicas , esto es, es armónica si y sólosi son constantes en , o sea que es constante en .

49.Supóngase que es una función compleja en una región , y ambas

y son armónicas en . Pruebe que una u otra o es holomorfa en .SOLUCIÓN:Se sabe que , por lo tanto donde son armónicas. Así;

De y se sigue que

,

luego

Se tiene entonces que

o sea, ,

esto implica que es analítica en .

Pero si se tiene que entonces

,

de donde se sigue que es analítica en .


50.Si es una función armónica en una región , ¿qué puede decir

acerca del conjunto de puntos en los cuales el gradiente de es ?.

(esto es el conjunto en donde .)SOLUCIÓN:Para mayor sencillez, suponemos que es real. Si

en un punto interior de es abierto por ser una región , digamos en, en alguna vecindad de es la parte real de una función analítica

Por las ecuaciones de Cauchy Riemann, se tiene que en , luego

.Si no es constante, los ceros de es analítica en son aislados en

(luego el conjunto de los ceros de es un conjunto contable.)Si es constante, entonces es constante. Esto es, el conjunto de lospuntos en donde es en caso de que o es unconjunto contable formado por los puntos aislados.

51.Pruebe que cada derivada parcial de cada función armónica es

armónica.

Verifique por computación directa que es, para cada fijo, una

función armónica de . Deducir con referencia a funciones holomorfas

que la integral de Poisson de cada medida de Borel en es armónica en

, mostrando que cada derivada parcial de es igual a la integración

de la correspondiente derivada parcial del núcleo.

SOLUCIÓN: es armónica y

Entonces

,

esto es, es armónica.

cos cos sin

Dejamos al cibernauta interesado el comprobar que esta función esarmónica.Enfoquemos otro punto de vista para mostrar la afirmación, así

esta útima función es armónica ya que:


Si evidentemente es armónica.Lo mismo para: .Ahora por un resultado básico ¿cuál? , es armónica. .Las derivadas parciales de (con respecto a , y con respecto a son continuas en donde es cualquier compacto en y es una medida finita en se puede intercambiar (ó ) y

, esto es,

o sea que es armónica en .

52.Supóngase que es una función medible Lebesgue en una región , y

es localmente una función de . Esto significa que la integral de

sobre cualquier subconjunto compacto de es finito. Probar que es

armónica si safisface la siguiente forma del valor en el medio:

donde quiera que .

SOLUCIÓN: es continua en : Sea si es suficientementepequeño, tenemos que para todo de alguna vecindad de .

|

donde , siendo la diferencia simétrica

Dado que es integrable localmente

se sigue que |lim

En coordenadas polares se tiene .Denotando entonces .Como es continua, derivando la identidad anterior

o sea .Por un resultado básico ¿cuál? se tiene que es armónica.

53. Supóngase que es una función armónica en y . ¿Qué

tan grande puede ser ?. ¿Qué tan pequeño?. Obtenga la posible cota

superior.


Supóngase y en Si

¿que tan grande puede ser ? .SOLUCIÓN: Sea una medida posiva y finita, se tiene

cos

.cos

Por el teorema del valor medio existe tal que

cos cos

Si el máximo es . Si el mínimo es Luego

Sea ahora

Luego

Entonces sin

cos

sin

cos

La parte imaginaria de sin

cos cossin

log cos log

Luego:

.log

54. Supóngase que es una región, es un subconjunto compacto de

, . Pruebe que existen números positivos y (dependientes de

, de , y de ) tales que

para cada función armónica en y para todo .

Si es una sucesión de funciones armónicas positivas en y si

, describe la conducta de en el resto de . Hacer lo mismo

si . Mostrar que la positividad supuesta de es esencial

para este resultado.SOLUCIÓN:Por la compacidad de existe un número finito de discos:


tales que ver fig.1

Existe un arco por hipótesis es una región , sobre este arcotomemos para algún , tales que Aplicando la parte del problema 53:

luego,

Como finito , existen tales que

para todo para todo

Si , de la desigualdad anterior: uniformemente en cualquier conjunto compacto contenido en . Si se tiene: .Si la función armónica no es positiva, no se tiene la desigualdad anterior(o sea que la desigualdad del problema 53 no es válida) luego

no implica que Por ejemplo

pero no converge si .


55.Supóngase que es una función armónica positiva en y

cuando para cada . Pruebe que existe una constante tal que

.

SOLUCIÓN:Por la fórmula de Poisson se tiene .

cos

También se conoce la fórmula siguiente

- lim

así si .lim

Luego:

cos

donde

56.Aquí está un ejemplo de una función armónica en que no es

idénticamente nula, pero todos los límites radiales son

.

Probar que este no es la integral de Poisson de alguna medida sobre

y que no es la diferencia de dos funciones armónicas en .SOLUCIÓN: Si es la integral de Poisson de alguna medida sobre setendría: .sup

Pero:sincos

sin

cos

sin

cos

cuando . Como una medida en es la diferencia de dosmedidas positivas, no es diferencia de dos funciones armónicaspositivas.

57. Supóngase que es una medida de Borel positiva sobre no

idénticamente , y es singular relativa a la medida de Lebesgue . Si

probar que cuando , para al menos un .SOLUCIÓN: Recordemos el siguiente resultado básico: Supóngase que es

una medida de Borel real en y, Sea la familia de todos los . segmentos abiertos en Entonces o sea casi en toda parte con . respecto a . Así para algún


ya que no es idénticamente . También se sabe que si es una medidade Borel sobre y se define

lim sup

y se define y análogamente con y en lugar delim lim inf

lim sup Colocando Entonces

lim inf lim sup

para cada , ylim

existe y es finita para casi todo con respecto a la medida de Lebesgue .Según este último resultado se tiene que cuando para algún .

58.Sea el conjunto de todas las funciones armónicas positivas en ta

que . Mostrar que es un conjunto convexo y halle los puntos

extremos de . (Un punto en un conjunto convexo es llamado punto

extremo de si no está colocado en segmentos cuyos puntos

extremos están en y son diferentes de .

SOLUCIÓN: Si entonces

cos

y Si .Tenemos para todo

donde es una medida positiva y

esto es .Sea la familia de todas las medidas positivas en que satisfacen lacondición . Evidentemente es convexo, y es punto extremo siy sólo si la correspondiente medida es punto extremo de .Sea un punto extremo de . Suponemos que el soporte de contienedos puntos diferentes, digamos . Sea cualquier ánguloentre y se define:

, , si si si

si


si

entonces .

