Fracciones

Obras y contexto

Numeración

Operaciones aritméticas

Fracciones

Aplicaciones económicas

Falsa posición

Raíz cuadrada

Sistemas de ecuaciones

El círculo

Triángulos rectángulos

Una isla en el mar

VolúmenesLa noción de fracción Simplificación de

fracciones Suma y resta de fraccionesMultiplicación de

fraccionesDivisión de fracciones

La noción de fracciónEl avanzado tratamiento aritmético que se encuentra en los cálculos de las principales y tempranas obras dedicadas a este conocimiento, había de continuarse con el uso de fracciones. La razón fundamental es la de alcanzar una mayor exactitud en el cálculo. Así, la unidad de medida de longitud más habitual para medir un campo era el zhang, equivalente a unos 2,3 metros. Entre las unidades de masa utilizadas para medir la cantidad de bronce

utilizado la medida del shi equivalía a casi treinta kg., mientras que otra subunidad, el jin, venía a corresponder a un cuarto de kg. Una mera aproximación en este tipo de medidas conducía a una acumulación de errores, sobrecostes, pérdidas en las ventas y recaudación de impuestos, etc.

Naturalmente, siempre cabía utilizar la expresión de una cantidad mediante las subunidades. Por ejemplo, las unidades de longitud en el período Han eran:

cun ---> x 10 ----> chi ---> x 10 ----> zhang

es decir, 1 zhang = 10 chi1 chi = 10 cun

Pues bien, supongamos la cantidad de 1 zhang y ¾ de zhang

¾ de zhang se puede transformar en chi sin más que multiplicar por diez: ¾ zhang x 10 = 30/4 chi = 7 chi y 2/4 de chi

que a su vez se puede transformar en cun : 2/4 de chi x 10 = 20/4 cun = 5 cun

de manera que la cantidad inicial se pueda expresar como

1 zhang y ¾ de zhang = 1 zhang 7 chi 5 cun

Pese a esta posibilidad, que no es ignorada por los calculistas chinos en el momento de dar el resultado de las operaciones, la utilización de las fracciones también es constante cuando se desea alcanzar una precisión en las medidas de longitud, superficie, masa, capacidad, etc. En ello demuestran una marcada superioridad sobre otras culturas de la Antigüedad que limitaban el uso de fracciones a las unitarias o buscaban insistentemente realizar sus cálculos sobre un conjunto de unidades y subunidades. A ello colabora su noción de fracción y la necesidad de cálculos complejos.

Respecto a lo primero, parece que los calculistas chinos llegaron a la fracción, como se ha indicado en el apartado anterior, a través de la división y de la acción de repartir. Así, el reparto de 8 cosas entre cinco personas puede expresarse como 1 3/5. De esta manera las fracciones siempre son entendidas en origen como el resultado de un reparto. El Sun Zi suan jin afirma:

“Cuando el dividendo tiene un resto, con la ayuda del divisor se dice: el divisor es tomado como denominador, el resto del dividendo como numerador”.

A partir de esto se entiende que la fracción más usual es aquella cuyo numerador (denominado zhi, el hijo) es menor que el denominador (mu, la madre), bajo la óptica de que el segundo, al dividir el todo en partes iguales,

origina al primero por reunión de un grupo de esas partes llegándose a la usual descripción lingüística de “y fen zhi x”, es decir, x de y partes iguales, en términos actuales x/y.

Esto podría haber sido un obstáculo para la utilización de las fracciones impropias pero el hecho de que los calculistas chinos utilicen las fracciones dentro de un contexto de medida amplía constantemente los límites de este concepto con la sistemática utilización de números mixtos, como hemos visto en el ejemplo inicial, lo que no excluye la eventual presencia de fracciones donde el numerador es mayor que el denominador, eso sí, considerados como herramientas o expresiones fraccionarias que terminan por adquirir, en la mayor parte de las ocasiones, la forma de número mixto o conjunto de unidades y subunidades.

Es necesario notar que determinadas fracciones, de uso muy frecuente, reciben nombres especiales. De este modo, 1/3 es nombrado como “menos de la mitad” y 2/3 como “más de la mitad”.

Simplificación de fraccionesLa necesidad de simplificar las fracciones al objeto de hacerlas comprensibles y manejables en subsiguientes cálculos es inmediata al realizar operaciones con fracciones, tanto en el contexto de reparto como de medida. El Jiuzhang tiene una regla para ello:

“Lo que sea divisible por dos, se divide entre dos, lo que no lo sea: disponer los números de la madre y del hijo, disminuir lo mucho por medio de lo poco y así se sigue alternativamente a fin de determinar lo igual (deng shu). Simplificar la fracción por medio de este igual”.

Es indudable que el cálculo con fracciones venía a ser una importante dificultad de aprendizaje en aquellos tiempos que, no obstante, era indispensable superar. Esta obra no explica en ningún momento los mecanismos de las operaciones básicas con números naturales y, en cambio, dedica el primer capítulo y diversidad de problemas a mostrar las diversas reglas existentes para el trabajo con fracciones. La primera es ésta, la más básica.

El problema 1.5 presenta la fracción 12/18 con el propósito de reducirla. La división por dos de ambos términos nos conduce a 6/9. Resulta curioso observar que no se plantea en esta regla dividir por otro número que no sea el dos, quizá

por razones de simplicidad. El caso es que la segunda parte de la regla propone sustraer en 6/9 del mayor el término más pequeño:

9 – 6 = 3

de manera que se compare a continuación el término más pequeño y el que acabamos de obtener:

6 – 3 = 3

Este es el “deng shu” (nuestro máximo común divisor), el número que aparece igual al anterior, por el que debemos dividir numerador y denominador de la fracción original para obtener la más simplificada:

32

39

36

96

En el problema 1.6 se plantea un caso algo más complejo al considerar inicialmente la fracción 49/91 que no se puede dividir por dos. Por ello, se procede a realizar la segunda parte de la regla:

91 – 49 = 4249 – 42 = 742 – 7 = 3535 – 7 = 2828 – 7 = 2121 – 7 = 1414 – 7 = 7

Finalmente, el número repetido es 7, por el que hay que dividir los términos de la fracción original:

137

791

749

9149

Esta regla de simplificación, conocida en Occidente como algoritmo de Euclides, ¿qué razón de ser tiene? Porque se da el caso de que los textos chinos son eminentemente pedagógicos y reúnen el saber de la época por medio de reglas que deben aplicarse en los problemas oportunos. Se puede entonces seguir la estructura matemática de sus procedimientos pero resulta difícil preguntarse el cómo y por qué se construyeron de esa forma.

Liu Hui, en sus Comentarios, explica la utilización del deng shu para reducir

una fracción.

“Reducir utilizando el deng shu significa dividir (numerador y denominador) por el deng shu. Como cada par de números que es sustraído es un múltiplo del deng shu, ésta es la razón de por qué es reducido por el deng shu”.

Fijémonos en la última resta: 14 – 7 = 7 donde el número 7 se repite tras todo el proceso de restas sucesivas. Ello garantiza que 14 también es múltiplo de 7. Siendo: 21 – 7 = 14

si 14 y 7 son múltiplos de 7, también lo es 21. Remontándonos de esa forma hacia arriba se llega a la conclusión de que 49 y 91 son ambos múltiplos de 7, el primer número repetido en el procedimiento. Todos los pares de números sustraídos, entonces, son múltiplos de 7, el deng shu tal como lo denominaban los chinos, o máximo común divisor como lo denominamos actualmente.

Suma y resta de fraccionesLos procedimientos sobre fracciones que estos textos muestran prosiguen con la realización de las primeras operaciones, en concreto la suma y la resta. Se observa que el método propuesto se basa en encontrar fracciones equivalentes a las dadas por medio de la multiplicación de los denominadores. No hay, pues, una presencia del mínimo común múltiplo ni concepto análogo. Si la fracción resultante de la operación puede reducirse siempre se puede hacer posteriormente evitando así realizar dos procedimientos simultáneos.

Esto se observa, por ejemplo, en el problema 1.7, que presenta las fracciones 1/3 y 2/5 dando como resultado 11/15. El denominador se ha obtenido multiplicando los dos denominadores dados:

1511

1565

5332

5351

52

31

El método, tal como se enuncia en el Jiuzhang, es el que acabamos de mostrar:

“Multiplicar mutuamente cada numerador y los otros denominadores y hacer la suma para obtener el dividendo. Multiplicar los denominadores y hacer (el producto) para tener el divisor. Dividir el dividendo entre el divisor”.

Su aplicación al caso anterior muestra que los calculistas chinos adoptaban con sus varillas una disposición determinada: Colocaban los numeradores a la izquierda y los denominadores a la derecha frente a los anteriores:

1 32 5

y luego obtenían el denominador multiplicando las dos cifras de la derecha y el numerador multiplicando en cruz y sumando los resultados habidos.

El procedimiento puede aplicarse sistemáticamente a la suma de varias fracciones, como es el caso del problema 1.9 donde se plantea añadir ½ , 2/3 , ¾ y 4/5. El denominador se obtendría multiplicando todos los denominadores del siguiente modo:

120326

5432244303402601

54

43

32

21

que puede reducirse dividiendo primero por 2 para obtener: 163 / 60

y luego expresándolo como el número mixto: 2 43/60 , la respuesta dada en el Jiuzhang.

Liu Hui explica todo lo realizado asignando nombres específicos a las operaciones parciales realizadas:

“Multiplicar cada numerador por los otros denominadores es llamado qi y multiplicar juntos los denominadores es llamado tong. El propósito del proceso tong es obtener un denominador común, mientras que el proceso qi de tomar el producto de cada numerador por los demás denominadores es preservar el valor original de cada fracción”.

La sustracción de fracciones obedece exactamente a las mismas operaciones. Así el problema 1.10 plantea disponer de 8/9 para sustraer 1/5:

4531

599158

51

98

Estas operaciones iniciales les permiten comparar dos fracciones determinando cuál es mayor y por cuánto, es decir, establecer un orden entre las fracciones. Es el procedimiento que denominan de comparación (ke fen). De esta manera, el problema 1.13, por ejemplo, propone comparar 8/9 y 6/7 para determinar cuál es el mayor y por cuánto. La respuesta indica que lo que se realiza simplemente es una sustracción entre ambas:

632

799678

76

98

El Suan shu shu ofrece algunos problemas de resta de fracciones también, observándose su utilidad en contextos cotidianos de compra y venta. Por ejemplo, en la varilla 28 se presenta:

“Tengo 3 zhu y 5/9 de zhu de oro. Ahora deseo pagar 6/7 de zhu con ello. ¿Cuánto oro quedará?

La primera tarea del calculista es la de multiplicar los denominadores (9 x 7 = 63) para obtener el deng shu. A continuación se transforma la primera fracción en impropia 3 x 9 + 5 = 32 multiplicándose en cruz numeradores y denominadores:

32 69 7

de manera que finalmente se resta del mayor (32 x 7 = 224) el menor (9 x 6 = 54) resultando la fracción 170/63 que procede a dividirse normalmente para obtener 2 44/63 zhu

Como un nuevo procedimiento entre fracciones se presenta a continuación el llamado “ping fen” o cálculo del promedio de fracciones. Se trata de determinar qué fracción debe añadirse a la más pequeña de dos o más dadas y restarse de las más grande para obtener el mismo valor intermedio. Se enuncia de esta forma el objetivo de la nueva regla en el problema 1.15:

“Sean 1/3, 2/3 y ¾. Encontrar las cantidades que deben ser sustraídas de las (fracciones) mayores y ser añadida a la más pequeña (para obtener el valor medio) y encontrar este valor”.

El método aducido no deja lugar a dudas de que lo realizado consiste en disponer con el mismo denominador las tres fracciones calculando qué cantidades deben ser restadas a las dos mayores (2/3 y ¾) para que el total sustraído pueda añadirse a la más pequeña obteniendo el valor medio de las tres:

“Sustraer 2 (doceavos) de ¾ y 1 (doceavo) de 2/3; la suma (de los sustraendos) es añadido a 1/3. Ello da el valor medio de 7/12”.

En efecto, tomando como denominador el producto de 3 x 4 = 12, se disponen las tres fracciones

¾ 2/3 1/3

9/12 8/12 4/12

Se calcula entonces qué cantidades quitar en los dos numeradores más altos para añadirlas al más pequeño. La respuesta será que restando 2/12 al primero y 1/12 al segundo, los 3/12 pueden añadirse al más pequeño para llegar al mismo valor intermedio de 7/12.

Multiplicación de fraccionesEn el prefacio del Zhang Qiujian suan jing, su autor afirma: “En el aprendizaje de las matemáticas, uno no está afectado por las dificultades en la multiplicación y división de enteros sino por las complejidades de las fracciones”.

Es por ello que las tres obras fundamentales a que estamos haciendo referencia en estos capítulos prestan una atención especial al cálculo con fracciones, al enunciado y práctica de sus reglas, todo ello desde una perspectiva pedagógica dedicada a los futuros oficiales administrativos del imperio Han y siguientes.

Anteriormente hemos comprobado que la multiplicación tiene una aplicación inmediata en el cálculo de superficies de campos rectangulares. Naturalmente, esto conducirá a multiplicar números mixtos y por ello fracciones cuando se tomen medidas más exactas de sus dimensiones. El Suan shu shu precisamente comienza su primera varilla, la más elemental, con la multiplicación de distintas unidades de longitud y sus fracciones.

Recordemos que, a partir de la unidad más elemental, el cun, es:

10 cun = 1 chi

10 chi = 1 zhang

El texto empieza entonces por los siguientes ejemplos:

1 cun x 1 cun = 1 cun 2

1 cun x 1 chi = 1/10 chi 2

1 cun x 100 chi = 10 chi 2

½ cun x 1 chi = 1/20 chi 2

lo que sirve para tratamientos más abstractos referidos a la multiplicación elemental de fracciones en la tercera varilla:

½ x 1 = ½

½ x ½ = ¼

1/3 x 1 = 1/3

1/3 x ½ = 1/6

1/3 x 1/3 = 1/9

Todo esto hace pensar que no sólo es un recurso para la enseñanza de la multiplicación de fracciones, sino que puede ser el modo el que fue sistematizada la regla que luego será conocida. Una acertada comprensión multiplicativa de la relación que une numeradores (cuanto más grande mayor es la fracción) y denominadores (cuanto más grande menor es la fracción) puede conducir a la conclusión de que la mitad de una tercera parte es una sexta parte (1/3 x ½ = 1/6). Del mismo modo, la mitad de ¾ resulta ser 3/8 de manera que se va descubriendo que el resultado se obtiene multiplicando los denominadores. Para el caso más general de hallar 2/3 de ¾, por ejemplo, se calcula 1/3 por la regla deducida antes:

1/3 x ¾ = 3/12

pero al tratarse de 2/3 será el doble de este resultado:

2/3 x ¾ = 6/12

que se puede obtener más rápidamente con la regla general de multiplicar numeradores y denominadores.

De esta manera, el Jiuzhang plantea en el problema 1.19 una extensión del cálculo de superficies ya vista con dimensiones enteras:

“Sea un campo, ancho 4/7 de bu y largo 3/5 de bu. Encontrar (el área) del campo”.

3512

5734

53

74

Así, el método para multiplicar fracciones (cheng fen) consiste en:

“Multiplicar los denominadores para obtener el divisor. Multiplicar los numeradores para obtener el dividendo. Dividir el dividendo entre el divisor”.

Sin embargo, como el tratamiento más usual era el de encontrar campos cuyas dimensiones se dieran en números mixtos, los calculistas enuncian una regla especial para la multiplicación en este caso (da guang tian), por ejemplo, en el problema 1.22:

“Sea un campo, ancho 3 1/3 bu y largo 5 2/5 bu. Encontrar (la superficie) del campo”.

El método planteado consiste en transformar los números mixtos en fracciones impropias al objeto de aplicar la regla anterior. Así, lo enuncian del modo siguiente:

“Para cada (número mixto), multiplicar el entero por el denominador y añadir (dicho producto) al numerador. Multiplicar (los numeradores) para obtener el dividendo. Multiplicar los denominadores para obtener el divisor. Dividir el dividendo entre el divisor”.

Es decir, 3 1/3 se transforma mediante 3 x 3 + 1 = 10 en 10/3, y 5 2/5 mediante 5 x 5 + 2 = 27 en 27/5, de modo que

bu1815270

527

310

División de fraccionesEl grupo de problemas de reparto en el Suan shu empieza precisamente con uno donde se plantea distribuir equitativamente una cantidad de 3 ½ 1/3 entre 5 hombres. El método (jing fen) que ante estos problemas plantea el Jiuzhang es bastante claro:

“Sea el número de personas el divisor y la cantidad de dinero el dividendo. Dividir el dividendo entre el divisor. Si (un número) tiene una parte fraccional ha de ser ‘generalizada’ (a una fracción impropia). Si ambos tienen partes fraccionales, ambos deben ser ‘generalizados’ (a fracciones impropias)”.

Así pues, el problema anterior se resolvería, en primer lugar, transformando 3 ½ 1/3 en una fracción impropia:

½ + 1/3 = 5/6

3 + 5/6 = 18 + 5 / 6 = 23/6

para a continuación dividir entre el número de hombres, lo cual se consigue multiplicando el denominador por 5:

23 / 6 x 5 = 23/30

que es lo que recibiría cada uno.

El problema puede presentar datos algo más complejos, como el 1.18 del Jiuzhang, donde 3 1/3 personas han de repartirse 6 1/3 ¾ qian (un tipo de moneda). Aplicando el mismo procedimiento se transformarían ambos números en fracciones impropias:

3 1/3 = 10/3 personas

6 1/3 ¾ = 85/12 qian

Ahora bien, ahora se ha de dividir el número de qian entre el número de personas. El texto se limita a dar la solución (2 1/8 qian) apelando a la regla tal como se ha enunciado antes. ¿Pero cómo se aplica para dar el resultado deseado?

