VECTORES

C 2 MAGNITUDES FÍSICAS.

• Magnitudes físicas escalares y

vectoriales. Algebra vectorial.

•Ejemplos

Bibliog. Sears, Física universitaria 1999,

Hewitt, Física conceptual 1999

Magnitudes físicas

por su naturaleza

Escalares

Vectoriales

Magnitudes físicas

Escalares

Vectoriales

Asociadas a propiedades que pueden ser

caracterizadas a través de una cantidad

Asociadas a propiedades que se caracterizan

no sólo por su cantidad sino por su dirección

y su sentido

Magnitudes físicas

Masa, densidad, temp

eratura, energía, trab

ajo, etc

Velocidad, fuerza, cantid

ad de

movimiento, aceleración,

torque, etc.

Escalares

Vectoriales

SR: Cuerpos que se toman como referencia para

describir el movimiento del sistema bajo estudio.

Bases para el estudio del movimiento mecánico

x(t)

y(t)

z(t)

Se le asocia

• Observador

• Sistema de Coordenadas

y

x

z

• Reloj

Movimiento plano

Coordenadas Cartesianas

y (m)

x (m)O

origenabcisa

ord

enada (x,y)

Q (-2,2)

P (8,3)

C oordenadas Polares

O

origen

(r, )

Movimiento plano

R elacion entre (x,y) y (r, )

y (m )

x (m )O

origenabcisa

ord

en

ad

a (x,y)

r

θcosrx

θrseny θtan

x

y22 yxr

Vectores

Notación A

Módulo A > 0

A

Dirección θ,

x

y

z

θ

Ap

x

y

Propiedades de Vectores

• Dados A y B, si A = B entonces A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a

si mismo

A

B

C

CBA

Suma de Vectores

BA

R

BA C

C

Ley del polígono

El vector resultante es

aquel que vector que va

desde el origen del primer

vector hasta el extremo del

ultimo

A

B

C

D

Entonces si se tiene los

siguientes vectores

El vector resultante

de la suma de todos

ellos será:

A

B

C

D

DCBAR

R

Propiedades de Vectores

A

Opuesto-A

Nulo 0 = A + ( )-A

Vector unitario A

A

μ

ˆAA

Propiedades de la suma de

Vectores

Ley

Conmutativa

ABBAR

Ley Asociativa

C)BA)CBAR

((

Diferencia

B-AR

)B(-AR

AB A

-BR

Ley conmutativa

¿Como se explica esta regla?

Los vectores A y B pueden ser

desplazados paralelamente para

encontrar el vector suma

B

A

B

(Método paralelogramo)

B

Multiplicación de un vector por un

escalar

Dado dos vectores ByA

Se dicen que son paralelos si BA

BAsi

0

BAsi

0

BAsi

1

A

B

AB

2

1

A

B

AB

4

1

Ejemplo 8:

Hallar el vector resultante de la suma de los

siguientes vectores

A B

C

A B

CR = 2

Vectores unitarios en el plano

ij

x

y

i Vector unitario en la dirección del eje x+

j Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

xy

z

ij

k

Representación de un vector

x

y

z

θ

A

Ax

Ay

Az

θsenAAx cos

θsenAsenAy

θcosAAz 222

zyx AAAAA

kAjAiAA zyx

Observaciones:

Las componentes rectangulares de

un vector dependen del sistema

coordenado elegido.

La magnitud del vector no cambia.

Permanece invariante en cualquier

sistema coordenado

Determínese la resultante de los

siguientes vectores

A4u 3u

B

BAR

7u

+

A

B

8u 4u =

BAR

4u

Observamos que, cuando los vectores

están en la misma dirección podemos

determinar fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en

la misma dirección ? , ¿ podremos

determinar directamente su magnitud ?

A

B

La magnitud en este caso no puede determinarse

directamente , por lo que debemos tratar de

buscar otra forma de determinarla

BAR

A

B

yA

xA

xB

yB

4u

3u

6u

yA

xA

xB

yB

4u

3u

6u

yx AAA

yx BBB

yy BA

xx BA

10u

5u

yyxx BABAR

Por pitagoras podemos ahora determinar la

magnitud del vector resultante uR 5551022

yA

xA

xB

yB

xCy

C

xD

yD

yyyyyDCBAR

xxxxxDCBAR

xR

yR

15 u

5 u

yxRRR

105R

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

Dados los puntos

indicados el vector que

los une esta

representado por

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

k)z(zj)y(yi)x(xA121212

ˆˆˆ

Producto escalar de dos

vectores

θABBA cos

cosθAAB

Proyección de A sobre B

cosθBBA

Proyección de B sobre A

1ˆˆ ii

1ˆˆ jj

0ˆˆ ji

0ˆˆ kj

0ˆˆ ki

xAiA ˆ

1ˆˆ kk

yAjA ˆ

zAkA ˆ

ZZYYXX BABABABA

Producto vectorial de dos

vectores BAC

θABC sen

0ii

0ˆˆ

jj

0ˆˆ

kk

kji ˆˆˆ ikj ˆˆˆ

jik ˆˆˆ

)kBjBiB()kAjAiA(BACzyxzyx

YZZYX BABAC

zxxzy BABAC

xyyxz BABAC

Demostrar:

Determinese la suma de los siguientes vectores:

Ejemplo 1:

k5j8i3A ˆˆˆ

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ

kji4C ˆ2ˆ7ˆ

Ejemplo 2:

8m

10m

5m

A

B

C

Determine la suma de los

vectores indicados

x

y

z

Ejemplo 9

Dados los vectores:

k3j5i4B

k5j3i3A

Determine :

a) El producto escalar entre ellos.

b)el producto vectorial entre ambos

e) el ángulo que forman entre sí.

Tarea 9c, 9d y 10