Vibraciones Uv

7/30/2019 Vibraciones Uv

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Existen tres funciones forzantes básicas que pueden ser utilizadas para dar soluciónaproximada a los problemas de movimiento transitorio. Estas son:

a).- Función forzante de escalón rectangular b).- Función forzante de rampa

c).- Función de paso exponencialmente decreciente

5.2.1.- Función forzante de escalón rectangular .

La ecuación de movimiento del sistema es: omx kx F

El desplazamiento resultante es: cos oF n n k

x A t Bsen t

Si el sistema se encuentra inicialmente en reposo, (0) 0 x y (0) 0 x , siendo las constantes

/ o A F k y 0 B , por lo que la respuesta es

( ) (1 cos )oF nk

x t t

5.2.2.- Función forzante de rampa.La función forzante ( )F t aumenta linealmente al transcurrir el tiempo.

La ecuación del movimiento es: mx kx Ct

El desplazamiento resultante es: cos Ct n n k

x A t Bsen t

Dadas las condiciones iniciales (0) 0 x y (0) 0 x , los valores de las constantes son 0 A y

/ n B C k , por lo que la respuesta es

( ) ( )n

C n n

k

x t t sen t



5.2.3.- Función de paso exponencialmente decreciente.

La ecuación del movimiento es: at omx kx F e

El desplazamiento resultante es:2

( ) cos at oF en n

ma k x t A t Bsen t

Dadas las condiciones iniciales (0) 0 x y (0) 0 x , los valores de las constantes son

2 2

1

o o

a

n

F F

ma k k

A

y

2

1

o

an

n

aF

k

B

, por lo que la respuesta es

2

1

( ) ( cos )o

na

n

F at an n

k

x t sen t t e

5.2.4.- Formulación de la transformada de Laplace.El método de la transformada de Laplace para resolver una ecuación diferencial, produce unasolución completa transitoria y forzada.

Para el caso general con condiciones iniciales (0) x y (0) x , la ecuación de movimiento delsistema excitado por una fuerza arbitraria ( )F t es

( )mx cx kx F t ------------------- ( i )

Determinando la transformada de Laplace de la ecuación ( i ) se tiene que

2( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) ( )ms X s ms x mx csX s cx kX s F s

2 2

( ) ( ) (0) (0)( )

F s ms c x mx

ms cs k ms cs k X s

---------- ( ii )



Para el caso más general, la ecuación ( ii ) puede escribirse como

( )

( )( )

A s

B s X s ------------------------- ( iii )

en donde ( ) A s y ( ) B s son polinomios y ( ) B s es en general, de mayor orden que ( ) A s .

Determinando la inversa de ( iii ) se obtiene la respuesta ( ) x t .

5.3.- Excitación de la base. Generalmente el soporte de un sistema dinámico está sometido a un movimiento repentino,especificado por su desplazamiento, velocidad o aceleración. La ecuación del movimientoentonces puede expresarse en términos del desplazamiento relativo z x y , por

22 n n z z z y ------------------------ (5.7)

y por lo tanto, todos los resultados del sistema excitado por medio de una fuerza, se aplican alsistema de base excitada para z , cuando el término / oF m es reemplazado por y o el

negativo de la aceleración de base.

Para un sistema no amortiguado inicialmente en reposo, la solución para los desplazamientosrelativos es

10

( ) ( )n

t n z y sen t d ------------------- (5-8)



Problema 5.2.- Un émbolo de 20 kg se desliza dentro de un cilindro liso de diámetro interior de125mm y está soportado por un resorte de módulo elástico de 965 N/m. En el tiempo 0t , laválvula entre el depósito de gas y el cilindro se abre súbitamente aumentando la presión en elcilindro a 20 kPa. Se deja entonces escapar el gas a través de un orificio B, descendiendo lapresión exponencialmente con el tiempo de manera que, después de 2 seg disminuye hasta un

valor de 10 kPa. Determínese la respuesta transitoria del émbolo, como función del tiempo, y laamplitud de estado estable de la carrera del émbolo.

