VIGA

En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento estructural lineal que trabaja

principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos

dimensiones y suele ser horizontal.

El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las

máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se

calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas

cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También

pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro

exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia

mediante un modelo de prisma mecánico.

Flexión teórica de una viga apoyada-articuladasometida a una carga puntual centrada F.

TEORIA DE VIGAS DE EULER – BERNOULLI

La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materialesque permite el cálculo de

esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son sólidos deformables, en

teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular

aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran

elementos unidimensionales.

Los inicios de la teoría de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados

por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de

coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricéntrico de la viga, y los ejes Y

y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos básicos de la teoría de

vigas para la flexión simple de una viga que flecte en el plano XY son:

1. Hipótesis de comportamiento elástico. El material de la viga es elástico lineal,

con módulo de Young E ycoeficiente de Poisson despreciable.

2. Hipótesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical solo

depende de x: uy(x, y) =w(x).

3. Hipótesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra solo sufren

desplazamiento vertical y giro: ux(x, 0) = 0.

4. La tensión perpendicular a la fibra neutra se anula: σyy= 0.

5. Hipótesis de Bernoulli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje

de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado.

Las hipótesis (1)-(4) juntas definen la teoría de vigas de Timoshenko. La teoría de Euler-

Bernouilli es una simplificación de la teoría anterior, al aceptarse la última hipótesis como

exacta (cuando en vigas reales es solo aproximadamente cierta). El conjunto de hipótesis

(1)-(5) lleva a la siguiente hipótesis cinemática sobre los desplazamientos:

Deformaciones y tensiones en las vigas[editar]

Artículo principal: Pendientes y deformaciones en vigas

Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estos

desplazamientos se llega a:

A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones

de Lamé-Hooke, asumiendo  :

Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal, o módulo de Young, y G el módulo de

elasticidad transversal. Es claro que la teoría de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar la

energía de deformación tangencial, para tal fin deberá recurrirse a la teoría de Timoshenko

en la cual:

Esfuerzos internos en vigas[editar]

a partir de los resultados anteriores y de las ecuaciones de equivalencia pueden obtenerse

sencillamente el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante y el momento flector al que está

sometida una sección de una viga sometida a flexión simple en la teoría de Euler-

Bernouilli:

Donde: A área de la sección transversal, Iz el momento de inercia según el eje respecto al

cual se produce la flexión. La última de estas ecuaciones es precisamente la ecuación de

la curva elástica, una de las ecuaciones básicas de la teoría de vigas que relaciona los

esfuerzos internos con el campo de desplazamientos verticales.

Ecuaciones de equilibrio[editar]

Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicación de las ecuaciones de la

estática a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo serían

la carga exterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las

secciones extremas que delimitan el tramo. Si el tramo está en equilibrio eso implica que la

suma de fuerzas verticales debe ser cero, y además la suma de momentos de fuerza a la

fibra neutra debe ser cero en la dirección tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones

solo se pueden cumplir si la variación de esfuerzo cortante y momento flector están

relacionada con la carga vertical por unidad de longitud mediante:

Cálculo de tensiones en vigas[editar]

El cálculo de tensiones en vigas generalmente requiere conocer la variación de

los esfuerzos internos y a partir de ellos aplicar la fórmula adecuada según la viga esté

sometida a flexión, torsión, esfuerzo normal o esfuerzo cortante. El tensor tensión de una

viga viene dado en función de los esfuerzos internos por:

Donde las tensiones pueden determinarse, aproximadamente, a partir de los esfuerzos

internos. Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga,

considerada como prisma mecánico, las tensiones asociadas a la extensión, flexión,

cortante y torsión resultan ser:

Donde:

 son las tensiones sobre la sección transversal: tensión normal o

perpendicular, y las tensiones tangenciales de torsión y cortante.

, son los esfuerzos internos: esfuerzo axial, momentos flectores y

bimomento asociado a la torsión.

, son propiedades de la sección transversal de la viga: área, segundos

momentos de área (o momentos de inercia), alabeo y momento de alabeo.

