VI DEC (Vídeos os de Ex Física - unav.edu · o de péndu do de la mis mpo para re característic...
19
Dra. C SUMA I. R II. C III. E I IV. REFE ANEX I. RE efectacopuna s cump se pr deseneceEfect armó segúdidác onda Carmen Pala VI‐DEC ARIO RESUMEN Y CONCEPTO II.1 Introd II.2 DefinII.3 Relac II.4 Onda ESTUDIO SO III.1 Condicio III.2 Estudio III.2.1 Sim III.2.2 Sim III.2.3 Sim III.2.4 Sim III.2.5 Re III.2.6 Co III.3 Simetría III.4 Simetría III.5 General CONCLUSIÓ ERENCIAS XO. Vídeos u SUMEN Y O El fenóm o óptico que lados, cuand serie de onda En este a plir para que roducen en e construir. sarios para to óptico, Co ónica. Ademá n el número ctico de este s a un públic acios Estrem (Vídeos DY OBJETIVO OS BÁSICOS ducción iciones ción entre la armónica OBRE LA DA ones que deb de las simet metría para e metría para a metría para u metría para u sumen de la nstrucción as en un seg as en un terc izaciones pa ÓN utilizados en OBJETIVO meno conocid e se produce do se dejan l as que camb artículo se de se produzca varios ejem En la intro iniciar a cua omportamien ás, se presen o de oscilac e fenómeno co no experto era Didáctic ANZA DO S longitud y el ANZA DE LO ben cumplir trías que se el inicio y el fantes y despun cuarto y tr un tercio y do s simetrías e undo ejempl cer ejemplo ara cualquier el artículo do como esf e en un jueg ibres partien bian en el tieescriben las a la danza d plos de osc oducción se alquier perso nto colectivo ntan unos gr ciones que que aquí so. 1 cos de Ex Física E LOS P periodo de u OS PÉNDUL para que se producen en inal de la da ués de la mit res cuartos d os tercios de estudiadas lo r modelo feras danzan go de péndu ndo de la mis mpo para re característic de péndulos. cilación y se resumen lo ona en la co o, en conju ráficos, dond realiza desd e hace, perm Dpto. xperimen ÉNDULO un péndulo LOS origine la da n un primer e nza tad de la dan de la danza la danza ntes o danzulos simples sma posición petirse al ter cas que un cSe estudian e generaliza os concepto omprensión nto, Movimide se ven las de el inicio mite acercar Facu Física y Mat ntos Cien OS anza jemplo nza a de péndul de longitude n lateral. Los rminar cada c onjunto de p n, en detalle, a un mode os básicos d de este fenó ento armónis posiciones de la danz r el estudio ultad de Cie temática Ap cpalac ntíficos) los consiste es diferentes s péndulos d ciclo. péndulos tien las simetría elo que cualde física ge ómeno como co simple y de cada pé za. El tratam de oscilacio encias licada cios@unav.e en el s y no ibujan ne que as que quiera eneral, o son: Onda ndulo, miento ones y es
Transcript of VI DEC (Vídeos os de Ex Física - unav.edu · o de péndu do de la mis mpo para re característic...
Dra. C
SUMA
I. RII. C
III. EII
III
IV. CREFEANEX
I. RE
efecto
acopl
una s
cump
se pr
desee
neces
Efect
armó
según
didác
onda
Carmen Pala
VI‐DEC
ARIO
RESUMEN YCONCEPTO
II.1 IntrodII.2 DefiniII.3 RelacII.4 Onda
ESTUDIO SOIII.1 CondicioIII.2 Estudio
III.2.1 SimIII.2.2 SimIII.2.3 SimIII.2.4 SimIII.2.5 ReIII.2.6 Co
III.3 SimetríaIII.4 SimetríaIII.5 GeneralCONCLUSIÓERENCIAS XO. Vídeos u
SUMEN Y O
El fenóm
o óptico que
lados, cuand
serie de onda
En este a
plir para que
roducen en
e construir.
sarios para
to óptico, Co
ónica. Ademá
n el número
ctico de este
s a un públic
acios Estrem
(Vídeos
DA
Y OBJETIVOOS BÁSICOSducción iciones ción entre la armónica OBRE LA DAones que debde las simet
metría para emetría para ametría para umetría para usumen de lanstrucción
as en un segas en un tercizaciones pa
ÓN
utilizados en
OBJETIVO
meno conocid
e se produce
do se dejan l
as que camb
artículo se de
se produzca
varios ejem
En la intro
iniciar a cua
omportamien
ás, se presen
o de oscilac
e fenómeno
co no experto
era
Didáctic
ANZA DE
O S
longitud y el
ANZA DE LOben cumplir trías que se pel inicio y el fiantes y despuun cuarto y trun tercio y dos simetrías e
undo ejemplcer ejemplo ara cualquier
el artículo
do como esf
e en un jueg
ibres partien
bian en el tiem
escriben las
a la danza d
plos de osc
oducción se
alquier perso
nto colectivo
ntan unos gr
ciones que
que aquí se
o.
1
cos de Ex
Física
E LOS P
periodo de u
OS PÉNDULpara que se producen enfinal de la daués de la mitres cuartos dos tercios de estudiadas
lo
r modelo
feras danzan
go de péndu
ndo de la mis
mpo para re
característic
de péndulos.
cilación y se
resumen lo
ona en la co
o, en conju
ráficos, dond
realiza desd
e hace, perm
Dpto.
xperimen
ÉNDULO
un péndulo
LOS origine la da
n un primer ejnza tad de la dan
de la danza la danza
ntes o danza
ulos simples
sma posición
petirse al ter
cas que un co
Se estudian
e generaliza
os concepto
omprensión d
nto, Movimie
de se ven las
de el inicio
mite acercar
FacuFísica y Mat
ntos Cien
OS
anza jemplo
nza
a de péndul
de longitude
n lateral. Los
rminar cada c
onjunto de p
n, en detalle,
a un mode
os básicos d
de este fenó
ento armónic
s posiciones
de la danz
r el estudio
ultad de Cietemática Ap
cpalac
ntíficos)
los consiste
es diferentes
s péndulos d
ciclo.
