Vectores

CAPÍTULO 7

Contenidos

• 7.1 Vectores en 2 Dimensiones• 7.2 Vectores en 3 Dimensiones• 7.3 Producto Escalar• 7.4 Producto Vectorial• 7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones• 7.6 Espacios Vectoriales• 7.7 Proceso de Ortogonalización de

Gram-Schmidt

7.1 Vectores en 2 Dimensiones

• Repaso de VectoresVuelva a la Fig 7.1 después de la Fig 7.6.

Fig 7.1 (Vectores geométricos)

Fig 7.2 (Vectors equivalentes)

Fig 7.3 (Vectores paralelos)

Fig 7.4 (suma)

Fig 7.5 (resta)

Fig 7.6 (vectores de posición)

Ejemplo 1

• Observe la Fig 7.7.Fig 7.7

Sea a = <a1, a2>, b = <b1, b2> vectores en R2

(i) Suma: a + b = <a1 + a2, b1 + b2> (1)(ii) Producto por un escalar: ka = <ka1, ka2>,

k es un escalar (2)(iii)Igualdad: a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2 (3)

DEFINICIÓN 7.1

Suma, Producto por un Escalar, Igualdad

a – b = <a1− b1, a2 − b2> (4)

1 2 2 1 2 1 2 1,PP OP OP x x y y ������������������������������������������

Solución Gráfica

• Fig 7.8 ilustra las solucones gráficas de suma y resta de dos vectores.

Ejemplo 2

Si a = <1, 4>, b = <−6, 3>, hallar a + b, a − b, 2a + 3b.Solución Usando (1), (2), (4), tenemos

17,169,188,232

1,734),6(1

7,534),6(1

ba

ba

ba

Propiedades

• (i) a + b = b + a(ii) a + (b + c) = (a + b) + c(iii) a + 0 = a(iv) a + (−a) = 0(v) k(a + b) = ka + kb k escalar(vi) (k1 + k2)a = k1a + k2a k1, k2 escalares(vii) k1(k2a) = (k1k2)a k1, k2 escalares(viii) 1a = a(ix) 0a = 0 = <0, 0>

• 0 = <0, 0>

Longitud, Norma

• a = <a1 , a2>, entonces

Naturalmente, tenemos ||a|| 0, ||0|| = 0

22

21|||| aa a

Vector Unitaros

• Un vector cuya norma vale 1 se denomina vector unitario. u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto que

1||||||||

1||||

1|||| a

aa

au

Ejemplo 3

• Dado a = <2, −1>, el vector unitario en la misma dirección u es

y

51

,5

21,2

51

51 au

51

,5

2 u

Los vectores i, j

• Si a = <a1, a2>, entonces

(5)

Sea i = <1, 0>, j = <0, 1>, entonces (5) se transforma en

a = a1i + a2j (6)

1,00,1,00,

,

2121

21

aaaa

aa

Fig 7.10

Ejemplo 4

• (i) <4, 7> = 4i + 7j(ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j(iii) (iv) 10(3i – j) = 30i – 10j(v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos

y b = (3/2)a

2|||| ji

Ejemplo 5

Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b SoluciónFig 7.11

7.2 Vectores en 3 Dimensiones

• RepasoVualva a la Fig 7.22 después de la Fig 7.24.

• Fig 7.22

Fig 7.23

Fig 7.24

Ejemplo 1

Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0).Solución Fig 7.25.

Formula de Distancia

(1)

• Fig 7.26

212

212

21221 )()()(),( zzyyxxPPd

Ejemplo 2

Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)Solución

29)46())7(3())1(2( 222 d

Formula del Punto Medio

(2)

2,

2,

2212121 zzyyxx

Ejemplo 2

Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)SoluciónDe (2), tenemos

5 ,5 ,21

246

,2

)7(3,

2)1(2

Vectores en 3 Dimensiones

• Fig 7.27.

