1 de enero de 2013

DISTRIBUCION GUMBEL

La LEY DE GUMBEL o ley de valores extremos se utiliza generalmente para ajustar a una expresión matemática, las distribuciones empíricas de frecuencias de caudales máximos anuales, precipitaciones máximas anuales, etc.

FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

f ( x )= 1αe−(

x−uα

)−e

−( x−u

α )

Si: función acumulada es:

f ( x )=e−e−( x−u

α )

La variable aleatoria reducida gumbel es:

y= x−uα

La función acumulada reducida gumbel es:

G ( y )=e−e−y

Los valores correspondientes x e y, están relacionados por:

Por:

F ( x )=G ( y )

si; y i=x i−uα

x=u+αy

Puede utilizarse:

α=√6πS=0.78S

u=x−0.45S

S=√∑(X−X)2

N−1

X=∑i=1

N

x i

N

1 de enero de 2013

Ejemplo:Se tiene un registro de caudales de 29 años para la estación “A”. En este rio se desea construir una presa de almacenamiento, calcular el caudal de diseño para el vertedor de demasías, con un periodo de retorno de 50 años. Aplicar la distribución GUMBEL.

ESTACION “A” caudales en m3/s

Q(m3/s) Q(m3/s) Q(m3/s) Q(m3/s) Q(m3/s) Q(m3/s)1660 557 824 360 610 921

618 917 818 1230 367 1150876 683 3800 1030 522 658563 740 934 1410 418 581824 520 1120 779 2280 -

DESARROLLANDO:Cálculos previos:

Procedimiento Para la aplicación de la PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE, mediante GUMBEL.

Necesitamos:

1) Calculo probabilidad empírica o experimental, P(x), de los datos (WEIBULL).

P ( x )= mN+1

2) Calculo de la probabilidad teórica; G(y), función acumulada reducida “GUMBEL”:

G ( y )=e−e−y

Para lo que necesitamos Las variables aleatorias reducidas “GUMBEL”:

y= x−650.360532.525

3) Calcular: G ( y )−P(x )4) Seleccionar la máxima diferencia ∆=máx∨G ( y )−P ( x )∨¿5) Hallar valor crítico del estadístico ∆ , es decir ∆ o para;

α=0.05 y N=296) Comparamos ∆ con ∆ o, si:

∆<∆o ajustebueno

X=∑i=1

29

x i

29

X=957.587m3/s

S=√∑(X−X)2

28

S=682.72m3/ s

α=0.78 S

α=532.525m3/s

u=x−0.45S

u=957.587−0.45 (682.72 )

u=650.360m3 /s

1 de enero de 2013

∆≥∆ oajusteno bueno

Resumido todo en la siguiente tabla: PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

