Vectores Duales y Tensores -...

Capıtulo 3

Vectores Duales y Tensores

100

Metodos de la Fısica Matematica (Vol 1) BORRADOR PRELIMINAR

3.1. Funcionales Lineales

Definiremos funcionales lineales aquella operacion que asocia un numero complejo (o real) a un vector |vi 2V y cumple con la linealidad. Esto es

8 |vi 2 V ! F [|vi] 2 C

F [↵ |v1

i+ � |v2

i] ⌘ ↵ F [|v1

i] + � F [|v2

i] 8 |vi , |v1

i , |v2

i 2 V

El conjunto de funcionales lineales {F1

,F2

,F3

,F4

, · · · ,Fn

, · · · } constituyen a su vez un espacio vectorial,que se denomina espacio vectorial dual de V y se denotara como V⇤. Este espacio lineal tambien se denominaespacio de formas lineales y los funcionales son esas 1�forma. Esto es, dados F

1

,F2

2 V⇤ se tiene

(F1

+ F2

) [|vi] = F1

[|vi] + F2

[|vi]

(↵ F) [|vi] = ↵⇤ F [|vi]

9

=

;

8 |vi 2 V

En aquellos espacios lineales con producto interno definido (Espacios de Hilbert), el mismo producto internoconstituye la expresion natural del funcional. Ası para tendremos

(Fa

) [|vi] ⌘ ha |vi 8 |vi 2 V ^ 8 ha| 2 V⇤

Es claro comprobar que el producto interno garantiza que los {Fa

,Fb

, · · · } forman un espacio vectorial.

(Fa

+ Fb

) [|vi] = Fa

[|vi] + Fb

[|vi] = ha |vi+ hb |vi

(↵ Fa

) [|vi] = h↵a |vi = ↵⇤ ha |vi = ↵⇤ Fa

[|vi]

9

=

;

8 |vi 2 V

Esta ultima propiedad se conoce como antilinealidad. Con lo cual se establece una correspondencia 1 � 1entre kets y bras, entre vectores y formas diferenciales.

�1

|v1

i+ �2

|v2

i � �⇤1

hv1

|+ �⇤2

hv2

|

Con lo cual podemos puntualizar esta correspondencia como

ha |vi = hv |ai⇤

ha |�1

v1

+ �2

v2

i = �1

ha |v1

i+ �2

ha |v2

ih�

1

a1

+�2

a2

|vi = �⇤1

ha1

|vi+ �⇤2

ha2

|vi

Mas aun, dada una base ortonormal {|e1

i , |e2

i , |e3

i · · · |em

i} para V siempre es posible asociar una basepara V⇤ de tal manera que

|vi = �i |ei

i � hv| = �⇤i

⌦

ei�

� con �i =⌦

ei |vi ^ �⇤i

= hv |ei

i con i = 1, 2, · · · , n

En un lenguaje arcaico (y muchos textos de Mecanica todavıa lo reproducen) denominan a la base del espaciodual

�⌦

ei�

�

la base recıproca de {|ei

i}Notese estamos utilizando la notacion de Einstein en la cual ındices repetidos indican suma y que las

bases del espacio dual de formas diferenciales⌦

ek�

� llevan los ındices arriba. Los ındices arriba se llamarancontravariantes y los ındices abajo covariantes. Las componentes de las formas diferenciales en una base dada,llevan ındices abajo ha| = a

i

⌦

ei�

� mientras que las componentes de los vectores los llevan abajo |ai = aj |ej

i

Hernandez & Nunez Universidad Industrial de Santander 101


3.2. Bases Discretas

Para fijar conceptos y extender algunos de los razonamientos que hemos desarrollado hasta aquı. Tal ycomo vimos arriba, la representacion de un vector |Fi en un espacio vectorial abstracto V puede darse entermino de una base ortonormal de vectores (discreta y finita B

DF

= {|u1

i , |u2

i , |u3

i , · · · |un

i} o discretae infinita B

DI

= {|u1

i , |u2

i , |u3

i · · · |un

i · · · }) de la forma:

|Fi =

8

<

:

ci |ui

i =⌦

ui

�

� Fi |ui

i ( BDF

= {|u1

i , |u2

i , |u3

i · · · |un

i}

ci |ui

i =⌦

ui

�

� Fi |ui

i ( BDI

= {|u1

i , |u2

i , |u3

i · · · |un

i · · · }con i = 1, 2, · · · , n

donde en ambos casos:ci =

⌦

ui

�

� Fi = cj⌦

ui |uj

i = cj �ij

Donde la delta de Kronecker �ki

lleva un ındice arriba y uno abajo y representa �ki

= 1 si i = k y es nula enlos otros casos. Supondremos, de ahora en adelante un espacio de dimension finita y en este consideraremosdos bases ortogonales, B

DF

= {|e1

i , |e2

i , |e3

i · · · |en

i} y BDF

= {|e1

i , |e2

i , |e3

i · · · |en

i} , de dimensionfinita. Como ambas son bases ortogonales todo vector de V puede expresarse en termino de esas bases, enparticular cada vector base se puede expresar en terminos de la otra base como

|e1

i = c1 |e1

i+ c2 |e2

i · · ·+ cn |en

i = cj |ej

i|e

2

i = c1 |e1

i+ c2 |e2

i · · ·+ cn |en

i = cj |ej

i...

|en

i = c1 |e1

i+ c2 |e2

i · · ·+ cn |en

i = cj |ej

i

Este sistema de ecuaciones se puede resumir aun mas como

|ei

i = Cj

i

|ej

i = Cj

i

|ej

i

Los Cj

i

son constantes que han renombrado las distintas formas de las constantes cj , cj · · · cj que expresamosarriba. Igualmente, podemos expresar los vectores de la segunda base en terminos de la primera como

|ei

i = Aj

i

|ej

i =)⌦

ek |ei

i = �ki

= Aj

i

⌦

ek |ej

i = Aj

i

Ck

j

ya que|e

m

i = Cj

m

|ej

i =)⌦

ek |em

i = Cj

m

⌦

ek |ej

i = Cj

m

�kj

= Ck

m

Adicionalmente, hay varias costumbres a aclarar con la notacion de ındices.Al asociar los Ck

m

con elementos de matriz los ındices contravariantes (arriba) indicaran filas y los cova-riantes (abajo) las columnas. Esas matrices seran no singulares para garantizar la independencia lineal delos vectores base. De este modo para el caso i, k = 1, 2, 3 tendremos

�ki

= Aj

i

Ck

j

=) �ki

= Aj

i

Ck

j

= Ck

j

Aj

i

representa0

@

1 0 00 1 00 0 1

1

A =

0

B

@

C1

j

Aj

1

C1

j

Aj

2

C1

j

Aj

3

C2

j

Aj

1

C2

j

Aj

2

C2

j

Aj

3

C3

j

Aj

1

C3

j

Aj

2

C3

j

Aj

3

1

C

A



0

@

1 0 00 1 00 0 1

1

A =

0

B

@

C1

1

A1

1

+ C1

2

A2

1

+ C1

3

A3

1

· · · C1

1

A1

3

+ C1

2

A2

3

+ C1

3

A3

3

C2

1

A1

1

+ C2

2

A2

1

+ C2

3

A3

1

. . . C2

1

A1

3

+ C2

2

A2

3

+ C2

3

A3

3

C3

1

A1

1

+ C3

2

A2

1

+ C3

3

A3

1

· · · C3

1

A1

3

+ C3

2

A2

3

+ C3

3

A3

3

1

C

A

Es claro que Ci

j

y Aj

i

son inversas una de la otra, por cuanto su multiplicacion nos da la matriz identidad.

Por lo tanto si |ei

i = Cj

i

|ej

i se considera la transformacion directa, mientras que |ei

i = Aj

i

|ej

i sera latransformacion inversa. El caso mas emblematico lo constituyen las transformaciones entre la base ortonormalcartesiana {|ıi , ||i} y la base ortonormal de vectores en coordenadas polares {|u

r

i , |u✓

i} .Siguiendo con el esquema propuesto expresamos los vectores cartesianos en la base de vectores polares

|ıi = cos ✓ |ur

i � sen ✓ |u✓

i

||i = sen ✓ |ur

i+ cos ✓ |u✓

i

9

=

;

=) |ei

i = Cj

i

|uj

i =) Cj

i

=⌦

uj |ei

i

con⌧

|e1

i ⌦ |ıi|e

2

i ⌦ ||i

�

;

⌧

|u1

i ⌦ |ur

i|u

2

i ⌦ |u✓

i

�

y

⌧

⌦

ei |ej

i = �ij

⌦

uk |ul

i = �kl

�

con lo cual

Cj

i

=

✓ ⌦

u1 |e1

i⌦

u1 |e2

i⌦

u2 |e1

i⌦

u2 |e2

i

◆

=

✓

Cr

i

Cr

j

C✓

i

C✓

j

◆

=

✓

cos ✓ sen ✓� sen ✓ cos ✓

◆

Mas adelante veremos que esta es la matriz de rotaciones.

3.3. Parentesis Tensorial

3.3.1. Tensores una definicion funcional

La extension natural al concepto de funcional lineal es el concepto de tensor. Definiremos como un tensora un funcional lineal que asocia un numero complejo (o real) a un vector |vi 2 V, a una forma hu| 2 V⇤, oambas y cumple con la linealidad. Esto es

8 |vi 2 V ^ hu| 2 V⇤ ! T [hu| ; |vi] 2 C

T [ hu| ;↵ |v1

i+ � |v2

i] ⌘ ↵ T [hu| ; |v1

i] + � T [hu| ; |v2

i] 8 |v1

i , |v2

i 2 V ^ hu| 2 V⇤

T [⇣ hu1

|+ ⇠ hu2

| ; |vi] ⌘ ↵⇣ T [hu1

| ; |vi] + ⇠ T [hu2

| ; |vi] 8 |vi ,2 V ^ hu1

| , hu2

| 2 V⇤

Es decir, un tensor es un funcional generalizado cuyos argumentos son vectores, formas o ambas. Esto esT [•; •] una cantidad con dos “puestos” y una vez cubiertos se convierte en un escalar (complejo o real). Aligual que las funciones de varias variables (f (x, y) = 3x+ 4y2) la posicion es importante

T

2

4

|vi#� ;

hu|#•

3

5 2 C

Un tensor con dos argumentos correspondientes a formas y uno a un vector

T [�, �; ·] ◆ T

2

4

|v1i#� ,

|v2i#� ;

hu|#•

3

5 2 C ◆ tensor de tipo

✓

12

◆

;



y el caso contrario

T [�; ·, ·] ◆ T

2

4

|vi#� ;

hu1|#• ,

hu2|#•

3

5 2 C ◆ tensor de tipo

✓

21

◆

En general

T [�; ·, ·] ◆ T

2

4

|v1i#� ,

|v2i#� , · · · ,

|vn

i#� ;

hu1|#• ,

hu2|#• · · · ,

hum

|#•

3

5◆ tensor de tipo

✓

mn

◆

En esta notacion el punto y coma ;separa las “entradas” para las formas de las de los vectores. Es importanterecalcar que el orden si importa, no solo para las cantidades separadas por el punto y como sino el ordende los puestos de los vectores y formas separados por coma. Ese ultimo orden repercutira en las propiedadesde los tensores. Seran tensores simetricos si al permutar dos de los puestos de vectores (o formas) cambia designo el orden no importa; antisimetricos si el orden importa y un tensor generico si el orden importa perono se comporta como los casos resenados anteriormente. De todos modos esto sera tratado con detalle masadelante.

Obviamente las formas pueden ser representadas por tensores ya que son funcionales lineales de vectores,es decir,

un vector es tensor de tipo

✓

10

◆

◆ T

2

4

ha|#�

3

5 2 C.

Por su parte, los vectores constituyen un caso especial de tensores

una forma es tensor de tipo

✓

01

◆

◆ T

2

4

|ai#•

3

5 2 C.

porque son funcionales lineales para las formas diferenciales

3.3.2. Producto Tensorial: Definicion y propiedades

Como sera evidente mas adelante, unos tensores (simples) pueden provenir del producto tensorial (exterioro directo) de espacios vectoriales. Esto es que, dados E

1

y E2

dos espacios vectoriales con dimensiones N1

y N2

,respectivamente y vectores genericos, |'(1)i y |�(2)i pertenecientes a estos espacios vectoriales, |'(1)i 2 E

1

y |�(2)i 2 E2

. Definiremos el producto tensorial (exterior o directo) de espacios vectoriales, E = E1

⌦ E2

, si

a cada par de vectores |'(1)i 2 E1

y |�(2)i 2 E2

le asociamos un tensor tipo

✓

20

◆

si se cumple que

|'(1)�(2)i = |'(1)i ⌦ |�(2)i = T

2

4

h⇣(1)|#• ,

h⇠(2)|#•

3

5 = h⇣(1) |'(1)i h⇠(2) |�(2)i 2 C

y cumplen con las siguientes propiedades:

1. La suma entre tensores de E viene definida como

|'(1)�(2)i+ |⇣(1)⇠(2)i = |'(1)i ⌦ |�(2)i+ |⇣(1)i ⌦ |⇠(2)i= |'(1) + ⇣(1)i ⌦ |�(2) + ⇠(2)i



2. El producto tensorial es lineal respecto a la multiplicacion con numeros reales � y µ

[|�'(1)i]⌦ |�(2)i = [� |'(1)i]⌦ |�(2)i = � [|'(1)i ⌦ |�(2)i] = � |'(1)�(2)i|'(1)i ⌦ [|µ�(2)i] = |'(1)i ⌦ [µ |�(2)i] = µ [|'(1)i ⌦ |�(2)i] = µ |'(1)�(2)i

3. El producto tensorial es distributivo respecto a la suma:

|'(1)i ⌦ [|�1

(2)i+ |�2

(2)i] = |'(1)i ⌦ |�1

(2)i+ |'(1)i ⌦ |�2

(2)i[|'

1

(1)i+ |'2

(1)i]⌦ |�(2)i = |'1

(1)i ⌦ |�(2)i+ |'2

(1)i ⌦ |�(2)i

Notese que los ındices (1) y (2) denotan la pertenencia al espacio respectivo.