Tenemos

,

luego no es un punto extremo de absurdo.Esto es, es un punto extremo de si y sólo si el soporte de contieneun solo punto.

59.Supóngase que , y . Probar que

lim

SOLUCIÓN: Nótese que implica que ya que

luego ( ver desigualdad de Jensen)Entonces, para cada tenemos ver teorema de Fubini :

Se conoce el siguiente resultado: Si y , entonceslim

Luego podemos afirmar que casi en toda parte En esta forma por convergencia dominada Por el teorema de Egoroff se tiene que .

60.Supóngase que y tiene medida cero en . Probar que log

es armónica en , calculando su Laplaciano. ¿Existe otra forma más facil?SOLUCIÓN: es analítica, entonces podemos tomar

log log log

log

log

Pero,

Luego

log

puesto que se cumplen las condiciones de Cauchy- Riemann

Si, existe otra forma es analítica en y en , luego

donde .


Sea entonces es armónica en . Tenemos | luego es armónica.log log

61. Supógase que es un intervalo en el eje real, es una función

continua en , y

Mostrar que

lim

existe para cada real y hállelo en términos de .

¿Cómo se afecta el resultado si suponemos solamente que ?

¿Qué le pasa entonces al punto cuando tiene límite por la derecha y

por la izquierda?.

SOLUCIÓN: Por hipótesis, , entonces

Si , sea distancia entre y el intervalo entonces |

Si , se tiene

para todo fijo se tiene .

Si entonces

Peroarctan

para fijo.De , dado existe tal que .Para este se tiene :

Por lo tanto

cuando .

Como es cualquiera, lim

De , si es continua en se tiene


sisi

lim

Si existen se tiene sisi

lim

, sea , tenemos

implica Ahora casi para todo ,lim

esto es: casi para todo .lim

62.Supóngase es una región, , es continua en y

. Probar que actualmente . Reemplace por algún

otro conjunto para el cual la misma conclusión puede obtenerse.SOLUCIÓN:Sea y un contorno cerrado contenido en .

Basta demostrar que . Por el teorema de Morera, esC

analítica en . La curva se divide en dos partes por el segmento

donde está en el semiplano superior y esta en el semiplano inferior.Por la continuidad de en y por ser analítica en se tiene que

luego

Evidentemente puede ser reemplazado por cualquier "arco sencillorectificable" contenido en .


63.Si y pruebe que es una función

armónica de en el semiplano superior. ( es el núcleo de Poisson

para el semiplano.)

SOLUCIÓN: Se sabe que .

es armónica si , luego

es armónica si , ya que es la parte imaginaria de una funciónanalítica.

Nótese que garantiza la convergencia uniforme de la integralimpropia anterior.

64.Supóngase que es una región, para es

la parte real de , converge uniformemente en los subconjuntos

compactos de , y converge para al menos un . Pruebe que

entonces converge uniformemente en los subconjuntos compactos

de .SOLUCIÓN:Como es una región, sin perder generalidad suponemos que

, converge, y demostremos que convergeuniformemente. Tenemos .Como converge, y converge uniformemente en se tiene que

converge uniformemente en .Nótese que si es un campacto contenido en , existe un número finito

de bolas, que recubren a y tales que

.

65.Un argumento utilizado en la prueba de los resultados deducidos de

la integral de Poission permite generalizar un teorema utilizando

procesos de integración por partes para integrales de la forma

donde es una medida de Borel en un segmento de la recta real.

Establezca tal teorema y pruébelo.SOLUCIÓN:Sea una función derivable, una medida de Borel en


Sea , caculemos la integral doble:

También

Luego

El truco utilizado para reducir la fórmula es la integral por partes.

66.Se conoce el siguiente resultado: Supóngase que y

. Entonces

si igualmente se tiene en para un o si se tiene la igualdad

en entonces donde es una constante tal que

Dar una prueba de este resultado que no requiera el conocimiento de que

sea de valor acotado.

SOLUCIÓN:Como se tiene que es analítica en . Dado, para todo , tal que se tiene

max max

Tomando límite cuando se tiene | Como se tiene que Si para algún o sea que alcanza a suvalor máximo en un punto interior de una región por lo tanto es unaconstante .


67.Supóngase , donde es el semi-plano superior, y .

¿Qué tan grande puede ser ?. Hallar la función extrema. SOLUCIÓN:Consideremos la siguiente función: o; Esta función establece una correspondencia uno a uno entre del plano y del plano

es analítica en y se tiene . Si (nóteseque | | , luego . Aplicando un resultado básico ¿Cuál? se

recibe .

Pero

luego | .

68.Supóngase . ¿Bajo que condiciones puede tener un mínimo

local en ?SOLUCIÓN: Suponemos que en . es analítica en , por lo tanto

no tiene máximo local en , o sea que no tiene mínimo local

en . Si evidentemente es el mínimo absoluto de asíse tiene:Si tiene un cero en , | tiene mínimo local su valor es .

69.Supóngase . Pruebe que existe una sucesión en tal que

y es acotada.SOLUCIÓN:Sea min

Si no diverge a cuando el problema ya está demostrado.Supóngase que y llegaremos a un absurdo.Existe tal que si . Esto es, si . Los cerosde está en , esto implica que existe a lo más un número finitode ceros de , digamos Si es el grado del cero de en la función: no tiene un cero en , y es


analítica en . Como es analítica y se tiene que lo cual es contradictorio.

70.Si , sea denotando al anillo

. Existe una franja vertical que la función exponencial

aplica sobre . Use en la prueba el teorema de los tres círculos

de Hadamard: Si , si max

y si entonces

.log log loglog log

log log

En otras palabras, es una función convexa de ¿Para qué log log

se tiene la igualdad dominando a la desiguldad?SOLUCIÓN:De la hipótesis , la función esla aplicación de la franja vertical sobre el anillolog log

.

max max

log

Es conocido el siguiente resultado:Supóngase es continuaen , y supóngase que para todo y para algún

fijo. Si , entoncessup

.Aplicando este resultado reemplazando por log log

log log log log log log

O sea .log log log log log log

Como es una función convexa de , si se tiene la igualdadlog log

para algún entonces se tiene la igualdad para todo , .Esto es, es una función de primer grado de la variable olog log

sea son constantes .


son constantesmax

Por ejemplo, entero satisface esta condición.