péndulos tien
las simetría
elo que cualq
de física ge
ómeno como
co simple y
de cada pé
za. El tratam
de oscilacio
encias licada
en el
s y no
ibujan
ne que
as que
quiera
eneral,
o son:
Onda
ndulo,
miento
ones y
es
Dra. C
verlo)
de los
II. CO
II.1 In
natur
tirar u
un co
artícu
pued
perso
dirigid
obser
de on
energ
Este
es ex
movim
mom
objeto
hacia
movim
cine e
décim
separ
unas
que s
de los
Carmen Pala
Se puede
). Al observa
s péndulos,
ONCEPTOS
ntroducción
El estudio
raleza en mú
una piedra a
En este a
onjunto de pé
La parte d
ulo [1] y ha s
e verse por
onas hacen a
das las exp
rvación de ta
Estos pén
ndas que cam
gía, como re
es un ejemp
xaminada só
Otro ejem
miento cole
entos discre
o que se mu
a adelante o
miento del o
el movimient
Los dibuj
ma de segu
radas. Así, l
respecto de
Estos efe
subyace a lo
s instantes, e
acios Estrem
e ver esta da
ar el movimi
realzando su
S BÁSICOS
n
o de las osc
últiples aspec
l agua.
artículo se va
éndulos de d
de la física t
sido ampliam
r ejemplo en
a los autores
plicaciones d
anta belleza
ndulos no ac
mbian con e
ealmente lo h
plo de comp
lo en puntos
mplo de com
ctivo surge
etos del tiem
ueve de una
hacia atrás
objeto. Ver e
to de las rued
jos animado
undo, que e
a visión hum
e otras.
ectos ópticos
o largo de tod
en el caso de
era
anza con mú
ento, el cere
u belleza.
cilaciones y l
ctos: los átom
an a abordar
distintas long
eórica de es
mente utiliza
n [2, 3 y 4]
s muestran q
de este artí
como aparec
coplados (ind
l tiempo. Se
hacen las on
portamiento c
concretos d
portamiento
cuando un
po. El efecto
a forma rápi
, según la fr
el vídeo 2. E
das de los tr
s y el cine
es lo que e
mana ve un
s no tienen p
dos los punt
el movimient
2
úsica en el v
ebro trata de
las ondas es
mos, el sonid
r las oscilaci
itudes.
ste comporta
ada por much
. No obstan
que no lo lleg
ículo, con la
ce en este c
dependientes
dice efecto
ndas, por eje
colectivo que
de su eje.
colectivo es
na señal co
o óptico se p
da y periódi
recuencia de
Esto se obse
renes o coch
son escena
el ojo huma
movimiento
posibilidad d
tos del eje e
to del objeto
Dpto.
ídeo 1. (Hac
e sincronizar
s apasionant
do, los emiso
ones que se
miento ha si
hos autores
nte, las múlt
gan a entend
a ilusión de
urioso exper
s unos de ot
óptico, ya qu
emplo las ola
e se present
s el efecto es
ontinua es
produce al il
ica. El objet
e destellos s
erva, a vece
es.
s sucesivas
no necesita
continuo en
de dar inform
n el caso de
.
FacuFísica y Mat
cer clic sobre
r la música c
te, ya que s
ores y recept
e visualizan p
do explicada
sobre todo
tiples pregun
er en profun
e hacer más
rimento.
tros) produce
ue estas ond
as del mar a
ta cuando u
stroboscópico
examinada
uminar med
o se ve en
sea inferior o
es, cuando v
en periodos
para detec
lo que son
mación de la
e los péndulo
ultad de Cietemática Ap
cpalac
e el recuadro
con el movim
se presentan
tores de rad
periódicamen
a con detalle
en internet,
ntas que m
ndidad. A ella
s comprens
en el efecto
das no transp
l llegar a la
na señal co
o. En este c
en determi
diante destell
movimiento
o superior a
visualizamos
s inferiores
ctar dos es
escenas mo
a función co
os, o en cad
encias licada
o para
miento
en la
io o al
nte en
e en el
como
uchas
as van
iva la
óptico
portan
costa.
ntinua
aso el
nados
los un
lento,
la del
en el
a una
cenas
ovidas
ntinua
da uno
es
Dra. C
II.2 D
Oscil
posic
simpl
comp
otra,
la pos
Perio
oscila
Fase
Se m
separ
t=
t=
t=
t=
t=
encue
comp
oscila
más
ha re
más
realiz
más
ha re
Carmen Pala
Definiciones
lación. Es e
ción de equili
le y que se r
pleta consist
B (Y=-1), y v
sición centra
odo T. Es
ación o ciclo.
e. Es cada un
muestran alg
rado los reco
=0, el péndu
=T/4, el pénd
=T/2, el pénd
=3T/4, el pén
=T, el péndu
Se pone
entra el pénd
Cuando
pletas: siem
aciones.
Cuando u
un cuarto (
ealizado 2,25
Cuando u
media (1/2)
zado 2,5 osc
Cuando u
tres cuartos
ealizado 2,75
acios Estrem
el movimiento
ibrio. Consid
realiza sobre
e en ir desd
volver a la p
al (Y=0).
el tiempo q
.
na de las po
gunos ejemp
orridos de ida
lo está en A
dulo ha reco
dulo ha reco
ndulo ha reco
ulo está en A
n también e
dulo según la
un péndulo
pre se enco
un péndulo h
(1/4) de osci
5 oscilaciones
un péndulo h
) oscilación,
ilaciones.
un péndulo h
s (3/4) de os
5 oscilaciones
era
o repetido d
eramos que
e el eje Y. El
de una posic
rimera, A (Y
que tarda e
osiciones que
plos para di
a y vuelta. S
, inicio del ci
rrido 1/4 del
rrido 1/2 ciclo
orrido 3/4 de
, final del cic
ejemplos pa
as oscilacion
o hace un
ontrará en
hace un nº en
lación, siem
s.
hace un nº e
siempre se
hace un nº e
scilación, siem
s.