El comentarista Liu Hui, varios siglos después, es más explícito en cuanto a dicha aplicación para este caso. Afirma:

“Cada fracción del divisor y el dividendo es ‘expandida’ cuando (el numerador y denominador de) cada uno es multiplicado por el denominador del otro”.

Esto sugiere que la regla pase por encontrar un denominador común a las dos fracciones impropias obtenidas:

bdbc

dbda

dc

ba

con lo que, para este problema concreto:

36120

36255

310

1285

lo que transforma la división de dos fracciones en otra entre enteros

812120

152120255

Pero Liu Hui aún añade:

“Alternativamente, multiplicar (el numerador del) dividendo por el denominador del divisor y multiplicar (el numerador del) divisor por el denominador del dividendo”.

dando paso a la regla más conocida y que se deduce de la anterior:

cbda

dc

ba

Con ello los calculistas chinos estaban preparados para cualquier división, por complicados que fueran los números tratados. Así, Zhan Qiujian plantea la división de 6587 2/3 ¾ entre 58 ½ . La secuencia de pasos con que resuelve esta división es una muestra del método descrito por Liu Hui:

6587 2/3 ¾ : 58 ½

Se reduce el dividendo a fracción impropia:

6587 + 1 5/12

6588 5/12

79061/12

que se multiplica por el denominador 2 de la otra fracción:

158.122 / 24

Se repite el mismo tratamiento con la fracción divisor:

58 ½ = 117/2

multiplicándose por el denominador 12 original del dividendo:

1404/24

Así, el resultado de dividir ambas fracciones vendrá dado por:

7024271121404

8741121404

122.158

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Contexto Los Zhou occidentalesLos Zhou orientalesEl imperio QinLa dinastía HanLos Diez Manuales

Matemáticos

ContextoLa tradición en Matemáticas de la antigua China se concreta hacia el año 656 d.C., durante la dinastía Tang, cuando el deseo de establecer los conocimientos básicos que debe seguir la administración del Estado lleva a la recopilación denominada “Suanjing shi shu” (Los Diez Manuales Matemáticos).

En ella se incluían las obras más conocidas de dicha tradición, algunas que atraviesan las Matemáticas chinas desde antes de nuestra era, comentarios realizados a las mismas, pequeños tratados de ampliación de conocimientos. Desde el siglo XX la arqueología china, además, se ha desarrollado aumentando los conocimientos históricos de un modo considerable sobre una enorme extensión del país. Continuamente, a medida que se amplía el crecimiento económico del país y es necesario construir casas y carreteras, se remueven ingentes cantidades de tierra bajo la cual florecen restos de culturas antiguas en forma de edificios y tumbas, además de otros materiales, que van ampliando el conocimiento de aquellos tiempos. En una tumba de la dinastía Han, por ejemplo, se ha encontrado hace no muchos años una obra matemática escrita sobre varillas de bambú, que tiene una estrecha relación con la principal obra sobre Cálculo de las matemáticas antiguas chinas. Tras dar a conocer su contenido (que será aquí examinado) se discute actualmente la relación entre ambas obras.

Las Matemáticas en la Antigüedad china no surgen a partir de personas gustosas de la simple especulación. Su origen parece más cercano a los motivos económicos dentro de un contexto político, social y administrativo muy determinados. Es por ello que, al amparo de las obras encontradas y que integran la recopilación del siglo VII a que se ha hecho referencia, parece conveniente dedicar el comienzo de este estudio a dicho contexto, teniendo en cuenta que en ningún caso es nuestro propósito exponer una historia de la China antigua salvo en aquellos aspectos que incidan, de manera más o menos directa, en la redacción de los trabajos básicos en Matemáticas de los estudiosos chinos de su época.

Para empezar conviene trazar un breve esquema cronológico de las principales dinastías que gobiernan la mayor parte de China durante el tiempo en que estas

obras son realizadas.

AñosDinastía Obras

1050 – 770 a.C. Zhou occidentales

770 – 463 a.C. Zhou orientales (Hegemones)

463 – 221 a.C. Zhou orientales (Reinos combatientes)

Zhoubi suang jin(400 – 200 a.C.)

221 – 202 a.C. Imperio Qin

202 a.C. – 9 d.C. Han occidentales Suan shu shu(200 – 150 a.C.)

25 – 220 d.C. Han orientales Jiuzhang suan shu(300 aC – 200 dC)

190 – 317 d.C. Los tres reinos Comentarios de Liu HuiHaidao suanjingComentarios de Zhao Shuang

Los Zhou occidentalesLa dinastía Zhou quedó en la mente de los chinos con posterioridad como el paradigma de buen gobierno, tal como sería señalado por Confucio y su discípulo Mencio. Durante este período se constituyen muchos de los elementos que configurarán el estado chino durante muchos siglos, tanto en el milenio que dura esta dinastía como después.

Desde las orillas del río Wei, donde los gobernantes Shang, la dinastía anterior, casi no tenían implantación, surge alrededor del 1122 a.C. Wenwang, el llamado Rey Civilizador, para ir extendiendo su dominio sobre gran parte del territorio (figura 1.1). Los Shang, cuyo gobierno estaba fragmentado a esas alturas en numerosos feudos casi independientes del poder real, se ven controlados y aislados en medio de otros feudos que van cayendo en

manos de la nueva dinastía.

Tras Wuwang, el Rey Guerrero, ganador de la batalla de Muye que da paso a un control definitivo sobre las tierras del sur y oriente, reina Zhougong, el duque de Zhou, pacificador de todo el territorio y figura que quedará como mítica y prototipo del buen gobierno de los Zhou.

Bajo su amparo las carreteras se extenderán, crecerán por doquier ciudades de un amplio número de habitantes y, aunque China siempre se basará en una economía rural y agrícola, el comercio de intercambio podrá crecer como no lo había hecho hasta ese momento. El gobierno de los Zhou por entonces no abarca a todo lo que hoy conocemos como China, sino a un territorio junto a los dos ríos principales (el Yang tze y el Amarillo) de una extensión similar a las de Francia y España juntas.

El gran estadista que fue el duque de Zhou es precisamente uno de los interlocutores de la primera obra matemática conservada por la tradición china: el Zhoubi suang jin.

Esta obra se ha conservado con dificultades. Las primeras versiones corresponden al período medieval chino, por lo que resulta casi imposible datarlo con exactitud. Es posible que se haya redactado durante el período de los Zhou orientales pero puede asimismo que sea una obra Han bastante posterior, cuando florecía el deseo de recuperar y reformular obras clásicas por entonces perdidas durante el imperio Qin.

Aún ignorando cuándo y quién (o quiénes) escribieron esta obra, lo cierto es que se toma al duque de Zhou como uno de los que intervienen en la obra preguntando, al modo socrático, a un sabio desconocido, Shan Gao, sobre la disposición de los astros y sus movimientos. El Zhoubi es una obra eminentemente astronómica pero se inscribe en un contexto muy determinado.

En efecto, la tradición china en la Antigüedad defendía la legitimación de los gobernantes a través del cielo, creencia que se concreta en el tiempo del duque de Zhou con el llamado “Mandato del cielo”. Ahora bien, este mandato no lo era sin condiciones ya que la dinastía podía perderlo si carecía de las virtudes morales que le habían permitido recibirlo con anterioridad. Ello podía ser motivo de que una nueva dinastía, poseedora de dichas virtudes, se rebelara apoyada por el mandato del cielo.

La más clara muestra de que un gobernante como el duque poseía la moralidad necesaria consistía en prever la conducta celeste, realizar los ritos de fertilidad agrícola en el momento adecuado, entre otras actividades. Para conseguirlo el gobernante se enfrentaba a la necesidad de un calendario preciso de los principales fenómenos astronómicos y de otros más excepcionales, como los eclipses.

El esfuerzo en esa línea propiciado por los gobernantes Zhou se concreta en el Zhoubi suan jing, el libro astronómico por excelencia de la Antigüedad. La visión del autor o autores no es en ningún momento mítica sino basada en la observación y el cálculo matemático.

La complejidad del calendario chino radicaba en la consideración simultánea de los ciclos solar y lunar, algo que el calendario gregoriano actualmente en vigor no

considera puesto que descansa exclusivamente en el primero. El lunar es más complicado por su ausencia de regularidad. En efecto, desde la conjunción luna-sol que lleva una llamada luna nueva (shuo) hasta la siguiente pueden pasar desde 29 ¼ a 29 ¾ días en una forma que les era difícil de prever.

Por otro lado, a partir del ciclo día-noche los chinos consideraban una secuencia de diez días (xun) en un ciclo de seis hasta completar sesenta días (ghan zi). Conjuntar este hecho con las irregularidades de los ciclos lunares, al tiempo que intentaban compatibilizarlo con el solar, resultaba muy difícil. Sin embargo, el ciclo solar es el que permite prever más adecuadamente cuándo llevar a cabo las labores agrícolas fundamentales, momentos en que el gobernante debía cumplir una serie de ritos propiciatorios.

Realizar estos ritos en momentos inadecuados conducía a la creencia de que se había perdido el favor celeste y, por tanto, que las virtudes morales del gobernante podían ser puestas en entredicho ante el pueblo y hacer surgir alguna familia dispuesta a gobernar en su lugar.

Es por todo ello que el libro a que hacemos referencia alcanza un nivel de cierta dificultad y, en todo caso, se basa, como hemos dicho, en observaciones detalladas de la altura y declinación solares, por ejemplo, a las que se acompaña de cálculos matemáticos relacionados con los triángulos rectángulos.

Es ésta la parte matemática fundamental del Zhoubi que ha quedado para la posteridad: el trabajo efectuado sobre estos triángulos donde se denota el uso de

fórmulas que tienen relación con los triángulos pitagóricos, así como la consideración de triángulos semejantes.

La antigua China dispone de una larga tradición de trabajo con estos triángulos que aparecen sucesivamente en obras posteriores, sea de cálculo como el Jiuzhan suan shu, o en los mismos comentarios del ilustre matemático del siglo III d.C., Liu Hui, abordándose en este tiempo diversas disposiciones geométricas que muestran una forma de demostración del teorema de Pitágoras de una naturaleza no deductiva como lo fue entre los griegos.

De todo ello se hablará en detalle más adelante. Ahora sólo cabe terminar la historia de los Zhou occidentales mencionando el hecho de que, en el siglo VIII a.C., el último de sus reyes, Youwang, fue vencido por una coalición de pueblos del noroeste, con lo que los restos de la monarquía abandona las orillas originales del río Wei, en occidente, para trasladarse a la ciudad que habían construido junto al río Luo, denominada Luoyang. Será la sede de los Zhou orientales durante más de cinco siglos, tiempo en que el feudalismo progresará hasta constituirse en la forma de organización social por excelencia.

Los Zhou orientalesLos cinco siglos en que los Zhou gobernaron desde el oriente del país puede dividirse en dos períodos: el de los Hegemones, también conocido como Primaveras y Otoños (770 – 463 a.C.) y el de los Reinos Combatientes (463 – 221 a.C.).

En el primer período el gobierno de los Zhou deja poco a poco de ser efectivo para convertirse en nominal. Los distintos feudos son regidos por hombres nombrados por el rey Zhou pero, paulatinamente, los cargos serán hereditarios constituyéndose así una serie de feudos en que

queda dividido el territorio Zhou. Gozarán por ello de una autonomía creciente frente a un poder central que deja de ser efectivo. Los combates entre los distintos feudos por el predominio territorial serán cada vez más frecuentes. En ellos los nobles, a bordo de sus pesados carros, combaten entre sí envueltos en sus pesadas armaduras de bronce. La guerra es limitada y no implica una participación importante del pueblo que, eminentemente agrícola, va levantando sus hogares cerca de las ciudades principales de cada feudo a fin de asegurarse tanto su seguridad personal como la cercanía a los mercados ciudadanos donde colocar sus excedentes agrícolas.

A partir del siglo VII a.C. va configurándose un mapa de feudos que sobresalen por su fuerza y conquistas. Son los llamados Hegemones, que dan nombre a este período de tiempo hasta el siglo V. La multiplicación de leyes e impuestos particulares con los que sufragar las guerras, la descomposición del gobierno Zhou en una multiplicidad de feudos enfrentados, hace que los pensadores de aquel tiempo critiquen la ruina del territorio y defiendan la necesidad de un gobierno centralizado que anteponga las virtudes morales ensalzadas en otro tiempo sobre la arbitrariedad de las leyes y el carácter local de las disposiciones legales. Entre ellos la posteridad destacará a Confucio (551 – 479 a.C.) cuyos seguidores, sobre todo en tiempos de la dinastía Han, le darán la importancia que en vida no pudo tener.

Hacia el V a.C. los varios siglos de combate entre feudos han dado lugar a siete grandes reinos entre los que destacan el de Chu, al sur, controlando la cuenca del Yang tze y el de Qin, en el oeste, bien pertrechado y económicamente muy fuerte por la riqueza mineral de la zona de Sichuan, que explota desde tiempo

atrás.

La guerra ha cambiado. Ya no se enfrenta la nobleza en sus carros de combate sino grandes masas de población que integran miles de unidades de infantería. El avance armamentístico es también notable, con ballestas y

armas de hierro, el nuevo metal que conquista otros ámbitos como el agrícola: el arado, el arnés de tirante, son innovaciones de este tiempo que facilitan sobremanera la labor del campo.

Hay dos aspectos de este tiempo que conviene subrayar por su importancia en la ciencia, incluidas las matemáticas. Por un lado el económico, que registra una activación sin precedentes para hacer frente a los requerimientos de este tipo de guerras. Por otro lado, la progresiva ruina de los pequeños nobles que ven sus feudos conquistados, su herencia desaparecida, para dar paso a un nuevo tiempo que culminará en un imperio centralizado y fuerte, con nuevos requerimientos administrativos y contables. Sobre ambos aspectos vamos a profundizar.

En primer lugar, las necesidades económicas de un estado de guerra casi permanente eran muy elevadas. Para hacer frente a ellas y teniendo en cuenta que los ingresos fundamentales provenían de los productos agrarios, se constata una considerable ampliación de las tierras en cultivo, desecando pantanos si es necesario o drenando tierras salinizadas. Las obras hidráulicas, que hasta el siglo IV a.C. eran una labor meramente local, alcanzan una dimensión nunca vista aumentando la posibilidad de roturar nuevos campos, hasta entonces poco fértiles, uniendo ríos, construyendo grandes presas y extendiendo la presencia del agua por doquier.

La aportación tecnológica redunda en el mismo objetivo de aumentar la producción agrícola. Todo ello va de la mano con una mayor libertad del campesinado en cuanto a considerar las tierras de su propiedad, entregando una parte de la cosecha (a veces la mitad pero habitualmente la quinta parte) a los señores. Es por ello que, a pesar de las guerras, los exterminios de pueblos o el desplazamiento masivo de sus habitantes, el número de habitantes aumenta y la producción alcanza unas altas cotas.

Al tiempo, estos campesinos sufrían también los riesgos de la leva, la integración como soldados de infantería en las tropas del gobernante. Esta ingente masa de combatientes debía desplazarse de un lado a otro del territorio, lo que condujo al establecimiento de nuevos caminos y vías de comunicación. La consecuencia de ello, no prevista probablemente, fue el aumento de las vías comerciales, con productos agrícolas y otros de lujo, como la seda o el jade, circulando dentro y fuera del territorio chino.

Durante el período de los Reinos Combatientes este hecho incrementó la presencia de comerciantes, algunos de ellos de considerables riquezas y poder. Sin embargo, el tiempo de su influencia no duraría mucho porque la necesidad de establecer un estado poderoso y centralizado, la que iba conduciendo a la ruina a los pequeños nobles, conducía inevitablemente a una limitación de la presencia y beneficios de los comerciantes libres. Así, el gobierno de estos

estados, cada vez más necesitado económicamente ante las exigencias de la guerra, iría apoderándose en régimen de monopolio de las principales fuentes de riqueza (minería, sal, explotación de bosques, entre otros) que se hurtaban así a la actuación de dichos comerciantes.

Si los mayores flujos económicos, la necesidad de establecer y recaudar las tasas impuestas sobre la producción agrícola, la realización de grandes obras hidráulicas, conducían a una necesidad creciente de cálculos por parte de los gobernantes, la creciente constitución de un estado centralizado planteaba la posibilidad de establecer una administración que llevara a cabo estas tareas, integrada por hombres especializados y conocedores de las distintas herramientas del cálculo aritmético y geométrico. Todo ello alcanzara su punto culminante con la breve aparición del primer imperio que puede denominarse como tal: el de la efímera dinastía Qin.

El imperio QinTodo lo descrito para el tiempo de los Reinos Combatientes se puede aplicar al reino Qin y a su verdadero fundador como tal, Shang Yang. Entre el 361 y el 338 a.C., período de su gobierno, reforma profundamente el funcionamiento del país.

En primer lugar cercena el poder de los antiguos y pequeños nobles, imponiendo la

obligatoriedad de repartir la herencia entre todos los hijos, lo que desemboca en la fragmentación de los ya pequeños feudos. En todo caso, su deseo de promover la agricultura, fuente esencial para el aprovisionamiento de los ejércitos y la recaudación de impuestos, le lleva a todo tipo de iniciativas roturando nuevas tierras y ampliando considerablemente los aportes hídricos por nuevas obras hidráulicas.

Las prestaciones del campesinado en trabajos forzados, salvo las levas necesarias para el combate, se sustituyen por un impuesto de capitación (por persona) pagadero en grano, lo que conduce a un imprescindible aumento de la productividad por el campesino, deseoso de obtener beneficios tras pagar dicho impuesto.

Al tiempo, Shang Yang establece una división del territorio en 41 distritos que, deshaciendo los límites de los feudos, se ve acompañada por una administración centralizada integrada por un nutrido cuerpo de funcionarios, responsables de la recaudación de impuestos y de la leva.

Todas estas profundas reformas, que preludian la aparición de un estado

unificado y centralizado, confluyen en la conquista del país conocido hacia el 221 a.C. De hecho, China toma su nombre del que entonces se otorgó a este territorio dominado ahora por la dinastía Qin o Chin.