71.Sea el semiplano derecho del plano ( si y sólo si )

supóngase que es continua en la adherencia de , y

existen constantes y tal que

exp

Además, para todo real . Probar que en .

Mostrar que la conclusión es falsa para .

¿Comó se tiene el resultado cuando la variedad es reemplazada por

una región acotada por dos rayos a través del origen, en un ángulo no

igual a ?

SOLUCIÓN: Sea tal que < < , sea es analítica en. (Se puede tomar su linea de discontinuidad en la recta real,

negativa!). Tenemos para dado .cos cos

Como se tienecos

ya que cos

esto es, | .Luego existe tal que implica | .

| en ya que su valor en la frontera es menoro igual que luego | si .

Tomando límite cuando si .

: Si tenemosEjemplo | , para todo real es continua en . Pero no satisface la desigualdad:

Consideremos la región indicada en la figura


Sea donde . Por el procedimienteseguido en se obtiene un resultado similar con la condición másamplia : .

72.Supóngase es la frontera de una región no acotada , es

continua en , y existen constantes y tales que

en y en . Probar que entonces tenemos en .SOLUCIÓN: Sin perdida de generalidad, suponemos que ø.

Sea cualquier punto de . Como es analítica en se tiene{ }

max

o sea

| para todo y todo max

Como no es acotado, puede ser tan grande como se quiera, así Tomando límite cuando


73.Sea una función entera. Si existe una aplicación continua de

en el plano complejo tal que y cuando

decimos que es un valor asintótico de En el plano complejo,

" cuando " significa que cada ahi corresponde un

tal que si Probar que cada función entera no

constante tiene a como un valor asintótico.SOLUCIÓN: Sea , si es una componente de se tieneque si . Nótese que es continua.

Si es acotado entonces es una región luego por el teorema delmódulo máximo , luego es constante contradictorio por que se esta suponiendo que no es constante.

Si es acotada en del problema 72 anterior se tiene que para todo . Por lo tanto no es acotado, o sea que contienealguna componente de .Definimos para como sigue: cualquier punto digamos de una componente de un punto de una componente de un punto de una componente de y así sucesivamente.Además la imagen de por es un arco contenido en el cual conecta a con . Así, es continua, definida en y cuando

74.Mostrar que tiene exactamente dos valores asintóticos: y . ¿Quéexp

acerca de y ?. Note que y están definidos para todosin cos sin cos

número complejo , por

.sin cos

SOLUCIÓN: Sea . Si se tiene cuando . Si se tiene cuando .Si y

se tiene que . Sea .log

Si se tiene que o , Si es acotado, entonces en este caso noconverge. Por lo tanto, tiene exactamente dos puntos asintóticos.

Análogamente a , es el único punto asintótico de y .sin cos


75.Si es entera y si no esta en el recorrido de , probar que es un

valor asintótico de .SOLUCIÓN: es una función entera, y . es entera,

entonces es un punto asintótico de , por lo tanto, es un puntoasintótico de .

76.Supóngase que es una región acotada, es una sucesión de

funciones continuas en que son holomorfas en , y converge

uniformemente en la frontera de . Probar que converge

uniformemente en .SOLUCIÓN: Dado existe tal que implica | para todo .Como es analítica en , continua en se tiene que

max max

esto es, es una sucesión de Cauchy para la convergencia uniforme en.

77.Supóngase que es una región acotada, , y lim sup

para toda sucesión en la cual converge a un punto de la frontera

de . Probar que para todo .SOLUCIÓN:Sea cualquier punto de . distancia entre y .En , sea tal que es máximo de entonces

.

Supóngase que para algún . Sea tal que, sea . Si ø se puede

construir , tal que converge a un punto de , pero,lim sup . Por lo tanto, ø o sea; la distanciaentre y esto es, . Sea tal que es elmáximo de en , entonces es el máximo de en ya que

en . Pero como , es un punto interior de

Nota: Si es constante en , evidentemente en .

78.Supóngase que es una región, es un disco , no

es constante y es constante en la frontera de . Pruebe que tiene al

menos un cero en .SOLUCIÓN:Supongamos que si . Si para todo se tiene que toma el mínimo en , o sea


Por el teorema del módulo máximo: para todo , luegoen o sea que es una constante en . Por lo tanto,

debe tener por lo menos un cero en .

79.Sea el espacio dual de un espacio de Banach . Una sucesión

en se dice converger débilmente para si cuando

, para cada . Note que débilmente, siempre que

en la norma de . La inversa no necesariamente es verdadera.

Por ejemplo, las funcionales en convergen débilmente para

(por la desigualdad de essel), pero cada una de estas funciones

tienen norma .

Probar que debe ser acotada si converge débilmente.

Supóngase que es un espacio de Banach separable y es una

sucesión en tal que es acotada. Probar que contiene una

subsucesión convergente débilmente.SOLUCIÓN: Sin perder generalidad suponemos que débilmente

Supongamos que Por definición de la norma en existe tal que De , se puede escoger una subsucesión de para mayor sencillezla notamos nuevamente , tal que si De se puede suponer

Sea

entonces ya que .

Tenemos:


.

Pero

luego

O sea que no converge a lo cual es contradictorio. Suponemos que para todo , demostremos que existe una

subsucesión de que converge débilmente.Como es separable, existe un conjunto medible denso en . Lasucesión es acotada, luego existe una subsucesiónconvergente: converge, .La sucesión es acotada, luego existe tal que

converge. Así sucesivamente:

converge cuando .Sea entonces por la construcción anterior: converge cuando , .Sea un punto cualquiera de , dado existe tal que Si son suficientemente grandes tenemos condición de Cauchy : De y se tiene:

esto es, converge , para todo . Se definecomo sigue: .lim

Evidentemente, y débilmente.*

80.Sean un abierto no vacío en , y . Supongamos

Mostrar que si es completamente diferenciable en el punto

entonces y son funciones diferenciables de en

el punto


Mostrar que si y son funciones diferenciables de en el

punto y cumpliendo en las ecuaciones de Cauchy-

Riemann, entonces es completamente diferenciable en el punto

.SOLUCIÓN: un conjunto abierto no vacío y . Comosiempre, se identifica y ; dada podemos escribir

