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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LAEDUCACIÓN

UNIVERSIDAD GRAN MARISCAL DE AYACUCHO

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

NÚCLEO EL TIGRE – ESTADO ANZOATEGUI

VARIBLES ALEATORIAS

DOCENTE: HAMLET MATA MATA

ESTUDIANTE ORIANNIS ESPINOZA

EL TIGRE / ANZOÀTEGUI

1

La probabilidades, obtiene sus cimientos en ensayos aleatorios o estocásticos

los cuales son efectuados en similares circunstancias y nunca logramos predecir los

resultados. Como por ejemplo: extraer una carta, etc.

“Podemos definir La Probabilidad como la medida de la inseguridad relacionada a

un hecho”. Las variables juegan un papel muy importante en el estudio de las

probabilidades.

Se conoce con el nombre de variable cuantitativa, o simplemente variable, a aquella

magnitud que toma valores mensurables. Las variables se conocen como discretas si

toman valores enteros, como el número de alumnos en un aula o el número de defectos

por metro en un cable eléctrico. Las variables continuas pueden variar de forma

continua, como por ejemplo el peso de una persona o la longitud de una varilla.

El estudio de estos temas nos servirá para saber, que en mas actividades de las que

creemos están presentes todas estas teorías de probabilidades.

El estudio de probabilidad nos permitirá conocer la cantidad de veces en la cual se

repite una variable aleatoria.

2

DESARROLLO

1. VARIABLES ALEATORIAS:

En algunos experimentos, sucede que antes de realizarlos, no podemos decir con

certeza cuál será el resultado, es decir, no podemos asegurar cuál será el valor que

toma la variable asociada al experimento. A este tipo de variables se les conoce como

variables aleatorias.

Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un

experimento aleatorio. Puede ser discreta o continua. Si puede tomar sólo un número

limitado de valores, entonces es una variable aleatoria discreta. En el otro extremo, si

puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se trata de una

variable aleatoria continua.

Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que

cambia de una presentación a otra, sin seguir una secuencia predecible. Los valores

de una variable aleatoria son los valores numéricos correspondientes a cada posible

resultado de un experimento aleatorio.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria proporciona una

probabilidad para cada valor posible, y estas probabilidades deben sumar 1.

Una variable aleatoria es una función que asocia a cada elemento del espacio

maestral un número real.

EX :

Observación: Sobre un mismo espacio maestral se pueden definir varias variables

aleatorias.

3

Es simplemente un conjunto de números X1, X2, X3,..... Xn, uno para cada estado de

manera que el resultado de un intento no es solamente el estado Ei, sino también el

numero X1 de interés

Ejemplo 2.1:

Si el intento es el lanzamiento de dos dados, una variable aleatoria puede

definirse como la suma de los puntos obtenidos en los dados. Si denotamos esta

variable aleatoria por z, entonces z tendrá el valor 2 para el estado {1,1}, 3 para el

estado {1,2} y así sucesivamente. Observe que a pesar de haber 36 puntos en el

espacio de muestra, solamente hay 11 valores posibles para z, estos son con su

respectiva función de frecuencia (relativa respecto al espacio de muestra):

Variable aleatoria z Función de frecuencia P(z)

2 1/36

3 2/36

4 3/36

5 4/36

6 5/36

7 6/36

8 5/36

9 4/36

10 3/36

11 2/36

12 1/36

Total 36/36

Se puede observar que la suma de las probabilidades individuales en cualquier

función de frecuencia es 1, ello resulta del hecho de que uno y solo uno de los

resultados posible se materializa como resultado de un intento.

4

Pueden obtenerse muchas variables aleatorias en el mismo espacio de muestra.

Si el intento es el lanzamiento de dos dados, podemos definir también la variable

aleatoria z como el numero menor de los dos que aparecen en el lanzamiento. En este

caso z tendría los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6. El evento "z = 6 " se presenta solamente en

el punto de muestra (6,6) y tiene probabilidad 1/36. El evento "z = 4" se observa en

los puntos (4,4), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4) y tiene una probabilidad de 5/36 y así

sucesivamente. La función de frecuencia completa para esta variable aleatoria es:

Variable aleatoria z Función de frecuencia P(z)

1 11/36

2 9/36

3 7/36

4 5/36

5 3/36

Total 36/36

Generalmente una distribución de frecuencia de una variable aleatoria se

caracteriza por dos estadísticos derivados: su media y su varianza. La descripción

mediante estos números es una función de frecuencia de probabilidad, aunque

incompleta, es valiosa en muchas de las aplicaciones.

Sea xi {1,2,3,......,n} los diversos valores posibles que puede tomar una variable

aleatoria, y sea P(x) la probabilidad de que la variable toma el valor xi, entonces su

media será:

X = xiP(xi)

2 = xi2 P(xi) - X2

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La media de x es un valor que puede esperarse que tome x en un intento, y la

varianza es una medida de la dispersión esperada de los valores que alcanza x,

alrededor del valor esperado

Al igual que en la aplicación de las formulas para la probabilidad de eventos

compuestos, el espacio de muestra fundamental no necesita estar en forma explícita

para que se utilicen los conceptos de variable aleatoria y de distribución de

probabilidad. La función de frecuencia de la variable aleatoria es entonces un conjunto

de números no negativos.

P(xi), P(xii), P(xiii), ..... P(xn) uno para cada xi, tal que P(xi) = 1

Bajo esta premisa, como sucede en cualquier tratamiento de espacios de

muestras, el numero de valores posible de la variable aleatoria x no tiene que ser finito.

Es por ello que existen funciones de distribución de probabilidad para variables

aleatorias discretas y para variables aleatorias continuas.

DIVISIÓN DE LAS VARIABLES ALEATORIAS

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria es discreta cuando el conjunto de sus valores posibles es

finito, o bien en el caso de ser infinito es numerable. La distribución de probabilidad

de variables aleatorias discretas se representa indicando los valores de la variable

aleatoria y sus respectivas probabilidades.

Sean x1, x2, x3, ... xn los distintos valores que puede tomar la variable aleatoria.

Y p(x1), p(x2),... p(xn) su probabilidad.

Los pares de valores (xj, p(xj)) constituyen la distribución de probabilidades de la

variable aleatoria.

6

p(x) se denomina función de probabilidad, y debe cumplir con las siguientes

propiedades:

0 < p(xj) < 1 (p(x) es una probabilidad, y por lo tanto debe tomar valores

entre 0 y 1).

å p(xj) = 1 (la suma de probabilidades repartidas entre todos los valores de la

variable debe ser igual a 1).

De la misma manera que calculamos frecuencias acumuladas, podemos acumular

probabilidades, obteniendo la función de distribución de probabilidades:

F(x) = å p(xj)

Esta función representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual

que un determinado valor:

F(xj) = P (X < xj)

Gráficamente, la función aumenta de "a saltos", ya que entre dos valores consecutivos

de una variable discreta, no puede tomar valores intermedios.

En general se expresa mediante la función de distribución F(x) que es la probabilidad

de que la variable aleatoria x tome un valor menor o igual que x0.

F(x) = P(x < x0)

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor dentro

de un intervalo.

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Ejemplo

Al observar el velocímetro de un automóvil, se nota que al acelerar, la manecilla se

mueve en forma continua, por lo cual, la variable “velocidad del automóvil” puede

tomar valores aproximados a cualquier fracción de km/hr., por lo tanto, es una

variable continua.

La variable “peso de los estudiantes” puede asumir cualquier valor mayor de cero, es

decir, puede tomar un número infinito no numerable de valores, por lo que se trata

de una variable continua.

Una variable continua puede asumir cualquier valor comprendido en algún intervalo

de valores, es decir, no se restringe a valores aislados como lo hace una variable

discreta. Por ejemplo la cantidad de agua que fluye por un río durante un día, es una

variable que puede tomar cualquier valor dentro del intervalo de cero a infinito,

tratándose por lo tanto de una variable continua.

Ejemplo: El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores

dentro de cierto intervalo (42,37 kg, 42,3764 kg, 42, 376541kg, etc); la esperanza media

de vida de una población (72,5 años, 7,513 años, 72, 51234 años).

Una función de densidad de probabilidad debe cumplir con las siguientes propiedades:

F(x) > 0 (la función es no negativa para cualquier valor de x, f(x) no es una

probabilidad, y puede valer más de 1).