m X P(X) Z F(Z) |F(Z)-P(x)|

1 35.5 0.012987013 -0.58605 0.20447009 0.19148308

2 69 0.025974026 1.51430 0.53530044 0.50932641

3 37.5 0.038961039 -0.46066 0.23433209 0.19537105

4 55.8 0.051948052 0.68670 0.42653174 0.37458368

5 26.8 0.064935065 -1.13152 0.12610622 0.06117116

6 72.5 0.077922078 1.73374 0.6427127 0.56479062

7 44 0.090909091 -0.05313 0.33060204 0.23969295

8 56.3 0.103896104 0.71805 0.49100696 0.38711086

9 30.3 0.116883117 -0.91208 0.17543979 0.05855668

10 52 0.12987013 0.44845 -2.10742164 2.23729177

11 28.9 0.142857143 -0.99985 0.15864791 0.01579077

12 90 0.155844156 2.83093 1.08957716 0.933733

13 50.7 0.168831169 0.36694 0.50424645 0.33541528

14 47.5 0.181818182 0.16631 0.46123114 0.27941295

15 52.3 0.194805195 0.46726 0.54225151 0.34744632

16 24.3 0.207792208 -1.28826 0.08039499 0.12739722

17 58.4 0.220779221 0.84971 0.65991096 0.43913174

18 48.5 0.233766234 0.22901 0.49437749 0.26061126

19 48.8 0.246753247 0.24782 0.5061369 0.25938366

20 22.9 0.25974026 -1.37603 0.04708419 0.21265607

21 56.1 0.272727273 0.70551 0.68468449 0.41195721

22 45.2 0.285714286 0.02211 0.4756133 0.18989901

23 41.1 0.298701299 -0.23495 0.39689721 0.09819591

24 76.6 0.311688312 1.99079 1.15501028 0.84332196

25 72.4 0.324675325 1.72747 1.07914376 0.75446843

26 41.3 0.337662338 -0.22241 0.40479395 0.06713161

27 22.6 0.350649351 -1.39484 -0.00204066 0.35269001

28 37 0.363636364 -0.49201 0.3113617 0.05227466

29 84 0.376623377 2.45475 1.36039199 0.98376861

30 34.6 0.38961039 -0.64248 0.25706745 0.13254294

31 25.2 0.402597403 -1.23183 0.04411895 0.35847846

32 69.5 0.415584416 1.54565 1.17147963 0.75589521

33 30.5 0.428571429 -0.89954 0.15484546 0.27372597

34 45.3 0.441558442 0.02838 0.50720226 0.06564382

35 50.9 0.454545455 0.37948 0.64363052 0.18908507

36 58.8 0.467532468 0.87479 0.83770783 0.37017536

37 39.6 0.480519481 -0.32899 0.37064022 0.10987926

38 31 0.493506494 -0.86819 0.16079466 0.33271184

39 37.2 0.506493506 -0.47947 0.31024049 0.19625301

40 48.9 0.519480519 0.25409 0.59999471 0.08051419

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

1 de enero de 2013

41 24.6 0.532467532 -1.26945 -0.0040914 0.53655894

42 35.8 0.545454545 -0.56724 0.27419732 0.27125722

43 42.7 0.558441558 -0.13463 0.44628121 0.11216035

44 37.7 0.571428571 -0.44812 -0.040655 0.61208357

45 54.6 0.584415584 0.61146 0.7434014 0.15898581

46 33.9 0.597402597 -0.68637 0.22686585 0.37053675

47 36.5 0.61038961 -0.52336 0.29364477 0.31674484

48 36.5 0.623376623 -0.52336 0.29431813 0.3290585

49 23.5 0.636363636 -1.33842 -0.02531752 0.66168116

50 30 0.649350649 -0.93089 0.13936552 0.50998513

51 66.3 0.662337662 1.34502 1.02357612 0.36123846

52 23.6 0.675324675 -1.33215 -0.00065348 0.67597815

53 43 0.688311688 -0.11582 0.46309747 0.22521422

54 45.9 0.701298701 0.06600 0.53122083 0.17007787

55 40.9 0.714285714 -0.24749 0.4197943 0.29449141

56 28.7 0.727272727 -1.01239 0.14571661 0.58155611

57 31.9 0.74025974 -0.81176 0.22194948 0.51831026

58 36.3 0.753246753 -0.53589 0.34863306 0.4046137

59 42.6 0.766233766 -0.14090 0.48127192 0.28496185

60 69.7 0.779220779 1.55819 1.02837846 0.24915768

61 40 0.792207792 -0.30392 0.55523907 0.23696872

62 47.3 0.805194805 0.15377 0.52699074 0.27820406

63 47.2 0.818181818 0.14750 0.60564083 0.21254099

64 29 0.831168831 -0.99358 0.30095555 0.53021329

65 26.8 0.844155844 -1.13152 0.38009104 0.46406481

66 38.5 0.857142857 -0.39796 0.59772702 0.25941584

67 40.6 0.87012987 -0.26630 0.65126614 0.21886373

68 30.9 0.883116883 -0.87446 0.63403826 0.24907862

69 54.5 0.896103896 0.60519 0.82510812 0.07099577

70 84.5 0.909090909 2.48610 1.05082605 0.14173514

71 31.5 0.922077922 -0.83684 2.77263643 1.8505585

72 46.2 0.935064935 0.08481 -0.51239751 1.44746245

73 65 0.948051948 1.26351 0.93674303 0.01130892

74 62.5 0.961038961 1.10677 0.96733858 0.00629961

75 27.7 0.974025974 -1.07509 0.9294384 0.04458757

76 51.7 0.987012987 0.42964 0.98086748 0.00614551

RESULTADOS

N 76x 44.84

7

s( desviación estándar)

15.949

∆máximo de cálculo 0.156

1 de enero de 2013

Ya obtuvimos el obtuvimos el∆máximo de los datos, ahora encontramos el ∆ s−k estadístico, para compararlos:

∆ s−k Para N=76 y α=0.05

TR(años) F(Y) Z+ F(Z+) F(Z)

0.79954 0.84

5 0.80 0.8 0.84164286 0.84164286

0.80234 0.85

0.89973 1.28

10 0.9 0.9 1.28155172 1.28155172

0.90147 1.29

0.93319 1.49

15 0.933333333 0.9333333 1.49111085 1.49111085

0.93448 1.5

0.95994 1.75

25 0.9600 0.96 1.75069767 1.75069767

0.9608 1.76

0.97982 2.05

50 0.9800 0.98 2.05375 2.05375

0.9803 2.06

0.98983 2.32

100 0.990 0.99 2.3262963 2.3262963

0.9901 2.33

=Δ 2.23729177

critico=Δ 0.1560027

Como: Δmáx(0.156) < Δs-k(0.246), entonces el ajuste es bueno, al nivel de significancia seleccionado. “Información confiable”