El rey de este nuevo amplio país no quiso ser nombrado como tal estableciéndose alternativamente el de Soberano Emperador (huangdi). De esta forma pasará a la historia como Qin shi huangdi, el emperador que rigió los destinos del nuevo imperio. Su poder introdujo reformas de gran calado, muchas de ellas pervivirían dos milenios, pero al tiempo la autoridad fue ejercida de un modo despótico como nunca se había conocido ni volvería a repetirse.

Estableció una unidad de pesos y medidas, que ya se había ensayado previamente al objeto de favorecer los intercambios comerciales y la recaudación de impuestos, fijando la superficie de los campos, por ejemplo, según una norma. También unificó la caligrafía para que los

decretos y leyes así como la historia del país tuvieran una sola interpretación. Eso favorecía el trabajo de la Administración del Estado que, centralizada, extendía su presencia por todos los distritos a través de funcionarios delegados.

Fue un período de grandes obras públicas, tanto suntuarias (mausoleo del emperador), como defensivas en el caso de la Gran Muralla o la extensión de casi siete mil km. de carreteras con las que garantizar la rápida circulación de las tropas.

Alrededor del 213 a.C. se llevaron a cabo dos de las decisiones más crueles desde el punto de vista humano y cultural. Para entonces el primer ministro chino era Li Se, un conocido pensador legista. El legismo defendía la autoridad de la ley por encima de las virtudes personales de aquellos que debieran aplicarla, como a su vez sostenía el confucionismo. La ley era la proclamada por el emperador, la única autoridad a la que correspondía dictarla. Sin embargo, en el país persistían corrientes de pensamiento distintas, aquellas que hacían descansar en las virtudes morales la verdadera legitimación de la acción de gobierno, voces que se oponían al rigurosísimo código de condenas dictado por el emperador, a las deportaciones masivas de pueblos enteros opuestos a su gobierno, al gasto en un mausoleo que originaba un gran dispendio (figura 1.9), las arbitrariedades

en la búsqueda de una pócima de la eterna juventud...

Para Li Se era necesario cortar por lo sano esas corrientes de pensamiento que defendían su postura apoyados en la historia y la tradición. Así se entiende la quema de libros, algunos de ellos clásicos irreemplazables de la dinastía Zhou, la que los confucianos veían como paradigma del buen gobierno. Asimismo desaparecieron en las llamas las crónicas locales de los antiguos reinos quedando solo la del correspondiente al reino Qin.

Ante la oposición causada por esta medida el emperador mandó quemar vivos a 460 letrados que se oponían a tales disposiciones. Los confucianos, que volvieron a controlar la Administración durante el imperio Han, entre otras cosas por su tarea de recuperación de libros clásicos, muchos de ellos desaparecidos, nunca olvidarían esta crueldad tanto cultural como humana.

En todo caso, el rápido declive de la dinastía Qin no fue motivada por estos actos en concreto, sino más bien por el despotismo que desarticulaba familias, erradicaba opositores y concluía con un gobierno dictatorial sobre la población. Sin embargo, junto a la suavización de la forma de gobierno, se encuentra en la dinastía Han, la siguiente en gobernar el país, la asunción de idénticos criterios administrativos, económicos y sociales con los que preservar la idea de un imperio centralizado.

La dinastía HanEn 1983 unos arqueólogos chinos abrieron una tumba en Zhangjashán, provincia de Hubei. Correspondía a un gobernante local de uno de los distritos en que estaba dividida China durante el período de los Han. Parece que el ocupante de la tumba trabajó dentro de la administración Qin pero, tras su

hundimiento y el ascenso de un hombre de la nobleza intermedia, Liu Bang, el primero de la nueva dinastía reinante, pasó a trabajar con ella hasta su muerte, que puede datarse en el 186 a.C.

Dentro de la tumba se encontró un conjunto de 190 varillas de bambú en cierto desorden cuyas inscripciones demostraban que correspondía a una obra estrictamente matemática. Hace pocos años que estas varillas, bajo la denominación de Suan shu shu, están siendo estudiadas y su contenido comparado con obras posteriores y más conocidas.

Lo cierto es que algunos de los nobles Han se enterraban con las obras más preciadas de la literatura, la medicina o los procedimientos de cálculo de la época. Esto es debido al hecho de que el conjunto de funcionarios que trabajaron para la administración Han, unas decenas de miles de personas, provenían en general de la pequeña nobleza provinciana.

Tal como había sucedido durante el tiempo de los Reinos Combatientes, su origen no era un obstáculo para ingresar en un cuerpo tan selecto como el de letrados y funcionarios administrativos. Es cierto que el pueblo llano no podía alcanzar tales metas por falta de medios para dedicarse al estudio pero en todo caso, llegar a la administración no estaba reservado a los hijos de los grandes nobles. En un tiempo de guerra, con una necesidad imperiosa de consolidar el nuevo gobierno frente a las aspiraciones de otros reinos, con el objetivo de realizar grandes obras hidráulicas, construcciones inmensas como las carreteras o la Gran Muralla, administrar los censos más exactos posibles y las levas subsiguientes, recaudar las tasas, etc., no se podía confiar esta tarea más que a personas capacitadas técnicamente.

De este hecho, que los sucesivos gobiernos tuvieron muy en cuenta como elemento esencial del nuevo estado, se dedujo un empeño en designar a los funcionarios encargados de la Administración mediante criterios lo más objetivos posibles. En el tiempo de los Han se celebran así sistemáticamente oposiciones libres, donde el conocimiento de la literatura, el cálculo y las numerosas normativas existentes, eran los conocimientos básicos de los candidatos.

El período Han, en líneas generales, es una continuación del imperio Qin con un seguimiento de las teorías legistas pero una suavización de las relaciones con los nobles locales, fuente siempre de controversia y tirantez con el gobierno central. Este tiempo se divide habitualmente en dos partes diferenciadas: Los Han occidentales (202 a.C.-9

d.C.) y los orientales (25-220 d.C.).

El primero es el período más floreciente en China, tanto desde el punto de vista económico como político. Al buen gobierno de Han Wudi (141 – 87 a.C.) corresponde la culminación de una actividad económica especialmente importante. El empleo sistemático de los descubrimientos tecnológicos (arado, arnés, fertilizantes) se une en el campo a una labor continua de canalizaciones hidráulicas que provocan un creciente aumento de la producción agrícola (cebada, trigo, mijo y ahora también soja y arroz).

Al mismo tiempo, la política de las migraciones en masa se acelera al principio del reinado de los Han, cuando han de enfrentarse a algunos nobles con deseos de independencia. El castigo será en muchos casos el traslado de toda la población al norte de China, lugar antes despoblado y difícil de defender frente a las tribus mongolas. La presencia masiva de nuevas poblaciones incrementará la roturación de nuevas tierras, al tiempo que se favorece el aprovisionamiento de las tropas que defienden la región.

La desconfianza en los comerciantes, actitud de larga tradición en el estado chino, sigue vigente durante el tiempo de los Han occidentales. En principio era una censura hacia los lujos y boatos de una nueva clase comerciante enriquecida la que llevó a los filósofos a su repulsa. Pero a ello se unió un factor decisivo: de cara a un gobierno fuerte y centralizado, los comerciantes privados suponían un factor distorsionador, por cuanto explotaban a los campesinos y se enriquecían con los productos más valiosos (minerales, sedas, etc.). Al tiempo, la clase noble tendía a aliarse con estos comerciantes que, a cambio de seguridad en su labor, ponían a disposición de los nobles de cada zona ingentes cantidades de productos que podrían conducir a la rebelión.

De ahí que los Han occidentales, durante muchos años, optaran por limitar los beneficios comerciales privados a través de impuestos y tasas, en algunos casos disuasorias. Al tiempo, establecían el monopolio de aquellos productos más valiosos y rentables, limitando fuertemente las ganancias que podían obtener los comerciantes.

Si bien la política era clara en este sentido, la debilidad del poder central, los conflictos sucesorios y las disensiones internas en las que se buscaban apoyos entre la nobleza, propiciaron con el tiempo que los gobernadores y pequeña nobleza de los distritos, fueran creciendo en riqueza y poder. Eso se observa con claridad en el boato de sus tumbas, algunas de las cuales están siendo ahora abiertas, como aquella a que hemos hecho referencia al comienzo.

Tras un intervalo en que la dinastía Han, entre fuertes luchas internas, perdió el poder a manos de un militar, Wang Man (9-25 d.C.), los nuevos herederos, triunfantes de una auténtica guerra civil, trasladaron la capital a Luo yan, tal como habían hecho los Zhou mucho tiempo atrás, para constituir el

reino de los Han orientales.

Fue un período de decadencia del poder central, un tiempo en que los comerciantes adquirieron grandes fortunas y los nobles de cada distrito atesoraban las suyas extendiendo su influencia y poder.

Desde el punto de vista cultural, sin embargo, la dinastía Han supuso el triunfo de los confucianos, seguidores de las doctrinas de su maestro, que se encargaron de realizar las oposiciones a la Administración. De este modo, controlando su acceso, se garantizaron su influencia durante varios siglos. Uno de sus principales objetivos fue la recuperación y estudio de clásicos antiguos en todas las formas culturales, incluidas las herramientas de cálculo que permitían llevar a cabo registros, tasas, labores de ingeniería y todas las múltiples actividades que necesitaban desarrollar en aquel tiempo.

En esta época se sitúa la redacción de la obra más importante sobre matemáticas de la Antigüedad china: El Jiuzhang suanshu, o Nueve capítulos del Arte del Cálculo.

La primera versión que ha llegado a nuestras manos se remonta tan sólo al siglo XIII y presenta los cinco primeros capítulos, mostrándose la obra entera, junto a comentarios posteriores, a partir de una recopilación del siglo XVIII. Su influencia, sin embargo, es conocida desde los comentarios realizados por el eminente matemático del siglo III d.C., Liu Hui. Se ignora, por tanto, con certeza, el momento de su redacción pero, tras el descubrimiento del Suan shu shu en la tumba del noble Han antes referida, se ha podido constatar la similitud en los temas y tratamientos (también con significativas diferencias) de lo tratado en ambas obras.

Así pues, el Jiuzhang suan shu, denominado generalmente como “Nueve capítulos” (aquí lo mencionaremos como Jiuzhang, simplemente), es posible que sea un texto resumen de los conocimientos matemáticos que se tenían en aquella época. Su carácter didáctico es evidente por su misma disposición, un conjunto de 246 problemas agrupados por temas y formas de solución, muy a propósito para la formación de los futuros funcionarios del gobierno Han.

Los Diez manuales matemáticosHacia el 220 d.C. la decadencia y descomposición del gobierno centralizado de los Han es muy notable. Surgen así diversos candidatos a hacerse cargo de la

herencia de esta dinastía. El más poderoso por aglutinar todo el norte de China es Cao Cao. También es el más agresivo por cuanto marcha con sus tropas para enfrentarse con los Han de Sichuan que se habían aliado eventualmente con los Wu, una dinastía que comenzaba a controlar el Yang tze. La derrota de Cao Cao en el 221 condujo al período denominado de los Tres Reinos, viéndose obligados a convivir cada uno dentro de su autonomía durante un siglo.

Cao Cao, que da a su

reino el nombre de Wei por el río junto al cual extendía sus dominios, lleva a cabo una labor heredera de los primitivos Han, con un seguimiento de las doctrinas legistas que amparan un gobierno centralizado. Entre sus elementos fundamentales vuelve a sobresalir una selección del funcionariado que enfatiza la capacidad de los candidatos, antes que su origen. De la importancia de la Administración se sospecha por cuanto se vuelve un objeto de deseo para las familias nobles que terminan, al final del reino Wei, copando los puestos administrativos y llevando, entre otros motivos, a la ruina al gobierno del norte de China.

Ese tiempo también conoció a funcionarios que realizaron estudios sobre su labor, al objeto de enseñarlo a otros pero también de profundizar en el conocimiento de los antiguos. Éste es el caso de Liu Hui, cuyos amplios comentarios teóricos y con efectos demostrativos sobre el Jiuzhang suan shu han sido una fuente de estudio desde entonces. Parece que llevó a cabo su labor sobre el año 263 d.C. dentro del reino Wei y no se redujo a la tarea expuesta sino que desarrolló nuevos problemas que, desgajados con el tiempo, dieron

lugar a una obra de reconocida importancia: el Haidao suanjing, el “Manual matemático de una isla en el mar”, título recibido por el primero de los problemas donde propone calcular la altura de una isla distante. Son problemas cuya relación con el Zhoubi suan jing, la obra astronómica del tiempo de los Zhou, es bastante evidente por cuanto se utilizan triángulos rectángulos y semejantes de un modo análogo.

Con el tiempo, nuevas obras de grandes maestros

matemáticos, se irían añadiendo a los conocimientos clásicos de la Antigüedad china. Es el caso del Zhang Qiujian suan jing (El Clásico matemático de Zhang Qiujian), original sobre Aritmética avanzada de este autor hacia el 470 d.C., que sería adoptado posteriormente como una de las obras clásicas de las matemáticas chinas.

Antes de la emergencia creativa del siglo XIII, ya en época medieval y fuera del alcance de esta obra, se puede situar el establecimiento oficial de los Diez Manuales Matemáticos. En efecto, durante un siglo (581 – 683 d.C.) gobernarán el país una nueva dinastía, los Tang.

Coincidiendo con su período de mayor esplendor, tanto económico como sobre todo militar en su expansión hacia el oeste, en el 656 los sabios de la Administración se encargan de recopilar los conocimientos sobre el saber de la época. De ese tiempo ha sobrevivido por ejemplo el Código de los Tang, una obra que se redactó en el 624 aunque conoció distintas revisiones y es el primer código de leyes chinas que ha llegado hasta nuestro tiempo. Del mismo modo se agruparon las más importantes obras de cálculo matemático empezando por el Zhoubi y siguiendo por el Jiuzhang y ocho obras más, entre las que se cuentan como más relevantes las que se han mencionado anteriormente.

Aunque ninguna pervivió en el formato de aquel tiempo, su fama y seguimiento por administraciones posteriores permitió la redacción que nos ha llegado desde

la época medieval hasta nuestros días y que será examinada a continuación a partir de sus temas fundamentales.

Raíz cuadradaObras y contexto

Numeración

Operaciones aritméticas

Fracciones

Aplicaciones económicas

Falsa posición

Raíz cuadrada

Sistemas de ecuaciones

El círculo

Triángulos rectángulos

Una isla en el mar

VolúmenesCálculo primitivo El procedimiento básico Una raíz de tres cifrasRaíz inexactaLa ecuación cuadrática

Cálculo primitivoEn el Suan shu se encuentra un problema cuya resolución implica el cálculo de una raíz cuadrada. Consiste en calcular el lado de un campo cuadrado cuando

se conoce su superficie, que en el caso concreto de la varilla 185, es de 1 mu. Hay que recordar que 1 mu = 240 bu2

Pues bien, en el tiempo de redacción de este texto parece que el cálculo de la raíz cuadrada no era conocido, hecho que sí es constatable en la redacción del Jiuzhang, que debió escribirse en un tiempo posterior. El autor o autores del Suan shu, a falta de un procedimiento específico, aplican a la resolución de este problema el mismo método de doble falsa posición visto en el capítulo anterior. Así, se plantean dos casos hipotéticos:

Caso 1: Si el lado es 15 bu, la superficie del campo sería 152 = 225 bu2

registrándose por tanto un déficit de 15 bu2.

Caso 2: Si el lado fuera de 16 bu, 162 = 256 bu2 habiendo por tanto un exceso de 16 bu2.

Por consiguiente, puede establecerse el siguiente esquema:

15 1615 16 y así:

buL 311515

31480

161515161615

que puede comprobarse que es una buena aproximación: ( 15 15/31 )2 = 239 761/931 ≈ 240

El procedimiento básicoEl mismo tipo de problemas se plantea en la obra posterior, el Jiuzhang, es decir, calcular el lado del campo cuadrado dada su superficie. Es muy probable que la insistencia en estos problemas se deba a una actividad administrativa importante en aquellos tiempos. No era infrecuente el traslado de poblaciones hacia zonas del norte tanto para castigarlas o evitar insurrecciones como por el deseo de poblar tierras desocupadas por las que las tribus mongolas solían atacar a los distritos chinos del norte.

En ese contexto, resulta probable que la asignación a cada familia de una cantidad determinada de superficie a cultivar obligara a calcular qué

dimensiones habrían de tener esos campos en el momento de su delimitación concreta.

El Jiuzhang dedica parte del cuarto capítulo a estos problemas cuya resolución denomina expresivamente “kai fang”, o “abriendo el cuadrado”. Sin embargo, la descripción de cómo hallar la raíz cuadrada de un número dado apenas merece unas pocas instrucciones que no desvelan los fundamentos de su método. Hasta los comentarios de Liu Hui en el siglo III d.C. no se puede encontrar una explicación detallada que se apoya visualmente en razonamientos sobre figuras geométricas.

Intentemos en primer lugar desarrollar la explicación de Liu Hui sobre un ejemplo hipotético: un campo de 7396 bu2.

En primer lugar es necesario averiguar cuántas cifras tendrá el número de bu solución del problema. Teniendo en cuenta:

92 = 81 < 100992 = 9.801 < 10.0009992 = 998.001 < 1.000.000

se puede concluir que un número de cuatro cifras tendrá por raíz un número de dos cifras ab, que tendría por expresión polinómica 10 a + b.

Se considera ahora el número original dividido en dos partes sobre las que se trabaja consecutivamente:

N = 7396 = 7300 + 96

es decir, se divide el número en grupos de dos cifras empezando por la derecha.