3
de un péndul
es un movim
l recorrido de
ción extrema
Y=1), pasand
el péndulo e
e puede tom
stinguir las
Se muestran
clo: Ainicio, Y=
ciclo, está e
o, está en B
el ciclo, está
clo: Afinal, Y=1
ara ver las
nes realizada
nº entero
A, Y=1. Aq
ntero de osc
mpre se enco
entero de os
encontrará e
entero de os
mpre se enc
Dpto.
lo en torno a
miento armó
e una oscilac
a, A (Y=1),
o dos veces
en realizar
ar el péndul
diferentes f
las fases par
=1
en Y=0
, Y=-1
en Y=0
1
posiciones
as.
o de oscila
quí ha realiz
cilaciones co
ontrará en Y=
scilaciones co
en B, Y= -1.
scilaciones c
contrará en Y
FacuFísica y Mat
a su
nico
ción
a la
por
una
o en una os
fases. En la
ra:
y las fase
aciones
zado 3
ompletas
=0. Aquí
ompletas
Aquí ha
completas
Y= 0. Aquí
A Y=1
t=0, Y=1
Y=0,
Y=-1
0
0
ultad de Cietemática Ap
cpalac
scilación com
as figuras se
es en las qu
L
Y=0
Ainicio t=T,
t= t=
B t=T
0 1 2 3
Y=
0 1 2 2,2
B
0 1 2 2,5
0 1 2 2
encias licada
mpleta.
e han
ue se
L
B Y=-1
Afinal
T/2
A Y=1
=0
25
B Y=-1
5
Y=0 2,75
es
Dra. C
II.3 R
Desp
II.4 O
armó
III.1 C
elegir
núme
signif
qued
Carmen Pala
Relación ent
Esta
y L es la
pejando L y p
La relació
Para L1=
Onda armón
Se dice q
ónico simple.
En el tiem
En el esp
por ej. en
III.
Condiciones
Estar sep
r el mínimo,
Hacer un
ero arbitrario
ficativamente
a definida có
Periodo: T
acios Estrem
re la longitu
a es: L=
distancia en
poniendo los
ón entre L y T
1 m y L2=0,2
ica.
que una ond
Esta onda e
mpo. Cada p
pacio. Longi
ntre dos cres
ESTUDIO
s que deben
parados entr
para que los
n número en
o), en un
e mayor que
ómo va a ser
Tn= ,
Y
era
ud y el perio
donde
ntre el centro
valores de g
T de dos pén
25 m aproxim
da es armón
es periódica:
péndulo tiene
itud de onda
tas.
O SOBRE LA
n cumplir los
re sí una m
s péndulos no
ntero consec
tiempo T (
el periodo d
r la danza. A
Longitud: Ln
4
odo de un pé
g es la acele
o de graveda
g y se obtie
ndulos, 1 y 2
madamente s
nica cuando
e su periodo,
a, es la di
A DANZA D
s péndulos
misma distanc
o choquen e
cutivo de os
ciclo de la
de cada pén
A cada péndu
n(cm)=24,8xT
Dpto.
éndulo
eración de la
d del péndul
ene L(m)=0
2 es:
se obtiene:
o todos sus
, T, o tiempo
stancia míni
E LOS PÉND
para que se
cia d. Este
entre sí.
scilaciones,
danza). E
dulo individu
ulo le corresp
Tn2 Posició
FacuFísica y Mat
gravedad g
o y el punto
0,248T2
y T
T1=2 s y T2
puntos hace
de la oscilac
ma entre do
DULOS
e origine la d
valor es arb
N+n (n=0
Este tiempo
ual. Fijados
ponde:
ón: xn=n.d
X
ultad de Cietemática Ap
cpalac
g=9,8 m/s2
de sujeción.
T(s)=2,007
2=1 s
en un movim
ción complet
os puntos en
danza
bitrario. Se p
0,1, 2,… has
T tiene qu
los valores
X
encias licada
.
miento
ta.
n fase,
puede
sta un
ue ser
N y T,
es
Dra. C
III.2 E
cada
en qu
realiz
inicia
distin
realiz
como
N
Posició
Carmen Pala
Estudio de l
Para este
péndulo se
Se descri
El prime
T0=T/N=6
L(m)=0,2
El segu
T1=T/(N+
m=93 cm
El 12º, n
60/41=1,4
L(m)=0,2
En el esq
Al analizar
ue se encue
zadas. Al se
an sus movim
ntos periodos
zado un núm
o para t=0 s,
Nombre (n)
ón en cm: (xn
L()
248
T2
N30
acios Estrem
as simetrías
e estudio se
designa con
iben los dato
er péndulo,
60/30=2 s,
48T2
=0,99 m
ndo, n=1,
+n)=60/31=1,
m.
n=11, hace
463 s, es
48T2
=0,53 m
quema sigui
la evolución
entra cada p
pararlos de
mientos en fa
s de oscilac
mero entero
listos para re
0 1
n=n.d) 0 3
L(cm
)=24
,8xT
N
+n=
30+
n
99
30
9306
31
era
s que se pro
e ha elegido:
el valor de “
os de interés
n=0, hace
está situ
m=99 cm.
hace N+n
935 s, está
N+n=41 os
stá situado
m=53 cm.
iente se res
n temporal d
péndulo. La f
su posición
ase, instante
ción. Despu
de oscilacion
epetir la dan
2 3
3,5 7 10
93,0
6
31
87,3
4
32
8212
33
5
oducen en u
: N=30, T=6
“n” que le co
en tres de e
N+n=30 o
ado en x
n=31 oscila
á situado en
scilaciones e
en x11=1
umen los da
el sistema, a
fase está re
de equilibrio
e llamado t=
és de un ti
nes, N+n, y
nza.
4 5
0,5 14 1
82,1
2
33
77,3
6
34
Dpto.
un primer ej
60 s, d=3,5 c
rresponde.
estos péndulo
scilaciones
x0=0x3,5=0
aciones en
x1=1x3,5=3
en T=60 s,
1x3,5=38,5
atos de cad
aparecen sim
elacionada co
o y soltarlos
=0 s, pero en
iempo T (ci
vuelven a e
6 7
7,5 21 2
73,0
1
35
69,0
1
36
FacuFísica y Mat
emplo
cm, se utiliza
os.
en T=60 s
cm y es
T=60 s,
3,5 cm y L(m
su periodo
cm y es
a péndulo
metrías prod
on el númer
a la vez, to
nseguida se
clo de la d
estar todos d
Tn= =
7 8
24,5 28
65,3
3
37
62,9
3
38
ultad de Cietemática Ap
cpalac
an 12 péndu
s, su period
el más
su period
m)= 0,248T2
es T11=T/(N
s el más
ucidas por la
ro de oscilac
odos los pén
desfasan po
anza), todos
de nuevo en
=
9 10
31,5 35
59,8
0
39
56,8
9
40
encias licada
ulos y
do es
largo
o es 2
=0,93
N+n)=
corto
a fase
ciones
ndulos
or sus
s han
n fase,
11
38,5
53,2
0
41
es
Dra. C
- Rojo
t(T)
(s)
III.2.1
A1)
separ
desde
A2)
oscila
nº
prime
Carmen Pala
Pintamos lo
o para n=2, 6
A1)
0
∞
1 Simetría p
En el inicio
rados de la
e arriba.