CALCULAMOS QDISEÑO para T R=50años

TIEMPO DE RETORNOEl tiempo de retorno es calculado con la siguiente formula:

T R=1

1−G( y )

Como deseamos calcular para tiempos de retorno de 10, 25, 50, 100 y 200 años. Despejando tenemos:

INTERPOLACIONES PARA " Z "

1 de enero de 2013

G( y)=1

1−T R

Los caudales máximos para un tiempo de retorno de 10, 25, 50, 100 y 200 años, se obtiene hallando los “y” de los valores de G(y);

G ( y )=e−e−y

Y reemplazando en la fórmula:

y= x−uα

DESPEJANDO CALCULAMOS Xi; EL CAUDAL PARA UN DETERMINADO TIEMPO DE RETORNO (Xi).

x i= y∗α+u

Como se muestra en la tabla:

TR(años) F(Y) Y x = Q(m3/s) HIDROESTA

5 0.8 1.49993999 56.3304238

10 0.9 2.25036733 65.6663293

15 0.9333333 2.67375209 70.9335684

25 0.96 3.19853426 77.4622708

50 0.98 3.90193866 86.2131739

100 0.99 4.60014923 94.8994618

0 20 40 60 80 100 1200

20406080

100

f(x) = 7.81981349674516 ln(x) + 46.8289099259708R² = 0.990940881458124

PRECIPITACION vs TIEMPO DE RETORNO

AJUSTE DE BONDAD SMIRNOV KOLMOGOROV

TIEMPO DE RETORNO (Años)

PREC

IPIT

ACIO

N (m

m)

CAUSAL DE DISEÑO

1 de enero de 2013

 Prueba de Kolmogórov-Smirnov

En estadística, la prueba de Kolmogórov-Smirnov (también prueba K-S) es una prueba no paramétrica que se utiliza para determinar la bondad de ajuste de dos distribuciones de probabilidad entre sí.

En el caso de que queramos verificar la normalidad de una distribución, la prueba de Lilliefors conlleva algunas mejoras con respecto a la de Kolmogórov-Smirnov; y, en general, el test de Shapiro–Wilk o la prueba de Anderson-Darling son alternativas más potentes.

Conviene tener en cuenta que la prueba Kolmogórov-Smirnov es más sensible a los valores cercanos a la mediana que a los extremos de la distribución. La prueba de Anderson-Darling proporciona igual sensibilidad con valores extremos.

