UNIVERSIDAD AUTONOMA DE AGUASCALIENTES

Libreta de Fisica I M.C. David Arellano Báez

Víctor Manuel Gómez Herrera

Aguascalientes , Ags., A 7 de octubre de 2013

Física I

- Contenido

Unidad I: La física y los sistemas de medida

Longitud

Masa

Tiempo

Temperatura termodinámica

Intensidad luminosa

Cantidad de sustancia

Intensidad de corriente eléctrica

Unidad II: Vectores

Unidad III: Cinemática

Unidad IV: Dinámica

Unidad V: Trabajo y energía

- Evaluación

Parciales 70% (Jueves 2a semana: par. 1 y 2 Jueves 1er semana: par.

3)

Mini examen 30%

Unidad 1 “La física y los sistemas de medidas”

Física:

Es la ciencia que estudia las propiedades de la materia y las leyes que tienden

a modificar su estado o su movimiento sin cambiar su naturaleza. Decimos también

que la física es el estudio de las fuerzas y las interacciones que existen entre ellas:

Mecánica: Rama de la física que se encarga del estudio del movimiento.

Nos ayuda a comprender por ejemplo:

Porque que es posible sacar un mantel de una mesa de vasos sin que estos se muevan o porque si lanzamos desde una misma altura dos esferas idénticas una de hierro y otra de madera simultáneamente llegan al suelo.

Porque si una persona en el autobús te pisa con tacón de aguja te duela más que si trajera tenis.

Porque el campeón de salto que saltó 2.45 metros en la tierra, en el sol saltaría 7 cm y en la luna saltaría una casa de dos pisos.

Termodinámica: Estudio de la energía y los cambios físicos de origen térmico.

Nos ayuda a comprender porque sentimos el calor o el frio, o porque al poner un papel sobre una moneda de metal y luego colocar sobre el papel, en la parte que esta la moneda, un cigarrillo encendido, observamos que el papel no se quema.

Acústica y ondas:

Vivimos en un mundo en el cual las ondas nos rodean por todas partes ondas sonoras, ondas luminosas, ondas de radio.

Ramas de la física

Mecánica Termodinámica Acústica y ondas Electromagnetismo Física moderna Óptica

La televisión la radiofonía y el radar son algunas de las muchas maravillas modernas que funcionas gracias a las ondas.

Así pues la acústica se encarga del estudio de las propiedades del sonido y cuando estudiamos las ondas en general nos interesa su clasificación y los modos en que se propagan.

Un estudio de particular interés es el de las ondas sísmicas producidas en los

terremotos y el de la resistencia de los materiales y las estructuras.

Óptica: Se encarga del estudio del comportamiento y los fenómenos relacionados con la luz.

Debido a este estudio sabemos que la luz se propaga en línea recta, que además está formada por pequeñas partículas llamadas fotones, debido a esto, es sensible a la gravedad, por lo que hoy en día observamos estrellas que no se encuentran en el lugar que las vemos o que inclusive muchas de ellas ya no existen.

Electromagnetismo:

Rama que estudia la interacción de los campos eléctricos y magnéticos y las causas que lo originan debido a esto comprendemos del funcionamiento de las células del organismo o la construcción de tejidos del cuerpo humano.

Los impulsos nerviosos se transmiten a través de las neuronas gracias a procesos electroquímicos que permiten la creación de corrientes eléctricas en una sola dirección.

Física moderna:

Estudia todos aquellos fenómenos que se producen a la velocidad de la luz o muy cercanas a ella una de las partes más importantes es la física cuántica que describe el comportamiento de la materia, luz y los acontecimientos a escala subatómica.

Definición de medir:

Medir: Comparar una cantidad con otra de la misma especie.

Magnitudes fundamentales

Usaremos comúnmente los sistemas de medición internacional (SI) e inglés. La diferencia de estos sistemas se da para las unidades usadas para medir masa y longitud.

Las magnitudes fundamentales son: Tiempo, longitud, masa, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia, intensidad luminosa, intensidad de corriente eléctrica.

Cada sistema utiliza “patrones de medida” específicos para cada una de sus unidades fundamentales.

- Investigar cual es el patrón de las magnitudes fundamentales para el SI y el sistema inglés

CENAM (centro nacional de meteorología)

Los sistemas de medida manejan las siguientes unidades fundamentales

SI Ingles Longitud Metro(m) Pie(ft)

Masa Kilogramo(Kg) Slug Tiempo Segundo(s)

Temperatura termodinámica

Grados Kelvin(°K)

Cantidad de sustancia Mol Intensidad luminosa Candela(Cd)

Intensidad de corriente eléctrica

Ampere(A)

.

- Factores de conversión

Notación científica

3 = 3x100

3 = 3000x10-3

3 = .003x103

Expresado como x10-4

3x10-3 + 5x10-4 = 3x10-3 + 0.5x10-3 3x10-3 + 5x10-4 = 30x10-4 + 5x10-4

= (3 + 0.5) x10-3 30x10-4 + 5x10-4 = (30 +5) x10-4

= 3.05 x10-3 = 35 x10-4

(3x10-3) (5x10-4)

= 3 * 5 (x10-3 * x10-4) am * an = am+n

= 15 x10-3-4

= 15 x10-7

15x10-5 = 15 x10-5 x103 = 5x10-5+3 = 5x10-2

3x10-3 3

Las cifras significativas se cuentan desde el primer número distinto de 0

0.3525 = 3.525x10-1

0.03525 = 3.525x10-2

0.003525 = 3.525x10-3

0.0000525 = 5.250x10-5

Precisión: En una multiplicación la precisión es determinada por el número que

tiene menos cifras.

5.254 5.254

* 4.32453 * 4.32453

22.72108062 22.721

En la suma son necesarios todos los decimales

5.254 + 4.32453 = 9.57853

- Patrones de medida

Longitud: (unidad: metro)

El metro es la longitud que recorre la luz en el vacío durante un intervalo de

tiempo de 1/299792458 de segundo.

Masa: (unidad: kilogramo)

Un kilogramo es igual a la masa del prototipo de Platino – Iridio conservado

en el laboratorio internacional de pesas y medidas.

