Veronica meneses 19256096
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO ―SANTIAGO MARIÑO‖ EXTENSIÓN MATURÍN TUTORIAL DE MATEMATICA III PARA EL CONTROL Y ESTUDIO DEL ESTUDIANTADO DEL INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO” EN MATURÍN ESTADO MONAGAS. Autor: Verónica Meneses Tutor: Ing. Jesús Coa Maturín, Agosto de 2014
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Tutorial Matematica III
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO ―SANTIAGO
MARIÑO‖
EXTENSIÓN MATURÍN
TUTORIAL DE MATEMATICA III PARA EL CONTROL Y ESTUDIO DEL
ESTUDIANTADO DEL INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO” EN MATURÍN ESTADO MONAGAS.
Autor: Verónica Meneses
Tutor: Ing. Jesús Coa
Maturín, Agosto de 2014
INDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………..
pp.
1
CAPÍTULO I I. EL PROBLEMA……………………………………………………………………
3
Contextualizacion del Problema……………………………………………………….. 3
Objetivos de la Investigación………………………………………………………….. 5
Objetivo General………………………………………………………………………. 5
Objetivos Específicos………………………………………………………………….. 6
Justificación de la Investigación………………………………………………………. 6
II. DESARROLLO
Antecedentes de la Investigación……………………………………………………… 9
Función de dos variables………………………………………………………………. 9
Método para hallar el dominio……………………………………………………………… 9
Método para hallar el Rango……………………………………………………………………. 10
Curvas de nivel…………………………………………………………………………... 11
Derivada parcia………………………………………………………………………… 14
Termodinámica………………………………………………………………………… 18
Diferencial total……………………………………………………………………….. 19
Representación………………………………………………………………………… 19
Derivada total………………………………………………………………………….. 20
Newton y Leibniz……………………………………………………………………… 23
Definición como cociente de diferencias……………………………………………… 26
Continuidad y diferenciabilidad……………………………………………………….. 27
Derivada de una función……………………………………………………………….. 29
Notación de Newton…………………………………………………………………… 30
Notación de Leibniz…………………………………………………………………… 31
Notación de Lagrange…………………………………………………………………. 32
Notación de Euler……………………………………………………………………… 33
Derivadas de funciones elementales…………………………………………………… 33
Reglas para encontrar la derivada……………………………………………………… 35
Extremos de una función de varias variables. Condiciones suficientes para la
existencia de extremos locales…………………………………………………………. 48
Condiciones suficientes para la existencia de extremos……………………………….. 49
Evaluación de curvas suaves…………………………………………………………... 66
Teorema de Stokes…………………………………………………………………….. 68
Formulación general…………………………………………………………………… 70
Teorema de Green……………………………………………………………………... 71
Sucesión………………………………………………………………………………... 72
Criterios de convergencia……………………………………………………………… 78
Condiciones de convergencia………………………………………………………….. 80
CONCLUSIONES…………………………………………………………………….. 83
REFERENCIA…………………………………………………………………………
84
INTRODUCCIÓN
La tecnología en los últimos años avanza día a día y cada vez exige estar
preparados y actualizados en cuanto a las innovaciones en el mundo de los sistemas
de información. Los aspectos de estos cubren desde la programación, base de datos y
la arquitectura del computador, que tienen como fin principal la automatización de
procedimientos que se realizan en empresas u organizaciones para agilizarlos y
mejorarlos.
Se debe considerar que un sistema de información. Es cualquier sistema o
subsistema de equipos de telecomunicaciones o computacional interconectados que
se utilizan para obtener, almacenar, manipular, administrar, mover, controlar,
desplegar, intercambiar, transmitir o recibir voz y/o datos, e incluye tanto los
programas de computación (―Software‖ y ―Fireware‖) como el equipo de cómputo.
El presente proyecto tiene como objetivo desarrollar un tutorial de matemática
III, el cual está conformado por un conjunto de actividades, que constituyen una
herramienta eficaz para el logro de las metas. De igual manera este tutorial traerá
beneficios como el mejoramiento del estudiantado y así mantener los procesos
organizados, ofreciéndoles mayor rapidez y facilidad en la manipulación de la
información, para mantener la eficiencia.
La investigación consta de dos (2) capítulos:
En el capítulo I, se desarrolla la contextualización del problema, donde se
describe la problemática existente, además se trazan los objetivos generales y
específicos para lograr la meta propuesta, la justificación del estudio para obtener las
soluciones deseadas por la empresa. Capítulo II, se describe el desarrollo de este
estudio.
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CAPÍTULO I EL PROBLEMA
Contextualización del Problema
Durante los últimos años se han multiplicado los estudios tendentes a analizar
la información como factor esencial para la toma de decisiones en las empresas,
clave de las gestiones y eje conceptual sobre el que gravitan los sistemas de
información de la sociedad. Se considera que está, es un recurso que se encuentra al
mismo nivel que los bienes financieros, materiales y humanos, que hasta el momento
habían constituido los ejes sobre los cuales ha girado. Si la teoría económica
tradicional mantenía el capital, la tierra y el trabajo como elementos primarios de
estudio, la misma se ha convertido, ahora, en el cuarto recurso a gestionar.
Desde el punto de vista de la gestión empresarial, el conocimiento del entorno
en un mundo más complejo y cambiante origina una necesidad cada vez más
acuciante de información para la toma de decisiones, tanto para confrontar nuevos
mercados. El dominio externo, no debe hacer olvidar el control de los flujos internos
de información que la propia empresa genera derivado de su funcionamiento. Y,
finalmente, tampoco se debe olvidar la propia investigación que la instituciones
envía al exterior, que en algunos casos está regulada por factores legales.
Frecuentemente se ha utilizado el término informatización como sinónimo de
sistemas de información. Y aunque la mayoría de los autores están de acuerdo en
asumir que un sistema de información requiere un adecuado proceso de
informatización, lo que también está explicito, es que no se aplica en todos los casos,
la construcción de un sistema de información lleva aparejado el uso de tecnologías de
la información.
Sin embargo, se debe de contar que hoy en día cualquier sistema de
información, por pequeño que sea, requiere de unos mínimos procesos de
automatización; también parece adecuado señalar que las distintas aplicaciones
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informáticas que funcionan por separado impiden la adecuación de esté. Para que el
sistema de información, exista deberá contemplar el diseño de un sistema integrado
que relacione las informaciones generales por las diversas aplicaciones funcionales de
la empresa y que permita así, mejorar los procesos de toma de decisiones.
La automatización de los procesos es el objetivo fundamental para el
mejoramiento y optimización de los recursos, coadyuvando a las áreas de negocios
con herramientas gerenciales de administración y control del recurso humano. Las
evaluaciones informales, basadas en el trabajo diario, son necesarias pero
insuficientes, esto lleva a la necesidad de renovar el proceso de evaluación de
desempeño y se apoya en los sistemas de información a través de soluciones
automatizadas que contribuyan a mejorar el diseño y su aplicación alineados a los
requerimientos de la organización.
Se sabe que los sistemas que procesan información, además de constituir un
valioso e importante activo para las organizaciones, deben garantizar la confiabilidad
y veracidad del funcionamiento adecuado de las operaciones o procesos. Por otro lado
un sistema de planificación de metas, asesoría o revisiones continuas, evaluación del
desempeño y actuación bien diseñado e implementado, puede tener un impacto
motivacional en los evaluados, puede estimular el rendimiento desarrollar un sentido
de responsabilidad y aumentar el compromiso con la empresa a su vez permitirá
desarrollar y registrar de una manera rápida y confiable la información obtenida
durante las diferentes etapas de la evaluación de los trabajadores.