Es facil convencerse que los tensores |'(1)�(2)i 2 E = E1

⌦E2

forman un espacio vectorial La demostracionse basa en comprobar los axiomas o propiedades de los espacios vectoriales. Es decir:

1. La operacion suma � es cerrada en V : 8 |vi

i , |vj

i 2 V ) |vk

i = |vi

i� |vj

i 2 VEsto se traduce en demostrar que sumados dos tensores |'(1)�(2)i , y |⇣(1)⇠(2)i 2 E el tensor sumatambien pertenece a E ,con a y b pertenecientes al campo del espacio vectorial

a |'(1)�(2)i+ b |⇣(1)⇠(2)i = |a'(1) + ⇣(1)i ⌦ |�(2) + b⇠(2)i

y esto se cumple siempre ya que, el producto tensorial es lineal respecto a la multiplicacion con numerosreales y por ser E

1

y E2

espacios vectoriales se cumple

|a'(1) + ⇣(1)i = a |'(1)i+ |⇣(1)i 2 E1

|'(2) + b⇣(2)i = |'(2)i+ b |⇣(2)i 2 E2

9

=

;

=) |'(1) + ⇣(1)i ⌦ |�(2) + ⇠(2)i 2 E2

2. La operacion suma � es conmutativa y asociativaConmutativa 8 |v

i

i , |vj

i 2 V ) |vi

i� |vj

i = |vj

i� |vi

iEsta primera es clara de la definicion de suma

|'(1)�(2)i+ |⇣(1)⇠(2)i = |'(1) + ⇣(1)i ⌦ |�(2) + ⇠(2)i

|⇣(1)⇠(2)i+ |'(1)�(2)i = |⇣(1) + '(1)i ⌦ |⇠(2) + �(2)i

por ser E1

y E2

dos espacios vectoriales8 |v

i

i , |vj

i , |vk

i 2 V ) (|vi

i� |vj

i)� |vk

i = |vj

i� (|vi

i� |vk

i)una vez mas, esto se traduce en:

(|'(1)�(2)i+ |⇣(1)⇠(2)i) + |{(1)(2)i = |'(1)�(2)i+ (|⇣(1)⇠(2)i+ |{(1)(2)i)

con lo cual, por la definicion de suma la expresion anterior queda como

(|'(1) + ⇣(1)i ⌦ |⇠(2) + �(2)i) + |{(1)(2)i = |'(1)�(2)i+ (|⇣(1) + {(1)i ⌦ |⇠(2) + (2)i)

|('(1) + ⇣(1)) + {(1)i ⌦ |(⇠(2) + �(2)) + (2)i = |'(1) + (⇣(1) + {(1))i ⌦ |⇠(2) + (�(2) + (2))i

3. Existe un unico elemento neutro: 9! |0i 3 |0i� |vj

i = |vj

i� |0i = |vj

i 8 |vj

i 2 VEs decir,

|'(1)�(2)i+ |0(1)0(2)i = |'(1) + 0(1)i ⌦ |�(2) + 0(2)i = |'(1)i ⌦ |�(2)i = |'(1)�(2)i



4. Existe un elemento simetrico para cada elemento de V :8 |v

j

i 2 V 9 |�vj

i 3 |vj

i� |�vj

i = |0i )

|'(1)�(2)i � |'(1)�(2)i = |'(1)� '(1)i ⌦ |�(2)� �(2)i = |0(1)i ⌦ |0(2)i = |0(1)0(2)i

5. ↵ (� |vi

i) = (↵�) |vi

i )

↵ (� |'(1)�(2)i) = ↵ (|��(2)i ⌦ |'(1)i) = |↵��(2)i ⌦ |'(1)i= (↵�) |�(2)i ⌦ |'(1)i = (↵�) |'(1)�(2)i

6. (↵+ �) |vi

i = ↵ |vi

i+ � |vi

i )

(↵+ �) |'(1)�(2)i = |'(1)i ⌦ |(↵+ �)�(2)i = |'(1)i ⌦ |↵�(2) + ��(2)i= |'(1)i ⌦ [(↵ |�(2)i+ � |�(2)i)]= ↵ |'(1)i ⌦ |�(2)i+ � |'(1)i ⌦ |�(2)i

7. ↵ (|vi

i� |vj

i) = ↵ |vi

i� ↵ |vj

i )

↵ (|'(1)�(2)i+ |⇣(1)⇠(2)i) = ↵ (|'(1) + ⇣(1)i ⌦ |⇠(2) + �(2)i)= |↵ ('(1) + ⇣(1))i ⌦ |⇠(2) + �(2)i= |↵'(1) + ↵⇣(1)i ⌦ |⇠(2) + �(2)i= (|↵'(1)�(2)i+ |↵⇣(1)⇠(2)i)= ↵ |'(1)�(2)i+ ↵ |⇣(1)⇠(2)i

Equivalentemente, podemos construir un producto tensorial entre espacios de formas diferenciales. Si E⇤1

yE⇤2

son dos espacios vectoriales duales a E1

y E2

, con dimensiones N1

y N2

, respectivamente. A estos espaciospertenecen las formas diferenciales genericas h⇣(1)| 2 E⇤

1

y h⇠(2)| 2 E⇤2

. Definiremos el producto tensorial deespacios vectoriales duales, E⇤= E⇤

1

⌦ E⇤2

, si a cada par de formas diferenciales h⇣(1)| 2 E⇤1

y h⇠(2)| 2 E⇤2

le

asociamos un tensor tipo

✓

02

◆

. Esto es

h⇣(1)⇠(2)| = h⇣(1)|⌦ h⇠(2)|

3.3.3. La tentacion del producto interno

Uno puede verse tentado a definir un producto interno de la forma

h'(1)�(2) |'(1)�(2)i = h'(1) |'(1)i · h�(2) |�(2)i

A partir de las definiciones de productos internos en E1

y E2

mostraremos, sin embargo que NO es unabuena definicion de producto interno. Para ello supondremos que · representa la multiplicacion estandarentre numeros reales. Para comprobar queDebemos demostrar los axiomas o propiedades de los productos internos. Las propiedades que definen elproducto interno son:

1. hx| xi 2< ^ hx| xi � 0 8 |xi 2 V si hx| xi = 0 ) |xi ⌘ |0iEsto es:

h'(1)�(2) |'(1)�(2)i = h'(1) |'(1)i · h�(2) |�(2)i



como h'(1) |'(1)i y h�(2) |�(2)i son buenas definiciones de producto interno tendremos que

h'(1) |'(1)i � 0

h�(2) |�(2)i � 0

9

=

;

) h'(1)�(2) |'(1)�(2)i � 0

Aquı vale la pena mencionar algunos puntos sutiles sobre la segunda parte de la propiedad a demostrar:si hx| xi = 0 ) |xi ⌘ |0i lo cual para este caso se traducen en

h'(1)�(2) |'(1)�(2)i = h'(1) |'(1)i · h�(2) |�(2)i = 0

h'(1) |'(1)i · h�(2) |�(2)i = 0 )

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

h'(1) |'(1)i = 0

h�(2) |�(2)i 6= 0

9

=

;

) |'(1)i = |0(1)i

h'(1) |'(1)i 6= 0

h�(2) |�(2)i = 0

9

=

;

) |�(1)i = |0(1)i

h'(1) |'(1)i = 0

h�(2) |�(2)i = 0

9

=

;

)

8

<

:

|'(1)i = |0(1)i

|�(1)i = |0(1)i

definitivamente, habrıa que restringir los posibles vectores que intervienen en el producto tensorial, demodo que no fuera posible vectores del tipo

|'(1)0(2)i = |'(1)i ⌦ |0(2)i o |'(1)�(2)i = |0(1)i ⌦ |�(2)i

solo ası se cumple la propiedad mencionada.

2. hx| yi = hy| xi⇤ 8 |xi , |yi 2 VEsto puede ser demostrado facilmente como sigue

h'(1)�(2) |'(1)�(2)i = h'(1) |'(1)i · h�(2) |�(2)i= h'(1) |'(1)i⇤ · h�(2) |�(2)i⇤

= (h'(1) |'(1)i · h�(2) |�(2)i)⇤

= h'(1)�(2) |'(1)�(2)i⇤

3. hx| y + zi = hx| yi+ hx| zi ^ hx+ z| yi = hx| yi+ hz| yi 8 |xi , |yi , |zi 2 VPartimos del lado derecho de la primera de las igualdades anteriores:

h'(1)�(2)| [|'(1)�(2)i+ |⇣(1)⇠(2)i] = h'(1)�(2)| [|'(1) + ⇣(1)i ⌦ |⇠(2) + �(2)i]= h'(1) |'(1) + ⇣(1)i · h�(2) |⇠(2) + �(2)i

y otra vez, como h'(1) |'(1)i y h�(2) |�(2)i son buenas definiciones de producto interno tendremosque:

h'(1) |'(1) + ⇣(1)i = h'(1) |'(1)i+ h'(1) |⇣(1)ih�(2) |⇠(2) + �(2)i = h�(2) |⇠(2)i+ h�(2) |�(2)i



y al multiplicar h�(2) |⇠(2) + �(2)i por h'(1) |'(1) + ⇣(1)i surgiran cuatro sumandos

h'(1) |'(1)i h�(2) |⇠(2)i+h'(1) |'(1)i h�(2) |�(2)i+h'(1) |⇣(1)i h�(2) |⇠(2)i+h'(1) |⇣(1)i h�(2) |�(2)i

lo cual contrasta con el lado izquierdo al utilizar la definicion dos veces que tienen dos sumandos

h'(1)�(2) |'(1)�(2)i+ h'(1)�(2) |⇣(1)⇠(2)i = h'(1) |'(1)i · h�(2) |�(2)i+ h'(1) |⇣(1)i · h�(2) |⇠(2)i

por lo cual NO se cumple esta propiedad y no hay forma de enmendarla. Solo por razones decompletitud.

3.3.4. Bases para un producto tensorial

Si {|ui

(1)i} y {|vi

(2)i} son bases discretas para E1

y E2

, respectivamente, entonces podremos construirel tensor

|ui

(1)vj

(2)i = |ui

(1)i ⌦ |vj

(2)i 2 Eel cual funcionara como una base para E . Por lo tanto, un tensor generico de E , construido a partir

|'(1)�(2)i = |'(1)i ⌦ |�(2)i = 'i�j |ui

(1)vj

(2)i

donde 'i y �j son las componentes de |'(1)i y |�(2)i en sus respectivas bases. En otras palabras lascomponentes de un tensor en E corresponden a la multiplicacion de las componentes de los vectores en E

1

y E2

Recuerde que estamos utilizando la convencion de Einstein de suma tacita en ındices covariantes ycontravariantes, en la cual ck |v

k

i ⌘P

n

k=1

ck |vk

i .Es importante senalar que si bien un tensor generico | i 2 E siempre se puede expandir en la base

|ui

(1)vj

(2)i no es cierto que todo tensor de E provenga del producto tensorial de E1

y E2

. Es decir, E tienemas tensores que los que provienen el producto tensorial. Esta afirmacion puede verse del hecho que si| i 2 E entonces

| i = ci,j |ui

(1)vj

(2)ipor ser {|u

i

(1)vj

(2)i} base para E . Es claro que dados dos numeros n1

y n2

habra ci,j que no provienen dela multiplicacion de n

1

n2

.

3.3.5. Tensores, sus componentes y sus contracciones

Componentes de un tensor

Denominaremos componentes de un tensor, aquellos numeros que surgen de incorporar bases de formasdiferenciales y vectores. Ası si {|u

i

(1)i , |vj

(2)i , |tk

(3)i} y {hxm(1)| , hyn(2)|} son bases para los vectores y las

formas, respectivamente. Las componentes de un tensor

✓

23

◆

seran

Smn

ijk

= S

2

4

|ui

(1)i#� ,

|vj

(2)i#� ,

|tk

(3)i#� ;

hxm

(1)|#• ,

hyn

(2)|#•

3

5

claramente, esta definicion de componente contiene a las componentes ci,j de aquellos espacios tensorialesgenerados por el producto tensorial. Ya si consideramos un tensor como resultado de un producto tensorialy consideramos que las base {|u

i

(1)i , hxm(1)|} su componentes se pueden expresar {'m(1)�i

(1)}, vale decir,✓

11

◆

() |'(1)i ⌦ h�(1)| =) hxm(1) |'(1)i ⌦ h�(1)| ui

(1)i () {'m(1)�i

(1)}



Combinaciones lineales de Tensores

Es claro que podremos sumar (componentes) de tensores como lo hemos hecho con la suma de (compo-nentes) de vectores

~a+~b = (ax

+ bx

) ı+ (ay

+ by

) |+ (az

+ bz

) k =�

a1 + b1�

ı+�

a2 + b2�

|+�

a3 + b3�

k =�

ai + bi�

|ei

i

Rij

kl

=⇣

↵Qij

kl

+ �P ij

kl

⌘

Producto Tensorial de Tensores

Podemos extender aun mas la idea del producto directo y ahora realizarla entre tensores. Ası dos tensores

tipo

✓

20

◆

y

✓

21

◆

si se cumple que

|'(1)�(2)i = |'(1)i ⌦ |�(2)i = T

2

4

h⇣(1)|#• ,

h⇠(2)|#•

3

5

|µ(1)(2)⇥(1)i = |µ(1)i ⌦ |(2)i ⌦ h⇥ (1)| = P

2

4

|ui

(1)i#� ;

h"(1)|#• ,

h�(2)|#•

3

5

9

>

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

>

;

=)

|'(1)�(2)i ⌦ |µ(1)(2)⇥(1)i = |'(1)i ⌦ |�(2)i ⌦ |µ(1)i ⌦ |(2)i ⌦ h⇥ (1)|

= T

2

4

h⇣(1)|#• ,

h⇠(2)|#•

3

5⌦ P

2

4

|ui

(1)i#� ;

h"(1)|#• ,

h�(2)|#•

3

5

= R

2

4

|ui

(1)i#� ;

h"(1)|#• ,

h�(2)|#• ,

h⇣(3)|#• ,

h⇠(4)|#•

3

5

Contraccion de un Tensor

Denominaremos una contraccion cuando sumamos las componentes covariantes y contravariantes, estoes 'i(1)�

i

(1) lo cual genera un escalar independiente de la base. Esta situacion sera mas evidente cuandodefinamos metricas y contraccion de tensores. Por analogıa y considerando un caso mas general, dada una

componente Smn

ijk

correspondiente a un tensor

✓

23

◆

podremos construir un nuevo tensor

✓

12

◆

a partir

de una contraccion. Las componentes de este nuevo tensor seran Sin

ijk

⌘ Sn

jk

. Del mismo modo, dadas las

componentes de dos tensores, P lm y Qij

zk

generaran componentes de nuevos tensores Rlij

k

= P lmQij

mk

. Ası✓

20

◆

=) P lm

✓

22

◆

=) Qij

zk

9

>

>

=

>

>

;

=)✓

31

◆

=) Rlij

k

= P lmQij

mk



Es claro que si dos tensores derivan de productos tensoriales y si {|ui

(1)i} , {hum(1)|} y {|vi

(2)i} son basesortonormales para E

1

E⇤1

y E2

, entonces sus productos podran ser expresados como

|�(1)�(2)i =�

�i(1)�j(2)�

| {z }

P

ij

|ui

(1)i ⌦ |vj

(2)i

|↵(1)�(1)i =�

↵l(1)�m

(2)�

| {z }

Q

l

m

|ul

(1)i ⌦ hum(1)|

9

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

;

=)

⇥�

↵l(1)�m

(2)�

|ul

(1)i ⌦ hum(1)|⇤ ⇥�

�i(1)�j(2)�

|ui

(1)i ⌦ |vj

(2)i⇤

=)

↵l(1)�m

(2)�

�i(1)�j(2)�

{hum(1) |ui

(1)i}| {z }

�

m

i

|vj

(2)i ⌦ |ul

(1)i =)

↵l(1)�k

(2)�

�k(1)�j(2)�

|vj

(2)i ⌦ |ul

(1)i = P ijQl

i

|vj

(2)ul

(1)i = Rjl |vj

(2)ul

(1)i

Pero mas aun si |ui

(1)vj

(2)i = |ui

(1)i ⌦ |vj

(2)i 2 E es base de E entonces se puede demostrar lo anteriorsin circunscribirnos a tensores cuyas componentes provengan de multiplicacion de las componentes en cadaespacio vectorial.

