VECINDADES

INTRODUCCION

Sea un espacio pseudométrico (por lo general se toma un espacio métrico, pero basta con

que sea pseudodistancia). Sea un número real . Sea . Se define la bola abierta

de centro y radio (o simplemente bola de centro y radio ) como el

conjunto .

Este conjunto tiene distintas maneras de denotarse. La usual y universal es . A veces, si

en el espacio existen distintas (pseudo-)distancias definidas, se hace hincapié en qué (pseudo)-

distancia se está usando para definir el conjunto, utilizando esta notación: . En algunos

textos se denota sin embargo por .

En Análisis Funcional, cuando se trabaja con espacios normados se prefiere la notación

para denotar la bola abierta. Así, denota a la bola de centro y radio . La notación

se reserva para las bolas cerradas (con el peligro de confusión que eso genera).

Cuando hablamos de espacios euclídeos, la bola es "redonda", en el sentido intuitivo del término,

por lo que la bola de centro y radio coincide en esos casos con los puntos encerrados en el

interior de una superficie esférica. En el caso particular del plano, la figura entonces obtenida (es

decir, el conjunto ) es el disco (abierto) de

centro y radio , razón por la cual se denota por . Nótese que esta situación

se da en particular en Variable Compleja, siendo entonces la

notación (donde representa el módulo de ).

Aunque no es estándar, sí es usual encontrar textos en los que denota al disco de radio unidad

centrado en el origen, i.e., .

DESARROLLO DEL TEMA

Vecindades

Ahora estamos en capacidad de definir el concepto de vecindad de un

Punto en un espacio topológico.

.1 Definición. Sean X un espacio topológico y xϵ X. Un subconjunto

V de X es una vecindad de x si existe un conjunto abierto A tal que x ϵ A

yA . Denotamos por V(x) el conjunto de todas las vecindades de x.

Nótese que un subconjunto A de un espacio topológico X es un conjunto

Abierto si y solo si A es vecindad de cada uno de sus puntos.

El siguiente resultado resume las propiedades más importantes de las

2 Proposición. Sea (X, r) un espacio topológico.

1. x ϵ V para cada V ϵ V(x).

2. Si U, V ϵ V(x) entonces U \ V ϵ V(x).

3. Si U ϵ V(x) entonces existe V ϵ V(x) tal que U ϵ V (y) para cada

yϵ V .

4. Si U ϵ V(x) y U _ V entonces V ϵ V(x).

Demostración.

1. La primera afirmación es consecuencia inmediata de la definición de

Vecindad.

2. Si A, B ϵ r, x ϵ A, x ϵ B, A c U y B c V entonces A ∩ B ϵ r,

X ϵ A ∩ B y A ∩ B c U ∩V.

3 Puesto que U ϵ V(x) existe V ϵ r tal que x ϵ V

k y V c U. Entonces para cada y V, U ϵ V(y).

4. Si A ϵ r es tal que x ϵ A y A c U entonces también A c V y

Así V ϵ V(x).

3Proposición. Sea X un conjunto. Si para cada x ϵ X se ha asignado

Una colección V(x) de subconjuntos de X tal que:

1. x 2 V para cada V ϵ V(x),

2. si U, V ϵ V(x) entonces U ∩ V ϵ V(x),

3. si U ϵ V(x) entonces existe V ϵ V(x) tal que U ϵ V (y) para cada

y ϵ V ,

4. si U ϵ V(x) y U c V entonces V ϵ V(x),

Entonces existe una topología sobre X tal que para cada x ϵ X la colección

V(x) es precisamente la colección de vecindades de x.

Demostración. Diremos que un conjunto A c X es “abierto” si para cada

x ϵ A existe V ϵ V(x) tal que V c A. Demostraremos ahora que la colección

De conjuntos “abiertos” es una topología sobre X y que la colección de

Vecindades de cada x ϵ X es V(x).

1. Es inmediato que Ø y X son conjuntos “abiertos”.

2. Si A y B son conjuntos “abiertos” y si x ϵ A∩ B, existen U, V ϵ V(x)

Tales que U c A y V c B. Por hipótesis U ∩ V ϵ V(x) y puesto que

U ∩V c A ∩ B, A ∩ B es un conjunto “abierto”.

3. Si A es una familia de conjuntos “abiertos” y x ϵ A entonces x ϵ A

Paraalgún A ϵ A. Existe V ϵ V(x) tal que V c A, así V c U A y se

Concluye que U A es un conjunto “abierto”.

Entonces la colecciónr de conjuntos “abiertos” es una topología sobre X.

Por otra parte, si W es una vecindad de x existe A ϵ r tal que x ϵ A y

A c W. Como A ϵ r, existe V ϵ V(x) tal que V c A, entonces V c W,

Luego W ϵ V(x).

De manera recíproca, si V 2 ϵ V(x) y si además

U = {y ϵ V: V es una vecindad de y},

Entonces U es un conjunto abierto que contiene a x y está contenido en V.