321 ,, aaaa

Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3

(i) a + b = <a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3>(ii) ka = <ka1, ka2, ka3>(iii) a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3

(iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>(v) a – b = <a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3>(vi) 0 = <0, 0 , 0>(vi)

DEFINICIÓN 7.2

Definiciones en 3 Dimensiones

23

22

21|||| aaa a

Fig 7.28

Ejemplo 4

Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)Solución

5,2,3

)2(3,68,411221 OPOPPP

Ejemplo 5

• De la Definición 7.2, tenemos

149

369476

73

72

||||222

a

Los vectores i, j, k

• i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>

a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j

1,0,00,1,00,0,1

,0,00,,00,0,

,,

321

321

321

aaa

aaa

aaa

Fig 7.29

Ejemplo 6a = <7, −5, 13> = 7i − 5j + 13j

Ejemplo 7(a) a = 5i + 3k está en el plano xz(b)

Ejemplo 8Si a = 3i − 4j + 8k, b = i − 4k, hallar 5a − 2b

Solución5a − 2b = 13i − 20j + 48k

3435||35|| 22 ki

7.3 Producto Escalar

El producto escalar de a y b es el escalar

(1)

donde es el ángulo que forman los vectores 0 .

DEFINICIÓN 7.3 Producto Escalar de Dos Vectores

cos|||||||| baba ．

Fig 7.32

Ejemplo 1

• De (1) obtenemos

i i = 1, j j = 1, k k = 1(2)

Producto Escalar en Forma de Componentes

(3)

(4)

• Fig 7.33

cos||||||||2|||||||||||| 22 baabc

222 ||||||||||(||2/1cos|||||||| cabba

332211 bababa ba．

Fig 7.33

Ejemplo 2

• Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces

21)3)(6()4)(2(21

)10(

ba．

Propiedades

• (i) a b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0(ii) a b = b a(iii) a (b + c) = a b + a c (iv) a (kb) = (ka) b = k(a b)(v) a a 0(vi) a a = ||a||2

Orthogonal Vectors

• (i) a b > 0 si y sólo si es agudo(ii) a b < 0 si y sólo si es obtuso (iii) a b = 0 si y sólo si cos = 0, = /2

• Observación: Como 0 b = 0, decimos que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores.

Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si a b = 0.

TEOREMA 7.1Criterio de Vectores Ortogonales

Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales.i j = j i = 0, j k = k j = 0, k i = i k = 0

(5)

Ejemplo 4Si a = −3i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces

a b = –6 – 14 + 20 = 0Son ortogonales.

Ángulo que Forman Dos Vectores

(6)||||||||

cos 332211

babababa

Ejemplo 5

Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k.

Solución14,27||||,14|||| baba ．

942

271414

cos

44.9

77.0942

cos 1

Cosenos DirectoresObservando la Fig 7.34, los ángulos , , se llaman ángulos directores. Ahora por (6)

decimos que cos , cos , cos son cosenos directores, y

cos2 + cos2 + cos2 = 1

||k||||a||ka

||j||||a||ja

||i||||a||ia ．．． cos,cos,cos

||a||||a||||a||321 cos,cos,cosaaa

kjik||a||

j||a||

i||a||

a||a||

)(cos)(cos)(cos1 321 aaa

Fig 7.34

Ejemplo 6

Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2i + 5j + 4k.Solución

5345452|||| 222 a

534

cos,53

5cos,

532

cos

Componentes de a en b

• Como a = a1i + a2j + a3k, entonces(7)

Escribimos los componentes de a como(8)

Observe la Fig 7.35. El componente de a en cualquier vector b es

compba = ||a|| cos (9)escribiendo (9) como

(10)

kajaia ．．． 321 ,, aaa

,comp iaai ． ,comp jaaj ． kaak ．comp

bba

bb

a

bba

bba

ab

||||1

||||||||cos||||||||

comp

．

．

Fig 7.35

Ejemplo 7

Sea a = 2i + 3j – 4k, b = i + j + 2k. Hallar compba y compab.

SoluciónDe (10), a b = −3

)2(6

1||||

1,6|||| kjibb

b

63

)2(6

1)432(comp kjikjiab ．

)432(291

||||1

,29|||| kjiaa

a

293

)432(291

)2(comp kjikjibb ．

Interpretación Física

• Observe la Fig 7.36. Si F produce un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es

W = F d(11)

Fig 7.36

Ejemplo 8

Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a(4, 6), hallar el trabajo realizado por F.Solución d = 3i + 5j

W = F d = 26 N-m

Proyección de a sobre b

• Observe la Fig 7.37. La proyección de a sobre i es

• Observe la Fig 7.38. La proyección de a sobre b es

(12)b

bb

bab

b

1aa bb

)(compproy

iaiiaiaa ii 1)()(compproy

Fig 7.37

Fig 7.38

Ejemplo 9

Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i + 3j.