Las máximas tensiones normal y tangencial sobre una sección transversal cualquiera de la

viga se pueden calcular a partir de la primera ( ) y tercera ( ) tensión

principal:

En vigas metálicas frecuentemente se usa como criterio de fallo el que en algún punto

la tensión equivalente de Von Mises supere una cierta tensión última definida a partir

del límite elástico, en ese caso, el criterio de fallo se puede escribir como:

TEOREMA DE LOS TRES MOMENTOS

El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relación deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en análisis estructural para resolver ciertos problemas de flexión hiperestática, fue demostrado por Émile Clapeyron a principios del siglo XIX.

Dada una viga continua de material elástico lineal sobre varios apoyos simples,

los momentos flectores en tres apoyos consecutivos satisfacen la relación:1

(1)

Donde

, momento flector en el apoyo central, apoyo k-ésimo.

, momento flector en el apoyo a la izquierda, apoyo (k-1)-ésimo.

, momento flector en el apoyo a la derecha, apoyo (k+1)-ésimo.

 longitud del tramo de viga entre el apoyo (k-1)-ésimo y el apoyo k-ésimo

 longitud del tramo de viga entre el apoyok-ésimo y el apoyo (k+1)-ésimo.

, área de los momentos flectores isostáticos en los tramos   y  :

(2)

 son las distancias a los centros de gravedad de los diagramas de momentos

flectores por la derecha y por la izquierda, el producto de estos por las áreas respectivas

se puede calcular como:

(3)

CASOS PARTICULARES

Carga continua y uniforme

Una fórmula frecuentemente empleada para tableros de puentes, viga y otros elementos

con una carga uniforme es un caso particular del teorema de los tres momentos:

Cálculo de áreas y distancias

Las fórmulas integrales (2) y (3) no resultan cómodas en el caso general, sin embargo,

para los casos má frecuentes de carga es posible calcular el área del diagarama de

momentos isostáticos de cada tramo, y los centros de gravedad de estas áreas. Para un

tramo de longitud L las magnitudes anteriores son:

Fórmulas para el área y los centros de gravedad

Teorema de los dos momentos

El teorema de los dos momentos es similar pero relaciona el momento flector en dos

apoyos consecutivos pero requiere que uno de ellos sea un empotramiento. Si se tiene un

empotramiento a la izquierda y otro apoyo simple a la derecha, el teorema de los dos

momentos establece que la relación entre ambos es:

(4a)

Expresión que puede obtenerse como caso límite del teorema de los tres momentos

anterior haciendo   y  . Si el empotramiento está a la derecha y el apoyo

simple a la izquierda la expresión es:

(4b)

Que también se obtiene de la expresión de los tres momentos haciendo   

y 

Cálculo de reacciones

Una vez determinados los momentos hiperestáticos con ayuda del teorema de los tres

momentos el cálculo de reacciones verticales en cada uno de los apoyos se puede hacer

fácilmente con ayuda de la siguiente fórmula:

(5)

Donde alguno de los términos anteriores debe tomarse igual a cero en el caso de los

apoyos extremos por ser inexistente. Y donde:

, es la reacción isostática en el apoyo de la izquierda del k-ésimo vano,

, es la reacción isostática en el apoyo de la derecha del k-ésimo vano.

Obviamente:

Carga continua en dos vanos

Viga continua de tres apoyos con carga continua.

Momentos flectores para viga continua de tres apoyos con carga continua.

Viga continua con carga uniforme en toda su longitud, siendo las dos longitudes

iguales, en este caso, reflejado en la figura de la derecha el teorema de los tres

momentos lleva a:

Teniendo en cuenta que en este caso   por ser los extremos de la viga

articulados, usando la fórmula de cálculo del áreas y distancias conveniente (

) y susbstituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

y el diagrama de momentos flectores es como el de la figura de la derecha, y viene dado

por:

El máximo momento flector positivo se obtiene buscando los puntos para los cuales la

derivada de la función anterior se anula   y   donde:

Esfuerzos cortantes para viga continua de tres apoyos con carga continua, los saltos en el diagrama

coinciden con las reacciones.

Las reacciones en los apoyos pueden calcularse fácilmente mediante las ecuaciones (5):

Vigas con soportes simples (biapoyadas)

En las siguientes fórmulas E designa al módulo de Young del material en que está

construida la viga, e I al segundo momento de área de la sección transversal de la misma:

Vigas en voladizo (ménsulas empotradas)

Método de redistribución de momentos o método de Cross

En el método de redistribución de momentos, para analizar cada articulación o nodo de la

estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los

Extremos Fijos. Después cada articulación fija se considera liberada secuencialmente y el

momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está en equilibrio) se

"distribuyen" a miembros adyacentes hasta que elequilibrio es alcanzado. El método de

distribución de momentos en términos matemáticos puede ser demostrado como el

proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteración.

