UNIDAD II.- VIBRACION LIBRE DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD. Una descripción técnica útil de la respuesta en el tiempo de los sistemas vibratorios, se consigue resolviendo un modelo matemático de un sistema equivalente que pueda analizarse con facilidad. Por ejemplo, las vibraciones torsionales de la hélice de un buque pueden describirse con gran aproximación despreciando la masa del eje y sustituyendo la hélice y turbina por dos discos concentrados, uno a cada extremo del eje. Uno de los principales objetivos en el análisis de los sistemas vibratorios es el de conocer su frecuencia natural, para lo cual existen varios criterios que dependen del sistema en particular. Entre los principales métodos tenemos: 1.- Método de las fuerzas. 1.1.- Traslación. 1.2.- Rotación. 2.- Métodos de energía. 2.1.- Principio de la conservación de la energía. 2.2.- Método de Rayleigh. Con excepción del método de Rayleigh, en todos los casos se determina la ecuación diferencial del movimiento. 2.1.- Relaciones constitutivas del elemento resorte, inercia y amortiguador. Las relaciones o ecuaciones constitutivas son aquellas que representan las propiedades características de los materiales, y que los distinguen de otros. Un resorte es un elemento elástico que obedece la ley de Hooke, y se representa de acuerdo con la siguiente figura:

La ecuación constitutiva que relaciona la fuerza F , la deflexión x y la constante elástica k se representa por

RF kx -------------------- (2.1)

en donde RF = fuerza elástica en el resorte

k = constante elástica del resorte en N/m, lb/pul, etc.

El amortiguador es un elemento disipador de energía, y tiene como función principal la de limitar la amplitud de una vibración. Su representación es como sigue:

La ecuación constitutiva para un amortiguador establece la relación entre la fuerza F , la constante de amortiguamiento c y la velocidad de deformación x , de acuerdo con

AF cx -------------- (2.2)

en donde AF = fuerza en el amortiguador

c = factor de amortiguamiento en N.s/m, lb.s/pul, etc.

La ecuación constitutiva que establece la relación entre la fuerza F , la masa m y la

aceleración x se escribe por

IF mx -------------- (2.3)

en donde IF = fuerza debida a la inercia

m = masa en kg o slugs

x = aceleración El caso general del sistema libre resorte, inercia y amortiguador se representa como sigue:

Las relaciones constitutivas del sistema anterior están dadas por la ecuación diferencial ------------- (2.4)

0mx cx kx

2.2.- Combinación de resortes. Los resortes pueden combinarse en serie, paralelo o ambos, debiendo obtener la constante elástica equivalente para cada arreglo en particular. a).- Arreglo en serie.

La constante equivalente para un arreglo en serie se determina por

1 2 3

1 1 1 1 1 1

1e n i

n

k k k k k ki

------------------- (2.5)

b).- Arreglo en paralelo.

La constante equivalente para un arreglo en paralelo se determina por

1 2 31

n

e n ii

k k k k k k

-------------------- (2.6)

Dos formas equivalentes en arreglos en paralelo son:

2.3.- Método de las fuerzas para el análisis de sistemas vibratorios. 2.3.1.- Sistemas no amortiguados en traslación. Para éste tipo de sistemas se utiliza la segunda ley de Newton para sistemas en traslación:

F mx -------------- (2.7)

Consideremos el siguiente sistema resorte-masa:

Aplicando la ecuación (2.7) tenemos:

( ) mx k x w mx k kx w mx kx , ya que del equilibrio estático

w k . Ordenando la ecuación resultante y dividiéndola entre la masa obtenemos

0km

x x ------- (a)

Si 2 kn m

, entonces la ecuación (a) se transforma en

2 0nx x --------- (2.8) Ecuación diferencial del movimiento

Resolviendo la ecuación diferencial (2.8) y aplicando las condiciones iniciales (0)x y (0)x

encontramos la respuesta del sistema vibratorio; esto es

(0)(0)cos

n

xn nx x t sen t

--------- (2.9)

En algunas ocasiones es conveniente usar un diagrama vectorial para representar visualmente el movimiento armónico, lo cual se indica a continuación:

Si hacemos 2 2X A B , AX

sen , cos BX

, la ecuación (2.9) se transforma en

( cos cos ) n nx X sen t sen t

( )nx Xsen t ------------ (2.10)

siendo = ángulo de fase

(0)

n

xB

(0)A x

2.3.2.- Cálculo de la frecuencia natural a partir de la deformación inicial .

Esto se puede realizar fácilmente, sabiendo que w k y w mg , por lo que

2g gkn nm

12

gnf --------------- (2.11)

Ejemplo 2.1.- Un bloque de 25 kg está sostenido por el arreglo de resortes que se muestra en la figura. Si el bloque se mueve verticalmente hacia abajo desde su posición de equilibrio y se suelta, determinar la velocidad máxima y la aceleración máxima del bloque si la amplitud del

movimiento es de 25 mm. Suponer 1 5 kN/mk , 2 20 kN/mk , 3 2 kN/mk .

