3. Movimiento Oscilatorio Amortiguado

Anteriormente consideramos que los sistemas oscilatorios conservan su energa de oscilacin. En realidad, todas las vibraciones son afectadas por fuerzas disipativas, las cuales disminuyen su amplitud. En el curso nos ocuparemos de las fuerzas de amortiguamiento viscoso, las cuales en forma emprica y con bastante aproximacin son proporcionales a la velocidad de la masa oscilante; es decir:

siendo c el coeficiente de amortiguamiento del elemento disipador, expre-sada en N.s/m en kg/s. Conocer su valor es muy importante; de l se determinar si el sistema oscilar o no.

En otras palabras, habr un valor crtico de c con el cual el sistema podr iniciar su oscilacin. Suponga usted que en el recipiente de la fig. 24 hubiera grasa en lugar de aceite viscoso. Oscilar el pistn?.

Figura 24. Dispositivo fsico para un oscilador amortiguado. El movimiento del pistn se amortigua por la accin del mbolo sumergido en el lquido [7].Figura 25. Para amortiguar las oscilaciones de la camioneta se utilizan los amortiguadores (cilindros amarillos) para que absorban los impactos [7].

3.1. Modelo elemental de un movimiento oscilatorio amorti-guado

Fig. 26. En otras circunstancias, el amortiguador puede sustituirse por una superficie rugosa [1].

3.2. Tipos de Oscilaciones Amortiguadas

3.2.1. Oscilacin sub-amorti-guada.- Es aquella cuya amplitud disminuye con el tiempo por accin de una fuerza amortiguadora.Fig. 27. Curvas de los movimientos oscilatorios amortiguados [1].

Oscilacin crticamente amortiguadaOscilacin sobreamortiguadaOscilacin sub-amortiguada

3.2.2. Oscilacin crticamente amortiguada.- Es la que se caracteriza porque el sistema vuelve a su posi-cin inicial en el tiempo ms breve posible, pero sin oscilar.

3.2.3. Oscilacin sobreamorti-guada.- Es aquella que se caracteriza porque al pre-tender iniciar la oscilacin, el sistema vuelve a su po-sicin inicial muy lenta-mente sin oscilar, o en el peor de los casos, queda totalmente estancado.

En el curso nos ocuparemos esencialmente de las oscilaciones sub-amor-tiguadas, las mismas que necesariamente se compararn con las otras dos para establecer si existe oscilacin o no.

3.3. Anlisis del Movimiento

Fig. 28. Diagrama de cuerpo libre (DCL) de un cuerpo con movimiento oscilatorio amortiguado [1]

Para determinar la ecuacin diferencial (ED) del movimiento oscilatorio (si es que existe), recurriremos al DCL de la fig. 28. El bloque es desplazado una distancia x en direccin positiva. Tanto la fuerza recuperadora del resorte (kx) como la fuerza de amortiguamiento (cx) se dirigen hacia la P.E. Al aplicar la 2da Ley de Newton se tiene:

(3.1)

Este es el formato de ED que el estudiante debe obtener obligatoriamente para poder evaluar si hay vibracin o no.

La solucin de esta ecuacin es de la forma . Para resolverla, se hace la siguiente sustitucin: . Luego, al reemplazar se obtiene:

Resolviendo la ecuacin entre parntesis se obtiene las soluciones 1 y 2.

(*)

Por lo manifestado en 3.2.2, el coeficiente de amortiguamiento crtico (ccr) se obtiene haciendo c = ccr. Luego, en el sub-radical de (*) se tiene:

(3.2)

Para determinar si el movimiento oscilatorio es de la forma 3.2.1, 3.2.2 o 3.2.3, se define el factor de amortiguamiento () a la siguiente relacin:

(3.3)

El cual toma la siguiente gama de valores para determinar si la oscilacin existe o no:

a) Si 0 < 1Movimiento sub-amortiguado.b) Si = 1Movimiento crticamente amortiguado.c) Si > 1Movimiento sobreamortiguado.

Para determinar su magnitud en un sistema oscilatorio real, hagamos el siguiente artificio:

(3.4)

Siendo c/m y los coeficientes obtenidos en la ecuacin diferencial (ED) del sistema cuya oscilacin se supone que tiene lugar.

En (*), si c > ccr, 1 y 2 seran positivos, y por lo tanto el sistema oscilante jams volver a su posicin de equilibrio. En consecuencia, la nica posibilidad que cabe es que c < ccr, observndose que las soluciones que se obtienen son complejas y conjugadas. Luego, para que (*) se pueda resolver con coeficientes reales, se le da la siguiente forma:

, donde:

Cuya solucin es de la forma:

Llamando: , la solucin de (*) es: (**)

Frmula de Euler:

Al sustituir en (**) y simplificar, se obtiene una solucin de la forma:

Sumando adecuadamente las funciones entre corchetes, se obtiene una solucin de la forma:

(3.5)

Los valores de A y se determinan a partir de las condiciones iniciales del movimiento. En la figura 29 se aprecia que la grfica de esta ecuacin consiste en la curva cosenoidal cuyo pico va atenundose, con la curva logartmica tangente a ella.

Acos

Figura 29. Grfica de un movimiento oscilatorio amortiguado [4]

Velocidad de oscilacin

Derivando la relacin (3.5) se tiene:

Factorizando y agrupando trminos se tiene:

Finalmente, y con el objeto de facilitar el clculo de la aceleracin, se obtiene:

(3.6)

Aceleracin de oscilacin

(3.7)

Ntese que la aceleracin puede calcularse con facilidad luego que previamente se haya calculado la velocidad de oscilacin.

