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Guía de consulta de Algebra 2

ALGEBRA

DOCENTES

Lic. Freddy Chuca Bautista Lic. Eddy Andrade Rocha Lic. Rubén Vásquez Céspedes Lic. René Medardo Salinas Lunario Lic. Vida Delfo Condori Quispe Lic. Tomas Edwin Choqueticlla Taborga Lic. José Castro López Lic. Juan Carlos Flores Espinoza Lic. Lenny Jhovanna Flores Cáceres Lic. Evaristo Mamani Cahuana Lic. Jaime Vargas Gabriel Lic. David Ángel Huallata Choque Lic. Luz María Castro Vásquez Lic. Milton Aro Chambi REVISIÓN Y DIAGRAMACIÓN Lic. Rubén Vásquez Céspedes Lic. Freddy Chuca Bautista Lic. Eddy Andrade Rocha COORDINACIÓN Lic. Isaías Marcelo Cárdenas Castillo Univ. Kevin Félix Peña Escobar SUPERVISIÓN Lic. Alfonso Lucana Choque Director Ciencias Básicas Lic. Ángel Miranda Siles Vice Decano




CONTENIDO

Tema Titulo Página I Introducción al Algebra .................................................................................................................... 4

II. Descomposición Factorial .............................................................................................................. 11

III. Fracciones Algebraicas ................................................................................................................... 18

IV. Ecuación Lineal de Primer Grado .................................................................................................. 24

V. Teoría General de Exponentes y Radicales .................................................................................... 32

VI. Ecuaciones de Segundo Grado ....................................................................................................... 44

VII. Logaritmos ..................................................................................................................................... 48




TEMA I INTRODUCCIÓN AL

ALGEBRA




TEMA I INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA

A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o coeficientes), o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general. El álgebra conforma una de las grandes áreas de las matemáticas, junto a la teoría de números, la geometría y el análisis.

Notación algebraica

Consiste en que los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d,… Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Los signos empleados en álgebra son tres clases: Signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.

Signos de operación

En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicación. En lugar del signo × suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así a⋅b y (a)(b) equivale a a × b.

Signos de relación

Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: =, que se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”. >, que se lee mayor que. Así, x + y>m se lee “x + y mayor que m”. <, que se lee menor que. Así, a<b + c se lee “a menor que b + c”.

Signos de agrupación

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo ||. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a + b)c índica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c; [a – b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m, {a + b} ÷ {c – d} índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. El orden de estos signos son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo: { [ (a + b) - c] ⋅d} indica que al resultado de la suma de a + b debe restarse c y el resultado de esto multiplicarse por d.

Signos y símbolos más comunes

Los signos y símbolos son utilizados en el álgebra — y en general en teoría de conjuntos y álgebra de conjuntos — con los que se constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando.


Aquí algunos ejemplos:

Lenguaje algebraico

Un

Un número cualquiera aumentado en siete.

La diferencia de dos números cualesquiera.

El doble de un número excedido en

La división de un La mitad de un número.El cuadrado de un número

La semisuma de dos números

Las dos terceras partes de un número disminuidos en cinco es igual a 12.

Tres números naturales consecutivos.

La parte mayor de 1200, si la menor es

El cuadrado de un número aumentado en siete.

Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a tres.El producto de un número con su antecesor



Exponentes y subíndices

Lenguaje algebraico

Un













Primeras letras del

Últimas letras del


Lenguaje algebraico

Un número













Expresión

Primeras letras del abecedarioa, b, c,...

Últimas letras del abecedario..., x, y, z


Lenguaje algebraico

número














Expresión+

c o Primeras letras del

abecedarioa, b, c,...


nExponentes y subíndices

Lenguaje algebraico

número cualquiera.














Expresión+

o k Primeras letras del

abecedarioa, b, c,...


n Exponentes y subíndices

Lenguaje algebraico

cualquiera.










Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a tres. El producto de un número con su antecesor




Expresión

Primeras letras del

abecedario a, b, c,...

Últimas letras del abecedario ..., x, y, z


Lenguaje algebraico

cualquiera.




La división de un número enteroLa mitad de un número.El cuadrado de un número






Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo

El producto de un número con su antecesor




Primeras letras del

Últimas letras del


Lenguaje algebraico

cualquiera.




número enteroLa mitad de un número.El cuadrado de un número











Primeras letras del

Últimas letras del


cualquiera.




número enteroLa mitad de un número. El cuadrado de un número










Lenguaje común




número entero

El cuadrado de un número









Además de expresar adición también es usada para expresar operaciones binariasExpresan términos constantesSe utilizan para expresar cantidades conocidas

Se utilizan para expresar incógnitas

Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,Expresar cantidades de la misma especie, de

Lenguaje común




número entero










Además de expresar adición también es usada para expresar operaciones binariasExpresan términos constantesSe utilizan para expresar cantidades conocidas



Lenguaje común




entre su antecesor









Además de expresar adición también es usada para expresar operaciones binarias Expresan términos constantesSe utilizan para expresar cantidades conocidas



Lenguaje común



El doble de un número excedido en cinco.

entre su antecesor









Además de expresar adición también es usada para expresar operaciones

Expresan términos constantesSe utilizan para expresar cantidades conocidas



Lenguaje común



cinco.

entre su antecesor


La parte mayor de 1200, si la menor es w






Signos y símbolos





Lenguaje algebraicoLenguaje común



entre su antecesor




El producto de un número con su antecesor equivale



Signos y símbolos





Lenguaje algebraicoLenguaje común

entre su antecesor




equivale



Signos y símbolos





Lenguaje algebraico

entre su antecesor



equivale



Signos y símbolos





Lenguaje algebraico



equivale a 30.



Signos y símbolos





Lenguaje algebraico



a 30.



Signos y símbolos


Expresan términos constantes Se utilizan para expresar cantidades conocidas



Lenguaje algebraico





Signos y símbolos


Se utilizan para expresar cantidades conocidas



Lenguaje algebraico





UsoAdemás de expresar adición también es usada para expresar operaciones



Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,nExpresar cantidades de la misma especie, de





Uso Además de expresar adición también es usada para expresar operaciones


n) Expresar cantidades de la misma especie, de







Expresar cantidades de la misma especie, de diferente magnitud.





diferente magnitud.



diferente magnitud.



diferente magnitud.

Lenguaje algebraico

3/5



diferente magnitud.

Lenguaje algebraico

2/3 (

x,

3/5 p

x



diferente magnitud.

Lenguaje algebraico

m

f

2x

x/(

y

(b

2/3 (x

, x + 1,

1200

b2

+ 1/2 (

x(x-



diferente magnitud.

Lenguaje algebraicom

m + 7

f - q

x +

/(x-1)d/2y^2

b+c)/2

x-5) = 12

+ 1, x

1200 -2 + 7

+ 1/2 (

-1) = 30



diferente magnitud.

Lenguaje algebraico

+ 7

q

+ 5

1) /2 ^2

)/2

5) = 12

x + 2.

- w

+ 7

+ 1/2 (p+1) = 3

1) = 30


Lenguaje algebraico

5) = 12

+ 2.

