Varianza de dispersión

GEOSTADSTICA

CAPTULO 5

Varianza de Dispersin

Ing. Luis E. Vargas R.

2013

VARIANZA DE DISPERSIN

CAPTULO 5

Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas

5.1 Distribucin de una Variable Regionalizada

Sea un volumen V con centro en x, formado por la yuxtaposicin de N volmenes iguales vi centrados en x. V est definido entonces por la unin de pequeas unidades v (ver figura adjunta).


Retculo de unidades v y distribucin de frecuencias


vi V

V = vi = Nv

S2

(x)

zv(x) z

Sea z(y) la V.R. ley en el punto y. Se trata de caracterizar la dispersin de las leyes de unidades de explotacin v en el interior del yacimiento.

La ley media de cada unidad v centrada en x es:


zv(x) = 1/v z(y)dy vi

zV(xi)= 1/V z(y)dy = 1/N zv (xi) v i=1

N

Del mismo modo la ley media del yacimiento V centrado en x, es:

A cada una de las N posiciones x de la unidad v en el interior de V , le corresponde una desviacin [zv(xi) -zV(x)], la dispersin de las N leyes de unidades zv(x) alrededor de su media zV(x) puede caracterizarse por la desviacin cuadrtica media:


s2(x) = (1/N)([zv(xi)-zV(x)]2)

Esta dispersin se representa con un histograma de los N valores zv(xi), es decir, la curva experimental de las frecuencias de cada valor z (ver figura adjunta).


S2

(x)

zv(x) z

Este histograma no es ms que una clasificacin simple de los N valores zv(xi) disponibles, sin ninguna interpretacin probabilstica.

Podemos calcular por ejemplo, la proporcin de unidades v superiores a una ley de corte zc.

Podramos tambin decir que:

El histograma es asimtrico: existen ms leyes zv(x) superiores a la media zV(x) con respecto a las superiores.


Si se dispusiera para cada zona del yacimiento V todas las leyes de unidades v que la constituyen, entonces:

No habra necesidad de ninguna estimacin ni de formular una aproximacin probabilstica.

En la prctica no se conoce las leyes verdaderas zv(x) de unidades v, ni tampoco las leyes verdaderas zV(x) del yacimiento V, en conclusin no se dispone del histograma de la pgina anterior.

El problema radica entonces en:


Estimar las dos principales caractersticas zV(x) y s2 (x); es aqu donde intervienen las herramientas geoestadsticas y la aproximacin probabilstica.

La V.R. ley puntual z(y) es una realizacin particular de la F.A. Z(y), an mas, supondremos que esta F.A. es estacionaria, esto implica en particular que la ley de distribucin de Z(y) no depende ms que de los valores de y.

La ley media de cada unidad v centrada en xi es una V.A., denotada por:

5.2. Interpretacin probabilstica


zv(x) = 1/v z(y)dy vxi

De la misma manera la media del yacimiento V con centro en x es una V.A. denotada por:


zV(xi)= 1/V z(y)dy = 1/N zv (xi) vx i=1

N

Luego, la desviacin cuadrtica media s2(x), aparece como una realizacin particular de la V.A. S2(x) en x (corresponde al yacimiento V en x):

s2(x) = (1/N)([zv(xi)-zV(x)]2)

Segn la hiptesis estacionaria de la F.A. puntual Z(y), la esperanza estacionaria de esta V.A. S2(x), es por definicin, la varianza de dispersin de las unidades v en V, denotada por:

5.3. Varianza de dispersin


D2(v/V) = E(S2(x)) = E[(1/N) {zv(xi) -zV(x)}2] i

Consideremos un yacimiento V(xk) conformado por 6 unidades de leyes zv(xi).

