Verificación de Firmas Manuscritas · firma manuscrita sobre un documento; ejemplos de tales...

Verificacion de Firmas Manuscritas

Ruben Dario Acosta Velasquez

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Matematicas

Bogota D.C., Colombia

Ano 2013

Verificacion de Firmas Manuscritas

Ruben Dario Acosta Velasquez

Tesis o trabajo de grado presentada(o) como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Magister en Ciencias Matematica Aplicada

Director(a):

Doctor, Jorge Mauricio Ruiz Vera

Lınea de Investigacion:

Procesamiento de imagenes y Simulacion numerica

Grupo de Investigacion:

Matematica Aplicada

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Matematicas

Bogota D.C., Colombia

2013

A mi madre

En general, el exito de este trabajo esta dedicado

a todas aquellas personas que de alguna forma

me apoyaron en este proceso, que confıan en mi

y con los cuales espero compartir este logro.

Dedicado

A mis padres

No es el conocimiento, sino el acto de aprendi-

zaje; y no la posesion, sino el acto de llegar a

ella, lo que concede el mayor disfrute.

Carl Friedrich Gauss

Agradecimientos

Con la culminacion de este trabajo soy consciente de que es el inicio de nuevos procesos y

retos, en los cuales espero seguir contando con el apoyo de muchas de las personas que me han

acompanado a lo largo de mis estudios y que de alguna forma comparten mi gusto por ello. A

mis padres que fueron dotados de la paciencia para lidiar con mi educacion, a mis hermanas

porque son unas mujeres carinosas y comprensivas, a mi sobrino que me recuerda mi ninez,

a mi novia Margarita Robles y mis amigos, especialmente a Diana Ferrucho y Fabian Roldan

por acompanarme de cerca en todo el proceso y por el apoyo que me brindaron; ademas, un

agradecimiento especial a mis dos amigos y hermanos Leonardo Andres Espinosa y Fernando

Benavides y al profesor Jorge Mauricio Ruiz Vera por permitirme su paciencia y conocimiento

en el desarrollo y escritura de este trabajo y muchas otras personas a las cuales quisiera

dedicar un espacio de agradecimiento porque aunque ha sido poco el tiempo que al momento

he compartido con ellos ha sido motivador, entre ellos a Reinaldo Torres por brindarme su

amistad y preocupacion constante, a Edwin Munoz y Diego Fonseca, a la guıa prestada por

la Universidad Nacional de Colombia y en general a todos aquellos que me apoyan.

ix

Resumen

El desarrollo de la humanidad ha traıdo consigo la implementacion de sistemas que permiten

verificar la identidad de una persona analizando varios rasgos biometricos tales como las

retinas, huellas dactilares, rostro u otros. Para el uso de tales metodologıas se requiere de la

presencia fısica del firmante; a diferencia de los requeridos si la informacion a verificar es una

firma manuscrita sobre un documento; ejemplos de tales situaciones son los actuales casos

de falsificacion de firmas dados en Interbolsa en 2012 y la recoleccion de firmas manuscritas,

iniciada el 2 de enero de 2013 para la revocatoria del alcalde Petro.

En el presente trabajo se desarrolla un modelo matematico para la verificacion de firmas

basado en tecnicas de optimizacion dinamica y transformada de Radon. Basicamente se

presentan dos clases de analisis, con un pre-procesamiento previo basado en tratamiento

de imagenes digitales. El primer analisis consiste en comparar una firma registrada contra

una firmante entrante y esto con el algoritmo (DTW) Dynamic Time Wrapping que per-

mite encontrar similitudes entre series dependientes del tiempo. Para el segundo analisis se

calcula la Transformada de Radon de cada una de las firmas tal que el resultado son los

diferentes perfiles de la firma tomados a diferentes angulos, donde seguidamente se realiza

la comparacion entre perfiles de forma que permita establecer un criterio de discriminacion

de firmas.

Los resultados numericos se obtuvieron usando un conjunto de firmas, que entre otras, nos

permitira analisis posteriores.

Palabras clave: Firma Manuscrita, Sistema de Verificacion, Algoritmo, DTW, Trans-

formada, Radon, Biometrıa, Morfologıa de imagenes.

Abstract

Day by day the human beings have developed systems that allow verifying a person’s identity

just analyzing several biometric features such as retinas, fingertips, face and others. In order

to use these methodologies we require the physical presence of the individual; however,

there are problems related to identity verification when the only available information is a

handwritten signature on a document. Examples of such situations are the current signature

forgeries cases in Colombia like the Interbolsa brokerage, firm scandal and the request to

revoke Petro’s mandate to govern Bogota, by collecting signatures.

In the work presented here, we develop a mathematical model for signature verification

based on techniques of dynamic optimization and Radon Transform. Basically, we perform

two kinds of analysis after pre-processing a digital image of a signature. The first analysis

is ”to compare”the test signature against an incoming signature through Dynamic Time

Wrapping algorithm (DTW) to determine a similarity cost between them. For the second

x

analysis the Radon Transform of each signature is computed, the results are several signature

profiles from different angles; then, a comparison between profiles is performed that allow

us to establish a signature discrimination criteria. Numerical results are presented using a

database of signatures. The results of this study could be used as a questioned document

examination tool.

Keywords: Handwritten Signature, Verification System, Algorithm, DTW, Transform,

Radon, Biometrics, Morphology Images.

Contenido

Agradecimientos VII

Resumen IX

1. Introduccion 2

1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Biometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Firmas Manuscritas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Verificacion de Firmas On-line y Off-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5. Tipos de Falsificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6. Modelos Generativos y Discriminativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Pre-procesamiento de la Firma 6

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Sistemas on-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Sistemas off-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Normalizacion de Firmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.1. Binarizacion de la firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.2. Esqueletizacion de la firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.3. Obtencion de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.4. Normalizacion en tamano y posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Comparacion de Firmas 26

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. DTW (Dynamic Time Warping) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3. DTW en la Comparacion de Firmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Transformada de Radon 31

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2. Transformada en dos Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Contenido 1

4.3. Transformada Discreta de Radon (DRT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1. Transformada de Radon Clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.2. Definicion de la Transformada de Radon Discreta . . . . . . . . . . . 37

4.4. Transformada de Radon en el Procesamiento de Firmas . . . . . . . . . . . . 38

5. Sistemas de Verificacion 40

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2. Captura de Firmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3. Comparacion de Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3.1. Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4. Comparacion Basada en Transformada de Radon . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4.1. Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6. Conclusiones y recomendaciones 58

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2. Recomendaciones y Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Bibliografıa 60

1 Introduccion

1.1. Antecedentes

En diversas actividades que realizamos a diario se nos exige, por un lado, identificarnos (decir

quienes somos) y por otro lado verificar nuestra identidad, es decir, dar una prueba de que

en realidad somos quienes en determinado momento aseguramos ser, por lo que usualmente

se implementan una variedad de metodologıas de identificacion que van desde la retencion

de documentos de identificacion, la creacion de tarjetas de seguridad, firmas manuscritas

en libros de registro, pasando por registros fotograficos, hasta el uso de rasgos biometricos

entre los cuales cuentan el reconocimiento de huellas dactilares, retina del ojo, registro de

voz, reconocimiento de rostro a partir de imagenes, entre otros. Todo esto se hace en pro de

salvaguardar la identidad e intereses de los miembros de una determinada organizacion y de

esta forma evitar acciones fraudulentas, como la falsificacion, que en parte son la causa del

desarrollo de tales practicas y en general de delitos como la suplantacion.

Una practica comun, relacionada con lo anterior consiste en el registro de firmas manuscritas,

para la validacion de identidad en entidades como por ejemplo la registradurıa, en el caso de

entidades estatales y bancos, en el caso de entidades privadas; para la validacion de transac-

ciones, como retiros de dinero y cobranza de cheques, y es tambien en estas practicas donde

se ha hecho comun la falsificacion de firmas y donde surge la necesidad de crear sistemas de

verificacion que permitan validar la identidad de un usuario, partiendo del registro de una fir-

ma entrante, posterior comparacion contra una base de datos de firmas registradas y analisis.

Debido a que varias de las actividades de verificacion se deben hacer en intervalos de tiempo

relativamente cortos (0 a 5 min) es necesario que los sistemas de verificacion requieran de poco

tiempo para el procesamiento y analisis, ademas de facil interpretacion de resultados. Algunos

casos famosos recientemente son: la recoleccion de firmas para pedir la revocatoria del al-

calde de Bogota Gustavo Petro http : //www.elespectador.com/noticias/bogota/apelaran−certificacion−de−firmas−revocatoria−de−petro−articulo−445063 y las trampas jurıdi-

cas (entre ellas la falsificacion de firmas) que se han empleado en la apropiacion de baldıos

http : //www.eltiempo.com/justicia/ARTICULO −WEB − NEWNOTAINTERIOR −12720277.html.

1.2 Biometrıa 3

1.2. Biometrıa

En la implementacion de sistemas de verificacion de identidad es comun el uso de sistemas

biometricos, que como su nombre lo sugiere, hacen referencia a caracterısticas cuantificables

de los seres humanos que permiten diferenciar una persona de otra. Se distinguen dos tipos

de biometrıa, la estatica que alude a las caracterısticas fısicas y la dinamica que alude a

caracterısticas de conducta (ver [18]). Entre las caracterısticas estaticas mas comunes se en-

cuentran la huella dactilar, iris, geometrıa de la mano, retina, rostro, entre otras. Entre las

dinamicas las mas comunes son, la voz, los gestos, el caminar, la escritura manuscrita, entre

otras (ver [2]). A diferencia de otros sistemas de verificacion con los sistemas biometricos

no existe la posibilidad de robo u olvido de claves, partiendo del supuesto que las carac-

terısticas consideradas son unicas para cada persona y son universales en el sentido que es

independiente de la locacion del usuario.