ò f(x) dx = 1 (la acumulada para todos los valores de la variable suma 1, el área bajo

la curva de la función vale 1).

La función de distribución para una variable aleatoria continua se calcula:

F(a) = P(X < a) = ò f(x) dx

La probabilidad de que la variable esté dentro de un intervalo [a - b] se calcula:

8

P (a< x < b) = F(b) - F(a)

La probabilidad de que la variable tome un valor particular se puede expresar como:

F(c) - F(c) = 0

Esto explica la idea de que para el caso de una variable aleatoria continua no tiene

sentido trabajar con la probabilidad de un valor particular.

Para representar una distribución de probabilidad de variables continuas es necesario

tener en cuenta los siguientes aspectos:

Si las medidas de una magnitud se representa en un Histograma y se van tomando

cada vez más observaciones y se van disminuyendo el tamaño de las clases, dicho

Histograma tiende a una curva que describe el comportamiento de la variable a largo

plazo. Esta función límite recibe el nombre de Función de Densidad f (x).

En este caso, en lugar de trabajar con la probabilidad de valores particulares de la

variable, resulta más apropiado calcular probabilidades asociadas a intervalos. Para

distribuir propiedades se usa una función que mide "concentración" de probabilidades

alrededor de un punto, que se denomina función de densidad de probabilidad (fdp) y

se denota como f(x).

2. ESPERANZA MATEMÁTICA O VALOR ESPERADO

Es el promedio pesado de los resultados de un experimento. Para obtenerlo se

multiplica cada valor que la variable puede tomar por la probabilidad de ese valor y

se suman los productos. El valor esperado es un solo número.

Ejemplo

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Valores

Posibles

Probabilid

ad

Valor

Esperado

1 0.0476 0.0476

2 0.0952 0.1904

3 0.1429 0.4287

4 0.1905 0.7620

5 0.2381 1.1905

6 0.2857 1.7142

21 1 4.3334

En estadística el valor esperado o esperanza matemática (o simplemente esperanza)

de una variable aleatoria es la suma de la probabilidad de cada suceso

multiplicado por su valor. Por ejemplo en un juego de azar el valor esperado es el

medio beneficio. Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la

media aritmética.

Si una variable aleatoria X asume los valores: X1,X2,.....,Xn con sus correspondientes

probabilidades P(X1) P(X2)......P(Xn), se define como valor esperado o esperanza

matemática:

Un contratista hace las siguientes estimaciones: Determine el número de días.

Probabilidad Tiempo Determinado

0.30 10 días

0.20 15 días

0.50 22 días

E Xi P X X P X X P X Xn n( ) ( ) ( ) .... ( ) 1 1 2 2

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Valor esperado de una variable aleatoria.

El valor esperado es una idea fundamental en el estudio de las distribuciones

de probabilidad.

Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, se multiplica

cada valor que la variable puede tomar por la probabilidad de presentación de ese

valor y luego se suman esos productos. Es un promedio pesado de los resultados que

se esperan en el futuro. El valor esperado pesa cada resultado posible con respecto a

la frecuencia con que se espera se que presente. En consecuencia, las presentaciones

más comunes tienen asignadas un peso mayor que las menos comunes.

El valor esperado también puede ser obtenido a partir de estimaciones

subjetivas. En ese caso, el valor esperado no es más que la representación de las

convicciones personales acerca del resultado posible.

En muchas situaciones, encontraremos que es más conveniente, en términos

de los cálculos que se deben hacer, representar la distribución de probabilidad de una

variable aleatoria de una manera algebraica. Al hacer esto, podemos llevar a cabo

cálculos de probabilidad mediante la sustitución de valores numéricos directamente

en una fórmula algebraica.

El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio pesado del

valor de cada resultado posible multiplicado por la probabilidad de dicho resultado.

E X P P P

E X dias

( ) ( . ) ( . ) ( . )

( )

0 30 10 0 20 15 0 50 22

3 3 11 17

11

Aunque existen muchos valores diferentes posibles que la variable aleatoria puede

tomar, el valor esperado es sólo un número.

Cuando hablamos de la función de probabilidad, estamos evaluando la posibilidad de

que una variable aleatoria tome un valor específico o bien al hablar de una función de

distribución nos referimos al hecho de que una variable aleatoria tomé algún valor

dentro de un intervalo (donde una variable aleatoria es una variable continua) pero

estos conceptos no contemplan el hecho de que se requiera conocer la información de

un valor esperado, valor medio o esperanza matemática de una variable aleatoria.

3. PRUEBAS PARAMETRICAS. PROPIEADADES Y EJEMPLOS

Pruebas parametricas:

Consisten en que la mayoría de las pruebas de hipótesis que han analizado

han hecho inferencia respecto a los parámetros de la población, como la media y la

porción.

Estas pruebas parametricas han utilizado la estadística parametrica de muestra

que provinieron la población que estaba probando. Para formular estas pruebas

hicimos suposiciones restrictivas sobre las poblaciones de las que extraemos

nuestras muestras.

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4. PRUEBAS NOPARAMETRICAS.

Pruebas no paramétricas

Cuando no se puede pensar la pertenencia de una muestra a una población de

distribución conocida es el momento de emplear técnicas no paramétricas.

En muchas ocasiones, aún no conociendo la distribución poblacional, se puede,

en virtud del Teorema Central del Límite, asumir que la distribución es normal si el

tamaño maestral es suficientemente grande; pero cuando no es este el caso,

reiteradamente resultan pertinentes los métodos no paramétricos.

Estadística no paramétrica

La Estadística no paramétrica permite desplegar modelos estadísticos para

ejecutar ratificaciones de todo tipo de magnitud biológica, tanto cualitativa como

cuantitativa. El primer modelo es el de la Binomial, aplicable al caso de una sola

muestra, y que puede ser acercado con el de Gauss cuando las muestras sean grandes.

El segundo modelo de rachas en una muestra usa para validar la aleatoriedad en el

orden o secuencia de extracción de modelos de una población.

A continuación se desarrollan modelos para contrastar dos muestras entre sí.

Cuando los ejemplares sean igualadas se tienen dos modelos: el del Signo y el de

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Wilcoxon. Si bien este último es más poderoso que el otro porque usa mayor cantidad

de información, el del Signo se presenta por su uso propagado en Estudio Clínicos y

Farmacia. Cuando las muestras son autónomos, se presenta el modelo paramétrico

más poderoso, el modelo de la U de Mann-Whitney, casi tanto como su equivalente

paramétrico: el modelo Student para dos muestras independientes.

Propiedades

Modelo del Signo

Esta prueba se basa en los signos de las discrepancias observadas entre valores

apareados. La independencia se protege si la unidad de muestreo es el resultado de

comparar a las parejas entre sí, en lugar de usar las observaciones individuales. Cada

pareja de datos debe ser independiente de las otras, y la forma de lograrlo fácilmente

es seleccionada al azar al elegir los componentes de las muestras. Una primacía es que

puede usarse cuando las observaciones pareadas están simplemente ordenadas por

rangos. No es necesaria la homogeneidad de las varianzas, ni que las muestras sean

extraídas de la misma población. Su desventaja es que elimina mucha información

pues la reduce a una dicotomía. Otras ventajas son: la facilidad de aplicación, la

reducción de tiempo y costo para el investigador. Los supuestos básicos para aplicar

este modelo son:

- La variable subyacente en las determinaciones es continua;

- los pares de muestras son independientes;

- la hipótesis nula es: los signos se distribuyen al azar alrededor de la mediana.

Este último implica que las diferencias deben ser tales que aproximadamente

la mitad de ellas sean positivas y la otra mitad negativas. Por supuesto que puede

14

haber ligas, esto es, parejas de muestras cuya diferencia sea nula. Para el modelo solo

interesan las otras. Se toma en cuenta el número n de diferencias halladas (n + :

cantidad de signos positivos y n - : número de negativos).

Donde n ++ n - = n. Este valor puede ser a lo sumo igual al número total N de parejas

testeadas.

O sea, N = n + e (donde e es la cantidad de empates o ligas encontrados). En

resumen, el procedimiento para emplear este modelo sigue los pasos:

Paso 1) Se efectúan las parejas de mediciones y se determina el signo de diferencia.

Paso 2) Se cuenta el número de (+) y el de (-) hallados y así se calculan: n ++

n - = n.