+1) = 3

1) = 30

6


Lenguaje algebraico

+1) = 3

6




Ejemplo 1 Sean los polinomios

푨(풙) = −ퟏퟖ풙ퟓ − ퟐퟒ풙ퟐ − ퟏퟖ풙 + ퟔ 푩(풙) = −풙ퟓ − 풙ퟒ + ퟑ풙ퟐ − ퟔ풙 + ퟖ 푪(풙) = ퟐퟎ풙ퟓ + 풙ퟑ − ퟓ풙ퟐ − ퟏퟓ

Hallar 푨(풙) − 푩(풙) + 푪(풙)

Operamos los monomios semejantes por separado

A(x) = −18푥 − 24푥 − 18푥 + 6 - B(x) = +푥 + 푥 − 3푥 + 6푥– 8

−17푥 + 푥 − 27푥 − 12푥 − 2 + C(x) = 20푥 + 푥 − 5푥 − 15

ퟑ풙ퟓ + 풙ퟒ + 풙ퟑ − ퟑퟐ풙ퟐ − ퟏퟐ풙 − ퟏퟕ

Finalmente 푨(풙) − 푩(풙) + 푪(풙) = 3푥 + 푥 + 푥 − 32푥 − 12푥 − 17 Ejemplo 2 Sean los polinomios:

A = 2x3+4x2-6x+2 B = 4x3-2x2+8x-14 C = 2x3+2x2-12x-4 D = -x+2

Hallar: [(A+B)-C]D Solución:

A+B A = 2x3+4x2-6x+2

B = 4x3-2x2+8x-14 6x3+2x2+2x-12

(A+B)-C (A+B) = 6x3+2x2+2x-12 -C = -2x3-2x2+12x+4 _

4x3 +14x - 8 [(A+B)-C]D

(A+B)-C = 4x3+14x-8 D = -x+2 -4x4 -14x2+ 8x 8x3 +28x-16 [(A+B)-C]D =-4x4+8x3 -14x2+36x - 16

Ejemplo 3 Sean los polinomios:

A = x3+x2y+xy2+y3 B = y2+10x2 C = 4x2+3y2-6x+4y-2 D = 3x2-y2+2x2-4y+3




Hallar: [(C+D)-(A*B)] Solución:

C+D C = 4x2+3y2-6x +4y-2

D = 3x2 - y2 +2x2-4y+3 C+D = 7x2+2y2-4x +1

(A*B)

A = x3+x2y+xy2+y3 B = y2+10x2_________________

x3y2 + x2y3 + xy4+y5 10x5 +10x4y+10x3y2 + 10x2y3 ___________

(A*B)=10x5 +10x4y +11x3y2 + 11x2y3 +xy4+y5

[(C+D)-(A*B)] C+D = 7x2+2y2-4x +1 -(A*B) = -10x5 -10x4y -11x3y2 - 11x2y3 -xy4-y5

[(C+D)-(A*B)]= 7x2+2y2-4x+1-10x5 -10x4y -11x3y2 - 11x2y3 -xy4-y5 Ejemplo 4 Sean los polinomios

푴 = 3푥 − 5푥 − 3푵 = 푥 + 푥 + 1 푲 = 푥 − 푥 + 푸 = 11푥 − 8푥

푯풂풍풍풂풓ퟐ푴 + ퟒ푵 + ퟑ푲

푸

Solución:

ퟐ푴 = 2(3푥 − 5푥 − 3) Multiplicamos por 2 ퟒ푵 = 4 푥 + 푥 + 1 Multiplicamos por 4

ퟑ푲 = 3 푥 − 푥 + Multiplicamos por 3

ퟐ푴 = (2)3푥 − (2)5푥 − (2)3 ퟒ푵 = (4) 푥 + (4) 푥 + (4)1

ퟑ푲 = (3)푥 − (3) 푥 + (3)

+ퟐ푴 → 6푥 − 10푥 − 6 +ퟒ푵 → 2푥 + 3푥 + 4 Sumamos los polinomios +ퟑ푲 → 3푥 − 푥 + 2

11푥 − 8푥 + 0 ퟐ푴 + ퟒ푵 + ퟑ푲

푸=

11푥 − 8푥11푥 − 8푥

= 1




Ejemplo 5 Multiplicar (5x3 + x2 – 2x+6) por (-x² - 5x + 5)

5x3 + x2 – 2x + 6 – x² – 5x + 5 –5x5– x4 + 2x3 – 6x2

–25x4 – 5x3 +10x2 – 30x 25x3 + 5x2 – 10x + 30 –5x5–26 x4 +22x3 + 9x2 – 40x + 30

Finalmente (5x3 + x2 – 2x+6) (-x² - 5x + 5)= –5x5–26 x4 +22x3 + 9x2 – 40x + 30

Ejemplo 6 Multiplicar: 3x2y – xy2 + 5y3 por x2y – 2xy2 + 6y3

Solución: Multiplicando: 3x2y – xy2 + 5y3

Multiplicador: x2y – 2xy2 + 6y3 3x4y2 – x3y3 + 5x2y4 –6x3y3 + 2x2y4 – 10xy5 18x2y4 – 6xy5 + 30y6 3x4y2 – 7x3y3 + 25x2y4 –16xy5 + 30y6 Ejemplo 7 Dividir

3x y + 5x y − 6xy4x y

=3x y4x y

+5x y4x y

−6xy4x y

=34

xy+

54−

3y2x

=34

xy−

3y2x

+54

Ejemplo 8 Dividir ퟒퟓ풙ퟒ − ퟐퟏ풙ퟑ풚 − ퟏퟖ풙ퟐ풚ퟐ + ퟐퟏ풙풚ퟑ − ퟗ풚ퟒ Entre ퟏퟓ풙ퟐ + ퟑ풙풚 − ퟗ풚ퟐ ퟒퟓ풙ퟒ − ퟐퟏ풙ퟑ풚 − ퟏퟖ풙ퟐ풚ퟐ + ퟐퟏ풙풚ퟑ − ퟗ풚ퟒ −45푥 − 9푥 푦 + 27푥 푦 −30푥 푦 + 9푥 푦 + 21푥푦 − 9푦 +30푥 푦 + 6푥 푦 − 18푥푦

15푥 푦 + 3푥푦 − 9푦 −15푥 푦 − 3푥푦 + 9푦

0

ퟏퟓ풙ퟐ + ퟑ풙풚 − ퟗ풚ퟐ

ퟑ풙ퟐ − ퟐ풙풚 + 풚ퟐ




Finalmente

ퟒퟓ풙ퟒ − ퟐퟏ풙ퟑ풚 − ퟏퟖ풙ퟐ풚ퟐ + ퟐퟏ풙풚ퟑ − ퟗ풚ퟒ

ퟏퟓ풙ퟐ + ퟑ풙풚 − ퟗ풚ퟐ= ퟑ풙ퟐ − ퟐ풙풚 + 풚ퟐ

Ejemplo 9 Dividir: 3x2 -5x + 4 entre 2x – 4 Solución: Ordenando:

3x2 – 5x + 4 2x – 4 – 3x2 +6x ퟑ

ퟐ풙 + ퟏ

ퟐ

x + 4 -x + 2 6

Cociente: ퟑ

ퟐ풙 + ퟏ

ퟐ

Resto: ퟔ

Comprobamos: Multiplicando el cociente por el divisor y sumado el resto = ퟑퟐ풙 + ퟏ

ퟐ2x– 4 + ퟔ

= ퟑퟐ풙 2x– 4 + ퟏ

ퟐ2x– 4 + ퟔ

= ퟑ풙ퟐ − ퟔ풙 + 풙 − ퟐ + ퟔ

= ퟑ풙ퟐ − ퟔ풙 + 풙 + ퟒ Se verifica que es igual al polinomio 3x2 – 5x + 4

Para que el proceso de la división sea más sencillo podíamos modificar los polinomios en este ejemplo (2x – 4) dividiendo entre 2 se quedaria (x-2) Dividir 3x2 -5x + 4 entre x – 2




TEMA II DESCOMPOSICIÓN

FACTORIAL




TEMA II DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

Descomponer una expresión algebraica consiste en convertirla en el producto de sus factores. Pero que son los factores, se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la expresión original.