Tiempo: (unidad: segundo)

Un segundo es igual a 9192631770 periodos de radiación, asociada a la

transición hiperfina del estado base del átomo de Cesio – 133.

Temperatura termodinámica: (unidad: grado Kelvin)

Un grado Kelvin es igual a la 1/273,16 parte de la temperatura

termodinámica del punto triple del agua (el punto triple del agua tiene una

temperatura de cero grados centígrados, 273,16 °K)

Cantidad de sustancia (unidad: mol)

Un mol es igual a la cantidad de sustancia de un sistema. La cual contiene

tantos elementos estructurales, cuantos átomos contienen 0.012 Kg de Carbono –

12.

Intensidad luminosa (unidad: Candela)

Una candela es igual a la fuerza de la luz en una dirección dada de una fuente

que genera irradiación monocromática de frecuencia 5x10-12 Hz, y la fuerza de

irradiación en esta dirección es igual a 1/683 watt/steradian

Intensidad de corriente eléctrica (unidad: Ampere)

Un ampere es igual a la corriente no cambiante que pasa por dos conductores

paralelos rectos infinitamente largos y de área de corte despreciable, que se sitúan

en el vacío a una distancia de 1 metro uno del otro y que provocan en cada

segmento de 1 metro de longitud una fuerza de interacción de 2x10-7 N

Tabla de prefijos

Factor Prefijo Símbolo 1024 Yotta Y 1021 Zetta Z 1018 Exa E 1015 Peta P

A partir de la definición de 1 in = 2.54cm, determine cuantos:

a) Kilómetros hay en una milla

b) Pies hay en 1 kilometro

1 in = 2.54 cm

1 ft = 12 in

1 milla = (1 milla) (

) (

) (

) (

)

1 milla= (1 milla) (1.609344 Km/milla)

Factor de conversión millas a Km

1 milla = 1.609 Km

Cuantas millas hay en un kilometro

1 km = 1 km (

)

1 km = 1km (0.621 mi/km)

Factor de conversión de km a millas

1 km = 0.621 millas

Conversión de ft a km

1012 Tera T 109 Giga G 106 Mega M 103 Kilo K 102 Hecto H 101 Deca da

Factor Prefijo Símbolo 10-1 deci d 10-2 centi c 10-3 mili m 10-6 micro µ 10-9 nano n 10-12 pico p 10-15 femto f 10-18 atto a 10-21 lepto l 10-24 yocto y

1 ft = 1ft (

) (

) (

)

1 ft = 1ft (3.048 x10-4 km/ft)

Factor de conversión de ft a km

1 ft = 3.048 x10-4 km

Conversión de km a ft

1 km = 1 km (1/3.048 x10-4 ft/km)

Factor de conversión de ft a km

1 km = 3280.83 ft

Cuantos nanosegundos tarda la luz en viajar 1 ft en el vacío

Velocidad = 299 792.458 km/seg

Aprox luz

299 792.458 km/seg = 299 792.458 km/seg (

)

= 983571056.4 ft/s

= 983571056.4 ft/s (

)

299 792.458 km/seg = 983571056 x109 ft/ns

= 9. 83571056x1017 ft/ns

El disco duro de una computadora que data del 95 tenía una capacidad de 30

MB. ¿Cuantas palabras podía almacenar de 8 caracteres?

30 MB palabras 8 bits = 1 byte

1 carácter = 1 byte

1 KB = 210 byte

1 MB =220 byte

30 MB =30 MB (

) = 31457280 bytes

# de palabras = (

) = 3932160 palabras

Palabras de 8 bytes

Cual es el equivalente semanal de un salario de 36k. Considere que el año tiene 52 semanas

1

1

1

Una lotería ofrece 10M dólares como premio mayor, pagado en 20 años ¿Por cuánto es el cheque recibido cada mes?

1 1 1

1 1 (1 1

) 1

Enrico Fermi dijo una vez que el periodo de una clase estándar (50 min) es cerca de 1 micro centuria ¿Qué tan larga es una micro centuria en minutos? ¿Cuál es la diferencia porcentual con la aproximación de Fermi?

1 1 1 1

1 1 (

1 ) (

1 ) (

1 )

1 1

1 1 1 1 1 b) Error Porcentual

1 1

Una sustitución conveniente del número de segundos en un año es 1 ¿dentro de que porcentaje de error es esto correcto? Considere que el año tiene 365.25

1 1 (

1 ) (

1 ) (

1 )

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

Si un vehículo lleva una velocidad de 55 mi/hr ¿cuál es su velocidad equivalente en m/s?

⁄ ⁄ (1

1 ) (1

)

⁄ ⁄

Un galon fluido es igual a 231 in3. ¿Cuál es el volumen en cm3 de un tanque que contiene 16 galones de gasolina

1

1 1

1 1 (

1 )

1

1 1 ( 1

1 )

Un año luz es igual a la que recorre la luz en un año. Calcule el factor de conversión entre año luz a mtrs. Encuentre la distancia a la estrella próxima centaury (4x10v16)en años luz. Considere que el año tiene 365.25 dias y que la velocidad de la luz es de 3x10v8 m/seg.

1 ⁄

1 1

1 ⁄ 1

1 ⁄ 1

1 1

1 1 (1

1 )

- Análisis dimensional – Dimension: naturaleza cualitativa de una cantidad física dada. Asociado a cada cantidad medida o calculada hay una dimensión. En mecánica la masa, longitud y tiemo son elementales e independientes y se utilizan como dimensiones fundamentales. En toda ecuación:

a) Las dimensiones de las cantidades de ambos miembros de la ecuación, deben ser iguales; si la ecaucion tiene una constante puede ser que esta tenga dimensiones, si no las tiene se llama “constante adimensional”

b) Solo podemos sumar y/o restar cantidades que contengan las mismas dimensiones.

c) Podemos multiplicar y/o dividir cantidades que contengan distintas dimensiones. Las dimensiones resultantes serán el producto o el cociente de las dimensiones de los factores.

Ejercicio: verifique la compatibilidad dimensional de:

1

Donde:

⁄

[Longitud] = L [Tiempo] = T [Masa] = M

[ ] [ 1

]

[ ] [ ] [

] [

1

] [

] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] (la suma de 3 longitudes es una longitud) La ecuación es dimensionalmente compatible. Encuentre las dimensiones fundamentales de la Fuerza.