En los procesos biometricos se reconocen dos estados, a saber, estado de registro y estado

de verificacion, que comprenden las siguientes actividades:

Estado de Registro

Adquisicion de datos referencia

Extraccion de rasgos

Almacenamiento de patrones referencia

Estado de Verificacion

Adquisicion de datos

Extraccion de rasgos

Comparacion con patrones de referencia

Aceptacion o rechazo

Cada una de estas actividades, requiere de un arduo trabajo y procesamiento especıfico, que

se iran describiendo con mas precision a lo largo del trabajo.

1.3. Firmas Manuscritas

Una firma manuscrita corresponde, en general, a un trazo o grafico que un individuo escribe

a mano sobre una documentacion con el fin de conferir validez o de expresar conformidad.

Usualmente cada firmante desarrolla patrones en los trazos, que lo identifican y que permiten

reconocer una firma original de una falsificacion (ver [19]).

4 1 Introduccion

En diversas actividades humanas se han implementado sistemas que permiten realizar vali-

daciones de identidad a partir de firmas manuscritas, que requieren de conocimiento previo

de muestras originales de la misma, ya sea sobre documentos o firmas registradas a partir

de dispositivos electronicos.

1.4. Verificacion de Firmas On-line y Off-line

Los sistemas de verificacion de firmas estan basicamente categorizados en sistemas off-line

y sistemas on-line. Por un lado, los sistemas off-line se caracterizan porque los rasgos de

la firma se extraen de una imagen estatica sobre un papel, que usualmente es obtenida a

partir del escaneo o fotografıa de la misma sobre un documento que contiene dicha firma. Por

otro lado, los sistemas on-line requieren que el usuario registre la firma sobre una tableta de

digitalizacion, donde claramente se requiere de la presencia fısica del mismo, (ver [12, 10]).

Mientras que los sistemas off-line proveen informacion estatica de la firma, como su geo-

metrıa, (ver [11]); los sistemas on-line proporcionan informacion dinamica como la presion,

velocidad y angulo de captura, que aunque tiene en cuenta mas caracterısticas, ademas de

la geometrıa, tiene el limitante, como ya se comento, de requerir necesariamente de la pre-

sencia fısica del usuario, por lo que puede resultar no tan practico en la autenticacion de

documentos [14].

1.5. Tipos de Falsificaciones

Dentro de los experimentos y analisis que se han efectuado a lo largo del trabajo, es impor-

tante aclarar el tipo de informacion que se considera a lo largo del mismo. Ası, se tiene varios

tipos de firmas; las que denominaremos firmas originales y que refieren a firmas registradas

por un usuario, y firmas falsas o falsificaciones que clasificaremos en tres tipologıas; la

primera, corresponde a las falsificaciones entrenadas que a su vez se subdivide en otras

dos tipologıas, falsificaciones entrenadas profesionales y falsificaciones entrenadas

amateur, las primeras refieren a falsificaciones hechas por personas con “experticia”, cono-

cimiento de la firma original y tiempo de entrenamiento de la misma; las segundas refieren a

falsificaciones hechas por personas que sin tener experticia, tienen conocimiento de la firma

original y la posibilidad de entrenamiento en la falsificacion. La segunda tipologıa alude a

falsificaciones casuales o falsificaciones sin entrenamiento, que como su nombre lo in-

dica reune falsificaciones efectuadas solo con conocimiento de la firma, pero sin la posibilidad

de algun tipo de entrenamiento previo y la tercera tipologıa corresponde a falsificaciones

inesperadas, es decir, en las cuales no se tiene conocimiento de la firma si no solamente del

nombre del usuario.

Las falsificaciones entrenadas profesionales usualmente son difıciles de reconocer tanto para

sistemas de verificacion como para peritos humanos, por lo que el sistema desarrollado esta

1.6 Modelos Generativos y Discriminativos 5

disenado para maximo detectar falsificaciones entrenadas amateur.

1.6. Modelos Generativos y Discriminativos

En la literatura se encuentra una diversidad de modelos de reconocimiento de firmas, que

podemos clasificar en dos tipos de modelos, conocidos como modelos generativos y modelos

discriminativos (ver [5, 23]). Los modelos generativos mas conocidos son Hidden Markov

Models (HMMs) (ver [9, 21]), Gaussian Mixture Models (GMMs) y Naive Bayesian Models, y

los modelos discrimimativos mas usuales son Support Vector Machines (SVMs), Conditional

Random Fields (CRFs) y Neural Networks (NNs) (ver [1, 8, 29]).

La diferencia entre modelos discriminativos y generativos radica basicamente en que, por

un lado, los primeros son completamente probabilısticos para todas sus variables, mientras

que por otro lado, los segundos, modelan la probabilidad condicional de la variable objeti-

vo dadas las variables observadas. El entrenamiento de un modelo discriminativo requiere,

por lo tanto, de dos clases a clasificar, una de muestras originales y otra de falsificaciones,

usando un criterio de clasificacion que permita detectar una falsificacion entrenada amateur.

Los modelos generativos solamente requieren de una muestra de firmas originales para ser

entrenados.

1.7. Objetivos

1.7.1. Objetivo general

Verificar si una firma manuscrita es falsa o no, a partir de una base de firmas registradas.

1.7.2. Objetivos especıficos

Proponer y analizar un modelo de verificacion de firmas basado en tecnicas de proyec-

cion y tomografıa axial computarizada.

Analisis de un metodo de optimizacion que permita determinar la distancia entre dos

firmas.

Establecer metodos matematicos para la captura y pre-procesamiento de firmas.

Implementar un algoritmo que verifique firmas manuscritas, basado en los analisis

anteriores.

Analisis de resultados del modelo propuesto a partir de firmas reales y establecer

criterios de rechazo o aceptacion de una firma como.

2 Pre-procesamiento de la Firma

2.1. Introduccion

En el pre-procesamiento de firmas se distinguen dos tipos de captura, el primero, conocido

como captura on-line o de sistemas on-line, y el segundo como captura off-line o de

sistemas off-line. Los primeros hacen referencia a una captura en la cual el firmante debe

estar presente y registrar su firma mediante una tableta de digitalizacion, mientras que en

los segundos no es necesaria la presencia fısica del firmante, por lo que usualmente se tiene

la firma, sobre algun tipo de documento, como una imagen. En los dos casos es necesario

efectuar una extraccion de rasgos que permita un analisis y posterior comparacion de las

firmas.

2.2. Sistemas on-line

Como ya se indico anteriormente, los sistemas on-line exigen la presencia fısica del firmante

y ademas un dispositivo que permita la captura y digitalizacion de la firma. Tales dispositivos

estan disenados como tableros, para registrar varios rasgos a medida que se escribe sobre

este. De las caracterısticas mas comunes a tener en cuenta son: las coordenadas x e y de

cada uno de los puntos que el dispositivo toma en un muestreo, la presion que ejerce el lapiz

sobre el tablero en cada uno de los puntos, el angulo de incliacion entre el esfero y el tablero,

tambien en cada punto, y por ultimo la rapidez que lleva en cada uno de los puntos. Dicha

informacion se puede representar en una matriz de la siguiente forma

x1 x2 x3 . . . xn

y1 y2 p3 . . . ynp1 p2 p3 . . . pnθ1 θ2 θ3 . . . θnv1 v2 v3 . . . vn

.

Donde xi, yi, pi, θi y vi representan las coordenadas x e y, la presion, el angulo de inclinacion

del esfero y la rapidez, en el punto i−esimo respectivamente, y n representa el numero de

puntos registrados durante el muestreo; ası, cada una de las firmas se registra como un

conjunto de puntos discretos que se pueden someter a analisis.

2.3 Sistemas off-line 7

Figura 2-1: Tablero de Digitalizacion.

2.3. Sistemas off-line

A diferencia de los sistemas on-line, los sistemas off-line no requieren de la presencia

fısica del firmante, ni de un tablero de digitalizacion que permitan la captura de la firma,

ademas, facilitan el analisis de firmas sobre documentos fısicos, a partir de una imagen,

claro esta, a diferencia de los sistemas on-line donde la firma se captura de manera “casi

automatica”, los sistemas off-line requieren de un pre-procesamiento extra en cuanto a su

digitalizacion se refiere. La firma es ingresada como una imagen, que sera interpretada como

una matriz, a la cual se le aplicaran procedimientos hasta obtener la firma como una matriz

de la siguiente forma

A =

[x1 x2 x3 · · · xn

y1 y2 y3 · · · yn

],

donde la primera y segunda fila contienen las abcisas y ordenadas del grafo de la firma,

respectivamente.

Dichos procedimientos obedecen a operaciones de morfologıa de imagenes y transformaciones

geometricas que permitiran una posterior comparacion de firmas.

8 2 Pre-procesamiento de la Firma

Figura 2-2: Documento Firmado.