Solución13

11)(2

131

)(4comp 3jijiab

jijiab 13

33

13

22)3(2

13

1

13

11proy

Fig 7.39

7.4 Cross Product

El producto vectorial de dos vectores a y b es(1)

donde es el ángulo entre ellos, 0 , y nes un vector unitario perpendicular al plano de a y b Con la dirección que viene dada por la regla de la mano derecha.

DEFINICIÓN 7.4

Producto Vectorial de Dos Vectores

nbaba )sin||||||(||

Fig 7.46

Ejemplo 1• Para entender el sentido físico del producto

vectorial, observe las Fig 7.37 y 7.48. El momento producido por la fuerza F que actúa en la posición final del vector r está dado por = r F.Fig 7.47 Fig 7.48

Propiedades

• (i) a b = 0, if a = 0 or b = 0(ii) a b = −b a(iii) a (b + c) = (a b) + (a c)(iv) (a + b) c = (a c) + (b c)(v) a (kb) = (ka) b = k(a b)(vi) a a = 0(vii) a (a b) = 0(viii) b (a b) = 0

Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo sisi a b = 0.

TEOREMA 7.2Criterio de Vectroes Paralelos

Ejemplo 2• (a) De propiedades (iv)

i i = 0, j j = 0, k k = 0 (2)

(b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a, entonces a y b son paralelos. Así a b = 0

• Si a = i, b = j, entonces

(3)

Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k. Por lo que i j = k

nnjiji

2sin||||||||

Ejemplo 3

• De Fig 7.49, tenemos

(4)

(ii) propiedad la dey

jik

ikj

kji

jki

ijk

kii

Fig 7.49

Alternative Definition

• Como

(5)

tenemos(6)

)()()(

)()()(

)()()(

)(

)()(

)()(

332313

322212

312111

3213

32123211

321321

kkjkik

kjjjij

kijiii

kjik

kjijkjii

kjikjiba

bababa

bababa

bababa

bbba

bbbabbba

bbbaaa

kjiba )()()( 122113312332 babababababa

También podemos escribir (6) como

(7)

Por otro lado, (7) se transforma en

(8)

kjiba21

21

31

31

32

32

bb

aa

bb

aa

bb

aa

321

321

bbb

aaa

kji

ba

Ejemplo 4

Sea a = 4i – 2j + 5k, b = 3i + j – k, hallar a b.SoluciónDe (8), tenemos

kji

kji

ba

13

24

13

54

11

52

113

524

Productos Especiales

• Tenemos

(9)

se denomina el producto mixto. Los resultados siguientes se dejan como ejercicio.

(10)

321

321

321

)(

ccc

bbb

aaa

cba．

cbabcacba )()()( ．．

Area y Volumen

• Area de un paralelograma A = || a b|| (11)

Area de un triánguloA = ½||a b|| (12)

Volumen del paralelepípedo V = |a (b c)| (13)

Fig 7.50 y Fig 7.51

Fig 7.50

Fig 7.51

Ejemplo 5

Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1).SoluciónUsando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, –1, –2>

kji

kji

kji

58

31

21

51

31

53

32

531

3213221

PPPP

1023

||58||21 kjiA

Vectores Coplanarios

a (b c) = 0 si y sólo si a, b, c son coplanarios.

7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones

• Rectas: Ecuación VectorialFig 7.55. Hallamos que r2 – r1 es paralelo a r – r2, entonces r – r2 = t(r2 – r1) (1)Si escribimos

a = r2 – r1 = <x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1> = <a1, a2, a3> (2)

luego (1) implica que una ecuación vectorial para la recta es

r = r2 + tadonde a se llama vector director.

