Variables_Separables_2014.pdf
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Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Ecuaciones Diferenciales II Semestre de 2014 Prof. Alcides Astorga Morales Ecuaciones de variable separable Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación diferenciable: = 2 2 3 3 Solución: = 2 2 3 3 = 2 2 3 3 = 2 2 3 3 = 2 1 1 3 ⟹ 1 1 = 2 3 ⟹ 1 2 1 = 3 5 3 ⟹ 1 2 1 = 1 5 3 ⟹ ln| 1| = 5ln| 3| C Ejemplo 2: Resolver = 0 . Solución: = 0 ⟹ 1 = 0 ⟹ 1 = 0 ⟹ 1 1 = 0 ⟹ 1 1 = ⟹ − 2 2 || = ⟹ 1 2 || =
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Instituto Tecnolgico de Costa Rica Escuela de Matemtica
Ecuaciones Diferenciales II Semestre de 2014
Prof. Alcides Astorga Morales
Ecuaciones de variable separable
Ejemplo 1:
Resolver la siguiente ecuacin diferenciable:
=
+ 2 2
3 + 3
Solucin:
=
+ 2 2
3 + 3=
( + 2) ( + 2)
( 3) + ( 3)=
( + 2) ( + 2)
( 3) + ( 3)=
( + 2)( 1)
( + 1)( 3)
+ 1
1 =
+ 2
3
( 1) + 2
1 =
( 3) + 5
3
(1 +2
1) = (1 +
5
3)
+ ln| 1| = + 5ln| 3| + C
Ejemplo 2:
Resolver + (32 + 3) = 0.
Solucin:
+ (32 + 3) = 0 + 3(2 + 1) = 0
+ 32 + 1
= 0
1
3 +
2 + 1
= 0
1
3 + ( +
1
) =
2
2+
2
2+ || =
1
22+ 2 + || =
-
Instituto Tecnolgico de Costa Rica Escuela de Matemtica
Ecuaciones Diferenciales II Semestre de 2014
Prof. Alcides Astorga Morales
Ejemplo 3:
Resolver 2 = , (1) = 1
Solucin:
2 = 2
= (1 )
1
=
1
2
1
= (
1
2
1
)
|| =1
1 || + C
|| = 1
|| + C
De acuerdo a las condiciones iniciales: = 1, = 1, por lo que
|1| =1
1 |1| + C
Por lo que C = 1
De donde la solucin particular sera:
|| = 1
|| + 1
Ejemplo 4:
Resolver = ( + + 1)2
Solucin:
= ( + + 1)2
= ( + + 1)2 ()
Haciendo = + + 1, se tiene que
= 1 +
,
=
1
Volviendo a (*) y usando los resultados anteriores:
= ( + + 1)2
1 = 2
= 2 + 1
1
2 + 1=
1
2 + 1 = () = + C
Por lo que la solucin de la ecuacin diferencial sera: ( + + 1) = +
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Instituto Tecnolgico de Costa Rica Escuela de Matemtica
Ecuaciones Diferenciales II Semestre de 2014
Prof. Alcides Astorga Morales
Ejemplo 5:
Resolver (2 + 2) + (3 + 2) = 0
Ejemplo 6:
Resolver = 2 2 + 22
Ecuaciones diferenciales homogneas
Ejemplo 1:
Resolver:
= +
Solucin:
Sea = = +
De donde se tiene que:
= +
Por lo que:
= +
= +
( +
) = +
+
= +
=
1
=
1
1
=
1
= || + C
= || + C
-
Instituto Tecnolgico de Costa Rica Escuela de Matemtica
Ecuaciones Diferenciales II Semestre de 2014
Prof. Alcides Astorga Morales
Ejemplo 2:
Resolver (3 + 2) + (2 + ) = 0
Solucin:
Sea = = +
=
+
(3 + 2) + (2 + ) = 0 (3 + 2) + (2 + )
= 0
[3 + ()2] + [2 + ] [
+ ] = 0
2 [(3 + 2) + (1 + ) (
+ )] = 0
3 + 2 + (1 + ) (
+ ) = 0
+ =
3 2
1 +
=
3 2
1 + =
3 2 2
1 +
=
22 4
1 +
1 +
22 4 =
1
()
= 22 4 = (4 4)
= 4( + 1)
1
4
= ( + 1)
Volviendo a (*):
1 +
22 4 =
1
1
4
=
1
1
4|| = || + C
1
4|22 4| = || + C
1
4 |2
2
2 4
| = || + C
-
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Ecuaciones Diferenciales II Semestre de 2014
Prof. Alcides Astorga Morales
Ejemplo 3:
Resolver:
(2 + 2) =
Solucin:
Sea = = +
=
+
(2 + 2) = 2 + 2 =
2 + 22 = (
+ ) + 2 = (
+ )
+ 2 =
+ 2 =
=
=
= || = +
|| =
+
Ejemplo 4:
Resuelva:
(
) = ( (
) + )
Ejemplo 5:
Resolver 23 (4 + 4) = 0
Ejemplo 6:
Resolver (2 22) + = 0
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Ecuaciones Diferenciales II Semestre de 2014
Prof. Alcides Astorga Morales
Cambios de variable sugeridos
Ejemplo 1:
Resolver =2
+ (
2) haciendo el cambio de variable = 2.