,o indiferentemente.Ahora hay distinción entre como -diferenciable o considerada como

-diferenciable, y esto parece no estar bien claro para algunos es una bola perforada de en

por ejemplo; tal que

es -diferenciable en si y solamente si existe tal quelim lim tal que si y sólo si

tal que lim

Tomando y tenemos

Definiendo en la base canónica por , tenemos

que es una transformación lineal real y . es -diferenciable en si y sólo si

lineal real tal que para

con lim si y sólo si

lineal real tal que si y sólo silim

lineal real tal que lim

Tomando esto es son las componentes de ,tenemos que la matriz Jacobiana de en es

esto es, en la base canónica.Comparando y vemos que son exactamente las "condiciones deCauchy-Riemann" que permiten el paso de a siempre implica


como es claro). Resumiendo, tenemos: es -diferenciable en si y sólo si tal que si y sólo silim

lineal real tal que

y vale

lim si y sólo si

es -diferenciable en , y valenlas condiciones de Cauchy-Riemann

Así se puede afirmar: es -diferenciable en y son -diferenciables en .

81. Mostrar que la serie no converge uniformemente en su disco de

convergencia.

SOLUCIÓN:Sea ; . Supongamos que converge

uniformemente en . Entonces dado existe tal que ,

.

En particular, existe tal que tenemos

lo cual es imposible ( pues es continua en por ejemplo)

82.Sea una serie formal con radio de convergencia

. Para sea y,

Tomando , y, mostrar que

con

SOLUCIÓN:Sea . Tenemos que y .

Además , pues;

Luego por un resultado básico ¿cuál? pues . Sea se tiene . Luego


Pero ; si entonces lo cual es falso.Luego y se tiene

Sean y . Por el mismo argumento

pues ya sabemos que . Luego donde

.

Pero esto implica que .

83.Mostrar que , lim

SOLUCIÓN: Dado que

mostremos que lim

Sean y dado. Sea tal que y .

Pero para la función definida por

es continua y . Como cuando para tenemos que existe tal que tenemos

-

pues > . Sea max

Sea arbitrario tal que . Entonces y ,max

obteniéndose;

.

84.Sean y conjuntos abiertos conexos de , con ø una

función analítica en , y una función analítica en , prolongamiento1


analítico de . Sean y un camino simple de a en

. Mostrar que la expansión en serie de en rededor de ,

puede ser obtenida a partir de la expansión en serie de en rededor de

por extensión analítica a lo largo de .SOLUCIÓN: Sea analítica en el abierto , esto es, dado existen y tal que y

La definición de que sea analítica en no especifica el módulo de ;pero vemos que existe un máximo. Sea

sup y

Tenemosmin

(con la fórmula integral de Cauchy es posible verificar que).

Para obtener la serie del desarrollo de en rededor de enfunción de la serie del desarrollo de en rededor de un punto tenemos por un resultado básico ¿cuál? , para el caso en el que

. Se tiene: La serie tiene radio de

convergencia y para tenemos

esto es (por la unicidad del desarrollo en serie)

.

Supongamos ahora que es arbitrario, pero que es uncamino simple tal que . Es claro que, por la compacidadde | |, podemos extraer del recubrimiento unsubrecubrimiento finito de tal que . Elproblema es que apenas hemos obtenido, necesariamente,

. Para que esto valga, es suficiente que los radiosmáximos , | | tengan un ínfimo positivo. (De hecho, si

para | | entonces basta tomar un subrecubrimiento finitode para obtener

tomamos los tales que ).En general, dado , tenemos que

inf

puede ser nulo, pero si es compacto tenemos que . Enotras palabrasLEMA: Dado un conjunto compacto, existe tal quepara todo se tiene


En particular, y .inf

Demostremos el lema: Supongamos que . Dado existe tal que .

Por la compacidad de podemos suponer, sin perder generalidad, queexiste tal que .Sean tal que y tal que

. Como tenemos ,lo cual es imposible(Con la fórmula integral de Cauchy se podrá verificar directamente que

).En el caso, como es compacto, existe tal que

para y obtenemos tales que

| | con y .

Entonces

o sea, es obtenido en función de . Como los son ennúmero finito, es claro que podemos obtener en funciónde .

. En el ejercicio propuesto, = con conjunto abierto conexoy es analítica en , con un prolongamiento analítico de .Por la unicidad de tal prolongamiento, existe una única función analitica en tal que por unicidad del desarrollo en serietenemos que es el prolongamiento de en el sentido de y

es el prolongamiento de en rededor de

85.Sea una serie formal, cuyos coeficientes están definidos

respectivamente por las fórmulas

si

donde .

Mostrar que para , donde .max

Deducir que

Muestre que para ,

Sean los ceros de la ecuación . Usar para

mostrar que los pueden ser expresados en términos de , y deducir


que Sea una serie formal, cuyosmin .

coeficientes están definidos respectivamente por las fórmulas

si

donde .

SOLUCIÓN: Sean arbitrarios y la serie

formal dada por para .

Sea . Entonces y . Tenemosmax

| ; supongamos que para , entoncestenemos que

Luego | para .

Como tenemoslim sup lim sup lim

.lim sup

Sea la serie dada para

, y .Tenemos y pues y

.

Como tenemos, para Sea tal que . Si , entonces

lo cual es imposible pues . Luego .Tenemos entonces que

min

En particular, , de modo que para

.Sean tales que . Entonces y

tenemos . De con se sigue

que y = . Entonces

esto es, para tenemos

Pero con es tal que y


para .

Además es claro que

y tal que y para .Entonces es claro que

donde y para de

donde se deduce que

.

Además, , luego min min

(Obsérvese que , implica que , de donde ytenemos .)

Antes de estudiar los problema que siguen; veamos el siguienteresultado:Si es un camino diferenciable no abierto y

es continua en tenemos que es definido por

donde es una forma diferencial.

Como tenemos

86.Sea una función compleja continua sobre la circunferencia

. Mostrar que

SOLUCIÓN:Sean un abierto tal que , dadapor y función continua en .

Sean definida por y definida por

. Como

y , tenemos

donde es dada por . Por definición se sigue


OBS: Sea continua. Entonces

En efecto; tomando tenemos y

pues .