Simetrizacion de Tensores

Un tensor (las componentes) sera simetrico respecto a dos de sus ındices si su permutacion no cambia suvalor:

Sij

= Sji

; Sij = Sji; Sij···kl···mn

= Sij···lk···mn

Sij···kl···mn = Sij···lk···mn

y sera antisimetrico si

Aij

= �Aji

; Aij = �Aji Aij···kl···mn

= �Aij···lk···mn

Aij···kl···mn = �Aij···lk···mn

Un tensor de rango 2, viene representado por una matriz. La matriz que representa un tensor de rango 2,tendra como maximo 6 componentes distintas sera

Si

j

= Sj

i

=

0

@

S1

1

S1

2

S1

3

S2

1

S2

2

S2

3

S3

1

S3

2

S3

3

1

A =

0

@

S1

1

S1

2

S1

3

S1

2

S2

2

S2

3

S1

3

S2

3

S3

3

1

A

mientras que un tensor antisimetrico de segundo orden tendra, cuando maximo, tres componentes con valorabsoluto distintos de cero

Ai

j

= �Aj

i

=

0

@

0 A1

2

A1

3

�A2

1

0 A2

3

�A3

1

�A3

2

0

1

A

Siempre es posible construir tensores simetricos y antisimetricos a partir de un tensor generico. Esto es:

Sij

=1

2(T

ij

+ Tji

) ⌘ T(ij)

() Sij···kl···mn

=1

2(T

ij···kl···mn

+ Tij···lk···mn

) = Tij···(kl)···mn

Aij

=1

2(T

ij

� Tji

) ⌘ T[ij]

() Aij···kl···mn

=1

2(T

ij···kl···mn

� Tij···lk···mn

) = Tij···[kl]···mn


Luis Nunez

Luis Nunez


Mas aun, es evidente que las componentes de un tensor generico Tij

, pueden expresarse como una combinacionde su parte simetrica y antisimetrica

Tij

= Sij

+Aij

Obviamente que algo equivalente se puede realizar para componentes contravariantes de tensores.

3.3.6. Tensor Metrico, Indices y Componentes

Para una base generica, {|xj

i} , no necesariamente ortogonal, de un espacio vectorial con producto interno,

podemos definir la expresion de un tensor simetrico

✓

02

◆

que hemos denominado tensor metrico como

g

2

4

|xi

i#� ,

|xj

i#�,

3

5 = gij

⌘ gji

=) gij

⌘ gji

= g [|xi

i , |xj

i]

g

2

6

4

hxi|#• ,

hxj|#•

3

7

5

= gij ⌘ gij =) gij ⌘ gij = (gij

)�1

Notese que las gij

⌘ gji

son las componentes del tensor g

2

4

|xi

i#� ,

|xj

i#�,

3

5 una vez que la base {|xj

i} ha actuado.

La denominacion de tensor metrico, no es gratuita, g

2

4

|xi

i#� ,

|xj

i#�,

3

5 cumple con todas las propiedades de la

metrica definida para un espacio vectorial euclidiano. Vale decir

1. g

2

4

|xi

i#� ,

|xj

i#�,

3

5 = g [|xi

i , |xj

i] = gij

⌘ gji

� 0 8 |xj

i y si g [|xi

i , |xj

i] = 0 ) i = j

2. g [|xi

i , |xj

i] = g [|xj

i , |xi

i] ) gij

⌘ gji

3. g [|xi

i , |xj

i] g [|xi

i , |zk

i] + g [|zk

i , |xj

i] La desigualdad Triangular

Si la base generica, {|xj

i} , es ortonormal entonces estas propiedades emergen de manera natural y esclaro que

g

2

4

|ei

i#� ,

|ej

i#�,

3

5 =) g [�, �] ⌘ gij

⌦

ei�

�⌦⌦

ej�

� ⌘ gji

⌦

ej�

�⌦⌦

ei�

� y g [•, •] ⌘ gij |ei

i ⌦ |ej

i ⌘ gji |ej

i ⌦ |ei

i

con lo cual sus componentes seran matrices simetricas gij

= gji

y igualmente gij = gji. En general impon-dremos que

�

gij

⌦

ei�

�⌦⌦

ej�

�

� �

gkm |ek

i ⌦ |em

i�

= gij

gkm⌦

ei |ek

i⌦

ej |em

i = gij

gkm�ik

�jm

= gij

gji = �ii

= n

ya que i, j = 1, 2, 3, · · · , n. Con lo cual gij

es la matriz inversa de gij . Es decir, claramente, hemos definidolas componentes contravariantes del tensor de modo que cumplan con g

ik

gkj = �ji



Adicionalmente, es tambien es claro que�

gij

⌦

ei�

�⌦⌦

ej�

�

�

|ai = ak�

gij

⌦

ei�

�⌦⌦

ej�

�

�

|ek

i = akgij

⌦

ej |ek

i⌦

ei�

� = akgij

�jk

⌦

ei�

� = akgik

⌦

ei�

� ⌘ ai

⌦

ei�

�

con lo cual ai

= akgik

. De esta manera, el tensor metrico nos permite asociar componentes covariantes acomponentes contravariantes. Dicho rapido y mal pero muy frecuente, el tensor metrico nos permite subir ybajar ındices. De la misma forma

ha|�

gij |ei

i ⌦ |ej

i�

= ha|�

gij |ei

i ⌦ |ej

i�

= gij ha |ei

i ⌦ |ej

i = ak

gij⌦

ek |ei

i |ej

i = ak

gkj |ej

i ⌘ aj |ej

i

otra vez aj = ak

gkj , y subimos el ındice correspondiente. La importancia de estaOtra forma de verlo es combinando las propiedades del producto directo de tensores y contraccion de

ındices

gij |ei

i ⌦ |ej

i ⌦ P lmn

k

|el

i ⌦ |em

i ⌦ |en

i ⌦⌦

ek�

� =)

gijP lmn

k

|ej

i ⌦ P lmn

k

|el

i ⌦ |em

i ⌦ |en

i ⌦⌦

ek�

� ei

i =

gijP lmn

k

|ej

i ⌦ |el

i ⌦ |em

i ⌦ |en

i ·⌦

ek�

� ei

i| {z }

�

k

i

= P jlmn |ej

i ⌦ |el

i ⌦ |em

i ⌦ |en

i

gijP lmn

i

⌘ P jlmn

Adicionalmente, el tensor metrico permite la contraccion de ındices. Ası, dado un producto tensorial dedos vectores que se pueden expresar en una base ortonormal

|a, bi = |ai ⌦ |bi = akbm |ek

i ⌦ |em

i+

�

gij

⌦

ei�

�⌦⌦

ej�

�

� �

ak |ek

i ⌦ bm |em

i�

= akbmgij

�ik

�jm

= akbmgkm

= akbk

= hb |ai = ha |bi

Con lo cual, el producto interno de dos vectores involucra, de manera natural, la metrica del espacio. Estoes

hb |ai = ha |bi = akbk

= ak

bk = akbmgkm

= ak

bm

gkm

Obviamente la norma de un vector, tambien incluira al tensor metrico:

k|aik2 = ha |ai = ai

aj⌦

ei |ej

i = ai

ai = ai

aj

gij = aiaj gij

El caso mas emblematico lo constituye la norma de un desplazamiento infinitesimal. Para una base generica,{|e

j

i} no necesariamente ortogonal de un espacio vectorial con producto interno, el desplazamiento infinite-simal puede expresarse como

(ds)2 ⌘ hdr |dri =�

d xk

⌦

ek�

�

�

(d xm |em

i) =⌦

ek |em

i d xk

d xm = d xm

d xm = gkm

d xkd xm

Si la base {|ej

i} es ortogonal (cosa mas o menos comun pero no necesariamente cierta siempre) las matricesgij

y gij son diagonales cumplen con

gii

=1

gii=) (ds)2 =

�

h1

dx1

�

2

+�

h2

dx2

�

2

+�

h3

dx3

�

2

donde hi

=pgii

con i, j = 1, 2, 3.


Luis Nunez

Luis Nunez


3.4. Un par de tensores

3.4.1. El tensor de esfuerzos (stress)

Figura 3.1: Tensor de Esfuerzos (stress) en 2 dimensiones

El caso 2D

Supongamos un cuerpo que se encuentra en equilibrio y esta sometido a un conjunto de fuerzas externas.Para facilitar las cosas consideremos el efecto de esas fuerzas sobre un plano que contiene a un determinadopunto P (ver figura 3.1 cuadrante Ia) Es decir, vamos a considerar los efectos de las componentes de todaslas fuerzas sobre ese plano y obviaremos efecto del resto de las componentes. Como observamos en la figura3.1 Ib y Ic, si cortamos la superficie en dos lıneas (AB y A0B0), observaremos que el efecto del conjunto defuerzas externas es distinto sobre P en la direccion perpendicular a cada una de esas lıneas. De hecho al“cortar” la superficie las fuerzas que aparecen sobre las lıneas AB (y A0B0) antes eran fuerzas internas yahora los son externas al nuevo cuerpo “cortado”. Ası, estas fuerzas por unidad de longitud1 sobre el puntoP existen un conjunto de fuerzas que generan esfuerzos (stress). Por lo tanto es claro que los esfuerzos sobreun punto dependen del punto, de las fuerzas externas y de la direccion del efecto.

Para irnos aclarando consideremos un elemento de area infinitesimal ds sobre la cual actuan un conjuntode fuerzas externas, las cuales las podemos descomponer como normales y tangenciales a la lınea sobre lacual estan aplicadas (ver figura 3.1 cuadrante II). Es costumbre denotar los esfuerzos normales y tangenciales

dA = dxdy )

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

" Y2

= �2

dx �! X2

= ⌧2

dx

Y3

= ⌧3

dy "X

3

= �3

dy !

dxdy ds dy

dx

" Y1

= ⌧1

dy! X

1

= �1

dy

" Y4

= �4

dx ! X4

= ⌧4

dx

1En el caso tridimensional, las fuerzas que generan los esfuerzos seran definidas como fuerzas por unidad de area. Ese caso

lo veremos en la proxima seccion.



La segunda ley de Newton nos lleva a

X

~F ext

i

= dm ~a = 0 )

8

<

:

⌧1

dy + �2

dx+ ⌧3

dy + �4

dx = 0 = (�2

+ �4

) dx+ (⌧1

+ ⌧3

) dy

�1

dy + ⌧2

dx+ �3

dy + ⌧4

dx = 0 = (⌧2

+ ⌧4

) dx+ (�1

+ �3

) dy

con lo cual�2

= ��4

; ⌧1

= �⌧3

⌧2

= �⌧4

�1

= ��3

pero mas aun, como esta en equilibrio, tambien la sumatoria de torques se tendra que anular. Esto es

(⌧1

dy) dx

2

� (⌧2

dx) dy

2

= 0

(⌧3

dy) dx

2

� (⌧4

dx) dy

2

= 0

9

=

;

) ⌧1

= ⌧2

= ⌧3

= ⌧4

con lo cual, nos damos cuenta que existen solo tres cantidades independientes: dos esfuerzos normales �1

y�2

; y un esfuerzo tangencial ⌧1

. Adicionalmente notamos que los esfuerzos tienen que ver, con la direccionde la fuerza y la superficie sobre la cual va aplicada. Con ello podemos disenar la siguiente notacion paralos esfuerzos: �

ij

. El primer ındice indica la direccion de la fuerza y el segundo direccion de la normal de lasuperficie donde esta aplicada. Ası, tal y como muestra la figura (ver figura 3.1 cuadrante II)

�1

⌘ �xx

; ��4

⌘ �yy

; ⌧2

⌘ �xy

⌘ �yx

El cambio de signo se debe a lo incomodo de la notacion �4

⌘ �y�y

ya que la normal de lado 4 apunta en ladireccion �y. Es importante tambien senalar que los esfuerzos en cualquier punto contenido en el diferencialde area dA = dxdy deben ser considerado constantes. O, lo que es lo mismo, que podemos hacer tender acero el area del diferencial y con ello asociar los esfuerzos �

ij

a un punto P contenido en dA sobre la cualhemos calculado los esfuerzos.

