VIBRACIONESPresenta: Dr. Ing. Ángel Francisco Villalpando Reyna

Ingeniería Mecatronica

Tema 1. Unidad 1 B

Elementos de ResorteUn resorte es un tipo de eslabón mecánico, el cual en la mayoría de las aplicaciones se supone que tiene masa y amortiguamiento insignificantes.

El tipo de resorte más común es el resorte helicoidal utilizado en lapiceros y plumas retráctiles, engrapadoras y suspensiones de camiones de carga y otros vehículos.

Se pueden identificar varios otros tipos en aplicaciones de ingeniería. De hecho, cualquier cuerpo o miembro deformable, cable, barra, viga, flecha o placa, puede considerarse como un resorte. Un resorte se suele representar como se muestra en la figura 1.18(a).

Si la longitud del resorte, sin que actúe ninguna fuerza, se indica con l, cuando se aplica una fuerza axial cambia la longitud. Por ejemplo, cuando se aplica una fuerza de tensión F en su extremo libre 2, el resorte experimenta un alargamiento x como se muestra en la figura 1.18(b), mientras que una fuerza de compresión F aplicada en el extremo libre 2 reduce la longitud x como se muestra en la figura 1.18(c).Se dice que un resorte es lineal si el alargamiento o acortamiento de longitud x está relacionado con la fuerza aplicada como

F= kx donde k es una constante, conocida como la constante de resorte o rigidez de resorte. La constante de resorte k siempre es positiva e indica la fuerza requerida para producir una deflexión unitaria (alargamiento o reducción de la longitud) en el resorte.

Cuando el resorte se alarga (o comprime) con una fuerza de tensión (o compresión), de acuerdo con la tercera ley del movimiento de Newton, se desarrolla una fuerza de restauración de magnitud 2 F (o 1 F) opuesta a la fuerza aplicada.

Si trazamos la gráfica entre F y x, el resultado es una línea recta de acuerdo con la ecuación (1.1). El trabajo realizado (U) al deformar un resorte se almacena como deformación o energía potencial en el resorte, y está dado por

U =1/2 kx2

Resortes no linealesLa mayoría de los resortes que se utilizan en sistemas prácticos presentan una relación fuerza deflexión no lineal, en particular cuando las deflexiones son grandes. Si un resorte no lineal experimenta deflexiones pequeñas puede ser reemplazado por un resorte lineal con el procedimiento explicado mas adelante

En el análisis de vibración, comúnmente se utilizan resortes no lineales cuyas relaciones de fuerza-deflexión están dadas por

F = ax + bx3, a > 0

En la ecuación (1.3), a indica la constante asociada con la parte lineal y b indica la constante asociada con la de no linealidad (cúbica). Se dice que el resorte es duro si b > 0, lineal si b = 0, y suave si b < 0. En la figura 1.19 se muestran las relaciones de fuerza-deflexión correspondientes a varios valores de b.

Algunos sistemas, con dos o más resortes, pueden presentar una relación fuerza-desplazamiento no lineal aunque los resortes individuales sean lineales. Algunos ejemplos de dichos sistemas se muestran en las figuras 1.20 y 1.21. En la figura 1.20(a), el peso (o fuerza) W se desplaza libremente a través de los espacios libres c1 y c2 del sistema. Una vez que el peso se pone en contacto con un resorte particular después de pasar por el espacio libre correspondiente, la fuerza de resorte se incrementa en proporción a la constante del resorte particular (vea la figura 1.20(b)).

En la figura 1.21(a), los dos resortes, rigideces k1 y k2, tienen diferentes longitudes. Observe que, por sencillez, el resorte con rigidez k1 se muestra en la forma de dos resortes paralelos, cada uno con una rigidez de k1/2. Los modelos de sistemas de resortes de este tipo se pueden utilizar en el análisis de vibración de paquetes y suspensiones que se utilizan en los trenes de aterrizaje de aviones.Cuando el resorte k1 se deforma en una cantidad x = c, el segundo resorte entra en acción y proporciona rigidez adicional k2 al sistema. La relación fuerza-desplazamiento no lineal se muestra en la figura 1.21(b).

Liberalización de un resorte no linealLos resortes reales son no lineales y obedecen la ecuación (1.1) sólo hasta determinada deformación. Más allá de un cierto valor de deformación (después del punto A en la figura 1.22), el esfuerzo excede el punto cedente o de deformación del material y la relación entre fuerza y deformación se hace no lineal [1.23, 1.24]. En muchas aplicaciones prácticas suponemos que las deflexiones son pequeñas y utilizamos la relación lineal de la ecuación (1.1).