Descomponer una expresión algebraica consiste en convertirla en el producto de sus factores. Los factores son las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la expresión original. En aritmética habíamos estudiado un procedimiento similar con los números que era dividir a un número por sus factores primos. En este caso se convierten polinomios por sus factores. Factorizar polinomios es algo muy distinto que con los monomios, y en algunos casos no podremos factorizarlos, por ejemplo el polinomio x+y, a menos que se utilice números complejos. Para ello se estudiarán en adelante lo que se conoce como los casos de factorización. DIRECTRICES PARA LA FACTORIZACIÓN 1ro. Siempre busca en primer lugar un factor común. 2do. Considera el número de términos.

A) DOS TÉRMINOS:

Trata de factorizar como una diferencia de cuadrados 22 ba , o como una suma o diferencia

de cubos 33 ba . Note que 22 ba no es factorizable.

B) TRES TÉRMINOS: Vea si la expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Si es así, factorícela. De otro modo

factoriza como el trinomio de la forma cbxx 2 o trinomio de la forma cbxax 2 (usa el aspa simple).

C) MÁS DE TRES TÉRMINOS: Trata de factorizar por agrupación de términos.

3ro. Asegúrate de que la expresión esté factorizada por completo. Es decir que cada factor restante sea primo.

ALGUNOS EJEMPLOS PARA TU ESTUDIO Ejemplo 1 Factorizar: xbxa 22 4010

Solución:

Escribimos el binomio dado, así: xbxa 22 4010

Extraemos el factor común x10 , así: 22 410 bax




El segundo factor es otro caso de la factorización (diferencia de cuadrados), por tanto lo factorizamos, así: baba 22

Luego, la expresión factorizada completamente es:

xbxa 22 4010 babax 2210 Ejemplo 2 Factorizar: axax 20502 22

Solución:

Escribimos el trinomio ordenado, así: 22 50202 aaxx

Extraemos el factor común 2, así: 22 25102 aaxx El segundo factor es otro caso de la factorización (trinomio cuadrado perfecto), luego lo

factorizamos, así: 252 ax

axax 20502 22 252 ax

Ejemplo 3 Factorizar: 16206 2 xx

Solución:

Escribimos el trinomio ordenado, así: 16206 2 xx

Extraemos el factor común 2, así: 81032 2 xx

El segundo factor es otro caso de la factorización (trinomio de la forma cbxax2 ), por tanto lo factorizamos, así: 234 xx


16206 2 xx 2342 xx Ejemplo 4 Factorizar: 633425 yyxyxyx

Solución:

Escribimos el polinomio dado, así: 633425 yyxyxyx

Extraemos el factor común y, así: 523325 yyxyxxy El segundo factor consta de cuatro términos, por tanto agrupamos los términos de dos en dos

que tengan factores comunes:

523325 yyxyxx

Extraemos el factor común de cada binomio agrupado:

Expresión factorizada completamente.




332332 yxyyxxy

Extraemos el factor común polinomio: 2233 yxyxy El segundo y tercer factor son otros casos de la factorización (suma de cubos y diferencia de

cuadrados, respectivamente), por tanto lo factorizamos, así:

yxyxyxyxyx 22


633425 yyxyxyx 222 yxyxyxyxy Ejemplo 5 Factorizar: 36129 22 yay

Solución:

Escribimos el polinomio dado, así: 36129 22 yay No hay otro factor común más que 1 ó -1. Hay cuatro términos; y no es posible agrupar para

extraer un factor binomio común. Tratemos de agrupar de la siguiente manera:

22 93612 ayy Factorizamos la expresión agrupada (trinomio cuadrado perfecto), así:

22 96 ay Finalmente, factorizamos la diferencia de cuadrados:

ayay 3636 Luego, la expresión factorizada completamente es:

36129 22 yay ayay 3636

Ejemplo 6 Factorizar: 64x12y3 – 68x8y7 + 4x4y11 =

= 4x4y3( 16x8 – 17x4y4 + y8 ) Extrayendo factor común

= 4x4y3( 16x4 – y4 )( x4 - y4 ) Factorizando el trinomio = 4x4y3 (4x2 + y2 )(4x2 – y2 )(x2 + y2)(x2 – y2) Factorizando diferencia de cuadrados sucesivamente

= 4x4y3 (4x2 + y2)(2x + y)(2x – y)(x2 + y2)(x + y)(x – y) //R Ejemplo 7 Factorizar: y5 + y4 + 1 Consiste en sumar y restar una misma cantidad de tal manera que se forme una suma o diferencia de cubos y se presenta el factor: y2 + y + 1 ó y2 - x + 1. Algunas veces también se completa el polinomio. y5 + y4 + 1 = y5 – y2 + y4 + y2 + 1 Sumando y restando y2




= y2 (y3 – 1) + (y4 + y2 + 1) Agrupando y factorizando = y2 (y – 1)(y2 + y + 1) + (y4 + y2 + y2 - y2 + 1) Sumando y restando y2 al segundo paréntesis = y2 (y – 1)(y2 + y + 1) + (y4 +2y2 + 1 – y2) Agrupando y factorizando el último paréntesis = y2 (y – 1)(y2 + y + 1) + (y2 + 1)2 – y2

= y2 (y – 1)(y2 + y + 1) + [ (y2 + 1) + y ] [ (y2 + 1) - y] = y2 (y – 1)(y2 + y + 1) + (y2 + y + 1)(y2 – y + 1) = (y2 + y + 1)[ y2 (y – 1) + (y2 – y + 1) ] = (y2 + y + 1)(y3 – y2 + y2 – y + 1) Reduciendo en el 2º paréntesis = (y2 + y + 1)(y3 – y + 1) // R Ejemplo 8 Factorizar la siguiente expresión algebraica: x3-x2+x-1 Solución: x3-x2+x-1= (x3-x2)+(x-1) = x2(x-1)+(x-1) = (x2+1)(x-1) Respuesta: x3-x2+x-1= (x2+1)(x-1) Ejemplo 9 Diferencia de Cuadrados: Factorizar la siguiente expresión algebraica: 64x6-81y4 Solución: 64x6-81y4= (8x3)2-(9y2)2 = (8x3+9y2)(8x3-9y2) Respuesta: 64x6-81y4= (8x3+9y2)(8x3-9y2) Ejemplo 10 Trinomio Cuadrado Perfecto: Factorizar la siguiente expresión algebraica: 4a2+12ab+9b2 Solución: 4a2 + 12ab + 9b2 = (2a + 3b)2 2a 2(2a)(3b) 3b Respuesta: 4a2+12ab+9b2 = (2a + 3b)2 Ejemplo 11 Otros Trinomios: Factorizar la siguiente expresión algebraica: y12-11y6+30 Solución:




y12-11y6+30= (y6)2-11y6+30= (y6-6)(y6-5) Respuesta: y12-11y6+30= (y6)2-11y6+30= (y6-6)(y6-5)

Ejemplo 12 Factorizar ퟐퟕ풙ퟔ + ퟑퟒퟑ풚ퟗ Solución:

ퟐퟕ풙ퟔퟑ = ퟑ풙ퟐ푹풂풊풛풄풖풃풊풄풂풅풆풍풑풓풊풎풆풓풕풆풓풎풊풏풐

ퟑퟒퟑ풚ퟗퟑ = ퟕ풚ퟑ푹풂풊풛풄풖풃풊풄풂풅풆풍풔풆품풖풏풅풐풕풆풓풎풊풏풐

Por tanto ퟐퟕ풙ퟔ + ퟑퟒퟑ풚ퟗ = ퟑ풙ퟐ + ퟕ풙ퟑ ퟑ풙ퟐퟐ− ퟑ풙ퟐ ퟕ풚ퟑ + (ퟕ풚ퟑ)ퟐ

ퟐퟕ풙ퟔ + ퟑퟒퟑ풚ퟗ = ퟑ풙ퟐ + ퟕ풙ퟑ ퟗ풙ퟒ − ퟐퟏ풙ퟐ풚ퟑ + ퟒퟗ풚ퟔ

Ejemplo 13 Factorizar 9(푥 − 푦) + 12(푥 − 푦)(푥 + 푦) + 4(푥 + 푦) Solución.

9(푥 − 푦) + 12(푥 − 푦)(푥 + 푦) + 4(푥 + 푦) ↓↓

3(푥 − 푦) ↑ 2(푥 + 푦) 2 ∗ 3(푥 − 푦) ∗ 2(푥 + 푦) Finalmente ퟗ(풙 − 풚)ퟐ + ퟏퟐ(풙 − 풚)(풙 + 풚) + ퟒ(풙 + 풚)ퟐ = [ퟑ(풙 − 풚) + ퟐ(풙 + 풚)]ퟐ Ejemplo 14 Factorizar 30a4x - 15a3xz - 10a3y + 5a2yz 30a4x - 15a3xz - 10a3y + 5a2yz = 5a2.(6a2x - 3axz - 2ay + yz) = 5a2.[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] = 5a2.[3ax(2a - z) - y.(2a - z)] 30a4x - 15a3xz - 10a3y + 5a2yz =5a2.(2a - z).(3ax - y) Ejemplo 15

27x6 + 8y9 = (3x2)3 + (2y3)3

= (3x2 + 2y3)[(3x2)2 – (3x2)(2y3) + (2y3)2] = (3x2 + 2y3) (9x4 – 6x2y3 + 4y6)




Ejemplo 16 25x4 + 6x2 + 1 =

= 25x4 + 6x2 + 1 + 4x2 – 4x2 = 25x4 + 10x2 + 1 – 4x2

= (5x2)2 + 2(5x2) + 1 – 4x2 = (5x2 + 1)2 – (2x)2 = (5x2 + 1 – 2x)( 5x2 + 1 + 2x)




TEMA III FRACCIONES ALGEBRAICAS




TEMA III FRACCIONES ALGEBRAICAS

Ejemplo 1 Simplificar la fracción:

푥 − 푥 + 2푥 (푥 − 1)푥 + 2푥 + 2푥 + 10푥 − 15

Factorizando y simplificando tendremos:

=푥 (푥 − 1 + 2푥 − 2)

(푥 + 2푥 − 15) + 2푥 + 10푥

=푥 (푥 + 2푥 − 3)

(푥 + 5)(푥 − 3) + 2푥 + 10푥

=푥 (푥 + 3)(푥 − 1)

(푥 + 5)(푥 − 3) + 2푥(푥 + 5)

=푥 (푥 + 3)(푥 − 1)

(푥 + 5)[(푥 − 3) + 2푥)]

=푥 (푥 + 3)(푥 − 1)

(푥 + 5)(푥 + 2푥 − 3)

=푥 (푥 + 3)(푥 − 1)

(푥 + 5)(푥 + 3)(푥 − 1)

=푥 푥 + 3 (푥 − 1)

(푥 − 1)(푥 + 3)(푥 + 5)

=풙ퟐ

풙ퟐ + ퟓ

Ejemplo 2 Sumar las siguientes fracciones:

푥 + 7푥

; 푥 − 2푥 + 푥

; −1 − 2푥푥 − 1

Solución: Sumando las fracciones tendremos:

푥 + 7푥

+ 푥 − 2푥 + 푥

+ −1 − 2푥푥 + 1

= (Cambiando el signo de los términos de este numerador)




=푥 + 7푥

+ 푥 − 2

푥(푥 + 1)+

2푥 − 1푥 + 1

Se obtiene el m.c.m. de los denominadores (común denominador)

m.c.m. = 푥(푥 + 1)

=(푥 + 1)(푥 + 7) + (푥 − 2) + 푥(2푥 − 1)

푥(푥 + 1)

=푥 + 8푥 + 7 + 푥 − 2 + 2푥 − 푥

푥(푥 + 1)

Factorizando el numerador y simplificando tendremos:

=( )

= ( )( )( )

=

Ejemplo 3 Efectuar las operaciones y simplificar:

+

−∗

2푥

Solución

=

( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

∗2푥

= ( )( )

( )( )

∗2푥

= ( )( )

( )( )

∗2푥




Simplificando queda:

=1푥

∗2푥

= (푥 ) ∗ = 2

Ejemplo 4 Simplificar la siguiente expresión

푎 + 푎 푏 − 푎푑 + 푏푑푎 − 푎 푏 − 푎 푑 + 푎푏푑

(푎 + 푎 푏) − (푎푑 + 푏푑 )(푎 − 푎 푏) − (푎 푑 + 푎푏푑 ) =

푎 (푎 − 푏) − 푑 (푎 − 푏)푎 (푎 − 푏) − 푎푑 (푎 − 푏)

=(푎 − 푏)(푎 − 푑 )

(푎 − 푏)(푎 − 푎푑 )

=(푎 − 푑 )

(푎 − 푎푑 )

=(푎 − 푑 )(푎 + 푑 )

푎(푎 − 푑 )

=(푎 + 푑 )

푎

Finalmente 푎 + 푎 푏 − 푎푑 + 푏푑푎 − 푎 푏 − 푎 푑 + 푎푏푑

=풂ퟐ + 풅ퟐ

풂

Ejemplo 5 Simplificar la siguiente expresión

풂 풃풂 풃

− 풂 풃풂 풃

ퟏ − 풂ퟐ 풂풃 풃ퟐ

풂ퟐ 풃ퟐ

Solución 풂 풃풂 풃

− 풂 풃풂 풃

ퟏ − 풂ퟐ 풂풃 풃ퟐ

풂ퟐ 풃ퟐ

=

( ) ( )( )( )

