Vigas-columnasDEFINICINSi bien muchos miembros estructurales pueden tratarse como columnas cargadas de manera axial o como vigas con slo carga de flexin, la mayora de las vigas y columnas estn sometidas, en ciertogrado, alaflexinyalacargaaxial. Estosecumpleparalasestructurasestticamente indeterminadas. Incluso, el rodillo de apoyo de una viga simple puede experimentar la friccin que restringelongitudinalmentealaviga, al inducir latensinaxial cuandoseaplicanlascargas transversales. Sinembargo, enestecasoparticular, los efectos secundarios sonusualmente pequeos y pueden ser despreciados. Muchas columnas son tratadas como miembros en compresin pura con poco error. Sila columna es un miembro de un solo piso y puede tratarse comoarticuladaenambosextremos, lanicaflexinresultardeexcentricidadesaccidentales menores de la carga.Sinembargo, enmuchosdelosmiembrosestructuraleshabrunacantidadimportantede ambos efectos y tales miembros se llamarn vigas-columnas. Considere el marco rgido en la figura 6.1. FIGURA 6.1Para la condicin de carga dada, el miembro horizontalAB debe no slo soportar la carga vertical uniforme sino tambin ayudar a los miembros verticales a resistir la carga lateral concentrada P1. El miembroCDesuncasomscrtico, porquedeberesistir lacargaP1+P2sinayudadelos miembros verticales. La razn es que el arriostramiento X, indicado por las lneas de rayas, impide el desplazamiento lateral del piso inferior. Para la direccin mostrada de P2, el miembro ED estar en tensin y el miembro CF quedar laxo, siempre que los elementos del arriostramiento hayan sido diseados para resistir slo la tensin. Sin embargo, para que esta condicin ocurra, el miembro DC debe transmitir la carga P1 + P2 de C a D.Los miembros verticales de este marco deben tambin tratarse como vigas-columna.En el piso superior, losmiembrosAC yBD seflexionarnbajolainfluenciadeP1.Adems, enA yB,los momentos flexionantes son transmitidos del miembro horizontal a travs de los nudos rgidos. Esta transmisindemomentostambintienelugarenCyDysucedelomismoencualquiermarco rgido, aunqueesosmomentosson, porloregular, menoresquelosqueresultandelascargas laterales. Lamayoradelascolumnasenmarcosrgidossonenrealidadvigas-columnasylos efectos de la flexin no deben ser ignorados.Sin embargo, muchas columnas aisladas de un solo piso son tratadas como miembros cargados axialmente en compresin.Otro ejemplo de viga-columna puede a veces encontrarse en las armaduras de techo. .Aunque la cuerda superior es, por lo comn, tratada como un miembro cargado axialmente en compresin, si secolocan polinesentrelos nudos, susreaccionescausarn flexin, laque debetomarseen cuenta. Veremos despus en este captulo mtodos para resolver este problema6.2FRMULAS DE INTERACCINLa desigualdad de la ecuacin 2.3 puede escribirse de la forma siguiente:0 . 1 ni iRQo 0 . 1ar g _ _ _a resist encias c las de efectosSi ms de un tipo de resistencia est implicada, la ecuacin 6.1 se emplear para formar la base de una frmula de interaccin. Como vimos en elCaptulo 5, en conjuncin con la flexin biaxial, la suma de las razones carga-resistencia debe limitarse a la unidad. Por ejemplo, si actan la flexin y la compresin axial, la frmula de la interaccin sera0 . 1 +n bun cuMMPP Donde

uP carga de compresin axial factorizada

n cP resistencia de diseo por compresin

uMmomento flexionante factorizado n bM momento de diseoPara la flexin biaxial, habr dos razones de flexin:0 . 1

,`

.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP donde los subndices x y y se refieren a la flexin respecto a los ejes x y y.La ecuacin 6.3 es la base para las frmulas del AISC, para los miembros sometidos a la flexin ms la carga de compresin axial. Dos frmulas se dan en las Especificaciones: una para la carga axial pequea y otra para la carga axial grande. Si la carga axial es pequea, el trmino de la carga axial sereduce. Paraunacargaaxial grande, el trminodeflexinsereduceligeramente. Los requisitosdel AISCestndadosenel CaptuloHsobrelos"MiembrosBajoFuerzasyTorsin Combinadas", y se resumen como sigue:Para2 . 0 n cuPP 0 . 198

,`

.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP (Ecuacin H1-1 a del AISC)para2 . 0 n cuPP .: use la Ecuacin H1-1 a del AISC.0 . 1 919 . 0 02245 . 939836520098< ,`

.|+ +

,`

.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP (OK)RESPUESTAEste miembro satisface las Especificaciones AISC.6.3AMPLIFICACIN DEL MOMENTOElenfoque anterior para el anlisis de los miembros sometidos a la flexin ms la carga axiales satisfactorio en tanto que esta ltima no sea muy grande. La presencia de Ia carga axial produce momentos secundarios y amenos quelacargaaxial searelativapequea, esos momentos adicionales deben tomarse en cuenta. Para entender esto, observe la figura 6.3, la cual muestra una viga-columna con una carga axial y una carga transversal uniforme.FIGURA 6.3EnunpuntoOcualquiera, hayunmomentoflexionantecausadopor lacargauniformeyun momento adicionalPy originado por la carga axial al actuar con una excentricidad respecto al eje longitudinal del miembro. Este momento secundario es mximo donde la deflexin es mxima, en este caso a la mitad de la altura, donde el momento total es P wL + 8 /2. Por supuesto, el momento adicional causa una deflexin adicional por encima de la resultante de la carga transversal. Como la deflexintotal nopuedeencontrarsedirectamente, esteproblemanoeslineal ysinconocer la deflexin, no podemos calcular el momento.Los mtodos de anlisis estructural ordinarios, que no toman en cuenta la geometra desplazada, sedenominandeprimer orden.Losprocedimientosnumricositerativos, llamados mtodosdesegundoorden,puedenemplearseparaencontrar lasdeflexionesylosmomentos secundarios, peroesosmtodossonimpracticables paralosclculosmanualesyson, por lo regular, implementados con un programa de computadora. La mayora de los reglamentos y de las especificaciones de diseo, incluyendo las Especificaciones del AISC, permiten el uso de un anlisis de segundo orden o delmtodo de la amplificacin del momento.Este mtodo implica calcular el momento flexionante mximo que resulta de las cargas de flexin (cargas transversales o momentos de extremo del miembro) por medio de un anlisis de primer orden para luego multiplicarlo porun factor de amplificacin de momentopara tomar en cuenta el momento secundario. Se desarrollar, enseguida una expresin para este factor.La figura 6.4 muestra un miembro simplemente apoyado con una carga axial y cierto desalineamiento inicial. Este desalineamiento inicial puede ser aproximado por

Lxesen y0FIGURA 6.4Dondeeesel desplazamientomximoinicial queocurrealamitaddel claro. Parael sistema coordenado mostrado, la relacin momento-curvatura puede escribirse como EIMdxy d 22El momento flexionante M es causado por la excentricidad de la carga axial Pu con respecto al ejedel miembro. Estaexcentricidadconsisteenel desalineamientoinicialy0msladeflexin adicional y que resulta de la flexin. En cualquier posicin, el momento es: ( ) y y P Mu+ 0Al sustituir esta expresin en la ecuacin diferencial, obtenemos:,`

.|+ yLxesenEIPdxy du22Al reordenar los trminos, resulta:LxsenEIe PyEIPdxy du u +22que es una ecuacin diferencial ordinaria no homognea. Como es una ecuacin de segundo orden, habr dos condiciones de frontera. Para las condiciones de soporte mostradas, las condiciones de frontera son:Enx = 0, y = 0 yenx = L,y = 0Esdecir, el desplazamientoesceroencadaextremo. Unafuncinquesatisfacelaecuacin diferencial y las condiciones de frontera es:LxBsen yDonde B es una constante. Sustituyndola en la ecuacin diferencial, obtenemos:LxsenEIe PLxBsenEIPLxBsenLu u + 22Al despejar la constante se obtiene:112222ueuuuPP eL P EIeL EIPEIe PB Donde: 22LEIPela carga de pandeo de Euler .: ( ) LxsenP PeLxBsen yu e ]]]

