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VIBRACIONES

Problemas o Ejercicios

para el estudiante autonomo

Marcos Chimeno Manguan

VIBRACIONES: Problemas o Ejercicios para el estudiante autonomo1a edicion, mayo 2017

Enlace a la ultima edicion:http://scientia.chimeno.net/mdocente.php

cbnd Marcos Chimeno ManguanDr. Ingeniero AeronauticoE.T.S.I. Aeronautica y del EspacioUniversidad Politecnica de Madrid

Este documento esta realizado bajo licencia Creative Com-mons “Reconocimiento-NoCommercial-SinObraDerivada4.0 Internacional” .

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Self-education is, I firmly believe, the only kind of education there is.Isaac Asimov

Indice general

Indice general 1

1. Prologo 3

I Enunciados 5

2. Modelos de un grado de libertad 72.1. Una grua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Un pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Un cilindro rodante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Un soporte para maquina industrial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5. Una grua tras la suelta de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Una piscina de olas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7. Un piston con fallo de combustion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8. Una bascula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9. El modulo centrıfugo de la ISS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Modelos de varios grados de libertad 273.1. El arranque de un motor de helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Un ensayo de choque por caida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3. Las actuaciones de la Discovery One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4. Un ensayo de fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5. Un avion contra-incendios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6. El aterrizaje de la etapa principal del Falcon 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7. Una atraccion de feria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.8. Un instrumento de observacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.9. Las protecciones de un circuito de F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.10. Las protecciones complejas de un circuito de F1 . . . . . . . . . . . . . . . 47

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INDICE GENERAL

II Resolucion de los problemas 49

No debieran ser los primeros capıtulos en ser leıdos...

4. Modelos de un grado de libertad 514.1. Una grua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Un pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Un cilindro rodante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4. Un soporte para maquina industrial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5. Una grua tras la suelta de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6. Una piscina de olas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7. Un piston con fallo de combustion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.8. Una bascula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.9. El modulo centrıfugo de la ISS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Modelos de varios grados de libertad 755.1. El arranque de un motor de helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2. Un ensayo de choque por caida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3. Las actuaciones de la Discovery One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.4. Un ensayo de fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5. Un avion contra-incendios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.6. El aterrizaje de la etapa principal del Falcon 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 975.7. Una atraccion de feria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.8. Un instrumento de observacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.9. Las protecciones de un circuito de F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.10. Las protecciones complejas de un circuito de F1 . . . . . . . . . . . . . . . 109

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1Prologo

Esta coleccion recoge una serie de tareas que estudian diferentes sistemas o estruc-turas desde el punto de vista del analisis dinamico o de vibraciones. Abarcan tanto laresolucion de modelos de un grado de libertad como de varios grados de libertad. Lamayor parte de ellos se plantearon inicialmente como ejercicios de examen del tıtulode Ingeniero Aeronautico o del Grado en Ingenierıa Aeroespacial de la UniversidadPolitecnica de Madrid.

El enfoque pedagogico de esta coleccion surge del curso Desarrollo del aprendizajeautonomo en el estudiante universitario organizado por el ICE de la UPM e impartidopor Jorge Hens al que agradezco el enfoque dinamico del mismo. Con este espıritu enmente, cada tarea propuesta en esta coleccion se propone al alumno como problema ocomo ejercicio para que el mismo elija el grado de control que quiere ejercer en cadacaso. Ası, cada tarea se propone inicialmente como un problema en el que se planteael sistema a estudiar y se indica que se quiere conocer o resolver del mismo. En el re-verso de cada uno de estos problemas se encuentra una lista de apartados a resolversecuencialmente que permite enfocarlos como si de ejercicios se tratasen. En el mismoenunciado se proporcionan algunos resultados particulares que permiten comprobarel acierto en la resolucion del sistema.

Centrando la coleccion en el aprendizaje autonomo no era coherente dejar fuera laresolucion completa de las tareas. Especialmente porque en ellas se describen los razo-namientos necesarios mas alla del resultado final, que tienen aun mas valor didacticoque la respuesta final. Esta claro que esta seccion en la que se explican con profundidadla resolucion de las tareas ejerce una cierta atraccion gravitatoria sobre el alumno.*

*Es ampliamente conocido el efecto de atraccion gravitatoria que ejerce el conocimiento. En ingles,como idioma mas directo, es facil ver que el conocimiento es poder (power), que la potencia (power) esenergıa, y por supuesto que esta es directamente proporcional a la masa. Ası que aunque la atracciongravitatoria producida por las soluciones de esta coleccion sea debil1, esta ahı.

1El caso mas notable de este efecto de distorsion del espacio se da en el Multiverso donde los Bibliote-carios son capaces de utilizarla para pasar de biblioteca en biblioteca, conectadas a traves del espacio-B.Una descripcion no exhaustiva del Multiverso y sus leyes fısicas puede disfrutarse en toda la obra deTerry Pratchett centrada en el Mundodisco.

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CAPITULO 1. PROLOGO

1. Aunque las resoluciones se han planteado como un discurso continuo, se han anadi-do indicadores en el margen (como el que acompana a este parrafo) por si el alumnodesea consultar alguno de los apartados de la resolucion para comprobar si ha plan-teado bien la misma hasta ese momento.

Sin embargo, el beneficio maximo de la coleccion solo se consigue si se afronta co-mo se debe afrontar el desempeno de la ingenierıa: enfrentandose uno mismo con losproblemas. Por esa misma razon debe intentar resistirse la atraccion hacia la resolucionhasta haber planteado y luchado con ellos uno mismo.

Para terminar, quiero agradecer a Pablo Garcıa-Fogeda Nunez —catedratico con elque comparto la docencia en las asignaturas de vibraciones— tanto sus comentarios alos enunciados originales de los problemas de examen ası como por su companerismoa lo largo de estos anos de colaboracion. Tambien a Joseba Garcıa Etxebarrıa y FelixSorribes Palmer por la ardua tarea de revisitar las vibraciones para encontrar fallos enlas resoluciones de esta coleccion. Y por ultimo a mis alumnos, razon ultima de todaesta labor, por aguantar enunciados de examen que intentan entretener a la vez queverificar conocimientos aprendidos.

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Parte I

Enunciados

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2Modelos de un grado de libertad

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2.1. UNA GRUA

2.1 Una grua

Se desea estudiar la respuesta de una grua ante un posible fallo del enganche de lacarga. En primera aproximacion el brazo de la grua se puede modelizar mediante unaviga infinitamente rıgida de longitud L y masa por unidad de longitud m que puedegirar libremente alrededor de uno de sus extremo que se considera fijo. Se puede asu-mir una masa puntual M en el otro extremo y que la rigidez aportada por la torre de lagrua se puede modelizar ası mismo como dos elementos elasticos ideales de rigidecesK1 y K2 a una distancia aL y bL respectivamente del extremo fijo del brazo.

Analizar la respuesta dinamica del sistema determinando su resonancia principaly la coordenada absoluta del extremo libre cuando se suelta la carga de modo repen-tino desde la posicion de equilibrio. Para ello, puede suponerse que se produce unavelocidad inicial del extremo de valor q0.

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CAPITULO 2. MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD

Apartados para afrontar la tarea como un ejercicio:

1. Determinar la posicion de equilibrio del sistema θeq.

2. Determinar la ecuacion de pequenos movimientos alrededor de la posicion deequilibrio.

3. Determinar la frecuencia natural del sistema en funcion de a, b, L, K1, K2, m y M .

4. Determinar el movimiento absoluto del sistema para una velocidad inicial delextremo q0.

Algunos resultados:

La frecuencia natural es ω0 =√

KJ

=√[

K1 (aL)2 +K2 (bL)2] / (ML2 + 13mL3

).

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2.2. UN PENDULO

2.2 Un pendulo

El sistema de la figura representa un modelo simplificado de un nuevo sistemade sujeccion de turbinas de gas. El modelo se compone de una barra rıgida de ma-sa despreciable y longitud L articulada en uno de sus extremos. En el otro extremo seconsidera una masa puntual de valorm. Para representar el comportamiento de la arti-culacion se considera un muelle de torsion en la misma de rigidez k y un amortiguadorideal lineal situado a una distancia aL de la articulacion.

Estudiar el sistema determinando cual es su resonancia principal en terminos de lafrecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento adimensional. Determinar asımismo cual es la respuesta del sistema ante unas condiciones iniciales genericas en po-sicion y velocidad.

NOTA: Se recomienda expresar el desarrollo en terminos de la frecuencia natural

del pendulo simple Ω0 y de los parametros adimensionales α = kmgL

y η = a2 Fm

√Lg

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1. Determinar la energıa cinetica, la potencial y la de disipacion.

2. Determinar las ecuaciones de pequenos movimientos del sistema alrededor de laposicion de equilibrio.

3. Determinar la frecuencia propia ω y el factor de amortiguamiento γ.

4. Determinar la respuesta del sistema para unas condiciones iniciales en posicion(θ0) y velocidad (θ0).

Algunos resultados:Frecuencia natural: ω0 = Ω0

√1 + α, coeficiente de amortiguamiento adimensional:

γ = ηΩ0

2ω0.

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2.3. UN CILINDRO RODANTE

2.3 Un cilindro rodante

Se desea analizar la respuesta de un cilindro oscilante de masa m y radio R como elmostrado en el esquema. El cilindro rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal.El cilindro esta unido a un soporte fijo mediante un conjunto de elementos elasticosy amortiguadores viscosos ideales de constantes K1 K2, F1 y F2 que estan unidos alcilindro en un punto del mismo que tiene un radio a.

Analizar la respuesta dinamica del sistema determinando su resonancia fundamen-tal y cual es el movimiento del cilindro y la fuerza que soporta el soporte fijo superiorcuando se aplica en el eje de giro un momento armonico de modulo M1 y frecuenciaΩ1.

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1. Determinar la ecuacion del sistema para pequenos desplazamientos alrededor dela posicion de equilibrio.

2. Determinar la frecuencia natural del sistema (ω0) y el coeficiente de amortigua-miento adimensional γ.

Para el momento exterior aplicado:

3. Determinar el giro del cilindro en funcion del tiempo y los parametros del siste-ma.

4. Determinar la fuerza que soporta la estructura superior debido a este movimien-to.

Algunos resultados:La frecuencia natural es ω0 =

√(R + a)2(K1 +K2)/(1, 5(mR2). La amplitud del mo-

vimiento es θa = M1/[(K1 +K2)(R + a)2].

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2.4. UN SOPORTE PARA MAQUINA INDUSTRIAL

2.4 Un soporte para maquina industrial

Para disminuir las cargas transmitidas por maquinas industriales rotatorias se haplanteado un nuevo diseno basado en colgarlas de una viga a la que se han anadidoamortiguamiento adicional. El sistema se puede modelizar como se indica en la figura:una viga biempotrada de longitud L, momento de inercia I y densidad por unidad delongitud ρ fabricada en un material de modulo elastico E. El nuevo sistema de amor-tiguamiento puede modelizarse mediante dos amortiguadores viscosos ideales: unoentre el punto medio de la viga y la pared y otro que sirve de union entre la viga y lamaquina.

La actuacion de la maquina en el extremos inferior del sistema se puede reducir aun desplazamiento armonico impuesto de frecuencia Ω de la forma d(t) = d0e

iΩt.

El objetivo del analisis es determinar la carga que soporta la pared del edificio al queesta unido el conjunto en el regimen de respuesta permanente del sistema, estudiandocomo influye en ella la relacion Ω/ω0.

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1. Determinar la rigidez equivalente (Ks) del sistema de un grado de libertad equi-valente asumiendo que la masa de la viga se puede asimilar a una masa puntualdel mismo valor en su punto medio.

2. Determinar la ecuacion que determina las pequenas oscilaciones del sistema al-rededor de la posicion de equilibrio obteniendo ası la rigidez (Js) y el coeficientede amortiguamiento (Fs) equivalentes del sistema.

3. Determinar la respuesta permanente del sistema determinando el modulo adi-mensional |q|/d0 en funcion del ratio entre la frecuencia del movimiento impues-to y la frecuencia natural del sistema Ω/ω0 y el coeficiente de amortiguamientoadimensional del sistema γ.

4. Determinar el modulo de la fuerza transmitida FTR(t) y estudiar la influencia deΩ/ω0 en el modulo adimensional |FTR/ (Ksd0) |.

Algunos resultados:La rigidez equivalente es Ks = 192EI/L3 y tanto la respuesta como la fuerza trans-

mitida maximas se producen alrededor de Ω/ω0 = 1 y su valor con la adimensionali-zacion indicada es cercana a 0, 5.

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2.5. UNA GRUA TRAS LA SUELTA DE LA CARGA

2.5 Una grua tras la suelta de la carga

Se esta disenando un nuevo modelo de grua y se quiere analizar cual serıa la res-puesta de la misma si por causas imprevistas se suelta repentinamente la carga (porejemplo por rotura del cable desde el brazo de la grua a la carga).

En este primer calculo se considera suficiente utilizar un sistema de un grado delibertad que represente el brazo de la grua (la seccion desde la torre al extremo de don-de cuelga la carga) con una inercia J , una rigidez equivalente K y un coeficiente deamortiguamiento viscoso F que se considera muy pequeno.

El caso de estudio es el mas crıtico en el que la grua soportaba la carga maxima Mque es una fraccion µ de la inercia de la grua en si, J . Para estudiar el comportamientode la grua se desea conocer el movimiento de esta tras la rotura, por lo que la gruaparte de una condicion de desplazamiento que no es la equilibrio sino la debida a lacarga que se acaba de soltar y se puede asumir que no parte con ningunca velocidad.Sobre la fuerza que aparece sobre la torre, es de interes conocer su desfase y su valormaximo ya que sera un caso mas restrictivo que el analisis estatico.

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1. Determinar la ecuacion diferencial y condiciones iniciales que se correspondencon la situacion inicial tras la rotura del cable.

2. Determinar la respuesta del extremo de la grua en funcion de la frecuencia natu-ral, el coeficiente de amortiguamiento y µ.

3. Determinar la fuerza que aparece sobre la torre de la grua, calculando tanto sumodulo como su desfase.

4. Determinar el valor maximo de esta fuerza.

Algunos resultados:

La respuesta del extremo de la grua es µgω2

0

√1 + γ2

1−γ2f(t). La fuerza maxima se pro-

duce en t = π+δπ

siendo δ la diferencia de desfases entre la respuesta y la fuerza queaparece sobre la torre.

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2.6. UNA PISCINA DE OLAS

2.6 Una piscina de olas

Se desea disenar una piscina de olas que se generan por el movimiento de dos palasen uno de los extremos de la piscina. La clave del diseno es conseguir que las dos palasse muevan en fase durante la fase estacionaria de funcionamiento. Para el modelo sepuede considerar que las palas son infinitamente rıgidas y que tienen longitudes dife-rentes L1 y L2 pero el mismo espesor t, ancho b y estan hechas del mismo material dedensidad ρ.

Los ejes de giro de las palas estan caracterizados por una constante de rigidez K yun amortiguamiento viscoso F del que se sabe que es menor que el crıtico. Las palasse instalan de modo que en la posicion vertical no aparecen cargas en el eje. Duran-te el funcionamiento las palas son movidas por motores que producen un momentoarmonico en el eje.

Considerando este modelo simple en el que no se tiene en cuenta la presencia delagua en la piscina, calcular las resonancias del sistema para determinar en que rangode frecuencias puede funcionar la piscina. Ası mismo, dado que entre encendidos pue-de atascarse alguna de las palas, calcular la respuesta si cuando se enciende la primerapala esta se encontrase en un angulo θ0. Por ultimo, tomando como referencia el instan-te en el que se pone en marcha la primera pala, determinar cuando hay que encenderel motor de la pala 2 para que las dos vayan en fase durante la parte estacionaria defuncionamiento.

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1. Determinar la ecuacion que determina las pequenas oscilaciones de la pala 1 delongitud L1 respecto a la posicion de equilibrio.

2. Definir en funcion de los parametros conocidos su frecuencia natural, su coefi-ciente de amortiguamiento y su frecuencia propia.

3. Determinar la respuesta completa de la pala si cuando se pone en marcha el mo-tor, que ejerce un momento de modulo M1 y frecuencia Ω, la pala esta en unaposicion θ0 sin velocidad.

4. Calcular en que instante, respecto al encendido del motor de la primera pala,debe ponerse en marcha el motor de la segunda pala para que el movimiento delas dos este en fase durante el funcionamiento del sistema.

Algunos resultados: La frecuencia natural es ω0 =

√K+

m1gL12

I0, el tiempo de arran-

que del segundo motor es t = (ϕ2 − ϕ1)/Ω.

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2.7. UN PISTON CON FALLO DE COMBUSTION

2.7 Un piston con fallo de combustion

En los motores de multiples cilindros es interesante conocer la respuesta de un ci-lindro en el que la combustion no se produce por algun fallo. En este escenario, elmovimiento del embolo se produce unicamente por el movimiento del ciguenal pro-ducido por el resto de cilindros.

El sistema por lo tanto se puede modelizar como un embolo de masa M que semueve en su cilindro. La presencia de aire en la camara del cilindro y el rozamientocon las paredes se pueden incluir en el modelo mediante una cierta rigidez K y amor-tiguamiento F1. La union del embolo al ciguenal, puede representarse por otro ladomediante un amortiguador viscoso de valor F2 que representa el rozamiento en la ca-beza y pie de la biela y una rigidez K2. Se propone incluir estos dos efectos como unmuelle y un amortiguador viscoso en serie.

Por ultimo, el movimiento del ciguenal debido al resto de cilindros del motor sepuede asumir armonico de amplitud d0 y frecuencia Ω, d(t) = d0 sin(Ωt).

Del sistema ası modelado se consideran de interes dos casos: a) Conocer las ecua-ciones del sistema que permitirıan determinar las oscilaciones del cilindro respecto ala posicion de equilibrio en un caso general como el definido, y b) Considerar que larigidez de la biela es infinita K2 ≈ ∞ y calcular que debe cumplires para que no hayadesfase entre el ciguenal y el embolo y cuanto vale en esta circunstancia el movimientodel embolo.

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2. Determinar las ecuaciones de pequenos movimientos del sistema.

Suponiendo que la rigidez de la biela es infinita (K2 =∞):

3. Determinar la frecuencia de excitacion Ω que hace nulo el desfase entre el emboloy el ciguenal.

4. Determinar el modulo del desplazamiento del embolo para este caso.

Algunos resultados: La amplitud del embolo es q0 = F2Ωd0√(K1−Ω2M)2+[Ω(F1+F2)]2

, el des-

fase es nulo si Ω =√K1/M .