En esta misma lınea de razonamiento, nos podemos preguntar cual es la expresion de los esfuerzos cuandose miden respecto a una superficie generica, definida por un vector normal ~n (ver figura 3.1 cuadrante III).Es decir, queremos conocer los esfuerzos medidos en el punto P en la direccion ~n, es decir �

nn

. Tendremosque en

x ! �xx

dy + �xy

dx = �nn

ds cos�+ �sn

ds sen�; y ! �yy

dx+ �yx

dy = �nn

ds sen�� sn

ds cos�

Ahora bien, dado que dy = ds cos� y dx = ds sen�, entonces podemos expresar

�nn

= �xx

cos2 �+ �xy

sen� cos�+ �yx

sen� cos�+ �yy

sen2 �

�sn

= �xx

sen� cos�+ �xy

sen2 �� yx

cos2 �� yy

sen� cos�

y si ahora nos damos cuenta que si construimos una matriz

Ai

j

=

✓

Ax

n

= cos� Ax

s

= sen�Ay

n

= sen� Ay

s

= � cos�

◆

entonces podemos expresar

�nn

= Ax

n

Ax

n

�xx

+Ax

n

Ay

n

�xy

+Ay

n

Ax

n

�yx

+Ay

n

Ay

n

�yy

! �nn

= Ai

n

Aj

n

�ij

con i, j = n, s

�sn

= Ax

s

Ax

n

�xx

+Ax

s

Ay

n

�xy

+Ay

s

Ax

n

�yx

+Ay

s

Ay

n

�yy

! �sn

= Ai

n

Aj

n

�ij

con i, j = n, s



Figura 3.2: Tensor de Esfuerzos en 3 dimensiones

es decir �kl

= Ai

k

Aj

l

�ij

con i, j, k, l = n, s.

Como veremos mas adelante, cualquier objeto que transforme como �kl

= Ai

k

Aj

l

�ij

lo llamaremos tensorde segundo orden.

El caso 3D

Analicemos ahora el caso tridimensional. En este caso tambien procedemos como en el caso anteriorestableciendo las condiciones de equilibrio

X

~F ext

i

= 0 yX

~⌧exti

= 0

con ello construimos un volumen (cubico) diferencial y construimos los esfuerzos normales y tangenciales,los cuales seran

�xx

dydz; �yy

dxdz; �zz

dxdy; �xz

dxdy; �yz

dxdy; �xy

dxdz;

Siguiendo el mismo proceso que involucra imponer el equilibrio es facil demostrar que al igual que el casoanterior, el tensor de esfuerzos �

ij

cumple con:

�xz

= �zx

; �yz

= �zy

; �xy

= �yx

y por lo tanto tendremos 6 componentes (tres normales y tres tangenciales) independientes. Es decir, si bienel tensor de esfuerzos �

ij

viene representado por una matriz 3⇥3 y por lo tanto tiene 9 elementos, solo 6 sonindependientes. Construyamos ahora el caso general para un tensor de esfuerzos en un medio elastico. Paraello construimos un tetraedro regular tal y como muestra la figura 3.2, y sobre su cara generica asociada aun vector normal ~n una fuerza

~F =�

�

�

~F�

�

�

un

= F iii

= Fx

ı+ Fy

⌘+ Fz

k !

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

Fx

= �xn

dSn

Fy

= �yn

dSn

Fz

= �zn

dSn

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

! F i = �i

j

njdS ! ~F = � · d~S



se especifica como la fuerza que actua sobre un determinado elemento de superficie. Es claro que la condicionde equilibrio se traduce en

X

Fxi

= 0 ! �xn

dSn

� 1

2�xx

dy dz � 1

2�xy

dx dz � 1

2�xz

dx dy = 0

X

Fyi

= 0 ! �yn

dSn

� 1

2�yx

dy dz � 1

2�yy

dx dz � 1

2�yz

dx dy = 0

X

Fzi

= 0 ! �zn

dSn

� 1

2�zx

dy dz � 1

2�zy

dx dz � 1

2�zz

dx dy = 0

Si consideramos que la proyeccion de dSn

sobre cada uno de los planos del sistema cartesiano tendremos que

dSn cos (ı;~n) = 1

2

dy dz = dSn Ax

n

dSn cos (⌘;~n) = 1

2

dx dz = dSn Ay

n

dSn cos (k;~n) = 1

2

dx dy = dSn Az

n

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

! �xn

= �xx

Ax

n

+ �xy

Ay

n

+ �xz

Az

n

y equivalentemente

�yn

= �yx

Ax

n

+ �yy

Ay

n

+ �yz

Az

n

; y �zn

= �zx

Ax

n

+ �zy

Ay

n

+ �zz

Az

n

las cuales se conocen como las relaciones de Cauchy y representan los esfuerzos sobre la superficie con normal~n. Ahora bien, dado que ~F = � · d~S es una relacion vectorial podemos proyectar en la direccion u

m

um

· ~F = um

· � · d~S ! Fm = �m

n

dSn =�

�m

i

Ai

n

�

dSn =�

�m

i

Ai

n

�

dSn

�mn

dSn =�

�mi

Ai

n

�

dSn ! �mn

dSn =�

�ki

Ak

m

Ai

n

�

dSn con i, j = x, y, z

Una vez mas vemos que transforma como un tensor.

3.4.2. El Tensor de Inercia

Consideremos el caso de un sistema de n partıculas. La cantidad de movimiento angular para este sistemavendra dada por

~L =X

i

m(i)

�

~r(i)

⇥ ~v(i)

�

donde hemos indicado que la i�esima partıcula que esta en la posicion ~r(i)

tiene una velocidad ~v(i)

. Silas distancias entre las partıculas y entre las partıculas y el origen de coordenadas es constante podremosexpresar la velocidad de cada una de ellas como

~v(i)

= ~! ⇥ ~r(i)

(¿ por que ?). Donde ~! es la velocidad angular instantanea del sistema. Entonces tendremos que

~L =X

i

m(i)

�

~r(i)

⇥�

~! ⇥ ~r(i)

��

=X

i

m(i)

�

~!�

~r(i)

· ~r(i)

�

� ~r(i)

�

~! · ~r(i)

��



y para cada partıcula se cumple que, las componentes de la cantidad de movimiento angular seran

Lk =X

i

m(i)

⇣

!k

⇣

rm(i)

r(i)m

⌘

� rk(i)

�

!mr(i)m

�

⌘

Si vemos que !k

(i)

= �kl

!l

(i)

entonces

Lk =

X

i

m(i)

⇣

�kl

!l

⇣

rm(i)

r(i)m

⌘

� rk(i)

�

!mr(i)m

�

⌘

!

= !l

(i)

X

i

m(i)

⇣

�kl

⇣

rm(i)

r(i)m

⌘

� rk(i)

�

r(i)l

�

⌘

!

| {z }

I

k

l

es decirLk = !l

(i)

Ikl

donde Ikl

=X

i

m(i)

⇣

�kl

⇣

rm(i)

r(i)m

⌘

� rk(i)

�

r(i)l

�

⌘

el objeto Ikl

se conoce como el tensor de inercia y corresponde a 9 cantidades (a pesar que solo 6 sonindependientes porque es un tensor simetrico)

Ikl

=

0

B

B

B

B

B

B

B

@

Ixx

=P

i

m(i)

⇣

y2(i)

+ z2(i)

⌘

Ixy

= �P

i

m(i)

�

x(i)

y(i)

�

Ixz

= �P

i

m(i)

�

x(i)

z(i)

�

Iyx

=P

i

m(i)

�

x(i)

y(i)

�

Iyy

=P

i

m(i)

⇣

x2

(i)

+ z2(i)

⌘

Iyz

= �P

i

m(i)

�

y(i)

z(i)

�

Izx

=P

i

m(i)

�

x(i)

z(i)

�

Izy

=P

i

m(i)

�

y(i)

z(i)

�

Izz

=P

i

m(i)

⇣

z2(i)

+ y2(i)

⌘

1

C

C

C

C

C

C

C

A

nos contentaremos por ahora, suponer que esta construccion es un tensor y lo demostraremos mas adelante.La ilustracion mas sencilla de que la masa en rotacion se comporta como un tensor y no como un escalar

lo vemos en la rotacion de dos masas, m1

,m2

iguales (con lo cual m1

= m2

= m) unidas por una varillasin masa de longitud l. Si el sistema (masas + varillas) se encuentra girando alrededor su centro de masa yambas masas se encuentran sobre el plano x, y, vale decir que la barra sin masa forma un angulo de ↵ = ⇡

2

con el eje z. Entoces tendremos que

~r =l

2cos ✓ ı+

l

2sen ✓ ~j ) ~v =

d~r

dt= � l

2

d✓

dtsen ✓ ı+

l

2

d✓

dtcos ✓ ~j

con lo cual

~L = m1

(~r1

⇥ ~v1

) +m2

(~r2

⇥ ~v2

) = m (~r1

⇥ ~v1

) +m ((�~r1

)⇥ (�~v1

)) = 2m (~r1

⇥ ~v1

) =

✓

l

2

◆

2 d✓

dtk

ya quem

1

= m2

= m; ~r2

= �~r1

y ~v2

= �~v1

3.5. Repensando los vectores, otra vez

3.5.1. Vectores, Covectores y Leyes de Transformacion

Hemos visto que un determinado vector |ai 2 V puede expresarse en una base ortogonal {|ej

i} comoaj |e

j

i donde las aj son las componentes del vector contravariantes en la base que se ha indicado. En general,como es muy largo decir “componentes del vector contravariante” uno se refiere (y nos referiremos de ahora



en adelante) al conjunto�

aj

como un vector contravariante obviando la precision de componente, perorealmente las aj son las componentes del vector.

Adicionalmente, en esta etapa pensaremos a las bases como distintos observadores o sistemas de refe-rencias. Con ello tendremos (algo que ya sabıamos) que un vector se puede expresar en distintas bases ytendra distintas componentes referidas a esa base

|ai = aj |ej

i = aj |ej

i

Ası una misma cantidad fısica vectorial “se vera” distinta (tendra distintas componentes) desde diferentessistemas de coordenadas. Las distintas “visiones” estan conectadas mediante un transformacion de sistemade referencia

que veremos mas adelante.Igualmente hemos dicho que una forma diferencial hb| 2 V ⇤ es susceptible de expresarse en una base

�⌦

ei�

�

del espacio dual V ⇤ como bi

⌦

ei�

� y, como el espacio esta equipado con un producto interno entonces

ha |bi = hb |ai =�

bi

⌦

ei�

�

�

·�

aj |ej

i�

= bi

aj�ij

= aibi

Con lo cual avanzamos otra vez en la interpretacion de cantidades fısicas: una cantidad fısica escalar “severa” igual (sera invariante) desde distintos sistemas de referencia.

Ademas sabemos que unas y otras componentes se relacionan como⌦

ei |ai = aj⌦

ei |ej

i = aj�ij

= aj⌦

ei |ej

i⌦

ei |ai = aj⌦

ei |ej

i = aj�ij

= aj⌦

ei |ej

i

9

=

;

=)

8

<

:

ai = Ai

j

aj

ai = Ai

j

aj

donde claramente⌦

ei |ej

i = Ai

j

;⌦

ei |ej

i = Ai

j

y Ai

k

Ak

j

= �ij

() Ai

j

=�

Ai

j

��1

Diremos entonces que aquellos objetos cuyas componentes transforman como ai = Ai

j

aj o equivalentemente

ai = Ai

j

aj seran vectores o en un lenguaje un poco mas antiguo, vectores contravariantes. Tradicionalmente,e inspirados en la ley de transformacion, la representacion matricial de las componentes contravariantes deun vector,

⌦

ei |ai = aj , para una base determinada {|ej

i} se estructuran en una columna

|ai =)⌦

ei |ai con i = 1, 2, 3, · · · , n ()

0

B

B

B

@

a1

a2

...an

1

C

C

C

A

De la misma manera, en el espacio dual, V ⇤, las formas diferenciales se podran expresar en termino deuna base de ese espacio vectorial como hb| = b

i

⌦

ei�

� = bi

⌦

ei�

� Las {bi

} seran las componentes de las formasdiferenciales o las componentes covariantes de un vector |bi o dicho rapidamente un vector covariante ocovector. Al igual que en el caso de las componentes contravariantes las componentes covariantes transformande un sistema de referencia a otro mediante la siguiente “ley de transformacion”:

hb |ej

i = bi

⌦

ei |ej

i = bi

�ij

= bi

⌦

ei |ej

i

hb |ej

i = bi

⌦

ei |ej

i = bi

�ij

= bi

⌦

ei |ej

i

9

=

;

=)