Paso 1: Se busca un número a, cuyo cuadrado se aproxime a 73 de manera que, consiguientemente, 100 a2 esté próximo a 7300. Esto se puede hacer considerando solamente el número de centenas, 73. El número a, que más se aproximaría en su cuadrado a este número sería 8 puesto que 82 = 64, lo que implicaría que en realidad se está tomando el número a = 8 siendo su cuadrado a2 = 64 y por tanto 100 a2 = 6400

De esta manera se puede concluir del primer paso dos cosas:

Que el número buscado es mayor que 8.

Que considerando el cuadrado de 10 a = 80, aún queda por justificar una diferencia de 7396 - 6400 = 996

Ahora entra en juego la interpretación geométrica que hace Liu Hui de este procedimiento. Considerando la figura, se puede observar que al cuadrado cuya superficie es de 7396 bu2 se le ha superpuesto un cuadrado de lado 80 y superficie 6400. El resto (la diferencia: 996) se puede descomponer en dos rectángulos de 80 x b y un cuadrado extremo de superficie b2.

Paso 2: Esta forma geométrica nos recuerda que (10 a + b)2 = 100 a2 + 2 (10 a b) + b2

de donde tenemos que buscar una longitud b que complete el cuadrado de lado a de modo que cumpla 2 (10 a b) ≤ 996

despreciando por ahora el valor de b2. En este caso, siendo a = 8

160 b ≤ 996b ≤ 996/160 ≈ 6

Ahora si se considera el valor de b2 a la hora de comprobar que este número sea adecuado:

2 (10 a b) + b2 = 2 x 80 x 6 + 36 = 996

de manera que, efectivamente, es el número de unidades buscado de manera que la solución es

867396

Una raíz de tres cifrasEl caso planteado por el Jiuzhang es más complejo tanto en su cálculo como en la interpretación geométrica subsiguiente. El problema 4.12 afirma:

“Sea ahora un área de 55.225 bu. Encontrar (el lado) del cuadrado”.

En este caso, según hemos visto antes, la raíz debe ser un número de tres cifras. Dividiendo el radicando en grupos de dos cifras empezando por las unidades, se dispondrán tres grupos: 5 52 25

Como la raíz será de la forma a b c de expresión polinómica 100 a + 10 b + c

ha de acudirse al cuadrado de un trinomio para encontrar la interpretación algebraica y geométrica precisa. En efecto:

(100 a + 10 b + c)2 = (100 a)2 + 2(100a)(10b + c) + (10b + c)2

interpretable como que al cuadrado original se le superpone un cuadrado de lado (100 a) de modo que la diferencia estará compuesta por dos rectángulos de (100 a) (10 b + c) y un cuadrado menor de lado (10 b + c), tal como se muestra en la figura.

Paso 1: El valor escogido inicialmente será a = 2 de manera que (100 a) 2 = 10.000 x 4 = 40.000 y la diferencia a cubrir será: 55.225 - 40.000 = 15.225

Dentro de la interpretación del trinomio antes enunciada y despreciando inicialmente el valor del cuadrado final, debe ser:

2(100a)(10b + c) = 2 x 200 x (10 b + c) ≤ 15.225

(10 b + c) ≤ 38

Paso 2: Tomemos entonces b = 3 y comprobemos si es un valor factible incluyendo ahora el cuadrado final:

2(100a)(10b + c) + (10b + c)2 = 12.900

Considerando en total el número 230 queda sin justificar una cantidad de 15.225 - 12.900 = 2.325 bu2

Paso 3: Para hacer una hipótesis sobre el valor de c, expresaremos el trinomio de otro modo en función de lo que ya conocemos: (100 a + 10 b + c)2 = (100 a + 10b)2 + 2(100a + 10b) c + c2 de manera que habrá de resultar, dejando a un lado el último cuadrado:

2(100a + 10b) c ≤ 2.3252 x 230 x c ≤ 2.325c ≤ 2.325/460 ≈ 5

que se pasa a comprobar considerando ahora el c2: 2(100a + 10b) c + c2 = 2 x 230 x 5 + 25 = 2.325

de manera que nos da la solución

bu235225.55

Raíz inexactaDada la inexistencia de este método en el Suan shu y en la obra clásica del Jiuzhang, es necesario acudir para su comprensión tanto a los comentarios de Liu Hui, que han guiado las páginas anteriores, como al Sun Zi suan jing, o Manual matemático de Sun zi.

En él se expone el caso del número N = 234.567 detallando los pasos de su resolución con varillas de bambú. No es nuestra intención hacer aún más complejo este contenido detallando las manipulaciones necesarias y disposiciones de los números hasta en cuatro líneas que se van modificando (una para el radicando, otra para la raíz que resulta y dos para operaciones intermedias). En cambio, este número servirá para plantear, bajo el mismo

método de resolución, el caso de una raíz inexacta.

En primer lugar, dividimos el número en grupos de dos: 23 45 67

Paso 1: Buscamos un número a cuyo cuadrado se aproxime a 23. Será entonces a = 4 de manera que (100 a)2 = 160.000 y la diferencia a justificar en el siguiente paso sea: 234.567 - 160.000 = 74.567

Paso 2: Con la misma descomposición del trinomio efectuada en el ejemplo anterior, resultará que esa diferencia debe ser aproximada por 2(100a)(10b + c) + (10b + c)2 pero, dejando a un lado el cuadrado pequeño para conseguir aproximar un valor de b, habría de ser:

2(100a)(10b + c) ≤ 74.567(10 b + c) ≤ 74.567/800 ≈ 90

donde b = 9. Pero si fuera así, considerando ahora el cuadrado que antes despreciamos:

2(100a)(10b + c) + (10b + c)2 = 80.100 > 74.567

de manera que tomaremos b = 8 con lo que la diferencia sería: 2(100a)(10b + c) + (10b + c)2 = 70.400

y así, con el número 480, aún quedaría por justificar: 74.567 - 70.400 = 4.167

Paso 3: Dentro de la expresión del trinomio 2(100a + 10b) c + c2

despreciamos por ahora el valor del último cuadrado, estableciendo:

2(100a + 10b) c ≤ 4167c ≤ 4.167/960 ≈ 4

y para el valor de c = 4, sería: 2(100a + 10b) c + c2 = 3856

quedando sin justificar 4.167 - 3.856 = 311

que el Sun Zi toma para dar como solución del problema la raíz hasta ahora obtenida más una fracción obtenida tomando como numerador esta diferencia y como denominador el doble de la raíz que iba resultando, es decir:

968311484567.234

La ecuación cuadráticaEn los textos antiguos de la matemática china no aparecen muchos casos de ecuaciones cuadráticas y su tratamiento no se explicita, de manera que resulta imposible tener la seguridad de cuál fuera su forma de cálculo. Sin embargo, conociendo el caso de la raíz cuadrada es lógico que ambos problemas estuvieran relacionados, a fin de cuentas hallar la raíz cuadrada de un número es también una ecuación cuadrática donde falta el término en la incógnita y el independiente.

La interpretación geométrica de Liu Hui puede extenderse con relativa facilidad al caso de una ecuación cuadrática con todos sus términos. Tanto el problema 9.20 del Jiuzhang (que ya examinaremos más adelante) como el 3.9 del Zhang Qiujian, ambos de tipo geométrico, conducen a la formulación de una ecuación de segundo grado que, en el caso de este último, sería:

x2 + 15 x = 594

La representación geométrica de esta ecuación viene expuesta en la figura. En ella se puede apreciar que si la solución a este problema viene dada por x = 10 a + b entonces x2 vendrá representada por el cuadrado blanco de la izquierda en dicha figura, un cuadrado de lado 10 a + b que, al modo de los esquemas de la raíz cuadrada, viene dividido en dos cuadrados de superficies (10 a)2 y b2 y dos rectángulos de áreas 10 a b cada uno.

Pues bien, a ello habría que unirle el término 15 x que estaría formado por dos rectángulos de superficies:

15 (10 a + b) = 15.10 a + 15 b

todo lo cual totaliza 594, tal como se indica en la ecuación. Por tanto, el cálculo de la solución de una ecuación cuadrática como ésta habrá de desarrollarse como el de la raíz cuadrada de un número, con la salvedad de que, al estar afectado el término independiente (594) por la cantidad 15 x habrá que deducir en cada paso los dos rectángulos rallados que aparecen en la figura.

Así, 594 se divide en dos grupos: 5 94

Paso 1: Se toma a = 2 cuyo cuadrado se aproxima a 5. Entonces habrá que formar la diferencia:

594 - (10 a)2 - 15 . 10 a = 594 - 400 - 300 = - 106

que da un número negativo y, por tanto, no satisface la condición requerida. Por ello tomaremos a = 1 de manera que

594 - (10 a)2 - 15 . 10 a = 594 - 100 - 150 = 344

Paso 2: Si despreciamos por ahora b2 por simplicidad de cálculo, habremos de imponer

2 (10 a b) + 15 b ≤ 34435 b ≤ 344

b ≤ 344/35 ≈ 9

En este caso, tendríamos que restar: 2 (10 a b) + 15 b + b2 = 396

que es una cantidad que excede a 344. Por tanto, deberemos tomar otro valor inferior para b, en concreto, b = 8

La cantidad así sustraída sería: 2 (10 a b) + 15 b + b2 = 344

lo que nos confirma la solución de la ecuación cuadrática, que tiene por raíz x = 18

El círculoObras y contexto

Numeración

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Raíz cuadrada

Sistemas de ecuaciones

El círculo

Triángulos rectángulos

Una isla en el mar

VolúmenesCírculo y cuadrado Los cálculos del Suan shu Los cálculos del JiuzhangEl círculo en Liu Hui

Círculo y cuadradoMientras que los cálculos que se realizan para hallar el área de un círculo en el Jiuzhang tienen por contexto la superficie de un campo, los orígenes del interés chino por la figura circular está relacionada con la astronomía y, a través de ella, con la naturaleza divina del cielo, las estrellas y el movimiento de los objetos celestes.

La primera constancia del tratamiento que definirá el cálculo futuro del círculo se encuentra en el Zhou bi, el diálogo establecido hacia el siglo III a.C. entre un sabio y el duque de Zhou sobre estos temas. Éste último pregunta a Shang Gao, el sabio, cómo se extendían en sucesivos grados numéricos (siete círculos concéntricos correspondientes a las órbitas de los objetos celestes visibles) la circunferencia del cielo en tiempos antiguos. La respuesta es la siguiente:

“Los modelos para estos números son el círculo y el cuadrado. El círculo se transforma en cuadrado, el cuadrado se transforma en tricuadrado, y el tricuadrado se calcula (por el hecho de que) nueve nueves son ochenta y uno”.

para añadir poco después:

“El cuadrado pertenece a la Tierra, y el círculo pertenece al Cielo. El Cielo es un círculo y la Tierra es el cuadrado. Los números del cuadrado son básicos y el círculo es producido a partir del cuadrado”.

El primer párrafo trata, pues, de la cuadratura del círculo, el hecho de que luego el cuadrado obtenido puede calcularse mediante tricuadrados que remiten al cálculo de una raíz cuadrada adecuada mediante multiplicaciones (las tablas del nueve o de multiplicar, tal como se conocen ahora).

En el segundo párrafo se muestra el sentido de la relación entre el cuadrado, representando la Tierra, y el círculo, que remite al Cielo. Desde ese punto de vista, que el cuadrado produzca un círculo (la circularidad del cuadrado) corresponde a una relación entre Cielo y Tierra que puede darse de uno a otro, lo que está

de acuerdo con la religiosidad china en muchos aspectos. En efecto, la relación entre el hombre y los dioses siempre fue en ambos sentidos de manera que no sólo los segundos influían sobre los primeros sino que la actitud moral y los hechos producidos por los hombres también afectaban al Cielo.

De ahí que estos cálculos matemáticos entre las dos formas tuvieran una componente espiritual que les hacía cobrar una importancia determinada. Por ello, entre las primeras ediciones conservadas del Zhou bi, se encontraron dos figuras que representan precisamente esta relación en ambos sentidos: el cuadrado dentro del círculo (yuang fang) y el círculo dentro del cuadrado (fang yuan).

Los cálculos del Suan shuActualmente sabemos que la razón entre la circunferencia y el diámetro de una figura circular es la misma que entre su área y el cuadrado del semidiámetro (o radio), pero esta igualdad de razones era desconocida en la antigüedad. De hecho la atención se centraba en calcular el área ciertamente pero la relación entre circunferencia y diámetro, al objeto de calcular la longitud de la primera a partir del segundo, era objeto de mucha atención y diversas hipótesis, como

veremos a lo largo de este capítulo.

El primer paso y quizá el más difícil de interpretar se encuentra en un grupo de varillas correspondientes al Suan shu donde se plantean dos problemas simétricos:

“Para hacer un tronco cuadrado a partir de un tronco redondo. El mayor, 4 chi 2 14/25 cun. ¿Cómo de largo es el tronco cuadrado que se consigue? Respuesta: su cuadrado 7 3/5 cun. Método: tomar 1/5 para hacer el dividendo; hacer 1 para 7. Tomar 1 para 4”.

A continuación se propone el problema contrario de forma que con los datos que son respuesta en el anterior se pregunta, a partir del tronco cuadrado, cómo conseguir el redondo. El método de resolución del problema también es el contrario y por ello centraremos la atención en el primero de los problemas, antes enunciado.

Como los datos numéricos confirman, la cantidad “mayor” (M) dada para el círculo se somete a las siguientes operaciones para dar el resultado (R):

RM 41

75

Es difícil interpretar el sentido de las operaciones efectuadas que en ningún caso son explicadas sino que se proponen como una regla a seguir para obtener, en este caso, la cuadratura del círculo.

La primera pista es el hecho de que 7/5 = 1,4 una buena aproximación de la raíz cuadrada de 2, que resulta 1,4142... de manera que 5/7 podría corresponderse a la inversa de raíz de 2, término que está implicado en el cálculo de la diagonal del cuadrado.

Pues bien, si la cantidad M del círculo fuera la circunferencia C del mismo (tomada como longitud mayor de la figura), podría ser:

275 CM

¿Qué sentido tiene esta operación? Consideremos el cuadrado inscrito en el círculo.

Para el diámetro d el área de este cuadrado es ½ d2 , cálculo que volveremos a suponer cuando examinemos la solución dada por el Jiuzhang.

Pues bien, el lado de este cuadrado inscrito será entonces la raíz cuadrada de su

superficie, es decir, la cantidad

2d

Una posibilidad que aquí planteamos como hipótesis es que si, en nuestros términos, tomamos π = 4, sería entonces

C / d = 4

En ese caso, d = C / 4

241

241

75 dCM

Ahora bien, la relación C / d = 4 parece bastante burda y no hay constancia de ella de forma explícita en ningún otro texto de la Antigüedad. Esta falta de constancia no invalida la posibilidad porque en aquellos tiempos se realizaron varias hipótesis sobre esta relación, algunas de las cuales han llegado hasta nosotros y otras previsiblemente no.

Los cálculos del JiuzhangEsta obra, escrita en el amplio plazo del 300 a.C. y el 200 d.C. está realizada con el propósito de formar funcionarios competentes. Por ello remite los problemas a contextos específicos, en particular para el caso que nos ocupa al cálculo de superficies de campos cultivados.

Conviene examinar la secuencia de problemas planteados porque todos tienen un denominador común que luego se aplicará al campo circular. En primer lugar, no insistiremos en problemas ya examinados: los campos rectangulares tienen por área el producto de sus dos dimensiones. A partir de este hecho que se realiza con números enteros, fraccionarios y mixtos como forma de introducir este tipo de numeración, se plantean en el primer capítulo una serie de problemas particulares que se transforman todos en el cálculo de una superficie rectangular.

Así, el problema 1.25:

“Sea ahora un gui tian (campo en forma de triángulo isósceles), ancho (base) 12 bu y longitud perpendicular (altura) 21 bu. Encontrar el campo”.

El método propuesto consiste en multiplicar la mitad de la base por la longitud perpendicular, sugiriendo una descomposición del triángulo en dos partes iguales y su recolocación posterior, movimientos geométricos de marcado componente visual del gusto de los matemáticos chinos.

A continuación se plantea el problema de un trapecio rectangular (1.27):

“Sea un xie tian (campo en forma de dicho trapecio), un ancho (base menor) 30 bu, un ancho (base mayor) 42 bu y longitud perpendicular (altura) 64 bu. Encontrar el campo”.

El método para el cálculo de su superficie prescribe añadir las dos bases, dividir el resultado por dos y multiplicar por la altura del trapecio. El procedimiento en este caso parece residir en duplicar el campo invirtiendo su sentido para formar un rectángulo cuya superficie (suma de bases por la altura) habría que dividir por la mitad posteriormente.

Dentro del mismo capítulo, muy pocos ejemplos después, el Jiuzhang trata en dos problemas de los campos circulares. Uno de ellos se formula así (1.32):

“Sea un yuan tian (campo circular), circunferencia 181 bu y diámetro 60 1/3 bi. Encontrar el campo”.

En primer lugar, lo que puede sorprender es que haya datos de más. Basta conocer la circunferencia o el diámetro para realizar el cálculo pedido. Sin embargo, es lógico que se ofrezcan los dos datos en el enunciado porque la forma de resolución pasa por multiplicar ambos, de manera que la sobreabundancia se debe a una noción de eficacia (es necesario dar todos los datos para la resolución inmediata) y no como algunos estudios han supuesto a la ignorancia de la relación entre circunferencia y diámetro.

El redactor del Jiuzhang ofrece uno prioritario pero luego aporta hasta tres métodos más que enriquecen su aportación. En efecto, si A es el área, d el diámetro y C la circunferencia del campo circular, el primer método propone multiplicar la semicircunferencia con el semidiámetro:

AdC

22

El segundo método es simplemente una forma de presentar este cálculo de forma más resumida: Multiplicar la circunferencia y el diámetro y dividir por cuatro.

Es indudable que, dentro de la relación de problemas presentados, el objetivo es transformar el área circular en uno rectangular, al igual que se hacía en los campos anteriores. Ahora bien, el porqué se toma esta relación que es correcta desde el punto de vista actual, llevó varios siglos después al comentarista matemático Liu Hui a una propuesta realmente interesante que estudiaremos más adelante.