Actualmente en Venezuela existen un gran número de entes públicos o privados
que carecen de herramientas automatizadas que les permitan organizar los procesos, y
datos, así como obtener en el momento preciso la información que se solicite, de
igual manera no cuentan con confidencialidad y respaldo de los documentos que en
estos sitios se manejan. Existiendo una mala retroalimentación de parte de la internet
para el estudiantado que lo manipula existiendo redundancia y errores que se
presentan en la transcripción de los proyectos, lo cual genera poca confianza de los
resultados obtenidos sobre las actividades.
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Tomando en cuenta la problemática, la presente investigación se puede considerar
como un aporte para agilizar y mejorar el proceso de la institución y de sus
estudiantes diariamente creando un mejor rendimiento en sus actividades, además
ofrecerá respaldo he información inmediata en caso de emergencia. El propósito del
proyecto consiste en mantener la confiabilidad, validez y veracidad de los procesos de
investigación y realización de trabajos, informes, proyectos, tesis, entre otras, así
como minimizar las fallas en la ejecución tanto a nivel humano como material.
Objetivos de la Investigación
Objetivo General
Desarrollar tutorial de matemática III para el control y estudio del estudiantado del
Instituto Universitario Politécnico ―Santiago Mariño‖ en Maturín Estado Monagas.
.
Objetivo Específicos
Diseñar tutorial de matemática III para el control y estudio del estudiantado del
Instituto Universitario Politécnico ―Santiago Mariño" en Maturín Estado Monagas.
Justificación de la Investigación
La necesidad de evaluar a las personas ha existido en cualquier etapa de la
historia y en la vida de ellas. El empleo efectivo de una información veraz, oportuna y
exacta permitirá a estas instituciones a la toma de decisiones más acertada y por
consiguiente contribuye al éxito de la misma, tomando en consideración que los
tutoriales, son elementos determinantes para el logro de la eficiencia en las
organizaciones modernas.
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Se propone mantener la institución en un status alto cumpliendo con todos los
requerimientos establecidos por el sistema de información y recolección de datos, así
también mejorando la calidad y el servicio de la misma, haciendo de una manera
eficiente y segura los trabajos que se realizan en el instituto. Por este compromiso,
surge la iniciativa de proponer un modelo de Sistema de Información de Asistencia
que facilite el Proceso de estudio y a su vez, el mismo se interrelacione con los demás
subsistemas antes utilizados, con la finalidad de que todas las informaciones estén
almacenadas y actualizadas, para que la institución maneje de forma continua la
información y se oriente hacia el futuro en la toma de decisiones acertadas para
prever y resolver problemas.
Finalmente se considera que el desarrollo de la investigación permite
incrementar la articulación operativa de sus componentes, al proponer un esquema
funcional articulado fundamentado en los procesos y no en las funciones, lo cual
incidirá en el aumento de su eficiencia, se logró tener una visión de conjunto de los
procedimientos y actividades, como se vinculan y fluye la información a través de los
diferentes entes, lo cual permitió la detección temprana de cualquier desviación en el
logro de los objetivos establecidos.
CAPÍTULO II
MARCO REFERENCIAL
Función de dos variables
Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada
pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.
El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un
número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que
corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.
Una función de dos variables se denota usualmente con la notación
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z = f (x, y)
Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable
dependiente.
La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas
(x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).
Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.
En consecuencia, la grafica de una función f de dos variables es una superficie que
consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas
están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el
dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado
(x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular
al plano x,y puede intersectar a la grafica de f en mas de un punto.
Ejemplo ilustrativo 1
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La función f del ejemplo 1 es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P,
z) tales que z=v25- x2 -y2
Por tanto, la grafica de f es la semiesfera en el plano x y por arriba de este cuyo
centro es el origen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestra en la figura 1.
Ejemplo 2: dibuje la grafica de la función
Sol/: la grafica de f es la superficie que tiene la ecuación z=x2 +y2 . La traza de la
superficie en el plano x,y se obtiene al utilizar la ecuación z=0 simultáneamente con
la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x2 +y2=0 la cual representa el origen.
Las trazas en los planos xz y yz se obtiene al emplear las ecuaciones z=x2 +y2. Estos
trazos son las parábolas z= x2 y z= y2.
Funciones de varias variables
El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta que,
en general, cualquier situación o fenómeno requiere de más de una variable para su
precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un cilindro depende del radio de la
base y de su altura; la posición de un móvil en un momento determinado requiere
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para su exacta especiación, además del tiempo, de las tres coordenadas espaciales. Si
adicionalmente se requiere la velocidad a la cual se desplaza, tendremos una función
vectorial f que a cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le
asigna la velocidad
V del móvil en ese punto y en ese instante:
f(x; y; z; t) = v
Observamos entonces que de acuerdo con la situación especifica que queramos
describir, requerimos el tipo de función adecuada. Según si el dominio D y el rango R
son subconjuntos de R; R2 o R3 las funciones se clasifican de la siguiente forma:
Función Nombre
En cada caso, donde aparece R3 lo podemos sustituir por R2 y el nombre se conserva.
Las denominaciones escalar o vectorial se refieren a si la imagen de la función es un
numero o es un vector.
Ejemplo: la función g está definida por
g (x, y, z) = x2+y2-z
entonces el paraboloide circular z= x2+y2, mostrado en la figura, es la superficie de
nivel de g en 0. La superficie de nivel de g en el numero k tiene la ecuación z + k =
x2 + y2 , un paraboloide circular cuyo vértice es el punto (0,0 –k) sobre el eje z. en al
figura muestra las superficies de nivel para k igual a -4,-2, 0, 2 y 4
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Ejemplo: Supongamos que tenemos una placa metálica de grandes dimensiones.
La temperatura (en grados centígrados) de la placa es función de las coordenadas de
cada uno de sus puntos y viene dada por:
T(x, y) = 500 - 0,6x2 - 1,5y2
Representación grafica de la función T(x, y)
Método para hallar el dominio
Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos el comportamiento de (x). Al
hacer este despeje podemos considerar tres casos:
i. La (x) hace parte del denominador de una fracción. Dé un ejemplo.R: Sea la
relación R = {(x, y) / 2xy - 3y - 5 = 0} definida en los Reales.
ii. Despejar(y)
¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de cero?
R/:
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Cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en el denominador al
despejar (y).R: Si al despejar (y) en una expresión (en una relación), encontramos que
la (x) hace parte del denominador de una fracción, entonces para determinar el
dominio de dicha relación hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y
se despeja la (x).
Método para hallar el Rango
Como ya se dijo el rango es el conjunto formado por aquellos elementos del conjunto
de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Para
encontrar el Rango de una relación en los reales, despejamos (x), analizamos el
comportamiento de (y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para encontrar el
dominio.
o Sea la relación R = {(x, y) / 3x2 + 4y2 = 12}, para ésta hallar el dominio y rango.Con
sólo observar la ecuación diga ¿qué clase de relación real representa? ¿Por qué?
R: Representa una elipse. Porque los coeficientes de x2 y de y2 son positivos y
diferentes.
Hallar el dominio.