87.Sean un abierto conexo de , una función analítica en , y un

camino diferenciable cerrado en . Mostrar que el número

es imaginario puro.SOLUCIÓN:Sea un camino diferenciable en un abierto ysea analítica. Tomando tenemos y por lo

tanto es dada por

de modo que tomando tenemos que

con y ecuación de C-R

.

Pero .

Lo cual implica que

pues luego

es un imaginario puro.

88.Sea un cuerpo conmutativo, una indeterminada, y

el álgebra de las series formales con coeficientes en Para en ,

se define si

si y Muestre que define una distancia en el conjunto

Muestre que las aplicaciones: definidas en

, a valores en , son continuas con respecto a la topología definida

por la métrica .


Muestre que el álgebra de los polinomios, como subconjuntos de

es denso en toda parte en

Muestre que el espacio métrico es completo, (si es una sucesión

de Cauchy en note que, para todo entero , los primeros

términos de no dependen de suficientemente grande)

¿La aplicación la derivada de es continua?SOLUCIÓN: Si , entonces según la definición

se tiene trivialmente. Sean , se tienen varios casos; si entonces

trivialmente, según la hipótesisSi , sea se tiene , como

se tiene de donde o , entonces o, de donde concluimos que

(alguna potencia de , o, puede ser infinto) luego

Consideremos la función : y la métrica nos indica

que

donde

ya que si se tiene trivialmente la continuidad, ahora se tiene

de donde o, entonces

max

o sea quemax

lo cual demuestra la continuidad. Considérese ahora la función es bilineal

Vamos a mostrar la continuidad en . Se sabe queademás , esto implica quemaxmax

lo cual muestra la continuidad.Sea el álgebra de los polinomios. Sea . Si

puede ser que , se desea mostrar que


Afirmación: es continua y lim

Según esta afirmación entonces dado existe entero tal que .Tomando ahora el polinomio

tenemos

de donde .

Sea una sucesión de Cauchy, o sea si

entonces dado existe tal que tenemos

Tomando la serie , donde . La definición de los lim

es justificada por lo siguiente: tomando arbitrariamente grande en para la sucesión a partir de grande,

tiene todos los iguales, para , aún que para , los puedenno ser iguales para , entonces, dado , existe tal que para

Como es lineal; es continua pues ,

y

89.Sean enteros . Sea la serie entera formal

y supóngase .

Muestre por recurrencia sobre n, la relación

y deduzca por recurrencia sobre el desarrollo

donde designa el coeficiente binomial

Utilizando , muestre la relación

SOLUCIÓN: Para tenemos trivialmente


Supongamos válido para o sea

Ahora +

para

para

Supongamos válido para , esto es,

Veámoslo para

donde

Luego .

o sea

donde

y

Comparando los coeficientes de se sigue que

lo cual queriamos demostrar.


90.Sean dos series enteras formales

, y ,

y supóngase que

(siendo entero). Muestre las relaciones siguientes:

y si .

SOLUCIÓN: lim sup lim sup lim sup

.lim sup lim sup

Ahora sea , puesto que

entonces .También se tiene que o sea que si entonces

91.Siendo y en , no siendo un entero . Cual es el radio de

convergencia de la serie

Muestre que su suma , para satisface a la ecuación

diferencial

SOLUCIÓN:Sea una serie de potencias, sabemos que si

lim sup

entonces la serie converge, luego

, o , lim sup lim sup

y la serie es convergente.

Si o la serie es divergente, luegolim sup lim sup

lim sup

Volvamos a nuestro problema

lim sup


lim sup

lim sup lim sup lim sup

Luego .La segunda parte es solo hacer cuentas.

92. Muestre que, si son números reales, un número entero mayor

que o igual a se tiene

cos cos sin sin

sin sin sin sin

SOLUCIÓN: cos sin

sin

sin

cos sinsin

sin

Comparando la parte real y la parte imaginaria se obtienen las fórmulasdeseadas.

93.Muestre que se tiene la siguiente desigualdad para todo

SOLUCIÓN:

Ahora

|

0 sea | .

94.Muestre que la función de una variable compleja definida por

resp. cos sin

es el prolongamiento analítico, en todo el plano de la función

cos sin resp. .

Muestre que se tiene para cualesquiera

cos cos cos sin sin


sin sin cos cos sin

cos sin

SOLUCIÓN: cos y son analíticas en y se tienecos cos

Ahora para cos

continuando así se llega a que cos

Ahora,cos sin

entonces

cos sin sin sin

cos cos sin sin sin cos cos sin

Comparando parte real e imaginaria se tienecos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin

Ahoracos sin

95.Muestre que se tiene

para , .sin

SOLUCIÓN:La función es entera y decrece de a en luego cos sin

crece desde a en pues y cos sin cossin

Tomando tenemos quesin

cos

entonces es creciente en .Como entonces o sea desin

donde sin

Sea ahora , tomando su derivada tenemossin

cos

Se sabe que es una función biyectiva luego existe uncos

único tal que entoncescos

si y si Luego; crece en toma y decrece en Como y tenemos que sin

Luego sin

96.Sea , reales Muestre que se tiene


, , sin sin sinh cos cos sinh

Determine los ceros de las funciones (donde es unsin cos

número real )

Muestre que, si , y si es un entero positivo, se tiene

para sinsin cosh

cosh

y

, para sinsin

cosh

sinh

SOLUCIÓN: |sin sin sin

sinh sin sinh .

|cos cos cos

cos sinh

entoncessin sin sinh

y Ahora

cos cos sinh

o sea . ,

sinsin

sin sin sinh

sin sin cos cos sin

sinh

sin cos

.cosh

cos

Como se tienecosh cos

|cos cosh cosh

de dondesinsin cosh

cosh

Ahora para se tiene

=sinsin

sin sin sinh sinh c

sin sin sinh sinh

osh

sinh

.sinh sin sinh

.

Luego sinsin

cosh

sinh.

97.Sean dos sucesiones numericas, con las siguientes

propiedades :

existe una constante tal que ,


los números son reales y

Muestre que para se tiene:

|

SOLUCIÓN:Sea ahora; | |

98.Con la misma hipótesis del problema 97, sea una serie

formal entera con coeficientes complejos tales que , y sea

sea convergente. Utilice el problema 97 para mostrar que la serie

converge uniformemente en el intervalo de y concluya que

lim

SOLUCIÓN:Sea , tenemos que

Como es convergente entonces ,

por el problema 97 se sigue que

|

De donde se obtiene la convergencia uniforme.

