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VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

LIBRO DE ACTAS

Editado por:

Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas

C/ H. Carvajal, 5. 23740 Andújar (Jaén) España

www.fespm.es

ISBN: 978-84-945722-3-4

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COMUNICACIONES BREVES 1301-1400

4 VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA. LIBRO DE ACTAS.

ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.302

REFLEXION DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMATICAS SOBRE LAS

DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE ALGEBRAICO

María Teresa Castellanos Sánchez – Pablo Flores – Antonio Moreno

mcastellanos @unillanos.edu.com – [email protected] – [email protected]

Universidad de los Llanos Colombia Universidad de Granada España

Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: Formación y actualización docente

Palabras clave: reflexión, prácticum, álgebra escolar

Resumen En el contexto de la formación inicial de futuros profesores de matemáticas (FPM), se

analiza la reflexión de dos futuros profesores sobre los errores y las dificultades del

aprendizaje algebraico. Con este objetivo se diseñó e implementó un módulo formativo en el

prácticum de un programa de licenciatura en matemáticas en Colombia. La investigación se

configuró bajo la teoría del aprendizaje realista para promover la reflexión, en coherencia

con este marco teórico se orientó la realización de un ciclo reflexivo bajo el modelo ALaCT.

Siguiendo el enfoque de la investigación cualitativa, de carácter interpretativo y usando el

análisis de contenido se han examinado las producciones de los participantes, los registros

obtenidos en la intervención y del diario de campo del investigador. Los resultados muestran,

que los futuros profesores llevaron a cabo cinco fases de reflexión, en las cuales el análisis

de los errores y las dificultades del aprendizaje algebraico transita por mínimo cuatro

momentos, que implican a los futuros profesores en decisiones y alternativas para abordar

la instrucción. Se informa cómo evolucionó este análisis y el conocimiento profesional

involucrado para fundamentarlo.

Fundamentos teóricos

Investigaciones en educación matemática han estudiado la reflexión de profesores en

diferentes contextos, para conducir al entendimiento y al desarrollo de la teoría, en la

formación, y para promover la relación entre el conocimiento del oficio (práctico) y el

conocimiento académico (Kieran, Krainer y Shaughnessy, 2013).

Entendemos la reflexión como un proceso de pensamiento activo, persistente y responsable

(sistemático) que surge de una situación problemática (Dewey, 1989), para analizar la

práctica con el propósito de significar el conocimiento, de comprender dicha práctica y de

afrontar situaciones profesionales. Este proceso parte por detectar una situación de duda, que

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hay que describir (Flores, 2007). Posteriormente el profesor fundamenta la situación,

verbaliza sus teorías y principios desde donde él enfoca el problema y manifiesta las

dimensiones de ese problema. Cuando ha profundizado en sus ideas y concepciones, está en

disposición de contrastarlas con las teorías y principios externos. La confrontación le lleva

a buscar nuevas formas de contemplar el problema. Finalmente, el profesor decide su

actuación en consideraciones contrastadas que le parecen significativas.

La reflexión del profesor sobre su práctica se considera un elemento fundamental en su

desarrollo profesional y un medio para la progresiva comprensión de la práctica dentro de un

aprendizaje continuo (Climent y Carrillo, 2003), por tanto favorece la conexión entre las

experiencias en la práctica y formación teórica.

La reflexión es uno de los principios del enfoque de la formación realista, que se basa en la

teoría sociocultural y en la visión realista del aprendizaje (Melief, Tigchelaar, Korthagen y

Van-Rijswijk, 2010). Dicho enfoque, busca que el profesor integre sus experiencias

personales, conocimientos teóricos y experiencias prácticas, a través de la reflexión.

Desde esta perspectiva entendemos que la reflexión también ayuda a que los futuros

profesores estructuren sus pensamientos sobre experiencias prácticas y le lleven a acciones

fundamentadas por nuevos conocimientos. Siguiendo estos presupuestos, asumimos para el

propósito de nuestro estudio el modelo reflexivo que se ha consolidado como una alternancia

entre “acción” y “reflexión”, el ciclo ALaCT (Korthagen, 2001).

Metodología

El estudio se realizó con 12 FPM que cursaban el prácticum de la Licenciatura en

Matemáticas de Unillanos-Colombia. Siguiendo el enfoque de investigación cualitativa, de

carácter interpretativo y usando el análisis de contenido examinamos con Nvivo- 11 las

producciones de los participantes y los registros de intervención. En el análisis, apreciamos

cómo evolucionan en la identificación y formulación de problemas profesionales sobre las

limitaciones del aprendizaje algebraico, así como qué conocimiento didáctico del álgebra se

manifiestan durante el proceso reflexivo. La primera variable se estudia a partir de la

definición, caracterización y formulación del problema (Castellanos, Flores y Moreno, 2017),

mientras que la segunda a través de los organizadores curriculares provenientes del Análisis

Didáctico del álgebra.


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En esta comunicación describimos el segundo módulo formativo de un experimento de

enseñanza de una investigación más amplia (Castellanos, Flores y Moreno, 2015). El módulo

involucró un ciclo reflexivo ALaCT (Figura 1) en el que los futuros profesores (FPM)

identifican errores y dificultades del aprendizaje algebraico de escolares cuando responden a

una prueba.

Figura 1. Trayectoria de acciones reflexivas en el ciclo

Análisis y resultados

Realizamos dos estudios de caso (Stake, 1998), que informan del proceso reflexivo de dos

FPM (Lina y Juan) en las cinco fases de reflexión ALaCT.

En la fase A: Partir de la acción o experiencia

Los FPM en la sesión 9 (figura 1), analizaron las respuestas de los alumnos a una prueba para

diagnosticar el aprendizaje del álgebra escolar, e identificaron, describieron y formularon

limitaciones del aprendizaje algebraico.

Lina Los chicos tienen “falencias en los preconceptos”, tienen problemas con la letra y se

equivocan con los procedimientos algorítmicos…Ah! también…los despistes o respuestas

descabelladas…aquí los tenemos [adjunta lista]

Lina, percibió carencias de conocimiento de los escolares: “falencias en los preconceptos”

(e.g. propiedades usadas en productos notables, identidad entre expresiones de forma

(a±b)2). Apreciaba como problemática la “falta de conocimiento proveniente de cursos

anteriores”. Alude como errores a hechos generales, de origen incierto, reconociendo “poca

experiencia en este asunto”. Se interesó por: “notar errores y dificultades de los estudiantes


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al resolver tareas con expresiones algebraicas” y estimaba que le “guiarían las estrategias

para enseñar los binomios cuadrados y propiciar el sentido sobre estas estructuras”, por lo

que formuló la siguiente cuestión:

¿Qué dificultades tienen los estudiantes para hacer uso de sus conocimientos en la solución de

operaciones con expresiones algebraicas?

La cuestión responde a un planteamiento general, deja ver una situación de déficit de

conocimiento profesional, que no es evidente e inmediato para ella.

Juan percibió “situaciones en las que proceden los estudiantes de manera incorrecta o

equivocada”, identificó estos hechos como errores y describió ejemplos (ej. uso equivocado

de la notación, aplicación incorrecta de la propiedad distributiva). Identificó su

problemática del aprendizaje algebraico de los escolares, con errores debidos a la ausencia

de sentido. Aunque la formulación es general, entendemos que se trata de errores originados

en las características del lenguaje y en los procedimientos (Socas, 1998).

La inquietud de Juan, más allá de evaluar el estado cognitivo de los estudiantes, se interesó

en conocer “las estrategias que usan los alumnos al tratar y/o transformar una expresión

algebraica”. Su preocupación estaba en comprender “las habilidades que tienen los

estudiantes y, las necesarias para hacer uso eficiente de los procedimientos algebraicos con

expresiones”. Las cuestiones formuladas quedaron así:

“…ver cómo los jóvenes proceden, qué propiedades usan y cómo justifican una técnica

aplicada”. Complementó con la cuestión: ¿En qué características de las expresiones,

prestan atención los jóvenes, cuando proceden con ellas?

Juan espera que “los alumnos reconozcan las características de las expresiones

algebraicas”. Focalizó su atención en el uso de propiedades de los R y en técnicas

algebraicas (ejemplificamos el análisis de variables en el anexo).

Fase L: Mirar hacia atrás en la acción

Los FPM en la sesión 10 (figura1) examinaron el origen de los errores acudiendo a “la

explicación que dieron los niños” y a las variables de tarea de las situaciones matemáticas

(ej. significados del tema, metas y complejidad cognitiva establecida). En consecuencia,

apreciaron necesario “examinar los errores debidos a la falta de conocimientos previos y a


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la complejidad de los procedimientos involucrados”. Con ejemplos justificaron “el origen

de los errores cometidos por sus escolares” y ubicaron algunas dificultades.

Para Lina los “despistes”, como inicialmente los había denominado, “se tratan de errores

que proceden del uso de esquemas antiguos”. Apreció procedimientos heredados de la

aritmética, ya que se sustenta en “la aplicación que hacen los niños en álgebra, de las reglas

y de conceptos que traen del sistema numérico”.

Al verbalizar los fundamentos de la problemática, Lina desvela su concepción de las

limitaciones de aprendizaje, "el error, procede de una carencia de capacidades y

conocimientos de los escolares”. Juan identificó el “manejo inadecuado de las propiedades

para el álgebra”, apreciando el origen de errores en la ausencia de sentido. Por ejemplo, el

error en la propiedad distributiva deriva de “la tendencia lineal de los jóvenes”.

En su explicitación Juan evidencia su inclinación por el sentido que los escolares dan a

la estructura algebraica, manifiesta una concepción procedimental del álgebra y

reconoce que, “la falta de comprensión sintáctica se convierte en una dificultad”.

El grupo de compañeros, durante la puesta en común en la sesión 11 (figura 1), señaló

ayudó a definir creencias a Lina y Juan, mediante preguntas que les obligan a precisar

las dificultades del aprendizaje algebraico.

FPM3 ¿A qué se refiere con la incapacidad para pensar algebraicamente?

P1 ¿Por qué cree, que la comprensión de las nociones involucradas en la estructura aritmética,

reducen las dificultades con el tratamiento de la estructura algebraica?

FPM5 Cree, que las dificultades del aprendizaje algebraico se deben a inmadurez de los alumnos

FPM7

FPM9

Porque piensa, que al dar sentido a la literal, se tendrán menos dificultades de aprendizaje.

¿A qué se refiere con abstraer simbólicamente?

Cuadro 1 Explicitación de creencias en Fase L.

Estas consideraciones llevaron a Lina y Juan a examinar con mayor precisión sus

problemáticas sobre las limitaciones del aprendizaje algebraico. Expresaron su concepción

sobre la noción de sentido estructural y sobre la distinción entre errores y dificultades.

Finalmente las reformularon señalando las siguientes cuestiones:

Lina ¿Por qué los alumnos no puedan ver la expresión algebraica como un objeto?

Juan ¿Cuáles son los procedimientos que usan los jóvenes para transformar con éxito las expresiones algebraicas? y complemento con el interrogante: ¿Cómo reconocen la equivalencia sintáctica entre expresiones algebraicas?

Cuadro 2 La nueva cuestión formulada en fase L


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Fase a. Conocimiento de los puntos importantes

Juan y Lina, en la sesión 12 (figura 1) centraron su atención en el conocimiento de aspectos

relacionados con su problemática (ej. dificultades debidas a la ausencia de sentido). Por

ejemplo, dieron importancia a la estructura conceptual del cuadrado del binomio y a su

relación con los sistemas de representación.

Confrontaron sus concepciones entorno a “la integración de la visión procedimental y

estructural para abordar transformaciones y equivalencias entre productos notables”.

Discutieron sus presupuestos para distinguir las formas estructurales de estas expresiones, el

sentido de la letra y el signo igual implicado en ellas.

En la sesión 13 (figura 1) expusieron ideas sobre “el desarrollo cognitivo de los escolares

asociado a su edad”, haciendo explicitas las limitaciones del aprendizaje debidas a la

abstracción simbólica y a la sustitución formal (ej. simplificación, eliminación, compilación

estructural). Interpretaron los obstáculos cognitivos a raíz de la conexión entre las estructuras

aritméticas y algebraicas al inicio del aprendizaje algebraico y abordaron el origen de las

dificultades debidas a dicho tránsito.

Los FPM se centraron en “¿Cómo interpretar la comprensión de las relaciones y

procedimientos que los alumnos efectúan al establecer la equivalencia entre las diferentes

subestructuras de los binomios?" Las lecturas le llevaron a identificar en las respuestas de

sus alumnos “la comprensión relacional y procedimental que rige las subestructuras de los

binomios del tipo (a± b)2 y el origen de errores cuando se trata de establecer la equivalencia

entre las diferentes subestructuras”. Asumieron que la ausencia de sentido “se caracteriza

por la coherencia que establecen los jóvenes entre los significados de la equivalencia del

binomios y los procesamientos ejecutados a partir de sus interpretaciones”.

De manera complementaria cada uno formuló una cuestión sobre el diseño de las tareas

matemáticas escolares y la visión del sentido algebraico.

Lina ¿Cómo aprovechar los sistemas de representación geométrico, simbólico y verbal para enseñar las transformaciones y equivalencias de producto notable (a± b)2?

Juan ¿Cómo abordar desde la visión del sentido estructural tareas con expresiones algebraicas que implican la factorización de TCP?

Cuadro 3. La nueva cuestión formulada en fase a.


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Fase C. Crear situaciones de acción

Apropiados los referentes profundizados, crearon en la sesión 14 (figura1) una estrategia,

que llamaron "ruta cognitiva", para “analizar tareas, estimar errores e interpretar cómo los

alumnos comprenden relaciones y se desempeñan con los procedimientos algebraicos, al

tratar las equivalencias del binomio cuadrado.

Representamos en la figura 2 la explicación que hacen Juan y Lina de su estrategia.

Apreciamos que se apoyan en tres elementos de la estructura conceptual: conceptos, nociones

y propiedades. Estos le permiten examinar la validez de las respuestas de escolares y justificar

los procedimientos de resolución (figura 2 izquierda). Además identifican los significados,

interpretaciones, estrategias y argumentos dados por los escolares, observando y analizando

cómo comprenden la equivalencia (figura 2 derecha). Para ellos “la falta de coherencia entre

estos elementos, muestra la presencia de una dificultad que está asociada a la ausencia de

sentido”. Destacamos la responsabilidad de los FPM para dar fundamento a sus análisis a

partir de los referentes.

La problemática fue reformulada en la cuestión: ¿En qué medida la visión estructural

promueve la comprensión relacional y procedimental involucrada en: la factorización de

TCP y en la equivalencia de los binomios del tipo (a± b)2?

Figura 2. Alternativa presentada en la Fase C


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Fase T. Comprobar en una nueva situación e Iniciar un nuevo ciclo

Los FPM, usaron la ruta cognitiva creada en la fase anterior para “analizar las demás tareas

de la prueba” y para confirmar algunos presupuestos estimados (ej. la mayoría de los errores

tiene origen en la herencia de la aritmética). En consecuencia lograron “establecer un

listado más objetivo de errores y dificultades que dan cuenta del estado cognitivo de los

alumnos” y planificar la instrucción de las temáticas. Precisaron los errores y dificultades del

aprendizaje que están asociados a la factorización y al tratamiento de la equivalencia de

binomios. Al mismo tiempo buscaron coherencia entre competencias y objetivos de la

secuencia didáctica, e hilaron con las capacidades

La fase T se cerró con la reformulación de la pregunta, que no sufre mayores

transformaciones: ¿Cómo abordar desde la visión del sentido estructural tareas con

expresiones algebraicas para promover la comprensión relacional y procedimental en la

factorización de TCP y en la equivalencia de los binomios del tipo (a± b)2?. La

complementaron planteándose ¿Qué impacto tiene dicha la comprensión en las limitaciones

del aprendizaje algebraico?

Consideraciones finales

Examinamos la reflexión a lo largo de las cinco fases del ciclo ALaCT (Korthagen, 2001)

interpretando la evolución en la definición de la problemática sobre las limitaciones del

aprendizaje algebraico y del conocimiento profesional de dos FPM. Apreciamos que ambos

atravesaron las fases del ciclo. En la fase A realizaron la descripción y el planteamiento de

la situación problemática, sobre los resultados del aprendizaje algebraico de un grupo de

escolares.

Identificamos en la fase L cómo se implican en identificar errores que comenten los escolares

en tareas algebraicas, observando que los FPM apreciaron el origen de dichos errores y

precisaron situaciones atribuidas a la complejidad de los procedimientos involucrados. En

las explicitaciones de Juan y Lina se observan sus formas de concebir las causas de los errores

algebraicos, muestran disposición para analizar sus concepciones, contemplando ir más allá

de las carencias de capacidades y conocimientos de los escolares.

En la fase "a" percibimos la toma de conciencia de qué entienden por limitaciones del

aprendizaje algebraico, aclarando la distinción entre errores y dificultades. Profundizan sobre


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las nociones de sentido estructural, las relaciones y procedimientos que rige las

subestructuras de las expresiones del tipo (a± b)2 y las limitaciones de su aprendizaje.

Esquematizamos la estrategia que plantean los FPM en la fase C, para identificar y

comprender las soluciones de sus alumnos y el origen de errores cuando tratan la

equivalencia de las diferentes subestructuras del binomio cuadrado. Y finalizan planteando

una nueva cuestión, cerrando la fase T, dispuesta para iniciar nuevo ciclo.

Referencias bibliográficas

Castellanos, M. T., Flores, P. y Moreno, A. (2017). Reflexión de futuros profesores de

matemáticas sobre problemas profesionales relacionados con la enseñanza del álgebra

escolar. Bolema, 31, (en prensa)

Castellanos, M.T., Flores, P. y Moreno, A. (2015). Iniciación al desarrollo profesional de

futuros profesores de matemáticas y reflexión durante las prácticas de enseñanza. Revista

Colombiana de Matemática Educativa, 1, 27-31.

Climent, N. y Carrillo, J. (2003). El dominio compartido de la investigación y el desarrollo

profesional. Una experiencia en Matemáticas con maestras. Enseñanza de las ciencias, 21,

387-404.

Dewey, J. (1989). Cómo pensamos. Barcelona, Paidós.

Flores, P. (2007). Profesores de matemáticas reflexivos: formación y cuestiones de

investigación. PNA, 1, 139-158.

Kieran, C., Krainer, K. y Shaughnessy, J. (2013). Linking research to practice: Teachers as a

key stakeholders in mathematics education research. In M. Clements, A. Bishop, C. Keitel,

J. Kilpatrick, y F. Leung (Eds.), Third international handbook of mathematics education, pp.

361-392. New York: Springer.

Korthagen, F. (2001). Linking Practice and Theory. The Pedagogy of Realistic Teacher

Education. Londres: Lawrence Erlbaum Associates.

Melief, K., Tigchelaar, A., Korthagen, F. y Van-Rijswijk, M. (2010). Aprender de la practica.

En O. Esteve, K. Melief y A. Alsina (Eds.), Creando mi profesión: una propuesta para el

desarrollo del profesorado, (pp. 39-64). Barcelona: Octaedro.

Rico, L., Lupiañez, J. y Molina, M. (2013). Análisis didáctico. Granada, Comares.

Socas, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en

la educación secundaria. En L. Rico (Coord.), La educación matemática en la enseñanza

secundaria, (pp. 125-154). Barcelona: Horsori.

Stake, R. (1998). Investigación con estudio de casos. Barcelona, Morata.


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REFLEXION DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMATICAS SOBRE LAS

DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE ALGEBRAICO

María Teresa Castellanos Sánchez – Pablo Flores – Antonio Moreno

mcastellanos @unillanos.edu.com – [email protected] – [email protected]

Universidad de los Llanos Colombia Universidad de Granada España

Anexo 1: Ejemplo del análisis de rasgos para las variables del estudio en la fase A

FPM Definición de la problemática Conocimiento profesional

LIN

A

Sujetos: Escolares (12-13 años)

Objeto: Expresiones algebraicas

Foco: Operaciones con expresiones algebraicas.

Origen: Carencia de conocimiento que

provienen de cursos anteriores

Naturaleza: Los errores ocurren por carencias

en el manejo de conceptos, contenidos y

procedimientos al resolver tareas algebraicas

Acción: Identificar errores y dificultades que

comenten escolares en una prueba diagnóstico

Cuestión: ¿Qué dificultades tienen los

estudiantes para hacer uso de sus conocimientos

en la solución de operaciones con expresiones

algebraicas?

Déficit: Necesidad de conocer las dificultades

del aprendizaje algebraico

Percepción de la solución: hay una respuesta

que indica cuales son las dificultades…

Aludió a las propiedades del producto

de binomios como expectativa de

aprendizaje

Reconoció importancia del sentido de

la literal en binomios cuadrados (como

parámetro).

Manifestó las relaciones entre los

sistemas de presentación (S-G) para

significar los binomios cuadrados Planteó la identidad entre expresiones de la

forma (a±b)2

Identificó errores por la falta de

atención en procedimientos,

“despistes”

Clasificó las respuestas erróneas en

relación a los contenidos algebraicos

JUA

N

Sujetos: Escolares (13-14 años)

Objeto: Trinomios cuadrados perfectos TPC

Foco: Factorización de TCP

Origen: Habilidad para hacer uso eficiente de

procedimientos algebraicos con expresiones

Naturaleza: Los errores provienen de la

ausencia de sentido de los escolares al efectuar

procedimientos algebraicos

Acción: identificar aciertos y errores en las

estrategias de resolución de las tareas

Cuestión: ¿Cómo proceden, qué propiedades

usan y cómo justifican una técnica aplicada?…

¿En qué características de las expresiones

prestan atención cuando proceden con ellas?

El déficit necesidad de conocimiento para

interpretar actuación de escolares (errores)

Percepción de la solución: Existe variedad en

los procedimientos y justificaciones usadas por

estudiantes que se requieren conocer

Concibe los TCP como expansión

sintáctica de los binomios cuadrados

Establece equivalencias entre expresiones

algebraicas de los TCP

Advierte de las trasformaciones

sintácticas que dan lugar a los TCP

Identifica y describe errores algebraicos

producidos por la notación y el lenguaje

algebraico.

Ubica errores procedentes de la ausencia

de sentido.

Plantea identidades a la expresión (a ±b)2

Acudió a las propiedades y relaciones de

los R para identificar errores

Planteó capacidades y expectativas de

aprendizaje para la factorización de TCP

Identificó el uso anómalo de las

propiedades de R como error.

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CB-1.303

SITUAÇÕES ENVOLVENDO ESTRUTURAS ADITIVAS E

MULTIPLICATIVAS NA PERSPECTIVA DE PROFESSORES DE

MATEMÁTICA

Angélica Fontoura Garcia Silva < [email protected]> Universidade

Anhanguera de São Paulo, Brasil; Maria Elisabette Brisola Brito Prado

<[email protected]> Universidade Anhanguera de São Paulo, Brasil; Samira

Fayes Kfouri da Silva < [email protected]> UNOPAR, Brasil

IV Formação de Professores de Matemáticas – CB - nível educativo 2

Palavras-chave: Competências profissionais. Estrutura aditiva. Estrutura multiplicativa.

Ensino Fundamental.

RESUMO

Esta comunicação tem o objetivo de investigar competências profissionais de professores de

Matemática para ensinar os campos conceituais aditivos e multiplicativos.

Metodologicamente, tratou-se de uma pesquisa diagnóstica, envolvendo 63 professores da

Rede Pública estadual de São Paulo. Os instrumentos utilizados para a coleta de dados foram

os protocolos de atividades as quais solicitavam aos professores a elaboração,

individualmente e sem material de apoio, de situações-problema distintas envolvendo as

estruturas aditivas ou multiplicativas. A análise da classificação das situações elaboradas foi

baseada nos estudos de Vergnaud e da competência para ensinar os dois tipos de estruturas

apoiou-se nos estudos de Llinares. Os resultados obtidos mostraram que a maioria das

situações elaboradas foram prototípicas e que a ideia de comparação não foi tão comum. Isso

pode ser preocupante, uma vez que outras investigações identificaram que os estudantes

tiveram mais dificuldade em raciocinar sobre as relações do que sobre quantidades. Inferimos

que isso pode ocorrer, pelo fato desse eixo não ser desenvolvido adequadamente na escola.

Conclui-se que a compreensão dos diferentes significados desses dois campos precisa ser

contemplada tanto na formação inicial e continuada do professor, assim ele poderá

desenvolver essa competência para o seu ensino.

Introdução

Da mesma forma como apontam documentos oficiais consideramos também ser a resolução

de problemas um meio de proporcionar os contextos em que se possibilitem a construção de

conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas, nos parece fundamental analisar a forma

como professores desenvolvem a atividade profissional de selecionar e conceber tarefas

matemáticas adequadas para ensinar os campos conceituais aditivos e multiplicativos. Assim,




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temos aqui o objetivo de investigar competências profissionais de professores de Matemática

para ensinar esse tema por meio da analises das categorias de situações elaboradas por eles.

Esta investigação foi realizada durante o desenvolvimento de um processo formativo com

professores que ensinam Matemática para os anos iniciais, desenvolvido no âmbito do

Programa Observatório da Educação – projeto de pesquisa e formação financiado pela

CAPES que ocorreram de três turmas nos anos de 2011 a 2015. Nestes cursos buscou-se

discutir e refletir acerca de temáticas relacionadas ao ensino de resolução de problemas

sobretudo, nos grupos que abordaram o ensino das estruturas aditivas ou multiplicativas. Essa

investigação refere-se aos dados coletados de 3 turmas diferentes (A, B e C). Os instrumentos

utilizados para a coleta de dados foram os protocolos os quais solicitavam aos participantes

a elaboração, individual e sem consulta ou uso de material de apoio, de situações distintas

envolvendo o campo conceitual que seria discutido no curso.

Relevância e Fundamentação Teórica

Para fundamentar a temática competência profissional do professor de matemática,

encontramos ecos nas investigações de Llinares (2008). O autor propõe um sistema de

atividades de ensino da matemática como prática formado por: seleção e planejamento de

tarefas adequadas; introdução e desenvolvimento do discurso matemático e da gestão das

interações matemáticas e, finalmente, interpretação e análise do pensamento matemático dos

estudantes. Llinares (2011) afirma que um dos objetivos da formação do professor de

matemática deve ser potencializar tanto o desenvolvimento do conhecimento e as habilidades

necessárias para analisar o ensino como também a competência docente para “mirar com

sentido” o processo de ensino e aprendizagem de matemática. Essa competência permite ao

professor identificar os aspectos relevantes de uma situação de ensino, usar o conhecimento

sobre o contexto para promover interações em sala e realizar conexões entre aspectos

específicos, assim como, com os princípios e ideias mais gerais sobre o processo de ensino e

de aprendizagem. Para tanto,

O desafio para os programas de formação de professores vem do

caráter integrado do conhecimento (...) e como o professor chega a

identificar e interpretar os aspectos relevantes do ensino de

matemática. (LLINARES, 2011, p. 2, tradução nossa)


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Nesse sentido, o processo formativo vivenciado pelos professore participantes da presente

investigação aceitou esse desafio, ou seja, as ações formativas se pautaram a partir da análise

da forma como os participantes desenvolviam as atividades de ensino, especificamente em:

selecionar e conceber tarefas matemáticas adequadas.

Além das ideias de Llinares, nos apoiamos nos estudos de Vergnaud para analisar as situações

elaboradas, uma vez que as orientações curriculares brasileiras sugerem o ensino dos campos

conceituais (aditivo e multiplicativo). Para Vergnaud (1990, 2009) o campo conceitual é

formado por um conjunto de situações que requerem o domínio de uma série de conceitos de

naturezas distintas. Consideramos, assim como o autor que a compreensão dos conceitos que

envolvem tanto as estruturas aditivas como as multiplicativas se dá a partir da manipulação

de um conjunto de situações (S), que dão sentido ao conceito (a referência); um conjunto de

invariantes (I) por meio do qual operacionaliza os esquemas (o significado); um conjunto de

representações desse conceito (R) (o significante). Segundo o autor, no Campo Conceitual

Aditivo as relações estabelecidas são ternárias e considera a multiplicidade de estruturas

aditivas que podem ocorrer em função das relações estabelecidas nas diversas situações.

Para defini-lo, Vergnaud (2009, p.200) esclarece que um bom caminho é iniciar os estudos

pela análise das categorias: Composição – duas medidas se compõem para resultar uma

terceira; Transformação – uma transformação opera sobre uma medida para resultar em

outra; Comparação – uma relação liga duas medidas – Composição de Transformação –duas

transformações se compõem para resultar em uma transformação; Transformação de uma

relação – uma transformação opera sobre um estado relativo (uma relação) para resultar em

um estado relativo; composição de relações – dois estados relativos (relações) se compõem

para resultar em um estado relativo.

Vergnaud (1982, 2009) chama a atenção para o fato de que em uma mesma classe de

situações os níveis de dificuldade são diferentes e que a compreensão do Campo Conceitual

Aditivo é desenvolvida em um amplo período: “desde os 3 ou 4 anos até os 15 ou 16 anos”.

(Vergnaud, 1982, p. 40). Considera que algumas situações são mais facilmente

compreendidas pelas crianças de 5 ou 6 anos. Tais situações envolvem a ideia de composição,

na qual são apresentadas as partes e solicita-se o todo, já nas outras duas- – Transformação

positiva e negativa – a estrutura está relacionada à ideia temporal, na qual existe uma

quantidade inicial que se modifica por uma ação (transformação) que apresenta modificação


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no resultado em relação à quantidade (estado final). Outras situações envolvendo também a

ideia de transformação, por exemplo, não são facilmente compreendidas pelas crianças. Na

situação: Bruno tinha algumas canetas, ganhou 3 e ficou com 9. Quantas canetas tinha Bruno

inicialmente? o nível de dificuldade é muito maior do que as situações prototípicas. Vergnaud

(1982) explica que esse tipo de problema é resolvido pelas crianças mais tardiamente.

Em relação às Estruturas Multiplicativas apresentam em seu campo de estudo a resolução de

problemas que requerem uma multiplicação, uma divisão ou a combinação de ambas. O

Campo Conceitual Multiplicativo é formado por situações de Isomorfismo de Medidas,

Produto de Medidas, Comparação e Proporcionalidade Múltipla. No Isomorfismo de

medidas, a relação é quaternária por considerar quatro quantidades, sendo duas quantidades

de medidas de certo tipo e duas outras medidas, de outro tipo. Produto de Medidas é para o

Vergnaud (2009) uma relação ternária das quais uma é o produto das duas outras duas. Nessa

categorização encontramos produto cartesiano, medida de área e a ideia de combinatória. A

categoria Comparação utiliza-se de expressões “vezes mais” ou “vezes menos. Em relação a

Proporcionalidade Múltipla, o autor considera ser aquela que envolve a combinação de, pelo

menos, três grandezas (pelo menos seis valores. Nesse tipo de situação uma das grandezas é

proporcional a duas outras, separadamente.

Nas estruturas multiplicativas também encontramos situações que possuem um grau de

dificuldade menor que as demais. Por exemplo, no isomorfismo de medidas, as situações que

envolvem a multiplicação, normalmente não são resolvidas pelos professores como relação

quaternária. Seria interessante que o professor, discutisse que ao desenvolver o trabalho com

as estruturas multiplicativas, utilizando-se das relações quaternárias, a fim de possibilitar aos

seus alunos a compreensão de o porquê de se multiplicar quantidades de grandezas diferentes

se tenha como resultado apenas uma das grandezas. Outra situação que poderíamos

classificar como prototípica são as que envolvem a ideia de comparação entre duas

quantidades de mesma natureza. Neste tipo de situação ternária é possível ser resolvida por

estudantes já no início da escolarização, pois mesmo antes de chegar na escola as crianças

tem contato com relações de dobro ou metade, por exemplo. A esse respeito Gitirana ,

Campos, Spinillo e Magina (2014 ) afirmam que tais situações são “bem próximas às aditivas

em que se têm apenas duas grandezas de mesma natureza que são comparadas de forma

multiplicativa por um escalar (uma razão ou relação), uma o referente e outra o referido”.


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Entretanto, Vergnaud considera que situações envolvendo, por exemplo, alguns tipos de

comparação, proporcionalidade simples (sobretudo a quarta proporcional e quota) e múltipla

oferecem mais dificuldades aos estudantes do que as demais situações.

Análise e discussão dos protocolos dos professores: estruturas aditivas

Duas turmas (A e B) elaboraram situações relativas ao campo conceitual aditivo. Nesta

investigação selecionamos as situações envolvendo as três primeiras categorias:

Composição, Transformação e Comparação. A análise mostrou que os professores das

turmas (A e B) elaboraram aproximadamente 83% das situações (equivalente a 143 de um

total de 172) eram prototípicas – Turma A elaborou 74,2% e a Turma B 85,1%.

Dessas situações prototípicas aproximadamente 52,4% delas envolviam a ideia de

composição (75 situações de composição de um total de 143 situações prototípicas). Na

turma A, por exemplo, esse percentual foi de 29%, a situação representada na seguir

exemplifica uma delas: Mário e Koki resolveram bater cards no recreio. Mário levou 9 e

Koki 12. Quantos cards os dois levaram? Nessa situação as partes (quantidade de cards de

Mário e Koki) são conhecidas e se questiona o valor do todo (total de cards levados pelas

duas crianças). Da mesma forma, na turma B foram elaboradas 66 situações de composição

como, por exemplo a situação: Maria tem 5 bonecas e 8 ursinhos. Quantos brinquedos Maria

tem ao todo? Além disso foram criadas nas duas turmas 68 situações envolvendo a ideia de

transformações que também são consideradas por Vergnaud (1990,2009) como

prototípicas. Na Turma A 14 situações prototípicas eram transformações negativas como

esta: Fui ao supermercado e levei 150 reais para comprar frutas e legumes. Gastei 82 reais.

Quanto me sobrou? e na turma B, das 54 situações que envolviam transformações, 23 eram

positivas e 31 negativas.

É preocupante encontrarmos esse índice alto de situações prototípicas, uma vez que

Vergnaud (2010) afirma que as crianças resolvem situações desse tipo no dia a dia, mesmo

antes de frequentarem a escola e, por isso, muitas vezes eles não precisam se valer de

representações simbólicas para resolvê-las. Vergnaud discute a necessidade de o professor

apresentar outras categorias aos seus alunos. Dessa forma, consideramos assim como o autor,

ser de importante que o professor propicie ao aluno vivências que possibilitem o

desenvolvimento de esquemas novos, “que as crianças ainda não viram, não aprenderam” e

continua “ (...) como um conceito, o esquema tem um valor universal para todas as situações


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que pertençam a essa mesma classe”, daí a importância de apresentar essa variedade de

situações. (VERGNAUD, 2010, notas de aula)

Em relação às situações que envolvem a ideia de comparação nas duas turmas foram

elaboradas somente 21 situações (12,2% do total). Delas 19 buscavam o valor do referido e

1 da relação. A única elaborada pela Turma A na qual se busca o valor do referido temos:

Yuri tem 6 anos, seu irmão é 2 anos mais velho que ele. Quantos anos tem o irmão de Yuri?

Aqui foi dado o referente (idade de Yuri) e a relação entre elas informa o tempo que o irmão

é mais velho que Yuri (2 anos); investiga-se o referido (idade do irmão mais velho). Situações

bem próxima a essa também estão entre as 18 elaboradas por professores da Turma B, por

exemplo: Renato tem 10 anos, seu irmão tem 5 anos a mais. Quantos anos tem o irmão de

Renato? Reiteramos que na Turma A, 2 das situações elaboradas são classificadas por

Vergnaud (1990, 2009) como a que busca a relação, já na turma B tal categoria não apareceu.

Nessa categoria de situação o referente e referido são dados no enunciado dos problemas e

se quer saber qual é a relação que existe entre eles, um exemplo de situação desse tipo

elaborada pela Turma A: Ellen tem 5 batons de cores diferentes, Milena tem 8. Quantos

batons Milena tem a mais que Ellen? Analisando as situações elaboradas pudemos perceber

que os professores deixaram de elaborar situações nas quais se buscava o referente. Esse tipo

de situação é considerada por Vergnaud (1990, 2009) mais complexas que as outras situações

de comparação, por exemplo que na situação: Léo tem 9 anos. Ele tem 3 anos a mais do que

Bruno. Qual é a idade de Bruno? o questionamento é acerca do valor do referente Para o

autor, ela tem um nível de dificuldade mais alto dentre os três tipos de comparação, posto

que informa quantos anos Léo tem a mais do que Bruno, “tem 3 a mais do que Bruno”, então

a referência é a idade do Bruno. Por isso a idade de Bruno é tida como referente. A dificuldade

deste tipo de situação está no fato de informar um valor, relacioná-lo a uma outra quantidade

e querer saber o valor dessa outra. Analisando os dados, observamos que de esse tipo de

situação não ter aparecido em nenhuma das 172 situações criadas.

Além dessa falta, não localizamos também duas das três categorias de transformação também

consideradas mais complexas: as que apresentavam transformação desconhecida e estado

inicial desconhecido. Vergnaud (2009) considera, que a complexidade das situações

aumenta no interior de uma mesma classe de problemas, e o ensino exige do professor clareza

da existência de diferentes níveis de complexidade presentes nas situações que ele propõe as


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crianças, até para não apresentar aos alunos situações que exijam sempre a mesma forma de

pensar.

Análise e discussão dos protocolos dos professores: estruturas multiplicativas

A turma C elaborou 43 situações envolvendo as categorias: isomorfismo de medidas,

Comparação, Produtos de Medidas. A análise mostrou que esses professores elaboraram

aproximadamente 74,5% das situações (32 situações de 43) focando o isomorfismo de

medidas, sendo que essas situações se relacionam com as operações – 14 situações

envolvendo a multiplicação e 18 envolvendo a divisão como partição – .

Na categoria isomorfismo de medidas, as situações que envolvem multiplicação, possuem

um grau de dificuldade menor que as demais categorias. Muitas vezes, elas não são

resolvidas pelos professores como relação quaternária, por exemplo: Ganhei 5 pacotes de

figurinhas sendo que cada um contém 24 figurinhas. Qual o total de figurinhas? o esquema

proposto por Vergnaud (2009) que propõe a análise de grandezas pacotes e figurinhas está

no quadro a seguir indicado por I, já o esquema utilizado comumente nas escolas como II:

Para o autor resolução mais comum encontrada nas salas de aulas são as apoiadas na relação

ternária – esquema II – a x b = c (5 x 24 = 120). Sobre isso, Vergnaud (2009) nos orienta que

seria interessante que se professor discutisse tal situação utilizando-se das relações

quaternárias – esquema I –. Nesse caso o professor estaria possibilitando aos seus alunos a

compreensão do porquê de se multiplicar quantidades de grandezas diferentes [pacotes e

figurinhas] se tenha como resultado uma das grandezas, no nosso caso (figurinhas). Esse

esquema que envolve a representação das grandezas duas a duas, pode ampliar a visualização

do estudante e facilitar a análise da situação já que ele pode utilizar-se do fator escalar ou

fator funcional.

Já dentre as situações elaboradas que focavam divisão não houve a presença de situações

envolvendo a ideia de quota. Este estudo apresenta resultados muito próximos aos

encontrados por Merline, Magina e Santos (2015). Os autores ao comparar a concepção de

14 professoras e o desempenho de seus alunos mostraram resultados muito parecidos quanto

a elaboração de situações-problema, naquele estudo 25% das situações envolviam a ideia de


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divisão partitiva e nenhum envolvia divisão quotitiva. Os autores conjecturaram que a

comparar a elaboração e o desempenho das crianças que “problemas de divisão quotitiva são

menos trabalhados em sala de aula, uma vez que eles não aparecem na elaboração e o sucesso

dos estudantes é menor”, isso nos alerta para a necessidade conforme salienta Vergnaud

(2009) para a necessidade de diversificar o tipo de situação oferecido na sala. A situação da

categoria produto de medidas envolvendo a ideia de área também foi contemplada, 7

situações (13% do total). Dentre as categorias que foram pouco elaboradas, destacamos a de

composição. Somente duas situações desta categoria foram elaboradas e dessas nenhuma

envolvia a busca do referente. Segundo Vergnaud (2009) estas situações de comparação

como, por exemplo, Eu tenho uma coleção de figurinhas com 100 cards, meu amigo tem

quatro vezes mais que eu. Quantos cards ele tem? O grau de dificuldade é pequeno. As

situações de combinação e quarta proporcional apareceram só uma vez.

Considerações finais

Consideramos, assim como Llinares (2011), que o “olhar profissional” é uma competência

importante do professor uma vez que ela permite que o docente enxergue as o ensino e a

aprendizagem de maneira particular. Nesse sentido, acreditamos que a capacidade de

selecionar situações exige de o professor dominar as diferentes categorias tanto das estruturas

aditivas como multiplicativas. Todavia nas situações elaboradas por essas 3 turmas de

professores tivemos indícios que aspectos relevantes relativos ao ensino dessas duas

estruturas como, por exemplo, a necessidade de trabalhar diferentes situações, observar o

grau de complexidade das situações, não faziam parte do repertório dos participantes.

Analisando esse resultado sob o ponto de vista de Llinares (2011), observamos que as

limitações dos professores investigados em relação a seleção de situação de algumas das

categorias tanto de estruturas aditivas e multiplicativas, possivelmente, comprometerá seu

olhar profissional. Por esta razão, salientamos a necessidade de repensar o processo de

formação do professor tanto a inicial como a continuada no sentido de desenvolver

competências que articulem os processos de ensino e de aprendizagem de matemática.


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Referências bibliográficas

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Llinares, S. (2008). Aprendizaje del estudiante para profesor de matemáticas y el papel

de los nuevos instrumentos de comunicación. Santa Fe de Bogotá: [s.n.].

Llinares, S. (2011). Formación de Profesores de Matemáticas. Caracterización y desarrollo

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Merlini, V. L; Magina, S; Santos, A. (2013). Estrutura Multiplicativa: Um Estudo

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VII Congresso Ibero-americano de Educação Matemática – CIBEM. Montevideu,

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Vergnaud, G. (1982). A Classification of cognitive tasks and operations of thought involved

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Vergnaud, G. (1990). Théorie des Champs Conceptuls. Recherches em Didactique das

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Vergnaud, G. (2010). Teoria dos Campos Conceituais: o estudo das estruturas

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CB-1.304

ARTICULAÇÃO ENTRE AVALIAÇÃO E COMUNICAÇÃO NA AULA DE

MATEMÁTICA: CONTRIBUTOS PARA A APRENDIZAGEM DOS ALUNOS

António Guerreiro – Cristina Martins

[email protected] – [email protected]

Escola Superior de Educação e Comunicação da Universidade do Algarve, Portugal –

Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Bragança, Portugal

Núcleo temático: Formação de Professores de Matemáticas.

Modalidade: CB

Nível educativo: Formação e atualização docente.

Selecionar um dos sete níveis considerados: Formação e atualização de ensino

Palavras chave: avaliação; comunicação; matemática; práticas profissionais.

Resumen Este estudo apresenta como principal objetivo identificar as relações entre a avaliação e a

comunicação na aula de matemática que possibilitem contribuir para a melhoria da

aprendizagem dos alunos. Assumimos um design de investigação interpretativo com uma

componente de colaboração entre investigadores e professores, tendo por propósito

responder à questão de investigação: Que relação existe entre a avaliação e a comunicação

nas aulas de matemática no 2.º ciclo do ensino básico (alunos entre os 10 e os 12 anos)?

Encontrando-se numa fase inicial, pretendemos apresentar o estudo, o design metodológico

e dar conta dos resultados das perceções dos professores sobre a avaliação e a comunicação

na aula de matemática. As perceções e as práticas profissionais dos professores constituiem

o alicerce na estruturação da investigação empírica que sustentará a construção das

relações entre a avaliação e a comunicação na aula de matemática.

Dos resultados obtidos, é possível verificar que a avaliação e a comunicação se relacionam

através da utilização do diálogo, do questionamento, dos registos escritos, da formulação

de diferentes tipos de questões, da discussão, da interação e da partilha de ideias. Contudo,

fica por resolver a questão: Como operacionalizar a complementaridade intencional destes

dois processos?

1. Contexto e fundamentação do estudo

A articulação entre avaliação e comunicação na aula de matemática resulta da comunicação

poder servir como instrumento de ensino e de avaliação e da avaliação poder conduzir à

criação de momentos ricos de comunicação. Ao assumirmos esta premissa, como uma mais-

valia no processo de ensino e de aprendizagem, pretendemos compreender as relações

existentes entre a avaliação e a comunicação nas práticas dos professores, de modo a

contribuir para um melhor conhecimento das dinâmicas de sala de aula. Neste sentido, o



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conhecimento das perceções e das práticas dos professores constitue o alicerce base na

estruturação da investigação empírica que sustentará a criação de conhecimentos sobre a

articulação da avaliação e da comunicação na aula de matemática. Nesta comunicação,

pretendemos apresentar o projeto de investigação em desenvolvimento e defrontar a seguinte

questão de investigação: Quais as perceções das duas professoras participantes no estudo

sobre as relações entre a avaliação e a comunicação na aula de matemática?

Adotando que avaliar não é classificar, consideramos que a avaliação é um “processo

que deve ajudar professores e alunos a ensinar e a aprender melhor, respetivamente”

(Fernandes, 2001, p. 86), devendo este processo de avaliação incluir as componentes do

conhecimento, das atitudes e valores, da forma de agir e pensar, bem como o empenho e a

dedicação dos alunos face às tarefas propostas (Rafael, 1998). Assim, a diversificação de

ações de recolha, análise e registo da informação é fundamental e constitui a base

para a avaliação das e para as aprendizagens (Fernandes, 2015). Nesta perspectiva é

importante que as avaliações formativa e sumativa sejam rigorosas e resultem de

processos de interação entre os alunos e o professor. Saliente-se que na avaliação para

as aprendizagens, os alunos são frequentemente chamados a participar, nomeadamente

através da autoavaliação, os professores distribuem regularmente feedback a todos os

alunos e o seu poder de avaliar é partilhado com outros intervenientes (e.g., outros

professores, pais, alunos).

É nossa convicção que a natureza da comunicação na aula de matemática estrutura as

interações entre os alunos e entre estes e o professor e condiciona o processo de ensino e de

aprendizagem, assumindo o domínio comunicativo do professor na sala de aula ou, em

contrapartida, sustentando a partilha de conhecimento entre todos os intervenientes. Nesta

ótica, a comunicação na aula de matemática pode resultar num maior controlo do professor

ou numa centralidade no pensamento do aluno (Brendefur & Frykholm, 2000). As formas de

comunicação oral e escrita perspetivam-se como processos valorativos na construção do

conhecimento matemático. A oralidade decorre da conexão da linguagem e do conhecimento

do indivíduo com a linguagem dos outros (Cândido, 2001) e a escrita ajuda a refletir sobre a

experiência matemática, construindo e reconstruindo o sentido das significações matemáticas

(Powell & Bairral, 2006). Neste sentido, o questionamento oral ou escrito surge como um

processo de regulação das aprendizagens (Santos, 2004), podendo assumir uma natureza


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avaliativa caracterizada pela testagem de conhecimentos mas também pela possibilidade de

partilha comunicativa entre intervenientes (Menezes, Guerreiro, Martinho & Tomás Ferreira,

2013).

2. Design de investigação e opções metodológicas

Adotamos um design de investigação interpretativo, com uma componente de colaboração

entre investigadores e professores participantes, com o intuito de interpretar, compreender e

explicar significados, num contexto específico, tendo por propósito responder à questão de

investigação: Que relação existe entre a avaliação e a comunicação nas aulas de matemática

no 2.º ciclo do ensino básico (alunos entre os 10 e os 12 anos)?

O objetivo principal desta investigação é estudar as relações entre a avaliação e a

comunicação, num contexto colaborativo, tendo em vista proporcionar significativas

aprendizagens matemáticas dos alunos. Os participantes neste estudo, para além dos

investigadores (autores deste artigo), são quatro professores (dois professores e duas

professoras) do 2.º ciclo do ensino básico (dois do distrito de Bragança e dois do distrito de

Faro) que lecionam matemática neste nível de ensino.

A recolha de dados relativos à fase da perceção dos professores decorreu da realização duma

entrevista semiestruturada aos professores participantes no estudo, tendo por intento

averiguar as perceções dos professores do 2.º ciclo do ensino básico sobre a avaliação e a

comunicação no contexto das suas práticas profissionais na aula de matemática. As categorias

e subcategorias de análise dos dados foram delineadas tendo por base o enquadramento

teórico de referência, com a clara intenção de, a partir delas, fazer emergir as relações entre

a avaliação e a comunicação tendo por base as perceções e as práticas profissionais dos

professores.

3. Avaliação e comunicação: perceções de Teresa e Violeta

Esta comunicação centra-se na análise comparativa das percepções das professoras Teresa e

Violeta. A professora Teresa tem 15 anos de serviço docente no 2.º ciclo do ensino básico,

embora tenha também lecionado anteriormente noutros ciclos de ensino, e leciona no distrito

de Bragança, Portugal. A professora Violeta tem vinte e seis anos de serviço docente,

essencialmente no 2.º ciclo do ensino básico, e leciona no distrito de Faro, Portugal.


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Perceções sobre avaliação na aula de matemática. Em ambos os casos em consideração foi

possível verificar que a avaliação na aula é entendida nas vertentes da avaliação das e para

as aprendizagens, numa dicotomia entre uma avaliação classificadora ou formal e uma

avaliação reguladora e promotora de aprendizagens.

Conceito de avaliação. As docentes entendem a avaliação de modo distinto englobando as

vertentes da avaliação das aprendizagens – “Um processo que culmina com a atribuição de

uma classificação” [Teresa] – e para as aprendizagens – “É mais o mediar, ver como é que

as coisas estão correndo para melhorar, sempre para melhorar e não para penalizar” [Violeta].

Neste sentido, Violeta idealiza a avaliação como um processo regulador com vista às

aprendizagens dos alunos, apelando às suas características de acompanhamento e de partilha,

enquanto Teresa operacionaliza, na sua prática letiva, a avaliação em distintas modalidades

mais associadas à avaliação das aprendizagens. Em ambos os casos, apesar de perspetivas

distintas, o foco central das docentes é na avaliação dos conhecimentos e desempenhos

matemáticos dos alunos.

Componentes integrantes da avaliação. Consciente da necessidade da existência da

avaliação das aprendizagens, Violeta defende que os alunos é que se deviam propor para ser

avaliados, dado que tem ritmos diferentes – “não têm de ser todos avaliados na mesma altura”

[Violeta]. Esta inquietude com os momentos de avaliação é realçado por Teresa ao referir

que “muitas vezes [tem] consciência que um aluno teve uma determinada nota no teste, mas

que verdadeiramente não corresponde aos seus conhecimentos” [Teresa]. Em ambos os

casos, a avaliação das aprendizagens dos alunos integra os domínios dos conhecimentos e

das atitudes e valores. O peso excessivo na avaliação dos conhecimentos resulta numa

focalização nos desempenhos dos alunos nos momentos de avaliação formal e uma

desvalorização da componente das atitudes e valores.

Instrumentos de avaliação dos alunos. Os instrumentos mais tradicionais de avaliação,

como os testes escritos, assumem um papel central na avaliação dos alunos: “Os testes valem

noventa porcento, é terrível” [Violeta] – “A [avaliação] sumativa contempla a parte

cognitiva, que (…) tem o peso de 80%” [Teresa]. Ambas as docentes utilizam diferentes tipos

de questões nos testes. Violeta descreve:

No teste, faço todo o tipo de pergunta, faço aquela pergunta de escolha múltipla, a

pergunta em que não têm de justificar, não é? Há a pergunta em que eles têm de explicar


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como pensaram, há a pergunta mais aberta, a pergunta mais fechada, há uma pergunta

de resposta curta, faço todo o tipo de perguntas [Violeta].

No mesmo sentido, Teresa, referindo-se especificamente aos testes, clarifica o tipo de

perguntas escritas que fazem parte do seu repertório, adiantando construi-los “com diferentes

graus de dificuldade, envolvendo perguntas de escolha múltipla, perguntas de ligação, alguns

problemas, e perguntas que exigem justificações” [Teresa]. Complementarmente, Teresa

salienta que a importância atribuída aos testes resulta na obrigatoriedade de construção de

uma matriz que “é dada ao aluno no mínimo uma semana antes do teste” [Teresa].

A centralidade das práticas usuais de avaliação é questionada por Violeta – “Como é que eu

estou a avaliar os meus alunos por um teste?” [Violeta]. Em alternativa aos testes, ambas as

professoras apostam na comunicação, através da utilização do diálogo, centrado no professor

e no aluno, “[o diálogo] serve para tudo, serve para verificar se o aluno está ou não com

atenção e dá a oportunidade a todos os alunos de intervirem” [Teresa]. Contudo, ambas as

docentes desvalorizam, numa perspetiva avaliativa, o discurso oral, em parte devido à

ausência de registo e da impossibilidade de quantificação – “É difícil quantificar a

intervenção oral de um aluno” [Teresa]. Violeta realça no entanto que, por vezes, “pode ficar

um registo na [sua] cabeça da avaliação matemática” [Violeta] dos desempenhos dos alunos.

Teresa perspetiva a oralidade como uma antecâmara da escrita: “A ideia do privilégio da

oralidade é que os alunos consigam depois transcrever, registar e resolver mais facilmente o

que lhes é pedido” [Teresa].

Funções da avaliação no processo de ensino e de aprendizagem dos alunos. Violeta

crítica o papel dado à avaliação dos alunos pelo sistema escolar, especialmente em relação

às provas nacionais que condicionam fortemente a atitude dos professores, mesmo ao nível

do 2.º ciclo do ensino básico. Esta pressão está relacionada com as avaliações que fazem aos

agrupamentos de escolas – “As avaliações que fazem às escolas, estes rankings estúpidos,

porque as escolas têm as provas de aferição” [Violeta]. No mesmo sentido, Teresa acredita

que a utilidade dos resultados da avaliação para o sistema educativo em geral “é para

classificar os agrupamentos e os professores, é aquilo que eu concluo. É para rotular apenas”

[Teresa].

Para além da avaliação do sistema educativo e dos Agrupamentos Escolares, as docentes

reconhecem como função da avaliação o feedback ao professor e aos alunos sobre as


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aprendizagens – “ver se efetivamente os alunos conseguiram adquirir os conteúdos que me

propus ensinar-lhes (…). Para os alunos médios e para os bons alunos é extremamente

importante para regular as aprendizagens realizadas” [Teresa] – ou sobre o desempenho

profissional do professor – “tento melhorar as minhas práticas” –, particularmente quando os

alunos apresentam dificuldades.

Perceções sobre comunicação na aula de matemática. Nos casos em análise, a comunicação

é assumida como um instrumento de verbalização, transmissão de conhecimentos e

avaliação, através do questionamento e da comunicação oral, com recurso à escrita e outras

formas de registo.

Conceito de comunicação na aula de matemática. Violeta assume a comunicação como

uma ação constante nas aulas – “A comunicação é normal, fluída e existe sempre” [Violeta]

–, apesar de poder ser caracterizada de distintos modos – “Eu acho que é constante, pode é

haver momentos de diferentes tipos de comunicação, uma parte de discussão, uma parte mais

interativa” [Violeta]. Para Teresa, comunicar “significa fazer uma tarefa no quadro, explicá-

la devidamente aos alunos, dizer-lhes de onde vem o quê e como é que apareceu. Ao mesmo

tempo perguntar-lhes se entenderam e eles colocarem todas as questões que quiserem

relativamente, às dúvidas que têm” [Teresa]. Neste sentido, as professoras utilizam a

comunicação enquanto instrumento comunicativo (a oralidade, a escrita) e enquanto processo

de interação entre os sujeitos (a discussão, o debate), assumindo a existência de perspetivas

comunicativas distintas na aula de matemática.

Características da comunicação na aula de matemática. Para Violeta, a escuta é o ponto

fulcral da comunicação – “Uma comunicação só é efetiva quando há uma escuta” [Violeta]

– associada à partilha de ideias entre os alunos – “Há um que vai partilhar, comunicar as suas

ideias, vai partilhar as suas ideias e o outro tem que escutar com entendimento e gerando

algum produto” [Violeta] – e entre estes e o professor – “Escuto muito os alunos, dou-lhe

muito a voz” [Violeta]. Em contraponto, Teresa associa a comunicação à colocação de

questões direcionadas aos alunos com mais dificuldades e à dinamização do diálogo entre os

alunos: "Peço sempre aos alunos que têm mais dificuldade (…) se eu coloco a questão a um

que responde erradamente, volto a colocar a questão a outro” [Teresa]. Esta docente centra o

tipo de comunicação que estabelece na sala de aula na existência de questionamento e diálogo

orais entre os alunos. Nesta ótica, valoriza a proximidade de linguagem entre os alunos –


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“Com determinados alunos, quando eu estou a explicar, fico com a impressão que falo grego”

[Teresa] e crítica a formalização da linguagem matemática a estes níveis de ensino – "Se

usasse o tipo de linguagem que está preconizado nas Metas não me entendiam” [Teresa].

Formas de comunicação na aula de matemática. Violeta assume a importância da escrita

matemática nas suas aulas – “os miúdos precisam muito de concretizar a parte escrita” –,

entendida de modo amplo, como qualquer forma de registo. Do mesmo modo, Teresa

valoriza a realização de sínteses escritas, no quadro, sobre “o que é importante” [Teresa] e o

posterior registo das mesmas – “Eu penso que aí o registo é fundamental” [Teresa] –, por

parte dos alunos, no caderno diário.

Funções da comunicação no processo de ensino e de aprendizagem dos alunos. Violeta

crítica a perspetiva que os alunos trazem a propósito da natureza das respostas – respostas

curtas e imediatas – ao questionamento do professor – “porque muitas vezes os miúdos estão

à espera e querem dar a resposta que o professor quer ouvir” [Violeta]. Para contrariar este

tipo de interações com os alunos, a professora tenta fazer perguntas mais abertas – “tento

mais fazer uma pergunta mais aberta” [Violeta] –, de modo a levar os alunos a argumentar e

a defenderem as suas ideias matemáticas. Com o intuito de promover a discussão, Teresa

tenta promover o diálogo na sala de aula, insistindo na ideia que “os mais introvertidos, por

exemplo, se não houver diálogo sistemático, não falam” [Teresa]. Nesta perspetiva, Violeta

associa a verbalização pelos alunos das atividades desenvolvidas a um processo de regulação

das suas próprias aprendizagens – “quando eles [os alunos] estão a comunicar, eles estão ao

mesmo tempo a regular as suas aprendizagens” [Violeta].

3. Articulação entre avaliação e comunicação: Sim?! E Depois?

Considerando os processos de avaliação e comunicação, Teresa e Violeta apresentam,

naturalmente, algumas ideias semelhantes e outras distintas sobre as categorias em apreço. A

avaliação é para ambas encarada como um processo regulador das aprendizagens dos alunos

e das práticas dos professores (mais claramente para Violeta). Da opinião de Teresa sobressai

um posicinamento, sobretudo aquando da definição do conceito, da avaliação das

aprendizagens dos alunos, o que para Violeta é encarado como uma necessidade. Assim, os

testes, incluindo diferentes tipos de questões, surgem como o instrumento de avaliação

privilegiado e, muito embora a consideração da importância da avaliação das atitudes e


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valores, quase exclusivamente restrito aos conhecimentos matemáticos. É inconstetável a

relevância que concedem à comunicação como um instrumento de avaliação (podia, segundo

Teresa, ser exclusivo), mas assumem a sua incapacidade em operacionalizar (registar,

quantificar) a sua utilização na avaliação das aprendizagens dos alunos, especialmente no

domínio da comunicação oral. Ambas são críticas em relação ao papel indexado à avaliação

dos alunos pelo sistema escolar, salientando que a relevância deste processo reside no

feedback que proporciona ao professor e aos alunos sobre as aprendizagens realizadas. É

visível que a comunicação é uma costante nas práticas de sala de aula destas professoras.

Apesar de, no caso de Teresa, ser possível associar a comunicação a um ensino do tipo direto

(centrado na explicação pelo professor e na colocação de dúvidas pelos alunos), o

questionamento (muitas vezes dirigido aos alunos com mais dificuldades), o diálogo entre os

alunos, a valorização da interacção e da linguagem mais própria dos alunos, a ênfase nos

registos escritos, sobretudo na realização de sínteses, fazem parte das suas percepções sobre

comunicação na sala de aula. Violeta associa a comunicação à discussão, à interacção e à

defesa e à argumentação de ideias pelos alunos, assumindo a escuta como um ponto

primordial da comunicação. Tal como Teresa privilegia os registos escritos.

Apesar de ser visível a forma como as professoras percepcionam a interseção entre os dois

processos em evidência, interessa-nos, tornar claro e conceber colaborativamente formas em

que a comunicação sirva intencionalmente a avaliação e vice-versa.


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Brendefur, J. & Frykholm, J. (2000). Promoting Mathematical Communication in the

Classroom: Two preservice teachers’ conceptions and practices. Journal of Mathematics

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Cândido, P. (2001). Comunicação em Matemática. In Smole, K. & Diniz, M. (Orgs.) Ler,

escrever e resolver problemas (pp. 15-28). Porto Alegre: Artmed Editora.