1 de enero de 2013

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE SMIRNOV KOLMOGOROV

1 de enero de 2013

m x = P Y F(Y) |F(Y)-P(x)|

1 35.5 0.01298701 -0.17442566 0.30405027 0.29106326

2 69 0.02597403 2.518330365 0.922568125 0.8965941

3 37.5 0.03896104 -0.0136641 0.362852855 0.32389182

4 55.8 0.05194805 1.457304111 0.792261945 0.74031389

5 26.8 0.06493506 -0.87373842 0.091095141 0.02616008

6 72.5 0.07792208 2.799663084 0.940982672 0.86306059

7 44 0.09090909 0.508810945 0.548147962 0.45723887

8 56.3 0.1038961 1.4974945 0.799563029 0.69566693

9 30.3 0.11688312 -0.5924057 0.163927096 0.04704398

10 52 0.12987013 1.151857159 0.72902353 0.5991534

11 28.9 0.14285714 -0.70493878 0.132162534 0.01069461

12 90 0.15584416 4.206326678 0.985209466 0.82936531

13 50.7 0.16883117 1.04736215 0.704080874 0.53524971

14 47.5 0.18181818 0.790143664 0.635222722 0.45340454

15 52.3 0.19480519 1.175971392 0.734533892 0.5397287

16 24.3 0.20779221 -1.07469036 0.053445877 0.15434633

17 58.4 0.22077922 1.666294131 0.827831226 0.60705201

18 48.5 0.23376623 0.870524441 0.657880555 0.42411432

19 48.8 0.24675325 0.894638674 0.664476832 0.41772359

20 22.9 0.25974026 -1.18722345 0.037704829 0.22203543

21 56.1 0.27272727 1.481418344 0.796669753 0.52394248

22 45.2 0.28571429 0.605267877 0.579303844 0.29358956

23 41.1 0.2987013 0.275706692 0.468117695 0.1694164

24 76.6 0.31168831 3.129224269 0.957191576 0.64550326

25 72.4 0.32467532 2.791625006 0.940520828 0.6158455

26 41.3 0.33766234 0.291782848 0.473818607 0.13615627

27 22.6 0.35064935 -1.21133768 0.03480572 0.31584363

28 37 0.36363636 -0.05385449 0.348077183 0.01555918

29 84 0.37662338 3.724042017 0.976152738 0.59952936

30 34.6 0.38961039 -0.24676836 0.278069943 0.11154045

31 25.2 0.4025974 -1.00234766 0.065567776 0.33702963

32 69.5 0.41558442 2.558520753 0.925501822 0.50991741

33 30.5 0.42857143 -0.57632954 0.168723353 0.25984808

34 45.3 0.44155844 0.613305955 0.581841304 0.14028286

35 50.9 0.45454545 1.063438305 0.708031542 0.25348609

36 58.8 0.46753247 1.698446442 0.832795176 0.36526271

37 39.6 0.48051948 0.155135527 0.424731057 0.05578842

38 31 0.49350649 -0.53613915 0.180975359 0.31253113

39 37.2 0.50649351 -0.03777834 0.353984904 0.1525086

40 48.9 0.51948052 0.902676751 0.666654853 0.14717433

41 24.6 0.53246753 -1.05057612 0.05730898 0.47515855

42 35.8 0.54545455 -0.15031142 0.312798482 0.23265606

43 42.7 0.55844156 0.404315935 0.513023707 0.04541785

44 37.7 0.57142857 0.002412051 0.368766784 0.20266179

45 54.6 0.58441558 1.360847179 0.773798766 0.18938318

1 de enero de 2013

46 33.9 0.5974026 -0.3030349 0.258215256 0.33918734

47 36.5 0.61038961 -0.09404488 0.333334412 0.2770552

48 36.5 0.62337662 -0.09404488 0.333334412 0.29004221

49 23.5 0.63636364 -1.13899498 0.04399728 0.59236636

50 30 0.64935065 -0.61651993 0.156849256 0.49250139

51 66.3 0.66233766 2.301302268 0.904721276 0.24238361

52 23.6 0.67532468 -1.1309569 0.045111406 0.63021327

53 43 0.68831169 0.428430168 0.521247091 0.1670646

54 45.9 0.7012987 0.661534421 0.596868251 0.10443045

55 40.9 0.71428571 0.259630537 0.462394658 0.25189106

56 28.7 0.72727273 -0.72101494 0.12789836 0.59937437

57 31.9 0.74025974 -0.46379645 0.203905367 0.53635437

58 36.3 0.75324675 -0.11012104 0.3274522 0.42579455

59 42.6 0.76623377 0.396277857 0.510267734 0.25596603

60 69.7 0.77922078 2.574596909 0.926645201 0.14742442

61 40 0.79220779 0.187287838 0.436396072 0.35581172

62 47.3 0.80519481 0.774067508 0.630568438 0.17462637

63 47.2 0.81818182 0.766029431 0.628226098 0.18995572

64 29 0.83116883 -0.69690071 0.134321223 0.69684761

65 26.8 0.84415584 -0.87373842 0.091095141 0.7530607

66 38.5 0.85714286 0.066716673 0.392405237 0.46473762

67 40.6 0.87012987 0.235516304 0.453770924 0.41635895

68 30.9 0.88311688 -0.54417723 0.178495835 0.70462105

69 54.5 0.8961039 1.352809101 0.772198954 0.12390494

70 84.5 0.90909091 3.764232405 0.977081314 0.0679904

71 31.5 0.92207792 -0.49594876 0.19358174 0.72849618

72 46.2 0.93506494 0.685648654 0.604252359 0.33081258

73 65 0.94805195 2.196807258 0.894797816 0.05325413

74 62.5 0.96103896 1.995855316 0.872932218 0.08810674

75 27.7 0.97402597 -0.80139572 0.107673765 0.86635221

76 51.7 0.98701299 1.127742926 0.723421536 0.26359145

TR(años) F(Y) Y x = Q(m3/s) HIDROESTA

CAUSAL DE DISEÑO

1 de enero de 2013

5 0.8 1.49993999 56.3304238

10 0.9 2.25036733 65.6663293

15 0.9333333 2.67375209 70.9335684

25 0.96 3.19853426 77.4622708

50 0.98 3.90193866 86.2131739

100 0.99 4.60014923 94.8994618

0 20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100f(x) = 12.8402125579439 ln(x) + 35.9680766884608R² = 0.999781797547118

CAUDAL vs TIEMPO DE RETORNO

CAUDAL vs TIEMPO DE RETORNOLogarithmic (CAUDAL vs TIEMPO DE RETORNO)

TIEMPO DE RETORNO (Años)

CAUD

AL (m

3/s)

Docente : Hamilton CuevaAlumna : Fernandez Altamirano KellyCurso : Hidrologia Aplicada