Vemos que la (x) hace parte de un radical par
Solucionamos una desigualdad cuadrática
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Hallar el rango.R:
La "y" hace parte de un radical par. Por lo tanto:
Curvas de nivel
Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica
de dicha función corresponde al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)): (X, y) ,¬ Dom (f)}.
Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio.
Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la
intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k ,¬ Recorrido (f). De esta
manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva
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de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k. Al proyectar dicha intersección en el
plano
x,y, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.
Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaña, el estudio de las
curvas de nivel corresponde a lo que acontece de manera análoga cuando dicha
montaña es representada en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan
los contornos de dicha montaña indicando cual es la altura en las coordenadas (x,
y) de dicho contorno.
Ejemplo 1. Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel
correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k y tomando k = 0 la curva de
nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que
corresponde únicamente al punto (0, 0))
Sea g(x, y) = vxy la media geométrica de los números x e y. La curva de nivel 4 está
formada por todos los pares de ordenados (x, y), la media geométrica de los cuales es
4.
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Por ejemplo, (4, 4), (2, 8) y (8, 2) están todos sobre esta curva de nivel. A
continuación mostramos la gráfica de vxy y sus curvas de nivel en el plano xy.
Consideramos ahora la función f(x, y) = x2 + y2. La curva de nivel 4 está formada
por
todos los pares (x, y) que cumplen:
f (x, y) = x2 + y2 = 4.
Puede que algunos de vosotros hayáis visto antes que la ecuación describe la
circunferencia de radio 2(2 =v4) centrada en el origen de coordenadas.
A continuación mostramos la gráfica de x2 + y2, así como diferentes curvas de nivel
de la función.
Así pues, podemos resumir:
Dada una función f con dominio en R2 y un número cualquiera c, la curva de
nivel c de la función f está formada por el conjunto de puntos que satisfacen f(x1, x2)
= c.
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Derivada parcial
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es
su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes.
Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con
cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:
Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud es función de diversas variables ( , , , ), es decir:
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente
de la recta tangente a dicha función en un punto dado. Esta recta es paralela al
plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el
eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función
en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del
gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
Introducción
Supongamos que es una función de más de una variable, es decir una función real
de variable vectorial. Para el caso,
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Un gráfico de z = x2
+ xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3)
que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.
Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de
líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de
elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más
interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.
Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.
Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar
las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo,
para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el
eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y =
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1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el
plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la
pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que
escribimos:
en el punto (1, 1, 3),
o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."
Ejemplos
El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)
Considera el volumen V de un cono, este depende de la altura h del cono y su
radio r de acuerdo con la fórmula
Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:
Otro ejemplo, dada la función tal que:
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la derivada parcial de respecto de es:
mientras que con respecto de es:
Definición formal
Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como
el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn
y f : U → R una función.
Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto a la i-
ésima variable xi como:
O visto respecto a la derivada direccional:
donde es el vector unitario del eje respecto al que se deriva ( ).
Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no
necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas
parciales existenalrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es
continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C1.
Notación
Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.
Derivadas parciales de primer orden:
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Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:
Derivadas cruzadas de segundo orden:
Termodinámica
En termodinámica y otras áreas de la física se emplea la siguiente notación:
Que significa que y entonces:
Esta notación se usa porque frecuentemente una magnitud puede expresarse como
función de diferentes variables por lo que en general:
Ya que la forma precisa de las funciones y es diferente, es
decir, se trata de funciones diferentes.
Derivadas parciales de orden superior
A su vez, la derivada parcial puede verse como otra función definida en U y
derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas,
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llamamos a funa función C2; en este caso, las derivadas parciales
(llamadas parciales) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también
conocido como teorema de Schwarz.
En R2, si se cumple lo ya dicho, se asegura que:
Diferencial total
En matemática, el diferencial total de una función real de varias variables reales
corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes
(coeficientes) son los del gradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y
puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de
dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por
ejemplo, si una función diferenciable entonces el diferencial total de z
es:
Representación
En cálculo vectorial, el diferencial total de una función se puede
representar de la siguiente manera:
20
donde f es una función .
Derivada total
La derivada total viene de derivar una función f que tiene variables (x, y, z) que
dependen de otras variables x = x(t), y = y(t), z = z(t). En ese caso, se puede derivar la
función respecto a t, y se obtiene que:
donde x' es la derivada respecto a t de x, al igual que y', z'.
Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se
deriva una función del tipo que es fundamental para el cálculo de
variaciones, donde aquí la variable x depende del
tiempo Entonces derivar respecto al tiempo queda
Ejemplo 1
Una función senc
Ejemplo 2
Un ejemplo algo más complejo y más ilustrativo podría
ser en ese caso, la derivada total es
21
Derivada
La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta
tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está
dibujada en verde).
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que
cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable
independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula
como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo,
cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más
pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto
dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa
la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho
objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y
las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar
viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En
particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese
tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por
ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez
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menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las
15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse
geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la
mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de
derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con
la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo
valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada
por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación,
y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida
como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la
derivada se denomina cálculo diferencial.1
Índice
Historia de la derivada
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a
plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se
encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el
siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le
dieron origen:
El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo
diferencial.
Siglo XVII
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Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los
infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos,
empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del
cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas
para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros
darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
Newton y Leibniz
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus
predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas
para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos
eran inversos (teorema fundamental del cálculo).
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En
1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el
descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su
cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de
fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el
tiempo.
Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el
primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años
antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como
un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su
correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.
Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres
de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada y
el símbolo de la integral ∫.
Conceptos y aplicaciones
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El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo
infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están
relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos
centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa
las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica,
del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo
Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos
casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de
una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios
de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y
la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se
considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto
Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia
entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se
transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden
determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales
como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por
ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente
vertical, una discontinuidad o unpunto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de
las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es
una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable),
son aproximables linealmente.
Definiciones de derivada
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Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.
En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una
cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto
como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula
determina las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos
vendría representado en el punto de lafunción por el resultado de la división
representada por la relación , que como puede comprobarse en la gráfica, es un
valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la
tangente en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo
rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo
dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el
mismo.
26
Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el
acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la
izquierda de manera simultánea.
Definición como cociente de diferencias
Recta secante entre f(x) y f(x+h).
La derivada de una función es la pendiente geométrica de la recta tangente del
gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar
directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente
se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea
tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más
pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes
de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea
tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas
secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número
relativamente pequeño. Representa un cambio relativamente pequeño en , el cual
puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos
puntos y es:
.
27
Inclinación de la secante de la curva y=f(x).
Expresión denominada «cociente de Newton».2
La derivada de en es entonces el límite del valor del cociente diferencial,
conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
.
Si la derivada de existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de
como la función cuyo valor en cada punto es la derivada de en .
Puesto que sustituir por 0 produce una división por cero, calcular directamente la
derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el
numerador, de manera que se pueda cancelar la del denominador. Y eso es posible
fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es
incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría
de las funciones simples.
Continuidad y diferenciabilidad
Una condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un
punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la
cual pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente
produce pequeños incrementos en el valor de dicha función, de manera que
.
28
Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacen más
pequeñas; cuando estos se aproximan a cero, en el límite,
Con lo que se obtiene, f(x)=y. Para un punto particular a, quiere decir que
, y si este último límite existe significa en consecuencia por un
teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son
iguales) que toda función f(x) que cumpla con
es continua en el punto a. Como consecuencia lógica, toda función derivable en el
intervalo abierto I, es continua en I.