La ley de distribucin es uniforme, cuya ley media es:

zV(x) = (1/N)(zv(xi) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5

y varianza:

2 = (1 /N)([zv(xi)-zV(x)]2) = (1/6)(17,5) = 2,917

Sean tres zonas (V(xk), k =1 a 3) de igual media zV = 3,5 y constituido por 3 series de 4 unidades, segn las series:

Ejemplo:


K= 1 zv(xi) = 6, 3, 2, 3

zV(x) = (1/4)(zv(xi)) = 3,5

s2(x)= (1/N)([zv(xi)-zV(x)]2) = (1/4)(9) = 2,25

K= 2 zv(xi) = 6, 5, 1, 2

zV(x) = (1/4)(zv(xi)) = 3,5

s2(x)= (1/N)([zv(xi)-zV(x)]2) = (1/4)(17) = 4,25

K= 3 zv(xi) = 6, 2, 2, 4

zV(x) = (1/4)(zv(xi)) = 3,5

s2(x)= (1/N)([zv(xi)-zV(x)]2) = (1/4)(17) = 4,25


La varianza de dispersin D2 (v/V), es:


D2(v/V) = E(S2(x)) = E[(1/4) {zv(xi) -zV(x)}2] i

1/4 E[{zv(xi) -zV(x)}2] =1/4 2 = 2.917 i i=1

4

De esta manera se observa que las tres varianzas

experimentales s2(x) = 2,25; 4,25 y 2,75 fluctan

alrededor de su esperanza terica D2 (v/V ) = 2,917.

Los recursos presentes en un yacimiento raramente son completamente explotables.

Normalmente se aplica una seleccin sobre estos recursos para definir las reservas que deben extraerse.

Es evidente que el volumen y las caractersticas de estas reservas estn en funcin :

1. De los recursos iniciales "in situ",

2. Esencialmente, de los parmetros: criterios de las leyes de corte , soporte de la unidad de seleccin (tamao o geometra) e informacin disponible al momento de la seleccin efectuada.

5.4. Seleccin de reservas


Para evitar errores en la estimacin se debe tomar en cuenta lo escrito anteriormente, e indicar que las dos principales nociones geoestadsticas que condicionan el no sesgo en la estimacin de reservas son:

La nocin de soporte, la seleccin del alcance en las unidades de produccin que a veces son diferentes de las unidades de reconocimiento (ejemplo, soporte de testigos).


La nocin de informacin, la seleccin real de la explotacin dispone a menudo de una informacin mucho ms fina que la que se dispone en el estudio de las reservas.

Este estudio debe prevenir la fineza efectiva de la seleccin real futura.

Ciertas propiedades del krigeaje permiten tal previsin, esta es una ventaja del krigeaje con respecto a tas otras tcnicas.


Sea un yacimiento V, reconocido por sondajes de soporte c igual al volumen del material del testigo analizado y v la unidad de explotacin sobre la cual se har la seleccin efectiva.

Las caractersticas del conjunto de los recursos in situ, puede observarse a travs de los histogramas de dispersin.

5.4.1. Influencia del soporte


En la siguiente figura se tiene el histograma de dispersin de las leyes zc(x) de los testigos de soporte c.

Se supone que este histograma representa la distribucin de todo el yacimiento V, es decir que en la prctica el reconocimiento de V por los testigos es insesgada.

En otras palabras ninguna zona particular de V ha sido reconocida de manera preferencial. Las caractersticas de este histograma son:


a) Una media experimental m* que por el momento la consideraremos como la media real del yacimiento: m* m.

b) Una varianza de dispersin experimental que es un estimador de la varianza de dispersin terica D2(c/V) del soporte c en el yacimiento V.

c)

d) La forma de distribucin asimtrica (que se puede ajustar a una lognormal, por ejemplo).


Si consideramos la ley zc en el eje de las abscisas, el rea sombreada representa la proporcin observada de los sondajes de ley zc z0.


m

Frecuencias

zc

z0

D2(v/V) bloques

D2(c/V) testigos

5% Cu

Supongamos ahora que se conoce las leyes reales zv(xi) de todas las unidades de explotacin de soporte v, con estos datos podemos trazar el histograma de dispersin de leyes zv(xi) (ver figura adjunta), cuyas caractersticas son:

a) Una media m igual a la media de los sondajes.

b) Una varianza de dispersin terica D2(v/V) de soporte v en el yacimiento V, donde se verifica que:

D2(v/V) < D2(c/V) , con v > c.

c) El histograma es simtrico.



m

Frecuencias

zc

z0

D2(v/V) bloques

D2(c/V) testigos

5% Cu

Cuanto ms pequeo sea el soporte v, el valor de z(v) es ms disperso.

La variacin del soporte puede dar lugar a grandes diferencias, al compararlo, por ejemplo, con una ley de corte (ver figura anterior).