Solucin:
= 2 = 2 + 2
Por lo que =2
+ (
2) 2 + 2 =
22
+ (
2
2)
2 + 2 = 2 + ()
2 = tan ()
= tan ()
tan ()=
cos ()
()=
|| = || +
() = ln()+
() =
(
2) =
Respuesta: La solucin implcita de la ecuacin diferencial dada es (
2) = .
Ejemplo 2:
Resolver (22 1) 23 = 0 haciendo el cambio de variable =1
.
Solucin:
=1
=
1
2
(22 1) 23 = 0
(2
2 1) (
1
2) 2 (
1
3) = 0
(22
2) (
1
2) 2 (
1
3) = 0
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Ecuaciones Diferenciales II Semestre de 2014
Prof. Alcides Astorga Morales
(2 2) (1
2) 2 (
1
) = 0
(2 2) 2 = 0, la cual es homognea: = = +
(22 2)( + ) 22 = 0, sacando 2 a factor y simplificando, se tiene:
(2 1)( + ) 2 = 0
(2 1) + (2 1) 2 = 0
(3 2) + (2 1) = 0
(3 3) + (2 1) = 0
+
21
33 = 0
+
1
3
323
33 = 0
ln() +1
3|3 3| = , pero = =
ln() +1
3 |
3
3 3
| , como =
1
entonces =
1
+1
3 |
1
33
1
| =
Ejemplo 3:
Resolver (2 + 2 1) + ( + 2) = 0
Solucin:
(2 + 2 1) + ( + 2) = 0 (2 + 2 1) +
( + 2) = 0
(2 + 2 1) + ( + 2) = 0
Sea = + = + =
(2 + 2 1) + ( + 2) = 0
[2( + ) 1] + [( + ) 2] = 0
(2 1) + ( 2)( ) = 0
(2 1) + ( 2) ( 2) = 0
(2 1 + 2) + ( 2) = 0
( + 1) + ( 2) = 0
+2
+1 = 0
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Ecuaciones Diferenciales II Semestre de 2014
Prof. Alcides Astorga Morales
++13
+1 = 0
+ (+1
+1
3
+1) = 0
+ (1 3
+1) = 0
+ 3| + 1| =
+ + 3| + + 1| =
2 + 3| + + 1| =
Ejemplo 4:
Muestre que la ecuacin diferencial 2 44
4
dy y x
dx xy
no es separable, pero se convierte en separable con el cambio de la variable dependiente de y a v de acuerdo a la
transformacin y=vx. Use esto para encontrar la solucin de la ecuacin original.
Solucin:
Sea y vx dy vdx xdv
dy dvv x
dx dx
2 2 4 2 24 4
4 4
xdv v x x v xv
dx x v x v
2 24
4
xdv v xv
dx v
2 2 2 24 4
4 4
dv v x v xx
dx v v
4
dv x
dx v
4
4 0
vdv xdx
vdv xdx
222
2
xv C
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Ecuaciones Diferenciales II Semestre de 2014
Prof. Alcides Astorga Morales
2 2
22
y xC
x
2 4 24 2y x Cx
Ejemplo 5:
Resolver (1 + 22) + ( 1)2 = 0 haciendo el cambio de variable = .
Ejemplo 6:
Resuelva la ecuacin diferencial + = + haciendo el cambio de variable = .
Ejemplo 7:
Resuelva la ecuacin diferencial + 5 = 32 haciendo el cambio de variable =
3