INTERPRETACION GEOMETRICA

Del Análisis de estas funciones puede extraerse la idea intuitiva de que el límite de una

Función f, cuando x

Tiende a x0, es L si puede lograrse que f(x) esté tan próximo a L como se desee, siempre

que se tomen valores

De x lo suficiente próximos a x0. Esto significa que la distancia entre f(x) y L puede

hacerse tan pequeña

Como se desee y de aquí que para cada número positivo £, por pequeño que este sea, se

tenga que: | f(x) - L

| < £ "http://www.ecured.cupara ciertos valores de x"http://www.ecured.cu.

Podemos concluir que para cada £ > 0 debemos encontrar un número ð > 0 de tal forma que

para todo x

Satisfaga

0 < | x - x0 | < ð se tenga | f(x) - L | < £. Si para todo £ > 0 se puede hallar este número ð >

0, diremos que el

Límite de la función f cuando x tiende a x0 es L

PROPIEDADES

Toda bola abierta es un conjunto abierto.

El conjunto de todas las bolas abiertas de un espacio pseudométrico (

) forman una base de la topología asociada a la pseudodistancia.

Si consideramos un punto cualquiera del espacio y lo fijamos (por ejemplo, el punto ), el conjunto

de bolas abiertas centradas en ( ) forman una base de entornos de . En

concreto es una base de entornos abiertos, conexos, conexos por caminos y simplemente

conexos. Si el espacio es además un espacio vectorial topológico, también es base de

entornos convexos. De hecho, podemos tomar la siguiente base de

entornos: que (además de tener todas las propiedades

antedichas) es numerable. Esto prueba que todo espacio pseudométrico cumple el Primer.

Si el espacio es un espacio normado, toda bola abierta es homeomorfa al espacio.

En matemática (en concreto en topología y en las ramas que la utilizan), una bola cerrada es un

conjunto de puntos que distan de otro no más que un cierto radio. Es un concepto fundamental en

el Análisis.

Toda bola cerrada es un conjunto cerrado.

El conjunto de todas las bolas cerradas de un espacio pseudométrico (

) no forman una base de los cerrados de la topología asociada a

la seudodistancia.Sin embargo, si consideramos un punto cualquiera del espacio y lo fijamos (por

ejemplo, el punto ), el conjunto de bolas cerradas centradas en ( )

forman una entornos de . En concreto es una base de entornos

cerrados, compactos, conexos, conexos por caminos y simplemente conexos. Si el espacio es

además un espacio vectorial topológico, también es base de entornos convexos. De hecho,

podemos tomar la siguiente base de entornos: que (además de

tener todas las propiedades antedichas) es numerable. Esto prueba que todo espacio

pseudométrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad.

EJERCICIOS

1. Suponga que T1 y T2 son dos topologías sobre el mismo conjunto X y

Que T1 es más fina que T2. Compare las colecciones de vecindades de un

Mismo punto en los dos espacios topológicos.

2. Sea X un espacio topológico y suponga que para cada x ϵ X la colección

B(x) es un sistema fundamental de vecindades de x. Pruebe los

Siguientes hechos:

a) Si V ϵ B(x), entonces x ϵ V.

b) Si V1, V2 ϵ B(x), entonces existe V3 ϵ B(x) tal que V3 c V1 ∩ V2.

c) Si V ϵ B(x), existe U ϵ B(x) tal que sí y ϵ U entonces W c V

Para algún W ϵ B (y).

d) Un subconjunto A de X es abierto si y solo si contiene una vecindad

Básica de cada uno de sus puntos.

3. Sea t = {(x, y) ϵ R2: y ≥ 0}. Para cada z = (x, y) ϵ t considere

La colección B (z) definida de la siguiente manera: Si y > 0 B (z) es la

Colección de todas las bolas abiertas usuales centradas en z con radio

Menor o igual que yy si y´ = 0, V (z´) es la colección de todos los

Conjuntos de la forma {z´} U A donde A es una bola abierta contenida en

t tangente al eje real en z´. Demuestre que estas colecciones satisfacen

Las hipótesis de la Proposición.

4. Para cada punto z del plano definimos B (z) como la colección de todos

Los conjuntos de la forma {z} U A donde A es una bola abierta usual,

Centrada en z, de la cual se ha removido un número finito de segmentos

De línea que pasan por z. Demuestre que estas colecciones satisfacen

Las hipótesis de la Proposición.

5. Para cada número real x distinto de 0 definimos B(x) como la colección

De todos los intervalos abiertos centrados en x mientras que los elementos

De B (0) serán los conjuntos de la forma (−∞, −n) U (−ϵ , ϵ ) U (n, ∞)

Donde n ϵ N y ϵ > 0. Demuestre que estas colecciones satisfacen las

Hipótesis de la Proposición

6. Consideremos el conjunto R” de todas las funciones definidas del intervalo

I = [0, 1] en R. Para cada f ϵ R” definimos B (f) como la colección de todos los conjuntos

de la forma U (f, F, ð) = {g ϵ R”: |g(x) −f(x)| < ð, para cada x ϵ F} donde F es un

subconjunto finito de I y ð > 0. Demuestre que estas colecciones satisfacen las hipótesis de

la Proposición.