Paso 3) Se elige al menor de ellos como x = n mínimo para efectuar el test.

Paso 4) Dependiendo del tamaño de la muestra se siguen dos caminos:

( I )Muestras pequeñas

( n < 25 ): se usa la Tabla 8 del Anexo de Tablas Estadísticas para determinar el valor

crítico en un ensayo de una sola cola Bx = B

. Para un ensayo de dos colas se duplica el valor de tablas Bx = 2 B

. El estadígrafo comparativo es la probabilidad para la frecuencia menor obtenida, o

sea con el valor x (frecuencia menor) se saca de tablas el valor B y se calcula Bx según

si es de una o dos colas. Luego si Bx < se rechaza Ho.

(II)Muestras grandes

( n > 25 ): se usa la aproximación normal a la binomial, para determinar Z en forma

análoga a las vistas antes, con la debida corrección por continuidad. Como la (Ho)

15

supone una igualdad entre la cantidad de positivos y negativos, se toma p = q = 0,5 y

así:

( r ± 0,5 ) -

r ( r ± 0,5 ) np

Z = = = [ (2 r ± 1 ) n ] / n versus Z

r .p.q.n

Ejemplo 1)

Muestras pequeñas: en un laboratorio se desea testear una nueva técnica. Para ello se

toman las determinaciones hechas en el día con la manera usual (método viejo) y se

las replica con el nuevo procedimiento, obteniéndose los valores:

Paciente Nuevo Viejo Signo

1 2,3 2,2 +

2 2,6 2,5 + N = 17

3 3,5 3,4 +

4 2,9 2,9 0 (+) = 11 = n+

5 2,5 2,4 +

6 3,3 3,1 + ( - ) = 3 = n-

7 1,7 1,8 -

8 2,8 2,8 0 ( 0 ) = 3

9 2,9 2,9 0

10 3,1 3,2 -

11 2,4 2,3 + Entonces

12 3,2 3,3 -

13 2,5 2,4 + n = 14

14 2,6 2,5 +

15 3,3 3,2 + x = 3

16

16 2,9 2,8 +

17 2,2 2,1 +

Del total de pruebas N = 17 solo interesan los n = 14 que no fueron empates (e

= 3). Con los 14 casos restantes se tienen: n + = 11 signos positivos y n - = 3

negativos; por lo tanto, se toma el valor mínimo como x < 3. Entrando a la Tabla 8

con n = 14 y x = 3, resulta un valor de probabilidad binomial: Bx = 0,029 que es menor

que el nivel de significación = 0,05, por lo que se debe rechazar la Ho. Esto

es, se tiene evidencia científica que ambos métodos no son equivalentes para las

mediciones realizadas. Por la cantidad de signos + parece que el método nuevo arroja

valores más grandes que el viejo. Para continuar, es conveniente obtener un suero

control y revisar la calibración de los métodos.

Ejemplo 2) Muestras grandes: el centro de estudiantes de cierta Facultad piensa que

una de sus autoridades debe ser removida de su cargo. Para ello planifica una campaña

de pegatinas y un congreso estudiantil ad-hoc, donde sus discípulos harán comentarios

significativos para convencer a los presentes. Uno del grupo, que cursó Bioestadística,

duda de la firmeza del plan y decide buscar evidencia científica para decidir si tuvo

efecto la asamblea. Prepara un sondeo a los asistentes para detectar los cambios "antes

y después" de la reunión, y elige al azar a 100 de ellos para encuestarlos.

Los casos que interesan son los 30 + 42 = 72 casos de cambios de opinión. Si

la asamblea no afectara a sus asistentes, cerca de la mitad de los que cambiaron de

opinión hubieran pasado de SÍ a NO y la otra mitad de NO a SÍ. Esto es: Ho: Se

esperan 36 cambios porque la asamblea no tuvo fruto. Los casos que atañen son los

que cambiaron de opinión n = 30 + 42 = 72.

Antes

r = n p = 72 (0,5) = 36

17

SI NO r = .p.qn = 72 (0,5)0,5 = 4,243

SI 9 42 r = 42 cambiaron de opinión de Si a NO

Después

NO 30 19 Z = [(42 0,5) 2 72]/ 72 = 1,3

Notar que si se hubiera tomado r = 30, el resultado sería el mismo: Z = 1,3 (no

significativo).

Como cae en la zona de aceptación con un nivel del 95% (Z = 1,96), no se puede

rechazar la hipótesis nula. La conclusión es que a pesar de los 42 casos que pasaron

de NO a SÍ no hay evidencia significativa como para pensar que la asamblea fue útil

a los fines estudiantiles.

Ejemplo 3) Muestras grandes:

Un farmacéutico que ha realizado transformaciones en el aspecto de su negocio,

realiza una encuesta entre sus clientes habituales para conocer su opinión respecto a

los cambios. Descarta a los que no emitieron opinión y a los que no tenían un

conocimiento previo de su empresa. Elige al azar 60 entre los remanentes. Encontró

que 48 de ellos emitieron una opinión que considera positiva y 12negativas. Ver si

obtuvo pruebas de que la imagen de su empresa ha mejorado.

(Ho) p = q = 0,5 las opiniones emitidas se deben al azar y no hay mejora de imagen.

De los datos surgen: r = n p = 60 (0,5) = 30 ; r = .p.qn = 3,873 y r = 48

Z = [( r ± 0,5 ) -

r] / r

Reemplazando con los de opinión positiva es: Z = [(48 - 0,5) 30)] / 3,873 = 4,52***

Reemplazando con los de opinión negativa es: Z = [(12 + 0,5) 30)] / 3,873 = 4,52***

Y también se puede calcular con la otra fórmula: Z = [2 (48 0,5) 60] / 60 = 4,52***

18

Por lo tanto, se rechaza la Ho de que el cambio de opinión se debe al azar, pues tiene

evidencia altamente significativa que justifica su esfuerzo por mejorar la imagen de

su farmacia.

5. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Las distribuciones de probabilidad están relacionadas con las distribuciones de

frecuencias. Una distribución de frecuencias teórica es una distribución de

probabilidades que describe la forma en que se espera que varíen los resultados.

Debido a que estas distribuciones tratan sobre expectativas de que algo suceda,

resultan ser modelos útiles para hacer inferencias y para tomar decisiones en

condiciones de incertidumbre.

Una distribución de frecuencias es un listado de las frecuencias observadas de

todos los resultados de un experimento que se presentaron realmente cuando se

efectuó el experimento, mientras que una distribución de probabilidad es un listado

de las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse si el

experimento se lleva a cabo.

Las distribuciones de probabilidad pueden basarse en consideraciones teóricas

o en una estimación subjetiva de la posibilidad. Se pueden basar también en la

experiencia.

Tipos de distribuciones de probabilidad.

Las distribuciones de probabilidad se clasifican como continuas y discretas.

En la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar sólo un número

limitado de valores.

En una distribución de probabilidad continua, la variable que se está

considerando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.

19

Las distribuciones continuas son una forma conveniente de presentar

distribuciones discretas que tienen muchos resultados posibles, todos muy cercanos

entre sí.

Una distribución probabilistica es una distribución de frecuencias relativas

respecto a resultados de espacio muestral; señala la proporción de veces en que la

variable aleatoria tiende a adoptar diversos valores.

Es un modelo teórico que describe la forma en que varían los resultados de un

experimento aleatorio. Lista de los resultados de un experimento con las

probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.

En estadística matemática la distribución de probabilidad F(x) es una función

de la probabilidad que representa los resultados que se van obteniendo en un

experimento aleatorio.

X P(X)

5 0.11

4 0.09

8 0.18

9 0.20

10 0.23

7 0.16

43 0.97

Para medir el nivel de conocimiento de los estudiantes que ingresa al colegio,

se aplico un examen a una muestra de 500 estudiantes. Las calificaciones obtenidas

se muestran en la siguiente tabla:

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Xi 3 4 5 6 7 8 9 10

fi 30 45 60 110 100 70 5 35

6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Son funciones de probabilidad en las cuales la variable aleatoria toma valores

discretos, entre las más importantes tenemos: La Distribución de Bernoulli o

Distribución Binomial, la Distribución Hipergeométrica, Distribución de Poisson

Diremos que una variable aleatoria X es discreta si puede tomar un numero finito de

valores o infinito numerable.

