PROGRAMACIN APLICADA AL ANLISIS ESTRUCTURAL Gua de Clases Profesor Francisco DAmico DAgosto DEPARTAMENTO DE PROGRAMACIN Y TECNOLOGA EDUCATIVA UNIVERSIDAD METROPOLITANA Revisin Septiembre 2003 DERECHO DE AUTOR Y MARCAS REGISTRADAS EllibroGuadeClaseshasidoelaboradocomobibliografade apoyoparaelcursodeProgramacinBPPR02quesedictaenla UniversidadMetropolitanadentrodelflujogramadecomponentes obligatorios de la carrera de Ingeniera Civil. Los conceptos, teoras, hiptesis, algoritmos y procedimientos descritos en este libro son de uso acadmico exclusivamente y bajo la autorizacin del autor. Microsoft,MS,MS-DOSyWindowssonmarcascomerciales registradas de Microsoft Corporation. OFFICE,Excel,WordyPowerPointsonmarcascomerciales registradas de Microsoft Corporation. VBAyVisualBasicsonmarcascomercialesregistradasde Microsoft Corporation. Pentium es una marca comercial registrada de Intel Corporation. AdobeyAcrobatsonmarcascomercialesdeAdobeSystems Incorporated. SAP2000,SAP2000Standard,SAP2000PlusySAP2000 NonLinear son marcas comerciales registradas de Computers and Structures Incorporated. AutoCADesunamarcacomercialregistradadeAutodesk Incorporated. Losnombresdeproductosmencionadosenestelibroseutilizan slo con propsitos identificativos y pueden ser marcas comerciales y/o marcas comerciales registradas de sus respectivas compaas. AGRADECIMIENTOS ElautordeseaexpresarsugratitudhaciatodosaquellosProfesores del Departamento de Programacin y Tecnologa Educativa y de la EscueladeIngenieraCivildelaUniversidadMetropolitanaque contribuyeronaldesarrolloyaplicacindelasideasqueestelibro recoge. Especial reconocimiento merece el Prof. Enrique Mayz Lyon, quien fueelresponsabledelaconcepcinydesarrollodelaversin original del curso de Programacin Aplicada a la Ingeniera Civil. i n d i c e d e C o n t e n i d o s Captulo IVBA y SAP2000 como Herramientas para elAnlisis Estructural1 Introduccin1 Aplicacin de VBA y Excel en el Anlisis Estructural2 SAP20003 SAP2000 Alcances y Limitaciones4 Captulo IIEl Estudio de las Estructuras5 Las Fuerzas Externas5 Las Reacciones de los Vnculos6 Los Sistemas Rgidos y los Sistemas Elsticos6 Las Deformaciones7 La Ley de Hooke8 Los Materiales Elsticos8 Las Caractersticas de Solicitacin8 El Principio de Superposicin9 Los Factores de Seguridad10 El Anlisis estructural por Computadora10 Captulo IIISolucin de Vigas por Integracin12 Relaciones entre q, V, M12 Las Deformaciones14 La Ecuacin Diferencial de la Curva Elstica14 Integracin de la Ecuacin de la Curva Elstica14 Condiciones en la Frontera15 Captulo IVOperaciones Bsicas en SAP200016 Introduccin16 ii El Modelo Estructural16 Definicin de la Geometra del Modelo18 Definicin de los Materiales18 Definicin de las Secciones Estructurales19 Definicin de las cargas Estticas20 Asignacin de las Secciones para los Miembros21 Asignacin de las Cargas e los Nodos21 Anlisis del Modelo22 Visualizacin de la deformada22 Obtencin de las Rotaciones y de los desplazamientos Nodales23 Obtencin de las reacciones en los Vnculos23 Solicitaciones en los Miembros24 Captulo VReferencias al Anlisis Bsico en SAP200025 Edicin de Grid Lines25 El Modelo Estructural25 Definicin de las Grid Lines26 Dibujo del Modelo Estructural28 Definicin de los Materiales29 Definicin de las Secciones estructurales30 Definicin de las Cargas estticas31 Asignacin de las Secciones para los Miembros31 Asignacin de las Cargas en los Miembros32 Anlisis del Modelo34 Obtencin de las Rotaciones y de los Desplazamientos Nodales35 Obtencin de las reacciones en los Vnculos35 Solicitaciones en los Miembros36 Vigas de Eje Curvo37 Introduccin37 Arcos Circulares37 Simulacin en SAP200038 Arcos Parablicos41 Simulacin en SAP200042 Captulo IVVigas de Celosa43 Elementos de lgebra Matricial43 Sistemas de Ecuaciones Lineales43 Vectores Fila y Columna44 Suma y Resta de Matrices44 Multiplicacin Escalar44 Multiplicacin Matricial44 Transpuesta de una Matriz45 Matriz Simtrica45 iii Matriz Unitaria (Identidad)45 Determinante de una Matriz45 Matriz Singular46 Matriz Inversa46 Diferenciacin e Integracin de Matrices47 lgebra Matricial en Excel47 Multiplicacin de Matrices47 Determinante de una Matriz48 Matriz Inversa48 Matriz Transpuesta48 Anlisis de Vigas de Celosa49 Las Fuerzas en las Barras49 Vigas de Celosa Estrictamente Indeformables49 Hiptesis Simplificativas51 Vigas de Celosa Estticamente Determinadas51 Matriz Transformada de Desplazamientos53 Matriz de Flexibilidad y Matriz de Rigidez55 Algoritmo para el Anlisis de Vigas de Celosa Estticamente Determinadas56 Aplicacin en SAP200057 Captulo VIIVigas Continuas59 Vigas cuyos Nodos no se Desplazan59 Mtodo de Cross para Vigas Continuas59 Variables que Intervienen en el Mtodo de Cross60 Rigidez del Tramo60 Factor de Distribucin61 Equilibrio61 Transferencia61 Momento Negativo en el Apoyo61 Viga de n-tramos, Seccin Constante o Variable de Tramo a Tramo, Carga Uniforme en Toda la Longitud62 Momento de Empotramiento62 Cortante Isosttico63 Cortante Hiperesttico63 Cortante Total64 Reaccin en los Apoyos64 Momento Mximo Positivo en el Tramo64 Captulo VIIIPropiedades Geomtricas de las Secciones65 El Baricentro de un Sistema de Masas65 iv Momento Esttico65 Propiedades del baricentro66 Las Coordenadas del Baricentro67 Los Sistemas Continuos67 El Momento de Inercia Axial69 Los Sistemas Continuos69 Teorema del Eje Paralelo70 Mdulos de Seccin71 Clculo de las Propiedades de una Seccin a partir de sus Coordenadas72 Algoritmo73 Captulo IXLa Estabilidad del Equilibrio Elstico76 Equilibrio Estable, Inestable, Indiferente77 El Teorema de Kirchhoff y los fenmenos de Inestabilidad78 El Criterio Esttico79 Carga Crtica de Euler80 Barras con Diferentes Tipos de Vnculos82 Lmite de Validez para la Frmula de Euler86 Aplicacin al Diseo de Elementos Comprimidos87 Algoritmo de Diseo87 Longitud Efectiva87 Relacin de Esbeltez87 Resistencia a Compresin88 Algoritmo de Diseo88 Bibliografa90 Observando a las criaturas de la naturaleza, he llegado a la conclusin de que, al igual que cada criatura de Dios intenta realizar lo que su propia naturaleza le exige, de la misma forma ha recibido los medios para alcanzar su meta. El ansia ms ntima de los humanos es alcanzar la sabidura y la comprensin; por lo tanto, podemos suponer que tambin ha recibido las facultades para llegar a ellas. Pero si investigamos la esencia de la sabidura humana, pronto nos damos cuenta de que todo conocimiento nace de la comparacin de lo ya sabido con lo desconocido. Por este camino podemos llegar lejos, pero nunca alcanzaremos lo infinito. El hombre no puede alcanzar la absoluta verdad, ni el conocimiento absoluto. Lo comprenders mejor si defino a Dios como la verdad absoluta. Nunca podremos entender la esencia de Dios. En consecuencia, todas nuestras verdades quedarn limitadas para siempre, y en proporcin con lo que ya sabemos. La absoluta verdad es infinita como lo es Dios, y por ello no la podemos entender. Tu no comprendes esto aadi- porque ests acostumbrado a mirar todo lo que hay a tu alrededor como seres tangibles. Sin embargo, mis estudios de matemticas me han llevado a comprender que el nico conocimiento definitivo que el hombre puede alcanzar es la comprensin de que el definitivo conocimiento no es alcanzable para l porque, si as fuera, l mismo se convertira en Dios. A esto lo llamo la ignorancia ignorante, ya que nos ofrece la nica base firme en que podemos fundar nuestro pensamiento razonable, sin caer en fantasas. MIKA WALTARI: Juan el Peregrino Francisco DAmico, UNIMETVBA y Excel1 C a p t u l o I VBA y SAP2000 como Herramientas para el Anlisis Estructural Introduccin HoyendalaIngenieraEstructuralseencuentrarespaldadaporunaampliavariedadde programasparaelanlisisydiseodecualquiersistemaestructural,permitiendoun avance importante en su comprensin y optimizacin. Esta tecnologa ha hecho posible la automatizacindeprocedimientosdeclculoquehaceveinteaosdemorabanmeses,y que hace cincuenta aos no eran ni siquiera realizables en tiempo y costo aceptables para cualquier proyecto de mediana envergadura. Sinembargolatecnologanohaproducidonadanuevoenelestudiodelasestructuras, cualquier programa de clculo estructural no es ms que la inclusin de leyes y principios antiguosenmodernosalgoritmosejecutablesporcomputadoraspersonalesque continuamente aumentan de capacidad y disminuyen de precio. Thefundamentalphysicallawsthatarethebasisofthestaticanddynamicanalysisof structures are over 100 years old. Therefore, anyone who believes they have discovered a new fundamental principle of mechanics is a victim of their own ignorance. The static and dynamic analysis of structures has been automated to a large degree due to the existence ofinexpensivepersonalcomputers.However,thefieldofstructuralengineering,inmy opinion, will never be automated. The idea that an expert-system computer program, with artificialintelligence,willreplaceacreativehumanisaninsulttoallstructural engineers.1 1 EDWARD L. WILSON: Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures, a physical approach with emphasis on earthquake engineering. 1998.Captulo I: VBA y SAP2000 como Herramientas para el Anlisis Estructural Francisco DAmico, UNIMETVBA y Excel2 A lo largo del curso de Programacin Aplicada a la Ingeniera Estructural se utilizarn, en opinindelautor,dosdelasmejoresherramientasqueeldesarrollotecnolgicoen software de aplicacin en la ingeniera estructural ha producido: VBA y SAP2000. Visual BasicforApplicationsesunlenguajeparalacreacindemacrosdentrodelas aplicacionesdelpaqueteOfficequeofrecemltiplesalternativasyposibilidadesparala codificacindealgoritmosdeclculoestructural.SAP2000representalomsavanzado enprogramasdeanlisisestticoydinmicodeestructurasporelementosfinitos,esel resultadodelaevolucindevariasversionesanterioresdelaserieSAP(Structural Analysis Program) y se caracteriza por su gran capacidad y facilidad de manejo. ElobjetivofundamentalparaelcursodeProgramacinAplicadaalaIngeniera Estructural es el de ensear el uso adecuado de estas herramientas en favor de una mejor comprensin de los sistemas estructurales. Aplicacin de VBA y Excel en el Anlisis Estructural VisualBasicforApplications(VBA)esunaherramientaparaeldesarrollode aplicacionesylacreacindemacros,conlacualsepuedenproducirprogramaspara resolverproblemas.Adiferenciadelosprogramasparajuegosoentretenimiento,las aplicacionesseutilizanpararealizarunadeterminadatarea,porejemploExcelesuna aplicacin para el anlisis y procesamiento de datos tabulados. VBA es el lenguaje comn paraeldesarrollodemacrosincluidoenlasaplicacionesdelpaqueteOffice.Unmacro dentro de una aplicacin permite, entre otras cosas, manipular, almacenar y obtener datos directamentedelasaplicacionesenuso.Deloanteriorpodemosdeducirquesiseunen VBA y Excel ser posible desarrollar programas que sirvan para procesar datos tabulados con mayores opciones que las disponibles solamente con Excel. Como ya se ha mencionado un macro en VBA debe estar asociado a una aplicacin que recibeelnombredeHostApplication.EnnuestrocasoExcelserlaaplicacinsobrela cualsecrearnyejecutarnlosmacros,esdecirserelhost.LaescogenciadeExcel comoaplicacinhostestdominadaporlafacilidadconlacualsepuedenmanejarlos clculosmatricialesylasoperacionesmatemticasengeneraldentrodeunahojade trabajo, que son la base del anlisis estructural moderno. Principalmenteenelanlisisestructurallosdatostabuladosconlosquesetrabajanson las matrices, que representan sistemas de ecuaciones obtenidos a partir de las expresiones quedefinenelcomportamientodeundeterminadosistemaestructuralconocidassus condicionesdefrontera;entoncesunprogramadeclculoestructuraldesarrolladoen VBAsobreExcel,permitirobtenerelsistemadeecuacionesquedescribeauna