99. Asigne verdad o falsedad a cada una de las siguientes afirmaciones

justificando la asignación:

Sea un abierto simplemente conexo del plano complejo. Toda

función holomorfa , con para todo , es de la forma

donde es holomorfa en .

Si es holomorfa en un abierto conteniendo el disco unitario y

para todo de módulo entonces es un número

entero.

Si es holomorfa en un abierto conteniendo al disco unitario y

siempre que , entonces .


SOLUCIÓN: ; pues en estas condiciones es holomorfa enVerdadero

abierto simplemente conexo. Luego existe holomorfa en tal que y tenemos entonces que

Luego, donde es una constante. Hágase y

entonces y donde es holomorfa en ; y holomorfa. Defínase porVerdadero

. Como en entonces existe en y por unresultado básico ¿cuál? tenemos

Entonces es un número entero.

; por el teorema de Cauchy, se tieneVerdadero

y entonces

de donde

y entonces si , tenemos y Luego

lo que calculando da cero.

100.Sea una función entera. Si existen una constante y un entero

tales que

para todo fuera de un cierto círculo de radio , probar que es un

polinomio de grado SOLUCIÓN: Existe , y tal que si Tomemos

por y entonces tenemos que es unasingularidad aislada de .

Si , entonces y Así , luego no es denso en enesta forma no es singularidad esencial de .

También si y si | luego no es acotada enninguna vecindad del cero, en esta forma no es singularidad evitable

de . De y entonces es un polo de . Si

es entera . Entonces y como es un polo,existe tal que , si y entonces y es un polinomio. Tenemos aún que


y si entonces en todas partes aparece en el denominador yentonces si , contradictorio al hecho de ser ,

entonces .

101.Sea una función holomorfa definida en un abierto conexo

conteniendo al disco unitario . Si sólo toma valores reales en el

círculo unitario frontera de entonces es constante.SOLUCIÓN:Sea Entonces es

holomorfa en y tenemos

y entonces

Luego

pues la parte real de en , según la hipótesis. Luego, por prolongamiento analítico y por ser conexo,

tenemos que

Entonces y . Usando las condicionesde Cauchy-Riemann, se tiene , luego Como es conexo, se sigue que es constante en .



Si la serie de potencias y , tiene radio de

convergencia , entonces existe algún punto del círculo en el

cual la serie diverge.

Si es una función entera que nunca toma valores reales,

entonces es constante.

Si es holomorfa en un disco abierto entonces para todo

par existe tal que .

SOLUCIÓN: La serie donde convergeFalso; lim

para todo tal que , pues ahí la serie de valores absolutos queda.


Por otro lado, la serie no converge en ningún punto tal que

pues deberiamos tener , lo cual es falso si .lim

La serie converge en todos los puntos tales que

menos en , pues en este caso.

Finalmente converge si y no converge en .

Verdadero; Si , donde tenemos que y por la condición de Cauchy-Riemann,

tenemos entonces , y como es conexotenemos es constante.

Falso; Tomemos dada por escos sin

holomorfa en todo disco abierto y además de eso .Por otro lado, tenemos y

cos sin

cos sin

y entonces

103.Muestre, por el método de los residuos que, para sin .

SOLUCIÓN:Se define

Polos de con es sólo lim

Entonces

Por otro lado,

Usando el hecho de que . Entonces haciendolim

en se tiene


Para

Sea , este existe dado quesup sup

lim en esta forma

sin sin

Pero para , ,sin

entonces

exp

Tenemos entonces que

Entoncescos sin

De dondesin



Sea un abierto en , entonces es analítica si y sólo si toda

curva cerrada en .

Sea una serie de potencias con radio de

convergencia , el cual converge en todos los puntos del círculo

. Entonces para algún punto del círculo la convergencia es

condicional.

Sea una función analítica en tal que

lim . Entonces existe un polinomio y una función analítica

en tal que si .

SOLUCIÓN: ; si es abierto simplemente conexo y es Falsoanalítica en entonces por el teorema de Cauchy, tenemos .

Si es continua en , que supuestamente es simplemente conexo y si para toda curva cerrada en , entonces es analítica en

Teorema de Morera .

Si no es simplemente conexo, por ejemplo y es

holomorfa a , entonces tenemos que si .


Falso; Por ejemplo, converge en todos los puntos del

círculo de convergencia de radio .Verdadero; es analítica en . La condición lim

significa que es un polo de y entonces .

Tómese y y entonces .

105.Sea una función analítica en para .

Pruebe que si uniformemente en los compactos de , entonces

uniformemente en los compactos de .SOLUCIÓN: . Como la convergencia es uniforme en cadacompacto de , entonces si existe un disco de centro

contenido en y entonces , uniformemente, luego es

continua en y también lo es.Sea ahora el contorno de una curva cerrada junto con su interior en .Por el teorema de Cauchy, tenemos y también que

lim

Luego, por el teorema de Morera, es holomorfa en .Pasando al ejercicio propiamente dicho

Si abierto es compacto, entonces existe tal que y tenemos que es compacto, luego

uniformemente en .Suponga dado, existe tal que implica que | función de , Sea ahora , arbitrario. Entonces luego vale . Por el teorema de Cauchy, tenemos si que


sup

esta última desigualdad es debida a .Si tomáramos en , tenemos entonces paraun arbitrario y . Luego uniformemente en .

106.Sea función compleja analítica en y tal que

para todo en . Si

y si para algún en pruebe que es un polinomio

de grado .

SOLUCIÓN: y . Como es analítica en ,entonces donde , luego para todo

, entonces

Definimos : por . Luego es

analítica en , pues es escrita como serie de potencias convergentes ytambién |

Tome y entonces si | | tenemos que . Por el

teorema del módulo máximo, el máximo de en es tomado en lafrontera luego | ,

Haciendo concluimos que | . Como, entonces es un máximo local de en y siendo

analítica en , entonces en , de donde | .Luego .



Sea un abierto simplemente conexo del plano complejo tal que

. Entonces existe una función , holomorfa en , tal que

para todo .

Si es una función entera y , para todo real ,

entonces


Existe una función holomorfa no constante en el disco de centro

y radio tal que , para todo y .

Todo automorfismo conforme del plano complejo que deja fijo el

origen es de la forma .