Fernandes, D. (2001). Avaliar para melhorar as aprendizagens: análise e discussão de

algumas questões essenciais. In I. Fialho & H. Salgueiro (pp. 81-107), TurmaMais e Sucesso

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Fernandes, D. (2015) Prefácio. In Neves, A. C. & Ferreira, A. L. (2015). Avaliar é Preciso?

Guia prático de avaliação para professores e formadores. Lisboa: Guerra & Paz.

Menezes, L., Guerreiro, A., Martinho, M. H., & Tomás Ferreira, R. A. (2013). Essay on the

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Rafael, M. (1998). Avaliação em Matemática no ensino secundário: Concepções e práticas

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Santos, L. (2004). La evaluación del aprendizage en matemáticas: orientaciones y retos. In J.

Giménez; L. Santos, & J. P. Ponte (Coords.). La actividade matemática en el aula: Homenaje

a Paulo Abrantes (pp. 157-168). Barcelona: Biblioteca de Uno.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.308

PENSAMIENTO ALGEBRAICO EN PRIMARIA EN UN ENTORNO ONLINE:

LAS LETRAS NO SON EL PROBLEMA

Carlos de Castro Hernández – Marisa Reguero Delgado – Patricia Gutiérrez-Del

Álamo Rodríguez – Mónica Ramírez García



Universidad Autónoma de Madrid, Smartick, España, Smartick, España y Universidad

Complutense de Madrid, España

Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Modalidad: CB

Nivel educativo: Primaria (6 a 12 años)

Palabras clave: early algebra, educación primaria, igualdades, TICE.

Resumen Describimos una propuesta para el aprendizaje online de las matemáticas diseñada dentro

de una línea de “early algebra”, implementada en la plataforma Smartick. La propuesta está

compuesta por dos unidades: a) Pensamiento relacional aditivo con números hasta 100,

unidad que consta de 7 lecciones; y b) Pensamiento relacional aditivo hasta 1000, con 9

lecciones. Cada lección diaria se compone de 4 tipos de tareas con igualdades: 1) Tareas de

evaluación, con tres sentencias verdaderas o falsas, 2) Tareas de corrección, con una

sentencia verdadera o falsa que puede corregirse, 3) Tareas de completar, con una sentencia

con un hueco a rellenar, y 4) Tareas con letras, análogas a las de completar, pero con una

letra en lugar del hueco.

Uno de los resultados más llamativos de la puesta en práctica de esta propuesta con alumnos

de educación primaria es que las tareas con letras no son las más difíciles, como estaba

previsto en un inicio al ubicarlas al final de la secuencia. Por el contrario, comentaremos

las dificultades (previstas e imprevistas) que han surgido en el trabajo con igualdades y los

retos que quedan pendientes como continuación a este trabajo.

Introducción

Durante los últimos decenios del siglo pasado se realizaron un gran número de

investigaciones sobre las dificultades y errores de los estudiantes al principio de la educación

secundaria obligatoria (Palarea, 1998). Las dificultades detectadas dieron paso a la

elaboración de modelos de enseñanza que han recibido el nombre de “transicionales”

(Schliemann, Carraher y Brizuela, 2011), porque plantean la cuestión de cómo abordar la

problemática del álgebra, su enseñanza y aprendizaje, en el momento de transición de la






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educación primaria a la secundaria. Las revisiones de investigaciones sobre estos enfoques

de enseñanza muestran, junto a pequeños éxitos puntuales, que el enfoque transicional no ha

dado los resultados esperados (Schlieman y otros, 2011).

Partiendo de hipótesis divergentes con las del enfoque transicional, se ha ido desarrollando

una línea bajo la etiqueta de early algebra (álgebra temprana) basada en unos presupuestos

diferentes: Más que corregir los errores detectados en el álgebra de secundaria, el enfoque

consistiría en desarrollar, enfatizar, o realzar adecuadamente, las ideas algebraicas implícitas

en buena parte de las tareas que ya se hacen en la educación primaria. Hoy esta aproximación

no puede considerarse como una “novedad”, pues el influyente documento del año 2000 de

los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2003, en español) ya

presenta un estándar de álgebra que abarca toda la escolaridad (desde la educación infantil)

y que propone para niñas y niños de 3º a 5º de primaria (8 a 11 años) el objetivo de

“Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas utilizando símbolos

algebraicos” (p. 162). En España, un trabajo pionero en este enfoque es el de Molina (2006),

al cual han seguido otros en el ámbito del pensamiento relacional (Fernández e Ivars, 2015;

Molina, 2009) y algunos más en la línea de la búsqueda de patrones y la generalización

(Merino, Cañadas y Molina, 2013) o del pensamiento funcional en las primeras edades

(Cañadas, 2016).

En la plataforma Smartick (De Castro y Gutiérrez del Álamo, 2016) hemos abordado el

proyecto de desarrollar una propuesta online para el desarrollo del pensamiento relacional

aditivo con niñas y niños de 3º a 6º de educación primaria (8 a 12 años). Esta propuesta está

inspirada en los trabajos de Carpenter, Franke y Levi (2003) y Molina (2006). Uno de los

aspectos más difíciles de extrapolar de un contexto de aula a un entorno online es la discusión

oral, que constituye un elemento considerado fundamental en la articulación del pensamiento

algebraico. Así, los dos grandes retos que asumimos al proponer un modelo de enseñanza

online en la línea del early algebra para niñas y niños de educación primaria son los

siguientes:

(1) Lograr desarrollar procesos de pensamiento algebraico a través de entornos online en los

que la interacción entre alumnos y alumno-profesor está modelizada por el sistema y es, en

principio, más limitada que en el entorno de un aula convencional.


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(2) Que la enseñanza de ideas algebraicas llegue a ser de manera efectiva un contenido

transversal que, más allá de la adición de algunas unidades aisladas, llegue a impregnar todo

el currículo matemático de la educación primaria.

Los cuatro tipos de actividades de la propuesta

Partiendo de las propuestas de pensamiento relacional planteadas en el aula a través de tareas

con igualdades (Carpenter y otros, 2003 y Molina, 2006), hemos seleccionado y adaptado a

un entorno online algunas de las tareas de estas investigaciones. Las tareas son de los

siguientes tipos:

‒ Evaluación de igualdades con 3 opciones, donde se tienen que seleccionar las que sean

verdaderas y puede haber 1 o 2 que lo sean (Figura 1, izquierda).

‒ Corrección de igualdades, donde se da la opción de corregir una de las cantidades, que

puede ser correcta o incorrecta (Figura 1, derecha).

‒ Igualdades a completar, donde se debe completar una de las cantidades rellenando una

casilla vacía con un valor numérico (Figura 2, izquierda).

‒ Igualdades con letras, análogas a las de completar, en las que en lugar del hueco

aparece una letra cuyo valor debe averiguarse (Figura 2, derecha).

Figura 1. Actividades de evaluación y de corrección de igualdades

Aunque alguna tarea pueda parecer orientada a realizar operaciones aritméticas, todas ellas

han sido seleccionadas para estimular el desarrollo del pensamiento algebraico. Por ejemplo,

la Figura 1 (a la izquierda) nos presenta tres igualdades. Una leve inspección nos permite

advertir que no es necesario calcular para determinar que la única sentencia correcta es la

tercera. El cero es el único número que al sumarse deja al otro sumando inalterado. Es el


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único elemento neutro de la suma y, por tanto, las otras dos sentencias deben ser falsas, dado

que ni el 55, ni el 96 tienen esta propiedad especial del 0.

Figura 2. Actividades de completar y actividades con letras

Una mirada a las tareas propuestas en la Figura 2 puede ayudar al lector a comprender por

qué esperamos que niñas y niños desarrollen su pensamiento algebraico gracias a actividades

de este tipo. Independientemente del formato, vemos que requieren un pensamiento

relacional. En la de la izquierda, los niños de 8 años, que la han resuelto en un tiempo medio

de 12 segundos, no están acostumbrados al típico procedimiento de las ecuaciones (el 63 está

sumando y pasa al otro miembro restando), sino que al ver el 63 a ambos lados deben deducir

que 31 menos cierto número (3) debe ser igual a 28. Lo mismo ocurre en la igualdad con

letras de la derecha en el que, si 173 es 5 más que 168, para compensar, la c debe ser 5 menos

que 144. Es decir, 139.

Estructura de la propuesta: las unidades y las lecciones

En Smartick, cada día el alumno se enfrenta a una lección compuesta por varios tipos de

tareas. Si su desempeño en dicha lección es adecuado en términos de rapidez y porcentaje de

acierto en las tareas, superará la lección. Las lecciones se integran en unidades, que van

conformando a su vez líneas de trabajo, como la de early algebra que describimos en este

trabajo, compuesta por dos unidades con 7 y 9 lecciones, que abordan tareas de pensamiento

relacional aditivo con números hasta 99 y hasta 999. Con los cuatro tipos de actividades que

hemos visto en el apartado anterior se elabora la propuesta. Cada tipo de tarea se puede

plantear con distintos niveles de dificultad. La Figura 3 presenta ejemplos lo que


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consideramos distintos niveles de dificultad para las igualdades que sirven de base en los

cuatro tipos de tareas. La propuesta se incorpora en el programa de estudio de Smartick para

niños desde 3º de educación primaria.

Figura 3. Ejemplos de niveles de dificultad en las igualdades

En la Figura 4 mostramos cómo se articulan los distintos tipos de actividades de evaluar,

corregir, completar y con letras (Figuras 1 y 2), siguiendo un orden creciente en los niveles

de dificultad de cada una de ellas, para elaborar las 7 lecciones que conforman la primera

unidad. También presentamos en la parte derecha de la figura, las propiedades (elemento

neutro, conmutativa, etc.) que constituyen elementos estructurales (de naturaleza algebraica)

que deben interiorizarse (inicialmente, de un modo intuitivo e informal) para resolver las

tareas e ir avanzando en la propuesta.

Figura 4. Lecciones que integran la Unidad 1: Pensamiento relacional aditivo con números hasta 99


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Resultados de los alumnos en las igualdades con letras

Para valorar el porcentaje de aciertos en las tareas, debemos considerar la referencia del

82,5% que se toma en Smartick para superar una lección. Este porcentaje ha sido elegido

como referencia para intentar que el avance de los alumnos a través del camino de enseñanza

personalizado que le va diseñando la plataforma se recorra de forma cómoda y posibilitando

que el alumno cree un autoconcepto positivo como matemático.

Con todas las tareas, lecciones y unidades del sistema se realiza un análisis descriptivo que

incluye un estudio de la eficiencia, en términos de porcentajes de acierto y rapidez de

resolución, que ofrece una primera panorámica sobre el desempeño de los alumnos a lo largo

del camino de enseñanza diseñado.

Una de las primeras observaciones que merece la pena destacar, tras este primer análisis, es

que las tareas con letras no han resultado difíciles para los niños de 8 a 12 años (ver Tabla 1

y Figura 5). Es más, en tercero de primaria, primer curso para el que está diseñada la

propuesta, el porcentaje de acierto no ha bajado de un 95%, lo cual da una clara indicación

de que las tareas que planteamos no ofrecen grandes dificultades. Esto nos ha llevado a

destacar, a modo de titular periodístico, el subtítulo de este trabajo: “Las letras no son el

problema”.

Otro aspecto destacable tiene que ver con los tiempos de respuesta. Aunque es difícil inferir

de un tiempo de respuesta que los alumnos utilicen una estrategia u otra, sí es cierto que

tiempos medios de respuesta de 12 segundos en este tipo de tareas descartan en la práctica la

posibilidad de que los niños estén utilizando estrategias de cálculo mental. También parece

poco plausible la opción de que empleen técnicas de resolución propias de las ecuaciones,

cuando todavía no las han estudiado en la escuela, ni en su camino de enseñanza anterior

dentro del sistema.


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Tabla 1 y Figura 5. Porcentajes de acierto en tareas con letras

Dificultades encontradas en la aplicación de la propuesta

En la Figura 6 quedan registrados los porcentajes de acierto para cada tipo de tarea,

perteneciente a cada lección de la unidad de pensamiento relacional aditivo con igualdades

con números del 10 al 99. Vemos que las tareas más difíciles son siempre las de evaluar (ver

tareas en Figura 2 y resultados en Figura 6).

Figura 6. Porcentajes de acierto por unidad y tipo de tarea

A pesar de que el porcentaje de acierto se puede considerar alto (71,46%, 74,67% y 60,22%),

no lo evaluamos así dentro del contexto del funcionamiento de la plataforma, donde un

porcentaje inferior al 82,5% puede implicar que el alumno no supere la lección. Podemos

decir, por tanto, que las dificultades que describimos tienen un carácter relativo a un

determinado criterio que establece cómo se produce el avance de los alumnos a través de sus


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caminos de aprendizaje que diseña la plataforma. Como se aprecia en la Figura 6, casi todos

los tipos de tareas tienen un porcentaje de acierto superior al 90%.

Reflexiones finales

En la línea de los planteamientos de Schliemann y otros (2011), de estos resultados positivos

en el aprendizaje de tareas que requieren un pensamiento algebraico con niñas y niños en

edades tan tempranas (8-9 años, tercero de educación primaria), se puede concluir que no es

cierto que exista una dificultad insalvable, ligada al desarrollo cognitivo, para el desarrollo

del pensamiento algebraico en la educación primaria.

Si bien, como suele ocurrir en las investigaciones educativas, resulta difícil generalizar los

resultados, estos nos parecen prometedores. Más que por el número de alumnos o de tareas

cuyos datos hemos descrito (Tabla 1 y Figura 5), por la diversidad del alumnado en términos

geográficos, de tipo de escuela (pública o privada), de edad (8 a 12 años), etc. En la línea

sugerida en la exposición de resultados, necesitamos realizar entrevistas a los niños y niñas

que han participado en la propuesta para confirmar nuestra hipótesis de que efectivamente

están empleando el tipo de pensamiento relacional que hemos conjeturado y cuyo desarrollo

constituía el objetivo principal de nuestra propuesta.

Una cuestión que requiere profundización es la dificultad detectada en las tareas de evaluación. Dichas tareas

(Figura 1) no figuraban entre las más difíciles en nuestras predicciones iniciales. La taxonomía de Bloom

establece que las tareas de evaluación son las más complejas1. Esta hipótesis nos parece razonable en un

contexto en que hemos diseñado tareas de evaluación que, más allá de juzgar la corrección o incorrección de

una sentencia aritmética mediante un cálculo, se espera que conduzcan a los alumnos a juzgar la corrección o

incorrección en términos estructurales (algebraicos); por ejemplo, utilizando su conocimiento informal de las

propiedades de las operaciones (conmutativa, asociativa, elemento neutro, etc.).

Un aspecto interesante de las dificultades encontradas es que constituyen un punto de partida

para desarrollos posteriores del sistema. En Smartick, igual que en otros modelos de

enseñanza online, el sistema enseña (modeliza un docente) y está obligado a aprender “cómo

mejorar como profesor”. Un criterio de evaluación del sistema es favorecer que los alumnos

transiten con fluidez (sin atascos) a través de los caminos de enseñanza que el sistema diseña

para ellos. Esto implica estudiar, y encontrar una explicación, para los casos que presentan

1 Agradecemos esta idea que nos aportó Ana Belén Montoro en un Seminario de Pensamiento

Numérico y Algebraico de la SEIEM.


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una dificultad inesperada. Este tipo de indagación frecuentemente retroalimenta nuestras

perspectivas teóricas. Por ejemplo, en este trabajo nos ha llevado a reflexionar sobre la

aplicación de la taxonomía de Bloom revisada a tareas matemáticas en un entorno online.

Finalmente, para que este enfoque sobre el desarrollo del pensamiento algebraico a lo largo

de toda la educación primaria pueda extenderse, serán necesarios múltiples y diversos

esfuerzos de desarrollo curricular, implicando un cambio en el tratamiento de cuestiones

algebraicas en los textos de educación primaria (Ramírez y Rodríguez, 2011). También será

necesario formar e implicar a maestras y maestros de educación primaria en un nuevo papel

como promotores del desarrollo del pensamiento algebraico (Fernández e Ivars, 2015).


Cañadas, M.C. (2016). Álgebra escolar: un enfoque funcional. Uno: Revista de didáctica de

las matematicas, 73, 7-13.

Carpenter, T.P., Franke, M.L. y Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating

arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth. Heinemann.

De Castro, C., y Gutiérrez del Álamo, P. (2016). Integración curricular de una plataforma

online para el aprendizaje de las matemáticas en educación primaria. EDMETIC,

Revista de Educación Mediática y TIC, 5(1), 143-164.

Fernández, C. e Ivars, P. (2015). Pensamiento relacional en primaria: el papel del maestro.

Uno. Revista de didáctica de las matemáticas, 73, 14-22.

Merino, E., Cañadas, M.C. y Molina, M. (2013). Uso de representaciones y patrones por

alumnos de quinto de educación primaria en una tarea de generalización. Edma 0-6:

Educación Matemática en la Infancia, 2(1), 24-40.

Molina, M. (2006). Desarrollo del pensamiento relacional y comprensión del signo por

alumnos de tercero de educación primaria. Tesis doctoral. Granada: Universidad de

Granada.

Molina, M. (2009). Una propuesta de cambio curricular: integración del pensamiento

algebraico en educación primaria. PNA, 3(3), 135-156.

NCTM (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática. Sevilla: Sociedad

Andaluza de Educación Matemática Thales.

Palarea, M. (1998). La adquisición del lenguaje algebraico y la detección de errores

comunes cometidos en Álgebra por alumnos de 12 a 14 años. Tesis doctoral. La

Laguna: Universidad de la Laguna.

Ramírez, M. y Rodríguez, P. (2011). Interpretaciones del signo igual: Un estudio de libros

de texto. Unión: revista iberoamericana de educación matemática, 26, 41-55.

Schliemann, A.D., Carraher, D.W. y Brizuela, B.M. (2011). El carácter algebraico de la

aritmética: De las ideas de los niños a las actividades en el aula. Buenos Aires:

Paidós.


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CB-1.309

CONJETURAS Y PRUEBAS EN TORNO A UNA ACTIVIDAD GEOMÉTRICA DE

ESTUDIANTES QUE INICIAN EL PROFESORADO DE MATEMÁTICA

(URUGUAY)

Mario Dalcín

[email protected]

Instituto de Profesores ‘Artigas’, Departamento de Matemática del CFE


Modalidad: CB


Palabras clave: Conjetura, Prueba, Generalizar, Particularizar

Resumen La comunicación da cuenta de una experiencia realizada con estudiantes de primer año de

Profesorado de Matemática (Uruguay), al mes de haber iniciado sus estudios. Como tarea

del curso Geometría Euclidiana se les propuso la siguiente actividad: “ABCD es un

cuadrilátero convexo. Las bisectrices interiores de los ángulos DAB y ABC se cortan en E.

¿Puedes establecer una relación entre los ángulos AEB, BCD y CDA? Explica por qué se

cumple la relación establecida”. La tarea se propuso para ser trabajada en forma individual

y con dos semanas de plazo para entregarla. Se buscó determinar en qué paradigma(s) -si

en el ámbito de la Geometría I y/o de la Geometría II (Houdement y Kuzniak, 1999)-

abordaba la tarea cada estudiante. Se buscó saber además si los estudiantes consideraban

algún(os) cuadrilátero(s) especial(es) en su trabajo. También se buscó saber si recurrían al

uso de Geometría Dinámica.

Introducción

Con el objetivo de tener una aproximación al pensamiento geométrico de los estudiantes que

ingresaron al profesorado de matemática al Instituto de Profesores ‘Artigas’ en 2016, se le

propuso a un grupo de primer año una actividad geométrica en la que tenían que conjeturar

y elaborar una prueba para su conjetura. La experiencia previa de los estudiantes que ingresan

con el trabajo geométrico suele ser muy variada debido a que pueden ingresar habiendo

cursado cualquiera de las diversificaciones del bachillerato, así como al olvido generado por

los años sin estudiar de muchos de los estudiantes.


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La actividad propuesta

La actividad, propuesta a los 29 estudiantes del grupo, al mes de haber iniciado el curso anual

Geometría I (8 horas semanales), para que trabajaran en forma individual, en su casa y con

un plazo de dos semanas para ser entregada, está tomada del libro Geometría Euclidiana en

la formación de profesores. Exploración inicial del plano (Dalcín y Molfino, 2014, p. 83):

Esta sección de No todo es soplar y hacer botellas que se inicia consistirá en actividades que

posiblemente no se resuelvan en un instante y por tanto requieran que se vuelva una y otra vez sobre

ellas.

Además de la resolución matemática de la actividad, y más allá que llegues a resolverlas

completamente, nos interesa que relates todo lo que fuiste pensando a medida que la ibas resolviendo.

En este relato escribe tanto lo correcto y por qué consideras que es correcto, así como las ideas que

pensaste y después viste que eran incorrectas y explica por qué eran incorrectas.

Sólo la resolución matemática de las actividades de esta sección no tiene ningún valor. Lo que nos

interesa es que puedas verte a ti mismo buscando resolver un problema y que puedas explicitarlo y

comunicarlo de modo que quien lea tu relato pueda seguir los vaivenes de tu pensamiento. Recuerda

que importa tanto lo incorrecto y por qué viste es incorrecto como lo correcto y sus porqués.

Puedes hacer uso de Geometría Dinámica (GD) para abordar la actividad.

(ABCD) es un cuadrilátero convexo. Las bisectrices interiores de los ángulos DAB y ABC se cortan

en E. ¿Puedes establecer una relación entre los ángulos AEB, BCD y CDA?

Marco teórico

Houdement y Kuzniak (1999) proponen tres paradigmas para la geometría. Cada uno refleja

una problemática diferente a abordar por la comunidad de matemáticos involucrada:

Geometría I. La geometría natural. La fuente de validación es la realidad, el mundo sensible.

Hay una cierta confusión entre el modelo y la realidad. La deducción se hace centralmente

mediante la percepción y el uso de instrumentos.

Geometría II. La geometría axiomática natural. La fuente de validación se basa sobre lo

hipotético deductivo en un sistema axiomático lo más preciso posible. Pero dicho sistema

axiomático se mantiene lo más fiel posible a la realidad.

Geometría III. La geometría axiomática formalista. Se cortan los lazos de la geometría con

la realidad. El razonamiento lógico se impone y los axiomas no se basan en lo sensible, en lo

real.


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Estas tres geometrías nos dan un marco desde el cual dar cuenta de toda la geometría, desde

la que trabaja un estudiante al iniciar su formación en la escuela primaria hasta aquella con

la que trabaja un matemático. Para nuestro estudio tendremos en cuenta solo las Geometría I

y Geometría II.

Propósito del trabajo

Se buscó determinar en cuál(es) de los paradigma(s) propuestos por Houdement y Kuzniak

(1999) trabaja cada estudiante al abordar la actividad planteada, si en la Geometría I y/o en

la Geometría II.

Se buscó saber además si consideraban algún –o algunos- cuadrilátero especial al abordar la

actividad.

También nos interesó saber si los estudiantes recurrían al uso de Geometría Dinámica para

abordar la actividad.

Buscamos saber además si elaboraron alguna conjetura y la fundamentaron.

Lo hecho por los estudiantes

Consignamos lo hecho por los estudiantes en la siguiente tabla. Para ello asignamos números

del 1 al 29 al trabajo entregado por cada estudiante. Indicamos con I o II si el estudiante

aborda la tarea desde la Geometría I o la Geometría II (Houdement y Kuzniak, 1999). Al

prestar atención al cuadrilátero -o los cuadriláteros- considerado por el estudiante al abordar

la actividad, distinguiremos entre cuadrado, rectángulo, rombo, paralelogramo, trapecio

isósceles, trapecio birrectángulo, trapecio, cuadrilátero general (cuadrilátero convexo distinto

a los antes mencionados). Con GD indicaremos en el cuadro cuando hacen uso de Geometría

Dinámica. Con ‘si’ y ‘no’ señalaremos si elaboraron alguna conjetura y la fundamentaron.

En el caso de estudiantes que creen que las bisectrices de los cuadriláteros considerados son

sus diagonales indicaremos ‘dxb’ en la tabla.

Estudiante Cuadrado Rect. Rombo Paralel. Trapecio

isósceles

Trapecio

birrect.

Trapecio Cuadril

gral

E1 II sí I no

E2 II sí

E3 dxb, II sí


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E4 II sí

E5 dxb, no

E6 I sí GD I sí GD I sí GD

E7 II sí

E8 I no GD

E9 II, no bis.

E10 II sí

E11 dxb

E12 II sí

E13 II sí GD

E14 II no

E15 II, dxb

E16 II, dxb II, dxb

E17 I sí I sí I sí I sí

E18 II no

E19 II no

E20 II sí GD

E21 II sí

E22 I sí

E23 I sí GD I sí GD

E24 I sí GD I sí GD

E25 II no

E26 I sí I sí I sí I no I no GD

E27 I sí

E28 I sí I sí, II sí

E29 I no I no I no I no

E1: “…supuse que la relación entre los ángulos E, C y D eran iguales porque mi cuadrilátero

era un cuadrado, pero al hacer un romboide me di cuenta que no dan iguales. En el cuadrado

me habían dado los tres ángulos 90º porque todos sus ángulos son 90º.”… “Está erróneo mi

pensamiento ya que hay un caso en el cual no se cumple la relación.” E1 tiene claro que si

hay un ejemplo que no cumple la relación, entonces la relación no es válida. E1 sostiene que

los ángulos E, C y D del romboide no miden 90º mirando la figura.

E2 considera la figura de seis cuadriláteros convexos generales, en tres de ellos asigna

medidas a los ángulos de vértices A, B, C, D, E y a partir de ecuaciones entre las

medidas de los ángulos llega a la relación o , que también expresa en

lenguaje coloquial.


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E3 basándose en un único cuadrilátero general (similar a un romboide) que construye y en el

que traza las diagonales, dice que el ángulo E mide 90º. Luego no usa esta información de

origen visual para llegar a que la medida del ángulo E es el promedio de las medidas de los

ángulos C y D.

E4 dibuja un cuadrilátero general, asigna medidas a los ángulos C, D y E

respectivamente y a partir de las ecuaciones + B + A = 360º y + B/2 + A/2 = 180º,

resolviendo el sistema concluye que .

E5 relata que inicialmente busca en Internet el significado de convexo y de bisectriz.

Construye un trapecio isósceles, traza sus diagonales y nombra E a su intersección. Construye

la circunferencia de centro E que pasa por A y B porque “cada vez que veo intersecciones

que se cruzan internas a una forma pienso en un círculo”… “pienso que debe tener que ver

con que el ángulo interno mida el doble.”

E6 usa Geogebra. “Pensé que la suma de los ángulos E, C y D podría ser constante, pero no.

Luego lo que hice (no sé por qué realmente, no es que lo hice porque sí, solo que pensaba

que al ser una relación entre ángulos debía ser alguna cuenta, entonces intenté sumarlos,

restarlos, multiplicarlos, y eso me llevó a lo que hice) fue multiplicar el ángulo E por tres y

al menos en los cuadriláteros que utilicé esa multiplicación me dio lo mismo que la suma de

los tres ángulos. Estos tres ejemplos [que hace en papel] son algunos de los tantos que intenté,

y esos confirman lo que suponía.” El trabajo en GD le permite descartar su conjetura inicial

y confirmar su nueva conjetura, en ambos casos trabajando en el ámbito de la Geometría I.

E7 no relata el proceso de trabajo y se limita a escribir en lenguaje coloquial las ecuaciones

que plantea a partir de un cuadrilátero general y que le permiten concluir que E = (C + D)/2.

E8, al no tener al alcance Geogebra, construye un cuadrilátero en el que “observé que en este

caso el ángulo E estaba cerca de ser recto, lo que se me ocurrió pensar si los ángulos B y A

serían suplementarios”. Piensa y busca información sobre esta supuesta propiedad sin hallar

nada. “Entonces pensé en trazar distintos cuadriláteros convexos tratando de refutar mi teoría

en forma práctica y que se viera a simple vista; y lo logré”. Luego, trabajando en Geogebra,

“observé que E era un ángulo similar a A y B pero no igual. Era intermedio. Se me ocurrió

sumar B y A y luego dividirlo entre 2. Me dio exactamente la medida de E. Por lo tanto

concluyo que E = (A + B)/2.”


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Queda claro que E8 trabaja en el ámbito de la Geometría I. Lo que no queda claro es si la

afirmación falsa entregada en papel se corresponde con lo visto en Geogebra.

E9 considera un rectángulo y construye AE y BE que no son bisectrices ni diagonales. Asigna

medidas a, b, c, d a diversos ángulos, establece ecuaciones y concluye que C = D.

E10 no relata el proceso limitándose a dibujar un cuadrilátero general y a escribir las

ecuaciones a partir de las cuales concluye que E = (C + D)/2.

E11 solo construye un cuadrilátero general y sus diagonales.

E12 dice que primero prolongó AE y BE, formó así nuevos triángulos, pero que luego no

puedo avanzar en establecer relaciones entre sus ángulos. Luego cambia de estrategia y

considera la suma de los ángulos del cuadrilátero, lo del triángulo ABE, y así deduce que E

= (C + D)/2.

E13, trabajando en Geogebra conjetura inicialmente que “el ángulo E es el doble de C y que

a su vez D es el triple que C”. Pensando en un cuadrado se da cuenta que no es cierta la

conjetura anterior. Conjetura luego que C + D + E es constante y constata mediante arrastre

que no. Conjetura luego la relación (C + D)/2 = E, la confirma mediante arrastre y elabora

una demostración trazando una paralela a CD por E.

E14 considera un cuadrilátero general, asigna medidas y a los ángulos A y B, y halla la

medida de E en función de y.

E15 a partir del paralelogramo al que trazó sus diagonales en vez de sus bisectrices, marca

ángulos alternos internos iguales.

E16 considera un trapecio isósceles (A = B) y un trapecio birrectángulo (B = C) y sus

diagonales. A partir de plantear ecuaciones erradas concluye que E = C = D. En el trapecio

birrectángulo considerado los ángulos E y C se ven distintos.

E17 empieza considerando diagonales en cuadrado y paralelogramo. Considera luego un

paralelogramo de ángulo A = 80º donde sí construye las bisectrices; luego las bisectrices de

un rectángulo, de un trapecio birrectángulo con A = B = 90º y conjetura que (A + B)/2 = E.

Construye luego un trapecio isósceles con A = 130º y B = 50º. Después de esto vuelve a leer

la letra de la actividad, se da cuenta que estaba relacionando mal los ángulos y cambia la

igualdad anterior por (C + D)/2 = E expresando “como dije anteriormente, no se cómo llegué


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a esta fórmula”. La verifica recurriendo a un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo con

A = 120, un trapecio isósceles con A = 135º y B = 45º.

E18 dice hacer “un bosquejo de un cuadrilátero convexo ‘genérico’ (sin valores) con las

bisectrices mencionadas en la letra” pero representa un trapecio con AD paralelo a BC. “A

partir del bosquejo procedía buscar propiedades estudiadas anteriormente.” Esto evidencia

que trabaja en el ámbito de la Geometría II en la medida que recurre a propiedades del curso

y no a medir ángulos con un semicírculo por ejemplo. No llega a dar una respuesta a la

actividad.

E19 construye un paralelogramo, ubica el punto E y afirma que C + D = 180º = A + B y que

por ser bisectrices la suma de EAB y ABE es igual 90º y por lo tanto E = 180º - 90º = 90º.

E20 parecería basarse en su razonamiento en la propiedad ‘los ángulos conjugados internos

entre paralelas suman 180º’, usando además que la suma de los ángulos interiores de un

triángulo es 180º. Si bien no llega a establecer una relación entre los ángulo C, D y E,

evidencia trabajar en Geometría II, claro que acotado al caso del paralelogramo que

consideró.

E20 dice “lo primero que intenté hacer fue buscar una relación visible probando en Geogebra

con distintos cuadriláteros. No encontré ninguna entonces pensé en plantear la relación entre

los ángulos del cuadrilátero.” Se dibuja un cuadrilátero general y plantea las ecuaciones A +

B + C + D = 360º y A/2 + B/2 + E = 180º, de donde obtiene E = (C + D)/2.

E21 considera un cuadrilátero general y conjetura “parecerían sumar 180º”. Considerando

una nueva figura de un cuadrilátero general concluye “la intersección de dos bisectrices no

tiene por qué formar ángulos rectos”. Dejando la conjetura inicial de lado y basándose en una

nueva figura de un cuadrilátero general deduce que 2E = C + D. También expresa la relación

como E = (C + D)/2, C = 2E – D, D = 2E – C.

[Lo hecho por los estudiantes 22 a 29 puede verse en el Anexo.]

Conclusiones

La relación entre los estudiantes que trabajan exclusivamente en el ámbito de la Geometría I

o de la Geometría II es de 2 a 3. Solo dos estudiantes muestran trabajar en ambos paradigmas

a la vez en la actividad.


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La relación entre estudiantes que consideran exclusivamente uno o más cuadriláteros

particulares (cuadrado, rectángulo, rombo, paralelogramo, trapecio isósceles, trapecio

birrectángulo, trapecio) o exclusivamente un cuadrilátero general es de 1 a 1. Cinco

estudiantes consideran cuadriláteros particulares junto a un cuadrilátero general.

La cuarta parte de los estudiantes hace uso del ambiente dinámico, usando Geogebra, en el

transcurso de su actividad. Quienes trabajan parcial o todo el tiempo en el ámbito de la

Geometría I usan la GD para descartar conjeturas (E1, E6, E8, E13). Una sola estudiante

(E20) dice que la GD no le sirve para encontrar una relación entre los ángulos y establece

dicha relación deductivamente.

Los estudiantes se formularon preguntas y elaboraron una amplia variedad de conjeturas: i)

los ángulos consecutivos de un cuadrilátero son suplementarios (E8); ii) el ángulo E es el

doble del ángulo C y a su vez el ángulo D es el triple que C (E13); iii) la suma de los ángulos

C, D y E es constante (E6); iv) la suma de los ángulos C, D y E es 180º (E21); v) la

intersección de dos bisectrices consecutivas de un cuadrilátero no tiene por qué formar

ángulos rectos (E22); vi) los ángulos C, D, E son iguales (E1); vii) E = (A+B)/2 (E8); viii) la

suma de los ángulos C, D, E es el triple del ángulo E (E6); ix) E es intermedio entre C y D

(); x) el ángulo E se encuentra aproximadamente entre los valores de los ángulos C y D (E24);

xi) E = (C + D)/2 (E21); xii) 2E = C + D (E21); xiii) 2E = C + D (E21); xiv) C = 2E – D

(E21); xv) D = 2E – C (E21).

Las fundamentaciones dadas por estudiantes que trabajan en el ámbito de la Geometría I se

basan en lo visual o en mediciones de ángulos, ya sean hechas con semicírculo (E17, E23,

E27) o mediante Geogebra (E6, E24). Las fundamentaciones mediante medición pueden

recurrir a un solo cuadrilátero particular (E22), a dos (E24) o a varios (E17), a considerar

cuadriláteros especiales y cuadrilátero general (E6, E23) o considerar solo un cuadrilátero

general (E8, E26).

Las fundamentaciones elaboradas en el ámbito de la Geometría II se basan en propiedades

acordadas en el mes previo de curso (ángulos alternos internos entre paralelas son iguales, la

suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, la suma de los ángulos interiores de

un cuadrilátero es 360º) y en la concatenación deductiva de las mismas. Dos estudiantes (E18,

E19) consideran un solo cuadrilátero particular y no logran elaborar una fundamentación

deductiva; dos estudiantes (E1, E28) consideran cuadriláteros particulares y general, y


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elaboran demostraciones; diez estudiantes (E2, E4, E7, E10, E12, E13, E14, E20, E21, E25)

consideran exclusivamente un cuadrilátero general y ocho de ellos elaboran una

fundamentación deductiva, así como dos no lo consiguen. En siete casos la demostración

consiste en considerar que A + B + C + D = 360º, que A/2 + B/2 + E = 180º y operando con

estas dos igualdades concluir que E = (C + D)/2. E13 es el único caso que elabora una

demostración diferente considerando una paralela a CD por E, intersecando esta recta con

AD y BC en J y K respectivamente y luego estableciendo relaciones entre los ángulos de los

triángulos AEJ, ABE, BKE deduce que E = (C + D)/2.

Algo que no estaba dentro de las finalidades de este estudio pero que surgió de los trabajos

es que cinco estudiantes consideran que las bisectrices de los cuadriláteros considerados son

sus diagonales y uno construye semirrectas que no son bisectrices ni diagonales. Es decir que

la quinta parte de los estudiantes no tiene claro qué es la bisectriz de un ángulo. Ninguno de

estos estudiantes había trabajado en un ambiente dinámico.


Dalcín, M. y Molfino, V. (2014). Geometría Euclidiana en la formación de profesores.

Exploración inicial del plano. Montevideo: Ediciones Palíndromo.

Houdement, C. y Kuzniak, A. (1999). Geometrie et paradigmas geometriques. Petit x, 51,

pp. 5-21.

Anexo

Lo hecho por los estudiantes 22 a 29

E22 al hacer una figura a mano, en el mismo libro, se da cuenta que necesita hacer una figura

más grande y en una hoja aparte. “Al hacerlo de esta forma aproveché para darle ángulos con

números enteros y para facilitarme aún más le puse valores múltiplos de diez. Al conocer el

valor de los ángulos iba a poder hacer una figura en la cual viera algo general pero poder

comprobarlo con el ejemplo. Fue de esa forma que pude encontrar la relación”. El

cuadrilátero construido es un trapecio birrectángulo con A = 70º y B = C = 90º. E27 aborda

la actividad en el ámbito de la Geometría I.

E23 trabaja en Geogebra e inicialmente no ve ninguna relación entre los ángulos. Un

compañero le dice que en los rectángulos y paralelogramos los ángulos cumplen la relación


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E = (C + D)/2. En base a las medidas de los ángulos C, D, E de tres cuadriláteros generales

distintos hechos en Geogebra confirma -“sin fundamento teórico”- la relación.

E24 a partir de medir en un cuadrado afirma que los tres ángulos son iguales. Como duda si

está midiendo bien con el semicírculo recurre a Geogebra, a partir de lo cual considera dos

trapecios birrectángulos con A = D = 90º y B = 135º en un caso y B = 45º en el otro. Confirma

así que su afirmación anterior “no se daba para cualquier cuadrilátero convexo”. Finalmente

“concluí que el valor del ángulo E se encuentra aproximadamente entre los valores de los

ángulos C y D.”

E25 se dibuja un cuadrilátero general y llega a escribir E + ABE+ EAB = 180º y A + B + C

+ D = 360º, pero no llega a una relación entre los ángulos.

E26 considera inicialmente un trapecio isósceles con C = D = 120º y mide mal el ángulo E.

Luego considera un cuadrilátero general y no puede establecer una relación en base a las

mediciones hechas. Luego construye cuadrado, rectángulo y rombo y concluye que B = E =

C = 90º. Finalmente usa Geogebra sin lograr establecer una relación entre los ángulos.

E27 construye un cuadrado y mediante compás las bisectrices de los ángulos A y B que se

cortan en E. Supone “a simple vista” que el ángulo E es igual a A = B = C = D. Se plantea

como paso siguiente “corroborar que mi pensamiento es correcto midiendo E”…

“concluyendo que mi pensamiento es correcto.”

E28 construye un trapecio isósceles con A = B. Midiendo conjetura que C = D = E. Luego

traza “otro cuadrilátero un poco más irregular donde los ángulos C y D sean distintos”. En

este caso no se cumple la igualdad “por lo que podemos ‘suponer’ que (D + C)/2 = E.”

Midiendo D y C con semicírculo sustituye los valores en la expresión anterior. Luego mide

E y “teniendo en cuenta el margen de error” le “parece razonable, habría que demostrarlo en

forma general”. Cosa que hace.

E29 construye a mano –sin recurrir a regla, compás ni semicírculo- cuadrado, trapecio

birrectángulo con A = D, trapecio isósceles con A = B, rectángulo. No mide y solo recurre a

la vista para concluir que no puede establecer una relación.


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La actividad de E1


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La actividad de E14


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La actividad de E17


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CB-1.310

BRINCAR E PARTICIPAR COMO PROCESSOS DE APRENDIZAGEM DAS

OPERAÇÕES ARITMÉTICAS NA EDUCAÇÃO PRÉ-ESCOLAR

Goreti Dória1 – Maria Figueiredo2 – Helena Gomes2

[email protected] – [email protected] – [email protected] 1ESE de Viseu, 2ESE de Viseu e CI&DETS - Instituto Politécnico de Viseu (Portugal)

Núcleo temático: I. Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades

y niveles educativos

Modalidade: CB

Nível educativo: Inicial (3 a 5 anos)

Palavras chave: educação pré-escolar, operações aritméticas, brincar.

Resumo Na educação pré-escolar, ensinar concretiza-se na organização do ambiente educativo e em

interações mais ou menos orientadas pelo/a educador/a. Nas Orientações Curriculares para

a Educação Pré-Escolar portuguesas, a organização do ambiente educativo surge como

suporte da gestão curricular e o brincar é valorizado de forma transversal a todas as áreas

de conteúdo. Em termos matemáticos, destaca-se o desafio de organizar o espaço, os

materiais e as interações que promovam o envolvimento das crianças na resolução de

problemas e as oportunidades que o brincar oferece para o desenvolvimento da

comunicação e do raciocínio matemáticos. Esta abordagem reconhece os saberes e

experiências das crianças como base para a sua aprendizagem, nomeadamente no âmbito

da Matemática. Apresentamos situações experienciadas e investigadas num contexto pré-

escolar português, analisando as propostas do adulto e as resoluções de 20 crianças entre 3

e 6 anos. As situações foram desenhadas tendo em vista o trabalho com as operações

aritméticas, procurando contribuir para o seu desenvolvimento.

Introdução

Enquanto professores de crianças pequenas, designação que valoriza a especificidade do

ensino desenvolvido em contextos de atendimento à infância, os educadores de infância

desempenham a mesma função socialmente definidora do ser professor – ensinar,

reconhecendo-se que o exercício dessa função é realizado com especificidades relativamente

a outros níveis de escolaridade. Neste artigo, damos conta de uma experiência de ensino que

concretiza uma das singularidades da Educação Pré-Escolar: a valorização do brincar.

Na Escola Superior de Educação de Viseu (ESEV), a formação inicial de educadores de

infância (e professores do 1.º e 2.º CEB) inclui a realização de uma investigação sobre as


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práticas, desenvolvida ao longo dos períodos de estágio. Pretende-se que os futuros

profissionais desenvolvam competências de resolução de problemas e de construção de

conhecimento, por forma a sustentar uma profissionalidade reflexiva.

Este artigo reporta resultados de um estudo realizado em contexto de estágio num jardim de

infância. Ao longo do período de estágio, foi-se desenvolvendo o estudo focado nas

operações aritméticas. Este tópico está previsto no documento orientador das práticas em

Educação Pré-Escolar em Portugal - as Orientações Curriculares para a Educação Pré-Escolar

(Ministério da Educação, 2016). Pretendeu-se implementar e avaliar situações de ensino que

permitissem apoiar a aprendizagem das crianças sobre o conceito e sentidos das operações

aritméticas, respeitando as especificidades do trabalho pedagógico em Educação Pré-Escolar.

Os desafios dessa especificidade são analisados na secção seguinte. Apresentamos e

analisamos algumas situações que foram delimitadas ao longo dos quatro meses de trabalho

com as crianças.

Pedagogia da Infância e Didática da Matemática na Educação Pré-Escolar

Na Educação de Infância, o termo Pedagogia é commumente utilizado para descrever o

conjunto de conhecimentos e ações didáticas que permitem ao profissional de Educação de

Infância proporcionar aprendizagens às crianças. Siraj-Blatchford (1999), por exemplo,

recorre ao termo Pedagogia para descrever o conjunto de técnicas e estratégias de ensino que

promovem aprendizagem na Educação de Infância, que fornecem oportunidades para a

construção de conhecimento, competências, atitudes e disposições, incluindo, assim, as

várias ações do/a educador/a de infância. Figueiredo (2013) sistematiza três dimensões da

Pedagogia de Infância que estruturam a intervenção pedagógica do/a Educador/a: a)

organização do ambiente educativo ou “bastidores” (espaço físico e recursos, tempo, grupos,

interações sociais e relações), b) tarefas ou atividades apresentadas e dirigidas pelo adulto, e

c) interações entre adulto e criança(s) a partir da atividade da criança, nomeadamente o

brincar.

Os fundamentos da Pedagogia de Infância referidos nas OCEPE (Ministério da Educação,

2016) preveem a construção articulada do saber que se concretiza na valorização do brincar

que promove "uma dinâmica de interação, em que se articulam as iniciativas das crianças e

as propostas do Educador" (p. 11). As OCEPE referem, ainda, que a aprendizagem das


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crianças no âmbito da Matemática requer "uma abordagem sistemática, continuada e

coerente, em que o/a Educador/a apoia as ideias e descobertas das crianças e

intencionalmente as leva a aprofundar e a desenvolver novos conhecimentos" (Ministério da

Educação, 2016, p. 77). O desenvolvimento de noções matemáticas inicia-se antes da

Educação Pré-Escolar, no entanto, é neste nível que essas noções são abordadas com

intencionalidade, tendo sempre em conta o que as crianças já sabem, ou seja, aproveitando

os conhecimentos e experiências que elas já construíram (MacDonald y Lowrie, 2011;

Clements y Sarama, 2014).

Numa posição conjunta, a National Association for the Education of Young Children e o

National Council of Teachers of Mathematics (2002) propõem que a educação matemática

para esta faixa etária se baseie na exploração de momentos relevantes que emergem do

brincar das crianças e na proposta de situações de aprendizagem intencionalmente

organizadas pelo adulto. Esta abordagem é coerente com as três dimensões da Pedagogia de

Infância que tornam visível quer o trabalho de bastidores necessário para apoiar um brincar

rico e complexo quer as intervenções do adulto. Castro e Rodrigues (2008) salientam o papel

do adulto em relação ao desenvolvimento matemático destacando aspetos da sua ação:

"quando prestam atenção à Matemática presente nas brincadeiras das crianças e as

questionam; as incentivam a resolver problemas e encorajam a sua persistência; (...)

combinam experiências formais e informais e utilizam a linguagem própria da Matemática"

(p. 9).

É fundamental que as crianças aprendam através de experiências informais, usando as ideias

matemáticas para criarem representações de situações que tenham significado para elas.

Como enuncia Baroody (2002), “é importante que as crianças pequenas aprendam não apenas

conteúdos matemáticos, mas que se envolvam nos processos matemáticos: procurando

padrões, raciocinando acerca de dados, resolvendo problemas e comunicando as suas ideias

e resultados” (p. 334).

Em particular, o ensino dos números e das operações não deve visar a aquisição de técnicas

rotineiras, mas sim uma aprendizagem global e significativa ligada ao desenvolvimento do

sentido do número e à compreensão das operações. Em relação aos Números e Operações,

as OCEPE (Ministério da Educação, 2016) preveem que as crianças aprendam a relacionar a

adição com o combinar de dois grupos de objetos e a subtração com o retirar uma dada


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quantidade de objetos de um grupo de objetos. Contudo, Moreira e Oliveira (2003) salientam

que a adição envolve, ainda, o sentido de mudar juntando, quando uma quantidade é

aumentada e a adição é usada para calcular o total. A subtração pressupõe, também, a

exploração de situações, com as crianças de comparar, quando a subtração é usada para

encontrar a diferença entre duas quantidades, ou seja, indicar quanto é que uma tem a mais

do que outra e tornar igual, que prevê usar a subtração para calcular quanto se deve juntar a

uma quantidade para igualar a outra. A multiplicação pode ser trabalhada como adição de

parcelas iguais, relacionando-se com a adição, ou como uma forma de natureza combinatória

que se relaciona com a identificação do número de combinações diferentes. A divisão

engloba o sentido de partilha, quando uma quantidade é distribuída de forma igual,

agrupamento quando a operação é usada para distribuir uma certa quantidade em grupos com

um dado número de elementos, e razão quando serve para comparar duas quantidades.

É fundamental que o educador conheça a variabilidade do pensamento operatório, de forma

a explorar as situações que surgem, informalmente, nas atividades da criança,

proporcionando-lhe as experiências de aprendizagens que tenham subjacentes os vários

sentidos das operações, já que para desenvolver uma noção intuitiva das operações

aritméticas não é necessário introduzi-las formalmente.

Opções metodológicas

O estudo realizado sobre as próprias práticas, de cariz qualitativo, recorreu

predominantemente à observação participante complementada com notas de campo,

registando e analisando a participação das crianças nas tarefas. Como forma de analisar a

informação recolhida, utilizou-se análise de conteúdo orientada pelos tópicos dos

documentos orientadores de Matemática. O estágio e o estudo foram desenvolvidos com um

grupo de 20 crianças entre os 3 e os 6 anos, decorrendo de setembro a janeiro. O jardim de

infância estava inserido num bairro social, com um nível socioeconómico baixo e graves

problemas sociais. A primeira autora integrava o grupo de três alunas que trabalhou com a

educadora de infância com mais de 30 anos de experiência profissional e com duas assistentes

operacionais.

As atividades desenvolvidas no estudo foram analisadas segundo três dimensões:

organização do ambiente educativo (propostas relacionadas com as rotinas); intervenções do


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adulto no brincar (atividades que partem da iniciativa das crianças); e tarefas propostas pelo

adulto (atividades que partem da iniciativa do adulto), de acordo com o que se apresenta na

Tabela 1.

Tabela 1 - Atividades organizadas de acordo com as dimensões da Pedagogia de Infância

Dimensão da Pedagogia de Infância Situações analisadas

Ambiente Educativo Quadro de presenças

Sorteio tarefas semanais

Organização do refeitório

para o almoço

Intervenção do adulto

a partir do brincar Partilha de feijões

Organização de animais

domésticos

Tarefas Receitas culinárias

Neste artigo, foca-se a análise nas atividades da dimensão Intervenções do adulto no brincar

embora se apresentem e analisem de forma breve as restantes atividades associadas às outras

dimensões.

As atividades e as operações aritméticas

Durante a experiência, foram desenvolvidas atividades com o principal objetivo de promover

aprendizagens no âmbito das operações aritméticas. Preferencialmente, eram sugeridas

tarefas ou criados ambientes propícios à realização de atividades relacionadas com situações

do quotidiano das crianças.

Na dimensão Ambiente Educativo, apresenta-se o quadro de presenças que é um instrumento

de regulação que era utilizado diariamente durante o acolhimento. A partir da exploração do

quadro em termos de crianças presentes e em falta, foi possível envolver as crianças em

raciocínios operatórios que tinham subjacente a adição nos sentidos de mudar juntando e de

combinar e a subtração, nos sentidos de comparar e de tornar igual. O sorteio das tarefas

semanais permitia associar crianças a determinadas ações que eram realizadas

semanalmente. Para o sorteio, as crianças lançavam um dado e ficavam responsáveis por

determinada tarefa quando obtivessem o maior número de pontos. Ao comparar o número de

pontos obtidos, as crianças eram desafiadas a recorrer à subtração nos sentidos de comparar

e de retirar, quando a investigadora tirava partido de erros das crianças na representação de

quantidades de objetos associadas ao número saído no dado. Outro dos momentos de rotina

era a organização do refeitório para o almoço. Para tal, as crianças nomeadas para essa tarefa

colocavam um prato, um copo, um guardanapo, um garfo, uma faca e uma colher em cada


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lugar. No decorrer da tarefa, as crianças iam calculando, por solicitação da investigadora, o

número de objetos em falta e comparando com o número de objetos já colocados, de acordo

com o número de crianças que almoçavam nos respetivos dias trabalhando, particularmente,

os sentidos de comparar e de tornar igual ao nível da subtração. Salienta-se o facto das

crianças recorrerem apenas ao cálculo mental para responder aos pedidos da investigadora.

Na dimensão Tarefas, a investigadora propôs a realização semanal de uma receita culinária.

Em pequenos grupos, as crianças seguiam as indicações das receitas e confecionavam

alimentos. O facto de a receita estar escrita para um número de pessoas diferente do do grupo,

obrigava-as a pensar de forma proporcional durante a confeção. No caso particular da receita

Bolachas de canela, no momento de preparação e durante a partilha por todos os elementos

do grupo, as crianças eram desafiadas a recorrer à adição no sentido de combinar e à

multiplicação como adição de parcelas iguais, ao duplicar a quantidade dos ingredientes da

receita, de modo a permitir entregar uma bolacha a cada criança quando a receita estava

preparada para a confeção de 10 bolachas, à subtração no sentido de comparar, quando as

crianças comparavam as quantidades dos diversos ingredientes da receita e o número de ovos

inicial com os que restavam depois da confeção das bolachas e à divisão no sentido de

partilha ao fazerem a distribuição das bolachas pelas crianças.

Na dimensão Intervenções do adulto no brincar, as atividades partilha de feijões e

organização de animais domésticos decorreram na área de interesse da Matemática. Tendo

em conta que o principal objetivo das intervenções era o trabalho das operações aritméticas,

a investigadora foi acompanhando as ações das crianças na sua atividade livre de brincar,

impondo intencionalidade nas interações que estabelecia com as crianças. Apresenta-se, de

seguida, um episódio representativo do conjunto de dados, que traduz a interação da

investigadora com a Luciana que brincava com feijões:

Investigadora: Luciana dá-me dois feijões (a criança fê-lo sem dificuldade). Quantos temos que

juntar, agora, para ter três? Luciana: Falta um. Investigadora: Dá-me, agora, dois feijões pretos e dois feijões brancos (sem dificuldade, a criança

entregou os quatro feijões). Investigadora: Quantos feijões me deste? Luciana: Quatro.


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Este diálogo evidencia um trabalho intencional da investigadora com a criança enquanto

brincava, ao nível da adição e da subtração. Em particular, a criança responde à primeira

questão da investigadora, recorrendo ao sentido de tornar igual e adiciona, no sentido de

combinar os dois feijões pretos e os dois feijões brancos. A investigadora continuou a

interagir com a criança como mostra o episódio seguinte:

Investigadora: Temos quatro feijões. Juntando mais quatro com quantos feijões ficamos? Luciana: Oito. Investigadora: Se quisermos dividir estes feijões pelas duas, com quantos ficamos? (a criança deu, repetidamente, um a ela e um à educadora até não sobrar nenhum feijão). Luciana: Temos quatro cada uma.

A primeira intervenção da investigadora reforça o desenvolvimento da adição no sentido de

combinar. Com a segunda intervenção, a investigadora tem como objetivo explorar a divisão

no sentido de partilha, tendo a criança necessidade de recorrer a uma correspondência um a

um para responder ao solicitado.

A subtração no sentido de comparar é explorada intencionalmente pela investigadora quando

se aproxima de uma criança que se encontrava a brincar com o jogo Animais domésticos

existente no espaço dedicado à Matemática. Este jogo consiste num conjunto de cartões com

íman, tendo cada cartão a imagem de um animal e o respetivo nome. O Carlos encontrava-se

a procurar animais iguais e a colá-los no quadro, começando a investigadora a interagir com

ele, como mostra o diálogo seguinte:

Investigadora: Encontrei um porco, onde o colo? Carlos: Não sabes jogar? Tens que começar com um cão e pões, depois dois gatos em baixo até

termos muitos. Investigadora: Já sei, eu procuro os animais e tu colas e ensinas-me como fazes, pode ser? (...)

Agora explica-me como fizeste! Carlos: Então olha para aqui, pus um cão, (...) depois pus em baixo dos dois gatos, trẽs porcos e

foi sempre assim até as coelhos. Investigadora: Então e desses animais todos, qual é o que tens mais? Carlos: Os porcos que chegam mais longe. Investigadora: O maior é o que chega mais longe? Carlos: Sim. Investigadora: Conta, então. Carlos: Quatro. Investigadora: E quantos coelhos? Carlos: Cinco.


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Investigadora: Então qual tem mais? Carlos: Ah, são os coelhos que são cinco. Investigadora: E quantos tem a mais?Carlos: Um.

A investigadora aproveita a oportunidade em que a criança está a explorar a sequência

numérica para tirar partido da relação numérica subjacente (mais um que o anterior),

associando essa ideia à subtração no sentido de comparar. A criança é, então, levada a

concluir que o conjunto de cinco elementos tem mais um do que o conjunto de quatro. Esta

relação numérica (mais um) é fundamental para o trabalho posterior de outras relações de

mais dois, mais três,… A investigadora explora uma ideia incorreta da criança quando

compara o cardinal de dois conjuntos com o comprimento das respetivas sequências de

cartões, não se revelando uma boa estratégia, já que os cartões não ficaram alinhados com

igual espaçamento.

Neste nível de ensino, a exploração de situações da rotina diária das crianças e do brincar

revelam a sua importância no desenvolvimento das capacidades matemáticas das crianças,

em particular do pensamento aritmético, através da intencionalidade que o adulto coloca nas

interações que estabelece com elas.


Este estudo mostra que ao interagir com as crianças nas rotinas diárias, no brincar e na

realização de tarefas propostas pelo adulto, é possível direcionar o seu raciocínio para o

recurso a determinadas operações aritméticas e, em particular, para o trabalho dos sentidos

que se pretende explorar. A adição no sentido de combinar e a subtração no de comparar são

aproveitadas intencionalmente pela investigadora na exploração de atividades ligadas às

diferentes dimensões da Pedagogia de Infância. A divisão como partilha surge nas

intervenções pelo adulto no momento do brincar e na exploração de tarefas propostas por ele.

Também ao nível das propostas do adulto a multiplicação é explorada como adição de

parcelas iguais na tarefa Bolachas de canela. Os sentidos tornar igual e retirar da subtração

e mudar juntando da adição são trabalhos, de forma intencional, pelo adulto nas rotinas

diárias das crianças.


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O cálculo mental surge de forma natural pelas crianças neste tipo de trabalho que promove a

aprendizagem em contextos informais, sem sugestão de registos ou de representações

simbólicas, uma vez que estão envolvidas em atividades livres. Cabe ao adulto potenciar

esses contextos informais para a promoção de aprendizagens com significado, já que o

brincar faz parte das experiências naturais das crianças.

Agradecimentos

Agradecemos ao Instituto Politécnico de Viseu e CI&DETS pelo apoio.


Baroody, A. (2002). Incentivar a aprendizagem matemática. En B. Spodek (Ed.), Manual de

investigação em educação de infância, pp. 333–390. Lisboa: FCG.

Castro, J. y Rodrigues, M. (2008). Sentido de número e organização dados. Lisboa: ME.

Clements, D. y Sarama, J. (2014). Learning and teaching early math. NI: Routledge.

Figueiredo, M. P. (2013). Práticas de produção de conhecimento: a investigação na

formação de educadores de infância (Tesis Doctoral en Educación). Aveiro.

MacDonald, A. y Lowrie, T. (2011). Developing measurement concepts within context:

Children’s representations of length. Mathematics Ed. Research Journal, 23, 27–42.

Ministério da Educação (2016). Orientações Curriculares para Educação Pré-Escolar.

Lisboa: ME.

Moreira, D. & Oliveira, I. (2003). Iniciação à Matemática no Jardim Infância. Lisboa: UA.

National Association for the Education of Young Children, y National Council of Teachers

of Mathematics. (2002). Early Childhood Mathematics: Promoting Good Beginnings.

Young Children, 57(4), 60–81.

Siraj-Blatchford, I. (1999). Early Childhood Pedagogy: practice and principles. En P.

Mortimore (Ed.), Understanding Pedagogy, pp. 20–45. Londres: Paul Chapman.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.311

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO ARRANJOS COM

REPETIÇÃO: UMA ANÁLISE À LUZ DO MODELO DO PENSAMENTO

COMBINATÓRIO DOS ALUNOS

Belmira Mota – Rosa Tomás Ferreira


Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Portugal – Faculdade de Ciências da

Universidade do Porto – CMUP, Portugal

Núcleo temático: A resolução de problemas em matemática

Modalidad: CB

Nivel educativo: Terciário

Palabras clave: modelo de pensamento combinatório dos alunos; arranjos com repetição;

resolução de problemas

Resumo Recorrendo ao Modelo de Pensamento Combinatório dos Alunos desenvolvido por

Lockwood (2013), procurámos analisar o modo como os alunos abordam problemas

combinatórios cuja resolução envolve a utilização de arranjos com repetição. Para tal, a

professora-investigadora propôs a uma turma do 12º ano (17-18 anos) duma escola do

interior norte de Portugal, a resolução de dois problemas de seleção – retirar 𝑘 elementos

de um conjunto de 𝑛 elementos – e um de distribuição – distribuir 𝑘 objetos por 𝑛 espaços

vazios (usando a tipologia de Dubois, 1984). Os alunos trabalharam em pequenos grupos,

num ambiente exploratório de ensino-aprendizagem.