Sin embargo, no hemos terminado con los métodos del Jiuzhang. El tercero de los que propone consiste en “multiplicar el diámetro por sí mismo, entonces por 3 y dividir por 4” mientras que el cuarto dice: “Multiplicar la circunferencia por sí misma y dividir por 12”. En nuestro simbolismo:

Tercer método: 3 d2 / 4 = ACuarto método: C2 / 12 = A

Si comparamos el segundo y tercer métodos para el cálculo del área:

43

4

2ddC

se vuelve evidente que el autor está considerando una aproximación relativamente frecuente en la Antigüedad dentro de todas las culturas:

C = 3 d

π = C / d = 3

que se reafirma en el paso del tercer al cuarto método. Esto es percibido por Liu Hui en el siglo III d.C. y, tratando de justificar el primer método que ve correcto se da cuenta, no obstante, que el cálculo de la circunferencia a partir del diámetro se apoya en la exactitud de la medida de la razón C/d, no contentándose con la aproximación del valor 3 dada por el Jiuzhang.

El área del círculo en Liu HuiEn su comentario a los problemas anteriores, este autor deja constancia de lo comentado anteriormente: el intento de transformar el área del círculo en un rectángulo:

“La mitad de la circunferencia hace la longitud y la mitad del diámetro hace el ancho; consecuentemente el ancho y la longitud serán multiplicados, así se llega a los bu (medida de superficie) a partir del producto”.

Observa también la relación 1:3 que sostiene el Jiuzhang entre el diámetro y la circunferencia y la conserva en su forma inicial de cálculo pero sustituyendo la circunferencia por el perímetro de un hexágono inscrito.

“Supongamos que el diámetro del círculo es de 2 chi; los valores de un lado del hexágono inscrito en el círculo y la mitad del diámetro del círculo son iguales. Correspondiendo a un lü de diámetro 1, el lü de la circunferencia del polígono es 3”.

En otras palabras, si se toma como diámetro 1 chi, el radio, coincidente con el lado del hexágono, será de ½ chi o 5 cun (recordemos que 1 chi = 10 cun), en cuyo caso el perímetro del polígono será de 6 x ½ chi = 3 chi.

A partir de esta construcción que respeta la relación 1:3 dada por el texto que comenta, Liu Hui introduce un procedimiento iterativo por el cual, a partir de un polígono de n lados, construye otro de 2n lados inscrito en el círculo. De este modo, el hexágono da paso a un dodecágono cuya área será una mejor aproximación al área del círculo.

Consideremos entonces uno de los segmentos circulares en el que se inscribe el lado del hexágono y que permite construir sobre él los dos lados correspondientes del dodecágono.

Sin duda, Liu Hui conocía las relaciones pitagóricas pero no son necesarias para determinar el área de cada triángulo que aparece cuando se amplía el área del hexágono a la del dodecágono. Le basta ver, en el dibujo, que dichos triángulos, divididos en su mitad por el radio del círculo, pueden recomponerse en forma de

un rectángulo cuya área es fácilmente calculable a partir del lado L6 del hexágono:

“Entonces, dependiendo del dibujo, si se multiplica la mitad del diámetro para el segmento (circular) por la mitad del lado del hexágono, esto hace dos piezas de ello y, multiplicando esto por seis, se obtiene el área del dodecágono”.

En efecto, éste último área será igual a:

2612 3006

210

2206

22cun

LdA

para el caso planteado de un diámetro de 2 chi (20 cun) y un lado del hexágono de 1 chi (10 cun).

Sin embargo, para continuar con el proceso de cálculo sucesivo resulta imprescindible averiguar la longitud del lado del dodecágono y ello exige, ahora sí, la aplicación de las relaciones pitagóricas de manera sistemática. Sea PQ el lado del hexágono.

OM2 = OQ2 - ( ½ PQ )2

MR = OR - OM RQ2 = MR2 + ( ½ PQ )2

Observemos que este procedimiento puede repetirse del mismo modo si PQ representa el lado de un polígono de n lados y RQ el subsiguiente lado del polígono de 2n lados. En el caso del hexágono, este cálculo nos indica que

L6 = 5,176381

Pues bien, el procedimiento es recursivo, de manera que la disposición

geométrica de la figura 9.6 puede aplicarse al lado del dodecágono para obtener dos lados de un polígono de 24 lados que constituiría una mejor aproximación al área del círculo.

“Si, una vez hecho esto, se corta (dividiendo un lado en dos del polígono siguiente), entonces multiplica la mitad del diámetro para un segmento por el lado del dodecágono y multiplica esto por 6, entonces se obtiene el área del polígono de 24 lados”.

A6 = 300A12 = 310,5829

El procedimiento se sigue repitiendo, tal como indica el comentarista: “Se corta y vuelve a cortar hasta que se obtiene algo que no se puede cortar”, lo que es ambiguo por cuanto no está claro si preconiza que el procedimiento es finito (cuando no lo es, en rigor) o bien que se puede entender como finito para la exactitud que se pretende, en su caso con un número limitado de decimales o fracciones suficientemente pequeñas.

En todo caso, prosigue con el polígono de 24 y 48 lados para alcanzar finalmente los de 96 y 192 lados que le proporcionan las siguientes áreas:

A96 = 313,9344 = 313 584/625A192 = 314,1024 = 314 64/625

A partir de este punto supone que la diferencia entre estas dos áreas de polígonos es mayor que la que queda entre el polígono de 192 lados y el propio área A del círculo. Es decir:

0 < A – A192 < A192 – A96

Teniendo en cuenta que lo que interesa es delimitar el área A del círculo, se puede expresar esta desigualdad del siguiente modo:

A192 < A < 2 A192 - A96

En términos numéricos: 314 64/625 < A < 314 169/625

Por tanto, el área del círculo se obtendría sumándole a 314 una fracción menor que

169/625 - 64/625 = 105/625

Liu Hui escoge como fracción a añadir la de 36/625, no se sabe la razón salvo por el hecho de que la misma facilita la reducción de la fracción resultante a

términos más manejables numéricamente.

A = A192 + 36/625 = 314 100/625 = 314 4/25

A partir de este valor, Liu Hui vuelve a la relación inicial entre área y circunferencia del círculo, que pretendía explicar y precisar en su valor numérico. Si

A = ½ C x ½ d = ¼ C dC = 4 A / d

siendo d = 20 cun, entonces C = A / 5 = (314 4/25)/5 = 7854 / 125

Por tanto, la razón entre circunferencia C y diámetro d que se suponía igual a 3 en el Jiuzhang, sería más exacta con el cálculo de Liu Hui

1416,312501773

25007854

201257854

dC

Zu Chongzhi fue un matemático preocupado por alcanzar aún mayor exactitud en la relación entre circunferencia y diámetro que la que había obtenido Liu Hui. Escribió una obra en el 479 titulada Su Shu (Método de interpolación) que no ha llegado hasta nosotros. Tan sólo se ha conservado una referencia a sus aportaciones en una historia oficial de la dinastía Sui, que dice lo siguiente:

“Hacia el final del período Song (420 – 479), Zu Chongzhi, un historiador del distrito Nanxu, encontró una mejor aproximación. Tomó 100.000.000 unidades de 1 zhang sobre el diámetro del círculo (de longitud 2 zhang) y encontró un valor superior de 3 zhang 1 chi 4 cun 1 fen 5 li 9 hao 2 miao 7 hu y un valor de 3 zhang 1 chi 4 cun 1 fen 5 li 9 hao 2 miao 6 hu para la circunferencia diciendo que el valor cierto debe estar entre los límites inferior y superior. Su razón “más cerrada” fue 355 para 113 y la razón “aproximada” era 22 a 7”.

Aparecen aquí unos datos de interés. Lo que parece ser que realiza Zu Chongzhi es el mismo procedimiento de Liu Hui pero llevándolo a una precisión mayor. Su antecesor había truncado el cálculo intermedio de los lados de cada polígono (OM, MR y finalmente RQ) debido a sus propias limitaciones y al hecho de que, al tomar como diámetro 2 chi, las fracciones resultantes se hacían ya difíciles de imaginar.

Este nuevo autor en cambio, realiza varias mejoras. Por una parte toma un diámetro considerablemente mayor de manera que los cálculos intermedios efectuados se expresan mediante una parte entera grande y la parte decimal (o fraccionaria para ellos) alcanza una mayor precisión puesto que no es necesario

truncarla como lo hacía Liu Hui.

Esta mayor definición en origen conduce además a que es posible alcanzar el cálculo de un polígono de 24.576 lados nada menos y con ello una precisión que, en términos actuales, sería de siete cifras decimales:

3,1415926 < C/d < 3,1415927

Lo que resulta difícilmente interpretable es cómo llega desde una aproximación como

22 / 7 = 3 1/7 = 3,1428571

bastante amplia, a una más exacta: 355 / 113 = 3 16/113 = 3,1415929 que es la que propone para uso habitual.

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VolúmenesEl método matricialTres ecuaciones Números negativosMétodo de Liu Hui

El método matricialEl octavo capítulo del Jiuzhang está dedicado al “fang Cheng” o “método de las tablas”. Sirve para encontrar la solución a ecuaciones simultáneas en varias incógnitas. Su parecido con los procedimientos matriciales actuales, en concreto el de Cramer, es evidente, lo que hace más importante formularse una pregunta muy difícil de responder: ¿cómo construyeron este método? ¿cuál fue su proceso de elaboración?

Mientras en las culturas mesopotámica y egipcia los procedimientos matemáticos eran más primitivos por lo general y además se dispone de una abundante información arqueológica, en el caso de las matemáticas chinas no es así. Sus métodos son más elaborados y sofisticados matemáticamente que los de aquellas culturas. Se desconocen además, por falta de datos, las bases económicas, cotidianas, a partir de las cuales surge la necesidad de resolver unos determinados problemas, y también los fundamentos más primitivos, intentos primerizos, de resolverlos.

Lo que ha llegado hasta el día de hoy son una serie de textos escritos sobre bambú o, más tarde, en papel, destinados a resumir los conocimientos matemáticos en resolución de problemas para su aplicación en la Administración china. La propia naturaleza y justificación de las matemáticas

en aquella época excluye los razonamientos conceptuales, las construcciones teóricas o todo tipo de explicación de por qué nacen los procedimientos de la forma en que lo hacen.

Como en los recientes vademécum de los ingenieros, se ofrece un método para resolver el tipo de problemas a los que tiene que enfrentarse el funcionario chino. En muchos casos, la construcción teórica es olvidada y así se asiste a la presencia de numerosas reglas de resolución de problemas con pequeñas variaciones entre sí y que hoy distinguimos como formas de un método más general.

No prestando atención, pues, a los aspectos teóricos más generales que permitiesen construir el conocimiento matemático de forma más abstracta; teniendo por objetivo la resolución de problemas inmediatos dentro de un contexto de formación de funcionarios, queda en la incógnita en la mayoría de los casos el cómo se construyeron esos procedimientos, a partir de qué elementos, qué cadena de razonamientos les permitieron alcanzar esa forma con que se presentaban a los estudiantes.

La relación entre el Suan shu, por ejemplo, y el Jiuzhang, es evidente. Tratan de la misma temática, incluso en la mayoría de los casos coinciden en los tipos de problemas tratados y sus métodos de resolución. Sin embargo, parecen estar separados por más de un siglo de distancia. Resumen el saber aritmético de su época, recogen métodos tradicionales cuyo origen queda así perdido y agrupan tipos de problemas con sus soluciones.

Los comentaristas como Liu Hui trabajan ya sobre materiales que datan de varios siglos antes, tratan de mejorarlos, explicarlos de algún modo, incluso puede decirse que encontrar una demostración aunque se apoye más en lo visual y no en el razonamiento deductivo. De su trabajo se desprenden hipótesis como el posible origen geométrico de la resolución de la raíz cuadrada o la ecuación cuadrática que acabamos de ver. Pero su objetivo fundamental vuelve a ser el presentar una colección de problemas con sus métodos de resolución, no tanto construir un edificio explicativo de las matemáticas de la época.

Esta sensación de que el origen de los procedimientos está perdido se agudiza con procedimientos como el que aquí tratamos. El método de las tablas trabaja de forma matricial y a un nivel abstracto con los coeficientes de las ecuaciones que conforman el problema. No cabe duda de que el Jiuzhang recoge sobre este tema una larga tradición que se apoya en lo visual, como mucho de la matemática china, disponiendo las varillas numéricas de forma ordenada en el suelo. Tratemos un primer problema para observar cómo funciona. Se trata del 8.13:

“Cinco recipientes grandes y uno pequeño tienen una capacidad total de 3 shi.

Un recipiente grande y cinco pequeños tienen una capacidad de 2 shi. Hallar la capacidad de un recipiente grande y de uno pequeño”.

En términos actuales, si x es la capacidad del grande e y la del pequeño, se plantean las dos siguientes relaciones en forma de ecuación:

5 x + y = 3x + 5 y = 2

El método de las tablas empieza por disponer en una columna los coeficientes de la primera ecuación y en otra columna a su izquierda los de la segunda ecuación:

1 55 1

2 3

El procedimiento entonces se basa en multiplicar los números de una columna por un número, al objeto de que alguno de los coeficientes se iguale a los de otra columna y, posteriormente, poder restarlos buscando hacer cero alguno de los coeficientes finales. Así, si multiplicamos la columna de la izquierda por 5, el coeficiente superior de la columna de la derecha, tendremos:

5 525 110 3

A continuación, como segundo paso, se restan de los coeficientes de la columna de la izquierda los respectivos de la derecha:

0 524 17 3

Con esto sería suficiente para tener el resultado porque se habría dado paso con la primera columna a la ecuación:

24 y = 7

que da la solución: y = 7/24 shi = 2 11/12 dou

y sustituyendo ese valor en la primera ecuación: x + 5 . 7/24 = 2

x = 2 - 35/24 = 13/24 shi = 5 5/12 dou

Sin embargo, el método de las tablas podría continuar multiplicando en la última tabla la columna derecha por 24:

0 12024 247 72

para restarle a continuación los coeficientes respectivos de la columna izquierda:

0 12024 07 65

que permitiera llegar a la solución de la x directamente:

120 x = 65x = 65/120 = 13/24 shi = 5 5/12 dou

Del modo en que se presenta este procedimiento sólo se pueden hacer hipótesis creíbles. Indudablemente, el apoyo visual era importante. En este sentido, la habitual disposición en cuadrícula de los números según el orden de sus

unidades sería un elemento a tener en cuenta.

A partir de ello, se podrían haber dado cuenta de que la solución de cualquier ecuación se alcanzaría a través de la manipulación de los coeficientes: 3 x = 24

3 241 24/31 8

Del mismo modo, una ecuación con dos incógnitas expresa la misma relación si los coeficientes se transforman en otros proporcionales:

3 x + 4 y = 116 x + 8 y = 22

3 64 → 811 22

y el último paso consistiría en averiguar que, dadas dos ecuaciones simultáneas, se puede restar una de otra de manera que si a dos cosas iguales se le restan cantidades iguales el resultado sigue siendo una igualdad:

3 x + 4 y = 11x + 2 y = 5

da lugar a: 2 x + 2 y = 6

1 3 22 4 → 25 11 6

Estos pasos lógicos pueden o no coincidir con el proceso de construcción del método pero, desde una óptica actual, parecen los elementos necesarios para conformarlo, aunque ello suponga hacer la hipótesis de que los procedimientos de tratamiento de ecuaciones de Al Kuwaritzmi en el siglo VIII d.C. ya eran practicados asiduamente por los calculistas chinos casi un milenio antes.

Tres ecuacionesEntre los dieciocho problemas de este tipo propuestos por el Jiuzhang la mayoría son de dos o tres ecuaciones simultáneas aunque hay incluso de cinco ecuaciones. Vamos a considerar el problema 8.1 que corresponde a un sistema de tres ecuaciones con otras tantas incógnitas por cuanto en él se explica el método seguido que, dadas ciertas ambigüedades del texto, se ha completado teniendo en cuenta las explicaciones posteriores de Liu Hui.

“Sean ahora 3 recipientes de cereal de clase alta, 2 recipientes de cereal de clase media y 1 recipiente de cereal de clase baja, que producen 39 dou (de grano) por shi; 2 recipientes de cereal de clase alta, 3 recipientes de cereal de clase media y 1 de cereal de clase baja, que producen 34 dou por shi; 1 recipiente de cereal de clase alta, 2 de cereal de clase media y 3 de cereal de clase baja, que producen 26 dou por shi. Encontrar la medida (de granos) en cada recipiente de cereales de clase alta, media y baja”.

Actualmente se plantearía el sistema:

3 x + 2 y + z = 392 x + 3 y + z = 34x + 2 y + 3 z = 26

Veamos el método de resolución tal como es descrito en el Jiuzhang, paso por paso.

“Poner encima 3 recipientes de cereal de clase alta, 2 recipientes de cereal de clase media y 1 recipiente de cereal de clase baja y 39 dou por shi en la columna de la derecha. Colocar las columnas en el centro y en la izquierda de la misma forma”.

1 2 32 3 23 1 126 34 39

“Tomar el cereal de clase alta de la columna de la derecha para multiplicarlo por todos los números de la columna central y entonces usar las sustracciones directas”.

Ello quiere decir que se toma el número de grano de clase alta en la primera ecuación (el 3) y se multiplica por todos los números de la columna central:

1 6 32 9 2

3 3 126 102 39

para inmediatamente restar de la columna central los respectivos números de la columna de la derecha:

1 3 32 7 23 2 126 63 39

El procedimiento de resta se puede hacer tantas veces como sea necesario, como explica Liu Hui, y en este caso, a la columna central se le vuelve a restar la columna derecha para obtener un primero coeficiente cero:

1 0 32 5 23 1 126 24 39

“A continuación multiplicar en la siguiente columna (es decir, la izquierda por el número de cereal de clase alta en la de la derecha, o sea, el 3) y entonces usar las sustracciones directas”.