3.4. Comparacin entre un MAS y una oscilacin amortiguada

De , factorizamos , y se obtiene:

(3.8)

Asimismo, del periodo determinado para el MAS, se infiere que el periodo para una oscilacin amortiguada ser:

(3.9)

3.5. Decremento logartmico ()

Viene a ser el logaritmo natural de la relacin de dos amplitudes conse-cutivas (las mismas que difieren en un periodo de oscilacin T ( > 1)).

Deduccin de :

Como la funcin coseno es peridica: . As entonces, al simplificar la expresin anterior, queda:

(3.10)

Si deseamos expresar en trminos de , empleamos la frmula (3.9), y as tenemos:

Ordenando queda: (3.11)3.6. Prdida de energa por ciclo de oscilacin (E): Caso de oscilaciones horizontales

La energa se pierde slo por la accin de las fuerzas disipativas. En nuestro caso, el amortiguador produce dicha prdida. Se determinar una relacin para conocer E, considerando que en el instante t de la primera oscilacin, el sistema alcanza su primera amplitud (A1), es decir, su energa es:

Al transcurrir un periodo de oscilacin, la nueva energa del sistema ser:

Finalmente, la fraccin de energa perdida (fperd) por ciclo de oscilacin es:

(3.12)

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Determinar si el sistema mostrado oscila cuando se le desplaza 10 cm a partir del reposo. Si as fuera, deter-minar: k = 392 N/mc = 42 kg/sm = 2 kgFigura 30 [4]

a) Su factor de amortiguamiento.b) Su ecuacin de movimiento en funcin del tiempo.c) Su aceleracin inicial.

Solucin

El sistema mostrado es similar al sistema elemental dado en 3.3. As entonces, su ED ser:

Clculo del factor de amortiguamiento:

El sistema oscila (Rpta a)

Ya que el sistema oscila, su ecuacin de movimiento es de la forma dada en la ecuacin (3.5).

Aplicando la ecuacin (3.8) se obtiene:

Para t = 0: De la ecuacin (3.6) obtenemos: = -0,848 rad

Y en la ecuacin (3.5):Acos = 0,1A = 0,151 2 m = 15,12 cm

Finalmente, la ecuacin de movimiento es: (Rpta b)

c) Aplicando la ecuacin (3.7), nos queda: Reemplazando datos y resultados se obtiene:a = -12,964 m/s2 (Rpta c).

2. En la figura 31, el momento de inercia de la rueda homognea compuesta con respecto a su centro de masa es I. Si es el desplazamiento angular del disco respecto a su posicin de equilibrio, y se le suelta del reposo cuando = o, determinar:

a) La ecuacin diferencial del movimiento.b) El periodo de oscilacin del disco.c) El coeficiente de amortiguamiento crtico.d) La aceleracin angular inicial del disco.

Solucin

En este caso modificamos la coordenada x por en la ecuacin (3.5). Asimismo, en la ecuacin (3.6), la velocidad ser angular, y de la forma , y la aceleracin ser angular, de la forma .Figura 31 [1]

En el DCL del disco se aprecia en qu sentido producen rotacin las fuerzas causantes de la oscilacin. As entonces, planteamos la 2da Ley para rotacin, considerando que es positiva en el sentido que se produce la deformacin.

Simplificando y dando la forma de la ED (3.1) se tiene:

(Rpta a)

b) Frecuencia natural: Fr = k= k(.2R)

Figura 32 ([1] mas elaboracin propiaO

Simplificando:

Luego, el periodo ser:

(Rpta b)NOTA: El resultado es vlido siempre que > 0; es decir: .

c) El coeficiente de amortiguamiento crtico tendr lugar cuando = 0. As entonces, segn se indic en la nota anterior, se concluye:

(Rpta c)

d) Clculo de : Al adecuar la ecuacin (3.6) a nuestro problema, y aplicarla con , se tiene:

Y al adecuar la ecuacin (3.7), con = 0, se tiene:

Reemplazando datos y , la aceleracin inicial de la vibracin es finalmente:

(Rpta d)

3. La barra uniforme de masa m = 15 kg se en-cuentra en equilibrio en la posicin horizontal. Si la constante elstica del resorte es k = 90 N/m, los coeficientes de amortiguamiento son c1 = 30 kg/s, c2 = 20 kg/s, y las amplitudes de oscilacin son pequeas, determinar:

a) La ED del movimiento oscilatorio.Figura 33 [5]

b) El factor de amortiguamiento.c) El periodo de las oscilaciones.d) El coeficiente crtico de amortiguamiento.

Solucin

En el DCL de la barra (fig. 34) se aprecia en qu sentido producen rotacin las fuerzas causantes de la oscilacin. Sin embargo, en el estado de equilibrio ( = 0), cuando los amortiguadores no funcionan, se tiene:

mg

mg = 2k0 (1)

As como en el problema anterior, planteamos la 2da Ley para rotacin:

Figura 34 ([5] mas elaboracin propia.

Reemplazando el valor de las fuerzas, simplificando L, y (1) en (2), queda:

Finalmente, reemplazando datos y simplificando se obtiene la siguiente ED:

(Rpta a)

b) El factor de amortiguamiento ser: = 0,825 (Rpta b)

c) Frecuencia natural: = 2,398 s-1

T = 2,62 s (Rpta c)

d) Adecuando la relacin (3.4) a nuestro problema, con m = 15 kg, y = 1: .

Reemplazando: ccr = 127,28 N.s/m (Rpta d)23