Os dados para esta comunicação foram recolhidos em duas aulas de 90 minutos através de

observação participante, gravações em vídeo e recolha documental das resoluções dos

alunos. O ambiente exploratório de ensino-aprendizagem potenciou a escolha, por parte dos

alunos, de abordagens distintas (e.g., modelação matemática, princípio fundamental da

contagem), assim como a descoberta de diferenças entre os dois tipos de problemas. Porém,

tal como sugerem Batanero et al. (1997), demonstraram maiores dificuldades na resolução

do problema de distribuição. A análise dos dados permitiu corroborar as relações entre os

três componentes do modelo de Lockwood: fórmulas/expressões; processos de contagem;

conjuntos de resultados.

Introdução e motivação

A importância do ensino-aprendizagem da Análise Combinatória (AC) está bem

documentada na literatura em Educação Matemática. A aprendizagem da AC não requer um

número significativo de pré-requisitos. Mas é necessário um raciocínio matemático crítico




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na resolução dos problemas combinatórios. É esta combinação entre a acessibilidade e a

exigência cognitiva que proporciona um contexto rico no ensino da Matemática.

Neste trabalho, são considerados problemas combinatórios todos os problemas cuja

resolução envolva o recurso ao raciocínio combinatório. Os problemas combinatórios cuja

resolução envolva a aplicação direta duma operação combinatória denominam-se problemas

combinatórios simples. Dubois (1984) classificou estes problemas nas categorias de: 1)

Seleção: a ideia principal é retirar 𝑘 elementos de um conjunto de 𝑛 elementos; 2) Partição:

a ideia principal é a de dividir um conjunto de 𝑛 elementos em 𝑘 subconjuntos distintos; e 3)

Distribuição: a ideia principal subjacente é a de distribuir 𝑛 objetos por 𝑘 espaços vazios.

A investigação de Batanero e seus colaboradores (1997) permitiu constatar que alguns

alunos, que eram capazes de selecionar a operação correta para um problema de seleção, não

eram capazes de a aplicar, quando o problema era alterado para um de distribuição ou

partição, o que mostra a dificuldade em estabelecer relações entre problemas, aparentemente

diferentes, mas com a mesma solução (e.g., Lockwood, 2011).

Este trabalho incide sobre as resoluções dos alunos de uma tarefa contendo dois problemas

de seleção e um de distribuição. Pretendemos responder às seguintes questões de

investigação: 1) De que modo como os alunos abordam problemas cuja resolução envolve a

utilização de arranjos com repetição? e 2) Como os alunos distinguem os problemas de

seleção dos de distribuição?

Um modelo do pensamento combinatório dos alunos

Objetivando representar uma análise conceptual das atividades dos alunos no que diz respeito

à AC, Lockwood (2013) criou e testou o Modelo do Pensamento Combinatório dos Alunos

(Figura 1) onde são estabelecidas relações entre três componentes: fórmulas/expressões,

processos de contagem e conjuntos de resultados.


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Figura 1. Modelo do Pensamento Combinatório dos Alunos (Lockwood, 2013, p. 253)

De modo a exemplificar e explicar cada um dos componentes deste modelo, consideremos o

problema combinatório seguinte: Assumindo que Portugal, Brasil e Espanha ocuparão as

três primeiras posições na final do campeonato do mundo de futebol de 2018, de quantas

maneiras diferentes poderão ser ocupados os três primeiros lugares? São consideradas

fórmulas/expressões as condições matemáticas que detêm algum valor numérico.

Normalmente a resposta ao problema é uma fórmula ou expressão. No exemplo acima, e

são dois exemplos de fórmulas/expressões.

Os processos de contagem referem-se ao(s) processo(s) de enumeração no(s) qual(quais) os

alunos se envolvem à medida que resolvem o problema. No caso do problema acima, um

processo de contagem poderia ser a aplicação do princípio fundamental da contagem (PFC);

outro poderia ser a construção de um diagrama de árvore. A classificação de um

procedimento como processo de contagem depende da experiência do indivíduo. Um

indivíduo pouco familiarizado com a AC recorre a um diagrama de árvore, enquanto outro,

mais experiente, poderá não sentir necessidade de construir um diagrama, dado que já recorre

ao PFC como um instrumento que lhe permite compreender e resolver problemas mais

complexos.

O conjunto de resultados é o conjunto de elementos que podemos imaginar a serem gerados

ou enumerados através de um processo de contagem, ou seja, o conjunto cujo cardinal

representa a resposta ao problema. No exemplo apresentado, o conjunto de resultados seria

o conjunto de todas as sequências diferentes que é possível constituir com o nome das três

equipas.

3!

3´ 2 ´1


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Numa tarefa combinatória, uma fórmula/expressão pode ser o resultado de um processo de

contagem, na medida em que lhe pode ser atribuído um significado combinatório.

Inversamente pode ser conceptualizado um processo de contagem a partir de uma

fórmula/expressão. A relação entre os processos de contagem e o conjunto de resultados é

considerada a mais flexível, dado que após a utilização de um processo de contagem, o aluno

pode verificar que o resultado não coincide com o cardinal do conjunto de resultados

pretendido e, portanto, reinicia o processo. Ou seja, o processo de contagem pode resultar

numa fórmula/expressão que permita determinar o cardinal do conjunto de resultados

inerente à tarefa em causa ou, inversamente, a descrição do conjunto de resultados pode

conduzir a um processo de contagem que permita deduzir a fórmula/expressão pretendida.

Na Figura 1, a seta que simboliza a relação entre o conjunto de resultados e as

fórmulas/expressões está a tracejado porque a investigação realizada tem apontado para a

ausência de uma relação direta (Lockwood, 2013) – só os mais experientes relacionam alguns

conjuntos de resultados com fórmulas particulares sem considerar qualquer processo de

contagem.

Metodologia de investigação

Este trabalho insere-se numa investigação mais ampla em curso, qualitativa e interpretativa,

com design de experiência de ensino (Steffe & Thompson, 2000). Os 31 alunos da turma de

12.º ano (17-18 anos de idade) participante no estudo foram divididos em sete grupos de

quatro alunos e um de três. A experiência de ensino realizada foi conduzida num ambiente

de ensino-aprendizagem exploratório, que se distingue do ensino direto pelos papéis

desempenhados pelos alunos e professores, pelas tarefas propostas e modo como são geridas,

e pela comunicação que é pautada pelo diálogo entre alunos e entre alunos e professor, que

os incentiva a apresentarem as suas dúvidas e exporem o raciocínio utilizado nas resoluções

das tarefas propostas (e.g., Menezes, Tomás Ferreira, Martinho, & Guerreiro, 2014).

A professora/investigadora construiu a tarefa Festival de Verão (anexo I) contendo dois

problemas de seleção e um de distribuição. Esta tarefa foi explorada em duas aulas de 90

minutos, de cunho exploratório, seguindo as fases apresentadas por Oliveira e colaboradores

(2013). Na primeira aula, decorreram as fases de introdução e realização da tarefa; os


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momentos de discussão coletiva e de sistematização das aprendizagens decorreram na

segunda aula. A professora selecionou três grupos para apresentarem as suas resoluções à

turma e, quando considerou conveniente, procedeu à sistematização das aprendizagens, com

a participação dos alunos e com base na discussão prévia das suas resoluções.

Análise dos dados

O primeiro problema proposto foi resolvido por todos os grupos sem que muitas dificuldades.

Selecionámos o grupo I para apresentar a sua resolução na discussão coletiva, dado que

consideramos ser exemplificativo dos erros cometidos na resolução de problemas que

envolvam a utilização de arranjos com repetição e representativo das resoluções dos restantes

grupos. As alunas deste grupo começaram por construir o diagrama representado na Figura

2. As alunas explicaram que as seis opções do Amigo 1 se replicavam pelos restantes. A

primeira resposta a que o grupo chegou foi 4 × 6 = 24, tendo-se gerado o diálogo seguinte:

Professora: Porque desistiram desta resposta?

Manuela: Porque estava mal.

Professora: Como é que chegaram à conclusão de que estavam mal?

Patrícia: Porque se fizéssemos uma listagem ía dar muito mais que 24!

Professora: E depois? Tu dizias que era quanto, Patrícia?

Patrícia: 46. Mas a Manuela dizia que que era 64.

Mónica: Depois da Manuela explicar, concordamos que a resposta era 64.

Joana: Porque cada uma tinha 6 hipóteses.

Figura 2. Diagrama elaborado pelo grupo I no quadro

Figura 3. Diagrama elaborado pela Manuela na explicação da sua resposta

Perante esta situação, a professora pediu à Manuela que explicasse a sua resposta. Ao longo

da sua explicação, a Manuela construiu o diagrama representado na Figura 3. Referiu que a


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construção total do diagrama iria ocupar muito espaço, mas que era capaz de imaginar o

diagrama na sua totalidade. Posto isto, a professora considerou importante sistematizar as

aprendizagens decorrentes da apresentação deste grupo e referiu que a particularidade deste

problema consiste no facto de, em cada etapa, o número de hipóteses ser sempre igual a 6 e

que, por isso, é possível escrever a resposta como uma potência, em que a base representa o

número de hipóteses existentes em cada etapa e o expoente o número de vezes que a

experiência se repete (número de etapas existentes), ou seja, está a ser utilizado um arranjo

com repetição.

Ao longo da fase de realização, foi evidente que todos os grupos manifestaram maiores

dificuldades na exploração do problema de distribuição, tendo identificado os dois problemas

de seleção como sendo semelhantes. Um exemplo ilustrativo é a resolução do Grupo IV que

apresentou a resolução representada na Figura 4.

Figura 4. Resolução do Problema 3 da tarefa pelo Grupo IV

Embora o problema de distribuição tenha sido o que despoletou maiores dificuldades,

também foi o que deu origem a uma maior diversidade de resoluções. Por exemplo, o Grupo

II recorreu à modelação matemática na resolução deste problema e, por isso, foi chamado

para a discussão coletiva. Os alunos explicaram que resolveram começar por considerar em

primeiro lugar que tinham uma única aplicação e três pastas; em seguida, contabilizaram o

número de maneiras distintas de arrumar duas aplicações em três pastas e elaboraram o

esquema representado na Figura 5.

Figura 5. Diagrama elaborado pelos alunos do grupo II


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No entanto, e apesar de terem descoberto algumas relações entre o número de aplicações e

de pastas, os alunos abandonaram esta abordagem. Na discussão coletiva, a professora pediu-

lhes que explicassem à turma as razões dessa desistência:

José: Porque, por exemplo, se fossem três aplicações e cada pasta ficasse com uma única

aplicação, era errado contar esta situação como sendo uma só porque poderia, por exemplo,

ficar a/b/c ou b/c/a ou...

Professora: Não estou a perceber muito bem o que estás a dizer. Podes explicar melhor?

Júlio: Então vamos fazer três aplicações e três pastas.

José: Foi aqui que descobrimos o erro.

Júlio: Vamos chamar às três aplicações a/b/c. Quando chegamos ao caso em que uma pasta

fica com duas aplicações, outra com uma e outra com zero. Aqui temos várias hipóteses.

De seguida, o José referiu que fizeram uma listagem com todas as opções e chegaram à

conclusão que, com três aplicações, teriam 27 maneiras diferentes de as distribuir pelas três

pastas existentes. Regressando ao caso de terem duas aplicações, refizeram a sua resposta e

concluíram que teriam nove maneiras diferentes de as distribuir. Assim sendo, verificaram

que, com uma aplicação, a resposta seria 3, com duas, 32, com três, 33, e, generalizando,

consideraram que a resposta correta seria 330.

O grupo III apresentou a resolução representada na Figura 6.

Figura 6. Resolução do Grupo III

Aquando da discussão coletiva, a professora chamou este grupo para que explicassem aos

colegas o modo como abordaram este problema. O Filipe explicou à turma:

Filipe: Inicialmente fizemos um esquema parecido com o do grupo anterior, mas depois

pensámos no problema de um outro modo. Pensámos que no primeiro problema, cada

pessoa tinha de escolher uma aplicação e, neste, cada aplicação teria de escolher uma pasta.

A partir daí foi fácil, porque passou a ser igual ao primeiro e chegámos à resposta 330.

Conclusões

As resoluções dos diferentes grupos demonstram uma forte relação entre os processos de

contagem e as fórmulas/expressões que conduzem ao cardinal do conjunto de resultados.


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Demonstram também que o conjunto de resultados pode ser imaginado através dos processos

de contagem sem que seja concretizado, tal como evidenciam os diversos diagramas

apresentados e algumas verbalizações dos alunos. Lockwood e Gibson (2016) referem que

as listagens desempenham um papel fundamental na resolução de problemas combinatórios,

na medida em que podem fornecer aos alunos um mecanismo através do qual se possam

convencer a eles mesmos de que possuem todos os elementos do espaço de resultados em

causa. As resoluções dos grupos I e II corroboram estas sugestões, na medida em que as

listagens constituíram-se como a alavanca que permitiu aos alunos concluir que a resolução

original estava errada e reiniciar o processo de contagem. Esta situação confirma ainda as

relações biunívocas entre os três componentes do modelo de pensamento combinatório dos

alunos de Lockwood (2013).

Os alunos revelam frequentes dificuldades em relacionar problemas semelhantes, o que

conduz a uma falha na transferência do conhecimento, já adquirido, a novas situações

(English, 2005). Os dados do presente estudo indicam precisamente que, quando os alunos

são capazes de estabelecer relações entre problemas semelhantes, a sua resolução é mais

rápida e eficiente, na medida em que já não sentem necessidade de recorrer a processos de

contagem, como diagramas e listagens para chegarem à resposta ao problema. Esta situação

é ilustrada pela resolução do grupo IV ao segundo problema de seleção proposto, onde

referem que se trata de um problema idêntico ao anterior e, em seguida, estabelecem uma

expressão cujo resultado é o cardinal do conjunto de resultados pretendido. Também a

resolução do grupo III ao problema de distribuição reflete os benefícios do sucesso na

relacionação de problemas semelhantes, dado que ao reconhecerem as semelhanças entre o

problema de distribuição e o de seleção, foram capazes de estabelecer a fórmula

representativa do cardinal do conjunto de resultados, sem recorrerem a quaisquer outros

processos de contagem.

Tal como o estudo de Batanero e colaboradores (1997), as resoluções da maioria dos grupos

também indicam que os alunos sentiram maiores dificuldades na resolução de problemas de

distribuição do que nos de seleção. A maioria dos grupos recorre a um diagrama para resolver

o primeiro problema de seleção e à transferência de conhecimentos adquiridos nesta

resolução para o segundo problema de seleção. Porém, a resolução do problema de


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distribuição revelou-se um desafio muito maior que conduziu a resoluções mais trabalhosas

e complexas, como sendo a modelação matemática.

Agradecimentos

O segundo autor é apoiado pelo CMUP (UID/MAT/00144/2013), financiado pela FCT

(Portugal) através de fundos estruturais nacionais (MEC) e europeus (FEDER), no âmbito do

projeto PT2020.


Batanero, C., Navarro-Pelayo, V., & Godino, J. D. (1997). Effect of the implicit

combinatorial model on combinatorial reasoning in secondary school pupils.

Educational Studies in Mathematics, 32(2), 181-199.

Dubois, J.-G. (1984). Une systématique des configurations combinatoires simples.

Educational Studies in Mathematics, 15(1), 37-57.

English, L. (2005). Combinatorics and the development of children's combinatorial

reasoning. In G. A. Jones (Ed.), Exploring probability in school: Challenges for

teaching and learning (pp. 121-141). Boston, MA: Springer US.

Lockwood, E. (2011). Student connections among counting problems: An exploration using

actor-oriented transfer. Educational Studies in Mathematics, 78(3), 307-322.

Lockwood, E. (2013). A model of students’ combinatorial thinking. The Journal of

Mathematical Behavior, 32(2), 251-265.

Lockwood, E., & Gibson, B. R. (2016). Combinatorial tasks and outcome listing:

Examining productive listing among undergraduate students. Educational Studies in

Mathematics, 91(2), 247-270.

Menezes, L., Tomás Ferreira, R., Martinho, M. H., & Guerreiro, A. (2014). Comunicação

nas práticas letivas dos professores de matemática. In J. P. Ponte (Ed.), Práticas

profissionais de professores de matemática (pp. 135-161). Instituto de Educação:

Lisboa.

Steffe, L. P., & Thompson, P. W. (2000). Teaching experiment methodology: Underlying

principles and essential elements. In R. Lesh & A. E. Kelly (Eds.), Handbook of

research design in mathematics and science education (pp. 267-307). Mahwah, NJ:

Lawrence Erlbaum Associates.

Anexo I

Festival de Verão


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As tecnologias de informação e comunicação fazem parte integrante do

nosso dia-a-dia. Recorremos a elas na vida profissional e na vida

pessoal, nomeadamente para organizar viagens, conversar com os

amigos ou simplesmente ir a um concerto ou ao cinema. Suponha que

o seu grupo de trabalho foi a um festival de verão. Mas para combinar

os detalhes, teve de trocar mensagens para, finalmente, escolher qual

seria o eleito. As tarefas abaixo ilustram alguns dos possíveis episódios que antecederiam

a desejada ida ao festival.

Problema 1

Existem variadas aplicações para smartphones que permitem comunicar gratuitamente.

Algumas das mais procuradas são as seguintes:

Figura 1

Se cada elemento do seu grupo apenas pudesse selecionar uma aplicação das indicadas

na Figura 1, de quantas maneiras diferentes poderia ser feita essa seleção?

Problema 2


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Hoje em dia existem centenas de aplicações

disponíveis para smartphones, sendo que muitas são

inteiramente gratuitas. Por vezes, acumulam-se no

ambiente de trabalho. A Joana tem trinta aplicações

que pretende arrumar em três pastas. Supondo que

cada aplicação pode ser colocada em qualquer uma

das três pastas, de quantas maneiras diferentes as

trinta aplicações podem ser distribuídas pelas três

pastas?

Problema 3

Alguns dos festivais que tiveram lugar no Verão de 2016 foram os seguintes:

Figura 2

Se cada elemento do seu grupo tivesse escolhido um único festival dos apresentados na

Figura 2, de quantas maneiras diferentes poderia ser feita a seleção?


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CB-1.312

A CRIATIVIDADE NA FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS PARA CRIANÇAS

COM MENOS DE SEIS ANOS

Elisabete Cunha – Fátima Fernandes


Escola Superior de Educação - IPVC

Núcleo temático: La Resolución de Problemas en Matemáticas.

Modalidad: CB

Nível educativo: Educación de adultos

Palavras chave: formulação de problemas; criatividade; histórias; materiais

Resumo A resolução e formulação de problemas, o pensamento crítico e a criatividade são

capacidades cognitivas essenciais para os futuros profissionais em educação. Assim, é

fundamental criar oportunidades que promovam o seu desenvolvimento. Na unidade

curricular Resolução de Problemas e Pensamento Crítico, propôs-se aos estudantes que, em

grupo de dois ou três elementos, escolhessem uma história infantil e, a partir dela,

formulassem um ou mais problemas para crianças entre os dois e os seis anos de idade.

Solicitou-se, ainda, que descrevessem como explorariam a tarefa e que construíssem

materiais para a apresentar a situação problema e/ou a respetiva resolução. Neste trabalho,

exploramos alguns aspetos evidenciados pelos estudantes na resposta a este desafio,

incluindo as dimensões da criatividade encontradas nas suas produções. Optou-se por uma

abordagem qualitativa, baseada maioritariamente nos registos e recursos apresentados

pelos estudantes, e na observação participante, uma vez que parte do trabalho foi

desenvolvido durante as aulas. Os alunos construíram materiais manipuláveis e não

manipuláveis que pudessem ajudar na compreensão e resolução do problema. Revelaram

alguns traços de criatividade nos sobretudo a nível da fluência e originalidade.

Introdução

Este estudo decorreu no contexto da unidade curricular Resolução de Problemas e

Pensamento Crítico, do curso Técnico Superior Profissional Intervenção Educativa em

Creche, no ano letivo 2015/2016. Durante a primeira parte da unidade curricular abordou-se

a resolução de problemas e o pensamento crítico. Na segunda, exploraram-se vários aspetos

da formulação de problemas, incluindo as dimensões da criatividade. Privilegiaram-se

situações problema direcionadas para crianças com menos de seis anos.


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A formulação de problemas para público desta faixa etária requer um planeamento criativo

que vai para além do enunciado de um problema. O modo como a situação problema é

apresentada, contextualizado e concretizado é crucial, para que a mesma tenha significado

para a criança e promova atitudes, como o interesse e disposição, fundamentais para a

resolução. A concretização do problema pode ser feita através de desenhos ou objetos, como

é referido nas orientações curriculares para a educação pré-escolar [OCEPE] (Silva, Marques,

Mata, & Rosa, 2016), mas existem outras estratégias como criação de enredos, a

dramatização e a utilização de materiais manipuláveis.

Com este estudo procurou-se compreender que características da criatividade estão presentes

na planificação de tarefas que envolvem a formulação de problemas a partir de histórias,

dirigidas a crianças com menos de seis anos de idade. Para compreender a problemática em

estudo foram formuladas as seguintes questões de investigação: 1) Que estratégias são

utilizadas para facilitar a compreensão do enunciado do problema?; 2) Que tipo de materiais

são produzidos para auxiliar a resolução do problema?; 3) Como se caracterizam os

problemas formulados nas várias dimensões da criatividade?.

A formulação e resolução de problemas em matemática

A importância da capacidade transversal resolução de problemas é salientada por vários

especialistas em educação matemática (e.g. English, Lesh & Fennewald, 2008; Polya, 2003;

Vale & Pimentel, 2004) e encontra eco em documentos orientadores para o ensino e

aprendizagem desta área curricular, tanto internacionais (NCTM, 2014) como nacionais

(ME, 2007, MEC, 2013).

Vale e Pimentel (2004) destacam duas razões que justificam a importância de resolver

problemas: 1) a utilidade, pelo facto de ajudar a solucionar situações do dia a dia, e 2) a

formativa, porque implica desenvolver processos e capacidades complexas de pensamento

imprescindíveis quando é necessário analisar, interpretar, criticar ou fazer opções, quer no

contexto educativo quer em situações do quotidiano fora da escola.

Para desenvolver capacidades a nível da resolução de problemas também pode recorrer-se à

formulação de problemas, porque ao formular problemas, os alunos tomam consciência da

sua estrutura e desenvolvem capacidades de raciocínio, de comunicação e o pensamento

crítico (Vale, 2011). Podem, ainda, ficar mais motivados para o estudo, e fortalecer a


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capacidade de resolver problemas, de formular questões, de identificar problemas e

investigar, ampliar a visão da matemática, enriquecer os conhecimentos matemáticos, ficar

mais atento a aspetos matemáticos do meio envolvente, estabelecer conexões com outras

áreas do saber e melhorar a autoestima (Jurado, 2013).

Há estratégias que facilitam o processo de formulação de problemas, nas quais se incluem as

estratégias E se em vez de? e Aceitando os dados. Utiliza-se a primeira quando se parte de

um problema e se alteram algumas das características originais, como os dados e a

complexidade das condições. Na estratégia Aceitando os dados, formula-se o problema a

partir de uma situação estática, como figuras, tabelas, desenhos, conjuntos de dados ou outros

(Boavida, Paiva, Cebola, Vale, & Pimentel, 2008).

A criatividade matemática

Nas últimas décadas, vários autores (e.g. Leikin, 2009; Mann, 2006; Silver, 1997; Vale &

Pimentel, 2012) têm-se debruçado sobre a importância e as evidências de criatividade na

aprendizagem da matemática. Contudo, ainda não há consenso relativamente à aceção do

termo criatividade, como se pode confirmar pelos múltiplos significados compilados por

Mann (2006). Na opinião deste autor, a principal razão para olhar para a criatividade por

diferentes prismas, reside no facto de haver formas distintas de a manifestar.

Um olhar de Vale e Pimentel (2012)sobre as múltiplas definições reunidas por Mann (2006),

permitiu-lhes identificar ideias comuns, das quais se destacam a relação da criatividade com

a resolução e formulação de problemas e com os conceitos de fluência, flexibilidade e

originalidade. Para Vale (2011), a fluência relaciona-se com a capacidade de produzir um

grande número de ideias, a flexibilidade refere-se à capacidade de pensar de formas distintas

e a originalidade diz respeito com a capacidade de pensar de forma única. Esta autora

perspetiva estes três conceitos como três dimensões da criatividade e, simultaneamente, três

componentes da resolução de problemas.

Relativamente à formulação de problemas, Silver (1997) considera que há evidências de

fluência quando os estudantes conseguem formular muitos problemas; há flexibilidade

quando são formulados problemas que podem ser resolvidos por diferentes caminhos e há

originalidade quando os estudantes propõem problemas que se distanciam dos exemplos com

os quais contactaram.


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Sendo a criatividade uma capacidade fundamental para o desenvolvimento do talento em

matemática (Mann, 2006), as aulas de matemática devem incluir situações de aprendizagem

que permitam aos alunos manifestá-la e progredir nesse campo.

Os materiais manipuláveis na resolução de problemas em contexto pré-escolar

Segundo as OCEPE (Silva, Marques, Mata, & Rosa, 2016), a criação de um ambiente

educativo onde as crianças têm disponíveis materiais diversos, permite estimular o seu

interesse e curiosidade, bem como a tomada de decisões, a resolução de problemas e a

autonomia. Assim, o envolvimento da criança na resolução de um problema pode ser

fomentado, por um lado, através da seleção de materiais que permitam a concretização da

situação problema e, por outro, por esta ter significado para a criança. Estas orientações

sugerem ainda que a utilização de materiais manipuláveis em contexto pré-escolar é

fundamental no auxílo à resolução de problemas e à representação de conceitos matemáticos,

envolvendo as crianças em situações ativas de aprendizagem.

Para Vale (2002), os “materiais manipuláveis são materiais concretos, de uso comum ou

educacional, que permitem que durante uma situação de aprendizagem apelem para os vários

sentidos dos alunos devendo ser manipulados e que se caracterizam pelo envolvimento activo

dos alunos” (p. 8). Segundo a mesma autora, os materiais concretos podem ser de dois tipos:

materiais comuns (e.g. tampas de garrafa, copos de iogurte) e materiais educacionais (e.g.

mira, fichas de trabalho, livros).

Metodologia

A metodologia adotada é de natureza qualitativa com carácter exploratório, uma vez que se

procura obter informação preliminar acerca da problemática em estudo. O estudo incidiu

sobre 22 estudantes, organizados em 10 grupos de dois ou três elementos.


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A tarefa foi formalizada através do seguinte guião:

Antes de apresentar esta proposta de trabalho, foram apresentadas três histórias aos

estudantes : “The Doorbell Rang” (Hutchins, 1994), “A Casa da Mosca Fosca” (Mejuto &

Mora, 2015), e “Chibos Sabichões” (González & Fernández, 2011). Depois da leitura, foram

analisadas as explorações matemáticas que as histórias suscitavam e os problemas que a partir

daí poderiam emergir. Apresentaram-se exemplos de enunciados selecionando-se episódios

do contexto da prática de ensino supervisionada no Pré-Escolar, tendo sido descritos os

materiais utilizados para auxiliar a resolução.

Os dados foram recolhidos através dos documentos produzidos pelos estudantes, registos

fotográficos e observação participante. A análise incidiu sobre os seguintes aspetos:

formulação de enunciados, em que avaliamos o conteúdo (matemática/não, matemática e

dados: suficientes, insuficientes e confusos, adaptado de (Leung, 1997)) bem como a

correção e clareza de linguagem;

estratégias utilizadas para promover atitudes positivas, como o interesse e a disposição.

Aqui avaliamos a seleção e adequação da história à faixa etária e a forma como planearam

a apresentação do problema;

materiais criados para apoio à resolução.

Para além disso, foram analisadas as três dimensões da criatividade: fluência, flexibilidade e

originalidade.

Resultados

Os estudantes propuseram 16 problemas, em média 1,6 problemas por grupo, sendo que um

grupo não apresentou nenhum problema e outro formulou três enunciados. Neste número

incluímos apenas aqueles enunciados que revelam ideias diferentes, excluindo os que

Guião para a realização da tarefa

Pretende-se que cada grupo (de dois ou três estudantes) formule um ou mais problemas a

aplicar a crianças que frequentem a creche ou pré-escolar. As propostas devem ser

rigorosas e criativas e devem ter por base uma história. Para além disso, devem ser

acompanhadas de material manipulável que auxilie a resolução do problema.

O relatório final do trabalho final deve conter: a indicação da faixa etária; os objetivos que

se pretendem atingir; a formulação do(s) problema(s); a descrição detalhada da

implementação da atividade; e a transcrição da história utilizada.


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resultaram de alterações de dados numéricos. Como a maioria dos grupos apresentou mais

do que um enunciado, consideramos que há evidências de fluência.

Depois de selecionadas as histórias, os estudantes discutiram com a docente ideias para

formular os problemas. Verificou-se que a maioria dos grupos utilizou a estratégia E se em

vez de?, adaptando as situações problema apresentadas durante a discussão das propostas

exemplo ou de problemas que já tinham resolvido durante a primeira parte da unidade

curricular.

Ao analisar o conteúdo dos enunciados, constatou-se que apenas um grupo apresentou

problemas que não eram de matemática.

Relativamente aos dados fornecidos nos enunciados, estes são considerados: “suficientes”

para nove dos problemas formulados; “insuficientes” para cinco e “confusos” para dois.

Todos os problemas com dados “insuficientes” envolvem a divisão. Pela análise das

planificações percebe-se que pretendem que as crianças distribuam igualmente os objetos, no

entanto não está explicito no enunciado.

Num dos casos “confusos”, o grupo G8 apresenta o seguinte enunciado: “A Doroteia precisa

de partir meia tablete de chocolate em vários pedaços. Em quantos pedaços pode a Doroteia

partir o chocolate?” Ora, o chocolate tem 3x3 retângulos, pelo que se presume que

pretendiam perguntar em quantos retângulos pode ser partido metade do chocolate. Neste

caso não está claro o que entende por pedaço.

O outro caso é um dos problemas formulados pelo grupo G2. Tendo por base o enunciado, o

material que disponibilizam (ver quadro anexo) e a discussão existente durante a preparação

do trabalho, verificou-se que pretendiam trabalhar o produto cartesiano, mas mencionam

explicitamente no enunciado a existência de um padrão.

A correção e clareza de linguagem nos problemas formulados é suficiente na maioria dos

grupos, no entanto alguns manifestaram dificuldade em transmitir a informação de forma

correta e adequada à faixa etária. Nestes casos os enunciados eram muito longos, tinham

termos com os quais as crianças podem não estar familiarizadas e há casos de erros graves

na construção das frases (ver, por exemplo, os problemas do G4 do quadro em anexo).

As histórias selecionadas pelos estudantes (ver quadro anexo) foram as que se recordavam

da sua infância. Contudo, quatro das dez histórias eram desadequadas à faixa etária, porque

tinham demasiado texto.


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Cinco grupos dramatizaram as histórias. Para isso recorreram à construção de personagens

(G1, G2 e G7) e há utilização de um avental com o cenário da história onde eram colocadas

as personagens (G9). Para além disso, um grupo (G3) destacou-se com a criação de um

cenário, como se pode ver na Figura 1.

Figura 1: cenário construído pelo grupo G3 para contar a história e de auxílio à resolução do problema

Os problemas foram maioritariamente apresentados com recurso a materiais concretos, tal

como se pode ver na Figura 2. Contudo, o grupo G3, para além dos materiais, criou um enredo

(ver quadro anexo) evidenciando originalidade.

Figura 2:alguns dos materiais produzidos pelos alunos

Todos os grupos criaram materiais manipuláveis, tal como era solicitado. No entanto,

acreditamos que a maioria dos grupos o tenha feito de acordo com a sua única perspetiva de

resolução, pelo que não promoveram a flexibilidade na utilização de diferentes estratégias de

resolução.

Relativamente à originalidade, destacamos dois grupos que partiram de cenários: o G3 e o

G7. O primeiro utilizou novamente as casas dos três porquinhos (Figura 1) e criou vários

moldes das patas dos porquinhos e do lobo para que as crianças simulassem os percursos

efetuados pelos animais e percebessem por que razão as instruções os levavam a destinos

diferentes (ver quadro anexo). O grupo G7, para o segundo problema que propõe,

disponibiliza um cenário que permite às crianças concretizar a sequência de acontecimentos

apresentada no problema.

Para além dos materiais manipuláveis, alguns dos grupos elaboraram folhas de registo.


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Os estudantes reconheceram a dificuldade da tarefa. A este propósito o grupo G8 refere:

“tivemos objetivos que para nós eram muito simples o que dificultou a tarefa, pois o que para

nós é um exercício para as crianças do pré-escolar é um problema”. Para além disso, também

focaram a importância da experiência de formular problemas. Neste sentido, o grupo G3

menciona que esta lhes permitiu “ficar com um melhor aperfeiçoamento sobre as

competências da organização de um problema e a construção de materiais manipuláveis, que

serão importantes para vivências futuras”. O grupo G10 corrobora esta última opinião, mas

acrescenta que servem “para captar a atenção e interesse das crianças no que diz respeito à

resolução de problemas”.

Conclusões

Para facilitar a compreensão do enunciado do problema de modo a promover o interesse e

disposição das crianças durante a apresentação dos mesmos, os grupos recorreram à

construção de materiais tanto para auxiliar a dramatização da história como para concretizar

o enunciado do problema.

No que concerne ao tipo de material que foi disponibilizado para resolverem o problema,

recorreram a materiais manipuláveis, como havia sido solicitado, a folhas de registo e a

outros materiais concretos não manipuláveis.

Os alunos formularam mais problemas do que o número mínimo solicitado, o que associamos

a uma das dimensões da criatividade – a fluência.

Apesar de alguns problemas formulados poderem ser resolvidos por diferentes caminhos,

quando analisamos a generalidade dos materiais produzidos, verificamos que estes refletem

a única forma como os estudantes perspetivam a sua resolução. Esta constatação leva-nos a

pensar que não consideraram a possibilidade de formular problemas que pudessem ser

resolvidos por diferentes estratégias, ou seja, não se verificam evidências desta dimensão

flexibilidade.

Em termos de originalidade foi possível observar que alguns grupos conseguiram fazer

propostas que se distanciaram dos exemplos apresentados.



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CB-1.313

O PROFESSOR RESOLVE SITUAÇÕES-PROBLEMA DE PROBABILIDADE E

PENSA SOBRE O SEU ENSINO EM UM CONTEXTO DE FORMAÇÃO

CONTINUADA

Angélica da Fontoura Garcia Silva – Maria Gracilene de Carvalho Pinheiro – Ruy César

Pietropaolo – Tânia Maria Mendonça Campos

[email protected] – [email protected] – [email protected]

– [email protected]

Universidade Anhanguera de São Paulo – UNIAN-SP – Brasil

Núcleo temático: IV Formação de Professores de Matemáticas –

Modalidad: CB,

Nivel educativo: nível educativo 2

Palavras chave: Formação continuada, probabilidade, conhecimento profissional docente

Resumo

Esta comunicação tem o objetivo de identificar as interpretações iniciais e estratégias

adotadas por professores tanto quando definem e resolvem situações-problema de

probabilidade como quando discutem seu ensino. Para coleta de informações utilizou-se um

questionário individual que procurou verificar as compreensões dos participantes a respeito

do tema e seu ensino. As estratégias são identificadas por meio da análise de suas resoluções

para situações envolvendo a ideia de aleatoriedade e comparação de probabilidades de

ocorrência de um evento. Trata-se de uma coleta realizada no início de um processo

formativo, desenvolvido no âmbito do Projeto Observatório da Educação, do qual

participaram professores pedagogos e licenciados em Matemática. A análise, na qual foram

considerados domínios para o ensino, propostos por Ball, Thames e Phelps aponta que os

professores participantes, no geral, possuíam um conhecimento intuitivo de ideias ligadas à

probabilidade utilizando-se predominantemente do raciocínio proporcional para resolver as

situações propostas. Entretanto, considera-se que isso não significa, necessariamente, que

eles tenham desenvolvido o raciocínio probabilístico necessário à compreensão mais ampla

a respeito do tema. Notou-se também ideias inconsistentes não só a respeito do conceito de

probabilidade e seu ensino, mas também sobre as representações e significados dos números

racionais.

Introdução

mailto:%[email protected]





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Neste artigo apresentaremos uma análise de um questionário individual, desenvolvido com

professores participantes de um processo formativo que tinha como objetivo discutir noções

ligadas à Probabilidade e ao ensino desse tema. Esse instrumento de formação e pesquisa

buscou identificar a compreensão desses professores acerca de ideias relacionadas ao

conceito de probabilidade: aleatoriedade e comparação de probabilidades de ocorrência de

um evento.

A literatura há alguns anos, vem mostrando estudos realizados por investigadores que se

preocuparam em compreender como se desenvolve o raciocino probabilístico de crianças

(Piaget e Inhelder, 1951; Fischbein, 1975). Esses estudos revelaram que as crianças possuem

ideias intuitivas acerca da probabilidade e dessa forma, recomendam que o seu ensino seja

iniciado ainda nos primeiros anos de escolarização.

Nessa direção, educadores e pesquisadores da área da Educação Matemática vêm realizando

investigações e discutindo a importância desse ensino com alunos nessa fase de escolarização

(Campos e Pietropaolo, 2013; Batanero, Gómez, Contreras e Diaz, 2015; Campos e

Felisberto de Carvalho, 2016; dentre outros). De maneira geral, essas investigações apontam

que nos primeiros anos de estudo é possível mobilizar ideias intuitivas das crianças que são

fundamentais ao desenvolvimento do pensamento probabilístico e esse, ao desenvolvimento

de outras ideias matemáticas, como por exemplo, a de proporcionalidade. Nesse sentido,

esses mesmos estudos apontam para a necessidade de “discussões envolvendo diferentes

estratégias de abordagem do conceito de probabilidade devem fazer parte dos processos de

formação inicial e continuada dos professores.” (Campos e Feslisberto de Carvalho, 2016,

p. 16), visto a importância de o professor em possuir o domínio necessário ao ensino desse

tema.

Caminhando também nessa direção, currículos oficiais de diferentes países discutem tal

importância e sugerem que o ensino de probabilidade seja apresentado desde os anos iniciais

de escolarização (Brasil, 1997; Brasil, 2017; NCTM, 2000; Espanha, 2006).

Nessa perspectiva é que a análise do instrumento aqui discutido será apresentada com a

pretensão de socializar as questões observadas em um processo formativo acerca do tema, no

intuito de contribuir com os estudos em desenvolvimento no campo da Educação

Matemática. Trata-se de um recorte de um projeto de Pesquisa de Doutorado que está sendo

desenvolvido por uma das autoras desta comunicação, em colaboração com outros


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professores e investigadores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da

Universidade Anhanguera de São Paulo, Brasil.

Nas próximas seções, expomos dois estudos desenvolvidos com professores em contexto de

formação continuada, por meio dos quais pretendemos, sobretudo, discutir a relevância da

nossa investigação; a base teórica adotada na análise das informações produzidas; os

participantes de pesquisa, bem como o contexto em que ela se desenvolveu; o instrumento

de formação e pesquisa analisado – Questionário –; as informações produzidas – resoluções

dos professores investigados –; e por fim, nossas reflexões acerca do observado.

Estudos relacionados à nossa investigação

No tocante às investigações realizadas com professores acerca do ensino e da aprendizagem

de Probabilidade, poucos são os estudos já desenvolvidos. Neste trabalho apresentamos

brevemente, dois desses: um desenvolvido no Brasil por Campos e Pietropaolo (2013) e o

outro, na Espanha, realizado por Batanero, Gômez, Contreras e Diaz (2015). Em ambos, os

pesquisadores realizaram suas investigações em um contexto de formação da qual

participaram professores dos anos iniciais da Educação Básica, em exercício – Campos e

Pietropaolo (2013) – e professores em formação inicial para lecionarem nessa fase de

escolarização – Batanero, Gômez, Contreras e Diaz (2015) – e buscaram em Ball, Thames e

Phelps (2008) a base teórica para analisar elementos do conhecimento matemático para o

ensino de Probabilidade.

No estudo de Campos e Pietropaolo (2013) estavam envolvidos 27 professores dos anos

iniciais do Ensino Fundamental da rede estadual paulista. O recorte do referido estudo traz a

análise dos pesquisadores acerca das concepções e práticas dos professores com relação aos

processos de ensino e de aprendizagem de noções sobre probabilidade nos 4º e 5º anos do

Ensino Fundamental, identificados em um instrumento diagnóstico, aplicado com o intuito

de “(...) delinear a imagem conceitual [segundo a perspectiva de Tall e Vinner (1981)]

constituída pelos professores em relação à probabilidade (...) e em relação aos

conhecimentos pedagógicos concernentes a esse mesmo tema.” (CAMPOS e

PIETROPAOLO, 2013, p. 66).

Com base na análise das observações, os autores concluíram que as noções que sustentam o

conceito de probabilidade não são desenvolvidas, pelos professores investigados, com os


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seus alunos, pois esses professores não possuíam um repertório de conhecimento e situações

e também porque desconsideravam a relevância desse tema. Segundo esses pesquisadores,

eles possuíam pouco conhecimento de conteúdo especializado para ensinar probabilidade.

Para os pesquisadores, a imagem conceitual construída pelos professores em relação ao

ensino de probabilidade nos anos iniciais tinha relação, principalmente, com a razão entre

dois números inteiros positivos.

Em relação à investigação feita por Batanero et. al. (2015) da qual participaram 157

professores em formação para o ensino nos anos iniciais, os investigadores propuseram um

questionário constituído de duas partes, contendo problemas, por meio dos quais eles

pretendiam analisar o conhecimento comum e especializado do conteúdo – primeira parte –

e o conhecimento do conteúdo e dos estudantes – nesse caso a análise foi feita a partir do

olhar dos professores para a identificação e justificativas de respostas de alunos do ensino

Fundamental a problemas sobre probabilidade.

Os resultados desse estudo evidenciaram, segundo os autores, no que se refere à primeira

parte do questionário, os professores apresentaram um raciocínio probabilístico insuficiente

na resolução dos problemas, ao passo que eles demonstraram serem capazes de identificar e

explicar as respostas incorretas dos alunos. Importante salientar que a segunda parte da

investigação ocorreu após análise e discussão da primeira parte.

Os estudos aqui descritos apontam para a necessidade de outras investigações acerca do

conhecimento do professor sobre probabilidade, como alternativas para o desenvolvimento

de propostas de ensino que contribuam com a formação do professor.

A respeito da Base Teórica

Para elaboração e análise do instrumento de formação e pesquisa aqui apresentado, adotamos

os estudos de Ball, Thames e Phelps (2008), segundo os quais categorias de conhecimentos

sobre a Matemática devem ser consideradas por professores e pesquisadores: Conhecimento

do Conteúdo – Comum e Especializado –; Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes e

Conhecimento do Conteúdo e do Ensino.

Tais categorias chamam-nos a atenção para a necessidade de o professor conhecer sobre os

conteúdos da Matemática – “o que os professores necessitam saber sobre Matemática” (Ball,

Thames e Phelps, 2008) – mas também compreender sobre ideias envolvidas no conceito que


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está sendo proposto aos alunos e mais ainda, sobre o próprio aluno: como eles aprendem,

como raciocinam matematicamente.

Foi nessa perspectiva, nossa busca por refletir, com os professores, durante o processo

formativo, e analisar quais eram as suas percepções, “(...) como e onde poderiam os

professores usar esse conhecimento [no nosso caso, sobre probabilidade], na prática.”

(BALL, THAMES e PHELPS, 2008).

Participantes de Pesquisa e Contexto da Pesquisa

Participaram desta investigação 22 professores pedagogos e licenciados em Matemática,

pertencem ao quadro efetivo da Rede Estadual de Ensino de São Paulo, que se propuseram a

discutir e refletir sobre questões relacionadas ao ensino e à aprendizagem de probabilidade,

num contexto de formação e pesquisa, desenvolvido no âmbito do Projeto Observatório da

Educação. Trata-se de um projeto financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de

Pessoal de Nível Superior - CAPES e coordenado, no âmbito da universidade, por um dos

autores desta publicação.

Instrumento de Formação e Pesquisa

As situações apresentadas neste instrumento – Figura 1 – visavam investigar quais eram os

conhecimentos dos professores acerca do conteúdo (Ball, Thames e Phelps, 2008). Neste

caso, aqui discutimos acerca de ideias ligadas a compreensão de aleatoriedade por meio de

eventos simultâneos – questões 1, 2 e 3 –; descrição de eventos possíveis e quantificação de

probabilidades em eventos equiprováveis – questão 2 e 3 –; relação entre eventos: eventos

dependentes, independentes – questão 3.


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Figura 1: Instrumento de Formação e Pesquisa

Fonte: acervo dos pesquisadores

Informações Produzidas: protocolos dos professores investigados

Inicialmente, apresentamos sucintamente, sob o ponto de vista das ideias subjacentes à

probabilidade, as respostas dos professores a cada questão proposta.

No que se refere à primeira situação, percebemos que os 22 professores investigados

apresentaram alternativa “b” como resposta, sendo que, apenas 6, justificaram suas escolhas.

E nessas, de maneira geral, foi possível perceber que as professoras fizeram uso de

expressões e termos apresentados e discutidos nas sessões de formação anteriores, como por

exemplo: impossível, improvável, provável, aleatório.

Porém o uso parece, em alguns casos, ocorrer de maneira inconsciente, apresentando indícios

da necessidade de propor atividades que possam reforçar a compreensão das ideias que

formam o conceito de probabilidade.

Em relação à segunda questão, 18 professores disseram “sim” à possibilidade de se obter

cara num próximo lançamento, afirmado ser de 50% a probabilidade dessa ocorrência. Porém

algumas justificativas nos chamaram a atenção, por exemplo: “É improvável que se obtenha

cara no próximo lançamento; porém há 50% de chance para as duas.” (PROFESSORA

JADE). A resposta da professora, assim como da maioria talvez confirme o observado na

questão anterior, pois embora tenha concluído de forma acertada, a participante considerou

ser improvável a obtenção de um mesmo resultado no próximo lançamento da moeda.


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Segundo Bryant e Nunes (2012) essa é uma linha de raciocínio comum entre crianças e

adultos: “A common mistake made by adults and children, is to disregard the independence

of successive events in a random situation. One’s chance of getting a tail on the next toss of

a coin is not affected by what happened on previous throws.” (BRYANT e NUNES, 2012,

p. 4).

Quanto à terceira situação, 15 do total de professores participantes reconheceram a

equivalência nas duas situações e desses, a maioria fez uso do raciocínio proporcional para

justificar a escolha da resposta dada ao problema, como por exemplo, a resposta apresentada

pela Professora Virginia – Figura 2.



Todavia, também para esta situação, pudemos perceber ideias equivocadas dos professores.

O Professor João, por exemplo – Figura 3 – apresentou uma justificativa pouco convincente

do ponto de vista da Matemática e da própria probabilidade.



Talvez possamos julgar que na resposta apresentada pelo professor tenha ocorrido o que nos

adverte Bryant e Nunes (2012): “(...)Another kind of mistake, called the ‘positive recency’


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effect, is to predict after a run of one outcome that the same outcome is more likely to happen

the next time.” (BRYANT e NUNES, 2012). Como não há espaço suficiente nesta

comunicação, discutiremos mais profundamente num outro artigo.

Nossas reflexões acerca do observado: uma primeira interpretação

Analisando os resultados das informações produzidas por meio deste instrumento de

formação e pesquisa – Questionário – na perspectiva dos domínios para o ensino, definidos

por Ball, Thames e Phelps (2008), concluímos que, de modo geral, os professores

participantes desta pesquisa demonstraram, diante da resolução das três questões propostas,

possuírem um conhecimento intuitivo sobre noções básicas ligadas à probabilidade e

utilizaram-se, predominantemente, do raciocínio proporcional para justificarem a escolha das

respostas apresentadas às questões. Todavia consideramos que tal fato não significa que eles

possuam o raciocínio probabilístico necessário à compreensão real de todas as ideias que são

subjacentes ao conceito de probabilidade.

Pelo exposto, aprofundamos as discussões e reflexões dessas e de outras noções relativas à

Probabilidade durante a formação, pois também percebemos inconsistência sobre as

representações e significados dos números racionais.

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CB-1.314

DIVERSIFICANDO RECURSOS PARA A COMPREENSÃO DO PRINCÍPIO

FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Belmira Mota – Rosa Tomás Ferreira


Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Portugal – Faculdade de Ciências da

Universidade do Porto – CMUP, Portugal

Núcleo temático: Recursos para o ensino e aprendizagem das matemáticas

Modalidade: CB

Nível educativo: Terciário

Palavras chave: Princípio Fundamental da Contagem; Recursos; Resolução de problemas de

contagem

Resumo O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) está subjacente às fórmulas das operações

combinatórias (arranjos e combinações) e o seu uso é central na resolução de problemas de

contagem, mas os alunos têm dificuldades em reconhecer situações de natureza

multiplicativa (e.g., Lockwood & Caughman, 2016; Tillema, 2013). Para compreender como

a diversificação de recursos pode apoiar a compreensão do PFC e a resolução de problemas

de contagem, a professora-investigadora propôs a uma turma do 12º ano (17-18 anos), duma

escola no interior norte de Portugal, a resolução, em pequenos grupos, duma tarefa de

contagem com algum grau de abertura. Foi sugerido o recurso ao smartphone na pesquisa

necessária à resolução da tarefa.

Os dados foram recolhidos em duas aulas de 90 minutos através de observação participante,

gravações em vídeo e recolha documental das produções dos alunos na tarefa proposta. Ao

longo da pesquisa efetuada, os alunos sentiram necessidade de elaborar listagens e,

posteriormente, diagramas que conduziram à utilização adequada do PFC. Os resultados

sugerem que os diagramas facilitam a distinção das situações de natureza multiplicativa das

de natureza aditiva. A diversificação de recursos contribuiu para a compreensão do PFC.

Introdução e motivação

Várias investigações indicam a necessidade de compreender o pensamento dos alunos na

resolução de problemas de contagem (e.g., Lockwood, 2013). Tendo em conta que o

Princípio Fundamental da Contagem (PFC) está subjacente à generalidade dos problemas de

contagem, consideramos importante procurar compreender o pensamento dos alunos na sua

aplicação. Dada a falta de estudos que abordem explicitamente o PFC (Lockwood, Reed, &

Caughman, 2016), procurámos analisar o modo como alunos que ainda não conhecem as

operações combinatórias entendem e aplicam o PFC. Para tal, envolvemos os alunos duma




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turma do 12.º ano (17-18 anos) que, no contexto de uma experiência de ensino (integrada

numa investigação mais ampla em curso), exploraram uma tarefa com algum grau de abertura

recorrendo a uma diversidade de recursos. Neste trabalho pretendemos responder às

seguintes questões de investigação: (1) De que modo os alunos utilizam o PFC? (2) De que

modo os alunos distinguem as situações de natureza multiplicativa, das de natureza aditiva?

e (3) De que modo a diversidade de recursos utilizada contribuiu para a aprendizagem do

PFC?

O papel dos recursos na aprendizagem matemática

Tal como Adler (2000), conceptualizamos o termo recurso como um nome (objeto) e um

verbo (ação). Os recursos devem ser transparentes pois devem desempenhar

simultaneamente as funções de visibilidade (têm de ser visíveis para serem utilizados) e

invisibilidade (é através deles que se atinge o conhecimento pretendido). Porém, Adler

sublinha que a transparência não é uma característica inerente ao recurso, mas uma função

subjacente ao seu uso, pelo que pode facilitar ou bloquear o acesso ao conhecimento. Assim,

para que um recurso promova a aprendizagem, em alguma altura necessita deixar de ser o

objeto (visível) de atenção e passar a ser o meio para atingir o conhecimento, ou seja, deve

ficar invisível.

Adler (2000) sublinhou que considerar apenas os recursos humanos e materiais (que

denominou recursos básicos) é restritivo, dado que existem muitos outros, tais como

matemáticos, culturais e sociais que não devem ser esquecidos. Assim, propôs a ampliação

do conceito de recurso e classificou-os em três categorias. Os recursos humanos incluem os

professores e o seu conhecimento pedagógico e científico. Os recursos materiais incluem as

tecnologias, os manuais, os próprios objetos matemáticos (e.g., esquemas, diagramas,

teoremas, números) e todos os objetos que possam ser usados no processo de ensino-

aprendizagem. Os recursos culturais incluem a linguagem utilizada e o tempo disponível

(e.g., calendário escolar, duração da aula).

Neste estudo, utilizámos recursos de todas estas categorias. A professora foi o recurso

humano privilegiado; a tarefa, o material de escrita, a calculadora, o smartphone, os

esquemas, diagramas e o PFC foram os recursos materiais escolhidos; e a linguagem e o

tempo constituíram os recursos culturais habituais. Relativamente a estes últimos,


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salientamos que o contexto da tarefa é familiar a muitos dos alunos da turma e que as

conversas entre eles durante a discussão dos resultados obtidos, constituíram-se num ponto

fundamental no desenvolvimento deste estudo. A escolha do smartphone prendeu-se com o

facto de ser um objeto que todos os alunos possuem e sem o qual (aparentemente) não

conseguem viver. Geralmente é considerado um bloqueio à aprendizagem, na medida em que

se constitui como um fator externo de distração. Paradoxalmente, tencionámos torná-lo num

recurso invisível promotor da aprendizagem. Pretendemos que, durante a exploração da

tarefa, os alunos passassem a usar os seus smartphones como um meio para a obtenção de

dados que lhes permitissem apresentar uma resposta coerente à tarefa proposta e ignorassem

as funcionalidades que usam habitualmente, como por exemplo, as redes sociais.

Metodologia de investigação

Este trabalho insere-se numa investigação mais ampla em curso, qualitativa e interpretativa,

com design de experiência de ensino (Steffe & Thompson, 2000). Os 31 alunos da turma

participante no estudo foram divididos em sete grupos de quatro alunos e um de três. A

experiência de ensino realizada foi conduzida num ambiente de ensino-aprendizagem

exploratório, que se distingue do ensino direto pelos papéis desempenhados pelos alunos e

professores, pelas tarefas propostas e modo como são geridas, e pela comunicação que é

estabelecida dentro da sala de aula (e.g., Menezes, Tomás Ferreira, Martinho, & Guerreiro,

2014). Enquanto que no ensino direto o processo está centrado no professor que transmite

toda a informação aos alunos, numa abordagem exploratória, o aluno assume um papel ativo

na sua própria aprendizagem, explorando tarefas de natureza diversificada, individualmente

ou em colaboração com outros alunos, numa ambiente pautado por uma comunicação

essencialmente reflexiva e instrutiva (Menezes et al., 2014; Ponte, 2005).

A tarefa Viagem Lisboa – Vila Meã (Figura 1) pretendia conduzir os alunos à aplicação do

PFC. Foi desenhada pela professora e objetivava que fossem os próprios alunos a decidirem

o número de elementos que considerariam em cada uma das etapas independentes,

subjacentes ao PFC. Esta tarefa foi trabalhada em duas aulas de 90 minutos, de cunho

exploratório, que se desenrolaram de acordo com a estrutura apresentada por Oliveira e

colaboradores (2013). A primeira aula contemplou as duas primeiras fases: introdução e


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realização da tarefa; na segunda aula, foi efetuada uma discussão coletiva seguida pela

sistematização das aprendizagens.

Figura 1. Tarefa proposta aos alunos

Na fase da introdução, a professora começou por fazer notar que, utilizando transportes

públicos, o João tem, necessariamente de fazer a viagem Lisboa – Porto e, seguidamente,

Porto – Vila Meã. Informou ainda que a viagem seria efetuada na sexta-feira da semana em

curso, aquando da aplicação da tarefa. Dado que todos os alunos da turma possuíam um

smartphone, a professora sugeriu que os utilizassem para investigar o número de opções que

o João dispunha em cada etapa. Recomendou que consultassem os sites das companhias de

transportes públicos que pretendiam usar e/ou sites que permitissem visualizar voos de

diversas companhias aéreas.

Na fase de realização, os alunos trabalharam autonomamente em grupos e a professora

monitorizou este trabalho, procurando apreender as estratégias adotadas e as resoluções por

eles conseguidas, e fornecendo feedback sempre que tal se mostrava necessário, sem nunca

lhes dar a resposta ou diminuir o nível de exigência cognitiva da tarefa (Stein & Smith, 2009).

Com base nesta monitorização, a professora selecionou três resoluções para serem

apresentadas e discutidas com toda a turma. A escolha das resoluções para a fase de discussão

coletiva passou por incluir resoluções que retratavam as dos vários grupos ou demonstravam

uma distinção clara entre uma abordagem multiplicativa e uma abordagem aditiva. A

professora apoiou os alunos na sua apresentação, colocando questões que procuravam ajudar

e esclarecer ideias e a envolver toda a turma na validação das respostas. A fase de

sistematização das aprendizagens decorreu após a discussão coletiva e incluiu a


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formalização do PFC, apoiada nas conclusões a que chegaram os alunos na exploração e

discussão da tarefa proposta.

Os dados recolhidos e analisados para este trabalho baseiam-se nas produções escritas de um

dos grupos. A escolha deste grupo baseou-se na resolução que considerámos ser a mais

complexa e a que melhor retratava a necessidade de distinguir as situações em que é aplicado

o PFC das situações em que é preciso recorrer à adição. Analisámos ainda os diálogos

decorridos no seio deste grupo em grande grupo, durante a discussão coletiva, que foram

registados em vídeo e integralmente transcritos.

Análise dos dados

O grupo selecionado (constituído pelo Daniel, Adriana e Luísa – pseudónimos) começou por

elaborar um diagrama de árvore (Figura 2). À medida que traçaram o diagrama no quadro,

os alunos explicaram o significado de cada um dos seus elementos. Começaram por referir

que, à partida, existiam duas hipóteses, avião ou comboio, e que utilizaram o site eDreams

para efetuarem a pesquisa dos voos disponíveis para o dia em causa. Caso o João optasse

pelo comboio, teria ainda de decidir qual das seis estações existentes na cidade de Lisboa

(representadas pelas letras A, B, C, D, E e F) selecionaria. No caso de efetuar a viagem de

avião existiam cinco voos em horários que consideraram adequar-se à situação em causa.


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Figura 2. Diagrama elaborado pelo grupo de alunos

Em articulação com os restantes alunos da turma, durante a fase de discussão coletiva da

tarefa, todos os elementos deste grupo concordaram que limitaram as suas escolhas a horários

que consideravam exequíveis, dado que “no domingo tinha de voltar a fazer as malas para

regressar a Lisboa”. Para apanhar cada um dos cinco voos, o João tinha quatro hipóteses: ir

de metro, de autocarro ou de táxi para a estação de caminho de ferro de Campanhã ou, em

alternativa, um familiar deslocar-se ao aeroporto e, deste modo, seguiria diretamente para

casa. Justificaram ainda que consideraram que apenas existia uma hipótese para o metro e

uma para o autocarro porque partiram do princípio que o João optaria pelo primeiro que

tivesse oportunidade de entrar. De notar que, nesta fase, os alunos referiram claramente

“pusemos para cada um destes aviões o metro, o autocarro, familiares ou táxi”, justificando,

deste modo, que os quatro ramos que saíam do primeiro voo se replicavam pelos restantes.

De igual modo, explicaram as hipóteses existentes, caso o João tivesse optado por efetuar a

viagem Lisboa – Porto de comboio.

Seguidamente, o Daniel referiu que, após a construção do diagrama, “fizemos conjuntos e no

fim contámos as hipóteses todas: 157”. Procurando clarificar estes procedimentos para os

restantes colegas, a professora perguntou se tinham feito algum cálculo para chegar ao valor

de 157, ao que os alunos responderam afirmativamente. Pediu-lhes então que mostrassem

aos colegas como tinham procedido:

Adriana: É para fazer duma estação para dar o exemplo?

Professora: Sim. Quero ver como é que vocês chegaram ao 157. Porque basicamente o que

vocês têm aí é uma lista de opções. Mas esse esquema que está aí foi utilizado para vocês

fazerem algum cálculo?

Luísa: Não. É só para simplificar. Foi para nos organizarmos.

Professora: Vocês chegaram ao 157 contando uma por uma?

Todos: Não. Foi por conjuntos.

Professora: Então, dêem-me um exemplo de um conjunto.

Adriana: Por exemplo, se ele escolhesse o Cais do Sodré (letra A), tinha três comboios que

podia ir até Campanhã. Para o primeiro comboio tinha quatro hipóteses (comboio, familiares,

táxi ou autocarro).

Professora: E então depois era um copiar colar para os outros dois comboios?

Grupo: Sim.

Professora: Esse grupo quantas hipóteses dá?

Luísa: 3 vezes 4, 12.

Professora: E este 12 aparece uma única vez?

Adriana: Não. Cada um dos grupos tinha um número de hipóteses diferentes.

Professora: Então por isso é que vocês tiveram de somar?

Luísa: Sim. Senão fazíamos 6 vezes 12.