De forma que se multiplican los números de la columna izquierda por 3:

3 0 36 5 29 1 178 24 39

para restar seguidamente a la columna izquierda así obtenida los números respectivos de la derecha:

0 0 34 5 28 1 139 24 39

“A continuación multiplicar toda la columna izquierda por el número representando el cereal de clase media en la columna central, y usar las sustracciones directas”.

Así pues, se multiplica la columna de la izquierda por 5:

0 0 320 5 240 1 1195 24 39

para restarle los números correspondientes de la columna central:

0 0 315 5 239 1 1171 24 39

y esa resta puede repetirse tres veces más de idéntico modo para obtenerse:

0 0 30 5 236 1 199 24 39

concluyéndose el procedimiento del siguiente modo:

“La columna de la izquierda tiene un número restante (representando) del cereal de clase baja. El divisor está entonces arriba y el dividendo abajo”.

En efecto, al haber hecho dos coeficientes cero en la columna izquierda tenemos la ecuación:

36 z = 99z = 99/36 = 2 27/36 dou = 2 ¾ dou

lo que permite obtener las incógnitas restantes:

5 y + 99/36 = 24y = 153/36 = 4 ¼ dou

3 x + 405/36 = 39x = 324/36 = 9 ¼ dou

Números negativosEl método de fang cheng incluye, como hemos visto, una o más sustracciones entre columnas con el objetivo de transformar en ceros algunos de los coeficientes. Ello implica en algunas ocasiones la aparición de números negativos, cosa que los calculistas chinos tuvieron en cuenta sin mayores obstáculos, quizá por la naturaleza abstracta del procedimiento.

A partir de esa admisión y al objeto de realizar posteriores operaciones entre columnas, resultaba necesario operar números negativos (fu) y números positivos (zheng) entre sí lo que les conduce a formular el llamado “método zheng fu”:

“Cuando los nombres sean los mismos sustraer mutuamente, cuando los nombres sean diferentes añadir mutuamente. Positivo a partir de nada se vuelve negativo [ - (+ 3) = - 3 ], negativo a partir de nada se vuelve positivo [ - (- 3) = + 3 ]. Cuando los nombres sea diferentes sustraer mutuamente, cuando los nombres sean los mismos añadir mutuamente. Positivo y nada se vuelve positivo, negativo y nada se vuelve negativo”.

Este tratamiento de signos (nombres) puede comprobarse en el problema 8.3 del Jiuzhang:

“Sean ahora 2 recipientes de cereal de clase alta, 3 recipientes de cereal de clase media y 4 de cereal de clase baja, y todos ellos producen menos de 1 dou (de grano) por shi. Si añadimos un recipiente de cereal medio a los de clase alta o si añadimos 1 recipiente de clase baja a los de clase media, o si añadimos 1 recipiente de clase alta a los de baja, entonces cada grupo produce 1 dou por shi. Encontrar la medida de granos en cada recipiente de cereales de clases alta, media y baja”.

El planteamiento nos lleva al sistema de ecuaciones:

2 x + y = 13 y + z = 1x + + 4 z = 1

que, en forma de tabla, resulta:

1 0 20 3 14 1 01 1 1

Multiplicamos la columna izquierda por 2 y le restamos la columna de la

derecha:

0 0 2-1 3 18 1 01 1 1

Continuamos multiplicando la nueva columna izquierda por 3 y, para que se anule el coeficiente negativo, habrá que sumarle la correspondiente columna central:

0 0 20 3 125 1 04 1 1

que permite, considerando la columna de la izquierda, tener la primera incógnita correspondiente al grano de baja calidad:

25 z = 4 douz = 4/25 dou

y consiguientemente, las restantes incógnitas sustituyendo en las demás ecuaciones:

3 y + 4/25 = 13 y = 21/25

y = 7/25 dou

2 x + 7/25 = 12 x = 18/25

x = 9/25 dou

Método de Liu HuiEn sus comentarios posteriores Liu Hui no sólo explicó la naturaleza de este procedimiento sino que propuso modificarlo para hacerlo más eficiente. Habitualmente, el método de fang cheng consistía, tras la construcción de la tabla inicial, en la multiplicación de una de las columnas por un número de la otra al objeto de que luego, mediante restas sucesivas de la segunda, se

consiguiera anular uno de los coeficientes de la primera.

Liu Hui propone que, puesto que se trata de anular dicho coeficiente a base de igualar lo sustraído a lo obtenido en la columna correspondiente, resultaba más eficaz trabajar con las dos columnas a la vez multiplicando cada una por un número dado de la otra de modo que, finalmente, quedasen los dos coeficientes iguales en cada columna y se pudiera proceder directamente a una sola resta.

Por ejemplo, supongamos la siguiente tabla que resulta en el problema 8.7 del Jiuzhang:

2 55 28 10

Deseamos que alguno de los coeficientes superiores se convierta en cero. Para ello, el primer paso consiste en igualarlos en ambas columnas, hecho que se garantiza si se multiplica la columna de la derecha por 2 y la de la izquierda por 5:

10 1025 440 20

Ahora ya es posible hacer la resta directamente y sólo una:

0 1021 420 20

Se repite el procedimiento multiplicando la de la izquierda por 4 y la columna derecha por 21:

0 21084 8480 420

procediéndose a restar ambas:

0 21084 080 340

que permite encontrar las soluciones directamente:

84 y = 80 210 x = 340y = 20/21 x = 34/21

Triángulos rectángulosObras y contexto

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Raíz cuadrada

Sistemas de ecuaciones

El círculo

Triángulos rectángulos

Una isla en el mar

VolúmenesEl teorema del gou guResolución de triángulos

rectángulos

Círculo inscrito en el triángulo

El teorema del gou guComo vimos en el capítulo anterior, el Zhou bi afirmaba la estrecha relación entre Cielo y Tierra, entre el círculo y el cuadrado, con estas palabras:

“El cuadrado pertenece a la Tierra, y el círculo pertenece al Cielo. El Cielo es un círculo y la Tierra es el cuadrado. Los números del cuadrado son básicos y el círculo es producido a partir del cuadrado”.

Esta afirmación, en términos matemáticos, se traducía en el Jiuzhang como una relación 3 a 4 entre ambas áreas:

CuadradoCirculo Add

A43

43

43 2

2

En otras palabras: A partir del área del cuadrado se puede deducir la del círculo y viceversa, dado que la relación entre ambos es ACirculo / ACuadrado = 3 / 4

De esta estrecha relación matemática y espiritual entre los números 3 y 4 surge la relación pitagórica más elemental:

3 2 + 4 2 = 5 2

que deja de ser estrictamente numérica entre los chinos, particularmente en el taoísmo, para transformarse en sagrada, de manera que si el 3 y 4 producen en un triángulo rectángulo el 5, éste viene a representar el producto de la unión entre el Cielo y la Tierra.

Es por ello que el Zhou bi continúa en su diálogo con cuatro afirmaciones sobre esta relación entre los tres números pitagóricos que ha planteado la cuestión de hasta qué punto constituyen una demostración del llamado teorema de Pitágoras. En China habría que denominarlo teorema del “gou gu” por cuanto gou describe la base del triángulo rectángulo y gu la altura en sus textos. Las afirmaciones, numeradas, son las siguientes:

1. “Así, convertir (los números 3 y 4) en ju (cuadrados) para: el ancho de la base (gou) es 3; la longitud de la altura (gu) es 4; la esquina es una línea oblicua de 5 de longitud”.

2. “Hacer un cuadrado sobre ello, cortar la mitad de otra clase de ju

(rectángulo) a partir del otro lado”.

3. “Mover esto (la mitad del rectángulo) alrededor del cuadrado. Entonces (tenemos) la base 3, la altura 4 y (la hipotenusa) 5”.

4. Las longitudes (áreas) de los dos ju (rectángulos) son 25. Esto es llamado (el método de) ji ju (apilamiento de cuadrados)”.

Es conocido que la forma de demostración china de aquellos tiempos difiere ampliamente de la hipotético-deductiva de los griegos, que adquirió el carácter de primordial en el mundo occidental. En efecto, las demostraciones en China son de naturaleza visual y basadas muchas veces en la disección geométrica de las figuras y su posterior movimiento a otras posiciones. Tal será la que veamos posteriormente como aportación de Liu Hui así como la de Zhao Shuang.

Éste último ejerce, como comentarista del Zhou bi, un papel similar al efectuado por Liu Hui para el Jiuzhang. Ambos vivieron en el siglo III d.C. dentro del período de los Tres Reinos, aunque trabajando en reinos diferentes.

Para Zhao la formulación dada en el Zhou bi es sin duda una demostración que él posteriormente tratará de formular de otro modo. Para explicar el por qué sostiene tal cosa, incluye una serie de diagramas que ha quedado como emblemática del teorema del gou gu.

Lo que el diálogo del Zhou bi viene a indicar para Zhao es una secuencia de

acciones que muestran la igualdad entre los cuadrados construidos sobre la base y la altura respecto al construido sobre la hipotenusa. De sus comentarios se deduce la siguiente relación de acciones correspondientes a cada uno de los puntos del diálogo.

2. “Hacer un cuadrado sobre ello, cortar la mitad de otra clase de ju (rectángulo) a partir del otro lado”.

Se trata entonces de construir un cuadrado que tenga por lado la suma de la base 3 y la altura 4 de forma que aparezca dividido en dos cuadrados (de lados 3 y 4, respectivamente) y dos rectángulos iguales (de ancho 3 y largo 4). A continuación uno de esos rectángulos se divide en dos partes iguales.

3. “Mover esto (la mitad del rectángulo) alrededor del cuadrado. Entonces (tenemos) la base 3, la altura 4 y (la hipotenusa) 5”.

Parece que se realiza un movimiento rígido del triángulo que ha surgido de la división anterior colocándolo en las cuatro esquinas del cuadrado original, de manera que con ello surja un nuevo cuadrado interior: el construido sobre la hipotenusa (figura 10.3).

Si se compara las figuras mostradas se puede comprobar que si al cuadrado grande se le quitan los cuatro triángulos rayados de catetos 3 y 4 se obtiene los dos cuadrados sobre la base y la altura o el levantado sobre la hipotenusa. Es en este sentido como entiende Zhao Shuang que lo dicho en el texto constituye una demostración.

Sin embargo, no se contenta con esta interpretación del diálogo en el Zhou bi sino que construye otro “xian tu” o diagrama de la hipotenusa (xian) a través de la siguiente exposición:

“El diagrama de la hipotenusa puede también ser (dibujado como sigue): multiplicar la base (gou) por la altura (gu) para hacer las áreas de dos triángulos rectángulos rojos; doblarlas para hacer las áreas de cuatro triángulos rectángulos rojos. Multiplicar la diferencia entre la base y la altura por sí misma para hacer el cuadrado central amarillo. Añadir el cuadrado central amarillo (a los cuatro triángulos rojos) también produce el área del cuadrado sobre la hipotenusa”.

Esta disposición no es visualmente tan evidente por cuanto, a pesar de tener una apariencia similar, remite a una descomposición distinta que incluye el pequeño cuadrado central.

Desde el lenguaje algebraico actual y considerando a, b los catetos y c la hipotenusa, las acciones efectuadas en la propuesta de Zhao consisten en:

Considerar cuatro rectángulos rojos de dimensiones a y b y sus mitades que totalizan un área de 2 a b.

Construir el cuadrado central de área (a – b)2.

Sumar ambas cantidades (a – b)2 + 2 a b.

Como sabemos (a – b)2 + 2 a b = a2 + b2 - 2 a b + 2 a b = a2 + b2 = c2

La intención de Zhao, además de proporcionar una “demostración visual” parece ser la de proporcionar los métodos adecuados para resolver todo tipo de problemas relacionados con triángulos rectángulos, dependiendo de los datos proporcionados. Este objetivo, que se hace evidente en el capítulo nueve del Jiuzhang, encuentra varias manifestaciones en los comentarios de Zhao que lo confirman.

Así, por ejemplo, plantea calcular la base a del triángulo rectángulo a partir del cuadrado de la hipotenusa c. Para conseguirlo se considera dicho cuadrado del que se resta el tricuadrado que tiene por anchura la diferencia entre la hipotenusa y la base (c – a) de forma que, en la superficie resultante, se halla la raíz cuadrada para obtener la base a.

Dado que el área del tricuadrado es:

ATricuadrado = c (c – a) + a (c – a) = c2 - a2

si realizamos las operaciones prescritas por Zhao, el resultado será el buscado. Lo expuesto se constituye en una apoyatura visual para el cálculo necesario en la resolución de un problema rectángulo donde se proporcionen como datos la hipotenusa y su diferencia respecto de la base, un caso que veremos al examinar a continuación los problemas del Jiuzhang.

Sin embargo, no podemos abandonar las demostraciones que la China antigua proporcionó de este teorema del gou gu sin mencionar la aportación de Liu Hui, que va más allá en el llamado “apilamiento de cuadrados” y la división y

recomposición de las figuras de lo que probablemente alcanzó Zhao Shuang.

En efecto, la matemática china tenía entre sus métodos preferidos de demostración el de la disección y reagrupamiento de partes de una figura. Se basa este método en el hecho de que una figura conserva su superficie (o volumen en el caso de un sólido) si se divide en partes, éstas se someten a un movimiento rígido que no las deforme, y luego son reagrupadas bajo otra disposición. Pues bien, Liu Hui se apoya en este principio para proponer una “resta y suma mutuas” entre los cuadrados que surgen al tratar ternas pitagóricas, en los siguientes términos:

“Sea rojo el cuadrado sobre el gou y azul el cuadrado sobre el gu. Utilizar la resta y suma mutuas de cosas semejantes para que cuadre con los restos, de manera que no haya cambio en el cuadrado sobre la hipotenusa”.

Aparte de las discusiones que mantienen los traductores de los textos originales sobre el sentido de determinadas palabras y frases, parece que esta afirmación propone partir de los cuadrados construidos sobre la base y altura para, mediante la disección de parte de los mismos, reagrupar dichas partes formando el cuadrado sobre la hipotenusa.

Se ignora si esta propuesta estaba acompañada en origen por algún gráfico pero al efecto se han hecho varias hipótesis, dos de las cuales expondremos a continuación.

Consideremos el triángulo rectángulo HSL. Se construyen cuadrados sobre su base y su altura. Este último se desplaza hasta la posición PTCH.

A continuación restamos del área de ambos cuadrados el triángulo LDR para situarlo en la posición HSL. De igual modo, el triángulo RCT lo quitamos de los dos cuadrados para colocarlo en la posición HPT.

De este modo, la suma de los dos cuadrados originales se ha transformado en el cuadrado LRTH que coincide con el construido sobre la hipotenusa LH del triángulo original.

Una disposición no tan evidente se puede observar en la figura adjunta. En ella se considera el triángulo rectángulo GBC y el cuadrado ABCD construido sobre

la hipotenusa.

Si a distintas partes de dicho cuadrado las vamos restando del mismo y añadiendo en los lugares que se señalan en la figura se obtienen finalmente los cuadrados construidos sobre la base y la altura, conforme al principio enunciado por Liu Hui.

Resolución de triángulos rectángulosEl noveno capítulo del Jiuzhang se dedica, a través de 24 problemas, a la resolución de triángulos rectángulos. Conocida la relación entre el gou (base), el gu (altura) y el xian (hipotenusa) se trata de practicar inicialmente la misma para luego plantearse su aplicabilidad a algunas situaciones cotidianas que permitan trabajar con otras relaciones similares.

Por ejemplo, el problema 9.7 propone lo siguiente:

“De lo alto de un árbol cuelga una soga con 3 chi de la misma extendidos por el suelo. Cuando la soga se tensa de manera que su punta toque exactamente el suelo alcanza un punto a 8 chi de la base del árbol. ¿Cómo de larga es la soga?”.

La situación puede representarse mediante un triángulo rectángulo de hipotenusa c y catetos a y b, de manera que la longitud d = c - b se extienda a lo

largo del cateto a.

La solución que aporta el problema es la de hallar la mitad de la suma entre la distancia a, elevada al cuadrado, dividida por la diferencia d más la propia d, es decir,

chiddac 6

112673

21 2

A esta expresión, en notación moderna, se puede llegar por el siguiente camino:

c2 = a2 + (c – d)2

c2 = a2 + c2 + d2 - 2 c d0 = a2 + d2 - 2 c d

2 c d = a2 + d2

desde donde se infiere el resultado, ignorándose sin embargo si este razonamiento tendría un planteamiento análogo desde un punto de vista visual. Examinemos entonces el problema 11, que tiene unos datos similares:

“La altura de una puerta es más que su ancho por 6 chi 8 cun. La distancia entre las esquinas opuestas es de 1 zhang. Encontrar la altura y la anchura de la puerta”.

Según los datos del problema encontramos que:

c = 1 zhang = 10 chi = 100 cunb – a = 6 chi 8 cun

La forma de resolución propugnada para este problema es difícil de interpretar. En concreto, afirma:

“Sea el cuadrado de 1 zhang como dividendo. Dividimos la diferencia (dada), cuadrado y doble; sustraemos esto del dividendo y partimos el resto. Cuando el resultado de la raíz cuadrada (de este número) se sustrae a la mitad de la diferencia (dada), se obtiene el ancho de la puerta; cuando se añade una mitad de la diferencia (dada), se obtiene la altura de la puerta”.

Parece que el método pasa por encontrar una expresión de la suma del largo y ancho de la puerta (a + b) como la siguiente:

baabc 222

que al unirla al valor de a – b permite hallar la base a y la altura b de la puerta. En efecto, se obtendría:

c2 = 10.000 cun2

2 c2 = 20.000 cun2

2 c2 - (b – a)2 = 20.000 – 4.624 = 15.376

de forma que su raíz cuadrada sea:

a + b = 124 cunb – a = 68 cun

Sumando se llega a: 2 b = 124 + 68 = 192b = 96 cun = 9 chi 6 cun

Restando las dos igualdades: 2 a = 124 – 68 = 56a = 28 cun = 2 chi 8 cun

tal como da por solución el problema en el Jiuzhang.