estructuraapartirdesuspropiedadesgeomtricas,delmaterialquelacompone,delas cargasaplicadasydelascondicionesdefronteracomoresultadodeunprocesode lectura, luego el sistema de ecuaciones podr ser escrito en forma matricial sobre un hoja detrabajodeExcelyfinalmenteseobtendrnlosresultadosaplicandoelclculo matricial,estosresultadostambinsepodrnescribirenlahojadetrabajoparasu impresin o uso posterior. Captulo I: VBA y SAP2000 como Herramientas para el Anlisis Estructural Francisco DAmico, UNIMETSAP20003 Cadaunadelastareasanteriores ser realizada y controlada porun macro que ampliar y/o adecuar las capacidades del Excel segn las necesidades del problema que se desea resolverconlacreacindelprograma.ElmacrosercodificadoutilizandoVBA.El cdigodeunmacroenVBAesalmacenadoenproyectos,losproyectoscontienen mdulosqueasuvezposeenprocedimientos,declaracioneseinstruccionesengeneral. En Excel los proyectos se almacenan en libros (.xls). Sielusuarioposeelaexperienciaylosconocimientosadecuadosenprogramacinser capazdecrearprogramasdeclculoestructuralmuysofisticadosutilizandoVBAy Excel.Sinembargo,existensituacionesenlascualessedeberecurriraprogramas comerciales que se han creado para simular casos ms difciles o para manejar un nmero devariablesmuchomayordelquesepuedepresentarenelcomndeloscasos;estos programashansidoampliamentecalibradosyprobados,yseguramenteresultarnms eficaces a la hora de estudiar sistemas estructurales ms complejos. Adicionalmente a la creacindeprogramasenVBA,estecursoenseaelusodelprogramaSAP2000como herramienta de clculo estructural y sus posibilidades de combinacin con Excel y VBA para aumentar an ms su potencial. SAP2000 ElSAP2000esunprogramaparaelanlisistridimensionalestticoydinmicode estructuras por elementos finitos que representa lo ms avanzado en programas de clculo estructural a nivel mundial. Adems de su poder de anlisis posee una interfaz grfica de usuariosumamenteamigable,fcildemanejaryseencuentratotalmenteintegradocon Windows. EstesoftwarefuedesarrolladoporlaempresaCSi,ComputersandStrucutres,Inc.en Berkeley, California, EEUU. Se presenta en varias versiones que varan en el nmero de nodosquepuedetenerelsistemaasimular;alolargodelcursoseutilizarlaversin educativadelibredistribucinrestringidaa30nodosylaversinilimitada/nolineal registrada a nombre de la Universidad Metropolitana. Elpropsitofundamentalenlaenseanzadeestesoftwareeseldemostrarlas capacidades y limitaciones que se presentan en su uso para simular sistemas estructurales, prestandoespecialatencinenlaexplicacindelasteoras,aproximacionesy procedimientos que el programa sigue para realizar el anlisis y diseo de una estructura. Si cada uno de estos puntos no es comprendido totalmente por el usuario no ser posible queutiliceelprogramaconlacertezadequeelmodeloestructuralquehadefinidoes realmente compatible con el modelo original que desea estudiar. DadaslascaractersticasdelprogramaSAP2000esposibleafirmarquenoposeeun lmiteprctico,ellmiteloimpondrlacomputadorasobrelacualfuncionarel programa.Losresultadosqueproducedebenserinterpretadosporelusuariopara verificarquesecorrespondenconlascondicionesdelmodeloestructuralsimulado,no hay que olvidar que este programa nunca superar al criterio de un ingeniero estructural. Captulo I: VBA y SAP2000 como Herramientas para el Anlisis Estructural Francisco DAmico, UNIMETSAP20004 SAP2000 Alcances y Limitaciones ElprogramaSAP2000renelastcnicasmsavanzadasparaelanlisistridimensional estticoydinmicodeestructurasporelementosfinitos.Estesoftwaresepresentaen variasversionesquevaranenlacapacidaddeanlisis;enestecursotrabajaremoscon dos versiones del programa. La versin educativa que se encuentra restringida a estructuras de hasta 30 nodos, posee todaslascaractersticasdeunaversincompletaynorestringidadelprograma, incluyendoelanlisispushover,yesdelibredistribucinparafinesacadmicos nicamente. Laversinilimitada/nolinealnoposeelmiteprcticoensucapacidaddeanlisis,el lmiteloimponelacomputadorasobrelacualseinstale.Estaversinseencuentra registrada a nombre de la Universidad Metropolitana y se utilizar nicamente dentro de susinstalaciones,principalmentepormediodelaredenloslaboratoriosde programacin. El SAP2000 puede combinarse con otros programas para ampliar su capacidad de trabajo. Puede recibir de Excel las coordenadas de los nodos y barras de un sistema estructural y dibujarlasdirectamentesobrelapantalla,locualfacilitalacreacindelmodelo estructural,sobretododeaquellosconunageometracompleja.Tambinpueden importarse archivos desde AutoCAD o cualquier programa DXF compatible que definan lageometradelmodeloestructural.Ademssepuedenimprimirlosresultadosdel anlisisyeldiseo,ascomootrasvariablesimportantesdelproyectoenunarchivode texto(.txt)quepuedemanipularseenExceloenWordycreararchivosdeimagende video(.avi)conanimacionesdelmodeloestructural.Enestecursoutilizaremos nicamente las posibilidades de combinacin con Excel y con archivos de texto. Francisco DAmico, UNIMETFuerzas Externas5 C a p t u l o I I El Estudio de las Estructuras Elestudiodelasestructurasconsideraprincipalmentelosefectosproducidosporlas fuerzas que actan sobre un determinado sistema estructural y determina las condiciones que deben satisfacer las diferentes partes de este sistema de manera que puedan soportar dichas fuerzas. Enprimerlugar,lasdiferentespartesdeunaestructuradebencarecerdemovimiento, excluyendo las deformaciones elsticas que puedan ocurrir, esto implica que debe existir unavinculacinsuficienteentreellasyelsuelodeformaquesusposicionesse mantengan invariables. Las partes que componen el sistema estructural deben ser de un material tal que impida la rotura o el deterioro de stas, adems el tipo de material a utilizar no deber ser llevado ms all de su resistencia lmite cuando acten las diferentes fuerzas sobre el sistema. Loanteriornosllevaaconcluirqueelequilibrioenelqueseencuentreelsistema estructuraldebeserestable,loqueconduceaunestudioqueinvolucratantoa procedimientos matemticos como a mtodos derivados de ensayos de laboratorio. Las Fuerzas Externas Losmiembrosqueconformanunaestructura,comoporejemplolaslosas,vigasy columnasdeunedificio,seencuentransometidosalaaccindefuerzasdenaturaleza diversa.Algunasactancontinuaeinvariablementeysedenominanacciones permanentes,stassedebenprincipalmentealpesopropiodelaestructurayalde componentes fijos como la tabiquera, los pavimentos, el recubrimiento de los techos, etc. Captulo II: El Estudio de las Estructuras Francisco DAmico, UNIMETSistemas Rgidos y Elsticos6 Contrariamenteexistenfuerzasquenoactandeformacontinuaoquelohacencon intensidad variable, a stas se les denominan acciones variables y comprenden todas las cargasparalascualesfuediseadacomosoportelaestructura,porejemplo:personas, muebles,mercancas,vehculos,maquinarias,presindelquidosyempujedetierra, entreotras.Enestegrupotambinsepuedenincluirlascargasdebidasaefectosdela naturaleza como el viento, la dilatacin trmica, el peso de la nieve y las fuerzas ssmicas. Encualquiercasolasaccionesvariablessedebenconsiderarenlaformams desfavorable para la estructura. Unafuerzaseconsideraconcentradaopuntualcuandoactasobrepuntosseparadosde la superficie de un cuerpo, o uniforme cuando acta a lo largo de buena parte o en toda la longituddeste.Hablandoenformarigurosa,lasfuerzasconcentradasnoexistenyse considerancomotaleslasfuerzasqueactansobreunreamuypequea.Adems,las fuerzas se clasifican tambin en fuerzas estticas cuando son constantes en magnitud y en posicin, o son muy lentamente variables como para producir un efecto importante en la estructura; y en fuerzas dinmicas cuando cambian rpidamente de valor y posicin. Aparte de las fuerzas antes mencionadas una estructura tambin puede ser afectada por la falla o movimiento de uno de sus vnculos. Las Reacciones de los Vnculos Comoyasemencion,lasdiferentespartesdeunsistemaestructuralseencuentran vinculadas entre s y con el suelo por medio de apoyos de varios tipos, segn sea el tipo de apoyo al que se encuentre sujeto, un cuerpo estar restringido total o parcialmente a la traslacin y/o a la rotacin. Una estructura se dice que es isosttica si sus vnculos son estrictamente suficientes para restringircualquiermovimiento.Eshiperestticasiposeevnculossuperabundantes,es decirmsdelosnecesarios.Tambinpuedenexistirsistemasestructuralesquese encuentrenenequilibriobajounadeterminadacondicindecargayquelopierdenal variar la configuracin de la carga; para este tipo de sistema el equilibrio es inestable. Paraestudiarunaestructurasedebenconocertodaslasfuerzasexternasquesobresta acten,incluidaslasreaccionesdesusvnculos,lascualesdebensatisfacerlacondicin de mantener en equilibrio al cuerpo, equilibrando las cargas. Los Sistemas Rgidos y los Sistemas Elsticos Cualquiercuerpobajolaaccindeunafuerzasedeforma,enlosmiembrosdeuna estructura y suponiendo que las fuerzas no alcancen niveles excesivos, las deformaciones sonmuypequeasconrespectoasusdimensiones,ymuchasvecesestasalteraciones producen efectos despreciables sobre el sistema; es por esta razn que resulta espontneo estudiarelequilibriodelsistema,sujetoalascargasyalasreaccionesdelosvnculos,Captulo II: El Estudio de las Estructuras Francisco DAmico, UNIMETDeformaciones7 despreciandolasdeformacioneselsticasquepuedanocurrir,enefecto,considerndolo rgido. Sinembargonosiempreestasimplificacinesposibleoesvlida.Enalgunoscasosse puedendeterminarlasreaccionesenlosvnculossinconsiderarlasdeformaciones elsticasquesufrelaestructura,mientrasqueenotrossinoseconsiderandichas deformacionesesimposibleconocerlosvaloresdelasreaccionesyseconvertiranen problemas imposibles de resolver o indeterminados. Enelestudiodeunaestructurasepresentarncasoscomoelantesnombrado,enlos cualeslaestticadelossistemasrgidosbastarparadeterminarlasreacciones,ycasos queresultarndeterminadosslosiserecurrealaestticadelossistemaselsticos,lo quesignificaconsiderarlasdeformaciones.Losprimerossellamancasosestticamente determinadosycorrespondenaestructurasconvnculosisostticos,estrictamente suficientes;mientrasquelossegundossellamancasosestticamenteindeterminadosy corresponden a estructuras con vnculos hiperestticos, superabundantes. Las Deformaciones El estudio de las deformaciones elsticas se impone como problema fundamental para la determinacin de las reacciones de los vnculos en los sistemas hiperestticos. La experiencia nos ensea que un cuerpo se deforma bajo el efecto de una fuerza externa yquealcesarlaaccindelafuerza,ladeformacindesapareceyelcuerpotiendea recuperarsuformaoriginal.Estatendenciaqueposeentodosloscuerposenmenoro mayor grado se denomina elasticidad; como no existen materiales perfectamente elsticos niperfectamenteinelsticos,sepuedepensarentoncesqueladeformacindeuncuerpo est compuesta de dos partes: una deformacin elstica que desaparece al cesar la fuerza que la produce y una deformacin permanente que se mantiene an despus de retirada la carga. Existen materiales en los cuales si la fuerza no ha superado cierto lmite, la deformacin permanente es inapreciable; dentro de este lmite, que llamaremos lmite de elasticidad, el materialpuedeconsiderarseelstico,anulndoseprcticamentetodaladeformacin cuando desaparece la fuerza. Comoenlaconstruccindeestructurasseutilizanmaterialeselsticosenlamayorade loscasos,yseevitanlasdeformacionespermanentes,admitiremosentoncesquelas deformacionespresentesenunaestructura,sometidaaunniveldecargaadecuadopara nosuperarellmitedeelasticidaddelmaterialquelacompone,sonelsticasymuy pequeas con respecto a la dimensin de sta. Captulo II: El Estudio de las Estructuras Francisco DAmico, UNIMETCaractersticas de Solicitacin8 La Ley de Hooke Sisemideladeformacindeuncuerpoproducidaporunafuerzaexternagradualmente creciente,seobservaquestavaraenmedidaprcticamenteproporcionalalafuerza, despus