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A professora reforçou que, caso o número de hipóteses em cada estação fosse sempre o

mesmo, não existiria a necessidade de somar porque, nesse caso, o 12 surgiria por seis vezes

e bastaria multiplicar o 12 por seis. Mas, como nos dados que os alunos recolheram, para

cada uma das estações existia um número diferente de hipóteses, o grupo teve a necessidade

de determinar o número de hipóteses para cada estação e, em seguida adicionar os seis

resultados diferentes.

Comparando a abordagem deste grupo com os restantes colegas, a professora referiu que

alguns efetuaram uma listagem de todos os resultados possíveis, mas, como limitaram as suas

opções, chegaram a um número relativamente pequeno como resposta que representaria a

resposta à tarefa proposta. Contrariamente, houve grupos que obtiveram como resposta

números relativamente elevados, números esses que só foram atingidos através de cálculos

pois seria impensável fazerem uma lista exaustiva das hipóteses possíveis. Ficou claro que

os grupos que efetuaram cálculos recorreram às operações de adição ou multiplicação.

Entrando já na sistematização das aprendizagens, a professora aproveitou a oportunidade

para informar os alunos que, quando efetuam a multiplicação, estão a aplicar o Princípio

Fundamental da Contagem. Reforçou que o resultado da multiplicação apenas traduz o

cardinal do espaço de resultados pretendido, se o número de opções em cada uma das etapas

da contagem for igual. Quando o número de opções da etapa seguinte não é igual para todos

os resultados da etapa anterior, terá de se contabilizar cada etapa separadamente e, no final,

adicionar todos os resultados possíveis. Para finalizar apresentou vários exemplos em que os

alunos facilmente identificaram quando deveriam “parar” a multiplicação e efetuar uma

adição.

Conclusões e implicações

Os diagramas e esquemas desempenham um papel central na determinação do cardinal do

conjunto de resultados pretendido, o que mais uma vez ratifica as considerações de

Lockwood (2013) quando afirma que os procedimentos que o aluno efetua ou imagina efetuar

lhes permitem estabelecer a expressão matemática representativa do cardinal do espaço de

resultados. Neste sentido, os diagramas e esquemas elaborados pelos alunos constituíram-se

como um recurso central, na medida em que foram a alavanca que os conduziu à aplicação


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do PFC e os ajudou a distinguir situações multiplicativas das que também exigiam a

utilização de elementos aditivos.

Acreditamos que os smartphones se constituíram como uma verdadeira re-source, dado que

foram usados para fazer pesquisas essenciais à resolução da tarefa e, portanto, foram recursos

invisíveis e não distrativos da atividade matemática. Deste modo, a utilização dos

smartphones permitiu que todos os alunos pudessem efetuar as pesquisas necessárias à

resolução da tarefa proposta, ao contrário do que aconteceria se dispusessem de um

computador (os constrangimentos logísticos impediriam a utilização de um por cada um dos

elementos do grupo). Assim, a exploração da tarefa saiu enriquecida e, portanto,

consideramos que os smartphones se tornaram num recurso transparente (Adler, 2000).

Os recursos materiais que foram fornecidos aos alunos permitiram a concretização da

situação apresentada na tarefa, o que favoreceu a sua resolução por via da verificação das

hipóteses possíveis em cada uma das etapas. As respostas à tarefa variaram desde valores

numéricos mais baixos, que refletiam uma abordagem mais simplista à questão, a valores

numéricos mais elevados, que traduziam uma maior complexidade na abordagem à tarefa e

a necessidade de aplicar o PFC e a adição. Estes resultados, que apoiam estudos anteriores

(e.g., Tillema, 2013), sugerem que as situações cuja cardinalidade do espaço de resultados

seja numericamente baixa não potenciam a compreensão ou a aplicação do PFC pois os

alunos não são desafiados a considerar um maior número de hipóteses em cada uma das

etapas independentes subjacentes ao PFC.

Consideramos importante estudar futuramente o modo como os alunos conceptualizam o

PFC na resolução de problemas de contagem que envolvam a aplicação de operações

combinatórias (arranjos e combinações), ou seja, se aplicam cada uma das fórmulas como

uma “abreviatura” do PFC ou, contrariamente, as utilizam sem considerarem o PFC.

Agradecimentos

O segundo autor é apoiado pelo CMUP (UID/MAT/00144/2013), financiado pela FCT

(Portugal) através de fundos estruturais nacionais (MEC) e europeus (FEDER), no âmbito do

projeto PT2020.



ISBN 978-84-945722-3-4

Adler, J. (2000). Conceptualising resources as a theme for teacher education. Journal of

Mathematics Teacher Education, 3(3), 205-224. doi:10.1023/a:1009903206236

Lockwood, E. (2013). A model of students’ combinatorial thinking. The Journal of

Mathematical Behavior, 32(2), 251-265.

Lockwood, E., & Caughman, J. S. (2016). Set partitions and the multiplication principle.

PRIMUS, 26(2), 143-157.

Lockwood, E., Reed, Z., & Caughman, J. S. (2016). An analysis of statements of the

multiplication principle in combinatorics, discrete, and finite mathematics

textbooks. International Journal of Research in Undergraduate Mathematics

Education, 1-36. doi:10.1007/s40753-016-0045-y

Menezes, L., Tomás Ferreira, R., Martinho, M. H., & Guerreiro, A. (2014). Comunicação

nas práticas letivas dos professores de matemática. In J. P. Ponte (Ed.), Práticas

profissionais de professores de matemática (pp. 135-161). Instituto de Educação:

Lisboa.

Ponte. (2005). Gestão curricular em matemática. In GTI (Ed.), O professor e o

desenvolvimento curricular (pp. 11-34). Lisboa: APM.

Steffe, L. P., & Thompson, P. W. (2000). Teaching experiment methodology: Underlying

principles and essential elements. In R. Lesh & A. E. Kelly (Eds.), Handbook of

research design in mathematics and science education (pp. 267-307). Mahwah, NJ:

Lawrence Erlbaum Associates.

Stein, M. H., & Smith, M. S. (2009). Tarefas matemáticas como quadro para a reflexão: Da

investigação à prática. Educação e Matemática, 105(5), 22-28.

Tillema, E. S. (2013). A power meaning of multiplication: Three eighth graders’ solutions

of cartesian product problems. The Journal of Mathematical Behavior, 32(3), 331-

352. doi:http://dx.doi.org/10.1016/j.jmathb.2013.03.006

http://dx.doi.org/10.1016/j.jmathb.2013.03.006


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.315

PROYECTO 3D “MATER”

Juan Antonio Trevejo Alonso

[email protected]

IES Montevil, Gijón (España)

Núcleo temático: La Resolución de Problemas en Matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: Secundario

Palabras clave: geometría, impresión 3D, diseño 3D, resolución de problemas

Resumo La irrupción del diseño y la impresión 3, hace pensar que este tipo de tecnología, pujante y

cercana debería estar presente en el aula.

El currículum de la materia de Matemáticas en la ESO introduce de forma inicial, pero

completa, la geometría en 3 dimensiones en 2º de la ESO, y el estudio de sus propiedades

métricas y geométricas.

El diseño, como representación de la geometría en 3 dimensiones, y la impresión, como

materialización y posible manipulación, hacen del diseño y la impresión 3D una buena

oportunidad para realizar propuestas de aula centrada en la resolución de problemas.

El uso de la tecnología será determinante en el desarrollo de esta idea, pero también el

respeto a los contenidos de Geometría de Matemáticas en 2º de ESO, y se requiere una

planificación meditada para aprovechar la potencialidad de estas tecnologías implicadas, y

así proponer actividades centradas en el alumnado, desde una perspectiva de resolución de

problemas.

Se presentarán las conclusiones del proyecto, que finalizará en mayo de 2017, y podremos

decir si el recorrido formativo propuesto, cuyo fin último es la impresión en 3D de

situaciones problemáticas cercanas a entornos empresariales y de la vida real, resulta

satisfactorio.

Iniciativa, propuesta de trabajo e ideas generales.

La idea surge después de conocer las iniciativas que promueve la Fundación CTIC de Gijón

(Asturias, España), cuya idea principal es dar a conocer a los estudiantes las nuevas

tecnologías que irrumpen con fuerza en nuestra sociedad y que se presentan como alternativas

claras de conocimiento y posible desarrollo profesional.

En reuniones mantenidas con el CTIC y TRIDITIVE, una empresa que se dedica

profesionalmente a la impresión 3D, se realiza una propuesta de colaboración con

TRIDITIVE para que concluido el trabajo de aula, se encargue de mostrar en visita escolar


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las características particulares de la impresión 3D de los objetos diseñados por el alumnado,

y realizar las impresiones acordadas.

El trabajo en aula se inicia en el mes de diciembre de 2016, dedicando desde ese momento

una hora semanal al conocimiento de los contenidos de Geometría correspondientes, el

dominio de la herramienta de diseño, la gestión del aula en trabajo en pequeños grupos y la

concienciación del uso de tecnología que precisa dominio y precisión.

Actividades de aula.

Aunque el proceso pasa por acostumbrar al alumnado a trabajos guiados y con cierta

autonomía utilizando tecnología con fines formativos, y es más extenso del que se detalla en

esta comunicación, se muestra un esquema de las actividades realizadas centradas en

Geometría en 3 dimensiones y el diseño 3D.

Nº Título Descripción

1

Geometría 3D.

Conceptos básicos.

Trabajo para conocer a fondo cuerpos geométricos en 3D:

completar cuadros, esquemas de definiciones, cuerpos,

elementos, clasificación, áreas, volúmenes, desarrollos

planos…

2

Diseño 3D.

Tinkercad.

Conocer Tinkercad: darse de alta, guardar, clasificar,

diseñar…

Prácticas de diseño con cuerpos geométricos clásicos, y

cálculo de áreas y volúmenes.

3

Tinkercad. Diseño de

figuras básicas en 3D,

con condiciones

métricas.

Figuras básicas. Representación con condiciones métricas.

Se proporcionan varios problemas, cada uno referido a un

cuerpo geométrico, del que se conocen varios datos

métricos. Se deben utilizar los datos proporcionados para

encontrar las dimensiones del objeto para diseñarlo, y

calcular áreas y/o volúmenes. Trabajo en pequeños grupos.


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4

Tinkercad. Problemas

típicos de Geometría

en 3D.

Se presentan tres situaciones clásicas de Geometría 3D. Se

pretende que diseñen los cuerpos necesarios para, una vez

impresos, realizar una presentación en el aula de la

situación:

Principio de Cavalieri.

Relación entre volumen de prisma-pirámide y

cilindro-cono.

Porcentaje de ocupación de esfera, cilindro y cono

en cubo que los circunscribe, que requiere realizar cálculos

para la exposición.

5

Tinkercad. Figuras

compuestas en 3D.

Se presentan 2 figuras, una formada por adición y otra por

sustracción (tornillo, tuerca). Deben seguir las instrucciones

para manejar las escalas indicadas y encontrar las

dimensiones de la figura a diseñar. Se calcula en todas las

figuras el área y el volumen, dentro de una situación real.

6

Tinkercad. Objetos

cotidianos en 3D.

Se presentan 6 objetos cotidianos, como ejemplos, aunque

pudieran ser otros, que puedan ser definidos como adición

y/o sustracción de figuras geométricas sencilla (Taza, Caja

palomitas, botella de agua, Mancuernas, tetrabrick). Cada

grupo elige uno, u otro que conozcan, lo miden y definen la

escala que permite diseñarlo dentro de las dimensiones

máximas permitidas.

Descripción de las actividades.

Actividad 1. Geometría 3D. Conceptos básicos.

La actividad pretende conocer a fondo los cuerpos geométricos, desde su nombre, el

conocimiento de todos los elementos fundamentales, su clasificación, desarrollos planos, así

como las fórmulas asociadas a los cálculos que es necesario manejar: distancias, áreas y

volúmenes.


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Actividad 2. Diseño 3D. Tinkercad (https://www.tinkercad.com/).

Esta actividad se centra en el conocimiento de una herramienta web gratuita, de fácil uso y

rápida curva de aprendizaje, que será la utilizada para realizar los diseños en 3D.

Por un lado se realizan diseños totalmente libres por parte del alumnado, y se comprueba la

facilidad que tienen para conocer este tipo de herramientas, introduciendo el tipo de gestión,

nominación y clasificación, que se realizará de los diseños.

Por otro lado se presenta una colección de cuerpos geométricos en el aula. El alumno/a debe

realizar los diseños que se indican con Tinkercad, realizando las medidas y los cálculos

pedidos. Sirva de ejemplo una de las tareas realizadas, que se muestra en la siguiente tabla:

Nombre

del diseño

Descripción Representación y medidas

de la figura que se diseña

Cálculo del área

total y el volumen

Pirámide

Pirámide con base un

polígono regular. Este

polígono regular cumple

que la longitud del lado

coincide con la longitud

del radio de la

circunferencia que lo

circunscribe.

Actividad 4. Tinkercad. Diseño de figuras básicas en 3D, con condiciones

métricas.

Se presentan varios problemas geométricos, que deben ser resueltos para posteriormente

definir las dimensiones de la figura que debe ser diseñada.

Sirva de ejemplo una de las tareas propuestas, simplificada en la siguiente tabla:


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Nombre de la figura Fórmulas necesarias

Enunciado del problema

Diseña esta figura con las

siguientes condiciones:

Mide el doble de alto que

de ancho.

Mide el doble de largo que

de alto.

El volumen de la figura es

de 29·103 mm3.

Operaciones

necesarias para

encontrar las

dimensiones de la

figura y calcular su

área total.

Representa las dimensiones

de la figura. Las dimensiones

estarán expresadas en cm.

Diseña la figura con Tinkercad. El nombre del diseño será: Actividad41

Actividad 5: Tinkercad. Problemas típicos de Geometría en 3D.

Se presentan problemas típicos de geometría para ser diseñados con el fin de que las

impresiones de las figuras sirvan de base de una exposición oral que el alumnado deberá

realizar como actividad de aula.

Sirva como ejemplo la tarea que se muestra en la siguiente tabla:

Porcentaje de ocupación 5.2

Queremos estudiar el porcentaje que rellenan una

esfera, un cilindro y un cono que se encuentran

dentro de un cubo.

Para ello, queremos construir un cubo hueco, que

tenga como dimensiones interiores 15 cm de lado,

y grosor de las paredes de 4 mm; y una esfera, un

cono y un cilindro que puedan ser “encajados” en

el cubo.


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Se deben diseñar el cubo, la esfera, el cilindro y el

cono.

Estudio del porcentaje de ocupación. Medidas de las figuras y cálculos necesarios

Medidas de las figuras Cálculo de volúmenes

Cáculo de porcentajes de

ocupación

Diseña las figuras con Tinkercad. El

nombre del diseño será:

Cubo, Actividad52_cubo

Esfera, Actividad52_esfera

Cilindro, Actividad52_cilindro

Cono, Actividad52_cono

Actividad 6: Tinkercad. Figuras compuestas en 3D.

Se presenta una tarea con una situación real de diseño 3D, del mundo empresarial, para

situarla en la necesidad de diseñar con precisión y conocer los costes de producción:

Somos fabricantes de tornillos y tuercas. Sabemos que el material que se utiliza para

fabricarlos cuesta 1500 € la tonelada. La densidad del acero es de 7850 kg/m3. Queremos

fabricar 10000 unidades de cada una, y conocer el coste que supondría fabricarlos. Debemos

diseñarlas a tamaño real y realizar otro diseño a escala que nos sirva para mostrar el producto

con más detalle. A continuación encontrarás las orientaciones necesarias para resolver este

problema. Nota: la relación entre la densidad (d), masa (m) y volumen (V) es V

md .

Sirva como ejemplo la tarea propuesta para la fabricación de tornillos, que se muestra de

forma resumida en la siguiente tabla:

Tornillo

Cálculos para

conocer el coste

de fabricación

de 10000

unidades.

Escala 4:1

Representación y

medidas de la figura

a escala


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Esta pieza está

formada por una parte

cilíndrica, una

semiesférica y una

hendidura para poder

utilizar el

destornillador.

El cilindro tiene una altura de 30 mm y el

diámetro de la semiesfera es de 16 mm.

El diámetro del cilindro es de 8 mm.

La hendidura, que no será tenida en cuenta para

calcular el columen de la figura, se puede

considerar con una profundidad de la mitad del

radio de la semiesfera.

Diseña las figuras con Tinkercad. El nombre del diseño de la figura a

tamaño real será: Actividad611

El nombre del diseño de la figura a

escala será: Actividad612

Actividad 7: Tinkercad. Objetos cotidianos en 3D

Se muestra una serie de objetos cotidianos. Se debe elegir uno por grupo de trabajo. El objeto

elegido será conocido por el alumno/a, es decir, se podrán realizar medidas reales del objeto

elegido. El trabajo consiste en:

Tomar medidas reales del objeto.

Representar el objeto con las medidas reales.

La mayor de las medidas reales no puede ser superior a 18 cm. En caso de que el

objeto no tenga esas medidas máximas, se debe elegir una escala para que el diseño

se pueda realizar.

Calcular el área y el volumen de la figura que se diseña.


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Realizar el diseño.

A continuación aparecen algunas indicaciones relativas a cada una de las opciones.

Sirva como muestra la propuesta de diseño concreto de una botella de agua.

Botella de agua Indicaciones

La capacidad del envase será de 330 ml.

La botella se define con sólo tres figuras elementales.

Cálculos y representaciones necesarias

Nombre del diseño: Botella

Finalización del proyecto y conclusiones finales.

En el momento de presentación de este trabajo extenso el proyecto no ha concluido, puesto

que nos encontramos finalizando los diseños de la última actividad, con la visita guiada a la

empresa de impresión 3D a finales del mes de abril y con la recepción de las figuras impresas

y posterior valoración en el aula por parte del alumnado, todavía pendiente.

En la comunicación breve se mostrarán los diseños realizados, las bondades y dificultades

encontradas, así como documentos gráficos de las exposiciones finales que hará el alumnado

sobre el diseño realizado.

En estos momentos se puede mostrar alguno de los diseños que han realizado hasta este

momento, y se presentan a continuación.


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Tornillo a tamaño real (mm)

Tuerca a escala 4:1 (mm)

Taza


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CB-1.316

PROFESSORES PARTICIPANTES DE UM GRUPO DE ESTUDO NUM

CONTEXTO DE MUDANÇA CURRICULAR ANALISAM A PRÓPRIA PRÁTICA

Angélica da Fontoura Garcia Silva – Mirtes de Souza Miranda – Tânia Maria Mendonça

Campos

[email protected] – [email protected] –

[email protected]

Universidade Anhanguera de São Paulo - Brasil

Núcleo temático: IV Formação de Professores de Matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: Formação de Professores

Palabras clave: Grupo de estudo, reflexões sobre a prática, currículo.

Resumen Este artigo tem o propósito de analisar reflexões sobre a prática de professores participantes

de um grupo constituído na escola em que atuam, para estudar orientações presentes em um

novo documento curricular para o ensino de Matemática. Esta investigação, de natureza

qualitativa, envolveu 15 professores que lecionam Matemática para os anos iniciais e

coletou as informações por meio de registros audiovisuais, observações e entrevistas.

Teoricamente, esta pesquisa fundamentou-se em investigações referentes à reflexão sobre a

prática, sobretudo, em estudos de Schön e Zeichner. Os resultados da análise dos dados

apresentados revelaram que os participantes passaram a valorizar mais a análise das

estratégias de seus alunos; utilizaram-se de diferentes procedimentos metodológicos em suas

aulas e ampliaram seus conhecimentos sobre o currículo. Entretanto, não se deve

desconsiderar que a (re)significação dos conhecimentos docentes demanda de um longo

período de tempo e que as mudanças na prática ocorrem gradativamente. Nota-se que

estudos e reflexões realizadas num grupo no qual participam professores da mesma escola

favorece a aproximação entre os aspectos teóricos e a realidade da sala de aula. As

discussões coletivas contribuíram para saída do isolamento da sala e aumento da

corresponsabilidade para que as mudanças quando ocorressem fossem de forma mais

consciente.

Introdução

Consideramos como relevância, constituir no interior da escola grupo de estudos, no qual

professores que lecionam Matemática para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental possam

deixar de exercer a função docente de forma solitária na sala de aula e tenham momentos de

reflexões sobre sua prática. Acreditamos que isso favorece a (re)significação de

conhecimentos profissionais sobre os conteúdos e seu ensino. Partindo desses princípios, foi





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constituído um grupo para estudar e discutir sobre o tema Números Operações e seus

significados. Procuramos a partir da proposição da utilização de materiais manipuláveis para

o ensino, problematizar e refletir sobre a prática dos participantes considerando os

pressupostos que envolvem o currículo. Neste artigo apresentamos resultados parciais dos

estudos sobre o tema fração e, focamos em uma das sessões que analisava as possibilidades

de intervenção utilizando como recurso o Tangram.

Relevância e fundamentação teórica

A proposta de constituir grupos de estudos no interior da escola permite ao profissional a

oportunidade de refletir sobre suas práticas e (re)significá-las. Sousa Miranda (2014), ao

investigar um grupo formado na própria escola observa que a medida que esses grupos vão

se constituindo dentro das unidades de ensino há maior interação entre os docentes,

promovendo assim as trocas de experiências e ampliação das reflexões e discussões sobre

seus fazeres pedagógicos. Para a autora esses momentos de trocas entre os pares possibilitam

ao profissional participante repensar sobre quais são os conhecimentos pedagógicos

necessários para sua atuação docente, para que possa compreender o currículo, os materiais

de apoio currícular e sobretudo analisar quais são os conhecimentos dos alunos e quais

estratégias usam para resolverem as atividades propostas. Moraes e Gomes (2004, p. 210)

também reforçam que a constituição de um grupo de estudos no interior da escola deve

priorizar as necessidades dos professores, considerando que “(…) parta do coletivo da escola.

Nessa situação existirá na escola um clima positivo para uma reflexão conjunta sobre o

currículo e sua reconstrução”.

Quando pensamos em criar, no grupo de estudos, momentos de reflexões sobre as práticas e

sobre o currículo precisamos levar em conta o que Zeichner (1993, p. 21) considera sobre a

relação das práticas dos professores com as teorias.

A prática de todo professor é o resultado de uma ou de outra teoria, que ela seja

reconhecida ou não. Os professores estão sempre a teorizar, à medida que são

confrontados com vários problemas pedagógicos, tais como a diferença entre suas

expectativas e os resultados.

Ressaltamos como importante dar voz ao professor para que ele, no interior do grupo, tenha

liberdade de expressar suas necessidades e comunicar suas fragilidades em relação a sua

formação docente, permitindo que de forma coletiva seja possível refletir e, buscar, em

colaboração com os colegas, apoio teórico. Isso favorecerá a melhor compreensão das


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propostas curriculares, bem como entender como os conteúdos são tratados ampliando seu

conhecimento para o ensino. Concordamos com Ball, Thames e Phelps (2008) ao afirmarem

que os conhecimentos que os professores têm sobre o conteúdo e ensino de matemática

refletem na qualidade do aprendizado dos alunos. Em relação ao maerial curricular,

entendemos que para trabalhar de forma a possibilitar o aprendizado dos alunos é de

fundamental importância que o professor tenha compreensão das noções matemáticas

relacionadas ao tema tratado. Ter o conhecimento do conteúdo é importante para atividade

docente, uma vez que lhe permitirá propor atividades desafiadoras, fazer intervenções para

que os alunos reflitam sobre os saberes matemáticos e desenvolvam habilidades relacionada

ao tema abordado.

Em relação ao ensino de fração nos Anos Inicias do Ensino Fundamental pesquisas como as

de Behr, Harel, Post, Lesh (1992) já indicavam que no universo científico existia um

consenso de que as construções de conceitos ligados aos Números Racionais apresentavam

algumas fragilidades. No Brasil, Garcia Silva (2007) destaca que resultados do Sistema de

Avaliação da Educação Básica - SAEB (2001) considerou importante repensar sobre o ensino

dos números fracionários.

Deve-se considerar que os números fracionários precisam ser mais bem

explorados, especialmente em situações práticas, de modo a adquirir significado

pelos alunos. É importante, na 4ª série do Ensino Fundamental, trabalhar o conceito

de fração, explorando suas diferentes possibilidades, inclusive relacionando

representações fracionárias e decimais (1/2 = 0,5), do que lidar com a memorização

de procedimentos (BRASIL, p.30)

Levando em conta tais resultados e, considerando que os estudos realizados nos grupo

constituído na escola deve atender as necessidades expressadas pelos próprios professores ou

demandas que a escola encontra-se em dificuldade para atender, procuramos olhar para os

resultados do Sistema de Avaliação de Rendimento do Estado de São Paulo - SARESP (2016)

da escola. A Secretaria da educação utiliza a Plataforma Foco Aprendizagem, na qual

disponibiliza os dados da escola, 5º Ano, em relação ao desempenho de Matemática e Língua

Portuguesa. A análise desses dados mostram que houve fragilidades no processo de

construção das habilidades H4 e H7, as duas relacionadas aos Números Racionais: identificar

diferentes representações de um número racional; relacionar a fração decimal correspondente

a um número decimal e vice-versa.


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Figura 1: Dados das habilidades prioritárias de Matemática (2016) da escola investigada extraídos da

Plataforma Foco Aprendizagem.

Estudos como os de Garcia Silva e Alves (2014), mostram que isso não ocorre só nesta escola.

Os autores investigaram a compreensão de estudantes do sexto ano (crianças com 1 ano a

mais do que as que foram analisadas pela Secretaria em 2016) em relação a situações

apresentadas no SARESP de anos anteriores que versavam sobre os diferentes significados

de frações. Analisaram os dados coletados em um questionário e em entrevistas e detectaram

que os estudantes apresentaram estratégias procedimentais sem compreender as ideias que

envolviam a representação parte-todo. Nesse sentido, consideramos ser importante discutir e

refletir, com os professores participantes neste estudo, tanto sobre as ideias envolvidas na

relação parte-todo da fração, como estabelecer relações entre as suas diferentes

representações.

Procedimentos Metodológicos

Trata-se de uma pesquisa qualitativa, na qual participam professores que lecionam

Matemática para os anos iniciais em uma escola pública estadual localizada na Zona Norte

da cidade de São Paulo - Brasil. A escola conta com 20 professores e embora todos tenham

sido convidados a participar desta investigação, por motivos diversos o grupo está constituído

por 15 professores. Os dados são coletados coletados de diferentes formas: videogravações

em áudio e vídeos das discussões e reflexões realizadas pelo grupo para posteriores

transcrições, registros escritos dos professores e das atividades realizadas nas sessões de

estudos com o grupo.

Análise dos dados

Foram realizadas oito sessões de estudos com o grupo sobre o uso do Tangram como um

recurso possível para trabalhar neste segmento de ensino. Neste trabalho apresentaremos


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resultados de análises da quarta sessão de estudos, na qual discutimos sobre as possibilidades

de trabalho com o material e utilizamos da relação parte-todo para discutir a ideia de

comparação para medir a área do Tangram, além disso analisamos diferentes representações

da fração – porcentagem e números decimais.

Nesta sessão entregamos um Tangram de sete peças para cada professor. Cinco peças com a

base triangular: duas bases formadas por triântulos grandes (A) e (B), uma triângulo médio

(C), e duas por triângulos pequenos (E) e (F). Uma peça com base formada por um quadrado

(D), e uma por um losango (G). Combinamos com o grupo que classificaríamos as peças de

acordo com sua base. A fim de explorar um pouco mais o material, solicitamos aos

professores a montagem do Tangram com as sete peças.

Durante a montagem do quebra-cabeça percebemos que os professores tinham pouca

habilidade para realizar essa tarefa. Nesse momento foi preciso estimular algumas reflexões

com o grupo.

Pesquisadora-Você já colocou o triângulo (A). Agora tente sobrepor as peças para

verificar quantas cabem.

P9- Cabe só um triângulo médio e sobra espaço.

Pesquisadora- E se ele [referindo-se a peça C] for colocado em outra posição?

P9- Já virei não cabe mais que um, porque não tem outra peça com o formato que sobra

no triângulo grande.

P7- Ah! Consegui. Cabem dois triângulos médios.

P9- Eu não tinha visualizado dessa forma para colocar esse triângulo menor assim.

Estava sempre tentando encaixar o triângulo médio considerando a ponta do triângulo

[referindo-se ao vértice da peça A]. Olhando pra ele de frente.

P11- Agora consigo encaixar as peças.

Por meio desses depoimentos o grupo refletiu sobre o fato de que, muitas vezes na escola

apresentamos uma figura geométrica para os alunos sempre na mesma posição e poucas são

as atividades nas quais os alunos têm a oportunidade de explorar. O grupo chegou à conclusão

do quanto é importante trabalhar com material manipulativo para a compreensão desse tipo

de conceito na sala de aula.

P6-Não estamos acostumados a manusear essas figuras, por isso não conseguimos pensar

nas posições possíveis para encaixarmos as peças.

P4- Para montar esse quebra-cabeça é preciso visualizar mentalmente o inteiro, para

pensarmos em como encaixarmos as peças.

P5- No material do EMAI tem atividades com Tangram. Aplico com os alunos, mas nunca

dei muito tempo para resolverem nem fiz intervenções, considerava uma atividade fácil.

As discussões exibidas aqui, nos dão indícios que a proposta de montar esse quebra cabeças

ajudou os participantes a compreender a importância da proposição de atividades de


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composição e de decomposição, promoveu também a reflexão sobre a prática de sala de aula

(Schön, 1987). Isso gerou novos questionamentos, sobretudo, acerca de como as atividades

com Tangram, propostas no material de apoio ao currículo, são realmente trabalhadas na sala

de aula, uma vez que atividades com este quebra-cabeça são sugeridas nos cinco primeiros

anos do Ensino Fundamental.

P 8 - A gente trabalha, mas só com formação de figuras, como por exemplo, coelho,

soldado, homem e outras.

Pesquisadora – Esta atividade de composição de figuras é trabalhada na sala de aula de

forma a explorar os conceitos matemáticos, como por exemplo, o conceito parte-todo, a

comparação entre as áreas?

P9- Sempre deixo as crianças brincarem montarem as figuras.

P4- Na verdade eu seguia as instruções do material, mas não fazia nenhuma discussão

com o aluno, pois não tinha esses conhecimentos.

P9- Nunca trabalhei com área com o Tangram.

Essas discussões nos permitem compreender que por mais elaborado que seja um material de

apoio ao currículo, se o professor não tiver espaço para discutir e refletir sobre os propósitos

de cada situação as atividades podem até serem apresentadas de forma diferenciada e

envolver o lúdico, mas, do ponto de vista do ensino, pode perder sua essência. Além disso,

compartilhamos com as ideias de Schön (1987) ao considerar que ser reflexivo é muito mais

do que descrever o que foi feito em sala de aula – pressupõe também um questionamento

sobre situações práticas, e isso ocorreu aqui. Pensando em oportunizar no grupo situações

nas quais os professores pudessem pensar sobre o conceito de área solicitamos algumas

reflexões. Tomando como referência o Tangram inteiro solicitamos que os professores

fossem sobrepondo as peças para verificar quantas cabiam. Entendemos como Bolzan (2002,

p.63), que esses conhecimentos discutidos no grupo permitem ao professor (re)significar seus

saberes docentes “construção compartilhada de conhecimento favorece a autonomia dos

participantes, possibilitando a eles irem além do que seria possível, se estivesse trabalhando

individualmente”. No diálogo a seguir podemos ter ideia de tais reflexões:

Pesquisadora- Para formar o quadrado do Tangram inteiro eu preciso de quantas peças

desse tipo [apontando as peças com base triangular grandes (A) ou (B])?

P4- Preciso de 4 Triângulos grandes.

Pesquisadora: Qual é a fração que representa essa parte que é tomada do Tangram inteiro,

que representa o todo?

P10- ¼.

Pesquisadora- Agora use como medida o Triângulo médio (C). Em relação ao todo qual

sua representação fracionária?

Durante os estudos fomos percebendo o quanto os questionamentos se fizeram necessários

para que a atividade fosse concluída, isso ajudou o grupo a pensar sobre o papel da mediação


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do professor. Nem sempre o aluno irá conseguir realizar a atividade sozinho, as intervenções

dos professores os auxiliam a pensar sobre as suas estratégias e solucionar o problema. Em

alguns momentos foi preciso intervir, por exemplo, sugerir que ao tomar como referência a

peça com formato triangular grande (A) ou (B) seria possível medir e observar que, ao traçar

a diagonal do quadrado formado pelas 7 peças do tangram, há uma simetria entre os dois

que lhes permite visualizar o todo e calcular a quantidade de peças que cabem no inteiro.

P11- Quando percebi que no triângulo (A) ou (B) cabem 4 triângulos (E) ou (F) entendi

porque os triângulos pequenos podem ser representados pela fração 1/16. Isso vai me

ajudar a ensinar os meus alunos.

P15: Se em cada triângulo grande (A) ou (B) cabem 4 pequenos, então cabem 16 pequenos

no quadrado grande do Tangram. Assim escrevo 1/16.

Figura 2: Comparação de área das figuras

Esse depoimento do professor P11, reafirma nossa concepção de que o professor não pode

ter apenas o conhecimento básico sobre o que se pretende ensinar é necessário um

conhecimento mais aprofundado que lhe permita realizar intervenções durante a atividade

para que o aluno possa compreender e justificar matematicamente suas representações. Ao,

final os professores registraram suas “descobertas” relativas a números racionais.

Figura 23 Apresentação da construção conjunta dos conhecimentos sobre fração com uso do Tangram.

É possível perceber que os professores registraram na lousa suas descobertas a respeito das

frações que representavam cada peça decomposta, em seguida, por meio da adição

compuseram o inteiro novamente. Nesse sentido, percebemos que o emprego do Tangram

permitiu a (re)significação dos conhecimentos das participantes no tocante a grandezas e

medidas e números e operação. Eles puderam desenvolver estratégias de medidas por meio


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da comparação parte-todo, relacionaram a fração que a peça representava a outras

representações dos números racionais. Observamos que nesse episódio que as representações

fracionárias, foram construídas conjuntamente entre os participantes, pudessem estabelecer

maior relação entre a matemática, materiais curriculares e os procedimentos de ensino.

Entendemos que as vivências desses professores no grupo podem contribuir para que haja

mudanças na prática. Nesse sentido, observamos aqui alguns dos pressupostos descritos por

Zeichner (1993), que considera que à medida que o professor reflete sobre a sua prática

coletivamente, vão ocorrendo análises, críticas, reestruturação e incorporações de novos

conhecimentos que poderão respaldar ações pedagógicas posteriores. Vale ressaltar que

nossa investigação ocorre num cenário de implementação curricular e que demanda reflexões

e discussões em grupo para poder compreender os conteúdos e concepções didáticas que

estão sustentando o currículo e os materiais propostos. As ideias de Imbernón (2006, p. 49)

corroboram com nossos estudos, ao afirmar que a formação permanente deve “abandonar o

conceito obsoleto de que a formação é a atualização científica, didáticos e psicopedagógica

do professor para adotar um conceito de formação que consiste em descobrir, organizar,

fundamentar, revisar e construir a teoria”.

Considerações Finais

As análises aqui realizadas indicam que, no geral, houve a (re)significação dos

conhecimentos docentes em relação ao uso do Tangram como instrumento para trabalhar e

ampliar o conceito de parte-todo e diferentes representações fracionárias por meio da

comparação de áreas. Os participantes perceberam, também que o material de apoio ao

currículo oferta atividades com esse jogo e que as abordagens dos professores ainda eram

superficiais. Observaram que as vivências no grupo, despertaram um olhar sobre os próprios

conhecimentos profissionais e indicaram que esses estudos auxiliam na forma de ensinar.

Assim, compreender porque fazem uma representação de fração e conseguir justificar para o

aluno, permite ao professor reelaborar suas intervenções durante o ensino e fazer escolhas

metodológicas que favorecem o aprendizado dos alunos. Todavia pudemos perceber que os

professores, desenvolveram no interior do grupo, enquanto estudavam o Tangram, o que

Zeichner (1993) chama de um processo que envolve intuição, emoção e paixão e isso ampliou

sua capacidade de reflexão


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Behr, M. J.; Harel G., Post. T.; Lesh, R. (1992). Rational number, ratio and proportion. In:

Grouws, D. A. (Ed). Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York:

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Ball, D. L.; Thames, M. H.; Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: what makes

it special? Journal of Teacher Education, Pennsylvania, v. 59, n. 5, p. 389-40.

Bolzan, D. P. V. (2002) Formação de professores: compartilhando e reconstruindo

conhecimentos. Porto Alegre: Mediação.

Garcia Silva, A. F.(2007). O desafio do desenvolvimento profissional docente: Análise da

formação continuada de um grupo de professores das séries iniciais do Ensino Fundamental,

tendo como objeto de discussão o processo do ensino e aprendizagem de frações. Tese

Doutorado em Educação Matemática – PUC São Paulo, São Paulo.

Miranda, M. S. (2014) Uma investigação sobre a (re)construção do conhecimento de

professores participantes de um grupo que estuda o campo conceitual aditivo. São Paulo:

UNIAN, 2014, 206 f, Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Programa de Pós-

Graduação em Educação em Educação Matemática, Universidade Anhanguera, São Paulo.

Imbernón, F. (2006). Formação docente e profissional. Formar-se para a mudança e

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Schön, D. (1983). The reflective practitioner – how professionals think en action. London:

Temple Samith.

Zeichner, K. M. (1993) A formação reflexiva de professores: ideias e práticas – Educa

professores.


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CB-1.320

HACIA UNA DIDÁCTICA INTERDISCIPLINAR: PROPUESTA DE ENSEÑANZA

DE LAS MATEMÁTICAS Y LA GEOGRAFÍA E HISTORIA PARA UNA

CIUDADANÍA GLOBAL.

Javier García Ruiz – Clara Díaz-Salazar De La Flor


Tutorasap, España

Núcleo temático: VI. Matemáticas y su integración con otras áreas.

Modalidad: CB

Nivel educativo: Medio o Secundario (12 a 15 años)

Palabras clave: Interdisciplinar, Secundaria, Intercultural, Didáctica.

Resumen

Este trabajo surge de la necesidad de que el alumnado aprenda a integrar el conocimiento

matemático y humanístico dentro del aula, buscando los puntos de acercamiento y conexión

entre ambas ramas de conocimiento. A través de esta propuesta de Programación Anual

Interdisciplinar se profundiza en la posibilidad de enseñar conjuntamente las asignaturas de

Matemáticas y Geografía e Historia de 1º de Secundaria. Una parte de este proyecto fue

implementado en las aulas cooperativas del Centro de Formación Padre Piquer de Madrid

en el año 2016. Mediante el aprendizaje significativo crítico, el alumnado puede reflexionar

sobre su propio aprendizaje y sobre la necesaria interrelación entre ambas disciplinas,

especialmente en el desarrollo de las Primeras Civilizaciones y el estudio de la Geografía.

La propuesta de Programación Anual Interdisciplinar integra de manera transversal la

problemática medioambiental y el estudio de otras civilizaciones de diversos continentes

para promover una ciudadanía global consciente, reflexiva y comprometida.




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Actualmente el conocimiento matemático y humanístico se presentan en los centros

educativos en forma de asignaturas estancas y separadas. El currículo oficial y los libros de

texto nos muestran una visión del mundo demasiado uniforme, cuando los fenómenos

sociales a lo largo de la Historia han estado conectados a la evolución científica y matemática.

Nuestra propuesta educativa se conecta con el proyecto internacional Big History que

promueven diversas Universidades, entre las que destaca la de Harvard

(www.bighistoryproject.com). Pensamos que es necesario que el alumnado se aproxime al

conocimiento matemático y humanístico de manera integrada, buscando los puntos de

conexión y acercamiento.

Francisco Fernández Buey (Fernández Buey, 2013) diferencia dos grandes culturas, la

Científico-matemática y la Humanística, que deben necesariamente confluir hacia una

Tercera cultura que integre ambas disciplinas proporcionando a la sociedad una visión más

completa y realista de la misma. Basándonos en esta premisa, planteamos una Programación

Anual que consolide un aprendizaje completamente interdisciplinar que lleve al alumnado a

desarrollarse en la Tercera cultura.

Nuestro proyecto tiene el objetivo fundamental de integrar el currículo de 1º de Secundaria

de Matemáticas con el de Geografía e Historia apoyándose en temas transversales como la

ecología, la igualdad de género y el conocimiento de culturas asiáticas, africanas y

latinoamericanas. Las Matemáticas son la herramienta vehicular que agrupa al resto de las

disciplinas en nuestra propuesta didáctica. Aprovechamos la enseñanza de la Prehistoria y la

Historia Antigua presentes en el currículo de 1º ESO para mostrar la importancia de las

Matemáticas en el desarrollo de las primeras civilizaciones mundiales en los cinco

continentes. Además, nos valemos de las Matemáticas para que los alumnos se aproximen al

estudio de la Geografía de manera más empírica y rigurosa.

Nuestra Programación Anual tiene su base legal en el Preámbulo del Real Decreto 1105/2014,

de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria

Obligatoria y del Bachillerato. En este documento se especifica que es preciso favorecer una

visión interdisciplinar, permitiendo agrupar de diferentes maneras los elementos curriculares


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para favorecer el aprendizaje del alumnado. Utilizando las cláusulas del Real Decreto

reordenamos los contenidos de tal forma que integramos las Matemáticas en el currículo de

Historia y Geografía.

Hemos pretendido fomentar el sentimiento de globalidad del Big History Project añadiendo

contenidos que no se encuentran en el currículo oficial: las civilizaciones fluviales de China

e India y algunas civilizaciones de Oceanía y América. Esta inclusión se justifica, a su vez,

en la importancia que tuvieron las matemáticas en el desarrollo de estas civilizaciones.

Además, hemos concedido especial relevancia a los problemas medioambientales, añadiendo

a cada unidad didáctica el análisis de distintos estudios de caso.

A continuación, se muestra la división de los contenidos curriculares de Matemáticas y

Geografía e Historia en 1º de Secundaria en 6 Bloques diferenciados. En el primero de ellos

se estudiarán los contenidos matemáticos necesarios para analizar de manera rigurosa la

problemática medioambiental. Los últimos cuatro bloques se estructuran en función del

continente cuya cultura y civilización se vayan a estudiar.

Bloques Unidades Didácticas

NUESTRO PLANETA

1. ¿Hemos destruido el Planeta?

2. El nacimiento de la Tierra

3. Unos homínidos con futuro

PREHISTORIA 4. Paleonúmeros: la necesidad de contar.

5. Números Negalíticos y Edad de los Metales

ASIA Y OCEANÍA

6. Los padres de la escritura

7.Triángulos y ecuaciones en la China milenaria

8. El cero a las orillas del Ganges

ÁFRICA 9. La necesidad de partir en Egipto

AMÉRICA 10. ¿El número π en el códice Maya?


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EUROPA

11. Pueblos del Mediterráneo

12. Polisgonos griegos

13. Roma. Se respira esplendor en la geometría de

sus calles

14. La Hispania proporcional

Metodología

Para llevar a cabo esta Programación Didáctica en las aulas hemos considerado esencial

aplicar los principios del “aprendizaje significativo crítico” desarrollados por Marco Antonio

Moreira (Moreira, 2005) al propiciar el cuestionamiento y la reflexión continua sobre el

propio aprendizaje y el conocimiento. A su vez, hemos convertido metodologías puramente

matemáticas en herramientas para el aprendizaje interdisciplinar tales como la teoría de la

Pirámide de la Educación Matemática desarrollada por Ángel Alsina (Alsina i Pastells, 2010)

o el arte de preguntar de Jose Antonio Fernández Bravo (Fernández Bravo, 2011).

En Matemáticas, es necesario dominar el arte de preguntar, partiendo siempre del lenguaje

del alumno, como modelo de duda, desafío y camino de comprensión para el aprendizaje;

conduciendo al alumno mediante ejemplos y contraejemplos que fomenten la discusión y el

diálogo, para que sea él quien advierta con claridad el acierto o error cometido. Los egipcios

desarrollaron las matemáticas como un medio de respuesta a los interrogantes relacionados

con su realidad.

Los alumnos no son meros receptores del conocimiento, sino que tienen un papel muy activo

al ser perceptores y representadores del mundo. Muchas de las actividades son de tipo

vivencial y están orientadas a que ellos mismos reflexionen sobre el conocimiento presentado

y lleguen a sus propias conclusiones. De esta manera, el profesor no se presenta como el

principal transmisor del saber.

Como hemos indicado anteriormente, utilizamos de manera interdisciplinar la Pirámide de

Alsina para los conocimientos que se ven por primera vez. Consideramos que los conceptos


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históricos son, al igual que en matemáticas, abstractos y complejos y que deben ser tratados

desde este enfoque. Partiremos de los conocimientos que van a ver por primera vez y los

relacionaremos con aspectos de la vida cotidiana del alumno. A continuación, utilizando

materiales manipulativos o vivenciales, fomentaremos que el alumno entienda el

funcionamiento de la situación y sus variantes. Mientras tanto, estimularemos su

conocimiento mediante preguntas que guíen y orienten su aprendizaje, aceptando que el error

forma parte del proceso del saber y utilizándolo como herramienta para afianzar el proceso

de aprendizaje. Una vez completada esta fase, mediante técnicas de aprendizaje lúdicas,

trabajamos la fase de memorización de tal forma que estimulemos al alumno a hacer

ejercicios repetitivos. Por último, tratamos la fase en la cual el alumno reflexiona sobre lo

aprendido y es capaz de sacar sus propias conclusiones.

Es conveniente que en el aula convivan tanto el profesor de Matemáticas como el de

Geografía e Historia. Dos de las Unidades Didácticas de esta Programación fueron

implementadas en las aulas cooperativas de 1º de Secundaria del Centro de Formación Padre

Piquer en el curso escolar 2015-2016. Esto fue posible ya que en sus aulas cooperativas

trabajan dos o más docentes de forma simultánea. Este hecho facilita que se resuelvan dudas

y comentarios de ambas disciplinas y da versatilidad a las sesiones. Es necesario que el

alumnado sea consciente de la perfecta comunión entre las dos asignaturas.

Con la misión de cumplir con los requisitos de un aprendizaje significativo crítico y de

orientarlos hacia una didáctica interdisciplinar fue necesario utilizar recursos propios del

trabajo cooperativo, materiales lúdicos y el uso de las TICS. Todo ello queda recogido en dos

guías de texto, una para el profesorado y otra para el alumnado. En la Guía del Profesor se

recogen todos los materiales utilizados en las aulas y se orienta al profesorado en el uso de

las prácticas interdisciplinares, métodos de evaluación, currículo tratado en cada Unidad

Didáctica, material audiovisual necesario, recursos didácticos como Geoplanos, Dominós,

ABP, 1-2-4, Flipped-Classroom y Paisajes de aprendizaje. A su vez, la Guía del Alumnado

cuenta con ilustraciones y una narrativa basada en el story-telling. El uso de retos

matemáticos diluidos en conceptos geográficos e históricos logra romper las barreras

curriculares y propicia un entendimiento amplio y concreto de la realidad vivida entonces.


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A continuación, se muestran tres apartados-modelo correspondientes a las Unidades

Didácticas tituladas: “Roma. Se respira esplendor en la geometría de sus calles” (Bloque

Europa) y “La necesidad de partir en Egipto” (Bloque África).

Bloque Europa: “Roma: Se respira esplendor en la geometría de sus calles”

La actividad tiene como objetivo fundamental aprender el urbanismo típico de las ciudades

romanas a través del estudio de la geometría. La Historia de la Antigua Roma se concibe

como soporte narrativo al estudio práctico de la geometría ya que, en esa época, la geometría

y el urbanismo eran indisolubles. A través del uso de geoplanos, el alumnado podrá diseñar

su propia ciudad romana cual si fuera un arquitecto de la época. El aprendizaje a través de

recursos manipulativos y del story-telling permite profundizar en la adquisición de dichos

conceptos al acercarles a la realidad histórica y matemática de manera más vivencial.

(Actividad desarrollada en Anexo 1)

Bloque África: “Egipto: La necesidad de partir”

Las dos actividades incluidas en el Anexo 2 tienen como fondo geográfico el continente

africano y como fondo histórico la civilización egipcia. En el primer ejemplo seleccionado,

utilizamos un reto matemático para aprender los accidentes geográficos del continente. En el

segundo ejemplo, nos servimos de la figura de los agrimensores egipcios para estudiar el

concepto de fracción. Los agrimensores egipcios eran los encargados de dividir las tierras no

inundadas por el Nilo para repartirlas.

Conclusiones

La propuesta que presentamos es un ejemplo de las posibles colaboraciones entre disciplinas

que se necesitan unas a otras. Creemos que una Programación Anual de estas características

permite abordar temas esenciales para el desarrollo íntegro del alumnado hacia una Tercera

Cultura sin abandonar las cuestiones curriculares (medioambiente, igualdad de género,

justicia social, ciudadanía global y aprendizaje significativo crítico). Para ello, es necesario

el compromiso y la flexibilidad por parte de los centros educativos a nivel organizativo, de


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gestión y de formación al profesorado. La experiencia vivida en el Centro de Formación

Padre Piquer nos ayudó a mejorar y corregir errores de la primera propuesta. Fuimos

conscientes de la cantidad de recursos materiales y temporales para la correcta

implementación de la Programación Anual Interdisciplinar.

Referencias Bibliográficas

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para ayudar a desarrollar la competencia matemática. Revista Aula de Innovación

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Riechman, J. (2001). Colisión de tiempos. La crisis ecológica en su dimensión temporal.

Mientras tanto, 95-115.


ISBN 978-84-945722-3-4

ANEXO 1: BLOQUE EUROPA: “Roma. Se respira esplendor en la geometría de sus

calles”

¡Vamos a construir una ciudad típica romana!

El Senado de la República romana os ha encargado la fundación de

una nueva ciudad en Tarraco (Hispania) para asentar allí a

legionarios veteranos que han finalizado su servicio militar.

¿Dónde está Hispania? ¿Y Tarraco? ¿Qué otras provincias romanas

existían?

Observa esta imagen detenidamente:

A continuación, responde a las siguientes preguntas:

¿Qué representa la imagen? ¿A qué restos arqueológicos

corresponde?


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¿Qué figuras geométricas aprecias en la misma?

¿Tienen todas las figuras geométricas la misma superficie?

¿Qué tipos de ángulos distingues en la imagen?

DISeÑA un plano de una ciudad romana para que luego sirva de guía

en la construcción.

Pon nombre a aquellos aspectos o elementos del urbanismo romano

que reconoces.

Combina TUs Geoplanos de la manera que crEAs conveniente para

edificar TU ciudad romana sobre ellos.


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ANEXO 2: “BLOQUE ÁFRICA: LA NECESIDAD DE PARTIR EN EGIPTO”

Geografía Africana

Civilización egipcia: Agrimensores y Fracciones


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CB-1.321

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CRIATIVIDADE: UMA ABORDAGEM A

PARTIR DA PERSPECTIVA DE SISTEMAS DE CRIATIVIDADE Cleyton Hércules Gontijo

[email protected]

Universidade de Brasília - Brasil

Tópico: Investigação em Educação Matemática

Nível: Sem especificar

Modalidade: Comunicação Breve

Palavras-chave: Criatividade em Matemática, Resolução de problemas, Formulação de

problemas

Resumo Atualmente a área de educação matemática apresenta-se consolidada, fruto das pesquisas

acadêmicas feitas principalmente a partir da década de 1980, quando novos paradigmas

para o processo de ensino e aprendizagem da matemática passaram a ser discutidos no

mundo inteiro. Entretanto, as pesquisas que tratam da criatividade no campo da matemática

ainda se encontram em fase de consolidação e de formação de uma comunidade de

investigação nessa área. Este trabalho busca discutir o tema criatividade em matemática a

partir da Perspectiva de Sistemas para o estudo da criatividade, de Mihaly Csikszentmihalyi.

Essa perspectiva foi escolhida por apresentar uma abordagem que permite compreender a

criatividade como o resultado da interação entre três sistemas: a pessoa (com o seu

background genético e suas experiências pessoais), o domínio (representado pela cultura e

pela produção científica) e o campo (representado pelo sistema social).

1 Introdução

O campo de pesquisa em criatividade ainda é considerado muito novo e, em função

disso, diversas concepções sobre o que é criatividade têm sido apresentadas. No senso

comum, há certa concordância de que a criatividade é necessária, sobretudo à vida moderna

e ao mundo do trabalho, e que, portanto, a escola precisa favorecer o desenvolvimento de

habilidades criativas nos estudantes. Do ponto de vista das pesquisas acadêmicas,

principalmente no campo da psicologia, já existe um consenso de que a criatividade se refere

a algo novo, útil e de valor. Segundo Alencar e Fleith (2003a, p. 13), “pode-se notar que uma

das principais dimensões presentes nas diversas definições de criatividade implica a

emergência de um produto novo, seja uma idéia ou uma invenção original, seja a

reelaboração e o aperfeiçoamento de produtos ou idéias já existentes”.


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Sternberg e Lubart (1999) enfatizam que para compreender a criatividade é necessária

uma abordagem multidisciplinar, pois estudos isolados proverão apenas uma visão parcial e

incompleta do fenômeno. Para Alencar e Fleith (2003b, p. 2), “para se compreender porque,

quando e como novas ideias são produzidas, é necessário considerar tanto variáveis internas

quanto variáveis externas ao indivíduo”.

Como o interesse do presente estudo é apontar elementos que podem ser agregados

ao estudo da criatividade no processo de ensino e aprendizagem da matemática, interessa-

nos não o produto criativo ou o sujeito em particular, mas de que forma os professores, alunos

e os saberes matemáticos se articulam no processo de produção criativa. O foco da presente

análise é o processo criativo situado em um dado domínio, a matemática, e em determinado

espaço, a escola. Nesse sentido, elegemos a Perspectiva de Sistemas, de Csikszentmihalyi,

que oferece elementos para se compreender esse processo considerando fatores contextuais.

2 A criatividade matemática sob a Perspectiva de Sistemas

Inicialmente, destacamos a nossa compreensão acerca do que é criatividade em

matemática, tomando como referência o conceito apresentado por Gontijo (2007, p. 37), que

a definiu como

a capacidade de apresentar inúmeras possibilidades de solução apropriadas para

uma situação-problema, de modo que estas focalizem aspectos distintos do

problema e/ou formas diferenciadas de solucioná-lo, especialmente formas

incomuns (originalidade), tanto em situações que requeiram a resolução e

elaboração de problemas como em situações que solicitem a classificação ou

organização de objetos e/ou elementos matemáticos em função de suas

propriedades e atributos, seja textualmente, numericamente, graficamente ou na

forma de uma seqüência de ações.

Ressalta-se que a capacidade criativa em Matemática também deve ser caracterizada

pela abundância ou quantidade de idéias diferentes produzidas sobre um mesmo assunto

(fluência), pela capacidade de alterar o pensamento ou conceber diferentes categorias de

respostas (flexibilidade), por apresentar respostas infreqüentes ou incomuns (originalidade)

e por apresentar grande quantidade de detalhes em uma idéia (elaboração). Assim, para

estimular o desenvolvimento da criatividade, deve-se criar um clima que permita aos alunos

apresentar fluência, flexibilidade, originalidade e elaboração em seus trabalhos (Alencar,

1990).


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O conceito de criatividade em matemática apresentado por Gontijo (2007) centra-se

na atividade do indivíduo. Entretanto, Csikszentmihalyi (1988, 1999a, 1999b), considera que

a criatividade não é o resultado apenas de uma ação individual, mas emerge da interação

entre indivíduo e ambiente sócio-histórico-cultural. Segundo o autor, a criatividade depende

mais do contexto social e cultural do que do indivíduo, embora considere que diferenças

genéticas e experiências pessoais possam estar envolvidas, mas que não são determinantes.

Nesse sentido, o autor apresentou a Perspectiva de Sistemas, que admite a importância de

características individuais na determinação sobre a produção criativa, porém, associa a ela,

dois outros elementos que juntos propiciarão a sua realização. Na proposta de

Csikszentmihalyi, a criatividade é considerada como resultante da interação de três sistemas:

indivíduo (bagagem genética e experiências pessoais), domínio (cultura e produção

científica) e campo (sistema social). Vejamos como estes sistemas se constituem e como

podemos pensar a criatividade em matemática a partir deste modelo.

2.1 Domínio

O domínio é um corpo de saberes formalmente organizado que está relacionado a

uma determinada área do conhecimento. Alencar e Fleith (2003b, p. 6), ao analisar este

sistema na obra de Csikszentmihalyi, dizem que “o domínio consiste de um conjunto de

regras e procedimentos simbólicos estabelecidos culturalmente, ou seja, conhecimento

acumulado, estruturado, transmitido e compartilhado em uma sociedade ou por várias

sociedades”. Sua função é a preservação dos conhecimentos selecionados por um conjunto

de especialistas (campo) para a transmissão às novas gerações.

A Matemática, tratada aqui como disciplina escolar, se apresenta como uma

importante área do conhecimento que pode contribuir significativamente para o crescimento

pessoal e científico, favorecendo ao indivíduo o desenvolvimento de competências e

habilidades que instrumentalizam e estruturam o pensamento, capacitando-o para

compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, para

argumentar, analisar, avaliar e tirar conclusões próprias, para tomar decisões e fazer

generalizações. Ao mesmo tempo, provê o indivíduo de técnicas e estratégias para serem

aplicadas nas diversas ciências, inclusive, na própria Matemática, contribuindo para o avanço

do conhecimento e para a compreensão e solução dos problemas encontrados no cotidiano.

Como nos diz D’Ambrósio (2001), a Matemática surgiu como “uma estratégia desenvolvida


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pela espécie humana ao longo de sua história para explicar, para entender, para manejar e

conviver com a realidade sensível, perceptível, e com o seu imaginário, naturalmente dentro

de um contexto natural e cultural” (p. 82).

Infelizmente, a forma como o trabalho pedagógico tem sido conduzido nas escolas

tem gerado, nos estudantes, desinteresse e indiferença em relação a este domínio, produzindo

ao longo da história escolar do aluno um sentimento de fracasso e incapacidade para

compreender e resolver problemas matemáticos (Gontijo, 2007). Os sentimentos gerados nos

estudantes têm sido disseminados, constituindo-se representações negativas acerca da

Matemática, sendo tratada como difícil, impossível de aprender, ou ainda, que é somente para

gênios (Gontijo, 2006a).

2.2 Campo

O campo é composto por todas as pessoas que podem afetar a estrutura do domínio.

Sua primeira função é a preservação do domínio como ele é, a segunda função é selecionar

criteriosamente novas abordagens que serão incorporadas ao domínio. Em cada área do

conhecimento ou da produção (artística, cultural, industrial, etc.) existirá um grupo de

especialistas que, em função de suas experiências e conhecimentos, será considerado

competente para a análise e julgamento dos elementos que poderão vir a ser incorporados ao

domínio.

Em Matemática, assim como em outras áreas do conhecimento, o campo é composto

por vários níveis de especialistas, incluindo desde os pesquisadores nas universidades até os

professores que atuam nas escolas de educação básica, isto é, inclui aqueles que estão

produzindo conhecimento e/ou transmitindo-o por meio do ensino em todos os níveis.

Pensando na matemática escolar, voltamos o olhar para o professor que atua com crianças e

jovens. Ele representa os especialistas que organizarão as atividades que lhes possibilitarão

a experiência matemática e a avaliação de suas produções. Assim, as representações e as

crenças que os professores possuem em relação à matemática poderão permitir uma atuação

que favoreça o desenvolvimento da criatividade em matemática, além, é claro, do domínio

teórico que possuem, pois isto lhes dará a possibilidade de ensinar/julgar adequadamente.

Assim, os professores devem desenvolver competências para propiciar um ambiente

adequado para o aprendizado da matemática. Para o desenvolvimento destas competências,

destacamos o papel que a formação inicial e a formação continuada destes profissionais


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exerce em sua conduta em sala de aula. É fundamental que os professores de matemática

tenham uma visão do vem a ser matemática, visão do que constitui a atividade matemática,

visão do constitui a aprendizagem da matemática e visão do que constitui um ambiente

propício à aprendizagem da matemática (D’Ambrósio, 1993). Pois, para a produção

matemática de um estudante ser considerada criativa, ela passará pela avaliação e validação

do professor, que age segundo as suas concepções, crenças, valores e atitudes. Para que a

produção matemática do aluno possa consolidar-se em aprendizagem e expressar a sua

criatividade, faz-se necessário que o trabalho pedagógico desenvolvido nas escolas estimule

os alunos. Para Brousseau (1996), é tarefa do professor buscar a situação apropriada que se

constitua em situação de aprendizagem.

Cropley (1995) identificou alguns comportamentos dos professores que promovem a

criatividade: “(a) incentivar os estudantes a aprender de forma independente; (b) ter um estilo

de ensino cooperativo e socialmente integrador; (c) motivar seus estudantes a dominar o

conhecimento factual para que eles tenham uma base sólida para o pensamento divergente;

(d) não julgar as idéias dos estudantes até que elas tenham sido cuidadosamente trabalhadas

e claramente formuladas; (e) incentivar o pensamento flexível; (f) promover a auto-avaliação

pelos estudantes; (g) oferecer oportunidades para os estudantes trabalharem com uma ampla

variedade de materiais e sob diferentes condições e; (h) auxiliar os estudantes a aprender a

lidar com a frustração e fracasso para que eles tenham a coragem para experimentar o novo

e o incomum”.