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2.8. UNA BASCULA

2.8 Una bascula

El departamento comercial de RENFE quiere proponer la venta de productos a gra-nel a bordo del tren de la fresa y propone un nuevo diseno de bascula. Esta formadopor dos varillas infinitamente rıgidas de longitudes y masas L1, L2, m1 y m2 que estansoldadas entre sı y giran alrededor de un eje cuyo amortiguamiento puede aproximar-se por un coeficiente viscoso F (de modo que disipa energıa en funcion de la velocidadde giro de las varillas).

La varilla vertical esta unida a la pared del vagon por un muelle lineal de constanteK a una distancia d del eje de giro. La masa que se quiere medir se puede asumir pun-tual, de valor M y situada en el extremo de la varilla horizontal.

El principal problema reside en que la rugosidad de la vıa y el funcionamiento delos equipos en el vagon producen un desplazamiento vertical de la pared de valorz(t) = z0 sin(Ωt) afectando al eje de giro y a todo el muelle. Se ha estimado que estemovimiento es suficientemente pequeno como para poder considerar pequenos des-plazamientos en el estudio.

El objetivo del estudio es determinar la frecuencia propia del sistema para evaluarla importancia de la frecuencia del movimiento del suelo y determinar la respuestapermanente debida al suelo. Para finalizar, como decision de diseno, ¿como debe ele-girse d para que las oscilaciones de la bascula no cambien debido a cambios en Ω a lolargo del trayecto?

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1. Determinar las energıas cinetica y potencial y la funcion de disipacion.

2. Determinar la ecuacion de pequenos movimientos alrededor de la posicion deequilibrio debido al movimiento del vagon.

3. Determinar la respuesta permanente del sistema.

4. Analizar la variacion en el modulo de la respuesta debido a cambios en Ω

Algunos resultados:La frecuencia natural es ω0 =

√Kd2+m2gL2/2

ML21+m1L2

1/3+m2L22/3

. Interesa que d sea lo menorposible.

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2.9. EL MODULO CENTRIFUGO DE LA ISS

2.9 El modulo centrıfugo de la ISS

Se esta estudiando un nuevo modulo para la ISS: un modulo centrıfugo para con-seguir un entorno de gravedad simulada como el mostrado en la figura. El escenarioque se quiere estudiar es el impacto lateral de un meteorito en dicho modulo que pro-duzca danos estructurales suficientes como para perder la simetrıa del modulo con laconsiguiente aparicion de cargas armonicas.

Para ello se propone un modelo de un grado de libertad en el que se asume que:lo que queda del modulo tras la colision puede aproximarse por un elemento puntualde inercia J en el centro del anillo; que el modulo de union con el resto de la estacionpuede modelarse mediante una viga empotrada-libre de longitud L y modulo de rigi-dez EI con masa despreciable y que el amortiguamiento del modulo de union puedeaproximarse por un amortiguamiento estructuralH que se asume muy pequeno frentea la rigidez (H K).

Las consecuencias de la colision pueden simularse por una velocidad inicial q0 yuna fuerza p(t) = p0 cos(Ωt). El principal interes es determinar la respuesta del sistemadesde el instante de la colision y en el regimen permanente la fuerza transmitida alresto de la estacion.

NASA, Mark L Holderman

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1. Determinar la rigidez equivalente del modulo de union.

2. Determinar la ecuacion de pequenos movimientos alrededor de la posicion deequilibrio.

3. Determinar la respuesta total del sistema despues del impacto.

4. Determinar la fuerza transmitida al resto de la estacion debida a la respuestapermanente.

Algunos resultados:La rigidez equivalente es K = 3EI/L3.

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3Modelos de varios grados de libertad

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3.1. EL ARRANQUE DE UN MOTOR DE HELICE

3.1 El arranque de un motor de helice

Durante el desarrollo de una nueva helice para el Havilland DH.82 Tiger Moth sedesea estudiar el comportamiento del motor cuando se arranca manualmente y lasconsecuencias que puede tener que los primeros prototipos de la nueva helice en desa-rrollo no tengan su centro de masas alineado con el motor.

Para ello se propone el estudio de un modelo simple de dos grados de libertad sinamortiguamiento que representa el movimiento de la helice (q1) y la seccion externadel eje propulsor (q2). El objetivo es determinar la respuesta del sistema desde el ins-tante inicial en el que se inicia el movimiento del motor, suponiendo que se alcanzala velocidad de giro nominal instantaneamente. Debido a la asimetrıa de la helice y altiron necesario para el arranque, se asume sobre el extremo (q1) una velocidad de valorv0 y una carga armonica de modulo P0 y frecuencia Ω.

A la vista de los resultados determinar como puede modificarse el diseno del ejepara disminuir la influencia del arranque manual que induce la condicion inicial develocidad y ası mismo, indicar el valor de la intensidad de la carga P0 para una helicecompuesta de dos palas ambas con masa m/2, una de ellas de longitud L y la otra delongitud un 10 % menor que esta.

Charles William Jefferys (1918)

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CAPITULO 3. MODELOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD


1. Obtener las ecuaciones para las pequenas oscilaciones alrededor de la posicionde equilibrio.

2. Calcular las frecuencias naturales y los modos propios.

3. Calcular la respuesta a la condicion inicial y la carga externa resolviendo el pro-blema en el espacio modal.

4. Estudiar la respuesta y como cambiar el diseno del eje para disminuir la influen-cia de la condicion inicial.

5. Calcular el valor de la intensidad de la carga P0 para una helice compuesta dedos palas ambas con masa m/2, una de ellas de longitud L y la otra de longitudun 10 % menor que esta.

Algunos resultados:

Frecuencias naturales: ω1 =√

16Km

, ω2 =√

Km

. Modos propios: ψ1 = 3/2, 1T , ψ2 =

−1, 1T . La carga de la helice descrita es: P0 = mΩ2d.

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3.2. UN ENSAYO DE CHOQUE POR CAIDA

3.2 Un ensayo de choque por caida

Uno de los metodos para analizar la respuesta de estructuras a cargas de choque,especialmente en estructuras pequenas, es realizar ensayos de choque por caıda. En es-tos, se deja caer la estructura desde una determinada altura h (que determina la energıaen el choque) sobre una superficie que se considera infinitamente rıgida. Se proponeanalizar la respuesta de una caja electronica de un satelite durante este ensayo.

Para ello, se puede considerar que la caja electronica se comporta como una vigaen traccion compresion con un area A, modulo de elasticidad E y densidad ρ equiva-lentes y constantes en toda su longitud 2L. Para obtener resultados conservativos, sedesprecia el amortiguamiento en el analisis.

A partir de las ecuaciones del sistema en la fase de caıda libre, determinar la res-puesta antes del choque y la aceleracion maxima del punto medio de la caja despuesdel choque. Para analizar el choque, considerese que el extremo inferior de la caja seune solidamente al suelo inmovil,.

cbnd M. Chimeno 31



1. Determinar la matriz de rigidez del sistema debida a la deformacion elastica delsistema.

2. Determinar la energıa cinetica, la potencial y el trabajo de las fuerzas externas.

3. Determinar el valor del impulso producido por el choque.

4. Formular las ecuaciones y condiciones iniciales del sistema en tiempos posterio-res al choque.

5. Calcular la expresion de la aceleracion del punto medio de la seccion.

Algunos resultados (considerando un modelo de 3 grados de libertad para el siste-ma libre):

Algunos terminos de la matriz de rigidez debida a la deformacion elastica: k12 =

−EAL

, k22 = 2EAL

.

Las frecuencias propias del sistema despues del choque son ω1 =√

2−√

22

Km

, ω2 =√2−√

22

Km

.

32 cbnd M. Chimeno

3.3. LAS ACTUACIONES DE LA DISCOVERY ONE

3.3 Las actuaciones de la Discovery One

Se desean estudiar dos actuaciones del sistema de propulsion de la Discovery One.Para ello se propone usar un modelo unidimensional longitudinal de masas concen-tradas. Los elementos de interes son la planta propulsora (de masa 10m), el centro decomunicaciones (masa m) y el modulo habitable (masa 5m).

Para modelar la estructura que une estos tres puntos de interes se propone un mo-delo de masa despreciable y rigidez distribuida. De este modo, la seccion entre la plan-ta propulsora y el centro de comunicaciones se puede asimilar a una viga de moduloaxial constante 2EA y masa despreciable, y la seccion entre el centro de comunicacionesy el modulo habitable como una viga de modulo constante EA y masa despreciable.Cada seccion se considera de longitud L.

La primera actuacion que se desea estudiar es como afectarıa una posible fluctua-cion en el empuje a la estabilidad del centro de comunicaciones. Para ello, considereseque la fluctuacion en el empuje es equivalente a una carga armonica de modulo T yfrecuencia Ω. El ordenador de a bordo puede controlar el apuntamiento hacia la Tie-rra siempre que la perturbacion sea menor a un 2 % de una cierta desviacion estati-ca T/(EA/L). ¿Cual es la frecuencia Ωmin de la fluctuacion para poder seguir comu-nicandose con la Tierra durante las maniobras orbitales?

La segunda actuacion que se desea estudiar es referida a la seguridad de los tri-pulantes de la Discovery One. El sistema de propulsion esta disenado para realizar pe-quenos ajustes de orbita mediante pequenos impulsos instantaneos. Este efecto puedemodelarse como un cambio instantaneo de la velocidad de la planta propulsora ∆V .Cuando este incremento repentino alcanza el modulo habitable puede poner en peli-gro a la tripulacion no hibernada por lo que hay dos cabinas de amortiguamiento enel modulo habitable. Es necesario implementar en el sistema operativo de la nave laexpresion de la velocidad del modulo habitable ante esta velocidad inicial en la plantapropulsora, para que ası el ordenador de a bordo pueda avisar a la tripulacion a tiempode ocupar las cabinas de amortiguamiento.

cbnd M. Chimeno 33



1. Determinar las matrices de inercia y de rigidez del sistema, esta ultima medianteel metodo de desplazamientos.

2. Determinar las frecuencias y modos propios (sin normalizar) del sistema.

3. Obtener la matriz de rigidez dinamica [D] ([D(iΩ)] q(t) = p(t)) que determi-na la respuesta permanente del sistema y obtener el movimiento del centro decomunicaciones debido a la fluctuacion en el empuje.

4. Determinar la condicion que debe cumplir la frecuencia de las oscilaciones delempuje para mantener el apuntamiento.

5. Calcular la expresion de la velocidad del modulo habitable ante la velocidad ini-cial ∆V .

Algunos resultados :

Algunos terminos de la matriz de rigidez debida a la deformacion elastica: K12 = −2EAL

,K22 = 3EA

L.

Las frecuencias propias de los modos flexibles del sistema son ω2 =√

15EALm

, ω3 =√165EALm

.

34 cbnd M. Chimeno

3.4. UN ENSAYO DE FATIGA

3.4 Un ensayo de fatiga

Como fase previa de un ensayo de fatiga del ala de un avion, se desea analizar larespuesta dinamica del sistema ante la carga externa aplicada durante el ensayo. Paraanalizar el comportamiento se propone un modelo simple de dos grados de libertadcomo el representado en el esquema: la seccion con la planta propulsora se modelizamediante un elemento de inercia 6m y la seccion extrema del ala por un elemento tam-bien puntual de inercia m. La rigidez equivalente entre la seccion del encastre que sesupone rıgida y el motor es 10k mientras que la rigidez equivalente entre la seccion delmotor y la punta de ala es k.

El ensayo de fatiga se realiza aplicando una carga sinusoidal en el extremo del alamediante un actuador hidraulico unido rıgidamente al ala. Durante el ensayo se regis-tra la fuerza ejercida por el actuador, los esfuerzos en la estructura y mediante capta-dores de desplazamientos el movimiento del motor y de la punta de ala.

El primer objetivo es determinar cual es la respuesta del ala al iniciar el ensayo des-de el reposo si el actuador aplica una carga de la forma p(t) = p0 sin(Ωt).

En segundo lugar, para estimar cual puede ser la respuesta en caso de fallo, intere-sa conocer la respuesta del ala si el actuador hidraulico falla en el instante de mayordesplazamiento de la punta del ala, de la cual se conoce la posicion de cada seccion,siendo la de la punta de ala once veces la de la seccion propulsora

cbnd M. Chimeno 35



1. Obtener las ecuaciones para las pequenas oscilaciones alrededor de la posicionde equilibrio.

2. Calcular las frecuencias naturales y los modos propios.

3. Calcular la respuesta total para la carga aplicada por el actuador partiendo decondiciones iniciales nulas.

4. Calcular la respuesta libre del sistema para una condicion inicial en desplaza-miento q2 = q0 y q1 = 11q0 y velocidad nula.

Algunos resultados:

Frecuencias propias: ω1 =√

56km

, ω2 =√

2 km

. Modos propios: ψ1 = 6, 1T , ψ2 =

1,−1T

36 cbnd M. Chimeno

3.5. UN AVION CONTRA-INCENDIOS

3.5 Un avion contra-incendios

Se desea realizar un estudio de viabilidad de un nuevo avion contra-incendios. Unode los escenarios a evaluar es la influencia de la suelta rapida de la carga de agua sobreel incendio. Para evaluar la respuesta del avion ante esta situacion se desea realizar unmodelo discreto como el mostrado en la figura (vista frontal).

El modelo del avion es de tres masas para tener en cuenta la masa del fuselaje (2m)y la de cada semi-ala con su motor (m). La carga de agua a liberar se modeliza en pri-mera aproximacion como una masa compacta de valor m0 unida a la parte inferior delfuselaje. La rigidez de la estructura se modeliza mediante una viga de longitud L ymodulo de rigidez a flexion EI constante cuyos giros no estan restringidos ni en losextremos ni en el fuselaje. Para obtener resultados conservadores en la respuesta delsistema no se considera amortiguamiento y respecto a la suelta de la carga de aguase considera que esta es expulsada a una velocidad V0 frente a la suelta por gravedadhabitual.

Determinar las aceleraciones que sufren los pilotos del avion tras liberar la carga.

cbnd M. Chimeno 37



1. Determinar el numero de grados de libertad y definir las coordenadas generali-zadas.

2. Determinar la energıa cinetica y la energıa potencial.

3. Determinar las ecuaciones, incluyendo las fuerzas aplicadas, y las condicionesiniciales.

4. Calcular la respuesta modal.

5. Finalmente, calcular la aceleracion del fuselaje tras liberar la carga.

Algunos resultados:

Algunos terminos de la matriz de rigidez debida a la deformacion elastica:K12 = −24EIL3 ,

K13 = 12EIL3 .

Frecuencia natural del modo flexible: ω3 =√

48EImL3 .

38 cbnd M. Chimeno

3.6. EL ATERRIZAJE DE LA ETAPA PRINCIPAL DEL FALCON 9

3.6 El aterrizaje de la etapa principal del Falcon 9

Se desea analizar el aterrizaje del cohete Falcon 9 de Space X en la plataforma flotan-te ASDS (Autonomous Spaceport Drone Ship). Para ello se propone un modelo simplepara estudiar la respuesta una vez producido el contacto con la plataforma y asumien-do esta inmovil

El modelo, mostrado en la figura, esta compuesto de dos masas puntuales (de valor2m y 5m), dos elementos elasticos con rigideces 3K y 5K y dos amortiguadores visco-sos de coeficientes 3F y 5F .

Con este modelo se desea conocer el movimiento de la etapa si tras el contacto con laplataforma el extremo superior tiene una velocidad V0. Tambien es necesario conocerel comportamiento de la etapa si una vez completamente detenida en la plataformaesta (la plataforma) se mueve de la forma z(t) = z0 sin(Ωt) debido al oleaje.

Space X

NOTA: Suponer que la diferencia entre la posicion inicial de contacto y la posicionde equilibrio del sistema es despreciable.

cbnd M. Chimeno 39




2. Determinar las ecuaciones de pequenos movimientos del sistema alrededor de laposicion de equilibrio.

3. Calcular las frecuencias naturales y las frecuencias propias del sistema ası comolos modos propios asociados.

4. Calcular la respuesta transitoria del sistema para la condicion inicial de posicionnula y velocidad V0 del extremo superior.

5. Calcular la respuesta permanente para un movimiento de la plataforma de laforma z(t) = z0 sin(Ωt).

Algunos resultados:


35Km

, ω2 =√

52Km

. Modos propios: ψ1 = 3/5, 1T , ψ2 =

−2/3, 1T

40 cbnd M. Chimeno

3.7. UNA ATRACCION DE FERIA

3.7 Una atraccion de feria

Se desea analizar el movimiento de la torre de una atraccion de feria debido a la ro-tacion de la misma. El principal interes reside en determinar el movimiento de la parteinferior de la torre para determinar si el nivel de vibraciones de la cabina de controles aceptable. En un estudio preliminar, se puede plantear un modelo en el que la torrese idealiza mediante dos masas, de valor 6m la mas cercana al suelo y de valor 3/4m

la masa del extremo superior. La rigidez y el amortiguamiento se pueden modelizarmediante elementos elasticos ideales y amortiguadores viscosos de coeficiente 4K y4F para la seccion inferior y K y F para la seccion superior. Se ha determinado expe-rimentalmente que se cumple la relacion K = 50F . La barcaza que gira a velocidadangular constante Ω gira alrededor de un eje sin rozamiento en la seccion superior conun brazo L como se muestra en el esquema. La masa de este elemento incluidos lospasajeros es 1/4m.

En primer lugar, debido a la carga armonica que aparece, es de interes conocer lasfrecuencias propias del sistema ası como los modos propios de vibracion asociados aestas. En segundo lugar, considerando el funcionamiento permanente de la atraccion,determinar la amplitud del movimiento de la seccion inferior y determinar si existeuna velocidad de giro de la atraccion para que la cabina de control situada aquı novibre.

cbnd M. Chimeno 41




2. Determinar las ecuaciones de pequenos movimientos del sistema.

3. Calcular las frecuencias naturales y las frecuencias propias del sistema ası comolos modos propios asociados.

4. Calcular la amplitud de la seccion inferior para el funcionamiento permanentedel sistema y si es posible seleccionar una velocidad de giro de la barcaza paraque la cabina de control no se mueva.

Algunos resultados:


12Km

, ω2 =√

43Km

. Modos propios: ψ1 = 1/2, 1T ,

ψ2 = −1/3, 1T

42 cbnd M. Chimeno

3.8. UN INSTRUMENTO DE OBSERVACION

3.8 Un instrumento de observacion

El esquema de la figura representa un modelo simple de un instrumento de obser-vacion celeste sobre una plataforma amortiguada. El instrumento se puede asimilara una masa puntual de valor m cuyo anclaje a la plataforma puede simularse me-diante un elemento elastico lineal de constante K y un amortiguador viscoso de valorF = 0, 1K. El comportamiento de la plataforma decide incluirse en este modelo me-diante un solo grado de libertad en la direccion vertical con inercia 6m con dos apoyoselasticos de constante 2K cada uno y dos apoyos amortiguadores de constante 2F .