aumenta a una velocidad mayor al aumento de la fuerza. Si no se supera un cierto lmite, llamado lmite de proporcionalidad, la deformacin es directamente proporcional a la fuerza. Esta ley, enunciada por Robert Hooke en 1678 en los trminos de ut tensio sic vis, constituye el principal fundamento en el estudio de las estructuras. Los Materiales Elsticos Consideraremoscomomaterialeselsticosloscapacesdeexperimentarpequeas deformacionesquecumplanconlaLeydeHooke.Admitiremosquelosmateriales elsticosaconsiderarenelestudiodelasestructurassonisotrpicos,esdecirquesus propiedadeselsticassemantienenigualesencualquierdireccin.Esobvioquelos resultadosqueseobtendrnsernvlidossiempreycuandosecumplandichas condiciones y no tiene sentido el aplicarlos o tratar de extenderlos mas all de su rango de validez. Las Caractersticas de Solicitacin ConsideremoslaseccinSdeunavigamostradaenlafiguraII-1,sobrelacualsehan trazado tres ejes perpendiculares entre s llamados x, y, z; el eje de la viga coincide sobre elejexyelorigencoincideconelcentrodegravedaddelaseccin.Losejesyyz coinciden con los ejes principales de inercia de la seccin. La viga puede estar sometida a cualquier condicin de carga. Figura II - 1 Representacin de una viga sometida a varias condiciones de carga. zyxSwPPCaptulo II: El Estudio de las Estructuras Francisco DAmico, UNIMETPrincipio de Superposicin9 Las cargas que actan sobre la viga a continuacin de la seccin S poseen en general seis parmetros: la suma de sus componentes segn los ejes (Fx, Fy, Fz), que constituyen tresfuerzasenelmismosentidodelosejes,ylasumadesusmomentosrespectoalos ejes (Mx, My, Mz), que constituyen tres pares actuando en planos normales a ellos. Estosseisparmetrossonlasseiscaractersticasdesolicitacinyseindican respectivamentecomoN,Vy,Vz,Mt,My,Mz.LafuerzaNsellamafuerzaaxialysu efectoatravsdeSeseldeestirarocomprimirlaviga;LasfuerzasVyyVzsellaman fuerzascortantesporquetiendenacortarlavigasegnS;elparMtsellamamomento torsorporquetuercelaviga;losparesMy yMzsellamanmomentosflectoresporque flectan la viga. Las tensiones internas en S deben equilibrar estas seis solicitaciones. El equilibrio esttico semantienemientraslasfuerzasexternasseanestticas.Paraelcasodefuerzas dinmicaselequilibriotambinesdinmicoyexisteencadainstanteentrelasfuerzas externas, las tensiones internas y las fuerzas de inercia. En casos particulares las solicitaciones son menos de seis; en las vigas con eje contenido en el mismo plano que contiene las fuerzas externas se anula Mt, y si adems la seccin S posee el eje principal de inercia y en este plano, se anulan Vz y My. En el caso particular devigasconejerectilneo,sometidasafuerzascontenidasenunplanoquecontiene tambin al eje y de la seccin y normales la eje de la viga, existen solamente Vy y Mz. Si por el contrario las fuerzas son paralelas al eje de la viga, existen nicamente N y Mz. Comnmentelascaractersticasdesolicitacinsecalculanconsiderandolavigano deformada,porlocualsedesprecianlosdesplazamientosdelaslneasdeaccindelas fuerzasexternasalolargodeladeformada.Noobstante,enalgunoscasossedeben consideraryaqueinfluyennotablementeenlosvaloresdelassolicitacionesyenel comportamiento de la viga. El Principio de Superposicin Elefectoproducidoporvariasfuerzasactuandosimultneamentesobreunsistema estructuralesigualalasumadelosefectosproducidosporcadafuerzaactuando separadamente en el mismo sistema. Esteprincipionosindicaquelosefectosdeunafuerzasonindependientesdela preexistenciadeotrasfuerzas.Unafuerzaaplicadasobreunaestructurayacargada produce efectos ulteriores e iguales a los que se produciran si se aplicara sobre la misma estructuradescargada;porlocualsusefectossesumanalosyaproducidosporlas fuerzas preexistentes. Si la estructura es estticamente determinada, para los efectos que equilibran las fuerzas (reacciones y esfuerzos) o que equivalen a las fuerzas (caractersticas de solicitacin) la independencia antes nombrada es consecuencia nica del hecho que las fuerzasCaptulo II: El Estudio de las Estructuras Francisco DAmico, UNIMETAnlisis por Computadora10 preexistentes han modificado muy poco la forma original de la estructura, por lo cual las nuevas fuerzas actan sobre una estructura dejada casi igual a la descargada; mientras que para los efectos elsticos (deformaciones) tal independencia es consecuencia de la Ley de Hooke,ademsdeloantesexplicado,porquelaproporcionalidadentreesfuerzosy deformacionessignificaqueunnuevoesfuerzoigualaotroyapresenteproduceuna ulteriordeformacinigualalayaobtenida.Siporelcontrariolaestructuraes estticamente indeterminada, las reacciones deben satisfacer, aparte de las condiciones de equilibrio, las condiciones elsticas, y el principio de superposicin est subordinado a la validez de la Ley de Hooke, cualquiera sea el efecto que se considere. Los Factores de Seguridad Una vez conocidos los esfuerzos internos enun miembro estructural, se debe estudiar si ste es capaz de resistir dichos esfuerzos de manera segura. La resistencia de un miembro estructuralseencuentraaseguradacuandolosvaloresdelasfuerzasexternassontales que se puede aumentar su valor (conservando la misma configuracin) en la relacin de 1 afsantesdequeocurralaroturadelmiembro,siendofsunfactordeseguridad suficientemente mayor que 1. Cualquieraseaelmaterialquecomponeaunmiembroestructural,sedebeantetodo evitar que ocurra la rotura, por lo cual las tensiones deben mantenerse siempre menores a latensinderotura.Lasprincipalesrazonesporlascualesseadoptanfactoresde seguridadson:laincertidumbrepresentealdeterminarlascargasquedebersoportarla estructura,posiblesdefectosenlosmaterialesquereduzcansuresistencia,defectos constructivos, entre otros. Laexperiencianosdemuestraqueelcomportamientoelsticodelosmaterialesbajola accindeesfuerzoscrecientesesdiferenteparaloscuerposfrgiles,yparaaquellos dctiles. Los primeros de manera general, se comportan elsticamente hasta que alcanzan la rotura, la cual no se encuentra precedida por fenmenos que evidencien el agotamiento del material. Los segundos presentan en cambio un lmite de elasticidad, despus del cual comienzan a ocurrir las deformaciones permanentes, inmediatamente se observan signos deldebilitamientodelmaterialhastaquesealcanzalarotura.Intuitivamenteconviene que la estructura presente un comportamiento dctil en vez de uno frgil. El Anlisis Estructural por Computadora Enlaactualidadelestudiodelasestructurassehavistofavorecidoporelaugede programasdeclculoestructuraldesarrolladosbajoambienteWindows.Dichos programas presentan una interfaz grfica de usuario muy amigable lo que permite un uso fcilysegurodelprograma.Sinembargocada softwarehasidodesarrolladoapartirde un algoritmo en el cual se han incluido una serie de simplificaciones y suposiciones que si no son comprendidas adecuadamente por el usuario, pueden dar lugar a errores en los resultadosoasimulacionesdemodelosquenosecorrespondenconlarealidad.Captulo II: El Estudio de las Estructuras Francisco DAmico, UNIMETAnlisis por Computadora11 Lo que se busca con el uso o la creacin de un programa de clculo estructural es resolver enmodotillosproblemasdelaprcticaasistidosporunaherramientaquefacilitelos clculos y los realice en forma ms rpida y confiable; indudablemente una computadora y un software adecuado son la herramienta indicada si se utilizan correctamente. Ademsesposibleresolverenpocotiempoyconpocoesfuerzounagrancantidadde casosqueayudarnalacomprensindelcomportamientodeundeterminadosistema estructural, de cmo ste responde bajo los efectos de ciertos perfiles de carga y de cmo optimizar su diseo, lo que conlleva a una estructura ms eficiente y ms econmica. Sisedeseaobtenerxitoalcalcularunaestructurautilizandounprogramapara computadora, el usuario deber tomar en cuenta las siguientes advertencias:2 Noutiliceunprogramadeanlisisestructuralamenosdequecomprenda totalmente la teora y las aproximaciones usadas por el programa. No cree un modelo en computadora hasta que las cargas, las propiedades de los materiales y las condiciones de la frontera estn claramente definidas. 2 EDWARD L. WILSON: Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures, a physical approach with emphasis on earthquake engineering. 1998. Francisco DAmico, UNIMETRelaciones q, V, M12 C a p t u l o I I I Solucin de Vigas por Integracin Relaciones entre q, V, M Consideremosunsegmentodeunavigasujetoaunacargauniformementerepartida, definidaporelvalorunitarioqencadapunto.LassolicitacionesVyMvaran generalmentedeseccinenseccin.Lascantidadesq,V,Msonporconsiguiente funcionesdelaabscisaxdelaseccin.Estastresfuncionesestnunidasporlas siguientes relaciones fundamentales: Sean V y M las solicitaciones en una seccin S(figuraIII-1);V1=V+dVyM1=M+ dMsonaquellasenlaseccinS1separadas unadistanciadxdesdeS;yqdxlacarga actuantesobreelsegmentodx.Las solicitaciones V y M en S son equivalentes a las fuerzas externas que preceden a S; por lo cual,paracalcularV1yM1enlaseccinS1 no es necesario tomar en cuenta nuevamente todaslasfuerzasapartirdeliniciodela viga,ysepuedensustituirlasfuerzas anterioresaSconVyM,comosilaviga comenzara en S. Se obtiene entonces: qdx V dV V V = + =1 21dxqdx Vdx M dM M M + = + = de donde, despreciando el diferencial de segundo orden, se tiene: qdxSS1M V dx Figura III - 1 Captulo III: Solucin de Vigas por Integracin Francisco DAmico, UNIMETRelaciones q, V, M13 Vdx dM qdx dV = = Resultando as las relaciones buscadas: VdxdMqdxdV= = esdecir,laderivadadelafuerzacortanteesigualalacargaunitaria;laderivadadel momento flector es igual a la fuerza cortante. Tambin se puede observar que: 22dxM dq = Enformageneral,paracualquiercondicindecargarepresentablepormediodeuna funcin f que ha sido definida en un intervalo cerrado [a,b], si existe: ( )inii Px x f =10lim se dice que f es integrable en [a,b], y podemos afirmar que: = wdx V= Vdx M dondewrepresentalafuncinquedefinelacarga.Delprocesodeintegracinresultar una constante para cada caso que se determinar a partir de las condiciones en la frontera. Delasecuacionesanterioressededucequeenlossegmentossincarga(q=0)Ves constanteyMvaralinealmente;mientrasqueensegmentossometidosacargas repartidas V y M varan con leyes continuas, respectivamente de primer y segundo grado si q es constante, de segundo y tercer grado si q vara linealmente, etc. SienunsegmentodevigaV=0,Mesconstante;yviceversa,siMesconstanteenun segmento,setieneV=0.SiVesdiferentedecero,Mexisteyesvariable;porlotanto puede anularse en cualquier seccin, pero no en un segmento de longitud finita, de aqu sigue que V est siempre acompaado por M, lo que quiere decir que una solicitacin de cortenicamenteesposiblesloenalgunaseccinaislada.UnaseccinSdeunaviga est sujeta slo a fuerza de corte V cuando la resultante de todas las fuerzas externas que preceden a S est contenida en el mismo plano de S y pasa por su baricentro. Pero si esto ocurreenunaseccin,enlasseccionesvecinassetienetambinunmomentoflectorM debido a dicha resultante; por lo que el corte simple se puede tener en cualquier seccin aislada en donde resulte nulo M, pero no en todas las secciones de un segmento finito de laviga.Porlocualengeneralelcorteestacompaadoporelmomentoflector.Enlas secciones donde la fuerza cortante se anula el momento flector es mximo. Captulo III: Solucin de Vigas por Integracin Francisco DAmico, UNIMETIntegracin de la Elstica14 Las Deformaciones La Ecuacin Diferencial de la Curva Elstica La ecuacin fundamental de elasticidad para la flexin simple dada por: EIMr =1 es exacta tambin para solicitaciones de flexin y corte, por lo que esta ecuacin refleja la curvatura en cada punto de la curva elstica, es decir de la deformada del eje de la viga. Por otra parte, es conocido por geometra diferencial que la curvatura en un punto de una lnea representada por y = y(x) en coordenadas x,y est expresada por: 2322211(((