2.4. Normalizacion de Firmas

Como un primer objetivo del pre-proceso reconoceremos que dado que la firma puede estar

en cualquier color o en escala de grises, se efectuara una binarizacion, que traduce la ma-

triz(firma) a una escala de pixeles “blancos”y “negros”. Para este fin se propone un valor

umbral que de acuerdo a una intensidad I determinada, clasifique en dos conjuntos. Si las

intensidades de los pixeles es mayor a I se consideraran blancos y menor a I se consideraran

negros. En el anterior proceso se eliminan algunos pixeles aislados de la firma, que pueden

aparecer en el proceso de escaneo, o manchas que pueden considerarse no tan relevantes, que

estan sobre la superficie en donde se encuentra la firma, que se supondra como un primer

filtrado de ruido de la firma digitalizada. Como un segundo objetivo del pre-procesamiento

se obtendra el “esqueleto”de la firma y para este fin, utilizaremos funciones de morfologıa de

imagenes, especıficamente una funcion de esqueletizacion y ası tener un trazo de un pixel de

grosor. Terminado dicho pre-proceso se obtendran las firmas como matrices de informacion

donde sus componentes son 1 y 0, las coordenadas de cada una de las componentes de la fir-

ma en la matriz seran analogas a coordenadas de puntos en el plano cartesiano. Por ultimo y

como un tercer objetivo se extraeran y obtendran dos vectores de informacion que contienen

las coordenadas de x y y de la firma; una interpolacion por splines cubicos de tales puntos

dara de nuevo como resultado el grafo de la firma.

2.4 Normalizacion de Firmas 9

Figura 2-3: Firma Original Escaneada

Consideremos dos firmas S y T , una firma del sistema que de antemano se tiene certeza que

es verdadera S y una firma “entrante” T , que se quiere verificar si es una falsificacion de

S o una firma original, es decir, si procede del firmante cuya firma esta registrada. Es de

considerar que la firma entrante T puede no ser del mismo tamano, ni estar en la misma

posicion, ni estar a la misma inclinacion de la firma registrada S; ası que esto implica otro pre-

proceso que permita trasladarla, rotarla y escalarla de tal forma que tales transformaciones

no marquen diferencias determinantes al comparar la nueva firma (trasladada, rotada y

escalada T ′) con la firma registrada S. Para efectos practicos consideraremos que T = T ′,

ası, con el pre-proceso expuesto anteriormente obtenemos Sx, Sy, Tx y Ty que corresponden

a las componentes en x y y de cada una de las firmas respectivamente.

Figura 2-4: Firma Entrante a Verificar

2.4.1. Binarizacion de la firma

La firma ingresa al sistema como una imagen que esta en color o en escala de grises, en

caso de estar a color se transforma a escala de grises, utilizando operaciones de morfologıa


de imagenes como la erosion, dilatacion, apertura, cerradura, entre otras (ver [24]). Seguida-

mente utilizamos una funcion de binarizacion con un umbral de intensidad igual a 0,8 que

permite convertir pixeles con una intensidad superior al umbral establecido con el valor de

1 (blancos) e inferior al umbral establecido con el valor de 0 (negros). Luego la matriz final

que se obtiene, es una matriz cuyas componentes corresponden a 1 y 0 y de esta forma se

elimina parte del ruido de la imagen.

Figura 2-5: Firma Entrante Redimensionalizada

Figura 2-6: Firma Entrante Binarizada

2.4.2. Esqueletizacion de la firma

Para obtener la firma como un grafo de un “pixel”de grosor recurriremos a la morfologıa de

imagenes.


Figura 2-7: Firma Entrante Esqueletizada

Figura 2-8: Firma Entrante Esqueletizada 2

Especıficamente a una funcion de esqueletizacion de imagenes que se define por medio de

otras funciones mas basicas. En el estudio de la morfologıa de imagenes el lenguaje es la

teorıa de conjuntos y por tanto una imagen esta representada por un conjunto, por ejemplo,

en imagenes binarias los conjuntos en cuestion son subconjuntos del espacio Z2 donde cada

elemento del subconjunto es una dupla (x, y) cuyas coordenadas representan coordenadas

de pixeles en la imagen. Las operaciones que se presentaran son operaciones binarias donde

uno de los conjuntos lo denotaremos como B y se conoce como elemento estructural, este

conjunto no necesariamente es el mismo en todos los casos y depende mas de lo que se quiera

obtener.


Figura 2-9: Operaciones Logicas Entre Imagenes Binarias

Figura 2-10: Ejemplo de un elemento estructural

A continuacion definiremos algunos conceptos previos y operaciones de morfologıa que uti-

lizaremos para efectos de nuestros intereses.


Definicion 1 La reflexion de un conjunto B se denota por B y se define como

B = {w/w = −b, para b ∈ B}.

Si B es el conjunto de pixeles que representan un objeto en una imagen, entonces B es el

conjunto de puntos cuyas coordenadas son reemplazadas por (−x,−y).

Figura 2-11: Reflexion del Conjunto B

Definicion 2 La traslacion de un conjunto B por un punto z = (z1, z2), se denota por (B)zy esta definido como

(B)z = {c/c = b+ z, para b ∈ B}.

Si B es el conjunto de pixeles que representan un objeto en una imagen, entonces (B)z es el

conjunto de puntos en B cuyas coordenadas (x, y) se reemplazan por (x+ z1, y + z2).

Figura 2-12: Traslacion del Conjunto A


Definicion 3 Sean A y B conjuntos de Z2, la dilatacion de A por B se denota como A⊕B

y esta definida como:

A⊕B = {z/(B)z ∩ A = ∅}

o

A⊕B = {z/[(B)z ∩ A] ⊆ ∅}

Figura 2-13: Dilatacion


Figura 2-14: Dilatacion con dos elementos estructurales diferentes

Definicion 4 Sean A y B conjuntos de Z2, la erosion de A por B se denota por A ⊖ B y

esta definida como:

A⊖B = {z/(B)z ⊆ A}

o

A⊖B = {z/(B)z ∩ Ac = ∅}


Figura 2-15: Erosion

Figura 2-16: Erosion con dos elementos estructurales diferentes

A partir de estas operaciones basicas, definimos otras dos, conocidas como apertura (opening)

y clausura (closing).


Definicion 5 (Apertura) La apertura de un conjunto A por un elemento estructural B,

se denota por A ◦B y esta definida como:

A ◦B = (A⊖B)⊕B

Figura 2-17: Apertura

Definicion 6 (Cerradura) La cerradura de un conjunto A por un elemento estructural B,

se denota por A •B y esta definida como:

A •B = (A⊕B)⊖B

Figura 2-18: Cerradura


Por ultimo, mostraremos una definicion de esqueletizacion y su funcionalidad en el adelga-

zamiento de firmas.

Definicion 7 Sea A una imagen y B un elemento estructural, entonces, la esqueletizacion

de A puede ser expresada en terminos de las operaciones de erosion y apertura, ası:

S(A) =k∪

k=0

Sk(A),

donde

Sk(A) = (A⊖ kB)− (A⊖ kB) ◦B,

donde B es el elemento estructural, y (A⊖ kB) indica k erosiones sucesivas de A

(A⊖ kB) = ((. . . ((A⊖B)⊖B)⊖ . . .)⊖B),

k veces, con K el ultimo paso de iteracion antes de que A sea un conjunto vacio

K = max{k/(A⊖ kB) = ∅}.

Como resultado de la esqueletizacion la firma quedara representada graficamente como un

trazo de un pixel de grosor y en terminos de matrices, como una matriz que contiene 0

(“Pixeles negros”) y 1 (“Pixeles blancos”)

Figura 2-19: Esqueletizacion


Figura 2-20: Imagen en grises-Binarizacion-Esqueletizacion

2.4.3. Obtencion de coordenadas

Dado el resultado del proceso de esqueletizacion, es de nuestro interes hacer el reconocimiento

de las coordenadas, es decir, la posicion columna-fila para cada uno de los pixeles que hacen

parte del trazo de la firma y esto en pro de obtener una representacion de esta en el plano.

Ası, los valores de las columnas quedaran identificados con los valores de las abscisas en el eje

X y los valores de las filas se identificaran con las ordenadas en el eje Y . De esta forma, dada

la firma S, representada como una matriz, extraemos las respectivas coordenadas Sx, Sy, que

corresponden a la posicion i, j del pixel dentro de la matriz, por lo tanto, las j conforman

una sucesion que contiene las abscisas y las i una sucesion que contiene las ordenadas de

cada pixel. Como un ejercicio de verificacion se puede comprobar que al graficar los puntos

sobre un plano, se obtiene nuevamente el trazo de la firma en cuestion y por ultimo es de

resaltar que esta representacion es ventajosa en los procesos de escalamiento y comparacion

de las firmas.


Figura 2-21: Coordenadas en X de la firma registrada

Figura 2-22: Coordenadas en Y de la firma registrada


2.4.4. Normalizacion en tamano y posicion

El supuesto inicial es que la firma que se considera como “original”, y la firma cuya veracidad

queremos comprobar, se encuentran en un mismo plano, pero no necesariamente estan sobre

los mismos ejes, o alineadas y tambien pueden no estar a la misma escala; lo que nos lleva a

tener que trasladarlas, rotarlas y dilatarlas o reducirlas, (ver [15, 26]).

Figura 2-23: Firmas en Diferentes Posiciones

Traslaciones

Consideremos la firma S y los vectores Sx, Sy, que representan las coordenadas en x y y

respectivamente y ademas supongamos que S no se encuentra centrada en el origen. Nuestro

objetivo consiste en mover la firma S al origen del plano reconociendo un vector de traslacion

que permita llevarla allı, esto se logra calculando el centro de masa de la firma y considerando

el vector cuyo punto inicial es el origen y punto final es el centro de masa, luego tenemos

que el centro de masa corresponde al punto

z =

(1

n

n∑i=1

xi,1

n

n∑i=1

yi

)= (xz, yz),

donde xz y yz representan los promedios de las componentes en x y y.