1 / ( ) y y P Mu+ 0

( )'']]]

+ LxsenP PeLxesen Pu eu 1 /El momento mximo ocurre en x = L/2:( )]]]

+ 1 /u eu mxP Pee P M

( )( )]]]

+ 1 /1 1 /u eu euP P P Pe P( )]]]

e uP PM/ 110donde Moes el momento mximo no amplificado. En este caso, esto resulta deldesalineamiento inicial, peroengeneral, estopuederesultardelascargastransversalesodemomentosenlos extremos. El factor de amplificacin de momento es por lo tanto:

( )e uP P / 11(6.4)Comoveremosdespus, laformaexactadel factor deamplificacindemomentodel AISC puede ser ligeramente diferente en forma al mostrado en la expresin 6.4.EJEMPLO 6.2Use la expresin 6.4 para calcular el factor de amplificacin para la viga-columna del ejemplo 6.1.SOLUCINComolacargadeEulerPeespartedeunfactordeamplificacinparaunmomento,elladebe calcularse para el eje de flexin, que en este caso es el eje x.En trminos de longitud efectiva y relacin de esbeltez, la carga de Euler puede escribirse como:( ) 22/ r KLEAPge(Vea la ecuacin 4.6a del captulo 4.) Para el eje de flexin, ( )( )89 . 5565 . 312 17 0 . 1 xxr L KrKL( )( )( )( )kipsr KLEAPge156789 . 551 . 17 000 , 29/2222 De la expresin 6.4, ( ) ( )15 . 11567 / 200 11/ 11e uP Pque representa un incremento del 15% en el momento flexionante. El momento primario amplificado es 1.15 x Mu = 1.15 (93.5) = 107.5 ft-kipsRESPUESTA Factor de amplificacin = 1.156.4PANDEO LOCAL DEL ALMA EN VIGAS-COLUMNASLadeterminacindel momentodediseorequierequesereviselacompacidaddelaseccin transversal. El alma es compacta para todos los perfiles tabulados, en tanto que no se tenga carga axial. En presencia de la carga axial, el alma puede ser no compacta. Cuando usamos la notacin wt h / tenemos lo siguiente:Sip , el perfil es compacto.Sir p , el perfil es esbelto.La seccin B5 del Manual AISC, en la Tabla B5.1, prescribe los siguientes lmites: Para , 125 . 0 y buPP

,`

.| y buypPPF75 . 21640Para, 125 . 0 >y buPP y y buypFPPF25333 . 2191

,`

.|

Para cualquier valor de y buPP,

,`

.| y buyrPPF 74 . 0 1970Dondey g yF A Pes la carga axial requerida para alcanzar el estado lmite de fluencia.Como Pu es una variable, la compacidad del alma no puede revisarse ni tabularse de antemano. Sin embargo, algunos perfiles rolados satisfacen el peor caso lmite de 253/ Fy, lo que significa que esos perfiles tienen almas compactas sin importar cul sea la carga axial. Los perfiles dados en las tablas de cargas para columnas, en la Parte 3 delManual,que no satisfacen este criterio, estn marcadas, y slo esos perfiles deben revisarse por compacidad del alma. Los perfiles cuyos patines no son compactos, estn tambin marcados; por lo que, si no hay indicacin contraria, los perfiles en las tablas de cargas para columnas son compactos.EJEMPLO 6.3Unperfil W12X65deaceroA36estsometidoaunmomentoflexionanteyaunacargaaxial factorizada de 300 kips. Revise si el alma es compacta.SOLUCINEste perfil es compacto para cualquier valor de la carga axial porque no hay un pie de pgina en la tabla aplicable de cargas para columnas que indique lo contrario. Sin embargo, como ilustracin, revisamos aqu la razn ancho-espesor:y buPP=( ) ( )( )125 . 0 4848 . 036 1 . 19 90 . 0300> y g buF AP.: ( ) 74 . 58 4848 . 0 33 . 23619133 . 2191

,`

.| y buypPPFDe las tablas de dimensiones y propiedades,pwth < 9 . 24El almaesporlotantocompacta. Noteque, paracualquierFy disponible,h/twsermenorque yF / 253, que es el menor valor posible dep, por lo que el alma de un perfil W12 x 65 siempre ser compacta.6.5MARCOS CONTRAVENTEADOS VERSUS MARCOS NO CONTRAVENTEADOSLas Especificaciones AISC tratan la amplificacin del momento en el Captulo C sobre "Marcos y otras Estructuras". Dos factores de amplificacin se usan en el LRFD: uno para tomar en cuenta la amplificacin resultante por la deflexin del miembro y otro para el efecto del desplazamiento lateral cuando el miembro es parte de un marco no arriostrado. Este enfoque es el mismo que el empleado en elReglamentode Construccin delACI para elconcreto reforzado (ACI, 1995). La figura6.5 ilustra esas dos componentes. En la figura 6.5a,FIGURA 6.5El miembro est restringido contra el desplazamiento lateral y el momento secundario mximo es P ,quesesumaal momentomximodentrodel miembro. Si el marcoestrealmenteno arriostrado, hay un componente adicional del momento secundario mostrado en la figura 6.5b, que es causado por el desplazamiento lateral. Este momento secundario tiene un valor mximo de P.,que representa una amplificacin del momento de extremo. .Para aproximar esos dos efectos, se utilizan dos factores de amplificacin B1y B2 para los dos tipos demomentos. El momentoamplificado por emplearseenel diseosecalculaconcargas y momentos factorizados como sigue (los subndicesxyyno se usan aqu;los momentos amplificados deben calcularse de la siguiente manera para cada eje respecto al cual haya momentos):.

tl nt uM B M B M2 1+ (Ecuacin C1-1 del AISC)Donde ntM= momento mximo al suponer que no ocurre un desplazamiento lateral, est el marco realmente arriostrado o no (el subndice "nt" se refiere a "no traslacin"). tlM= momento mximo causado por desplazamiento lateral (el subndice "tl se refiere a "traslacin lateral"). Este momento puede ser causado por las cargas laterales o por las cargas de gravedad no balanceadas. Las cargas de gravedad pueden producir un desplazamiento lateral si el marco es asimtrico.Las cargas degravedad estnasimtricamentecolocadas.tlMsercerosi el marcoest arriostrado. B1 = factor de amplificacin para los momentos que ocurren en el miembro cuando ste est arriostrado contra el desplazamiento lateral. B2= factor de amplificacin para los momentos que, resultan por desplazamiento lateral.Veremos la evaluacin de B1 y B2 en las siguientes secciones.MIEMBROS EN MARCOS CONTRAVENTEADOSEl factor de amplificacin dado por la expresin 6.4 se obtuvo para un miembro arriostrado contra un desplazamiento lateral, es decir, uno cuyos extremos no pueden trasladarse uno respecto al otro. La figura 6.6 muestra un miembro de este tipo sometido a los momentos de extremo iguales que producen la flexin de curvatura simple (flexin que produce tensin o compresin en un lado en toda la longitud del miembro). La amplificacin mxima del momento ocurre en el centro, donde la deflexinesmxima. Paramomentosdeextremoiguales, el momentoesconstanteentodala longituddel miembro, por loqueel momentoprimariomximotambinocurreenel centro. El momento secundario mximo y el momento primario mximo son entonces aditivos. Incluso, si los momentos de extremo no son iguales, en tanto que uno sea horario y el otro antihorario, habr una flexin de curvatura simple y los momentos primario mximo y secundario mximo ocurrirn cerca uno del otro.Este no es elcaso silos momentos de extremo aplicados producen una flexin de curvatura doble, como semuestraenlafigura6.7. Aqu el momentoprimariomximoestenunodelos extremos y la amplificacin mxima del momento ocurre entre los extremos. Al depender del valor de la carga axial Pu, el momento amplificado puede ser mayor o menor que el momento de extremo.El momento mximo en una viga-columna depende, entonces, de la distribucin del momento flexionante a lo largo del miembro. Esta distribucin se toma en cuenta por medio de un factor Cm aplicadoal factor deamplificacinB1El factor deamplificacindadopor laexpresin6.4fue obtenido para el peor caso, por lo que Cm nunca ser mayor que 1.0. La forma final del factor de amplificacin es:( )1/ 111e umP PCB (Ecuacin CI-2 del AISC)FIGURA 6.6FIGURA 6.7Donde( ) 2221/ r KLEA F APgcy ge Al calcular Pe1, use la KL/r para el eje de flexin y un factor de longitud efectiva K menor que o igual a 1.0 (correspondiente a la condicin arriostrada).Evaluacin de CmEl factor Cm se aplica slo a la condicin arriostrada. Hay dos categoras de miembros aquellos que poseen cargas transversales aplicadas entre los extremos y aquellos sin cargas tranversales. La figura 6.8b y c ilustran esos dos casos (el miembro AB es la viga-columna bajo consideracin).1. Si no hay cargas transversales actuando sobre el miembro,

