6. Variable aleatoriaUna variable aleatoria es una funcin, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a nmeros reales (p.e., su suma). Unavariable aleatoriaovariable estocsticaes unavariable estadsticacuyos valores se obtienen de mediciones en experimento aleatorio.Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento an no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medicin incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; unadistribucin de probabilidadse usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lgicos, funciones... El trminoelemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el deproceso estocstico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).Definicin de variable aleatoriaUna variable aleatoria puede concebirse como unvalor numricoque est afectado por el azar. Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomar esta al ser medida o determinada, aunque s se conoce que existe unadistribucin de probabilidadasociada al conjunto de valores posibles. Por ejemplo, en una epidemia de clera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cul de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.Para trabajar de manera slida con variables aleatorias en general es necesario considerar un gran nmero deexperimentos aleatorios, para su tratamiento estadstico, cuantificar los resultados de modo que se asigne un nmero real a cada uno de losresultados posiblesdel experimento. De este modo se establece unarelacin funcionalentre elementos delespacio muestralasociado al experimento y nmeros reales.

Definicin formalUnavariable aleatoria(v.a.)Xes una funcin real definida en el espacio muestral, , asociado a un experimento aleatorio.12

La definicin formal anterior involucra conceptos matemticos sofisticados procedentes de lateora de la medida, concretamente la nocin de espacio de probabilidad.34Dado un espacio de probabilidady unespacio medible, unaaplicacines unavariable aleatoriasi es una aplicacin-medible.En la mayora de los de), quedando pues la definicin de esta manera:Dado unespacio de probabilidaduna variable aleatoria real es cualquierfuncin-medibledondees la-lgebraboreliana.

Rango de una variable aleatoriaSe llamarangode una variable aleatoriaXy lo denotaremos RX, a la imagen o rango de la funcin, es decir, al conjunto de los valores reales que sta puede tomar, segn la aplicacin X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es elrecorridode la funcin por la que sta queda definida:...

EjemploSupongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es,donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el nmero de caras obtenidas. De este modo se definira la variable aleatoria X como la funcin

dada por

El recorrido o rango de esta funcin, RX, es el conjunto

Caracterizacin de variables aleatoriasTipos de variables aleatoriasPara comprender de una manera ms amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definicin deconjunto discreto. Un conjunto es discreto si est formado por un nmero finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y as sucesivamente.5 Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en lafuncin de cuanta. (Vanse lasdistribuciones de variable discreta). Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es unconjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de nmeros reales. Por ejemplo, la variable que asigna laestaturaa una persona extrada de una determinada poblacin es una variable continua ya que, tericamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.6(Vanse lasdistribuciones de variable continua).

Distribucin de probabilidad de una v.a.Ladistribucin de probabilidadde una v.a. X, tambin llamadafuncin de distribucinde X es lafuncin, que asigna a cada evento definido sobreunaprobabilidaddada por la siguiente expresin:

Y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:1. y2. Escontinua por la derecha.3. Esmontona no decreciente.La distribucin de probabilidad de una v.a. describe tericamente la forma en que varan los resultados de un experimento aleatorio. Intuitivamente se tratara de una lista de los resultados posibles de un experimento con lasprobabilidadesque se esperaran ver asociadas con cada resultado.

Funcin de densidad de una v.a. continuaLafuncin de densidad de probabilidad(FDP) o, simplemente, funcin de densidad, representada comnmente comof(x), se utiliza con el propsito de conocer cmo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relacin al resultado del suceso.La FDP es laderivada(ordinaria o en el sentido de lasdistribuciones) de la funcin dedistribucin de probabilidadF(x), o de manera inversa, la funcin de distribucin es laintegralde la funcin de densidad:

La funcin de densidad de una v.a. determina la concentracin de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.Funciones de variables aleatoriasSea una variable aleatoriasobrey unafuncin medible de Borel, entoncesser tambin una variable aleatoria sobre, dado que la composicin de funciones medibles tambin es medible a no ser quesea unafuncin medible de Lebesgue. El mismo procedimiento que permite ir de un espacio de probabilidadapuede ser utilizado para obtener la distribucin de. Lafuncin de probabilidad acumuladadees

Si la funcinges invertible, es decirg-1existe, y es montona creciente, entonces la anterior relacin puede ser extendida para obtener

y, trabajando de nuevo bajo las mismas hiptesis deinvertibilidaddegy asumiendo adems diferenciabilidad, podemos hallar la relacin entre las funciones de densidad de probabilidad al diferenciar ambos trminos respecto dey, obteniendo.Signo es invertible pero cadaytiene un nmero finito de races, entonces la relacin previa con la funcin de densidad de probabilidad puede generalizarse como

dondexi= gi-1(y). Las frmulas de densidad no requieren quegsea creciente.