Ahora definamos S ′ a la matriz cuyos elementos son (xi − xz, yi − yz) para todo i = 1, ..., n,

que representan a cada punto traslado, esto es

S ′ =

[x1 − xz x2 − xz x3 − xz · · · xn − xz

y1 − yz y2 − yz y3 − yz · · · yn − yz

].

Donde xi = xi − xz, yi = yi − yz para i = 1, ..., n y S ′ respresenta la firma centrada en el

origen del plano.

Figura 2-24: Firma Trasladada

Escalamiento

Para el escalamiento haremos uso del concepto de normalizacion de vectores, que aparece

naturalmente en el algebra lineal. Definiremos para ello el coeficiente

D′ =

√√√√ n∑i=1

xi2 + yi

2

que se puede interpretar como la norma de un vector y asumiendo que la firma es un vector,

entonces, 1D′S representa un vector paralelo y como el interes es obtener una respresentacion

a la misma escala de cada una de las firmas entrantes, ello esta dado por

1

D′

[x1 − xz x2 − xz x3 − xz · · · xn − xz

y1 − yz y2 − yz y3 − yz · · · yn − yz

].


Figura 2-25: Firma Escalada

Rotaciones

Consideremos la matriz de rotaciones dada por

R =

[cos θ − sin θ

sin θ cos θ

].

Dentro de la teorıa del algebra lineal, es sabido que dicha matriz permite la rotacion de un

vector de R2, θ radianes, manteniendo como invariante su longitud.

Conocido esto, consideremos una matriz de rotaciones que nos permite tener, a la misma

inclinacion, las dos firmas a comparar. La pregunta inmediata que surge es: ¿a que angulo θ

se debe rotar cada firma? Para ello calcularemos el angulo entre ellas considerando P , Q y

D coeficientes, que llamaremos coeficientes de normalizacion.

P =n∑

i=1

xiai + yibi

Q =n∑

i=1

xibi − yiai

D =

√√√√(P 2 +Q2)n∑

i=1

(x2i + y2i )


Donde xi = xi − xz, yi = yi − yz, D =√P 2 +Q2D′ y ai, bi son las coordenadas en x e

y, respectivamente, de la firma registrada. Entonces las coordenadas para cada una de las

firmas trasladas, rotadas y escaladas, corresponde a

S ′ =

[Xi

Yi

]=

1

D

[P −Q

Q P

] [xi

yi

].

Nota: para tener claridad sobre los coeficientes P y Q tengamos en cuenta que cos θ = u·v∥u∥∥v∥

y ∥u× v∥ = ∥u∥∥v∥ sin θ respectivamente.

Figura 2-26: Firma Entrante


Figura 2-27: Firma Entrante Rotada

3 Comparacion de Firmas

3.1. Introduccion

Del pre-proceso anterior se obtiene como resultado que las firmas se encuentren centradas

en el punto (0, 0), escaladas y rotadas al mismo angulo, esto, tanto para la firma T cuya

originalidad se quiere comprobar como para la firma registrada S y cuya originalidad se

asume. Nuestro objetivo ahora es identificar si la firma T corresponde a una firma genuina o

a una falsificacion y para ello se propone examinar las firmas “punto a punto”, comparando

Sx con Tx y Sy con Ty. Para tal comparacion se supone cada vector de coordenadas como

una sucesion dependiente del tiempo, que en nuestro caso practico equivale a un subındice

tal que Sx = {Sx(i)\i = 1, ..., n} y Tx = {Tx(j)\j = 1, ...,m}, analogamente para Sy, Ty,

donde n y m son enteros positivos no necesariamente iguales. Por las caracterısticas ante-

riormente propuestas se sugiere la implementacion del algoritmo DTW que presentaremos a

continuacion.

3.2. DTW (Dynamic Time Warping)

DTW es una tecnica de Programacion Dinamica que permite encontrar una “alineacion

optima” entre dos sucesiones (dependientes del tiempo), bajo ciertas restricciones. Usual-

mente se utiliza en la comparacion de patrones de voz en discursos, en minerıa de datos, en

recuperacion de informacion y en general en la deteccion de formas similares de sucesiones

con diferentes fases (ver [7, 20, 25, 27]).

Dadas dos sucesiones X := (x1, x2, . . . , xN) con N ∈ N y Y = (y1, y2, . . . , yM) con M ∈ N,que pueden ser sucesiones de rasgos muestreadas en puntos equidistantes de tiempo. A

continuacion designamos un espacio de rasgos o caracterısticas denotado por F y entonces

xn, ym ∈ F, para n ∈ [1 : N ] y m ∈ [1 : M ]. Para comparar dos rasgos x, y ∈ F se requiere

de una medida de costo local, que en ocasiones tambien se conoce como medida de distancia

local y que se define como

c : F× F −→ R≥0.

Intuitivamente podrıamos decir que la distancia es pequena si x y y son “mas” parecidas y la

distancia sera mayor si son diferentes. Evaluando la medida de costo local para cada par de

elementos de las sucesiones X y Y se obtiene la matriz de costos C ∈ RN×M definida como

3.2 DTW (Dynamic Time Warping) 27

C(n,m) := c(xn, ym). Dicha funcion de distancia es comunmente conocida como funcion

de costo y el objetivo principal es encontrar una alineacion optima, esto es, minimizar el

costo, entre las sucesiones. El algoritmo inicia con la construccion de la matriz de costos

C ∈ RN×M , tal que, cada elemento de la matriz representa las distancias entre cada par de

elementos de X y Y , ası:

C ∈ RN×M : cij = d(xi, yj), i ∈ [1 : N ], j ∈ [1 : M ].

El camino optimo se obtendra a traves de la matriz de costos iniciando en el elemento que

se encuentra en la posicion (1, 1) y finalizando en la posicion (N,M). La siguiente definicion

formaliza la nocion de alineamiento.

Definicion 8 Un (N,M)-camino es una sucesion p = (p1, p2, ..., pL) con pl = (nl,ml) ∈ [1 :

N ]× [1 : M ] para l ∈ [1 : L] que satisface las siguientes tres condiciones:

Condicion de frontera: p1 = (1, 1) y pL = (N,M).

Condicion de monotonicidad: n1 ≤ n2 ≤ . . . ≤ nL y m1 ≤ m2 ≤ . . . ≤ mL.

Condicion de tamano de paso: pl+1 − pl ∈ {(1, 0), (0, 1), (1, 1)} para l ∈ [1 : L− 1].

Un (N,M) − camino p = (p1, p2, ..., pL) define un alineamiento entre dos sucesiones X =

(x1, x2, ..., xN) y Y = (y1, y2, ..., yM) asignando los elementos xnlde X a los elementos yml

de Y . La condicion de frontera reafirma que los primeros y ultimos elementos de X y Y se

corresponden respectivamente. La condicion de monotonicidad muestra que si un elemento

de X precede a un segundo elemento, entonces, sucedera lo mismo con sus correspondientes

en Y y finalmente el tamano de paso muestra que todos los pares contenidos en un camino,

son pares diferentes.

El costo total cp(X, Y ) de un camino p entre X y Y con respecto a la medida de costo local

c esta definida como:

cp(X,Y ) :=L∑l=1

c(xnl, yml

).

Ademas, un camino optimo entre X y Y , es un camino p∗ que tiene el costo mınimo de todos

los posibles caminos. Entonces la distancia DTW, DTW (X,Y ), entre X y Y esta definida

como el costo total de p∗:

DTW (X, Y ) := cp∗(X,Y ) = mın{cp(X,Y )/p es un (N,M)− camino}.

Para definir un camino optimo p∗ se podrıan explorar todos los posibles caminos entre X

y Y , pero tal procedimiento tendrıa una complejidad computacional exponencial. Ası que

usaremos un algoritmo de orden O(NM) basado en programacion dinamica y para este fin

28 3 Comparacion de Firmas

definimos la sucesiones de prefijos X(1 : n) := (x1, x2, ..., ) para n ∈ [1 : N ] y Y (1 : m) :=

(y1, y2, ..., ym) para m ∈ [1 : M ] y el conjunto

D(n,m) := DTW (X(1 : n), Y (1,m))

Los valores D(n,m) definen una matriz D de tamano N × M , que refiere la matriz de

costos acumulados y D(N,M) = DTW (X,Y ). En adelante, una dupla (n,m) representa

una entrada de la matriz de costos C o de la matriz de costos acumulados D. El siguiente

teorema muestra como D puede ser calculada eficientemente.

Teorema 1 La matriz de costos acumulados D satisface las siguientes identidades: D(n, 1) =∑nk=1 c(xk, y1) para n ∈ [1 : N ], D(1,m) =

∑mk=1 c(x1, yk) para m ∈ [1 : M ], y

D(n,m) = mın{D(n− 1,m− 1), D(n− 1,m), D(n,m− 1)}+ c(xn, ym)

para 1 < n ≤ N y 1 < m ≤ M . En particular, DTW (X,Y ) = D(N,M) puede ser calculada

con O(NM) operaciones.

Demostracion 1 Sea m = 1 y n ∈ [1 : N ]. Entonces existe solo un posible camino en-

tre Y (1, 1) y X(1, n) que tiene un costo total de∑n

k=1 c(xk, y1) que equivale a D(n, 1). De

manera similar se obtiene la ecuacion para D(1,m). Ahora, sea n > 1 y m > 1 y sea

q = (q1, q2, ..., qL−1, qL) un camino optimo para X(1 : n) y Y (1 : m), entonces, la condicion

de frontera implica que qL = (n,m). Suponiendo (a, b) = qL−1, la condicion de tamano de

paso implica que (a, b) ∈ {(n − 1,m − 1), (n − 1,m), (n,m − 1)}. Ademas de esto se sigue

que (q1, ..., qL−1) debe ser un camino optimo para X(1 : a) y Y (1 : b), de otra forma, q no

seria optimo para X(1 : n) y Y (1 : m). Dado que D(n,m) = c(q1, ..., qL−1)(X(1 : a), Y (1 :

b)) + c(xn, ym), la optimalidad de q implica que D(n,m) = mın{D(n − 1,m − 1), D(n −1,m), D(n,m− 1)}+ c(xn, ym).