,`

.| 214 . 0 6 . 0MMCm(Ecuacin CI-3 del AISC)2 1 / M Mes la razn de los momentos flexionantes en los extremos del miembro.M1 es el momento de extremo menor en el valor absoluto, M2 es el mayor y la razn es positiva para los miembros flexionados en curvatura doble y negativa para flexin de curvatura simple (figura 6.9). La curvatura doble (razn positiva) ocurre cuandoM1yM2son ambos horarios o ambos antihorarios.2. Para los miembros cargados transversalmente, Cm puede tomarse igual a 0.85, si los extremos estn restringidos contra la rotacin y a 1.0 si los extremos no estn restringidos contra la rotacin (articulados). La restriccin de extremo resultar, por lo regular, de la rigidez de los miembros conectados a la viga-columna. La condicin de extremo articulado es la empleada en la deduccin del factor de amplificacin; por consiguiente, no hay reduccin para este caso, que corresponde a Cm = 1.0. Aunque la condicin real de extremo puede encontrarse entre la de empotramiento y la de articulacin, el uso de uno de los dos valores dados aqu dar resultados satisfactorios.FIGURA 6.8FIGURA 6.9Un procedimiento ms refinado para los miembros cargados transversalmente (el segundo caso) es proporcionado en la Seccin C1 de los Comentarios a las Especificaciones.El factor de reduccin es:11eumPPC + Para los miembros simplemente soportados,12002 L MEI Donde 0 es la deflexin mxima que resulta de la carga transversal y Mo es el momento mximo entre los soportes que resulta de la carga transversal. El factor ha sido evaluado para varias situaciones comunes y est dado en la Tabla C-C 1.1 de los Comentarios. EJEMPLO 6.4El miembro mostrado en la figura 6.10 es parte de un marco arriostrado. La carga y los momentos se han calculado con cargas factorizadas y la flexin es con respecto al eje fuel Es adecuado este miembro en acero A572 grado 50? 14 L K L Ky xpies.SOLUCINDetermine cul es la frmula de interaccin que debe usarse:( )63 . 5502 . 3 12 14 yyr L KmximarKLDe la Tabla 3-50 del AISC,ksi Fc c89 . 33 , por lo que: ( ) ( ) . 4 . 647 89 . 33 1 . 19 kips F A Pcr c g n c 2 . 0 6487 . 04 . 647420> n cuPP :. use la Ecuacin H1-1a del AISC.FIGURA 6.10En el plano de flexin,( )82 . 3128 . 5 12 14 xxr L KrKL( )( )( )( )kipsr L KEA F APx xgcy ge539982 . 311 . 19 000 , 29/222221 9415 . 082704 . 0 6 . 0 4 . 0 6 . 021 ,`

.|

,`

.| MMCm( ) ( )021 . 15399 / 420 19415 . 0/ 111e umP PCBDe las cartas para Diseo de Vigas, con Cb = 1.0 y Lb = 14 ft, la resistencia por momento es: kips ft Mn b 347 Para el valor real de Cb, refirase al diagrama de momento mostrado en la figura 6.10:

( )( ) ( ) ( ) ( )06 . 179 3 76 4 73 3 82 5 . 282 5 . 123 4 3 5 . 25 . 12+ + ++ + +C B A mxmxbM M M MMC :. ( ) ( ) kips ft C Mb n b 368 347 06 . 1 347 Pero( ) kips ft cartas las de kips ft M p b < 368 _ _ 358 :. Use kips ft Mn b 358 Los momentos por carga factorizada son:

kips ft Mnt 82 0 tlMDe la Ecuacin C1-1 del AISC, ( )ux tl nt uM kips ft M B M B M + + 72 . 83 0 82 021 . 12 1 De la ecuacin H1-1a del AISC,0 . 1 857 . 035872 . 83986487 . 098< ,`

.|+

,`

.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP (Satisfactorio)RESPUESTAEste miembro es satisfactorio. EJEMPLO 6.5La viga-columna horizontalque se muestra en la figura 6.11 est sometida a las cargas! vas de servicio indicadas. Este miembro est soportado lateralmente en sus extremos/i flexin es respecto al eje x. Revise si se cumplen las Especificaciones del AISC.SOLUCINLa carga factorizada es:( ) kips Pu0 . 32 20 6 . 1 y el momento mximo es:( )( ) ( )( )kips ft Mnt + 52 . 80810 035 . 0 2 . 1410 20 6 . 12Este miembro est arriostrado contra la traslacin de extremo, por lo que 0 tlM.Clculo del factor de amplificacin del momento:Para un miembro arriostrado contra un desplazamiento lateral, cargado transversalmente y con extremos no restringidos, Cm puede considerarse iguala 1.0. Un valor ms exacto tomado de la Tabla C-C1.1 de los Comentarios del AISC es:12 . 0 1eumPPC FIGURA 6.11Para el eje de flexin,

( )( )19 . 3451 . 312 10 0 . 1 xxr L KrKL

( )( )( )( )kipsr KLEAPge252219 . 343 . 10 000 , 29/22221 9975 . 025220 . 322 . 0 1 ,`

.| mCEl factor de amplificacin es: .

( ) ( )0 . 1 010 . 12522 / 0 . 32 19975 . 0/ 111> e umP PCBPara el eje de flexin, ( ) kips ft M B M B Mtl nt u + + 33 . 81 0 52 . 80 010 . 12 1Para obtener las resistencias de diseo, entre primero a las tablas de cargas de columnas en .la Parte 3 del Manual, que dan kips Pn c262 De las cartas de diseo de vigas en la Parte 4 del Manual, para Lb = 10ft Y Cb = 1.0, kips ft Mn b 8 . 91 Como el peso de la viga es muy pequeo en relacin a la carga viva concentrada, Cb puede tomarse de la figura 5.13c como 1.32. Este valor conduce a un momento de diseo de ( ) kips ft Mn b 121 8 . 91 32 . 1 Este momento es mayor que kips ft M p b 6 . 93 , tambin obtenido de las cartas de diseo de vigas, por lo que la resistencia de diseo debe limitarse a este valor. Por lo tanto,

kips ft Mn b 6 . 93 Revise la frmula de interaccin: 2 . 0 1221 . 02620 . 32< n cuPP.: Use la Ecuacin H1-1b del AISC:0 . 1 930 . 0 06 . 9333 . 8121221 . 02< ,`

.|+ +

,`

.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP (Satisfactorio)RESPUESTAUn perfil W8 x 35 es adecuado. EJEMPLO 6.6El miembro que se presenta en la figura 6.12 es un perfil WI2 x 65 de acero A242 que debe soportar una carga axialde compresin factorizada de 300 kips. Un extremo est articulado y el otro est sometido a los momentos por carga factorizada de 135 ft-kips respecto al eje fuerte y a 30 ft-kips respecto al eje dbil. Use Kx = Ky = 1.0 e investigue si se cumplen las Especificaciones AISC.SOLUCINPrimero, determine el esfuerzo de fluencia Fy. De la Tabla 1-2 en la Parte I del Manual, unW 12 x 65 es un perfil del Grupo 2. De la Tabla 1-1, los perfiles del Grupo 2 estn disponibles en una sola resistencia en acero A242, con Fy = 50 ksi.Acontinuacin, encuentre la resistencia por compresin. ParaKL=1.0(15) =15ft, la resistencia de diseo por compresin axial, de las tablas de carga para columnas eskips Pn c626 Notequelatablaindicaqueel patndeunperfil W12x65esnocompactoparaFy=50Ksi.Calcule los momentos flexionantes respecto al eje fuerte.