Destacamos, entretanto, que os professores terão melhores condições de agir à favor

do desenvolvimento de todas as habilidades dos estudantes se a eles forem propiciadas

condições dignas de trabalho e recursos adequados para organizar o trabalho pedagógico com

a matemática compatíveis com a responsabilidade social de suas ações na construção de uma

sociedade democrática, justa e com igualdade social. Além disso, Nakamura e

Csikszentmihalyi (2003, p. 189) destacam que um matemático potencialmente criativo não

poderá contribuir com algo novo se a sociedade na qual ele vive não lhe providenciar o acesso

aos conhecimentos desenvolvidos no passado ou não lhe oportunizar construir o estado da

arte do seu campo de trabalho.

2.3 Pessoa


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A pessoa é vista por meio de diversos aspectos do seu desenvolvimento e a relação

entre estes e a criatividade. Nakamura e Csikszentmihalyi (2003) analisaram três aspectos da

pessoa criativa: o seu processo cognitivo, a personalidade e os seus valores e motivações e,

destacam que “toda pessoa é potencialmente criativa” (p. 189). Os processos cognitivos

dizem respeito aos processos psicológicos envolvidos no conhecer, compreender, perceber,

aprender etc. Eles fazem referência à forma como o indivíduo lida com os estímulos do

mundo externo: como o sujeito vê e percebe, como registra as informações e como acrescenta

as novas informações aos dados previamente registrados (Alencar & Fleith, 2003a). As

características de personalidade referem-se à curiosidade, independência, autoconceito

positivo, atração por problemas complexos e ausência de medo para correr riscos.

A motivação pode ser descrita pelo interesse, prazer e satisfação pela realização de

uma tarefa. Pode também ser percebida quando o indivíduo busca informações em sua área

de interesse, desenvolvendo assim suas habilidades de domínio. Outra característica

decorrente da motivação é a capacidade de o indivíduo se arriscar e romper com estilos de

produção de ideias habitualmente empregados (Amabile, 2001).

Estas características poderão levar o indivíduo a uma produção criativa, desde que as

condições ambientais favoreçam esta produção. Assim, é importante estar inserido em um

ambiente que estimule a produção criativa, valorize o processo de aprendizagem, ofereça

oportunidades de acesso e atualização do conhecimento, propicie o acesso a mentores e

recursos como livros, computadores etc. Em relação ao modelo proposto, que envolve o

indivíduo, o campo e o domínio, a pessoa tem como função promover variações no domínio.

Carlton (1959 apud Gontijo, 2007, p. 45), ao tratar especificamente de indivíduos

com potencial criativo em matemática, enumera um conjunto de características para

descrever esses indivíduos, que inclui sensibilidade estética para observação de padrões e

relações matemáticas; capacidade de resolver e elaborar problemas que passam

despercebidos por outras pessoas; desejo de trabalhar de forma independente do professor e

de outros colegas; prazer de comunicar ideias matemáticas; capacidade de fazer especulações

ou elaborar mais de uma hipótese para um problema; prazer em acrescentar algo novo a um

conhecimento produzido na sala ou solução diferente a um problema resolvido; prazer em

trabalhar com a linguagem matemática; tendência em fazer generalizações; capacidade de

visualizar uma solução inteira de uma vez; capacidade de apresentar imaginação ao processo


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de produção de ideias matemáticas; convicção de que todo problema deve ter uma solução;

persistência em encontrar soluções para os problemas; manifestação de tédio em relação às

atividades repetitivas; capacidade de realizar várias operações em curto período de tempo,

entre outras.

De acordo Biermann (1985), uma das características mais importantes dos

matemáticos criativos do século XVII ao século XIX foi o fascínio com o universo da

matemática, que refletia uma intensa motivação com os estudos dessa área.

3. Considerações finais

Ressalta-se que o modelo proposto pela Perspectiva de Sistema considera que os

indivíduos, o sistema social e o domínio estão em um processo marcado por uma interação

dialética, o que implica considerar que as ações dos indivíduos e dos representantes do campo

também estão em constante interação, sendo uma afetada pela ação do outro, de modo que

os indivíduos, em função de sua produção e ação, podem interferir nos julgamentos dos

membros do campo e, assim, introduzir modificações no domínio.

Consideramos que a emergência da criatividade no processo de ensino e

aprendizagem da matemática depende da criação de um ambiente propício à atividade

matemática, que estimule a curiosidade e possibilite a efetiva ação do sujeito com os objetos

matemáticos. No meio escolar, professores e estudantes estão em permanente interação, cuja

intencionalidade é, em princípio, a aprendizagem. Essa interação é mediada por um contrato

didático (Brousseau, 2008), no qual ficam explícitas ou implícitas as representações sociais

dos sujeitos sobre a matemática e o seu processo de ensino e aprendizagem. Essas

representações vão determinar as ações dos sujeitos e vão orientar o engajamento destes no

trabalho desenvolvido.

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CB-1.324

EL MODELO DE BARRAS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

ARITMÉTICOS: EL CASO DE LA TRISOMÍA 21 Raquel García Catalán – Elena Gil Clemente


Universidad Pública de Navarra – Universidad de Zaragoza, España.

Núcleo temático: La resolución de problemas en matemáticas

Modalidad: CB.

Nivel educativo: Educación Primaria

Palabras clave: Resolución de problemas, Educación Especial, Formación profesorado,

Aritmética

Resumen El modelo de barras, que se utiliza en las escuelas primarias de Singapur, propone la

utilización de diagramas en forma de barras rectangulares para representar las cantidades

conocidas y desconocidas así como las relaciones entre ellas que aparecen en los problemas

aritméticos, para hacer visible el pensamiento infantil. Sabemos, por otra parte que los niños

con trisomía 21 presentan dificultades para progresar desde una adecuada comprensión de

los principios de conteo hacia habilidades numéricas más avanzadas y la resolución de

problemas. Dado que los estudios apuntan hacia la necesidad de aprovechar la fortaleza

visual de estos niños para buscar didácticas adecuada,s el modelo anterior de claras bases

geométricas, se perfila como una estrategia útil para ayudarles a superar sus dificultades.

Presentamos aquí, la puesta en marcha de unas sesiones de resolución de problemas con el

método de barras con niños con trisomía 21,en Zaragoza que pone a prueba esta hipótesis

con resultados iniciales prometedores.

El modelo de barras (bar-modelling) para la resolución de problemas aritméticos

El modelo de barras (Kho,Yeo y Lim, 2009; Yeap, 2010) es un modelo de representación de

problemas de naturaleza puramente aritmética –en los que los datos corresponden

exactamente a valores de las magnitudes del problema– y también de naturaleza algebraica

–con datos referidos a relaciones entre las distintas magnitudes –.

El modelo consiste en identificar cada magnitud con un rectángulo de diferente longitud y en

traducir adecuadamente las relaciones que existen entre las magnitudes en relaciones entre

las longitudes de los segmentos, a través de la manipulación de esas barras rectangulares –

sólidas o fraccionadas– y de un uso razonado de las propiedades de las operaciones

aritméticas. El uso de una operación u otra, de una propiedad u otra, es elección del alumno,

siempre y cuando esté justificada su aplicación, por lo que es un modelo flexible que dota al

mailto:direcci€[email protected]



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alumno de una gran autonomía. Esta flexibilidad, junto con la aparición paulatina de las

dificultades en los problemas que se presentan a los alumnos y de las variaciones ligeras en

la representación de cada problema es coherente con los principios didácticos de las teorías

de aprendizaje de Bruner (1961).

El modelo de barras es una excelente representación válida del problema. Al estar presentes

de forma gráfica, sin números, simplemente con un dibujo, todas las magnitudes que

intervienen en el problema, todas las relaciones entre ellas mostradas por el problema, la

pregunta del problema y los datos, ayuda de forma muy eficiente al niño en el planteamiento

de una estrategia de resolución que respeta las fases establecidas por Pòlya (1945) (ver

también Mason, Burton & Stacey 2010). Al conseguirse de forma gráfica también la

solución, la comprobación de que su valor numérico es coherente con los datos del problema,

y que verifica los requisitos del enunciado, puede hacerse de forma rápida. Además, una vez

adquirida la destreza de resolver problemas de esta manera, con números naturales pequeños

como datos, la estrategia puede ser aplicada sin dificultades a datos de otra naturaleza.

El modelo de barras es además un modelo de representación pensado para ayudar al niño a

avanzar desde el estadio manipulativo –se comienza utilizando policubos para los problemas

de magnitudes discretas, y regletas de Cuisenaire para problemas de magnitudes continuas–

hacia el estadio icónico –mediante la conversión de los primeros en barras fraccionadas y de

los segundos en barras sólidas– de forma directa y natural (Bruner, 1960). Además, la

manipulación geométrica de las barras utilizadas para la representación del problema, se

muestra como un modelo de resolución también para aquellos problemas de naturaleza

algebraica, en los que cada paso en el proceso de solución del problema puede traducirse en

el modelo algebraico en un paso en el proceso de solución de una ecuación algebraica

ayudando así a los alumnos a realizar manipulaciones de índole algebraica con objetos o

dibujos mucho antes de poder llevarlas a cabo con variables.

Finalmente, distintas versiones del modelo de barras se pueden aplicar a una gran diversidad

de problemas aritméticos. Diversos tanto por la naturaleza de las magnitudes del mismo –

discretas o continuas; naturales, enteras, decimales o fraccionarias; porcentajes–, como por

la variedad de situaciones y relaciones entre las magnitudes del problema a las que el modelo

puede aplicarse –unión o problemas parte-todo, comparaciones tanto aditivas como

multiplicativas, problemas de cambio y problemas de antes-después-. El modelo de barras


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muestra la similitud interna entre los distintos tipos de problemas, ayudando así al alumno a

descubrir que esa estructura común se traduce en una misma operación que puede estar

presente en muy variados enunciados. Todo esto atiende a las prescripciones de la teoría de

multiple embodiment de Diennes(1961) que propone la necesidad de una presentación

múltiple y variada de los conceptos y estructuras matemáticas para llegar a su plena

comprensión y adquisición.

Comprensión de la aritmética en personas con trisomía 21

La alteración genética llamada trisomía 21, es la causa más frecuente de una discapacidad

intelectual congénita considerada de leve a moderada, aunque lo que implica esta

discapacidad está siendo recientemente sometido a revisión (Zimpel, 2016).

Así como el aprendizaje de la lectura y de la escritura por parte de estos niños ha

experimentado un gran avance en los últimos años gracias a investigaciones psicológicas y

biomédicas (Flórez, Garvía y Fernández-Olaria, 2015; Troncoso y del Cerro, 2005), no puede

decirse lo mismo de las matemáticas, siendo las investigaciones en este campo más bien

escasas, incluidas en estudios más amplios sobre desarrollo general y no procedentes del

campo de la propia disciplina matemática (Faraguer, 2014)

El interés se ha centrado en la evaluación de logros aritméticos, considerados como datos

objetivos extraídos con un método pedagógico experimental que utiliza de forma

reduccionista el concepto de edad mental. Se ha constatado que las personas con trisomía 21

tienen una dificultad para progresar desde niveles adecuados de conteo y de comprensión de

la cardinalidad (Porter, 1998; Bird and Buckley, 2001; Abdelhameed, H. 2007) a otras

habilidades aritméticas más avanzadas como la comprensión de la notación posicional o los

algoritmos de la suma y la resta. (Buckley, 2007; Bruno, Noda, González, Moreno y Sanabria

2011; Bruno y Noda 2012).

Existen algunas características cognitivas comunes a gran parte de las personas con trisomía

21, que pueden explicar en parte estas dificultades observadas con la aritmética. En primer

lugar una escasa memoria a corto plazo (Chapman y Hesketh, 2001) y un reducido campo

de atención (Zimpel, 2016) que dificulta el aprendizaje de las secuencias numéricas, de los

hechos aditivos o de las secuencias para resolver problemas. En segundo lugar un retraso en

el lenguaje oral y en el receptivo, en ocasiones asociado a dificultades auditivas, que

complica el aprendizaje del lenguaje matemático, la comprensión de enunciados complejos


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como por ejemplo los problemas aritméticos y de mensajes imprecisos. En tercer lugar un

retraso en el desarrollo motor grueso y fino (Buckley y Sacks, 2003), que obstaculiza el uso

ágil de material manipulativo y la escritura de las cifras. En último lugar, una alta sensibilidad

a la motivación (Wishart, 2001), que provoca que estos niños presenten comportamientos

elusivos ante el aprendizaje, si por ejemplo, las matemáticas que aprenden no tiene un sentido

para ellos.

Sin embargo estas características cognitivas sugieren también algunas pistas para una

didáctica de las matemáticas eficaz, sobre la que existe un relativamente escaso número de

investigaciones sistemáticas. Bird y Buckley (2001) dirigieron una serie de monografías

donde identificaron algunos principios básicos generalmente aceptados desde el punto de

vista de la metodología didáctica. Existen también varias investigaciones referidas al uso de

materiales concretos y de las nuevas tecnologías (Ortega, 2004; Nye, Fluck y Buckley, 2005;

Rieckmann, 2016). Estos trabajos, centrados en los aspectos utilitarios de la materia –lo que

supone una preferencia por técnicas y ejercicios de reconocimiento de cifras y de

automatización de procedimientos– han evolucionado desde un pesimismo inicial hacia un

optimismo de ambición muy moderada en cuanto a lo que las personas con trisomía 21

pueden conseguir en este terreno aritmético. Sorprendentemente hay un abandono de la

geometría en las propuestas didácticas, a pesar del énfasis puesto en su potencia visual y la

recomendación recurrente en todos estos estudios acerca de la utilización de métodos visuales

para el desarrollo del concepto de número.

Es por ello, que recientes trabajos (Gil Clemente, 2016), han adoptado un enfoque didáctico

que integra la aritmética y la geometría elementales (Israel y Millán Gasca, 2012) para ayudar

a los niños pequeños a comprender más a fondo el número y que amplía sus posibilidades

futuras de trabajo a algo más que la mera aplicación de procedimientos y que puede incluso

contribuir a desarrollar su pensamiento abstracto. Este enfoque, renuncia a concentrar la

enseñanza de las matemáticas en el desarrollo de habilidades de cálculo, que por otra parte

no son básicas para construir las matemáticas posteriores (Monari, 2002).

En este contexto y partiendo de que para resolver problemas de tipo aritmético no es

imprescindible conocer los algoritmos de cálculo, más aún en un mundo donde las

tecnologías están al alcance de todas las personas, hemos tratado de investigar si el modelo


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de barras anterior se presenta como una estrategia eficaz para que los niños con trisomía 21

avancen en la comprensión y resolución de estos problemas.

Base geométrica del modelo de barras y adecuación a las personas con trisomía 21.

El modelo de barras anteriormente descrito, sirve para que los niños visualicen las

operaciones que tienen que realizar para resolver un problema, y no está centrado en el

aprendizaje de algoritmos, por lo que, en un principio, pareció que podía ayudar a los niños

con trisomía 21.

La asociación de números y relaciones numéricas con longitudes de segmentos y relaciones

entre ellos que el modelo propone, es un ejemplo concreto de la integración entre aritmética

y geometría que Millán Gasca (2015) sugiere para la iniciación matemática infantil.

Integración que se basa en la visión de Thom (1971) de la intuición del continuo –de

distancias– como primera forma del pensamiento consciente y que permite que el niño

entienda las relaciones de igualdad, mayor o menor y la adición con mayor claridad si nos

apoyamos en dicha intuición.

Se ha estudiado que los niños con trisomía 21 también tienen una intuición ingenua de estas

ideas de igualdad, de comparación, de repetición (Gil Clemente, 2016), sobre las que se

puede desarrollar un primer aprendizaje de la geometría y a partir de ella, del cálculo

aritmético. La fortaleza visual de estos niños hace que la intuición geométrica sea en ellos

más intensa que la intuición de número. Todo esto es coherente con el papel fundamental que

Edouard Séguin (1812-1880), considerado uno de los padres de la educación especial,

atribuyó a la geometría en la educación de los niños con retraso mental. Séguin (1866) basó

muchas de sus propuestas didácticas en la comparación geométrica como forma de

desarrollar el pensamiento abstracto de estos niños.

Muchos de los métodos o materiales llamados manipulativos que se utilizan para la

comprensión del concepto de número– regletas Cuisenaire, perlas de Montessori, bloques de

Diennes–, algunos de los cuales se utilizan en el origen del modelo de barras, basan su

eficacia, no en que sean “visuales” o “concretos”, sino en que hablan por sí solos a los niños,

al explotar esta intuición del continuo geométrica ingenua que tienen los niños (Millán Gasca,

2015), que de forma natural acuestan unas figuras al lado de otras para calcular su adición, a

través de la repetición.


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Por todo ello, consideramos que el modelo de barras puede ser una estrategia eficaz para los

niños con trisomía 21 y hemos puesto en marcha una experiencia didáctica a través de un

estudio de caso, que describimos a continuación.

Iniciación al uso del modelo de barras en los niños con trisomía 21: estudio de caso

Los participantes en la experiencia han sido dos niños con trisomía 21, que asisten de forma

asidua a un Taller de Matemáticas dirigido por una de las firmantes de esta comunicación,

en el que se trabajan contenidos integrados de aritmética y geometría elementales de forma

activa. Luis, de 10 años de edad, tiene relativamente bien establecido el conteo de los

números del 1 al 100, conoce el anterior y el siguiente de un número con fluidez, aunque no

domina estrategias como el contar desde. Carmen, de 9 años de edad, cuenta relativamente

bien desde el 1 hasta el 20, pero no conoce otras estrategias de conteo. Ambos dibujan las

grafías de las cifras del 0 al 9, pero ninguno de los dos ha memorizado los hechos aditivos y

por ello recurren al conteo para realizar operaciones que involucren la operación suma.

El objetivo inicial planteado para la experiencia fue utilizar la resolución de problemas de

texto para introducir conceptos aritméticos, como la comparación, la adición y la sustracción.

Se ha utilizado una metodología lúdica, a través de actividades que tengan un sentido para

ellos, ya que sin sentido o motivación se crea desapego por la actividad y los niños no

aprenden.

El tiempo planeado para las sesiones se adaptó a la respuesta de los niños, variando entre 20

o 30 minutos las más breves hasta algunas de 50 o 55 minutos. En el momento de escribir la

comunicación se han desarrollado las cuatro primeras sesiones de un total de diez previstas.

Todas las sesiones se están grabando para permitir un análisis posterior más detallado.

En la primera de las sesiones se plantearon a los niños verbalmente, varios problemas

aritméticos del tipo parte-todo con ambas partes conocidas. Los niños los resolvieron

utilizando una estrategia manipulativa de primera fase, es decir con los objetos concretos de

los que hablaba el problema–caramelos, coches, personajes de serie de televisión– .Al final

de la sesión se introdujeron algunos problemas donde se hablaba de objetos no presentes–

niños de su clase, árboles–y los niños tenían que sustituir estos objetos por policubos para

resolverlos, usando así una estrategia manipulativa de segundo nivel.

En la segunda sesión les presentamos un cuaderno con problemas del tipo anterior –

“enigmas” para ellos en un juego de detectives– que combinaban texto y dibujo. Todos los


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problemas se resolvieron con policubos y se empezaron a rellenar fichas escritas de los

problemas hechos, donde se le hablaba a los niños de sumar y aparecía ya el símbolo “+”.

Los problemas tenían una dificultad progresiva: comenzamos dándoles datos gráficos

exactos (anexos 1 y 2), sustituimos estos por icónicos (anexo 3) y finalmente, estos por

numéricos (anexo 4).

En la tercera sesión se introdujo el fundamento del modelo de barras, pasando a resolver los

problemas de forma gráfica, siendo los niños los que decidían cómo dibujar los datos (anexo

5). Al final de la sesión, se introdujeron los problemas de parte-todo, con una parte

desconocida con manipulación de primer nivel para pasar pronto a la manipulación de

segundo nivel con policubos (anexo 6).

En la cuarta sesión se introdujeron los problemas de comparación de magnitudes (anexo 7).

Estos, junto a los problemas parte-todo, serán el fundamento del aprendizaje de la suma y de

la resta en las sesiones siguientes.

Primeras conclusiones

Luis y Carmen han comprendido bien las situaciones en que se debe añadir –juntar–, en las

que se debe separar –romper– y en las que se debe comparar –saber dónde hay más–

Han interiorizado ciertas estrategias de resolución de los problemas anteriores. Saben que

para juntar hay que contar los objetos que se unen. Son capaces de representar

autónomamente la unión, con objetos, con material manipulable, y con barras dibujadas. Para

resolver los problemas con parte desconocida, la idea de romper el total formado por los

policubos les ayuda a resolver el problema. Para comparar, yuxtaponen las barras físicas

formadas por los policubos o establecen una correspondencia uno-a-uno entre los bloques

que forman las barras dibujadas.

Estas primeras experiencias, hacen pensar que el modelo de barras, puede ser un método

prometedor para ayudar a los niños con trisomía 21 a establecer una estrategia para resolver

problemas aritméticos sencillos. Sin embargo, dado que para calcular la solución, los niños

necesitan contar, tendremos que trabajar en sesiones siguientes habilidades relativas a esta

capacidad –número siguiente y contar desde–, que nos permitan seguir avanzando.



ISBN 978-84-945722-3-4

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Anexos

Anexo 1. Problemas de parte-todo, todo desconocido. Datos gráficos exactos

Anexo 2. Problemas de parte-todo, todo desconocido. Datos gráficos exactos


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Anexo 3. Problemas de parte-todo, todo desconocido. Datos gráficos icónicos

Anexo 4. Problemas de parte-todo, todo desconocido. Datos numéricos. Resolución con

policubos.


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Anexo 5. Problemas de parte-todo-todo desconocido. Iniciación al modelo de barras


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Anexo 6: Problemas de parte-todo, con una parte desconocida

Anexo 7 Problemas de comparación


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CB-1.325

ACERCANDO LAS ECUACIONES DE 2º GRADO A LOS

ALUMNOS CON DIFICUTADES DE APRENDIZAJE A TRAVÉS

DE GEOGEBRA María de los Reyes Gallardo Gutiérrez

[email protected]

Colegio Inmaculado Corazón de María (Portaceli), Sevilla, España


y niveles educativos.

Modalidad: CB

Nivel educativo: Secundaria

Palabras clave: Geogebra, NEE, ecuaciones segundo grado

Resumo El uso de Geogebra en el aula de alumnos de 2º de ESO con dificultades de aprendizaje ha

sido altamente estimulante para ellos.

A partir del uso de este programa, el alumnado ha identificado gráficamente las

características de las soluciones de las ecuaciones de 2º grado. Esto facilitó el cálculo

analítico, y la comprensión de los conceptos de raíces de una ecuación.

El empleo de Geogebra ha facilitado a los alumnos/as el entendimiento de las ecuaciones de

segundo grado. La representación gráfica les ha permitido:

- prever que soluciones deben esperar al resolver las ecuaciones de 2º grado,

- entender el estudio del discriminante,

- perder parte de los prejuicios asociados a la dificultad del estudio de las matemáticas, -

usar una herramienta matemática con fluidez, y que la consideren un juego, por lo que

aprenden de forma más amena,

- identificar, tras cometer errores que les llevaron a ello, la diferencia entre el área

encerrada por la parábola y los cortes con los ejes, de la parábola.

Objetivos

Resolver ecuaciones de segundo grado gráficamente usando Geogebra.

Identificar los parámetros de las ecuaciones de segundo grado.

Identificar la existencia de posibles soluciones de una ecuación de segundo grado en

función de sus parámetros.

Predecir la forma de la gráfica en función de los parámetros de la ecuación de segundo

grado empleando Geogebra.

Identificar en el entorno la geometría de una parábola y parametrizarla con Geogebra.


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Alumnado

El alumnado al que se destinó esta actividad, estaba constituido por alumnos con diferentes

NEE entre ellos alumnado con TDHA, y un alumno Síndrome de Down, de edades

comprendidas entre los 13 y 15 años. Todos cursaban 2º de ESO.

Metodología

Desarrollo de nuestra experiencia de aula.

En primer lugar se dio al alumnado un breve repaso para identificar y recordar qué es una

ecuación de segundo grado. Así, como las diversas utilidades y aplicaciones de las

ecuaciones en la vida diaria.

Se identificaron todos los términos que forman parte de la ecuación.

En segundo lugar los alumnos fueron representando con Geogebra diferentes parábolas que

formaban parte de los ejercicios que tenían que resolver a lo largo de la unidad. Cada par de

alumnos/as que compartía ordenador representó al menos 6 ó 7 parábolas diferentes.

Los alumnos/as compararon los resultados de las diferentes parábolas representadas,

buscando elementos comunes, orientación, cortes con los ejes.

Para realizar esta actividad siguieron las instrucciones de: representar, observar y comparar.

Recibieron un guión breve con una serie de cuestiones, que debían resolver.

Como resultado de este proceso, fueron anotando todo lo observado.

Llegando a las siguientes conclusiones:

Aquellas en las que a>0, presentan un mínimo, que a veces coincide o no con el vértice.

Aquellas en las que a<0, presentan un máximo, que a veces coincide o no con el vértice.

Aquellas en las que b=0, presentan el vértice en el eje y, sus dos cortes con el eje x son

siempre iguales y simétricos.

Aquellas en las que c=0, pasan siempre por el (0,0), y por otro punto de coordenadas

(x,0), el punto estará a la derecha o izquierda del centro del sistema de coordenadas en

función del signo de c.

Las que presentan b y c distintos de 0, a veces cortan al eje x y otras veces no.

Posteriormente, pasamos a la resolución de las ecuaciones aplicando diversos métodos de

resolución según las ecuaciones de 2º grado fuesen completas o incompletas.


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Resolvimos analíticamente las ecuaciones de segundo grado que habían representado

previamente y de las que habían tomado diversos datos.

Volvieron a representar, aquellas parábolas que se correspondían con la ecuación de 2º grado

asociada.

Tras hacerlo concluyeron que:

Si a>0 presentarán un máximo, y si a<0 presentarán un mínimo

Aquellas en las que b=0, presentan el vértice en el eje y, sus dos cortes con el eje x son

siempre iguales y simétricos.

Aquellas en las que c=0, pasan siempre por el (0,0) , y por otro punto de coordenadas

(x,0), el punto estará a la derecha o izquierda del centro del sistema de coordenadas en

función del signo de c.

Las que presentan b y c distintos de 0,

o a veces cortan al eje x dos veces, si el discriminante es positivo

o a veces solo lo “tocan” si el discriminante es nulo

o otras veces no cortan al eje x si el discriminante es negativo.

Identificar el eje de la parábola en cada caso.

Para completar la actividad, se realizó una salida fuera del centro. Durante la misma, se

fotografiaron elementos arquitectónicos, y cualquier objeto o elemento de la naturaleza y el

entorno que pudiera presentar a simple vista, forma de parábola.

Las imágenes obtenidas, fueron insertadas en Geogebra para posteriormente identificar si las

trayectorias o formas observadas se correspondían o no a una parábola, y si lo eran identificar

la ecuación de la misma mediante trazado de puntos y la representación de la función.


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Captura de pantalla del proceso de obtención del chorro de agua de la parábola.

Tras analizar las diversas fotos, realizaron murales y vídeos explicando a sus compañeros

dónde podían encontrar parábolas a sus alrededor.

Por último los alumnos realizaron una prueba que constaba de 2 partes, una de ellas consistía

en una prueba escrita en la que resolvieron ecuaciones de 2º grado de forma analítica.

Otra parte de la prueba consistía en identificar la ecuación de 2º grado a partir de una serie

de gráficas dadas, y en la obtención de las soluciones de la ecuación usando Geogebra.

Conclusión.

El empleo de Geogebra ha facilitado a los alumnos/as el entendimiento de las ecuaciones de

segundo grado. La representación de las parábolas les ha permitido:

prever que soluciones deben esperar al resolver las ecuaciones de 2º grado,

entender el estudio del discriminante,

perder parte de los prejuicios asociados a la dificultad del estudio de las matemáticas,

usar una herramienta matemática con fluidez, y que la consideren un juego, por lo que

aprenden de forma más amena,

compartir material y discutir activamente sobre los posibles errores cometidos en el uso

del programa,


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intervenir en el aprendizaje de los compañeros/as, puesto que los más hábiles en el uso

de las nuevas tecnologías han colaborado en el proceso de aprendizaje,

identificar , tras cometer errores que les llevaron a ello, la diferencia entre el área

encerrada por la parábola y los cortes con los ejes, de la parábola en si

identificar las parábolas en su entorno cotidiano, y entender que las matemáticas están en

su entorno, si son capaces de prestarle atención, mirando con curiosidad matemática.

Tras la experiencia, el alumnado solicitó el uso de la herramienta para desarrollar el resto de

los contenidos del temario. Y así se hizo dada la efectividad de la misma, y el cambio de

actitud que generó en el aprendizaje de las matemáticas.

Los problemas de ecuaciones de 2º grado, se plantearon y posteriormente se resolvieron

usando Geogebra. Se empleó también el uso en el estudio de geometría.

Información extraída de una página web

www.geogebra.org


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CB-1.326

CONHECIMENTOS PARA O ENSINO DE MÉDIA MODA E MEDIANA

EVIDENCIADOS

POR PARTICIPANTES DE UM CURSO DE FORMAÇÃO CONTINUADA

Tiago Augusto dos Santos Alves – Angélica da Fontoura Garcia Silva – Ruy Cesar

Pietropaolo


Universidade Anhanguera de São Paulo – Brasil


Modalidad: CB


Palabras clave: Medidas de Tendência Central; Formação Continuada de Professores de

Matemática; Conhecimento Profissional Docente.

Resumo Esta comunicação apresenta resultados de uma pesquisa de natureza qualitativa vinculada

a um Projeto financiado pelo governo federal brasileiro, desenvolvido no âmbito do

Programa Observatório da Educação da CAPES - MEC. O propósito deste estudo foi

analisar os conhecimentos necessários aos professores de Matemática da Educação Básica

para o ensino de medidas de tendência central em um contexto de formação continuada. Os

dados foram coletados por meio de um questionário de caráter diagnóstico o qual

possibilitou a determinação do perfil e de conhecimentos preliminares explicitados de 12

professores participantes. Utilizou-se como marco teórico a categorização proposta por

Ball, Thames e Phelps (2008). A análise dos resultados mostrou evidências de que a maioria

dos participantes dominava os procedimentos de cálculo das medidas solicitadas. Todavia,

percebeu-se que os professores não apresentaram argumentações que levassem em conta a

relação entre tais medidas para a tomada de decisão em uma das situações-problema

propostas. Grande parcela dos participantes tomou a decisão apoiando-se na análise dos

valores das medidas de forma isolada, e mesmo aqueles que tentaram relacionar os valores

da média, moda e mediana entre si, não consideraram um espectro mais amplo. Tais

resultados possibilitaram traçar um plano inicial para o processo formativo.

Introdução

Este artigo apresenta resultados de uma pesquisa vinculada ao Projeto de Pesquisa do

Observatório da Educação, nº 19.378, edital CAPES nº 049/2012, intitulado Investigações

sobre o Processo de Ensino e de Aprendizagem de Conceitos concernentes à Probabilidade

e Estatística, sob coordenação do Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo, da Universidade

Anhanguera de São Paulo.





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O propósito deste estudo foi analisar os conhecimentos necessários aos professores de

Matemática da Educação Básica para o ensino de Medidas de Tendência Central em um

contexto de formação continuada. Esse procedimento permitiu-nos planejar as sessões do

processo formativo.

Para análise dos resultados deste trabalho, apoiamo-nos na categorização proposta por Ball

et al. (2008) acerca dos conhecimentos profissionais docentes e em pesquisas relacionadas

ao tema Medidas de Tendência Central.

Relevância e fundamentação

Há quase vinte anos, documentos oficiais do sistema educacional brasileiro já alertavam

quanto à importância em se trabalhar o ensino de Estatística na Educação Básica:

(...) a compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais

dependem da leitura crítica e interpretação de informações complexas, muitas vezes

contraditórias, que incluem dados estatísticos e índices divulgados pelos meios de

comunicação. Ou seja, para exercer a cidadania é necessário saber calcular, medir,

raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente etc. (Brasil, 1998, p.27)

Tal aspecto é reforçado nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio – OCEM (2006),

as quais chamam a atenção para a importância da compreensão das Medidas de Tendência

Central por parte dos alunos, a fim de que estes sejam capazes de trabalhar e interpretar dados

estatísticos.

Entretanto, resultados obtidos a partir do levantamento de Relatórios Pedagógicos da Prova

do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP) mostram

índices desfavoráveis quanto ao aprendizado de alunos acerca da temática aqui discutida.

Isso ocorreu, por exemplo, na Prova do SARESP do ano de 2012. Nela, fora proposta uma

questão na qual eram apresentados aos estudantes dados discretos, cujo objetivo era apenas

a determinação dos valores da média, moda e mediana. Contudo, o Relatório Pedagógico do

SARESP (2012) apontou que tão somente 33,6% dos alunos a resolveram corretamente.

Aliado a isso, estudos realizados em relação à interpretação e análise de dados mostram-se

alarmantes. Stella (2004), por exemplo, ao realizar uma pesquisa com sete alunas do Ensino

Médio de uma escola pública na cidade de São Paulo/Brasil, verificou que, apesar do fato de

muitas das estudantes terem resolvido corretamente os exercícios de média aritmética, não

havia um domínio pleno sobre a conceituação dessa medida e de seus significados, mas


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apenas uma memorização do procedimento de cálculo. A autora, com base em seus

resultados, sugere ainda que “dependendo do tipo de questão, os estudantes interpretam

média como moda e/ou mediana, e, além disso, não estão acostumados a distinguir as

diferentes medidas de tendência central ou estabelecer qual a melhor medida a ser utilizada”

(Stella, 2004, p. 17). Em relação ao conhecimento do professor, Carvalho (2011) apontou,

com base em estudos de Melo (2010), Magina, Carzola, Gitirana e Guimarães (2008), uma

limitação conceitual da média por partes desses profissionais brasileiros.

Em estudos mais recentes, limitações como essas ainda são verificadas. Por exemplo,

Batanero, Díaz, Contreras e Roa (2013) em suas investigações destacaram o modo como se

encontra o ensino de Estatística nas escolas, sendo que muitos alunos se formam sem que

compreendam suas características e tão pouco saibam aplicá-las, resultado de um ensino sem

sentido.

Como esta pesquisa é voltada para a formação continuada do professor de Matemática, para

a análise dos dados obtidos, apoiamo-nos nas categorias do Conhecimento do Conteúdo

definidas por Ball, Thames e Phelps (2008), sobretudo do Conhecimento Comum do

Conteúdo e do Conhecimento Especializado do Conteúdo. Quanto ao Conhecimento Comum

do Conteúdo, os autores o relaciona com aqueles domínios esperados por qualquer adulto

educado e o aponta como imprescindível à atuação do professor, a fim de que este seja capaz

de realizar as tarefas que propõe aos seus alunos. No caso das Medidas de Tendência Central

implica, por exemplo, em saber realizar cálculos da moda, média e mediana, bem como de

problemas matemáticos envolvendo esse conteúdo. Em relação ao Conhecimento

Especializado do Conteúdo, esse grupo de estudiosos o define como aqueles saberes mais

aprofundados acerca do conteúdo e que servirão de base para a prática de ensino do professor.

Ball, Thames e Phelps (2008) consideram que esse tipo de conhecimento está “estreitamente

relacionado com a prática, mas, ao contrário do conhecimento pedagógico do conteúdo, ele

não requer conhecimento adicional de estudantes ou do ensino. Ele é conhecimento

distintamente matemático, mas ele não é necessariamente conhecimento matemático familiar

aos matemáticos” (p.395).

Para estes autores, Conhecimento do Conteúdo Especializado é inerente às “tarefas comuns

de ensino” (Ball et al., 2008, p. 398) como, por exemplo, habilidades que lhes favoreçam

apresentar conceitos matemáticos, procurar bons exemplos, avaliar e adaptar o conteúdo


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apresentado nos livros, analisar e avaliar os argumentos dos estudantes. Dessa forma, neste

estudo, consideramos que, em relação ao ensino dos valores de tendência central, o professor

necessita estabelecer relações entre essas medidas, a fim de justificar matematicamente as

escolhas dadas pelos seus estudantes.

Procedimentos metodológicos

A presente pesquisa científica é de natureza qualitativa e, para planejar as sessões de

formação que seriam propostas ao grupo de professores participantes desta investigação, fez-

se necessário o levantamento do perfil e do conhecimento profissional destes integrantes

acerca da temática Medidas de Tendência Central. Diante disso, tivemos a possibilidade de

determinar quais desses conhecimentos necessitavam ser aprimorados. Assim sendo, foi

elaborado um questionário, de caráter diagnóstico, e aplicado aos participantes da formação

antes de realizarmos a intervenção.

Caracterização dos professores participantes

Este estudo foi realizado com um grupo de doze professores, os quais foram referenciados

pelas letras (A), (B), (C), ... e (L), a fim de garantir o sigilo de suas identidades. Analisando

os dados, identificamos que todos possuem curso de licenciatura em Matemática; em média,

lecionam há mais de 14 anos; a média da idade do grupo é de 46 anos; e nove dentre os doze

profissionais já lecionaram o conteúdo em algum momento.

Além das questões em que procuramos identificar o perfil dos participantes, utilizamos outras

para investigarmos, especificamente, os conhecimentos do conteúdo (comum e

especializado). A seguir, apresentamos uma das questões propostas que utilizaremos para

discutir alguns dos resultados obtidos na pesquisa.

Questão analisada

A fim de realizar um levantamento do conhecimento profissional dos professores acerca da

temática Medidas de Tendência Central foram propostas cinco questões, mas, devido ao

espaço aqui destinado à discussão, optamos pela questão que aborda a média, mediana e

moda em um contexto próximo a uma situação prática (Figura 1).


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Você está à procura de um emprego e buscou informações acerca da remuneração dos funcionários de três

empresas. A seguir, encontram-se os salários, em reais, das empresas pesquisadas.

Empresa A B C

Salário Médio 2.500,00 2.000,00 1.700,00

Salário Mediano 1.600,00 1.900,00 1.700,00

Salário Modal 1.500,00 1.800,00 1.700,00

Considerando-se as informações apresentadas, qual dessas empresas você optaria? Justifique sua escolha.

Figura 1. Questão proposta aos professores

Fonte: questão elaborada pelos autores

Assim sendo, tínhamos como objetivo que cada um dos professores, utilizando-se de seus

conhecimentos acerca do conteúdo, analisasse a situação, tomasse a decisão julgada mais

adequada e embasasse, matematicamente, esse posicionamento. Isso consubstanciaria nosso

levantamento de dados acerca da visão que os participantes tinham inicialmente frente aos

significados e à inter-relação entre as MTC. Importante ressaltar que, nessa situação-

problema, não havia apenas uma resposta possível. Isso iria depender das justificativas

apresentadas pelos docentes. Além disso, de acordo com a resolução apresentada pelos

professores, nessa questão poderíamos observar variados Domínios do Conhecimento de Ball

et al. (2008).

Análise e discussão dos dados

Na questão proposta, dos doze participantes, somente um optou pela empresa A e os demais,

pela empresa B. Em relação à Empresa A, o professor H justificou sua escolha a partir da

análise de que ela possuía a maior média e citou o fato de que a mediana e a moda serem

diferentes implica em uma variação maior dos salários entre os meses (Figura 2).

Figura 2. Resolução do Professor H da questão proposta

Fonte: acervo pessoal

O professor apontou como variação salarial entre os meses, o que nos indica que ele se

equivocou ao analisar a situação por variação salarial em relação ao tempo, não em relação


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ao quadro de funcionários. Apesar desse equívoco, é possível perceber que o referido

participante reconhece que a média é afetada por valores extremos, conforme propriedade

apontada por Strauss e Bichler (1988), uma vez que o termo variação maior utilizado pelo

participante poderia ser substituído, sem prejuízo de sentido, por amplitude maior de valores

entre os dados. Entretanto, nota-se que o professor atribui maior relevância à média frente às

outras medidas, uma vez que ele se baseou apenas nesse aspecto para optar pela companhia

A.

Quanto à empresa B, de modo geral, as justificativas se basearam apenas no fato de que ela

apresentava os maiores valores de mediana e moda (Figura 3). Um dos professores não

justificou sua escolha. Observou-se, ainda, que alguns dos professores tomaram por base o

fato de que as medidas dessa empresa se encontram próximas entre si.

Figura 3. Resolução do Professor G da questão proposta


Importante ressaltar que quatro professores justificaram sua escolha pela empresa B tão

somente por esta possuir o maior valor modal. Percebe-se que estes professores têm a

concepção bem consolidada de que a moda se refere aos valores que aparecem mais vezes na

sequência. Entretanto, eles não se atentaram ao fato de que isso, dependendo do contexto,

poderia significar apenas dois valores dentre uma quantidade enorme de elementos que não

se repetem em uma sequência. Haja vista que esses professores não perceberam a importância

das demais medidas no contexto apresentado e nem realizaram uma análise entre elas, é

possível inferir que a limitação acerca do Conhecimento Comum desse conteúdo limitasse

igualmente os Conhecimentos Especializados do Conteúdo. Isso, em um contexto de prática

de ensino, resultaria, de acordo com os estudos de Batanero, Díaz, Contreras e Roa (2013),

em um ensino sem sentido, pois se os professores não abordam conceitos importantes a serem

discutidos com os alunos, estes muito provavelmente se formam desconhecendo tais

características.

Em relação a outras respostas apontadas, o professor D apresentou algumas justificativas de

conhecimentos básicos da relação entre as medidas, porém não houve um aprofundamento


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nas relações delas entre si. Salienta-se que ele foi o participante que mais se aproximou do

nosso objetivo inicial ao relacionar as três medidas. O participante, inclusive, comenta uma

característica importante quanto ao conceito de média. Esta se refere a uma das propriedades

apontadas por Batanero (2000), com base em estudos de Strauss e Bichler (1988), na qual a

média é influenciada por todos os valores do conjunto analisado (Figura 4). Isso sugere que

esse docente detém alguns conhecimentos mais amplos acerca dos conteúdos quando

comparado aos demais participantes.

Figura 4. Resolução do Professor D da questão proposta


Todavia, é importante ressaltar alguns pontos importantes que precisam ser revistos, por

exemplo, se considerarmos a palavra equilíbrio, apresentada na justificativa do professor – a

mediana sendo próxima da média indica que existe um equilíbrio entre os salários – se

referindo à ideia de salários com valores próximos entre si. Ele não se atentou ao fato de que,

mesmo que a média e a mediana sejam idênticas, os valores de cada um dos elementos podem

estar bem dispersos dentro do conjunto de dados. Ou, caso consideremos esse mesmo termo

equilíbrio em relação à ideia de que os salários mais baixos compensam os mais altos, não

faria sentido a explicação dada em relação à moda: os funcionários recebem salários

próximos.

Nesta questão, por se tratar de uma situação que envolvia um contexto prático, os professores

poderiam ter discutido e justificado suas escolhas apoiados nas medidas de tendência central

e em uma análise da capacitação profissional da pessoa que está à procura do emprego. Por

exemplo, na Empresa A, o fato de a média ser de grandeza maior do que as demais medidas


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nos possibilita inferir que nela há algum ou alguns salários altos que influenciam em seu

valor e a elevam. Contudo, 50% dos funcionários recebem R$ 1.600,00 ou menos. Essa

situação seria interessante para aquele profissional à procura de um emprego que se considera

muito bem qualificado para as funções e que deseja ter uma maior projeção de salários em

sua carreira. Em contrapartida, se o profissional não julgar que suas competências

profissionais são as mais adequadas, com uma maior chance de garantir um melhor salário,

optaria pela Empresa B, pois metade dos empregados recebem R$ 1.900 reais ou menos.

Além disso, o fato da média e da moda serem próximas da mediana na Empresa B, quando

em comparação com a Empresa A, sugere-nos que, provavelmente, naquela empresa os

salários são mais próximos entre si.


Os resultados apresentados indicam que o grupo de professores, de modo geral, domina os

Conhecimentos Comuns do Conteúdo, na perspectiva de Ball , Thames e Phelps(2008).

Entretanto, percebemos que alguns conhecimentos necessitariam ser ampliados entre os

docentes. Isso ficou bem evidenciado quando os professores não apresentaram

argumentações que levassem em conta a relação entre as medidas para a tomada de decisão

na situação-problema proposta. A maioria deles tomou a decisão apoiando-se na análise dos

valores das medidas de forma isolada e, mesmo aqueles que tentaram relacionar os valores

de tendência central entre si, não consideraram um espectro mais amplo. Não foi observado

entre os participantes haver comparação entre o conjunto de medidas das três situações

contidas na questão. Apesar de nem um dos profesores ter considerado outro aspecto como,

por exemplo, a qualificação profissional da pessoa que estivesse à procura de emprego,

acreditamos que, em um contexto de sala de aula, essa estratégia seria interessante para

aproximar a problemática proposta a uma situação mais prática, o que poderia favorecer os

processos de ensino e de aprendizagem dessa temática.

Por fim, ressaltamos que os resultados apontados foram obtidos no início do nosso estudo.

Entretanto, ao final do processo formativo, já se observava uma superação, por parte dos

professores, de algumas das limitações aqui identificadas.



ISBN 978-84-945722-3-4

Ball, D. L.; Thames, M. H.; Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: what makes

it special? Journal of Teacher Education, Pennsylvania, v. 59, n. 5, p. 389-407, Nov./Dec.

DOI: 10.1177/0022487108324554.

Batanero, C. (2000). Significado y comprensión de las medidas de posición central.

Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 25, 41-58.

Batanero, C.; Díaz, C.; Contreras, J. M. y Roa, R. (2013). El sentido estadístico y su

desarrollo. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 83, 7-18.

Brasil. (2006). Orientações curriculares para o ensino médio. Ciências da natureza,

matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação.

Brasil. (1998). Parâmetros curriculares nacionais (5ª a 8ª séries). Matemática. Brasília:

Ministério da Educação.

Carvalho, J.I.F. (2011) Média aritmética nos livros didáticos dos anos finais do ensino

fundamental. (Dissertação de Mestrado). Universidade Federal de Pernambuco, Recife.

São Paulo. (2012). Relatório do sistema de avaliação do rendimento escolar do estado de

São Paulo. São Paulo: Secretaria da Educação do Estado.

Stella, C. A. (2004, Julho). O conceito de média. Problemas de construção x problemas

tradicionais. Comunicação apresentada no VIII Encontro Nacional de Educação

Matemática , Recife.

Strauss, S. y Bichler, E. (1988). The development of children's concepts of the arithmetic

average. Journal for Research in Mathematics Education, 64-80.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.327

ASPECTOS DIDÁCTICO-MATEMÁTICOS EN LA VIRTUALIZACIÓN DE

BLOQUES DE BASE DIEZ

Carlos de Castro Hernández – Gabriela Cadenas – Ana Prades


Universidad Autónoma de Madrid, España – Smartick, Venezuela – Smartick, España

Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Modalidad: CB

Nivel educativo: Primaria (6 a 12 años)

Palabras clave: bloques de base 10, manipulativos virtuales, resta con llevada, vídeos

didácticos.

Resumen Los bloques de base diez de Dienes es uno de los materiales manipulativos de los que más

versiones virtuales se han realizado. Trasladar un material a un entorno online implica

tomar una serie de decisiones didácticas en el diseño del mismo. Algunas decisiones afectan

a qué parte del trabajo hace el alumno y qué parte hace el entorno; otras, afectan a la

interpretación semántica de las operaciones, viendo la resta como sustracción, diferencia,

etc. Otro aspecto a destacar es la relación que se establece entre el material manipulativo

virtual y el algoritmo de la operación, entre los objetos y los símbolos. Nos centraremos en

el uso de los bloques de base diez para el aprendizaje de la resta con llevada.

Describimos el análisis que hemos realizado de varias virtualizaciones de los bloques de

base diez, las decisiones didácticas que hemos tomado en el diseño de nuestra virtualización

del material, y cómo articulamos el uso de tutoriales interactivos y la secuenciación de

actividades con el material para promover un aprendizaje con comprensión de los

algoritmos y del sistema de numeración decimal.

Introducción

Un tema de permanente actualidad en el ámbito de la educación matemática es el uso de

materiales manipulativos (físicos y virtuales) en la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas. Una posición que compartimos es que materiales “virtuales y manipulativos se

complementan” (Muñoz Santonja y Murcia, 2017). Sarama y Clements (2016), en un

monográfico dedicado a los materiales manipulativos virtuales, realizan una revisión

profunda acerca de la manipulación física y virtual. De ella deseamos enfatizar solo dos

aspectos que dan cuenta del escepticismo con el que muchos expertos y maestros miran la

manipulación. Uno de ellos es atribuir a la manipulación un papel más próximo al dominio





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afectivo que al cognitivo (los materiales son para jugar más que para aprender), como si

fueran dos aspectos que no pueden armonizarse. Otro, que no es la manipulación, sino la

reflexión acerca de la manipulación, la que produce conocimiento matemático. Los

materiales manipulativos no “hacen magia” y no tienen sentido por sí mismos, sino que deben

integrarse en una actividad matemática, y usarse adecuadamente, lo que implica que en

algunos casos no es extraño encontrar que la manipulación virtual pueda incluso tener

ventajas sobre la manipulación física. En esta línea, García Moreno (2017) enfatiza que “la

manipulación no es un objetivo en sí misma, una competencia matemática” (p. 15) y

establece comparaciones interesantes entre la manipulación virtual y la física.

Para reflexionar acerca de los aspectos didáctico-matemáticos de las versiones virtuales de

los materiales manipulativos, hemos decidido seleccionar un material muy conocido, los

bloques de base 10 de Dienes, y una dificultad que suelen tener los alumnos de primeros

cursos de educación primaria: el aprendizaje con comprensión de la resta con llevada.

Comenzamos planteando en el siguiente apartado algunas opciones cruciales, tanto en la

virtualización de los materiales, como en la explicación del uso del material en vídeos

didácticos.

El objetivo de este trabajo no es evaluar las virtualizaciones o los vídeos, sino ilustrar con

ejemplos de forma clara que el diseño de recursos online para el aprendizaje de las

matemáticas, ya sean materiales manipulativos virtuales o vídeos didácticos, más allá de

suponer un reto técnico, requiere una importante reflexión didáctico-matemática.

Características y opciones en las virtualizaciones de los bloques de base 10

En este apartado estudiamos algunas características de las virtualizaciones que reflejan

opciones didáctico-matemáticas. Entre ellas destacamos: (a) La interpretación semántica de

la operación aritmética de restar; (b) Cómo se hace la transición de la operación con

materiales manipulativos a la operación escrita; (c) Cómo se trata la parte del algoritmo de

la resta que concierne al cálculo de hechos númericos; (d) Qué parte del álgoritmo realiza el

alumno y qué parte viene hecha por el recurso sin que el alumno tenga que intervenir.

Pasamos a comentar las cuestiones que subyacen a estas opciones.

En cuanto a la interpretación semántica de la resta, a esta operación aritmética pueden

atribuírsele diversos significados, algunos de los cuales son los siguentes: (1) Puede pensarse


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como una acción de quitar, como en los problemas aritméticos verbales de cambio

decreciente con la incógnita en la cantidad final. Si tengo una cantidad y quito una parte de

la misma, ¿cuántos me quedan?; (2) Como la cantidad que es necesario añadir a otra cantidad

para alcanzar o igualar una cantidad mayor, como en los problemas de cambio creciente con

incógnita en la cantidad de cambio o como una igualación con incógnita en la diferencia; (3)

Como una comparación en la que calculamos la diferencia entre dos cantidades.

La transición de la operación manipulativa a la escrita debe enfocarse desde el punto de vista

del aprendizaje por analogía. Al utilizar los bloques de base diez como un modelo intuitivo

analógico del sistema de numeración decimal, debemos recordar que el aprendizaje por

analogía evoluciona a través de 3 etapas –concreta, puente y simbólica– que corresponden

con el uso del material manipulativo aislado, la conexión entre las manipulaciones y los

símbolos, y la manipulación simbólica ya “emancipada” de la manipulación de objetos

físicos. El objetivo final de toda manipulación de objetos físicos en matemáticas es llegar a

prescindir de la manipulación de objetos físicos. Por tanto, es muy relevante plantearnos

cómo se hace la transición de un tipo de manipulación (física) a otra (simbólica).

Por otra parte, el algoritmo de la resta implica dos tipos de contenidos matemáticos

ligeramente distintos: el cálculo de hechos numéricos -¿cómo calculo 7 – 3 dentro del

algoritmo?; y el procedimiento de “llevada” o el de “pedir prestado”, que afectan a cómo

podemos hacer para restar a un 4 del minuendo un 6 del sustraendo y qué significa cambiar

el 4 por un 14 en cada caso.

Finalmente, una reflexión didáctica general, no específica de las matemáticas, es la siguiente:

En cualquier recurso online hay una parte que realiza el alumno y otra que se ejecuta de forma

automática. Si se hace automáticamente, no se da al alumno la oportunidad de hacerlo por sí

mismo; solo se le muestra, lo cual tiene como consecuencia que al alumno se le escatima una

oportunidad de aprendizaje.

Un par de ejemplos de virtualización: didactmaticprimaria y el proyecto NLVM

A continuación, observamos (Figura 1) varios aspectos a destacar en una virtualización del

proyecto didactmaticprimaria (García Moreno, 2014). La resta se hace por “cancelación”,

como en los modelos de cargas positivas y negativas para los números enteros. Cada unidad

del minuendo se cancela con una unidad del sustraendo, de modo que la resta se interpreta


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como una comparación. Esta interpretación de la sustracción no es la más básica, que sería

la de “quitar”, pero sí es más cercana al conteo desde la cifra del sustraendo hasta la del

minuendo que es la estrategia base que se emplea en el aula en el algoritmo escrito. Este es

un ejemplo claro de porqué sería difícil abordar este tipo de análisis desde un punto de vista

evaluativo. En cuanto a la transición entre tipos de representaciones, no hay representación

simbólica del proceso; solo se escribe con cifras el resultado. Con respecto a la cuantificación

de los distintos tipos de unidades y al cálculo de hechos numéricos, tanto las unidades como

las decenas aparecen organizadas en grupos de 5: las decenas en filas y las unidades

adoptando la configuración del 5 en el dado. Esto permite reconocer cuántos hay en cada

momento gracias a la subitización conceptual sin necesidad de contar, lo que facilita realizar

la parte del algoritmo relativa a los hechos numéricos. Precisamente, es la parte del algoritmo

no relacionada con “la llevada”, a veces desatendida en estos recursos.

Figura 1. Resta con bloques de base 10 en didactmaticprimaria.com

En el applet de la Biblioteca Virtual de Manipuladores Virtuales (NLVM) de la Utah State

University (Figura 2), la resta se hace por cancelación. Cada unidad azul del minuendo se

arrastra hasta superponerse con una roja del sustraendo y ambas desaparecen. Las unidades

y las decenas aparecen en una posición aleatorizada, sin adoptar ninguna configuración, lo

que impide utilizar el reconocimiento súbito de la cantidad y obliga a contar para saber

cuántas unidades hay de cada tipo. En esta virtualización, destaca la transición del material

manipulativo al algoritmo escrito. Esta traducción entre registros diferentes se hace de forma

http://www.didactmaticprimaria.com/2014/10/bloques-base-10.html

http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html


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automática; no la hace el alumno. Como vemos en la Figura 2, la parte escrita no puede

manipularse.

Figura 2. Resta con llevada en el proyecto NLVM.

La única parte de la operación en la que puede intervenir el alumno es el cambio de una

decena por 10 unidades y la cancelación de unidades del mismo orden. Una vez finaliza la

cancelación, el resultado escrito aparece sin intervención del alumno. Toda la manipulación

simbólica está automatizada; en particular, los hechos numéricos. Esto da una idea de que

este recurso no se orienta al aprendizaje del algoritmo completo, sino que enfoca

específicamente una parte: el cambio de las decenas por unidades.

Explicaciones en vídeo sobre el uso de bloques de base 10

Algunos de los aspectos y opciones a los que atendemos en las virtualizaciones pueden

también valorarse en vídeos didácticos. Analizamos aquí el vídeo de Nuévalos, Pérez,

Planells y Vela (2014) sobre la resta con llevada. La operación que se explica en el vídeo es

745 – 226. En la Figura 3 observamos dos momentos de la explicación. En el primero, dado

que a 5 unidades no se le pueden quitar 6, se observa la transformación de 1 decena en 10

unidades, que aparecen en la esquina superior derecha de la imagen preparadas para el

cambio. A la derecha, tras cambiar la decena por las unidades, los autores del vídeo explican:

“Si a quince, le quitamos seis, nos quedarán nueve” mientras van quitando 6 cubitos

(unidades) del minuendo. Verbalmente, la resta se interpreta como acción de quitar “a quince,

le quitamos seis”, pero la manipulación representa el minuendo y el sustraendo como dos

cantidades diferentes. Es decir, el sustraendo no aparece representado con bloques como una

parte del minuendo que se retira del mismo, sino que la representación evoca más una

comparación. No se representa el paso del algoritmo manipulativo al algoritmo escrito. Sólo

se representan con cifras el minuendo, el sustraendo y la diferencia, pero no el proceso. Por

ejemplo, no aparece representado con cifras el cambio de 1 decena por 10 unidades.


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Figura 3. Dos momentos del vídeo de Nuévalos, Pérez, Planells y Vela (2014) sobre la resta.

Las opciones en la virtualización de los bloques en Smartick

En la plataforma online Smartick (De Castro y Gutiérrez del Álamo, 2016), hemos

desarrollado nuestra propia virtualización de los bloques de base 10 de Dienes. En ella hemos

puesto un especial énfasis en la traducción de la manipulación al algoritmo simbólico, pero

también en la interpretación de la resta como un cambio decreciente con la incógnita en la

cantidad final (una acción de quitar y ver cuántos quedan). Para ello, inicialmente no

representamos con bloques el sustraendo (Figura 4), sino que el sustraendo debe quitarse al

minuendo para ver al final cuánto queda en la fila de arriba (Figura 5, izquierda). Las

unidades se presentan en filas de 5, lo que hace también posible el uso de la subitización

conceptual para identificar la cantidad de cubitos (unidades) que hay sin contarlos (Figura 4,

derecha).

Figura 4. La transformación de 1 decena en 10 unidades y la disposición de las unidades

En esta virtualización se puede manipular tanto la parte “física” como la parte simbólica. Una

vez hemos transformado la decena en unidades, debemos anotar en el algoritmo escrito los

pasos del proceso que hemos realizado con los bloques: Las 7 decenas que había se tachan,

y sustituyen por las 6 que quedan. También añadimos un 1 delante de la cifra de las unidades,

convirtiendo 4 unidades en 14 (Figura 5). En la derecha de la Figura 5, vemos la


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retroalimentación que proporciona el entorno cuando nos equivocamos en un paso de la

operación; en este caso, en el cálculo de 13 – 7.

Figura 5. La transición del material manipulativo a la escritura y la retroalimentación

El tutorial interactivo para la resta con llevada

El tutorial interactivo diseñado en Smartick presenta un proceso de resolución guiado a través

de preguntas. Si las actividades de apartados anteriores proporcionan un entorno de práctica

para asentar el procedimiento con comprensión gracias al uso del material, el tutorial

suministra una oportunidad de aprendizaje guiado para el algoritmo. La Figura 6 presenta 6

momentos diferentes del tutorial: (1) En el primero, no aparecen materiales y se solicita al

alumno que represente el minuendo con los bloques; (2) Dado que el cambio de una decena

por una unidad debe ser motivado por una necesidad, se pregunta si tenemos suficientes

unidades para restar las que se nos piden; (3) El siguiente paso presenta el cambio de 1 decena

por 10 unidades; (4) y (5) Le siguen las anotaciones en la parte simbólica de los cambios que

hemos hecho en la parte manipulativa a través del tachado de las decenas y añadiendo 10 a

las unidades; (6) Finalmente, debe escribirse el resultado en el algoritmo escrito, para

completar el proceso de transferencia analógica.


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Figura 6. Seis momentos del tutorial interactivo sobre la resta con llevada

Reflexiones finales

Finalizamos el trabajo con una breve reflexión acerca del diseño y evaluación de recursos

online. Este es un tema en el que deben ir de la mano los desarrolladores, profesores y

expertos en educación matemática. Si ha habido históricamente críticas y objeciones a las

excesivas espectativas puestas en el uso de materiales manipulativos para la enseñanza de las

matemáticas, parecida cautela debemos guardar hacia los recursos online. Si los materiales

manipulativos son solo objetos sin propiedades mágicas, lo mismo podemos decir de los

materiales manipulativos virtuales. Más importante que el recurso es la actividad (o la

secuencia de actividades) en la que se emplea el recurso como ayuda.