Condición no recíproca
La función valor absoluto no tiene derivada en el punto (0,0).
La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su
derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean iguales pero las derivadas
laterales no; en este caso concreto, la función presenta un punto anguloso en dicho
punto.
Un ejemplo — recurrente en la literatura usual — puede ser la función valor
absoluto (también llamada módulo) en el punto . Dicha función se expresa:
29
Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el
resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las
derivadas resultan:
Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no
existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.
De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o
tiene saltos, no es derivable. Sin embargo, la función y=x|x|es diferenciable para todo
x. Hállese su función derivada. En otros términos, que una función sea continua es
una condición necesaria para que dicha función sea diferenciable. (Ver "Análisis
matemático" de Apóstol)
Derivada de una función
Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se
tiene que la derivada de la función f en el punto se define como sigue:
,
si este límite existe, de lo contrario, , la derivada, no está definida. Esta última
expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme
acelerado en cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada
como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el
cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de
acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son
consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede
apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.
También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier
punto de su dominio de la siguiente manera:
30
,
La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la
tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de
este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento
uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con
cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo
resultado.
Ejemplo
Sea la función cuadrática f(x)= x2
definida para todo x perteneciente a los reales. Se
trata de calcular la derivada de esta función para todo punto x ∈ R — puesto que es
continua en todos los puntos de su dominio —, mediante el límite de su cociente de
diferencias de Newton. Así,
Notación
Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe
la derivada de la función respecto al valor en varios modos.
Notación de Newton
La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto
arriba del nombre de la función:
31
y así sucesivamente.
Se lee «punto » o « punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin
embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras
notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa.
Se usa para definir la derivada temporal de una variable.
Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para
derivadas que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales
como velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Usualmente solo se emplea para las primeras y segundas derivadas.
Notación de Leibniz
Otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función
derivada de , se escribe:
También puede encontrarse como , ó . Se lee «derivada de
( ó de ) con respecto a ». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada
de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.
Con esta notación, se puede escribir la derivada de en el punto de dos modos
diferentes:
Si , se puede escribir la derivada como
Las derivadas sucesivas se expresan como
32
o
Para la enésima derivada de o de respectivamente. Históricamente, esto viene del
hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es
La cual se puede escribir como
La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de
diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación
parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d»
parecen cancelarse simbólicamente:
En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no
pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos
solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no estándar,
no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.
Ciertamente, Leibnitz (sí) consideró la derivada dy/dx como el cociente de dos
«infinitésimos» dy y dx, llamados «diferenciales». Estos infinitésimos no eran
números sino cantidades más pequeños que cualquier número positivo 3
.
Notación de Lagrange
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para
identificar las derivadas de en el punto , se escribe:
para la primera derivada,
para la segunda derivada,
33
para la tercera derivada,
para la enésima derivada ( ). (También se pueden usar números
romanos).
Se lee «efe prima de equis» para la primera derivada, «efe dos prima de equis» para la
segunda derivada, etc. Para la función derivada de en , se escribe . De
modo parecido, para la segunda derivada de en , se escribe , y así
sucesivamente.
Notación de Euler
o (Notaciones de Euler y Jacobi, respectivamente)
se lee « sub de », y los símbolos D y ∂ deben entenderse como operadores
diferenciales.
Cálculo de la derivada [editar · editar código]
La derivada de una función, en principio, puede ser calculada de la definición,
mediante el cociente de diferencias, y después calcular su límite. En la práctica,
únicamente las derivadas de unas pocas funciones son conocidas, las derivadas de
otras funciones son fáciles de calcular utilizando reglas para obtener derivadas de
funciones más complicadas de otras más simples.
Derivadas de funciones elementales
La mayor parte de los cálculos de derivadas requieren tomar eventualmente la
derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona
algunas de las más frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas.
Derivada de potencias: si
donde r es cualquier número real, entonces
34
Donde quiera que esta función sea definida. Por ejemplo, si , entonces
y la función derivada es definida sólo para números positivos x, no para x = 0.
Cuando r = 0, esta regla implica que f′(x) es cero para x ≠ 0, lo que la convierte en la
regla de la constante (expuesta abajo).
Funciones exponenciales y logarítmicas:
funciones trigonométricas:
Funciones trigonométricas inversas:
35
Reglas para encontrar la derivada
En muchos casos, el cálculo de límites complicados mediante la aplicación directa del
cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicación de reglas
de diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes:
Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces
Regla de la suma:
Regla del producto:
Para toda función f y g y todo número real y .
Para toda función f y g. Por extensión, esto significa que la
derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada
por la derivada de la función. Por ejemplo,
Regla del cociente:
que g ≠ 0.
para toda función f y g para todos aquellos valores tales
Regla de la cadena: Si , entonces4
Ejemplo de cálculo
La derivada de
es
36
Derivada parcial
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es
su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes.
Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con
cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:
Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud es función de diversas variables ( , , , ), es decir:
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente
de la recta tangente a dicha función en un punto dado. Esta recta es paralela al
plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el
eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función
en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del
gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
Supongamos que es una función de más de una variable, es decir una función real
de variable vectorial. Para el caso,
37
Un gráfico de z = x2
+ xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3)
que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.
Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de
líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de
elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más
interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.
Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.
38
Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar
las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo,
para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el
eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y =
1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el
plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la
pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que
escribimos:
En el punto (1, 1, 3),
o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."
Ejemplos
El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)
Considera el volumen V de un cono, este depende de la altura h del cono y su
radio r de acuerdo con la fórmula
39
Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:
Otro ejemplo, dada la función tal que:
la derivada parcial de respecto de es:
mientras que con respecto de es:
Definición formal
Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como
el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn
y f : U → R una función.
Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto a la i-
ésima variable xi como:
O visto respecto a la derivada direccional:
donde es el vector unitario del eje respecto al que se deriva ( ).
Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no
necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas
40
parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es
continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C1.
Notación
Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.
Derivadas parciales de primer orden:
Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:
Derivadas cruzadas de segundo orden:
Termodinámica
En termodinámica y otras áreas de la física se emplea la siguiente notación:
Que significa que y entonces:
41
Esta notación se usa porque frecuentemente una magnitud puede expresarse como
función de diferentes variables por lo que en general:
Ya que la forma precisa de las funciones y es diferente, es
decir, se trata de funciones diferentes.
Derivadas parciales de orden superior
A su vez, la derivada parcial puede verse como otra función definida en U y
derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas,
llamamos a f una función C2; en este caso, las derivadas parciales
(llamadas parciales) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también
conocido como teorema de Schwarz.
En R2, si se cumple lo ya dicho, se asegura que:
Diferencial total
En matemática, el diferencial total de una función real de varias variables reales
corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes
(coeficientes) son los del gradientede la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y
puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de
42
dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por
ejemplo, si una función diferenciable entonces el diferencial total de z
es:
Representación
En cálculo vectorial, el diferencial total de una función se puede
representar de la siguiente manera:
donde f es una función .
Derivada total
La derivada total viene de derivar una función f que tiene variables (x, y, z) que
dependen de otras variables x = x(t), y = y(t), z = z(t). En ese caso, se puede derivar la
función respecto a t, y se obtiene que:
donde x' es la derivada respecto a t de x, al igual que y', z'.
Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se
deriva una función del tipo que es fundamental para el cálculo de
variaciones, donde aquí la variable x depende del
Tiempo Entonces derivar respecto al tiempo queda
43
Ejemplo 1
Una función senc
Ejemplo 2
Un ejemplo algo más complejo y más ilustrativo podría
ser en ese caso, la derivada total es
Está en función de dos variables.
Ahora tenemos una función z=f(x,y) y vemos que es diferencial respecto de x y y,
donde x=g(t) y y=h(t) son funciones diferenciales respecto de t. Entonces z es una
función de t diferenciable
Demostración
dzdt=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt
Un cambio Δt en t se produce cambio de Δx en x y Δy en y. Éstos, a su vez producen
cambio de Δz en z, y de acuerdo con la definición:
Δz=∂f∂xΔx+∂f∂yΔy+ε1Δx+ε2Δy
Donde ε1→0 cuando (Δx,Δy)→(0,0). Al dividir ambos miembros de esta ecuación
entre Δt,
ΔzΔt=∂f∂xΔxΔt+∂f∂yΔyΔt+ε1ΔxΔt+ε2ΔyΔt
Si ahora hace Δt→0, entonces Δx=g(t+Δt)−g(t)→0 porque g es diferenciable y, por lo
tanto, continua. De igual manera, Δy→0. A su vez, esto quiere decir
que ε1→0 y ε2→0, de modo que:
44
dzdt=limΔt→0ΔzΔt=limΔt→0(∂f∂xΔxΔt+∂f∂yΔyΔt+ε1ΔxΔt+ε2ΔyΔt)=∂f∂xlimΔt→
0ΔxΔt+∂f∂ylimΔt→0ΔyΔt+limΔt→0ε1limΔt→0ΔxΔt+limΔt→0ε2limΔt→0ΔyΔt=∂f
∂xdxdt+∂f∂ydydt+0⋅dxdt+0⋅dydt=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt
CASO 2
Suponga que z=f(x,y) es una función diferenciable de x y y,
donde x=g(s,t) y y=h(s,t) son fuciones diferenciables de s y t. Entonces:
∂z∂s=∂z∂x∂x∂s+∂z∂y∂y∂s
∂z∂t=∂z∂x∂x∂t+∂z∂y∂y∂t
CASO GENERAL
Suponga que z es una función derivable de las n variables x1,x2,x3,...,xn , en donde
cada xj es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se
cumple que
Ejemplo #1
dzdt=∂z∂x1dx1dt+∂z∂x2dx2dt+∂z∂x3dx3dt+⋯+∂z∂xndxndt
z=xy,x=rest,y=rset
∂z∂r=∂z∂x∂x∂r+∂z∂y∂y∂r
∂z∂r=1y[est]+−xy2[set]
∂z∂r=1rset[est]+−rest(rset)2[set]
=estrset−estrset=0
Ejemplo #2
Un circuito simple, compuesto por una resistencia y una batería sigue la ley:
I=VR
Debido al uso de voltaje en la bateria cae a una razon de 0.1V/s y debido al
calentamiento la resistencia aumenta a una razon de 0.5\Omega /s. Cuando
R=600\Omega e I=0.004A determine la razón de cambio de la corriente.
45
∂I∂V=1r
∂I∂R=−Vr2
∂I∂t=(∂I∂V×∂V∂t)+(∂I∂R×∂R∂t)
∂I∂t=(1r)(−0.01)+(−Vr2)(0.5)
∂I∂t=−0.01r−0.5Vr2 Evaluandoen:
R=600ΩI=0.004
∂I∂t=−0.01r−0.5IR
∂I∂t=−0.01600−0.5×0.004600=−0.000017−0.000003
∂I∂t=−0.00002A/s
∂I∂t=−20×10−6A/s
∂I∂t=−20μA/s
I disminuye a razon de 20μ cada segundo.
Ejemplo # 3
si z=x2y+3xy4, donde x= sen 2t y y=cost, halle ∂z∂t cuando t=0
Solución, La regla de la cadena da
∂z∂t = ∂z∂xdzdt + ∂z∂ydydt
= (2xy+3y4)(2cos2t)+(x2+12xy3)(−sent)
No es necesario sustituir las expresiones para x y y en terminos de t. Simplemente
observamos que cuando t=0 tenemos que x= sen= 0 y y cos0= 1. Por tanto,
46
∂z∂t|t=0=(0+3)(2cos0)+(0+0)(−sen0)=6
Derivada direccional
En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre
un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho
vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas
direccionales en los vectores paralelos a los ejes.
Funciones escalares reales
La derivada direccional de una función sobre un
vector unitario es la función definida por este límite:
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente
Donde " " denota el producto escalar o producto punto entre vectores.
Demostración
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional.
Supóngase que se tiene una función diferenciable . La derivada
direccional según la dirección de un vector unitario sería:
47
El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo cual
lleva, por ser diferenciable la función1
f, a:
Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el
vector
Campos vectoriales
El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de
en , del tipo:
En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con
funciones de una variable:
48
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la
existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica
necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable
resulta que la aplicación:
Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:
Extremos de una función de varias variables.
Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales.
Definición. Una función tiene un máximo (mínimo) en un
punto si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor
en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P.
Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable
alcanza un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer
orden en este punto son iguales a cero, o sea:
;
Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos
críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.
49
Condiciones suficientes para la existencia de extremos.
(a) Caso de dos variables. Sea un punto crítico de una función
con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea el
determinante de su matriz hessiana, entonces:
Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es
negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo.
Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método)
(b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:
; ; ;...;
i. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un
mínimo en
ii. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor
negativo ), entonces la función tiene un máximo en
iii. En cualquier otro caso hay duda.
50
——————————————
—————————————— —
30. Halla los extremos de la función
Solución:
(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
;
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.
y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=3. Luego P(0,3) es el único punto crítico
de la función.
Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,3).
Con lo cual tenemos H(0,3)=+3 luego hay extremo y como se trata de
un mínimo.
El valor de la función en el mínimo es f(0,3)=-8.
—————————————————————————————
31. Halla los extremos de la función
51
Solución:
(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
;
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.
y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0. Luego P(0,0) es el único punto crítico
de la función.
Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,0).
Con lo cual tenemos H(0,0)=0 luego hay duda.
Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en este
caso basta observar la función para que se trata de un mínimo ya
que
El valor de la función en el mínimo es f(0,3)=-8.
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——————————————————————————————
32. Halla los extremos de la función
52
Solución:
(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
; ;
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.
Y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0, z=0. Luego P(0,0,0) es el único punto
crítico de la función.
Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,0,0).
Con lo cual tenemos los siguientes determinantes:
; ;
Con lo cual ni son todos positivos ni de signos alternos, luego hay duda.
Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en este
caso basta observar la función para que se trata de un punto
53
silla para los puntos del tipo (0,0,z) y
para los puntos del tipo (x,y,0).
Observación: Un punto silla no significa que la gráfica tenga necesariamente la forma
de una ―silla de montar‖, sino simplemente que cerca del punto crítico la función
toma valores superiores y otros inferiores al valor que toma en dicho punto.
INTEGRALES MULTIPLES.
INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.
Suponga que f(x, y) está definida sobre una región rectangular R dada por
R: a<x<b, c<y<d.