Características de una Variable Aleatoria Discreta

Sea X una variable aleatoria. discreta con función puntual de probabilidad

ii XXPXp llamamos esperanza matemática de la v.a. X a:

n

i

ii XPXXE1

.)(

Observación: La existencia de E(X) depende de la convergencia de la serie cuando X

toma un nº infinito numerable de valores.

Propiedades de la esperanza:

gener alen

YE

XE

Y

XE

YEXEYXE

YEXEYXE

YEXEYXE

bXaEbaXEXECC XE

CCEcteCSi

.6

...5

.4

.3

)(.)(.2

)(.1

Sea X una v.a discreta con función puntual de probabilidad ii XXPXp .

Llamamos varianza de la v.a. X a:

21

22 XEXVar

siendo )(XE

Propiedades:

22 )(XEXEXVar

Demostración:

22

22222222

)(

2.22)(

XEXVar

XEEXEXEXXEXEXVar

Propiedades:

)()()3

.)(.)2

0)()12

2

YVarXVarYXVar

bVarXVarabaXVarXVarCC XVar

CVarc teCSi

ct e

Definición: Llamamos desviación típica de la v.a. X a la raíz cuadrada positiva de la varianza

XVar

DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE BERNOULLI

Llamaremos experimento de Bernouilli a un experimento con dos resultados

posibles mutuamente excluyentes, que denominaremos éxito y fracaso, susceptible de

ser repetido indefinidamente bajo las siguientes condiciones:

a) Todas las realizaciones del experimento son independientes entre sí

b) La probabilidad de obtener éxito en cada realización se mantiene constante.

La distribución de Bernuilli es el modelo que sigue un experimento que se realiza

una sola vez y que puede tener dos soluciones: acierto o fracaso:

Cuando es acierto la variable toma el valor 1

Cuando es fracaso la variable toma el valor 0

22

Ejemplo:

Probabilidad de ser admitido en la universidad:

Probabilidad de ser admitido: p = 0,25

Probabilidad de no ser admitido: q = 0,75

p + q = 0,25 + 0,75 = 1

Ejemplo :

Probabilidad de acertar una quiniela:

Probabilidad de acertar: p = 0,00001

Probabilidad de no acertar: q = 0,99999

p + q = 0,00001 + 0,99999 = 1

DISTRIBUCION MULTINOMIAL.

Si los sucesos E1, E2, ....., Ek pueden ocurrir con frecuencias P1, P2,.....,Pk

respectivamente, entonces la probabilidad, entonces la probabilidad de E1, E2, .....,

Ek ocurran hasta X1, X2, ....., Xk veces, respectivamente es:

Donde:

N

X X XP P P

k

x x

k

x!

! !... !.....

1 2

1

1

2

2 1

X X X Nk1 2 ...

23

Esta distribución, que es una generalización de la distribución binomial, se llama

distribución multinomial, ya que la fórmula es el término general en el desarrollo

multinomial:

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

En estadística la distribución uniforme es una distribución de probabilidad cuyos

valores tienen la misma probabilidad.

Caso discreto

Su función de probabilidad es en el caso discreto con valores posibles

p(xi) = 1 / n.

Su función de distribución es en el caso discreto

Su media estadística es

Caso continuo

Su función de probabilidad en el caso continuo entre los valores a y b

La función de densidad en el caso continuo entre a y b es

( ..... )P P Pk

N

1 2

24

Su media estadística es (a + b) / 2 y su varianza (b - a)2 / 12.

Ejemplos

Para un dado perfecto todos los resultados tienen la misma probabilidad 1 / 6.

DISTRIBUCION BINOMIAL.

Cuando un ensayo de un experimento solo puede conducir solo a uno de dos

resultados mutuamente exclusivos, tales como vivo o muerto, varón o mujer, casado

o soltero, sano o enfermo, inteligente o tonto, etc.

El ensayo se conoce como: “Ensayo de Bernoulli”, en honor del matemático

suizo “Jame Bernoulli”.

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, aplicable cada

vez que se suponga que un proceso de muestreo conforma un proceso de Benoulli. Es

decir que ocurra un proceso de muestreo en el cual:

1. - Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u

observación.

2. - La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.

3. - La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el

proceso es estacionario.

Para aplicar esta distribución al calculo de la probabilidad de obtener un numero dado

de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres

25

valores: el numero designado de éxitos (m), el numero de ensayos y observaciones

(n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p). Entonces la probabilidad de que

ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:

P (x = m) = nCm Pm(1-P)n-m

Siendo nCm el numero total de combinaciones posibles de m elementos en un con

junto de n elementos. En otras palabras P(x = m) = m!/{m!(n-m)!}pm(1-p)n-m

Suponemos que repetimos un experimento un numero n de veces de manera

independiente. Si definimos:

X= “nº de éxitos obtenidos en los n experimentos”

Diremos que X sigue una distribución Binomial de parámetros.

éxitodeladpr obabilidp

er imentosdenn

expº

pnBX ,

rnr qpr

nrXP

.. Función puntual de probabilidad de la

distribución Binomial

Es función puntual de probabilidad:

11..1

nnn

r

rnr qpqpr

n

X la podemos considerar como suma de n variables Xi que siguen una

distribución de Bernouilli.

qpnqpXiVarXiVarXVar

pnpXiEXiEXE

n

i

n

i

n

i

n

ii

n

i

...

.

111

111

26

En general : Si se considera pruebas repetidas e independientes de un experimento

con 2 resultados, llamados un éxito y otro fracaso. Sea P o p la probabilidad favorable

y Q o q; Q=1-P , la probabilidad desfavorable. Si nos interesa el número de éxitos y

no el orden en que sucede, entonces la probabilidad se calcula haciendo uso de la

siguiente fórmula:

Una distribución sigue la ley binomial siempre y cuando se cumplan las siguientes

hipótesis:

- Las observaciones se clasifican en dos categorías, que son además excluyentes. Por

ejemplo, los elementos se pueden clasificar en aceptables o defectuosos

- Las observaciones son independientes. Esto significa que la probabilidad de que

aparezca un elemento aceptable es siempre la misma y a su vez la probabilidad de

aparición de un elemento defectuoso también se mantiene.

- La proporción de elementos de las dos categorías en las que se ha clasificado la

población es siempre constante.

El modelo de la distribución binomial se aplica a:

- poblaciones finitas, de las que se toman elementos al azar, con reemplazamientos.

- poblaciones consideradas infinitas desde el punto de vista conceptual, como son las

piezas que produce una máquina (defectuosas o aceptables), siempre que el resultado

de cada momento sea independiente de lo ocurrido con anterioridad.

Propiedades de la Distribución Binomial.

La media de una variable aleatoria binomial X, que se designa X0 o E(x), es el número

esperado de éxitos en “n” pruebas.

P x n pn

n x xp p

P x n pn

n x xp q

x n x

x n x

( ; , )!

( )! !( )

( ; , )!

( )! !

1

27

Desviación estándar ó típica. La varianza de la distribución de probabilidad binomial

que expresa de la siguiente manera:

La desviación típica se expresa:

Ejemplo

La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura Calculo de Probabilidades es

de 0,15. Si en un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos ¿Cuál es la probabilidad

de que aprueben 10 de ellos?

P(x = 10) = 15C10(0,15)10(0,85)5 = 10!/{10!(15-10)!}(0,15)10(0,85)5 = 7,68 * 10-6

Generalmente existe un interés en la probabilidad acumulada de "m o más " éxitos o

"m o menos" éxitos en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta que:

P(x < m) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x =m- 1)

P(x > m) = P(x =m+ 1) + P(x =m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x =n)

P(x < m) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x =m)

P(x > m) = P(x = m) + P(x =m+1) + P(x =m+2) +....+ P(x =n)

Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que aprueben:

a.- al menos 5

b.- mas de 12

a.- la probabilidad de que aprueben al menos 5 es P(x < 5) es decir que

P(x < 5) = P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)+P(x = 5)

P(x < 5) = 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156 + 0,045 = 0,8958

b.- la probabilidad de que aprueben mas de 12 es P(x > 12) es decir que

E x xP x n P( ) ( ) *

2 2 2 2 2 E x x p x( ) ( )

x p x2 2

( )

28

P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15)

P(x > 12) = 1,47 *10-9 +3,722 *10-11 +4,38 *10-13 = 1,507 *10-9

La esperanza matemática en una distribución binomial puede expresarse como

E(x) = np

Y la varianza del numero esperado de éxitos se puede calcular directamente:

Var(x) = np(1-p)

Distribución Binomial expresada en Proporciones:

En lugar de expresar la variable aleatoria como el numero de éxitos X, podemos

designarla en términos de la proporción de éxitos, p, que es la relación entre el numero

de éxitos y el numero de ensayos:

P = X

n

En tales casos la formula se modifica solo respeto de la definición de la proporción:

P( p = P/n) = nCxpx(1-p)n-x

Ejemplo

La probabilidad de que Juan pueda conquistar una chica es de 0,20. Si se seleccionan

5 chicas al azar, que se encontraran con Juan, ¿Cuál es la probabilidad la proporción

de chicas interesadas en Juan sea exactamente 0,2?