El principal criterio de diseno del sistema es la estabilidad ante perturbaciones ex-ternas en dos escenarios: Un primer escenario en el que interesa conocer la respuestadel sistema ante una perturbacion en el instrumento que se puede simplificar comouna velocidad instantanea V0. Un segundo escenario en el que dos perturbaciones dela misma frecuencia Ω actuan sobre el instrumento y la plataforma con distinto moduloy no en fase. En este segundo caso se busca si es posible que la respuesta del sistematenga la forma del segundo modo propio para alguna combinacion de cargas externas.

cbnd M. Chimeno 43



1. Determinar las ecuaciones de pequenos movimientos alrededor de la posicion deequilibrio.

2. Determinar las frecuencias propias y los modos propios del sistema.

3. Calcular la respuesta del sistema para una condicion inicial de velocidad en elinstrumento V0.

4. Calcular la respuesta permanente del sistema ante dos cargas armonicas de fre-cuencia Ω y no en fase. Determinar que caracterısticas tienen que tener las cargasexternas para que la respuesta sea proporcional al segundo modo propio.

Algunos resultados:


12Km

, ω2 =√

43Km

. Modos propios: ψ1 = 1/2, 1T ,

ψ2 = −1/3, 1T

44 cbnd M. Chimeno

3.9. LAS PROTECCIONES DE UN CIRCUITO DE F1

3.9 Las protecciones de un circuito de F1

Se desean disenar las protecciones de un nuevo circuito de Formula 1. Para unanalisis preliminar se propone el modelo simple mostrado en la figura.

Este incluye por un lado el vehıculo, modelizado mediante dos masas rıgidas M1 yM2 y la rigidez y amortiguamiento mediante dos elementos ideales de valor K1 y F1.Se ha asumido que el amortiguamiento puede aproximarse por un amortiguamientoviscoso y que el valor de este es muy pequeno.

Las protecciones se incluyen en este modelo de un modo conservativo desprecian-do su masa y teniendo en cuenta solo su rigidez (K2) y su amortiguamiento (F2).

El choque del vehıculo con las protecciones se puede simular asumiendo que lasdos masas que representan el vehıculo tienen una velocidad V0 en el momento del im-pacto.

La configuracion actual del diseno es M1 = 3/2M2, F1 = 2F2, K1 = 2K2.

El objetivo del analisis es utilizar este modelo para determinar de modo cualitati-vo, asumiendo teorıas lineales, la velocidad del habıtaculo (incluido en la masa M1)durante la deceleracion.

cbnd M. Chimeno 45



Determinar la energıa cinetica, potencial y de disipacion.

Determinar las ecuaciones de oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio.

Determinar las frecuencias naturales y propias del sistema ası como los modospropios.

Calcular la velocidad del habitaculo (q1) durante la respuesta libre para la condi-cion inicial de velocidad V0 en ambas masas.

Algunos resultados:Para la configuracion indicada las frecuencias naturales son ω1 =

√13K2

M2, ω2 =

√4K2

M2.

Modos propios: ψ1 = 4, 3T , ψ2 = 1,−2T

46 cbnd M. Chimeno

3.10. LAS PROTECCIONES COMPLEJAS DE UN CIRCUITO DE F1

3.10 Las protecciones complejas de un circuito de F1

Se desean disenar las protecciones de un nuevo circuito de Formula 1. Para unanalisis preliminar se propone el modelo simple mostrado en la figura.

Este incluye por un lado el vehıculo, modelizado mediante dos grados de libertadq1 y q2 donde el primero representa el habitaculo del vehıculo y el segundo la posicionfrontal del coche tras el choque. La masa del vehıculo y el piloto se distribuye en lamasa M1 y parte de la M2 que tambien incluye la masa de las protecciones. La rigidezy el amortiguamiento del coche se tiene en cuenta mediante dos elementos ideales devalor K1 y F1. La rigidez y la disipacion de energıa debido a la proteccion se incluyemediante un elemento elastico ideal de constante K2 y un amortiguador viscoso devalor F2. Para el amortiguamiento del vehıculo tambien se puede asumir amortigua-miento viscoso.

El choque del vehıculo con las protecciones se puede simular asumiendo que lasdos masas que representan el vehıculo tienen una velocidad V0 en el momento del im-pacto.

El diseno actual se corresponde con M1 = M2 = 560 Kg, F1 = 10000 Kg·s, F2 = 7F1,K1 = 10 GN/m, K2 = 5 GN/m.

El objetivo del analisis es utilizar este modelo para determinar de modo cualitati-vo, asumiendo teorıas lineales, la velocidad del habıtaculo (incluido en la masa M1)durante la deceleracion.

cbnd M. Chimeno 47



1. Determinar la energıa cinetica, potencial y de disipacion.

2. Determinar las ecuaciones de oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio.

3. Determinar las frecuencias naturales y propias del sistema ası como los modospropios.

4. Calcular la velocidad del habitaculo (q1) durante la respuesta libre para la condi-cion inicial de velocidad V0 en ambas masas.

Algunos resultados:Para la configuracion indicada las frecuencias naturales son ω01 = 1978, 64 rad/s,,ω02 = 6381, 59 rad/s. Modos propios: ψ1,2 = 1, 7, 8081× 10−1 ∓ 4, 8711× 10−3iT ,ψ2,3 = 1,−1,2805∓ 2,5771× 10−2iT

48 cbnd M. Chimeno

Parte II

Resolucion de los problemas

A pesar de la explicable atraccionde esta parte, se recomienda su

consulta solo cuando las tareas ya sehan afrontado por uno mismo.

cbnd M. Chimeno 49

4Modelos de un grado de libertad

cbnd M. Chimeno 51

4.1. UNA GRUA

4.1 Una grua

El primer paso para analizar el sistema es elegir una coordenada que determine laposicion del sistema. En este caso, pueden considerarse por ejemplo la posicion verti-cal del extremo, q(t), o el angulo girado por el brazo de la grua, θ(t). La primera facilitala expresion de la condicion inicial mientras que la segunda permite expresar de modomuy sencillo la respuesta de los elementos elasticos, por lo que se elige esta ultima,θ(t) como la coordenada generalizada del sistema. Como se indica en la Introduccion,esta coleccion se centra en el estudio de problemas de vibraciones lineales por lo que seasume en todo el desarrollo que las oscilaciones son pequenas y por lo tanto las ecua-ciones pueden linealizarse y la coordenada vertical del extremo se puede aproximarcomo q(t) = L sin(θ(t)) ' Lθ(t).

1.Las ecuaciones del sistema pueden determinarse en coordenadas absolutas o to-mando como referencia la posicion de equilibrio y determinando las oscilaciones delsistema alrededor de esta. Esta segunda estrategia conduce a una ecuacion diferencialmas sencilla, por lo que se elige esta estrategia. En cualquier caso, como se pide la res-puesta del sistema en coordenadas absolutas, debe calcularse la posicion de equilibrioθeq para sumarla a las oscilaciones.

La posicion de equilibrio de este sistema puede determinarse estableciendo el equi-librio de momentos alrededor del eje de giro del brazo. Suponiendo que se cumpleθeq 1 entonces el momento en el eje de giro sera:

MgL+ (mL) g

(L

2

)− (K1aLθeq) aL− (K2bLθeq) bL = 0 (4.1)

Por lo que la posicion de equilibrio sera

θeq =Mgl +mgL

2

2

K1 (aL)2 +K2 (bL)2 (4.2)

que deberıa cumplir θeq 1 para considerar valida la hipotesis.2.

Puesto que ya se conoce la posicion de equilibrio, se pueden plantear la ecuaciondel sistema que define las pequenas oscilaciones del sistema. Para ello basta definirla energıa cinetica y potencial (o elastica) del sistema en funcion de la coordenada ge-neralizada, ya que no hay trabajo de fuerzas externas (Wf ) ni disipacion de energıa (D).

De este modo, la energıa cinetica se puede expresar como la suma de la energıacinetica de la masa puntual y la energıa cinetica de la barra:

T =1

2M(Lθ)2

+1

2(mL)

(L

2θ

)2

+1

2ICM θ

2 (4.3)

donde ICM es el momento de inercia de la viga alrededor de su centro de masas,ICM = 1

12(mL)L2.

cbnd M. Chimeno 53


Puesto que analizamos las oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio laenergıa potencial es solo la debida a los elementos elasticos (al ser el peso una fuerzaconstante en el sistema, este solo define la posicion de equilibrio):

U =1

2K1 (aLθ)2 +

1

2K2 (bLθ)2 (4.4)

Aplicando la ecuacion de Lagrange ddt

(∂T∂θ

)+ ∂U

∂θ=

∂Wf

∂θse obtiene(

ML2 +1

3mL3

)θ +

[K1 (aL)2 +K2 (bL)2] θ = 0 (4.5)

3. Por lo tanto la inercia del sistema vale J = ML2+ 13mL3, la rigidez esK = K1 (aL)2+

K2 (bL)2 y la resonancia del sistema se producira con cargas de su frecuencia natural(rad/s):

ω0 =

√K

J=

√K1 (aL)2 +K2 (bL)2

ML2 + 13mL3

(4.6)

4.

Las oscilaciones del sistema, solucion de la ecuacion (4.5) son de la forma

θ(t) = A cos(ω0t) +B sin(ω0t) (4.7)

Puesto que cuando se produce la velocidad inicial, q0, el sistema esta en la posicion deequilibrio, esto significa que la posicion inicial en θ es nula (θ representa oscilacionesalrededor de la posicion de equilibrio) y por tanto A = 0. Por otro lado, la velocidadinicial del extremo sera entonces q(0) = q0 = Lθ(0) = LBω0 de donde se define B =q0Lω0

. De este modo la respuesta del extremo de la viga en coordenadas absolutas resulta:

q(t) = qeq + Lθ(t) = L(θeq + θ(t)) =Mgl +mgL

2

2

K1a2L+K2b2L+q0

ω0

sin(ω0t) (4.8)

54 cbnd M. Chimeno

4.2. UN PENDULO

4.2 Un pendulo

Aunque existen otra posibilidades como parametro de posicion o grado de libertad,como por ejemplo la posicion horizontal de la masa x(t), en este caso -como suele serhabitual en pendulos- resulta muy recomendable utilizar el angulo de giro alrededordel eje, θ(t), ya que facilita tanto la expresion de la energıa cinetica como de la elasticadebida al muelle.

1.Aunque consideremos esta coordenada alrededor de la posicion de equilibrio, enlos pendulos el peso como tal no es una fuerza constante. La parte del peso que estangencial a la trayectoria (y por tanto es la que realiza trabajo) es variable y dependede la posicion del sistema. Por ello es necesario incluir la variacion de energıa poten-cial gravitatoria en la energıa potencial del sistema, cuyo origen se toma en el puntoinferior de recorrido del pendulo. De este modo, las energıas cineticas, potencial y dedisipacion del sistema son

T =1

2m(Lθ)2

(4.9)

U =1

2kθ2 +mgL(1− cos θ) ≈ 1

2kθ2 +mgL

θ2

2(4.10)

D =1

2F

(∂(aL sin θ)

∂t

)2

=1

2F(aLθ cos θ

)2

≈ 1

2F(aLθ

)2

(4.11)

donde se ha tenido en cuenta que el desplazamiento del sistema es pequeno (tantoen la energıa potencial como en la de disipacion).

2.La aplicacion de la ecuacion de Lagrange ddt

(∂T∂θ

)+ ∂D

∂θ+ ∂U

∂θ= 0 permite expresar

la ecuacion diferencial de las oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio como

mL2θ + a2L2F θ + (mgL+K) θ = 0 (4.12)

Esta ecuacion puede expresarse en funcion de los parametros adimensionales su-geridos dividiendola por mL2 y operando:

θ + a2F

mθ +

(g

L+

K

mL2

)θ = 0

θ + a2F

m

√L

g

√g

Lθ +

g

L

(1 +

K

mgL

)θ = 0

θ + ηΩ0θ + Ω20 (1 + α) θ = 0 (4.13)

3.Puesto que la ultima expresion en terminos de la frecuencia natural y el coeficientede amortiguamiento serıa θ + 2γω0θ + ω2

0θ = 0, se pueden definir tanto la frecuencianatural, como el coeficiente de amortiguamiento y por tanto la frecuencia propia (oamortiguada) del sistema:

cbnd M. Chimeno 55


ω0 = Ω0

√1 + α (4.14)

γ =ηΩ0

2ω0

=η

2√

1 + α(4.15)

ω = ω0

√1− γ2 = Ω0

√(1 + α) (1− γ2) (4.16)

Las raıces del sistema pueden determinarse a partir de la ecuacion (4.13) suponien-do una solucion de la forma θ = ert, lo que permite obtener la expresion de las raıcesen funcion de los terminos sugeridos o de la frecuencia natural y el amortiguamientocomo

r = −ηΩ0

2± Ω0

√1 + α

√η2

4(1 + α)− 1 = −γω0 ± ω0

√γ2 − 1 (4.17)

4. Si se asume que el sistema esta poco amortiguado, es decir, amortiguamiento me-nor que el crıtico (γ < 1), entonces las raıces resultan r = −γω0 ± iω0

√1− γ2 que

corresponden a una solucion de la forma

θ(t) = e−γω0t[A cos

(ω0

√1− γ2t

)+B sin

(ω0

√1− γ2t

)](4.18)

Los coeficientes A y B para unas condiciones generales en posicion (θ0) y velocidad(θ0) resultan

A = θ0 B =θ0 + γω0θ0

ω0

√1− γ2

(4.19)

De modo que la respuesta del pendulo a estas condiciones iniciales resulta:

θ(t) = e−ηΩ0

2t

[θ0 cos

(Ω0

√(1 + α)(1− γ2)t

)+θ0 + γω0θ0

ω0

√1− γ2

sin(

Ω0

√(1 + α)(1− γ2)t

)](4.20)

56 cbnd M. Chimeno

4.3. UN CILINDRO RODANTE

4.3 Un cilindro rodante

La posicion del sistema queda definida por un unico parametro de posicion: o laposicion horizontal del centro del cilindro (x) o el giro del cilindro (θ) ambos respectode la posicion de equilibrio, que cumplen la relacion x = θR debido a la condicion derodadura sin deslizamiento.

1.Eligiendo el angulo girado como grado de libertad la energıa cinetica del sistema(suma de la de traslacion del centro de masas y giro alrededor de este) resulta:

T =1

2mx2 +

1

2I0θ

2 =1

2m(Rθ)2

+1

2

(1

2mR2

)θ2 =

1

2

(3

2mR2

)θ2 (4.21)

Puesto que no hay variacion de energıa potencial, la energıa potencial del sistema(y la de disipacion) solo dependen de la deformacion que sufren los elementos elasticosy los disipadores viscosos. Ambos dependen del desplazamiento del punto de unionde estos al cilindro (el punto del cilindro a un radio a). Asumiendo pequenos despla-zamientos respecto de la posicion de equilibrio, este desplazamiento δ es

δ = x+ a sin(θ) ' x+ aθ = (R + a)θ (4.22)

De modo que la energıa potencial y la de disipacion son:

U =1

2K1δ

2 +1

2K2δ

2 =1

2(K1 +K2) (R + a)2 θ2 (4.23)

D =1

2F1δ

2 +1

2F2δ

2 =1

2(F1 + F2) (R + a)2 θ2 (4.24)

El trabajo del momento externo, asumiendo el mismo criterio de signos para el giroy el momento, es

Wf = M1(t)θ(t) (4.25)

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange ddt

(∂T∂θ

)+ ∂D

∂θ+ ∂U

∂θ=

∂Wf

∂θpermite

obtener la ecuacion de oscilaciones del sistema alrededor de la posicion de equilibrio:(3

2mR2

)θ + (F1 + F2) (R + a)2 θ + (K1 +K2) (R + a)2 θ = M1(t) (4.26)

2.De esta expresion se pueden definir los coeficientes de inercia, amortiguamiento yrigidez del sistema como: Js = 3

2mR2,Fs = (F1 + F2) (R + a)2 yKs = (K1 +K2) (R + a)2.

Ası mismo, estos coeficientes permiten definir la frecuencia natural, el coeficientede amortiguamiento y la frecuencia propia del sistema:

ω0 =

√Ks

Js=

√(K1 +K2) (R + a)2

32mR2

(4.27)

γ =Fs

2√JsKs

=(F1 + F2) (R + a)√

(K1 +K2) 6mR2(4.28)

ω = ω0

√1− γ2 (4.29)

cbnd M. Chimeno 57


3. La respuesta del sistema para la carga externa puede obtenerse de la ecuacion (4.26).Tomando una carga externa de la forma M1(t) = M1ae

iΩ1t, la respuesta sera de la formaθ(t) = θae

iΩ1t, donde la amplitud θa es una variable compleja que incluye el desfase delmovimiento del cilindro respecto a la carga externa. Introduciendo esta expresion deθ(t) en la ecuacion (4.26) se puede despejar la respuesta como

θ(t) =M1a

Ks − Ω21Js + iΩ1Fs

eiΩ1t (4.30)

La respuesta puede expresarse en la forma modulo—argumento y en funcion de lafrecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento como

θ(t) =

M1a

Ks√[1−

(Ω1

ω0

)2]2

+(

2γ Ω1

ω0

)2

ei(Ω1t−ϕθ) (4.31)

siendo

ϕθ = atan

2γ Ω1

ω0

1−(

Ω1

ω0

)2

(4.32)

el desfase del movimiento respecto al momento externo.

4. La carga que soporta la estructura superior sera la transmitida por los elementoselasticos y los disipadores viscosos. En este caso todos transmiten una carga del mismosigno para un desplazamiento dado del punto de union al cilindro

F (t) = (K1 +K2) δ + (F1 + F2) δ = [K1 +K2 + iΩ1 (F1 + F2)] (R + a) θ(t) (4.33)

que expresada como modulo-argumento es F (t) = |F (t)|ei(Ω1t−ϕθ+β) siendo β el des-fase producido por la presencia de los elementos viscosos:

|F (t)| =

√(K1 +K2)2 + Ω2

1 (F1 + F2)2 (R + a) |θ(t)| (4.34)

β = atan

(Ω1 (F1 + F2)

K1 +K2

)(4.35)

Puede observarse que la respuesta del cilindro esta retrasada un angulo ϕθ respectoa la carga externa mientras que la fuerza transmitida a la estructura superior esta ade-lantada respecto al movimiento del cilindro un angulo β. ¿La fuerza transmitida estaretrasada frente a la externa? El primero de los desfases puede expresarse a partir dela ecuacion (4.30) como

ϕ = atan

(Ω1Fs

Ks − Ω21Js

)= atan

(Ω1 (F1 + F2)

(K1 +K2)− Ω21Js

)(4.36)

de donde se deduce que puesto que para Ω1 > 0 es ϕθ > β. Por lo tanto la fuerzatransmitida esta retrasada respecto a la externa pero adelantada respecto al movimien-to del cilindro.