Solución: 1101 10.2 20

ln ln 3.4657 so o

p pat p t p

e a a

2 296520

48.25 sk n m

6.9462 rad/sn

Ecuación del movimiento: at at o o r mx kx F e p A e

---------- (a)2 2 2

4(0.125) 1.227 10 mr A ( área proyectada)

Solución homogénea: cos H n n x A t Bsen t

Solución particular:at

P x Ce

at P x Cae

2 at

P x Ca e

Sustituyendo P x y sus derivadas en (a) se obtiene lo siguiente:

2

2( ) o r p Aat at

o r ma k

C ma k e p A e C

La solución general es:2

( ) cos o r p A at n n

ma k x t A t Bsen t e

-------------- (b)

2( ) coso r p aA at

n n n n ma k x t A sen t B t e

-----(c)Sustituyendo las condiciones iniciales (0) 0 x y (0) 0 x en (b) y (c) se encuentra que

2o r p A

ma k A

,

2( )

o r

n

p aA

ma k B

Sustituyendo A y B en (b) se obtiene la solución final

2( ) coso r

n

p A at an n

ma k x t sen t t e



Para el estado estable 0at e , por lo que la expresión resultante es

2

2 2 2( ) cos 1 ( )o r o r

n n

p A p Aa an n n

ma k ma k x t sen t t sen t

22

1

( ) ( )o r

a

n

p An

k

x t sen t

-------------- (d)

La amplitud de estado estable se determina por 2

2 2

2

20000 1.227 10

965 1 (3.4657/6.9462)1

0.22758 mo r

a

n

p A

k

X

0.22758 m X

Problema 5.3.- Determine la respuesta, para 1t t de un oscilador mecánico simple, a la función

forzante que se indica en la figura, usando la integral de convolución.

Solución: El problema puede resolverse considerando dos rampas, de acuerdo con la siguientefigura:

Primera rampa Segunda rampa

Para la primera rampa ( 10 t t ),1

( ) oF t

f t t

1

0 0( ) n

n

t t

n nm k h t sen t sen t

Por convolución se tiene que0

( ) ( ) ( )t

x t f h t d , por lo que

10

( ) ( )n ot F

nk t x t sen t d

Integrando por partes se obtiene la siguiente expresión:

211

0( ) cos ( ) ( )n o

n n

t F

n nkt x t t sen t 1 11( ) on

F t nk t t x t sen t , 1t t



Para segunda rampa ( 1t t ) y tomando en cuenta la respuesta de la parte anterior, la solución

es1

1 1

11( ) ( )o

n

F t t

nk t t x t sen t t

Por superposición se obtiene lo siguiente:1 1

1 1 1 1

1 11( ) ( )o

n n

F t t t

n nk t t t t x t sen t sen t t

1 1

1 11

( ) 1 ( )o

n n

F

n nk t t x t sen t sen t t

Ejemplo 5.4.- Un pulso rectangular de altura oF y duración ot es aplicado a un sistema resorte-

masa no amortiguado. Considerando que el pulso es la suma de dos pulsos escalonados, comose muestra en la figura, determine su respuesta para ot t por medio de la superposición de las

soluciones amortiguadas.

Solución:

Ecuación del movimiento: ( ) ( )o o omx kx F U t F U t t ----- (a)

Condiciones iniciales: (0) 0 x , (0) 0 x

Transformada de Laplace de (a):

2 1 1( ) ( ) ost o os s

ms k X s F F e 2 2 1 1( ) ( ) o o oF F st

n m s m ss X s e

2 2 2 21 1

( ) ( )( ) o o o

n n

F F st

m ms s s s X s e

2 2 2 2 2 21 1 1 1( ) o o

n n n n

F st s sm s ss s

X s e

------------ (b)

La respuesta para ot t se obtiene calculando la transformada inversa de la ecuación (b),

siendo ésta

2

( ) 1 cos 1 cos ( )o

n

F n n o

m x t t t t

( ) cos ( ) cosoF

n o nk x t t t t

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