( ) 6 . 0 0 4 . 0 6 . 0 4 . 0 6 . 021 MMCmx ( )09 . 3428 . 5 12 15 xxr L K( )( )( )( )kipsr L KEAPx xgx e470409 . 341 . 19 000 , 29/22221 ( ) ( )0 . 1 641 . 04704 / 300 16 . 0/ 111> x e umxP PCB :. use B1x = 1.0.( ) kips ft M B M B Mtlx x ntx x ux + + 135 0 135 0 . 12 1FIGURA 6.12De las cartas para diseo de vigas con Lb = 15 ft, nx bM = 342 ft-kips para Cb = 1.0, ypx bM = 357.8 ft-kips. De la figura 5.15g, Cb = 1.67, y( ) ( ) kips ft paraC M Cb nx b b 571 342 67 . 1 0 . 1 Este resultado es mayor quepx bM ; por lo tanto, use nx bM =px bM = 357.8 ft-kips.Calcule los momentos flexionantes respecto al eje dbil.

( ) 6 . 0 0 4 . 0 6 . 0 4 . 0 6 . 021 MMCmy ( )60 . 5902 . 3 12 15 yyr L K( )( )( )( )kipsr L KEAPy ygy e153960 . 591 . 19 000 , 29/22221 ( ) ( )0 . 1 745 . 01539 / 300 16 . 0/ 111< y e umyyP PCB :. use B1y = 1.0.( ) kips ft M B M B Mtly y nty y uy + + 30 0 30 0 . 12 1Como el patn de este perfil es no compacto, la resistencia por flexin respecto al eje dbil est limitada por el PLP.9 . 92 fftb192 . 95065 65 ypF29 . 2210 5014110141yrFcomor p < n cuPP :. Use la Ecuacin H1-1a del AISC:0 . 1 980 . 02 . 161308 . 357135984792 . 098< ,`

.|+ +

,`

.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP (Satisfactorio)RESPUESTAEl perfil Wl2 x 65 es satisfactorio.6.7MIEMBROS EN MARCOS NO CONTRAVENTEADOSEn una viga-columna cuyos extremos tienen libertad de trasladarse, el momento primario mximo resultante del desplazamiento lateral est casi siempre en un extremo. Como se ilustr en la figura 6.5, el momentosecundariomximopor el desplazamientolateral estsiempreenel extremo. Como consecuencia de esta condicin, los momentos mximos primario y secundario son, por lo regular, aditivosynoserequiereel factorCm;enefecto,Cm=1.0. Auncuandosetengauna reduccin, staserpequeaypodrdespreciarse. Considerelaviga-columnamostradaenla figura 6.13. Aqu, los momentos iguales de extremo son causados por el desplazamiento lateral (por la carga horizontal). La carga axial, que resulta parcialmente de cargas que no causan desplazamiento lateral, es transmitida y amplifica el momento de extremo.El factor de amplificacin B2 para los momentos por desplazamiento lateral, es dado por dos ecuaciones. Cualquiera de ellas puede usarse; la seleccin es por conveniencia.( ) HL PBoh u/ 112 (Ecuacin C1-4 del AISC)o( ) 22/ 11e uP PB(Ecuacin C1-5 del AISC)DondeuP = suma de las cargas factorizadas sobre todas las columnas en el piso bajo consideracinoh = ladeo (desplazamiento lateral) del piso bajo consideracinH = suma de todas las fuerzas horizontales que causan ohL = altura del piso2 eP = suma de las cargas de Euler para todas las columnas en el piso (al calcular 2 eP, use KL/r para el eje de flexin y un valor de K correspondiente a la condicin no arriostrada)LassumasparaPuyPe2sonsobretodaslascolumnasdel mismopisoquelacolumnaen consideracin. La razn para emplear las sumas es que B2 se aplica a marcos no arriostradosFIGURA 6.13Yquesevaaocurrir el desplazamientolateral, todaslascolumnasdel pisodebenladearse simultneamente.En la mayora de los casos, la estructura estar hecha de marcos planos, por lo que uPy2 ePson para las columnas de un piso del marcoy las cargas laterales H son las cargas laterales que actan sobre el marco en y arriba del piso.Con oh causado porH , la razn oh/H puede basarse en lascargas factorizadas o en las cargas no factorizadas.La forma alternativa de B2dada por la Ecuacin C1-5 del AISC es casi la misma que la ecuacin para B1excepto por las sumas.Las ecuaciones C1-4 y C1-5 del AISC se derivaron l emplear dos mtodos diferentes, pero en la mayora de los casos, estas ecuaciones dan resultados casi idnticos (Yura, 1988).En aquellos casos en que los dos valores de B2sean considerablemente diferentes, el trmino de carga axial de la frmula de iteracin ser dominante y los resultados finales no sern muy diferentes entre s. Como se mencion antes, utilizar una u otra es un asunto de conveniencia; ello depende de en que trminos de las ecuaciones estn disponibles ms fcilmente.En las situaciones en que Mnty Mtlacten en dos puntos diferentes sobre el miembro, como en la figura 6.5, la Ecuacin c1-1 del AISC producir resultados conservadores.La figura 6.14 ilustra el concepto de superposicin.La figura 6.14a muestra un marco arriostrado sometido a las cargas de gravedad y laterales.El momento Mnt en el miembro AB se calcula al emplear slo las cargas de gravedad. FIGURA 6.14Debido a la simetra, no es necesario ningn arriostramiento para prevenir el desplazamiento lateral por esas cargas.Este momento se amplifica con el factor B1para tomar en cuenta el efecto P .Mtl, el momento correspondiente al desplazamiento lateral (causado por la carga horizontal H), ser amplificado por B2para tomar en cuenta el efecto. PEnlafigura6.14b, el marconoarriostradosoportaslounacargavertical. Debido ala colocacinasimtricadeestacarga, habrunapequeacantidaddedesplazamientolateral. El momento Mnt se calcula al considerar que el marco est arriostrado, en este caso, por un soporte horizontal ficticio; lareaccincorrespondientesellamarestriccinartificial denudo(RAN). Para calcular el momento por un desplazamiento lateral, se retira el soporte ficticio y una fuerza igual a la restriccin artificial de nudo, pero opuesta en sentido, se aplica al marco. En casos como ste, el momento secundario. Pser muy pequeo y Mtl puede, por lo comn, ser despreciado.Si setienenpresenteslascargaslateralesydegravedadasimtricas, lafuerzaRANdebe agregarse a las cargas laterales reales cuando se calcula Mtl.EJEMPLO 6.7Un perfilW12 x 65 de acero A572 grado 50, de 15 ft de longitud, debe investigarse para su uso como columna en un marco no arriostrado. La carga axial y los momentos de extremo obtenidos de un anlisis de primer orden de las cargas de gravedad (carga muerta y carga viva) se muestran en la figura 6.15a. El marco es simtrico y las cargas de gravedad estn simtricamente colocadas. La figura 6.15b presenta los momentos por viento obtenidos de un anlisis de primer orden. Todos los momentos flexionantes son respecto al eje fuerte. Los factores de longitud efectiva son Kx = 1.2 para el caso con ladeo, Kx = 1.0 para el caso sin ladeo y Ky = 1.0. Determine si el miembro cumple las Especificaciones del AISC.SOLUCINTodas las combinaciones de cargas dadas en la seccin A4.1 del AISC implican a la carga muerta y excepto por la primera, todas las combinaciones implican tambin a la carga viva o a la carga de viento o a ambas. Si los tipos de carga no presentes en este ejemplo (como E, Lr,S y R) se omiten, las condiciones de carga pueden resumirse como:1.4D(A4-1)1.2D + 1.6L (A4-2) 1.2D + (0.5L o 0.8W)(A4-3) 1.2D + I.3W + 0.5L(A4-4) 1.2D + O.5L (A4-5) 0.9D t1.3 W (A4-6) La carga muerta es menor que ocho veces la carga viva, por lo que la combinacin (A4-1) puede excluirse. Lacombinacin(A4-4) serms crticaquela(A4-3), por loquela(A4-3) puede eliminarse. La combinacin (A4-5) puede eliminarse porque ellaser menos crtica que la (A4-2) FIGURA 6.15Finalmente, lacombinacin (A4-6) nosertancrticacomola(A4-4) y puededejar de ser considerada, y as quedan slo dos combinaciones de carga por investigar, la (A4-2) y la (A4-4):1.2D + 1.6L y 1.2D + 1.3W + 0.5LLa figura 6.16 muestra las cargas crticas y los momentos flexionantes calculados para esas dos combinaciones.Determine el eje crtico para la resistencia por compresin axial:ft L Ky15 ( )ft ftr rL Ky xx15 29 . 1075 . 1 15 2 . 1/< :. Use KL = 15 ftFIGURA 6.16De las tablas de cargas para columnas, con KL = 15 ft, n cP = 626 kips.Paralacondicindecarga(A4-2),Pu=454kips,Mnt=104.8ft-kipsyMtl=0(debidoala simetra, no hay momentos por desplazamiento lateral). El factor de flexin es:2565 . 08 . 104904 . 0 6 . 0 4 . 0 6 . 021 ,`