Imaginamos R cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x y y. Esas rectas
dividen R en pequeños elementos de área "A1, "A2…, "An, escogemos un punto (xk,
yp) en cada elemento "Ak y formamos la suma
Si f es continua en toda la legión R, entonces al refinar el ancho de la red para hacer
tender "x, "y a cero, las sumas en (1) tienden a un límite llamado integral doble de f
sobre R. Su notación es
Entonces,
54
Igual que en las funciones de una sola variable, las sumas tiende a este límite
independientemente de cómo se subdividan los intervalos [a, b] y [c, d] que
determinan R, siempre que las normas de las subdivisiones tiendan ambas a cero. El
límite (2) también es independiente del orden en que se numeren las áreas "Ak e
independiente de la selección del punto (xk, yk) dentro de cada "Ak. Los valores de
las sumas aproximadas individuales Sn depende de esas selecciones, pero al final las
sumas tienden al mismo límite. La prueba de la existencia y unicidad de este límite
para una función continua f se da en textos más avanzados.
La continuidad de f es una condición suficiente para la existencia de la integral doble,
pero no es una condición suficiente para la existencia de la integral doble, pero no es
una condición necesaria. El límite en consideración también existe para muchas
funciones discontinuas.
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES.
Las integrales dobles de funciones continuas tienen propiedades algebraicas que son
útiles en los cálculos y en las aplicaciones.
1.
2.
3.
4.
5.
55
Esta propiedad es válida cuando R es la unión de dos rectángulos R1 y R2 que no se
traslapan.
INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES.
Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región
rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la
superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn =
"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la
porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima
entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como
TEOREMA DE FUBINI PARA CALCULAR INTEGRALES DOBLES.
Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región
rectangular
en el plano xy. Entonces el volumen es
Donde A(x) es el área de la sección transversal en x. Para cada valor de x podemos
calcular A(x) como la integral
Que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. Al
calcular A(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y. Al combinar
(4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es
56
Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a
cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir
La llamada integral repetida o iterada, dice que el volumen se obtiene integrando 4-x-
y respecto a y de y=0 a y=1, manteniendo fija a x y luego integrando la expresión
resultante en x respecto a x=0 a x=2.
¿Qué pasa si calculamos el volumen formando rebanadas con planos perpendiculares
al eje?
¿Cómo función de y, el área transversal típica es?
Por tanto el volumen de todo el sólido es
EJEMPLO. Calcule
Solución. Por el teorema de Fubini,
57
Si invertimos el orden de integración se obtiene la misma respuesta:
INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES ACOTADAS NO
RECTANGULARES.
Para definir la integral doble de una función f(x, y) sobre una región acotada no
rectangular, imaginamos de nuevo R cubierta por una retícula rectangular, pero
incluimos en la suma parcial sólo las pequeñas piezas de área "A = "x"y que se
encuentran totalmente dentro de la región. Numeramos las piezas en algún orden,
escogemos un punto arbitrario (xk, yk) en cada "Ak y formamos la suma
La única diferencia entre esta suma y la de la ecuación (1) para regiones rectangulares
es que ahora las áreas "Ak pueden dejar de cubrir toda R. Pero conforme la red se
vuelve más fina y el número de términos en Sn aumenta, más de R queda incluida.
Si f es continua y la frontera de R está hecha de las gráficas de un número finito de
funciones continuas de xy/o de y, unidas extremo con extremo, entonces las sumas Sn
tendrán un límite cuando las normas de las subdivisiones que definen la malla
rectangular tiendan independientemente a cero. Llamamos al límite integral doble
de f sobre R.
58
Este límite también puede existir en circunstancias menos restrictivas.
Las integrales dobles de funciones continuas sobre regiones no rectangulares tienen
las mismas propiedades algebraicas que las integrales sobre regiones rectangulares.
La propiedad de aditividad de dominio correspondiente a la propiedad 5 dice que si R
se descompone en regiones no traslapadas R1 y R2 con fronteras que están
nuevamente hechas de un número finito de segmentos de rectas o curvas, entonces
.
Si R es una región limitada ―arriba‖ y ―abajo‖ por las curvas y=g2(x) y y=g1(x) y
lateralmente por las rectas x=a, x=b, nuevamente podemos calcular el volumen por el
método de rebanadas. Primero determinamos el área de la sección transversal
Y luego integramos A(x) de x=a a x=b para obtener el volumen como una integral
iterada:
(8)
De manera similar, si R es una región, limitada por las curvas x=h2 (y) y x=h1 (y) y
las rectas y=c y y=d, entonces el volumen calculado por el método de rebanadas está
dado por la integral iterada
EJEMPLO. Encuentre el volumen del prisma cuya base es el triángulo en el
plano xy limitado por el eje x y las rectas y=x y x=1, y cuya parte superior se
encuentra en el plano
z=f(x, y)=3-x-y.
59
Solución. Para cualquier x entre 0 y 1, y puede variar de y=0 a y=x. Por consiguiente.
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULARES.
Usamos integrales triples para hallar los volúmenes de formas tridimensionales, la
masa y los momentos de sólidos y los valores promedio de funciones de tres
variables.
INTEGRALES TRIPLES.
Si F(x, y, z) es una función definida sobre una región D cerrada en el espacio, por
ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una masa de arcilla, entonces la
integral de F sobre D puede definirse de la siguiente manera. Subdividimos una
región rectangular que contenga a D en celdas rectangulares por planos paralelos a los
planos coordenados. Las celdas que se encuentran dentro de D de 1 a n en cierto
orden; una celda típica tendrán entonces dimensiones "xk por "yk por "zk y volumen
"x"xk. Escogemos un punto (xk, yk, zk) en cada celda y formamos la suma
Si F es continua y la superficie que limita a D está hecha de superficies suaves unidas
a lo largo de curvas continúas, entonces cuando "xk, "yk, "zk tienden a cero
independientemente, las sumas Sn tenderán a un límite
60
Llamamos a este límite integral triple de F sobre D. El límite también existe par
algunas funciones discontinuas.
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.
Las integrales triples tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales
simples y dobles. Si F=F(x, y, z) y G=G(x, y, z) son continuas, entonces
1.
2.
3.
4.
Si el dominio D de una función continua F se subdivide por medio de superficies
suaves en números finito de celda sin traslapes D1, D2,…..Dn, entonces
5.
EJEMPLO. Establezca los límites de integración para evaluar la integral triple de
una función F(x, y, z) sobre un tetraedro D con vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y
(0, 1, 0).
Solución.
61
Paso 1: La superficie superior que limita a D se encuentra en el plano y=1. La
superficie inferior se encuentra en el plano y=x+z. La frontera superior de R es la
recta z=1-x.
La frontera inferior es la recta z=0.
Paso 2: Los límites y de integración. La recta que pasa por un punto típico (x,
y) en R paralela al eje y entra a D en y=x+z y sale en y=1.
Paso 3: Los límites z de integración. La recta L que pasa por (x, y) paralela al
eje z entra a R en z=0 y sale en z=1-x.
Paso 4: Los límites x de integración. Conforme L barre a través de R, es el valor
de x varía de x=0 a x=1. La integral es
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y
ESFERICAS.
COORDENADAS CILINDRICAS.
Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes
coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.
r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z
=
Plano que contiene al eje z
z= 2 Plano perpendicular al eje z
El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas
cilíndricas es
62
Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como
integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.