P(p = 0,2 = 1/5) = 5C1(0,20)1(0,80)4 = 0,4096

Cuando la variable binomial se expresa como una proporción, la distribución es aun

discreta y no continua. Solo pueden ocurrir las proporciones para las que el numero

de éxitos X es un numero entero. El valor esperado para una distribución de

probabilidad binomial expresada por proporciones es igual a la proporción de la

población:

E(p) = p

29

La varianza de una proporción de éxitos para una distribución de probabilidad

binomial es:

Var(p) = p(1-p)

N

Uso de la probabilidad bonomial

La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número"n" de veces el

experimento de Bernouilli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable

puede tomar valores entre:

0: si todos los experimentos han sido fracaso

n: si todos los experimentos han sido éxitos

Ejemplo

¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar

un dado 8 veces?

" k " (número de aciertos) toma el valor 4

" n" toma el valor 8

" p " (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es

1 / 6 (= 0,1666)

La fórmula queda:

Luego,

P (x = 4) = 0,026

30

Es decir, se tiene una probabilidad del 2,6% de obtener cuatro veces el número 3 al

tirar un dado 8 veces.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

La distribución binomial negativa permite hallar un número de "z" elementos de una

categoría antes de que aparezca el primer elemento de la otra categoría.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON:

Se utiliza para determinar la probabilidad de un numero designado de éxitos cuando

los eventos ocurren en un espectro continuo de tiempo y espacio. Tal proceso se

denomina Proceso de Poisson, es semejante al proceso de Bernoulli excepto que los

eventos ocurren en un espectro continuo en vez de ocurrir en ensayos u observaciones

fijas. Por ejemplo la entrada de materiales a una celda de producción, la llegada de

clientes a un servidor cualquiera, etc.

Solo se requiere un valor parea determinar la probabilidad de un numero designado

de éxitos en un proceso de Poisson: el numero promedio de éxitos para la dimensión

especifica de tiempo o espacio de interés. Este numero promedio se representa

generalmente por por o . La expresión matemática de la distribución de Poisson

es:

P(x| ) = xe- /x!

Suponemos que estudiamos un suceso que ocurre esporádicamente a lo largo de un

“soporte continuo” X= “nº de veces que aparece dicho suceso en un periodo de

tiempo” Diremos que X sigue una distribución de Poisson de parámetro

PX Si se cumplen 2 condiciones:

i. El suceso aparece, a largo plazo, un nº medio de veces

31

ii. La aparición del suceso ocurre de manera independiente (el nº de

veces que ocurre en un intervalo de tiempo no induce a saber el

nº de veces que ocurrirá en el siguiente intervalo).

er

rXPr

.!

Es función puntual de probabilidad:

22

00

0

00

..!1

..!

.

1.!

.!

XEXEXVar

eerr

reer

rXE

eeer

eer

r

r

r

r

r

r

r

r

Observación: Tanto la distribución Binomial como la Poisson son reproductivas

respecto a los parámetros n y respectivamente.

21

2

1

21

2

1,

,

,

PYXPY

PX

pnnBYXpnBY

pnBX

La distribución de Poisson se emplea para obtener modelos de probabilidad para

eventos raros, es decir, que no ocurren frecuentemente en el espacio, en el tiempo, o

en cualquier otra dimensión. Por ejemplo accidentes automovilísticos, accidentes

industriales, etc. en una unidad de tiempo dada. Otros ejemplos son el número de

llamadas telefónicas recibidas en una central en un tiempo dado. El número de

partículas radioactivas que decaen en un periodo de tiempo específico, el número de

errores de una secretaria al escribir una página, etc.

Ejemplo

Un puesto de trabajo en una línea recibe un promedio de 4 productos por hora. ¿Cuál

es la probabilidad de que reciba al menos 2 productos?

= 5, x< 2

P(x < 2| = 5) = 51 e-5/1! + 52 e-5/2! = 0,1179

32

Aproximación de Poisson de Probabilidades Binomiales:

Cuando el numero de observaciones o ensayos n en un proceso de Bernoulli es muy

grande, los cálculos son bastante tediosos. Mas aun, en general no se encuentran tablas

de probabilidad con valores muy pequeños de p. En estos casos la distribución de

Poisson es conveniente como una aproximación de probabilidades binomiales cuando

n es grande y p o (1-p) es pequeño. Empíricamente esta aproximación se puede hacer

cuando n > 30, y np < 5. La media de la distribución de Poisson, utilizada para

aproximar probabilidades binomiales es:

= np

Sí la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un

determinado suero es de 0.001, determinar la probabilidad de que de un total de 2000

individuos

a) exactamente tres tengan alguna reacción.

Este problema puede resolverse aplicando el concepto de distribución binomial, es la

cual una variable puede tomar sólo dos valores (éxito o fracaso).

Sea X = número de individuos que sufren alguna reacción.

De donde p=0.001 y n = 2 000 individuos. Entonces

33

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Permite calcular la probabilidad de que tengan que realizarse un número k de ensayos

para obtener un éxito en el último ensayo, siendo p la probabilidad de obtener un éxito.

Así pues, esta distribución es un caso particular de la distribución binomial negativa

para el caso en que r=1.

Se utiliza en la distribución de los tiempos de espera, de manera que si los ensayos se

realizan a intervalos regulares de tiempo, esta variable aleatoria proporciona el tiempo

transcurrido hasta el primer éxito. Por ejemplo, encontrar la primera pieza defectuosa,

la primera ocurrencia de un suceso, la llegada de un cliente a un lugar de servicio, la

rotura de una cierta pieza, etc.

Esta distribución presenta la propiedad denominada propiedad de Markov o de falta

de memoria, que implica que la probabilidad de tener que esperar un tiempo que no

depende del tiempo que ya se haya esperado.

La variable aleatoria al igual que en la distribución binomial, sólo puede tomar

dos valores (éxito o fracaso).

Las pruebas son también idénticas e independientes entre sí.

La probabilidad de éxito es p y se mantiene constante de prueba en prueba.

Sin embargo, mientras que en la distribución binomial se buscaba el número de éxitos

que ocurrían en “n” pruebas, en la distribución geométrica lo que se busca es el

número de pruebas necesarias para que ocurra un éxito, es decir, el experimento

consiste de una serie de pruebas, las cuales concluyen cuando un éxito es observado.

Ejemplo

34

Un jugador de baloncesto se dispone a tirar hasta anotar una canasta. Sí se supone

que sus tiros son independientes y la probabilidad de anotar una canasta es de 0.8.

¿Cual es la probabilidad de necesitar efectuar dos tiros?, ¿tres tiros?, ¿cuatro tiros?,

¿cinco tiros?, ¿n tiros?.

Sea Y = número de tiros necesarios para anotar una canasta

p= 0.8 q = 0.2

P( Y=2 ) =q p =(0.2)*(0.8) = 0.16

P( Y=3 ) = q q p = (0.2)(0.2)(0.8)= 0.032

P( Y=4 ) = q q q p = (0.2)(0.2)(0.2)(0.8) = 0.0064

P( Y=5) = q q q q p= (0.2)(0.2)(0.2)(0.2)(0.8)= 0.00128

P( Y=n) = q n-1 p =

b) ¿Cual es la probabilidad de necesitar a lo más 5 tiros?

P(Y<5)= P(1) +P(2)+ P(3)+ P(4)+ P(5)

35

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA:

Esta distribución se emplea para calcular la probabilidad de obtener

determinado número de éxitos en un espacio muestral de N ensayos; pero a diferencia

de la distribución binomial en donde los datos de la muestra se extraen cada reemplazo

para una población finita o sin reemplazo para una población infinita, en la

distribución hipergeométrica los datos de la muestra se extraen sin reemplazo en una

población finita. Por esto, en esta distribución hipergeometrica el resultado de una

observación depende o es afectado por el resultado de cualquier otra u otra

observación anterior.