58 cbnd M. Chimeno


4.4 Un soporte para maquina industrial

La posicion del sistema puede determinarse mediante dosparametros de posicion: la posicion vertical del punto medio,q(t), y la posicion de la maquina, d(t), que en este caso esconocida. Por lo tanto el sistema puede modelizarse median-te un unico grado de libertad cuya rigidez serıa la rigidez dela viga en su punto medio. La coordenada q se toma respec-to a la posicion de equilibrio por lo que los efectos del pe-so (como fuerza constante) no se tendran en cuenta ya que noafectan a las oscilaciones sino a la propia posicion de equili-brio. Ası el modelo equivalente serıa el mostrado en la figu-ra.

1.Para determinar la rigidez del sistema es necesario definir la de-formacion de la viga en su punto medio para una carga en el mismo punto. Para ellopuede resolverse la deformacion de la viga w(x) mediante la ecuacion de la elastica enun sistema de referencia con su origen en el extremo izquierdo de la viga

EI∂4w

∂x4= Pδ

(x− L

2

)(4.37)

con condiciones de contornow(0) = w′(0) = w(L) = w′(L) = 0. Ası puede obtenersela deformada de la viga que resulta

w(x) =P

EI

[H

(x− L

2

) (x− L

2

)3

6− 1

12x3 +

L

16x2

](4.38)

Por lo tanto, la rigidez de la viga en el punto medio sera

Ks =P

w(L/2)=

192EI

L3(4.39)

2.Una vez determinada la rigidez equivalente del sistema pueden determinarse lafuncion de disipacion y la energıa cinetica directamente, esta ultima teniendo en cuentaque la masa de la viga se asume puntual y en su punto medio

T =1

2(ρL) q2 (4.40)

U =1

2Ksq

2 (4.41)

D =1

2F q2 +

1

2F(q − d

)2

(4.42)

Wf = 0 (4.43)

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange ∂∂t

(∂T∂q

)+ ∂D

∂q+ ∂U

∂q= 0 define la ecuacion

de pequenas oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio.

(ρL) q + 2F q +Ksq = F d (4.44)

cbnd M. Chimeno 59


donde se han traspasado a la parte derecha de la igualdad las fuerzas debidas almovimiento de la maquina que provienen de la funcion de disipacion. A partir deesta ecuacion se definen la inercia del sistema Js = ρL y el coeficiente de amorti-guamiento del sistema Fs = 2F . De modo que la frecuencia natural del sistema seraω0 =

√Ks/Js, el coeficiente de amortiguamiento γ = (2F ) /

(2√ρLKs

)y la frecuencia

propia ω = ω0

√1− γ2.

3. Puesto que el movimiento del extremo inferior del sistema es armonico d(t) = d0eiΩt

la ecuacion esJsq + Fsq +Ksq = iΩFd0e

iΩt (4.45)

La respuesta permanente sera armonica de frecuencia Ω

q(t) =iΩFd0

Ks − Ω2Js + iΩFseiΩt (4.46)

Su modulo se puede expresar en funcion de las frecuencias del movimiento im-puesto, la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento adimensional como

|q| = ΩFd0√(Ks − Ω2Js) + (ΩFs)

2=

Ω FKsd0√[

1−(

Ωωo

)2]2

+(

ΩFsKs

)2

=γ Ωω0d0√[

1−(

Ωωo

)2]2

+(

2γ Ωω0

)2

(4.47)Esta ultima expresion puede representarse en funcion de Ω/ω0 y el coeficiente de amor-tiguamiento para determinar el desplazamiento maximo y la influencia del amortigua-miento

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,0

0,2

0,4

0,6

Ω/ω0

|q|/d

0

γ = 0,1γ = 0,2γ = 0,3

Se observa que el modulo de la respuesta es proporcional a γ y tiende a cero fuerade la resonancia (para Ω = 0 el amortiguador inferior no transmite carga a la viga).

4. Una vez determinada la respuesta del sistema puede determinarse la fuerza trans-mitida a la pared que se transmitira por ambos apoyos de la viga y por el amortiguador

60 cbnd M. Chimeno


superiorFTR(t) = Ksq + F q = (Ks + iΩF ) q (4.48)

cuyo modulo sera

|FTR| =√K2s + (ΩF )2|q| =

√1 +

(γ Ωω0

)2

γ Ωω0

(Ksd0)√[1−

(Ωωo

)2]2

+(

2γ Ωω0

)2

(4.49)

De nuevo, puede verse que la fuerza transmitida es proporcional a γ y tiende a ceropara Ω→ 0 y a γ2Ksd0 para Ω→∞.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,0

0,2

0,4

0,6

Ω/ω0

|FTR|/

(Ksd

0)

γ = 0,1γ = 0,2γ = 0,3

cbnd M. Chimeno 61

4.5. UNA GRUA TRAS LA SUELTA DE LA CARGA

4.5 Una grua tras la suelta de la carga

1.Si se toma q como la posicion del extremo de la grua respecto a la posicion deequilibrio sin carga (la que alcanzara un cierto tiempo despues de la rotura del cable),entonces puede no considerarse el trabajo realizado por el peso y establecer la ecuacionde pequenas oscilaciones respecto a esta posicion de equilibrio como

Jq + F q +Kq = 0 (4.50)

La condicion inicial en velocidad sera nula, q(0) = 0 ya que antes de la rotura lagrua estaba en equilibrio. La condicion inicial en posicion se correspondera con la po-sicion de equilibrio estable alcanzada por culpa de la carga M , que sera q(0) = Mg

K

donde se ha tomado q positiva hacia el suelo por comodidad.

2.Ası pues, la respuesta posterior a la carga se correspondera con la respuesta de unsistema a una carga estatica seguida de suelta rapida. La solucion sera de la forma

q(t) = [A cos (ωt) +B sin (ωt)] e−γω0t (4.51)

donde ω0 =√K/J es la frecuencia natural, γ = F/(2

√JK) es el coeficiente de

amortiguamiento y ω = ω0

√1− γ2 es la frecuencia propia. Notese que se ha asumido

que el amortiguamiento es menor que el crıtico (γ < 1).

La imposicion de las condiciones iniciales permite determinar las constantes A y Bresultando la respuesta del sistema:

q(t) =µg

ω20

[cos (ωt) +

γ√1− γ2

sin (ωt)

]e−γω0t (4.52)

3.La fuerza transmitida a la torre sera de la forma F (t) = Kq(t) + F q(t) por lo queconviene expresar la respuesta del extremo como una unica funcion armonica:

q(t) =µg

ω20

√1 +

γ2

1− γ2cos (ωt− ϕ) e−γω0t con ϕ = arctan

(γ√

1− γ2

)(4.53)

Ası, derivando respuesto al tiempo la respuesta, la fuerza que aparece sobre la torrees

F (t) =µg

ω20

√1 +

γ2

1− γ2[(K − Fγω0) cos(ωt− ϕ)− Fω sin(ωt− ϕ)] e−γω0t (4.54)

Tanto para expresar facilmente su desfase como para obtener el valor maximo de lafuerza, lo mas conveniente es expresarla como una unica funcion armonica:

F (t) =µg

ω20

√1 +

γ2

1− γ2

√(K − Fγω0)2 + (Fω)2 cos(ωt− ϕ+ β)e−γω0t (4.55)

cbnd M. Chimeno 63


con

β = arctan

(Fω

K − Fγω0

)= arctan

(2γ√

1− γ2

1− 2γ2

)(4.56)

De este modo, el desfase absoluto de la fuerza es β−ϕ mientras que su desfase conel movimiento del extremo del brazo es solo β.

4. Como se deduce de la ecuacion (4.55) los valores extremos de la fuerza se produ-ciran para tiempos que cumplan

| cos(ωt− ϕ+ β)| = 1⇒ ωt− ϕ+ β = nπ, n = 0, 1, 2, 3, . . . (4.57)

El primer tiempo positivo se corresponde con n = 1 y sera ademas el del valormaximo de la fuerza al ser su amplitud decreciente por el termino e−γω0t. Ası, el valorde la fuerza (que sera de compresion sobre la torre) sera

|F (t)|max =µg

ω20

√1 +

γ2

1− γ2

√(K − Fγω0)2 + (Fω)2e

−γ π+ϕ−β√1−γ2 (4.58)

Se ve ademas que este valor es varias veces mayor que la carga estatica

Fest = Mg = µJg =µg

ω20

K

64 cbnd M. Chimeno

4.6. UNA PISCINA DE OLAS

4.6 Una piscina de olas

1.Debido a la ausencia de cargas cuando las palas estan en vertical y la gravedad, es-ta posicion (la representada) es la posicion de equilibrio estable. Por lo tanto se puedetomar el angulo girado respecto de esta posicion θ como el grado de libertad de cadapala. La masa de la primera pala es m1 = ρbtL1. El momento de inercia alrededor delcentro de gravedad es Icg = 1

12m1L

21 y alrededor del eje de giro I0 = 1

3m1L

21 donde se

ha considerado despreciable la inercia asociada al espesor t.

Por lo tanto la energıa cinetica, potencial y de disipacion, ası como el trabajo reali-zado por el motor de la primera pala es:

T =1

2m1

(L1

2θ1

)2

+1

2Icgθ1

2=

1

2I0θ1

2(4.59)

U =1

2Kθ2

1 −m1gL1

2cos θ1 (4.60)

D =1

2F θ1

2(4.61)

Wf = M1(t)θ1(t) (4.62)

donde se ha tomado como origen de la energıa potencial la altura del eje de girode la pala. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se obtiene la ecuacion de pequenasoscilaciones de la primera pala

I0θ1 + F θ1 +

(K +

m1gL1

2

)θ1 = M1(t) (4.63)

2.De esta ecuacion pueden definirse directamente la frecuencia natural, el coeficientede amortiguamiento y la frecuencia propia:

ω01 =

√K+

m1gL12

I0γ1 = F

2√

(K+m1gL1

2 )I0ω1 = ω01

√1− γ2

1 (4.64)

Llamando J1, F1 y K1 a los coeficientes de inercia, amortiguamiento y rigidez de laprimera pala, y asumiendo que el motor aplica un momento de modulo M1 y frecuen-cia Ω, la ecuacion del sistema es

J1θ1 + F1θ1 +K1θ = M1 sin(Ωt) (4.65)

3.Si las condiciones iniciales no son nulas sino que la pala quedo atascada en θ1(0) =

θ0 y θ(0) = 0, la respuesta sera la suma de una respuesta homogenea y una solucionparticular θ1(t) = θ1H (t) + θ1P (t). Asumiendo amortiguamiento menor que el crıtico, laprimera sera de la forma

θ1H (t) = [A1 cos(ω1t) +B1 sin(ω1t)] e−γ1ω01 t (4.66)

Dada la carga externa, la respuesta particular sera de la forma θ1P (t) = θ1a sin(Ωt)

cbnd M. Chimeno 65


con una cierta amplitud compleja θ1a . Introduciendo esta solucion en la ecuacion per-mite definir la solucion particular con una amplitud real y un cierto desfase como

θ1P (t) =M1√

(K1 − Ω2J1)2 + (ΩF1)2sin (Ωt− ϕ1) con ϕ1 = arctan

(ΩF1

K1 − Ω2J1

)(4.67)

La solucion completa, θ1(t) = θ1H (t) + θ1P (t), debera cumplir las condiciones ini-ciales θ1(0) = θ1H (0) + θ1P (0) = θ0 y θ1(0) = θ1H (0) + θ1P (0) = θ0. Estas condicionesiniciales definen las constantes como:

A1 = θ0 +M1√

(K1 − Ω2J1)2 + (ΩF1)2sin(ϕ1) (4.68)

B1 =γ1√

1− γ21

θ0 +M1√

(K1 − Ω2J1)2 + (ΩF1)2

[γ1√

1− γ21

sinϕ1 −Ω

ω1

cosϕ1

](4.69)

4. Para determinar cuando hay que arrancar el motor de la segunda pala para quelas dos vayan en fase hay que tener en cuenta en primer lugar que para que puedanir en fase los dos motores deben aplicar un momento de la misma frecuencia Ω y queel arranque en instantes distintos puede expresarse como un desfase en el segundomomento de la forma M2(t) = M2 sin (Ωt+ ϕM). Debido a que el segundo eje tambientiene un cierto amortiguamiento, el movimiento de la segunda pala estara retrasadorespecto a este motor, θ2(t) = |θ2P | sin (Ωt+ ϕM − ϕ2). Este desfase puede establecersepor analogıa con el de la primera pala:

ϕ2 = arctan

(ΩF2

K2 − Ω2J2

)= arctan

(ΩF

K + m2gL2

2− Ω2

(13m2L2

2

)) (4.70)

De este modo, para que ambas palas se muevan en fase tendra que tener el mismodesfase:−ϕ1 = ϕM − ϕ2. El instante de tiempo sera entonces t = ϕM

Ω= ϕ2−ϕ1

Ω. Este valor

depende de la velocidad de giro de las palas. Para frecuencias muy bajas, la segundapala tendra que arrancarse despues de la primera y para frecuencias altas antes. Ellımite es el valor de Ω que haga nulo el desfase a imponer en el motor, ϕM , o lo que eslo mismo, el valor de Ω que haga que se cumpla ϕ2 = ϕ1. Por lo tanto esta frecuencialımite es la que cumple (K2 −K1) − Ω2

∗ (J2 − J1) = 0. Para el caso Ω < Ω∗ el motor dela segunda pala debera encenderse, y para Ω > Ω∗ el motor de la segunda pala tendraque arrancarse antes.

66 cbnd M. Chimeno

4.7. UN PISTON CON FALLO DE COMBUSTION

4.7 Un piston con fallo de combustion

En este caso, los parametros de posicion que determinan la posicion de todo el sis-tema son tres: la posicion del embolo, q(t), la posicion de la union entre el muelle y elamortiguador que estan en serie, qA(t), y la posicion del ciguenal, d(t). Puesto que estaultima es conocida, el sistema solo tiene dos grados de libertad: q(t) y qA(t).

1.A partir de los tres parametros de posicion se pueden definir todas las energıas delsistema ası como el trabajo de las fuerzas externas (que es nulo ya que no hay fuerzasaplicadas, sino un movimiento impuesto).

T =1

2Mq2 (4.71)

V =1

2K1q

2 +1

2K2 (d− qa)2 (4.72)

D =1

2F1q

2 +1

2F2 (qA − q)2 (4.73)

Wf = 0 (4.74)

2.La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange,

d

dt

(∂T

∂q

)+∂D

∂q+∂U

∂q=

∂Wf

∂q(4.75)

d

dt

(∂T

∂qA

)+∂D

∂qA+∂U

∂qA=

∂Wf

∂qA(4.76)

(4.77)

conduce a

Mq + (F1 + F2) q +K1q = F2qA (4.78)

F2 (qA − q) +K2qA = K2d (4.79)

3.Estas ecuaciones para el caso general muestran que los movimientos de ambos gra-dos de libertad estan acoplados. Para el caso particular que se pide,K2 ≈ ∞, se deduceque al ser el sistema infinitamente rıgido entre A y el ciguenal, sera qA = d. Esta condi-cion puede deducirse tambien a partir de la ecuacion (4.79) dividiendo por K2

F2

K2

(qA − q) + qA = dK2≈∞−−−−→ qA(t) = d(t) (4.80)

Entonces, la ecuacion (4.78) resulta

Mq + (F1 + F2) q +K1q = F2d = F2d0Ω cos(Ωt) = ReF2d0ΩeiΩt

(4.81)

La respuesta del embolo en el campo complejo sera entonces:

q(t) =F2Ωd0

K1 − Ω2M + iΩ(F1 + F2)eiΩt =

F2Ωd0√(K1 − Ω2M)2 + [Ω(F1 + F2)]2

ei(Ωt−ϕ) (4.82)

cbnd M. Chimeno 67


con un modulo|q(t)| = F2Ωd0√

(K1 − Ω2M)2 + [Ω(F1 + F2)]2

y un desfase

ϕ = atan

(Ω(F1 + F2)

K1 − Ω2M

)La respuesta sera por tanto la parte real de esta respuesta compleja:

q(t) = Re|q(t)|ei(Ωt−ϕ)

= |q(t)| cos(Ωt− ϕ) = |q(t)| sen(Ωt+

π

2− ϕ) (4.83)

donde la ultima expresion en terminos del seno tiene como objetivo poder evaluarel desfase con el movimiento impuesto por el ciguenal d(t) = d0 sin(Ωt).

El desfase entre el embolo y el ciguenal es entonces ϕ = π2−ϕ que sera nulo cuando

sea ϕ = π2. Como en ese caso tan(ϕ) = ∞, la condicion es K1 − Ω2M = 0. Ası pues,

la frecuencia de la carga que hace que el desfase entre el embolo y el movimiento im-

puesto por el ciguenal sea nulo es Ω∗ =√

K1

M.

4. Para una excitacion de esta frecuencia, la respuesta del embolo resulta finalmente

q(t) =F2d0

F1 + F2

sin (Ω∗t) (4.84)

68 cbnd M. Chimeno

4.8. UNA BASCULA

4.8 Una bascula

1.Puesto que la disipacion del sistema se produce en el eje de giro y depende direc-tamente del giro de las barillas, este es una buena eleccion como coordenada genera-lizada. Ası, se toma θ en sentido horario como coordenada generalizada del sistema.Aunque z(t) afecta a la energıa cinetica, es solo un parametro de posicion conocido.Ası, la energıa cinetica del sistema es

T =1

2Mv2

M +

[1

2m1

(z +

L1

2θ

)2

+1

2I1θ

2

]+

[1

2m2

(z2 +

L22

4θ2

)+

1

2I2θ

2

](4.85)

siendo vM la velocidad de la masa puntual

v2M =

(z + L1θ cos θ

)2

+(L1θ sin θ

)2

' z2 + L21θ

2 + 2L1zθ (4.86)

e I1 = 112m1L

21 e I2 = 1

12m2L

22 los momentos de inercia de las varillas 1 y 2 respectiva-

mente, alrededor de sus centros de masas.