8

<

:

bi

= bi

Ai

j

bi

= bi

Ai

j

Otra vez, objetos cuyas componentes transformen como bi

= bi

Ai

j

los denominaremos formas diferenciales ovectores covariantes o covectores y seran representados matricialmente como un arreglo tipo fila

hb| =) hb |ej

i con i = 1, 2, 3, · · · , n ()�

b1

b2

· · · bn

�



3.5.2. Cartesianas y Polares, otra vez

El ejemplo mas simple, y por ello, clasico y emblematico de lo anterior lo constituye las expresiones deun mismo vector en dos sistemas de coordenadas en el plano: Cartesianas {|ii , |ji} y {|u

r

i , |u✓

i} . Esto es

|ai = ax

|ii+ ax

|ji = a1 |e1

i+ a2 |e2

i y |ai = ar

|ur

i+ a✓

|u✓

i = a1 |e1

i+ a2 |e2

i

Al expresar una base en terminos de la otra obtenemos

|ur

i = cos ✓ |ii+ sen ✓ |ji y |u✓

i = � sen ✓ |ii+ cos ✓ |ji

con lo cual

⌦

ei |ej

i = Ai

j

() Ai

j

=

✓

hi |ur

i hi |u✓

ihj |u

r

i hj |u✓

i

◆

⌘✓

cos ✓ � sen ✓sen ✓ cos ✓

◆

y

⌦

ei |ej

i = Ai

j

() Ai

j

=

✓

hur

|ii hur

|jihu

✓

|ii hu✓

|ji

◆

⌘✓


◆

cumpliendo ademas

✓


◆✓


◆

=

✓

1 00 1

◆

() Ai

k

Ak

j

= �ij

De este modo si

|ai = ar

|ur

i+ a✓

|u✓

i = a1 |e1

i+ a2 |e2

i = ax

|ii+ ax

|ji = a1 |e1

i+ a2 |e2

i

tendremos que

ai = Ai

j

aj ()✓


◆✓

ax

ay

◆

=

✓

ar

a✓

◆

=

✓

ax

cos ✓ + ay

sen ✓�a

x

sen ✓ + ay

cos ✓

◆

con lo cualar

= ax

cos ✓ + ay

sen ✓ y a✓

= �ax

sen ✓ + ay

cos ✓

del mismo modo

ai = Ai

j

aj ()✓


◆✓

ar

a✓

◆

=

✓

ax

ay

◆

=

✓

ar

cos ✓ � a✓

sen ✓ar

sen ✓ + a✓

cos ✓

◆

yax

= ar

cos ✓ � a✓

sen ✓ y ay

= ar

sen ✓ + a✓

cos ✓

3.5.3. Repensando las componentes

En general podemos pensar que las componentes de los vectores pueden ser funciones de las otras.Consideremos el ejemplo anterior con esta vision. Tendremos que un punto en el plano viene representadoen coordenadas cartesianas por dos numeros (x, y) y en coordenadas polares por otros dos numeros (r, ✓) .Siguiendo el ejemplo anterior un punto P, en el plano lo describimos como

|P i = rP

|ur

i = xP

|ii+ yP

|ji



Veamos como estan relacionadas estas dos descripciones. Para este caso las ecuaciones de transformacion son

xP

= xP

(r, ✓) = x1 = x1

�

x1, x2

�

yP

= yP

(r, ✓) = x2 = x2

�

x1, x2

�

�

()⇢

rP

= rP

(x, y) = x1 = x1

�

x1, x2

�

✓ = ✓P

(x, y) = x2 = x2

�

x1, x2

�

y explıcitamente

xP

= rP

cos ✓P

=) x1 = x1 cos x2

yP

= rP

sen ✓P

=) x2 = x1 sen x2

y

rP

=p

x2

P

+ y2P

=) x1 =q

(x1)2 + (x2)2

✓P

= arctan⇣

y

P

x

P

⌘

=) x2 = arctan⇣

x

2

x

1

⌘

Es claro que ambas coordenadas estan relacionadas y que se puede invertir la relacion

x1 = x1

�

x1, x2

�

x2 = x2

�

x1, x2

�

�

()⇢

x1 = x1

�

x1, x2

�

x2 = x2

�

x1, x2

�

si se piden cosas razonables:

que las funciones xi = xi (xm) y xj = xj (xm) sean al menos C2 (funcion y derivada continua)

que el determinante de la matriz Jacobiana sean finito y distinto de cero det

✓

@ x

i(x1,x

2)@ x

l

◆

6= 0.

Mas aun, si

xi = xi

�

xj (xm)�

=) @xi

@xl

=@ xi

@ xk

@ xk

@ xl

= �il

=) d xi =@ xi

@ xk

d xk

con lo cual intuımos dos cosas:

1. que las componentes de un vector, deben transformar bajo un cambio de coordenadas como xi =@ x

i(x1,x

2)@ x

l

xl.

2. Las matrices Jacobianas @ x

i

@ x

k

y @ x

i

@ x

k

son una la inversa de la otra.

Veamos si es cierto para el caso de vectores en el plano. Para ello calculamos la matriz Jacobiana (matrizde derivadas) la cual sera

@ xi

�

x1, x2

�

@ xl

!

=

0

@

@ x

1(x1,x

2)@ x

1

@ x

1(x1,x

2)@ x

2

@ x

2(x1,x

2)@ x

1

@ x

2(x1,x

2)@ x

2

1

A =

✓

cos x2 �x1 sen x2

sen x2 x1 cos x2

◆

y seguidamente, identificando

xi =@ xi

�

x1, x2

�

@ xl

xl =)✓

x1

x2

◆

=

✓

cos x2 �x1 sen x2

sen x2 x1 cos x2

◆✓

x1

0

◆

Igualmente, si calculamos la inversa de la matriz Jacobiana

@ xi

�

x1, x2

�

@ xl

!�1

=

✓

cos x2 sen x2

� sen x

2

x

1cos x

2

x

1

◆

=

0

@

x

1p(x

1)

2+(x

2)

2

x

2p(x

1)

2+(x

2)

2

�x

2

(x

1)

2+(x

2)

2x

1

(x

1)

2+(x

2)

2

1

A



tendremos

✓

x1

0

◆

=

0

@

x

1p(x

1)

2+(x

2)

2

x

2p(x

1)

2+(x

2)

2

�x

2

(x

1)

2+(x

2)

2x

1

(x

1)

2+(x

2)

2

1

A

✓

x1

x2

◆

=) xi =@ xi

�

x1, x2

�

@ xl

xl

Es decir

x1 =q

(x1)2 + (x2)2 =) r =p

x2 + y2 y 0 = 0

Supongamos ahora que tenemos el caso tridimensional en esos mismos dos sistemas de coordenadas:uno cartesiano

�

x1 = x, x2 = y, x3 = z�

y otro esferico�

x1 = r, x2 = ✓, x3 = ��

, tal y como hemossupuesto anteriormente el punto P vendra descrito por

|P i = rP

|ur

i = xP

|ii+ yP

|ji+ zP

|ki

otra vez

x = x (r, ✓,�) = x1 = x1

�

x1, x2, x3

�

y = y (r, ✓,�) = x2 = x2

�

x1, x2, x3

�

z = z (r, ✓,�) = x3 = x3

�

x1, x2, x3

�

9

=

;

()

8

<

:

r = r (x, y, z) = x1 = x1

�

x1, x2, x3

�

✓ = ✓ (x, y, z) = x2 = x2

�

x1, x2, x3

�

� = � (x, y, z) = x3 = x3

�

x1, x2, x3

�

Las ecuaciones de transformacion seran

xP

= rP

sen ✓P

cos�P

=) x1 = x1 sen x2 cos x3

yP

= rP

sen ✓P

sen�P

=) x2 = x1 sen x2 sen x3

zP

= rP

cos ✓P

=) x3 = x1 cos x2

y

rP

=p

x2

P

+ y2P

+ z2P

=) x1 =q

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2

�P

= arctan⇣

y

P

x

P

⌘

=) x2 = arctan⇣

x

2

x

1

⌘

✓P

= arctan

✓px

2P

+y

2P

z

P

◆

=) x3 = arctan

✓p(x

1)

2+(x

2)

2

x

3

◆

con lo cual la matriz de las derivadas sera para esta transformacion en particular sera

@ xi

�

x1, x2, x3

�

@ xl

=

0

@

sen (✓) cos (�) �r sen (✓) sen (�) r cos (✓) cos (�)sen (✓) sen (�) r sen (✓) cos (�) r cos (✓) sen (�)

cos (✓) 0 �r sen (✓)

1

A

es decir

@ xi

�

x1, x2, x3

�

@ xl

=

0

@

sen�

x2

�

cos�

x3

�

�x1 sen�

x2

�

sen�

x3

�

x1 cos�

x2

�

cos�

x3

�

sen�

x2

�

sen�

x3

�

x1 sen�

x2

�

cos�

x3

�

x1 cos�

x2

�

sen�

x3

�

cos�

x2

�

0 �x1 sen�

x2

�

1

A

y su inversa

@ xi

�

x1, x2, x3

�

@ xl

=

0

B

@

sen (✓) cos (�) sen (✓) sen (�) cos (✓)

� sen(�)

r sen(✓)

cos(�)

r sen(✓)

0cos(✓) cos(�)

r

cos(✓) sen(�)

r

� sen(✓)

r

1

C

A



@ xi

�

x1, x2, x3

�

@ xl

=

0

B

B

@

xpx

2+y

2+z

2

ypx

2+y

2+z

2

zpx

2+y

2+z

2

�y

x

2+y

2x

x

2+y

2 0

xz

(x

2+y

2+z

2)

px

2+y

2

yz

(x

2+y

2+z

2)

px

2+y

2

�p

x

2+y

2

(x

2+y

2+z

2)

1

C

C

A

dejaremos al lector comprobar que, efectivamente,

xi =@ xi

�

x1, x2, x3

�

@ xl

xl () xi =@ xi

�

x1, x2, x3

�

@ xl

xl

3.6. Transformaciones, vectores y tensores

En general las afirmaciones anteriores se pueden generalizar considerando que las coordenadas que definenun determinado punto, P, expresado en un sistema de coordenadas particular, son

�

x1, x2, · · · , xn

�

y lascoordenadas de ese mismo punto P, expresado en otro sistema de coordenadas es

�

x1, x2, · · · , xn

�

ambascoordenadas estaran relacionadas por

x1 = x1

�

x1, x2, · · · , xn

�

x2 = x2

�

x1, x2, · · · , xn

�

...xn = xn

�

x1, x2, · · · , xn

�

9

>

>

>

=

>

>

>

;

()

8

>

>

>

<

>

>

>

:

x1 = x1

�

x1, x2, · · · , xn

�

x2 = x2

�

x1, x2, · · · , xn

�

...xn = xn

�

x1, x2, · · · , xn

�

es decir xi = xi

�

xj

�

() xi = xi

�

xj

�

con i, j = 1, 2, 3, · · · , n. Otra vez, solo exigiremos (y es bastante)que:

1. las funciones xi = xi (xm) y xj = xj (xm) sean al menos C2 (funcion y derivada continua)

2. que el determinante de la matriz Jacobiana sean finito y distinto de cero det

✓

@ x

i(x1,x

2)@ x

l

◆

6= 0. Esto

es

�

�

�

�

�

�

�

�

@ x

1

@ x

1@ x

1

@ x

2@ x

1

@ x

n

@ x

1

@ x

2@ x

2

@ x

2

@ x

n

@ x

1@ x

n

@ x

2@ x

n

@ x

n

�

�

�

�

�

�

�

�

6= 0 =) xi = xi (xm) () xj = xj (xm)

Ahora bien, una vez mas, derivando y utilizando la regla de la cadena

xi = xi

�

xj (xm)�

=) @xi

@xl

=@ xi

@ xk

@ xk

@ xl

= �il

=) d xi =@ xi

@ xk

d xk

y como hemos comprobado para dos casos particulares, de ahora en adelante tendremos que:

ReDefinicion Tal y como hemos visto, un conjunto de cantidades�

a1, a2, · · · , an

se denominaran componentescontravariantes de un vector |ai 2 V en un punto P de coordenadas

�

x1, x2, · · · , xn

�

si

1. dada dos base ortonormales de vectores coordenados. {|e1

i , |e2

i , · · · |en

i} y {|e1

i , |e2

i , · · · |en

i}se cumple que

|ai = aj |ej

i = ai |ei

i =)⇢ ⌦

ei�

� ai = ai⌦

ei�

� ai = ai

�

=) ai = aj⌦

ei |ej

i



2. o equivalentemente, bajo una transformacion de coordenadas xi = xi

�

xj

�

con i, j = 1, 2, 3, · · · , n.,estas cantidades transforman como

ai =@ xi

@ xk

ak () ai =@ xi

@ xk

ak con@ xi

@ xk

@ xk

@ xl

= �il

y donde las cantidades @ x

i

@ x

k

y @ x

i

@ x

k

deberan ser evaluadas en el punto P .

ReDefinicion Un conjunto de cantidades {b1

, b2

, · · · , bn

} se denominaran componentes covariantes de un vectorhb| 2 V ⇤ en un punto P de coordenadas

�

x1, x2, · · · , xn

�

si

1. dada dos base de formas�⌦

e1�

� ,⌦

e2�

� , · · · hen|

y�⌦

e1�

� ,⌦

e2�

� , · · · hen|

se cumple que

hb| = bj

⌦

ej�

� = bi

⌦

ei�

� =)⇢

hb| ei↵

= bi

hb| ei↵

= bi

�

=) bi = bj hej

�

�ei↵

2. o equivalentemente, bajo una transformacion de coordenadas xi = xi

�

xj

�

con i, j = 1, 2, 3, · · · , n.,estas cantidades transforman como

bk

=@ xi

@ xk

bi

() bk

=@ xi

@ xk

bi

con@ xi

@ xk

@ xk

@ xl

= �il


i

@ x

k

y @ x

i

@ x

k


ReDefinicion Generalizamos los conceptos anteriores de la siguiente manera. Dado un conjunto bases para de formasdiferenciales {hxm(1)| , hyn(2)|} hemos definido las componentes contravariantes de un tensor

T ij = T

2

6

4

hxi

(1)|#• ,

hyj

(2)|#•

3

7

5

2 V ()�

T ij

⌘�

T 11, T 12, · · · , T 1n, T 21, T 22, · · · , T 2n, · · · , Tnn

ahora, en esta vision, las componentes contravariantes en un punto P de coordenadas�

x1, x2, · · · , xn

�

,seranaquella que bajo una transformacion de coordenadas xi = xi

�

xj

�

con i, j = 1, 2, 3, · · · , n., estas canti-dades transforman como

T ij =@ xi

@ xk

@ xj

@ xm

T km () T ij =@ xi

@ xk

@ xj

@ xm

T km con@ xi

@ xk

@ xk

@ xl

= �il

y donde @ x

i

@ x

k

y @ x

i

@ x

k

deberan ser evaluadas en el punto P . Esta generalizacion nos permite construirel caso mas general.

