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VIBRACIONES FORZADAS.

Vibraciones forzadas sin amortiguamiento.

Uno de los movimientos ms importantes en el trabajo ingenieril es las

vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Los principios que describen este

movimiento pueden aplicarse al estudio de las fuerzas que originan lavibracin en varios tipos de mquinas y estructuras.

Fuerza armnica de excitacin. El sistema mostrado en a figura 2.1!proporciona un modelo de un sistema masa resorte sometido a una fuerza decarcter armnico dada por " # "sen$%t&! donde " es la amplitud de la

vibracin armnica y % es a frecuencia de la vibracin armnica.

$a& $b&

Figura 2.10. (a) Bloque sometido a una fuerza peridica externa, (b) DCLy cintico

'plicando las ecuaciones de movimiento seg(n el eje )!

resulta

La ecuacin $2.*1&+ es una ecuacin diferencial de segundo orden no

,omog-nea con coeficientes constantes. u solucin est compuesta por/ i&

una solucin complementaria; y ii) una solucin particular.

La solucin complementaria se determina ,aciendo igual a cero elsegundo t-rmino de la ecuacin $2.*1&+! y resolviendo la ecuacin ,omog-nea!es decir

La solucin de esta ecuacin es de la forma

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0omo el movimiento es peridico la solucin particular es de la forma

eterminando la segunda derivada con respecto al tiempo de la ecuacin $2.*&

y remplazando en la ecuacin $2.*1& da por resultado

espejando el valor de la constante

B resulta

3emplazando la ecuacin $2.*4& en $2.*&! resulta

La solucin general ser

e la ecuacin $2.*5& se observa que la oscilacin total est compuesta por dostipos de movimiento. Una vibracin libre de frecuencia %n figura 2.11a! y una

vibracin forzada causada por la fuerza e)terior figura 2.11b. e esto seobserva que la vibracin libre se e)tingue quedando la vibracin permanente o

particular como lo muestra la figura 2.11c.

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Figura 2.11. (a) !ibracin libre, (b) !ibracin permanente y (c)"uperposicin de ambas

En la ecuacin $2.**& se observa que la amplitud de la vibracin particular

depende de la razn entre las frecuencias forzada y natural. e define

comofactor de amplificacin al cociente entre la amplitud de la vibracin

estable y la defle)in esttica.

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e esta ecuacin puede observarse que aparece la resonancia cuando las

dos frecuencias son apro)imadamente iguales

esto es . El fenmeno de

Resonancia no es deseable en las vibraciones de elementos estructuralesporque producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso de la

estructura.

Desplazamiento excitador peridico Las vibraciones forzadas tambi-n

pueden surgir a parir de la e)citacin peridica de la cimentacin de un

sistema. El modelo indicado en la figura 2.12! representa la vibracinperidica de un bloque que es originada por el movimiento armnico 6 #

6sen%t.

Figura 2.12. #ibracin forzada debido a un desplazamiento

peridico.

En la figura 2.1! se muestra el 0L y cin-tico del bloque. En este caso la

coordenada x se mide a partir del punto de desplazamiento cero del

soporte es decir cuando el radio vector 7' coincide con 78. 9or lo tanto

el desplazamiento general del resorte ser $x:6sen%t&

Fig. 13. Dia$rama de cuerpo libre y cintico

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'plicando la ecuacin de movimiento seg(n la direccin ,orizontal

se tiene

0omparado la ecuacin $2.*;& con la ecuacin $2.*1& se observa que su forma esid-ntica por tanto su solucin seguir el mismo procedimiento establecido

anteriormente.

EJERCCIOS PARA RESOVER:

PROBLEMA N1:

7LU0

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PROBLEMA N2:

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