Si se desea obtener la ecuacion de oscilaciones alrededor de la posicion de equilibriono es necesario incluir en la energıa potencial aquellos terminos producidos por el pesocuando este sea constante. Para pequenos desplazamientos tanto en el caso de la masapuntual como en el de la varilla horizontal la fuerza que ejerce el peso es constanteen primera aproximacion (lo que conducirıa a potenciales lineales en θ y terminos deconstantes en la ecuacion final). Por ello solo se incluye la variacion de energıa en elcaso de la varilla vertical para la que el trabajo que realiza el peso depende de θ:

U =1

2K (d sin θ)2 +m2g

L2

2(1− cos θ) ' 1

2Kd2θ2 +m2g

L2

2

θ2

2(4.87)

2.La energıa de disipacion sera directamente D = 12F θ2 y la aplicacion de las ecua-

ciones de Lagrange permite determinar la ecuacion de oscilaciones de la bascula alre-dedor de la posicion de equilibrio:(

ML21 +

1

3m1L

21 +

1

3m2L

22

)θ + F θ +

(Kd2 +

m2gL2

2

)θ = −

(M +

m1

2

)L1z (4.88)

Por lo tanto la frecuencia natural del sistema, el coeficiente de amortiguamientoadimensional y la frecuencia propia resultan

ω0 =

√Ks

Js=

√Kd2 + m2gL2

2

ML21 + 1

3m1L2

1 + 13m2L2

2

(4.89)

γ =Fs

2√JsKs

=F

2√(

ML21 + 1

3m1L2

1 + 13m2L2

2

) (Kd2 + m2gL2

2

) (4.90)

ω = ω0

√1− γ2 (4.91)

Teniendo en cuenta que z(t) = z0 sin(Ωt) la ecuacion (4.88) puede escribirse como

Jsθ + Fsθ +Ksθ = ML1Ω2z0 sin(Ωt) (4.92)

cbnd M. Chimeno 69


con Js, Fs y Ks siendo la inercia, el amortiguamiento y la rigidez del sistema y M =

M +m1/2. En el campo complejo sera entonces

Jsθ + Fsθ +Ksθ = ML1Ω2z0eiΩt (4.93)

3. La respuesta de la bascula en el campo complejo sera entonces

θ(t) =ML1Ω2z0

Ks − Ω2Js + iΩFeiΩt (4.94)

que corresponde con un respuesta en el campo real

θ(t) =ML1Ω2z0√

(Ks − Ω2Js)2 + (ΩFs)

2sin (Ωt− ϕ) (4.95)

con un desfase respecto al movimiento del suelo

ϕ = arctan

(ΩFs

Ks − Ω2Js

)(4.96)

4. Para estudiar como debe elegirse d conviene expresar la amplitud de la respuestapermanente en funcion de la relacion entre la frecuencia del movimiento del suelo Ω yla frecuencia natural del sistema ω0.

|θ(t)| = ML1Ω2z0

Ks

√[1−

(Ωω0

)2]2

+(

2γ Ωω0

)2

=ML1z0

Js

(Ωω0

)2

Ks

√[1−

(Ωω0

)2]2

+(

2γ Ωω0

)2

(4.97)

Para que la amplitud de las oscilaciones no cambie al cambiar Ω interesa que lasegunda fraccion de esta expresion sea constante. De hecho para Ω/ω0 →∞ tiende a 1por lo que la amplitud de las oscilaciones tiende a ML1z0

Js. Por lo tanto interesa que ω0

sea lo mas pequena posible, o lo que es lo mismo, que la distancia del muelle al eje dsea lo mas pequena posible.

70 cbnd M. Chimeno


4.9 El modulo centrıfugo de la ISS

1.Dado que se conoce directamente la inercia y el amortiguamiento del sistema elprimer paso es determinar la rigidez del sistema a partir de la equivalencia con unaviga empotrada libre indicada. Para determinar la rigidez equivalente es suficiente de-terminar la deflexion del extremo de la viga δ ante una determinada carga P comoK = P/δ. Debido a lo sencillo del caso, se puede aplicar por ejemplo el segundo teore-ma de Mohr.

Para ello es necesario determinar la ley de momento flector que para una carga Pen el extremo es lineal valiendo cero en el extremo libre y PL en el empotramiento. Elsegundo teorema de Mohr indica que la flecha en el extremo es

δ = vB = vA + θA(xB − xA) +

∫ xB

xA

1

EIM(ξ)(ξ − xA)dξ (4.98)

Tomando A como el empotramiento (vA = θA = 0) solo queda el termino de laintegral que puede substituirse por el area de la ley de momento flector por el brazo(en este caso 2

3L)

δ =1

EI

(1

2LPL

)2

3L =

PL3

3EI(4.99)

resultando en una rigidez equivalente

K =P

δ=

3EI

L3(4.100)

que tiene efectivamente unidades de N/m.

2.Para un sistema con amortiguamiento viscoso la funcion de disipacion esD = 12F q2.

Para un sistema con amortiguamiento estructural, tambien se puede definir una fun-cion de disipacion para el caso de respuestas armonicas, D = 1

2HΩq2, siendo Ω la fre-

cuencia de la respuesta.

Como en este caso la carga externa es armonica, puede utilizarse esta funcion dedisipacion efectiva y obtener la ecuacion del sistema como

Jq +H

Ωq +Kq = p(t) = p0 cos(Ωt) (4.101)

con condiciones iniciales q(0) = 0 y q(0) = q0.

Esta ecuacion puede escribirse tambien en funcion de la frecuencia natural del sis-tema, ω0 =

√K/J , y el coeficiente de amortiguamiento h = H/K

q +1

Ωhω2

0 q + ω20q =

p0

Jcos(Ωt) (4.102)

cbnd M. Chimeno 71


3. La respuesta del sistema sera la suma de la solucion homogenea y la particular.La particular puede obtenerse a partir de las ecuaciones (4.101) o (4.102) en el campocomplejo expresando la carga como p0e

iΩt

qP (t) =p0

K − Ω2J + iHeiΩt =

p0√(K − Ω2J)2 +H2

ei(Ωt−ϕ) (4.103)

y tomando la parte real de esta solucion

qP (t) =p0√

(K − Ω2J)2 +H2

cos (Ωt− ϕ) =p0/K√[

1−(

Ωω0

)2]2

+ h2

cos (Ωt− ϕ) (4.104)

con un desfase respecto a la carga

ϕ = arctan

(H

K − Ω2J

)= arctan

h

1−(

Ωω0

)2

(4.105)

Para obtener la respuesta homogenea, es necesario tener en cuenta que para definirla funcion de disipacion se asumio que el movimiento era armonico de frecuencia Ω.En el caso de la respuesta homogenea, si se asume una respuesta de la forma qaeiλt, eltermino de disipacion serıa H

λq = iHq:

Jq + iHq +Kq = 0 (4.106)

De esta ecuacion puede obtenerse una ecuacion caracterıstica para λ y su valor

− λ2J + iH +K = 0⇒ λ2 =K

J

(1 + i

H

K

)= ω2

0(1 + ih) (4.107)

Tomando h 1, λ se puede aproximar por λ = ω0

√1 + ih ' ω0(1 + ih

2), por lo que

la respuesta homogena es de la forma

qH(t) = [A cos(ω0t) +B sin(ωot)] e−ω0

h2t (4.108)

La solucion completa del sistema es entonces

q(t) = [A cos(ω0t) +B sin(ωot)] e−ω0

h2t +

p0/K√[1−

(Ωω0

)2]2

+ h2

cos (Ωt− ϕ) (4.109)

cuyas constantes A y B pueden obtenerse imponiendo las condiciones iniciales. Lla-mando |qP | a la amplitud de la respuesta permanente, estas constantes resultan

A = −|qP | cos(ϕ) (4.110)

B = −|qP |[h

2cos(ϕ) +

Ω

ω0

sin(ϕ)

](4.111)

72 cbnd M. Chimeno


4.Por ultimo, queda determinar la fuerza transmitida al resto de la estacion debida ala respuesta permanente

qP (t) =p0/K√[

1−(

Ωω0

)2]2

+ h2

ei(Ωt−ϕ) (4.112)

La fuerza transmitida tendra una parte debida a la rigidez del sistema Kq y otradebida al amortiguamiento H

Ωq:

FT = Kq +H

Ωq = (K + iH) q ⇒ FT (t) = p0

√√√√√ 1 + h2[1−

(Ωω0

)2]2

+ h2

cos (Ωt− ϕ+ β)

(4.113)con un desfase entre la fuerza transmitida y el movimiento del modulo

β = arctan

(H

K

)= arctan (h) (4.114)

cbnd M. Chimeno 73

5Modelos de varios grados de libertad

cbnd M. Chimeno 75

5.1. EL ARRANQUE DE UN MOTOR DE HELICE

5.1 El arranque de un motor de helice

1.Dada la definicion de coordenadas indicadas, las energıas cinetica y potencial y eltrabajo de las fuerzas externas son de la forma

T =1

22mq2

1 +1

23mq2

V =1

2K (q2 − q1)2 +

1

2Kq2

2

W = p(t)q1

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange permite definir las ecuaciones de pe-quenas oscilaciones del sistema, expresadas en forma matricial son[

2m 0

0 3m

]q1

q2

+

[K −K−K 2K

]q1

q2

=

P (t)

0

(5.1)

con las condiciones iniciales q1(0) = q2(0) = q2(0) = 0 y q1(0) = v0.

2.La respuesta transitoria del sistema vendra determinada por las frecuencias y mo-dos propios del sistema que se corresponden con soluciones armonicas q ∝ eiωt de laecuacion homogenea. Esto conduce a un problema cuya solucion no trivial (no nula)se corresponde con los valores de frecuencia que hacen singular a la matriz [K]−ω2 [J ]

por lo que la ecuacion caracterıstica es la del determinante de esta matriz igual a cero:∣∣[K]− ω2 [J ]∣∣ = 0→

(K − ω22m

) (2K − ω23m

)−K2 = 0 (5.2)

Las soluciones de esta ecuacion, las frecuencias naturales del sistema, son ω01 =√16Km

y ω01 =√

Km

. Los autovectores correspondientes son (o cualesquiera proporcio-nales a estos)

ψ1 =

3/2

1

ψ2 =

−1

1

(5.3)

con los que puede definirse la matriz modal [Ψ] = [ψ1ψ2]

3.Conocidos los modos propios del sistema es posible expresar las ecuaciones delsistema, ecuacion (5.1), en el espacio modal

[Ψ]T [J ] [Ψ] η+ [Ψ]T [K] [Ψ] η = [Ψ]T p(t) (5.4)[152m 0

0 5m

]η1

η2

+

[54K 0

0 5K

]η1

η2

=

32

−1

P (t) =

32

−1

P0 sin (Ωt)

(5.5)Las condiciones iniciales en el espacio modal se obtienen tambien a traves de la

matriz modal ya que q(t) = [Ψ] η(t):η1(0)

η2(0)

= [Ψ]−1

q1(0)

q2(0)

=

0

0

(5.6)

cbnd M. Chimeno 77


η1(0)

η2(0)

= [Ψ]−1

q1(0)

q2(0)

=

2

5v0

1

−1

(5.7)

Ası pues, se puede resolver la ecuacion diferencial de cada uno de los modos. Parael primer modo sera

152mη1 + 5

4Kη1 = 3

2P0 sin (Ωt)

η1(0) = 0

η1(0) = 25v0

⇒

η1 + ω2

01= 1

5mP0 sin (Ωt)

η1(0) = 0

η1(0) = 25v0

cuya solucion (suma de homogenea y particular es)

η1(t) = A cos (ω01t) +B sin (ω01t) +1

5mP0

ω201− Ω2

sin (Ωt) (5.8)

La imposicion de las condiciones iniciales conduce a

η1(t) =

[2v0

5ω01

−P0Ω5m(

ω201− Ω2

)ω01

]sin(ω01t) +

P0

5m

ω201− Ω2

sin (Ωt) (5.9)

De un modo similar se obtiene la segunda coordenada modal

η2(t) =

[− 2v0

5ω02

+P0Ω5m(

ω202− Ω2

)ω02

]sin(ω02t)−

P0

5m

ω202− Ω2

sin (Ωt) (5.10)

Una vez obtenida la solucion en el espacio modal puede expresase el movimientoen el espacio fısico mediante el cambio de coordenadas

q1(t)

q2(t)

= [Ψ]

η1(t)

η2(t)

=

32η1(t)− η2(t)

η1(t) + η2(t)

(5.11)

4. De la propia respuesta en el espacio modal se observa que la importancia de lavelocidad inicial en la respuesta del sistema se puede disminuir si se aumentan lasfrecuencias propias del sistema (debido a los terminos v0/ω0i) por lo que podrıa conse-guirse aumentando la rigidez del sistema o bien optimizando el diseno para disminuirla masa de los componentes.

5. Respecto a la estimacion de la carga P0 para la pala indicada, si se asume que cadapala tiene densidad por unidad de longitud constante sus centros de masas estaransituados a L/2 y 0, 9L/2 del eje de giro. Ası que el centro de masas de la helice estarasituado a d = 0, 025L del eje de giro.

Para este caso la energıa cinetica incluirıa un termino adicional debido al asimetrıaque serıa de la forma

1

2m[(q1 + dΩ sin(Ωt))2 + (dΩ cos(Ωt))2] (5.12)

por lo que en la ecuacion correspondiente a q1 aparecera un termino forzante de laforma −mΩ2d cos(Ωt) y por lo tanto la carga serıa P0 = mΩ2d.

78 cbnd M. Chimeno


5.2 Un ensayo de choque por caida

El primer paso es establecer el numero de grados de libertad que se desea incluir enel modelo. En este caso, resulta imprescindible considerar al menos el extremo inferiory el punto medio ya que afectan al choque y a la respuesta deseada. Por lo tanto se eligeincluir tres grados de libertad: el extremo superior de la caja (q1), el punto medio (q2)y el extremo inferior de la seccion (q3), todos ellos considerados positivos hacia arriba.Dado que hay una fase de movimiento libre, es importante establecer claramente elsignificado fısico de las coordenadas en la primera fase del movimiento, especialmentesu diferencia en el calculo de la matriz de rigidez y la expresion de la respuesta.

1.,2.La distribucion de la masa de la caja (ρAL) en los grados de libertad se hace tenien-do en cuenta que los grados de libertad de los extremos representan una porcion de lamasa, resultando ası una distribucion como la que se muestra en la figura 5.1. Por lotanto se pueden establecerse directamente la energıa cinetica y el trabajo de las fuerzasexternas:

T =1

2mq2

1 +1

22mq2

2 +1

2mq2

3 (5.13)

Wf = −(mg)q1 − (2mg)q2 − (mg)q3 (5.14)

Figura 5.1: Modelo de distribucion de masa y definicion de deformaciones

Por otro lado, el calculo de la matriz de rigidez puede afrontarse aplicando el deaplicar Metodo de los desplazamientos, o deformaciones. Puesto que el modelo tiene modoscomo solido rıgido es necesario restringirlos. Para ello se considera fija q3 y se definenlas deformaciones del sistema como δ1 = q2 − q3 y δ2 = q1 − q3 como se muestra en laFigura 5.1. Esta relacion puede expresarse matricialmente como δ = [R] q con

[R] =

[0 1 −1

1 0 ,1

](5.15)

Estas deformaciones se relacionaran con las cargas mediante la matriz de deforma-ciones como δ = [D∗] P.

cbnd M. Chimeno 79


Para hallar la matriz de deformaciones basta aplicar una carga unitaria en cada gra-do de libertad que queda libre y resolver la deformacion del sistema. En este caso lomas sencillo es aplicar elasticidad basica.

Al aplicar una carga unitaria en la masa 2m aparece un esfuerzo σ = 1/A en la sec-cion inferior y ninguno en la superior. Ası solo hay deformacion en la seccion inferiorde valor ε = 1/EA. Las deformaciones son por tanto

δ1 =

∫ L

0

εds =L

EA(5.16)

δ2 =

∫ 2L

0

εds =

∫ L

0

1

EAds =

L

EA(5.17)

que constituyen la primera columna de [D∗]. Del mismo modo, al aplicar una carga enla masa m superior aparece una deformacion constante en toda la estructura ε = 1/EA

lo que conduce a las deformadas

δ1 =

∫ L

0

εds =L

EA(5.18)

δ2 =

∫ 2L

0

εds =2L

EA(5.19)

Por lo tanto, la matriz de deformaciones para este sistema es

[D∗] =L

EA

[1 1

1 2

](5.20)

La energıa potencial sera por lo tanto

U =1

2δT P =

1

2qT [R]T [D∗]−1 [R] q (5.21)

De donde se obtiene la matriz de rigidez por la deformacion elastica

[K] = [R]T [D∗]−1 [R] =EA

L

1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1

= K

1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1

(5.22)

definiendo la rigidez equivalente K = EAL

.

Aplicando las ecuaciones de Lagrange a la energıa cinetica y el trabajo de las fuerzasexternas, y anadiendo el termino de rigidez con la matriz obtenida, las ecuaciones delsistema resultan m 0 0

0 2m 0

0 0 m

q1

q2

q3

+ K

1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1

q1

q2

q3

= −mg

1

2

1

(5.23)

El movimiento libre puede resolverse en el espacio modal, para lo cual es necesariodeterminar las frecuencias naturales y los modos propios que resultan ω1 = 0, ψ1 =

80 cbnd M. Chimeno


1, 1, 1T ; ω2 =√

K/m, ψ2 = −1, 0, 1T y ω3 =√

2K/m, ψ3 = −1, 1,−1T . Haciendoel cambio de variable a las coordenadas modales, q = [ψ] η, las ecuaciones resultan 4m 0 0

0 2m 0

0 0 4m

η1

η2

η3

+

0 0 0

0 2mω22 0

0 0 4mω23

η1

η2

η3

=

−4mg

0

0

(5.24)

Para resolver este sistema es necesario definir las condiciones iniciales lo que re-quiere, como se indicaba al inicio de la resolucion, discutir el significado de las coor-denadas qi en el desarrollo realizado. En t = 0 el sistema se supone a una altura h delsuelo con velocidad nula. Si se considera directamente que qi es sin mas la altura de esepunto, entonces serıa por ejemplo q3 = h y q1 = h+2L. Sin embargo, eso significarıa enel desarrollo anterior que el sistema esta deformado (p. ej. δ2 = 2L) lo que no es cierto.Por eso debe considerarse que qi es la desviacion del sistema respecto a la posicion ini-cial. De ahı que las condiciones iniciales tanto en posicion y velocidad se deban definircomo nulas q0i = 0, q0i = 0.

Con estas condiciones iniciales la solucion de la ecuacion (5.24) es η1(t) = −gt2

2,

η2(t) = 0 y η3(t) = 0. Para obtener la respuesta del sistema en el espacio fısico esimportante tener en cuenta de nuevo lo dicho en el parrafo anterior por lo que ademasdel cambio de base habra que anadir la altura real de cada punto:

q1

q2

q3

=

1 −1 −1

1 0 1

1 1 −1

−gt2/2

0

0

+

h+ 2L

h+ L

h

=

h+ 2L− gt2/2h+ L− gt2/2h− gt2/2

(5.25)

Se observa que esta solucion es identica a la que se obtendrıa si se hubiese analiza-do el problema mediante mecanica y que cuando el extremo inferior llega al suelo todoel sistema tiene la misma velocidad, v0 = −

√2gh.