ReDefinicion Si {|ti

(1)i , |uj

(2)i , · · · , |vk

(m)i} y�

hxe(1)| ,⌦

yf (2)�

� , · · · , hzg(n)|

son bases para los vectores y lasformas, respectivamente. Las componentes de un tensor seran

Tmn

ijk

= T

2

6

4

|ti

(1)i#� ,

|uj

(2)i#�, , · · · ,

|vk

(m)i#� ;

hxe

(1)|#• ,

hyf

(2)|#• , · · · ,

hzg

(n)|#•

3

7

5



un conjunto de cantidades�

T 1···11···1 , T

2···11···1 , · · · , T ···1

1···1, Tn···11···1 , T

n···12···1 , · · · , T 1···1

m···1, · · · , T n···nm···m

se denomi-naran componentes contravariantes y covariantes, respectivamente, de un tensor mixto en un pun-to P de coordenadas

�

x1, x2, · · · , xn

�

si bajo una transformacion de coordenadas xi = xi

�

xj

�

coni, j = 1, 2, 3, · · · , n., estas cantidades transforman como

T i···ke···g =

@ xi

@ xp

· · · @ xj

@ xq

@ xa

@ xe

· · · @ xd

@ xg

T p···qa···d () T i···k

e···g =@ xi

@ xp

· · · @ xj

@ xq

@ xa

@ xe

· · · @ xd

@ xg

T p···qa···d

con @ x

i

@ x

k

@ x

k

@ x

l

= �il


i

@ x

k

y @ x

i

@ x

k


3.7. Teorema del Cociente

Al igual que existe el producto directo entre tenores, cabe preguntarse si es posible multiplicar unacomponente de un tensor por otra de otro tensor y el producto ¿ sera un tensor ? Existe importantessituaciones fısicas en las cuales es aplicable esta pregunta. Si T

ij

son las componentes de un tensor de rango2 y V i ¿ el producto T

ij

V i = Bj

seran componentes de un vector ? La respuesta no es siempre afirmativa, ypuede ser utilizado como un criterio de cuando una componente es un tensor. Este criterio que se denominael Teorema del Cociente.

La respuesta a esta pregunta surge de una respuesta a una pregunta distinta pero equivalente. Dados n2

numeros aij

y un (una componente de un) vector generico V i, entonces la cantidad si aij

V iV j es un escalar

entonces la parte simetrica a(ij)

= 1

2

(aij

+ aji

) sera un (una componente de) tensor

✓

02

◆

. La demostracion

involucra algunos de los conceptos antes expuesto y la haremos para fijar conceptos.Dados dos sistemas de coordenadas xi = xi (xm) y xj = xj (xm) con i, j = 1, 2, 3, · · · , n se cumple que

aij

xixj = = = aij

xixj donde = constituye un escalar

y por lo tanto derivando y utilizando la regla de la cadena

xi = xi

�

xj (xm)�

=) @xi

@xl

=@ xi

@ xk

@ xk

@ xl

= �il

=)

�

aij

xixj � aij

xixj

�

⌘✓

aij

� akl

@ xk

@ xi

@ xl

@ xj

◆

xixj = 0

como hay una suma en ij no se puede afirmar la cantidad del parentesis se anula. Como esta afirmacion valepara cualquier sistema de coordenadas Seleccionaremos las componentes coordenadas en la base canonica.

x1 = (1, 0, 0, · · · , 0) ; x2 = (0, 1, 0, · · · , 0) ; · · · · · ·xn = (0, 0, 0, · · · , 1)

con lo cual

a11

� akl

@ xk

@ x1

@ xl

@ x1

= 0; a22

� akl

@ xk

@ x2

@ xl

@ x2

= 0; · · · · · · ann

� akl

@ xk

@ xn

@ xl

@ xn

= 0

como siempre podemos hacer a(kl)

= 1

2

(akl

+ alk

) y a[kl]

= 1

2

(akl

� alk

) y separar el tensor

akl

= a(kl)

+ a[kl]

=) a(hh)

��

a(kl)

+ a[kl]

� @ xk

@ xh

@ xl

@ xh

= 0 =)

a(hh)

� a(kl)

@ xk

@ xh

@ xl

@ xh

= 0

con lo cual se garantiza que la parte simetrica de un tensor transforma como un verdadero tensor una vezque se contrae con un par de vectores.



3.8. Vectores, Tensores y Espacios Pseudo-Euclideanos

Hasta este punto ha sido casi est’etica la descripcion de formas representadas por bra ha| ⌘ ak

⌦

ek�

�, en lascuales sus componentes tienen sub’indices, mientras que los vectores bases,

⌦

ek�

�, deben tener superındices.Quiz’a el ejemplo mas emblematico y simple donde se observa la diferencia entre formas (bras) y vectores(kets) es el caso de los espacios Minkowskianos. Estos espacios, tambien llamados pseudoeuclideanos presen-tan una variante en la definicion de producto interno, de tal forma que: hx| xi no necesariamente es positivoy que si hx| xi = 0 no necesariamente implica que |xi ⌘ |0i.

La consecuencia inmediata es que la definicion de norma n (|vi

i) ⌘ k|vi

ik, que vimos en ??, otra vez, nonecesariamente es positiva. Vale decir que tendremos vectores con norma positiva, k|v

i

ik > 0, pero tambienvectores con norma negativa o cero: k|v

i

ik 0. Con lo cual la definicion de distancia, entendida como lanorma de la resta de vectores, d (|xi , |yi) ⌘ k|xi � |yik . tampoco sera necesariamente es positiva. Esto es quelas distancias ser’an negativas, positivas o nulas, vale decir: d (|xi , |yi) < 0, d (|xi , |yi) = 0 y d (|xi , |yi) > 0.

Si extendemos la nocion de distancia para que albergue las posibilidades de distancias nula y negativas,entonces la definicion del tensor metrico para espacios pseudo-euclideanos debe cambiar tambien.

g

2

4

|xi

i#� ,

|xj

i#�,

3

5 = g [|xi

i , |xj

i] = gij

⌘ gji

8

<

:

< 0= 0> 0

En resumen

hx| xi =

8

<

:

< 0= 0> 0

9

=

;

) d (|xi , |yi) =

8

<

:

< 0= 0> 0

9

=

;

) g

2

4

|xi

i#� ,

|xj

i#�,

3

5 = g [|xi

i , |xj

i] =

8

<

:

< 0= 0> 0

Otra vez, este tipo de espacios, luce como un excentricidad mas de los matematicos. Una curiosidad deestudio de ver como organizar los conceptos que aprendimos de los espacios euclidianos y extenderlos a otrosespacios. Quiza se hubiera quedado ası, como una curiosidad matematica si la Fısica no hubiera sacadopartido de estas particularidades para describir el comportamiento de la naturaleza. En el proxima seccionanalizaremos el caso de M4.

3.8.1. Espacios Minkowskianos

Consideremos un espacio tetradimensional expandido por una base ortonormal {|e0

i , |e1

i , |e2

i , |e3

i}.Los vectores {|e

1

i , |e2

i , |e3

i} corresponden con la base can’onica de R3. Este espacio vectorialM4 tendra aso-ciado un espacio dual

�⌦

e0�

� ,⌦

e1�

� ,⌦

e2�

� ,⌦

e3�

�

a trav’es de una m’etrica

⌘

2

4

|e↵

i#� ,

|e�

i#�,

3

5) ⌘ [�, �] ⌘ ⌘↵�

h⌘↵|⌦⌦

e��

� ⌘ ⌘�↵

⌦

e��

�⌦ he↵| y ⌘ [•, •] ⌘ ⌘↵� |e↵

i ⌦ |e�

i ⌘ ⌘�↵ |e�

i ⌦ |e↵

i

con ↵,� = 0, 1, 2, 3 y donde ⌘00

= �1, ⌘11

= 1, ⌘22

= 1, ⌘33

= 1, y ⌘↵�

= 0 para ↵ 6= �. con lo cual se diceque ⌘ tiene signo +22

Tal y como presentamos en 3.3.6 podemos asociar componentes covariantes y contravariantes a trav’esde la m’etrica de la forma�

⌘↵�

he↵|⌦⌦

e��

�

�

|ai = a��

⌘↵�

he↵|⌦⌦

e��

�

�

|e�

i = a�⌘↵�

⌦

e� |e�

i he↵| = a�⌘↵�

��

he↵| = a�⌘↵�

he↵| ⌘ a↵

he↵|2Realmente el signo +2 es una convenci’on. Se puede tambien considerar ⌘ de signo �2, con ⌘00 = 1, ⌘11 = �1, ⌘22 = �1,

⌘33 = �1



Lo intereante del caso es que

a�⌘�↵

= a↵

) a0 = �a0

, a1 = a1

, a2 = a2

, a3 = a3

.

Es decir, en este caso, porque la metrica tiene signo +2, entonces bajar el ’indice 0 le cambia de signo a lacomponente. Dicho con mas propiedad, la componente 0 contravariante tiene signo contrario a las componente0 covariante.

De la misma manera que se expuso anteriormente en 3.3.6

ha|�

⌘↵j |e↵

i ⌦ |e�

i�

= ha|�

⌘↵� |e↵

i ⌦ |e�

i�

= ⌘↵� ha |e↵

i⌦ |ej

i = a�

⌘↵j he� |e↵

i |e�

i = a�

⌘�� |e�

i ⌘ a� |e�

i

y otra vez, a� = ⌘�↵a↵

, y habrıa cambio de signo cuando se baja el ’indice 0 para la m’etrica con signo +2que hemos considerado anteriormente. Del mismo modo se “suben” y se “bajan” ’indices para componentesde tensores

⌘↵�P ��✏

↵

⌘ P ��✏

Por su parte el producto interno de dos vectores en un espacio de Minkowsky involucra, de maneranatural, la metrica del espacio. Esto es

hx |yi = hx |yi = x↵y↵

= x↵

y↵ = x↵y�⌘↵�

= x↵

y�

⌘↵�

Una vez mas, la norma de un vector, tambien incluira al tensor metrico:

k|xik2 = hx |xi = x↵

x� he↵ |e�

i = x↵

x↵ = x↵

x�

⌘↵� = x↵x� ⌘↵�

El caso mas emblematico lo constituye la norma de un desplazamiento infinitesimal, en un espacio tetradi-mensional. Para una base generica, {|e

j

i} no necesariamente ortogonal de un espacio vectorial con productointerno, el desplazamiento infinitesimal puede expresarse como

(ds)2 ⌘ hdr |dri =�

d xk

⌦

ek�

�

�

(d xm |em

i) =⌦

ek |em

i d xk

d xm = d xm

d xm = gkm

d xkd xm

3.8.2. Un Toque de Relatividad Especial

3.9. Temas avanzados

3.9.1. Bases Discretas y Continuas

Haremos una disgresion para fijar conceptos y extender algunos de los razonamientos que hemos desa-rrollado hasta aquı. Tal y como vimos arriba, la representacion de un vector |Fi en un espacio vecto-rial abstracto V puede darse en termino de una base ortonormal de vectores (discreta y finita B

DF

={|u

1

i , |u2

i , |u3

i , · · · |un

i} o discreta e infinita BDI

= {|u1

i , |u2

i , |u3

i · · · |un

i · · · }) de la forma:

|Fi =

8

<

:

ci |ui

i =⌦

ui

�

� Fi |ui

i ( BDF

= {|u1

i , |u2

i , |u3

i · · · |un

i}

ci |vi

i =⌦

ui

�

� Fi |ui

i ( BDI

= {|u1

i , |u2

i , |u3

i · · · |un

i · · · }

donde en ambos casos:ci =

⌦

ui

�

� Fi = cj⌦

ui |uj

i = cj �ij

Ahora bien, si estamos tratando el espacio vectorial de funciones de cuadrado integrable L2,definidas en <3

tendremos que

|Fi = ci |ui

i ⌘⌦

ui

�

� Fi |ui

i =1X

i=0

✓

Z 1

�1d3r0 u⇤

i

(r0) f (r0)

◆

|ui

i



que se reescribe en terminos de funciones como

f (r) =1X

i=0

✓

Z 1

�1d3r0 u⇤

i

(r0) f (r0)

◆

ui

(r)

Es claro que se pueden intercambiar los sımbolos deR

yP

, por lo cual

f (r) =

Z 1

�1d3r0 f (r0)

" 1X

i=0

u⇤i

(r0) ui

(r)

#

| {z }

G(r0,r)

la funcion G(r0, r) que depende de los argumentos, r0 y r, vive dentro de las integrales y convierte

f (r) =

Z 1

�1d3r0 f (r0) G(r0, r)

Este tipo de funciones que aparecio en el capıtulo de transformadas integrales se conoce como la funciondistribucion delta de Dirac

f (r) =

Z 1

�1d3r0 f (r0) �(r0 � r)

Esto sugiere la generalizacion de bases discretas a continua |w↵

i de tal forma que transformamos el ındicede la sumatoria en la variable de una integral

| i =Z

d↵ c (↵) |w↵

i

donde

c (�) = hw�

| i =Z

d↵ c (↵) hw�

|w↵

i =Z

d↵ c (↵) � (↵� �)

con en la cual � (↵� �) es una Delta de Dirac. Ası, los dos conceptos expresados hasta ahora tienen unaexpresion:

Propiedad\Base Discreta Continua

Ortogonalidad⌦

vi |vj

i = �ij

hw�

|w↵

i = � (↵� �)Cierre 1 =

P1j=0

|vj

i⌦

vj

�

� 1 =R

d↵ |w↵

i hw↵

|Expansion |Fi =

P1i=0

ci |ui

i | i =R

d↵ c (↵) |w↵

iComponentes ci =

⌦

ui

�

� Fi c (�) = hw�

| iProducto Interno hG| Fi =

P1i=0

gi⇤ fi

hG| Fi =R

d↵ g⇤ (↵) f (↵)

Norma hF| Fi =P1

i=0

|fi

|2 hF| Fi =R

d↵ |f (↵)|2

3.9.2. Bases de Ondas Planas

Como un ejemplo de lo anterior consideraremos la base de las ondas planas. En el capıtulo de transfor-madas integrales consideramos un caso particular de las transformada de Fourier compleja para una funcion,vale decir

F (s) =

Z 1

�1dt ei st f(t) � f(t) =

Z 1

�1ds e�i st F (s)



las cuales re-escribiremos en terminos mas familiares a la comunidad de fısicos como

(x) =1p2⇡~

Z 1

�1dp ei px/~ (p) � (p) =

1p2⇡~

Z 1

�1dx e�i px/~ (x)

Hemos tenido cuidado de incluir los factores de normalizacion adecuados para el caso de las descripcionesen mecanica Cuantica. Estas formulas pueden ser re-interpretadas en funcion de los conceptos anteriormenteexpuestos y podemos definir una base continua de la forma

(x) =1p2⇡~

Z 1

�1dp

✓

1p2⇡~

ei px/~◆

| {z }

v

p

(x)

(p) � (p) =1p2⇡~

Z 1

�1dx

✓

1p2⇡~

e�i px/~◆

| {z }

v

x

p

(x)

(x)

por lo cual

(x) =

Z 1

�1dp v

p

(x) (p) � (p) =

Z 1

�1dx v⇤

p

(x) (x)

Diremos que la funcion (x) esta expresada en la base de ondas planas vp

(x) = 1p2⇡~e

i px/~

Notese

El ındice p de vp

(x) varıa de forma continua entre �1 e 1.