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

Encuentre las dimensiones fundamentales de la constante de la gravitación universal y la constante eléctrica.

[ ][

]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ]

El análisis dimensional consiste en investigar, en nuestro caso en magnitudes de longitud, masa y tiempo las unidades físicas sin considerar factores numéricos y sin emplear ningún sistema de unidades en particular. Observación: Cuando analizamos las dimensiones de una cantidad esta se encierra entre corchetes.

Ejercicio:

Para mantener a un objetoque se mueve en circulo a velocidad constante (rapidez

constante) se

requiere una fuerza llamada “fuerza centrípeta” Realic un análisis dimencional de

la fuerza centrípeta

F = ma vbrc

[F]=[m a vbrc] [F]=[Kg]a[m/s]b[m]c [F]= Ma L b+c T-b MLT2 = Ma L b+c T-b

A=1, b=2 , b+c=1 c=-1

Sustituimos F = ma vbrc = mv2/2

Un hoto importante del universo justo de la gran explosión es el tiemplo

Planck(Tp) cuyo valor depende de 3 constantes fundamentales , a saber:

1. Velocidad de la luz(c) que es la constante fundamental de la relatividad y

cuyo valor es aproximadamente igual a 299,792.458 Km/s

2. La constante de la gravitación universal de newton(g) es la constante

fundamental de la gravedad y tiene un valor aproximado de 6.67x10-

11m3/KgS2

3) La constante de Planck constante fundamental de la mecánica cuántica

(h) y que tiene un valor de 6.63x10-34KgM2/S

Con base en un análisis dimensional calcule el valor del tiempo Planck:

T = cgh t=ca gb bc

[T]= [m/s]a[m3/KgS2]b[34KgM2/S]c = La T-a L-2b Mc L2c T-c = T-a-b-c La+3b+2c M-b+

encontrar valores de a b c

1 11 1 1

1

R1<->R2 1 1 1 1 1

1

R2+R1 1 1 1 1 1

1

R1 R1 R

1 1 1 1

11

1/2R3 1 1 1 1 1

1

1 1 1

1 1 1

1 1

a= -5/12 , b=1/2 , c= ½

Sustituimos

T = c1/2 g-5/2 h1/2 T =√

= √

= 1.35x10-43

Vectores

Introduccion:

En algebra hemos visto que la expresión 3x – 6y = 5 representa a todos los

pares ordenados (x,y) que satisfacen la ecuación, siendo su representación gráfica

una línea recta cuya

pendiente es de .5.

En física manejamos 2 tipos de cantidades. Las cantidades escalares que se

representan exclusivamente con la magnitud y la unidad correspondiente y las

cantidades vectoriales que se representan usando magnitud, dirección y la unidad

correspondiente.

Usamos a los vectores para representar a las cantidades vectoriales como efectos

de ellas tenemos, fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, campo eléctrico,

magnético y gravitatorio, momento lineal, etc.

Pero las cantidades escalares usamos un solo número real como ejemplo de

cantidad escalar es trabajo, potencia, energía, masa, tiempo, carga eléctrica,

temperatura.

Gráficamente un escalar se representa con un punto, mientras que un vector

como un segmento de línea que tiene la misma dirección que el vector y en su

punto final le colocamos una punta de flecha.

Notación:

Un vector se representa con una flecha arriba de su nombre y por lo general

en mayúsculas, la magnitud del vector se representa usando barras verticales

dobles a cada lado del vector.

A = A

||A|| = A

Usamos además otro vector al que lamamos vector unitario debido a que su

magnitud es igual a 1 y lo representamos usando un gorrito en lugar de una flecha

=

Magnitud de un vector

Geométricamente la magnitud es la distancia entre el punto inicial y el final del

vector o la longitud del segmente de recta.

Analíticamente la magnitud es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados

de las componentes es decir

Si = <a1 , a2 , … , an >

| = √a1 a … an

Dirección:

Si tenemos una línea recta podemos movernos a lo largo de ella en sentidos

opuestos, donde a cada uno de ellos le asignamos un signo que puede ser más o

menos . Una vez que se asigna el signo decimos que la línea esta orientada y que

tenemos un eje. Asi en un eje tenemos la dirección positiva y negativa.

En R2 o en el plano las direcciones se representan mediante un Angulo que se

mide a partir de la dirección de referencia, (semieje x positivo) y hasta la dirección

que deseamos determinar siempre en sentido anti horario.

En la expresión o R3 usamos 3 ángulos para determinar su dirección estos

son:

Angulo alfa que se mide del eje x positivo hasta el vector.

Angulo beta que se mide del eje y positivo hasta el vector.

Angulo gama que se mide del eje z positivo hasta el vector.

= <ax,ay> ʘ = Tan.1 (

) + ʙ

= <ax , ay , az >

Alfa = arcos(

) Beta = arcos(

) + Gama = arcos(

)

Operaciones con Vectores

Ejercicio: Sea , 1,

A) Calcule

, 1, 1,

,

B) Calcule

, 1, 1,

,

C) Calcule

, 1, 1

1 1 1

D) Proyección de sobre

Proy

=

|| ||= √ √ 1 1

Proy

,

, ,

, 1 , 1

E) Angulo entre

|| || || || cos cos

|| |||| || cos (

|| |||| ||)

|| || √ 1

|| || √ 1 1

cos (

) 1 .

Los 3 finalistas de un concurso de TV se colocan en el centro de un campo

plano grande, cada uno cuenta con una regla graduada de 1m, una brújula, una

calculadora, una pala y (en diferente orden para cada concursante) los siguientes

desplazamientos.

A) 72.4m, 32° al este del norte

B) 57.3m, 36° al sur del oeste

C) 17.8m al sur

Los 3 desplazamientos llevan al punto donde están enterradas las llaves de

un Ferrari ultimo modelo. Dos concursantes comienzan a medir de inmediato; sin

embargo la ganadora primero calcula a donde

debe ir. ¿Qué calculo?