Volviendo a la introducción, insistimos en que no adoptamos una posición evaluativa. No

valoramos los recursos online analizados, porque los criterios que aplicamos para el análisis

deben referirse a los objetivos del recurso online para poder funcionar como criterios de

evaluación. Si en este trabajo hemos comentado, por ejemplo, que el recurso de la Figura 2

no obliga a los usuarios a calcular hechos numéricos y se limita a recrear el cambio de

decenas por unidades es posiblemente porque… ¡este sea su objetivo!, lo cual puede tener


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perfecto sentido dentro de una propuesa de aprendizaje (concentrarse en un único aspecto o

dificultad de una operación).

Finalmente, dejamos pendiente reflexionar sobre la diferencia entre un recurso puntual, o una

actividad online, y una trayectoria de enseñanza con recursos online. Cada vez más enfoques

didácticos, como el de Sarama y Clements (2016), aprecian que la mirada en los procesos de

aprendizaje y enseñanza debe centrarse más en las trayectorias (en procesos prolongados,

secuencias, etc.) que en actividades aisladas o recursos puntuales. Esperamos haber

colaborado a orientar futuros esfuerzos de desarrollo de recursos online para el aprendizaje

y la enseñanza de las matemáticas y a poner el foco en decisiones didácticas que no deben

pasar desapercibidas en estos diseños.


De Castro, C., y Gutiérrez del Álamo, P. (2016). Integración curricular de una plataforma

online para el aprendizaje de las matemáticas en educación primaria. EDMETIC,

Revista de Educación Mediática y TIC, 5(1), 143-164.

García Moreno, J. (2014). Bloques base 10. SND, suma y resta. Consultado 1/03/2017 en:

http://www.didactmaticprimaria.com/2014/10/bloques-base-10.html

García Moreno, J. (2017). Manipulativos físicos y virtuales. Uno. Revista de Didáctica de

las Matemáticas, 75, 14-21.

Muñoz Santonja, J. y Murcia, J.A. (2017). Virtuales y manipulativos se complementan. Uno.

Revista de Didáctica de las Matemáticas, 75, 4-6.

Nuévalos, S., Pérez, M., Planells, J.A. y Vela, C. (2014). Bloques Multibásicos: Resta con

llevadas. https://www.youtube.com/watch?v=jDhQQE3zGn8 Consultado 1/03/2017

Sarama, J. y Clements, D.H. (2016). Physical and Virtual Manipulatives: What Is

“Concrete”? P.S. Moyer-Packenham (ed.), International Perspectives on Teaching

and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives, Mathematics Education in the

Digital Era (pp. 71-93). Switzerland: Springer.

http://www.didactmaticprimaria.com/2014/10/bloques-base-10.html%20Consultado%201/03/2017

https://www.youtube.com/watch?v=jDhQQE3zGn8


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CB-1.329

MÉTODOS CONDUCTISTAS Y CONSTRUCTIVISTAS APLICADOS A

ESTUDIANTE CON DISCALCULIA

Angel L. Acosta-Carrasquillo

[email protected]

Universidad de Puerto Rico, Puerto Rico

Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades

y

niveles educativos.

Modalidad: Comunicación Breve (CB)

Nivel educativo: Nivel medio o secundario (12 a 15 años)

Palabras clave: discalculia, conductismo, constructivismo, matemáticas

Resumo

En el presente trabajo se muestran técnicas conductistas (CCC and RR) y constructivistas

(extrapolación e interpolación) para que un estudiante de 14 años con discalculia pudiera

adquirir el conocimiento matemático adecuado al contenido del curso de matemáticas. Este

estudiante presenta dificultad en la lectura y análisis de problemas matemáticos (i.e. 2 + 5 =

5 + 2). Además, este solo realizaba sumas cuyo resultado sea un número de dos dígitos. Este

estudiante no conocía bien las operaciones con multiplicación, división con números enteros.

Con este alumno, se aplicaron técnicas digitales para la suma de números con tres dígitos, el

valor posicional y notación desarrollada. De hecho, se utilizaron manipulativos (tarjetas) para

que este pudiera multiplicar. El estudiante pudo establecer su propio estilo de resolver

problemas, memorizar las tablas de multiplicación del 2 y del 3, entre otros.

I Introducción

En este artículo, el tutor contará su experiencia asistiendo un estudiante con discalculia.

Además, los retos que este enfrentó al intervenir con el estudiante durante un semestre escolar

(enero a mayo 2017). De igual forma, los métodos instruccionales que el tutor utilizó para

garantizar el éxito escolar de este estudiante. Aquí, se mencionan los retos del estudiante

durante la intervención del tutor. Asimismo, los recursos que el tutor utilizó para desarrollar

las capacidades cognoscitivas del estudiante en cinco aspectos: lo visual-espacial, la

planeación, el cálculo, la lógica y la memoria. Por otro lado, el tutor determinó el nivel

posicional (uno, dos, tres o más dígitos) en las cuatro operaciones básicas: la suma, la

multiplicación, la resta y la división. Por último, el tutor explicará los logros académicos y

los logros personales del estudiante.

II Revisión de literatura



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II.a Métodos conductistas

II.a.1 Repetición en la Respuesta (RR)

La repetición en la respuesta o conocida en inglés como response-repetition (RR), según

Rapp y colaboradores (2012) en su investigación del uso de la RR en la adquisición y

desarrollo de la computación en matemáticas, es un procedimiento de corrección de errores

basado en la consecuencia de una conducta. Esto es, el estudiante corrige su respuesta a través

de la repetición, sea esta oral, escrita o actuada. Además, los autores establecen que el uso de

este procedimiento como intervención en la enseñanza promueve la adquisición del

conocimiento matemático mediante el refuerzo negativo. En otras palabras, el estudiante

obtiene la respuesta correcta en presencia de un estímulo anterior específico; así, evitar el

sobreesfuerzo que es evidente cuando se exhibe la respuesta incorrecta. En términos más

sencillos, no exhibe inseguridad en su respuesta.

Por otro lado, Adam y Koch (2014) en su investigación acerca de los efectos de la RR en el

movimiento de la mano y la codificación anatómica en la selección de la respuesta, definen

la RR como un procedimiento en el que la respuesta en la prueba experimental es similar a

la prueba anterior. Los autores argumentan que la RR disminuye el tiempo en la respuesta

(RT). En este caso, este procedimiento fortalece la reacción inmediata a estímulos

específicos. Aunque la RR es asociada con la repetición en el estímulo (SR), según los autores

este procedimiento está ligado en la selección de la respuesta a un estímulo repetido. Por lo

tanto, una RR es necesaria para generar un propósito en la respuesta; además que un SR sin

una RR reprime la selección en la respuesta. Por ejemplo, un estudiante recibe una tabla de

multiplicación en una hoja de papel, en la que este debe identificar los múltiplos en los

espacios en blanco. Entonces, el estudiante responde de forma escrita u oral. El estudiante no

falla en las respuestas de la prueba experimental, más selecciona cómo responder. Por lo

tanto, un SR promueve una RR y esta última promueve una selección en la respuesta.

II.a.2 Cubierta-Copia-Comparación (CCC)

La cubierta-copia-comparación o conocida en inglés como cover-copy-compare (CCC),

según Grafman y Cates (2010) en su investigación acerca la relación entre el CCC y el CCC

modificado (MCCC), es un procedimiento autocrítico en el que el estudiante: (1) observa

ambos, el problema y solución del mismo; (2) cubre ambos, cuestión de no verlos; (3)

reescribe ambos, problema y su solución; (4) descubre los primeros, el problema y su


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solución; (5) evalúa su respuesta; y (6) revisa y corrige su respuesta en caso de tener un error.

Entre las ventajas que mencionan los autores, el procedimiento CCC permite a los estudiantes

la autocorrección y una respuesta a la intervención (ARC, antecedente-respuesta-

consecuencia) inmediatas. En el caso de la ARC, es común que a los estudiantes se les provea

un estímulo antecedente (i.e., un problema matemático), espera una respuesta (i.e., escrita o

verbal) y, entonces provee una consecuencia (i.e., corrección). Por lo tanto, un procedimiento

que sirve como estrategia para la autocorrección y la independencia del estudiante a resolver

problemas, es el CCC.

Por otro lado, de acuerdo con Carter y colaboradores (2013) en su investigación acerca de la

implementación del CCC en el aprendizaje de las lenguas extranjeras, el CCC promueve la

memorización de la información, el desarrollo de habilidades de reconocimiento y mejorar

la respuesta automática. Este procedimiento, de acuerdo con la literatura, ha sido efectivo en

estudiantes con problemas específicos en el aprendizaje. Existe un procedimiento similar

llamado copia-cubre-compara (MCCC, para modified cover-copy-compare) en el que un

estudiante, en lugar de copiar la respuesta y luego revisar la misma, este procedimiento

pretende revisar la respuesta antes (Grafman y Cates, 2010).

II.b Métodos constructivistas

II.b.1 Extrapolación

La técnica de extrapolación se asocia con la expresión “ir de lo micro a lo macro”. Esto es,

un individuo identifica patrones en una secuencia. Luego, este establece reglas, definiciones

o generalizaciones. En el caso de la enseñanza de las matemáticas, esta técnica desarrolla en

los estudiantes el análisis crítico, pensamiento creativo y una comprensión específica

(“profunda”) del tema.

II.b.2 Interpolación

La interpolación se asocia con la expresión “ir de lo macro a lo micro”. Esto es, un individuo

trabaja utilizando reglas dadas para resolver problemas. En el caso de la enseñanza de las

matemáticas, esta técnica desarrolla en los estudiantes el pensamiento crítico y una

compresión general del tema.

III Discalculia

La discalculia, de acuerdo con Klingberg (2013), es un desorden específico en el aprendizaje

que afecta la adquisición de las destrezas aritméticas teniendo efectos en la motivación, la


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estabilidad emocional, las destrezas escolares y la inteligencia del aprendiz. Esto se dirige a

lo que la ley IDEA se refiere en su definición de los problemas específicos en el aprendizaje

como “desórdenes en uno o más de los procesos psicológicos básicos,” ya que sus efectos

van más allá de lo que son las destrezas académicas y sociales, sino psicológicas.

La discalculia prevalece entre el 3% y el 6% de la población [estadounidense] y entre un 5%

y 8% de la población estudiantil (Klingberg, 2013; Kucian & von Aster, 2015). Además, que

se ha evidenciado en aprendices con dislexia (el 50% de estos) y en aprendices con déficit de

atención e hiperactividad (Rousselle y Noël, 2007). Aunque existe evidencia de que estos

aprendices (dislexia y ADHD) pueden tener discalculia, el hecho de que un aprendiz tenga

un problema con la ejecución aritmética, no significa que tenga discalculia. En cambio, este

necesita una asistencia ya sea tecnológica, temporera o permanente.

III.a Enfoque neuropsicológico

La discalculia ocurre en el sulco intraparietal (IPS) y en el giro angular, ambos localizados

en el lóbulo parietal. El IPS está relacionado con la magnitud numérica y la representación

simbólica. Mientras, el giro angular se encarga de las funciones complejas del lenguaje

(lectura, escritura e interpretación), procesamiento numérico-espacial, conciencia espacial,

atención y memoria.

En el hemisferio izquierdo se encuentran las áreas de Wernicke (centro de interpretación

general) y de Broca (centro lingüístico). Mientras, en el hemisferio derecho se trabaja con el

análisis por el tacto, la visualización y el análisis espacial. De acuerdo con Grabner y

colaboradores (2009), los análisis revelan que existe una actividad mayor en el giro angular

izquierdo en adultos al momento de resolver problemas aritméticos. Esto acompañado de una

actividad en la red frontoparietal en la que se reportó la recuperación de procesos y estrategias

pasadas. Por lo tanto, estos resultados vinculan el giro angular izquierdo con la recuperación

de los procesos aritméticos.

En infantes con discalculia, el IPS derecho no está modulado para responder a los procesos

numéricos (Price et. al., 2007). Por consiguiente, la discalculia proyecta un déficit en el

sentido numérico y en la magnitud de los procesos cotidianos. Según Butterworth (2010) y

Mussolini y colaboradores (2010), el déficit toma lugar en un sistema de codificación

numérica, el cual procesa las cantidades. Esto es, el sistema de codificación numérica se


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extiende al lenguaje (palabras como, poco, mucho, frecuente, doble, triple, mitad); y este no

es exclusivo de los procesos aritméticos.

Por otro lado, la discalculia afecta el desempeño en tareas que involucran la manipulación de

símbolos. Esto es, por una disfunción en la agudeza numérica o en la capacidad de

interpretación de símbolos (Piazza et. al., 2010). Además, la discalculia está asociada con la

disfunción en áreas que involucran los procesos aritméticos y los procesos del hemisferio

dominante (Mussolini et. al., 2010).

III.b Enfoque pedagógico

Los aprendices con discalculia pueden presentar problemas en: (1) conciencia espacio-visual,

percepción, razonamiento y orientación; (2) reconocimiento de patrones, secuencias y

posiciones; (3) discriminación y procesamiento de sonidos; (4) reconocimiento de símbolos

en la escritura y lectura de números, letras, figuras; (5) desarrollo en el lenguaje matemático;

(6) realización de conteo y operaciones aritméticas; y (7) decodificación (lectura) y

codificación (deletreo).

Von Aster y Shalev (2007) desarrollaron un modelo de cuatro-pasos para la identificación de

los problemas relacionados a la discalculia y el conocimiento del sentido numérico del

aprendiz. Los pasos son: (a) Cardinalidad: conocer cuánto el aprendiz puede identificar los

números o las cantidades; (b) Adquisición lingüística: saber si el aprendiz reconoce lo que

lee; (c) Símbolos del sistema numérico: el aprendiz reconoce los números (1, 2, 3, 4, 5…); y

(d) Magnitud numérica: que el aprendiz pueda contar, aproximar y generalizar.

Los niños con discalculia, según Rousselle y Noël (2007), muestran mayor dificultad en

acceder a sus capacidades numéricas desde los símbolos. No obstante, de acuerdo con De

Smedt y Gilmore (2011), los niños con discalculia no muestran déficits al acceder a

información no-simbólica. Esto es, los procesos no-simbólicos desarrollan en los niños la

recuperación del conocimiento en menor tiempo que otros de su edad cronológica. Por lo

tanto, nuevas intervenciones para fortalecer los procesos numéricos, acompañados con

educación diferenciada en la sala de matemáticas, son prioridades para atender a esta

población de estudiantes (Butterworth et. al., 2011; Halberda et. al., 2008).

IV Metodología

El tutor inició sus labores en el mes de enero 2017. Las tutorías se realizaron en el domicilio

del estudiante. Este estudiante de 14 años cursa el octavo grado (nivel medio) y es elegible


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bajo la categoría de Problemas Específicos en el Aprendizaje (PEA) por dislexia, según la

ley IDEA del año 2004. Las sesiones fueron de dos horas semanales, dos días en la semana.

V Caso

Las deficiencias que el estudiante presenta en la lectoescritura están inmediatas a la

comprensión de la lectura y a la producción de textos. En este último, el estudiante no logra

redactar textos de manera independiente sin supervisión inmediata. No obstante, este no

presenta deficiencias en la reproducción de textos (dictados). El tutor trabajó con el

estudiante en la redacción de un poema narrativo acerca de las matemáticas utilizando el

método socrático. Esto es, para plasmar de manera escrita la imagen mental del estudiante.

Las deficiencias que el estudiante presenta en el cálculo son inmediatas a sus deficiencias en

la lectoescritura. Sea que el estudiante lee de manera correcta la operación (ejemplo, 2 × 5

es “dos veces cinco” o “dos por cinco”), más no conozca el proceso de cómo hallar la

solución. Esto es, debido a la poca comprensión de la lectura de una operación matemática.

No es lo mismo saber leer que conocer lo que se está leyendo. De hecho, en este último se

comenzó a trabajar con el estudiante de manera profunda.

Entre los retos para el estudiante se encuentra la desmotivación al momento de trabajar en la

sesión de tutorías. Esto es, el estudiante percibe los problemas matemáticos como “iguales”.

Además, este reto lo lleva a desconfiar de las habilidades matemáticas que este posee, más

no se da cuenta. Para esto, el tutor trabajó en el refuerzo positivo de la felicitación. Esto es,

felicitando al estudiante por cada ejercicio realizado correctamente. Otro reto que presenta el

estudiante es el miedo. Este miedo es provocado al fracaso en una prueba o en un examen.

Para el segundo examen de la sesión, el estudiante no logró completar el mismo, debido a

que olvidó el contenido en el momento que entró al salón de matemáticas. No obstante, para

el primer examen, este sintió inseguridad, y pudo completar el 76% del mismo. Por

consiguiente, el reto más grande para el estudiante es la institución a la que asiste. Esta

institución apenas provee el apoyo necesario para que el estudiante pueda desenvolverse en

las matemáticas, más no así el acomodo en los ejercicios matemáticos. El tutor sugiere que

se realice una modificación curricular a favor del estudiante.

A continuación, una serie de imágenes que presentan el proceso realizado con el estudiante.

(ver en la sección de Anejos)

VI Logros


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Durante el semestre de la tutoría, el estudiante logró memorizar la tabla de la multiplicación

del 2 y el 3. Para lograr esto, el tutor utilizó la aplicación móvil Math Ninja- Multiplication.

Esta aplicación es un juego matemático para aprender las tablas de multiplicación hasta 9 por

9. Este juego consiste en dos ninjas animados que resuelven las multiplicaciones para avanzar

de nivel. El jugador selecciona un ninja para iniciar el juego. El juego inicia desde la tabla

del 1 hasta la tabla de 9. Cada nivel tiene tres subniveles con dos partidas cada uno. Un

subnivel comprende de la multiplicación hasta 5; el otro desde 6 hasta 9; el último hasta 9.

En la pantalla aparecerá un ejercicio en la parte superior y tres opciones en la parte inferior.

El jugador debe seleccionar la respuesta correcta. En caso de fallar, el mismo juego te permite

la autocorrección. Este juego fue utilizado con el estudiante. Luego, se llevó este juego a unas

tarjetas con la misma funcionalidad. Este juego es uno autocorrectivo, por lo que el estudiante

aprende de los errores.

Otro logro alcanzado por el estudiante fue el resolver hasta cuatro problemas de suma y resta

de un solo dígito en siete segundos. Para esto, el tutor utilizó la aplicación móvil Math Run.

Este juego matemático se asimila al juego Temple Run. En Math Run, un pequeño panda

escapa y huye de un panda más grande. Cuando el panda pequeño falla en esquivar un

obstáculo, el juego presenta una cantidad de problemas a resolver dentro del tiempo indicado.

Si el jugador logra resolver todos los problemas en el tiempo indicado, el juego continúa; de

lo contrario, este concluye. Este juego sirvió como refuerzo positivo para el estudiante por

completar el trabajo a tiempo y como recurso instruccional. El estudiante logró resolver

cuatro problemas de suma y de resta en 15 segundos.

De igual forma, el estudiante logró definir conceptos matemáticos utilizando ejemplos

creados por él. Este proceso le ayudó a memorizar los conceptos matemáticos y, así trabajar

con su retención de información. Aunque en ocasiones se confunde, el estudiante demuestra

conocer los conceptos y trabajar con estos con supervisión. Además, este logró establecer su

propio estilo de solución de problemas: memoria de primer paso. Esto es, memorizar el

primer paso de la solución de unos problemas en específico y, así copiar y comparar con los

ejercicios ya resueltos.

VII Futuro

El tutor espera continuar asistiendo al estudiante en su desarrollo en las matemáticas.

Además, una de las metas propuestas en este artículo es que el estudiante logre resolver


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problemas matemáticos lo más independiente posible. De igual manera, el tutor trabajará en

profundidad la resta reagrupada y la división, ya que el estudiante no logró definir bien los

procesos presentados en las sesiones. El tutor incorporará manipulativos matemáticos como

las losetas de colores para las operaciones básicas, entre otros manipulativos físicos y

digitales. Por último, el tutor espera trabajar las matemáticas y las artes del lenguaje en

conjunto para atender las deficiencias en la comprensión de lectura, producción de textos,

pensamiento crítico y pensamiento creativo; todo esto, utilizando un estímulo positivo, los

autos.


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CB-1.336

EL ROL DE LAS DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE ALGEBRAICO LIGADO

AL DESEMPEÑO DEL SENTIDO ESTRUCTURAL EN ESTUDIANTES DE

GRADO OCTAVO

María Teresa Castellanos Sánchez (1), Jorge Alejandro Obando Bastidas (2)

(1 ) Universidad de los Llanos, (2) Universidad Cooperativa de Colombia

Núcleo temático: I

Modalidad: CB

Nivel educativo: Medio o Secundario

Palabras clave: álgebra escolar, errores y dificultades del aprendizaje, sentido estructural

Resumo En este trabajo presentaremos brevemente el análisis de los errores que cometen

estudiantes de grado octavo (13-14 años) al intentar resolver ejercicios sobre

factorización. El objetivo del estudio desarrollado fue el de analizar las dificultades

algebraicas que enfrentan los alumnos cuando se les proponen tareas que implican sentido

estructural. A través del estudio pudimos observar que algunas dificultades representan un

punto clave en el desempeño de los estudiantes. Éstas tienen amplia implicación en la

enseñanza y aprendizaje del tema factorización. El análisis nos permitió observar que las

dificultades ligadas al conocimiento del lenguaje algebraico aparecen como un primer

obstáculo. Parecería que una vez superadas éstas el estudiante evita ciertos errores pero

enfrenta otras dificultades asociadas a las definiciones y propiedades de los constructos

algebraicos y, a las relaciones de éstos en la expresión algebraica.

Referentes

Directrices curriculares colombianas concibe que el conocimiento de la estructura de las

operaciones aritméticas, puede llevar a estudiantes a considerar las representaciones

algebraicas como objetos matemáticos, con las cuales se realizan operaciones estructurales

(MEN, 1998).

La visión estática del álgebra como una simple extensión de la aritmética, trae consigo,

dificultades en su aprendizaje. En esta perspectiva, las dificultades de los escolares al ver la

actividad algebraica como operatoria aritmética, se identifican: (a) la interpretación del signo

igual, (b) dificultades en la notación algebraica y, (c) la falta de habilidad para expresar

procedimientos para resolver problemas (Kieran y Filloy, 1989)


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En un estudio previo destacamos las dificultades de escolares para usar e interpretar los

paréntesis, tanto en contextos aditivos como multiplicativos y las dificultades que tienen

origen en los aspectos estructurales y operacionales (Castellanos, Obando, 2009).

El desempeño y dominio del álgebra para el trabajo con las expresiones algebraicas, requiere

a los alumnos comprender la dualidad (objeto y proceso) y flexibilidad para transitar entre el

objeto y el proceso, es decir, flexibilidad de conocimiento procedimental y conceptual

(Castellanos y Obando, 2009).

Hoch & Dreyfus (2005), refieren dificultades de los estudiantes al transformar expresiones

algebraicas, asociadas a la incapacidad para reconocer la estructura, las cuales puede surgir

por la falta de comprensión de los conceptos estructurales de la aritmética. Para ellos, estas

dificultades estaban asociadas al bajo sentido estructural.

El sentido estructural se refiere desempeños al trabajar con expresiones algebraicas, que son

producto de una serie de habilidades y capacidades para “reconocer la estructura algebraica

y utilizar las características apropiadas de una estructura en un contexto dado como guía para

elegir las operaciones a realizar” (Hoch & Dreyfus, 2005).

El desempeño del sentido estructural, conlleva reconocer expresiones equivalentes sin

realizar procedimientos, remplazar una expresión por otra según el caso; conocer entre las

equivalentes: la más conveniente a utilizar según el caso; identificar la más simple de todas

y cuando es conveniente sustituir una por otra; entre otros (Vega-Castro, 2013).

Los descriptores que permiten identificar si un estudiante desempeña el sentido estructural

en el contexto del álgebra fueron presentados por Hoch & Dreyfus (2006).

SS1. Reconocer una estructura familiar en su forma más simple,

SS2. Tratar con un término compuesto como una única entidad y, a través de una

sustitución adecuada, reconocer una estructura familiar en una forma más compleja,

SS3. Elegir manipulaciones apropiadas para hacer el mejor uso de una estructura.

Posteriormente, subdividieron SS2 y SS3 para ver la complejidad de las expresiones.

SS2.a Término compuesto contiene producto o potencia pero no suma/resta,

SS2.b Término compuesto contiene suma o resta y además es posiblemente producto

o potencia,

SS3.a Donde la estructura está en su forma más simple,

SS3.b Término compuesto contiene un producto o potencia pero no una

suma/resta,


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SS3.c Término compuesto contiene una suma/resta y posiblemente también un

producto o potencia.

Vega-Castro (2013) amplia la caracterización anterior, añadiendo un cuarto descriptor

SS4.a Las subestructuras forman parte de la misma expresión polinómica,

SS4.b Las subestructuras forman parte de diferentes expresiones polinómicas (por

ejemplo del numerador y del denominador).

Diseño metodológico

El estudio se enfocó en el paradigma descriptivo-interpretativo de tipo. Interpretamos los

resultados de una prueba aplicada a 35 estudiantes (13-14 años). El estudio se desarrolló en

tres momentos.

Primer momento: Construcción, validación y ajuste de la prueba. El diseño de un

cuestionario que involucró tareas con expresiones algebraicas (simples y complejas),

solicitaba el uso de los productos notables y las operaciones algebraicas para transformar

expresiones algebraicas -extensión y factorización-. (Ver anexo)

Segundo momento: Análisis de errores y dificultades del aprendizaje algebraico.

Para la clasificación de errores cometidos por los escolares, se usan las dimensiones (a)

elección incorrecta de una técnica, (b) uso incorrecto de la técnica (c) uso de un conocimiento

básico, aunque correcto, no pertinente (Castellanos y Obando, 2009).

Los errores se analizan desde tres ejes, no disjuntos, que permiten estudiar los errores en

relación con tres orígenes distintos: Obstáculo (cognitivo, didáctico y epistemológico),

Ausencia de sentido (semiótico, estructural y autónomo) y Actitudes afectivas (emociones,

actitudes y creencias) (Socas, 1997).

Las dificultades son organizadas en cinco grandes categorías que permite describir la

procedencia de estas; dos asociadas a la complejidad de los objetos algebraicos; una tercera

relacionada con los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje del álgebra, a la

visión tradicional y sin aporte al sentido del álgebra; la cuarta está asociada a los procesos de

desarrollo cognitivo de los alumnos, relacionadas con la complejidad que supone la

abstracción y la generalización, y la quinta está asociadas a actitudes afectivas, inherentes al

propio sujeto (Socas, 1997)

Tercer momento: Desempeño del sentido estructural. Interpretamos la presencia de los

descriptores del sentido estructural según Hoch & Dreyfus (2006) y Vega, (2013). Una vez,


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reconocidas las soluciones en las justificaciones de los estudiantes, atendiendo aquellas que

daban a transformaciones válidos basados en el uso eficiente de técnicas,

Análisis de los resultados

La validación de la prueba, se realizó con el juicio de profesores expertos (4) y con una prueba

piloto en la que participaron estudiantes de grado noveno (12). Los resultados llevaron ajustes

tales como: ampliar imágenes de las situaciones planteadas; involucrar más de un objeto

algebraico en las cuestiones, implementar la puesta en común de las soluciones, superar errores

sintácticos en los enunciados y representaciones simbólicas, y considerar los niveles de dificultad

en algunas tareas (bajar la demanda cognitiva).

La clasificación de los errores, se abordó desde una perspectiva emergente, más allá, de

establecer los procedimientos erróneos, se atendió a las tres dimensiones a la elección de la

técnica (correcta, apropiada, éxito en el uso), al tiempo examinamos los conceptos usados

(certeza, pertinencia, domino) retomados de nuestro estudio exploratorio.

El análisis de los errores.

Este análisis contó con 355 respuestas, se examinó en profundidad los procesos involucrados y

los conceptos involucrados en la solución de las tareas agrupamos los tipos de error siguiendo

los referentes teóricos como se muestra en el cuadro 1, ejemplificamos el análisis con

resultados de tareas que se han descrito en el anexo

Tipo de error Origen en Ejemplos Evidencia

Ausencia de

sentido

La aritmética Tratamiento incorrecto de paréntesis

(ignoran; no usan; errado) No usar letras para representar (registros

geométricos)

Uso equivocado de paréntesis al sustituir (ej, B=2+c En 5B-8 queda 10+c -8)

Reducen paréntesis al igual que en la aritmética

de adentro afuera

1.2.Uso

inapropiado de

“fórmulas” o “reglas de

procedimiento”

Incorrecto uso propiedad distributiva

(supone dos operaciones)

de la multiplicación en relación con la adición, al caso de la multiplicación (una

sola operación):

Confunden multiplicación con potenciación Sumas sintácticas incorrectas

Asociación incorrecta de procedimientos o

propiedades (ej, x+x =x.x= x2 Se da porque

22=2 x 2=2+2)

Equivocaciones en radicales o evitar extraer

raíces Uso inapropiado de algoritmos

Confundir el producto con la suma al

transformar términos

Otros ejemplos


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Características

propias del

lenguaje algebraico

Traducción incorrecta del lenguaje

simbólico Incapacidad para asignar una letra

a un dato desconocido No expresan relaciones entre las letras o

atributos en un problema (el doble; dos más

que, ) Traducir erróneamente desde una

representación geométrica a una

representación simbólico No reconocen la letra como uno de los

sumandos (en distributiva 5(3+b) =15+b)

Se manifiestan en procesos de generalización,

simplificación, eliminación, complicación

estructural y particularización

Actitudes

afectivas y emocionales

Condiciones

motivacionales

Descuido. No completan los problemas

luego de la traducción Creencia: las expresiones que incluyen la

literal X, requieren ser despejadas o reemplazadas

Omiten el uso de la identidad notable diferencia

de cuadrados. Prefieren proceder

3.Obstáculo

cognitivo

Tránsito de la

aritmética al

algebra

Rigidez al proceder en algebra

Imposibilidad abstraer información de una

representación geométrica

Resistencia a la falta de cierre 2+3a = 5a.

Particularización (No logran dar sentido a

las letras, quieren dar valores) Concatenar 37 (3 decenas+7unidades) en

algebra 3b (es 3 multiplicado b; no es 3+b)

Ej. Aplican procesos traídos de la aritmética)

Necesidad de un resultado [clausura].

continuar aplicación convenciones de la

aritmética en algebra (2a y 2+a son expresiones equivalentes)

Cuadro 1. Análisis de los errores

Los errores que sobresalen en las producciones de los escolares son: necesidad de clausura,

particularización de expresiones, uso incorrecto del paréntesis, confusión de la multiplicación

y la potencia.

En el tratamiento de las operaciones con expresiones algebraicas (al extender una estructura),

los escolares tienden a extender la operación de la adición a la multiplicación, tratan de

manera incorrecta las propiedades matemáticas (distributiva y asociativa) e interpretan

incorrectamente el negativo. El cuadro 2 muestra el análisis de errores consolidado de las

soluciones dadas por los 35 participantes a dos tareas de la prueban

No

de

Tare

a

Ap

arta

do

s d

e ta

rea

Análisis errores con origen en

Ausencia de sentido Actitudes afectivas

Obstáculo cognitivo

La aritmética

Uso inapropiado (fórmulas, reglas, procedimiento)

Características propias del lenguaje algebraico

Condiciones motivacionales Carencias Creencias

Tránsito de la aritmética al álgebra

T1 1.1 18 11 23 2 25

1.2 17 19 19 0 17

1.3 9 14 29 0 26

1.4 3 8 7 5 13

T2 2.1 6 17 7 0 8

2.2 1 15 0 6 4

2.3 0 21 0 0 12


ISBN 978-84-945722-3-4

2.4 8 11 4 1 10 Cuadro 2. Análisis consolidado de los errores

El análisis de las dificultades.

Examinando en profundidad los procesos involucrados en cada grupo de errores (cuadro 2), y

según las categorías propuestas para las dificultades, se puede evidenciar elementos coincidentes,

por lo que se propone la siguiente relación:

Los elementos constitutivos de las dificultades de tipo epistemológico se reflejan en el grupo uno

y dos. Se corresponde con los errores con origen en la ausencia de sentido, los cuales son debidos

al uso inapropiado de los procedimientos algebraicos y de la aritmética (conceptos y

propiedades). Según Socas (2007) por la complejidad de objetos algebraicos.

Los elementos constitutivos de las dificultades asociados a los procesos de pensamiento

algebraico de los escolares, se reflejan en el grupo tres. Se corresponden con los errores que

tienen origen en un obstáculo epistemológico. En esta categoría sobresalen los errores debidos

procedimientos heredados de la aritmética y a la resistencia propia que supone la abstracción y

la generalización

Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales. La mayoría de los participantes

demostró dificultades a causa de errores que tienen origen en la naturaleza intrínseca del

álgebra. En esta categoría, los errores más frecuentes fueron el uso inapropiado de reglas de

procedimiento.

Los resultados permitieron identificar tres categorías de dificultades propias de las

transformaciones con expresiones algebraicas (extensión y factorización) que involucran

productos notables

Dificultades asociadas al uso de las técnicas en contextos no familiares. Destacamos

limitaciones al usar reglas en contextos no familiares (no saben “qué, y cuándo hacer”)

Dificultades asociadas a la percepción de expresiones con la misma estructura. Debidas al

tratamiento y presencia de los paréntesis. Destacamos de las respuestas: a) percepciones

visuales en las estructuras de las expresiones, a margen del compromiso conceptual de las

reglas, desvelan dominio de los aspectos visuales sobre el conocimiento declarativo; b) uso

superficial de procedimientos, ocasionando falsa percepción de las formas de las reglas

correctas; c) Uso adecuado de reglas no pertinentes, sin malentendidos con el significado de

estas.


ISBN 978-84-945722-3-4

Dificultades con la estructura de las expresiones algebraica, son debidas a la incapacidad

para reconocer la estructura. La distinción estructural en las expresiones algebraicas, no es

clara y tangible al estudiante

Análisis del sentido estructural

Interpretamos el desempeño del sentido estructural de los participantes, analizando 72

respuestas acertadas a las cuestiones e identificando el descriptor en correspondencia con

cada apartado. Se registró por descriptores el número de participantes que dan cuenta del uso

del sentido estructural (ver tabla 1).

La tabla 1 muestra la distribución de los resultados.

Descriptor Frecuencia

SS1. 41%

SS2.a 25%

SS2.b 28%

SS3.a 71%

SS3.b 62%

SS3.c 19%

SS4.a 49%

SS4.b 12%

Se encontró tal desempeño distribuido en todo los descriptores del sentido estructural (Hoch

& Dreyfus, 2005) además, se identificaron algunos participantes (12%) que dan cuenta del

descriptor SS4 propuesto por Vega-Castro (2013) cuando se les exige transformar una

expresión algebraica (simplificar fracciones), donde el denominador contiene subestructuras

que al tiempo forman parte de las expresiones del numerador.

En la mayoría de los casos, las respuestas de los escolares dan cuenta del uso del

conocimiento sobre productos notables (cuadrado de la suma, cuadrado de la diferencia,

diferencia de cuadrados) y de las propiedades (distributiva, asociativa y modulo).

De manera acertada, aplican las técnicas al trabajar con expresiones algebraicas simples; en

las expresiones compuestas, menos de la mitad eligen aquellas que son más efectivas y

simples, con dificultad buscan caminos cortos y eficientes en la transformación


ISBN 978-84-945722-3-4

Cabe destacar, que las 72 producciones acertadas y analizadas corresponden solo al 20.3%

del total de respuestas ofrecidas por los escolares. De igual modo, el cuadro resalta el bajo

desempeño en el sentido estructural por parte de los escolares, sobresale el descriptor SS3 en

el cual, demuestran elegir manipulaciones apropiadas para hacer el mejor uso de una

estructura y en particular, SS3.a (71%), donde la estructura está en su forma más simple.

Consideraciones Finales

Comunicamos una parte de los resultados del trabajo de grado de la licenciatura en

matemáticas de una Universidad en Colombia, cuyo objetivo fue promover el sentido

estructural en el ámbito del álgebra escolar. Informamos algunas observaciones y reflexiones

en cuanto al error, las dificultades y el desempeño del sentido estructural cuando estudiantes

de grado 8vo dan solución a dos tareas de transformación (extensión y factorización) y que

involucran expresiones algebraicas (simples y complejas). En ellas se incluyeron las

identidades notables: cuadrado de la suma, cuadrado de la diferencia, diferencia de cuadrados

y propiedades (distributiva, asociativa).

Las dificultades son organizadas en cinco grandes categorías que permitieron describir su

procedencia Socas (1997), dos asociadas a la propia disciplina, complejidad de los objetos

de las Matemáticas y de los procesos de pensamiento matemático, una tercera relacionada

con los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de las Matemáticas, la cuarta

está asociada a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos, y quinta asociadas a las

actitudes hacia las Matemáticas.

El análisis nos permitió observar que las dificultades ligadas al conocimiento del lenguaje

algebraico aparecen como un primer obstáculo. Parecería que una vez superadas éstas el

estudiante evita ciertos errores pero enfrenta otras dificultades asociadas a las definiciones y

propiedades de los constructos algebraicos y, a las relaciones de éstos en la expresión

algebraica.

En consecuencia de los resultados, se lee que las dificultades en la transformación

(factorización extensión) y simplificación de operaciones con expresiones algebraicas

implican en el desempeño del sentido estructura. Los principales errores detectados que dan

origen a estas dificultades son: a) uso incorrecto de una identidad (estructura familiar) para

factorizar; b) asociación incorrecta de una identidad al factorizar; c) procedimientos

incorrectos (operaciones); d) interpretación equivocada de la potenciación y e)


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reconocimiento equivocado de sub estructuras en una expresión algebraica compuesta. Estas

situaciones también fueron estudiadas por Hoch & Dreyfus (2006) en el contexto de la

solución de ecuaciones.

Cabe destacar que la falta de sentido inherente al hecho simbólico no siempre es el origen de

las dificultades asociadas a las transformaciones de algunos símbolos, también se deben, a la

falta de comprensión de la estructura de las expresiones, de las propiedades de los sistemas

numéricos (ej. asociativa o distributiva). Situación que también fue informada en los estudios

de (Kirshner, 2001), la comprensión insuficiente de las propiedades matemáticas implica la

comprensión de la estructura de expresiones.


Castellanos, M; Obando, J. (2009). Errores y dificultades en procesos de representación: el caos

de la generalización y el razonamiento algebraico. Comunicación presentada en 10º Encuentro

Colombiano de Matemática Educativa (Octubre 2009). Pasto, Colombia.

Hoch, M. y Dreyfus, T. (2005). Students’ difficulties with applying a familiar formula in an

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Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education

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Hoch, M. y Dreyfus, T. (2006). Structure sense versus manipulation skills: An unexpected

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Ministerio de Educación Nacional República de Colombia (1998). Lineamientos curriculares

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Socas, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en

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secundaria (pp. 125-154). Barcelona: Horsori.

Socas, M. (2007). Dificultades y errores en el aprendizaje de las matemáticas. Análisis desde

el enfoque lógico semiótico. En M. Camacho, (Eds.), Investigación en Educación

Matemática XI (pp. 19-52). Tenerife, España: SEIEM Vega Castro, D. (2013). Perfiles de alumnos de educación secundaria relacionados con el sentido

estructural manifestado en experiencias con expresiones algebraicas. Universidad de Granada

Anexo 1.

EL ROL DE LAS DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE ALGEBRAICO LIGADO

AL DESEMPEÑO DEL SENTIDO ESTRUCTURAL EN ESTUDIANTES DE

GRADO OCTAVO

María Teresa Castellanos Sánchez (1), Jorge Alejandro Obando Bastidas (2)

(1 ) Universidad de los Llanos, (2) Universidad Cooperativa de Colombia


ISBN 978-84-945722-3-4

El siguiente es un extracto de la prueba original, la cual contenía diez tareas, en ellas se

involucraron cuestiones de análisis y síntesis, tanto estructural como funcional (SABER,

2012). La complejidad de las tareas se pensó para cubrir los diferentes grados de dificultad

(conexión, reproducción, reflexión) para diferentes demandas cognitivas.

a. Estructura y competencias implicadas en el grupo de tareas de la prueba

b. Presupuesto de las tareas involucradas en la prueba.

Grado de

Complejidad

Objetivos Dominio

Síntesis

operacional

Conexión Cx

“usar conceptos…

conectarlos para dar

solución a tareas.

“expresar...representar…y

resolver situaciones”.

Reflexión Rf Considerar el significado

de procedimientos y de

los conceptos algebraicos

en sus resoluciones

Resolver y justificar situaciones

de conversión

Justificar sustituciones formales

Análisis

Operacional

Conexión Cx

Interpretar nociones y

algoritmos usados en

operaciones con

expresiones algebraicas

“explicar un procedimiento

usado

“justificar una propiedad…”

Reflexión Rf Argumentar

procedimientos usados…

y justificar relaciones

establecidas

Convertir registros geométricos

a simbólicos…Traducir

Análisis

Estructural

Reproducción Identificar estructuras

involucradas….y describir

relaciones que la definen

Clasificar expresiones

algebraicas

c. Desempeños e indicadores que implican las situaciones de las tareas

1. Reconocimiento de todas las formas equivalentes de una expresión

2. Uso de representaciones y razonamientos algebraicos para dar respuesta.

3. Comprensión conceptual en relación con: operaciones, estructuras y algoritmos.


ISBN 978-84-945722-3-4

4. Aplicación del lenguaje simbólico

5. Desempeño de actividad algebraica (transformar, sustituir, formular, generalizar)

d. Ejemplo de una tarea.

La tarea titulada “el centro comercial” abordo el significado de las letras para

representar magnitudes de figuras geométricas (cuadrados y rectángulos). En esta los

estudiantes deberían mostrar el dominio conceptual sobre la equivalencia entre expresiones;

además del dominio procedimental para realizar la sustitución de propiedades matemáticas y

la transformación sintáctica. El estudiante en esta tarea tenía oportunidad de mostrar su

desempeño del sentido estructural de tipo de SS1 hasta SS3, al elegir manipulaciones

apropiadas para hacer el mejor uso de una estructura.

Ejemplo de tareas de la prueba: “el centro comercial”.

Presupuestos de las tareas Sintesis

operacional

Cx “usar conceptos… conectarlos

para dar solución a tareas.

“expresar...representar…y resolver

situaciones”.

Errores

Análisis

Operacional

Rf “ argumentar procedimientos

usados… y justificar relaciones

establecidas”

“convertir registros geométricos a

simbólicos…

T C Objetivos Meta


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CB-1.339

AIMAGINARIOS SOBRE LA FUNCIÓN SOCIAL DE LAS MATEMÁTICAS Y

ALGUNAS CUESTIONES DE GÉNERO EN FUTUROS PROFESORES

María Suavita Ramírez – Natalia Ruiz López


Universidad Autónoma de Madrid – España

Núcleo temático: Aspectos socio culturales de la Educación Matemática.

Modalidad: CB


Palabras clave: Imaginarios en Educación, Educación Matemática, Justicia Social.

Resumen

A partir de las situaciones personales que experimenta un estudiante durante su historia

académica, éste genera una imagen de lo que son las matemáticas, construye significados.

Esta experiencia personal se enmarca a su vez dentro de una sociedad en la que las

matemáticas ya tienen de por sí significaciones asociadas, y en la que, a pesar de la

importancia que se les otorga, no se consideran como una ciencia al alcance de todos, sino

más bien todo lo contrario, bajo el imaginario convencional “las matemáticas son solo para

los más listos”. Pensar en los imaginarios de los futuros profesores, no solo es importante

sino necesario para la comprensión de la manera como el docente configura su rol, así como

para el estudio y la mejora de las prácticas docentes.

En este trabajo se abordan algunos de los imaginarios sobre las matemáticas, y la manera

en que ciertas desigualdades al interior de la clase contribuyen a la configuración de tales

imaginarios. Dichos desarrollos hacen parte de un estudio en el que se indagó sobre cuáles

son y bajo qué situaciones se generan los imaginarios sobre las matemáticas, mediante un

estudio mixto, con futuros profesores en formación de la Universidad Autónoma de Madrid.

Estos planteamientos conducen a reflexionar sobre la necesidad de una cultura matemática

escolar hacia la justicia social.

Desarrollo del trabajo

¿Cómo nos habitan los imaginarios?

Peter Berger y Thomas Luckmann (1968/2012) explican cómo la realidad se construye

socialmente y cómo la sociología del conocimiento debe analizar los procesos por los cuales

esto se produce. Lo imaginario también construye y transforma la sociedad, pues es, a partir

de la creación de formas e imágenes, que el hombre organiza y ordena el mundo. Cuando

estas creaciones son colectivas, se manifiestan en la sociedad como imaginarios sociales, así;


mailto:%20natalia.ruiz@uam.


ISBN 978-84-945722-3-4

cada sociedad crea un magma de significaciones sociales, irreductibles a la funcionalidad

o a la racionalidad, encarnadas en y por instituciones y que constituyen en cada caso un

mundo propio (Castoriadis, 2013, p. 24).

Los imaginarios, representaciones colectivas que están fuertemente relacionadas con la

experiencia, han sido estudiados desde varias perspectivas que incluyen los imaginarios

sociales (Castoriadis, 2013; Durand, 2005; Franzone, 2005; Pintos, 2014), los imaginarios

urbanos (Silva, 2006, 2013) y, recientemente, los imaginarios en educación (Dussel, 2009;

Vasconcellos, Caparróz y Ribeiro, 2011).

En una primera instancia de su investigación, Pintos (1995) considera los imaginarios

sociales como constructores de los órdenes sociales. Reconociendo que “la mayor dificultad

con la que nos encontramos en el ejercicio de este oficio se podría resumir en una frase de

larga tradición: «Hacer visible la invisibilidad social»” (p. 6).

Esta es una potente postura, puesto que ciertamente tras los imaginarios se descubren

dinámicas, por ejemplo, de desigualdad social, que permanecen ocultas hasta que se estudia

de manera consciente cómo llegan a establecerse tales dinámicas hasta el punto de su

normalización. En este sentido el aula de matemáticas no es una excepción y tras la

construcción de una mala imagen de las matemáticas por parte de los estudiantes, de sus

imaginarios, se encuentran situaciones experimentadas que, en ocasiones, precisamente,

tienen que ver con desigualdades o injusticias al interior de la clase.

Por ejemplo, se ha encontrado que en algunas clases de matemáticas la distribución que se

propone al ubicar a los estudiantes, digamos, con mejores desempeños adelante y a los

estudiantes con desempeños más bajos atrás, es percibida por los estudiantes como un acto

injusto y discriminatorio. De la misma manera, perciben como injusta la manera en que se

les evalúa a todos por igual, e incluso lo ven como una contradicción frente al discurso –de

los mismos docentes– que defiende la diversidad del estudiantado y les reconoce como

diferentes.

No es extraño entonces que los estudiantes lleguen a pensar que no hay relación alguna entre

la clase de matemáticas y la Justicia Social. No solamente porque son educados desde

acciones que muchas veces no son propiamente justas, y en un ambiente que ante sus ojos


ISBN 978-84-945722-3-4

parece poco justo, sino porque además entre las aplicaciones de lo que aprenden en

matemáticas no le encuentran una utilidad desde el punto de vista del impacto social que

puedan tener.

A propósito de la investigación en la que se enmarca este trabajo, en la que, como se ha

mencionado anteriormente, se buscaba tanto identificar imaginarios como profundizar en las

causas de sus orígenes; la estrategia metodológica que se desarrolló para alcanzar tales fines,

corresponde a un estudio que integra las perspectivas cuantitativa y cualitativa. Para lograr

una primera aproximación a la identificación de imaginarios de los profesores en formación

sobre las matemáticas, se realizó un estudio ex post facto mediante el método de encuestas;

utilizando un cuestionario como instrumento para recoger la información. El cuestionario se

aplicó a 293 profesores en formación distribuidos en cinco grupos; cuatro de estos grupos

conformados por estudiantes de grado de maestro en educación primaria, y uno de grado de

maestro en educación primaria e infantil, de la Facultad de Formación de Profesorado y

Educación de la Universidad Autónoma de Madrid, correspondientes a la muestra elegida.

Este instrumento integró preguntas tanto abiertas como de diferencial semántico y tipo Likert.

Una vez recogida la información se continuó con su sistematización y análisis, haciendo uso

del programa SPSS.

Así, después de identificar algunos imaginarios se procedió a iniciar con el análisis

cualitativo para profundizar en las posibles causas de la creación de tales imaginarios,

correspondientes al segundo objetivo, y que requería acceder al discurso de los profesores en

formación. De manera que se llevaron a cabo dos grupos de discusión, cada uno con 8

integrantes, que hacían parte de la muestra inicial del estudio ex post facto, y lo más diversos

posibles, a pesar de que la convocatoria para conformar tales grupos se propuso de manera

abierta para quienes quisieran participar. Para el registro de los grupos de discusión se

utilizaron dispositivos de audio y video. Seguidamente se realizaron las transcripciones y se

dio paso al tratamiento y análisis de los datos textuales, usando como herramienta el

programa Atlas.ti 8.0

Una anécdota sugerente que sucedió con los grupos de estudio durante la aplicación del

cuestionario, tiene que ver con que al llegar a la premisa en la que se proponía que las

matemáticas se relacionaban con la construcción de una sociedad más justa, y frente a la que


ISBN 978-84-945722-3-4

se les indicaba que respondieran según estuvieran de acuerdo o en desacuerdo, varios

estudiantes no sabían qué hacer. En múltiples ocasiones levantaron la mano para preguntar y

expresar que no entendían, “¿más justa?” decían, “es que no tiene nada que ver” comentó

otro, e incluso un par cuestionaron sobre si la pregunta estaba bien o era un error. Finalmente,

más de la sexta parte de quienes se posicionaron en relación a la pregunta mencionada, señaló

que se encontraban bastante o en total desacuerdo con la afirmación “las matemáticas tienen

relación con la construcción de una sociedad más justa”.

Es decir que no es claro el rol que tienen, o deberían tener, las matemáticas como herramienta

de cambio y mejora de la sociedad, pues es evidente que el reconocimiento de su impacto

para edificar una sociedad más justa, es escaso.

Sobre la función social de las matemáticas y en relación al género

Tanto el imaginario “Las matemáticas no tienen relación con la construcción de una

sociedad más justa”, como el imaginario “Las matemáticas no sirven para interpretar la

realidad de una manera crítica” —identificados en el profesorado en formación, entre

otros—, tienen su origen desde las experiencias de los estudiantes, en sus clases de

matemáticas y con sus profesores. Merece la pena mencionar como a la vez estos imaginarios

están relacionados con la poca utilidad que les confieren a las matemáticas, puesto que para

muchos de los temas aprendidos no encuentran, ni han experimentado en sus clases, un

carácter práctico.

En cuanto a los imaginarios referentes a la influencia del género en matemáticas, el panorama

es para continuar con la reflexión. Iniciando por el hecho de que las matemáticas han sido y

siguen siendo consideradas como de dominio masculino – un ejemplo de lo que Sumper

(2014) denomina como género simbólico–, por unos ordenes sociales que estipulan una

correspondencia entre ciertas actitudes, discursos o labores; y un determinado género. De la

misma manera en que aún sigue existiendo la brecha salarial entre hombres y mujeres que

hacen el mismo trabajo, lo cual es socialmente aceptado y parece funcionar con naturalidad,

como una estructura de género creada socialmente — denominado como género estructural

(Sumper, 2014)—.


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Tales desigualdades que funcionan en el día a día, son evidenciadas también en la escuela y

en la clase de matemáticas, en donde, por ejemplo; estudios como el de Flores (2007) dejan

en evidencia la manera en que algunas acciones docentes contribuyen a mantener esa

disparidad. Dichas acciones como la de dirigirse durante la clase principalmente a los

hombres y/o hacerles más cuestionamientos que a las mujeres, muestran una tendencia que

nada aporta a que las estudiantes afiancen la confianza en sí mismas. Esto se asocia a los

análisis de Ernest (2007) quien hace referencia a un círculo de la reproducción de las

desigualdades de género que, precisamente tiene que ver con esa menor tasa de participación

de las mujeres —no solo en la clase, sino posteriormente en carreras que tienen que ver con

matemáticas— que corresponde a una desigualdad de género en las oportunidades para

aprender matemáticas, y que finalmente continúa generando percepciones estereotipadas

sobre las habilidades de las niñas. En consecuencia, también se continúa sosteniendo ese

estereotipo del dominio masculino de las matemáticas.

A día de hoy, tras los discursos de los futuros profesores, se siguen vislumbrando imaginarios

en relación con el género en matemáticas, tales como “Las mujeres tienen menos capacidades

innatas para las matemáticas que los hombres” y, estrechamente relacionado: “Los hombres

son menos capaces para asignaturas como lengua y plástica”. Es decir que predomina esa

problemática que, desde el género simbólico, sugiere que los hombres a las matemáticas y

las mujeres a las humanidades. Estas diferenciaciones no solo afectan a las mujeres sino

también a los hombres, en esta dirección algunos de los profesores en formación del estudio

que da sentido a estas reflexiones, mencionaban cómo también el hecho de ser hombres y

estudiar el grado en magisterio, parece necesitar una explicación, al ser una carrera

considerada de “dominio femenino”.

En relación con los imaginarios mencionados, es importante tener en cuenta que “lo

imaginario, afecta, filtra y modela nuestra percepción de la vida y tiene gran impacto en la

elaboración de los relatos de la cotidianidad” (Silva, 2006, p. 106), así como que las acciones

de enseñanza tienen pluralidad de consecuencias en los estudiantes, en su autoimagen, su

rendimiento y sus oportunidades de vida, y desde luego parte de estas acciones son

responsabilidad directa de los docentes. (Zeichner, 2009).


ISBN 978-84-945722-3-4

Ahora bien, si los imaginarios de los profesores en formación pueden influir en sus prácticas,

merece la pena reflexionar al respecto, no solo para identificar tales imaginarios, sino para

repensar de qué manera se pueden reconfigurar esas prácticas para hacer frente a las

desigualdades y transformar la clase de matemáticas en una clase más justa.

Una educación matemática justa

Siguiendo el orden de ideas expuesto, es evidente que la clase de matemáticas está

relacionada con aspectos sociales al igual que las matemáticas en sí mismas, pese a que por

lo general se les ha mantenido bajo un estigma en el que como ciencia exacta parecen estar

libres de todo prejuicio. Es decir, se considera que en otras asignaturas puede que se presenten

factores socio culturales a tener en cuenta, como por ejemplo las diferencias raciales —y por

tanto lingüísticas— entre estudiantes de diferentes comunidades en clase de lengua; mientras

que en matemáticas las cuentas son lo que son, independientemente de quien las efectúe

(Kumashiro, 2015). Dicha percepción se aleja de la realidad.

Se requiere entonces abolir ese prejuicio en relación con las matemáticas y empezar a

identificar y a hacer ver lo que no es tan evidente, aquellas injusticias que suceden al interior

de la clase y que parecen estar normalizadas. Un enfoque que puede aportar a tal fin, es el

que pone en consideración la Justicia Social.

Pensar la Justicia Social en educación, atiende al deseo de generar acciones, desde el sistema

educativo, que contribuyan a un mundo mejor, a una sociedad más justa. Desde la clase de

matemáticas esto implica formar ciudadanos pensantes que, desde su discernimiento crítico

y el buen uso de herramientas matemáticas, sean capaces de leer e interpretar la cotidianidad,

lo que en palabras de Paul Ernest (2002) vendrían siendo “critical mathematical citizenship”.

Implica también abordar aspectos de democracia en educación matemática, como una

posibilidad de construir discursos, imaginarios y relaciones sociales, que “representen la

inclusión, la justicia social y la equidad, en particular para aquellos que están excluidos”

(Skovsmose y Valero, 2005, p. 59).

Un enfoque en Justicia Social requiere educar desde acciones justas —empezando por

profesoras y profesores—, que a la vez promuevan en el estudiantado actuaciones justas


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frente a sus compañeros y en relación con sus comunidades. Además, requiere poner en

evidencia el impacto de las matemáticas en la sociedad y cómo éstas contribuyen a tomar

decisiones que no impliquen una desventaja para quien las usa, así como también la manera

en que pueden ser utilizadas para manipular. Mostrar la utilidad de las matemáticas bajo un

enfoque justo y desde su función social, aporta a atribuirles sentido, a encontrarles utilidad

en general y a motivar a los estudiantes para, desde la clase, comenzar a enfrentar y acabar

con las desigualdades, rompiendo con aquellos círculos que las reproducen.

REFERENCES

Berger, P. y Luckmann, T. (2012). La construcción social de la realidad. Buenos Aires-

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Sumpter, L. (2014). Four female mathematicians’ collective narrative: reasons to leave

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Vasconcellos, B., Caparróz, F. y Ribeiro, U. (2011). A produção de imaginários sociais

sobre a escola e seus efeitos na formação inicial de professores de Educação

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Zeichner, K. M. (2009). Teacher education and the struggle for social justice. Nueva York:

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ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.342

IMPACTO DE LAS EVALUACIONES EXTERNAS EN EL SISTEMA

EDUCATIVO

Jaione Abaurrea – Aitzol Lasa– Miguel R. Wilhelmi [email protected]– [email protected]– [email protected]

Universidad Pública de Navarra, España

Núcleo temático: III Aspectos socioculturales de la Educación Matemática.

Modalidad: CB Comunicación breve


Palabras clave: Evaluación externa, educación formativa, práctica docente

Resumen En este trabajo se analiza el impacto que generan las evaluaciones externas en el sistema

educativo. El análisis centra el interés en la evaluación PISA. Por un lado, se recogen

publicaciones con las noticias más relevantes respecto a las puntuaciones de los alumnos

españoles y, por otro lado, se examina el impacto que genera PISA en las leyes curriculares.

Además de explicitar los cambios curriculares en España, se representan las reformas

educativas llevadas a cabo en Perú y México con el fin de contrastar diferentes medidas

para la mejora del sistema educativo.

Introducción

Los integrantes del sistema educativo son objeto de numerosas evaluaciones externas, de

carácter nacional o internacional, que evalúan tanto las competencias adquiridas por los

estudiantes como la práctica docente (tabla 1).

Programas de evaluación

internacionales 2

Programas de evaluación nacionales3

PISA4; TALIS; TIMSS; EECL;

PIRLS; TEDS-M; ICCS

Prueba de acceso a la universidad

Evaluación de Diagnóstico para Educación Primaria y Secundaria

Evaluación del Sistema Educativo español

Evaluación de tercer curso de Educación Primaria

Evaluación final de Educación Primaria

Evaluación de adquisición de lenguas propias y extranjeras

Tabla 1: Evaluaciones aplicadas a los integrantes del Sistema Educativo español

2 http://www.mecd.gob.es/inee/publicaciones/estudios-internacionales.html 3 http://www.mecd.gob.es/inee/portada.html 4 http://www.oecd.org/pisa/aboutpisa/

http://www.mecd.gob.es/inee/publicaciones/estudios-internacionales.html

http://www.mecd.gob.es/inee/portada.html

http://www.oecd.org/pisa/aboutpisa/


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Todas estas evaluaciones aportan información objetiva sobre el sistema educativo. Las de

carácter internacional permiten comparar el sistema, y por tanto, de forma indirecta el

currículo y su desarrollo, con sistemas diferentes establecidos en otros países. Las de carácter

nacional permiten comparar el impacto de las reformas educativas que acompañan la

implantación de una misma ley en las diferentes regiones. Así, estas evaluaciones desvelan

tanto carencias o potencialidades de los currículos nacionales como las diferencias y

similitudes en la implantación en las diferentes regiones. De esta manera, tanto las

evaluaciones internacionales o nacionales aportan datos experimentales que orienten la

revisión paulatina del currículo.

Esta revisión no es universal, sino contextualizada. No existen currículos “buenos o malos”

sino “bien o mal adaptados” al contexto social y educativo. A medida que la sociedad va

cambiando todos los sistemas sociales están expuestos a variaciones, por lo tanto, el sistema

educativo debe cambiar para estar acorde con el nivel de exigencia social (dimensión reactiva

de la evolución curricular). Pero estos cambios sociales, en parte, son ocasionados por la

formación escolar de las personas (dimensión proactiva de la evolución curricular),

generando así un ciclo entre la educación y la sociedad. La información obtenida de las

evaluaciones, que son necesarias y útiles, es pues una herramienta útil para el diseño de

planes para la mejora del sistema educativo.

Los países, en busca de esa mejora, han modificado el enfoque de sus currículos. El Consejo

Nacional de Profesores en Matemáticas (NCTM) publicó los principios y estándares para una

escuela matemática de alta calidad, estableciendo la Evaluación formativa como un principio

básico, que proporciona información útil tanto a docentes como a estudiantes (NCTM, 2000).