Notese que D puede ser calculada en una unica columna, donde el calculo de la m− esima

columna solo requiere los valores de la (m−1)− esima columna y esto implica que si solo se

esta interesado en el valor DTW (X, Y ) = D(N,M), el almacenamiento requerido es O(N),

de manera similar si el calculo se hace sobre una unica fila, se obtiene O(M). Sin embargo

el tiempo requerido en nuestro caso es O(NM).

3.3. DTW en la Comparacion de Firmas

Dadas dos firmas S y T pre-procesadas, las comparaciones se efectuan entre Sx, Tx y Sy,

Ty respectivamente, donde cada una de estas es una sucesion dependiente de un ındice, por

ejemplo, Sx = Sx(1 : n) y Sy = Sy(1 : m). La caracterıstica especıfica a considerar es, las

coordenadas de los puntos de la muestra que conforman cada una de las firmas, seguidamente

3.3 DTW en la Comparacion de Firmas 29

se efectua la construccion de la matriz de costos C que requiere de la definicion de una

“funcion de distancia”que para nuestro caso es la funcion de distancia Euclıdea:

cij = d(xi, yj) = (xi − yj)2.

Ejemplo: Consideremos las sucesiones

Xtest = (2, 0, 3, 1, 1, 2, 1) y Xinp = (2, 1, 3, 0, 1, 1)

Figura 3-1: Series 1 y 2

La matriz de costos C correspondiente a la comparacion de las sucesiones es:

C =

0 1 1 4 1 1

4 1 9 0 1 1

1 4 0 9 4 4

1 0 4 1 0 0

1 0 4 1 0 0

0 1 1 4 1 1

1 0 4 1 0 0

.

La matriz de costos acumulados D corresponde a

D =

0 1 2 6 7 8

4 1 10 2 3 4

5 5 1 10 6 7

6 5 5 2 2 2

7 5 9 3 2 2

7 6 6 7 3 3

8 6 10 7 3 3

,

30 3 Comparacion de Firmas

donde el elemento D(7, 6) = 3 corresponde al costo mınimo entre las dos sucesiones y el

camino optimo es p = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (7, 6)}.

Figura 3-2: Comparacion entre series 1 y 2

Dada esta informacion, se obtiene la matriz de costos C, la matriz de costos acumulados D

y el costo mınimo entre cada par de sucesiones.

4 Transformada de Radon

4.1. Introduccion

Existe un problema comun a varias areas del conocimiento, conocido como el problema

de la reconstruccion, que consiste basicamente en como determinar la estructura interna

o alguna propiedad de la estructura interna de un objeto, sin comprometer su estructura

fısica, es decir, sin generar cortes, roturas o algun tipo de dano (ver [6, 28]). Varias de las

investigaciones que se han adelantado incluyen el uso de rayos X, rayos gamma, luz visible,

microondas, electrones, protones, neutrones y senales de resonancia magnetica nuclear, para

el estudio no solo de objetos de gran tamano si no tambien para el estudio de estructuras

moleculares, pasando por el estudio del cuerpo humano y esto por medio del desarrollo de

la tomografıa axial computarizada. Todas estas aplicaciones encuentran su fundamento en

el desarrollo de la Transformada de Radon, propuesta por el matematico hungaro Johann

Radon en 1917.

Con el desarrollo de la electronica son muchas las areas de la ciencia donde ha cobrado

importancia, entre las cuales se cuentan los avances en medicina con el desarrollo de la

tomografıa axial computarizada y los ultrasonidos entre otros; en la astronomıa, la optica,

analisis de stress, geofısica y otras areas, esto gracias a la implementacion tanto del concepto

como de la algoritmia que presupone el calculo de la transformada. Ası, intuitivamente,

podemos considerar alguna caracterıstica relacionada con la distribucion de masa interna de

un objeto, como por ejemplo la densidad y este en interaccion con algun tipo de onda permite

detectar una distribucion proyectada o un perfil de dicho objeto. En muchas ocasiones la

propiedad interna del objeto puede identificarse o ser aproximada por alguna funcion f y el

perfil puede ser identificado o aproximado por la Transformada de Radon de f , cada perfil

esta identificado con una muestra de la transformada y el conocimiento de todos los perfiles

constituye el conocimiento de toda la transformada.

De lo anterior suponemos que el objeto en estudio es cada una de las firmas y dado nuestro

interes en hacer un reconocimiento de la “configuracion” de la misma, abordamos dicho

problema haciendo uso de la transformada.

32 4 Transformada de Radon

4.2. Transformada en dos Dimensiones

Sea (x, y) un punto en el plano y f una funcion definida arbitrariamente sobre algun dominio

D de R2 y sea ademas L una lınea en el plano, entonces, definiremos la proyeccion o lınea

integral de f a lo largo de todas las posibles lıneas L como transformada de Radon, asumiendo

que la integral existe. Explıcitamente tenemos.

f = Rf =

∫L

f(x, y)ds.

Donde ds es un incremento de longitud a lo largo de L. El dominio D puede incluir todo el

plano o alguna region de este. Radon mostro que si f es continua y tiene soporte compacto,

entonces Rf esta unıvocamente determinada por la integral a lo largo de todas las lıneas L.

4.2 Transformada en dos Dimensiones 33

Figura 4-1: Dominio D

.

Donde la ecuacion de la lınea L esta dada en forma normal por

p = x cosϕ+ y sinϕ.

La lınea integral en la Figura 4-1 depende de los valores de p y ϕ lo cual se hace explıcito

escribiendo

f(p, ϕ) = Rf =

∫L

f(x, y)ds.


Si f(p, ϕ) es conocido para todos los p y ϕ, entonces f(p, ϕ) es la transformada de Radon en

dos dimensiones de f(x, y); si f es conocida solo para ciertos valores de p y ϕ diremos que

se tiene una muestra de la transformada.

Introduciendo un nuevo sistema de coordenadas con ejes rotados un angulo ϕ. Si los nuevos

ejes estan marcados por p y s como en la Figura 4-2, entonces tenemos

x = p cosϕ− s sinϕ

y = p sinϕ+ s cosϕ.


Reemplazando

f(p, ϕ) =

∫ ∞

−∞f(p cosϕ− s sinϕ, p sinϕ+ s cosϕ)ds.

Por supuesto, los lımites son finitos, si f no esta definida fuera del dominio D.

Otra forma de obtener el mismo resultado, consiste en recurrir a la notacion vectorial

x = (x, y) para un vector con componentes x y y, entonces f(x) es equivalente a f(x, y)

e introduciendo los vectores unitarios,

4.2 Transformada en dos Dimensiones 35

ξ = (cosϕ, sinϕ)

y

ξ⊥ = (− sinϕ, cosϕ).


como indica la Figura 4-3

Ahora, podemos considerar un parametro t de tal forma que x = pξ + tξ⊥ y en terminos de

las nuevas variables la anterior formula se puede escribir como

f(p, ξ) =

∫ ∞

−∞f(pξ + tξ⊥)dt.

La notacion f(p, ξ) y f(p, ϕ) pueden ser usadas indistintamente dependiendo de lo que se

quiera enfatizar.

Finalmente se introducira otra forma que permite escribir la formula como una integral

doble. Observemos que


p = ξ · x = x cosϕ+ y sinϕ.

Entonces la transformada puede ser escrita como una integral sobre R2 e introduciendo la

funcion Delta de Dirac se obtiene:

f(p, ξ) =

∫ ∫R2

f(x)δ(p− ξ · x)dxdy.

Aunque esta sea la forma deseada, con una modificacion mas de notacion, en lugar de dxdy

escribimos simplemente dx e indicamos la integral sobre todo el espacio por el sımbolo∫en

vez de∫ ∫

R2 y con dichas modificaciones obtenemos.

f(p, ξ) =

∫f(x)δ(p− ξ · x)dx

Es de notar que la direccion del vector unitario ξ se define en terminos del angulo ϕ. Dado que

ξ es un vector unitario caracterizado por ϕ, f esta definida sobre un cilindro semi-infinito,

esto debido a que los valores de f en (−p, ϕ) y (p, ϕ + π) son los mismos. Es importante

observar que en el espacio xy, para un angulo ϕ la variable p cambia a lo largo de una

direccion definida por ϕ. En el espacio de la transformada ϕ define la direccion asociada con

una posicion dada. Supongamos que se mantienen constante mientras p varia, entonces los

puntos (p, ϕ) definen una lınea sobre el cilindro. El numero real asociado con cada punto a

lo largo de la lınea y el conjunto de puntos definen un perfil fϕ(p).

4.3. Transformada Discreta de Radon (DRT)

Es necesario realizar un calculo discreto de la transformada, dada la naturaleza de la in-

formacion que se esta trabajando y la necesidad de una implementacion computacional,

para lo cual se considera la Transformada Discreta de Radon (DRT) por sus siglas en ingles

[15, 16, 17].