1.- Encontrar las coordenadas (x,y)= || ||

cos , || || sin

-Para -

X= || || cos cos

Y=|| || sin sin 1

, 1

-Para –

X= || || cos cos 1

Y=|| || sin sin 1

,

-Para –

X= || || cos 1 cos

Y=|| || sin 1 sin 1

, 1

, 1 , , 1

, 1 1 , 1

*No necesitamos el vector , si no su magnitud y el Angulo*

|| || √ 1 1

tan (

) tan (

1

) 1 1

Sabemos que

Si ( 1, , … , )

Entonces

1

|| ||

Donde || || √ 1

Así como

|| || despejamos

|| ||

|| ||

Si ( 1, 1 )

Entonces

1

|| ||

|| ||

cos sin

tan (

1)

Siempre medido a partir del semieje x positivo y en sentido anti horario.

Así

|| ||

|| || cos sin

|| || cos || || sin

1 || || cos

|| || sin

Si ( 1, , 1 )

Entonces

1

|| ||

|| ||

|| ||

cos cos cos

Donde , son los ángulos directores del vector , así

|| || =|| || cos cos cos = || || cos || || cos

|| || cos

|| || cos

|| || cos

|| || cos

Luego, si tenemos 2 vectores, paralelos entonces

Como

|| || y || ||

Entonces

1

|| ||

Como , entonces

1

|| ||

Así

|| || (1

|| || )

|| ||

|| ||

Sea || ||

|| ||

-En Resumen-

Si ( 1, , … , )

|| || √ 1

1

|| ||

En si 1

|| || √ 1

tan (

) cos( ) sin( )

1 || || cos

|| || sin

En si 1

|| || √ 1

cos cos cos

1 || || cos

|| || cos

|| || cos

|| ||

Dirección de es la inclinación de la recta directriz sobre la que está el vector

incluyendo la punta de flecha.

Si 1, 1,

Entonces 1 1

Si A = 2i+3j, este es un vector cuyo punto final es (2,3) y su punto inicial es el

origen. Así, si P (P1, P2,…, Pn) y Q (Q1, Q2,…, Qn) si A = PQ con P como punto

inicial y Q como punto final.

A = < Q1 - P1, Q2– P1,…, Qn – Pn>

-Operaciones-

Suma

Si A = <a1, a2,…, an € Rn y B = <b1, b2,…, bn € Rn entonces la suma que

denotamos como “ A B ” está dada por:

A + B = <a1, a2,…, an> + <b1, b2,…, bn>

A + B = <a1+ b1, a2+ b2,…, an+ bn>

A = PQ = Q - P P

Q

En R2 sea A= a1i + a2j y B= b1i + b2j

Sea

A + B = (a1+ b1) i + (a2+ b2) j

Multiplicación de un escalar por un vector

Sea k € R y A a1, a2,…, an € Rn y el producto escalar K por el vector A que

denotamos como kA es un vector por:

kA =k <a1, a2,…, an>

kA = <ka1, ka2,…,kan>

Observe que:

|| kA || = (Ka1)2+(Ka2)2 … Kan)2

|| kA || = k2 (a1)2+( a2)2 …, an)2

|| kA || =K ||A||

-Demostración –

Si k>1 el vector va en la misma dirección que A y su magnitud es |k| ||A||

Si 0<k<1 el vector va en la misma dirección que A y su magnitud es |k| ||A||

Si-1< k<0 el vector va en la dirección opuesta que A y su magnitud es |k| ||A||

A B

Si k<-1 el vector va en la dirección opuesta que A y su magnitud es |k| ||A||

Si k=1 el vector KA=A

Si k=-1 el vector KA=A es un vector que va en la dirección opuesta que A y su

magnitud es la misma q A

Resta

Si A y B son dos vectores en R, entonces la resta de A y B que denotamos como A

- B es un vector dado por:

A – B = A + (- B)

A - B = <a1- b1, a2- b2,…, an-bn>

Gráficamente

Producto Punto

i * i = 1 j * j = 1 k * k = 1

i* j = 0 i * j = 0 j* k = 0

j * i = 0 k * i = 0 k * j = 0

Si A = a1i + a2j + a3K y B=b1i +b2j + b3k

Luego

A B = (a1i + a2j + a3K) (b1i +b2j + b3k)

A B = a1i*b1k+a1i*b2j+ai*b3k+a2j*b1i+a2j*b2j+a2j*b3k+a3k*b1i+a3k*b2j+a3k*b3k

A B = (a1 b1) ii+ (a1 b2)ij + (a1 b3)ik+ (a2 b1) ji+ (a2 b2) jj+ (a2 b3)jk + (a3 b1)ki +

(a3 b2) kj+ (a1 b3) kk

= a1*b1 + a2*b2 + a3*b3

A

B A - B

En general si A = <a1, a2,…, an> y B = <b1, b2,…, bn> el producto punto que

denotamos como A B es un escalar dado por:

A B = <a1, a2,…, an> * <b1, b2,…, bn>

A B = <a1* b1+ a2* b2 ,…, an* bn>

-Propiedades-

1. A B=|| A ||2

2. A 0= 0

3. A B = B A

4. A ( B + C ) = A B + A C

5. (kA) B = k( A B ) = A (kB )

6. Si A ≠ y B ≠ A B

7. A B =|| A || || B || Cos α y α 1

Demostración

h B Sen α

||A - B||2=||A||2||B||2- A B Cos α

(A - B)(A - B)= ||A||2||B||2- A B Cos α

α

h

|| A ||

|| B || A - B

b=||B|

|

a=||A||

c = A - B

C2 = a2+b2 - 2ab cos α (Ley de los cosenos)

A*A-A*B-B*A+B*B=||A||2||B||2-2||A||| B Cos α

||A||2-2A*B+||B||2=||A||2||B||2- A B Cos α

A*B A B Cos α

Y el ángulo entre A y B es α arcos

| | )

Proyección Ortogonal

a B Cos α

UA =

Proy A B = || Proy A B || UA B

Y || Proy A B B Cos α

Asi

Proy A B B Cos α * A A

Sabemos A B A B Cos α

|| B || Cos α A * B A

Proy A B = (A * B ) * A || A ||2

Producto Cruz

α

|| A ||

|| B ||

A x B B

i x i = 0 j x j = k k x k = -j

i x j = -k i x j = 0 j x k = i

j x i = j k x i = 0 k x j = 0

Si A = a1i + a2j + a3K y B=b1i +b2j + b3k

A x B = (a1i + a2j + a3K) x (b1i +b2j + b3k)