.|

,`

.| MMCmPara el eje de flexin,( )( )09 . 3428 . 512 15 0 . 1 xxr L KrKL(Este caso no implica un desplazamiento lateral, por lo que se usa Kxpara la condicin arriostrada.) Entonces,( )( )( )( )kipsr KLEAPge470409 . 341 . 19 000 , 29/22221 El factor de amplificacin para momentos sin desplazamiento lateral es:( ) ( )0 . 1 284 . 04704 / 454 12565 . 0/ 111< e umP PCB:. Use B1= 1.0( ) kips ft M B M B Mtl nt u + + 8 . 104 0 8 . 104 0 . 12 1De las cartas de diseo para vigas, con Lb = 15 ft,

kips ft Mn b 343 (Para Cb = 1.0)

kips ft M p b 358

Lafigura6.17muestrael diagramademomentoflexionanteparalosmomentospor cargade gravedad (el clculo de Cb se basa en valores absolutos, por lo que no es necesaria una convencin de signos para el diagrama). Por consiguiente,( )( ) ( ) ( ) ( )24 . 210 . 56 3 400 . 7 4 3 . 41 3 8 . 104 5 . 28 . 104 5 . 123 4 3 5 . 25 . 12+ + ++ + +C B A mxmxbM M M MMCPara Cb = 2.24,( ) > 3 4 3 2 4 . 2n bM kips M p b358 :. Use kips ft Mn b 358 Determine la ecuacin de interaccin apropiada:2 . 0 7252 . 0626454> n cuPP :. Use la Ecuacin H1-1a del AISC:0 . 1 985 . 0 03588 . 104987252 . 098< ,`

.|+ +

,`

.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP (Satisfactorio)FIGURA 6.17Para la condicin de carga (A4-4), Pu = 212 kips, Mnt = 47,6 ft-kips y Mtl = 171.6 ft-kips. Para la condicin arriostrada,2597 . 06 . 47 5 . 404 . 0 6 . 0 4 . 0 6 . 021 ,`

.|

,`

.| MMCmkips Pe47041 (1 eP es independiente de la condicin de carga)( ) ( )0 . 1 272 . 04704 / 212 12597 . 0/ 111< e umP PCB :. use B1= 1.0Nosetienensuficientesdatosparacalcular exactamenteel factor deamplificacinB2paralos momentoscondesplazamientolateral, ni conlaEcuacinC1-4ni conlaC1-5.) del AISC. Si suponemos que la razn de la carga axialaplicada a la capacidad de carga del 1er es la misma paratodaslascolumnas enel pisoqueparalacolumnaenconsideracinpodemos usar la Ecuacin C1-5:( ) ( )2 22/ 11/ 11e u e uP P P PB Para Pe2, use la Kx correspondiente a la condicin no arriostrada:( )( )91 . 4028 . 512 15 2 . 1 xxr L KrKLDe la Ecuacin C1-5 del AISC,( ) ( )069 . 13266 / 212 11/ 1122e uP PBEl momento total amplificado es:( ) ( ) kips ft M B M B Mtl nt u + + 0 . 231 6 . 171 069 . 1 6 . 47 0 . 12 1AunquelosmomentosMntyMtlsondiferentes, ellosestnsimilarmentedistribuidosyCbser aproximadamenteel mismo; entodocaso, ellossonlosuficientementegrandescomoparaque kips ft M p b 358 sea el momento de diseo, independientemente de qu momento se considere.2 . 0 3387 . 0626212> n cuPP :. Use la Ecuacin H1-1a del AISC:0 . 1 912 . 0 03580 . 231983387 . 098< ,`

.|+ +

,`

.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP (Satisfactorio)RESPUESTAEste miembro satisface los requisitos de las Especificaciones AISC.6.8DISEO DE VIGAS-COLUMNASDebidoalasmuchasvariablesenlasfrmulasdeinteraccin, el diseodevigas-columnaes esencialmente un proceso de tanteos. Se selecciona un perfil de prueba y luego se revisa si ste satisface la frmula de interaccin gobernante. Es claro que entre ms cerca est el perfil de prueba a la seleccin final, se tratar de un perfil mejor. Un procedimiento muy eficiente para escoger un perfil deprueba, originalmentedesarrolladoparael diseopor esfuerzospermisibles (Burgett, 1973), hasidoadaptadoparael LRFDysedaenlaParte3delManualsobre"Diseode Columnas". Laesenciadeestemtodoes"convertir" losmomentosflexionantesalascargas axialesequivalentes. Esascargasficticiassesumanalascargasrealesyseseleccionaenlas tablas de cargas para columnas un perfil que soporte la carga total. Esta seleccin debe entonces investigarse con la Ecuacin H1-1a o la H1-1b del AISC. La carga axial efectiva total est dada por:mu M m M P Puy ux u ueq+ + donde:Pu = carga axial real factorizada (kips)Mux = momento factorizado respecto al eje x (ft-kips) Muy = momento factorizado respecto al eje y (ft-kips) m = constante tabuladau = constante tabuladaLabasedeesteprocedimientopuedeexaminarseal rescribir laecuacin6.3comosigue. Primero, multiplique ambos lados por n cP :n cny buy n cnx bux n cuPMM PMM PP + + o Pu + (Mux xuna constante) + (Muy x una constante) n cP El lado derecho de esta desigualdad es la resistencia de diseo del miembro bajo consideracin y el lado izquierdo puede estimarse como la carga factorizada aplicada por ser resistida. Cada uno de los trestrminos enel ladoizquierdodebetener unidades defuerzayaquelas constantes "convierten" los momentos flexionantes Muxy Muyen componen de carga axial.Los valores promedio de la constante m se han calculado para diferentes grupos de perfiles W y estn dados en la Tabla 3-2 en la Parte 3 del Manual. Los valores de u estn dados en las tablas de cargaparacolumnasparacadaperfil enlalista. Paraseleccionar unperfil depruebaparaun miembro con carga axial y flexin respecto a ambos ejes, proceda como sigue:1. Selecciones un valor de prueba de m basado en la longitud efectiva KL. Haga u = 2. 2. Calcule una carga axial efectiva de compresin:

mu M m M P Puy ux u ueq+ + Use esta carga para seleccionar un perfil de las tablas de carga para columnas. 3. Use el valor de u dado en las tablas de carga para columnas y un valor mejorado de m de la Tabla 3-2 para calcular un valor mejorado deueqP.Seleccione otro perfil.4. Repita el proceso hasta que no haya cambio enueqPEJEMPLO 6.8Un cierto miembro estructural en un marco arriostrado debe soportar una carga axial en compresin factorizada de 150 kips y momentos de extremo factorizados de 75 ft-kips respecto al eje fuerte y de 30 ft-kips respecto aleje dbil.Ambos momentos ocurren en un extremo; elotro extremo est articulado. La longitud efectiva con respecto a cada eje es de 15 ft. No hay cargas transversales sobre el miembro. Use acero A36 y seleccione el W ms ligero.SOLUCIN El factor de amplificacin B1 puede estimarse igual a 1.0 para fines de efectuar una seleccin de prueba. Para cada uno de los dos ejes,( ) kips ft M B Mntx ux 75 75 0 . 11De la Tabla 3-2 en la Parte 3 del Manual, m = 1.75 por interpolacin.Use un valor inicial de u = 2.0.( ) ( )( ) kips mu M m M P Puy ux u ueq386 0 . 2 75 . 1 30 75 . 1 75 150 + + + + Comience con los perfiles ms pequeos en las tablas de cargas para columnas; ensaye W8 x 67 (n cP = 412 kips, u = 2.03):m = 2.1Pueq = 150 + 75(2.1) + 30(2.1) (2.03) = 435 kipsEstevalor esmayor quelaresistenciadediseode412kips, porloquedebeprobarseperfil. Ensaye WI0 x 60 (n cP = 416 kips, u = 2.00):m = 1.85Pueq = 150 + 75(1.85) + 30(1.85) (2.00) = 400 kips < 416 kips (satisfactorio)El W1O x 60 es por tanto un perfil de prueba potencial. Revise los W12 y W14 como otras posibilidades. Ensaye W12 x 58 (n cP = 397 kips, u = 2.41):m = 1.55Pueq = 150 + 75(1.55) + 30(1.55) (2.41) = 378 kips < 397 kips(satisfactorio)Un W12 x 58 es, por tanto, un perfil de prueba potencial. El Wl4 con posibilidad de pasar es un W14 x 61 y es ms pesado que el W12 x 58. Por consiguiente, use un W12 x 58 como perfil de prueba:2 . 0 3778 . 0397150> n cuPP:. Use la Ecuacin H1-1a del AISCCalcule los momentos por flexin respecto al eje x.

( )09 . 3428 . 5 12 15 xxr L K( )( )( )( )kipsr L KEAPx xgx e418709 . 340 . 17 000 , 29/22221 ( ) 6 . 0 0 4 . 0 6 . 0 4 . 0 6 . 021 MMCmx (Para ambos ejes)( ) ( )0 . 1 622 . 04187 / 150 16 . 0/ 111< e umP PCB:. Use B1 = 1.0.( ) kips ft M B Mntx ux 75 75 0 . 11Determine ahora la resistencia de diseo. De las curvas de diseo para vigas, para Cb = 1 y Lb = 15 ft,kips ft Mn b 220 .De la figura 5.l5g, Cb = 1.67. Para Cb = 1.67, la resistencia de diseo es:Cb x 220 = 1.67 (220) = 367 ft-kipsEste momento es mayor quekips ft M p b 233 :. Usekips ft Mn b 233 . Calcule los momentos por flexin respecto al eje y.( )71 . 7151 . 2 12 15 yyr L K( )( )( )( )kipsr KLEAPge2 . 94671 . 710 . 17 000 , 29/22221 ( ) ( )0 . 1 713 . 02 . 946 / 150 16 . 0/ 111< e umP PCB:. use BI = 1.0.( ) kips ft M B Mnty uy 30 30 0 . 11Un perfil W12 x 58 es compacto para cualquier valor de Pu (no hay pie de pgina en las tablas de cargas para columnas), por lo que la resistencia nominal es Mpy 1.5 Myy. La resistencia de diseo es: ( )( ) kips ft kips in F Z M My y b py b ny b 75 . 87 . 1053 36 5 . 32 90 . 0 Pero , 5 . 1 52 . 1 4 . 21 / 5 . 32 / > y yS Z lo que significa queny bM debe tomarse como:( ) ( )y y b yy bS F M 5 . 1 5 . 1 = 0.90 (1.5)(36)(21.4) = 1040 in.-kips = 86.67 ft-kipsDe la Ecuacin H1-1a del AISC,

0 . 1 972 . 067 . 863023375983778 . 098< ,`

.|+ +

,`

.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP (Satisfactorio)RESPUESTAUse un perfil W12 x 58.Aunque el mtodo presentado para seleccionar un perfil de prueba converge rpidamente, un enfoque algo ms simple ha sido sugerido por Yura (1988). La carga axial equivalente por usar es:bMdMP Pyxequiv5 . 72+ + DondeP = carga axial factorizadaMx = momento factorizado respecto al eje xMy = momento factorizado respecto al eje yd = peralte de la vigab = ancho de la vigaTodos los trminos en la ecuacin 6.5 deben tener unidades consistentes,EJEMPLO 6.9Use el mtodo de Yura para seleccionar un perfil W12 de prueba para la viga-columna Ejemplo 6.8.SOLUCIN De la ecuacin 6.5, la carga axial equivalente es:( ) ( )kipsbMdMP Pyxequiv52512 12 30 5 . 712 12 75 21505 . 72++ + + Dondeel anchobsesuponequeesde12pulgadas. Delastablasdecargasparacolumnas; ensaye un W12 x 72 (kips Pn c537 ).El ancho de patn de 12 pulgadas es supuesto, por lo que no se requiere iterar. Para este problema en particular, el mtodo de Yura produce un perfil de prueba ms conservador que el mtodo del Manual, aunque esto no es siempre as. .Cuando los trminos deflexindominan(es decir, cuandoel miembroes ms vigaque columna), Yura recomienda que la carga axial se convierta en un momento flexionante equivalente con respecto al eje x. Un perfil de prueba puede, entonces, seleccionarse de las cartas de diseo de vigas en la Parte 3 del Manual. Este momento equivalente es:2dP M Mx equiv+ Diseo de vigas-columnas no arriostradasEldiseo preliminar de vigas-columnas en marcos arriostrados ya ha sido ilustrado.Elfactor de amplificacinB1sesupusoigual a1.0parafinesdeseleccionar unperfil deprueba;B1puede entonces evaluarse para este perfil de prueba. Para vigas-columnas sometidas a un desplazamiento lateral, elfactordeamplificacinB2sebasaenvariascantidades que no puedenser conocidas hasta que todas las columnas del marco hayan sido seleccionadas. Si la Ecuacin C 1-4 del AISC se usa para B2 la deflexin lateraloh puede no estar disponible para un diseo preliminar. Si se emplea laEcuacin C1-5del AISC,2 ePpuedeno serconocida. Los siguientesmtodosse sugieren para evaluar B2:Mtodo 1.Suponga que B2 = 1.0. Despus de que se ha seleccionado un perfil de prueba, calcule B2 con la Ecuacin C1-5 del AISC al suponer que 2/e uP P es la misma que 2/e uP P para el miembro en consideracin (como en el Ejemplo 6.7).Mtodo2.Useunlmitepredeterminadoparaelndicedeladeooh/L,queeslarazndel desplazamientodepisoalaalturadeesteltimo. El empleodeunndicedeladeopermisible mximo es un requisito de servicio similar al lmite impuesto a las deflexiones de las vigas. Aunque ningnreglamentodeconstruccinuotroestndarusadoenEstadosUnidoscontieneunlmite para el ndice de ladeo, valores de 1/5000 hasta 1/200 son empleados con regularidad (Comit Ad Hoc sobre Servicio, 1986). Sin embargo, el reglamento del D.F. contiene lmites de ladeo para evitar daos a elementos no estructurales, tales como vidrios. Tambin el Manual de Diseo por Sismo de la CFE. Ambos se refieren a efectos por sismo. Recuerde que oh es el ladeo causado porH, porloque sielndice de ladeosebasaen cargas de servicio,entonces las cargaslateralesH deben tambin ser cargas de servicio. El uso de un ndice de ladeo prescrito, permite al ingeniero determinar el valor final de B2 desde el principio.EJEMPLO 6.10La figura 6.18 muestra un marco de un solo piso no arriostrado sometido a una carga muerta, carga viva de techo y viento. Las cargas de gravedad de servicio se muestran en la figura 6.18a FIGURA 6.18y la carga de servicio por viento (incluye viento hacia arriba o succin sobre el techo) se muestra en la figura 6.l8b. Use acero A572 grado 50 y seleccione un perfil W12 para las columnas (miembros verticales). Disee para un ndice de ladeo de 1/400 basado enla carga de servicio por viento. La flexin es respecto al eje fuerte y cada columna est arriostrada lateralmente en la parte superior e inferior.Este marco es estticamente indeterminado de primer grado. El anlisis de las estructura estticamente indeterminadas no es prerrequisito para el uso de este libro, por lo que el marco no ser analizado aqu. Los resultados de un anlisis aproximado, que es adecuado para las primeras etapas de un diseo estructural, se resumen en la figura 6.19. La carga y los momentos de extremo estn dados por separado para carga muerta, carga viva, viendo que acta sobre el techo y la carga de viento lateral. Todas las cargas verticales estn mtricamente colocadas y contribuyen slo a los momentos Mnt. La carga lateral genera un momento MtlFIGURA6.19Las combinaciones de cargas que incluyen carga muerta D, carga viva de techo Lr y viento W son las siguientes:A4.2: 1.2D + 0.5LrPu = 1.2(14) + 0.5(26) = 29.8 kips Mnt = 1.2(50) + 0.5(94) = 107 ft-kips Mtl = 0 A4.3: 1.2D + 1.6Lr + 0.8WPu = 1.2(14) + 1.6(26) + 0.8(-9 + 1) = 52.0 kips Mnt = 1.2(50) + 1.6(94) + 0.8(-32) = 184.8 ft-kips Mtl = 0.8(20) = 16.0 ft-kipsA4.4: 1.2D + 1.3W + 0.5LrPu = 1.2(14) + 1.3(-9 + 1) + 0.5(26) = 19.4 kipsMnt = 1.2(50) + 1.3(-32) + 0.5(94) = 65.4 ft-kipsMtl = 1.3(20) = 26 ft-kipsLacombinacindecargasA4-3serobviamentelaquegobierne. Estacombinacinproducela carga axial mxima y el momento total mximo (la combinacin A4-4 no puede gobernar a menos que B2, el factor de amplificacin para Mtlfuese sumamente grande).Para fines de seleccionar un perfil de prueba, suponga que B1 = 1.0. El valor de B2 puede calcularse con la Ecuacin C1-4 del AlSC y el ndice de ladeo de diseo:( ) ( )( ) L H P HL PBoh u oh u/ / 11/ 112