EjemploSeaXuna variable aleatoria real continua y seaY=X2.

Siy< 0, entonces P(X2=y) = 0, por lo tanto

Siy 0, entonces

por lo tanto

Parmetros de una v.a.:Parmetro estadsticoLa funcin de densidad o la distribucin de probabilidad de una v.a. contiene exhaustivamente toda la informacin sobre la variable. Sin embargo resulta conveniente resumir sus caractersticas principales con unos cuantos valores numricos. Estos son, fundamentalmente laesperanzay lavarianza.

Esperanza:Esperanza matemticaLaesperanza matemtica(o simplementeesperanza) ovalor esperadode una v.a. es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es lamedia aritmtica.

Para una variable aleatoria discreta con valores posiblesy sus probabilidades representadas por lafuncin de probabilidadla esperanza se calcula como:

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y lafuncin de densidad:

oLa esperanza tambin se suele simbolizar conEl concepto de esperanza se asocia comnmente en losjuegos de azaral de beneficio medio o beneficio esperado a largo plazo.

VarianzaLavarianzaes una medida dedispersinde una variable aleatoriarespecto a suesperanza. Se define como laesperanzade la transformacin:o bien

Convolucin

Convolucin en un dispositivo ptico (microscopio de fluorescencia, corte longitudinal de una imagen 3D).

Convolucin de dos Pulsos Cuadrados (La funcin resultante termina siendo un Pulso Triangular).

Convolucin de un Pulso Cuadrado (como seal de entrada) con la respuesta al impulso de un condensador para obtener la seal de salida (respuesta del condensador a dicha seal).

Explicacin visual de la convolucin: # Expresar cada funcin en trminos de una variable ficticia . # Reflejar una de las funciones: g() g(-). # Aadir un tiempo de desplazamiento t, lo que permite que g(t - ) se deslice a lo largo del eje . # Hacer t igual a - y deslizarlo hasta llegar a +. Siempre que las dos funciones se intersequen, encontrar la integral de su producto. En otras palabras, calcular el promedio ponderado desplazado de la funcin f(), donde la funcin peso es g(-). La forma de onda resultante (no mostrada aqu) es la convolucin de las funciones f y g. Si f(t) es un impulso unitario, el resultado de este proceso es simplemente g(t), que se denomina por tanto la respuesta del impulso.Enmatemticasy, en particular,anlisis funcional, unaconvolucines unoperadormatemtico que transforma dos funcionesfygen una tercera funcin que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponenfy una versin trasladada e invertida deg. Una convolucin es un tipo muy general demedia mvil, como se puede observar si una de las funciones se toma como lafuncin caractersticade unintervalo.

DefinicinLa convolucin deyse denota. Se define como la integral del producto de ambas funciones despus de desplazar una de ellas una distancia.

El intervalo de integracin depender deldominiosobre el que estn definidas las funciones. En el caso de un rango de integracin finito,fygse consideran a menudo como extendidas, peridicamente en ambas direcciones, tal que el trminog(t- ) no implique una violacin en el rango. Cuando usamos estos dominios peridicos la convolucin a veces se llamacclica. Desde luego que tambin es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el deconvolucin lineal, especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo.Sieson dosvariables aleatoriasindependientesconfunciones de densidad de probabilidadfyg, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la sumaX+Yvendr dada por la convolucinf*g.Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolucin. Esto es:

Cuando multiplicamos dospolinomios, los coeficientes del producto estn dados por la convolucin de las sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aqu (usando extensiones con ceros como hemos mencionado).Generalizando los casos anteriores, la convolucin puede ser definida para cualesquiera dosfunciones de cuadrado integrabledefinidas sobre ungrupo topolgicolocalmente compacto. Una generalizacin diferente es la convolucin dedistribuciones.Uso y aplicacionesLa convolucin y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniera y matemticas. Enestadstica, como un promedio mvil ponderado. Enteora de la probabilidad, ladistribucin de probabilidadde la suma de dosvariables aleatoriasindependienteses la convolucin de cada una de sus distribuciones de probabilidad. Enptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre sta y la fuente de luz) es la convolucin de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se est proyectando. Una fotografa desenfocada es la convolucin de la imagen correcta con el crculo borroso formado por el diafragma del iris. Enacstica, un eco es la convolucin del sonido original con una funcin que represente los objetos variados que lo reflejan. Eningeniera elctrica,electrnicay otras disciplinas, la salida de unsistema lineal(estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolucin de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones). Enfsica, all donde haya unsistema linealcon un "principio de superposicin", aparece una operacin de convolucin.Tipos de ConvolucinConvolucion discretaCuando se trata de hacer un procesamiento digital de seal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definicin ya que solo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues, una aproximacin numrica. Para realizar la convolucin entre dos seales, se evaluar el rea de la funcin:. Para ello, disponemos de muestreos de ambas seales en los instantes de tiempo, que llamaremosy(donde n y k son enteros).El rea es, por tanto,

La convolucin discreta se determina por un intervalo de muestreo:

Convolucin circularCuando una funcines peridica de perodo, entonces para aquellas funcionespara las que existe, su convolucin es tambin peridica e igual a:

dondese escoge arbitrariamente. La suma bajo el integrando se denomina extensin peridica de la funcin. Sies una extensin peridica de otra funcin, entoncesse denominaconvolucin circular,cclica, operidicadey.Mtodo para calcular la convolucin circular:1. Tenemos dos crculos, uno exterior y otro interior. Vamos girando el crculo interior y sumando sus valores.2. Si los dos crculos tienen diferentes tamaos, entonces el ms pequeo le aadimos "0" al inicio, al final o al inicio y final.[L >= L1 + L2-1]PropiedadesLas propiedades de los diferentes operadores de convolucin son:Conmutatividad

Asociatividad

Distributividad

Asociatividad con multiplicacin escalar

para todo nmero complejo o real.Regla de derivacin

donde Dfdenota laderivadadefo, en el caso discreto, el operador diferencia.Teorema de convolucin

dondedenota laTransformada de Fourierdef. Este teorema tambin se cumple con laTransformada de Laplace.Convoluciones con deltas de Dirac

Matriz de convolucinA veces es til ver a la convolucin como un producto matricial. Seauna funcin discreta deelementos, seaun sistema discreto deelementos, y seala convolucin de ambos, deelementos:. Entonces se puede definir una matriz(la matriz de convolucin, que es unamatriz de Toeplitz) tal que:

Ejemplo:Seay seaentonces la matriz de convolucin ser:Podemos observar cmo se aaden ceros a ambos lados. Esto se hace para poder igualar y as poder hacer la convolucin. Esta tcnica es conocida como "rellenado con ceros" (zero-padding).Rellenado con cerosConsiste en aadir 0s en una convolucin o en el espectro de una seal, en este ltimo caso aumentamos el dominio frecuencial de la magnitud de la seal pero no se mejora la resolucin.Convoluciones de gruposSiGes ciertogrupodotado de unamedidam(por ejemplo, ungrupo topolgicolocalmente compactoHausdorffcon laMedida de Haar) y sifygson funciones real -o complejo- valuadas y m-integrablesde G, entonces podemos definir su convolucin como

En este caso tambin es posible dar, por ejemplo, un teorema de convolucin, que sin embargo es mucho ms difcil de presentar y que requiere de lateora de la representacinpara estos tipos de grupos as como elTeorema de Peter-WeyldelAnlisis armnico. Es muy difcil hacer dichos clculos sin ms estructura, y losgrupos de Lieson los marcos donde se deben hacer las cosas.

Cmo calcular las variables aleatorias uniformes de convolucin

La convolucin de dos variables es la funcin de distribucin de su combinacin. Si (x) es la distribucin de probabilidad de X y g(y) es la distribucin de probabilidad de Y, entonces, la distribucin de probabilidad de Z = X + Y sera h(z) = (z-t) g (t) dt, donde X = z - t y Y = t, para cualquier valor de t. En este caso, h(z) es la convolucin de (x) y g(y) y puede ser representada como (*g)(z). Cuando las variables tienen una distribucin uniforme, la convolucin es fcil de determinar.

Los resultados del lanzamiento de un dado tienen una distribucin uniforme. Los resultados de dos dados, no.

Instrucciones1. 1Lista los posibles valores para cada una de las variables. Por ejemplo, si "X" fuera el valor rodado en un dado de seis caras regular e "Y" el valor rodado en un segundo dado de seis caras, tendras dos listas de nmeros del uno al seis. Debido a que hay la misma probabilidad de aterrizaje en cualquier lado de un dado, las probabilidades de "X" e "Y" tienen una distribucin uniforme. Las grficas de las probabilidades mostraran las lneas rectas que van del uno al seis y teniendo una altura de 1/6 (0,16) para cada valor de la matriz.2. 2Calcula los valores posibles para la suma de "X" y "Y". En el ejemplo del dado, los valores ms bajos para cada dado sera uno, por lo que el valor ms bajo para la suma sera 1 + 1 = 2. El valor ms alto para la suma sera de 6 + 6 = 12. Los otros valores de la suma sera los enteros comprendidos entre uno y 12.