A x B = a1i*b1k+a1i*b2j+ai*b3k+a2j*b1i+a2j*b2j+a2j*b3k+a3k*b1i+a3k*b2j+a3k*b3k

k

i

j

A x B =(a1 b1) ii+ (a1 b2)ij + (a1 b3)ik+ (a2 b1) ji+ (a2 b2) jj+ (a2 b3)jk + (a3 b1)ki +

(a3 b2) kj+ (a1 b3) kk

A x B =(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)K

Demuestre que el producto cruz se puede escribir como el determinante de una matriz de 3x3

= (a2b3-a3b2)i + (a3b1-a1b3)j + (a1b2-a2b1)k

= (a2b3-a3b2)i - (a1b3-a3b1)j + (a1b2-a2b1)k

|

| I - | 1 1

| j + | 1 1

| k

1 |

| 1 | 1 1

| 1 | 1 1

| k

| 1 1

| | 1 1

|

Propiedades:

A B B A

A (B C) A B A C

(B C) A B A C A

( B ) B (A B) A K A

‖A B‖ ‖A‖‖B‖ sin

A B A ≠ y B ≠ A B

A B A A B B

‖A B‖

α

( ) ( )

A (B C) (A C)B (A B)C

‖A B‖ ‖A‖

‖B‖

(A B)

: A (B C) (A C)B (A B)C

, , ;

|

|

|

|

[ ] [ ] [ ]

( )

( )

( )

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )

( ) ]

( ) ( ) ( )

A (B C) (A C)B (A B)C

( ) ( )

, ,

|

|

( ) ( )

‖A B‖ ‖A‖‖B‖ sin

‖A B‖ A B A B

‖A B‖ A (B B)A (B A)B

‖A B‖ (B B) A A (B A) A B

‖A B‖ ‖B‖

‖A‖

A B

‖A B‖ ‖B‖

‖A‖

(‖A‖‖B‖ cos )

‖A B‖ ‖B‖

‖A‖

1 cos

‖A B‖ ‖B‖

‖A‖

sin

‖A B‖ ‖A‖‖B‖ sin

Un automóvil recorre hacia el este una distancia de 54 km, luego al norte de 32 km, y luego en dirección a 28ᵒ al norte de este 27 km. Dibuja el diagrama vectorial del desplazamiento y determina el desplazamiento total del automóvil desde el punto de arranque.

‖A‖ cos ‖A‖ sin

cos sin

cos ᵒ sin ᵒ

cos ᵒ sin ᵒ 1

‖R‖ √

tan

tan

ᵒ

ᵒ

28ᵒ 12.67 km

32 km

54 km

Un aeroplano viaja 209 km en línea recta formando un ángulo de 22.05ᵒ al este del norte. ¿A qué distancia al norte y a cual al este viajo el aeroplano desde el punto de partida? Al este cos ᵒ km Al norte sin ᵒ 1 1 km Tres vectores coplanares están expresados con respecto a cierto sistema de coordenadas rectangulares como siguen:

1 ‖B‖ con una dirección de 142.81ᵒ y ‖C‖ con una

dirección de 270ᵒ. Encuentre el vector resultante de estos vectores (componentes, magnitud y dirección).

cos 1 1ᵒ, 1 1ᵒ

cos ᵒ, ᵒ

‖C‖

‖B‖

1

1 1 ‖ ‖ √ 1 1

tan

tan

ᵒ ᵒ

Cierto vector en el plano XY está dirigido 250° en sentido antihorario a partir del

semieje positivo x, tiene una magnitud de 7.4 unidades. El vector tiene una

magnitud de 5 unidades y es paralelo al eje Z, calcule:

a) Producto punto de A Y B

b) Producto cruz de A y B

Como

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ sin sin

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖ cos

250°

90°

-6.95

X

Y

Z

-2.53

90°

A B

= -2.53 -6.95 + 0

250 + 90= 340

Si está a 90°, es perpendicular

cos

1

[

]

Una estación de radar detecta a un cohete que se aproxima desde el este. En el

primer contacto, la distancia al cohete es de 12 000 pies a 40° sobre el horizonte. El

cohete es rastreado sobre otros 123° en el plano este-oeste, siendo la distancia de

contacto final de 25 800 pies. Calcule el desplazamiento del cohete durante el

periodo de contacto del radar.

√ 1 1 cos 1

‖ ‖ cos ‖ ‖ 1 cos 1

=9192.53i + 7713.45j

1 1

P1 P2

40°

123°

N

E O

S

‖ ‖

‖ ‖

‖ ‖ 1

cos 1 cos 1 1

Q1 Q2

=(Q1-P1)i + (Q2-P2)j =(-24672.66-9192.53)I +(7543.18-7713.45)j

1 1 Desplazamiento

‖ ‖ √ 1 1 Distancia recorrida por el

proyectil

Una rueda de 45 cm de radio gira sin resbalamiento a lo largo de un piso horizontal

como se muestra en la figura. En el tiempo T1, P está en el punto de contacto entre

la rueda y el piso, en un tiempo T2 la rueda ha rodado media vuelta ¿Cuál es el

desplazamiento de P en el intervalo?

,

1 1

√ 1 1

1 Distancia recorrida por el punto

πR

2R

Tres Vectores están dados por

A=3i +3j -2k

B=-1i -1j +2k

C=2 i+2j +1k

Obtener:

a)

( ) [ 1 1

]

( 1 ) ( )

( )

1 1

( ) 1

b)

(-1+2)i +(-4+2)j +(2+1)k= i-

2j+3k

( ) 1

( )

c)

( ) [

]

( )= (18-(-10))i +(16-18)j +(15-(-24))k

( )

( )

[ 1

]

( ) ( 1 )

( ) 1

( ) 1

( )

1 1

1

( ) 1 1 1 1 1

( ) 1

Un rio fluye de sur a norte a 5km/hr. En este rio una lancha va de este a oeste,

perpendicular a la corriente a 7km/hr. Vista por una águila suspendida en reposo

sobre la ribera. ¿Qué tan rápido y en qué dirección viaja la lancha?