( ) [ ]( )107 . 1400 / 1 7 . 2 / 0 . 52 2 11La carga horizontal no factorizada LH se usa porque el ndice de ladeo se basa en el ladeo mximo causado por las cargas de servicio. Por lo tanto( ) ( ) kips ft M B M B Mtl nt u + + 5 . 202 6 . 1 107 . 1 8 . 184 0 . 12 1Sin conocer los tamaos de los miembros del marco, no puede emplearse el nomograma para el factor de longitud efectiva. La Tabla C-C2.1 de los Comentarios a las Especificaciones revela que el caso (f) corresponde aproximadamente a las condiciones de extremo para el caso de desplazamiento lateral de este ejemplo y que Kx = 2.0.Paralacondicinarriostrada, seusarKx=1.0. Comoel miembroestarriostradoenla direccin fuera del plano, se usar Ky = 1.0. Se puede entonces hacer una seleccin de prueba al utilizar el mtodo dado en la Parte 3 del Manual. De la Tabla 3-2, el factor de flexin m es 1.5 para perfiles W12 con KL = 15 pies.( ) kips mu M m M P Puy ux u ueq356 0 5 . 1 5 . 202 0 . 52 + + + + Para KL = KyL = 15 ft, un W12 x 53 tiene una resistencia de diseo de kips Pn c451 . Para el eje x,( )ftr rL Ky xx2 . 1411 . 2 15 0 . 2/ :. KL = 15 ft gobiernaEnsaye un W12 x 53. Para la condicin arriostrada,

( )( )42 . 3423 . 512 15 0 . 1 xxr L K( )( )( )( )kipsr L KEAPx xgx e376942 . 346 . 15 000 , 29/22221 ( ) 6 . 0 0 4 . 0 6 . 0 4 . 0 6 . 021

,`

.| MMCmx De la Ecuacin CI-2 del AISC,( ) ( )0 . 1 608 . 03769 / 0 . 52 16 . 0/ 111< e umP PCB.: Use B1=1.Note que B1 = 1.0 es el valor originalmente supuesto y como B2 no cambiar, el valor previamente calculado de Mu = 202.5 ft-kips no se altera.De las cartas de diseo para vigas, en la Parte 4 del Manual, con Lb = 15 ft, el momento de diseo para un W12 x 53 con Cb = 1.0 es:kips ft Mn b 262 Para un momento flexionante que vara linealmente desde cero en un extremo hasta un mximoen el otro, el valor de Cb es de 1.67 (vea la figura 5.15g). El valor corregido del momento de diseo es por lo tanto: '( ) kips ft Mn b 438 262 67 . 1 Sin embargo, este momento es mayor que la capacidad por momento plstico de kips ft M p b 292 , que tambin puede leerse en las cartas. Por lo tanto, la resistencia de diseo debe limitarsea 'kips ft M Mp b n b 292 Determine la frmula de interaccin apropiada:

2 . 0 1153 . 04510 . 52< n cuPP:. Use la Ecuacin H1-1b del AISC:0 . 1 751 . 0 02925 . 20221153 . 02< ,`

.|+ +

,`

.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP (satisfactorio)Este resultado es considerablemente menor que 1.0, por lo que se ensaya un perfil de dos tamaos ms pequeos.Ensaye un W12 x 45. Para . 299 , 15 kips P ft L K KLn c y Para el eje x,( )ft ftr rL Ky xx15 3 . 1165 . 2 15 0 . 2/< :. KL = 15 ft gobiernaPara la condicin no arriostrada, ( )( )95 . 3415 . 512 15 0 . 1 xxr L K( )( ) ( )( )kipsr L KEAPx xgx e309395 . 342 . 13 000 , 29/22221 De la Ecuacin C1-2 del AISC,( ) ( )0 . 1 610 . 03093 / 0 . 52 16 . 0/ 111< e umP PCB :. useB1 = 1.0De las cartas para diseo de vigas con Lb = 15 ft, el momento de diseo para un W12 x 45 con Cb = 1.0 es kips ft Mn b 201 Para Cb = 1.67,( ) kips ft M kips ft Mp b n b > 5 . 242 336 201 67 . 1 La resistencia de diseo es, entonces,

kips ft M Mp b n b 5 . 242 Determine la frmula de interaccin apropiada:

2 . 0 1739 . 02990 . 52< n cuPP:. Use la Ecuacin H1-1b del AISC:0 . 1 922 . 0 05 . 242 5 . 20221739 . 02< ,`