EJEMPLO. Encuentre los límites de integración en coordenadas cilíndricas para
integrar una función F(r,
, z) sobre la región D limitada abajo por el plano z=0, lateralmente por el cilindro
circular
y arriba por el paraboloide
Solución
Paso 1: La base de D también es la proyección de la región R sobre el plano xy. La
frontera de R es el círculo
Su ecuación en coordenadas polares es
Paso 2: Los límites z de integración. Una recta M, que pasa por un punto típico (r,
) en R, paralela al eje z, entra a D en z=0 y sale en
Paso 3: Los límites r de integración. Un rayo L que pasa por (r, ) desde el origen,
entra a R en r =0 y sale en
Paso 4: Los límites de integración. Al barrer L a través de R, el ángulo que forma con
el eje x positivo varía de La integral es
COORDENADAS ESFERICAS.
63
Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro en el origen,
medios planos articulados a lo largo de eje z y conos simples, cuyos vértices se
encuentran en el origen, y con ejes a lo largo del eje z.
Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado constante:
Esfera, radio 4, centro en el rigen.
Se abre desde el origen y forma un ángulo de py3 radianes con el eje z positivo.
Medio plano, articulado a lo largo del eje z, que forma un ángulo de
radianes
Con el eje x positivo.
El elemento de volumen en coordenadas esféricas es el volumen de una cuña esférica
definida por los diferenciales
La cuña es aproximadamente una caja rectangular con un arco circular de
longitud
en un lado y un arco circular de longitud
y espesor de
en otro lado. Por consiguiente, el elemento de volumen en coordenadas esféricas es
Y las integrales triples adoptan la forma
64
EJEMPLO. Encuentre el volumen de la región superior D cortada de la esfera
sólida
por el cono
Solución El volumen es
, que es la integral, de
Paso 1: Hacemos un croquis de D y su proyección R sobre el plano xy.
Paso 2: Los límites
de integración. Dibujamos un rayo M desde el origen que forme un ángulo
con el eje z positivo. También dibujamos L, o sea la proyección de M sobre el
plano xy, junto con el ángulo
, que L forma con el eje x positivo. El rayo M entra a D en
=0 y sale en
=1.
Paso 3: Los límites
de integración. El cono
forma un ángulo de
con el eje z positivo. Para cualquier
, el ángulo
varía entre
=0 y
65
=
.
Paso 4: Los límites
de integración. El rayo L barre sobre R cuando
varía de 0 a
.
El volumen es
INTEGRALES DE LINEA.
Cuando una curva r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k,
, pasa por el dominio de una función f(x, y, z) en el espacio, los valores de f a lo largo
de la curva están dados por la función compuesta f(g(t), h(t), k(t)). Si integramos esta
composición respecto a la longitud de arco de
t = a a t = b, calculamos la así llamada integral de línea de f a lo largo e la curva. A
pesar de la geometría tridimensional, la integral de línea es una integral ordinaria de
una función real sobre un intervalo de números reales.
Definición y notación.
Supongamos que f(x, y, z) es una función cuyo dominio contiene la
curva r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k,
66
. Subdividimos está última en un número finito de subarcos. El subarco típico tiene
longitud "sk. En cada subarco escogemos un punto (xk, yk, zk) y formamos la suma
(1)
Si f es continua y las funciones g, h y k tienen primeras derivadas continuas, entonces
las sumas en (1) tienden a un límite cuando n cree y las longitudes "sk tienden a cero.
Llamamos a este límite la integral de f sobre la curva de a a b. Si la curva se
representa por una sola letra, C por ejemplo, la notación para la integral es
(2)
Evaluación de curvas suaves.
Si r (t) es suave para
(v=dr/dt es continua y nunca (0), podemos usar la ecuación
Para expresar ds en la ecuación (2) como ds =
. Un teorema del cálculo avanzado dice que entonces podemos evaluar la integral
de f sobre C como
Esta fórmula evaluará correctamente la integral sin importar qué parametrización
usemos (siempre y cuando sea suave).
Como evaluar una integral de línea.
Para integrar una función continua f(x, y, z) sobre una curva C:
67
1. Encuentre una parametrización suave C,
r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k,
2. Evalúe la integral como
(3)
Note que si f tiene el valor constante 1, entonces la integral de f sobre C da la
longitud de C.
Ejemplo. Integre sobre el segmento de recta C que une el origen y el punto (1, 1, 1).
Solución. Escogemos la parametrización más simple que podemos imaginar:
r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k,
Las componentes tienen primeras derivadas continuas
y
nunca es 0, por lo que la parametrización es suave. La integral de f sobre C es
Aditividad.
Las integrales de línea tienen la útil propiedad de que si una curva C se forma por la
unión de un número finito de curvas C1, C2,…., Cn extremo con extremo, entonces
la integral de una función sobre C es la suma de las integrales sobre las curvas que la
forman:
68
(4)
Ejemplo. Una trayectoria del origen a (1, 1, 1) que es la unión de los segmentos de
las rectas C1 y C2. Integres
sobre C1 y C2.
Solución. Escogemos la parametrización más simple que podemos imaginar para C1
y C2, y revisamos las longitudes de los vectores velocidad:
C1: r (t) = ti +tj,
;
C2: r (t) = i+ j+ tk,
;
Con esa parametrización encontramos que
Teorema de Stokes
El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre
la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo
69
vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la
primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y
aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de
1850.1 2 3
Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854
del Premio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre.
El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en
el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una antiderivada F de f:
El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:
Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas diferenciales es decir
que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una
función)F: dF = f dx. El teorema general de Stokes se aplica a formas
diferenciales mayores en vez de F.
En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática
unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a yb.
Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una
variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones
técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser
compacta de manera que otorgue una integral bien definida.
Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más
genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con
frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la
orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da una
orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación
opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los
dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) − F(a).
70
Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una función sobre un
intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la función en los límites que
encierran dicho intervalo:
Por otro lado el teorema de Green hace algo similar en dos dimensiones, relaciona la
integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinación de
derivadas sobre un área limitada por la curva simple:
Similarmente el teorema de la divergencia relaciona la integral de una función sobre
una superficie con la integral de una combinación de derivadas sobre el interior del
conjunto:
El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la integral sobre
una frontera con la integral de una función "derivada" sobre el interior de la región
limitada por la frontera.
Formulación general
Sea M una variedad de dimensión n diferenciable por trozos orientada compacta y sea
ω una forma diferencial en M de grado n-1 y de clase C¹. Si ∂ M denota el límite
de M con su orientación inducida, entonces
aquí d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de
variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema
fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema.
El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada
sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se define.
71
El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las
subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de
Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma
exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base
para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de de Rham.
Casos especiales
El clásico teorema de Kelvin-Stokes
El clásico teorema de Kelvin-Stokes relaciona la integral de superficie
del rotacional del campo vectorial sobre una superficie Σ en el 3-espacio
euclidiano a la integral de línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso
especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que
identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el 3-
espacio euclidiano.
Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:
Donde es un campo vectorial cualquiera.
Establece que la integral de superficie del rotacional de un campo
vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral (curvilínea) cerrada
del campo vectorial a lo largo del contorno que limita la superficie.
Teorema de Green
El teorema de Green es un caso especial del clásico teorema de Kelvin-
Stokes cuando es aplicado a una región en el plano-xy.
72
Teorema de la divergencia
Asimismo el teorema de Ostrogradsky-Gauss o Teorema de la divergencia:
es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la n-1 forma
obtenida contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen
euclidiano.
Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en
un cierto orden.
Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es
una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
73
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada
término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en
este caso un orden alternativo)
En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que
decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el
mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s.
