FÍSICA IFÍSICA I

PROFESOR:

JOSÉ ABELARDO MIRANDA BUENO

VECTORES

ESCALARES

VECTORES: REPRESENTACION

SUMA DE VECTORES: COMPONENTES DE UN VECTOR

VECTOR UNITARIO

VECTOR UNITARIO ASOCIADO A SISTEMAS DE COORDENADAS

PRODUCTO ESCALAR

PRODUCTO VECTORIAL

ESCALARES:

EL AREA DE UN TERRENO:

SON CANTIDADES FISICAS QUE EXPRESADAS POR UNNUMERO O VALOR Y SU RESPECTIVA UNIDAD QUEDANCOMPLETAMENTE DETERMINADAS

EJEMPLO:

LA MASA DE UN AUTOMOVIL :

LA FRECUENCIA DE UNA EMISORA:

(800 Kg.)

(1200 Hz)

(25 m2 )

VECTORES

Son cantidades físicas que para estar completamente determinadas son necesarias un valor numérico, llamada magnitud y una dirección

EJEMPLO:

La velocidad de un automóvil

El campo Magnético

El Campo Eléctrico

REPRESENTACION DE VECTORESREPRESENTACION DE VECTORES

LOS VECTORES SE REPRESENTAN MEDIANTE RECTAS

ORIENTADAS, CUYA LONGUITUD ES PROPORCIONAL A

LA MAGNITUD O VALOR DEL VECTOR Y LA FLECHA

INDICA LA DIRECCION Y EL SENTIDO DEL VECTOR

RESPECTO A UN PUNTO DE REFERENCIA. EJEMPLO:

A BLAS PARTES DE UN VECTOR SON:

Origen

Magnitud

SentidoDirección

DENOTACION DE VECTORES:

DENOTAREMOS LOS VECTORES MEDIANTE LETRAS MAYUSCULAS Y QUE TENGAN UNA FLECHA ENCIMA DE LA LETRA. EJEMPLO:

A

TAMBIEN DENOTAREMOS POR LETRAS RESALTADAS EN NEGRITAS. EJEMPLO:

B C

A , B , C ETC

; ;

OPERACIONES OPERACIONES CON VECTORESCON VECTORES

SUMA DE VECTORES

DADOS DOS VECTORES A Y B , LA SUMA DE LOS

VECTORES A MAS B ES OTRO VECTOR C,

OBTENIDO TRASLADANDO EL ORIGEN DEL VECTOR B

AL EXTREMO DEL VECTOR A Y UNIENDO EL ORIGEN

DEL VECTOR A CON EL EXTREMO DEL VECTOR B

EJEMPLO:

A B

A

BC

C = A + B

MAGNITUD:

ABCOSBAC 222

SUMA DESUMA DE VECTORESVECTORESPara sumar dos vectores, hay dos métodos más comunes: Se coloca el origen del vector que se desea sumar ( B ) a la cabeza del vector al que se suma ( A ), y luego se traza una línea que une el origen del vector A con la cabeza del vector B , tal como se ve en la figura.

B

AB

C = A + B

C

A

Otro método es construir un paralelogramo conambos vectores y dibujar su diagonal - Se trasladan paralelamente los dos vectores de

manera que ambos tengan sus orígenes en común. - Se construye el paralelogramo con los vectores. - La diagonal que parte de los orígenes, es el origen

del vector suma

A

BB

AC

C = A + B

Para sumar tres o más vectores se usa el primer método, como se observa en la figura.

A

B

C

R = A + B + C

R

A

B

C

RESTA DE VECTORESRESTA DE VECTORESPara restar vectores se multiplica el vector quese resta por -1 (es decir, se le cambia sudirección) y luego se suman comúnmente.

A

B -B

A -B

C = A - B

C

COMPONENTES DE UN VECTORCOMPONENTES DE UN VECTOR

Se denominan componentes de un vector atodos aquellos vectores que sumados , dan como resultado un determinado vector resultante

A

R A + B + C + D = R

A, B, C y D son componentes del vector R

BC

D

COMPONENTES RECTANGULARESCOMPONENTES RECTANGULARES

Son aquellos vectores componentes de un vectorque forman entre sí un ángulo 90º.En dos dimensiones:

A

Ax

Ay

Ahora:

A = Ax + Ay

Ax = A cos

x

y

Ay = A sen

PRODUCTO DE UN VECTOR POR PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALARUN ESCALAR

Cuando un vector se multiplica por un escalar,resulta otro vector en la misma dirección y demódulo igual a tantas veces el escalar por el módulodel vector dado.

2 unidades4 unidades

A (1 2) A

VECTOR UNITARIOVECTOR UNITARIO

X

Y

o

u

A

A = A u

De donde:

AAu

Es aquel vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A dicho vector se le llama también versor.