Fig 7.55

Ejemplo 1Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, –1, 8) y (5, 6, –3).SoluciónDefinimos a = <2 – 5, –1 – 6, 8 – (– 3)> = <–3, –7, 11>.Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones vectoriales de la recta:

(3)

(4)

(5)

11,7,38,1,2,, tzyx

11,7,33,6,5,, tzyx

11,7,33,6,5,, tzyx

Ecuación Paramétrica

• También podemos escribir (2) como

(6)

las ecuaciones (6) se denominan ecuaciones paramétricas .

tazztayytaxx 322212 ,,

Ejemplo 2

Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del Ejemplo 1.SoluciónDe (3), se tiene

x = 2 – 3t, y = –1 – 7t, z = 8 + 11t (7)

De (5),

x = 5 + 3t, y = 6 + 7t, z = –3 – 11t (8)

Ejemplo 3

Determinar un vector a que sea paralelo a la recta:

x = 4 + 9t, y = –14 + 5t, z = 1 – 3tSolución

a = 9i + 5j – 3k

Ecuación continua

• De (6)

siendo ai son no nulos. Entonces

(9)

se dice que es una ecuación continua.

3

2

2

2

1

2

azz

ayy

axx

t

3

2

2

2

1

2

azz

ayy

axx

Ejemplo 4

Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(4, 10, −6) y (7, 9, 2)SoluciónDefinimos a1 = 7 – 4 = 3, a2 = 9 – 10 = –1, a3 = 2 – (–6) = 8, luego

82

19

37

zyx

Ejemplo 5

Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(5, 3, 1) y (2, 1, 1)SoluciónDefinimos a1 = 5 – 2 = 3, a2 = 3 – 1 = 2, a3 = 1 – 1 = 0,luego

1,2

33

5 zyx

Fig 7.56

Ejemplo 6

Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua para la recta que pasa por (4, 6, –3) y es paralela a a = 5i – 10j + 2k.SoluciónEc. Vectorial: <x, y, z> = < 4, 6, –3> + t(5, –10, 2)

Ecs. Paramétricas : x = 4 + 5t, y = 6 – 10t, z = –3 + 2t, Ec. Continua:

23

106

54 zyx

Planos: Ecuación Vectorial

• Fig 7.57(a) ilustra el concepto del vector normal a un plano. Cualquier vector del plano debe ser perpendicular al vector normal, esto es

n (r – r1) = 0 (10)

Fig 7.57

Ecuaciones Cartesianas

• Si el vector normal es ai + bj + ck , entonces la ecuación cartesiana del plano que contiene aP1(x1, y1, z1) es

a(x – x1) + a(y – y1) + c(z – z1) = 0(11)

Ejemplo 7

Determine el palno que contiene (4, −1, 3) y es perpendicular a n = 2i + 8j − 5kSoluciónDe (11):

2(x – 4) + 8(y + 1) – 5(z – 3) = 0ó

2x + 8y – 5z + 15 = 0

• ecuación (11) también puede escribirse comoax + by + cz + d = 0

(12)

La gráfiaca de cualquier ecuación ax + by + cz + d = 0,a, b, c no todos nulos, es un plano con el vector normal

n = ai + bj + ck

TEOREMA 7.3Plano con Vector Normal

Ejemplo 8

• Un vector normal al plano 3x – 4y + 10z – 8 = 0 es n = 3i – 4j + 10k.

• Dados tres puntos no alineados, P1, P2, P3, elegimos P1 como le punto origen. Observe la Fig 7.58, Podemos obtener

(13)

0)()]()[( 11312 rrrrrr ．

Fig 7.58

Ejemplo 9Determinar la ecuación del palno que contiene (1, 0 −1), (3, 1, 4) y (2, −2, 0).SoluciónObtenemos dos vectores a partir de los puntos dados, u = <2, 1, 5> y v = <1, 3, 4>.

,)2()2(),,(

)0,2,2(

,43)0,2,2(

)4,1,3(

,52)4,1,3(

)1,0,1(

kjiw

kjiv

kjiu

zyxzyx

Ejemplo 9 (2)

Si escogemos (2, −2, 0) como el punto origen, entonces<x – 2, y + 2, z – 0> <−11, −3, 5> = 0

kji

kji

vu 5311

431

512

05)2(3)2(11 zyx

0165311 zyx

Gráficas

• La gráfica de (12) caundo faltan una o ods variables sigue siendo un plano.