Para valores pequeños de Dx, las derivadas de mayor orden se ignoran para obtener

Dado que F = F(x*), podemos expresar DF como

donde k es la constante de resorte linealizado en x* dada por

Ejemplo 1.2 Constante de resorte linealizado equivalenteA una fresadora que pesa 1000 lb la soporta un apoyo de montaje de caucho. La relación fuerza-deflexión del apoyo de montaje de caucho está dada por

F = 2000x + 200x3

donde la fuerza (F) y la deflexión (x) están medidas en libras y pulgadas, respectivamente. Determine la constante de resorte linealizado equivalente del apoyo de montaje de caucho en su posición de equilibrio estático.Solución: La posición de equilibrio estático del apoyo de montaje de caucho (x*), bajo el peso de la fresadora, se determina por la ecuación (E.1):

1000 = 2000x + 200x3

Las raíces de la ecuación cúbica (E.2) se pueden hallar (por ejemplo, utilizando las raíces de función en MATLAB) como

x* = 0.4884, -0.2442 + 3.1904i y -0.2442-3.1904i

La raíz de la ecuación (E.2) x* = 0.4884 pulg proporciona la posición de equilibrio estático del apoyo de montaje de caucho. La constante de resorte lineal equivalente del apoyo de montaje de caucho en su posición de equilibrio estático se determina aplicando la ecuación (1.7):

Nota: La constante de resorte lineal equivalente, keq = 2143.1207 lb/pulg, predice la deflexión estática de la fresadora como

lo cual es algo diferente del valor verdadero de 0.4884 pulg.

Constante de resorte de elementos elásticosEncuentre la constante de resorte equivalente de una varilla uniforme de longitud l, área de sección transversal A y módulo de Young E sujeto a una fuerza de tensión (o compresión) axial F como se muestra en la figura 1.24(a).

• Solución: El alargamiento (o acortamiento) d de la varilla sometida a una fuerza de tensión (o compresión) axial F puede expresarse como:

• Ejemplo 1.4 Constante de resorte de una viga en voladizo• Encuentre la constante de resorte equivalente de una viga en voladizo

sometida a una carga concentrada F en su extremo como se muestra en la figura 1.25(a).

Solución: Suponemos, por simplicidad, que el peso (o masa) de la viga es insignificante y que la carga concentrada F se debe al peso de la masa puntual (W = mg). Por la resistencia de materiales sabemos que la deflexión del extremo de la viga debido a una carga concentrada F = W está dada por

donde E es el módulo de Young e I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto al eje de flexión

Combinación de resortes En muchas aplicaciones prácticas se utilizan varios resortes lineales combinados. Estos resortes pueden combinarse en un solo resorte equivalente como se indica a continuación.

Caso 1: Resortes en paralelo. Para derivar una expresión para la constante equivalente de los resortes conectados en paralelo, considere los dos resortes que se muestran en la figura 1.27(a). Cuando se aplica una carga W, el sistema experimenta una deflexión estática dst como se muestra en la figura 1.27(b). Entonces el diagrama de cuerpo libre, mostrado en la figura 1.27(c), proporciona la ecuación de equilibrio

Si keq indica la constante de resorte equivalente de la combinación de los dos resortes, entonces para la misma deflexión estática dst, tenemos:

Las ecuaciones (1.8) y (1.9) producen

Por lo común, si tenemos n resortes en paralelo con constantes k1, k2, ..., kn, entonces la constante de resorte equivalente keq se obtiene como

Caso 2: Resortes en serie. A continuación derivamos una expresión para la constante equivalente de resortes conectados en serie considerando los dos resortes mostrados en la figura 1.28(a). Bajo la acción de una carga W, los resortes 1 y 2 experimentan los alargamientos d1 y d2, respectivamente, como se muestra en la figura 1.28(b). El alargamiento total (o deflexión estática) del sistema, dst, es

Como ambos resortes están sometidos a la misma fuerza W, tenemos el equilibrio que se muestra en la figura 1.28(c):

Si keq indica la constante de resorte equivalente, entonces para la misma deflexión estática,

Como estamos en un sistema en equilibrio las ecuaciones (1.13) y (1.14) dan por resultado

o bien

Sustituyendo estos valores de d1 y d2 en la ecuación (1.12), obtenemos

Es decir

La ecuación (1.16) se puede generalizar al caso de n resortes en serie:

Ejemplo 1.5 k equivalente de un sistema de suspensiónLa figura 1.29 muestra el sistema de suspensión de un carro de ferrocarril de carga con un sistema de resortes en paralelo. Encuentre la constante de resorte equivalente de la suspensión si los tres resortes helicoidales son de acero con un módulo de cortante G= 80x109 N/m2 y cuenta con cinco vueltas efectivas, diámetro medio de la espiral D=20 cm y diámetro del alambre d=2 cm

Solución: La rigidez de cada resorte helicoidal resulta de:

Ya que los tres resortes son idénticos y paralelos, la constante de resorte equivalente del sistema de suspensión es

Ejemplo 1.6 Constante de resorte torsional de una flecha de héliceDetermine la constante de resorte torsional de la flecha de hélice de acero que se muestra en la figura 1.30.