5km/hr

7km/hr

ǁ ǁ=√ =8.6

Θ tan

1 1 °

Un avión sale del aeropuerto de Galisto y vuela 170km/hr en una dirección 68°

al este del norte; luego cambia el rumbo y vuela 230 km a 48° al sur del este,

para efectuar inmediatamente un aterrizaje de emergencia en un potrero. ¿En qué

dirección deberá volar una cuadrilla de rescate enviada por el aeropuerto para

llegar directamente al avión averiado?

1 cos 1

=157.6 +63.6

1 cos 1

=153.9 - 107.3

11 1

ǁ ǁ=√ 11 1 = 329.4km

Θ tan

1°

68°

48°

CINEMATICA

La cinematica es la rama de la fisica que se encarga de estudiar el movimiento sin

atender las causas que lo producen.

Posicion Desplazamiento

Velocidad Velocidad Promedio

Vel. instantanea

Aceleracion Promedio

Aceleracion Ac. Instantanea

Desplazamiento:

En nuestro caso

- =

=

Distancia neta recorrida(d)

d=ǁ ǁ=| |

Velocidad Promedio:

En nuestro caso: =

X+∆x

∆x

x

∆t

t t+∆t

Rapidez promedio (v)

v=ǁ ǁ = |

|

Velocidad instantánea

lim

lim

En nuestro caso

=

lim

Aceleración Promedio

=

=

=

=

; -

Aceleracion instantánea

=

=

(

)

=

Aceleracion Promedio

=

=

ti=0 tf=0

=

|

=

|

=

Movimiento con aceleración constante

Con aceleración constante existen 3 casos:

a=0, a≠0, a=g

a=0

como

=

Si el movimiento en el espacio

= Vx + Vy + Vz y d = dVx + dVy + dVz

De igual forma + +az

Luego

+ +az =

+ +az )dt= d d y d z

Por igualdad

dVx=axdt- ∫a dt C o

dVy=aydt-Vy ∫aydt Cy oy

dVz=azdt- z ∫azdt Cz oz

= Vx + Vy + Vz = V0x + V0y + V0z

Además =

= x + y + z

d = x + y + z

d dy dz

(Vx + Vy + Vz )dt = d dy dz

Vxdt=dx- ∫ dt

Vydt=dy-y ∫ ydt y y y y

Vzdt=dz-z ∫ zdt z z z z

X=Vxt+ex Para t=0 x0=Vx(0)+ex=x0

y=Vyt+ey y0=Vy(0)+ey=y0

z=Vzt+ez z0=Vz(0)+ez=z0

Posicion de la particula

X=Vxt+x0

y=Vyt+y0 V=

d=Vt+x0

z=Vzt+z0

= (Vxt+x0) + (Vyt+y0) +(Vzt+z0)

Para a=0

= (Vxt+x0) + (Vyt+y0) +(Vzt+z0)

= Vx + Vy + Vz

= 0 + 0 + 0

a≠0 Por definición

=

Como = dVx + dVy + dVz

= ax + ay + az

dVx + dVy + dVz = (ax + ay + az )dt

dVx = axdt-- ∫a dt a t C v

dVy = aydt-- y ∫aydt ayt C y v y

dVz = azdt-- z ∫azdt azt Cz z v z

V0x=Cx

V0x=axt + v0x

V0y=ayt + v0y

V0z=azt + v0z

= (axt + v0x) + (ayt + v0y) + (azt + v0z)

Ademas

=

= dt

= x + y + z d = dx + dy +d z

dx + dy +d z = [(axt + v0x) + (ayt + v0y) + (azt + v0z) ]dt

dx = (axt + v0x)

∫ a t v dt a

+ V0x + ex; ex =x0

x = x0 +voxt +

ax

₀ v₀ t ½ aₓ t²

y y₀ v₀y t ½ ay t²

z z₀ v₀z t ½ az t²

Para a≠

₀ v₀ t ½ aₓ t² i ₀ v₀ t ½ aₓ t² j z₀ v₀z t + ½ az t²)k

₀i y₀j z₀k v₀ i v₀yj v₀zk t ½ aₓi ayj + azk) t²

= 0 + 0t + ½ t2

=(axt + v0x)i + (ayt + v0y)j + (azt + v0z)k

=(vxi + vyj + vzk)t + (v0xi + v0yj + v0zk)= + 0

= axi + ayj + azk =

Para a=0

=(vxt + x0)i + (vyt + y0)j + (vzt + z0)k

=(vxi + vyj + vzk )t + (x0i + y0j + z0k)= t + 0

=vxi + vyj + vzk = v0xi + v0yj + v0zk= 0 = 0

=0i +0j + 0k =

Ya vimos que

=

axi + ayj + azk =

=

x +

y +

z

Luego

x

X0

Vx

v0x X0 v0x X0 v0x

z

z0

y

y0 v0y

Vy Vz

v0z

∆t=7.2 min ∆t2=27 min

ax=

x ax=

y ax=

z

Así

ax=

x *

ay=

y *

az=

z *

ax=

x *

ay=

y *

az=

z *

ax=

x vx ay=

y vy az=

z vz

Luego

axdx = vx dvx aydy = vy dvy azdz = vz dvz

∫

= ∫

∫

= ∫

∫

= ∫

ax x | =½ vx2 | ay y | = ½ vy

2 | az z | = ½ vz2 |

ax(x-x0) = ½ (vx2 – v0x2) ay(y-y0) = ½ (vy2 – v0y2) az(z-z0) = ½ (vz2 – v0z2)

2ax(x-x0) = vx2 – v0x2 2ay(y-y0) = vy2 – v0y2 2az(z-z0) = vz2 – v0z2

vx2 = v0x2 + 2ax(x-x0) vy

2 = v0y2 + 2ay(y-y0) vz2 = v0z2 + 2az(z-z0)

vx2 + vy2 + vz2 = v0x2+ v0y2 + v0z2 + 2ax(x-x0) + 2ªy(y-y0) + 2az(z-z0)

vx2 + vy2 + vz2 = v0x2+ v0y2 + v0z2 + 2(ax(x-x0) + ay(y-y0) + az(z-z0))

vx2 + vy2 + vz2 = v0x2+ v0y2 + v0z2 + 2( (axi + ayj + azk) – (xi + yj + zk) – (x0i + y0j +

z0k))

* = 0 * 0 + 2 * ( - 0)

Ejercicio

Usted maneja su Masserati sobre una carretera recta durante 5.2 mi a 43

mi/hr, en cuyo punto se queda sin gasolina camina 1.2 millas hacia adelante, hasta

la estación más próxima durante 27 min. ¿Cuál fue la velocidad promedio desde el

momento en que arranco su auto hasta que llego a la estación?