Solución: Primero se determina la constante equivalente del arreglo de resortes:

Los dos resortes en serie 1k y 2k tienen una constante equivalente

1 1 1 1 515 20 201 2

201 1 15

4 kN/mk k

ek

Los resortes con 1e

k y 3k quedan en paralelo, por lo que la constante equivalente del sistema es

6 kN/mek .

La ecuación diferencial del movimiento es 600025

0 0 0eke m

mx k x x x x x

240 0x x

240 15.492 rad/sn

La solución general de la ecuación diferencial es : (0)

(0)cosn

xn nx x t sen t

Aplicando condiciones iniciales a la solución general se obtiene: 0.025cos15.492x t

Derivando de manera sucesiva se obtiene:

0.3873 15.492x sen t 6cos15.492x t

De las relaciones anteriores se tiene que

0.3873 m/smáxv

26 m/smáxa

2.3.3.- Sistemas no amortiguados en rotación. Para este tipo de sistemas se utiliza la segunda ley de Newton para sistemas en rotación

oJ Pares --------- (2.12)

en donde 2o cgJ J md (momento de inercia con respecto al punto O)

cgJ = momento de inercia con respecto al centro de gravedad del sistema

Lo anterior se representa en la siguiente figura:

Aplicando la ecuación (2.12) se obtiene o oJ mgx J mgdsen ------- ( i )

Para pequeñas oscilaciones sen por lo que la ecuación ( i ) se transforma en

( ) ( ) 0o oJ mgd J mgd ------------ ( ii )

Dividiendo ( ii ) por oJ llegamos a la ecuación

0o

mgd

J ------------ (2.13)

en donde 2

o

mgdn J

La ecuación diferencial obtenida es análoga a la que se obtuvo para los sistemas en traslación, por lo que el criterio para determinar la frecuencia natural y resolver la ecuación diferencial es exactamente el mismo. Ejemplo 2.2.- Para la barra y el disco que se indica, determinar la constante del resorte para la

cual el período de vibración de la barra es 1.5 seg. Los datos son: 0.12 mr , 0.5 mL ,

var 5 kgillam , 8 kgdiscom .

Normal Deformado Solución:

Momento de inercia del disco respecto a A: 2 2 21 12 2

(8)(0.12) 0.0576 kg.mJ mr

Momento de inercia de la varilla respecto a A:

222 2 20.51 1

12 2 12 2(5)(0.5) 5 0.41667 kg.mLJ mL m

Momento de inercia total respecto a A: 2var 0.47427 kg.mA disco illaJ J J

Fuerza en el resorte en el estado deformado: 0.12F kr k 2(0.12)

0.474270.12 (0.12) 0

ko AJ Pares J k 0.03036 0k ------ (a)

De (a) se tiene que: 2 0.03036n k ---------- (b)

22 21.5

4.188787 17.5459n n

-------- (c)

Igualando (b) y (c) se obtiene lo siguiente: 0.03036 17.54593374k

578 N/mk

2.4.- Método de la energía para sistemas no amortiguados. El método de la energía es un método simple y directo para resolver problemas vibratorios. Se lleva a cabo mediante un balance de energía, aplicando el principio de la conservación de la energía. Sabiendo que la energía mecánica permanece constante en cualquier punto se tiene que

constanteME EC EP --------- (2.14)

en donde ME = energía mecánica

EC = energía cinética EP = energía potencial Si la energía total permanece constante entonces

0d

EC EPdt

-------------------------- (2.15)

Con ésta ecuación encontramos rápidamente la ecuación diferencial del movimiento y la frecuencia natural correspondiente. 2.4.1.- Principio de Rayleigh. Este principio es una forma alterna del método de la energía con el cual se obtiene una buena aproximación de las frecuencias naturales sin necesidad de generar la ecuación diferencial del movimiento. Este método considera los pasos siguientes: a).- Se supone un movimiento armónico.

Traslación: nx Xsen t

Rotación: o nsen t

b).- Se determina máxEP y máxEC .

c).- Se sustituyen los movimientos armónicos en las expresiones anteriores.

d).- Igualando máxEP y máxEC , y reduciendo se encuentra el valor de n .

Problema 2.3.- Una placa delgada rectangular es flexionada hasta darle la forma cilíndrica semicircular que se muestra en la figura. Hallar el período de oscilación si se deja balancear en una superficie horizontal.