4.3.1. Transformada de Radon Clasica

Ya vimos previamente como se obtiene la transformada de Radon y una de sus representa-

ciones mas habituales. Ahora la Transformada de Radon de una funcion u de dos variables

es una funcion Ru definida sobre una familia de lıneas rectas [13], donde los valores de Ru es

la integral de linea de u a lo largo de cada una de las lıneas. Luego para representar cualquier

linea sobre un plano (t, q), tenemos

t = τ + pq,

donde τ y p son parametros y τ representa la interseccion de tiempo y p la pendiente, ası,

la funcion u(t, q) representa un objeto y la Transformada de Radon para este caso es

4.3 Transformada Discreta de Radon (DRT) 37

(Ru)(τ, p) =

∫ +∞

−∞u(τ + pq, q)dq.

La formula de inversion de Radon puede ser escrita en notacion de operadores como

R∗KR = I,

dondeK es una operador uni-dimensional(filtro) yR∗ es la transformada dual. Dado v(τ, p) =

(Ru)(τ, p) y por la ecuacion anterior tenemos que u = R∗Kv y el operador de convolucion

esta dado por

(Ku)(τ, p) =

∫ +∞

−∞|f |v(f, p)e−2πifτdf,

donde

v(f, p) =

∫ +∞

−∞v(τ, p)e2πifτdτ.

La transformada dual R∗ se define como:

(R∗v)(t, q) =

∫ +∞

−∞v(t− pq, p)dp

que tambien es conocido como el operador de retro-proyeccion.

Sea u(t, q) una funcion que contiene 2L + 1 lıneas y u(t, ql), donde l = 0,±1, ...,±L. Asu-

miendo que q−L < q−L+1 < ... < qL−1 < qL aproximamos la integral (Ru)(τ, p) por:

(Ru)(τ, p) =l=L∑l=−L

u(τ + pql, ql)∆ql,

donde ∆ql = (ql+1 − ql−1)/2 para l = 0,±1, ...,±(L − 1) y ∆qL = qL − qL−1,∆q−L =

q−L+1−q−L. Para obtener un valor de la funcion u(τ+pql, ql) se podrıa utilizar interpolacion

en la primera variable de ser necesario. La implementacion numerica del operador R∗ es

completamente analoga a la formula anterior.

4.3.2. Definicion de la Transformada de Radon Discreta

Sea xl(n) un arreglo dos-dimensional, donde −L ≤ l ≤ L para un indice fijo l, xl(n) repre-

senta una senal discreta a la cual nos referiremos como una serie de tiempo trazo sismico.

Elejimos un numero impar de trazos (2L + 1) por conveniencia. Para un punto de tiempo

fijo n, n = 0, ..., N − 1 denotamos por x(n) el siguiente vector:


x(n) =

x−L(n)

...

x0(n)

...

xL(n)

.

Asumimos que x(n) esta definido para todos los enteros n y es una sucesion periodica con

periodo N ,

x(n+N) = x(n).

Suponiendo que todas las sucesiones consideradas son periodicas, tenemos la siguiente trans-

formada

y(n) =m=M∑m=−M

Rmx(n+m),

donde 2M + 1 ≤ N y Rm son matrices de tamano (2J + 1) × (2L + 1) que refieren a

transformadas, tal que y(n) denota una sucesion vector periodica, con periodo N

y(n) =

y−j(n)

...

y0(n)

...

yj(n)

,

donde yj(n) es una arreglo dos-dimensional con ındice j, −J ≤ j ≤ J , que representa

diferentes pendientes. El numero M es el numero de vectores vecinos a lado y lado del vector

entrante x(n) involucrado en el calculo del vector de salida y(n).

Definicion 9 Llamaremos Transformada de Radon Discreta a cualquier transformada de la

forma anteriormente nombrada.

La Definicion 9 es una definicion de una clase de transformadas mas que de una transformada.

4.4. Transformada de Radon en el Procesamiento de

Firmas

La transformada de Radon es obtenida cuando las proyecciones o perfiles de una imagen (o

matriz) son calculados para angulos igualmente distribuidos entreO◦ y 180◦. La transformada

es tambien una matriz, donde cada una de las columnas representa una proyeccion o perfil

de la imagen original en un determinado angulo (ver [3, 4, 22]).

4.4 Transformada de Radon en el Procesamiento de Firmas 39

Dada una imagen y suponiendo que consta de Ψ pixeles con intensidades Ii con i = 1, ...,Ψ

respectivamente, la Transformada de Radon se calcula usando Nφ rayos por angulo con NΘ

angulos en total. Las intensidades acumuladas de los pixeles por los que cruza el j − esimo

rayo es denotado por Rj con j = 1, ..., NφNΘ y es llamada la j − esima suma de rayos, ası,

en forma discreta la Transformada de Radon puede ser expresada como sigue

Rj =Ψ∑i=1

wijIi, j = 1, ..., NφNΘ.

Donde wij indica la contribucion del i − esimo pixel a la j − esima suma de rayos y son

encontrados calculando la distancia del segmento que cruza por el i− esimo pixel, donde la

diagonal principal del pixel equivale a uno.

Cada proyeccion por lo tanto contiene la suma de rayos que son calculados en un angulo

dado. La precision de la Transformada esta determinada por NΘ (numero de angulos), Nφ

(numero de rayos por angulo) y la precision en la medicion de cada wij.

Como ya es sabido, cada una de las firmas es ingresada al sistema como una imagen estatica

y comparada con firmas registradas que permiten establecer, con un cierto umbral, “que

tan parecidas son”, que se puede interpretar como que la firma entrante es original o no.

Basicamente, el sistema realiza una comparacion de firmas basado en la Transformada de

Radon de cada una de ellas, es decir, se calculan los perfiles de cada una de las firmas con

los mismos parametros NΘ y Nφ, para seguidamente efectuar la comparacion perfil a perfil

en cada uno de los angulos respectivos.

Cada perfil obtenido se puede considerar practicamente como una “senal”que guarda las

sumas de las intensidades por cada rayo en cada angulo, tal interpretacion permite comparar

cada senal angulo a angulo por medio del algoritmo DTW y de esta forma comparar cada

firma por medio del contraste entre proyecciones.

5 Sistemas de Verificacion

5.1. Introduccion

En el desarrollo teorico que hasta ahora se ha expuesto, se han presentado partes de lo que

comprende el proceso de verificacion, tanto lo que respecta al uso del algoritmo DTW [11]

para la comparacion de componentes en X y Y , como lo que respecta a la comparacion de

las proyecciones obtenidas a partir del calculo de la transformada de Radon de cada una de

las firmas. A continuacion se presenta un desarrollo mas exhaustivo de las dos metodologıas

propuestas para la verificacion de firmas y se pone a prueba haciendo uso de firmas obtenidas

de personas que dieron previa autorizacion para la manipulacion y falsificacion de su firma;

ver[14].

5.2. Captura de Firmas

Se pidio a cinco personas que practicaran su firma con el fin de obtener una muestra de cinco

firmas lo mas parecidas posible entre ellas y se registraron sobre papel de fondo blanco en

un espacio rectangular de 5cm× 11cm, con esfero negro, esto para completar 25 firmas que

denotaremos como originales; con las mismas caracterısticas de papel y esfero, se obtuvieron

falsificaciones divididas en tres grupos de la siguiente forma, cinco falsificaciones por cada

persona, donde el falsificador solo tenia conocimiento del nombre de dicha persona (falsifi-

caciones inesperadas); cinco falsificaciones por persona, donde el falsificador realizo la firma

a la primera vista de la firma original sin tener oportunidad de practica (falsificaciones sin

entrenamiento), y por ultimo, falsificaciones donde el falsificador tuvo previamente entre una

y dos semanas para practicar cada una de las firmas, para luego replicarlas y las denotaremos

como falsificaciones entrenadas amateur.

5.2 Captura de Firmas 41

Figura 5-1: Formato de Captura de Firmas

42 5 Sistemas de Verificacion

El anterior ejercicio permitio recopilar 100 firmas con las caracterısticas anteriormente ex-

puestas, que se resumen ası:

5 usuarios (5 firmantes)

5 firmas originales por usuario (25 firmas originales)

5 falsificaciones inesperadas por usuario (25 falsificaciones inesperadas)

5 falsificaciones sin entrenamiento por usuario (25 falsificaciones sin entrenamiento)

5 falsificaciones entrenadas amateur por usuario (25 falsificaciones entrenadas amateur)

Total de 100 firmas

Figura 5-2: Firma Original

Figura 5-3: Falsificacion Inesperada

5.2 Captura de Firmas 43

Figura 5-4: Falsificacion Sin Entrenamiento

Figura 5-5: Falsificacion Entrenada Amateur

Con las firmas obtenidas de usuarios y falsificadores, se procedio a digitalizar con impresora

multifuncional (funcion de escaner) Epson Stylus CX5600 y almacenar por usuario y tipo de

firma (original o clase de falsificacion). El resultado del procedimiento anterior son imagenes

digitales de las firmas con formato *.png sobre las cuales se inicia el pre-procesamiento.

En el pre-proceso se pueden reconocer dos fases, la primera enfocada al tratamiento de la

firma como una imagen y la segunda enfocada al tratamiento geometrico de la firma, es

decir, a su tamano, a su posicion respecto al origen y al angulo de giro respecto al eje X. Las

dos fases nombradas anteriormente hacen parte del sistema de verificacion, de comparacion

de componentes y del sistema de verificacion basado en Transformada de Radon.

Para los dos sistemas de verificacion se parte del pre-proceso de tratamiento de imagenes

con la firma como una imagen “redimensionalizada”y “esqueletizada”.