Solución: Tenemos que considerar los segmentos 12 y 23 de la flecha como resortes en combinación. De acuerdo con la figura 1.30, el par de torsión inducido en cualquier sección transversal de la flecha (como AA o BB) puede verse que es igual al par de torsión T aplicado en la hélice. Por consiguiente, las elasticidades (resortes) correspondientes a los dos segmentos 12 y 23 se tienen que considerar como resortes en serie. Las constantes de resorte de los segmentos 12 y 23 de la flecha ( y kt23) kt12 resultan de

Como los resortes están en serie, la ecuación (1.16) da por resultado

Ejemplo 1.7 k equivalente de un polipastoUn polipasto, que funciona con un cable de acero, está montado en el extremo de una viga en voladizo como se muestra en la figura 1.31(a). Determine la constante de resorte equivalente del sistema cuando la longitud suspendida del cable es l. Suponga que el diámetro de la sección transversal neta del cable es d y que el módulo de Young de la viga y el cable es E.

Solución: La constante de resorte de la viga en voladizo está dada por

La rigidez del cable sometido a una carga axial es

Como tanto el cable como la viga en voladizo experimentan la misma carga W, como se muestra en la figura 1.31(b), se modelan como resortes en serie, como se ve en la figura 1.31(c). La constante de resorte equivalente keq está dada por

o bien

Ejemplo 1.8 k equivalente de una grúaLa pluma AB de la grúa que se muestra en la figura 1.32(a) es una barra de acero uniforme de 10 m de longitud y 2,500 mm2 de sección transversal. Un peso W cuelga mientras la grúa está estacionaria. El cable CDEBF es de acero y su sección transversal es de 100 mm2. Ignore el efecto del cable CDEB y encuentre la constante de resorte equivalente en la dirección vertical.

Solución: La constante de resorte equivalente se determina por medio de la equivalencia de energías potenciales de los dos sistemas. Como la base de la grúa es rígida, se considera que el cable y la pluma están fijos en los puntos F y A, respectivamente.

Un desplazamiento vertical del punto B hará que el resorte (pluma) y el resorte (cable) se deformen una cierta cantidad. La longitud del cable FB, l1, está dada por la figura 1.32(b):

El ángulo q satisface la relación

La energía potencial total (U) almacenada en los resortes k1 y k2 se expresa utilizando la ecuación (1.2) como

Como el resorte equivalente en la dirección vertical experimenta una deformación x, la energía potencial del resorte equivalente (Ueq) está dada por

Si se establece U=Ueq, obtenemos la constante de resorte equivalente del sistema como

Ejemplo 1.9 k equivalente de una barra rígida conectada por resortesUna barra rígida de longitud l acoplada a una bisagra está conectada por dos resortes de rigideces k1 y k2 y sometida a una fuerza F como se muestra en la figura 1.33(a). Suponiendo que el desplazamiento angular de la barra (q) sea pequeño, encuentre la constante de resorte equivalente del sistema que relaciona la fuerza aplicada F con el desplazamiento resultante x.

Solución: Para un desplazamiento angular pequeño de la barra rígida (q), los puntos de fijación de los resortes k1 y k2 (A y B) y el punto de aplicación (C) de la fuerza F experimentan los desplazamientos lineales u horizontales l1senq, l2senq y l senq , respectivamente. Como q es pequeño, los desplazamientos horizontales de los puntos A, B y C se pueden aproximar como x1=l1q, x2=l2q y x=lq, respectivamente. Las reacciones de los resortes, k1x1 y k2x2, serán las indicadas en la figura 1.33(b). La constante de resorte equivalente del sistema (keq) referida al punto de aplicación de la fuerza F se determina considerando el equilibrio de momentos de las fuerzas con respecto al punto conectado a la bisagra O:

Al expresar F como keq x, la ecuación (E.1) se escribe como

Utilizando x1= l1q, x2 = l2 q y x= lq, la ecuación (E.2) da el resultado deseado