En el final
aciones, com
Péndulo
osc. en 60 s
Se disting
A1) Inicio
La selecció
era y la segu
Péndulos vis
acios Estrem
os 12 péndu
6 y 10. -Ve
B1)
T/4
15
4d
ara A1) inic
de la danza
posición de
de la danza
mo se muestr
(n) 0
s (30+n) 3
guen dos tipo
Y=1
Y=0
Y=-
o de la danza
B1) Un cu
ón de tiempo
unda mitad d
stos de costa
era
los con 4 co
erde para n=
C1)
T/3
20
3d
io y A2) fina
a, t=0 s, los
e equilibrio,
a, t=T=60 s,
ra en la tabla
0 1 2
30 31 3
os de ondas:
1
0
-1
a
uarto
C1) Un te
os se ha hec
de la danza y
ado
6
lores: - Ros
= 3, 7 y 11.
D)
T/2
30
2d
al de la danz
péndulos ha
la máxima
todos los p
a:
2 3 4
32 33 3
:
ercio Mitad
cho en base a
y se muestra
Dpto.
sa para n=0,
C2
2T/T(1-
40
3d
za
an hecho 0 o
amplitud po
éndulos han
4 5 6
34 35 3
C2) Dd
a las simetría
a continuac
Péndulo
FacuFísica y Mat
4 y 8. - Az
2) B
/3= 1/3) 0
3TT(1
d
oscilaciones,
sitiva, Y=1,
n hecho un n
6 7 8
6 37 3
B2)
Dos tercios
as que se pr
ión:
os vistos des
ultad de Cietemática Ap
cpalac
ul para n=1,
B2)
T/4= 1-1/4) 45
4d
todos ellos
cuando se
número ente
8 9 1
38 39 4
A2
) Tres cuart
roducen entre
sde arriba
encias licada
5 y 9.
A2)
T
60
∞
están
miran
ero de
0 11
40 41
2) Final
os
e la
es
Dra. C
como
contin
cada
r=d.
otras
pénd
ejemp
movim
Se pu
En A
se mupor tcomoPrime
n= 0
Carmen Pala
Onda “vi
o para t=0 s.
Onda “re
nua, en vez
uno de ellos
A continu
4 simétrica
ulo n=0 con
plo, para t2
mientos está
ueden relacio
1) de t1 a t 4
A1) InEl péndul
ueve más letanto va deto una onda ero baja la pa
1 2 3 4
t1
t2
t3
t4
acios Estrem
isual”, la qu
Su longitud
eal” es la
de estar en
s le separa d
uación se mu
s durante el
n T0=2 s hac
=0,35 s y p
án invertidos
onar los ava
4 va hacia la
nicio de la dalo n=0, el deento que el strás de él. que avanza
arte dcha. y
Y=1
Y=0
Y=-
5 6 7 8
1=0 s
2=0,35 s
3=0,65 s
4=1 s
era
e dibujan los
de onda es
que dibujarí
n posiciones
del otro una o
uestran 4 sec
l último seg
ce media os
para t7=59,6
.
nces de esta
izda.
anza. e mayor periosiguiente, n=El conjunto
a hacia la izluego la izda
r=d
1
0
-1
8 9 10 11
7
s péndulos.
v=∞.
ían los pén
discretas, s
oscilación co
cuencias dur
gundo del fi
scilación de
65 s, los pén
as ondas con
odo, =1, y o es zda.
a.
Dpto.
Todos ellos
dulos si est
separados u
ompleta. La l
rante el prim
nal de la da
t1 a t4 al in
ndulos tienen
n los de las o
En A2) de
El pénduln=1, va mconjunto ehacia la dy luego la
n=0 1
FacuFísica y Mat
están en un
tuvieran colo
na distancia
ongitud de e
mer segundo
anza. Observ
nicio o de t5
n posiciones
olas del mar.
t5 a t8 va ha
A2) Final do n=0 va remás lento yes como uncha. Primeroizda.
2 3 4 5
t8=6
t7=5
t6=5
t5=5
ultad de Cietemática Ap
cpalac
na horizontal
ocados de
a, d, entre el
esta onda “re
o desde el in
var que en
5 a t8 al fina
s iguales, per
acia la dcha.
de la danza etrasado resy detrás dena onda queo sube la pa
6 7 8 9
60 s
59,65 s
59,35 s
59 s
encias licada
, Y=1,
forma
los. A
eal” es
nicio y
1 s el
al. Por
ro sus
specto al e él. El e avanza arte dcha.
10 11
es
Dra. C
III.2.2
como
nº
enter
impar
se en
.
t2
m
lo
t1
va
en
Carmen Pala
2 Simetría p
En la mita
o se muestra
Péndulo
osc. en 30 s
Cada pén Los pénd
ro de oscilac
r de oscilaci
ncuentran en
Se m
2=30,2 s. O s
mitad de la da
Se fo
s péndulos a
se separan
a siempre má
En t1
n t2 van haci
acios Estrem
ara D) antes
ad de la dan
a en la tabla:
(n)
s (15+n/2)
ndulo se sep
dulos que ha
ciones en T/2
ones en T=6
n Y=-1. Altern
Y
Y
Y
uestra la si
sea 0,2 s an
anza.
rman dos o
alternativos y
y en t2 se a
ás despacio
estas dos o
ia la dcha.
era
s y después
za a T/2=60/
0 1
15 15,5 1
ara ½=0,5 os
acen un núm
2=30 s, se e
60 s, hacen
nativamente
=2d
Y=1
Y=0
Y=-1
imetría entre
ntes y 0,2 s
ondas indep
y movimiento
cercan. (La p
que la derec
ondas van h
8
s de la mitad
/2=30 s, los
2 3 4
16 16,5 17
scilación del
mero par de o
encuentran a
un número e
están en Y=
e t1=29,8 s
después de
pendientes c
os inversos,
parte izquier
cha).
hacia la izda
Dpto.
d de la danz
péndulos ha
4 5 6
7 17,5 18
siguiente.
oscilaciones
arriba en Y=1
entero más m
=1 e Y=-1. La
s y
e la
con
en
rda
. y
n= 0
FacuFísica y Mat
a
an hecho (N+
7 8
18,5 19
en T=60 s,
1, y los que
media oscila
a longitud de
1 2 3 4 5
t1
t2
ultad de Cietemática Ap
cpalac
+n)/2 oscilac
9 10
19,5 20
hacen un nú
hacen un nú
ación en T/2=
onda es de
5 6 7 8 9 1
1=29,8 s
2=30,2 s
encias licada
iones,
11
20,5
úmero
úmero
=30 s,
2d.