( ) ( )

= ( )




=

=−4푎푏(푎 − 푏 )푎푏(푎 − 푏 )

푺풐풍풖풄풊풐풏 = −ퟒ

Ejemplo 6

21x

3x

21x

2015x

=푥 + – (푥 + 3)

푥 + =

푥 + – 푥– 3

푥 + = – 3

푥 +

=–

푥 + =

–

=– 90

20(2푥 + 1) =–90

20(2푥 + 1)

=–9

2(2푥 + 1) =–ퟗ

ퟒ풙 + ퟐ

Ejemplo 7

a1a

1a

1a1a

A

퐴 =( )

푎 − ∗

=푎 −

=푎 −

=푎 −

퐴 = ( ) = =

퐴 =(푎 − 푎 + 1)(푎 + 1)

푎 (푎 − 1)

Ejemplo 8 Simplificar:




퐴 =푎 − 1

푎 + 2 −

− 푎

1 −

=푎 − 1

푎 + 2 − ( ) ( )

− 푎

1 −

=푎 − 1

푎 + 2 −

− 푎

1 −=

푎 − 1

푎 + 2 − ( )( )( )

− 푎

=

=푎 − 1

푎 + 2 −(푎 + 1)−

푎=

푎 − 1푎 + 2 − 푎 − 1

– 푎(푎 − 1)−1

=푎 − 1

+1+ 푎 − 푎 =

= 푎 − 1 + 푎 − 푎 = 푎 − 1

Ejemplo 9 Simplificar la siguiente expresión algebraica

퐸 =푥 − 8푥 + 7푥 − 11푥 + 30

푥 − 36푥 − 1

÷푥 − 푥 − 42푥 − 4푥 − 5

푺풐풍풖풄풊풐풏: 푭풂풄풕풐풓풊풛풂풎풐풔

푒 =(푥 − 7)(푥 − 1)(푥 − 6)(푥 − 5)

(푥 − 6)(푥 + 6)(푥 + 1)(푥 − 1) ÷

(푥 − 7)(푥 + 6)(푥 − 5)(푥 + 1)

푺풊풎풑풍풊풇풊풄풂풎풐풔

푒 =(푥 − 7)(푥 − 1)(푥 − 6)(푥 − 5)

(푥 − 6)(푥 + 6)(푥 + 1)(푥 − 1) ÷

(푥 − 7)(푥 + 6)(푥 − 5)(푥 + 1)

푒 =(푥 − 7)(푥 − 5)

(푥 + 6)(푥 + 1) ÷

(푥 − 7)(푥 + 6)(푥 − 5)(푥 + 1) 푺풆풎풖풍풕풊풑풍풊풄풂풄풓풖풛풂풅풐

푒 =(푥 − 7)(푥 − 5)

(푥 + 6)(푥 − 5)(푥 + 1)(푥 + 1)(푥 − 7)(푥 + 6)

푒 =11

푒 = 1




TEMA IV ECUACIÓN LINEAL DE

PRIMER GRADO




TEMA IV ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO

Ejemplo 1

Resolver la siguiente ecuación: 3342 xx Solución.-

3342 xx

22

3342

xx

9342 xx

222934 xx

24368134 xxx 24368134 xxx

084404 2 xx dividimos entre 4

021102 xx 037 xx

Respuesta:

37 21 xx Ejemplo 2 Resolver la siguiente ecuación √퐱 + ퟒ − √퐱 − ퟏ = ퟐ

√퐱 ퟏ

√퐱 + ퟒ − √퐱 − ퟏ =ퟐ

√퐱 − ퟏ

√x − 1 √x + 4 − √x − 1 = 2

√x − 1√x + 4 − (x − 1) = 2 (x − 1)(x + 4) − (x − 1) = 2 x + 4x − x − 4 − x + 1 = 2

x + 3x − 4 = 2 − 1 + x x + 3x − 4 = x + 1

x + 3x − 4 = (x + 1) x + 3x − 4 = x + 2x + 1 퐱ퟐ − 퐱ퟐ + 3x − 2x = 1 + 4

퐱 = ퟓ Respuesta x=5

37 21 xx




Ejemplo 3 Resolver el sistema de ecuaciones:

2푥 + 3푦 − 5푧 = −74푥 + 2푧 − 6푦 = −2

3푥 −32푦 + 푧 = 3

Solución:

2푥 + 3푦 − 5푧 = −74푥 − 6푦 + 2푧 = −26푥 − 3푦 + 2푧 = 6

∗ (−2) ∗ (−3)

−4푥 − 6푦 + 10푧 = 14

4푥 − 6푦 + 2푧 = −2−12푦 + 12푧 = 12

−6푥 − 9푦 + 15푧 = 21

6푥 − 3푦 + 2푧 = 6−12푦 + 17푧 = 27

12푦 − 12푧 = −12−12푦 + 17푧 = 275푧 = 15

푧 = 3

−12푦 + 12푧 = 12 ∗ −1

12

푦 − 푧 = −1 푦 − 3 = −1 푦 = 2 2푥 + 3(2) − 5(3) = −7 2푥 + 6 − 15 = −7 2푥 = 2 푥 = 1

Ejemplo 4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

풙 − 풚 + ퟐ풛= ퟏ

ퟐ풙 + ퟐ 풚 −ퟑ풛= ퟑ

−풙 − ퟐ 풚 + ퟓ풛= 0




Solución Realizando un cambio de variable Sea 풖 = 풚 ; 풗 = ퟏ

풛

푥 − 푢 + 2푣 = 1 (1) 2푥 + 2푢 − 3푣 = 3 (2) −푥 − 2푢 + 5푣 = 0 (3)

Por el método de sustitución De la ecuación 1 despejamos x

푥 = 1 + 푢 − 2푣(4) De la ecuación 3 despejamos x

푥 = −2푢 + 5푣(5)

Resolvemos por el método de igualación de 4 y 5

푥 = 푥 1 + 푢 − 2푣 = −2푢 + 5푣

푢 =7푣 − 1

3

De la ecuación 4 en 2

2푥 + 2푢 − 3푣 = 3 2(1 + 푢 − 2푣) + 2푢 − 3푣 = 3

2 + 2푢 − 4푣 + 2푢 − 3푣 = 3 4푢 − 7푣 = 1

4(7푣 − 1)

3= 1 + 7푣

(28푣 − 4) = 3 + 21푣 7푣 = 7 풗 = ퟏ

Por tanto

푢 =7푣 − 1

3

푢 =7(1) − 1

3

풖 = ퟐ Encontrando el valor de x

푥 = −2푢 + 5푣 푥 = −2(2) + 5(1)

풙 = ퟏ




Cambiando a la variable original

푢 = 푦푣 =

(2) = ( 푦) 1 = 풚 = ퟒ풛 = ퟏ

Finalmente 푥 = 1 , 풚 = ퟒ ,풛 = ퟏ Ejemplo 5 Resolver el sistema de ecuaciones:

⎩⎨

⎧3푥−

8푦

= −12

5푦−

6푥

= −74

Solución:

⎩⎨

⎧3푥−

8푦

= −12

−6푥

+5푦

= −74

Cambio de variable

푆푒푎:푢 =1푥푣 =

1푦

3푢 − 8푣 = −12

−6푢 + 5푣 = −74

푚. (2)

Reduciendo en la primera y segunda ecuación la variable ‘u’ 6푢 − 16푣 = −1−6푢 + 5푣 = −

−11푣 = −

풗 =ퟏퟒ

Sustituyendo 풗 = ퟏ

ퟒ

3푢 − 814

= −12

3푢 =32




풖 =ퟏퟐ

Sustituyendo valor de 풖 = ퟏퟐ

푥 =1푢푥

푥 =1

풙 = ퟐ

푦 =1푣푦 =

1

풚 = ퟒ

Ejemplo 6 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

푥 − 4푥 −16푦 = −20(1)푥 +2푦 = 4(2)

Solución: Analizando la primera ecuación es una ecuación de segundo grado y la segunda ecuación lineal, para la solución del problema podemos utilizar diferentes métodos en este caso utilizaremos el método de reducción (sumas y restas).

푥 − 4푥 −16푦 = −20푥 +2푦 = 4푚. 8

A la segunda ecuación multiplicamos por 8 tendríamos:

푥 − 4푥 −16푦 = −20 8푥 +16푦 = 32

푥 + 4푥0 = 12 풙ퟐ + ퟒ풙 − ퟏퟐ = ퟎ

Factorizando (푥 + 6)(푥 − 2) = 0 Igualando cada factor (푥 + 6) = 0 푥 + 6 = 0 풙ퟏ = −ퟔ (푥 − 2) = 0 푥 − 2 = 0 풙ퟐ = ퟐ




Sustituyendo 푥 = −6 en la ecuación (2) 푥 + 2푦 = 4 (−6) + 2푦 = 4 2푦 = 4 + 6

푦 = 102

풚ퟏ = ퟓ Sustituyendo 푥 = 2 en la ecuación (2) 푥 + 2푦 = 4 (2) + 2푦 = 4 2푦 = 4 − 2

푦 = 22

풚ퟐ = ퟏ Ejemplo 7 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, hallar el valor de ‘k’

s.푥 − 3푦 = 3(1)푥 + 2푦 = 4(2)푥 − 푦 = 푘(3)

Reduciendo ‘x’ en la ecuación (1) y (2) 푥 − 3푦 = 3 m.(-1) 푥 + 2푦 = 4 −푥 + 3푦 = −3 푥 + 2푦 = 4 5푦 = 1

풚 =ퟏퟓ

Reemplazando 풚 = ퟏ

ퟓ en la ecuación (1)

푥 − 3푦 = 3

푥 − 315

= 3

푥 −35

= 3

푥 = 3 +35

푥 =15 + 3

5




풙 =ퟏퟖퟓ

Reemplazando 풚 = ퟏ

ퟓ y 풙 = ퟏퟖ

ퟓ en la ecuación (3)

푥 − 푦 = 푘 185−

15

= 푘 18 − 1

5= 푘

175

= 푘

풌 =ퟏퟕퟓ




TEMA V TEORÍA GENERAL DE

EXPONENTES Y RADICALES




TEMA V TEORÍA GENERAL DE EXPONENTES

Y RADICALES Recuerde

POTENCIABASE EXPONENTE

Base = Numero que se repite como factor. Donde: Exponente = Numero de veces que se repite la base. Potencia = resultado de la operación.

La operación matemática es la: POTENCIACIÓN EXPONENTE NATURAL Es el exponente entero y positivo que nos indica, el número de veces que se repite una expresión como factor.

FORMA GENERAL:

2:;........1:;

""

nINnSiaaaanSia

avecesn

n

EXPONENTE CERO O NULO Todo número diferente de cero o expresión algebraica elevado al exponente cero es igual a la unidad.

FORMA GENERAL: 0;10 aIRaa EXPONENTE NEGATIVO Toda cantidad o expresión algebraica, elevada a un exponente negativo, es igual a una fracción, cuyo numerador es la unidad y cuyo denominador es la misma cantidad o expresión elevada al mismo exponente pero positivo, es decir, en la forma práctica, si el exponente es negativo se trabaja con el recíproco o inverso de la base y con el mismo exponente pero positivo, cuando la cantidad o expresión algebraica (base) sea igual a cero la definición ya no se cumple.

FORMA GENERAL: 0;11 IRaa

a

EXPONENTE FRACCIONARIO

Todo exponente fraccionario de la forma general nm

indica la extracción de una raíz cuyo índice es el

denominador del exponente (n), siendo el numerador (m) el nuevo exponente de la base o cantidad subradical.

FORMA GENERAL: 2; nINnaaamnn mn

m




LEYES DE EXPONENTES

Si: IRbaINnm ,, ; Para nuestro estudio consideraremos las siguientes leyes:

a. Multiplicación de potencias de bases iguales nmnm aaa

b. Potencia de exponente suma nmnm aaa

c. División de potencias de bases iguales nmn

m

aaa ; donde: 0a

d. Potencia de exponente diferencia n

mnm

aaa ; donde: 0a

e. Potencia de otra potencia nmnm aa

f. Multiplicación de potencias de igual exponente nnn baba

g. Potencia de una multiplicación nnn baba

h. División de potencias de igual exponente n

n

n

ba

ba

; donde: 0b

i. Potencia de una división n

nn

ba

ba

; donde: 0b

NOTA. Las leyes expuestas para EXPONENTES NATURALES, pueden ampliarse a EXPONENTES REALES. CASO ESPECIAL: CADENA DE EXPONENTES SUCESIVOS La cadena de exponentes sucesivos se trabaja de ARRIBA HACIA ABAJO, tomados DE DOS EN DOS. Es decir:

ybb aaaxdc ; Donde: ybxc xd ;

MUY IMPORTANTE: La cadena de exponentes sucesivos NO ES LO MISMO que la potencia de potencias sucesivas (potencia de otras potencias).




Es decir:

6422

25622632

823

322 223

EN GENERAL:

dcbb aadc

DEFINICIÓN DE RADICAL La raíz enésima de una cantidad es otra cantidad, tal que elevada a la potencia enésima reproduce la cantidad dada, además de las leyes y definiciones que existen, es importante las relaciones, operaciones y transformaciones que se puedan realizar con los mismos y la operación que permite encontrar la raíz es la radicación.

Es decir arra nn

n Es el índice, además: 2 nINn a Es el radicando o cantidad subradical; si: IRa

Es el operador radical. r Es la raíz; si: IRr

También, es importante recordar las siguientes igualdades:

1. nn aa 1

; donde: 0 nIRa

2. mnn mnm

aaa ; donde: 0 nIRm LEYES DE RADICALES Sean: IRnmba ,,, ; además: 00 nm

a. Multiplicación de radicales de igual índice nnn baba

b. Raíz de una multiplicación nnn baba

c. División de radicales de igual índice nn

n

ba

ba ; donde: 0b

Cadena de exponentes sucesivos → ← Potencia de potencias sucesivas

Donde:




d. Raíz de una división n

nn

ba

ba ; donde: 0b

e. Raíz de otra raíz. nmm n aa

f. Potencia de una raíz. n mmn aa Nota.- En estas leyes, ningún radicando debe ser negativo cuando n es par. ECUACIONES EXPONENCIALES Son aquellas igualdades que contienen a la o las incógnitas sólo en el exponente.