El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
10º término,
100º término, o
n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que
queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el
término).
74
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la
regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
n Término Prueba 1 3 2n = 2×1 = 2 2 5 2n = 2×2 = 4 3 7 2n = 2×3 = 6
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que
debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n Término Regla 1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3 2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5 3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
75
Posición del término
Es normal usar xn para los términos:
xn es el término
n es la posición de ese término
Así que para hablar del "quinto término" sólo
tienes que escribir: x5
Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:
Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o
progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una
constante.
Ejemplos
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
76
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un
número fijo.
Ejemplos:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
Sucesiones especiales
Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de
la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla
77
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
La regla es xn = n2
Números cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
Números de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
78
Series
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es
la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
Esto significa "suma de 1 a 4" = 10
Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la
sucesión 2n+1"
Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo
{3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24
Criterios de convergencia
Los criterios de convergencia (o criterios de Maastricht) son los requisitos que deben
cumplir los estados pertenecientes a la Unión Europea para ser admitidos dentro de
la Eurozona, y consecuentemente, para participar en el Eurosistema. Los criterios
vienen establecidos en el artículo 121(1) del tratado que establece la Comunidad
Europea (Tratado de la CE).1
En total hay cuatro criterios, el que se refiere a la
estabilidad de precios, el que se refiere a las finanzas gubernamentales, el que se
refiere a los tipos de cambio y por último el que hace mención a las tasas de interés a
largo plazo.
Criterios
Tasa de inflación
No puede ser mayor que un 1.5% respecto a la media de los tres estados de la
Eurozona con menor inflación (excluyendo aquellos que sufran deflación) durante el
79
año precedente al examen de la situación del país que quiere ser admitido. Además, si
se teme que la inflación del país a examinar pueda incrementarse sustancialmente tras
ser admitido, su candidatura puede ser rechazada.
Finanzas gubernamentales
Definido por el artículo 104 del Tratado de la CE, se establece que:
a) Por una parte el déficit presupuestario de las administraciones públicas no
puede representar una cantidad mayor que el 3% del PIB al final de año
precedente. Excepcionalmente puede admitirse a un país con un déficit mayor
del 3% siempre y cuando se mantenga cercano a esa proporción y se prevea
que disminuya próximamente.
b) Por otro lado la Deuda pública no puede representar una cantidad mayor
que el 60% del PIB. Si la Deuda es mayor que un 60%, el país puede ser
igualmente admitido dentro de la Eurozona siempre y cuando la trayectoria
del ratio sea convergente y cercana al límite. En la práctica este criterio es
generalmente omitido a la hora de admitir a un país dentro de la Eurozona,
pues en el momento de crear el Euro había muchos estados que no lo
cumplían.
Tipo de cambio
El estado debe participar en el mecanismo de tipos de cambio del Sistema
Monetario Europeo (SME) sin ninguna ruptura durante los dos años
precedentes al examen de la situación y sin tensiones graves. Además, no
debe haber devaluado su moneda unilateralmente durante el mismo periodo.
Después de la transición a la tercera etapa del SME, el Sistema Monetario
Europeo fue reemplazado por el nuevo mecanismo de tipos de cambio (MTC-
II o ERM II en sus siglas en inglés).
80
Tipo de interés a largo plazo
El tipo de interés nominal a largo plazo no debe ser superior en un 2% a la
media de los tres estados con menores tasas de inflación (los mismos que los
del punto 1) durante el año precedente al examen.
Serie alternada
En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipo
Con an ≥ 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada.
Condiciones de convergencia
Una condición suficiente para que la serie alternada converja es que
sea absolutamente convergente. Pero la misma no es una condición necesaria, ya que
existen series que no la satisfacen y aun así son convergentes. Por ejemplo, la serie
armónica
Diverge, mientras que su versión alternada
Converge al logaritmo natural de 2.
Un test más amplio de convergencia de una serie alternada es el test de
Leibniz: si la sucesión es monótona decreciente y tiende a cero,
entonces la serie
81
Converge.
Se puede utilizar la suma parcial
Para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Si
es monótona decreciente y tiende a cero, entonces el error en esta
aproximación resulta ser menor que .
Convergencia condicional
Una serie condicionalmente convergente es una serie infinita que
converge, pero no converge absolutamente. El siguiente resultado
anti intuitivo es verdadero: si la serie real
Converge condicionalmente, entonces para todo número
real existe un reordenamiento de la serie tal que
Como un ejemplo de esto, consideremos la serie
precedente para el logaritmo natural de 2:
Una forma posible de reordenar la serie es (los
paréntesis en el primer renglón están únicamente para
mejorar la comprensión):
82
Una demostración de este postulado se basa en que el algoritmo voraz para σ
es correcto.
Serie de potencias
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:
En el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesión.
Ejemplos
La serie geométrica e s una serie de potencias absolutamente
convergente si y divergente si ó
La serie de potencias es absolutamente convergente para
todo
La serie de potencias solamente converge para
83
CONCLUSIONES
El alcance del proyecto estableció Desarrollar tutorial de matemática III para el
control y estudio del estudiantado del Instituto Universitario Politécnico ―Santiago
Mariño‖ en Maturín Estado Monagas para el mejoramiento del estudio y así mantener
los procesos organizados a través de una herramienta tecnológica y una metodología
centrada en el usuario de manera de que el estudiantado del instituto pueda llevar a
cabo las labores cotidianas con un mayor desempeño. También se definió el acceso
que tendría el programa, así como su nivel de jerarquía y de esta manera poder
conformar una buena integración del programa dentro del personal.
84
REFERENCIA
*Victor J. Katz (May 1979) "The history of Stokes' theorem," Mathematics
Magazine, 52 (3): 146-156.
*The letter from Thomson to Stokes appears in: William Thomson and George
Gabriel Stokes with David B. Wilson, ed., The Correspondence between Sir George
Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846-
1869 (Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990), pages 96-97.
*Neither Thomson nor Stokes published a proof of the theorem. The first published
proof appeared in 1861 in: Hermann Hankel, Zur allgemeinen Theorie der Bewegung
der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids] (Göttingen,
(Germany): Dieterische University Buchdruckerei, 1861); see pages 34-37. Hankel
doesn't mention the author of the theorem.
*In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a
surface, the curl of a vector field. See: George G. Stokes with Sir Joseph Larmor and
John Wm. Strutt (Baron Rayleigh), ed.s, Mathematical and Physical Papers by the
late Sir George Gabriel Stokes, ... (Cambridge, England: University of Cambridge
Press, 1905), vol. 5, pages 320-321.
1. Calculo leithold, Luois leithold, 7 edición, 1998, GRUPO MEXICANO
MAPASA S.A.
2. CURVAS DE NIVEL PEDRO H. ZAMBRANO R, Departamento
de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá (Colombia) , E-mail
address:
3. Stewart, James. Cálculo Multivariable. Cuarta edición. Thomson Learning.2002.
4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (), 2008
5. CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, segunda edición, Earl
Swokowski, Marquette university, Grupo Editorial Iberoamérica, 1998.
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6. Calculo de varias variables, McCullan, Editorial Mc Graw Hill, New Jersey,
1992.
7. http://www.math.iupui.edu/contour1.html.
8. http://www.math.iupui.edu/contour2.html.
PO9. http://www.math.iupui.edu/levelsurf.html
Leer más: http://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-
nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel2.shtml#ixzz2t97AQYgO