10 11
es
Dra. C
III.2.3
B1)
como
nº o
ha he
encue
cresta
onda
pénd
longit
entre
indep
mism
- L
- L
- L
e
para
la da
E
v
E
Carmen Pala
3 Simetría p
En un cuart
o se muestra
Péndulo
osc. en 15 s
Cada pén
El péndul
echo 7 más
entra arriba e
En T/4=1
as que avan
4d.
Como es
ulo se separ
tud de onda
e una cresta y
Al mismo
pendientes c
ma fase y con
Los rojos está
Los rosas est
Los azules (s
en Y=0.
A contin
0,02 s ante
nza.
En t1=14,98
van aproxima
En t2=15,02
acios Estrem
ara B1) un c
to de la danz
a en la tabla:
(n)
(7,5+n/4) 7
ndulo se sep
lo n=0 ha he
3/4 de oscila
en Y=1.
15 s, se pue
za hacia la iz
s lógico, al
ra 1/z de osc
es =zd. Se
y otra. En es
o tiempo se
con los tres p
n el mismo co
án en Y=1 pa
tán en Y=-1
suben) y los v
uación se m
s y 0,02 s d
s, los pénd
ando a Y=0 y
s, se van ale
era
cuarto y B2)
za a T/4=60/
0 1
7,5 7,75
ara ¼=0,25
echo 7 más m
ación y se e
ede ver que
zquierda, co
observar a
cilación del s
e necesitan z
ste caso: z=4
pueden ve
péndulos que
olor.
ara empezar
para empeza
verdes (baja
muestran 2
después de u
ulos azules
y
ejando.
9
) tres cuarto
/4=15 s, los
2 3 4
8 8,25 8,
de oscilación
media oscila
encuentra en
el conjunto
on longitud de
a t=T/z cada
siguiente y la
z+1 péndulos
4.
er z=4 ondas
e están en la
r a bajar.
ar a subir.
n) están
secuencias
un cuarto de
y verdes se
Dpto.
os de la dan
péndulos ha
4 5 6
5 8,75 9
n del siguien
ación, se enc
n Y=0. El n=2
de los 12
e
a
a
s
s
a
:
e
e
n= 0 1
FacuFísica y Mat
za
an hecho (N+
7 8
9,25 9,5
te.
cuentra abajo
2 ha hecho 8
péndulos es
2 3 4 5
t1=14,98
t2=15,02
4d
ultad de Cietemática Ap
cpalac
+n)/4 oscilac
9 10
9,75 10
o en Y= -1. E
8 oscilacione
s una onda
6 7 8 9 1
8 s
2 s
encias licada
iones,
11
10,25
El n=1
es, se
con 3
10 11
es
Dra. C
B2) E
oscila
nº os
ha he
encue
B1
“visua
en B1
Se p
E
s
E
Carmen Pala
En tres cua
aciones, com
Péndulo
sc. en 45 s (2
Cada pén
El péndul
echo 23 más
entra arriba e
En los dib
) t=T/4
Los pénd
al” de longitu
1, bajan o su
La longitu
pueden ver e
En t1=44,95
se van aprox
En t2=45,05
4
acios Estrem
artos de la
mo se muestr
(n)
22,5+3n/4)
ndulo se sep
lo n=0 ha he
s ¼ de oscila
en Y=1.
bujos se mue
dulos ocupa
ud de onda 4
uben en B2.
ud de la onda
n B2 ondas s
s los péndul
ximando a Y=
s se van ale
4d
era
danza a 3T
ra en la tabla
0 1
22,5 23,25
ara 3/4=0,75
echo 22 más
ación, se en
estra las sim
n las misma
4d, pero se in
a “real” en B2
similares a la
los azules y
=0 y
ejando.
10
T/4=3x60/4=
a:
2 3
5 24 24,75
5 de oscilació
media oscila
ncuentra en Y
etrías entre
as posicione
nvierten los m
2 es r=4d/3
as de B1:
los verdes
Dpto.
=45 s, los p
4 5
5 25,5 26,2
ón del siguie
ación, se en
Y=0. El n=2
B1) y B2):
B2) t=3T/
es en B1) y
movimientos
3.
n= 0
r=4d
FacuFísica y Mat
éndulos han
6 7
25 27 27,75
nte.
cuentra abaj
ha hecho 24
4
y B2), tienen
. Las bolas q
1 2 3 4 5
t1
t2
v=4d
d/3
ultad de Cietemática Ap
cpalac
n hecho 3(N
8 9
5 28,5 29,2
jo en Y=-1. E
4 oscilacione
n la misma
que suben o
5 6 7 8 9
=44,95 s
2=45,05 s
encias licada
N+n)/4
10 11
25 30 30,75
El n=1
es, se
onda
bajan
9 10 11
es
5
Dra. C
III.2.4
C1)
como
nº
10 m
2/3 d
avanz
neces
indep
mism
1
2
la
3
la
Tamb
Carmen Pala
4 Simetría p
En un tercio
o se muestra
Péndulo
osc. en 20 s
Cada pén
El péndul
ás 1/3 de os
e oscilación,
El conjun
za hacia la
sitan z+1 pé
Al mismo
pendientes c
ma fase, cada
ª onda, los p
2ª onda, los p
a 1ª bajando
3ª onda, los p
a 2ª subiendo
bién se pued
En t1=19
En t2=19
acios Estrem
ara C1) un t
o de la danz
a en la tabla:
(n)
s (10+n/3)
ndulo se sep
lo n=0 ha he
scilación, se
, se encuentr
to de los 12
izquierda, co
ndulos entre
o tiempo se
con los 4 p
a uno de un c
péndulos que
péndulos es
.
péndulos es
o.
de ver cómo
,5 s, 0,5 s an
,9 s, 0,1 s an
era
tercio y C2)
za a T/3=60/
0 1
10 10,33 1
ara 1/3=0,33
echo 10 oscil
encuentra p
ra por debajo
péndulos for
on longitud
e una cresta y
e pueden ve
éndulos que
color:
e están en Y
tán a 1/3 de
tán a 1/3 de
avanzan esta
ntes de T/3.
ntes de T/3.