.|+ +

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.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP (Satisfactorio)RESPUESTA Use un perfil W12 x 45..EnelEjemplo6.10,la limitacin del ndicedeladeo fueuncriteriode diseo ynose tena libertad para escoger el mtodo de clculo del factor de amplificacin B2. Si-no se hubiese impuesto un ndice de ladeo,un valor diferentede B2podrahabersecalculado con la Ecuacin C1-5 del AlSC, como sigue (usando las propiedades del W12 x 45):( )( )90 . 6915 . 512 15 0 . 2 xxr L K( )( )( )( )kipsr L KEAPx xgx e2 . 77390 . 692 . 13 000 , 29/22222 ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]072 . 12 . 773 2 / 0 . 52 2 11/ 1122 e uP PB6.9 ARMADURAS CON CARGAS ENTRE NUDOS DE LA CUERDA SUPERIORSi un miembro en compresin de una armadura debe soportar las cargas transversales entre sus extremos, l estar sometido a la flexin as como a la compresin axial y es, entonces, una viga-columna. Esta condicin puede presentarse en la cuerda superior de una armadura de techo con los largueros localizados entre los nudos. La cuerda superior de una vigueta de acero, de alma abierta, debe tambin disearse como una viga-columna, porque una vigueta de este tipo debe soportar las cargas de gravedad uniformemente distribuidas sobre su cuerda superior. Para tomar en cuenta a las cargas de esta naturaleza, una armadura puede modelarse como un conjunto de miembros de cuerda continua y miembros del alma articulados.Las cargas axiales y los momentos flexionantes pueden, entonces, hallarse al emplear un mtodo de anlisis estructural, como el mtodo de la rigidez. Sin embargo, la magnitud de los momentos implicados no justifica,por lo comn, emplear este grado de complejidad y en la mayora de los casos ser suficiente con utilizar un anlisis aproximado. Se recomienda el siguiente procedimiento: 1. Considere a cada miembro de la cuerda superior como una viga doblemente empotrada. Use el momentodeempotramientocomoel momentoflexionantemximoenel miembro. Lacuerda superior es, enrealidad, unmiembrocontinuo y nounaseriedemiembros conectados por articulaciones, por lo que esta aproximacin es ms exacta que al tratar cada miembro como una viga simple. 2. Sume las reacciones de esta viga empotrada a las cargas reales de nudo para obtener las cargas totales de nudo. 3. Analice la armadura con esas cargas totales de nudo actuando. La carga axial resultante en el miembro de la cuerda superior es la carga axial de compresin por emplearse en el diseo. Estemtodo estrepresentado de manera esquemtica en la figura 6.20. Alternativamente,los momentos flexionantes y las reacciones de la viga pueden encontrarse al tratar la cuerda superior como una viga continua soportada en los nudos de la armadura.FIGURA 6.20EJEMPLO 6.11La armadura de techo de cuerdas paralelas que se muestra en la figura 6.21 soporta los largueros enlosnudosdelacuerdasuperior ytambinalamitadentreellos. Lascargasfactorizadas transmitidaspor lospolinessonlasindicadas. Diseelacuerdasuperior. UtiliceaceroA36y seleccione una T estructural recortada de un perfil W.SOLUCINLos momentos flexionantes y las fuerzas en los nudos causados por las cargas que actan entre stos, sern encontrados al tratar cada miembro de la cuerda superior como una viga doblemente empotrada. De la Parte 4 delManualsobre "Diseo de Vigas y Trabes", el momento de empotramiento para cada miembro de la cuerda superior es:( )kips ftPLM Mnt 0 . 3810 4 . 28Esosmomentosdeextremoylascorrespondientesreaccionessemuestranenlafigura6.22a. Cuandolasreaccionessesumanalascargasquesondirectamenteaplicadasalosnudos, se obtiene la condicin de carga mostrada en la figura 6.22b. La fuerza axial de compresin mxima ocurrir en el miembro DE (y en el miembro adyacente, a la derecha del centro del claro) y puede encontrarse al considerar el equilibrio de un cuerpo libre de la porcin de la armadura a la izquierda de la seccin a-a:( )( ) ( ) ( ) + + 0 4 20 10 8 . 4 30 4 . 2 2 . 19DE IF MFDE = -90 kips (compresin)Disee para uva carga axial de 90 kips y un momento flexionante de 3.0 kips.La Tabla 3-2 en la Parte 3 del Manual no proporciona factores de flexin para tes estructurales. Aunque el mtodo de Yura (Yura, 1988) fue probablemente desarrollado para perfiles 1 y H, este mtodo ser usado aqu. Un examen de las tablas de cargas para columnas muestra que un perfil pequeo ser necesario, porque la carga axial es pequea y el momento es pequeo respecto a la carga axial. Si se usa una T de 6 in,( )( )kipsbMdMP Pyxequiv102 0612 3 2905 . 72 + + + + FIGURA 6.21FIGURA 6.22De las tablas de cargas para columnas, con ft L Kx10 K y ft L Ky5 , ensaye un perfil WT6 x 17.5 ( ) kips Pn c124 . La flexin es con respecto al eje x y el miembro est arriostrado contra un desplazamiento lateral:0 , 0 . 3 lt ntM kips ft MComo hay una carga transversal sobre el miembro y los extremos estn restringidos, Cm= 0.85 (el enfoque de los comentarios no ser usado aqu). Calcule B1:( )18 . 6876 . 1 12 10 xxr L KrKL( )( )( )( )kipsr KLEAPge3 . 31818 . 6817 . 5 000 , 29/22221 ( ) ( )185 . 13 . 318 / 90 185 . 0/ 111e umP PCBEl momento amplificado es( ) kips ft M B M B Mtl nt u + + 555 . 3 0 0 . 3 185 . 12 1La resistencia nominal por momento de una T estructural se basar en el pandeo local si la seccin transversal se clasifica como esbelta; de otra manera, se basar en el pandeo lateral torsionante (vea la seccin F1.2 del AISC y la seccin 5.14 de este libro). Para el patn,( )308 . 6520 . 0 2560 . 62 fftb > 83 . 153695 95yrFPara el alma,83 . 20300 . 0 25 . 6 wtd > 17 . 2136127 127yrF Como r + ,`

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.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP

(No satisfactorio)El momento flexionante es pequeo en este ejemplo, pero tambin lo es la resistencia por flexin y el trmino de flexin de la frmula de interaccin no es despreciable. Al buscar un mejor perfil, el ingeniero debe asegurarse que la resistencia por flexin, as como la resistencia por compresin axial, sea mayor. El siguiente perfil en las tablas de las cargas para columnas es una WT6 x 20, con unaresistenciadediseopor compresinaxial de111kips. Unainspeccindelastablasde dimensiones y propiedades muestra que estamos entrando a un grupo de perfiles para los que el eje x es el eje dbil. Por consiguiente, la flexin es ahora respecto al eje dbil y no hay un estado lmitepor pandeolateral torsionante. Adems, si el perfil noesesbelto, laresistencianominal estar basada en la fluencia y es igual a la capacidad por momento plstico, limitada a 1.5MyPor lo tanto, ensaye un WT6 x 20 (n cP = 133 kips). Calcule primero B1:( )43 . 7657 . 1 12 10 xxr L KrKL( )( )( )( )kipsr KLEAPge6 . 28843 . 7689 . 5 000 , 29/22221 ( ) ( )235 . 16 . 288 / 90 185 . 0/ 111e umP PCBEl momento amplificado es:( ) kips ft M B Mnt u 705 . 3 0 . 3 235 . 11Revise los parmetros de esbeltez. Para el patn:( )772 . 7515 . 0 2005 . 82 fftbPara el alma:17 . 21 2 . 20295 . 0 970 . 5 < rwtd Como la flexin es respecto al eje dbil, ( )kips ft F Z M My x p n 9 . 151236 30 . 5Sujeto a un mximo de:( )( )kips ft S F Mx y y 28 . 131295 . 2 36 5 . 15 . 1 5 . 1Como Mp > I.5My,( ) ( ) kips ft M My b n b 95 . 11 28 . 13 90 . 0 5 . 1 Determine qu frmula de interaccin usar:

2 . 0 6767 . 013390< n cuPP:. Use la Ecuacin H1-1b del AISC:0 . 1 952 . 0 095 . 11705 . 3986767 . 098< ,`

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.|+ +ny buynx buxn cuMMMMPP (satisfactorio):. Use la Ecuacin H1-1a del AISC:RESPUESTAUse un perfil WT6 x 20.