3.El analisis del choque contra el suelo se centra en las fuerzas que aparecen duran-te el mismo entre la pared y la masa que representa el extremo inferior de la seccion.Si asumimos que ambos quedan solidamente unidos, el extremo inferior de la seccionpasa de tener una velocidad inicial v0 a una velocidad nula en un determinado pe-riodo de tiempo ε 1 correspondiente al tiempo caracterıstico de la percusion quese produce. Partiendo de la 2a ley de Newton se puede definir la intensidad de lapercusion (o impulso) como la variacion de la cantidad de movimiento del sistemaY = (−mv0 − 2m0) − (−mv0 − 2mv0 −mv0) = mv0. De este modo, las ecuaciones querigen la respuesta durante el choque son: m 0 0

0 2m 0

0 0 m

q1

q2

q3

+ K

1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1

q1

q2

q3

= −mg

−mg−2mg

−mg +mv0δ(t)

(5.26)

donde δ(t) es la funcion delta de Dirac.

cbnd M. Chimeno 81


Para definir las condiciones iniciales, podemos tomar como referencia para el ejetemporal el instante inicial del choque ası como la posicion del sistema, q1 = 2L, q2 = L

y q3 = 0. Las condiciones iniciales correspondientes a la desviacion respecto a estaposicion de referencia seran:

q1(0)

q2(0)

q3(0)

=

0

0

0

q1(0)

q2(0)

q3(0)

=

−v0

−v0

−v0

(5.27)

4. Puesto que la percusion se produce en un tiempo ε 1 puede demostrarse que lasvariaciones de desplazamiento son despreciables frente a la variacion de velocidad yla percusion de impulso mv0, que es equivalente a una variacion en velocidad inicialde la masa 3 de valor (mv0)/m por lo que las ecuaciones y condiciones iniciales delsistema para el movimiento posterior al choque seran m 0 0

0 2m 0

0 0 m

q1

q2

q3

+ K

1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1

q1

q2

q3

=

−mg−2mg

−mg +R(t)

(5.28)

q1(0)

q2(0)

q3(0)

=

0

0

0

q1(0)

q2(0)

q3(0)

=

−v0

−v0

−v0 + mv0

m

=

−v0

−v0

0

(5.29)

donde se ha incluido en la tercera componente del termino derecho de la ecuacion(5.28) la reaccion del suelo sobre la estructura a lo largo del tiempo.

Aunque esta fuerza R(t) es desconocida, sı se conocen sus efectos: el extremo infe-rior de la seccion esta fijo q3(t) = 0 lo que permite resolver el problema y el valor deesta reaccion. Es posible por tanto, expresar de modo aislado la tercera ecuacion en elsistema de ecuaciones (5.28) para definir la reaccion en la pared en base a la respuestadel sistema:

mq3 + K (−q2 + q3) = −mg +R(t)q3(t)=0−−−−→ R(t) = −K q2(t) +mg (5.30)

Por otro lado, las dos primeras ecuaciones del sistema (5.28) resultan:[m 0

0 2m

]q1

q2

+ K

[1 −1

−1 2

]q1

q2

=

−mg−2mg

(5.31)

q1(0)

q2(0)

=

0

0

q1(0)

q2(0)

=

−v0

−v0

(5.32)

Donde ya se ha tenido en cuenta que q3(t) = 0.

5. La solucion de este sistema sera la suma de una cierta solucion particular y la so-lucion de la ecuacion homogenea. Como la carga es constante, la solucion particular

82 cbnd M. Chimeno


puede asumirse constante y obtenerse directamente:[K −K−K 2K

]q1P

q2P

=

−mg−2mg

(5.33)

q1P

q2P

=

[K −K−K 2K

]−1 −mg−2mg

=

1

K

−4mg

−3mg

(5.34)

La solucion homogenea puede obtenerse aplicando el teorema de expansion, ex-presando la respuesta del sistema como la suma de las respuestas modales por losmodos propios. Las frecuencias naturales y modos propios del sistema (5.31) resultan:ω2

1 = 2−√

22

Km

, ψ1 = √

2, 1T ; ω22 = 2+

√2

2Km

, ψ2 = −√

2, 1T . Al ser un sistema conser-vativo las coordenadas modales seran de la forma ηi(t) = Ai cos(ωit) + Bi sin(ωit) y larespuesta homogenea sera:

q1H

q2H

= [A1 cos(ωit) +B1 sin(ω1t)]

√2

1

+ [A2 cos(ωit) +B2 sin(ω2t)]

−√

2

1

(5.35)

Solo queda imponer las condiciones iniciales tanto en posicion como en velocidada la respuesta del sistema (suma de la particular mas la homogenea):

qP+ qH(0) =

−4mgK

+√

2A1 −√

2A2−3mgK

+ A1 + A2

=

0

0

(5.36)

O lo que es lo mismo[ √2 −

√2

1 1

]A1

A2

=

4mgK

3mgK

⇒A1

A2

=mg

2K

3 + 2

√2

3− 2√

2

(5.37)

Y respecto a las condiciones iniciales en velocidad:

qP+ qH(0) =

√2B1ω1 −

√2B2ω2

B1ω1 +B2ω2

=

−v0

−v0

(5.38)

O lo que es lo mismo[ √2 −

√2

1 1

]B1ω1

B2ω2

=

−v0

−v0

⇒B1

B2

= − v0

2√

2

(√

2 + 1)/ω1

(√

2− 1)/ω2

(5.39)

Determinadas estas constantes puede expresarse finalmente el movimiento de lacaja electronica despues del choque. Si se incluye en esta expresion final la posicion dereferencia de cada una de ellas (q1ref = 2L, q2ref = L) la posicion absoluta del extremossuperior y el punto medio de la caja son

q1ABS(t) = 2L− 4mg

K+

(3 + 2√

2)mg√2K

cos(ω1t)−v0

2

√2 + 1

ω1

sin(ω1t)−

−(3− 2√

2)mg√2K

cos(ω2t) +v0

2

√2− 1

ω2

sin(ω2t)

(5.40)

cbnd M. Chimeno 83


q2ABS(t) = L− 3mg

K+

(3 + 2√

2)mg

2Kcos(ω1t)−

v0

2√

2

√2 + 1

ω1

sin(ω1t)−

−(3− 2√

2)mg

2Kcos(ω2t)−

v0

2√

2

√2− 1

ω2

sin(ω2t)

(5.41)

Como se observa en las ecuaciones (5.40) y (5.41), la respuesta se compone de untermino constante que es la posicion de equilibrio estable del sistema debido a la fuer-za de la gravedad y un termino oscilatorio alrededor de esta posicion de equilibrio.

La aceleracion del punto medio de la seccion sera por tanto:

q2(t) = −(3 + 2√

2)mgω21

2Kcos(ω1t) +

v0ω1

2√

2(√

2 + 1) sin(ω1t)+

+(3− 2

√2)mgω2

2

2Kcos(ω2t) +

v0ω2

2√

2(√

2− 1) sin(ω2t)

(5.42)

La respuesta del sistema, ası como la aceleracion del punto medio de la estructura semuestran a continuacion para el caso h = 2 m, L = 0,05 m, m = 1 Kg y K = 60 MN/m.

0,00 0,05 0,10 0,15 0,200,00

0,05

0,10

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

(m)

q1ABSq2ABS

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

−2

0

2

·104

Tiempo (s)

Ace

lera

cion

(m/s

2)

q2

84 cbnd M. Chimeno


5.3 Las actuaciones de la Discovery One

1.Puesto que el modelo propuesto se compone de tres masas puntuales se eligen susposiciones en ejes absolutos como coordenadas generalizadas, siendo q1 la de la plantapropulsora, q2 la del centro de comunicaciones y q3 la del modulo habitable. Con estaseleccion de coordenadas la energıa cinetica del sistema puede expresarse directamentecomo

T =1

210mq2

1 +1

2mq2

2 +1

25mq2

3 (5.43)

lo que define la matriz de rigidez como

[J ] =

10m 0 0

0 m 0

0 0 5m

(5.44)

Para poder obtener la matriz de rigidez por el Metodo de desplazamientos o deforma-ciones es necesario restringir en primer lugar el modo como solido rıgido que tiene elsistema. Para ello en este caso se puede considerar fija la posicion del centro de comuni-caciones para obtener de modo independiente las deformaciones de la parte delanteray trasera de la nave. De este modo la deformacion del sistema entre la planta propul-sora y el modulo de comunicaciones serıa δ1 = q1 − q2 mientras que la deformacion dela seccion entre el centro de comunicaciones y el modulo habitable serıa δ2 = q3 − q2

como se representa en la figura. La matriz de relaciones entre estas deformaciones ylas coordenadas del sistema sera entonces δ = [R] q con

[R] =

[1 −1 0

0 −1 1

]

La matriz de desplazamientos de este sistema, que relaciona las cargas aplicadascon las deformaciones, δ = [D∗] p, se puede determinar a base de las deformacio-nes longitudinales resultando

[D∗] =

[L

2EA0

0 LEA

]La energıa potencial sera por lo tanto

U =1

2δT P =

1

2qT [R]T [D∗]−1 [R] q (5.45)

por lo que la matriz de rigidez del sistema es

[K] = [R]T [D∗]−1 [R] =EA

L

2 −2 0

−2 3 −1

0 −1 1

(5.46)

cbnd M. Chimeno 85


Denominado k = EA/L las ecuaciones del sistema para un estado de cargas generi-co resulta: 10m 0 0

0 m 0

0 0 5m

q1

q2

q3

+ k

2 −2 0

−2 3 −1

0 −1 1

q1

q2

q3

=

p1(t)

p2(t)

p3(t)

(5.47)

2. Las frecuencias naturales y los modos propios del sistema corresponden a los auto-valores y autovectores del problema libre. Asumiendo que el movimiento es armonicode frecuencia ω la ecuacion caracterıstica es la del determinante nulo∣∣[K]− ω2 [J ]

∣∣ =(k − ω25m

) [(2k − ω210m

) (3k − ω2m

)− 6k 2

]=

=(k − ω25m

) (−32km+ ω210m2

)ω2 = 0 (5.48)

Las frecuencias naturales y los modos propios resultan entonces:

ω1 = 0, ψ1 =

1

1

1

; ω2 =

√1

5

k

m,ψ2 =

−1/2

0

1

; ω3 =

√16

5

k

m,ψ3 =

1

−15

1

(5.49)

3. La respuesta permanente del sistema para la fluctuacion en la propulsion, que esuna carga armonica de frecuencia Ω esta determinada por la ecuacion

[[K]− Ω2 [J ]

]q = [D] q =

TeiΩt

0

0

(5.50)

donde [D] es la matriz de rigidez dinamica

[D] =

2k − Ω210m −2k 0

−2k 3k − Ω2m −k0 −k k − Ω25m

(5.51)

El movimiento del centro de comunicaciones puede determinarse calculando la se-gunda coordenada generalizada, por ejemplo mediante la regla de Cramer

q2(t) =

∣∣∣∣∣∣2k − Ω210m TeiΩt 0

−2k 0 −k0 0 k − Ω25m

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2k − Ω210m −2k 0

−2k 3k − Ω2m −k0 −k k − Ω25m

∣∣∣∣∣∣= q2ae

iΩt (5.52)

La amplitud del movimiento del centro de comunicaciones sera

q2a =T2k (k − Ω25m)

(k − Ω25m) (−32km+ Ω210m2) Ω2=

T k

(Ω25m2 − 16km) Ω2(5.53)

86 cbnd M. Chimeno


Esta amplitud puede expresarse en funcion de un parametro α = Ω2

k/mcomo

q2a =T2k

(5kmα− 16km)α km

=1

(5α− 16)α

T

k(5.54)

4.Esta amplitud alcanza el lımite admisible para mantener las comunicaciones con laTierra cuando

q2a = 0, 02T

EA/L= 0, 02

T

k=

1

(5α− 16)α

T

k⇒ 5α2 − 16α− 50 = 0⇒ α = 5, 144 (5.55)

Por lo que el apuntamiento puede mantenerse siempre que la frecuencia de las fluc-tuaciones en el empujen cumplan

Ω >

√5, 144

k

m

5.Respecto a la segunda actuacion, la respuesta de toda la nave, y por ello tambien ladel modulo habitable sera la del problema sin cargas externas a las siguientes condi-ciones iniciales que aproximan el sistema de correccion de orbita indicado:

q(0) =

0

0

0

q(0) =

∆V

0

0

(5.56)

donde se han tomado como referencia de desplazamientos la posicion en el instantedel cambio de velocidad.

Teniendo en cuenta que el primer modo propio del sistema es como solido rıgido yque los otros dos son modos flexibles de frecuencias ω2 y ω3, la respuesta del sistemapuede expresarse a traves del Teorema de expansion como

q(t) = (A1t+B1)

1

1

1

+ [A2 cos(ω2t) +B2 sin(ω2t)]

−1/2

0

1

+

+ [A3 cos(ω3t) +B3 sin(ω3t)]

1

−15

1

(5.57)

La imposicion de las condiciones iniciales permite determinar las seis constantesque resultan:

A1 =15

24∆V, B1 = 0, A2 = 0, B2 = − 2

3ω1

∆V, A3 = 0, B3 =1

24ω2

∆V (5.58)

Y por lo tanto la expresion de la velocidad del modulo habitable que permitirıa alordenador de a bordo avisar con tiempo a los tripulantes es

q3(t) = ∆V

[15

24− 2

3cos(ω1t) +

1

24cos(ω2t)

](5.59)

cbnd M. Chimeno 87


5.4 Un ensayo de fatiga

1.Asumiendo que las coordenadas q1 y q2 son relativas a la posicion de equilibrioestable, las energıas cinetica y potencial del sistema son

T =1

2mq2

1 +1

26mq2

2 (5.60)

U =1

2k (q2 − q1)2 +

1

26kq2

2 (5.61)

El actuador aplica una carga p(t) sobre la punta de ala por lo que realiza un trabajoW = p(t)q1 que junto con las energıas y las ecuaciones de Lagrange permite definir lasecuaciones de movimiento del ala alrededor de la posicion de equilibrio estable (al nohaber incluido el peso en el sistema)[

m 0

0 6m

]q1

q2

+

[k −k−k 11k

]q1

q2

=

p(t)

0

(5.62)

q(0) = 0 (5.63)

q(0) = 0 (5.64)

2.Para poder determinar la respuesta total del sistema es necesario desacoplar el sis-tema y por lo tanto conocer los modos propios del sistema. Estos y las frecuenciasnaturales del sistema son los autovectores y autovalores asociados al problema libreque se puede definir asumiendo un movimiento armonico, q = qa eiωt y obtenien-do aquellas frecuencias ω que hacen singular la matriz [−ω2 [J ] + [K]] Su determinantenulo define la ecuacion caracterıstica∣∣∣∣ k − ω2m −k

−k 11k − ω26m

∣∣∣∣ = 0⇒ ω4 − ω2 17

6

k

m+

10

6

(k

m

)2

= 0 (5.65)

cuyas soluciones son las frecuencias naturales del sistema ω1 =√

56km

y ω2 =√

2 km

.

Los modos propios correspondientes son los proporcionales aψ1 =

6

1

,ψ2 =

1

−1

.

Estos modos se normalizan con la matriz de inercia de modo que se cumpla queφ1T [J ] φ1 = 1, resultando la matriz modal normalizada:

[Φ] =

[6√42m

1√7m

1√42m

11√7m

](5.66)

3.Definida la matriz modal es posible obtener las ecuaciones desacopladas del siste-ma y las condiciones iniciales

[Φ]T [J ] [Φ] η+ [Φ]T [K] [Φ] η = [Φ]T p (5.67)

η(0) = [Φ]T [J ] q(0) (5.68)

cbnd M. Chimeno 89


η(0) = [Φ]T [J ] q(0) (5.69)

lo que conduce a dos modelos de un unico grado de libertad cada uno, ambos concondiciones iniciales nulas para este problema.

El problema asociado al primer modo es

η1 + ω21η1 =

6√42m

p0 sin(Ωt) (5.70)

η1(0) = 0

η1(0) = 0

cuya solucion es la suma de una solucion homogenea y una solucion particular dela forma

η1(t) = A1 cos(ω1t) +B1 sin(ω1t) + η1p(t) (5.71)

Tomando como solucion particular η1p = 1ω2

1−Ω26√42m

p0 sin(Ωt) e imponiendo las condi-ciones nulas a la solucion (5.71), resulta

η1(t) =6√42m

p01

ω21 − Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω1

sin(ω1t)

](5.72)

De un modo similar se obtiene la solucion de la segunda coordenada modal

η2 + ω22η2 =

6√7m

p0 sin(Ωt) (5.73)

η2(0) = 0

η2(0) = 0

que resulta

η2(t) =1√7m

p01

ω22 − Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω2

sin(ω2t)

](5.74)

Una vez obtenida la solucion en el espacio modal, puede realizarse el cambio decoordenadas q = [Φ] η para obtener el movimiento de la seccion de la planta pro-pulsora y la punta de ala:

q1(t) =6√42m

η1(t) +1√7m

η2(t) = (5.75)

=p0

7m

6

ω21 − Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω1

sin(ω1t)

]+

1

ω22 − Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω2

sin(ω2t)

]

q2(t) =1√42m

η1(t)− 1√7m

η2(t) = (5.76)

=p0

7m

1

ω21 − Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω1

sin(ω1t)

]− 1

ω22 − Ω2

[sin(Ωt)− Ω

ω2

sin(ω2t)

]

90 cbnd M. Chimeno


4.Para analizar el fallo descrito, al asumir que el fallo se produce en la union del ac-tuador con el ala se puede resolver directamente el problema libre en el que el ala partede unas ciertas condiciones iniciales q(0) = 11q0, q0T y q(0) = 0, 0T .