11
dos tercios
/3=20 s, los
2 3 4
0,66 11 11
3 de oscilació
laciones, se
por debajo d
o de Y=0, su
rma una ond
de onda 3d
y otra. En es
er z=3 onda
e están en
Y=1.
e oscilación d
e oscilación d
as ondas:
Dpto.
s de la danza
péndulos ha
4 5 6
1,33 11,66 1
ón del siguie
encuentra a
de Y=0, baja
ubiendo.
da con 4 cres
. Se cumple
ste caso: z=3
as
la
de
de
=
n= 0 1
FacuFísica y Mat
a
n hecho (N+
6 7 8
2 12,33 12
nte.
rriba en Y=1
ndo. El n=2
stas, cada un
e que para t
3.
3d
1 2 3 4 5 6
ultad de Cietemática Ap
cpalac
+n)/3 oscilac
8 9 1
2,66 13 13
. El n=1 ha
ha hecho 10
na de un colo
t=T/z, =zd
6 7 8 9 10
t1=19,
t2=19,
encias licada
iones,
10 11
3,33 13,66
hecho
0 más
or que
, y se
11
5 s
9 s
es
Dra. C
C2) E
oscila
nº os
20 m
1/3 d
C1) t
“visua
en C1
Se pu
E
Y
E
Y
Carmen Pala
En dos terc
aciones, com
Péndulo
sc. en 40 s (
Cada pén
El péndul
ás 2/3 de os
e oscilación,
En los dib
t=T/3
Los pénd
al” de longitu
1, bajan o su
La longitu
ueden ver en
En t1=40 s. L
Y=0 y la 3ª se
En t2=40,3 s
Y=1 y la 3ª se
=3d
acios Estrem
cios de la
mo se muestr
(n) 0
20+2n/3) 20
ndulo se sep
lo n=0 ha he
scilación, se
, se encuentr
bujos se mue
dulos ocupa
ud de onda 3
uben en C2.
ud de esta on
n C2 ondas s
La 1ª está en
e acerca a Y
s. La 1ª se
e acerca a Y
era
danza a 2T
ra en la tabla
0 1 2
0 20,66 21,
ara 2/3=0,66
echo 20 oscil
encuentra p
ra por debajo
estran las sim
n las misma
3d, pero se in
nda “real” en
similares a la
Y=1, la 2ª s
Y=-1.
acerca a Y=
Y=-1.
12
T/3=2x60/3=
a:
2 3 4
,33 22 22,6
6 de oscilació
laciones, se
por debajo de
o de Y=0, ba
metrías entre
as posicione
nvierten los m
n C2 es r=3
as de C1:
se acerca a
=0, la 2ª a
Dpto.
40 s, los p
5 6
66 23,33 24
ón del siguie
encuentra a
e Y=0, subie
ajando.
e C1 y C2:
C2) t=2T/3
es en C1) y
movimientos
3d/2.
n= 0 1 2
=3d
=3d/2
FacuFísica y Mat
éndulos han
7 8
24,66 25,3
nte.
rriba en Y=1
endo. El n=2
y C2), tienen
. Las bolas q
3 4 5 6
ultad de Cietemática Ap
cpalac
n hecho 2(N
9 10
33 26 26,6
. El n=1 ha
ha hecho 2
n la misma
que suben o
7 8 9 10 1
encias licada
N+n)/3
0 11
66 27,33
hecho
1 más
onda
bajan
11
t1=40 s
t2=40,3 s
es
Dra. C
t(T)
(s)
n=0
n=1
n=2
…
N=11
III.2.
Carmen Pala
A1)
0
∞
0
0
0
0
0
v=
A1) Inicio
B
.5 Resumen
acios Estrem
B1)
T/4
15
4d
(N+n)/4
7,5
7,75
8
10,25
=4d
de la danza
B1) Un cuar
de las sime
v=3d
era
C1)
T/3
20
3d
Os
(N+n)/3
10
10,33
10,66
13,66
a
rto
C1) Un ter
etrías estud
13
D)
T/2
30
2d
scilaciones
3 (N+n
15
15,
16
20,
r=2
rcio
Mitad
iadas
Dpto.
) C
2
0
2
4
d 3
realizadas
n)/2 2(N
5 2
5 20
6 21
5 27
2d
C2) Do
d
FacuFísica y Mat
C2)
T/3
40
3d
N+n)/3 3
20
0,66
1,33
7,33
B2) T
os tercios
v=3d
r=3d
ultad de Cietemática Ap
cpalac
B2)
3T/4
45
4d
3(N+n)/4
22,5
23,25
24
30,75
v=4d
r=4d/3
r=
A2) Fi
Tres cuartos
d/2
encias licada
A2)
T
60
∞
N+n
30
31
32
41
=d
nal
s
es
Dra. C
III.2.6
distin
a un
de la
diáme
El víd
las si
dan a
final
facilid
III.3 S
está s
T1=T/
m=33
s, es
m=19
Carmen Pala
6 Construcc
Este prim
ntas alturas,
perchero. U
a longitud de
etro. Todo e
deo 3 mues
imetrías des
algunas expl
del primer c
dad las sime
Simetrías en
Se utiliza
Los datos
El 1º, n=0
situado en x0
El 2º,
/(N+n)=60/52
3,0 cm.
El 18º, n=
stá situado
9,31 cm.
acios Estrem
ción
mer aparato f
para que tod
no de los to
el hilo. Se pu
llo se puede
stra un ciclo
critas. El vid
licaciones pa
ciclo, y a 1+
trías descrita
n un segund
n 18 péndulo
s de interés e
0, hace N+n=
0=n.d=0 cm y
n=1, hac
2=1,154 s,
=17, hace N
en x17=n.d=
era
ue construid
dos los pénd
ornillos de ca
usieron pega
observar en
de la danza
deo 4 muest
ara observar
+¼ y 1+¾ y
as.
do ejemplo
os con N=51
en tres de es
=51 oscilacio
y es el más l
ce N+n=52
está situado
+n=68 osc. e
=17x3,5=59,
14
o en un pan
ulos llegaran
ada péndulo
atinas con 4
n las fotos sig
a con el apar
tra dos ciclos
r las ondas q
y final del se
, T=60 s, d=
stos péndulo
ones en T=6
largo L0(m)=
2 oscilacion
o en x1=n.d
en T=60 s, s
5 cm y es
Dpto.
el triangular
n a la misma
tiene una p
4 colores a b
guientes.
rato complet
s de la danz
que se forma
egundo ciclo
=3,5 cm.
os son:
60 s, su perio
0,248T0
2
=0,3
nes en T
d=1x3,5=3,5
su periodo es
s el más co
FacuFísica y Mat
de metacrila
a horizontal.
alomilla para
bolas de ace
o. Se puede
za, viendo só
an: al comie
o. Esto perm
odo es T0=T/
3433 m=34,3
T=60 s,
cm y L1(m
s T17=T/(N+n
orto L17(m)=
ultad de Cietemática Ap
cpalac
ato con aguje
El panel se
a facilitar el
ero de 2,5 c
e parar y obs
ólo las esfera
enzo, 1/3, ½,
mite observa
/N=60/51=1,
33 cm.
su periodo
m)=0,248T1
2
=
n)=60/68=0,8
=0,248T172=0
encias licada
eros a
sujetó
ajuste
cm de
servar
as. Se
2/3 y
ar con
176 s,
o es
=0,330
88235
0,1931
es
Dra. C
varía
como
N
made
danza
desde
largo
(n)
(xn=n.