|.|

\|+ =dxdydxy dr con el signo segn la orientacin de los ejes. Para el caso de la curva elstica de una viga, lainclinacindy/dxdelatangenteenunpuntorespectoalejeXes,engeneral,muy pequea; por lo que su cuadrado es despreciable con respecto a la unidad, por lo cual se tiene, con una buena aproximacin: EIMdxy d =22 Integracin de la Ecuacin de la Curva Elstica En general se puede decir que en las vigas la expresin de M es funcin de la abscisa x nicamente, adems de que para fuerzas normales aleje de la viga, M es funcin de x. Por lo cual la integracin resulta fcil, mucho ms si la carga vara de modo simple resultando sencilla la expresin para M(x) y si la inercia se mantiene constante. Una primera integracin de la ecuacin EIMdxy d=22 da la expresin para y = tan , que permite calcular la inclinacin de la tangente en cada punto de la curva elstica, es decir elnguloquecadaseccinharotado;nguloqueresultaexpresadoenradianes.La segunda integracin da la expresin de la ordenada y que llamaremos , la cual representa ladistanciaverticalquecadaseccinsehatrasladadoconrespectoalejeoriginaldela viga,distanciausualmentereportadaencm.Comoresultadodelprocesodeintegracin aparecendosconstantes(unaparayotrapara)quesedeterminanapartirdelas condicionesenlafrontera,generalmentedadasporlavinculacindelaviga.Captulo III: Solucin de Vigas por Integracin Francisco DAmico, UNIMETCondiciones en la Frontera15 Enformageneral,apartirdelaconfiguracindelacargaytomandoencuentala existencia de la integral en cada caso, podemos escribir las siguientes relaciones: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )====dx x x EIdx x M x EIdx x V x Mdx x w x V Condiciones en la Frontera Comnmentelascondicionesenlafronteraparavigasseobtienenapartirdela vinculacinquestaspresenten.Lascondicionesenlafronterapermitencalcularlos valoresdelasconstantesqueresultandecadaprocesodeintegracin.Paralostiposde vnculos ms comunes en vigas de un solo tramo se conocen las siguientes condiciones de frontera: VNCULO VM RODILLO 0= 0 0= 0 ARTICULACIN 0= 0 0= 0 EMPOTRAMIENTO 0 0= 0= 0 Francisco DAmico, UNIMETModelo Estructural16 C a p t u l o I V Operaciones Bsicas en SAP2000 Introduccin En este captulo se explicar paso a paso cmo crear un modelo estructural sencillo para susimulacinenSAP2000.ElprocedimientoseencuentrabasadoenelcaptuloBasic Tutorial del manual Quick Tutorial del SAP2000, y representa el anlisis de una viga decelosabidimensionaltipoWarrensometidaacargaspermanentes,variablesy ssmicas. Una vez realizado el anlisis se observarn los desplazamientos nodales, las reacciones en los vnculos y las solicitaciones en cada miembro de la viga de celosa. El Modelo Estructural El modelo estructural representa una viga de celosa bidimensional tipo Warren de 15 m de longitud y de 3 m de altura, las seccionesde los miembros que componen la viga de celosasondeltipodoblengulo,lascaractersticasdelosmaterialesydems especificacionesdelproyectosemuestranacontinuacinenladefinicindelmodelo matemtico de la viga de celosa. Tambinseencuentranindicadoslosdiferentestiposdecargasqueactansobrela estructura, y la forma en que sta se encuentra vinculada a tierra. Captulo IV: Operaciones Bsicas en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETModelo Matemtico17 Modelo Matemtico: Elevacin: Seccin A-A (tpica): (dimensiones en mm)

Figura IV - 1 Modelo matemtico para una viga de celosa.Cordnsuperior 2L127x127x19-9.5Diagonales2L127x127x19-9.5Cordn inferior 2L100x100x19-9.5Cordnsuperior 2L127x127x19-9.5Diagonales2L127x127x19-9.5Cordn inferior 2L100x100x19-9.55 @ 3.00 m = 15.00 m4550 kgf4550 kgf 4550 kgf 4550 kgf 7800 kgf7800 kgf 7800 kgf 7800 kgf 5250 kgf 3.00 mA A Carga Permanente Carga Variable Carga Ssmica 4550 kgf4550 kgf 4550 kgf 4550 kgf 7800 kgf7800 kgf 7800 kgf 7800 kgf 5250 kgf Carga Permanente Carga Variable Carga Ssmica Carga Permanente Carga Variable Carga Ssmica Captulo IV: Operaciones Bsicas en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETDefinicin de Geometra y Materiales18 Definicin de la Geometra del Modelo 1.Unaveziniciadoelprograma,seleccioneenlapantallaprincipaleltipodeunidad para trabajar, en este caso escoger kgf m. 2.EnelmenFileescogerlaopcinNewModelfromTemplate...,estoactivarel cuadro de dilogo para la creacin de modelos predefinidos. 3.Seleccionar la casilla con el modelo para vigas de celosa tipo Warren, esto activar el cuadro de dilogo para este tipo de viga de celosa. 4.En el cuadro de dilogo anterior: -Cambiar el nmero de vanos a 5. -Cambiar el ancho del vano a 3 m. -Cambiar la altura de la viga de celosa a 3 m. -Presionar OK. Lapantallaseactualizaautomticamenteymuestralasvistas3-Dy2-Ddelmodeloen dosventanasseparadasajustadasverticalmentesobrelapantalla.Laventanaizquierda muestraelmodeloenperspectiva3-Dylaventanaderechamuestraelmodelosegnel plano X-Z para Y=0. Deestaformaquedadefinidalageometradelmodelo,incluyendolaasignacindelos vnculosrealizadaautomticamenteporelprograma.Encasodequelaasignacinde vnculos no sea la deseada, el usuario puede modificar esta configuracin. Definicin de los Materiales Paraestaestructuraseutilizaruntipodeaceroquenoseencuentrapredefinidodentro del SAP2000. Las propiedades de dicho material asignadas por el usuario se describen en la siguiente lista: Nombre del Material: ASIDOR Tipo de diseo: Steel Tipo de material: Isotrpico Masa por unidad de volumen: 801,02 kg/m3 Peso por unidad de volumen: 7850 kgf/m3 Mdulo de Elasticidad: 2100000 kgf/cm2 Relacin de Poisson: 0,3 Coeficiente de expansin trmica: 1,170E-05 C-1 Tensin cedente mnima, fy = 2500 kgf/cm2 Pasos para definir el nuevo material: 1.En el men Define, seleccionar Materials..., esto activa el cuadro de dilogo para la definicin de materiales llamado Define Materials. Captulo IV: Operaciones Bsicas en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETDefinicin de Secciones19 2.EnestecuadrodedilogopresionarelbotnAddNewMaterial,locualactivael cuadrodedilogoparaladefinicindelaspropiedadesdelnuevomaterialllamado Material Property Data. 3.En este cuadro de dilogo: -Escribir el nombre del material en el campo Material Name. -Marcar el tipo de material en el campo Type of Material. -Seleccionar el tipo de diseo en el campo Type of Design. 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. En la zona Analysis Property Data: -EscribirelvalordelamasaporunidaddevolumenenelcampoMassper unit Volume. -EscribirelvalordelpesoporunidaddevolumenenelcampoWeightper unit Volume. -EscribirelvalordelmdulodeelasticidadenelcampoModulusof Elasticity. -Escribir el valor de la relacin de Poisson en el campo Poissons Ratio. -EscribirelvalordelcoeficientedeexpansintrmicaenelcampoCoeffof Termal Expansion. En la zona Design Property Data: -Escribirelvalordelatensincedenteparaelacero,fy,enelcampoSteel yield stress, fy. -Presionar el botn OK. Esto confirma los valores ingresados en la unidad de medida activa, con lo cual se regresa al cuadro de dilogo Define Materials. Ntese que en la zona Materials aparece listado el nuevo material definido bajo el nombre de ASIDOR. Presionando el botn OK se completa el proceso de definicin del nuevo material. Definicin de las Secciones Estructurales 1.EnelmenDefine,seleccionarFrameSections...,estoactivaelcuadrodedilogo para la definicin de secciones llamado Define Frame Sections. A partir de este punto se deben repetir los pasos que siguen para definir cada uno de los tipos de seccin a utilizar. 2.EnestecuadrodedilogoseleccionarAddDoubleAngleenelsegundocuadrode listadelazonaClickto:.Estoactivaelcuadrodedilogoparaladefinicindela geometra del tipo de seccin doble ngulo llamado Double Angle Section. 3.En este cuadro de dilogo: -Escribir un nombre para la seccin no mayor de ocho caracteres en el campo Section Name.Captulo IV: Operaciones Bsicas en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETDefinicin de Cargas20 -EnelcuadrodelistadelcampoMaterialseleccionarelmaterialdelquese compone la seccin, en este caso seleccionar ASIDOR. 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. En la zona Dimensions: -Escribir el valor de la longitud del ala vertical del ngulo en el campo Outside depth (t3). -Escribirelvalordelalongituddelalahorizontaldelnguloenelcampo Outside width (t2). -EscribirelvalordelespesordelalahorizontalenelcampoHorizontalleg thickness (tf). -EscribirelvalordelespesordelalaverticalenelcampoVerticalleg thickness (tw). -EscribirelvalordelaseparacinentrengulosenelcampoBacktoback distance (dis). -PresionarelbotnOK,estocompletaelprocesodedefinicindelas propiedadesgeomtricasdeestaseccinyubicadenuevoalusuarioenel cuadrodedilogoDefineFrameSectionsparaprocederaingresarotras secciones. EnlazonaFrameSections,enelcampoNameselistantodoslostiposdesecciones definidos por el usuario. Una vez ingresadas todas las secciones se presiona el botn OK para cerrar el cuadro de dilogo Define Frame Sections. Definicin de las Cargas Estticas 1.En el men Define, seleccionar Static Load Cases..., esto activa el cuadro de dilogo para la definicin de los casos de carga llamado Define Static Load Case Names. 2.En este cuadro de dilogo: En la zona Loads: -Escribir el nombre del caso de carga en el campo Load, para el caso de carga permanenteseutilizarelnombreCP,seutilizarnCVyCSparalacarga variable y para la carga ssmica respectivamente. -En el cuadro de lista del campo Type seleccionar el tipo de carga: DEAD para permanente, LIVE para variable, QUAKE para ssmica, WIND para viento o SNOW para nieve. -EnelcampoSelfWeightMultiplierescribir1paracargapermanentey0 para carga variable, ssmica, de viento o nieve. -PresionarelbotnAddNewLoadparaagregarelnuevocasodecargaala lista.Captulo IV: Operaciones Bsicas en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMET Asignacin de Secciones y Cargas Nodales21 Repetirlospasosanterioresparadefinircadaunodelostiposdecarga.Cuandose definan cargas diferentes a las permanentes el valor en el campo Self Weight Multiplier debersercero.UnavezterminadoelprocesosepresionaelbotnOKparacerrarel cuadro de dilogo. Asignacin de las Secciones para los Miembros 1.Conelcursorenformadeflecha(pointer)hagaclicsobrecadamiembroque poseaelmismotipodeseccin,estoseleccionarelolosmiembrosdelmismo materialydelamismaseccin;unmiembroquedaseleccionadocuandosemuestra con lnea punteada, para deseleccionar unmiembro basta con hacer clic nuevamente sobre l. 2.UnavezseleccionadoslosmiembrossepresionaelbotnAssignFrame Sectionsde la barra de herramientas en la pantalla. Esto activa el cuadro de dilogo DefineFrameSections,enestecuadrodedilogoseleccionardelalistaeltipode seccin que corresponde a los miembros seleccionados. Presionar el botn OK. Estoasignaeltipodeseccinalmiembroysemuestraenlapantallaelnombredela seccin sobre cada uno de estos. El proceso anterior se repite hasta que queden asignadas todas las secciones. Asignacin de las Cargas en los Nodos 1.Conelcursorenformadeflecha(pointer)hagaclicsobrecadanodoalquedesea asignarunacondicindecarga,estoseleccionarelnodo;unnodoqueda seleccionado cuando se muestra con una x sobre l, para deseleccionar un nodo basta con hacer clic nuevamente sobre l. 2.Una vez seleccionado un nodo se presiona el botnAssign Joint Loading de la barra de herramientas en la pantalla. Esto activa el cuadro de dilogo Joint Forces. 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. 