5.3. Comparacion de Componentes

Con la firma como un trazo de un pixel de grosor, lo que se obtiene en terminos de repre-

sentacion matricial, es una matriz de tamano 128× 128 tal que todas sus componentes son

1 o 0. El interes es identificar las posiciones, en la matriz, de cada pixel que conforman el

trazo, lo cual se hace en terminos de algoritmia extrayendo los valores de fila y columna para

cada pixel e ir registrando coordenadas de filas como coordenadas en Y y coordenadas de

columnas como coordenadas en X. Ası el arreglo

S =

[x1 x2 x3 · · · xn

y1 y2 y3 · · · yn

].

contiene coordenadas de pares de puntos de la firma. Seguidamente se aplica el pre-proceso

que consiste en escalar, trasladar y rotar para obtener firmas centradas en el origen, “de un

tamano estandar”y rotadas al mismo angulo. El mismo procedimiento es aplicado a la firma

que se quiere verificar con el fin, como ya se dijo, de tenerlas en las mismas condiciones para

la comparacion.

Dadas dos firmas S y T , pre-procesadas, donde S representa una firma registrada y T una

firma cuya originalidad se quiere verificar, de la extraccion de componentes de cada una de

ellas, se obtiene que:

SX =[a1 a2 a3 · · · an

], SY =

[b1 b2 b3 · · · bn

],

TX =[x1 x2 x3 · · · xm

], TY =

[y1 y2 y3 · · · ym

].

son los vectores de componentes en X y Y de cada una de las firmas a comparar. Como ya

se comento a lo largo del trabajo, el algoritmo de comparacion es el algoritmo DTW con la

distancia euclidiana; que se ejecuta sobre X y Y para obtener el costo respectivo en cada

componente y de esta forma obtener un criterio umbral de aceptacion de firmas originales.

5.3 Comparacion de Componentes 45

Figura 5-6: Coordenadas en X, SX de firma registrada (test) y Coordenadas en X, TX de

firma a verificar (inp)

Figura 5-7: Coordenadas en Y SY de firma registrada (test) y Coordenadas en Y TY de

firma a verificar (inp)


Figura 5-8: Comparacion de Coordenadas X

Figura 5-9: Comparacion de coordenadas en X


Figura 5-10: Comparacion de Coordenadas en Y

Figura 5-11: Comparacion de Coordenadas en Y


5.3.1. Experimentos

Se realizo la comparacion de firmas originales con firmas originales y firmas originales con

las respectivas falsificaciones, esto para cada una de las componentes X y Y obteniendo

un total de 125 comparaciones por componente por tipo de firma y 500 comparaciones por

componente, ademas se registraron los promedios para cada usuario por cada componente y

tipo de firma, los cuales se presentan a continuacion:

GEN: Representa las firmas originales.

FOR: Representa falsificaciones entrenadas.

NT: Representa falsificaciones no entrenadas pero conociendo previamente la firma.

SV: Representa falsificaciones en las cuales no se tiene conocimiento de la firma original.

Usuario 1 Costos Promedio

GEN vs GEN GEN vs FOR GEN vs NT GEN vs SV

Componentes X 0,014876148 0,007131314 0,057321891 0,064781229

Componentes Y 0,099727114 0,143221474 0,154894988 0,289568438



Componentes X 0,007672171 0,015199488 0,012132172 0,071876862

Componentes Y 0,018251309 0,016141658 0,029041123 0,359872445



Componentes X 0,01206367 0,015534301 0,014988728 0,144326709

Componentes Y 0,153479328 0,190644972 0,156610858 0,735396205



Componentes X 0,010688585 0,021155402 0,014224347 0,023069608

Componentes Y 0,056273501 0,081786417 0,09353762 0,106241198



Componentes X 0,011313342 0,031507358 0,029397265 0,033621405

Componentes Y 0,088037762 0,188277891 0,180245133 0,288759435


Para cada usuario y cada componente se registraron valores no necesariamente en los mismos

rangos, lo cual sugiere que el umbral de aceptacion debe ser diferente para cada uno y en este

caso el sistema requiere de un conjunto de firmas registradas, por persona, que le permita

entrenarse, ademas en los casos de los usuarios 1 y 2 una de las coordenadas presenta mas

“efectividad”que la otra, en el sentido que el costo promedio entre firmas originales es mayor

que el costo promedio entre originales y una tipologıa de falsa. Especıficamente, en el caso

del usuario 1 la comparacion en Y es mas efectiva, ya que el costo promedio en X entre

originales y falsas entrenadas es menor al costo promedio entre originales y en el caso del

usuario 2 la comparacion en X es mas efectiva, ya que el costo promedio en Y entre originales

y falsas entrenadas es menor al costo promedio entre originales.

Aunque uno de los promedios sea mayor que otro, no parece ser un argumento determinante

para afirmar que una de las componentes es mas efectiva que la otra y por lo tanto, pa-

ra obtener mas informacion se calcularon promedios por componente y tipo de firma, sin

discriminacion de usuario, de lo cual se obtuvo que:

Todos los Usuarios Costos Promedio


Componentes X 0,011322783 0,018105573 0,025612881 0,067535162

Componentes Y 0,083153803 0,124014482 0,122865944 0,355967544

El costo promedio de la comparacion de componentes de firmas originales es menor que el

costo promedio de la comparacion entre componentes de firmas originales y alguna tipologıa

de firma falsa, lo cual permite intuir que los valores de costos de comparaciones entre firmas

originales, para las dos componentes, son menores que los costos de comparaciones entre

originales y falsas. Por esto, se propone revisar algunas medidas de localizacion como los

percentiles de los costos de comparacion entre firmas originales, estableciendo en cada caso,

cuantas firmas originales acepta, es decir, reconoce que son originales y que porcentaje de

firmas falsas acepta, es decir, no reconoce que son falsas y esto ultimo para cada una las

tipologıas de falsas.


Figura 5-12: Porcentaje de aceptacion por percentil para X

Figura 5-13: Porcentaje de aceptacion por percentil para Y


Componente X

Percentil GEN Aceptadas FOR Aceptadas NT Aceptadas SV Aceptadas

5 0 0 0 0

10 0 0 0 0

15 0 0 0 0

20 25 1 0 0

25 31 3 2 0

30 38 4 6 1

35 44 10 7 3

40 50 29 24 11

45 56 34 36 16

50 62 48 42 21

55 69 50 46 23

60 75 52 46 26

65 81 63 54 33

70 87 66 60 41

75 93 71 63 46

80 100 81 73 56

85 106 89 79 59

90 112 106 89 68

95 118 110 100 73

99 124 123 113 91


Componente X

Percentil FOR Aceptadas NT Aceptadas SV Aceptadas

5 0% 0% 0%

10 0% 0% 0%

15 0% 0% 0%

20 0,8% 0% 0%

25 2,4% 1,6% 0%

30 3,2% 4,8% 0,8%

35 8% 5,6% 2,4%

40 23,2% 19,2% 8,8%

45 27,2% 28,8% 12,8%

50 38,4% 33,6% 16,8%

55 40% 36,8% 18,4%

60 41,6% 36,8% 20,8%

65 50,4% 43,2% 26,4%

70 52,8% 48% 32,8%

75 56,8% 50,4% 36,8%

80 64,8% 58,4% 44,8%

85 71,2% 63,2% 47,2%

90 84,8% 71,2% 54,4%

95 88% 80% 58,4%

99 98,4% 90,4% 72,8%


Componente Y

Percentil GEN Aceptadas FOR Aceptadas NT Aceptadas SV Aceptadas

5 0 0 0 0

10 0 0 0 0

15 0 0 0 0

20 25 0 0 0

25 31 6 1 0

30 38 25 15 5

35 44 25 21 5

40 50 25 24 5

45 56 27 26 6

50 62 32 31 10

55 69 35 33 11

60 75 48 40 16

65 81 56 43 17

70 87 58 49 20

75 93 68 66 24

80 100 76 73 32

85 106 83 88 37

90 112 92 99 42

95 118 112 115 54

99 124 125 125 93


Componente Y

Percentil FOR Aceptadas NT Aceptadas SV Aceptadas

5 0% 0% 0%

10 0% 0% 0%

15 0% 0% 0%

20 0% 0% 0%

25 4,8% 0,8% 0%

30 20% 12% 4%

35 20% 16,8% 4%

40 20% 19,2% 4%

45 21,6% 20,8% 4,8%

50 25,6% 24,8% 8%

55 28% 26,4% 8,8%

60 38,4% 32% 12,8%

65 44,8% 34,4% 13,6%

70 46,4% 39,2% 16%

75 54,4% 52,8% 19,2%

80 60,8% 58,4% 25,6%

85 66,4% 70,4% 29,6%

90 73,6% 79,2% 33,6%

95 89,6% 92% 43,2%

99 100% 100% 74,4%

En el caso de las dos componentes es de notar que en el percentil 25 se obtiene la ultima

aceptacion nula de firmas falsas y estas corresponden a falsificaciones que no tenıan cono-

cimiento de la firma original, aunque para la componente X, en el percentil 30 e incluso

el 35 los porcentajes de aceptacion de falsificaciones siguen siendo relativamente bajos en

comparacion con los porcentajes de aceptacion de falsificaciones en los mismos percentiles

para la componente Y . De igual forma se debe considerar que si se asumen tales porcentajes

como los umbrales de aceptacion, se estan rechazando el 75%, 70% y 65% de las firmas

originales, lo que limita al usuario a hacer pocas variaciones en la firma a verificar, con

respecto al conjunto de firmas registradas, ademas en la medida que se aumente el umbral

de aceptacion, por ejemplo, al percentil 60, se acepta maximo el 41,6% de las falsificaciones

entrenadas por la componente X y maximo el 38,4% de las falsificaciones entrenadas en la

componente Y , que ya corresponde a valores grandes de error.