Resumiendo diremos que la distribución hipergeometrica se emplea para

muestreos sin reemplazo de un población finita cuya probabilidad de ocurrencia

cambia a lo largo del ensayo. Su definición formal es:

Dado un espacio muestral S de tamaño N con los subespacios

Entonces la probabilidad de que n ensayos K pertenecen a M y (n-k)

pertenezcan a (N-M) esta dada por:

Donde:

M N y N M N ( )

M

k

Son las formas diferentes de elegir k

de elementos del subespacio muestral M

N

n

Son las formas diferentes de elegir n

elementos del subespacio muestral N

36

Gráficamente se puede representar así:

M (N-M)

K (n-k)

Siendo:

N: el tamaño del espacio muestral S.

n: el tamaño de la muestra cada número de ensayos.

M: el número de éxitos en el espacio muestral.

N-M: el tamaño de fracasos en el espacio muestral.

k: el tamaño de éxitos en la muestra.

n-k: el tamaño de fracasos en la muestra.

Ejemplo

Si en una empresa se presentan para cubrir 2 vacantes, 13 aspirantes de los

cuales 5 son hombres y 8 son mujeres. Calcular la variable aleatoria X: número de

hombres contratados.

Siendo N={13 aspirantes para cubrir 2 vacantes}

x= número de hombres contratados para cubrirlas

E0= se contratan K0=0 hombres contratar a (n-k0)=2 mujeres.

N M

n k

Son las formas diferentes de elegir n k

elementos del subespacio muestral N M

( )

( )

37

E1= se contratan K1= 1 hombre contratar a (n-k1)=1 mujer

E2= se contratan K2= 2 hombres contratar a (n-k2)=0 mujer

La visión gráfica del problema es:

M=5 (N-M)=8

K0=0 (n-k0)=2

K1=1 (n-k1)=1

K2=2 (n-k2)=0

Donde N=13 ; n=2

La distribución multihipergeométrica es similar a la distribución hipergeométrica,

con la diferencia de que en la urna, en lugar de haber únicamente bolas de dos colores,

hay bolas de diferentes colores.

Ejemplo

en una urna hay 7 bolas blancas, 3 verdes y 4 amarillas: ¿cuál es la probabilidad

de que al extraer 3 bolas sea cada una de un color distinto?

La distribución multihipergeométrica sigue el siguiente modelo:

Donde:

38

X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que

una de las bolas sea blanca)

N1: indica el número de bolas blancas que hay en la urna (en el ejemplo,

7 bolas)

N: es el número total de bolas en la urna (en el ejemplo, 14 bolas)

n: es el número total de bolas que se extraen (en el ejemplo, 3 bolas)

DISTRIBUCIÓN ZETA

En estadística la distribución zeta es una distribución probabilidad discreta con

un parámetro s > 1 cuya función de densidad para valores discretos x= 1,2 es:

P=(X=x)\frac{x^{-s{{zeta(s)}

Aquí ζ(s) es la función zeta de Rieman con

zeta(s)=\sum_{n=1}^infn\frac{1}-{n^s}

El equivalente continuo de la distribución zeta es la distribución Pareto

7. ¿QUÉ SON DISTRIBUCIONES CONTINUAS?

Se puede definir como la forma conveniente de presentar distribuciones disueltas

que tiene muchos resultados positivos todos muy cercanos entre si; pudiendo

observarse experimentos como el proceso de bernoulli.

Características

39

También la podemos llamar densidades de probabilidad zaq son graficas de

funciones en la estadística.

Es una distribución discreta.

Se puede representar mediante gráficos y tablas estadísticas

Poseen diferentes tipos de distribuciones como distribución normal,

estandarizadas beta, couchy y otros.

Característica fundamental podemos decir que es área situada debajo de la curva

que existen dos valores A, B cuales quiera; da la probabilidad de que una

variable aleatoria que tenga esta distribución tome un valor contenido en el

intervalo A, B.

Se deduce con los valores de una densidad de probabilidad o distribuciones

continuas no deben ser negativas z que el área total situada de la curva que

representa la certeza de que una variable aleatoria deben tomar uno de sus

valores, siempre es igual a 1.

Ejemplo: Si una variable continua tiene densidad que se muestra en el siguiente

grafico.

Solución: a) Como esta es el área situada debajo de la curva debe ser igual a 1; así

mismo, al multiplicar la base del rectángulo por su altura se obtiene

{3-(-2)}.1/5=5.1/5=1.

B) Al multiplicar la base del rectángulo correspondiente por su altura, se obtiene (3-

1).1/5= 2/5.

C) La respuesta es la misma que la de la parte B es decir 2/5.

40

1 2 3 0 -1 -2

1/5

2/5

3/5

41

Distribucion Normal ( gaussiana):

La distribución gaussiana, recibe también el nombre de distribución normal,

su grafica la cual recibe el nombre de (grafica normal), es la curva en forma de

campana, la cual describe en forma aproximada muchos fenómenos que ocurren en la

naturaleza, tales como la estructura de los seres humanos y el coeficiente de

inteligencia de los niños, la industria y la investigación. Las mediciones físicas

realizadas en campos tales como experimentos metereologicos, los estudios acerca de

las lluvias y las mediciones sobre partes manufacturadas se explican con la

distribución normal de manera adecuada.

Ya que una gran mayoría de las v.a continúas de la naturaleza siguen esta

distribución. Se dice que una v.a. X sigue una distribución normal de parámetros y

, lo que representamos del modo si su función de densidad es:

Observación

Estos dos parámetros y coinciden además con la media (esperanza) y la varianza

respectivamente de la distribución como se demostrará más adelante.

42

La forma de la función de densidad es la llamada campana de Gauss.

Para el lector es un ejercicio interesante comprobar que ésta alcanza un único máximo

(moda) en , que es simétrica con respecto al mismo, y por tanto

, con lo cual en coinciden la media, la mediana y la

moda, y por último, calcular sus puntos de inflexión.

El soporte de la distribución es todo , de modo que la mayor parte de la masa de

probabilidad (área comprendida entre la curva y el eje de abcisas) se encuentra

concentrado alrededor de la media, y las ramas de la curva se extienden asintótica

mente a los ejes, de modo que cualquier valor ``muy alejado" de la media es posible

(aunque poco probable).

La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros y :

indica la posición de la campana (parámetro de centralización);

(o equivalentemente, ) será el parámetro de dispersión. Cuanto menor

sea, mayor cantidad de masa de probabilidad habrá concentrada alrededor de

la media (grafo de f muy apuntado cerca de ) y cuanto mayor sea ``más

aplastado" será.

La función característica de la distribución normal, se comprueba más adelante que

es

Como consecuencia, la distribución normal es reproductiva con respecto a los parámetros

, y , ya que

43

Observación

Como se ha mencionado anteriormente, la ley de probabilidad gaussiana la

encontramos en la mayoría de los fenómenos que observamos en la naturaleza, por

ello gran parte de lo que resta del curso lo vamos a dedicar a su estudio y a el de las

distribuciones asociadas a ella. Sin embargo, a pesar de su utilidad, hay que apuntar

un hecho negativo para esta ley de probabilidad:

La función no posee primitiva conocida las consecuencias desde el punto de vista

práctico son importantes, ya que eso impide el que podamos escribir de modo sencillo la

función de distribución de la normal, y nos tenemos que limitar a decir que:

44

sin poder hacer uso de ninguna expresión que la simplifique. Afortunadamente esto

no impide que para un valor de x fijo, F(x) pueda ser calculado. De hecho puede ser

calculado con tanta precisión (decimales) como se quiera, pero para esto se necesita

usar técnicas de cálculo numérico y ordenadores. Para la utilización en problemas

prácticos de la función de distribución F, existen ciertas tablas donde se ofrecen (con

varios decimales de precisión) los valores F(x) para una serie limitada de valores xi

dados. Normalmente F se encuentra tabulada para una distribución Z, normal de

media 0 y varianza 1 que se denomina distribución normal tipificada:

En el caso de que tengamos una distribución diferente , se obtiene Z

haciendo el siguiente cambio:

De manera general se tiene

Proposición (Cambio de origen y escala)

Sean . Entonces

Este resultado puede ser utilizado del siguiente modo: Si , y nos

interesa calcular ,

45

1.