L=
24,8
xT2
(cm
)
N+
n=51
+n
Carmen Pala
En el esq
Las sime
es el núme
o se indica a
t(T) 0
0
n=0 0
n=1 0
n=2 0
…
N=17 0
Este segu
era y ésta se
El vídeo
a con tres vi
e el costado
.
0 1
.d) 0 3,5
34,
33
51
33,
0
52
3178
53
acios Estrem
quema siguie
etrías que se
ero de oscil
continuación
T/4=15 s
(N+n)/4
12,75
13
13,25
17
undo aparato
e sujetó con u
o 5 muestra
stas: de fren
o donde está
2 3
7 10,5 1
31,
78
53
30,
62
54
29
,51
55
era
ente se resum
e obtienen so
aciones rea
n:
T/3=20 s
Oscila
(N+n)/3
17
17,33
17,66
22,66
o se hizo co
unos soporte
a un ciclo
nte, desde ar
á el péndulo
4 5 6
14 17,5 2
,
28,
47
56
27,
48
57
15
men los dato
on las misma
alizadas, ésta
s T/2=30 s
aciones real
(N+n)/2
25,5
26
26,5
34
olocando una
es. Así, los p
de la
rriba y
o más
Tn=
6 7 8
1 24,5 28
26,
54
58
25,
65
59
Dpto.
os de cada pé
as que en el
as aumenta
s 2T/3=40
lizadas
2(N+n)/3
34
34,66
35,33
45,33
as clavijas d
éndulos llega
= =
9 10
31,5 35 3
24,
80
60
23,
99
61
2323
62
FacuFísica y Mat
éndulo
primer ejem
n respecto a
s 3T/4=45
3 3(N+n)
38,25
39
39,75
51
e guitarra so
an a distintas
11 12 13
38,5 42 45
23,
23
62
22,
49
63
21,
80
64
ultad de Cietemática Ap
cpalac
mplo. Lo únic
al primer eje
5 s T=60 s
)/4 N+n
5 51
52
5 53
68
obre una ba
s alturas.
3 14 15
5,5 49 52,5
21,
13
65
20,
50
66
0,9090,923
encias licada
co que
emplo
s
rra de
16 17
56 59,5
19,
89
67
19,
31
68
0,896 0,882
es
Dra. C
III.4 S
situad
s, est
situad
simét
pasad
pasad
P
Carmen Pala
Simetrías en
Se analiz
Se utiliza
El 1º, n=0
do en x0=n.d
El 2º, n=1
tá situado en
El 8º, n=7
do en x7=n.d
En el esq
Ahora el
Cuando
trica a cuand
A los 2 s
do 14 s (E2)
A los 4 s
do 12 s (B2)
Nombr
Posición en
acios Estrem
n un tercer e
za un tercer e
n 8 péndulos
0, hace N+n=
d=0 cm y es e
1, hace N+n=
n x1=n.d=1x3
7, hace N+n=
d=7x3=21 cm
quema sigui
periodo del p
ha pasado
do han pasad
(E1) se ha re
.
(B1) se ha re
, casos estud
L=24
,8xT
2 (
cm)
N
+n=
16+
n
re (n)
cm (xn=n.d)
era
ejemplo
ejemplo con
s. Los datos
=16 oscilacio
el más largo
=17 oscilacio
3=3 cm y L1(m
=23 osc. en T
m y es el más
iente se res
péndulo más
1 s (F1) se
do 15 s (F2).
ealizado 1/8
ealizado 1/4
diados en los
24,8
5
16
0
0
16
los siguiente
de interés e
ones en T=16
L0(m)=0,248
ones en T=1
m)=0,248T1
2
T=16 s, su p
s corto L7(m)
umen los da
s largo es de
e ha realizad
.
de la danza
de la danza
s ejemplos a
22,0
0
17
19,6
3
18
1
3
Dpto.
es datos: N=
n tres de est
6 s, su perio
8T0
2
=0,2485
6 s, su perio2
=0,22 m=22
eriodo es T7
=0,248T7
2
=0
atos de cad
1 s, la mitad
do 1/16 de
a y forma una
a y forma una
anteriores.
17,6
2
19
2 3
6 9
T
FacuFísica y Mat
16, T=16 s, d
tos péndulos
do es T0=T/N
m=24,85 cm
do es T1=T/(
cm.
=T/(N+n)=16
0,1202 m=12
a péndulo
d que en el p
la danza y
a onda simét
a onda simét
15,
9
20
1
4,42
21
4 5
12 15
Tn= =
ultad de Cietemática Ap
cpalac
d=3 cm.
s son:
N=16/16=1 s
m.
(N+n)=16/17
6/23=0,696 s
2,02 cm.
primer ejemp
y forma una
trica a cuand
trica a cuand
13,
14
22
5 6
5 18
encias licada
s, está
7=0,94
s, está
lo.
onda
do han
do han
1
2,02
23
7
21
es
Dra. C
En la
Para
de on
con lo
Para
cresta
Para
cresta
sobre
tuerc
horizo
de de
de at
Carmen Pala
A continu
s fotos se ob
las simetría
nda es=4d
os péndulos
las simetría
a, y se forma
las simetría
a y cresta, y
Este terc
e un tablero
as (péndulo
ontal. Se mu
elante y otra
rás.
acios Estrem
uación se mu
bserva:
s en B1) t=
, hay 5 pénd
que estén e
s en E1) t=
an 8 ondas in
as en F1) t
se forman 1
cer aparato
o recortado
os) lleguen
uestra una fo
con un deta
era
uestran las si
=T/4 y B2) t
dulos entre
n la misma f
=T/8 y E2) t
ndependiente
t=T/16 y F
6 ondas (im
se construy
para que la
a la mism
oto de la part
alle de la part
17
imetrías estu
t=1-T/4, com
cresta y cre
fase, que en
t=1-T/8 =8
es (imposible
F2) t=1-T/16
posibles de o
ye
as
ma
rte
rte
Dpto.
udiadas:
mo en los ej
sta, y se for
este caso so
8d, se neces
es de observ
=16d, se
observar en
FacuFísica y Mat
emplos ante
rman 4 onda
on del mismo
itan 9 péndu
var en este e
necesitan 1
este ejemplo
ultad de Cietemática Ap
cpalac
eriores, la lon
as independ
o color.
ulos entre cre
ejemplo).