5.2 mi 1.2

43 mi 27 min

t = v/d = 5.2 mi / 43 mi/hr = 72 hrs = 7.2 min

t t t2 = 7.2 + 27 = 34.2 min

=

= 6.4 mi / 34.2 min = 0.18 mi/min

*

= 11.22 mi/hr

Si usted viaja en la carretera interestatal 10 de San Antonio a Houston la mitad del

tiempo a 35 mi/hr y la otra mitad a 88 km/hr. En el viaje de regreso voaja la mitad

de la distancia a 35 mi/hr y la otra mitad a 35 mi/hr. ¿Cuál es la velocidad

promedio?

a) De S.A a Houston

b) De Houston a S.A

c) Para todo el viaje

35 mi/hr 88.5 mi/hr

t/2 t/2

v = d/t d = vt

a)

d1 = (35 mi/hr)(t/2) d1 = (55 mi/hr)(t/2)

v = d1 + d2/t1 + t2 = [ (35 mi/hr)(t/2) + (55 mi/hr)(t/2) ] / (t/2) + (t/2)

v = [ (90 mi/hr)(t/2) ] / t = 90/2 mi/hr = 45 mi/hr

b)

35 mi/hr 55 mi/hr

d1= d/2 d2= d/2

v = d/t t = d/v

t1 = d1 / v1 = (d/2) / (35 mi/hr) t2 = d2 / v2 = (d/2) / (55 mi/hr)

v = (d1 + d2) / (t1 + t2) = (d1 + d2) / [ (d/2) / (35 mi/hr) ] + [(d/2) / 55 mi/hr]

v = d / (d/2)[(55 + 33) / (55 * 33)] = 2(55*33) / 90 = 3850 / 90 mi/hr = 42.77

mi/hr

c)

v = d / t = ( 1 + 2 ) / 2 = [ (45 mi/hr) + (42.77 mi/hr) ] / 2 = 43.88 mi/hr

Usted frena desde la velocidad de 85 km/hr hasta a 45 km/hr en una distancia de

105 mts.

a) Si suponemos que la aceleración es constante. ¿Cuál es el valor de está

durante el frenado?

b) Cuánto tiempo transcurrirá en el frenado.

c) Si continuamos frenando con la misma aceleración cuanto tiempo nos

tomaría detenernos.

85 km/hr 0.105 km 45 km/hr

Datos:

Vi = 85 km/hr Vf = 45 km/hr D = 105 mts

V2 = vi2 + 2a(x-x0) a = (v2 – vi2) / (2(x-x0))

a = [(45 km/hr)2 - (85 km/hr)2] / [2 (0.105 km)]=[(2025 km2/hr2) – (7225

km2/hr2)]/ 0.21 km

a = (-5200 km2/hr 2) / 0.21 km = -24761.90 km/hr2

-24761.90 km/hr2 (1000 mts/1 km)[(1 hr)2/ (3600 s)2] = -1.91 m/s2

b)

t = (v – vi ) / a = [(45 km/hr) - (85 km/hr)] / -24761.90 km/hr2

t = (-40 km/hr) / -24761.90 km/hr2 = 1.67 x 10-3 h = 5.81 s

c)

Tiempo para detenerse (con la misma aceleración)

85 km/hr 45 km/hr 0

Vi = 45 km/hr v = 0 a = -24761.90 km/hr2

V = vi + at t = ( v – vi ) / a

t = 1.8 x 10-3 hr = 6.54 seg

Una partícula α en el núcleo de un átomo de Helio viaja a lo largo de un tubo recto

de 2m de longitud que forma parte de un acelerador de partículas; Si ponemos una

aceleración uniforme

A. ¿Cuál es la aceleración de la partícula si llega a una velocidad de 0.1 Mega

Metros/ Seg y sale a .005 Giga Metros/seg?

B. ¿Cuánto tiempo estuvo en el tubo?

Nota: Exprese sus resultados en segundos y en m/

0.1Mm 2m 0.005 Gm

V =.01 Mm = 0.1x1 m = 100 000 m

VF =0.005Gm = 0.005x1 m = 5 000 000 m

d ΔR m

V=d/t V=Vi X=xi+vit+a = +2a(x-x0) V=Vi

+ at

A. Acceleration

=

1

B. Tiempo

V=Vi + at

1

Un cuerpo se deja caer libremente desde el reposo, determine: posición, velocidad

y aceleración del cuerpo después de que han trascurrido 1, 2,3 y 4 segundos.

Datos

g 1

El referencial será y+

X g+

g -g y+

y

y yt 1 y0=0m V0y=0m/s

g 1

1

V=V0 + ayt

V=0m/s + gt

V=gt

Para t=1s

1 1

1m

1 1

Para t=2s

1

1m

1

Para t=3s

1

1m

Para t=4s

1

1m

Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de

25.2 m/s

A. Cuanto tiempo tarda en llegar a su punto más elevado

B. A que altura se eleva

C. En cuanto tiempo estará a 27m sobre el suelo

El referencial será

ay

Y

x,t ay=-g=9.81

1

1

Como es el tiempo para la altura máxima

La altura máxima es

Si y=27m t=?

A=

B=

C=

( √ )

( √(

) )

1, 1

1 1 1

Un cohete es lanzado desde el reposo de una base submarina situada a 125m por

debajo de la superficie, se mueve verticalmente hacia arriba con una aceleración

desconocida pero constante y llega a la superficie en 2.15s. Cuando traspasa la

superficie los motores apagan y continúa elevándose.

¿A qué altura máxima llegara medida a partir de la base?