Que vp

(x) = 1p2⇡~e

i px/~ /2 L2 es decir no pertenece al espacio vectorial de funciones de cuadrado

integrable ya que su norma diverge

hvp

| vp

i =Z 1

�1dx |v

p

(x)|2 =

Z 1

�1dx

1

2⇡~ ! 1

Que las proyecciones de (x) sobre la base de ondas planas es (p) = hvp

| i

La relacion de cierre para esta base se expresa como

1=

Z

d↵ |v↵

i hv↵

| �Z 1

�1dp v⇤

p

(x0) vp

(x) =

Z 1

�1dp

1

2⇡~ei p(x0�x)/~ = � (x0 � x)

mientras que de la definicion de producto interno, uno obtiene

hvp

0 | vp

i =Z 1

�1dx v⇤

p

0 (x) vp

(x) =

Z 1

�1dp

1

2⇡~ei x(p0�p)/~ = � (p0 � p)

En este mismo orden de ideas podemos construir otra base continua ⇠r0 (r) a partir de la utilizacion de

las propiedades de la delta de Dirac. Esto es

(r) =

Z 1

�1d3r

0

(r0

) �(r0

� r)| {z }

⇠r0 (r)

� (r0

) =

Z 1

�1d3r (r) � (r� r

0

)

por lo cual la re-interpretacion es inmediata

(r) =

Z 1

�1d3r

0

(r0

) ⇠r0 (r) con (r

0

) = h⇠r0 | i =

Z 1

�1d3r ⇠⇤

r0(r) (r)



mas aun la ortogonalidad queda garantizada por la relacion de cierre

h⇠r0 | ⇠r0i =

Z 1

�1d3r

0

⇠⇤r0(r) ⇠

r0 (r0) =

Z 1

�1d3r

0

� (r� r0

) � (r0 � r0

) = � (r0 � r)

al igual que

h⇠r0 | ⇠r00

↵

=

Z 1

�1d3r ⇠⇤

r0(r) ⇠

r

00(r) =

Z 1

�1d3r � (r� r

0

) � (r� r00

) = � (r00

� r0

)

3.9.3. Las Representaciones |ri y |piA partir de las bases de ondas planas v

p0 (x) ,y de distribuciones, ⇠r0 (r) , construimos las llamadas

representaciones |ri y |pi de la forma siguiente. Asociamos

⇠r0 (r) � |r

0

i

vp0 (x) � |p

0

i

De esta forma dada las bases {⇠r0 (r)} y {v

p0 (x)} para el espacio vectorial V definiremos dos “representa-ciones”, la representacion de coordenadas, |r

0

i , y la representacion de momentos |p0

i de V,respectivamente.De tal modo que

hr0

| r00

i =Z 1

�1d3r ⇠⇤

r0(r) ⇠

r

00(r) = � (r0

0

� r0

)

1 =

Z

d3r0

|r0

i hr0

|

hp0

| p00

i =Z 1

�1d3r v⇤

p

00(r) v

p0 (r) =

Z 1

�1d3r

1

2⇡~e�i r0·p0/~ = � (p0

0

� p0

)

1 =

Z

d3p0

|p0

i hp0

|

Podemos, entonces expresar el producto interno para la representacion de coordenadas como

h� | i = h�|✓

Z

d3r0

|r0

i hr0

|◆

| {z }

1

| i =Z

d3r0

�⇤(~r0

) (~r0

)

y equivalentemente para la representacion de momentos

h� | i = h�|✓

Z

d3p0

|p0

i hp0

|◆

| {z }

1

| i =Z

d3p0

�⇤(~p0

) (~p0

)

por lo cual hemos encontrado que

| i =Z

d3r0

|r0

i hr0

| i =Z

d3p0

|p0

i hp0

| i

(~r0

) = hr0

| i y (~p0

) = hp0

| i



que es la representacion de | i en coordenadas, (r0

), y en momentos, (p0

). Adicionalmente cuando| i = |pi tendremos que

hr0

|p0

i = hr0

|✓

Z

d3r00

|r00

i hr00

|◆

| {z }

1

|p0

i = (2⇡~)�3/2

Z

d3r00

� (~r00

� ~r0

) ei

~ ~p0·~r0

hr0

|p0

i = (2⇡~)�3/2 ei

~ ~p0·~r0

con lo cual (p0

) puede considerarse la transformada de Fourier de (r0

), y denotaremos de ahora en ade-lante las bases |r

0

i ⌘ |ri y |p0

i ⌘ |pi . Estos ındices continuos, r0

y p0

,representan tres ındices continuosr ⌦ (x, y, z) y p ⌦ (p

x

, py

, pz

) . La proyeccion de un vector abstracto | i en la representacion |ri sera con-siderada como su expresion en el espacio de coordenadas, igualmente su proyeccion hp | i sera su expresionen el espacio de los momentos. Eso nos permitira hacer corresponder los elementos de espacios vectoria-les abstractos con, con elementos de un espacio vectorial de funciones. Por lo tanto todas las formulas deproyeccion quedan como

hr | i = (r) y hp | i = (p)

mientras que las relaciones de cierre y ortonormalizacion

hr| r0i = � (r0 � r) y 1 =

Z

d3r |ri hr|

hp| pi = � (p0 � p) y 1 =

Z

d3p |pi hp|

por su parte, la relacion de cierre hara corresponder a la expresion del el producto interno de dos vectores,tanto en la representacion de las coordenadas como en la representacion de momentos de la forma

h�|✓

Z

d3r |ri hr|◆

| i =Z

d3r �⇤(r) (r)

mh� | i

m

h�|✓

Z

d3p |pi hp|◆

| i =Z

d3p �⇤(p) (p)

donde �⇤(p) y (p) son las transformadas de Fourier de �⇤(r) y (r), respectivamente. La afirmacion anteriorqueda evidentemente demostrada del cambio entre las bases |ri y |pi . Esto es

hr |pi = hp |ri⇤ = (2⇡~)�3/2

ei

~p·r

por lo cual

(r) = hr | i = hr|✓

Z

d3p |pi hp|◆

| i =Z

d3p hr |pi hp| i = (2⇡~)�3/2

Z

d3p ei

~p·r (p)

e inversamente

(p) = hp | i = hp|✓

Z

d3r |ri hr|◆

| i =Z

d3r hp |ri hr| i = (2⇡~)�3/2

Z

d3r e�i

~ p·r (r)



3.10. Algunos ejemplos resueltos

Ilustremos ahora las transformaciones de tensores bajo cambios de la base del espacio vectorial. Una vezmas consideremos dos bases de vectores coordenados {|e

1

i , |e2

i , |e3

i} y {|e1

i , |e2

i , |e3

i} para el espaciovectorial <3 La expresion de un determinado tensor en la base {|e

1

i , |e2

i , |e3

i} sera

{|e1

i , |e2

i , |e3

i} ⌘ {|ii , |ji , |ki} =) T i

j

=

0

@

2 1 32 3 41 2 2

1

A

Si consideramos una nueva base

{|e1

i , |e2

i , |e3

i} )

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

|e1

i = |ii

|e2

i = |ii+ |ji

|e3

i = |ii+ |ji+ |ki

()

0

B

B

B

B

@

⌦

e1 |e1

i = 1⌦

e1 |e2

i = 1⌦

e1 |e3

i = 1

⌦

e2 |e1

i = 1⌦

e2 |e2

i = 2⌦

e2 |e3

i = 2

⌦

e3 |e1

i = 1⌦

e3 |e2

i = 2⌦

e3 |e3

i = 3

1

C

C

C

C

A

para ese mismo espacio <3 encontraremos la expresion que toma T i

j

en esa base. Igualmente encontraremos las

expresiones para los siguientes tensores: T j

i

, Tij

, T ij . Notese que esta nueva base no es ortogonal ,⌦

ek |ei

i 6=�ki

, con lo cual no se cumplen muchas cosas entre ellas |ek

i⌦

ek�

� 6= 1

Para encontrar la expresion T i

j

lo haremos expresando los vectores base {|e1

i , |e2

i , |e3

i} ⌘ {|ii , |ji , |ki}en termino de la base {|e

1

i , |e2

i , |e3

i}

{|e1

i , |e2

i , |e3

i} =)

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

|e1

i = |ii = |e1

i

|e2

i = |ji = |e2

i � |e1

i

|e3

i = |ki = |e3

i � |e2

i

recordamos que un vector generico

|ai = aj |ej

i = aj |ej

i =)

|ai = aj |ej

i = a1 |e1

i+ a2 |e2

i+ a3 |e3

i = a1 |e1

i+ a2 (|e1

i+ |e2

i) + a3 (|e1

i+ |e2

i+ |e3

i)

con lo cuala1 |e

1

i+ a2 |e2

i+ a3 |e3

i =�

a1 + a2 + a3�

|e1

i+�

a2 + a3�

|e2

i+ a3 |e3

i

y como

a1 = a1 + a2 + a3

a2 = a2 + a3

a3 = a3

9

=

;

=) ai =@ xi

@ xk

ak =)

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

@ x

1

@ x

1 = 1; @ x

1

@ x

2 = 1; @ x

1

@ x

3 = 1;

@ x

2

@ x

1 = 0; @ x

2

@ x

2 = 1; @ x

2

@ x

3 = 1;

@ x

3

@ x

1 = 0; @ x

3

@ x

2 = 0; @ x

3

@ x

3 = 1;

Es de hacer notar que dado que la base ortonormal {|e1

i , |e2

i , |e3

i} ⌘ {|ii , |ji , |ki} se tiene que

|ai = aj |ej

i = ai |ei

i =)⌦

ei�

� ai = aj⌦

ei |ej

i = aj�ij

= ai = ak⌦

ei |ek

i =) @ xi

@ xk

=⌦

ei |ek

i



El mismo procedimiento se puede aplicar para expresar el vector |ai como combinacion lineal de los vectores|e

j

i

|ai = aj |ej

i = aj |ej

i = a1 |e1

i+ a2 |e2

i+ a3 |e3

i = a1 |e1

i+ a2 (|e2

i � |e1

i) + a3 (|e3

i � |e2

i)

a1 = a1 � a2

a2 = a2 � a3

a3 = a3

9

=

;

=) ak = ai@ xk

@ xi

=)

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

@ x

1

@ x

1 = 1; @ x

1

@ x

2 = �1; @ x

1

@ x

3 = 0;

@ x

2

@ x

1 = 0; @ x

2

@ x

2 = 1; @ x

2

@ x

3 = �1;

@ x

3

@ x

1 = 0; @ x

3

@ x

2 = 0; @ x

3

@ x

3 = 1;

Notese que, como era de esperarse,

@ xi

@ xk

@ xk

@ xj

= �ij

=)

0

@

1 1 10 1 10 0 1

1

A

0

@

1 �1 00 1 �10 0 1

1

A =

0

@

1 0 00 1 00 0 1

1

A

Con las expresiones matriciales para las transformaciones ,estamos en capacidad de calcular, componente acomponente, las representacion del tensor en la nueva base con lo cual

T k

m

=@ xk

@ xi

@ xj

@ xm

T i

j

=)

T 1

1

= @ x

1

@ x

i

@ x

j

@ x

1 T i

j

= @ x

1

@ x

1

⇣

@ x

1

@ x

1 T 1

1

+ @ x

2

@ x

1 T 1

2

+ @ x

3

@ x

1 T 1

3

⌘

+@ x

1

@ x

2

⇣

@ x

1

@ x

1 T 2

1

+ @ x

2

@ x

1 T 2

2

+ @ x

3

@ x

1 T 2

3

⌘

+@ x

1

@ x

3

⇣

@ x

1

@ x

1 T 3

1

+ @ x

2

@ x

1 T 3

2

+ @ x

3

@ x

1 T 3

3

⌘

es decirT 1

1

= @ x

1

@ x

i

@ x

j

@ x

1 T i

j

= 1 ·�

1 T 1

1

+ 0 T 1

2

+ 0 T 1

3

�

�1 ·�

1 T 2

1

+ 0 T 2

2

+ 0 T 2

3

�

+0�

1 T 3

1

+ 0 T 3

2

+ 0 T 3

3

�

T 1

1

= @ x

1

@ x

i

@ x

j

@ x

1 T i

j

= T 1

1

� T 2

1

= 2� 2 = 0

del mismo modo

T 1

2

= @ x

1

@ x

i

@ x

j

@ x

2 T i

j

= @ x

1

@ x

1

⇣

@ x

1

@ x

2 T 1

1

+ @ x

2

@ x

2 T 1

2

+ @ x

3

@ x

2 T 1

3

⌘

+@ x

1

@ x

2

⇣

@ x

1

@ x

2 T 2

1

+ @ x

2

@ x

2 T 2

2

+ @ x

3

@ x

2 T 2

3

⌘

+@ x

1

@ x

3

⇣

@ x

1

@ x

2 T 3

1

+ @ x

2

@ x

2 T 3

2

+ @ x

3

@ x

2 T 3

3

⌘

es decirT 1

2

= @ x

1

@ x

i

@ x

j

@ x

2 T i

j

= 1 ·�

1 T 1

1

+ 1 T 1

2

+ 0 T 1

3

�

�1 ·�

1 T 2

1

+ 1 T 2

2

+ 0 T 2

3

�

+0�

1 T 3

1

+ 1 T 3

2

+ 0 T 1

3

�

T 1

2

= @ x

1

@ x

i

@ x

j

@ x

1 T i

j

=�

T 1

1

+ T 1

2

�

��

T 2

1

+ T 2

2

�

= (2 + 1)� (2 + 3) = �2



se puede continuar termino a termino o realizar la multiplicacion de las matrices @ x

k

@ x

i

, T i

j

y @ x

j

@ x

m

provenientesde la transformacion de componentes de tensores. Vale decir

T k

m

=@ xk

@ xi

T i

j

@ xj

@ xm

,

0

@

1 �1 00 1 �10 0 1

1

A

0

@

2 1 32 3 41 2 2

1

A

0

@

1 1 10 1 10 0 1

1

A =

0

@

0 �2 �31 2 41 3 5

1

A

hay que resaltar un especial cuidado que se tuvo en la colocacion de la matrices para su multiplicacion. Si

bien en la expresion T k

m

= @ x

k

@ x

i

@ x

j

@ x

m

T i

j

las cantidades @ x

k

@ x

i

son numeros y no importa el orden con el cualse multipliquen, cuando se colocan como matrices debe respetarse la “concatenacion interna de ındices”.Esto es cuando queramos expresar T k

m

como una matriz, donde el ındice contravariante k indica filas y elındice covariante m las columnas, fijamos primero estos ındices y luego respetamos la “concatenacion ındices”covariantes con los contravariantes. Esta es la convencion para expresar la multiplicacion de matrices en lanotacion de ındices3. Esto es

T k

m

=@ xk

@ xi

@ xj

@ xm

T i

j

=) T k

m

=@ xk

@ xi

T i

j

@ xj

@ xm

Ahora los objetos @ x

k

@ x

i

, T i

j

y @ x

j

@ x

m

pueden ser sustituidos (en sus puestos correspondientes) por su represen-tacion matricial.