En esta línea, actualmente en los currículos se está poniendo énfasis en este principio,

explicitando no solo unos estándares de evaluación, sino unos “resultados de aprendizaje

evaluables” e “indicadores de logro”, que permitan ponderar y comparar el nivel alcanzado

por todos los agentes del sistema educativo.

El aprendizaje de los alumnos se evalúa mediante los referentes previstos sobre el grado de

adquisición de competencias, según el logro de los objetivos de la etapa. Por otro lado, los

profesores deben evaluar su propia práctica docente, para lo que establecerán indicadores de

logro en las programaciones didácticas (MEC, 2006; 2015).


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A nivel mundial, de los programas de evaluación relacionados con los sistemas educativos, PISA es el más

destacado. La Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) diseñó el programa para

conocer el grado de preparación de los alumnos para su inserción laboral. Desde la organización recalcan que

no se trata de un ranking de países; según sus palabras, estas evaluaciones dan información para poder diseñar

el modelo educativo más efectivo y para alentar a los países a aprender unos de otros, con el objetivo de mejorar

su educación5. Sin embargo, tal y como se ve cada vez que se publican los resultados, el debate social y las

comparaciones son inevitables.

En este artículo se analizan las principales reacciones a los resultados PISA y las propuestas

curriculares para la mejora del nivel educativo. En primer lugar, se describe la información

más frecuente en los medios de comunicación españoles en relación con PISA; el siguiente

apartado pretende recoger las modificaciones curriculares en España y algunos países

sudamericanos; y finalmente, se detallan las conclusiones.

Interpretación de los datos

En primer lugar, se debe tener en cuenta las características de las pruebas y de los resultados

publicados. De todos los ítems evaluados, alrededor del 50% son ítems de anclaje, es decir,

invariantes de año en año; lo que permite llevar a cabo estudios longitudinales. En cuanto a

las puntuaciones publicadas por la OCDE, están normalizadas respecto a una media de 500

puntos y una desviación estándar de 100 (Figura 1).

Figura 1: Distribución normal de las puntuaciones en matemáticas de los países de la

OCDE en el 2015

Una interpretación sesgada de esta distribución de puntuaciones está en la base de muchos

presupuestos. Por ejemplo, hay tendencia a interpretar como aceptables solamente las

5 How does PISA work?, http://www.oecd.org/pisa/aboutpisa/

http://www.oecd.org/pisa/aboutpisa/


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puntuaciones iguales o mayores a una media establecida. Por lo tanto, las puntuaciones

mayores a 500 son las que generan buenas impresiones. Pero, tal y como se puede observar

en la figura 1, la media de los países de la OCDE en competencia matemática no alcanza la

media establecida inicialmente.

La normalización de puntuaciones pretende evaluar cada país respecto a los demás, por lo

que tomaremos como aceptables aquellas puntuaciones que están por encima de la media y

como máximo a una desviación estándar por debajo de ella (figura 1). Así, aquellos países

con puntuación en matemáticas igual o superior a 462, deben tomarse como países de nivel

aceptable en dicha competencia; de la misma forma que si en un aula la nota media es 6

(sobre 10), los estudiantes entre 5 y 6 están por debajo de la media, pero obtienen la

calificación cualitativa de “aprobado”.

Comparación de puntuaciones

La publicación de los datos PISA provoca una lluvia de reacciones tanto en el sector

educativo como en los medios de comunicación. Así, los medios informativos españoles

muestran interés principalmente en tres aspectos: 1) comparar las puntuaciones en España y

otros países, 2) analizar la práctica docente y 3) resaltar las desigualdades según la variable

“género” del alumnado.

En primer lugar, algunos periódicos tienden a comparar las puntuaciones españolas con

aquellas que ocupan los primeros puestos del ranking (figura 2). Sin embargo, estos análisis

soslayan generalmente las diferencias de los sistemas educativos que se están comparando,

y su sociedad en general, estableciendo paralelismos sin fundamento contrastado. Las

comparaciones son representativas si se relacionan sistemas educativos semejantes y

características sociales equiparables, normalmente en regiones geográficas próximas y

condiciones socio-políticas con un cierto grado de unidad. En la tabla 3 (Anexo I) se puede

comprobar como el sistema educativo español obtiene resultados inferiores que en países

vecinos como Francia y Portugal. Estas comparaciones pueden generar mayor impacto e

información de mejora, puesto que hay vínculos históricos, sociales, políticos y económicos.


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Figura 2: Representación de las puntuaciones obtenidas en PISA 2015.

En segundo lugar, es común achacar al profesorado el bajo rendimiento de los estudiantes. Por ejemplo, El

Periódico titula: “La primera lección de PISA: España debe mejorar sus profesores”6. Esta publicación resalta

la insistencia de los expertos en la necesidad de poner el foco en la formación del profesorado y justifica el

primer lugar en el ranking mundial que ocupa Singapur con la renovación constante a la que están sometidos.

La base de datos PISA (tabla 2) muestra diferencias significantes en relación con el trabajo,

la preparación y la evaluación docente en los países que rodean España, en particular, con

Francia y Portugal (figura 2).

Años de

experiencia

del

profesorado

Profesores que

han participado

en programas de

instrucción (%)

Profesores

con

instructor

(%)

Profesores cuyas clases están

directamente observadas con

prácticas de evaluación

(%)

España 18.3 35.3 3.8 59.3

Francia 17.1 55.1 3.5 95.5

Portugal 19.4 35.5 4.3 96.2

Italia 19.8 49.4 4.5 73.7

Singapur 9.7 80 39.6 100

Finlandia 15.5 16.3 2.8 78.3

OCDE 16.9 42.6 10.1 92.5

Fuente: https://www.oecd.org/pisa/data/

Tabla 2. Puntuaciones PISA 2015.

La gran diferencia entre España y el resto de países aparece en la evaluación a la que están

sometidos los profesores. Un 59.3% de los profesores españoles están sometidos a la

evaluación de sus clases, mientras que en los demás países este porcentaje es más elevado.

Es decir, los países disponen de Sistemas Internos de Mejora Continua, que dan al

profesorado herramientas para el control y gestión de los procesos de estudio.

6 El Periódico: http://www.elperiodico.com/es/noticias/sociedad/informe-pisa-2016-calidad-maestros-

formacion-permanente-5676940

Fuente: El Mundo (http://www.elmundo.es/sociedad/2016/12/06/5845eb70468aeb237c8b462b.html)

https://www.oecd.org/pisa/data/

http://www.elperiodico.com/es/noticias/sociedad/informe-pisa-2016-calidad-maestros-formacion-permanente-5676940

http://www.elperiodico.com/es/noticias/sociedad/informe-pisa-2016-calidad-maestros-formacion-permanente-5676940

http://www.elmundo.es/sociedad/2016/12/06/5845eb70468aeb237c8b462b.html


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Por último, en tercer lugar, existen todavía ramas “feminizadas” y “masculinizadas” (Lasa, 2016). La tendencia

general indica que la puntuación en las pruebas de lectura es favorable a las chicas y en ciencias y matemáticas

favorables a los chicos (tablas 4 y 5, Anexo I). Así, los medios de comunicación españoles se hacen eco de la

desigualdad en matemáticas. El Mundo y ABC titulan: “España es el tercer país de la OCDE con más diferencia

de rendimiento en Matemáticas entre chicos y chicas”7 y “¿Por qué las chicas son peores en matemáticas?”8.

Achacan esta diferencia al prejuicio social que lleva a pensar que los chicos están dotados para las carreras

STEM (del inglés, Science, Technology, Engineering and Mathematics). Según sus palabras, esta cuestión de

motivación y autoconfianza finalmente conlleva a que el alumnado se termine comportando tal y como se espera

de ellos (efecto Pigmalión).

Es cierto que la brecha de género en matemáticas es una de las mayores de todos los países

de la OCDE, pero los resultados reales y el titular de El Mundo no coinciden. Hay cinco

países con mayor o igual diferencia, siendo cuatro de ellos también de la unión Europea (tabla

5, Anexo I).

Propuestas curriculares para la mejora educativa

Con la publicación de los resultados de PISA 2012, la respuesta del gobierno español no se

hizo esperar. Tal y como queda recogido en la LOMCE (MEC, 2013), “la calidad

democrática de una comunidad pasa inexorablemente por la mejora de la calidad de su

sistema educativo”. De esta manera, la LOMCE surgió de la necesidad de dar respuesta a

problemas concretos del sistema educativo que suponían un laste para la equidad social y la

competitividad del país.

Sus objetivos principales son reducir la tasa de abandono temprano en la educación, mejorar

los resultados académicos en base a criterios internacionales, mejorar la empleabilidad,

estimular el espíritu emprendedor de los estudiantes y preparar a los jóvenes para la

ciudadanía activa (MEC, 2013).

La principal novedad de la LOMCE es implementar evaluaciones externas al final de la etapa

de Educación Primaria, de la Educación Secundaria Obligatoria (ESO) y Bachillerato. Dichas

pruebas se centran en el nivel de adquisición de las competencias de cada etapa y gracias a

ellas pretenden garantizar que todos los alumnos alcancen los niveles de aprendizaje

adecuados para su vida social y laboral, además de orientar a los alumnos en su trayectoria

7 El Mundo:

http://www.elmundo.es/sociedad/2016/11/29/583d477922601dcb368b4694.html 8 ABC: http://www.abc.es/sociedad/abci-chicas-peores-matematicas-201604100323_noticia.html

http://www.elmundo.es/sociedad/2016/11/29/583d477922601dcb368b4694.html

http://www.abc.es/sociedad/abci-chicas-peores-matematicas-201604100323_noticia.html


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formativa identificando las capacidades poseen. Sin embargo, no se establece en paralelo un

recorrido de formación continua del profesorado que garantice el impacto positivo de estas

evaluaciones. ¿Se pretende mejorar el nivel educativo o entrenar al alumnado para

evaluaciones externas internacionales?

La simplificación del desarrollo curricular es otra de las medidas adoptadas. Posibilita una

mayor autonomía a la función del docente, pero se debe proporcionar un conocimiento sólido

de los contenidos que garantice la adquisición de las competencias.

En busca de la “evaluación formativa” que se ha tratado en el primer apartado de este trabajo,

la LOMCE no conlleva modificaciones en los “resultados de aprendizaje evaluables” y en

los “indicadores de logro” especificados en la LOE. A cambio, establece que el Instituto

Nacional de Evaluación Educativa, en colaboración con las administraciones educativas,

elabore un sistema de Indicadores de la Educación que permita conocer el sistema educativo

y orientar la toma de decisiones de todos los sectores implicados en la educación.

En cambio, en otros países como Perú y México, la ley educativa ha venido acompañada por

una reforma educativa. Así, los nuevos estatutos introducen indicadores de logro específicos

para cada competencia y nivel escolar y hacen referencia al profesorado (MINEDU, 2016;

SEP, 2016). Los dos países establecen en su currículo principios u orientaciones pedagógicas

para una buena práctica docente y clasifican los docentes en base a sus capacidades

(MINEDU, 2016; SEP, 2016).

“No hay nada más práctico que una buena teoría”. Con esta frase el psicólogo polaco Kurt

Lewin (1951) refleja su constante intento de vincular la teoría con la práctica; esta

metodología es una de las características principales de la buena práctica docente recogida

en los currículos peruano y mexicano. Dichas normativas recogen orientaciones a tener en

cuenta por los docentes en los procesos de enseñanza y aprendizaje: aprender haciendo, partir

de situaciones significativas y de saberes previos, aprender de los errores, etc., todas ellas

vinculan directamente aprendizajes didácticos con la práctica educativa y la gestión de

procesos de estudio efectivos.

En cuanto a la clasificación de los profesores, la escala o carrera de méritos está pautada.

México establece 5 dimensiones, mientras que Perú diferencia ocho escalas magisteriales.

La maduración del nivel profesional se lleva a cabo gracias a la formación continua del

profesorado que consiste en programas y cursos para formar docentes, programas que están


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regulados en sus respectivas leyes (MINEDU, 2016; SEP, 2016). A esto hay que añadir que

la Ley de Reforma Magisterial peruana (MINEDU, 2016) introduce un programa de

inducción docente en el que se explicitan las funciones del profesor mentor y las evaluaciones

a las que están sometidos los profesores, cada tres años en Perú y cada cuatro en México.

Otra de las principales vías para la formación permanente del profesorado es la investigación.

Esta práctica permite a los profesores ampliar su conocimiento para así poder renovar y

estimular el estudio de los alumnos. Sfard (2004) aporta datos experimentales que señalan

que los docentes más competentes son aquellos que vinculan su práctica docente a la

investigación.

Síntesis, conclusiones y cuestiones abiertas

En este trabajo se ha podido ver el impacto que generan las publicaciones de la OCDE y las

medidas que toman algunos países para su desarrollo educativo. Analizando el sistema

educativo español se obtienen principalmente dos conclusiones.

En primer lugar, a pesar que PISA es una evaluación formativa, se emplea como evaluación

sumativa. Esta evaluación externa es una vía para obtener información sobre los sistemas de

educación y así poder mejorarlos, pero la realidad es que el principal efecto que genera es la

comparación de puntuaciones y la modificación de leyes en busca de mayor puntuación.

En segundo lugar, la modificación de una ley educativa no conlleva en sí misma una mejora

del sistema educativo; debe venir acompañada de una reforma educativa, que incida en la

formación continua del profesorado, aportando estrategias de control y gestión de los

procesos educativos. Esto supone una total reestructuración del sistema educativo, desde

todos los agentes del sistema (departamentos, profesores, familias, etc.) hasta el tipo de

herramientas y formación que se proporcione a los profesores. Desde la LOGSE España no

ha sufrido ninguna reforma educativa y esto queda reflejado en el nivel del sistema educativo,

que a pesar de las nuevas leyes generales, no se han obtenido mejoras significativas (tabla 3,

Anexo I). En cambio se puede comprobar que en países como Perú, en cuyos sistemas

educativos se ha aplicado una reforma, las mejoras son notables.

Referencias

Lasa, A. (2016). Instrumentación del medio material GeoGebra e idoneidad didáctica en

procesos de resolución de sistemas de ecuaciones. Tesis Doctoral, inédita. Pamplona:

Universidad Pública de Navarra.

Lewin, K (1951). Field theory in social science. New York: Harper.


ISBN 978-84-945722-3-4

Ministerio de Educación (MINEDU) (2016). Currículo Nacional de la Educación Básica.

http://www.minedu.gob.pe/curriculo/ Consultado 06/02/2017

Ministerio de Educación (MINEDU) (2016). Ley de Reforma Magisterial.

http://www.minedu.gob.pe/reforma-magisterial/ley-reforma-magisterial.php

Consultado 06/02/2017

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2006). Boletín Oficial del Estado: Ley Orgánica

2/2006, de 3 de mayo, de Educación. https://www.boe.es/buscar/pdf/2006/BOE-A-

2006-7899-consolidado.pdf


8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa.

http://www.boe.es/diario_boe/txt.php?id=BOE-A-2013-12886


1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la

Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato.

http://www.boe.es/boe/dias/2015/01/03/pdfs/BOE-A-2015-37.pdf

National Council of Teachers of Mathematics (2000). Standards and Principles for School

Mathematics. http://www.nctm.org/standards/ Consultado 24/01/2017.

Secretaría de la Educación Pública (SEP) (2016). Propuesta Curricular para la Educación

Obligatoria. https://www.gob.mx/cms/uploads/docs/Propuesta-Curricular-baja.pdf.

Consultado 06/02/2017.

Sfard, A. (2004). What could be more practical tan good research? On mutual relations

between research and practice of mathematics education. En M.Niss y E. Emborg (Eds.),

ICME-10 Proceedings (pp.76-92). Roskilde University: Denmark.

Anexo I. Puntuaciones en las pruebas PISA

2000 2003 2006 2009 2012 2015

Cie

nci

as

OCDE ------- -------- 498 501 501 493

España ------- -------- 488 488 496 493

Portugal ------- -------- 474 493 489 501

Italia ------- ------- 475 489 494 481

Francia ------- ------- 495 498 499 495

Perú ------- ------- ------- 369 373 397

Ma

tem

áti

cas

OCDE ------- 499 494 495 494 490

España ------- 485 480 483 484 486

Portugal ------- 466 466 487 487 492

Italia ------- 466 462 483 485 490

Francia ------- 511 496 497 495 493

Perú ------- ------- ------- 365 368 387

Lec

tura

OCDE 494 494 489 494 496 493

España 493 481 461 481 488 496

Portugal 470 478 472 489 488 498

Italia 487 476 469 486 490 485

Francia 505 496 488 496 505 499

Perú 327 ------- ------- 370 384 398

http://www.minedu.gob.pe/curriculo/

http://www.minedu.gob.pe/reforma-magisterial/ley-reforma-magisterial.php

https://www.boe.es/buscar/pdf/2006/BOE-A-2006-7899-consolidado.pdf

https://www.boe.es/buscar/pdf/2006/BOE-A-2006-7899-consolidado.pdf

http://www.boe.es/diario_boe/txt.php?id=BOE-A-2013-12886

http://www.boe.es/boe/dias/2015/01/03/pdfs/BOE-A-2015-37.pdf

http://www.nctm.org/standards/

https://www.gob.mx/cms/uploads/docs/Propuesta-Curricular-baja.pdf


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Tabla 3. Puntuaciones PISA.

Diferencia entre

géneros en ciencias

Diferencia entre

géneros en

matemáticas

Diferencia entre

géneros en lectura

España 7

(a favor de los chicos)

16

(a favor de los chicos)

20

(a favor de las chicas)


Tabla 4. Diferencia de género en las puntuaciones PISA 2015 de los alumnos españoles.

Puntuación media de

los chicos en

matemáticas

(redondeada)

Puntuación media de

las chicas en

matemáticas

(redondeada)

Diferencia entre

géneros

(redondeada)

Alemania 514 498 17

Austria 510 483 27

Chile 432 413 18

Irlanda 512 495 16

Italia 500 480 20

España 494 478 16


Tabla 5. Seis primeros países de la OCDE con mayor diferencia de género en las puntuaciones PISA 2015 de

matemáticas.





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CB-1.344

RELAÇÕES ESPACIAIS E TEMPORAIS EM AULAS DE MATEMÁTICA EM

UMA TURMA DE EJA.

Raquel Fernandes Gonçalves Machado - Regina Célia Grando

[email protected] - [email protected]

Eseba/UFU - UFSC , Brasil

Núcleo temático: Ensino e aprendizagem da matemática em diferentes modalidades e níveis

educacionais.

Modalidades Comunicação Breve (CB)

Nível: 06 - Educação de adultos

Palavras-chave: Educação de jovens e adultos. Cultura de aula de Matemática. Geometria

Resumo:

Em nossa pesquisa de doutoramento, investigamos as relações culturais, espaciais e

temporais evidenciadas em ações que foram propostas junto a um grupo de estudantes de

uma turma de 9º ano do ensino fundamental da Educação de Jovens e Adultos (EJA), de um

colégio de aplicação em uma instituição de ensino público federal, no interior de MG, Brasil.

Neste texto buscamos compreender as relações temporais e espaciais no contexto de EJA,

produzidas no processo de ensino e de aprendizagem em aulas de Matemática deste grupo.

Nossas análises produzidas nos oportunizou perceber o quanto estas relações perpassadas

pelos silêncios destes estudantes foram significativas para o processo de ensino e

aprendizagem dos mesmos; bem como evidenciaram a importância de uma reorganização

das propostas curriculares, perpassando pela ressignificação do tempo dos estudantes deste

nível de ensino, em momentos propostos para explorarem conteúdos de geometria.

Introdução

Neste trabalho pretendemos compreender as relações temporais e espaciais

produzidas no processo de ensino e de aprendizagem em aulas de Matemática em um

contexto de uma turma de nono ano do ensino fundamental na Educação de Jovens e Adultos

(EJA), em um colégio de aplicação de uma instituição de ensino público federal, no interior

de Minas Gerais, Brasil. Consideramos para analisar estas relações os dados que emergiram

dos momentos em que observávamos este grupo em aulas de Matemática, e nos momentos

nos quais estes estudantes estiveram envolvidos com as ações desenvolvidas, ao se envolver

com tarefas investigativas em geometria. As tarefas de geometria foram adaptadas das

propostas apresentadas e discutidas por Ponte, Brocardo e Oliveira (2006).



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Fundamentamos nossos estudos e análises dos dados em Frago e Escolano (2001) ao

se reportarem às relações espaciais, à arquitetura escolar e a possibilidade desta se constituir

em uma forma silenciosa de ensino. Buscamos em nossa análise por momentos em sala de

aula que evidenciavam a escola como espaço e lugar de aprendizagem.

Com relação à temporalidade, buscávamos compreender a diversidade que se

constituía, no contexto das relações espaciais, os diferentes tempos de todos nós, que

estávamos envolvidos direta ou indiretamente, neste processo de ensino e aprendizagem,

tornavam-se responsáveis por momentos de tensões. Fundamentamo-nos em Arroyo (2007)

afim de em compreender as relações temporais evidenciadas em especial, os tempos

escolares. Referimo-nos a estes no plural pelas singularidades que os diferenciava e

aproximava-nos: o tempo escolar da professora, da pesquisadora e o dos estudantes.

As relações espaciais

As atividades de observação realizadas por nós, junto a este grupo de estudantes do

nono ano do Ensino Fundamental da EJA, se desenvolveram preferencialmente na sala em

que as aulas aconteciam cotidianamente. Pudemos perceber que este espaço, ainda que

compartilhado com turmas do ensino regular, em outros turnos, não apresentava muitos

indícios reveladores deste compartilhamento; referimos à presença de cartazes, quadros

representando letras do alfabeto, indicações de operações numéricas, que geralmente são

afixados nas paredes das salas de aula do ensino fundamental regular, e nem sempre deixam

espaço para (outras) propostas, produções dos estudantes de outros turnos, neste caso os de

EJA.

Na organização da sala, as carteiras ficavam preferencialmente enfileiradas, a mesa

do professor à frente junto ao quadro negro. Pudemos inferir, segundo Escolano (2001), que

esta estruturação, nos apresenta uma “espacialização que organiza minuciosamente os

movimentos e os gestos” reforçando a crença para a qual esta organização favoreceria uma

“rotina das tarefas e a economia do tempo”. Entretanto entendemos que a mesma, esta

distribuição, reforça uma “espacialização disciplinar” com a qual já nos acostumamos tanto

que até mesmo a identificamos como “parte integrante da arquitetura escolar”, afim de que

se perceba e reconheça a escola como um “continente que gera poder disciplinar”.

(ESCOLANO, 2001, p. 27).


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Neste espaço, desta sala de aula, ainda destacamos a existência de grades junto às

janelas, indicativo para a necessidade de segurança, evitando incidentes, tanto pelo

compartilhamento com crianças do ensino regular, as quais ocupavam espaço no turno

vespertino quanto por esta sala estar no segundo andar do prédio.

Considerando o número de alunos efetivamente matriculados e frequentes nas

referidas turmas, as salas de aula se constituíam espaçosas. Também não identificamos a

presença de mobiliário destinado a materiais de estudantes de outros turnos; o que favorecia

aos professores a proposição de diferentes atividades. Entretanto, percebíamos que a

estrutura arquitetônica da sala não favorecia uma boa ventilação no local, o que justificava a

necessidade de um ventilador, inicialmente instalado ao fundo da sala, contrário à posição do

quadro giz. E também responsável por diferentes atritos entre os estudantes.

Ao retornarmos de um período de recesso escolar, percebemos que a direção da

instituição, reformulou a organização da sala, instalando um aparelho de multimídia no teto

e um quadro branco, em uma extensão significativa da parede, oposta à do quadro de giz já

existente; estas alterações foram significativas. O quadro branco foi instalado logo abaixo do

ventilador; se anteriormente já podíamos perceber pequenos desentendimentos entre alguns

estudantes quando o equipamento estava em funcionamento, após esta alteração esses

passaram a ocorrer com maior frequência.

Em relação à instalação do aparelho de multimídia entendemos que a inserção do

mesmo, acarretou uma mudança também importante; sua presença em sala garantia a

possibilidade dos estudantes não mais precisarem se movimentar para outros espaços da

escola. Anteriormente, nos momentos em que o planejamento necessitava do uso de

multimídia para o desenvolvimento de atividades, eles precisavam se movimentar para outros

espaços, o que não agradava a alguns deles. Entretanto agora, esta presença diminuía a

movimentação dos estudantes pela escola, e não favorecia que percebessem outros espaços,

os quais se diferenciavam da própria sala de aula e que também poderiam ser ocupados por

eles.

A diversidade das ações que ocorrem e se constituem no cotidiano do espaço escolar,

podem evidenciar segundo Escolano (2001) valores, conteúdos e estímulos, os quais

impregnam direta ou indiretamente nesse espaço escolar naturalizado e compõem assim um

“currículo oculto” deste/neste espaço.


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Percebemos em nossas observações que, para alguns estudantes, esta organização se

mostrava significativamente importante, e não poderia ser alterada. Demonstravam

descontentamento com os colegas que chegavam e iam se organizando pela sala, não se

atendo à configuração prévia do espaço, ocupando alguns daqueles lugares já

“definidos/marcados” para outro colega. Demonstravam também desconforto com aqueles

que aproximavam e/ou distanciavam as carteiras, para se organizarem em duplas, mesmo

sem uma orientação ou indicação, para a necessidade desta (re)organização.

Estes momentos nos mostraram o quanto para estes jovens e adultos, dizer o que

pensavam ainda não era uma prática. Nestes embates, as trocas de olhares e a movimentação

inconformada nas carteiras, eram indícios de uma não aceitação para as modificações o que

haviam sido combinadas pelo grupo. Mesmo se nós entendêssemos ou esperássemos que

situações vividas por eles em momentos anteriores, em espaços diferenciados da instituição

escolar pudessem contribuir para suas argumentações naquele contexto, até mesmo podendo

favorecer uma solução ao embate, esta ação diferenciada não acontecia.

Como compreender o mal estar destes momentos, em que não ditos deixavam alguns

‘confrontos’ em suspense? Expressar o próprio desejo em contraposição ao do colega, não

se explicitava no dizer de cada um, mas se traduzia pelo silêncio de ambos. Seriam evidências

pelo pouco exercício do diálogo?

Reportamo-nos a Arroyo (2007), poderíamos entendê-los como um possível

indicativo de outras questões, provenientes de experiências de suas trajetórias, evidenciadas

pela facilidade ou não em estabelecer vínculos, em se posicionar, destacar sua palavra em

relação aos colegas.

Segundo Freire (2010) a experiência pelo diálogo, exige desprendimento, humildade,

um reconhecer-se no outro, no direito de dizer a sua e ouvir a palavra do outro, provavelmente

não se constituía enquanto experiência da realidade destes alunos. Para Fonseca (2005) se

constitui em uma dimensão formativa para estes alunos, que retornam à instituição de ensino,

possibilitar-lhes o “exercício dialético de confronto”, exercer enquanto sujeitos em

negociações de seus saberes, permitindo-se expor e contrapor suas verdades.

Entendemos que vivenciar experiências pelo diálogo, posicionando-se e intervindo

na ordenação do espaço, buscando alterá-lo para que se sintam ocupantes do mesmo,

poderiam se configurar em ações destes estudantes as quais se constituiriam como


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transformação deste espaço em um lugar de pertencimento para eles, ainda que não tenham

ciência da dimensão deste significado.

Ao mesmo tempo em que nos percebíamos envolvidos em compreender a diversidade

das relações espaciais que se constituíam, íamos identificando o quanto os diferentes tempos

de todos aqueles envolvidos no processo de ensino e de aprendizagem se mostravam

desafiadores para todos nós, influenciando em ações e compreensão do contexto.

As relações temporais

As relações temporais foram responsáveis por vários momentos de tensões,

especialmente aqueles para as quais os tempos escolares se constituíram imposições.

Fundamentamo-nos em Arroyo (2007), em nossa busca por compreender a complexidade das

relações temporais que se estabelece(ra)m no contexto que vivenciamos. Evidências dos

diferentes envolvimentos nos processos que foram se constituindo pelo movimento de

perceber os diferentes tempos, aqueles mais adequados para se ensinar, para bem ensinar, e

ainda para ensinar ‘tudo’!

“Puxar do tempo é puxar de um fio que se estica e desdobra, que toca (as) múltiplas

dimensões” (ARROYO, 2007, p. 188), mobilizando-nos por identificar no tempo e suas

implicações uma importante categoria de análise em nossa pesquisa. Principalmente, com

este grupo, estudantes de EJA, uma vez que os mesmos estão diante de um desafio

significativo: articular diferentes tempos. O tempo da escola, o tempo de sua trajetória para

(sobre)viver reportando-nos ao tempo do trabalho, e o do viver para esses alunos.

Muitas vezes, ao desempenhar a função de professor ou mesmo professor-

pesquisador, podemos ser envolvidos por diversas solicitações burocráticas que constituem

o contexto escolar, e assim sendo “atropelados” por várias destas solicitações, esquecemo-

nos da importância em atentarmos para a experiência destes estudantes, os quais estão sempre

correndo “contra o tempo, têm de escolher entre tempos tão vitais. A escola tem seus tempos

rígidos, predefinidos, enquanto os tempos da sobrevivência, do trabalho são imprevisíveis.

Duas lógicas temporais tão difíceis de aproximar.” (ARROYO, 2007, p. 187)

E nestes tempos rígidos, predefinidos pela escola, constatar o quanto a lógica

temporal tem-se constituído como um ‘eixo vertebrador’ para as instituições de ensino,

seguindo a lógica que valoriza a ordem sequencial de conteúdos e seu caráter acumulativo.


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Podendo ser ainda um pouco mais perversa ao estabelecer critérios para identificar os

estudantes quanto ao desenvolvimento nestes tempos de aprendizagem: uns bons, porque

adequados ao tempo estabelecido para a mesma, alguns lentos e outros que nem mesmo

conseguem aprender neste tempo definido, como o tempo de aprender.

Percebemos as evidências de um dificultador significante, estabelecido por esta lógica

temporal a qual instituiu que, estes estudantes, deverão concluir cada ano letivo do ensino

regular em um período equivalente aproximadamente a um semestre.

A imposição desta rigidez temporal favorece, para a maioria dos professores nas

instituições, o entendimento de que são necessários “recortes” no programa de ensino dos

diferentes conteúdos propostos, pela tentativa em adequá-lo ao tempo previsto.

Essa imposição se traduz, para muitos estudantes que retornam aos estudos, em um

reconhecendo como aqueles que ocuparam a referencia àquela última classificação, ao

considerarem suas dificuldades em vencer desafios em conciliar o próprio tempo com o

tempo estabelecido para aprender, e o desafio cotidiano em permanecer. Conseguir

permanecer neste espaço. Embora nem sempre seja possível.

E para nós, pesquisadora o desafio de um aprendizado ao lidar com os diferentes

contextos de um enrolar, puxar e desenrolar deste fio que foi se tramando, e constituindo

nossa relação com o grupo de alunos e com a professora. Traduzido em nossa busca por um

tempo mais adequado e coerente.

Tempo de aprender, de ensinar, de estabelecer vínculos.

As tarefas realizadas em sala de aula com os estudantes eram do tipo exploratório-

investigativas envolvendo Geometria. Pela própria natureza de tais tarefas, os espaços eram

diferenciados, uma vez que os alunos trabalhavam em grupos. E os tempos eram outros, uma

vez que para a maioria dos alunos as tarefas se constituíram em explorações e para alguns

poucos alunos elas se tornaram investigativas. Os dados foram produzidos mediante registros

escritos dos alunos, videogravação de aulas e registro em diário de campo da pesquisadora

que assumiu o papel de observadora das atividades dos alunos.

No tempo de realização das observações em aulas de Matemática, percebíamos que

os estudantes, necessitavam de um tempo para que pudessem (re)formular a questão

proposta; este tempo mobilizava em alguns a exposição de diferentes contribuições, alguns


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justificavam-se incapacitados em resolver a mesma por não conseguirem se reportar a um

conhecimento escolar necessário para a resolução, outros elaboravam questionamentos em

uma busca por uma melhor compreensão da mesma, enquanto alguns silenciavam-se,

provavelmente formulando o próprio entendimento.

Inquietava-nos antecipar o envolvimento destes estudantes em nosso tempo de

proposição das atividades investigativas em geometria. Atentar para que as ações pudessem

contribuir para que estes estudantes identificassem suas potencialidades, ainda que no

confronto com o outro.

Em nosso tempo de proposição das tarefas, ao caminhar pelo espaço da sala,

percebíamos silêncios, indecisões e inquietações por lidar e vencer o desafio proposto. Ainda

que a atividade se configurasse diferenciada para o grupo, percebemos o quanto algumas

atitudes se modificaram, alguns que incialmente se recusavam a dizer sobre a própria

resolução, passaram a arriscar-se. Como aconteceu com uma estudante que mesmo sem o

consentimento dos colegas, se levantou e socializou com o restante da turma sua proposta

para realizar a tarefa: “dobrei como se fosse um triângulo e cortei a sobra”.

Entendíamos que a possibilidade de não ter um tempo adequado para que pudessem

compreender o sentido e significado da proposta e ainda conseguir evidenciar e esclarecer

suas dúvidas poderia mobilizar diferentes comportamentos; propusemos mais um encontro

em horário anterior ao início das aulas, e algumas alunas concordaram. Segundo Leite (2013),

“o aluno de EJA é um adulto que tem interesses e uma capacidade de análise de situações

que não deve ser menosprezada pelo professor.” (LEITE, 2013, p.56); o que nos foi

confirmado, pelas atitudes delas em um movimento por questionar e referendar suas

hipóteses, considerando conteúdos estudados, referente às formas geométricas, mostravam

disponibilidade e singularidade das/nas resoluções.

Ao solucionar algumas tarefas, a estudante afirma: “- Eu estou dizendo a ela que, de

qualquer forma que este recorte estiver colocado, ele será sempre um quadrado. Não é

porque você está de ponta cabeça que deixou de ser você.”.

Sua explicação foi interrompida pelo sinal de término do horário, ela questionou pela

possibilidade de continuar investigando; ao ouvir a negativa replicou: “Agora que estávamos

conseguindo compreender!” Novamente, os tempos escolares interrompendo nosso

planejamento e um tempo para os estudantes se apropriarem dos conteúdos.


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.

Nossas considerações

Na análise dos dados que emergiram nos momentos aos quais realizamos as

atividades de observação destes estudantes em aulas de Matemática e daqueles em que

propusemos o envolvimento dos mesmos em atividades investigativas, identificamos a

importância em possibilitar que tanto o uso quanto a distribuição do espaço escolar pudesse

ser percebida pelos estudantes como um lugar, o lugar deles. Lugar de um estudante de EJA,

em detrimento daquele espaço que se formula como um limitador de experiências.

Entendemos que a escola se constitui(u) significativa para estes estudantes, uma vez

que, mesmo podendo ser a representação de momentos de exclusão, eles (re)tornam. E muitos

deles o fazem pelo desejo de vivenciar neste espaço momentos (experiências) que lhes fora

negado; ou até mesmo, conhecer deste/neste espaço evidências de um lugar que educa, e por

isso pode assumir um papel decisivo em suas vidas, em momentos presentes e/ou futuros.

Percebemos, também, o quanto as relações perpassadas pelos silêncios destes

estudantes foram significativas para o processo de ensino e de aprendizagem dos mesmos;

bem como evidenciaram a importância de uma reorganização das propostas curriculares,

perpassando pela ressignificação do tempo dos estudantes deste nível de ensino, em

momentos propostos para explorarem conteúdos de geometria.


ARROYO, Miguel G. Imagens quebradas: trajetórias e tempos de alunos e mestres.

Petrópolis, RJ: Vozes, 2007.

FONSECA, M. da C. F. R. Educação Matemática de jovens e adultos. Belo Horizonte,

MG: Autêntica, 2002.

FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 45ª edição.

Rio de Janeiro: Paz e Terra, 2013.

_________ Ação cultural para a liberdade, 13ª reimp. São Paulo: Editora Paz e Terra Ltda,

2010.

PONTE, J. P. da; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de

aula. 1ª ed. 2ª reimp., Belo Horizonte, MG: Autêntica, 2006.


ISBN 978-84-945722-3-4

VIÑAO FRAGO, A. Do espaço escolar e da escola como lugar: propostas e questões. In:

VIÑAO FRAGO, A.; Escolano, Agustín. Currículo, espaço e subjetividade: a arquitetura

como programa. Trad. Alfredo Veiga Neto. 2ª ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2001


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.345

HABITAR E INTERAGIR EM AMBIENTES VIRTUAIS E A ABORDAGEM

“ESTAR JUNTO VIRTUAL AMPLIADO”

Frederico Fonseca Fernandes – Suely Scherer


Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – Brasil

Modalidade: CB

Nível educativo: Formação e atualização de ensino

Núcleo temático: Recursos para o ensino e aprendizagem das matemáticas

Palavras chave: Educação a Distância, Tecnologias Digitais, Formação de Professores,

Matemática

Resumo Apresentamos neste artigo parte da análise dos movimentos, ações de interação, de alunas

e professor em um fórum virtual proposto na disciplina de Instrumentação para a Pesquisa

e Prática de Ensino em Matemática III, do curso de Licenciatura em Matemática, na

modalidade a distância, ofertado pela Universidade Federal de Mato Grosso do Sul

(UFMS), durante o 1º semestre letivo do ano de 2016. Esse recorte anuncia um dos elementos

de uma tese de doutorado em andamento, cujo objetivo é analisar o processo de

coconstrução de conhecimento matemático na Educação a Distância (EaD). Participaram

desse fórum o professor e oito alunas regularmente matriculadas nesse curso. Para coleta e

análise de dados, adotou-se a perspectiva interpretacionista. Os dados analisados e

apresentados neste artigo foram coletados, a partir da observação, de interações registradas

em um dos fóruns dessa disciplina, que ocorreu no Messenger, do Facebook. A análise foi

realizada a partir de estudos sobre a abordagem “Estar Junto Virtual Ampliado”, e estudos

sobre atitudes de “Transeuntes, Visitantes e Habitantes” em ambientes virtuais. O que se

pode concluir é que no movimento de interação dos participantes, apesar do professor ter

habitado esse fórum, seis alunas foram visitantes e duas foram transeuntes do fórum.

Introdução

Nesse artigo apresentamos alguns dados de uma tese de doutorado em andamento,

que realizou a análise da disciplina de “Instrumentação para a Pesquisa e Prática de Ensino

em Matemática III” do curso de Licenciatura em Matemática, ofertado na modalidade a

distância, pela Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS), durante o 1º semestre

letivo do ano de 2016. São analisados movimentos, ações de interação, de oito alunas e o

professor na disciplina, especificamente em um fórum dessa disciplina, que teve como

mailto:%20Correioeletrô[email protected]



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objetivo discutir o processo de identificação do crescimento e decrescimento de funções de

uma variável. Esse fórum foi realizado usando o Messenger, no Facebook.

Para analisar a interações das alunas e do professor nesse fórum, utilizamos um dos

fundamentos da abordagem do “Estar Junto Virtual Ampliado”, proposto por Fernandes

(2014), atualmente objeto de uma pesquisa de doutorado, ao considerar os conceitos de

Habitantes, Visitantes e Transeuntes, proposto por Scherer (2005).

Alunos e Professores: o movimento no “Estar Junto Virtual Ampliado”

Para analisar ações de interação de alunos e professores em um espaço virtual, a partir

do envio e recebimento de mensagens, utilizamos o estudo denominado como “Estar Junto

Virtual Ampliado”, proposto por Fernandes (2014). Essa abordagem é objeto da pesquisa de

doutorado, e nos possibilita a análise de ações de interação entre alunos e professores, em

processos de coconstrução de conhecimento na EaD.

Inicialmente, destacamos que nessa abordagem os espaços virtuais utilizados em um

curso de formação de professores na EaD, por exemplo, constituem o que denominamos de

Ambiente Virtual de Interação (AVI) pois, segundo Scherer (2005), nesses espaços

“podemos nos comunicar com o mundo, com os outros, em um processo contínuo”, com o

envio e recebimento de informações. O uso desses ambientes virtuais por alunos e

professores está intrinsecamente relacionado com a proposta de sua existência, que é

promover diálogos síncronos e/ou assíncronos, a interação entre os envolvidos no processo

de aprendizagem no AVI.

Dessa forma, apresentamos outro esboço do “Estar Junto Virtual Ampliado”, de

acordo com a Ilustração 1. Nessa proposta podemos observar a existência dos movimentos

de “enviar” e “receber” mensagens, ou seja, do uso de TDIC e de ações que favorecem a

interação entre os participantes em um AVI, em uma perspectiva de comunicação entre

indivíduos. No entanto, salientamos que nessa abordagem, a interação não se resume a

processos comunicacionais entre indivíduos, pois há interações entre indivíduo e informação,

entre indivíduo e computador, por exemplo.


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Ilustração 1 – Representação dos movimentos de interação no

“Estar Junto Virtual Ampliado”, adaptado de Fernandes (2014).

Quando consideramos o envio e recebimento de mensagens por alunos e por

professores, a partir do uso de TDIC e da conexão à Internet, temos a possibilidade de

identificar e analisar ações de interação, uma vez que tais tecnologias digitais tornam possível

a existência de movimentos que podem, segundo Valente (2005, p. 29), manter “os membros

do grupo cooperando entre si, realizando atividades inovadoras e criando oportunidades de

construção de conhecimento”. Nessa perspectiva, todos são responsáveis pelo envio de

questionamentos, ideias e informações, colaborando com o desenvolvimento das atividades

e cooperando com a construção de conhecimento. Porém, não podemos afirmar que, a partir

do envio de mensagens em um AVI, todos os participantes desse ambiente virtual tiveram

acesso (receberam) a informação enviada. Nesse caso, acreditamos que ao enviar uma

mensagem, ocorre uma disponibilização de informações no AVI que poderão ou não ser

acessadas por cada um dos participantes.

Portanto, o uso de diferentes TDIC nesse AVI possibilitará a existência e manutenção

de ações de interação entre os alunos e destes com os professores. No entanto, ressaltamos

que esses movimentos, iniciados pelos professores, ao propor atividades,

[...] devem enfatizar a troca de idéias, o questionamento, o desafio e, em

determinados momentos, o fornecimento da informação necessária para que o

grupo possa avançar, ou seja, o "estar junto" ao lado do aprendiz, vivenciando e

auxiliando-o a resolver seus problemas (VALENTE, 2005, p. 29).

A existência de tais movimentos não depende, exclusivamente, da presença dos

alunos e professores, mas também de suas atitudes. Para isso, nessa abordagem de EaD,


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consideramos os estudos de Scherer (2005), que nos indica três possibilidades em relação à

atitude de indivíduos em ambientes virtuais, sendo eles: transeuntes, visitantes e habitantes.

Segundo essa pesquisadora, os transeuntes “passam pelo ambiente em um ou mais

momentos [...], mas sem se deter em nenhum espaço em especial, sem se responsabilizar,

sem apreender para si o ambiente, sem colaborar ou cooperar” (SCHERER, 2005, p. 60). Os

visitantes frequentam o ambiente, mas, “sem se co-responsabilizar com o ambiente, com o

outro, ou com a produção coletiva. Alguns deles chegam a colaborar, mas sem chegar a

cooperar com o grupo, [...] eles não habitam o lugar, o conteúdo, pois são visitantes”

(SCHERER, 2005, p. 60).

Por fim, os habitantes se

[...] responsabilizam pelas suas ações e pelas dos parceiros, buscando o

entendimento mútuo, a ação comunicativa, o questionamento reconstrutivo [e,

além disso,] está sempre sendo parte […] do ambiente […], pois ele também vive

lá, observando, falando, silenciando, postando mensagens, refletindo,

questionando, produzindo, sugerindo, contribuindo com a história do ambiente, do

grupo e dele (SCHERER, 2005, p. 59).

Portanto, segundo essa abordagem, do “Estar Junto Virtual Ampliado”, considera-se

que a ação entre alunos e o professor, e entre os alunos, possibilitará a existência de um AVI

favorável para a construção de conhecimentos, se os participantes assumirem a atitude de

habitante do ambiente.

Abordagem Metodológica

Para coleta e análise dos dados, adotou-se a perspectiva interpretacionista, em uma

abordagem qualitativa, por considerarmos que as pessoas estão em ação/movimento na

sociedade e, dessa forma, agem de acordo com os sentidos e significados que constroem para

os objetos com os quais interagem. Neste sentido, acreditamos que esse processo de

significação é, também, um processo de constante formação, pois segundo Haguette (1995,

p.36),

O sentido dos objetos para uma pessoa surge fundamentalmente da maneira como

eles lhe são definidos por outras pessoas que com ela interagem, consistindo o meio

circundante de qualquer pessoa, unicamente dos objetos que esta pessoa reconhece.

Os objetos - em termos de seus sentidos - são criações sociais, ou seja, são

formados a partir do processo de definição e interpretação através da interação

humana.

Sendo assim, a interpretação e o significado atribuídos as experiências dos sujeitos


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em seus contextos sociais constituirão essa própria experiência pois, o objetivo dos

pesquisadores nas ciências sociais é, segundo Chizzotti (1994),

[...] buscar o significado que as pessoas dão ao seu mundo e às suas práticas, ou

seja, a toda a soma total de objetos e dos acontecimentos do mundo cultural e social

criados pelo pensamento de senso comum dos homens, vivendo numerosas

interações sociais. Cabe aos pesquisadores identificar e descrever as práticas e os

significados sociais [...], de compreender como elas se dão no contexto dos sujeitos

que as praticam (p. 93).

Portanto, essa pesquisa, em uma perspectiva interpretacionista, é permeada de ações

que descrevem e analisam “os conceitos e raciocínios utilizados pelos próprios atores sociais

e tenta reproduzir, o mais fielmente possível, o mundo tal qual os atores o compreendem e

percebem” (COULON, 1995, p. 62).

Funções, Fórum e Facebook

A partir da abordagem de pesquisa apresentada, nesse artigo apresentaremos a análise

a partir dos dados obtidos em uma das atividades da disciplina “Instrumentação para a

Pesquisa e Prática de Ensino em Matemática III”, analisada na pesquisa de doutorado, a

“Tarefa 6 – Funções”. A turma era composta pelo professor e por oito alunas (identificadas

nesse artigo como alunas A, B, C, D, E, F, G e H, para preservar suas identidades), que

frequentaram a disciplina e participaram da pesquisa.

Essa tarefa tratou da realização de um fórum no período de 09 a 12 de março de 2016,

por meio do Messenger, no Facebook, cujo objetivo foi discutir o crescimento e

descrescimento de funções.

Destacamos inicialmente que foram registradas 152 mensagens durante o período de

realização do Fórum (4 dias). A quantidade de mensagens enviadas pelos participantes

durante o período de realização do Fórum pode ser observada na Tabela 1. Além disso, na

Ilustração 2 podemos observar o movimento de interação entre o professor e as alunas.

Tabela 1 – Quantidade de mensagens enviadas no Fórum por dia

Participantes Quantidade de Mensagens

09/03 10/03 11/03 12/03 Total

Aluna A 8 1 10 0 19

Aluna B 17 4 0 5 26

Aluna C 5 1 14 5 25


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Aluna D 3 1 11 10 25

Aluna E 0 3 0 1 4

Aluna F 0 1 0 0 1

Aluna G 0 6 4 4 14

Aluna H 0 6 1 0 7

Professor 14 5 14 3 36

Total 47 23 54 28 152

Fonte: Dados da pesquisa.

Ilustração 2 – Interações entre alunas e professor, dados da pesquisa.

Para analisarmos o movimento de interação entre as alunas e professor, utilizamos

setas com ponta para indicar a direção de envio de mensagens, considerando que podem ter

ocorrido mais de uma mensagem na mesma direção e sentido. Além disso, o pontilhado

indica que algumas mensagens foram enviadas ao fórum sem citar, diretamente, o nome do

professor ou de alguma aluna, porém, a mensagem enviada era a resposta para algum

questionamento realizado ou questionamento que foi respondido por alguma aluna ou

professor, direta ou indiretamente.

A partir dos movimentos de interação e presença contínua no fórum durante o

período, do professor e alunas A, B, C, D, G e H, temos indícios de uma atitude que se

aproxima daquela assumida por habitantes. No entanto, ao analisarmos o conteúdo das

mensagens enviadas por essas alunas, não podemos afirmar que elas objetivavam o

entendimento mútuo, a construção individual e coletiva de conhecimento a respeito do

conteúdo “intervalos de crescimento e decrescimento de funções”. O que se observou nesse

fórum foram relações um-a-um, de maneira que perguntas foram respondidas, afirmações


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foram complementadas, mas não houve discussão sobre os porquês, aprofundamentos acerca

do tema, análise de conjecturas, por exemplo.

Quanto às alunas E e F há evidências de que tiveram atitude de transeunte durante a

realização do Fórum. Devido ao baixíssimo número de mensagens enviadas e do conteúdo

das mesmas. Essas alunas estavam presentes em momentos aleatórios da discussão. A aluna

E limitou-se a fazer comentários que nada contribuíram para a discussão do tema central do

fórum, por exemplo, “Boa tarde professor e colegas, pois é professor vai ser bem corrido

essa semana.”, em um momento em que no fórum se discutia algumas propriedades de

funções a partir de duas imagens enviadas pela aluna B. E, apesar da aluna F postar apenas

uma afirmação, a mensagem não contribuiu para a discussão, uma vez que apenas reforçou

envios anteriores com a mesma afirmação. A afirmação enviada pela aluna F dizia “Que a

função é crescente em relação ao x conforme o x cresce o y tbm cresce”, quando se discutia

sobre possíveis procedimentos para análise do crescimento e decrescimento de funções.

Ao propor a realização desse fórum e por saber que todas as alunas tinham perfil ativo

no Facebook, interagindo com pessoas e informações diversas em suas timelines,

acreditávamos que, a partir do uso dessa TDIC, havia potencial para que as alunas habitassem

esse espaço virtual da disciplina, uma vez que eram notadas a presença das alunas nessa rede

social. No entanto, de acordo com o “Estar Junto Virtual Ampliado”, reafirmamos que o

envio de mensagens em um AVI não garante o recebimento das informações por todos os

participantes, mas que essas se tornam disponíveis para acesso por aqueles que o habitarem.

Portanto, após observar os dados, apesar das tentativas do professor, analisamos que

algumas alunas (A, B, C, D, G e H) poderiam ter habitado o fórum, discutindo, refletindo,

propondo situações que poderiam confirmar as afirmações sobre o tema em discussão,

porém, foram visitantes desse AVI, considerando que foram estabelecidas apenas interações

entre indivíduos do tipo um-a-um, pergunta-resposta. Além disso, as mensagens enviadas

ficaram limitadas a reprodução de informações presentes em livros didáticos.

Algumas Considerações

Na EaD, devido as suas especificidades, é essencial o uso de TDIC que possibilitem

ações de interação entre alunos e professor. No entanto, não basta propor e disponibilizar um


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fórum, chat, wiki, webconferência, é necessário que alunos e professores assumam atitudes

que favoreçam o diálogo, a coconstrução de conhecimentos.

Para isso, acreditamos que alunos e professores necessitam habitar os AVI. No caso

do fórum analisado neste artigo, apesar de algumas iniciativas do professor, seis alunas

tiveram atitude de visitantes no fórum proposto, outras duas foram transeuntes. Em relação

ao movimento de interação das visitantes, observamos que as alunas se limitaram ao envio

de afirmações e questionamentos numa relação um-a-um (aluna-professor ou aluna-espaço

virtual). A partir disso, não identificamos interações diretamente entre as alunas, discutindo

conceitos e propriedades das funções, apresentando possíveis procedimentos para análise e

identificação de intervalos de crescimento e decrescimento de funções, mas podemos

observar o envio de mensagens para o espaço virtual. Dessa forma, analisamos que havia

potencial para que essas alunas habitassem esse espaço, discutindo entre si o conteúdo

matemático. Além disso, apesar do fórum ter sido realizado em um período de 4 dias, não

podemos afirmar que o tempo tenha influenciado para que as alunas tivessem essa atitude.

Em um AVI, habitantes não reproduzem, repetem, copiam e colam informações de

maneira aleatória e repetitiva, mas refletem, desafiam, constroem conhecimento a partir das

informações disponibilizadas/produzidas no espaço de que participam. A atitude de habitante

de um espaço virtual é um dos elementos estruturantes da abordagem do “Estar Junto Virtual

Ampliado”.

Por fim, destacamos que a observação da atitude (transeunte, visitante e habitante),

dos movimentos de interação entre indivíduos, informações e tecnologias digitais em um

espaço virtual é uma das características analisadas em nossa tese de doutorado por

considerarmos que, a partir de ações de interação, podemos identificar a existência e

manutenção de processos de aprendizagem, individual e coletiva.


Chizzotti, A. (1994). O cotidiano e as pesquisas em educação. In: FAZENDA, Ivani (Org.).

Novos enfoques da pesquisa educacional. 2.ed. São Paulo: Cortez.

Coulon, A. (1995). Etnometodologia e educação. Petrópolis: Vozes.


ISBN 978-84-945722-3-4

Fernandes, F. F. (2014). O Uso de Tecnologias Digitais na Modalidade EaD: um Estudo

sobre Cursos de Formação Inicial de Professores de Matemática. Dissertação de Mestrado,

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Campo Grande, MS.

Haguette, T. M. F. (1995). Metodologias qualitativas na sociologia. 4.ed. Petrópolis: Vozes.

Santana, T. S. (2010). Avaliação Discente de um Curso de Modelagem Matemática à

Distância. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal da Bahia, Instituto de Física,

Salvador, BA.

Scherer, S. (2005). Uma Estética Possível para a Educaçao Bimodal: Aprendizagem e

Comunicaçao em Ambientes Presenciais e Virtuais. Tese de Doutorado, Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, SP.

Valente, J. A. (2005). Espiral da espiral de aprendizagem: o processo de compreensão do

papel das tecnologias de informação e comunicação na educação. Tese de Livre-Docência,

Universidade Estadual de Campinas, Campinas, SP.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.348

ANÁLISE MATEMÁTICA E SALA DE AULA - UM CURSO ONLINE PARA

PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA

Agnaldo da C. Esquincalha – Marcelo A. Bairral


UERJ – UFRRJ, Brasil

Núcleo temático: Formação de Professores de Matemática

Modalidade: CB

Nível educativo: Formação e Atualização Docente

Palavras chave: Formação Continuada de Professores de Matemática, Análise Real, Fóruns

de Discussão, Relações entre Saber Universitário e Saber Escolar.

Resumo Este trabalho apresenta algumas reflexões a partir das discussões estabelecidas em um curso

a distância sobre conceitos usualmente explorados em Análise Real. O curso foi realizado

com professores de Matemática atuantes primordialmente na Educação Básica. O objetivo

do curso foi o de fomentar nos participantes a percepção de relações mais diretas entre o

que é trabalhado em Análise e os conceitos relacionados a números e funções reais,

ensinados em nível escolar. Diversos fóruns de discussões e atividades online foram

propostas para esse fim, algumas delas fazendo uso de tecnologias digitais para a

construção e apropriação das ideias por trás dos conceitos, de modo que sua apresentação

em nível escolar fosse possível independente do rigor e da abstração da Matemática

Avançada. Esses fóruns e tarefas são apresentados ao longo do texto, que trata,

essencialmente, da estruturação do curso.

Introdução

Os documentos oficiais brasileiros recentes que tratam da formação de professores têm

proposto modificações nas diretrizes curriculares dos cursos de formação inicial e continuada

para o magistério na Educação Básica. Merece destaque a proposta de aproximação da

formação inicial com a prática da sala de aula, estimulando profunda articulação entre as

disciplinas do eixo científico com a prática pedagógica. Com isso, as disciplinas desse eixo,

que objetivam explorar o conhecimento matemático de maneira aprofundada, também

passam a ter compromisso de buscar interlocuções com conteúdos e práticas da Educação

Básica.

Alguns autores têm se debruçado sobre a questão do ensino e da aprendizagem da Análise

Real nos cursos de Licenciatura em Matemática. Destacamos aqui os trabalhos de Baroni


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(2015), Moreira e Muniz (2014), Moreira, Cury e Vianna (2005), em que a Análise Real é

apontada como a disciplina de maior abstração do curso e, consequentemente, apresenta altos

índices de evasão e retenção. Cabe ainda comentar sobre a recorrente despreocupação dos

responsáveis por essa disciplina em promover a articulação com a futura prática dos

licenciandos.

Sobre a forma como a Análise é ensinada atualmente nas universidades brasileiras, Mazzi

(2014) destaca que é resultado da chamada “era do rigor”. Corroborando, Baroni e Otero-

Garcia (2013) traçam uma linha do tempo sobre o ensino dessa disciplina ao longo do Séc.

XIX, retratando esta era, e discutindo seu impacto na aprendizagem dos alunos,

frequentemente negativo, até os tempos atuais. Ainda sob a ótica da história do ensino da

Análise, Ávila (2002) traz uma discussão sobre o ensino de Cálculo e Análise no Brasil no

Séc. XX, antes e a partir dos anos 1960, destacando mudanças de abordagens em livros

didáticos e fazendo pontuações a respeito da necessidade de tamanho rigor matemático nessa

disciplina, para licenciandos.

Em linhas gerais, a disciplina Análise Real promove um estudo axiomático rigoroso sobre o

conjunto dos números reais e o comportamento de funções reais de uma variável real. As

ideias por trás desses conceitos são, em nível elementar, exploradas ao longo Ensino Médio

e, de forma uma pouco mais sistematizada, ainda que com pouco rigor matemático, em cursos

de Cálculo. Mesmos com algumas dessas ideias já tendo tangenciado a formação de quem

foi aprovado em Cálculo, a maneira como esses processos infinitos são explorados em

Análise usualmente não fomenta qualquer articulação com cursos anteriores, propiciando nos

alunos um sentimento de angústia e de desconhecimento de cursos em que já foram

aprovados (MAZZI, 2014).

A partir dessas questões, fica clara a necessidade de se continuar pesquisando sobre os

processos de ensino e aprendizagem de Análise, como também, assim como possíveis

caminhos que propiciem a interlocução entre os conceitos dessa disciplina com os que

permeiam a prática do professor de Matemática, em particular, nos últimos anos da Educação

Básica.

Dessa forma, ao longo do segundo semestre de 2016 foi realizado um curso piloto, na

modalidade a distância, para professores de Matemática atuantes na Educação Básica e

Superior, assim como para licenciandos no último ano de formação, com o objetivo de buscar


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juntos a construção ou percepção dessas interlocuções, em particular, com recurso ao uso de

tecnologias. Esse curso, chamado “Análise Matemática: ensaios em sala de aula” é

apresentado a seguir, com algumas pontuações sobre o seu desenvolvimento. Essa pesquisa

se insere no projeto do primeiro autor, executado durante seu Estágio Pós-Doutoral no

Programa de Pós-Graduação em Ciências e Matemática da Universidade Federal Rural do

Rio de Janeiro (ESQUINCALHA, 2017), supervisionado pelo segundo autor.

Análise Matemática: ensaios em sala de aula – um Curso de Extensão

Para a realização do curso, foi aberto um edital público que atraiu 321 interessados. Esse é

um fato curioso, dada a aversão de boa parte dos professores de Matemática por Análise. Ao

longo do curso, os participantes, doravante chamados cursistas, apontaram que, mesmo

diante de experiências não tão agradáveis durante a graduação, entendem a importância da

Análise e se interessaram pelos tais “ensaios em sala de aula”. Por uma questão de qualidade

no acompanhamento, foram aceitas apenas 142 inscrições, com base nos critérios, presentes

no edital: 1) ser professor de escola pública, 2) ser licenciando no último ano do curso. Dos

142, apenas 102 iniciaram o curso, 95 professores e 7 licenciados. Ao fim de cada etapa, em

média 10 cursistas não prosseguiam com o curso. A instituição pública estadual que permitiu

o uso de seu ambiente virtual, tem dados estatísticos não publicados com as taxas de evasão

dos últimos dez anos em seus cursos na área de Matemática, que revelam que a cada 150

ingressantes, apenas 10 os concluem com aproveitamento.

No caso do curso em tela, dos 102 ingressantes, 22 o concluíram com aprovação, e outros 8

foram até o fim, mas foram reprovados por não entregarem a maior parte das tarefas, apenas

participando de alguns fóruns de discussão. Apesar do estudo da evasão não ser um objetivo

dessa pesquisa, foi enviada por e-mail uma enquete aos desistentes e a resposta mais

frequente foi o abandono pelo acúmulo de atividades outras, seguida da dificuldade em

perceber articulações entre as ideias que fundamentam a Análise com os conceitos

trabalhados na escola. Essa segunda justificativa reforça a importância de cursos como esse,

pois é fundamental que professores da Escola Básica identifiquem articulações, diretas ou

não, entre as disciplinas cursadas durante a Licenciatura e sua prática ensinando Matemática

na Escola.


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O curso, com 60 horas de duração estimada, foi desenhado a partir de uma revisão de

literatura realizada sobre o assunto. Seu objetivo principal era abordar algumas ideias

fundamentais da Análise, que pudessem ser explorados de forma integrada, explorando, de

forma simultânea, conhecimentos matemáticos, pedagógicos e tecnológicos.