EN DOS DIMENSIONES:

x

y

i

j

Al eje x se le asocia el vector unitario iAl eje y se le asocia el vector unitario jLuego un vector se puede escribir en la forma :

Ax

Ay A

VECTORES UNITARIOS ASOCIADOS A UN SISTEMA DE COOORDENADAS RECTANGULARES

A = Ax i + Ay j

EN TRES DIMENSIONES:

x

y

z

Al eje x se le asocia el vector unitario i

Al eje y se le asocia el vector unitario j

Al eje z se le asocia el vector unitario k

i

kj

LUEGO UN VECTOR EN TRES DIMENSIONES PODEMOS

ESCRIBIR DE LA FORMA SIGUIENTE:

j

k

Ax

Ay

Az

i

A = Ax i + Ay j + Azk

A

VECTOR POSICIÓNVECTOR POSICIÓN

Z

X

Y

P ( x,y,z)P P = x i + y j + z k

Es aquel vector que va de un origen de coordenadas escogido a un punto determinado; representaremos por el vector “P” y en términos de las coordenadas x, y, z del punto y de los vectores unitarios “ i, j, k ” .

VECTOR POSICION RELATIVO A DOS PUNTOS

YX

Z P(x1,y1,z1),

Q(x2,y2,z2)

Sean los puntos P(x1,y1,z1) y Q(x2,y2,z2)

Modulo :

R1 R2

Los vectores posición de estos puntos son: R1= x1 i + y1 j +z1 k ,R2=x2 i + y2 j + z2 k

Aplicando la suma de vectores : R1+ PQ= R2

De donde se tiene; PQ = R2 - R1 = (x2-x1) i + (y2-y1) j+(z2-z1) k-

212

212

212 )zz()yy()xx(PQ

ANGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR

Se llaman ángulos directores de un vector a cada uno de los ángulos , ; que forma el vector con los ejes coordenados x, y , z respectivamente (Fig)

x

y

z

A

Cosenos Directores:

Son los cosenos respectivos a cada ángulo:

AxAy

Az

; ;Propiedades de los cosenos directores:

Cos2 + cos2 + cos2 = 1

PRODUCTO ESCALARPRODUCTO ESCALAR

)

A

B

A . B = AB cos

De donde podemos escribir:

Si los vectores están dadas por sus componentes :

A.B = AxBx + AYBy+ AzBz

B = Bx i+By j+BzkA = Ax i+Ay j+Az k ;

El producto escalar de dos vectores es igual alproducto de los módulos por el coseno del ángulo queforman:

ABB.Acos

PRODUCTOPRODUCTO VECTORIALVECTORIAL

)

AxB

BxA A

B

A = AX i + AY j + AZ k

B = BX i + BY j + BZ k

AxB = AB sen u

i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz

AxB = = i ( Ay Bz– AzBy ) - j ( AxBz – AzBx )

+ k ( AxBy – AyBx )

EJERCICIOS EJERCICIOS PROPUESTOSPROPUESTOS

1) Hallar los componentes del vector mostrado en la figura.Sabiendo que el módulo del vector es A=5u y que hace un ángulo = 37º con la horizontal

Aa)

x

y

2)En la Fig. mostrada encuentre: a) El vector A

b) El vector unitario de Az

x

y5

43

A

4) Dado el paralelogramo mostrado en la figura. Halle: a) Los vectores FB ,EB ,AE ,OG b) La suma S=FB +EB +AE +OG

A

EG

D

BC

F

5

3

4

3) Dados los vectores A = 3 i– 4 j+ 4 k ; B = 2 i + 3 j –7 k Efectuar:a) A–3B, b) A. B, c) A x B

5) Para la figura mostrada encuentre: a) Los vectores A y C, b) El vector R = A +B +C + D+ E , sabiendo que A = 20 u, = 37y C = 10 u E

C

D

B

A

6) En la fig. mostrada A= 10 u , F = 20 u ; = 37 . Hallea) Los vectores A y F b) El vector R = A + B + C + D

B C

D

FAθ

A

34

5

B

7) La figura muestra dos vectores A y B, de módulos A= 15 u y B = 250 u. Halle: a) Los vectores A y B, b) La suma 3A + 2 Bc) El producto escalar A . B

8) Dados un vector A de modulo A = 20 u, que tiene como ángulodirector respecto al eje x es α = 45° y que su coseno directorrespecto al eje y (cosβ) es el doble del coseno director respectoal eje z (cos ) y otro vector B de modulo B = 15 u, cuyos cosenosdirectores son respectivamente; Cosα = -1/3 ; cos β = 2/3 ycos= 2/3. Encuentre: a) Las expresiones cartesianas de losvectores, b) El ángulo que forman los vectores

9) Dados dos vectores A = 2 i – j + k y B = i + 2 j -2 k. Encontrar dosvectores C y D que satisfagan las siguientes condiciones: C es paralelo aB, D es perpendicular a B y A = C + D

10) Los vectores A y B forman un ángulo = 45 y el modulo del vector A es A = 3 u. Encuentre el modulo del vector B, para que A - B sea perpendicular al vector A