Magnitudes físicas

• Las magnitudes escalaresque para su completa determinación únicamente necesitan conocerse su valor y la unidad de medida.

• El segundo tipo de magnitudes es aquella que para su completa determinación se necesita conocer su valor, unidad y también su dirección. Estas magnitudes se denominan magnitudes vectoriales

El tiempo es una magnitud escalar

La fuerza es un ejemplo de magnitud vectorial

F

Magnitudes vectoriales

• Del listado de magnitudes, señale aquellas que son vectoriales:

– Peso– Masa– Fuerza aplicada– Velocidad– Tiempo– Distancia

El atleta está aplicando una fuerza a la jabalina

antes de lanzarla

F

Características del vector• Todo vector puede

representarse como una flecha como la que se muestra en la figura.

• El vector siempre se representa simbólicamente con una letra en mayúscula y negrita o con la letra y una flecha en su parte superior.

• Del vector nos interesa conocer:

– El origen del vector

– La dirección del vector

– Magnitud o módulo del vector

origen

dirección

MAGNITUD, MÓDULO OLONGITUD DEL VECTOR

sentido

A a A

• Propiedades y operaciones con vectores:

Igualdad.-Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección (independiente de su posición).

A B

A = B

Opuesto o negativo de un vector.-Es un vector antiparalelo de igual magnitud.

A - A B =

SumaSumaanalanalííticatica (mméétodotodo deldelparalelogramoparalelogramo)

Este método tiene la restricción de usarse solo para sumar dos vectores. Pero, si son más de dos los vectores a sumar, y queremos aplicar este método, entonces debemos empezar sumando dos vectores, el resultado sumarlo a un tercero y así hasta terminar el proceso.

• Unir los inicios de los vectores.

• Trazar paralelas a los vectores.

• Trazar la diagonal que sale del vértice de los vectores y se dirige hacia la intersección de las paralelas trazadas.

→B

→A

θcosAB2BABAR 22 ++=+=→→→

=∴= θββθ

senR

Barcsen

sen

B

sen

RLey de Senos para hallar dirección (β)(β)(β)(β)

Ley de Cósenos (módulo)

θ

θ

Demostración

( ) ( )2 22cosR B A A senθ θ= + +

�� �� �� ��

2 2 2 22 22 cos cos sR B A B A A enθ θ θ= + + +

�� �� �� �� �� ��

( )2 2 22 22 cos cosR B A B A senθ θ θ= + + +

�� �� �� �� ��

2 2 2

2 cosR A B A B θ= + +�� �� �� �� ��

Ejemplo : Método del Paralelogramo

¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de 3,0 N y 5,0 N, para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de 7,0 N?• Aplicando el método del

paralelogramo:

2 2 2 cosR a b ab θ= + +3,0 N

5,0 N

7,0 Nθ

Rpta: θ = 60°

SumaSumaGGraficarafica

•• CogerCoger cualquiera de los vectores dados y ubicarlo.

• Coger otro vector y ubicarlo a continuación del anterior. Repetir esto cuantas vectores sean necesarios.

• Finalmente unir el punto de partida (inicio) con el punto de llegada (final). Este vector será el vector suma o resultante.

→B

→A

→C

→A

→B

→C

→→→→++= CBAR

inicio

Ifinal

Componentes RectangularesComponentes Rectangulares

Ahora el vector , es expresado como una combinación lineal de los vectores unitarios y

Si definimos un eje de coordenadas, y – x, o sistema de referencia, de gran utilidad para ubicarnos en el plano o en el espacio. En este caso se introduce el concepto de vector unitario en los ejes y –x. para el eje de las abscisas x y cccpara el eje de las ordenadas y.

jAiAA YX +=→

22YX AAA +=

→

θcos→

= AAX θsen→

= AAY

=

X

Y

A

AarctgθDirección:

ij

Módulo:

Representación analítica de un vectorRepresentación analítica de un vector

x

y

40

30y

z

x

30

20

40

COORDENADAS DE UN VECTOR EN EL PLANO

• Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector AB son:

( )1 1,A x y ( )2 2,B x y

( )2 2,B x y

( )1 1,A x y

( )2 1 2 1,AB x x y y= − −����

xy

z (x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

AB����

Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por

VECTOR DE POSICION EN EL ESPACIO

A

B

2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ(x x )i (y y )j (z z )kAB= − + − + −

����

Vector UnitarioVector Unitario

Es un vector cuya magnitud es la unidad, muy usado en Física para dar dirección a vectores, los vectores unitarios , no son los únicos, en si tenemos infinitos vectores unitarios. La figura esquematiza este hecho.

22

ˆˆˆ

YX

YX

AA

jAiA

A

A

+

+== →

→

µ

Suma Vectorial:

j)BA(i)BA(BA YYXX ±+±=±→→

ji ˆ,ˆ

Ejemplo

• Calcular el vector unitario de

Producto Escalar de dos VectoresProducto Escalar de dos Vectores

Es Es conmutativoconmutativo

Es Es usadausada parapara calcularcalcular el el áángulonguloentre dos entre dos vectoresvectores

YYXX B.AB.AA.BB.A +==→→→→

θcos..→→→→→→

== BAABBA

→→

→→

=BA

BA.cosθ

→→

→→

=BA

BA.arccosθ

Producto escalar

• Geométricamente es el módulo del primer vector por la proyección del segundo sobre el primero.

Nota

• El producto escalar es un número.• Es 0 si los vectores forman 900 (perpendiculares).

• Es máximo si los vectores forman 00 .• Es mínimo (negativo) si los vectores forman 1800 .

• También se puede calcular usando la fórmula:

θ

x

y

z

Producto escalar de vectores unitarios

Proyección de un vector sobre otro vector (aplicación del producto escalar)

El vector buscado es:

→

→

→

→→

→

→→→→

==→

B

B

B

B.A

B

BcosAAP B θ

Vectores en tres dimensionesVectores en tres dimensiones

Ángulos directores. Cada uno de estos ángulos, indica la dirección con respecto a cada eje cartesiano.

Cosenos directores:

Producto Escalar y VectorialProducto Escalar y Vectorial

Ejemplo:

Dados los vectores y

Hallar:

• Solución:

ɵ ɵ

( ) ( ) ɵ ( ) ɵ0 4 2 4 2 0 8 0 16

4 1 1

i j k

UxV i j k= = − − − + + +− −

ɵ

�� ��ɵ

ɵ ɵ6 8 1 6U x V i j k= − − +�� ��

ɵ

ɵ ɵ2 3U i j k= − +��ɵ ɵ ɵ4 2V j k= +

��

UxV�� ��

Problema Problema NNºº 22

Dado los vectores:

Determine el módulo, la dirección y el vector unitario de )3(

→→+ BA

jiBykjiA ˆ10ˆ6ˆ2ˆ7ˆ2 −=−+=→→

SOLUCION

= 3(2i + 7j – 2k) + 6i – 10j

= 6i + 21j – 6k + 6i– 10j

Modulo = 17,35

Dirección:

3A B+�� ��

3 12 11 6A B i j k+ = + −�� ��

( ) ( ) ( )2 2 23 12 11 6A B i j k+ = + −�� ��

12arccos 46,2º

17,35α = =

• Dirección:

11arccos 50,65º

17,35β = =

6arccos 110,2º

17,35γ − = =