Ejemplo 10

Gráfica 2x + 3y + 6z = 18SoluciónPoniendo: y = z = 0 nos da x = 9

x = z = 0 nos da y = 6x = y = 0 nos da z = 3

Fig 7.59.

Fig 7.59

Ejemplo 11

Gráfica 6x + 4y = 12SoluciónEsta ecuación carece de la variable z, por lo cual el plano es paralelo al eje z. Puesto que x = 0 nos da y = 3

y = 0 nos da x = 2 Fig 7.60.

Fig 7.60

Ejemplo 12

Gráfica x + y – z = 0SoluciónPriemro observamos que el plano pasa por (0, 0, 0). Sea y = 0, entonces z = x; x = 0, entonces z = y.

Fig 7.61

• Dos planos no paralelos se cortan en una recta. Observe la Fig 7.62. Fig 7.63 ilustra la intersección de una recta con un plano.

Fig 7.62

Fig 7.63

Ejemplo 13

Hallar la ecuación paramétrica de la recta de la intersección de

2x – 3y + 4z = 1 x – y – z = 5

SoluciónPriemro dejamos que sea z = t,

2x – 3y = 1 – 4t x – y = 5 + tluego x = 14 + 7t, y = 9 + 6t, z = t.

Ejemplo 14

Determinar el punto de intersección del plano3x – 2y + z = −5 y la recta x = 1 + t, y = −2 + 2t, z = 4t. SoluciónSuponemos que (x0, y0, z0) es el punto de intersección.

3x0 – 2y0 + z0 = −5 y x0 = 1 + t0, y0 = −2 + 2t0, z0 = 4t0

entonces 3(1 + t0) – 2(−2 + 2t0) + 4t0 = −5, t0 = −4Así, (x0, y0, z0) = (−3, −10, −16)

7.6 Espacios Vectoriales

• n DimensionesSimilar al de 3 dimensiones

(1)

(2)

nn bababa ,,, 2211 ba

nkakakak ,,, 21 a

nn

nn

bababa

bbbaaa

2211

2121 ,,,,,, ．．ba

Sea V un conjunto de elemntos en el que se definen las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. Entonces se dice que V es un espacio vectorial si se cumple lo siguiente.

DEFINICIÓN 7.5

Espacio Vectorial

Axiomas para la suma vectorial(i) Si x y y son de V, entonces x + y es de V.(ii) Para todo x, y de V, x + y = y + x(iii) Para todo x, y, z de V, x + (y + z) = (x + y) + z(iv) Existe un único vector 0 de V, tal que

0 + x = x + 0 = x(v) Para cada x de V, existe un vector −x de V, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0

DEFINICIÓN 7.5

Espacio Vectorial

Axiomas para el producto por un escalar(vi) Si k es un escalar y x es de V, entonces kx es de V.(vii) k(x + y) = kx + ky(viii) (k1+k2)x = k1x+ k2x

(ix) k1(k2x) = (k1k2)x

(x) 1x = xPropiedades (i) y (vi) are called the closure axioms.

DEFINICIÓN 7.5

Espacio Vectorial

Ejemplo 1

Determinar si cada uno de los conjuntos (a) V = {1} y (b) V = {0} bajo la suma y producto por un escalar son espacios vectoriales.Solución (a) V = {1}, viola muchos de los axiomas.(b) V = {0}, es fácil de comprobar que es un espacio vectorial.

Además, se denomina el espacio vectorial nulo o trivial.

Ejemplo 2

Considere el conjunto V de todos los números reales positivos. Si x y y denotan números reales positivos, entonces escribimos vectores como x = x, y = y. Ahora la suma de vectores se define como

x + y = xyy producto por un escalar como

kx = xk

Determinar si el conjunto es un espacio vectorial.

