Matemática Básica(Ing.) 1

Vectores en el Plano

Definición de vectores bidimensionales. Regla terminal menos inicial (TMI). Magnitud de un vector. Vectores unitarios. Ángulo de dirección.

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Juan esta sentado en un trineo en la ladera de una colina inclinada 45º. El peso combinado de Juan y el trineo es de 140 libras. ¿Qué fuerza necesitará Rafaela para no dejar que se deslice el trineo colina abajo?

Introducción

45º

F

F1

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Es cualquier magnitud matemática o física que se pueda representar solamente por un número real. Ejemplos: longitud (u), área (u2), volumen (u3), temperatura (°C, °F), etc.

Magnitud Escalar

Magnitud Vectorial

Conceptos previos: Magnitudes

Son aquellas magnitudes en las que además del número que las determina, se requiere conocer la dirección.Ejemplos: desplazamiento, fuerza, aceleración, etc.El ente matemático que representa a estas magnitudes se llama vector.

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Definición de Vectores bidimensionalesUn vector bidimensional v es un par ordenado denúmeros reales, expresados en forma decomponentes como a; b. Los números a y b sonlas componentes del vector v.

La representación estándar del vector a; b es la flecha del origen al punto (a; b). La magnitud de ves la longitud de la flecha y la dirección de v es ladirección en la que apunta la flecha.

El vector 0 = 0; 0, llamado vector cero tienelongitud cero y no tiene dirección.

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Un vector bidimensional v es un par ordenado de números reales .

v = se llama vector deposición, cuyo punto iniciales el origen (0; 0).

Magnitud de v: se denota por o .v v

Dirección de v: es el ángulo que forma la flecha con el semieje positivo de las abscisas.

ba;

ba;

Vectores bidimensionales

Gráficamente:

(a; b)

y

x

vecto

r v

componente a(0; 0)

com

pone

nte

b

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Regla terminal menos el inicial (TMI)Si una flecha tiene punto inicial (x1; y1) y punto terminal (x2; y2), representa al vector x2-x1; y2-y1.

y

x

vecto

r v

(0; 0) x1 x2

y1

y2

P

Q Punto inicial P(x1; y1)Punto final Q(x2; y2)v = OQ – OP

v = x2-x1; y2-y1

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Exploración: tiro al arco con vectoresVea como puede dirigir flechas en el plano mediante información de vectores y la regla TMI.

1. Una flecha tiene un punto inicial (2; 3) y el punto terminal (7; 5). ¿Qué vector representa?2. Una flecha tiene un punto inicial (3; 5) y representa al vector -3; 6 . ¿Cuál es el punto terminal?3. Si P es el punto (4; -3) y representa a 2; -4, determine Q.4. Si Q es el punto (4; -3) y representa a 2; -4, determine P.

PQ

PQ

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Magnitud de un vectorSi el vector v se representa mediante la flecha de (x1; y1) a (x2; y2), se tiene: 1212 ; yyxx V

212

212 )()( yyxx v

22 ba vSi v = a; b , entonces:

y

x

|v|

(0; 0)

P(x1; y1)

Q(x2; y2)

a

b

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Operaciones con vectoresSean los vectores u= u1; u2 y v =v1; v2 y sea k un número real (escalar).

La suma (o resultante) de los vectores u y v es elvector

u + v = u1 + v1; u2 + v2

El producto del escalar k y el vector u es

ku = ku1; u2 = ku1; ku2

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Vectores unitarios

Un vector u con longitud es un vector unitario

1u

Vector unitario en la dirección de v:

vvvvu 1

|u|=1

v

siempre y cuando v no sea el vector cero.

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Vectores unitarios canónicosLos dos vectores unitarios i = 1; 0 y j = 0; 1son los vectores unitarios estándares o canónicos.

Cualquier vector v puede escribirse como unaexpresión en términos de los vectores unitariosestándar.

v = a; b

= a; 0 + 0; b

= a1; 0 + b0; 1

= ai + bj

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Ángulo de direcciónSi v tiene un ángulo de dirección, lascomponentes de v puede calcularse utilizando lasiguiente fórmula:

sen;cos vvv

sen;cosvvu

v

y

xcosv

senv El vector unitario en la dirección de v es

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Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.

Importante