¿Dónde se

ubicaría?

2. Magnitud Vectorial:

Respuesta:

Veamos la siguiente situación: El profesor le pide a Luis que se

cambie de puesto tres lugares desde donde está

Respuesta:

Tiene varias

posibilidades,

desplazarse en una

dirección u otra

Como nos muestra la figura la magnitud vectorial es:

“una cantidad descrita por un módulo, dirección y

sentido”

Ejemplos:

desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, torque,

campo eléctrico, campo magnético, etc.

Representación de un vector

Se representa simbólicamente por :

OAar

Se representa gráficamente con una flecha o rayo

: se lee vector a

: se lee vector OA

Por ejemplo sea el ar

O

ar

A

Operaciones gráficas con vectores:

Con vectores se puede realizar las tres operaciones fundamentales:

Suma, Resta, Multiplicación

Multiplicación por un escalar: Se multiplica el vector por un escalar (número)

Ejemplo1: sea br b

r

rbsea b

r⋅2 b

r2

Ejemplo2: sea ar

sea ar⋅−1

ar

ar

−

El signo negativo indica el sentido contrario

Suma: Para sumar gráficamente utilizaremos dos métodos gráficos: el método del polígono y el método del paralelógramo

Método del Polígono:Para sumar uno o mas vectores, se dibuja un vector a

continuación del otro. El vector suma o resultante se obtiene dibujando un nuevo vector desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo vector rhasta el extremo del ultimo vector

Ejemplo: sea y ar

br

ar b

r

Sume barr +

ar b

rbarr

+

Método del Paralelogramo:Consiste en dibujar un par de vectores con un origen

en común. El vector suma o resultante se obtiene dibujando un nuevo vector diagonal desde el origen común. Ejemplo: sean los mismos vectores anteriores ya

rbr

Sume barr + b

r barr +

ar

Ejemplos:

Método del Polígono:Igual que la suma pero debe sumar el inverso aditivo

Ejemplo: sean los mismos vectores anteriores yar

br

Reste barr

−Observe que si el vector esb

r br

Resta: La resta es igual que la suma solo que los sumandos son positivo y negativo ( )ba

rr −+

Observe que si el vector esbr b

br

−

ar

br

−barr −

br

−el inverso aditivo es

Método del Paralelogramo:Similar que la suma pero el vector resta o resultante

se obtiene trazando un vector desde el extremo del sustraendo al extremo del minuendo b

r− a

r

br

barr −

Reste barr −

ar

ba −

Componentes de un vector en el plano (2D)

Rr

A todo vector se le puede asociar un sistema de referencia. El sistema de referencia que usaremos es el sistema cartesiano o sistema de ejes perpendiculares (x,y) en el plano⊥

y

Cualquier vector en un plano se puede descomponer en un par de vectores cuyas componentes son perpendiculares o rectangulares . La

yr

Ejemplo: Sea el vector en el plano xyRr

x

perpendiculares o rectangulares . La suma de estos vectores tiene como resultado el vector

Donde e llamaremos componentes del vector

xr

Rr

La dirección del vector queda determinado por el ángulo αformado entre el vector y los ejes del plano cartesianoR

r

α

Rr

Es decir: yxRrrr

+=x y

En este caso el vector R se

puede descomponer en tres

vectores perpendiculares entre

si. Las componentes

x, y, z

Componentes de un vector en el espacio (3D)

rrrrzyxRrrrr

++=

Modulo o norma de un vector:

Corresponde al tamaño del vector resultante :

Ej: Sea un vector

En 2D: 22 yxR +=r

Rr

En 3D:222 zyxR ++=

r

Vectores Unitarios : son aquellos vectores cuyo módulo o norma es igual a uno.

Los vectores unitarios principales que tienen direcciones y

sentidos de los semiejes positivos del plano cartesiano son los

versores:i j k

R

Ru r

r

=Se define

matemáticamente el

vector unitario 1u =, es decir su módulo

uu : se lee u tongo

versores:

útiles por que los ocuparemos como referencia y es la base del

espacio vectorial.

i j k

j

k

: se lee i tongo

: se lee j tongo

: se lee k tongo

i

Notación de un vector

Un vector en un espacio euclídeo o espacio vectorial real de

dimensión n es un conjunto ordenado de n números reales

),( yxR =r

)x,....,x,x( n21En el plano cartesiano el vector se puede escribir como un par

ordenado, es decir:

Veamos el siguiente ejemploVeamos el siguiente ejemplo

Un vector en el plano

cartesiano, se muestra la

dirección del origen al punto A

con las coordenadas (2,3).

Ar

El vector se representan o expresan como una combinación

)z,y,x(R =rEn el espacio cartesiano 3D el vector se

puede escribir como un trío ordenado, es

decir:

Notación coordenadas cartesianas

El vector se representan o expresan como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será:

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.