Solución: De la figura se tiene:

Centro de masa: 2Ra

Momento de inercia: 2 2( )cgJ m R a

Desplazamiento del centro de masa: ( )x R a R a

Velocidad del centro de masa: ( )x R a

2 21 12 2 2 2

cos cos 1 2sen sen

22

2 22sen

2 2 2coso n o o n máx máx nsen t t , o máx

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 12 2 2

( ) ( ) ( )máx cg máx máxEC mx J m R a R a mR R a

2

2cos (1 cos ) máx

máx máx máxEP mga mga mga mga

22 2

2( ) máx

máx máx n máxEC EP mR R a mga

2 222 1 22

gR R

n nR R g R

( 2)

gn R

12 ( 2)

gn R

f

( 2)2

R

g

2.5.- Masa efectiva. Es una masa equivalente de un sistema concentrada en un punto. El procedimiento para determinar la masa efectiva es mediante el cálculo de la energía cinética adicional de la masa distribuida (suponiendo el movimiento de ésta masa distribuida). Esta energía se determina mediante la expresión

212adic efEC Fdx m x --------------- (2.16)

Ejemplo 2.4.- Determine la masa efectiva en el punto n del sistema mostrado en la figura, y determine su frecuencia natural.

Figura (a) Figura (b) Solución:

De la figura (b) se tiene que nxx bnb a a

x x

Energía cinética del sistema:

2 21 12 2

T mx J

1x x xnb b b a

sen x

2

2 2 22 2 21 1 1 12 2 2

b b Jn n na a a a

T m x J x m x

2

2b J

ef a am m

2.6.- Análisis de sistemas con amortiguamiento. Consideremos el sistema amortiguado que se muestra en la figura siguiente:

La ecuación diferencial del sistema es: 0mx cx kx ----------- (a)

Dividiendo (a) por m de obtiene 0c km m

x x x -------------------- (b)

Resolviendo la ecuación diferencial (b) se obtienen las raíces

4 2

2 2 2

c c km m m c c k

m m mr

2 2

2 2c c

nm mr --------- (c)

Si hacemos 2c

n m y resolviendo la ecuación (b) obtenemos la expresión

2 2 1 1

( )n nt t

x t Ae Be

--------------- (2.17)

en donde

cr

cc

----- (2.18) factor de amortiguamiento crítico

2cr nc m ------ (2.19)

crc = amortiguamiento crítico

Para el sistema anterior podemos considerar tres casos: a).- Sistema críticamente amortiguado (raíces repetidas): ( 1 )

b).- Sistema subamortiguado (raíces complejas): ( 1 )

c).- Sistema sobreamortiguado (raíces reales) ( 1 )

a).- Sistema críticamente amortiguado.

Para éste caso la ecuación (2.17) se reduce a ( ) ( )ntx t e A Bt

, en la cual al aplicar las

condiciones iniciales (0)x y (0)x se reduce a

( ) (0) (0) (0)ntnx t e x x x t

--------- (2.20)

La gráfica de ésta ecuación se representa como sigue:

Movimiento críticamente amortiguado 1.0 .

b).- Movimiento subamortiguado. Este caso nos representa un sistema oscilatorio, ya que 1.0 , por lo que la solución es

2 21 1( ) n nn j t j tt

x t e Ae Be

--------------- (2.21)

Si hacemos

21d n ------------ (2.22) Frecuencia natural amortiguada

entonces la ecuación (2.21) puede ser representada como

1 2( ) cosn d d nt j t j t td dx t e Ae Be e C t C sen t

------------- (2.23)

La ecuación (2.23) se puede escribir como

( ) ( )ntdx t Xe sen t

------------ (2.24)

Introduciendo las condiciones iniciales (0)x y (0)x la solución es

(0) (0)( ) (0)cosnn

d

x xtd dx t e sen t x t

---------- (2.24)

La ecuación anterior se representa gráficamente como sigue:

Movimiento subamortiguado 1.0 .

c).- Sistema sobreamortiguado. En este caso se tiene un movimiento no oscilatorio ya que 1.0 , por lo que la solución

general es

2 2 1 1

( )n nt t

x t Ae Be

----------------- (2.25)

en donde

2

2

(0) 1 (0)

2 1

n

n

x x

A

2

2

(0) 1 (0)

2 1

n

n

x x

B

El movimiento sobreamortiguado es una función exponencialmente decreciente con respecto al tiempo y se le califica como aperiódica. Este tipo de movimiento se representa como sigue::

Movimiento aperiódico 1.0 .