FORMA GENERAL: bax

Las ecuaciones exponenciales se convierten en ecuaciones algebraicas, aplicando las siguientes leyes: LEYES:

I. LEY DE BASES IGUALES. Si: 10 aayxaa yx

II. LEY DE EXPONENTES IGUALES Si: 00 bababa xx En este caso se admitirá que: 0x ; cuando: ba

III. Si: Axx , DONDE LA INCÓGNITA ES “x” SE DEBE BUSCAR FORMAR UNA ANALOGÍA O SEMEJANZA UTILIZANDO LA TEORÍA DE EXPONENTE

También se expresa así:

0 :Si;)2(

)1(

x

nxnx

axaxnx

ax


a

aa

31

1413

2a

81624.8




Solución:

a

aa

a

aa

a

aa

a

aa

31

312412

2a*331

)312412

2a*331

)14(3)13(4

2a*331

1413

2a

222224.2

2224.2

2224.2

81624.8

aaa

a

a

a

a

aa

31

12a-6a31

12a-6a31

12

6a31

3412

6a31

1413

2a 2)24(

24.2)816(2

24.2)22(2

24.2816

24.8

41

21222

81624.8

22

36

31

6a-31

1413

2a

aa

aa

aa

Ejemplo 2 Hallar el valor de:

√풏ퟑ ÷ 풏ퟑퟒ

√풏× √풏ퟓퟔ

√풏ퟔ ÷ 풏ퟑퟒ

√풏ퟑ

ퟔ

Solución:

√푛 ÷ √√

× √푛

√ ÷ √√

=√푛 × √

√× √푛

√√ × √

=√ ×√ × √

√√

√ × √

=√푛 × √푛 × √푛 × √푛 × √푛

√푛 × √푛

=√푛 × √푛 × √푛 × √푛 × √푛

√푛 × √푛




=푛 × 푛 × 푛 × 푛 × √푛

√푛 × 푛

=푛 × √푛√푛 × 푛

= 푛

Ejemplo 3 Racionalizar el denominador:

푎√푎 + 푏 + 푏√푎 + 푏 + 푎√푎 − 푏 + 푏√푎 − 푏√푎 + 푏 + √푎 − 푏

Solución:

=(푎 + 푏)√푎 + 푏 + (푎 + 푏)√푎 − 푏

√푎 + 푏 + √푎 − 푏

=(푎 + 푏)(√푎 + 푏 + √푎 − 푏)

√푎 + 푏 + √푎 − 푏

= 풂 + 풃

Ejemplo 4 Resuelve:

풂ퟐ풃풄ퟐ

×풄ퟑ

풅ퟐ

ퟐ

×풂풃ퟐ

풂ퟑ풃ퟑ

ퟏퟒ

Primero hacemos las operaciones dentro del paréntesis:

푎 푏푐

×푐푑

×푎푏푎 푏

=푎 푏푐

×푐푑

×푎푏푎 푏

En el numerador y denominador multiplicamos las potencias de la misma base:




푎 푏푐

×푐푑

×푎푏푎 푏

=푎 × 푏 × 푐푎 푏 푐 푑

푎 × 푏 × 푐푎 푏 푐 푑

=푐푑

푐푑

=푐푑

Ejemplo 5 Resuelve:

풂ퟐ풃풄ퟐ

×풄ퟑ

풅ퟐ

ퟐ

×풂풃ퟐ

풂ퟑ풃ퟑ

ퟏퟒ

Primero hacemos las operaciones dentro del paréntesis:

푎 푏푐

×푐푑

×푎푏푎 푏

=푎 푏푐

×푐푑

×푎푏푎 푏

En el numerador y denominador multiplicamos las potencias de la misma base:

푎 푏푐

×푐푑

×푎푏푎 푏

=푎 × 푏 × 푐푎 푏 푐 푑

푎 × 푏 × 푐푎 푏 푐 푑

=푐푑

푐푑

=푐푑





nn n2

1n

99

3

Solución:

333

3*33

3*3)3(3

3*3

)9(9

3*3

99

3 n

2 2

n

2 2

n

2

n

2

1*n

n nnnn n

nn n

nn n

nn n

Ejemplo 7 Simplificar la expresión:

E = (8푎 ) ∗ ( ) + (4푎 )

E = (8푎 ) ∗ ( )

+ (2 푎 )

E = ( )

∗ ( )

+ ( )

E = ∗ +

E = +

E = =

Ejemplo 8 Calcular el valor de la siguiente expresión:

E = 2 √√

√ √

= 2 √√

√

= 2 √√

√ √

E = a




E = 2 √√

√ .√

= 2 √√

E = 2 √ .√ = 2 = 2

E = 2 =

Ejemplo 9 Resolver la siguiente operación:

E = 11 − √75 − √27 + 3

E = 11√√− √5 . 3 − √3 . 3 + 3 √

√ .

E = 11√− √3 − . √3 +

√ Racionalizando de nominadores radicales:

E = 11 √√ √

− √3 − √3 + √√ √

E = √3 − √3 − √3 + √3 M.C.M. = 6

E = √ √ √ √

E = √ √

E = √

E =


E = √

√ √

Transformando el numerador de la siguiente manera:

푋 + 푋 − √푋 = 푋 + 푋 + √푋 푋 − √푋

4

√3




= 푥 + 푥 + √푥. 푥 − √푥

Multiplicando y dividiendo por 2 la expresión subradical:

= √ √

= √ √

= √ √

√

Reemplazando en el planteamiento original:

E = √ √

√ √ √ =

Ejemplo 11 Racionalice el denominador

퐚√퐛 − 퐛√퐚퐚√퐛 + 퐛√퐚

Solución

=a√b − b√aa√b + b√a

풂√풃 − 풃√풂풂√풃 − 풃√풂

=a√b − b√a 풂√풃 − 풃√풂

a√b − b√a

=a√b − ab√ab − ab√ab + b√a

a b − ab

=a b + ab − 2ab√ab

a b − ab

=a b + ab − 2ab√ab

a b − ab

1√2




=풂풃 a + b − 2√ab

퐚퐛(a − b)

=풂 + 풃 − ퟐ√풂풃

풂 − 풃




TEMA VI ECUACIONES DE SEGUNDO

GRADO




TEMA VI ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ejemplo 1 Resolver:

642 xx

426 xx Aislamos el radical

22 )42()6( xx Elevamos el cuadrado

x2 - 12x + 36 = 2x – 4 x2 - 14x + 40 = 0 Forma canónica

2614

)1(2)40)(1(4)14()14( 2

x Fórmula de segundo grado

x1= 102

614

; x2= 4

2614

Remplazando valores, verificamos en la ecuación inicial Si: x1=10 en 642 xx => 6664)10(210 (por tanto x = 10 es solución) Si: x2=4 en 642 xx => 6264)4(24 (por tanto x = 4 no es solución) Ejemplo 2 Resolver la ecuación

x2 - 10x + 25 = 0

Si: x2 - 10x + 25 = 0 raíz cuadrada de x2 → x y de 25 →5

Luego: (x – 5)2 = 0 (x – 5)(x – 5) = 0 x1,2 = 5 Ejemplo: Resolver la ecuación

x2 + 2x + 4 = 0

Si: x2 + 2x + 4 = 0 raíz cuadrada de x2 → x y de 4 →2 Luego: (x + 2)2 = 0




(x + 2)(x + 2) = 0 x1,2 = -2

Ejemplo 3 Resolver:

x2 + 7x + 10 = 0

x2 + 7x + 10 = 0 => a = 1; b = 7; c = 10

a2

ac4bbx2

=>)1(2

)10)(1(4)7(7x

2

x1= 22

37

; x2= 52

37

Ejemplo 4 Resolver:

3x2 + 5x - 8 = 0

3x2 + 5x - 8 = 0 => a = 3; b = 5; c = -8

a2

ac4bbx2

=>)3(2

)8)(3(4)5(5x

2

x1= 16

115

; x2= 38

6115

Ejemplo 5 Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números? 1er número x 2º número x + 2

푥 + (푥 + 2) = 580 푥 + 푥 + 4푥 + 4 = 580

2푥 + 4푥 − 576 = 0 푥 + 2푥 − 288 = 0

푥 =−2 ∓ √4 + 1152

2

풙ퟏ = ퟏퟔ풙ퟐ = −ퟏퟖ





ퟑ(ퟓ풙) + ퟐ(ퟔ풚 ퟏ) = ퟖퟎퟕ ퟏퟓ(ퟓ풙 ퟏ) − ퟔ풚 = ퟑퟑퟗ

Solución

3(5 ) + 2(6 )(6 ) = 807 15(5 )(5 ) − 6 = 339

3(5 ) + 12(6 ) = 807

155

(5 ) − 6 = 339

3(5 ) + 12(6 ) = 807

3(5 ) − 6 = 339 Realizando cambio de variable

푢 = 5 푣 = 6 3푢 + 12푣 = 807……………….1 3푢 − 푣 = 339…………………..2

Resolviendo el sistema por el método de sustitución Despejando v de ecuación 2 푣 = 3푢 − 339……………….3 Reemplazando ecuación 3 en 1

3푢 + 12푣 = 807 3푢 + 12(3푢 − 339) = 807 3푢 + 36푢 − 4068 = 807

39푢 = 4875 풖 = ퟏퟐퟓ

Reemplazando u=125 en ecuación 3 푣 = 3푢 − 339

푣 = 3(125) − 339 풗 = ퟑퟔ

Reemplazando u=125 y v=36 en el cambio de variable 푢 = 5 푣 = 6

125 = 5 36 = 6 5 = 5 6 = 6

풙 = ퟑ풚 = ퟐ




TEMA VII LOGARITMOS




TEMA VII LOGARITMOS

Ejemplo 1 Resolver la siguiente ecuación

log(2 ) + log 1250 = 4 Solución:

log 2( )( ) + log 1250 = 4 log 2( )( ) = 4 − log 1250

Expresando en número 4 en función del logaritmo: 4 = log 10000 = log 104

log 2( )( ) = log 10 − log 1250 Aplicando la propiedad reciproca del logaritmo de un cociente:

log 2( )( ) = log100001250

Eliminando logaritmos

2( )( ) =100001250

2( )( ) = 8 2 = 2 4 − 푥 = 3 푥 = 4 − 3 푥 = 1 푥 = ∓√1 푥 = 1푥 = −1

Nota. Las dos soluciones son validas.


log(푥 + 푦) + log(푥 − 푦) = log 33 (푒 )(푒 ) = 푒

Solución Aplicando propiedades de logaritmos y exponentes

log(푎) + log(푏) = log(푎푏) (푎 )(푎 ) = 푎

log[(푥 + 푦)(푥 − 푦)] = log 33 (푒 ) = 푒

(1) (2)




Eliminando logaritmos de ecuación (1) log[(푥 + 푦)(푥 − 푦)] = log 33 (푥 + 푦)(푥 − 푦) = 33

Eliminando “e” de la ecuación (2)

푒 = 푒 푥 + 푦 = 11

Reemplazando ecuación (4) en ecuación (3)

(푥 + 푦)(푥 − 푦) = 33 11(푥 − 푦) = 33 11(푥 − 푦) = 33 (푥 − 푦) = 3 푥 = 3 + 푦

Reemplazando (5) en (4)

푥 + 푦 = 11 3 + 푦 + 푦 = 11 2푦 = 8 푦 = 4

Reemplazando y=4 en ecuación (5)

푥 = 3 + 푦 푥 = 3 + 4 푥 = 7 Finalmente 푥 = 7ʌ푦 = 4

Ejemplo 3 Resolver la ecuación:

10 = 100

Solución:

10 = 10

푥 − 5푥 + 8 = 2

푥 − 5푥 + 6 = 0

(푥 − 2)(푥 − 3) = 0

푥 = 2; 푥 = 3

Ejemplo 4 Resolver la ecuación:

log 2 + log 4 − log√ 3 = 2

(3)

(4)

(5)




Solución:

Cambiamos de base log 2log 푥

+log 4

log 푥−

log 3log √푥

= 2

log 2log 푥

+log 2log 푥

−log 3

log 푥 ⁄ = 2

log 2log 푥

+2log 22log 푥

−log 3

log 푥= 2

1log 푥

+1

log 푥−

2 log 3log 푥

= 2

1 + 1 − 2 log 3log 푥

= 2

2 − 2 log 3 = 2 log 푥

2 log 푥 = 2 − 2 log 3

log 푥 = 1 − log 3

log 푥 = log 2 − log 3

log 푥 = log23

푥 =

Ejemplo 5 Hallar el valor de la siguiente expresión:

푙표푔 + 푙표푔

푙표푔 √푎 + 푏

Solución:

√=

( )

( )

= ( )

( )

1

1

1




=− − 1

=−

= −3

Finalmente:

√= −3

Ejemplo 6 Resolver el sistema:

log log log (4푥 + 3푦) = 0 2 = 256

Solución: En la ecuación (1) por definición de logaritmos:

log log (4푥 + 3푦) = 푎 = 1 log (4푥 + 3푦) = 2 = 2 (4푥 + 3푦) = 3 = 9 4푥 + 3푦 = 9

En la ecuación (2) como 256 = 28:

2 = 2 2푥 − 3푦 − 1 = 8 2푥 − 3푦 = 9

Formamos el sistema:

4푥 + 3푦 = 9 2푥 − 3푦 = 9

Por el Método de reducción:

4푥 + 3푦 = 9 2푥 − 3푦 = 9 6푥 = 18

푥 = = 3

4푥 + 3푦 = 9 −4푥 + 6푦 = −18 9푦 = −9

푦 =−99

= −1

풙 = ퟑ풚 = −ퟏ

(1’)

(1) (2)

(1’)

(2’)

(2’)

(x1)

(x1)

x(-2)

(x1)

Versión 1 - FCEFA

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