Aunque es posible transformar estas condiciones iniciales al espacio modal hacien-do uso de (5.68) y (5.69) resolviendo el problema en el espacio modal, es mas practicopor la sencillez del sistema, aplicar el teorema de expansion y expresar la respuesta enla forma

q = η1(t) ψ1+ η2(t) ψ2 (5.77)

Teniendo en cuenta que ambos modos son flexibles con frecuencias ω1 y ω2 esq1

q2

= [A1 cos(ω1t) +B1 sin(ω1t)]

6

1

+[A2 cos(ω2t) +B2 sin(ω2t)]

1

−1

(5.78)

Ası, las constantes Ai y Bi pueden obtenerse imponiendo en esta expresion las con-diciones iniciales:

q1(0)

q2(0)

= A1

6

1

+ A2

1

−1

=

11q0

q0

⇒ A1 =

12

7q0, A2 =

5

7q0 (5.79)

q1(0)

q2(0)

= B1ω1

6

1

+B2ω2

1

−1

=

11q0

q0

⇒ B1 = 0, B2 = 0 (5.80)

De modo que el movimiento del sistema tras el fallo esq1(t)

q2(t)

= q0

727

cos(ω1t) + 57

cos(ω2t)127

cos(ω1t)− 57

cos(ω2t)

(5.81)

cbnd M. Chimeno 91


5.5 Un avion contra-incendios

1.Debido a la flexibilidad de la estructura, no es posible utilizar como coordenadasgeneralizadas la deflexion de las semi-alas en el encastre, ya que el angulo girado enla union al fuselaje no determina donde esta el extremo libre. Por lo tanto se eligencomo coordenadas generalizadas los desplazamientos verticales del sistema, siendo q1

el del extremo izquierdo del ala, q2 el del fuselaje y q3 el del extremo derecho del ala,todos ellos considerados como los relativos a la posicion de equilibrio estable previo ala suelta.

2.Puesto que el interes se centra en el movimiento del avion tras la suelta de agua,esta no forma ya parte del sistema y por lo tanto aunque como se vera mas tarde in-fluye en las condiciones iniciales, no participa en la energıa cinetica del avion. Con lascoordenadas generalizadas indicadas, esta resulta

T =1

2mq2

1 +1

22mq2

2 +1

2mq2

3 (5.82)

lo que define la matriz de rigidez como

[J ] =

m 0 0

0 2m 0

0 0 m

(5.83)

Para poder obtener la matriz de rigidez por el metodo de desplazamientos o deformacio-nes es necesario restringir en primer lugar los dos modos como solido rıgido que tieneel sistema. En este caso es importante restringirlos sin modificar el comportamientode la estructura por lo que han de restringirse los desplazamientos verticales (y no losgiros). Si se restringen los desplazamientos verticales de los extremos del ala el siste-ma se reduce a una viga doblemente apoyada, por lo que solo hay una deformacionδ. En este caso lo delicado es expresar la deformada en funcion de las coordenadasgeneralizadas originales ya que al haber restringido los dos extremos δ representa ladiferencia entre la posicion del fuselaje y el punto medio de la recta que une los extre-mos de las alas. Ası pues es δ = q2− q3+q1

2y la matriz de cambio δ = [R] q se reduce a

[R] =[−1/2 1 −1/2

]

Al solo haber una deformada, la matriz de desplazamientos se reduce a un unico valor,δ = D∗p, que para una viga doblemente apoyada resultaD∗ = L3

48EIpor lo que la matriz

cbnd M. Chimeno 93


de rigidez del sistema es

[K] = [R]T [D∗]−1 [R] =

−1/2

1

−1/2

48EI

L3

[−1/2 1 −1/2

]=

12EI

L3

1 −2 1

−2 4 −2

1 −2 1

(5.84)

Se observa que la matriz es singular como corresponde a un sistema con modoscomo solido rıgido. En este caso deberan ser dos, correspondientes al desplazamientovertical y al giro en el plano.

3. Para determinar las ecuaciones del sistema solo resta determinar las fuerzas queactuan sobre el sistema durante la suelta de la carga de agua. Al asumir que la sueltade la carga es instantanea, esta se puede aproximar por una percusion sobre la cargade agua cuyo impulso es igual a la variacion de la cantidad de movimiento del aguaque pasa de velocidad vertical nula a V0: Y = m0V0. Por lo tanto esta misma percusionactuara sobre el fuselaje hacia arriba p2(t) = m0V0δ(t). Las ecuaciones del sistema seranentonces: m 0 0

0 2m 0

0 0 m

q1

q2

q3

+12EI

L3

1 −2 1

−2 4 −2

1 −2 1

q1

q2

q3

=

0

m0V0δ(t)

0

(5.85)

con condiciones iniciales nulas q(0) = 0, q(0) = 0.

4. Las frecuencias naturales y los modos propios del sistema son los autovalores yautovectores del problema libre que pueden determinarse imponiendo un movimientoarmonico de la forma q = qae

iωt y determinando los valores de ω para los que la matriz[K − ω2J ] resulta singular. El determinante de esta matriz igual a cero conduce a unaecuacion caracterıstica para ω:

− 2m3ω6 + 8

(12EI

L3

)m2ω4 = 0 (5.86)

que tiene una raız doble ω1 = ω2 = 0 y ω3 =√

48EImL3 .

Los dos primeros modos tienen que cumplir la ecuacion

12EI

L3

1 −2 1

−2 4 −2

1 −2 1

ψi1ψi2ψi3

=

0

0

0

i = 1, 2 (5.87)

es decir (tomando por ejemplo la primera de de las tres):

ψi1 − 2ψi2 + ψi3 = 0 (5.88)

El modo propio que representa el movimiento vertical del avion y que cumple estaecuacion es ψ1 =

1 1 1

T. El segundo modo tendra que verificar la ecuacion (5.88)

y ademasψ1T [J ] ψ2 = 0 (5.89)

94 cbnd M. Chimeno


que conduce aψ21 + 2ψ22 + ψ23 = 0 (5.90)

Ambas ecuaciones, (5.88) y (5.90) las cumple el modo ψ2 =−1 0 1

Tque repre-

senta el giro del avion alrededor del fuselaje. Ademas de los dos modos como solidorıgido, el modelo incluye el primer modo flexible, de frecuencia ω3 =

√48EI/L3 que

es ψ3 =

1 −1 1T

o cualquiera proporcional a este.

Determinados los modos propios del sistema es posible expresar las ecuaciones enel espacio modal a traves de la matriz modal [Ψ]:

[Ψ]T [J ] [Ψ] η+ [Ψ]T [K] [Ψ] η = [Ψ]T p(t) 4m 0 0

0 2m 0

0 0 4m

η1

η2

η3

+12EI

L3

0 0 0

0 0 0

0 0 16

η1

η2

η3

=

1

0

−1

m0V0δ(t) (5.91)

con condiciones iniciales nulas η(0) = 0, η(0) = 0.

Las percusiones en el primer y tercer modo propios pueden traducirse en un cambiode las condiciones iniciales, ya que una percusion de impulso Y sobre un elemento deinercia J es equivalente a un problema libre con velocidad inicial Y/J . Entonces, elproblema en el espacio modal puede expresarse como

4m 0 0

0 2m 0

0 0 4m

η1

η2

η3

+12EI

L3

0 0 0

0 0 0

0 0 16

η1

η2

η3

=

0

0

0

(5.92)

con condiciones iniciales η(0) = 0, η(0) = m0V0

4m0 −m0V0

4mT .

Las coordenadas modales resultan de este sistema de ecuaciones:

η1(t) =m0V0

4mt (5.93)

η2(t) = 0 (5.94)

η3(t) = −m0V0

4mω3

sin(ω3t) (5.95)

5.La respuesta del sistema en el espacio fısico se obtiene de trasladar estas coordena-das al espacio fısico q = [Ψ] η, o en aceleraciones q = [Ψ] η:

q1

q2

q3

=

1 −1 1

1 0 −1

1 1 1

η1

η2

η3

(5.96)

por lo que la aceleracion del fuselaje que sufren los pilotos es

q2 = η1 − η3 =m0V0

4mt+

m0V0

4mω3

sin(ω3t) (5.97)

cbnd M. Chimeno 95


5.6 El aterrizaje de la etapa principal del Falcon 9

1.Para determinar las ecuaciones del sistema dado que las coordenadas generaliza-das estan dadas (q1 y q2), es necesario definir las energıas cinetica, potencial elastica yde disipacion. Aunque no se requiere hasta el caso de movimiento del ASDS, convieneincluir su posible movimiento z(t) en dichas expresiones para obtener directamenteecuaciones que abarquen los dos casos de interes: la respuesta transitoria sin movi-miento del ASDS y la respuesta permanente por el movimiento de esta.

T =1

25mq2

1 +1

22mq2

2 (5.98)

U =1

25K [z(t)− q1]2 +

1

23K (q1 − q2)2 (5.99)

D =1

25F [z(t)− q1]2 +

1

2F (q2 − q1)2 (5.100)

Aunque se indica despreciable la posicion de equilibrio del sistema, resulta intere-sante incluir el peso para estudiar su influencia. En este caso (y para no modificar laexpresion anterior de la energıa potencial) el peso puede incluirse definiendo el trabajoque realiza:

W = 2mgq1 + 5mgq2 (5.101)

2.De modo que con lo anterior y aplicando las ecuaciones de Lagrange se obtienenlas ecuaciones del sistema respecto a la posicion de la etapa cuando contacta con laplataforma (que no es la de equilibrio)[

5m 0

0 2m

]q1

q2

+

[8F −3F

−3F 3F

]q1

q2

+

[8K −3K

−3K 3K

]q1

q2

=

=

5kz + 5F z

0

+

5mg

2mg

(5.102)

La resolucion de la respuesta para el segundo termino de la derecha definirıa laposicion de equilibrio estable referida a la posicion de contacto y la respuesta al primertermino (variable) define las oscilaciones alrededor de dicha posicion de equilibrio:

[5m 0

0 2m

]q1

q2

+

[8F −3F

−3F 3F

]q1

q2

+

[8K −3K

−3K 3K

]q1

q2

=

5kz + 5F z

0

(5.103)

3.Debido a la configuracion del sistema, que conduce a las matrices obtenidas, se ob-serva que la matriz de amortiguamiento es proporcional a la de rigidez. Por lo tanto,sera diagonalizable por los modos propios del sistema conservativo. Definiendo ese co-eficiente de proporcionalidad como [F ] = β [K] con β = F/K. Por lo tanto, los modospropios seran los del sistema conservativo, las frecuencias naturales seran tambien lasconservativas (ω0i) y las propias tendran un coeficiente de amortiguamiento γi = β

ω0i

2

y su valor sera ωi = ω0i

√1− γ2

i .

cbnd M. Chimeno 97


Asumiendo un movimiento armonico, q = qa eiωt, los modos propios se obtie-nen de la condicion de que la matriz [−ω2 [J ] + [K]] sea singular. Su determinante nulodefine la ecuacion caracterıstica

10m2ω4 − 31Kmω2 + 15K2 = 0 (5.104)

cuyas soluciones, ω01 =√

35Km

y ω02 =√

52Km

constituyen las frecuencias naturales delsistema. Los coeficientes de amortiguamiento del sistema ası como las frecuencias pro-pias resultan

γ1 = F2K

√35Km

γ2 = F2K

√52Km

ω1 = ω01

√1− γ2

1 ω2 = ω02

√1− γ2

2

(5.105)

Los modos propios cumplen el sistema de ecuaciones[[8K −3K

−3K 3K

]− ω2

0i

[5m 0

0 2m

]]ψi

=

0

0

(5.106)

que conducen como posible solucion (ası como todas las proporcionales) a

ψ1 =

3/5

1

y ψ2 =

−2/3

1

4. Una vez conocidas las caracterısticas modales del sistema (frecuencias, amortigua-

mientos y modos propios) puede plantearse la respuesta transitoria del sistema expre-sando la respuesta en el espacio fısico como la suma de las coordenadas modales porlos modos propios teniendo en cuenta que al tratarse de modos propios flexibles conamortiguamiento, dichas coordenadas modales son de la forma

ηi(t) = [Ai cos(ωit) +Bi sin(ωit)] e−γiω0i

t (5.107)

Por lo tanto la respuesta sera:q1

q2

= [A1 cos(ω1t) +B1 sin(ω1t)] e

−γ1ω01 t

3/5

1

+ (5.108)

+ [A2 cos(ω2t) +B2 sin(ω2t)] e−γ2ω02 t

−2/3

1

Para definirla completamente es suficiente determinar las cuatro constantes A1, A2,

B1 y B2 a partir de las condiciones iniciales del sistema. La posicion inicial en el mo-mento de contacto (que son nulas al despreciar la diferencia entre esta y la de equili-brio) es

q1(0)

q2(0)

= A1

3/5

1

+ A2

−2/3

1

=

0

0

⇒ A1 = A2 = 0 (5.109)

Por otro lado, la velocidad inicial del sistema seraq1(0)

q2(0)

= B1ω1

3/5

1

+B2ω2

−2/3

1

=

0

V0

⇒ B1 =

10

19

V0

ω1

, B2 =9

19

V0

ω2

(5.110)

98 cbnd M. Chimeno


5.Como se observa en las ecuaciones, al existir cierto amortiguamiento la respuestacalculada tiende a cero, en realidad a la posicion de equilibrio que se ha despreciadoen este analisis. Si se inicia entonces el oleaje descrito, z(t) = z0 sin(Ωt), un tiempo de-terminado despues la respuesta sera unicamente la parte permanente de la misma (denuevo por existir amortiguamiento).

Esta respuesta permanente puede obtenerse definiendo la matriz de transferenciadel sistema ya que el movimiento de la plataforma es armonico. Expresando el des-plazamiento del ASDS en el campo complejo como z(t) = z0e

iΩt las ecuaciones (5.103)resultan[

5m 0

0 2m

]q1

q2

+

[8F −3F

−3F 3F

]q1

q2

+

[8K −3K

−3K 3K

]q1

q2

=

=

5k + iΩ5F

0

z0e

iΩt (5.111)

La respuesta puede expresarse entonces en funcion de la matriz de transferencia[H(iΩ)] como

q1

q2

= [H(iΩ)]

5k + iΩ5F

0

z0e

iΩt (5.112)

donde la matriz de transferencia es

[H(iΩ)] =[−Ω2 [J ] + iΩ [F ] + [K]

]−1= (5.113)

=1

∆(iΩ)

[3K + iΩ3F − Ω22m 3K + iΩ3F

3K + iΩ3F 8K + iΩ8F − Ω25m

]con ∆(iΩ) = (8K + iΩ8F − Ω25m) (3K + iΩ3F − Ω22m)− (3K + iΩ3F )2.

La solucion en el campo complejo es por lo tanto

q1(t) =(3K + iΩ3F − Ω22m) (5K + i5ΩF )

∆(iΩ)z0e

iΩt (5.114)

q2(t) =(3K + iΩ3F ) (5K + i5ΩF )

∆(iΩ)z0e

iΩt (5.115)

Puesto que las cargas que aparecen sobre el sistema son sinusoidales, la respuestaen el espacio fısico es la parte imaginaria de la solucion en el campo complejo:

q1(t) = Im

(3K + iΩ3F − Ω22m) (5K + i5ΩF )

∆(iΩ)z0e

iΩt

(5.116)

q2(t) = Im

(3K + iΩ3F ) (5K + i5ΩF )

∆(iΩ)z0e

iΩt

(5.117)

cbnd M. Chimeno 99

5.7. UNA ATRACCION DE FERIA

5.7 Una atraccion de feria

El primer paso es establecer el numero de grados de libertad que dado el modelopropuesto serıan las posiciones verticales de la seccion inferior (q1) y la seccion supe-rior (q2). Si se consideran q1 y q2 como las posiciones verticales respecto de la posicionde equilibrio estable la energıa potencial puede plantearse sin los terminos gravitato-rios, por lo que lo que se obtendra seran las ecuaciones de oscilaciones alrededor deesta posicion de equilibrio estable. La variacion de energıa gravitatoria por el movi-miento de la barcaza no es necesario incluirla si el objetivo es aplicar las ecuaciones deLagrange:

1.

T =1

26mq2

1 +1

2

3

4mq2

2 +1

2

1

4m

[ΩL cos(Ωt)]2 + [q2 + ΩL sin(Ωt)]2

(5.118)

U =1

24Kq2

1 +1

2K (q2 − q1)2 (5.119)

D =1

24F q2

1 +1

2F (q2 − q1)2 (5.120)

2.Las ecuaciones del sistema resultantes de aplicar las ecuaciones de Lagrange son[6m 0

0 m

]q1

q2

+

[5F −F−F F

]q1

q2

+

[5K −K−K K

]q1

q2

=

0

−14mΩ2L cos(Ωt)

(5.121)

3.Debido a la configuracion del sistema, que conduce a las matrices obtenidas, se ob-serva que la matriz de amortiguamiento es proporcional a la de rigidez. Por lo tanto,sera diagonalizable por los modos propios del sistema conservativo. Definiendo esecoeficiente de proporcionalidad como [F ] = β [K] y dada la relacion conocida entre Ky F , es β = 0, 02. Por lo tanto, los modos propios seran los del sistema conservativo,las frecuencias naturales seran tambien las conservativas (ω0i) y las propias tendran uncoeficiente de amortiguamiento γi = β

ω0i

2y su valor sera ωi = ω0i

√1− γ2

i .

Asumiendo un movimiento armonico, q = qa eiωt, los modos propios se obtie-nen de la condicion de que la matriz [−ω2 [J ] + [K]] sea singular. Su determinante nulodefine la ecuacion caracterıstica

ω4 − 11

6

K

mω2 +

2

3

K2

m2= 0 (5.122)

cuyas soluciones, ω01 =√

12Km

y ω02 =√

43Km

constituyen las frecuencias naturales delsistema. Los coeficientes de amortiguamiento del sistema ası como las frecuencias pro-pias resultan

γ1 = 0, 01√

12Km

γ2 = 0, 01√

43Km

ω1 = ω01

√1− γ2

1 ω2 = ω02

√1− γ2

2

(5.123)

Los modos propios cumplen el sistema de ecuaciones[[5K −K−K K

]− ω2

0i

[6m 0

0 m

]]ψi

=

0

0

(5.124)

cbnd M. Chimeno 101


que conducen como posible solucion (ası como todas las proporcionales) a

ψ1 =

1/2

1

y ψ2 =

−1/3

1

4. En el regimen permanente de la atraccion, la respuesta sera de la frecuencia de

giro Ω y la respuesta del sistema tendra la forma q = qa eiΩt. Introduciendo estarespuesta en la ecuacion del sistema se puede determinar la respuesta del sistema atraves de la matriz de transferencia del sistema:

q =[[K] + iΩ [F ]− Ω2 [J ]

]−1 p(t) (5.125)q1(t)

q2(t)

=

1

∆ (iΩ)

[K + iΩF − Ω2m K + iΩF

K + iΩF 5K + iΩ5F − Ω26m

]0

−14mΩ2L cos(Ωt)

(5.126)

con ∆ (iΩ) = (5K + iΩ5F − Ω26m) (K + iΩF − Ω2m)− (K + iΩF )2.

La respuesta de la seccion inferior es pues

q1(t) =K + iΩF

∆ (iΩ)

[−1

4mΩ2L cos(Ωt)

](5.127)

La amplitud de la cabina de control en esta seccion solo podrıa ser nula si se cum-pliese 1

4mΩ2L |K + iΩF | = 0, es decir que la atraccion no este en marcha (Ω = 0) o

K2 + Ω2F 2 = 0. Puesto que esta relacion no puede cumplirse para ninguna velocidadde giro, es imposible que la seccion inferior no vibre durante el funcionamiento de laatraccion.