3.En este cuadro de dilogo: -En el cuadro de lista del campo Load Case Name seleccionar el caso de carga al que pertenece la fuerza o el momento a aplicar sobre el nodo. -En la zona Loads escribir el valor de la fuerza o momento con su signo segn elejeenelqueacta,enelcampocorrespondientesegnelcaso:Force GlobalX,ForceGlobalYoForceGlobalZsiseaplicaunafuerza concentrada, o Moment Global XX, Moment Global YY o Moment Global ZZ si se aplica un momento. -Asegrese que en la zona Options se encuentra seleccionada la opcin Add to existingloadssilacargaesnuevaoReplaceexistingloadssisedeseaCaptulo IV: Operaciones Bsicas en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETDeformada22 reemplazar la carga, si se selecciona Delete existing loads se borran todas las cargas sobre el nodo seleccionado. PresionarelbotnOKparacerrarelcuadrodedilogoyconfirmarlaasignacinde cargas,enlaventanaactivasemuestranlascargasactuandoenlosnodospreviamente seleccionados. El proceso anterior se repite para cada nodo cargado y para cada condicin de carga. Anlisis del Modelo 1 Atencin:Antesdecontinuarguardeelmodelobajounnombreadecuadoenunazona apropiada en el disco duro. ParaanalizarelmodeloestructuralantesdefinidosimplementepresioneelbotnRun Analysisdel cuadro de herramientas de la pantalla. Si no ha salvado an su modelo se le pedir que lo haga en este momento, si el modelo no es guardado en el disco duro no se puede ejecutar el anlisis. Inmediatamentecomienzaelanlisisporpartedelprograma,apareceunaventanaenla cual se indica el estado del proceso y un mensajeindicandoeltrminodelmismo.Siel modelo se ha analizado satisfactoriamente se podr leer el mensaje Analysis Complete!, en caso contrario se muestra el mensaje Analysis Incomplete!. Si el programa no puede analizarelmodeloreviselavinculacinoasegresedequeelmodelocreadono representa un mecanismo. Visualizacin de la Deformada LuegodecompletadoelanlisiselSAP2000muestraautomticamenteladeformadade laestructuraparaelcasodecargaLOAD1,estecasodecargaesseleccionadopor defecto; para ver la deformada por la accin de los dems casos de carga se deben seguir los siguientes pasos: 1.Activarlaventanasobrelacualsedeseeobservarladeformada.Recuerdequepara activar una ventana basta con hacer clic en cualquier zona sobre ella. 2.Presionar el botn Display Static Deformed Shape en la barra de herramientas, esto activa el cuadro de dilogo llamado Deformed Shape. 3.En este cuadro de dilogo: -En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga del cual se desea obtener la deformada. -Se puede activar la casilla de verificacin Wire Shadow para que el programa nosmuestreladeformadadelaestructurasobrepuestaalaformaoriginal.Captulo IV: Operaciones Bsicas en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMET Desplazamientos, Rotaciones y Reacciones23 -PresionarelbotnOK,estocierraelcuadrodedilogoymuestrala deformada bajo la condicin de carga seleccionada en la ventana activa. Cuandosemuestraladeformadaesposibleanimarelmovimientodelaestructura presionando el botn Start Animation en la zona inferior de la ventana activa. PararegresaralaformaoriginaldelaestructurasedebepresionarelbotnShow Undeformed Shape en la barra de herramientas. Obtencin de las Rotaciones y de los Desplazamientos Nodales 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. Es posible obtener el valor de la rotacin y el desplazamiento de cada nodo segn los tres ejes de coordenadas locales directamente sobre la deformada de la estructura. Sobre una ventanaquemuestreladeformadasiteelcursor(pointer)sobreelnodoenelquese desean conocer los valores de rotacin y traslacin, presione el botn derecho del mouse yaparecerunaventanallamadaJointDisplacementssobrelacualsemuestrala identificacindelnodo(sunmero)ylosvaloresdelasrotacionesylastraslaciones segn cada eje. RecuerdequeparalamayoradelosmodeloscreadosporelSAP2000elsistemade coordenadaslocalesdeunnododadopor1,2,3equivaleaX,Y,Z(enelorden indicado). 1 Atencin: Los valores de rotaciones y traslaciones que se reportan para cada nodo son los producidos por la condicin de carga para la cual se muestra la deformada. Obtencin de las Reacciones en los Vnculos 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. Paraobtenerelvalordelasreaccionesenlos vnculosdelaestructuraessuficientecon presionar el botnJoint Reaction Forces en la barra de herramientas, esto activa el cuadro de dilogo Joint Reaction Forces. En este cuadro de dilogo: -En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga para el cual se desea obtener el valor de las reacciones. -En la zona Type activar la opcin Reactions.Captulo IV: Operaciones Bsicas en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETSolicitaciones24 -Presionar OK. Automticamenteelprogramamuestraelvalorysentidodecadaunadelasreacciones sobre los nodos de la estructura que poseen vnculos a tierra. Solicitaciones en los Miembros 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. Comoejemplosemostrarelprocedimientoparagraficarlafuerzaaxialsobrecada miembro,deformasimilarsepuedeobtenerlosgrficosdelasotrascaractersticasde solicitacin. 1.PresionarelbotnMemberForceDiagramforFramesenlabarrade herramientas, esto activa el cuadro de dilogo Member Force Diagram for Frames. En este cuadro de dilogo: -En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga para el cual se desea obtener el diagrama de fuerza axial. -En la zona Component seleccionar el tipo de diagrama a graficar, en este caso Axial Force. -Presionar OK. Automticamenteelprogramagraficaeldiagramaparaelcomponente(caractersticade solicitacin) seleccionado de cada miembro de la estructura. Para obtener el diagrama en detalledeunmiembrocualquierabastaconubicarseconelcursorsobreelmiembroy presionar el botn derecho del mouse, esto activar una ventana en la cual se muestra el diagrama aislado para dicho miembro y los valores punto a punto. & Para obtener mayor informacin consulte los manuales Graphic User Interface, Basic Analysis Reference incluidos en el SAP2000. Francisco DAmico, UNIMETModelo Estructural25 C a p t u l o V REFERENCIAS AL ANLISIS BSICO EN SAP2000 Edicin de Grid Lines Introduccin Enestecaptuloestudiaremoscmocrearmodelosestructuralesdiferentesalos predefinidos en la opcin Model Templates del SAP2000, a partir de la edicin de las gridlines.Lasgridlinessonlneasdereferenciatrazadasapartirdelosejesde coordenadas y sobre las cuales se ubican los nodos de la estructura; un conjunto de grid lines conforma planos de visualizacin para el modelo estructural. Siunaestructuranoposeeelnmerodegridlinessuficientesyubicadosdeforma correcta sobre sus nodos, es muy probable que el usuario no pueda trabajar sobre algunos de los planos que contienen al modelo, esto dificulta el anlisis y la interpretacin de los resultados. Adems, una definicin previa de todas las grid lines facilitar el proceso de creacin del modelo estructural. Como ejemplo a seguir en el proceso de edicin de grid lines se analizar una viga de seis tramossometidaavariostiposdecargapermanente.nicamentesedeseanconocerlos valores de las reacciones y las solicitaciones debidas a la carga permanente siguiendo un procedimiento similar al utilizado en los primeros cursos de Mecnica Racional. El Modelo Estructural El modelo estructural corresponde a una viga hiperesttica de seis tramos con longitudes diferentes,laseccindelavigaesconstantedetramoentramo.ParaestecasoenCaptulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETGrid Lines26 particularnointeresareltipodematerialquecomponealaseccindebidoaquese despreciarn los efectos de carga debidos al peso propio de la viga, por lo tanto las nicas cargasqueseconsiderarnsonlasindicadascomocargaspermanentes.Ademsnose tomarnencuentalosefectosdedeformacinproducidosporlafuerzaaxialniporla fuerza cortante, es decir que nicamente se consideran deformaciones por momento. LassimplificacionesanteriorespermitenqueelanlisisrealizadoporelSAP2000 coincida con un anlisis tradicional como el empleado en un curso de Mecnica Racional o de Resistencia de Materiales tpico de los primeros semestres de la carrera. A continuacin se muestra el modelo de la viga a estudiar: Figura 1 Modelo matemtico de una viga hiperesttica. Definicin de las Grid Lines 1.Unaveziniciadoelprograma,seleccionareltipodeunidadenlacualsedesee trabajar,lasunidadesdebernserlasadecuadassegnelmodeloestructuralacrear, para este caso se selecciona kgf m.2.En el men File seleccionar New Model..., esto activa el cuadro de dilogo llamado Coordinate System Definition, en este cuadro de dilogo se trabajar sobre la zona correspondientealapestaaCartesian,paraobtenerunsistemadecoordenadas cartesiano. 5.00 5.00 6.00 6.00 1.00.751.00.751.00.751.00.755000 kgf/m 5000 kgf/m4500 kgf1500 kgf 1500 kgf2000 kgf1500 kgf 1500 kgf2000 kgfAA.40.60SECCIN A-A: (TPICA)5.00 5.00 6.00 6.00 3.50 3.501 2 3 4 5 6 75.00 5.00 6.00 6.00 1.00.751.00.751.00.751.00.755.00 5.00 6.00 6.00 1.00.751.00.751.00.751.00.755000 kgf/m 5000 kgf/m4500 kgf1500 kgf 1500 kgf2000 kgf1500 kgf 1500 kgf2000 kgfAAAA.40.60SECCIN A-A: (TPICA).40.60SECCIN A-A: (TPICA)5.00 5.00 6.00 6.00 3.50 3.5011 22 33 44 55 66 77Figura V 1 Modelo matemtico de una viga hiperesttica. Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETGrid Lines27 Enelcuadrodedilogoanteriorseobservandoszonas:laprimerallamadaNumberof GridSpacesseutilizaparaindicarelnmerodesegmentosentreloscualessedividir cada eje cartesiano; cada segmento estar delimitado por dos grid lines, una a cada lado. La segunda zona llamada Grid Spacing se utiliza para indicar la longitud de cada uno de lossegmentosentreloscualessedividecadaejecartesiano,segnloindicado anteriormente.Ntesequetodoslossegmentosparaunejedebentenerlamisma longitud,nosepuedendefinirdesdeestecuadrodedilogosegmentosdediferente longitud sobre un mismo eje. Para el caso particular de la viga que se desea simular, sta se encuentra ubicada sobre el planoXZconelejeZvertical,porlotantonosenecesitancrearespaciosgridsobreel eje Y. Como el modelo no se eleva sobre el eje Z tampoco son necesarios espacios grid en el eje Z. Dado que la longitud total de la viga es de 29 m ser suficiente con disponer de 29 espacios grid sobre el eje X separados por una distancia de 1 m entre cada uno de ellos. En la mayora de los casos es conveniente mantener el espaciamiento inicial entre lasgridlinesigualalaunidad,paraluegoeditarelconjuntoformadoyaumentaro disminuir el espaciamiento segn convenga. En base a lo antes explicado el proceso de definicin contina as: 3.En la zona Number of Grid Spacing: -En el campo X direction escribir 29 -En el campo Y direction escribir 0 -En el campo Z direction escribir 0 4.En la zona Grid spacing: -En el campo X direction escribir 1 -En el campo Y direction escribir 1 -En el campo Z direction escribir 1 Esto indica que entre cada grid line existe una distancia de 1 m. 5.PresionarOK.Elcuadrodedilogosecierrayautomticamentesemuestrandos ventanas,ladelaizquierdaconunavista3Dyladeladerechaconunavistadel plano xy. 6.Activar la ventana de la derecha haciendo clic sobre ella y con el botnXZ de la barra de herramientas cambiar la vista segn el plano XZ. Ahoraesnecesarioadaptarelconjuntodegridlinesalmodelodelavigaasimular. NtesequeelejeXhaquedadodivididoen29segmentos,cadasegmentoseencuentra delimitado por una lnea de color gris que llamamos grid line, en total se tienen 30 grid lines.ElejeXZyelorigendecoordenadasseencuentranubicadosenelcentrodel conjunto de grid lines. Cada grid line se define a partir de una coordenada desde el origen y segn el eje al que divideoatraviesaperpendicularmente.Sobrelasinterseccionesdelasgridlinesse dibujan los nodos de un modelo estructural. Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETDibujo del Modelo28 Acontinuacinsemuestraunmodelodelavigasobreelcualsehanindicadolasgrid linesqueatraviesanalejeXyqueseintersectanconlaquecorrespondeaZ=0;en dichas intersecciones se dibujan los nodos que delimitan cada tramo de la viga. En cada grid line se ha anotado su coordenada segn el eje X.