Realmente, las complejidades de cálculo alcanzadas por los matemáticos chinos en torno a las relaciones pitagóricas son, en general, notables. Un nuevo ejemplo se puede comprobar en el problema 9.12:

“Una puerta y un bambú tienen dimensiones desconocidas. El bambú excede el ancho de la puerta mide con exactitud la diagonal de la puerta. ¿Cuál es la anchura y cuál la altura de la puerta?”.

Este problema presenta una situación similar a la presentada en la figura 10.10. Sin embargo, ahora los datos son otros: las diferencias entre la hipotenusa y cada uno de los catetos, o sea, c – a y c – b.

La relación general que se utiliza es:

2 (c – a)(c – b) = (a + b – c)2

de manera que los resultados vienen dados por:

)()()(2

)()()(2

acbcacb

bcbcaca

Pero ¿en qué se basan para alcanzar la primera igualdad sin disponer de lenguaje algebraico? Podemos llegar a responder a esta pregunta por medio del comentario realizado por Liu Hui a este problema.

Consideremos el cuadrado de la figura que tiene por lado la hipotenusa c. Dibujamos dentro del mismo (esquina inferior izquierda) el cuadrado de la base y sobre el vértice contrario, el cuadrado de la altura. Ambos tendrán un cuadrado coincidente en el interior (punteado) de área AP.

Así, el área del tricuadrado inferior izquierda correspondiente al cuadrado de la base a será:

ALa = a2 - AP

y el área del tricuadrado opuesto será:

ALb = b2 - AP

De forma que, considerando el área AR de los rectángulos punteados en los dos vértices, el cuadrado general cumplirá:

c2 - 2 AR - AP = a2 + b2 - 2 AP

es decir: c2 - 2 AR = a2 + b2 - AP

Pero como sabemos que c2 = a2 + b2 será entonces: 2 AR = AP

Cada rectángulo tiene por lados, según la figura, c – a y c – b, mientras que el cuadrado punteado tiene por lado a + b – c de modo que la última igualdad quiere decir:

2 (c – a)(c – b) = (a + b – c)2

Éste es el tipo de demostración geométrica visual que aparece en los distintos comentarios de los matemáticos chinos de la época, particularmente en la obra de Liu Hui del que aún tenemos que mostrar un último ejemplo.

Círculo inscrito en el triánguloEl problema 9.16 del Jiuzhang dice:

“Un triángulo rectángulo tiene una base de 8 pasos y una altura de 15 pasos. ¿Cuál es el diámetro de su círculo inscrito?”.

El problema es peculiar. Liu Hui lo explica con gran brillantez gracias al método de disección y recomposición. En primer lugar, hay que examinar el método que dicta escuetamente el texto original:

“Calcular la hipotenusa a partir de la base y la altura, entonces añadir las tres juntas y que esta suma divida al doble del producto de la base y la altura”.

Lo que el método afirma es la relación:

cbabad

2

siendo d el diámetro del círculo inscrito.

Liu Hui se propone de manera visual demostrar la veracidad de esta afirmación y para ello descompone el triángulo rectángulo en distintas partes en función del radio r de

dicho círculo:

- Un cuadrado puntuado de lado r.

- Dos triángulos rectángulos rayados en horizontal cuya base se denominará a1 y tienen de altura r.

- Dos triángulos rectángulos en blanco de base llamada b1 y de altura r.

Pues bien, se verificarán: a = a1 + rb = b1 + rc = a1 + b1

Para demostrar la igualdad dispone ahora cuatro de estos triángulos rectángulos originales en dos disposiciones:

En la primera de las disposiciones obtenemos un rectángulo de lados a y 2b, de manera que su superficie es 2 a b

En la segunda de las disposiciones con los mismos elementos, se obtiene un rectángulo de lados 2r = d y 2 r + 2 a1 + 2 b1 que si sumamos las tres igualdades anteriores resulta ser igual a:

2 r + 2 a1 + 2 b1 = a + b + c

de modo que se cumple: 2 a b = d (a + b + c)

y se puede obtener el valor del diámetro a partir del método expuesto en el Jiuzhang.

Menú ChinaDado que el área del tricuadrado es:

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Raíz cuadrada

Sistemas de ecuaciones

El círculo

Triángulos rectángulos

Una isla en el mar

VolúmenesConstrucciones Aplicación de triángulos

semejantes El tronco de pirámide

ConstruccionesLas actividades de construcción en la Antigua China fueron constantes, tanto para levantar las murallas que defendían una ciudad, templos y otros edificios, excavar fosos que protegieran dichas ciudades, tender carreteras por donde circularan las tropas, como para múltiples actividades económicas relacionadas con la principal fuente de producción: la agricultura. Así, era necesario realizar excavaciones de canales o construir diques para contener las aguas.

En muchas de estas tareas venía implicado el cálculo de volúmenes, sea de tierras excavadas o de muros levantados. A este respecto, el sólido que era objeto de mayor atención en las obras que han llegado hasta la actualidad era el prisma de sección trapezoidal, sea de la forma mostrada como dique o muro o bien invertida, en el caso de los canales.

El método para hallar su volumen era sencillo:

“Añadir las anchuras superior e inferior y hallar su mitad; multiplicar por la altura o profundidad y a continuación multiplicar por la longitud para obtener el volumen en chi”.

Es decir: LhaAV )(

21

De esta forma se plantean diversos problemas en el Jiuzhang como el 5.4:

“Sea un dique de anchura inferior 2 zhang, anchura superior 8 chi, altura 4 chi, lengitud 12 zhang 7 chi. Encontrar el volumen”.

Aplicando la regla dada anteriormente se encuentra de manera inmediata que dicho volumen es de 7112 chi, pero ahora el problema se amplía con el cálculo de trabajadores necesarios para realizar tal obra:

“La capacidad de trabajo de una persona en invierno es de 444 chi. Encontrar el número de trabajadores”.

que se resuelve con una sencilla división:

breshom111216

4447112

Resulta interesante constatar que las capacidades por trabajador variaban considerablemente según la estación. Así, hemos visto que era de 444 chi en invierno; en primavera ascendía a 766, aún más en verano, 871 chi para decaer en otoño a 300 chi. Indudablemente, las lluvias y riadas del otoño así como las nieves del invierno condicionaban fuertemente dicho índice que probablemente se obtuviera considerando globalmente las obras, es decir, dividiendo el

volumen conseguido entre el número de trabajadores empleados. Es probable que también tuvieran en cuenta el número de días empleado para otro tipo de cálculos. De lo que no cabe duda es de que estas auténticas obras públicas que eran los diques, canales, muros y demás edificaciones, suponían la realización de cálculos para determinar el número de hombres que habrían de ser reclutados y, ya en el lugar de trabajo, alimentados y alojados.

Así, el problema 5.6 presenta el dato ya enunciado de que el trabajador en verano alcanza los 871 chi pero, en concreto, se indica que 1/5 de ese trabajo se dedica a la extracción de tierra y 2/3 del resto es un trabajo relacionado con el acarreo de arena, gravilla, agua y rocas. Ello obligaba por tanto a detallar el tipo de tareas a realizar al objeto de aplicar subíndices a cada una de ellas.

Aplicación de triángulos semejantesEvidentemente, el cálculo de volúmenes sobre sólidos de caras poligonales implica el cálculo de dichas superficies. En ese sentido se encuentran en el Qiujian algunos problemas que remiten a los triángulos semejantes que se han tratado en el capítulo anterior y, en particular, al método de igualar áreas de rectángulos definidos por un punto de la diagonal a otro rectángulo mayor. Por ejemplo, en el problema 2.7 de esta obra se enuncia:

“Sea la construcción del muro de una ciudad donde la anchura superior es de 1 zhang, la anchura inferior 3 zhang y la altura de 4 zhang. Encontrar la anchura superior cuando la construcción ha alcanzado una altura de 1 zhang 5 chi”.

Es decir, se trata de averiguar las dimensiones del muro en un punto intermedio de la construcción, naturalmente en relación a las dimensiones proyectadas. El método de solución resulta interesante:

“Poner la anchura inferior del muro de la ciudad y sustraer la anchura superior. También poner la altura del muro y sustraer la altura de lo construido. Multiplicar las diferencias y dividir por la altura del muro de la

ciudad. Añadir la anchura superior del muro para obtener la respuesta”.

Así, siendo h la altura proyectada y h’ la alcanzada, a’ la anchura de la sección que se trata de determinar, se propone en este procedimiento lo siguiente:

ah

hhaAa

)'()('

Si disponemos las relaciones de otro modo, quedará: (A – a) (h – h’) = (a’ – a) h

Consideremos la figura. En ella se ha tomado la sección del muro trazando en ella los datos de que se dispone.

Pues bien, lo ya construido supone cortar la sección trapezoidal por un punto de la diagonal en el rectángulo derecho. Ello determina la igualdad de las dos superficies 1 punteadas. Si a cada una de ellas añadimos la superficie común 2 punteada más oscura, los dos rectángulos resultantes (el vertical y el horizontal) serán iguales.

El rectángulo horizontal tendrá de altura (h – h’) y de anchura (A – a), por tanto su área es: (A – a) (h – h’)

El rectángulo vertical tiene por anchura (a’ – a) mientras que su altura es h’, de modo que su superficie es: (a’ – a) h’ y de esta forma se deduce el método propuesto en el Qiujian.

Algo similar sucede en un problema donde el sólido considerado es otro bien distinto: el tronco de pirámide, que resulta en ocasiones en la construcción de graneros de esa forma. El problema 2.10 dice lo siguiente:

“Sea un tronco de pirámide con una base cuadrada cuyo lado inferior es 3 zhang, el lado superior 1 zhang y de altura 2 zhang 5 chi. Se desea extender esto a la pirámide. Encontrar la altura que debe ser extendida”.

La situación vendría dada, como en el problema anterior, por el hecho de que una construcción (en este caso piramidal) se encuentra en un punto intermedio (realizado un tronco de pirámide) y se desea calcular datos (altura en este problema) sobre lo que resta de construcción.

Prescindiendo del hecho que en realidad sería ½ A y ½ a las anchuras que debían tomarse en cuenta en esta sección, ya que ambos términos terminan por dividirse quedando eliminados los coeficientes, la disposición del problema es la dada en la figura.

Pues bien, el área del rectángulo 1 se puede igualar a la del 2 de forma que:

h’ (A – a) = h a

aAah

h

'

que es la expresión utilizada en el método propuesto en el Qiujian:

“Poner el lado superior en chi y multiplicarlo por la altura y sea el producto el dividendo. Sustraer el lado superior del inferior en chi y sea el resto el divisor. Dividir el dividendo entre el divisor”.

El tronco de pirámideLas pirámides fueron objeto de un estudio detallado por parte de los matemáticos chinos, sobre todo en relación a la construcción de graneros de tal forma pero también por el hecho fundamental de que, al igual que formas poligonales se pueden descomponer en rectángulos y triángulos, los sólidos en muchas ocasiones pueden diseccionarse por medio de pirámides. A ese respecto distinguen varias formas básicas que pueden adoptar estos sólidos elementales:

Fang zhui, pirámide con base cuadrada.

Yang ma, pirámide con base rectangular pero cuyo vértice está sobre una esquina de su base.Bie nao, pirámide que tiene por base un triángulo rectángulo.

Así se presentan en el Jiuzhang diversos problemas consistentes en calcular el volumen de cada uno de ellos. En el caso del yang ma, el problema 5.15 dice:

“Sea un yang ma de anchura 5 chi, longitud 7 chi y altura 8 chi. Encontrar su volumen”.

El método aportado para esta figura consiste en multiplicar sus dimensiones y dividir por tres: (5 x 7 x 8) : 3 = 93 1/3 chi que revela que, mediante un método tan usual entre los chinos como la disección, ya habían encontrado que el volumen de la pirámide era la tercera parte del paralelepípedo que tenía sus mismas dimensiones.

Pues bien, el problema se hace más complejo cuando se trata de determinar el volumen de un tronco de pirámide, tema tratado en varios problemas del Jiuzhang dentro del capítulo 5 dedicado a volúmenes. Los comentarios de Liu Hui permiten conocer que el método elegido para calcular dicho volumen es la disección de la figura.

El comentarista trabaja fundamentalmente con las tres pirámides señaladas anteriormente y con el Qian du, o prisma triangular. En primer lugar, como ya se ha dicho, comienza con la disección del cubo en tres yang ma congruentes concluyendo así que el volumen de una de estas pirámides es la tercera parte del volumen del cubo.

Como un yang ma y un bie nao, colocados juntos, forman un quian du, que es la mitad del cubo, se puede concluir que el bie nao es la sexta parte del cubo. Alternativamente, un yang ma se puede diseccionar en dos bie nao congruentes.

Ahora bien, cuando en vez de un cubo tenemos un paralelepípedo de base rectangular, no está claro que los tres yang ma en que puede dividirse tengan el mismo volumen, del mismo modo que si cada yang ma se secciona en dos bie nao tampoco se puede concluir que sean congruentes entre sí.

Lo que sí podemos afirmar es que, si las dimensiones del sólido original son a, b y c entonces

Ya + Yb + Yc = a b c

verificándose: Ya + Ba = ½ a b c Ya = Bb + Bc

Yb + Bb = ½ a b c Yb = Ba + Bc

Yc + Bc = ½ a b c Yc = Ba + Bb

Como esto no es suficiente para evaluar los volúmenes, Liu Hui prueba mediante una detallada disección que

Ya = 2 Ba

y lo mismo en el caso de los otros dos yang ma, de modo que cada uno sea la tercera parte del volumen del paralelepípedo y cada bie nao la sexta parte.

Este tipo de cálculos de volúmenes mediante disección y recomposición alcanzan un alto grado de complejidad con el chu tung, o tronco de pirámide. Consideramos la disección mostrada en la figura considerando un punto de vista cenital.

Las figuras de la esquina pueden descomponerse en dos yang ma

cada una que pueden unirse entre sí para formar un paralelepípedo como el que constituye la parte central. En los laterales, rayados de modo vertical y horizontal, aparecen otros tantos qian du que del mismo modo pueden recomponerse. De ese modo, todo el tronco de pirámide, mediante disección y recomposición posterior, conduce a un volumen que aparece tanto en el Jiuzhang como el Qiujian.

Así, en esta última obra, por ejemplo, el problema 3.6 presenta el caso de un foso para almacenamiento de grano en forma de tronco de pirámide, del siguiente modo:

“Sea un foso con base rectangular. El ancho del (rectángulo) superior es 4 chi y el ancho del (rectángulo) inferior es 7 chi. La longitud del superior es 5 chi y la longitud del inferior es 8 chi. La profundidad es de 1 zhang. Encontrar la cantidad de mijo que cabe en él”.

El método aportado por el Qiujian en este problema expresa la forma de hallar el volumen:

“Doblar la longitud superior y añadir la longitud inferior. También doblar la longitud inferior y añadir la longitud superior. Multiplicar cada uno por el ancho respectivo. Añadirlo, multiplicar por la profundidad y dividir por seis”.

Es decir:

)2()2(61 kKaKkAhV

volumen que luego habría que transformar en medidas de capacidad por multiplicación por un coeficiente.

A partir de esta expresión, otros problemas más prácticos incluso pueden ser planteados, como el 3.10 del Qiujian, donde se proporcionan los datos de este tipo de almacén en forma de tronco de pirámide, salvo la altura. Por el contrario, se aporta como dato la cantidad de mijo que debe caber en él y es necesario deducir la altura que debe alcanzar este almacén.

Diversos cálculos de volúmenes de cuerpos redondeados (conos, esferas, por ejemplo) se muestran en los trabajos de Liu Hui sobre el Jiuzhang así como en obras posteriores adelantando métodos, como el de Cavalieri, que Occidente descubrirá bastantes siglos después.

La matemática china no se detendrá con todo ello, naturalmente, llegando a importantes alturas durante los siglos XII y XIII en que los procedimientos antiguos serán mejorados y se construirán otros nuevos que apenas se presentan en esbozo o son inexistentes en el Jiuzhang. Sin embargo, todo lo presentado en esta obra muestra con claridad la riqueza de procedimientos, el carácter práctico de los mismos no exentos de un interés por la mejora de dichos métodos sin apelar en algún caso a su carácter inmediatamente ligado a la realidad.

Menú Chinaón en la Antigua China fueron constantes, tanto

Numeración

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Triángulos rectángulos

Una isla en el mar

VolúmenesLa adivinación Los signos gráficos Las cantidades numéricasNúmeros con varillas

La adivinaciónA finales del siglo XIX se hizo un importante descubrimiento en Xiao dun, una aldea de la provincia de Honan. Era tradición entre los naturales de la zona el desenterrar caparazones de tortuga llenos de marcas. Denominados popularmente “huesos de dragón” fueron vendidos, reducidos a polvo, entre curanderos y farmacias por sus pretendidas virtudes medicinales. Lo que terminó por revelarse es que constituían las primeras muestras de escritura china de su historia.

A pesar del uso anterior, afloraron para los arqueólogos miles de caparazones y huesos variados que permitieron registrar estas primeras grafías. Al parecer, correspondían a la dinastía Shang, anterior a los Zhou, y pueden datarse aproximadamente en el siglo XII a.C.

Eran restos de una práctica antigua de carácter adivinatorio por la cual se tomaban estos caparazones o bien omóplatos de buey o de carnero, animales sacrificados en el ritual correspondiente. Una vez en posesión del hueso o la concha, el adivino escribía en la pieza la pregunta de la que se pretendía tener una respuesta. A continuación lo acercaba al fuego y estudiaba seguidamente las grietas que se habían provocado por su acción, interpretando según su forma y tradiciones el tipo de respuesta que daban los dioses al demandante.