5.4. Comparacion Basada en Transformada de Radon

Para la comparacion con Transformada de Radon, se aplica el mismo procedimiento de

tratamiento de imagenes al punto de obtener la firma esqueletizada, seguido por el pre-

5.4 Comparacion Basada en Transformada de Radon 55

proceso de escalar, rotar y trasladar. Se definen los parametros NΘ = 19 (numero de angulos)

y Nφ = 185 (numero de rayos), con los cuales se hace el calculo de la Transformada Discreta

de Radon, para la firma registrada y la firma cuya originalidad se quiere verificar y se

registran en matrices R y P de tamano Nφ × NΘ, donde cada una de las columnas de la

matriz representa la transformada o perfil en un angulo especifico. Es de resaltar que cada

una de las firmas se puede considerar como una funcion f(x, y), que representa los valores de

intensidad de la firma en cada punto (x, y) y que cada perfil registra la suma de los aportes

de intensidad en cada pixel dependiendo del angulo en el cual se realice el calculo.

Para cada una de las firmas se calculo la misma cantidad de proyecciones, en los mismos

angulos y se procedio a efectuar la comparacion proyeccion a proyeccion, utilizando el al-

goritmo DTW y ası obtener el costo entre cada una, definido como suma de costos y que

corresponde a la suma de los costos de cada una de las proyecciones en cada angulo.

5.4.1. Experimentos

Debido a que los costos entre firmas varıan en rangos diferentes, no es conveniente proponer

un umbral general basado en los valores obtenidos para un usuario, esto se observa en los

resultados obtenidos donde los costos entre dos firmas originales del usuario 1 es 2006.653664

mientras que entre dos firmas originales del usuario 3 es de 4408.265677. Con el objetivo de

proponer un criterio de aceptacion-rechazo consideraremos lo siguiente: i) calcular los costos

entre firmas originales, ii) calcular el promedio entre costos de firmas originales, iii) calcular

las razones entre costos de firmas originales, iv) calcular el promedio entre tales razones y v)

calcular la razon entre el costo de una firma original y una falsa, y el promedio de los costos

de firmas originales.

Para determinar lo anterior se proponen porcentajes de falsas rechazadas, falsas aceptadas

como si fuesen originales, originales rechazadas como si fuesen falsas y originales verificadas

como verdaderas.


Usuario 1 Usuario 2 Usuario 3 Usuario 4 Usuario 5

Promedios

de costos

entre firmas

originales

3090,215582 5701,308481 7127,362424 1989,580711 2658,736370

Tabla 5-1: Costo Promedio Por Usuario

La Tabla 5-1 permite evidenciar que, como se dijo anteriormente, el promedio de los costos

entre firmas originales de un mismo usuario no permite establecer un criterio de comparacion

general para cualquier firma debido a que, por ejemplo, el promedio del Usuario 3 serıa alto

para el resto de usuarios y el promedio del Usuario 4 es bajo para los otros usuarios. Por lo

tanto, se sugieren criterios umbral para cada una de las firmas. En la tabla anteriormente

citada estan los pasos i) y ii) hasta obtener el promedio de costos entre firmas originales.


Promedios de

razones entre

costos

1,05912156 1,90642998 1,03426763 1,01816508 1,04467234

Tabla 5-2: Razon Promedio Por Usuario

La Tabla 5-2 muestra los promedios de las razones entre costos de firmas originales para

cada usuario, exponiendo lo propuesto en los numerales iv) y v) y ademas sugiere valores

umbral para la aceptacion-rechazo de firmas.

A diferencia del Usuario 2, los valores promedio de las razones, son valores cercanos a 1, lo

cual se hace explıcito en el siguiente razonamiento. Los costos entre firmas originales de un

mismo usuario, intuitivamente, esperarıamos que fuesen cercanos a 0, lo cual se interpretarıa

como que efectivamente proceden de la misma persona y aunque esto no necesariamente

se da, los resultados obtenidos a partir de los costos entre firmas originales de un mismo

usuario, son valores “cercanos”entre si, y por tanto las razones entre dichos costos tienen

media cercana a uno con baja variabilidad, dados sus coeficientes de variacion (Tabla 5-3).


Coeficientes

de Variacion

Entre Costos

de Razones

0,392637939 1,101958123 0,313244328 0,187832157 0,251971446

Tabla 5-3: Coeficientes de Variacion

5.4 Comparacion Basada en Transformada de Radon 57

Es en este orden, que el promedio de costos entre firmas originales CG es utilizado para el

calculo de razones entre costos de firmas originales/falsas y firmas originales, ası obtenemos

el cociente,

C

CG

donde C representa el costo entre un par de firmas (original-original u original-falsa) y CG

representa el promedio de costos entre firmas originales. Dado que los costos no son valores

negativos, la razon no puede ser un valor negativo y ademas si C < CG se tiene que CCG

< 1,

que indica que el costo C calculado entre firmas es mas pequeno que el promedio y por tanto

se puede considerar la firma analizada como original. Para obtener un valor umbral que

no exija que necesariamente los costos sean mas pequenos que el promedio, se calculan las

razones entre los costos de firmas originales con firmas originales, esto es, dado un conjunto

de firmas originales FG = {F1, F2, ..., FN} con los respectivos costos entre ellas C(Fi, Fj) para

todo i, j = 1, 2, ..., N con i = j, obtenemos el conjunto RG de las razones entre costos de

firmas originales; donde su respectiva media es RG ≈ 1, luego si tenemos,

C(Fi, FI)

CG

≤ RG

para una firma FI a verificar, esta sera aceptada como una firma original.

Los resultados obtenidos corresponden a los porcentajes de aceptacion para cada una de las

tipologıas de cada uno de los usuarios.

Transformada de Radon

Usuario

Valor Um-

bral (Razon

Promedio)

GEN Acep-

tadas

FOR Acep-

tadas

NT Acepta-

das

SV Acepta-

das

1 1,05912156955 68% 28% 0% 0%

2 1,90642998409 76% 84% 80% 72%

3 1,03426763425 60% 52% 24% 8%

4 1,01816508893 68% 0% 0% 0%

5 1,04467234766 60% 48% 32% 0%

6 Conclusiones y recomendaciones

6.1. Conclusiones

Como se dijo anteriormente, los sistemas off-line permiten realizar verificaciones de firmas

impresas sobre documentos, por lo cual, resulta practico debido a que puede prestar gran

variedad de servicios en instituciones con actividades de validacion de documentos. Esto

requiere de implementar un sistema compuesto, que contenga sistemas con los cuales se

realicen diferentes reconocimientos de patrones caracterısticos de la firma con el fin de tener

un amplio espectro de analisis.

La descomposicion, por componentes X y Y , de cada una de las firmas resulto como algo

ventajoso debido, precisamente, a que permite tener las dos series para comparar, por lo cual

las diferencias que no se puedan detectar con una de las componentes pueden resaltarse con

la otra, ası, el valor umbral de comparacion, es un factor compuesto de los valores umbral

para cada una de las componentes, de tal forma que una firma es aceptada como genuina si

es verificada en sus componentes de X y Y .

A diferencia de la comparacion de componentes con el algoritmo DTW, la transformada de

Radon proporciona los perfiles de distribuciones de intensidades de la firma, a la cantidad

de angulos que se considere conveniente, con el fin de tener mas informacion acerca de la

misma y aunque se propuso un ındice de comparacion, se pueden establecer otras formas de

establecer una medida.

Se evidencio que no necesariamente alguna de las dos metodologıas tiene mas efectividad que

la otra, dados los porcentajes de aceptacion por usuario. Aunque es pertinente obtener resul-

tados a partir de una muestra mas grande de firmas, considerando que mas que un desarrollo

estadıstico sobre determinacion de umbrales de aceptacion-rechazo, el interes central fue la

implementacion de las metodologıas. Por los porcentajes de aceptacion de falsificaciones que

se tuvo con las dos metodologıas, se induce que se puede establecer la susceptibilidad, de

una determinada firma, a ser falsificada.

Para la implementacion de un sistema de verificacion practico, este debe constar de por lo

menos dos metodologıas que en lo posible generen diferentes tipos de analisis sobre la firma,

es decir, si la metodologıa de comparacion basada en DTW permite analizar la geometrıa

de la firma, la comparacion basada en transformada de Radon permite comparar los perfiles

de distribucion de puntos de la firma.

6.2 Recomendaciones y Trabajos Futuros 59

6.2. Recomendaciones y Trabajos Futuros

Se proponen principalmente dos recomendaciones que pueden dar origen a otros posibles

desarrollos y complementos practicos.

En pro de determinar un valor umbral “mas” preciso se propone construir una base de firmas

mas extensa, con el fin de proponer un analisis estadıstico mas exhaustivo.

En la diferenciacion entre sistemas on-line y off-line se comento acerca de la facilidad con

que los sistemas on-line permiten analizar variables que son de dificultad para analizar en

los sistemas off-line. Una de ellas corresponde a la presion que ejerce la punta del lapiz, en

general, sobre la superficie sobre la cual se firma mientras que en los sistemas on-line es una

variable que se captura de forma inmediata, en los sistemas off-line es una variable que podrıa

ser analizada examinando las intensidades de cada uno de los pixeles que corresponden a la

firma.

El trabajo fue aceptado como una presentacion oral en el International Conference on Applied

Mathematics and Informatics ICAMI 2013 en las tematicas de investigacion de operaciones,

optimizacion y aplicaciones.

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as preprocessing for signature verification. In 5th International Conference on Artificial

Neural Networks and Genetic Algorithms, 2001.

Verificación de Firmas Manuscritas · firma manuscrita sobre un documento; ejemplos de tales...

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