Elsiguientepasoeseldeadaptarelconjuntodegridlinesobtenidoenelpunto6para queseasemejealmostradoenlafiguraanterior,paraelloseprocedealaedicindel grid: 7.En el men Draw seleccionar la opcin Edit Grid..., esto activa el cuadro de dilogo Modify Grid Lines, en este cuadro de dilogo: -EnlazonaDirectionseleccionarX,paramodificarlasgridlines perpendiculares al eje X. -EnlazonaXLocationseobservauncuadrodelistacontodaslas coordenadasenXdelasgridlinesexistentes.Sobreelcuadrodelistase encuentrauncampoenblancosobreelcualsepuedenescribirnuevas coordenadas y agregar grid lines a la lista utilizando el botn Add Grid Line de la zona Click to:. -Se pueden eliminar las grid lines que no se necesitan para definir la geometra del modelo estructural seleccionando su coordenada en la lista y haciendo clic sobre el botn Delete Grid Line. 8.UnavezdefinidaslasnuevascoordenadassepresionaOK,estocierraelcuadrode dilogoyactualizaautomticamentelaventanaconlavistadelplanoXZsobrela cual se muestran las nuevas grid lines con su nuevo espaciamiento. Dibujo del Modelo Estructural Unavezdefinidoelgridseprocedeadibujarsobresteelmodeloasimular.Paraun modelo estructural cualquiera el SAP2000 permite dibujar los nodos y luego las barras o de una vez dibujar barras con nodos en sus extremos. Para el caso del modelo de la viga utilizada como ejemplo se utilizar la segunda de las opciones mencionadas: ZX-14,50 -9,50 -6,00 0,00 6,00 9,50 14,50ZX-14,50 -9,50 -6,00 0,00 6,00 9,50 14,50ZX-14,50 -9,50 -6,00 0,00 6,00 9,50 14,50Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETDefinicin de Materiales29 1.En la ventana con la vista segn el plano XZ activa, presionar el botn Draw Frame Element de la barra de herramientas vertical de la pantalla principal. 2.Colocarelcursorsobrelaprimerainterseccindelgridalaizquierdadelaventana para comenzar a dibujar el primer tramo de la viga, dar un clic con el mouse para fijar elprimernodoendichainterseccinyarrastrarelcursorhacialasiguiente interseccin,unavezubicado,darunnuevoclicparafijarelsegundonodo, automticamentesedibujaelframe(miembroobarra)quecorrespondealprimer tramodelaviga.Repetirelprocesoanteriormoviendoelcursorsobrecada interseccin del grid y fijando los nodos haciendo clic sobre stas, una vez dibujados todoslostramossecolocaelcursorsobreelltimonododibujadoyconundoble clic del mouse se desactiva el comando para dibujar barras. 3.SeleccionartodoslosnodosdelmodeloypresionarelbotnAssignJoint Restraintsdelabarradeherramientasprincipal.Estoactivaelcuadrodedilogo llamado Joint Restraints, en este cuadro de dilogo: -En la zona Fast Restraints presionar el botn con el dibujo de la articulacin. -EnlazonaRestraintsinLocalDirectionsactivarlascasillas correspondientesaRotationabout1yRotationabout3;locualliberar nicamente la rotacin alrededor del eje 2 local (Y global). 4.Presionar el botn OK para cerrar el cuadro de dilogo, automticamente el programa asigna los vnculos en cada nodo seleccionado. El proceso anterior se puede repetir para asignar cualquier tipo de vnculo sobre cualquier nodo del modelo estructural. Definicin de los Materiales Paraestaestructuranoseespecificaningnmaterial,asquesedefiniruntipode materialdelcualslosesuministrarelvalordelmdulodeelasticidadquees indispensable para que el programa realice el anlisis. Al no especificar ningn material se busca que el anlisis sea para encontrar valores de reacciones y solicitaciones slo por cargasexternas,delaformatradicionalutilizadaenlosprimeroscursosdeMecnica Racional. Pasos para definir el nuevo material: 1.En el men Define, seleccionar Materials..., esto activa el cuadro de dilogo para la definicin de materiales llamado Define Materials. 2.EnestecuadrodedilogopresionarelbotnAddNewMaterial,locualactivael cuadrodedilogoparaladefinicindelaspropiedadesdelnuevomaterialllamado Material Property Data. 3.En este cuadro de dilogo: -EscribirelnombredelmaterialenelcampoMaterialName,porejemplo MAT1. -MarcareltipodematerialenelcampoTypeofMaterial,enestecaso IsotropicCaptulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETDefinicin de Secciones30 -Seleccionar el tipo de diseo en el campo Type of Design, en este caso Other. 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. En la zona Analysis Property Data: -AsignarceroalvalordelamasaporunidaddevolumenenelcampoMass per unit Volume. -AsignarceroalvalordelpesoporunidaddevolumenenelcampoWeight per unit Volume. Lo antes realizado produce que el programa no tome en cuenta la carga debida al peso propio. -EscribircualquiervalordelmdulodeelasticidadenelcampoModulusof Elasticity. -Asignar cero al valor de la relacin de Poisson en el campo Poissons Ratio. -Asignar cero al valor del coeficiente de expansin trmica en el campo Coeff of Termal Expansion. -Presionar el botn OK. Esto confirma los valores ingresados en la unidad de medida activa, con lo cual se regresa al cuadro de dilogo Define Materials. Ntese que en la zona Materials aparece listado el nuevo material definido bajo el nombre de MAT1. Presionando el botn OK se completa el proceso de definicin del nuevo material. Definicin de las Secciones Estructurales 1.EnelmenDefine,seleccionarFrameSections...,estoactivaelcuadrodedilogo para la definicin de secciones llamado Define Frame Sections. 2.En este cuadro de dilogo seleccionar Add Rectangular en el segundo cuadro de lista delazonaClickto:.Estoactivaelcuadrodedilogoparaladefinicindela geometra del tipo de seccin rectangular llamado Rectangular Section. 3.En este cuadro de dilogo: -Escribir un nombre para la seccin no mayor de ocho caracteres en el campo Section Name. -EnelcuadrodelistadelcampoMaterialseleccionarelmaterialdelquese compone la seccin, en este caso seleccionar MAT1. 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. En la zona Dimensions: -Escribir el valor de la altura de la seccin en el campo Depth (t3). -Escribir el valor de la base de la seccin en el campo Width (t2). Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETDefinicin de Cargas y Secciones31 Aunqueparaesteejemplononosinteresanlasespecificacionesdelmaterialnidela seccin,sesuministranunasdimensionesparaqueelprogramarealiceelanlisis,sin embargoestosvaloresnomodificarnlosresultadosdelasreaccionesnidelas solicitaciones ya que el material no es real. Ademsdedespreciarelpesopropiodelaviga,esnecesarioindicarlealprogramaque desprecie los efectos de deformacin debidos a la fuerza axial y a la fuerza cortante, para ello basta con seguir los pasos dados a continuacin: EnlazonaPropertiesdelcuadrodedilogoRectangularSectionpresionarel botnModificationFactors,estoactivauncuadrodedilogollamadoAnalysis Property Modification Factors, en este cuadro de dilogo: -EnelcampoCross-section(axial)areaasignarunvalormuygrande,por ejemplo 1000. -En el campo Shear area in 2 direction asignar cero. -En el campo Shear area in 3 direction asignar cero. -Presionar el botn OK. UnavezingresadostodoslosvaloressepresionaelbotnOKparacerrarelcuadrode dilogo Define Frame Sections. Definicin de las Cargas Estticas 1.En el men Define, seleccionar Static Load Cases..., esto activa el cuadro de dilogo para la definicin de los casos de carga llamado Define Static Load Case Names. 2.En este cuadro de dilogo: En la zona Loads: -Escribir el nombre del caso de carga en el campo Load, para el caso de carga permanente se utilizar el nombre CP. -En el cuadro de lista del campo Type seleccionar el tipo de carga: DEAD para permanente. -En el campo Self Weight Multiplier escribir 1. -PresionarelbotnAddNewLoadparaagregarelnuevocasodecargaala lista. -Presionar el botn OK para cerrar el cuadro de dilogo. Asignacin de las Secciones para los Miembros 1.Conelcursorenformadeflecha(pointer)hagaclicsobrecadamiembroque poseaelmismotipodeseccin,estoseleccionarelolosmiembrosdelmismo materialydelamismaseccin;unmiembroquedaseleccionadocuandosemuestra con lnea punteada, para deseleccionar unmiembro basta con hacer clic nuevamente sobre l Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETAsignacin de Cargas32 2.UnavezseleccionadoslosmiembrossepresionaelbotnAssignFrame Sectionsdelabarradeherramientasenlapantalla.Estoactivaelcuadrodedilogo DefineFrameSections,enestecuadrodedilogoseleccionardelalistaeltipode seccin que corresponde a los miembros seleccionados. Presionar el botn OK. Esto asigna el tipo de seccin al miembro y se muestra en la pantalla el nombre de la seccinsobrecadaunodeestos.Elprocesoanteriorserepitehastaquequeden asignadas todas las secciones. Asignacin de las Cargas en los Miembros 4.Con el cursor en forma de flecha (pointer) haga clic sobre cada miembro al que desea asignarunacondicindecarga,estoseleccionarelmiembro;unmiembroqueda seleccionadocuandosemuestraconlneapunteada,paradeseleccionarunmiembro basta con hacer clic nuevamente sobre l. 5.UnavezseleccionadounmiembrosepresionaelbotnAssignFrameSpan Loading de la barra de herramientas principal en la pantalla. Esto activa el cuadro de dilogoPointandUniformSpanLoads.Atravsdeestecuadrodedilogose puedenasignarcargasuniformes,puntualesymomentossobreunmiembro cualquiera. 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. 6.En el cuadro de dilogo anterior: -En el cuadro de lista del campo Load Case Name seleccionar el caso de carga al que pertenece la fuerza o el momento a aplicar sobre el miembro. -EnlazonaLoadTypeandDirectionseleccionarlaopcinForcespara aplicarfuerzasoMomentsparaaplicarmomentos;luegoseleccionarel sentido segn el que actala fuerza, del cuadro de lista Direction. -Asegrese que en la zona Options se encuentra seleccionada la opcin Add to existingloadssilacargaesnuevaoReplaceexistingloadssisedesea reemplazar la carga, si se selecciona Delete existing loads se borran todas las cargas sobre el miembro seleccionado. -En la zona Point Loads seleccionar la opcin Absolute Distance from End-I,paramedirlasdistanciasdeaplicacindelascargaspuntualesdesdeel comienzodeltramo.Enestamismazonasedisponededosfilasdecuatro casillas cada una, en la primera fila que corresponde a Distance se escribe la distancia, desde el comienzo del tramo, a la que se encuentra aplicada la carga puntual o el momento, ya que si se selecciona la opcin Moments esta misma zonasirveparaasignarlos.EnlasegundafilaquecorrespondeaLoadse escribe, debajo de la casilla que contiene el valor de la distancia, la magnitud delacargapuntualoelmomentoqueacta.Enestecuadrodedilogose dispone solamente de cuatro casillas lo que permite asignar slo cuatro cargas puntualesomomentosalavez,encasodequererasignarmsdecuatro,se presionaOK,sevuelveaseleccionarelmiembroypresionandodenuevoel Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETAsignacin de Cargas33 botnPointandUniformSpanLoadssepuedendefinirdeformasimilar cuatro cargas ms que se agregarn a las ya asignadas. - En caso de querer asignar una carga uniforme se trabaja con el campo Uniform LoadenelcualseescribeelvalordelacargauniformequeactasegnladireccinespecificadaenelcuadrodelistaDirectiondelazonaLoadType and Direction. -PresionarelbotnOKparacerrarelcuadrodedilogoyconfirmarla asignacin de cargas, en la ventana activa se muestran las cargas actuando en losmiembrospreviamenteseleccionados.Elprocesoanteriorserepitepara cada miembro cargado y para cada condicin de carga.