Sea una singularidad aislada de la función . Supongamos que

exista una sucesión , para todo n, con lim

lim . Entonces es un polo de .

SOLUCIÓN: : Sabemos que es simplemente conexo todaVerdaderofunción holomorfa que no tiene ceros en posee logaritmo holomorfoen . Definamos por y como tenemos que existe holomorfa en tal que entonces

. : Tómese entera dada por yVerdadero

donde entonces . : Si y , entonces sería un máximo local en elFalso

interior de , se sigue que sería constante en por el principio delmódulo máximo.

: Toda transformación conforme es del tipo Verdadero

y como tiene que ser de en entonces , luego, . Como entonces de donde

con . : Tómese que tiene singularidad esencial en y tomeFalso

.

108.Sea una función entera. Supongamos que existe tal que

si . Probar que es un polinomio.

SOLUCIÓN:Cuando es entera entonces . Definimos

entonces por

Si entonces y en esta forma , luego no es denso en y por lo tanto no es singularidad esencial

de . Lo anterior implica que es evitable o es un polo de .Si es un polo, entonces , de donde para setiene que , en esta forma es unpolinomio.Si es evitable entonces lo que sólo es posible si

así se tiene que es constante.


109.Sean números complejos, dos a dos distintos. Sea la

función

Sea un entero positivo. Calcular los residuos de la función para

cada .

Sean dos números reales tales que

para todo .

Sea la corona : .

Aplicar a y a la función entero positivo el teorema de los

residuos. Tomar y calcular , donde es el círculo de

centro y radio .SOLUCIÓN:

Sea suponiendo . Como los son polos

simples de orden , entonceslim lim

, esto es , todos los estan dentro de la corona

Por la teoría general de residuos se sigue que

.

Teniendo en cuenta las orientaciones de y tenemos

por lo tanto .

Cuando , entonces .

Luego; .




Sea un abierto del plano una función real armónica definida

en . Entonces existe una función holomorfa en tal que es la parte

real de .

Toda serie de potencias es uniformemente convergente en el

disco de convergencia.

La función , definida por es cerrada.

Sea una función holomorfa en una vecindad del disco cerrado

, tal que para todo , con se tenga .

Entonces, cualquiera que sea el entero la ecuación tiene

exactamente raíces en el disco abierto .SOLUCIÓN: localmente es verdadero (y también si esFalso;simplemente conexo) nolog log

es parte real de una función en por que el logaritmo no tiene valoresúnicos en .

la serie no converge uniformemente en el disco .Falso;

es cerrado en y no es cerradoFalso;en , pues es un punto límite y .

Verdadero; tome en y entonces para cualquier talque | | , tenemos , luego por el teoremade Rouchè, tiene soluciones.

111.A la siguiente afirmación asignar verdadero o falso, justificando

concisamente la respuesta:

Sea una función entera tal que existan constantes y un

entero con para . Entonces es un polinomio

de grado .

SOLUCIÓN:Es pues sea la expansión de en serieverdadero;

y donde .

Tenemos quemax max

Como es arbitrario, tomando , entonces , por lo tanto entonces y tenemos , luego .


112.Mostrar que para todo entero .

SOLUCIÓN:Haciendo , entonces tiene los

polos en y , ambos de orden el polo está situada por encimadel eje real. Entonces, por la fórmula del cálculo de integrales indefinidas,tenemos , donde es el residuo de en ;

calculemos considerando la función

tiene una singularidad evitable en y . Entonces por la fórmula deexpansión de en serie de Taylor alrededor de , tenemos que

Calculando por simple derivación, tenemos

y entonces

y entonces .

Luego

113.Sea abierto y conexo, y una sucesión de funciones

holomorfas y biunívocas en , uniformemente convergentes en los

subconjuntos compactos de para una función holomorfa . Mostrar

que o es biunívoca o es constante.SOLUCIÓN:Sea un compacto así uniformemente, vamos ausar el hecho de que uniformemente en las partes compactas de

. Supongamos que no es constante en . Si no es biunívoca, existe y tal que . Como cada es uno a uno

y .Dado que no es constante y es conexo, es un cero aislado de

, luego existe un círculo cerrado de centro , tal que


, y no tiene otro cero que en . La

multiplicidad de en es dada por . Luegolim

lim

lim lim

pues cada es holomorfa en y es una curva cerrada.

Entonces la multiplicidad de es cero, luego no es un cero de enesta forma es biunívoca.

. Se conoce el siguiente resultado básico:Supóngase y tiene un cero de

orden en el punto Entonces tiene un polo simple en y . ,

. , , Si tiene un polo de orden en y entonces

.

.

114.Sean dos abiertos conformemente equivalentes de Entonces si

es simplemente conexo, entonces también es simplemente conexo.SOLUCIÓN: Sea una equivalencia conforme, y doscurvas continuas con los mismos extremos. Entonces son curvas continuas con los mismos extremos. Si es simplementeconexo existe una homotopía entre y manteniendo los extremos fijos. Entonces es una homotopía entre y manteniendo los extremos de donde essimplemente conexo.

115.Sea un disco abierto de centro y radio . Sean ,

. Entonces


es una equivalencia conforme de sobre Recíprocamente, toda

equivalencia conforme de sobre es de esta forma.SOLUCIÓN:La transformación es definida en porque . La

imagen de es . Para probar que es una equivalenciaconforme basta mostrar que el círculo unitario estransformado en el mismo círculo . Como la imagen de es un

círculo. Basta entonces verificar que (porqueun círculo es determinado por tres puntos) lo que es un cálculo directo.Sea ahora una equivalencia conforme cualquiera. Tenemos lassiguientes posibilidades:

. Si , porque . Aplicando el lema deSchwarz a tenemos: si La transformación inversa también satisface a las condicionesdel Lema de Schwarz, luego si Si también . Podemos aplicar entonces la desigualdad a

. Tenemos

Por lo tanto, como si .Se sigue de esto y de la primera desigualdad que si Aplicando a la segunda afirmación del lema de Schwarz tenemos que esde la forma: Escribiendo , tenemos:

la cual es una transformación del tipo .En general, sea . Luego, . Sea ,

entonces, por lo probado en , es una equivalencia conforme de sobre . Por lo tanto es también una equivalencia conforme de sobre . Luego, es una equivalencia conforme de sobre . Perocomo tenemos . Luego,

Entonces podemos aplicar a lo probado en la posibilidad . Sesigue de aquí que

Luego ,

lo cual desabamos mostrar.