-g y yt 1

Y=125m 1 m (

) 1 s 1 1

2.155 125m y

1

11

Ahora altura máxima

11

1

11

1

= 11.85s

y yt 1

1 m 11

11 s 1 1

11 s =814.9m

Una partícula se mueve en el plano XY de modo tal que sus coordenadas X y Y

varían con el tiempo de acuerdo con

t y t 1

Con X y Y en m y t en segundos. Encuentre la posición, velocidad y aceleración de la

partícula para un tiempo de 3s además determine el vector desplazamiento,

velocidad promedio y aceleración promedio para un intervalo de 2 a 4s.

Y(t)

ΔR

prom

X(t) a prom

t y t 1 t=3s

1 s s s 1

1 s 1 s j

i j

1

1

1 s 1 1 1

ti=2s tf=4s Δt

1

s s s 1

s s s 1

ΔR

prom

a = ΔV / Δt Δ 1 î ĵ – (– î ĵ

V = (3t2 – î 1 tĵ Δ î ĵ

ΔV = V(tf) – V(ti) a = ΔV / Δt

V(tf) = (3(4)2 – î 1 ĵ 1 î ĵ a î ĵ

V(ti) = (3(2)2 – î 1 ĵ – î ĵ a 1 î ĵ

Un esquiador desciende por una pendiente plana de la ladera de una

montaña, la pendiente de descenso norte-sur forma un ángulo de 10° con la

horizontal. Un viento que sopla desde el oeste da al esquiador una aceleración

lateral de 0.54 m/s2. En la esquina noroeste de la pendiente, el esquiador sale con

una componente de la velocidad cuesta debajo de 9 m/s y una componente lateral

de 0 m/s, La pendiente sin fricción tiene 125m de latitud y 25 m de ancho.

a) ¿Donde deja el esquiador a pendiente? b) ¿Cuál es la velocidad en ese punto?

Nota: La aceleraci n gravitatoria a lo largo de un plano inclinado es: gsen θ

a)

R0 î ĵ posici n inicial

V0 = 0î + m s ĵ

a0 = 0.54m/s2 î + gsen(θ ĵ

a0 = 0.54m/s2 î + (9.81

m s sen 1 ĵ

Dado que

R = R0 + V0 t + ½ a t2

Entonces

xî 1 ĵ î ĵ m î

m s ĵ t

½(0.54m/s2 î 1 m s sen 1 ĵ t2

xî 1 ĵ m s ĵ t m s2î t2 ĵ t2

Separando términos

**xî = 0.27m/s2 î t2

1 ĵ m s ĵ t ĵ t2

ĵ t2 m s ĵ t – 1 ĵ

Resolvemos:

√

√ 1

√

1

t1 √

1 t

√

1 1

**Calculamos el valor de x b)

x = (0.27m/s) t2 V = V0 + a t

x = (0.27m/s)(7.93s)2 î ĵ m s î

ĵ m s2(7.93s)

x = 16.97m î ĵ m s î

1 ĵ m s

î ĵ m s

:. R = 1 î 1 ĵ ||V|| = √ m s m s

:. ||V|| = 22.90m/s

Los frenos de un automóvil pueden generar una desaceleración de 14ft/s2, si

usted va a 85mi/h y de repente ve una patrulla federal, entra en pánico,

inmediatamente trata de disminuir la velocidad, debajo del límite que es de 55mi/h

a) ¿Cuál es el tiempo mínimo que le tomara disminuir a esta velocidad? b) ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?

a)

a = -14ft/s2

1 ft s 1 ft s (

) m/s2

V0 = 85mi/h

mi m mi h (1 m

1mi) (1h

s) m s

Vf = 55mi/h

mi m mi h (1 m

1mi) (1h

s) m s

Sabemos que

⇒

1

:. t = 3.1425s

b)

x = x0 + V0x t + ½ a t2

x = 0m + (37.99m/s)(3.1425s) + ½(-4.2672m/s2)(3.1425s)2

:. x = 98.31m

Un tren que partió del reposo se desplaza a velocidad constante y va a 33m/s

y 160m adelante iba a 54m/s calcule:

a) Aceleración b) Tiempo que le toma recorrer los 160m c) Tiempo para una velocidad de 33m/s d) Distancia recorrida del reposo a que alcanza los 33m/s

a)

x0 = 0m V0 = 33m/s

x = 160m Vf = 54m/s

V2 = V02 + 2a(x – x0)

1 1

:. a =

b)

x = x0 + V0 t + ½ a t2

160m = 0m + (33m/s) t + ½ (5.70m/s2) t2

(2.85m/s2) t2 + (33m/s) t – 160m = 0

Resolvemos por formula general

√ m s 1

m s √ m s

m

t m s

m t

m s

m 1 s

:. t =3.67s.

c) d)

V = a t + V0 x = x0 + V0 t + ½ a t2 con x0 = V0 =0

½

:. t = 5.78s :. x = 95.21m

Dos objetos inician caída libre a partir del reposo, desde la misma altura, con

una diferencia de un segundo entre sí ¿Cuánto tiempo después de que él primer

objeto comenzó a caer estarán a 10m de distancia entre sí?

a = -9.81m/s V0 = 0m/s y0 = 0m

y = y0 + V0 t + ½ a t2

y = 0m + (0m/s)t +½(–m/s2)t2

y= (–4.905m/s2)t2

Con t =2 Con t = 1

y = (–4.905m/s2)(2s)2 y = (–4.905m/s2)(1s)2

y = –19.62m y = –4.905m

d = y2 – y1 = –4.905m – (–19.62m) = 14.715m

Ecuación partícula 1 Ecuación Partícula 2

y1 = (–4.905m/s2)(t)2 y2 = (–4.905m/s2)(t –1)2

1s -4.905m

2s -19.62m

14.715m

y2 = (–4.905m/s2)(t2 – 2t +1)

y2 – y1 = –4.905 m/s2 (t2 – 2t +1) – (–4.905m/s2)(t)2

y2 – y1 = –(4.905 m/s2)t2 + (9.81 m/s2)t – 4.905 m/s2 + (4.905m/s2)t2

y2 – y1 =(9.81 m/s2)t – 4.905 m/s2

10m = (9.81 m/s2)t – 4.905 m/s2

1

1 1 1

:. t = 1.5193s