Paraasignarcargastriangularesotrapezoidalessobreunmiembrosesigueunproceso diferente: 1.Seleccione el miembro que posee carga triangular o trapezoidal. 2.EnelmenAssignseleccionelaopcinFrameStaticLoadsyenelcuadrode opcionesmostradoseleccioneTrapezoidal...,estoactivaelcuadrodedilogo llamado Trapezoidal Span Loads. 3.En este cuadro de dilogo: -En el cuadro de lista del campo Load Case Name seleccionar el caso de carga al que pertenece la fuerza o el momento a aplicar sobre el miembro. -EnlazonaLoadTypeandDirectionseleccionarlaopcinForcesyluego seleccionar el sentido segn el que acta,del cuadro de lista Direction. -Asegrese que en la zona Options se encuentra seleccionada la opcin Add to existingloadssilacargaesnuevaoReplaceexistingloadssisedesea reemplazar la carga, si se selecciona Delete existing loads se borran todas las cargas sobre el miembro seleccionado. -En la zona Trapezoidal Loads seleccionar la opcin Absolute Distance from End-I. -Si la carga es triangular y creciente hacia la derecha, se escribe un cero en la primera casilla correspondiente a Distance y el valor de la longitud en la cual lacargaalcanzasumximamagnitudenlacasillasiguiente;luegoenla primera casilla de la zona Load se escribe cero y el valor mximo de la carga enlacasillasiguiente,deestaformacadadistanciaquedasobreel correspondientevalordecargaenesepunto.Silacargaestriangulary decrecientehacialaderechasesigueelmismoprocesoperoelvalorenla primera casilla de la zona Load ser la mxima magnitud de la carga y en la casilla siguiente ser cero. -Silacargaestrapezoidalsepuededefinirdeigualformaquelatriangular indicando la distancia en la que acta y el valor de cada carga en los extremos del trapecio. Obsrvese que para definir un caso de carga triangular o uno trapezoidal es suficiente con llenar dos casillas correspondientes a Distance y dos casillas correspondientes a Load. -PresionarelbotnOKparacerrarelcuadrodedilogoyconfirmarla asignacin de cargas, en la ventana activa se muestran las cargas trapezoidalesCaptulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETAnlisis del Modelo34 otriangularesactuandoenlosmiembrospreviamenteseleccionados.Elproceso anterior se repite para cada miembro cargado y para cada condicin de carga. Anlisis del Modelo 1 Atencin:Antesdecontinuarguardeelmodelobajounnombreadecuadoenunazona apropiada en el disco duro. ParaanalizarelmodeloestructuralantesdefinidosimplementepresioneelbotnRun Analysis del cuadro de herramientas de la pantalla. Si no ha salvado an su modelo se le pedir que lo haga en este momento, si el modelo no es guardado en el disco duro no se puede ejecutar el anlisis. Inmediatamentecomienzaelanlisisporpartedelprograma,apareceunaventanaenla cual se indica el estado del proceso y un mensajeindicandoeltrminodelmismo.Siel modelo se ha analizado satisfactoriamente se podr leer el mensaje Analysis Complete!, en caso contrario se muestra el mensaje Analysis Incomplete!. Si el programa no puede analizarelmodeloreviselavinculacinoasegresedequeelmodelocreadono represente un mecanismo. Visualizacin de la Deformada LuegodecompletadoelanlisiselSAP2000muestraautomticamenteladeformadade laestructuraparaelcasodecargaLOAD1,estecasodecargaesseleccionadopor defecto; para ver la deformada por la accin de los dems casos de carga se deben seguir los siguientes pasos: 4.Activarlaventanasobrelacualsedeseeobservarladeformada.Recuerdequepara activar una ventana basta con hacer clic en cualquier zona sobre ella. 5.Presionar el botn Display Static Deformed Shape en la barra de herramientas, esto activa el cuadro de dilogo llamado Deformed Shape. 6.En este cuadro de dilogo: -En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga del cual se desea obtener la deformada. -Se puede activar la casilla de verificacin Wire Shadow para que el programa nos muestre la deformada de la estructura sobrepuesta a la forma original. -PresionarelbotnOK,estocierraelcuadrodedilogoymuestrala deformada bajo la condicin de carga seleccionada en la ventana activa. Cuandosemuestraladeformadaesposibleanimarelmovimientodelaestructura presionando el botn Start Animation en la zona inferior de la ventana activa Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMET Rotaciones, Desplazamientos y Reacciones35 PararegresaralaformaoriginaldelaestructurasedebepresionarelbotnShow Undeformed Shape en la barra de herramientas. Obtencin de las Rotaciones y de los Desplazamientos Nodales 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. Es posible obtener el valor de la rotacin y el desplazamiento de cada nodo segn los tres ejes de coordenadas locales directamente sobre la deformada de la estructura. Sobre una ventanaquemuestreladeformadasiteelcursor(pointer)sobreelnodoenelquese desean conocer los valores de rotacin y traslacin, presione el botn derecho del mouse yaparecerunaventanallamadaJointDisplacementssobrelacualsemuestrala identificacindelnodo(sunmero)ylosvaloresdelasrotacionesylastraslaciones segn cada eje. RecuerdequeparalamayoradelosmodeloscreadosporelSAP2000elsistemade coordenadaslocalesdeunnododadopor1,2,3equivaleaX,Y,Z(enelorden indicado). 1 Atencin: Los valores de rotaciones y traslaciones que se reportan para cada nodo son los producidos por la condicin de carga para la cual se muestra la deformada. Obtencin de las Reacciones en los Vnculos 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. Paraobtenerelvalordelasreaccionesenlos vnculosdelaestructuraessuficientecon presionar el botnJoint Reaction Forces en la barra de herramientas, esto activa el cuadro de dilogo Joint Reaction Forces. En este cuadro de dilogo: -En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga para el cual se desea obtener el valor de las reacciones. -En la zona Type activar la opcin Reactions. -Presionar OK. Automticamenteelprogramamuestraelvalorysentidodecadaunadelasreacciones sobre los nodos de la estructura que poseen vnculos a tierra. Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETSolicitaciones36 Solicitaciones en los Miembros 1Atencin:Antesdecontinuarasegresedequeesttrabajandoconlasunidades apropiadas. Comoejemplosemostrarelprocedimientoparagraficarlafuerzacortantesobrecada miembro,deformasimilarsepuedenobtenerlosgrficosdelasotrascaractersticasde solicitacin. 2.PresionarelbotnMemberForceDiagramforFramesenlabarrade herramientas, esto activa el cuadro de dilogo Member Force Diagram for Frames. En este cuadro de dilogo: -En el cuadro de lista de la zona Load seleccionar el caso de carga para el cual se desea obtener el diagrama de fuerza axial. -En la zona Component seleccionar el tipo de diagrama a graficar, en este caso Shear 2-2. -Presionar OK. Automticamenteelprogramagraficaeldiagramaparaelcomponente(caractersticade solicitacin) seleccionado de cada miembro de la estructura. Para obtener el diagrama en detalledeunmiembrocualquierabastaconubicarseconelcursorsobreelmiembroy presionar el botn derecho del mouse, esto activar una ventana en la cual se muestra el diagrama aislado para dicho miembro y los valores punto a punto. & Para obtener mayor informacin consulte los manuales Graphic User Interface y Basic Analysis Reference y Analyisis Referenceincluidos en el SAP2000. Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETArcos Circulares37 Vigas de Eje Curvo Introduccin Enestecaptuloseestudiarnalgunoscasossencillosdevigasconejecurvo,contenido en el mismo plano en el que se encuentran las fuerzas externas; como una simplificacin para el anlisis se supondrque todas las secciones tienen uno de sus ejes principales de inercia contenidos en el mismo plano antes mencionado. SeanalizarndoscasoscomnmentepresentesenlaIngenieraCivil:arcoscircularesy arcosparablicos.Lasecuacionesquedescribenlacurvaturadelejeencadaunodelos casos a estudiar, sern de particular conveniencia para mostrar la facilidad con la cual se puedencrearmodelosestructuralesenSAP2000,relativamentecomplicados,utilizando las posibilidades de combinacin con Excel. Arcos Circulares ConsideremosunarcocircularderadioR,deseccinconstanteysimtrico,apoyado sobre le eje de las x, como el mostrado en la figura V-2.Figura V - 2 Modelo de arco circular. La ecuacin que define la forma del arco en funcin del radio R y del ngulo medido desde el eje de las x en sentido antihorario hasta una posicin arbitraria de R es: r R = 2 sen (1) Las coordenadas de un punto cualquiera P ubicado sobre el arco sern: x R = cos (2) z R = sen (3) SiseconoceelvalordeRyseubicanunaseriedepuntos(nodos),alestilodeP,que dividanelarcoenunnmerofinitodesegmentosiguales,obtendremosunaformade simular el problema en SAP2000 con una muy buena aproximacin. RxPz Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETArcos Circulares38 LadiferenciaentrelacondicinrealylasimulacinporSAP2000cuandoseanalizan vigas de eje curvo, est representada por el hecho de que en el modelo estructural creado cada segmento es una lnea recta, mientras que en el caso real cada segmento es una lnea que posee una cierta curvatura; esto no afectar mayormente los resultados si se toman un grannmerodesegmentos,locualnodemandardemuchoesfuerzoporpartedel usuarioyaqueseutilizarunahojadetrabajoenExcelparagenerar,deforma automtica, las coordenadas de cada nodo que delimita cada segmento. Simulacin en SAP2000 AcontinuacinsemuestraunaformadecrearunmodeloenSAP2000parasimularun arcocircular,utilizandoExcelcomoherramientaparaobtenerlascoordenadasdelos nodos.Unavezestablecidaslascoordenadasyescritasdeformaordenadasiguiendoun esquemaqueelSAP2000puedainterpretar,seimportarestainformacinsimplemente utilizandoelcomandopastesobrelapantallaquerepresentaelplanodeestudioenel SAP2000. Para crear el modelo del arco circular primero se debe establecer el nmero de segmentos en que ser divido el arco, todos los segmentos sern de igual longitud. La longitud s de cadasegmentoserigualalradiodelarcoRporelngulo,enradianes,queseforma entrelosradiostrazadosdesdeelcentrodelarcohastacadaunodelosnodosque delimitan dicho segmento. (Vase la figura V-3). Ntesequemientrasmayorseaelnmerodesegmentosentreloscualessedividala longitudtotaldelarco,mayorserlasemejanzaconlasituacinreal.Elnmerode segmentosatomarestarrestringidoporlacapacidaddelaversindeSAP2000conla cualsetrabaje.Sisedivideelarcoennsegmentosiguales,setendrnn+1nodos,yel valordelnguloparacadasegmentoser/n.Obsrvesequealdividirentreel nmero de segmentos n se est obligando a que el arco tenga forma de semicrculo, como en la figura V-2, tambin se podrn construir modelos de arcos circulares que posean un ngulo total menor que . UnavezestablecidoelnmerodesegmentosseprocedeaelaborarlatablaenExcel donde se calcularn las coordenadas x,z de cada nodo utilizando las ecuaciones (2) y (3) respectivamente. Recurdese que esta tabla debe seguir un formato especial para que sea interpretadacorrectamenteporelSAP2000.Acontinuacinsemuestraunatablade coordenadas obtenida para el arco semicircular de la figura V-3, el cual posee un radio de 4,50 m y ha sido dividido en 18 segmentos, formndose as una figura de 19 nodos; para este caso el valor del ngulo es de /18. Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETArcos Circulares39 TYPENAMEXYZ POINT14.500000 POINT24.431600.7814 POINT34.228601.5391 POINT43.897102.2500 POINT53.447202.8925 POINT62.892503.4472 POINT72.250003.8971 POINT81.539104.2286 POINT90.781404.4316 POINT10004.5000 POINT11-0.781404.4316 POINT12-1.539104.2286 POINT13-2.250003.8971 POINT14-2.892503.4472 POINT15-3.447202.8925 POINT16-3.897102.2500 POINT17-4.228601.5391 POINT18-4.431600.7814 POINT19-4.500000 Tabla 1 Coordenadas de los nodos para una arco circular. Figura V - 3 Modelo para lasimulacin de unarco circularen SAP2000. Latabladecoordenadaspuedeserelaboradaprogramandocadaceldaconlafuncin predefinidaenExcelqueapliquealcaso,opuedeserobtenidapormediodeunamacro codificadaenVBA.Deigualformaesposiblegenerarunatabladecoordenadas,para dibujarautomticamentecadaunodelossegmentos(miembros)queconformanel modeloestructural.Dichatablasigueunesquemasimilaraladelosnodosconla diferencia de que se deben escribir las coordenadas iniciales y finales de cada miembro. Fcilmentesepuedenotarquedichascoordenadascoincidenconlasdelosnodosentre loscualesseencuentraelmiembro;enformageneralunmiembro(frame,parael SAP2000), se define a partir de un nodo inicial que llamaremos I hasta otro final que se Pi Rs xzCaptulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETArcos Circulares40 llamarJ,entoncessuubicacinenelespacioseencontrardeterminadapor6 coordenadas que sern XI, YI, ZI, (para el nodo inicial) y XJ, YJ, ZJ, (para el nodo final). Para el ejemplo considerado, la tabla de coordenadas para los segmentos del arco circular sigue el esquema mostrado a continuacin: TYPENAMEXIYIZIXJYJZJ LINE14.5000004.431600.7814 LINE24.431600.78144.228601.5391 LINE34.228601.53913.897102.2500 LINE43.897102.25003.447202.8925 LINE53.447202.89252.892503.4472 LINE62.892503.44722.250003.8971 LINE72.250003.89711.539104.2286 LINE81.539104.22860.781404.4316 LINE90.781404.4316004.5000 LINE10004.5000-0.781404.4316 LINE11-0.781404.4316-1.539104.2286 LINE12-1.539104.2286-2.250003.8971 LINE13-2.250003.8971-2.892503.4472 LINE14-2.892503.4472-3.447202.8925 LINE15-3.447202.8925-3.897102.2500 LINE16-3.897102.2500-4.228601.5391 LINE17-4.228601.5391-4.431600.7814 LINE18-4.431600.7814-4.500000 Tabla 2 Coordenadas de los miembros para una arco circular. De este modo el modelo estructural queda definido en el SAP2000, de manera sencilla, y sepuedeprocederaladefinicindelosmaterialesylascargasparaluegoejecutarel anlisis.Ntesequeelprocesodedibujodelmodelohasidosimplificadonotablemente mediante el uso de una hoja de trabajo en Excel, de otro modo, dibujando manualmente cadanodosobreelplanodeestudio,sehubieraempleadountiempomuchomayoryel proceso sera ms laborioso. En definitiva, cuando se deban modelar estructuras de muchos nodos, de formas un tanto complicadas,queposeanejescurvos,oquedebanseguirunaciertacurva matemticamente definida, se recomienda el uso de Excel para crear las coordenadas de los nodos y miembros del modelo estructural. Utilizando el mismo proceso se mostrar la forma de simular arcos que describen curvas diferentes como parbolas o catenarias y que tienen gran aplicacin en la Ingeniera Civil. Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETArcos Parablicos41 Arcos Parablicos Considere el arco parablico de la figura V-4, f es la altura total del arco o flecha y L es la longitud horizontal totalentre los apoyos o cuerda. La ecuacin que define la forma de este arco en trminos de f y L es: zfLx = 422(4) Figura V - 4 Arco parablico. Paraobtenerlaecuacin(4)sedeberecurriraladefinicindelaparbola:conjuntode puntos P que equidistan de la directriz l y del foco F, es decir, que satisfacen (figura V-5) PF PL = A partir de esta definicin, podemos deducir la ecuacin en x y z atendiendo al siguiente procedimiento: (a)(b) Figura V - 5 Si aplicamos la definicin de parbola en la figura V-5(a), obtenemos ( )( )( )( ) x x z p x z p + = + +22220fLfLz =pP (x,z)z xl F (0, -p) L (x,p)z =pP(L/2,-p)z xF(0,-p) L(L/2,p)Captulo V: Referencias al Anlisis Bsico en SAP2000 Francisco DAmico, UNIMETArcos Parablicos42 resolviendo ambos lados de la ecuacin, resulta z zp p x z zp p2 2 2 2 22 2 + = + + +simplificando = 42zp xzpx = 142 laexpresinanteriorrepresentalaecuacingeneraldeunaparbola,dondepesla distancia vertical del origen de coordenadas al foco F, que es igual a la distancia vertical entre el origen a la directriz l. SirepetimoselprocesoanteriorenlafiguraV-5(b),dondesehaubicadoelarco parablicoenelsistemadecoordenadasxzysehatrazadoladirectrizl,obtenemosla ecuacin 442fpL=resolviendo para p pLf=216 sustituyendo el valor de p en la ecuacin general de la parbola obtenemos la ecuacin de un arco parablico en trminos de su flecha y su cuerda (ecuacin 4), stos valores sern siempre conocidos a partir del proyecto del arco. Simulacin en SAP2000 Paralasimulacindeunarcoparablicoprimeroseobtendrnlascoordenadasdelos nodosdelmodeloestructural,elnmerodenodossertomadoporelusuario, estableciendolosvaloresdextomadosdelintervaloL/2xL/2yobteniendolos valores de z a partir de la ecuacin (4). Luego se elaborarn en Excel las tablas de coordenadas para nodos y miembros siguiendo el formato ya mostrado para el caso del arco circular. Ntesequeparacualquiermodeloestructuralbidimensional,elplanodeestudioest representado por el xz, y un proceso similar al seguido en el caso del arco circular o en el del arco parablico puede ser empleado para definir cualquier modelo estructural en dos o tresdimensiones.Enunmodelotridimensionallosplanosverticalessonelxz,yzyel plano horizontal el xy. Francisco DAmico, UNIMETlgebra Matricial43 C a p t u l o V I VIGAS DE CELOSA Elementos de lgebra Matricial Sistemas de Ecuaciones Lineales n n nn nn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a= + + += + + += + + +................2 22 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 donde x1, x2, , xn son las incgnitas. En forma matricial: Ax = b En donde | |(((((

= =nn n nnnija a aa a aa a aa A...... ... ... .........2 12 22 211 12 11 Captulo VI: Vigas de Celosa Francisco DAmico, UNIMETlgebra Matricial44 { })`= =nixxxx x:21{ })`= =nibbbb b:21 A es una matriz cuadrada de nxn, x y b son vectores columna de dimensin n. La matriz A sellamamatrizdecoeficientes,xeselvectordeincgnitasybelvectordetrminos independientes. Vectores Fila y Columna | |3 2 1v v v v =)`=321wwww Suma y Resta de Matrices Para dos matrices A y B, ambas de la misma dimensin (mxn), la adicin y la substraccin estn definidas por: dondedondeij ij ijij ij ijC A B c a bD A B d a b= + = += = Multiplicacin Escalar A = [aij] Multiplicacin Matricial Para dos matrices A (de dimensin lxm) y B (de dimensin mxn), el producto de AB est definido por: == =mkkj ik ijb a c AB C1condonde i = 1, 2, , l; j = 1, 2, ,n. Ntese que, en general, AB BA, pero (AB)C = A(BC) (asociacin). Captulo VI: Vigas de Celosa Francisco DAmico, UNIMETlgebra Matricial45 Transpuesta de una Matriz Si A = [aij], entonces la transpuesta de A es TjiA a( = Ntese que (AB)T = BTAT. Matriz Simtrica Una matriz cuadrada (nxn) A es llamada simtrica si ji ijTa a A A = =o Matriz Unitaria (Identidad) (((((

=1 0 0 0... ... ... ...0 ... 1 00 ... 0 1I Ntese que AI = A, Ix = x. Determinante de una Matriz EldeterminantedeunamatrizcuadradaAesunnmeroescalardenotadopor|A|opor det(A). Para matrices de 2x2 y 3x3 el determinante est dado por: 11 32 23 33 21 12 31 22 13 13 32 21 31 23 12 33 22 1133 32 3123 22 2113 12 11a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a aa a aa a abc add cb a + + =((((

=((

Losdeterminantesdeordensuperiorpuedendefinirseporinduccindelasiguiente manera: Captulo VI: Vigas de Celosa Francisco DAmico, UNIMETlgebra Matricial46 SiA=[aij]esunamatriznxn,seaAijlamatriz(n-1)x(n-1)obtenidaapartirdeA suprimiendo su i-sima fila y su j-sima columna. El desarrollo del determinante |A| a lo largo de su i-sima fila est dado por: ( ) fija) (i11=+ =njij ijj iA a A mientras que el desarrollo a lo largo de su j-sima columna es ( )11(jfija)ni jij ijiA a A+== En lgebra matricial se demuestra que cualesquiera que sean la fila y la columna utilizada en las frmulas anteriores, el resultado siempre ser el mismo. Matriz Singular Una matriz cuadrada A es singular si |A| = 0, lo cual indica problemas en los sistemas de ecuaciones (mltiples soluciones, por ejemplo). Matriz Inversa Para una matriz cuadrada y no singular A, su inversa A-1 se define de forma que I A A AA = = 1 1 Sea C la matriz cofactor de A definida por ( )ijj iijM C+ = 1 dondeMijeseldeterminantedeunamatrizobtenidaapartirdelaeliminacindelai-sima fi