La osteomancia, que así se llama esta práctica adivinatoria, dio lugar a múltiples inscripciones gráficas que denotan un lenguaje ya elaborado en muchos aspectos. En efecto, es

conocido que una primera fase de la escritura la constituyen los pictogramas, representaciones gráficas de objetos que se asemejan a los mismos, como es el caso de una tortuga o un carro, por ejemplo, donde se muestra tanto el pictograma original en hueso como la forma actual, siendo evidente la evolución.

Sin embargo, los adivinos chinos utilizaban ideogramas utilizando la combinación de signos que tuviesen la facultad de evocar la idea que se desease

transmitir. Ya en el

pictograma correspondiente a árbol se podía subrayar la parte baja para denotar la “raíz” como la alta apelando a la “punta” o “extremidad” y por extensión “techo”.

Si a este concepto se le unía el de mujer se alcanzaba la idea de “paz” y “tranquilidad”.

Pero la capacidad de unir dos pictogramas no se reducía a la de relacionarse con la idea que combinaba ambos, sino que en algún caso era el parecido fonético el

que ayudaba a elegir los símbolos necesarios. Así, caballo se decía “ma” lo que permitía, unido al símbolo de mujer, describir a la “madre”, pero presentado junto al símbolo de piedra daba lugar a “peso” o “número”. El amplio uso de los fonemas está en la base de que en el actual idioma chino, como el antiguo, el sonido de los mismos proporcione significados variados y, de este modo, el chino sea un idioma melódico en comparación con los occidentales.

Los signos gráficosPues bien, en estos caparazones y huesos se presentan un total de catorce signos numéricos. Siendo desde su comienzo un sistema decimal, las diez primeras cifras son representadas en el orden habitual. Se observa que las cuatro primeras repiten el esquema icónico de mostrar tantos trazos horizontales como elementos forman el conteo.

Al llegar a cinco, como en otras culturas de la Antigüedad, se presenta un símbolo que abrevia la cantidad de elementos a mostrar, en este caso con una cruz. Los demás símbolos son difíciles de interpretar. Las opiniones de los filólogos tienden a afirmar que están relacionados con las teorías del ying-yang y procesos adivinatorios cuyo rastro se ha perdido con el tiempo.

A partir de la decena que es también un trazo, como en la unidad, pero vertical en vez de horizontal, hay tres signos más referidos a la centena, el millar (parecido al signo del hombre) y decena de millar o miríada, para el que se ha elegido el pictograma del escorpión. El último parece ser una partícula copulativa en el sentido de “y” que unía las diferentes cantidades (unidades con decenas con centenas, etc.) y que desaparecerá pronto.

Pues bien, a partir de estos datos procede estudiar, en primer lugar, cómo evolucionan estas grafías numéricas y, en segundo, cómo se ordenaban para describir una cantidad numérica.

La escritura “lishu” o de funcionarios era la más utilizada en tiempos de los Han, cuando se confeccionaron obras como el Jiuzhang. Se realizaba con pincel y bajo normas complejas que, en todo caso, recuerdan inmediatamente las grafías utilizadas anteriormente en época de los Shang y los Zhou, como la que se mostraba en los caparazones.

La escritura actual más utilizada (la lishu sigue en vigencia) es la “kaishu”, por la cual los trazos se hacen más rectilíneos en general y las formas resultan más geométricas, de nuevo bajo reglas y normas de cierta complejidad.

Aunque algunas, como la del cinco, se han modificado o incluso cambiado de orientación en algún caso, la genealogía de los signos actuales permite afirmar la filiación con los signos más antiguos de la escritura china.

Las cantidades numéricasLa actual numeración oral china presenta unas características que la hacen distinta de la occidental. En efecto, las palabras asignadas a las diez primeras cifras son:

1 yi2 er

3 san4 si

5 wu6 liu7 qi8 ba9 jiu

10 shí

Pues bien, las siguientes cifras del conteo no presentan las irregularidades de nuestro sistema de numeración oral sino que muestra, en cambio, la estructura decimal que subyace a la escritura numérica.

11 shí yi (diez uno)12 shí er (diez dos)

13 shí san (diez tres)............................

lo mismo que sucede en el caso de las decenas:

20 er shí (dos diez)30 san shí (tres diez)40 si shí (cuatro diez)50 wu shí (cinco diez)............................

Pues bien, esta estructura decimal explícita es la misma que ya estaba presente en tiempos de los Han y aún anteriormente, lo que permitía mostrar de cada cifra el orden que le correspondía (unidades, decenas, centenas,...) sin necesidad de utilizar el valor de posición como criterio. De este modo, numeración verbal y escrita estaban estrechamente relacionadas. Hemos adaptado la escritura vertical china a la horizontal occidental para mostrar varios ejemplos del modo en que las cantidades numéricas eran descritas gráficamente con los signos conocidos de la época Han. Tal es el caso de los números 74, 683 ó 4.375. Obsérvese que no resulta necesaria la utilización del cero por cuanto 704, en la misma figura, presenta unos complementos que identifican perfectamente que 7

no se refiere a decenas sino sólo a centenas.

Números con varillasEl deseo de los funcionarios chinos, desde la Antigüedad, era realizar una escritura basada en los trazos rectilíneos, cortos, por encima de los curvilíneos, pese a utilizar básicamente el pincel que permite tanto unos como otros. Ello puede tener relación con una forma diferente de describir las cantidades numéricas que data, al menos, de la época de los Reinos Combatientes. Se trata de la utilización de varillas de bambú, hueso u otros materiales.

Dada la presencia de estas varillas como formas de registro de caracteres gráficos, es posible que su uso sea muy antiguo si bien la forma de denotar cantidades numéricas de forma sistemática se haya elaborado con el tiempo. En efecto, desde el 400 a.C. aproximadamente se encuentran testimonios de una forma de representación de las nueve primeras cifras que gira alrededor de cinco como cantidad abreviada. Sin embargo, describir una cantidad mayor con estos signos implicaría una utilización sistemática del principio posicional al que los chinos le dan un carácter peculiar.

En efecto, en su intento de “acompañar” la estructura decimal del número grande tanto en forma verbal como gráfica, dan una característica especial a los signos anteriores cuando corresponden a distintos órdenes de unidad. Así, hacia el 200 a.C. se encuentra una nueva serie de los nueve signos pero esta vez con

una orientación distinta de la anterior.

Se utilizan estos signos de modo alternado según el orden consecutivo de que se trate: la primera serie se reserva para describir unidades, centenas, decenas de millar, etc., mientras que la segunda serie se utiliza para las decenas, millares, centenas de millar, etc. Así, unas cantidades como 3.476 ó 48.305 tienen una representación que permite con claridad diferenciar a qué orden de unidades se refiere cada signo.

Sin embargo, hay una clara ambigüedad cuando hay varias unidades correspondientes a nuestro actual cero. Recordemos que los matemáticos chinos no utilizaron un signo específico para la ausencia de unidades hasta el siglo VIII d.C., en el tiempo de la dinastía Ming.

Con esta notación resultaría que 5.008 y 58 podrían tener una misma representación. Se ha especulado con el hecho de que los calculistas chinos dejasen espacios vacíos entre unas cifras y otras, algo difícil de precisar y que no parece, en todo caso, una regla sistemática. Por otro lado, se aduce la importancia del contexto, un recurso que también se puede encontrar en otras culturas de la Antigüedad. En efecto, la tarea del calculista no era una actividad popular sino restringida a una élite funcionarial, tanto por las necesidades económicas de unos grupos y otros como por la inicial naturaleza mágica y adivinatoria que tuvieron los números en China. De este modo, a la hora de tratar con la longitud de un campo se podía distinguir perfectamente, según el contexto, si su longitud era de 58 li o de 5008 li, cantidades poco comparables en la realidad.

También puede que la presencia del cero no fuera necesaria por cuanto la técnica del espacio vacío fuera fácil de emplear. En efecto, conviene recordar que el uso de varillas para la descripción y cálculo numéricos no era una tarea gráfica solamente sino que, materialmente, el calculista se sentaba frente a su señor con su caja de varillas, las repartía sobre el suelo y en él hacía sus cálculos y representaba sus números combinando dichas varillas del modo adecuado. Si no contaba con una “tabla de contar”, como se ha defendido sin que se haya encontrado restos de ninguna (sí en cambio de las cajas de varillas), bien podía utilizar las losetas del suelo como una cuadrícula en la que representar sus números.

De este modo, las losetas vacías harían factible la representación de las cantidades ausentes de un número.

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La adivinaciónA finales del siglo XIX se hizo un importante descubrimiento en Xiao dun, una aldea de la provincia de Honan. Era tradición entre los naturales de la zona el desenterrar caparazones de tortuga llenos de marcas. Denominados popularmente “huesos de dragón” fueron vendidos, reducidos a polvo, entre curanderos y farmacias por sus pretendidas virtudes medicinales. Lo que terminó por revelarse es que constituían las primeras muestras de escritura china de su historia.

A pesar del uso anterior, afloraron para los arqueólogos miles de caparazones y huesos variados que permitieron registrar estas primeras grafías. Al parecer, correspondían a la dinastía Shang, anterior a los Zhou, y pueden datarse aproximadamente en el siglo XII a.C.

Eran restos de una práctica antigua de carácter adivinatorio por la cual se tomaban estos caparazones o bien omóplatos de buey o de carnero, animales sacrificados en el ritual correspondiente. Una vez en posesión del hueso o la concha, el adivino escribía en la pieza la pregunta de la que se pretendía tener

una respuesta. A continuación lo acercaba al fuego y estudiaba seguidamente las grietas que se habían provocado por su acción, interpretando según su forma y tradiciones el tipo de respuesta que daban los dioses al demandante.

La osteomancia, que así se llama esta práctica adivinatoria, dio lugar a múltiples inscripciones gráficas que denotan un lenguaje ya elaborado en muchos aspectos. En efecto, es

conocido que una primera fase de la escritura la constituyen los pictogramas, representaciones gráficas de objetos que se asemejan a los mismos, como es el caso de una tortuga o un carro, por ejemplo, donde se muestra tanto el pictograma original en hueso como la forma actual, siendo evidente la evolución.

Sin embargo, los adivinos chinos utilizaban ideogramas utilizando la combinación de signos que tuviesen la facultad de evocar la idea que se desease

transmitir. Ya en el

pictograma correspondiente a árbol se podía subrayar la parte baja para denotar la “raíz” como la alta apelando a la “punta” o “extremidad” y por extensión “techo”.

Si a este concepto se le unía el de mujer se alcanzaba la idea de “paz” y

“tranquilidad”.

Pero la capacidad de unir dos pictogramas no se reducía a la de relacionarse con la idea que combinaba ambos, sino que en algún caso era el parecido fonético el que ayudaba a elegir los símbolos necesarios. Así, caballo se decía “ma” lo que permitía, unido al símbolo de mujer, describir a la “madre”, pero presentado junto al símbolo de piedra daba lugar a “peso” o “número”. El amplio uso de los fonemas está en la base de que en el actual idioma chino, como el antiguo, el sonido de los mismos proporcione significados variados y, de este modo, el chino sea un idioma melódico en comparación con los occidentales.

Los signos gráficosPues bien, en estos caparazones y huesos se presentan un total de catorce signos numéricos. Siendo desde su comienzo un sistema decimal, las diez primeras cifras son representadas en el orden habitual. Se observa que las cuatro primeras repiten el esquema icónico de mostrar tantos trazos horizontales como elementos forman el conteo.

Al llegar a cinco, como en otras culturas de la Antigüedad, se presenta un símbolo que abrevia la cantidad de elementos a mostrar, en este caso con una cruz. Los demás símbolos son difíciles de interpretar. Las opiniones de los filólogos tienden a afirmar que están relacionados con las teorías del ying-yang y procesos adivinatorios cuyo rastro se ha perdido con el tiempo.

A partir de la decena que es también un trazo, como en la unidad, pero vertical en vez de horizontal, hay tres signos más referidos a la centena, el millar (parecido al signo del hombre) y decena de millar o miríada, para el que se ha elegido el pictograma del escorpión. El último parece ser una partícula copulativa en el sentido de “y” que unía las diferentes cantidades (unidades con decenas con centenas, etc.) y que desaparecerá pronto.

Pues bien, a partir de estos datos procede estudiar, en primer lugar, cómo evolucionan estas grafías numéricas y, en segundo, cómo se ordenaban para describir una cantidad numérica.

La escritura “lishu” o de funcionarios era la más utilizada en tiempos de los Han, cuando se confeccionaron obras como el Jiuzhang. Se realizaba con pincel y bajo normas complejas que, en todo caso, recuerdan inmediatamente las grafías utilizadas anteriormente en época de los Shang y los Zhou, como la que se mostraba en los caparazones.

La escritura actual más utilizada (la lishu sigue en vigencia) es la “kaishu”, por la cual los trazos se hacen más rectilíneos en general y las formas resultan más geométricas, de nuevo bajo reglas y normas de cierta complejidad.

Aunque algunas, como la del cinco, se han modificado o incluso cambiado de orientación en algún caso, la genealogía de los signos actuales permite afirmar la filiación con los signos más antiguos de la escritura china.

Las cantidades numéricasLa actual numeración oral china presenta unas características que la hacen distinta de la occidental. En efecto, las palabras asignadas a las diez primeras cifras son:

1 yi2 er

3 san4 si

5 wu6 liu7 qi8 ba9 jiu

10 shí

Pues bien, las siguientes cifras del conteo no presentan las irregularidades de nuestro sistema de numeración oral sino que muestra, en cambio, la estructura decimal que subyace a la escritura numérica.

11 shí yi (diez uno)12 shí er (diez dos)

13 shí san (diez tres)............................

lo mismo que sucede en el caso de las decenas:

20 er shí (dos diez)30 san shí (tres diez)40 si shí (cuatro diez)50 wu shí (cinco diez)............................

Pues bien, esta estructura decimal explícita es la misma que ya estaba presente en tiempos de los Han y aún anteriormente, lo que permitía mostrar de cada cifra el orden que le correspondía (unidades, decenas, centenas,...) sin necesidad de utilizar el valor de posición como criterio. De este modo, numeración verbal y escrita estaban estrechamente relacionadas. Hemos adaptado la escritura vertical china a la horizontal occidental para mostrar varios ejemplos del modo en que las cantidades numéricas eran descritas gráficamente con los signos conocidos de la época Han. Tal es el caso de los números 74, 683 ó 4.375. Obsérvese que no resulta necesaria la utilización del cero por cuanto 704, en la misma figura, presenta unos complementos que identifican perfectamente que 7

no se refiere a decenas sino sólo a centenas.

Números con varillasEl deseo de los funcionarios chinos, desde la Antigüedad, era realizar una escritura basada en los trazos rectilíneos, cortos, por encima de los curvilíneos, pese a utilizar básicamente el pincel que permite tanto unos como otros. Ello puede tener relación con una forma diferente de describir las cantidades numéricas que data, al menos, de la época de los Reinos Combatientes. Se trata de la utilización de varillas de bambú, hueso u otros materiales.

Dada la presencia de estas varillas como formas de registro de caracteres gráficos, es posible que su uso sea muy antiguo si bien la forma de denotar cantidades numéricas de forma sistemática se haya elaborado con el tiempo. En efecto, desde el 400 a.C. aproximadamente se encuentran testimonios de una forma de representación de las nueve primeras cifras que gira alrededor de cinco como cantidad abreviada. Sin embargo, describir una cantidad mayor con estos signos implicaría una utilización sistemática del principio posicional al que los chinos le dan un carácter peculiar.

En efecto, en su intento de “acompañar” la estructura decimal del número grande tanto en forma verbal como gráfica, dan una característica especial a los signos anteriores cuando corresponden a distintos órdenes de unidad. Así, hacia el 200 a.C. se encuentra una nueva serie de los nueve signos pero esta vez con

una orientación distinta de la anterior.

Se utilizan estos signos de modo alternado según el orden consecutivo de que se trate: la primera serie se reserva para describir unidades, centenas, decenas de millar, etc., mientras que la segunda serie se utiliza para las decenas, millares, centenas de millar, etc. Así, unas cantidades como 3.476 ó 48.305 tienen una representación que permite con claridad diferenciar a qué orden de unidades se refiere cada signo.

Sin embargo, hay una clara ambigüedad cuando hay varias unidades correspondientes a nuestro actual cero. Recordemos que los matemáticos chinos no utilizaron un signo específico para la ausencia de unidades hasta el siglo VIII d.C., en el tiempo de la dinastía Ming.

Con esta notación resultaría que 5.008 y 58 podrían tener una misma representación. Se ha especulado con el hecho de que los calculistas chinos dejasen espacios vacíos entre unas cifras y otras, algo difícil de precisar y que no parece, en todo caso, una regla sistemática. Por otro lado, se aduce la importancia del contexto, un recurso que también se puede encontrar en otras culturas de la Antigüedad. En efecto, la tarea del calculista no era una actividad popular sino restringida a una élite funcionarial, tanto por las necesidades económicas de unos grupos y otros como por la inicial naturaleza mágica y adivinatoria que tuvieron los números en China. De este modo, a la hora de tratar con la longitud de un campo se podía distinguir perfectamente, según el contexto, si su longitud era de 58 li o de 5008 li, cantidades poco comparables en la realidad.

También puede que la presencia del cero no fuera necesaria por cuanto la técnica del espacio vacío fuera fácil de emplear. En efecto, conviene recordar que el uso de varillas para la descripción y cálculo numéricos no era una tarea gráfica solamente sino que, materialmente, el calculista se sentaba frente a su señor con su caja de varillas, las repartía sobre el suelo y en él hacía sus cálculos y representaba sus números combinando dichas varillas del modo adecuado. Si no contaba con una “tabla de contar”, como se ha defendido sin que se haya encontrado restos de ninguna (sí en cambio de las cajas de varillas), bien podía utilizar las losetas del suelo como una cuadrícula en la que representar sus números.

De este modo, las losetas vacías harían factible la representación de las cantidades ausentes de un número.

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