Vectores: Guía básica

• Definiciones• Propiedades

Enrique Ramirez

Seguro te estas preguntando ¿Que es un vector?.

No te preocupes…..

… A continuación vamos a ver tanto definiciones básicas, como algunas de sus propiedades.

….Disfruta del recorrido.

Definiciones• Vectores

Características Distancia Sentido Intensidad ó modulo

• Calculo de la intensidad ó modulo• Coordenadas de un vector• Clases de vectores• Expresión canónica de un vector

Enrique Ramirez

Vectores

• Definición: Los vectores son segmentos orientados formados por 2 puntos en el espacio. Están definidos por 3 principales características:

Intensidad ó modulo.

Dirección.

Sentido.

Modulo ó Intensidad

Dirección

Sentido

Dirección de un vector:• La dirección del vector es

la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido de un vector:• El sentido del vector es el

que va desde el origen A al extremo B.

BA

Intensidad ó modulo :

El módulo del vector es la longitud del segmento , se

representa por. El módulo de un vector es

un número siempre positivo o cero.

Hay 2 maneras de calcular la intensidad ó modulo las cuales

veremos a continuación .

Calculo de la identidad ó modulo

• Módulo de un vector a partir de sus componentes:

=(, )

||=

Ejemplo:

=

== =

• Módulo a partir de las coordenadas de los puntos:

A=() B=(, )

=

Ejemplo:

A= B=

==

Coordenadas de un vectorDefinición:Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo (B) menos las coordenadas del origen (A).

• Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

y

)

Ejemplo:

Clases de Vectores

• Vectores equipolentes: 2 ó mas vectores son equipolentes cuando tienen igual modulo, dirección y sentido.

• Vectores unitarios: Los vectores unitario tienen de módulo, la unidad. Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

Ecuación del versor:

E

DA

G

F

B

Expresión canónica de un vector

• Definición:Cada uno de los ejes coordenados tiene asociado un versor o vector unitario que se denomina canónico. Aclaremos que se denomina versor o vector unitario a todo vector cuyo módulo sea una unidad de longitud. En se llama: (versor i) al versor canónico asociado al eje y

(versor j) al versor canónico asociado al eje . El versor , mientras que el versor . Por lo tanto un vector se puede definir como . Donde y son números reales.

Operaciones

• Suma de vectores

Regla del paralelogramo

• Resta de vectores

• Producto de un número por y un vector

• Producto escalar

Propiedades del producto escalar

Enrique Ramirez

Operaciones con vectores

• Suma de vectores: Para sumar dos vectores y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

�⃗�

𝑣

�⃗�+ �⃗�

Regla del paralelogramo:

Se toman como representantes dos vectores con el origen en

común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un

paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los

vectores.

�⃗�𝑣

�⃗�+ �⃗�

• Resta de vectores:Para restar dos vectores y se suma con el opuesto de .Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

y

− �⃗�

�⃗�

�⃗�−𝑣

• Producto de un número y un vector:El producto de un número k por un vector es otro vector:

De igual dirección que el vector Del mismo sentido que el vector si k es positivo.De sentido contrario del vector si k es negativo.De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

�⃗�3

• Producto escalar:El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

(si fueran perpendiculares el resultado seria 0) Forma analítica:

• Propiedades del producto escalar:Conmutatividad: Asociativa: Distributiva: El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo

siempre es positivo:

Bien ahora sabes un poco mas acerca de vectores…

..ahora solo a estudiar…

…esto fue una introducción básica a vectores…

…espero les haya gustado…

…Suerte.

Contacto:

• e.ram@unq.edu.ar

Enrique Ramirez