17 péndulos
o).
encias licada
ngitud
ientes
esta y
entre
es
Dra. C
El víd
para
El ví
hubie
III.6 G
IV. C
y per
conoc
forma
danza
REFE
[1] J
A
h
[2] F
ht
[3] A
h
[4] W
h
Carmen Pala
deo 6 muest
ver las sime
ídeo 7 mue
era amortigua
Generalizac
A través d
Cada pé
respecto
La longitu
entre cres
Se forma
separado
Se produ
avanza e
ONCLUSION
Lo descri
rmite acerca
cimiento ele
an diferentes
a y z un núm
ERENCIAS
. A. Flaten a
American Jou
http://www.ph
ísica con ord
ttp://www.sc
Arbor Scientif
http://www.ar
Wolfram Dem
http://demons
acios Estrem
tra un ciclo d
trías que se
stra tres cic
ación, la dan
iones para c
del desarrollo
ndulo hace
de la posició
ud de onda
sta y cresta.
an z ondas
os por =zd.
uce simetría
en sentido inv
N
to en este ar
ar el estudio
emental de f
s ondas simé
mero arbitrari
nd K. A. Par
urnal of Phys
hysics.iitm.ac
denador Curs
.ehu.es/sbw
fic. Pendulum
rborsci.com/c
monstrations
strations.wolf
era
de la danza c
forman, coin
clos para ob
nza se repeti
cualquier m
o realizado,
(N+n)/z osc
ón del péndu
de las onda
independien
en la forma
verso al de t1
rtículo muest
o de las osc
ísica. Se ha
étricas para l
o.
endo, “Pend
sics, 69(7), 20
c.in/~arul/PH
so Interactivo
eb/fisica
m wave seem
cool/pendulu
Proyect. Pen
fram.com/Pe
18
con explicac
ncidiendo co
bservar la re
ría indefinida
modelo
se comprueb
cilaciones, p
ulo anterior.
as lineales q
ntes con los
de las onda
1=T/z.
tra por qué a
cilaciones y
a puesto de
os tiempos,
ulum waves
001 pp. 778–
H1010/AJP00
o de Ángel F
ms like magic
m-wave-see
ndulum Wave
endulumWav
Dpto.
ciones y para
n las fotos de
epetición con
amente.
ba que para
or lo que s
ue se forma
s péndulos q
as para el ti
aparece tant
y las ondas
manifiesto q
t1=T/z y t2=T
: A lesson in
–782.
00778Pendu
Franco Garcí
c but its phys
ems-like-mag
es
ves/
FacuFísica y Mat
adas a 1, 2, 4
e la página a
nsecutiva de
cualquier tie
e desplaza
n es =zd, c
que están e
empo t2=T-t
a belleza en
a un amplio
que el mode
T-t1. Siendo
aliasing”.
lumWaves2.
ía
sics
gic-but-its-ph
ultad de Cietemática Ap
cpalac
4, 8, 12, 14 y
anterior.
e la danza.
empo t1=T/z:
1/z de osci
con z+1 pén
en fase, es
t1, donde la
n este experim
o público co
elo es gener
o T el periodo
hysics
encias licada
y 16 s
Si no
lación
ndulos
decir,
onda
mento
on un
ral, se
o de la
es
Dra. C
ANEX
Vídeo
Vídeo
Vídeo
simet
Video
para 1+¼ en el
Vídeo
dond
Vídeo
para
Vídeo
amor
Carmen Pala
XO. Vídeos
(Hacer cl
o 1 F04 1 D
o 2 F04 2 E
Ejemplo
o 3 F04 3 E
Muestra u
trías descrita
o 4 F04 4 E
Muestra dobservar lasy 1+¾ y finatexto.
Ejemplo
o 5 F04 5 E
Muestra u
e está el pén
Ejemplo
o 6 F04 6 E
Muestra u
ver las sime
o 7 F04 7 E
Muestra t
rtiguación, la
acios Estrem
utilizados e
ic sobre los r
Danza de pé
Efecto estrob
1º:
Ej. 1º Un cic
un ciclo de l
as en el texto
Ej. 1º Dos ci
dos ciclos des ondas que
al del segund
2º:
Ej. 2º Un cic
un ciclo de la
ndulo más la
3º:
Ej. 3º Un cicl
un ciclo de
trías descrita
Ej. 3º Tres ci
tres ciclos p
danza se re
era
en el artículo
recuadros pa
ndulos. Intro
boscópico. (p
lo N=30 T=6
a danza con
o.
clos N=30 T
e la danza, ve se forman:do ciclo. Esto
lo N=51 T=
a danza con
argo.
o N=16 T=16
la danza con
as en el texto
clos N=16 T=
ara observar
epetiría indef
19
o:
ara ver los ví
oducción. (pg
pg. 2 del text
60. (pg. 14 de
n el aparato
T=60. (pg. 1
viendo sólo l al comienz
o permite obs
=60. (pg. 15 d
tres vistas:
6. (pg. 18 de
n explicacion
o.
=16. (pg. 18
r la repetició
finidamente.
Dpto.
ídeos)
g. 2 del texto
to)
el texto)
completo. S
14 del texto)
las esferas. o, 1/3, ½, 2/servar con fa
del texto)
de frente, de
el texto)
nes y parada
del texto)
ón consecutiv
FacuFísica y Mat
)
Se puede pa
Se dan algu/3 y final deacilidad las s
esde arriba y
as a 1, 2, 4
va de la dan
ultad de Cietemática Ap
cpalac
arar y observ
unas explicacel primer ciclsimetrías des
y desde el co
, 8, 12, 14 y
nza. Si no hu
encias licada
var las
ciones o, y a scritas
ostado
y 16 s
ubiera
es