102 cbnd M. Chimeno


5.8 Un instrumento de observacion

1.Dado el modelo propuesto, se incluye solo el desplazamiento vertical de la plata-forma por lo que se puede reducir el sistema a un modelo de dos grado de libertad:q1 el desplazamiento vertical de la plataforma y q2 el desplazamiento del instrumento.Ambas se toman absolutas respecto a la posicion de equilibrio estable, por lo que nose tendra en cuenta la variacion de energıa potencial gravitatoria, obteniendo ası lasecuaciones de oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio estable.

Con estas consideraciones las energıas cineticas, potencial de deformacion y de di-sipacion con estos grados de libertad son

T =1

26mq2

1 +1

2mq2

2 (5.128)

U = 2

(1

22Kq2

1

)+

1

2K (q2 − q1)2 (5.129)

D = 2

(1

22F q2

1

)+

1

2F (q2 − q1)2 (5.130)

Ante dos cargas genericas p1(t) y p2(t) actuando sobre el sistema, el trabajo querealizan sera

W = p1q1 + p2q2 (5.131)

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange determinan las ecuaciones de pequenasoscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio:

6mq1 + 5F q1 − F q2 + 5Kq1 −Kq2 = p1(t) (5.132)

mq1 + F q2 − F q1 +Kq2 −Kq1 = p2(t) (5.133)

que se pueden expresar de modo matricial como[6m 0

0 m

]q1

q2

+

[5F −F−F F

]q1

q2

+

[5K −K−K K

]q1

q2

=

p1

p2

(5.134)

En cualquier caso, si interesase conocer la posicion de equilibrio estable alrededorde la que oscila el sistema, esta se podrıa determinar analizando la deformacion delsistema debida al peso: [

5K −K−K K

]q1eq

q2eq

=

−6mg

−mg

(5.135)

que resulta ser q1eq

q2eq

=

−7

4mgK

−114mgK

(5.136)

2.Volviendo al analisis dinamico, como se observa en la ecuacion (5.134), la matriz dedisipacion puede expresarse como una combinacion lineal de las matrices de inerciay rigidez [F ] = α [J ] + β [K] por lo que es diagonalizable por los modos propios delsistema conservativo [J ] q + [K] q = 0, en este caso con α = 0 y β = 0,1. Por

cbnd M. Chimeno 103


lo tanto los modos propios del sistema conservativo son tambien los del sistema noconservativo, las frecuencias naturales ω0i son tambien las del sistema conservativo yel coeficiente de amortiguamiento de cada modo es γi = α

2ω0i+ β

ω0i

2.

La ecuacion caracterıstica del sistema conservativo se puede definir considerandouna solucion del tipo q(t) = qa eiωt en la ecuacion [J ] q+ [K] q = 0 resultando

6m2ω4 − 11Kmω2 + 4K2 = 0 (5.137)

cuya resolucion permite definir las frecuencias naturales

ω01 =

√1

2

K

m(5.138)

ω02 =

√4

3

K

m

ası como las frecuencias propias

ω1 = ω01

√1− γ2

1 = ω01

√√√√1−

(0,1

2

√1

2

K

m

)2

(5.139)

ω2 = ω02

√1− γ2

2 = ω02

√√√√1−

(0,1

2

√4

3

K

m

)2

Los modos propios del sistema son los del conservativo y resultan (o cualquieraproporcional a estos)

ψ1 =

1/2

1

ψ2 =

−1/3

1

(5.140)

Ası, la matriz modal sera:

[Ψ] =

[1/2 −1/3

1 1

](5.141)

3. El primero de los escenarios planteados es un problema libre de condiciones inicia-les (una velocidad V0 en el instrumento) que puede resolverse por ejemplo planteandola respuesta del sistema como la suma de los modos propios por las coordenadas mo-dales:

q(t) = η1(t) ψ1+ η2(t) ψ2 (5.142)

Al ser modos propios flexibles con amortiguamiento viscoso menor que la unidadlas coordenadas modales seran de la forma

ηi(t) = [Ai cos(ωit) +Bi sin(ωit)] e−γiω0i

t

La condicion inicial en desplazamiento determinara en este caso el valor de lasconstantes Ai:

q1(0)

q2(0)

= A1

1/2

1

+ A2

−1/3

1

=

0

0

(5.143)

104 cbnd M. Chimeno


de donde se obtiene que A1 = A2 = 0.La condicion inicial en velocidad implica

q1(0)

q2(0)

= B1ω1

1/2

1

+B2ω2

−1/3

1

=

0

V0

(5.144)

Lo que constituye un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas cuya soluciones

B1ω1

B2ω2

=

[1/2 −1/3

1 1

]−10

V0

⇒B1

B2

=

2/(5ω1)

3/(5ω2)

V0 (5.145)

Determinadas las constantes, el movimiento del instrumento debido a esta veloci-dad inicial es

q2(t) =V0

5

[2

ω1

sin(ω1t)e−γ1ω01 t +

3

ω2

sin(ω2t)e−γ2ω02 t

](5.146)

4.El segundo escenario es un caso de respuesta permanente a una carga armonica.En este caso las cargas externas son de la misma frecuencia pero no necesariamente enfase por lo que se pueden expresar como

p(t) =

p1

p2

eiΩt (5.147)

donde p1 y p1 son numeros complejos con un cierto desfase entre si.

En este caso la respuesta puede resolverse bien en el espacio fısico a traves de la ma-triz de transferencia del sistema o bien estudiando la respuestas modales permanentesa la cargas generalizadas. Dado que se quiere conocer si es posible que la respuesta seaproporcional solo a uno de los modos el segundo enfoque es el adecuado. Para ello,sera necesario definir las cargas generalizadas N(t)

pM(t) = [Ψ]T p(t) =

[1/2 1

−1/3 1

]p1

p2

eiΩt (5.148)

pM(t) =

p1

2+ p2

− p1

3+ p2

eiΩt (5.149)

Para que la respuesta sea proporcional solo al segundo modo propio, la respuestadel primero ha de ser nula, es decir ha de ser nula la primer fuerza generalizada modal.La condicion es entonces p1

2+ p2 = 0. Por lo tanto es necesario que ambas cargas esten

en contrafase y que el modulo de la fuerza sobre el instrumento sea la mitad de lafuerza sobre la plataforma (p2 = − p1

2).

cbnd M. Chimeno 105

5.9. LAS PROTECCIONES DE UN CIRCUITO DE F1

5.9 Las protecciones de un circuito de F1

Asumiendo que tras el choque el coche y las protecciones quedan solidariamenteunidas y tomando la posicion del choque como de referencia, pueden expresarse lasenergıas potenciales, elastica y de disipacion en funcion de q1 y q2 de la forma

T =1

2M1q

21 +

1

2M2q

22 (5.150)

U =1

2K1 (q2 − q1)2 +

1

2K2q

22 (5.151)

D =1

2F1 (q2 − q1)2 +

1

2F2q

22 (5.152)

La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange para q1 y q2 permite definir las ecua-ciones del movimiento alrededor de las posiciones del instante del choque, que expre-sadas en forma matricial son[M1 0

0 M2

]q1

q2

+

[F1 −F1

−F1 F1 + F2

]q1

q2

+

[K1 −K1

−K1 K1 +K2

]q1

q2

=

0

0

(5.153)

Para el problema general, el sistema tendrıa modos propios complejos debidos alamortiguamiento viscoso, por lo que habrıa que resolver el problema obteniendo estosde este sistema o bien planteando el problema en terminos de la matriz ampliada. Sinembargo, para la configuracion indicada[

3/2M2 0

0 M2

]q1

q2

+

[2F2 −2F2

−2F2 3F2

]q1

q2

+

[2K2 −2K2

−2K2 3K2

]q1

q2

=

0

0

(5.154)

se observa que la matriz de amortiguamiento es proporcional a la de rigidez de laforma ([F ] = F2

K2[K]) lo que significa que es diagonalizable por los modos propios del

sistema conservativo. Por lo tanto, los modos propios del sistema seran los del sistemaconservativo, ası como las frecuencias naturales. Por otro lado, las frecuencias propiasdel sistema (ωi = ω0i

√1− γi) se pueden definir a partir del coeficiente de amortigua-

miento adimensional que para este caso sera γi = 12F2

K2ω0i .

Las frecuencias naturales y los modos propios pueden obtenerse analizando el pro-blema conservativo libre [J ] q + [K] q = 0 imponiendo una solucion armonicade la forma q(t) = qa eiωt y determinando las frecuencias ω0i que hacen singular lamatriz

[[K]− ω2

0i[J ]].

Ası se obtienen las frecuencias naturales ω01 =√

13K2

M2y ω02 =

√4K2

M2y los mo-

dos propios que son ψ1 =

43, 1T , ψ2 = 1,−2T o cualquiera otros propor-

cionales a estos. Los modos se normalizan con la matriz de inercia para que resul-

te φ1T [J ] φ1 = 1 obteniendo los modos normalizados φ1 =√

311M2

43, 1T y

φ2 =√

211M2

1,−2T .

cbnd M. Chimeno 107


La respuesta del sistema tras el choque puede obtenerse resolviendo esta para lacondicion inicial indicada (V0 en ambos grados de libertad). La resolucion puede plan-tearse en el espacio modal si se obtiene la proyeccion de estas condiciones iniciales enel mismo:

η(0) = [Φ]−1 q(0) = [Φ]T [J ] q(0) = 0 (5.155)

η(0) = [Φ]−1 q(0) = [Φ]T [J ] q(0) =

3V0

√3M2

11

−V0

√M2

22

(5.156)

De este modo los dos problemas de un grado de libertad en el espacio modal son

η1 + 2γ1ω01 + ω201η1 = 0 (5.157)

con condiciones iniciales η1(0) = 0, η1(0) = 3V0

√3M2

11y

η2 + 2γ2ω02 + ω202η2 = 0 (5.158)

con condiciones iniciales η2(0) = 0, η2(0) = −V0

√M2

11cuyas soluciones respectivas son

η1(t) =3V0

ω1

√3M2

11sin (ω1t) e

−γ1ω01 t (5.159)

η2(t) =−V0

ω2

√M2

22sin (ω2t) e

−γ2ω02 t (5.160)

A partir de esta solucion puede obtenerse la velocidad del habitaculo (masa M1,coordenada q1) aplicando el cambio de base al espacio fısico q = [Φ] η:

q1(t) =1√

11M2

[4√

3

3η1(t) +

√2η2(t)

]= (5.161)

=V0

11

[12

ω1

sin (ω1t) e−γ1ω01 t − 1

ω2

sin (ω2t) e−γ2ω02 t

]Por lo que finalmente la velocidad sera

q1(t) =V0

11

12

ω1

[ω1 cos(ω1t)− γ1ω01 sin(ω1t)] e−γ1ω01 t + (5.162)

− 1

ω2

[ω2 cos(ω2t)− γ2ω02 sin(ω2t)] e−γ2ω02 t

108 cbnd M. Chimeno


5.10 Las protecciones complejas de un circuito de F1

1.Asumiendo que tras el choque el vehıculo y las protecciones quedan solidariamenteunidas y tomando la posicion del choque como de referencia, las energıas potenciales,elastica y de disipacion pueden expresarse en funcion de q1 y q2 de la forma

T =1

2M1q

21 +

1

2M2q

22 (5.163)

U =1

2K1 (q2 − q1)2 +

1

2K2q

22 (5.164)

D =1

2F1 (q2 − q1)2 +

1

2F2q

22 (5.165)

2.La aplicacion de las ecuaciones de Lagrange para q1 y q2 permite definir las ecua-ciones del movimiento alrededor de las posiciones del instante del choque, que expre-sadas en forma matricial son[M1 0

0 M2

]q1

q2

+

[F1 −F1

−F1 F1 + F2

]q1

q2

+

[K1 −K1

−K1 K1 +K2

]q1

q2

=

0

0

(5.166)

Para los valores del diseno actual las ecuaciones son[560 0

0 560

]q1

q2

+ 104

[1 −1

−1 8

]q1

q2

+ 1010

[1 −1

−1 1, 5

]q1

q2

=

0

0

(5.167)

3.Puesto que la matriz de amortiguamiento no es combinacion lineal de las de inerciay rigidez, es necesario resolver los autovalores del problema amortiguado que resul-taran complejos, ası como los modos propios del sistema que tambien resultaran com-plejos.

Este problema puede resolverse mediante el metodo de la matriz ampliada defi-niendo un nuevo vector de estado x = q1, q2, q1, q2T , para el que las anterioresecuaciones pueden escribirse como[

JA]x+

[KA]x = 0 (5.168)

donde las matrices ampliadas son funcion de las matrices de inercia, amortiguamientoy rigidez, [J ], [F ] y [K] del problema original de la forma

[JA]

=

[[F ] [J ]

[J ] 0

] [KA]

=

[[K] 0

0 [−J ]

](5.169)

Las condiciones iniciales para el problema expresadas en el vector de estado sonunicas ya que el nuevo sistema de ecuaciones es de primer orden: x(0) = 0, 0, V0, V0T .

Ası, asumiendo que la respuesta es de la forma x = xa eλt donde tanto la ampli-tud de la respuesta xa como las raıces λ se asumen complejas, la ecuacion del sistemaresulta [

λ[JA]

+[KA]]x = 0 (5.170)

cbnd M. Chimeno 109


Los autovalores seran las raices del determinante∣∣λ [JA]+

[KA]∣∣ = 0. Estas resul-

tan dos parejas de autovalores complejos

λ1,2 = −2, 3939× 10−2 ± 1, 9785× 103i

λ3,4 = −5, 6418× 10−2 ± 6, 3813× 103i

A partir de los autovalores se pueden definir las frecuencias naturales y los coefi-cientes de amortiguamiento teniendo en cuenta que los autovalores se expresan de laforma λr = −ω0rγr ± ω0r

√1− γ2

r . Ası, las frecuencias naturales (ω0r = |λr|) y los coefi-cientes de amortiguamiento (γr = −Reλr/|λr|) resultan

ω01 = 1978, 64 rad/s, γ1 = 0, 0121, ω1 = ω01

√1− γ1

ω02 = 6381, 59 rad/s, γ2 = 0, 0088, ω2 = ω02

√1− γ2

Los diferentes modos propios cumplen la ecuacion[λr[JA]

+[KA]]ψr = 0 (5.171)

Los modos propios (o cualquieras proporcionales a ellos) que resultan dos parejasde complejos conjugados son

ψ1,2 =

7, 1923× 10−6 ∓ 4, 9237× 10−4i

3, 2173× 10−6 ∓ 3, 8448× 10−4i

9, 7398× 10−1 ± 2, 6017× 10−2i

7, 6062× 10−1 ± 1, 5570× 10−2i

ψ3,4 =

3, 2615× 10−6 ± 1, 2203× 10−4i

−1, 0315× 10−6 ∓ 1, 5634× 10−4i

−7, 7891× 10−1 ± 1, 3928× 10−2i

9, 9978× 10−1 ± 2, 2383× 10−3i

Ası, la matriz modal sera

[Ψ] =[ψ1 ψ2 ψ3 ψ4

](5.172)

4. La solucion puede obtenerse mediante el teorema de expansion o bien expresandoel problema en el espacio modal de la forma

[Ψ]T[JA]

[Ψ] η+ [Ψ]T[KA]

[Ψ] η = 0 (5.173)

obteniendo dos parejas de ecuaciones complejas conjugadas. Aunque no se han nor-malizado los modos propios basta dividir cada ecuacion por el coeficiente de ˙etar paraque las ecuaciones resulten de la forma

ηr − λrηr = 0 r = 1, 2, 3, 4 (5.174)

cuyas soluciones son del tipoηr(t) = Are

λrt (5.175)

110 cbnd M. Chimeno


Las condiciones iniciales en el espacio modal se determina mediante la matriz mo-dal:

η(0) = [Ψ]−1 x(0) (5.176)

resultando

η1,2(0) = (0, 5678± 0, 0072i)V0 = 0, 567831V0e±0,0126163i

η3,4(0) = (0, 0682∓ 0, 0064i)V0 = 0, 068485V0e∓0,0933308i

Con estas condiciones se pueden determinar las constantesAr de la ecuacion (5.175).Ası, la respuesta modal del sistema es

η1(t) = (0, 5678 + 0, 0072i)V0eλ1t

η2(t) = (0, 5678− 0, 0072i)V0eλ2t

η3(t) = (0, 0682− 0, 0064i)V0eλ3t

η4(t) = (0, 0682 + 0, 0064i)V0eλ4t

A partir de esta solucion puede obtenerse la velocidad del habitaculo (masa M1,coordenada q1) aplicando el cambio de base al espacio fısico x = [Ψ] η. Denomi-nando ψij a la componente j del modo i, el desplazamiento del habitaculo es:

q1(t) = ψ11η1(t) + ψ21η2(t) + ψ31η3(t) + ψ41η4(t) (5.177)

Ahora bien, puesto que los modos propios son parejas de complejas conjugadasa pares, ψ21 = ψ11, ψ41 = ψ31, y esto tambien sucede con las diferentes coordenadasmodales, η2(t) = η1(t), η4(t) = η3(t), esta expresion se reduce a

q1(t) = 2 Re ψ11η1(t)+ 2 Re ψ31η3(t) (5.178)

Es decir

q1(t) = 2 Re

2, 7961× 10−4V0e+1,5688ieλ1t

+ 2 Re

8, 3603× 10−6V0e

−1,6374ieλ3t

El argumento de los coeficientes complejos resulta el desfase de las diferentes com-ponentes de la respuesta, que expresada en su forma final es

q1(t) = 5, 5923× 10−4V0 cos (ω1t+ 1,5688) e−γ1ω01 t +

+ 1, 6721× 10−5 cos (ω2t− 1, 6374) e−γ2ω02 t

La derivada de esta expresion determina la velocidad que experimenta el piloto enel habitaculo durante el choque

q1(t) = V0

5, 5923× 10−4V0 [ω1 sin(ω1t+ 1,5688)− γ1ω01 cos(ω1t+ 1,5688)] e−γ1ω01 t +

+ 1, 6721× 10−5 [ω3 sin(ω3t− 1, 6374)− γ3ω03 cos(ω3t− 1, 6374)] e−γ3ω03 t

Puede comprobarse que se verifican las condiciones iniciales

q1(0) = 5, 5923× 10−4V0 cos (1,5688) + 1, 6721× 10−5 cos (−1, 6374) = 0

q1(0) = V0

5, 5923× 10−4 [ω1 sin(1,5688)− γ1ω01 cos(1,5688)] +

+ 1, 6721× 10−5 [ω3 sin(−1, 6374)− γ3ω02 cos(−1, 6374)]

= V0

cbnd M. Chimeno 111

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