Ejemplo 2 (2)

Solución Repasamos los 10 axiomas.(i) Pra x = x > 0, y = y > 0 de V, x + y = x + y > 0(ii) Para todo x = x, y = y de V,

x + y = x + y = y + x = y + x(iii) Para x = x , y = y, z = z de V

x + (y + z) = x(yz) = (xy) = (x + y) + z(iv) Como 1 + x = 1x = x = x, x + 1 = x1 = x = x

El vector nulo 0 es 1 = 1

Ejemplo 2 (3)

(v) Si definimos −x = 1/x, entoncesx + (−x) = x(1/x) = 1 = 1 = 0−x + x = (1/x)x = 1 = 1 = 0

(vi) Si k es un escalary x = x > 0 es de V, entonces kx = xk > 0

(vii) Si k es un escalar, k(x + y) = (xy)k = xkyk = kx + ky

(viii) (k1+k2)x = xk1+k2 = xk1xk2 = k1x+ k2x (ix) k1(k2x) = (xk2 )k1 = xk1k2 = (k1k2)x (x) 1x = x1 = x = x

Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V, entonces W se denomina un subespacio de V.

DEFINICIÓN 7.6

Subespacio

Un conjunto no vacío W es un subespacio de V si y sólo si W es cerrado frente las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V:

(i) Si x y y son de W, entonces x + y es de W.(ii) Si x es de W y k un escalar cualquiera, entonces kx es de W.

TEOREMA 7.4Criterios para un Subespacio

Ejemplo 3

• Suponemos que f y g son funciones continuas y de valor real definidas en (−, ). Sabemos que f + g y kf, para cualquier número real k, son continuas y de valor real. Por lo cual, llegamos a la conclusión de que C(−, ) es un subespacio del espacio vectorial de funciones de valores reales definidas en (−, ).

Ejemplo 4

• El conjunto Pn de polinomios de grado menor o igual que n es un subespacio de C(−, ).

Un conjunto de vectores {x1, x2, …, xn} se dice que es linealmente independiente, las únicas constantes que satisfacen

k1x1 + k2x2 + …+ knxn = 0 (3)son k1= k2 = … = kn = 0. Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es linealmente dependiente.

DEFINICIÓN 7.7

Independencia Lineal

• Por ejemplo: i, j, k son linealmente independiente.

<1, 1, 1> , <2, –1, 4> y <5, 2, 7> son linealmente dependiente, porque3<1, 1, 1> + <2, –1, 4> − <5, 2, 7> = <0, 0, 0>

3a + b – c = 0

• Puede demostrarse que cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes es una base de R3. Por ejemplo

<1, 0, 0>, <1, 1, 0>, <1, 1, 1>

Considere un conjunto de vectores B = {x1, x2, …, xn} deun Espacio Vectorial V. Si el conjunto es linealmente independiente y si todo vector de V puede expresarse Como combinación lineal de estos vectores, entonces se dice que B es una base de V.

DEFINICIÓN 7.8

Base de un Espacio Vectorial

• Base Estándar: {i, j, k} Para Rn : e1 = <1, 0, …, 0>, e2 = <0, 2, …, 0> …..

en = <0, 0, …, 1> (4)Si B es un base, entonces existen cierto escalares tales que

(5)

donde estos escalares ci, i = 1, 2, .., n, se llaman coordenadas de v respecto de la base B.

cnccc xxxv 2211

Se dice que el número de vectores de una base B del espacio vectorial V es la dimensión del espacio.

DEFINICIÓN 7.8

Dimensión de un Espacio Vectorial

Ejemplo 5

(a) Las dimensiones de R, R2, R3, Rn son respectivamente 1, 2, 3, n.

(b) Hay n + 1 vectores en B = {1, x, x2, …, xn}. La dimensión es n + 1

(c) La dimensión del espacio nulo {0} es ceero.

ED Lineales

• La solución general de la siguiente ED

(6)

puede escribirse como y = c1y1 + c1y1 + … cnyn y se dice que es espacio solución. Así {y1, y2, …, yn} es una base.

0)()()()( 011

1

1

yxadxdy

xadx

ydxa

dx

ydxa n

n

nn

n

n

Ejemplo 6

La solución general de y” + 25y = 0 es

y = c1 cos 5x + c2 sen 5x

entonces {cos 5x , sin 5x} es una base.

Span

• Si S denota un conjunto cualquiera de vectores {x1, x2, …, xn} entonces al combinación lineal

k1x1 + k2x2 + … + knxn

se llama span de los vectores y se escribe como Span(S) o Span{x1, x2, …, xn}.