Hacemos el cambio y calculamos ;

2.

Usamos la tabla 3, relativa a la distribución para obtener (de modo

aproximado) ;

3.

Como

tenemos que el valor obtenido en la tabla, FZ(z) es la probabilidad buscada.

Ejemplo

Supongamos que cierto fenómeno pueda ser representado mediante una v.a.

, y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39

y 48, es decir,

Comenzamos haciendo el cambio de variable

46

de modo que

Vamos ahora a demostrar algunas de las propiedades de la ley gaussiana que hemos

mencionado anteriormente.

Proposición

Sea . Entonces

Demostración

Por ser la normal una ley de probabilidad se tiene que

47

es decir, esa integral es constante. Con lo cual, derivando la expresión anterior con

respecto a se obtiene el valor 0:

luego .

Para demostrar la igualdad entre la y , basta con aplicar la misma técnica,

pero esta vez derivando con respecto a :

Luego

Para demostrar el resultado relativo a la función característica, consideramos en

primer lugar la v.a. tipificada de X,

48

y calculamos

Como , por la proposición deducimos que

Distribuciòn Normal estandar:

Se puede definir como la distribuciòn normal donde se examina la relaciòn especial

de la desviaciòn estandar con la curva normal.

En realidad en una familia de distribucionrsinfinitamente grande, que en

consecuencia sera inutil intentar elaborar las tablas suficientes para satisfacer las

necesidades de los posibles usuarios.

Por otra parte para la formula de ditribuciòn normal no es muy adecuada para

este fin debido a su complejidad. Existe sin embargo , una alternativa sencilla que

evita los problemas, se asemeja a la determinaciòn de probabilidad por la flecha

guiatoria.

49

Formula de la distribuciòn estandar: Z= X – u

Ejemplo:

Determinar el area de la curva normal estandar enter Zque es igual -1,20 y Z que es

igual a 0.

Soluciòn:

Como se puede aplicar en la siguiente fifura, el area que esta debajo de la curva

entre Z=-1,20 y Z= 0 es igual al area situada debajo de la curva entre Z= 0 y Z=

1,20, de esta manera se busca la captaciòn de Z= 1,20 y se obtiene 0,3849.

0.3849 0.3849

-1,20 0 1.20

Aproximación a la normal de la ley binomial

Se puede demostrar (teorema central del límite) que una v.a. discreta con

distribución binomial, se puede aproximar mediante una distribución

normal si n es suficientemente grande y p no está ni muy próximo a 0 ni a 1. Como

el valor esperado y la varianza de X son respectivamente y , la

aproximación consiste en decir que . El convenio que se suele

utilizar para poder realizar esta aproximación es:

50

aunque en realidad esta no da resultados muy precisos a menos que realmente nsea

un valor muy grande o .

Ejemplo

Durante cierta epidemia de gripe, enferma el de la población. En un aula con

200 estudiantes de Medicina, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 40 padezcan

la enfermedad? Calcular la probabilidad de que haya 60 estudiantes con gripe.

Solución: La v.a. que contabiliza el número de alumnos que padece la gripe es

cuya media es y su varianza es . Realizar los cálculos

con la ley binomial es muy engorroso, ya que intervienen números combinatorios de

gran tamaño, y potencias muy elevadas. Por ello utilizamos la aproximación normal

51

de X, teniendo en cuenta que se verifican las condiciones necesarias para que el error

sea aceptable:

Así aproximando la v.a. discreta binomial X, mediante la v.a. continua normal XN

tenemos:

También es necesario calcular . Esta probabilidad se calcula exactamente

como:

52

Dada la dificultad numérica para calcular esa cantidad, y como la distribución

binomial no está habitualmente tabulada hasta valores tan altos, vamos a utilizar su

aproximación normal, XN. Pero hay que prestar atención al hecho de que XN es una

v.a. continua, y por tanto la probabilidad de cualquier punto es cero. En particular,

lo que ha de ser interpretado como un error de aproximación. Hay métodos más

aproximados para calcular la probabilidad buscada. Por ejemplo, podemos

aproximar por el valor de la función de densidad de XN en ese punto (es

en el único sentido en que se puede entender la función de densidad de la normal

como una aproximación de una probabilidad). Así:

53

Por último, otra posibilidad es considerar un intervalo de longitud 1centrado en el

valor 60 del que deseamos hallar su probabilidad y hacer:

Ejemplo

Según un estudio, la altura de los varones de cierta ciudad es una v.a. X, que

podemos considerar que se distribuye según una ley gaussiana de valor esperado

y desviación típica . Dar un intervalo para el que tengamos

asegurado que el de los habitantes de la ciudad estén comprendidos en él.

Solución: Tenemos que . Si buscamos un intervalo donde

estar seguros de que el de los habitantes tengan sus alturas comprendidas en él

hay varias estrategias posibles:

1.

Podemos tomar el percentil 50, ya que este valor deja por debajo suya a la

mitad, 0,5, de la masa de probabilidad. Este valor, x0,5, se definiría como:

54

donde

El valor z0,5 lo podemos buscar en la tabla 3 (distribución ) y se

obtiene

Por tanto podemos decir que la mitad de la población tiene una altura inferior

a . Este resultado era de esperar, ya que en la distribución es

simétrica y habrá una mitad de individuos con un peso inferior a la media y

otro con un peso superior. Esto puede escribirse como:

El de la población tiene un peso comprendido en el intervalo .

55

2. Análogamente podemos considerar el percentil 50, y tomar como intervalo aquellos

pesos que lo superan. Por las mismas razones que en el problema anterior, podremos

decir:

El 50% de la población tiene un peso comprendido en el intervalo .

3. Los anteriores intervalos, aún dando un resultado correcto, no son satisfactorios en

el sentido de que son muy grandes, y no tienen en cuenta la simetría de la distribución

normal para tomar un intervalo cuyo centro sea . Vamos a utilizar entonces otra

técnica que nos permita calcular el intervalo centrado en la media, y que además será

el más pequeño posible que contenga al de la población.

Para ello observamos que la mayor parte de probabilidad está concentrada siempre

alrededor de la media en las leyes gaussianas. Entonces podemos tomar un intervalo

que contenga un de probabilidad del lado izquierdo más próximo a la media, y

un del derecho.

Esto se puede describir como el intervalo

56

donde x0,25 es el valor que deja por debajo de sí al de la masa de probabilidad y

x0,75 el que lo deja por encima (o lo que es lo mismo, el que deja por debajo al de

las observaciones). Del mismo modo que antes estos valores pueden ser buscados en

una tabla de la distribución normal, tipificando en primera instancia para destipificar

después:

donde

En una tabla encontramos el valor z0,75, y se destipifica:

Análogamente se calcularía

57

donde

Por la simetría de la distribución normal con respecto al origen, tenemos que

z0,25= - z0,75.Luego

En conclusión:

El de la población tiene un peso comprendido en el intervalo

[168,25,181,75].

De entre los tres intervalos que se han calculado el que tiene más interés es el último,

ya que es simétrico con respecto a la media, y es el más pequeño de todos los posibles

(más preciso). Este ejemplo es en realidad una introducción a unas técnicas de

inferencia estadística que trataremos posteriormente, conocidas con el nombre de

``estimación confidencial'' o ``cálculo de intervalos de confianza''

58

Distribución Gamma:

Concepto:

Pues el tiempo de espera hasta la ocurrencia del suceso r – hicimos obedece a una

distribución gamma con parámetros =r y B =9. Observe que la función de

densidad gamma se convierte en la distribución exponencial cuando =r =1 y

B = 0.

Es decir la suma de n variables independientes, exponencialmente

distribuidas cada una con parámetros O, se distribuye según la distribución gamma

con parámetro gamma con parámetros = n y B = 9

Distribución exponencial

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución

geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:

Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo

que,

el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello

ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en

el que no ha pasado nada.

Ejemplos de este tipo de distribuciones son:

El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El

conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por

ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la

técnica del carbono 14, C14;

59

El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada

de un paciente;

En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a

intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de

dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilística exponencial. Por

ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida

importante.

Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de , es tal que su

función de densidad es

se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro , .

Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,

luego la función de distribución es:

60

Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribución exponencial, obtenemos en

primer lugar la función característica

para después, derivando por primera vez

y derivando por segunda vez,

Entonces la varianza vale

61

Ejemplo

En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de . Sabiendo que la

duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantas idas

transcurrirán hasta que haya desaparecido el de este material?

Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de es una v.a. de

distribución exponencial:

Como el número de átomos de existentes en una muestra de 10 gramos es enorme, el

histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegración de cada uno

de estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo

modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva

de su función de distribución F. Entonces el tiempo que transcurre hasta que el del

material radiactivo se desintegra es el percentil 90, t90, de la distribución exponencial, es

decir

62

Ejemplo

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una

distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a

una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro

antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un

paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de años?

Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una

persona. Tenemos que

Entonces

En segundo lugar

63

Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,

o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que en

la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución exponencial no

tiene memoria".

Diagrama de Pareto.

Revela:

Que unas pocas “causas vitales” son responsables de la mayoría de los

problemas.

El resto de los problemas son consecuencia de las “muchas causas triviales”.

Definición:

64

Gráfico de barras, que ilustra las causas de los problemas de un proceso en

orden de severidad según frecuencia.

Chi-cuadrado

Es una técnica estadística que permite determinar sí dos o más

variables son independientes o sí la ocurrencia de una de ellas

esta supeditada a la otra , en este caso , se dice que hay

Dependencia con una variable con respecto a otra.

Es una prueba de hipótesis basada, en la diferencia entre los

Valores observados y los valores esperados (esperados bajo la

Hipótesis nula). En el caso más sencillo, puede aplicarse a datos clasificados

en varias celdas , según un factor único , como una Estación del año.

El también puede aplicarse a datos clasificados según dos

Factores para probar su independencia mutua. Las pruebas están

diseñadas para variables puramente categóricas como es el sexo o

la nacionalidad ( en tanto que los procedimientos como la regresión

son apropiados para variables numéricas como el ingreso y la

Productividad).

Estadísticamente se Expresa así:

65

(

La media de esta distribución es n-1 y como sucede con la

distribución T, llamamos a esta cantidad numero de grados de

libertad o simplemente grados de libertad . Lo denominamos la

varianza de la muestra lo denominamos la desviación

estándar de la población.

Pruebas de Chi-Cuadrado.

Chi- Cuadrado proporciona una prueba simple basada en la

diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas . Dado que es tan

fácil comprender y calcular , es una forma muy popular de prueba de

hipótesis , asimismo hace pocas suposiciones respecto a la población

original que suele clasificarse como prueba no parametrica.

Distribución de Student

Es la familia de distribuciòn de probabilidades dque se distinguen por sus

grados de libertad individuales, es parecido, en forma, a la distribuciòn normal; y se

utiliza cuando se desconoce la desviaciòn estandar para la poblaciòn y el tamaño de

la muestra.

66

La distribución -Student se construye como un cociente entre una normal y

la raíz de una independientes. De modo preciso, llamamos distribución t-Student

con n grados de libertad, a la de una v.a. T,

donde , . Este tipo de distribuciones aparece cuando tenemos

n+1 v.a. independientes

y nos interesa la distribución de

La función de densidad de es

67

La distribución de Student tiene propiedades parecidas a :

Es de media cero, y simétrica con respecto a la misma;

Es algo más dispersa que la normal, pero la varianza decrece hasta 1 cuando

el número de grados de libertad aumenta.

Distribución Beta:

Es usada frecuentemente en los tecnicos Per ( Program Evaluation S Revien

Techniquies) para control de proyectos en la tecnica Pert se supone que los tiempos

de cada actividad “q” componen un proyecto son variables aleatorias que obedecen a

la ditribuciòn beta. Esta distribuciòn tiene caracteristicas que se adieren bien con las

caracteristicas de las variables aleatorias usadas en Pert a) Pequeñas probabilidades

de que se den los valores extremos. B) Es un buena distribuciòn unimodal.

Represetaciòn Grafica

F(t)

68

0 A B X

Distribución de Snedecor

Otra de la distribuciones importantes asociadas a la normal es la que se define

como cociente de distribuciones independientes. Sean e v.a.

independientes. Decimos entonces que la variable

sigue una distribución de probabilidad de Snedecor, con (n,m) grados de libertad.

Obsérvese que .

La forma más habitual en que nos encontraremos esta distribución será en el caso en

que tengamos n+m v.a. independientes

69

y así

De esta ley de probabilidad lo que más nos interesa es su función de distribución:

y para ello, como en todas las distribuciones asociadas a la normal, disponemos de

una tabla (la número 6) donde encontrar aproximaciones a esas cantidades

Es claro que la distribución de Snedecor no es simétrica, pues sólo tienen densidad

de probabilidad distinta de cero, los punto de . Otra propiedad interesante de la

distribución de Snedecor es:

70

También podemos definir la función F como la distribución maestral de la

razón de 2 variables y Ji Cuadrado independiente.

Su característica fundamental es que existe una distribución F diferente para

cada combinación de tamaño y numero de muestra.

Uso de la tabla en la Distribución “F” de Snedecor:

Los valores que se indican en la tabla “F” son valores críticos; es decir las

líneas divisorias que separan la variación aleatoria de la no aleatoria. Al realizar de

la prueba de variación las dos estimulaciones muestréales de la variación se utilizan

para calcular una razón F. posteriormente el numero resultante se compone dar el

valor F que se encuentra en la tabla.

Si el valor calculado es mayor que el valor tabular, la hipótesis nula es

rechazada. Si el valor calculado es menor que el valor presentado en la tabla, la

hipótesis nula no puede ser rechazado.

8. DISTRIBUCIONES SIMÉTRICAS Y DISTRUBUCIONES SESGADAS

SIMETRICAS

Se dice que la distribución es simétrica si se puede dividir en dos mitades que

parecen ser la imagen una de la otra. En estos casos las frecuencias en los extremos

de la distribución son idénticas. La gráfica puede tener diferentes formas. Una de estas

formas es la de campana.

71

Otra forma es la rectangular

DISTRIBUCIÓN SESAGADA

Si la distribución tiene algunos valores extremos muy bajos, entonces en la

gráfica se nota una cola larga y fina hacia la izquierda de la distribución y se dice que

la distribución está sesgada negativamente o que tiene un sesgo a la izquierda.

72

Si la distribución tiene algunos valores extremos altos, entonces en la gráfica

se nota una cola larga y fina hacia la derecha de la distribución y se dice que la

distribución está sesgada positivamente o que tiene un sesgo a la derecha.

73

CONCLUSION

El estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada ganar en los

juegos y pasatiempos. El adelanto de estas herramientas fue asignado a los

matemáticos. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y

encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. En la actualidad se

continúa con el estudio de nuevas metodologías que permitan propagar el uso de la

computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los

márgenes de error en los cálculos

Los métodos probabilísticas son usados muy comúnmente en la vida diaria,

principalmente en empresas para estudios de producción, mercado y en estudios

donde la muestra representada es elevada, es de suma importancia saber que muchos

de nuestros eventos se debe o se estudia a través de una probabilidad.

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BIBLIOGRAFÍA

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Montgomery, D. Y Runger, G. (1996) Probabilidad y estadística. Editorial

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Gene. V. Glass, Julián C. (1986) Métodos Estadísticos Aplicados a las Ciencias

Sociales. Editorial Prenticehall. Hispano América, S.A. México

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ANEXO 2

CALCULO DE DISTRIBUCIONES BINOMIAL NEGATIVA MEDIANTE

PROGRAMAS EN COMPUTADORA

En el siguiente gráfico se muestra la función de probabilidad de la distribución

Binomial negativa con un número de éxitos igual a 10 y una probabilidad de éxito de

0.4. En abcisas se representan los distintos valores que puede tomar la variable X

(número de ensayos), y en ordenadas se representa la probabilidad asociada a cada

valor posible de X.

En la dirección http://home.clara.net/sisa/negbino2.htm se puede acceder a una página

con la calculadora que se muestra a continuación, en la que se han introducido los

parámetros utilizados en el gráfico anterior para el cálculo de probabilidades no

acumuladas basadas en la función de probabilidad de la distribución Binomial

negativa. S.I.S.A. Simple Interactive Statistical Analysis.

..

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ANEXO3 (nota presione “control +clic)