De la misma manera que los variogramas regularizados, sobre testigos c con respecto a los paneles v son diferentes, de la misma manera los dos histogramas de dispersin y las reas achuradas respectivas son diferentes.


Podemos decir entonces que existe una proporcin no desestimable de testigos c de leyes de Cu zc z0 = 5% de Cu, no existe ningn panel v de varias centenas de toneladas de ley promedio de cobre superior a 5%.

En el proceso de explotacin se seleccionan bloques (paneles) v y no tramos de sondajes c, es por esto importante que al estimar reservas se tenga en cuenta el soporte v de la unidad de seleccin, bajo pena de sesgo con consecuencias econmicas probablemente graves, esta anotacin no es trivial, veamos un ejemplo:


Un yacimiento sedimentario reconocido por sondajes verticales a travs de toda la superficie mineralizada, con potencia promedio mineralizada p, el soporte c de la informacin es un testigo de seccin y de longitud promedio q.


q

Si se utiliza el mtodo de polgonos de influencia, aplicando a cada polgono la ley promedio del sondaje central Si, para una ley de corte z0 los estimadores as obtenidos, el tonelaje recuperado estimado, corresponde al rea achurada en la figura adjunta, con todos los riesgos de sesgo que se presentan.


Polgono de influencia

q

Si

Otro ejemplo tpico es relativo a los procesos de estimacin ponderados por el inverso medio de las distancias y en general a aquellos procesos que no toman en cuenta la geometra particular v del bloque a estimar.

Si se aplica una seleccin sobre estos valores as estimados, el resultado es independiente del tamao v de la unidad de seleccin.

Es bien conocido que no es lo mismo explotar un yacimiento a martillo (v es pequeo) que explotarlo en bloques (v es mucho mayor).


Se demuestra que:


A dicha igualdad se denomina relacin de krigeage.

Esta relacin la obtuvo experimentalmente krige estudiando un yacimiento de oro, en frica, posteriormente se confirm dicha relacin de forma terica.

D2(v /V) = (V,V) - (v,v)

Por la relacin de aditividad de Krige, se tiene:

D2(v/V) + D2(c/v) = D2(c/V)

De lo anterior entonces conocemos el promedio E(zv) estimado por ejemplo por m* promedio de leyes de los testigos c y conocemos la varianza D2 (v/V) del patrn de dispersin de las leyes zv .

Pero a que tipo de ley corresponde, no se sabe, esto no permite realizar el histograma de dispersin de los zv.

Tampoco evaluar las distintas recuperaciones posibles demandadas (zonas achuradas de la figura anterior).


Para ciertos casos se postula la hiptesis de conservacin de leyes, se puede adoptar para zv la distribucin del histograma experimental de datos zc, y ser suficiente entonces corregir la varianza:


Para pasar del variograma experimental de los zc al histograma buscado zv. Esta hiptesis ha sido verificada para ciertos yacimientos de Au y U y para soportes c y v diferentes, sin embargo no debe tomarse como una ley general. Es realmente necesario conocer el histograma de dispersin de las leyes reales zv(xi)?

D2 (c/V ) D2 (v/V)

En la prctica no resulta necesario conocer el histograma de dispersin de las leyes verdaderas, ya que de realizarse una seleccin se hace sobre los estimadores z*v(xi) y jams sobre los valores reales y desconocidos zv(xi).

Es decir se recupera efectivamente no los bloques de leyes verdaderas sino los bloques de valores estimados.

5.4.2. Influencia de la informacin


Se entiende que, la informacin disponible y los procesos de estimacin deben ser tales que los histogramas de los z*v(xi) sean los ms prximos posibles a los zv(xi).

Para ello se deber tomar en cuenta la nocin de soporte y tamao v de la unidad de seleccin.


Requisitos que satisface plenamente el krigeaje.

Los dos histogramas verdadero y estimado tienen la misma media.


m

D2(v*k/V) Valores krigeados

D2(v/V) Valores reales

Frecuencia

z z0

0

Se demuestra que si y slo si el estimador z* es un estimador de krigeaje, si se cumple la relacin siguiente, llamada "relacin de alisado".

5.5. Relacin de alisado



D2 (v/V) = D2(v*k /V*) + 2

k - 2

m

Donde:

D2 (v/V) = varianza de dispersin de las leyes reales zv(xi) de soporte v en el yacimiento V.

D2 (v*k/V*) = varianza de dispersin de las leyes krigeadas z*v(xi) de soporte v en el yacimiento estimado V*.

2k = 1/N2

ki = Promedio de la varianza de krigeaje de cada uno de los N bloques vi, de soporte v, que conforman el yacimiento V .

2m = Varianza de estimacin de la media, en general es pequea, por tanto:


D2 (v/V) = D2(v*k /V*) + 2

k

Notamos como la dispersin experimental disponible D2(v*k/V*) queda alisada respecto a la dispersin verdadera D2(v/V) y ser tanto ms alisada cuando la estimacin de v por v* sea peor, es decir cuando 2k sea ms grande.

La experiencia en minera ha demostrado que cuando la desviacin tpica relativa:


D2(v/V) - D2 (v*k/V)

D2(v/V)

2k

D2(v/V) =

es inferior a 10%, no es necesario corregir la dispersin.

D2(O/V ) = Varianza de los valores puntuales.

5.6. Varianza de los valores puntuales


D2(v/V) = E[1/n (z(vi) - z(V))2]

i

= 1/V E[(z(x) - z(V))2dx] cuando v 0, n V

D2(O/V ) =(v,v) D*2(O/V ) = s2 es una estimacin de

D2(O/V )

Una aplicacin prctica es la verificacin de los variogramas. El principio consiste en calcular (v,v) de acuerdo al mdulo del variograma adoptado y de compararlo con el valor de s2. Si la diferencia es notable, habra que cambiar de modelo.

Como 17.55 se aproxima a 17,3 entonces podemos decir que el modelo es aceptable.

Ejemplo 1: En la regionalizacin de la ley en petrleo, los sondajes tienen una longitud L=350 pies.


D2(O/L) = (L,L) = F0(L) + F1(L).

D*2(O/L) = s2 = 17,3(%)2.

F1(L) = C1 1 3/4(a/L) + 1/5(a/L)2

C0 = 6(%)2

C1 = 13(%)2

a = 36 pies

Considerar C0 Considerar C1

F0 = 5.544

F1 = 12.013

D2(O/L) = 5.54 + 12.01 = 17.55

D2(v/V) = E(S2(x)) = E[1/5 {zv(yi) - zV(y)}]2

i

Ejemplo 2: Consideremos un yacimiento V constituido de N = 5 bloques de igual dimensin v . En la tabla

adjunta se muestran las leyes medias {zv(yi), i = 1 a 5} de los 5 bloques, as como sus leyes estimadas zv*(yi).

Este ejemplo se enmarca en el caso en que el yacimiento V est compuesto de un nmero exacto de N bloques, por tanto podemos adoptar la frmula de la varianza de dispersin de v en V, siguiente:


1/5E[{zv(yi) - zV(y)}2] = 1/52 = 2,8

i i = 1

5

D2(v/V) = E(S2(x)) = E[1/5 {zv(yi) - zV(y)}]2

i

Donde:


1/5E[{zv(yi) - zV(y)}2] = 1/52 = 2,8

i i = 1

5

zV(y) = zv = 1/5 zv(yi) = 5 i

z*v (yi) = 1/5 (4,7 + 7,3 + 5,9 + 2,3 + 4,8) = 5


Con los datos de la tabla: I. La varianza experimental de los errores de estimacin:

*E2 = (1/5)(zv (yi) - z*v (yi))2 = (1/5)(0.09+0.09+0.01+0.09+0.04) = 0.064

II. El promedio de los errores siendo nulo (no hay sesgo en la estimacin), adems: z*v (yi) = zv = 5

III. La varianza de dispersin experimental de los estimadores z*v (yi) , es:


s2 = 1/5[z*v(yi) - z*v (yi)]2 = 1/5*13.52= 2,704

i

Obsrvese que:

s'2 =2,704 < s2 = 2,8 y que se verifica la relacin

s2 = 2,8 ~ s'2 + *E2 = 2,704+0,064 = 2,768.

Este efecto de alisado del estimador z*v (yi) es caracterstico de un estimador de krigeaje.

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