APENDICE

Estoy seguro que si el navegante ha estudiado con cuidado estaasignatura, está en capacidad de resolver por cuenta propia, problemascomo los que a continuación les propongo, los cuales pueden serconsiderados como una prueba para chequearse, con el fin de prepararsepara un examen de calificación



Una función holomorfa definida en un abierto simplemente conexo

es inyectiva en si y solamente si , . Todo automorfismo del disco puede ser extendido

a un automorfismo de la esfera de Riemann. Dado un disco abierto ø en , siempre existe un isomorfismo de

la esfera de Riemann sobre . Sean ø un abierto de una sucesión en y , tales

que toda subsucesión de contiene una subsucesión convergente para uniformemente en el interior de . Entonces uniformemente en

el interior de . El grupo de los automorfismos del semi-plano esta

constituido por las transformaciones homográficas tales quey .

117.Calcular por el método de los residuos la integral donde sin

Hacer todas las pruebas

118.Sean , una familia normal de funcionesholomorfas sobre , una sucesión en tal que para todo entero existe . Mostrar que la sucesión es uniformementelim

convergente en el interior de .

119.Sean un abierto simplemente conexo no vacío de ,, , y un isomorfismo de sobre con .

Dar, en términos de , la expresión general de todos los isomorfismos de sobre tales que .

120. Hallar una transformación homográfica que transforme el semi-disco en el cuadranteSugestión:

Hallar un isomorfismo del sector circular arg

sobre el semi-plano




Si es una forma diferencial definida en un abierto ø de con la

propiedad de que para todo par de caminos cerrados homotópicosen , entonces es una forma cerrada.

Sea una función meromorfa en , holomorfa en el punto , y talque la serie de Taylor de en tiene radio de convergencia igual a .Entonces existe un polo de con | .

Sean un disco abierto en y una función meromorfa en lavecindad de , sin polos sobre , con un punto singular aislado , ytal que . Entonces la singularidad en es removible.

Sean un abierto de , una función holomorfa con , y undisco abierto con . Entonces la función toma el mínimo de susvalores en en un punto de .

Sean ;| | , y una función holomorfa en una vecindadde , tal que si , entonces . Entonces tieneexactamente un cero simple en .

122.Sea .

Hallar una serie de Laurent de en el punto .Hallar la serie de Laurent de en el exterior del disco .¿Cuales son los valores de y ?

123.Sea el camino dado por la fórmula:, si

- , si , si

cos sin

cos sin

cos sin

Calcular .

124.Sea ø un abierto conexo de , y una función holomorfa noconstante definida en . Mostrar que la aplicación es abierta, esdecir, que cualquiera que sea el abierto , o el conjunto esabierto en .

125. Sea ø un abierto conexo y acotado de , una funciónholomorfa en , y tal que toda sucesión de sea convergentepara un punto de , . Mostrar que , .lim sup

126.Definir: Producto formal de dos series de potencias Radio de convergencia de una serie de potencias. Disco de convergencia de una serie de potencias. Función analítica en un punto.


Función analítica en un abierto.

127.Sean un abierto de , y unafunción holomorfa en ; supongamos que existen tres constantes reales

con , tales que .Mostrar que es constante en .

128.Sean un abierto conexo de una sucesión en convergente para , con y dos funciones analíticas en ,tales que , y . Mostrar que si

entonces existe una constante , tal que , .

129.Sea una serie formal de potencias con y ,

. Para , sea , .

Mostrar que la función no es prolongable analíticamente más alla delpunto .Sugerencia: Si se supone prolongable, existiria tal que laexpansión en serie de potencias de tendría un radio deconvergencia mayor que .

130.Sea un abierto conexo de , tal que , donde.

Mostrar que la función es injectiva en . Para , defínase como el único , tal que . Mostrar

que es continua en (y por lo tanto una rama es )log

Probar que es holomorfa en , y que Sugerencia: Para , y usar

Hallar una expansión de la función en serie de potencias de .¿Cuál es el radio de convergencia de la serie?

Hallar la expansión de en serie de potencias de .

BIBLIOGRAFIA

- Ahlfors, Lars V., , McGraw-Hill Book Company, Inc.Complex AnalysisTokyo, 1953.- Apostol, Tom.M., , Editorial Reverté,S.A., 1960.Análisis Matemático

- Apostol, Tom.M., Springer-Introduction to analytic number theory, Verlag, N.Y., 1976.


- Théorie élémentaire des fonctions analytiques d´une ouCartan, Henri,

plusieurs variables complexes, Hermann, París 1961.

- Curtiss, D.R., , DoverAnalytic functions of a complex variablepublications, Inc., N.Y. 1967.- Churchill, Ruel V., 2a.Edición,Complex variables and applications,McGraw-Hill Book Company, Inc. 1960.- Derrick, W.R., , Grupo EditorialVariable compleja con aplicacionesIberoamérica, 1987.- Dieudonné, Jean, Hermann, París 1968.Calcul infinitésimal,

- Dieudonné, Jean, , Academic Press, N.Y.Foundations of modern analysis1969.- Nieto, José I., , U.P., Washington, 1968.Funciones de variable comleja

- Rudin, Walter, , McGraw-Hill Book Company,Real and complex analysisN.Y. 1966.- Takeuchi Yu, Suarez Rafael, ,Teoría de funciones de variable complejaDepto.Matemáticas, U.N. Bogotá, 1968.

Espero que el lector haya obtenido algún provecho de este trabajoen el aprendizaje de la teoría de funciones de variable Compleja.En esta forma se completa la parte del Analisis, propuesta en esteproyecto deaprendizaje en matemática avanzada.

Quiero agradecer a mi hijo Juan Armando quien ha sido un animador permanente de este proyecto de aprendizaje enmatemática avanzada y que sin él habría sido imposible realizarlo. También a mi esposa Nohora quien leyó todos losoriginales y cuidó del buen manejo del lenguaje español. A la ingeniera Esperanza Nieto quien gentilmente ha leído grannúmero de los temas que han salido al ciberespacio.

Exitos y bienvenidos a la investigación por internet.Cualquier comentario favor hacerlo llegar a:

[email protected],[email protected]

Copyright© Darío Sánchez Hernández

Variable Compleja/ Complex Variable

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