El método de redistribución de momentos cae dentro de la categoría de los métodos de

desplazamiento del análisis estructural.

Momentos de empotramiento en extremos fijos[editar]

Momentos de empotramiento en extremos fijos son los momentos producidos al extremo

del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas.

Rigidez a la Flexión[editar]

La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un

límite de esfuerzos de flexión sin deformarse. Larigidez flexional (EI/L) de un miembro es

representada como el producto del módulo de elasticidad (E) y el Segundo momento de

área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del

miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor

exacto pero es la Razón aritmética de rigidez de flexión de todos los miembros.

Coeficientes de distribución[editar]

Los coeficientes de distribución pueden ser definidos como las proporciones de los

momentos no equilibrados que se distribuyen a cada uno de los miembros. Un momento

no equilibrado en un nudo, es distribuido a cada miembro concurrente en él, esta

distribución se hace directamente proporcional a la rigidez a la flexión que presenta cada

uno de estos miembros.

Coeficientes de transmisión[editar]

Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando se

permite el giro en el apoyo. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo entre el

momento en el extremo fijo del extremo inicial es el coeficiente de transmisión.

-Valores típicos:

0,5 para nodos sin empotramiento

0 para nodos empotrados

Convención de signos[editar]

Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la

[convención de signos] usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas

cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y hacia arriba, resultando en

momentos positivos sobre el eje Z siendo antihorarios.

Estructuras de marcos[editar]

Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el método de

distribución de momentos.

EJEMPLO

La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura será analizada.

Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud  .

Las rigideces a Flexion son EI, 2EI, EI respectivamente.

Cargas concentradas de magnitud   actúan a una distancia   

desde el soporte A.

Carga uniforme de intensidad   actúa en BC.

Miembro CD está cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de

magnitud  .

En los siguientes cálculos, los momentos antihorarios son positivos.

Momentos en Extremos Fijos (momentos de empotramiento perfecto)[editar]

Coeficientes de Reparto[editar]

Los coeficientes de reparto de las juntas A y D son  .

Coeficientes de transmisión[editar]

Los coeficientes de transmisión son   (porque la sección es constante), excepto para el

factor de acarreo desde D (soporte fijo) a C el cual es cero.

Resultados[editar]

Momentos en articulaciones, determinados por el método de distribución de

momentos.

La convención de signos usual en ingeniería es usada aquí, i.e. Los momentos

positivos causan elongación en la parte inferior de un elemento de viga.

Para propósitos de comparación, los siguientes son los resultados generados, usando

un método matricial. Nota que en el análisis superior, el proceso iterativo fue llevado a

>0.01 de precisión. El hecho de que el resultado de análisis de matriz y el resultado de

análisis de distribución de momentos iguale a 0.001 de precisión es mera coincidencia.

Momentos en articulaciones determinados por el método matricial

Los diagramas completos de cortante y momento flector son como sigue. Nota que el

método de distribución de momentos solo determina los momentos en las juntas.

Desarrollando diagramas de momentos flextores completos requiere de cálculos

adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y el equilibrio interno

de la sección.

DEC DMF

Diagrama de esfuerzos cortantes. Diagrama de momentos flectores.

METODO DE DEFLEXION

En el esquema de deformación de una viga que se ilustra en la Figura 1, muestra la diferencia entre la teoría de Timoshenko y la teoría de Euler-Bernouilli: en la primera ϴ

x y y/x no tienen necesariamente que

coincidir, mientras que en la segunda son iguales [6].

La diferencia fundamental entre la teoría de Euler-Bernouilli y la teoría de Timoshenko es que en la primera el giro relativo de la sección se aproxima mediante la derivada del desplazamiento vertical, esto constituye una aproximación válida sólo para piezas largas en relación a las dimensiones de la sección transversal, y entonces sucede que las deformaciones debidas al esfuerzo cortante son despreciables frente a las deformaciones ocasionadas por el momento flexionante. En la teoría de Timoshenko, donde no se desprecian las deformaciones debidas al cortante y por tanto es válida también para vigas cortas, la ecuación de la curva elástica viene dada por el sistema de ecuaciones más complejo: