FACULTAD DE INGENIERA DIVISIN DE CIENCIAS BSICAS

COORDINACIN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

SERIE TEMA V Semestre: 2015-2

VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS

1. En un sistema electrnico operan conjuntamente dos componentes de dos tipos diferentes, tipo I y tipo II. La funcin de densidad conjunta est dada por

( )( )1 2

21 1 2

1 2

1 0 08

0

x x

x e si x , xf x , xotro caso

+

> >=

a) Obtener las funciones de densidad marginal y determine si las variables son independientes.

b) Obtener el valor esperado para cada variable.

c) Obtener el valor esperado ( )1 2E X X d) Calcule la covarianza.

e) Calcule ( )1 21 1P X | X> > y ( )1 21 1P X , X> > Respuestas c) 8, e) 0.9098, 0.5518

2. Supngase que dos amigos tienen una cita para verse entre las 6:00 y 6:30 de la tarde en un restaurante del centro de la ciudad de Mxico y se ponen de acuerdo en que ninguno esperar al otro ms de diez minutos. Suponiendo que los tiempos de llegada de los amigos X y Y son independientes y tienen una distribucin uniforme:

a) Determine la funcin de densidad conjunta. b) Obtenga el valor esperado de cada una de las variables. c) Calcule el valor esperado de XY. d) Determine la probabilidad de que se encuentren.

Respuesta b) 15 minutos y 15 minutos.

3. Un restaurant de comida rpida funciona mediante dos sistemas de venta, uno desde una ventanilla para automviles y otro para personas que llegan a pie al lugar. El tiempo en ser atendido es una variable aleatoria que depende del sistema con el que fue atendido de acuerdo a la siguiente funcin de densidad conjunta

( ) ( )( )2

1 2 1 21 2

0 1 0 1

0

k x x si x , xf x , x

otro caso

+ =

a) Determine el valor de k para que la funcin sea efectivamente una funcin de densidad. b) Obtenga las funciones de densidad marginal y determine si son independientes.

Escriba sus conclusiones. c) Calcule el valor esperado de cada una de las variables. Describa qu indican los

valores obtenidos.

d) Obtenga el valor esperado de 1 2X X e) Calcule el valor del coeficiente de correlacin. Describa qu significa el valor. f) Calcule ( )1 20 25 0 25P X . , X .

Respuestas a) 1.2, c) 0.6 y 0.6, e) - 0.01

4. Sean X y Y variables aleatorias con las distribuciones siguientes:

X 10 20 Y -4 7 10

P(X) 0.6 0.4 P(Y) 0.2 0.3 0.5

a) Encuentre la distribucin conjunta de X y Y. b) Calcule el promedio conjunto de X y Y. c) Existe algn tipo de relacin entre las variables?, fundamente su respuesta.

Respuesta b) 88.2

5. En un automvil de seis cilindros se colocan al azar cuatro bujas marca A y dos marca B, meses despus el automvil requiere cambio de bujas. Sea X la variable aleatoria asociada a la primera buja extrada de la cual tomara el valor de uno si la buja es marca A y dos si es marca B. Asimismo, sea Y la variable aleatoria asociada a la segunda buja extrada la cual tomar valores en la misma forma que la variable aleatoria X.

Obtenga:

a) La distribucin de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X e Y, ),(, yxf YX . b) Las distribuciones marginales ( )xfX y ( )yfY c) La media y la varianza de cada una de las variables aleatorias. d) La distribucin de probabilidad condicional de X dado que Y=2. e) La distribucin de probabilidad condicional de Y dado que X=1. f) La covarianza y el coeficiente de correlacin. Respuestas c) 1.33, 0.22 f) 0.04, - 0.20