2.6.1.- Decremento logarítmico. Se utiliza en los sistemas subamortiguados para medir que tan rápido se reduce la vibración, y se define por el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes sucesivas cualesquiera; esto es

1

2

( )

( )ln ln

d

x x t

x x t

------------ (2.26)

El decremento logarítmico también se puede representar por

1 ln o

n

x

n x ------------------------ (2.27)

en donde nx representa la amplitud después de n ciclos

Considerando la ecuación (2.22) y sustituyéndola en la ecuación (2.26) se obtiene

( )( ) 2

( )

1 ( )ln ln ln

tn tnd n dtn dtn d

n d

Xe sen t e

eXe sen te

n d ----------------- (2.28)

d es el período de amortiguamiento el cual se determina por

2

2

1n

d

------------ (2.29)

Sustituyendo d de (2.28) en (2.29) y reduciendo, llegamos a la siguiente expresión:

2

2

1

------------------ (2.30)

Cuando es muy pequeño ( 1 ), puede suponerse que 21 1 , por lo que la

ecuación (2.30) se transforma en

2 ---------------------- (2.31)

Problema 2.5.- El sistema que se indica en la figura está compuesto por el cuerpo A de 2 kg y un resorte de constante 50 N/mk . El amortiguamiento del sistema es crítico. El equilibrio del sistema se perturba desplazando el cuerpo A 5 cm hacia la derecha y a continuación se libera imprimiéndole una velocidad inicial de 50 cm/s dirigida hacia la izquierda. Determinar: a) el valor

de crc y b) la posición de A cuando 0.2 st .

Solución: Para un sistema críticamente amortiguado ( 1 ) la solución es

( ) (0) (0) (0)ntnx t e x x x t

--------- (1)

502

5 rad/skn m

a).- 2 2(2)(5) 20 N.s/mcr nc m 20 N.s/mcrc

b).- Sustituyendo las condiciones iniciales en la ecuación (1) se obtiene

5 0.2(0.2) 5 50 5(5) 0.2 0x e (0.2) 0x

Derivando (1) se obtiene:

( ) (0) (0) (0) (0) (0)n nt tn n nx t e x x x x x t e

1(0.2) 50 5(5) 5 ( 50 5 5) 0.2 5 9.196986 cm/sx e

(0.2) 92 mm/sx

Problema 2.6.- El sistema mostrado en la figura está compuesto por el cuerpo de masa m de 4.5 kg, una barra de masa despreciable, un resorte y un amortiguador viscoso. La amplitud del movimiento de D disminuye desde 75 mm hasta 25 mm durante 20 ciclos de vibración libre del sistema, con un tiempo requerido de 10 seg. Calcular: a) el decremento logarítmico, b) la constante del resorte, c) el coeficiente de amortiguamiento y d) el coeficiente de amortiguamiento crítico

(a) (b)

Solución: La ecuación diferencial del movimiento se obtiene a partir de la expresión

(0.125) (0.250)B B R AJ Pares J F F ------- (1)

1 (0.125) 0.125RF kx k sen k

2 0.250AF cx c

2 2 24.5(0.5) 1.125 kg.mBJ mL

2010

2 cpsdf

1 12

0.5 sd

d f

2 2 (2) 12.56636 rad/sd df

Sustituyendo en (1) se tiene:

1.125 0.015625 0.0625k c 0.055555 0.0138889 0c k -------- (2) a).- Decremento logarítmico.

751 120 25

ln ln 0.05493o

n

x

n x 0.05493

b).- Constante elástica del resorte:

2

22 22 2 2 2 22

11 1 1 13083.978

2 113084.978

0.008742

0.05493

0.008742(0.5)12.5669 rad/s

dn d n

De la ecuación (2) se tiene que:

2(12.5669)20.0138889

0.0138889 11370 N/mn k k 11.37 kN/mk

c).- Coeficiente de amortiguamiento: De la ecuación diferencial (2) tenemos que

2(0.008742)(12.5669)

0.055552 0.05555 3.955 N.s/mn c c 3.955 N.s/mc

d).- Amortiguamiento crítico:

3.9550.008742

452.4 N.s/mccrc

452.4 N.s/mcrc

Problema 2.7.- El cuerpo de 12 kg que se representa en la figura, está sustentado por tres resortes y tres amortiguadores viscosos en la forma indicada. Las constantes de los resortes son

1 2 150 N/mk k y 3 120 N/mk . Los coeficientes de amortiguamiento viscoso son

1 2 0.8 N.s/mc c y 3 1.4 N.s/mc . Para iniciar el movimiento se desplaza al cuerpo 0.10

m hacia abajo y a continuación se deja libre a partir del reposo. Determinar el número de oscilaciones que ocurren hasta que la amplitud de las vibraciones se reduce al 20% de su valor inicial.

Solución:

Constante elástica equivalente: 1 2 3 150 150 120 420 N/mek k k k

Constante viscosa equivalente: 1 2 3 0.8 0.8 1.4 3.0 N.s/mec c c c

Ecuación del movimiento: 0e ec k

m mx x x

De la ecuación del movimiento se tiene que

42012

5.916 rad/sekn m

32 12 5.916

2 0.021129ecn m

2

2 2 0.021129

1 0.0004464810.132787

0.11 10.132787 0.2 0.1

ln ln 12.12o

n

x

n xn

12 ciclosn