Con lo cual hemos encontrado la representacion matricial T k

m

de las componentes del tensor T en la base{|e

1

i , |e2

i , |e3

i}0

@

T 1

1

= 0 T 1

2

= �2 T 1

2

= �3T 2

1

= 1 T 2

2

= 2 T 2

3

= 4T 3

1

= 1 T 3

2

= 3 T 3

3

= 5

1

A

Para encontrar la expresion para Tkm

recordamos que Tkm

= gkn

Tn

m

es decir, requerimos las componentescovariantes y contravariantes del tensor metrico g

kn

que genera esta base. Para ello recordamos que para unabase generica, {|e

j

i} , no necesariamente ortogonal, de un espacio vectorial con producto interno, podemos

definir la expresion de un tensor

✓

02

◆

que denominaremos tensor metrico como

g

2

4

|ei

i#� ,

|ej

i#�,

3

5 = gij

⌘ gji

=) gij

⌘ gji

= g [|ei

i , |ej

i] ⌘ hei

|ej

i ⌘ hej

|ei

i

g

2

6

4

hei|#• ,

hej|#•

3

7

5

= gij ⌘ gij =) gij ⌘ gij = (gij

)�1

Es de hacer notar que la representacion matricial para la metrica covariante gij

de una base ortonormal{|e

1

i , |e2

i , |e3

i} ⌘ {|ii , |ji , |ki} es siempre diagonal. Esto es

g11

= he1

|e1

i = hi |ii = 1; g12

= he1

|e2

i = hi |ji = 0; g13

= he1

|e2

i = hi |ji = 0;

g21

= he2

|e1

i = hj |ii = 0; g22

= he2

|e2

i = hj |ji = 1n; g23

= he2

|e3

i = hj |ki = 0;

g31

= he3

|e1

i = hk |ii = 0; g32

= he3

|e2

i = hk |ji = 0; g33

= he3

|e3

i = hk |ki = 1;

3Quiza una forma de comprobar si los ındices esta bien concatenados se observa si se “bajan” los ındices contravariantes

pero se colcan de antes que los covariantes. Esto es T ij ! Tij Ası la multiplicacion de matrices queda representada por

Cij = Ai

kBkj ! Cij = AikBkj y aquı es claro que ınidices consecutivos estan “concatenados” e indican multiplicacion



con lo cualhTn

m

i

hTkm

i ⌘ hgkn

Tn

m

i

hTnmi ⌘⌦

gnkTm

k

↵

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

=)

0

@

0 �2 �31 2 41 3 5

1

A

donde hemos denotado h•i como la representacion matricial del objetoPara el caso de la base generica no ortonormal {|e

j

i} tenemos dos formas de calcular el tensor (lascomponentes covariantes y contravariantes) del tensor metrico. La primera es la forma directa

g11

= he1

|e1

i = hi |ii = 1; g12

= he1

|e2

i = hi| (|ii+ |ji) = 1;

g21

= he2

|e1

i = (hi|+ hj|) |ii = 1; g22

= he2

|e2

i = (hi|+ hj|) (|ii+ |ji) = 2

g31

= he3

|e1

i = (hi|+ hj|+ hk|) |ii = 1; g32

= he3

|e2

i = (hi|+ hj|+ hk|) (|ii+ |ji) = 2;

yg13

= he1

|e3

i = hi| (|ii+ |ji+ |ki) = 1;

g23

= he2

|e3

i = (hi|+ hj|) (|ii+ |ji+ |ki) = 2

g33

= he3

|e3

i = (hi|+ hj|+ hk|) (|ii+ |ji+ |ki) = 3

consecuentemente

gij

⌘ gji

()

0

@

1 1 11 2 21 2 3

1

A =) gij ⌘ gij = (gij

)�1 ()

0

@

2 �1 0�1 2 �10 �1 1

1

A

La otra forma de calcular la metrica correspondiente la base ortonormal {|e1

i , |e2

i , |e3

i} ⌘ {|ii , |ji , |ki} ytransformarla a la base no ortonormal {|e

1

i , |e2

i , |e3

i} ⌘ {|ii , |ii+ |ji , |ii+ |ji+ |ki} esto es

gkm

=@ xi

@ xk

@ xj

@ xm

gij

=) gkm

=@ xi

@ xk

gij

@ xj

@ xm

La metrica para el la base ortonormal sera diagonal y ademas gii

= 1

g

ii

, con lo cual

gij

()

0

@

1 0 00 1 00 0 1

1

A ; gij ()

0

@

1 0 00 1 00 0 1

1

A ; gij

()

0

@

1 0 00 1 00 0 1

1

A ;

y

gkm

=@ xi

@ xk

gij

@ xj

@ xm

;

0

@

1 0 01 1 01 1 1

1

A

0

@

1 0 00 1 00 0 1

1

A

0

@

1 1 10 1 10 0 1

1

A =

0

@

1 1 11 2 21 2 3

1

A

notese para conservar la convencion de ındices y matrices hemos representado que hemos traspuesto la matrizcorrespondiente a @ x

i

@ x

k

. La razon, como dijimos arriba es

gkm

=@ xi

@ xk

gij

@ xj

@ xm

�! gkm

= ⇧ik

gij

⇧jm

�! gkm

= ⇧ki

gij

⇧jm



Para poder representar multiplicacion de matrices los ındices deben estar consecutivos, por tanto hay quetrasponer la representacion matricial para poder multiplicarla.

Ya estamos en capacidad de obtener las representaciones matriciales para los tensores: T j

i

, Tij

, T ij .

D

T j

i

E

=D

T i

j

E

T

�!

0

@

0 �2 �31 2 41 3 5

1

A

T

=

0

@

0 1 1�2 2 3�3 4 5

1

A �!D

T j

i

E

D

Tkm

E

=D

gkn

Tn

m

E

�!

0

@

1 1 11 2 21 2 3

1

A

0

@

0 �2 �31 2 41 3 5

1

A =

0

@

2 3 64 8 155 11 20

1

A �!D

Tkm

E

D

T kn

E

=D

Tn

m

gmk

E

!

0

@

0 �2 �31 2 41 3 5

1

A

0

@

1 1 11 2 21 2 3

1

A =

0

@

�5 �10 �137 13 179 17 22

1

A!D

T km

E



3.11. Algunos ejercicios propuestos

1. Dado Fijk

un tensor totalmente antisimetrico respecto a sus ındices ijk muestre que

rot [Fijk

] = @m

Fijk

� @i

Fjkm

+ @j

Fkmi

� @k

Fmij

⌘ @Fijk

@xm

� @Fjkm

@xi

+@j

Fkmi

@xj

� @k

Fmij

@xk

rot [Fijk

] = Fijk,m

� Fjkm,i

+ Fkmi,j

� Fmij,k

⌘ @m

Fijk

� @i

Fjkm

+ @j

Fkmi

� @k

Fmij

2. El momento de inercia se define como

Iij

=

Z

V

dv⇢ (~r)�

�ij

�

xkxk

�

� xixj

�

con xi = {x, y, z} y dv = dx dy dz

a) Muestre que Iij

es un tensor

b) Encuentre la representacion matricial para Iij

c) Considere un cubo de lado l y masa total M tal que tres de sus aristas coinciden con un sistemade coordenadas cartesiano. Ecuentre el Tensor momento de Inercia, Ii

j

.

3. Para un sistema de n partıculas rıgidamente unidas, la cantidad de movimiento ~p y cantidad de movi-miento angular ~L vienen definidas por

(~p)↵

= m↵

(~v)↵

= m↵

(~! ⇥ (~r)↵

) ⌘ ✏ijk!j

xk

|ei

i

~L =X

↵

(~r ⇥ ~p)↵

⌘ ✏ijkxk

pk

|ei

i ;

con ↵ = 1, 2, · · · , n, |ei

i =n

ı, |, ko

y xi = {x, y, z}Muestre que:

a) ~L =P

↵

m↵

[(~r · ~r)↵

~! � (~r)↵

((~r)↵

· ~!)]b) Li = Ii

j

!j donde Iij

=P

↵

m↵

�

�ij

�

xkxk

�

� xixj

�

es el tensor momento de inercia para un sistemade n partıculas rıgidamente unidas

4. Dado un tensor generico de segundo orden Tij

Demostar

a) El determinante , det [T] ⌘ det⇥

T i

j

⇤

= T y la traza, tr⇥

T i

j

⇤

= T i

i

de los tensores son un invariantes,

en otras palabras det⇥

T i

j

⇤

y tr⇥

T i

j

⇤

son escalares respecto a transformaciones de coordenadas.

b) Si definimos la matriz adjunta, adj [A], como la traspuesta de la matriz de cofactores

adj [A] = (Ac)T =) adj⇥

Ai

j

⇤

=⇣

(Ac)ij

⌘

T

= (Ac)ji

donde la matriz de cofactores (Ac)ij

viene dada por

Ai

j

=

0

@

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

1

A =) (Ac)ij

=

0

@

(Ac)11

(Ac)12

(Ac)13

(Ac)21

(Ac)22

(Ac)23

(Ac)31

(Ac)32

(Ac)33

1

A



y los cofactores son

(Ac)11

= (�1)1+1

�

�

�

�

a22

a23

a32

a33

�

�

�

�

(Ac)12

= (�1)1+2

�

�

�

�

a21

a23

a31

a33

�

�

�

�

(Ac)13

= (�1)1+3

�

�

�

�

a22

a23

a32

a33

�

�

�

�

(Ac)21

= (�1)2+1

�

�

�

�

a12

a13

a32

a33

�

�

�

�

(Ac)22

= (�1)2+2

�

�

�

�

a11

a13

a31

a33

�

�

�

�

(Ac)23

= (�1)2+3

�

�

�

�

a11

a12

a31

a32

�

�

�

�

(Ac)31

= (�1)3+1

�

�

�

�

a12

a13

a22

a23

�

�

�

�

(Ac)32

= (�1)3+2

�

�

�

�

a11

a13

a21

a23

�

�

�

�

(Ac)33

= (�1)3+3

�

�

�

�

a11

a12

a21

a22

�

�

�

�

Para la transformacion xi = a xi con a un escalar constante, muestre que

1) ⌧ ij

=adj[T i

j

]T

es un tensor

2) Su determinante, det⇥

⌧ ij

⇤

= ⌧ y su traza, tr⇥

⌧ ij

⇤

= ⌧ ii

tambien seran invariantes.

3) T i

j

=adj[⌧ i

j

]⌧

4) ⌧T = 1

5. Dados dos sistemas de coordenadas ortogonales O ⌦ (x, y, z) y O ⌦ (x, y, z) ,donde el sistema decoordenas O se obtiene a rotando O, ⇡

6

alrededor del eje z, para rotarlo ⇡

2

alrededor del eje x con locual los ejes y y z coinciden.

a) Si tenemos los vectores~A = ı+ 2|+ 3k ~B = ı+ 2|+ 3k

Expreselos en el sistema de coordenadas O ⌦ (x, y, z)

b) El tensor de esfuerzos (tensiones normales y tangenciales a una determinada superficie) se expresaen el sistema O ⌦ (x, y, z) como

P i

j

=

0

@

P1

0 P4

0 P2

00 P

6

P3

1

A

¿cual sera su expresion en el sistema de coordenadas O ⌦ (x, y, z)?

6. Suponga un sistema de coordenadas ortogonales generalizadas�

q1, q2, q3�

las cuales tienen las siguienterelacion funcional con las coordenadas cartesianas

q1 = x+ y; q2 = x� y; q3 = 2z;

a) Compruebe que el sistema�

q1, q2, q3�

conforma un sistema de coordenadas ortogonales

b) Encuentre los vectores base para este sistema de coordenadas

c) Encuentre el tensor metrico y el elemento de volumen en estas coordenada.

d) Encuentre las expresiones en el sistema�

q1, q2, q3�

para los vectores

~A = 2|; ~B = ı+ 2|; ~C = ı+ 7|+ 3k



e) Encuentre en el sistema�

q1, q2, q3�

la expresion para las siguienentes realciones vectoriales

~A⇥ ~B; ~A · ~C;⇣

~A⇥ ~B⌘

· ~C

¿ que puede decir si compara esas expresiones en ambos sistemas de coordenadas ?

7. La relacion entre las coordenadas cartesianas (x, y) y las coordenadas bipolares (⇠, ⇣) viene dada por

x =a sinh ⇠

cosh ⇠ + cos ⇣; y =

a sin ⇣

cosh ⇠ + cos ⇣; con a = const

a) Compruebe si los vectores base para las coordenadas bipolares son ortogonales

b) Encuentre el tensor metrico para las coordenadas bipolares

c) Escriba las componentes covariantes y contravariantes para los vectores ı, | y ı+ 2|.


Bibliografıa

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[2] Arfken, G. B.,Weber, H., Weber, H.J. (2000) Mathematical Methods for Physicists 5ta Edicion(Academic Press, Nueva York)

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[4] Dennery, P. y Krzywicki, A. (1995) Mathematics for Physicists (Dover Publications Inc, Nueva York)

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[8] Schutz, B. (1980) Geometrical Methods in Mathematical Physics (Cambridge University Press,Londres)

139

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