Otras formas de Definiciones 7.8 y 7.9

• Un conjunto S de vectores {x1, x2, …, xn} de un espacio vectorial V es una base, si S es linealmente independiente y es un conjunto de span de V. El número de vectores de este conjunto de span S es la dimensión del espacio V.

7.7 Gram-Schmidt Orthogonalization Process

• Base OrtonormalTodos los vectores de la base son ortogonales entre sí y tienen la longitud unidad.

Ejemplo 1

• El conjunto de vectores

(1)

es linealmente independiente en R3. De ahí que B = {w1, w2, w3} es una base. Como ||wi|| = 1, i = 1, 2, 3, wi wj = 0, i j, B es una base ortonormal.

21

,2

1 0,

,6

1 ,

61

,6

2

,3

1 ,

31

,3

1

3

2

1

w

w

w

• DemostraciónComo B = {w1, w2, …, wn} es una base ortonormal, entonces cualquier vector puede expresare como

u = k1w1 + k2w2 + … + knwn (2)(u wi) = (k1w1 + k2w2 + … + knwn) wi

= ki(wi wi) = ki

Supongamos que B = {w1, w2, …, wn} es una base

ortonormal de Rn. Si u es un vector cualquiera de Rn, entonces u = (u w1)w1 + (u w2)w2 + … + (u wn)wn

TEOREMA 7.5

Coordenadas respecto a una Base Ortonormal

Ejemplo 2

Determinar las coordenadas de u = <3, – 2, 9> respecto a la base ortonormal del Ejemplo 1.Solución

321

321

211

61

310

211

,6

1 ,

310

wwwu

wuwuwu

Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt

• La transformación de la base B = {u1, u2} en una base ortogonal B’= {v1, v2} consta de dos pasos. Fig 7.64.

(3)

111

1222

11

vvvvu

uv

uv

Fig 7.64(a)

Fig 7.64(b)

Fig 7.64(c)

Ejemplo 3 Sea u1 = <3, 1>, u2 = <1, 1>. Transformarlos en una base ortonormal.Solución De (3)

Normalizando:

Fig 7.65

53 ,

51

1 3,104

1 1,

1 3,

2

11

v

uv

103

,1011

101

,1031

22

2

11

1

vv

w

vv

w

Fig 7.65

Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt

• Para R3:

(4) 222

231

11

1333

111

1222

11

vvvvu

vvvvu

uv

vvvvu

uv

uv

• Observe la Fig 7.66. Suponemos que W2 = Span{v1, v2}, entonces

es de W2 y se llama proyección ortogonal de u3 sobre W2, denotado por x = proyw2u3.

(5)

(6)

222

231

11

1332

proy vvv

vuv

vv

vuux

w

111

1221

proy vvv

vuux

w

222

231

11

13 vvvvu

vvvvu

x

Fig 7.66

Ejemplo 4

Sea u1 = <1, 1, 1>, u2 = <1, 2, 2>, u3 = <1, 1, 0>. Transformarlos en una base ortonormal.Solución De (4)

21

,21

0,

31 ,

31 ,

32

1) 1, 1,35

2 2, 1,

1 1, 1,

222

231

11

1333

111

1222

11

vvvvu

vvvvu

uv

vvvvu

uv

uv

Ejemplo 4 (2)

,2

1 ,

2

1 0,

,6

1 ,

6

1 ,

6

2 ,

3

1 ,

3

1 ,

3

1

, ,

3, 2, 1, ,1

y 2

2 ,

3

6 ,3

2

1 ,

2

1 ,0 ,

3

1 ,

3

1 ,

3

2 ,1 1, 1, v, v,v

3

21

321

321

321

w

ww

www

vv

wvvv

B

i

B

ii

i

Sea B = {u1, u2, …, um}, m n, una base del subespacio Wm de

Rn. Entonces {v1, v2, …, vm}, donde

es una base ortogonal de Wm. Una base ortonormal de Wm es

TEOREMA 7.6Proceso de Ortogonalización

111

12

22

21

11

1

222

231

11

1333

111

1222

11

mmm

mmmmmm v

vvvu

vvvvu

vvvvu

uv

vvvvu

vvvvu

uv

vvvvu

uv

uv

m

mmB v

vv

vv

vwww

1 , ,

1 ,

1 , , , 2

21

121