O Quadro 1 apresenta as 8 etapas do curso: duas delas dedicadas para reflexões sobre os

porquês de se estudar Análise na Licenciatura, três delas sobre números reais e outras três

sobre limites, continuidade, derivadas e integrais de funções reais. Cada etapa percorreu cerca

de 15 dias e foi permeada por fóruns de discussão e envio de tarefas. Após o quadro, são

realizadas algumas pontuações sobre as discussões realizadas e tarefas propostas em cada do

curso.

Quadro 1: Etapas do Curso de Extensão “Análise Matemática: ensaios em sala de aula”.

No. Título da Etapa Texto de apresentação das etapas

1 Por que Análise Matemática na Licenciatura?

Nessa etapa discutiremos sobre os possíveis porquês de se estudar Análise na Licenciatura em Matemática, a partir da leitura do texto base.

2 O problema da comensurabilidade e a expansão decimal dos reais

Algumas inquietações para nortearem as leituras… tente responde-las mentalmente, organize as ideias e as esboce em um arquivo de texto. Em seguida, leia os artigos disponibilizados e tente responde-las novamente. Suas concepções mudaram? 1) Dados dois segmentos de reta, sempre existirá uma unidade, expressa por um número racional, que possibilite escrever um como múltiplo do outro? Como você entende isso? Como explicaria para um aluno? 2) Como é feita a expansão decimal de um número real? A expansão é sempre possível? Se dá da mesma forma para os racionais e os irracionais ou muda algo? Se muda, o que? Como você entende isso? Como explicaria para um aluno?

3 A densidade dos racionais sobre os reais

Continuaremos explorando o conjunto dos números reais, sua construção e algumas de suas propriedades. Não se espantem se retomarmos algumas questões, o objetivo é refinar nosso entendimento e buscar articulações mais profundas entre o que se estuda em Análise e o que se estuda na escola, além, claro, de nos provocar do ponto de vista didático-pedagógico.

4 Números Reais, Sequências e Séries Numéricas

Aqui encerraremos as discussões sobre os números reais com dois fóruns simultâneos: no primeiro, analisaremos as respostas de alunos dos Ensinos Fundamental, Médio e da Licenciatura em Matemática a um questionário sobre números reais, preparado originalmente para ser respondido por alunos do último ano do Ensino Fundamental. Já no segundo fórum, trataremos sobre os conceitos de sequências e séries numéricas por meio do GeoGebra.


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5 Os conceitos de limite e continuidade

Aqui pensaremos um pouco sobre as ideias associadas aos conceitos de limite e continuidade, fazendo uso de algumas atividades desenvolvidas com o GeoGebra.

6

O problema das retas tangentes a uma curva, taxas de variação e o conceito de derivada.

As ideias associadas ao conceito de derivada, exploradas por meio de diferentes tipos de atividades, são o mote dessa etapa.

7 A área de uma região plana e o conceito de integral.

Aqui trataremos de alguns problemas que talvez permitam explorar a gênese do conceito de integral no Ensino Médio.

8 Mais uma vez: por que Análise Matemática na Licenciatura?

Ao longo dessas semanas tivemos a oportunidade de discutir sobre diferentes conceitos envolvendo números reais e limite, derivada e integral de funções reais a uma variável real. Utilizamos diferentes abordagens, como a de tentar conceituar a partir de ideias mais elementares, muitas vezes intuitivas, fizemos uso de calculadora e de Mathlets desenvolvidos no GeoGebra, elaboramos problemas, sequências didáticas e tentamos revisitar alguns conceitos importantes da Análise e que podem se articular com conceitos sobre números e funções reais como estudados na escola. Nosso objetivo não foi o de um curso de Análise, mas, como propõe o título, realizar alguns ensaios possíveis para sala de aula. No fórum dessa última etapa, convido vocês a responderem novamente: por que Análise na Licenciatura? Fiquem à vontade para usar exemplos do curso que justifiquem ou não suas respostas, de forma positiva ou negativa, inclusive.

Fonte: os autores.

Na Etapa 1 foi solicitado que, a partir das experiências individuais e da leitura de Moreira,

Cury e Vianna (2005), os cursistas discutissem em grupos e apresentassem uma razão para a

obrigatoriedade da disciplina ou uma razão para que seja extinta dos cursos de Licenciatura.

De forma geral, apontaram a necessidade de manutenção da disciplina, pontuando a

necessidade do estudo rigoroso da Matemática. Apenas dois propuseram a extinção da

disciplina, defendendo que apenas sejam ensinados na Licenciatura aqueles conteúdos que

serão trabalhados em sala de aula escolar.

As Etapas 2, 3 e 4 foram dedicadas ao estudo dos números reais. Os temas foram o problema

da comensurabilidade, a expansão decimal dos reais, a densidade dos racionais sobre os reais,

sequências e séries numéricas. Ao longo dessas etapas foram discutidos textos e apresentadas

atividades resolvidas por alunos dos Ensinos Fundamental, Médio e Superior sobre os

conceitos de comensurabilidade e densidade, para que fossem analisadas pelos cursistas a luz

dos textos discutidos nos fóruns e de suas experiências. A ideia era realizar uma análise dos

textos produzidos pelos estudantes, tentando identificar o que estava errado, e fazer


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inferências sobre os porquês desses erros. Muitos cursistas ficaram tímidos e só se

manifestaram após muita insistência do professor responsável pelo curso, primeiro autor

desse texto, o que já era esperado, pois mesmo estando em um ambiente de formação, é

compreensível que um professor não queira expor suas eventuais fragilidades diante de seus

pares.

De fato, vários cursistas apontaram passagens das soluções dos estudantes que estavam certas

como erradas, assim como usaram argumentos equivocados para justificar falhas conceituais

dos estudantes. Isso fez com que mais tempo fosse dedicado ao estudo aprofundado dos

conceitos e, apenas depois de muita discussão a respeito, foram retomadas as análises das

soluções dos estudantes.

Para discutir a expansão decimal dos reais e sequências e séries numéricas, foram utilizados

recursos digitais. A MusiCALColorida, um “ambiente computacional semelhante a uma

calculadora que possibilita, entre outras coisas, representar os algarismos da parte decimal

de um número por meio de uma pintura ou música” (SOUZA, 2010, p. 18), foi utilizada para

trabalhar a expansão decimal dos reais, e Mathlets desenvolvidos com o GeoGebra foram

utilizados para estudar o comportamento de sequências e séries numéricas. O objetivo era

fazer uso de recursos tecnológicos digitais para (re)construir conceitos matemáticos de forma

dinâmica e investigativa.

As etapas seguintes, 5, 6 e 7, abordaram o estudo de limites, continuidade, derivadas e

integrais de funções reais a uma variável real. Até então, por mais que os conceitos discutidos

não fossem explicitamente abordados no Ensino Médio, havia uma relação mais direta, pois

tratavam-se de números reais, e os cursistas se colocavam de forma aparentemente mais

segura e confortável. Já nesse momento do curso, o número de postagens caiu drasticamente,

sendo necessário um aumento significativo de intervenções e postagens de estímulo por parte

do professor responsável pelo curso.

Nessas três etapas, o que merece maior destaque é a dificuldade com conceito de limite.

Esquincalha (2017) apresenta uma pesquisa realizada com 80 professores do Ensino

Superior, questionados a respeito do que seria essencial em um curso de Análise Real para

licenciandos em Matemática. Vários desses professores apontaram a compreensão do

conceito de limite e dos processos infinitos como primordiais. Abaixo, a fala de um desses

professores universitários, que aqui não será identificado.


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Ao meu ver, o grande problema é o conceito de limite, que está intimamente

associado à estrutura da reta real, com os números irracionais. Os números

irracionais são uma boa introdução ao conceito de limite. Sem uma compreensão

plena do conceito de limite, aplicado a sucessões e a funções, fica impossível

trabalhar significativamente com os conceitos de derivada e de integral. As ideias

sobre irracionais e limites dos alunos que chegam a universidade são

lamentáveis. Eles são excelentes alunos: repetem exatamente as barbaridades

dos livros didáticos.

Por meio das discussões estabelecidas ao longo dessas etapas, ficou evidente que os cursistas,

em sua maior parte, precisam desconstruir conceitos equivocados sobre limites e

continuidade, essencialmente. O que o professor universitário comenta no excerto acima

acontece não apenas com os estudantes que chegam à universidade, que muitas vezes

replicam o que ouviram de seus professores na escola, que por sua vez, replicam livros

didáticos, que perpetuam equívocos. Por exemplo, uma tarefa recorrente ao longo dessas

etapas era buscar em livros didáticos escolares, atividades que permitissem explorar ideias

associadas a processos infinitos, taxas de variação e áreas de regiões planas, e caberia aos

cursistas adaptar essas atividades para propiciar interlocuções com os conceitos de limite,

derivada e integral, respectivamente. Alguns cursistas foram felizes em suas escolhas, mas

poucos conseguiram compreender ou justificar as escolhas de seus colegas.

Da mesma forma, muitos cursistas repetiam conceitos equivocados, como o de continuidade

em um ponto associado com a ideia de não tirar o lápis do papel. Foi necessário um exaustivo

processo de intervenção nos fóruns de discussão para desconstruir esses conceitos, por meio

do estudo das definições, propriedades, exemplos e contraexemplos para que os cursistas

dessem, em suas postagens, indícios de aprendizado, o que felizmente aconteceu com uma

parte significativa deles, e será apresentado e discutido em um próximo trabalho.

Por fim, a última etapa retomou à pergunta inicial “Por que Análise Real na Licenciatura?”

e, de forma geral, as respostas podem ser condensadas da seguinte forma: “porque números

e funções reais são dos temas mais importantes do Ensino Médio, e é fundamental conhecer

as teorias que os regem do ponto de vista matemático e pedagógico, de forma integrada”.

Essa resposta, por nós generalizada, vai ao encontro do principal objetivo do curso, que era

o de propiciar a busca de interlocuções possíveis entre o elementar e o avançado em

Matemática. Cabe ressaltar que, no início do curso, as respostas poderiam ser lidas apenas

como “porque é importante conhecer o rigor matemático”, como se o rigor matemático


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existisse apenas em Análise e não permeasse outros campos da Matemática estudados ao

longo da Licenciatura.


Esse trabalho buscou tratar brevemente da necessidade de mais pesquisas sobre o cuidado

com o ensino de disciplinas do eixo científico dos cursos de Licenciatura em Matemática,

em particular, da Análise Real. Como reforçam documentos oficiais brasileiros sobre a

formação docente, é importante que essas disciplinas também chamem para si o papel de

articular os assuntos que são usualmente explorados apenas no Ensino Superior com a prática

do futuro professor de Matemática. Nesse intuito, o presente texto objetivou compartilhar um

caminho possível para a formação continuada de professores da Educação Básica e também

da Educação Superior, fomentando discussões e atividades que possibilitem a percepção

dessas conexões tão necessárias.

Em particular, compartilhamos o percurso desenvolvido ao longo de oito etapas de um curso

de extensão, oferecido a distância, que buscou ensaios possíveis em sala de aula escolar, com

as ideias por trás dos principais conceitos trabalhados em Análise Real. Os elementos

disparadores das discussões realizadas em fóruns, em que os cursistas estavam separados por

grupos, foram sinteticamente apresentados, assim como alguns comentários tecidos. Nosso

objetivo foi o de relatar uma experiência desafiadora, mas possível e com indícios de sucesso.

Sobre o processo formativo, cabe ainda destacar a necessidade de rever a abordagem dos

conceitos de Análise Real nos cursos de Licenciatura, é premente que o rigor continue sendo

trabalhado, mas que também haja espaço para que os licenciandos entendam os porquês

matemáticos de estarem estudando aqueles conteúdos e como isso pode se articular com sua

futura prática. Por fim, um ponto que não foi destacado ao longo do texto é a possibilidade

de formação que extrapole os conceitos de espaço e tempo, permitindo um visitar e revisitar

permanente das falas dos outros cursistas, possibilitando tempo para reflexão e

amadurecimento, o que pode ser particularmente bem promovido em cursos na modalidade

a distância, desde que realizados com compromisso e direcionamento adequados por parte

dos responsáveis e cursistas.



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ÁVILA, G. (2012). O ensino do Cálculo e da Análise. Revista Matemática Universitária,

n. 33, p.83-95, São Paulo.

BARONI, R. L. S. (2015). Algumas questões sobre o ensino de Análise em cursos de

formação de professores de Matemática. In: Anais do III Fórum de Discussão Parâmetros

Balizadores da Pesquisa em Educação Matemática, PUC-SP, São Paulo, 2015.

_______________, OTERO-GARCIA, S. C. (2013). Análise Matemática no Século XIX.

Campinas: SBHMat, 2013.

ESQUINCALHA, A. C. (2017). Buscando interlocuções entre Análise Real e a

Matemática Escolar em um curso a distância com professores da Educação Básica.

Relatório de Pesquisa de Pós-Doutorado. Seropédica: UFRRJ/PPGEduCIMAT.

MAZZI, L. C. Experimentação-com-GeoGebra: revisitando alguns conceitos da Análise

Real. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Rio Claro, SP: UNESP, 2014.

MOREIRA, P. C., CURY, H, N., VIANNA, C. R. (2005). Por que Análise Real na

Licenciatura? Zetetiké, v. 13, n. 23, p.11-42, Campinas.

MOREIRA, S. F., MUNIZ, T. O. M. (2014). O ensino de Análise: contribuições e

perspectivas na formação do professor de Matemática. In: Anais do I Simpósio Educação

Matemática em Debate, UDESC, Joinville.

SOUZA, F. R. (2010). Explorações de frações equivalentes por alunos surdos: Uma

investigação das contribuições da MusiCALColorida. Dissertação de Mestrado em

Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, SP, Brasil.


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CB-1.349

RUTAS Y VISITAS MATEMÁTICAS EN LA CIUDAD DE BARCELONA

Carles Puig Pla (1), Iolanda Guevara Casanova (2)


(1)Departamento de Matemáticas ETSEIB de la UPC,

(2)Departament Ensenyament y Departamento de Didáctica de la UAB

Núcleo temático: IX. Comunicación y divulgación matemática

Modalidad: Comunicación Breve

Nivel educativo: Secundaria

Palabras clave: rutas matemáticas, matemáticas en contexto, historia de las matemáticas,

turismo matemático

Resumen Se pueden aprender matemáticas en lugares diversos, dentro y fuera del aula. Así, si en un

itinerario urbano, o en una visita, ayudamos a nuestros alumnos a ponerse las “gafas

matemáticas” conseguiremos que se lo pasen bien y que aprendan matemáticas.

Los comités organizadores y científicos de los congresos de educación matemática

comparten esta idea y es habitual que se dedique un día o una tarde a actividades culturales

y rutas matemáticas. Así, por ejemplo, en el CIBEM se ha reservado el miércoles 12 de julio

para estos menesteres.

En esta comunicación presentaremos 12 rutas matemáticas que se llevaron a cabo la tarde

del 12 de julio del 2016 en el marco del Segundo Congreso Catalán de Educación

Matemática (C 2EM) organizado por la Federació d’Entitats per l’Ensenyament de les

Matemàtiques a Catalunya (FEEMCAT) y la Facultad de Matemáticas de la UB, celebrado

los días 11, 12 y 13 de julio en Barcelona.

Estas salidas matemáticas se llevaron a cabo gracias al trabajo de un equipo de profesores

que bajo el auspicio de la Sociedad Catalana de Matemáticas (SCM) las diseñaron y

ejercieron de guías turístico-matemáticos. Si tienen pensado viajar a Barcelona les puede

interesar conocerlas.

El objetivo de incluir estas salidas dentro del ámbito de un congreso es doble: por un lado

introducir unas actividades más lúdicas en el calendario del congreso y de la otra

confeccionar un catálogo de salidas que, en el futuro, los maestros y profesores pudieran

utilizar con sus alumnos.

Una parte de las salidas — las cinco primeras reseñadas a continuación— eran realmente

rutas matemáticas, en el sentido de desplazarse por la ciudad de Barcelona en otras se trataba

de visitar un lugar concreto, como un monasterio, un templo, un museo o un centro de




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computación. El denominador común a todas ellas era la mirada matemática del lugar o del

recorrido. También el hecho que fuera posible repetir la salida con alumnos de las diferentes

etapas educativas. Unas tienen material adicional para trabajar con los alumnos, otras

material dirigido al profesorado que los acompañe. Una parte de este material estará

disponible en breve en el portal de la SCM http://blogs.iec.cat/scm/

Ruta de relojes de Sol

En Barcelona hay infinidad de relojes de sol de todo tipo, la mayor parte de los cuales están

catalogados (con fotografía incluida) en el Inventario de relojes de Sol de los Países

Catalanes, que se puede encontrar en el web

http://www.gnomonica.cat/index.php/inventari/inventari-10742/

El objetivo de la ruta que se propone es mostrar los más interesantes desde el punto de vista

didáctico y los más sugerentes de cara a proponer posibles actividades a los alumnos.

Se puede iniciar la ruta desde un lugar céntrico, como por ejemplo en la Plaza Urquinaona.

Allí se puede tomar la Línea 4 de metro, dirección La Pau hasta la estación de Barceloneta.

De allí andar hasta el Parque de la Ciutadella para visitar el reloj del jardín del Umbracle

(muy interesante desde el punto de vista didáctico y inspirador de posibles actividades con

alumnos). En este punto se puede realizar una explicación sobre los conceptos básicos de los

relojes de Sol con el apoyo del material escrito que se puede descargar del portal de la SCM.

Otra vez tomar el metro desde la misma estación de Barceloneta, ahora dirección Trinitat

Nova, y bajarse en Passeig de Gràcia. Desde allí andar hasta el cruce Balmes-Valencia para

visitar los cuatro relojes de la Iglesia dels Àngels. Allí se pueden ver las diferencias entre los

relojes de Sol con diferentes orientaciones ya que la torre con los relojes tiene cuatro caras y

en cada una de ellas un reloj de Sol. Regresar andando a la estación de Passeig de Gràcia y

allí tomar la línea 3 de metro hasta Fontana. Desde este punto andar a la Plaza del Sol de

Gràcia para visitar el reloj de Sol que hay allí y que también invita a proponer diversas

actividades.

Itinerario por el ensanche de Ildefons Cerdà

El año 2009, con motivo de la conmemoración del Año Cerdà, coincidiendo con el 150

aniversario de la aprobación del Plan de Reforma y Ensanche de Barcelona, más conocido

como Plan Cerdà, en honor a su creador, Ildefonso Cerdà y Sunyer (1815-1876), se

http://blogs.iec.cat/scm/



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publicaron un conjunto de propuestas educativas. Entre ellas seis actividades matemáticas

elaboradas por Teresa Ticó, profesora del Instituto Icaria en Barcelona. El itinerario que se

presenta lo preparó el Departamento de matemáticas de la Instituto Vila de Gràcia, también

en Barcelona, a partir de estas primeras seis actividades y ha sido implementado con alumnos

de 1º de ESO. La actividad es un ejemplo de como trabajar contenidos matemáticos

(numeración, perímetros, áreas, unidades de medida, figuras geométricas, estimaciones y

porcentajes) de forma contextualizada.

Laberinto de Horta

El Parque del Laberinto de Horta es un jardín-museo en el Distrito de Horta-Guinardó. Tiene

varias zonas, incluyendo un antiguo palacio con elementos neoárabes y neogóticos, terrazas,

escaleras, esculturas diversas, diferentes jardines, el laberinto y numerosas instalaciones de

agua. Todo ello en una superficie acotada que lo hace ideal para llevar alumnos a hacer

cacerías matemáticas.

Formas, cálculos de medidas de longitud, superficie y volumen, grafos del laberinto,

simetrías y otras regularidades son algunos de los temas matemáticos que se encuentran en

este contexto. Además flora y fauna (especialmente pájaros) e historia lo hacen adecuado a

propuestas de trabajos interdisciplinarios.

Las propuestas de trabajo que se pueden descargar del portal de la SCM provienen de

actividades realizadas con alumnos del Grado de Primaria, ya que la Facultad de Educación

de la Universidad de Barcelona está muy cercana al parque del Laberinto de Horta.

Instituciones de los siglos XVIII y XIX donde se enseñaban matemáticas en Barcelona

El itinerario propuesto muestra algunas de las instituciones barcelonesas de enseñanza más

relevantes donde las matemáticas ocupaban un lugar significativo durante los siglos XVIII y

XIX.

La ruta parte de la sede de la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelona (RACAB) en

La Rambla, 115. Muy cerca, dando a la misma Rambla (c/ Bonsuccés) estuvo el Colegio de

Nobles de Cordelles, donde Tomàs Cerdà ocupó la primera cátedra pública de matemáticas.

También es la ocasión de mencionar algunos de los miembros de la RACAB que

contribuyeron al desarrollo de la ciencia enn nuestro país, como Agustí Canelles que

participó con Pierre André Méchain en la medida del meridiano.


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El siguiente punto de parada es el Convento de San Agustín (c/ Comerç), donde, durante

algunos años, la Real Academia Militar de Matemáticas estuvo funcionando.

El recorrido se acaba en la actual Facultad de Náutica de la UPC (Pla de Palau), el origen de

la cual se remonta en la Escuela de Náutica abierta por la Junta de Comercio en 1770, lugar

donde la enseñanza de las matemáticas era, y continúa siendo, central. Allí se puede visitar

el planetario, ver maquetas de barcos, instrumentos de navegación, cartas náuticas antiguas,

etc.

La ruta del meridiano

La ruta propuesta empieza en la biblioteca de la Universidad de Barcelona (plaza

Universidad). Allí se pueden ver las primeras ediciones de dos obras paradigmáticas:

Méthodes analytiques pour la determination d’un arc du méridien de Jean-Baptiste

Delambre, publicado en VII de la Revolución (1799) y Base du systéme métrique décimal ou

Mesure de l’arc du méridien compris entre les paralèles de Dunkerke et Barcelone de Jean-

Baptiste Delambre y Pierre Méchain (1806).

Sigue en la Academia de Ciencias y Artes de Barcelona (RACAB) situada en la Rambla, 115,

ya que algunos miembros de la RACAB participaron con Pierre Méchain en la medida del

arco de meridiano de Rodez a Barcelona (Agustí Canelles).

Continúa la ruta pasando por la calle Portaferrisa, nombre de la antigua puerta de la muralla,

donde se guardaba la barra de hierro correspondiente a la unidad de longitud de la ciudad de

Barcelona, la cana diestra, y de aquí su nombre.

Se sigue por la Calle Escudellers, allí se pasa por delante del lugar donde había el hostal “La

fontana de oro”, en el cual se hospedó Méchain, y, puesto que tenía prohibido el acceso en el

castillo de Montjuïc, aprovechó la azotea para hacer sus medidas.

La ruta finaliza en la Torre del Reloj (1904), en el Muelle de Pescadores, que en tiempos de

Méchain era un faro construido el 1772. Méchain lo utilizó como vértice. Con autorización

de la Cofradía de Pescadores se puede acceder y subir a la terraza que hay en su primer piso.

Actividades matemáticas en el Real Monasterio de Santa María de Pedralbes

El Real Monasterio de Santa María de Pedralbes fue fundado por la reina Elisenda de

Montcada en 1327, con el apoyo de su esposo, el rey Jaume II. El edificio constituye uno de


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los mejores modelos del gótico catalán, tanto por la iglesia como por el claustro de tres

plantas, uno de los ejemplos más espaciosos y armónicos de este estilo.

La Escuela Betània Patmos y el Real Monasterio de Santa María de Pedralbes han establecido

un convenio de colaboración para la creación de un material didáctico que trabaja, desde el

área de las matemáticas, el conjunto arquitectónico del monasterio.

El objetivo del material es favorecer el desarrollo de las competencias básicas de los alumnos

a través de una visita autoguiada al monasterio con el apoyo de un dossier didáctico que

proporciona una mirada matemática hacia el patrimonio. Se encuentra en el apartado

Escuelas, en el web del museo http://monestirpedralbes.bcn.cat/

Visita al templo de la Sagrada Familia

Esta visita (museo, nave central, exterior) da la posibilidad de apreciar usos muy creativos

de las matemáticas y en especial de la geometría. Se puede hablar de escalas y maquetas

(1:10; 1:25); medidas y proporciones en planta y alzados; el número 12 y el Templo;

columnas de doble giro: secciones poligonales y fractalidad; conoides, helicoides y escaleras

de tornillo; cuádricas: hiperboloides de una hoja, paraboloides hiperbólicos, elipsoides;

cónicas: elipses, parábolas e hipérboles; poliedros de los pináculos

Hay también interesantes conexiones con constelaciones, formas naturales, simbología

religiosa, etc. La obra de Gaudí se basa en la creatividad en 3D y nos da una lección

provechosa para enseñar geometría tridimensional. Antes y después de la visita se puede

disfrutar de muchos contenidos en http://www.sagradafamilia.org/ ¡No se pierdan el vídeo

de cómo será la Sagrada Familia en el 2026!

Museo de Historia de Barcelona (MUHBA)

El objetivo de esta visita (Plaça del Rei s/n) es detenerse en determinados objetos que se

pueden ver en el museo para diseñar actividades matemáticas para el aula.

Así, para actividades del bloque de numeración y cálculo pueden servir las aportaciones

matemáticas de la época romana, como son las relativas al calendario, las medidas y la

numeración. Se pueden centrar en una de las vías de comunicación más antiguas de la

Península Ibérica de la cual son testigo los vasos Apolinares o de Vicarello descubiertos cerca

http://monestirpedralbes.bcn.cat/

http://www.sagradafamilia.org/


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de Roma el 1852 y en los cuales está descrito el itinerario de Cádiz a Roma con los nombres

de diferentes estaciones y las distancias entre ellas.

La observación de diferentes mosaicos puede motivar el diseño de actividades

correspondientes al bloque espacio, forma y medida a partir de las condiciones para poder

enladrillar el plano, la generación de mosaicos a partir de giros y traslaciones de determinadas

figuras geométricas, la descripción de los mosaicos a partir de los símbolos de Schläfli, etc.

Para el bloque de contenidos estadística y azar, la observación de la vitrina donde hay

dados y huesecillos, se puede aprovechar para hacer alguna actividad relacionada con los

juegos de azar. Los huesos de algunos animales han servido como dados en muchas

culturas. Una de las características de la taba (hueso astrágalo de algunos animales), es que

actúa como un tipo de dado pero con cuatro caras no equiprobables, hará falta un estudio

experimental para asignar una probabilidad a cada una de las caras. También se pueden

enseñar las instrucciones para jugar al marrón de 9, una variante del cual podría ser el

actual tres en raya.

Museo Marítimo: el Planetario y el pailebot Santa Eulalia

El Museo Marítimo de Barcelona (Av. de les Drassanes, s/n) es una institución consagrada a

la cultura marítima con más de 80 años de historia. Tiene la misión de conservar, estudiar y

difundir el patrimonio marítimo del país, uno de los más ricos del Mediterráneo. La propuesta

de visita al museo se centra en dos actividades consecutivas: el planetario y el barco.

En el planetario se puede trabajar la importancia de la intuición y del conocimiento del medio

en la navegación. Estrellas cenitales, acimut solar y duración del día: ayudas históricas para

situar la posición del barco. La meridiana y el cálculo preciso de la latitud y la longitud. Las

grandes exploraciones oceánicas y los retos de volver a las tierras conquistadas. El gran

cambio tecnológico del siglo XVIII y la precisión. De la navegación oceánica (estrellas) a la

carta (reconocimiento de la costa).

En el pailebote Santa Eulalia se puede hacer una introducción al barco y a su historia. Se

puede ver una carta náutica de la zona. En la carta se sitúa el barco mediante dos demoras

simultáneas. Finalmente en el compás (náutico) se puede hablar de la declinación magnética

y del rumbo. Se enumeran los medios de que se dispone a bordo, para una navegación segura.


ISBN 978-84-945722-3-4

Tibidabo y Ciencia: Atracciones, Observatorio y Museo

La Montaña del Tibidabo dispone de una amplía oferta didáctica que puede dar para una

mañana o para todo un día: El Parque de Atracciones del Tibidabo, el Observatorio Fabra o

el CosmoCaixa.

Parque de Atracciones del Tibidabo: Oferta didáctica existente de ciencia y tecnología y de

medio ambiente. Mención especial merece la sala de los Autómatas. Diferentes espacios del

Parque son idóneos para realizar charlas sobre espejos o engranajes.

Observatorio Fabra:

Visita diurna guiada por el propio personal científico del Observatorio con explicaciones de

las diferentes secciones activas: la astronomía, la meteorología y la sismología. También se

puede visitar la sala modernista, la biblioteca y aprender el funcionamiento del telescopio

centenario, ver la terraza panorámica y conocer la vida doméstica que contendía el edificio a

principios del siglo XX.

CosmoCaixa: Ver la salida propia de este lugar.

Barcelona Supercomputing Center

Impulsado y gestionado por un consorcio formado por el Gobierno español, la Generalitat de

Cataluña y la Universitat Politècnica de Catalunya·Barcelona Tech, el Barcelona

Supercomputing Center-Centro Nacional de Supercomputación (BSC-CNS) es una

infraestructura científica y tecnológica singular que acoge el superordinador MareNostrum.

Desde que se puso en marcha oficialmente, en el centro trabajan investigadores altamente

especializados en supercomputación, que llevan a cabo proyectos de investigación de una

altísima calidad en el ámbito internacional.

http://www.bsc.es/sites/default/files/public/visites_bsc_1_0.pdf

El centro está abierto a visitas concertadas para acercar los centros docentes a la investigación

científica, tecnológica, matemática y didáctica y, también, a la realidad social, económica y

cultural.

CosmoCaixa

Exposición Formes, Parábolas, Potencias de 10, Ecuaciones, Distancia al horizonte. Y otros

entornos Talleres de la Obra Social.



ISBN 978-84-945722-3-4

Consideraciones finales

En el congreso C2ME, se pudo constatar que la iniciativa de introducir los itinerarios

matemáticos por la ciudad de Barcelona podía tener varias funciones entre las cuales: Hacer

conocer y concienciar sobre una parte del patrimonio urbano de la ciudad ligado a “las

matemáticas”. Servir como herramienta para que los profesores pudieran disponer de y

también elaborar materiales didácticos para las clases de matemáticas Introducir y divulgar

la historia del cultivo y de la enseñanza de las matemáticas en la ciudad de Barcelona.


Societat Catalana de Gnomònica. http://www.gnomonica.cat/index.php/inventari/inventari-

10742/

El ensanche de Barcelona. https://es.wikipedia.org/wiki/Plan_Cerd%C3%A1

Parque del Laberinto de Horta.

http://www.bcn.cat/cgi-bin/veure_eq.pl?idioma=ES&v=BI&id=92086011952

Reaial Acadèmia de Ciències i Arts de Barcelona. http://www.racab.es/es/

Facultad de Náutica de Barcelona. http://www.fnb.upc.edu/

Biblioteca de la Facultad de Náutica de Barcelona.

http://bibliotecnica.upc.edu/biblioteca/biblioteca-facultat-nautica-barcelona

Torre del Reloj.

http://irbarcelona.cat/monuments-de-barcelona/torre-rellotge-barceloneta/

Real Monasterio de Santa María de Pedralbes. http://monestirpedralbes.bcn.cat/

Templo de la Sagrada Familia. http://www.sagradafamilia.org/

Museo de Historia de Barcelona. http://museuhistoria.bcn.cat/ca/muhba-placa-del-rei

Museo Marítimo de Barcelona. http://www.mmb.cat/

Parques de atracciones del Tibidabo. http://www.tibidabo.cat/es/

Observatorio Fabra. http://www.fabra.cat/

Barcelona Supercomputing Center.


CosmoCaixa. http://www.cosmocaixa.com/



https://es.wikipedia.org/wiki/Plan_Cerd%C3%A1

http://www.bcn.cat/cgi-bin/veure_eq.pl?idioma=ES&v=BI&id=92086011952

http://www.racab.es/es/

http://www.fnb.upc.edu/

http://bibliotecnica.upc.edu/biblioteca/biblioteca-facultat-nautica-barcelona

http://irbarcelona.cat/monuments-de-barcelona/torre-rellotge-barceloneta/

http://monestirpedralbes.bcn.cat/

http://www.sagradafamilia.org/

http://museuhistoria.bcn.cat/ca/muhba-placa-del-rei

http://www.mmb.cat/

http://www.tibidabo.cat/es/

http://www.fabra.cat/


http://www.cosmocaixa.com/


ISBN 978-84-945722-3-4

Todas las web se consultaron con fecha: 16/04/2107

Imágenes de las doce rutas

Fig. 1. Reloj de la plaza del Sol Fig. 2. Vista aérea del ensanche

de Cerdà

Fig. 3. Parque del Laberinto de Horta Fig 4. Emblema de la RACAB


ISBN 978-84-945722-3-4

Fig. 5. Torre del reloj en el Fig. 6. Claustro del Monasterio

Muelle de Pescadores de Santa María de Pedralbes

Fig. 7. Cuadrado mágico en la Fig. 8. Huesecillos para usar

Sagrada Familia como dados


ISBN 978-84-945722-3-4

Fig. 9. El pailebot Fig. 10. Barcelona

Santa Eulalia Supercomputing Center

Fig. 11. Observatorio Fabra Fig. 12. Cosmo-Caixa


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CB-1.351

OS PORQUÊS MATEMÁTICOS DE FUTUROS PROFESSORES EM CURSOS DE

PEDAGOGIA E MATEMÁTICA EM UMA INSTITUIÇÃO BRASILEIRA

Marisol Vieira Melo – Sergio Lorenzato


UFFS ― Universidade Federal da Fronteira Sul, Brasil

UNICAMP ― Universidade Estadual de Campinas, Brasil

Núcleo temático: I – Ensino e aprendizagem da Matemática nas diferentes modalidades e

níveis educativos

Modalidade: CB – Comunicação Breve

Nível educativo: 5 – Formação e Atualização Docente

Palavras-chave: Conceitos matemáticos; Aprendizagem da matemática; Porquês

matemáticos; Formação de professores

Resumo Este trabalho foi desencadeado pelo estudo de Lorenzato (1993), que identificou os porquês

matemáticos dos alunos e as respostas dos professores que ensinam matemática. Passados

25 anos deste estudo e motivados pelo mesmo, buscamos, agora em outro contexto,

identificar os porquês de estudantes de dois cursos de formação de professores de uma

universidade pública brasileira. Nossa investigação partiu da mesma proposta desenvolvida

naquele estudo, de modo que os estudantes fossem estimulados a sistematizarem questões

sobre conceitos matemáticos. Este trabalho possui natureza exploratória, pois identifica e

analisa os questionamentos desses estudantes. Participaram deste trabalho 36 estudantes,

sendo 15 do Curso de Matemática e 21 do Curso de Pedagogia, de modo que as perguntas

foram analisadas separadamente, por curso de formação. Os critérios para a análise dos

porquês matemáticos foram embasados em Lorenzato (1993), considerando a

particularidade da natureza (conceitual, convencional, etimológico e histórico).

Constatamos que os porquês predominantes são de aritmética e de natureza conceitual,

independente do curso de formação de professores, o que representa lacunas em relação aos

conceitos matemáticos na formação do futuro professor.

Introdução

Passados 25 anos do estudo de Lorenzato (1993), que identificou alguns porquês matemáticos

dos alunos e as respostas de seus professores, nos motivamos para identificar alguns porquês

baseados em questionamentos de estudantes de dois cursos que formam professores

(Matemática e Pedagogia), com o objetivo de verificar quais são mais recorrentes. Nossa

pretensão não foi comparar os dois cursos que formam esses professores, tampouco colocá-

los no mesmo patamar de dúvidas, tendo em vista que os estudantes são de cursos distintos




ISBN 978-84-945722-3-4

e, portanto, com diferentes enfoques na formação profissional. A experiência aqui relatada

com os dois cursos de graduação foi apenas circunstancial, pois um dos autores deste artigo

estava atuando nos dois cursos concomitantemente, no segundo semestre de 2016.

Acreditamos que, a partir dos porquês matemáticos apresentados pelos estudantes,

independente do seu curso de formação, seja possível melhorar a formação e o ensino da

matemática, considerando que esses estudantes se tornarão professores de crianças e jovens

do Ensino Fundamental e Médio da escola básica.

Aspectos teórico-metodológicos

Este trabalho, de natureza exploratória, procura identificar e analisar os porquês matemáticos

de estudantes dos cursos de Matemática e de Pedagogia, buscando indícios sobre a formação

matemática desses futuros professores, os quais enfrentarão as curiosidades ou as dúvidas

dos seus alunos no exercício da docência na escola básica.

Segundo Lorenzato (1993, p. 73), “o porquê significa procedimento matemático ou seu

resultado”; ele é importante para a aprendizagem significativa, pois é natural que os jovens

expressem suas curiosidades matemáticas com porquês, em busca de respostas às suas

incompreensões. As curiosidades matemáticas, por vezes pontuais, são naturais na fase de

aprendizagem, em qualquer nível ou idade escolar. Cabe ao professor saber lidar com esses

interesses, de modo que seja um impulsionador para novas aprendizagens, tanto no sentido

do conteúdo e desenvolvimento cognitivo quanto no pedagógico, propiciando a compreensão

do conteúdo e ampliando modos de ensinar a matemática.

Entendemos que essa postura do professor pode favorecer a autonomia do jovem em relação

à matemática, considerada muitas vezes de difícil compreensão. Essa autonomia pode se

consolidar a partir de associações dos porquês matemáticos, por meio de abordagens, sejam

históricas, etimológicas ou conceituais, mostrando, desse modo, que a matemática é uma

atividade natural, humana e social, e, portanto, necessária.

Várias investigações têm sido realizadas sobre as concepções de alunos, de professores ou

de estudantes de cursos de formação de professores, com vistas ao conhecimento matemático.

O estudo de Lorenzato (1993) foi o primeiro desta natureza desenvolvido no Brasil,

explicitando diversos porquês matemáticos de alunos e as respostas de seus professores. Este

estudo pioneiro motivou outras pesquisas brasileiras a partir dos anos 2000, como é o caso


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do artigo de Moriel Jr. & Wielewski (2013), que traz uma revisão sistemática de estudos

brasileiros e internacionais desde a década de 1970 sobre os porquês relacionados à

matemática.

O nosso trabalho também se baseou nos estudos de Moreira & David (2005) e Curi (2006),

que investigaram a formação matemática do professor da escola básica. Os primeiros autores

focalizam a articulação entre a formação específica e a formação pedagógica de estudantes

do Curso de Matemática, ou seja, entre o conhecimento matemático desenvolvido na escola

e aquele veiculado nos cursos de formação de professores de Matemática. Curi (2006), por

sua vez, destaca a formação matemática do professor dos anos iniciais, considerando que

esse processo requer um conjunto de saberes, incluindo conteúdos/conceitos e metodologias

específicos da área de matemática. Ambos os estudos se aproximam, no sentido de valorizarem

o conjunto de saberes e conhecimentos para a formação profissional e que fundamentam a

prática docente. Dentre esses conhecimentos e saberes, o domínio de conteúdo é base para

ensinar matemática, contudo, não é o suficiente. Para Shulman (1987) há pelo menos três

dimensões de saberes: disciplinar, pedagógico-disciplinar e curricular, e que devem fazer parte

do processo formativo docente, os quais serviram de aporte para analisarmos os porquês

matemáticos dos estudantes dos cursos de Matemática e de Pedagogia em uma instituição

brasileira.

Descrição e análise dos “porquês matemáticos” dos estudantes dos cursos de formação

de professores

Com a finalidade de identificar os porquês matemáticos de estudantes dos cursos de formação

de professores foi realizada uma experiência semelhante àquela proposta por Lorenzato

(1993), porém com um grupo amostral de 36 estudantes dos cursos de Matemática e de

Pedagogia, do período noturno, em uma universidade pública da região sul do Brasil. A

formação nesses cursos é desenvolvida na modalidade presencial, no decorrer de nove

semestres. Enquanto o Curso de Matemática habilita o professor para ministrar aula nos anos

finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio (para crianças e jovens de 11 a 17 anos); o

Curso de Pedagogia habilita o professor para ensinar matemática nos anos iniciais do Ensino

Fundamental (para crianças de 6 a 10 anos).


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A nossa expectativa era que os estudantes explicitassem e sistematizassem seus porquês

matemáticos; para muitos deles foi a primeira vez que isso ocorreu. A atividade foi motivada

pela leitura e discussão do texto de Lorenzato (1993), nos dois cursos de formação de

professores. Apesar de contextos diferentes, a dinâmica ocorreu de modo semelhante nas

duas turmas. Após a leitura e discussão do texto foi solicitado aos estudantes que registrassem

em uma folha os seus porquês matemáticos.

As perguntas foram agrupadas por curso, devido à especificidade da formação dos

professores (Pedagogia e Matemática) e, em seguida, por diferentes áreas e tipos de conteúdo

matemático (álgebra, aritmética, geometria e trigonometria). Os porquês também foram

classificados por sua natureza predominante: conceitual, convencional, etimológico ou

histórico. Exemplos: Por que a área de um quadrado é lado x lado e não lado x diagonal?

(conceitual); Por que 2º = 1? (convencional); Por que matemática se chama matemática?

(etimológico); Por que o círculo é dividido em 360 graus? (histórico).

Os porquês matemáticos apresentados pelos estudantes foram analisados a partir do contexto

de cada curso.

Os “porquês matemáticos” dos estudantes do Curso de Matemática

Participaram desta pesquisa 15 estudantes que estavam no sexto semestre, de um total de

nove; portanto, esses estudantes já haviam cursado mais de 50% de seu curso de graduação.

Seguem alguns dos porquês matemáticos por eles apresentados, sendo que a linguagem

utilizada foi preservada: Por que, quando o dividendo é menor que o divisor, colocamos um

zero no dividendo e “zero vírgula” no quociente?; Por que qualquer número elevado ao

expoente zero vale 1?; Por que Δ = b² - 4ac?; Existem conjuntos infinitos de tamanhos

diferentes? Como isso é possível?; Por que matemática se chama matemática?; Por que o “x”

deixa de ser sinal de multiplicação e passa a ser incógnita, e também o ponto (.) vira

multiplicação?; Por que o produto da largura, altura e comprimento se chama volume?; Por

que a área de um quadrado é lado x lado e não lado x diagonal?; Um triângulo fora da

representação matemática, ele existe?; Por que a menor distância entre dois pontos é uma

reta?; Por que a denominação é círculo trigonométrico? Não poderia ser um quadrado

trigonométrico?; Por que o círculo é dividido em 360 graus (se um ano solar não corresponde

a 360 dias)?


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As áreas da matemática envolvidas

De acordo com a lista de porquês anteriormente citados, os questionamentos dos estudantes

do Curso de Matemática se referem a três áreas da matemática: aritmética, geometria e

trigonometria, predominando os de aritmética. As questões relacionadas à geometria

evidenciam dificuldades para representar ou para interpretar situações geométricas (plana e

espacial); e os registros de trigonometria se referem exclusivamente ao círculo

trigonométrico.

O porquê mais frequente foi “por que um número com expoente zero equivale a 1?” Quanto

à álgebra, somente um porquê foi apresentado.


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A natureza dos “porquês” dos estudantes do Curso de Matemática

A maioria dos registros está associada aos aspectos conceituais, exemplificada pelas

operações elementares, manifestando uma fragilidade da compreensão conceitual, trazida até

o momento da formação profissional. Isto merece atenção especial dos formadores de

professores, pois concordamos com Lorenzato (1993) e Moreira & David (2005), os quais

reforçam a necessidade de se compreender um conceito para poder ensiná-lo. Outras questões

relativas à natureza conceitual se referem às definições de geometria plana e espacial,

enquanto que o porquê relacionado à trigonometria manifesta a falta de embasamento teórico

das funções trigonométricas e de suas relações intrínsecas com a geometria euclidiana.

Os porquês de natureza convencional expressam a curiosidades destes estudantes,

estimulados pela abstração. No caso da questão referente ao “tamanho” dos conjuntos

infinitos, ela revela que os estudantes têm dificuldades para discernir os conceitos de

“tamanho” e de “densidade” dos conjuntos. Ainda na abordagem convencional, as questões

sobre geometria evidenciam a falta de conhecimento do significado de representação

geométrica e do conceito de triângulo.

Na questão de natureza etimológica, os alunos revelam interesse em saber a origem do termo

“matemática”. Segundo D’Ambrosio (2005), a palavra matemática advém de mátema, cuja

raiz grega significa ensinamento, explicação, entendimento, manejo da realidade, objetivos

muito mais amplos que o simples contar e medir.

As perguntas de abordagem histórica mostram a busca de uma resposta além daquela

expressão, regra, termo ou símbolo matemático. Este é o caso das duas questões, sendo que

a primeira enfatiza a mudança do sinal operatório de multiplicação (x), que em outro contexto

tem outro significado (de incógnita x). A segunda questão remete aos povos antigos que se

guiavam pelo astro e assim definiam com proximidade as estações e o ano, revelando, desse

modo, uma correlação com a base sexagesimal.

Os “porquês matemáticos” dos estudantes do Curso de Pedagogia

Os 21 estudantes do Curso de Pedagogia estavam no quarto semestre, cursando o componente

curricular (disciplina ou matéria) “Ensino de Matemática: conteúdo e metodologia”. Cabe

destacar que no Curso de Pedagogia há apenas dois componentes curriculares relacionados à

matemática. O primeiro, “Matemática Instrumental”, é oferecido no primeiro semestre do


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curso e retoma aspectos da matemática desenvolvida na educação básica. O segundo,

oferecido no quarto semestre do curso, refere-se a metodologia do ensino da matemática.

Seguem alguns porquês matemáticos elaborados pelos estudantes do Curso de Pedagogia

(Quadro 1).

Abordagem Alguns “porquês matemáticos”

Conceitual

Quando devo utilizar o mínimo múltiplo comum?

Por que o π é 3,14...? (*)

Por que dois números negativos dão resultado positivo? (*)

Para que serve a régua de frações?

Por que há ‘letras’, exemplo √𝑎 + √𝑐, em meio aos cálculos matemáticos?

Por que devo aplicar diferentes fórmulas conforme a figura geométrica?

Como que a soma de ‘letras’ pode dar um número (exemplo: ax + b = 60)?

Convencional

Por que em contas onde possui multiplicação e adição, devemos multiplicar para depois somar?

Por que a maioria dos cálculos o símbolo de multiplicação é sempre invisível?

Qual a utilidade da fórmula de Bháskara? (*)

Por que a fórmula de Bháskara é 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎?

Etimológico O que é aritmética e o que é álgebra?

Histórico Qual a diferença de aritmética e álgebra?

Como chegou-se ao π = 3,14...?

Quadro 1: Alguns porquês matemáticos dos estudantes do Curso de Pedagogia

(*) Questionamentos que foram recorrentes, citados mais de três vezes.

Fonte: Elaboração dos autores

As áreas da matemática envolvidas

De acordo com o Quadro 1, os porquês matemáticos estão situados no campo da aritmética,

geometria e álgebra, porém com maior incidência na área de aritmética, versando sobre os

princípios elementares de contagem e as quatro operações elementares, conforme já haviam

constatado Lorenzato (1993) e Moreira & David (2005).

As questões de geometria envolvem aspectos dos anos iniciais e também dos anos finais do

Ensino Fundamental. Sabemos que a ênfase da geometria dos anos iniciais privilegia o senso


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espacial, essencialmente em três fases: primeiramente de reconhecimento dos objetos (fase

topológica); depois vem a percepção, que depende do ponto de vista do observador (fase

projetiva); e por fim, a percepção do espaço é desenvolvida a partir da relação dos objetos

com as crianças, na condição de observadoras, reconhecendo a conservação da distância, dos

ângulos e das formas (fase euclidiana).

Contudo, a primeira questão indica que os estudantes do Curso de Pedagogia estão atrelados

ao uso de fórmulas, desconsiderando o processo de desenvolvimento do senso geométrico

por meio da (de)composição de figuras e da percepção de equivalência de áreas. As outras

duas questões sobre geometria se referem à fórmula de Bháskara e ao número irracional (π),

e estão diretamente associadas aos anos finais do Ensino Fundamental. Apesar dos

concluintes de Pedagogia não estarem habilitados para lecionar nesse nível de ensino, esses

porquês revelam que eles têm incompreensões sobre matemática elementar (Curi, 2006).

A natureza dos “porquês matemáticos” dos estudantes do Curso de Pedagogia

Como ocorreu em outras pesquisas, os porquês matemáticos apresentados pelos estudantes

de Pedagogia foram predominantemente de natureza conceitual, envolvendo principalmente

os tópicos referentes às operações básicas, às frações e aos conjuntos numéricos. Foram

apresentadas também questões de natureza conceitual relacionadas a equação e a número

irracional (π), apesar de esses assuntos não serem abordados nos anos iniciais do Ensino

Fundamental.


Ao comparar este estudo com o realizado por Lorenzato (1993), após 25 anos constatamos

que alguns aspectos que merecem ser retomados. O primeiro deles é que os porquês

matemáticos apresentados pelos estudantes mostram que a área da aritmética ainda é muito

recorrente, independente do curso (Matemática ou Pedagogia) que os prepara para atuarem

como professores na educação básica. No caso do Curso de Matemática, os estudantes

deveriam ter conhecimento dos conceitos de aritmética, pois já cumpriram seis semestres do

curso de graduação, depois dos doze anos de escolarização no ensino básico. Além disso,

ainda que o concluinte do Curso de Matemática não venha a trabalhar com alunos dos anos

iniciais, ele deve (re)conhecer a matemática que é trabalhada nestes anos, e que se constitui


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em pré-requisito para a aprendizagem daquela que será estudada nos anos finais do Ensino

Fundamental.

Por outro lado, quanto aos estudantes do Curso de Pedagogia, se considerarmos que

“ninguém ensina o que não sabe” (Lorenzato, 1993, p.75), é evidente que eles também devem

conhecer matemática, pelo menos aquela que consta dos programas do Ensino Fundamental

– anos iniciais.

Diante dos porquês matemáticos explicitados neste trabalho concordamos com Moreira &

David (2005) quando recomendam repensar o processo de formação inicial do professor da

escola básica e as formas de articulação entre conteúdo, pedagogia e prática docente. Nessa

mesma direção, Lorenzato (1993) já manifestava que a formação de professores para ensinar

matemática era deficiente, independente do país latino-americano a ser considerado.

Analogamente, podemos afirmar que, independente do curso de formação de professores, os

estudantes apresentam lacunas em relação à formação matemática, principalmente no que se

refere a conceitos. Por fim, o nosso desafio é superar o dilema anunciado há mais de 25 anos:

ensinar sem estar bem preparado ou não ensinar porque não está bem preparado? Assim

sendo, corroboramos com Shulman (1987), quando afirma que ensinar é antes de tudo

entender, e que o futuro professor deverá ser capaz de transformar seu

conhecimento disciplinar em conteúdo útil e adaptável para a aprendizagem

do aluno. E, para isso, o estudo dos porquês matemáticos apresentados pelos

alunos dos cursos de graduação, poderá contribuir para melhorar a qualidade

do ensino da Matemática.

Referências

Curi, E. (2006). A formação matemática de professores dos anos iniciais do ensino

fundamental face às novas demandas brasileiras. Revista Iberoamericana de Educación, 37/4.

http://rieoei.org/deloslectores/1117Curi.pdf. Consultado 29/01/2017.

D’Ambrosio, U. (2005). Sociedade, cultura, matemática e seu ensino. Educação Matemática

e Pesquisa, 8, 31, 1, 99-120. http://www.scielo.br/pdf/ep/v31n1/a08v31n1.pdf. Consultado

30/03/2017.

Lorenzato, S. (1993). Os “Por quês” matemáticos dos alunos e as respostas dos professores.

Pro-Posições, Campinas, SP, 4, 1[10], 73-77.

http://rieoei.org/deloslectores/1117Curi.pdf

http://www.scielo.br/pdf/ep/v31n1/a08v31n1.pdf


ISBN 978-84-945722-3-4

http://www.proposicoes.fe.unicamp.br/proposicoes/edicoes/texto347.html. Consultado

29/01/2017.

Moreira, P. C. & David, M. M. M. S. (2005). O conhecimento matemático do professor:

formação e prática docente na escola básica. Revista Brasileira de Educação, Rio de Janeiro,

28, 50-61. http://dx.doi.org/10.1590/S1413-24782005000100005. Consultado 15/03/2017.

Moriel Jr., J. G. & Wielewski, G. D. (2013). Por quês matemáticos na Revista do Professor

de Matemática. Revista Educação Pública, Cuiabá, MT, 22, 51, 975-998.

https://www.researchgate.net/publication/258238504_Por_ques_matematicos_na_Revista_

do_Professor_de_Matematica. Consultado 29/01/2017.

Shulman, L. (1987). Knowledge and teaching: foundations of the new reform. Harvard

Educational Review, 57, 01-21.

http://www.proposicoes.fe.unicamp.br/proposicoes/edicoes/texto347.html

http://dx.doi.org/10.1590/S1413-24782005000100005

https://www.researchgate.net/publication/258238504_Por_ques_matematicos_na_Revista_do_Professor_de_Matematica

https://www.researchgate.net/publication/258238504_Por_ques_matematicos_na_Revista_do_Professor_de_Matematica


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.352

EIXOS PARA ANALISAR A APRENDIZAGEM PROFISSIONAL DOCENTE EM

COMUNIDADES DE PROFESSORES

Eliane Matesco Cristovão – Dario Fiorentini


Unifei/Brasil e Unicamp/Brasil

Núcleo temático: Formação de professores de matemáticas

Modalidade: CB

Nível educativo: Formação e atualização do ensino

Palavras chave: Comunidades fronteiriças, Aprendizagem docente, Formação de professores,

Colaboração

Resumo O presente trabalho visa apresentar e discutir o potencial dos quatro eixos de análise

adotados em uma pesquisa de doutorado escrita sob o paradigma da Pesquisa Narrativa:

aprendizagem como participação; aprendizagem como pertencimento; aprendizagem como

fazer; e aprendizagem como transformação. Com o objetivo de identificar, descrever e

compreender as aprendizagens de professoras de Matemática que participam de um grupo

de estudos constituído como uma comunidade fronteiriça, a pesquisa descreveu e investigou

práticas de letramento que transitam entre a escola e a universidade, vivenciadas pelas

professoras. Neste recorte, apresenta-se a análise de uma narrativa que discute episódios

relacionados à prática de revisar sequências de tarefas para o ensino de matemática e

busca-se, a partir da utilização dos quatro eixos de análise, discutir o seu potencial para

evidenciar a aprendizagem de professores. Encontramos indícios de que esses eixos podem

ser úteis na análise da aprendizagem de professores, especialmente durante a formação

continuada de professores que participam de grupos ou comunidades colaborativas.

Introdução

Este trabalho é o recorte de uma tese de doutorado (Cristovão, 2015), produzida sob o

paradigma da pesquisa narrativa (Clandinin & Connely, 2011), cujo objetivo foi identificar,

descrever e compreender as aprendizagens de professoras de Matemática que participam de

um grupo de estudos que constituiu-se numa comunidade de aprendizagem, situada na

fronteira entre a escola e a universidade. Esta pesquisa foi realizada no período de 2011 a

2013 no contexto de um grupo de professoras de matemática que se reunia quinzenalmente,

desde 2005, para compartilhar, refletir e escrever sobre suas práticas.




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A pesquisa tomou como referencial a teoria social da aprendizagem elaborada por Wenger

(1998) e os conceitos de aprendizagem como uma atividade situada (Lave, 2001) e de

aprendizagem docente situada em uma comunidade fronteiriça (Fiorentini, 2013), além do

conceito de prática de letramento (Street, 2014). O corpus de análise foi constituído por

audiogravações dos encontros, memórias escritas, narrativas e materiais produzidos pelas

professoras, os quais foram utilizados para compor narrativas que permitiram fazer um zoom

sobre suas práticas.

Na formação de professores, as ações são constituídas por práticas de letramento, pois

estamos, a todo tempo, lidando com textos e recursos relacionados ao contexto escolar. Neste

grupo, não institucional e com participação voluntária, as professoras planejam

conjuntamente suas aulas, elaborando e/ou reelaborando sequências de tarefas, relatam

oralmente suas experiências de sala de aula, discutem textos teóricos definidos a partir de

suas necessidades e compartilham as experiências que julgam interessantes, por meio de

narrativas escritas colaborativamente para eventos científicos. Em todas essas práticas de

letramento, o mundo vivido está sempre presente, portanto, as aprendizagens que ocorrem

são situadas (Lave, 2001) no contexto complexo dessa comunidade que se situa na fronteira

entre os mundos da escola e da academia, embora transite por esses mundos.

Quatro eixos de análise da aprendizagem docente foram tomados como fios condutores para

a elaboração de análises narrativas dessas práticas, por meio de entrelaçamento com

autobiografias profissionais (perfil) escritas pelas professoras e com as respostas delas a um

questionário criado por meio da ferramenta GoogleDocs, considerado como interativo e

coletivo. Neste trabalho, apresentamos e utilizamos esses eixos para analisar narrativamente

episódios relativos à prática de letramento que consistia em revisar sequências de tarefas para

o ensino de matemática. A partir disso, pretendemos discutir o potencial destes eixos para a

análise da aprendizagem docente em outras comunidades de professores que costumam

conjuntamente planejar, aplicar e analisar aulas.

Zoom para a prática: captando indícios de aprendizagem

Estes são os quatro eixos de análise da aprendizagem, definidos a partir dos estudos de

Wenger (1998) e Mockler (2011): Aprendizagem como participação – referente,

principalmente, aos significados negociados e construídos oralmente no grupo a partir da


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prática compartilhada por cada professora. No grupo, as professoras aprendem a dizer, a

significar, a se posicionar, oralmente e por escrito, sobre a literatura da área de educação

matemática, sobre os currículos idealizados e propostos, sobre as tarefas elaboradas pelo

próprio grupo e sobre as resoluções dos alunos, o que caracteriza um processo de letramento

docente. Aprendizagem como fazer – retratada em suas produções, compartilhadas com o

grupo ou com a comunidade mais ampla. O conceito de “reificação” (Wenger, 1998) permeia

também os outros eixos, mas é o principal conceito para analisar esse tipo de aprendizagem.

Aprendizagem como pertencimento – um “modo de ser” retratado em suas narrativas orais

ou escritas/reescritas, nos perfis e no questionário, evidenciando sua identificação com as

práticas da comunidade. Aprendizagem como transformação – evidenciada quando o

professor fala das transformações de sua prática de sala de aula, a partir de uma identificação

com a comunidade, mas sem perder contato com outras dimensões que o constituem. Está

intimamente relacionada com transformações de identidade, pois quem transforma sua

prática transforma a si mesmo.

Esses eixos foram tomados de forma transversal na interpretação das práticas de letramento

da comunidade investigada. Essa opção metodológica permitiu a produção de uma análise

narrativa orgânica das aprendizagens, sem compartimentá-las ou separá-las em categorias

estanques que geralmente impedem a visão do movimento e da inter-relação intrínseca e

complexa que existe entre a prática, a aprendizagem, a identidade e o processo de

constituição/transformação do professor.

Ao diferenciarem perspectivas de conhecimento “na”, “da” e “para” a prática, Cochran-Smith

e Lytle (1999) nos ajudam a compreender outros significados, subjacentes às diferentes

aprendizagens identificadas no grupo. Assim, estas concepções também foram retomadas na

análise do episódio apresentado a seguir.

Logo que ingressou no grupo, a professora Suelen (nome real, cujo uso foi autorizado e

desejado por ela) havia criado uma sequência de tarefas que previam o uso do software de

geometria dinâmica GeoGebra. Quando apresentou sua sequência, em 2011, ela estava

interessada em fazer o mestrado, mas não se sentia segura em relação à escolha da temática.

O processo de revisão colaborativa de sua sequência a inspirou a investigar o processo

formativo e reflexivo das práticas com o uso de tecnologia em sala de aula, envolvendo todas

as professoras com estas práticas durante a realização de seu mestrado, iniciado em 2013.


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Assim, torna-se importante trazer este contexto mais amplo, relacionando esta narrativa sobre

a experiência vivida por Suelen e pelas professoras a partir da revisão da sequência com os

seus desdobramentos.

No final de 2011, Suelen, recém chegada ao grupo, nos apresentou uma sequência de tarefas

que abordava elementos básicos da circunferência e posições relativas entre retas e

circunferência, elaborada por ela e já desenvolvida com seus alunos da 8ª série (9º ano)

utilizando o software GeoGebra. No primeiro contato com a sequência, as professoras

perceberam que não havia orientações aos alunos, fazendo com que dependessem totalmente

das orientações orais do professor. Assim, o grupo negociou com Suelen sobre a necessidade

de reformular a sequência, incluindo também orientações aos alunos. Em 2012, o grupo

retomou a análise da sequência reformulada, dedicando cinco encontros para revisá-la

totalmente. Esta experiência foi destacada pela professora Suelen como uma das mais

formativas durante todo seu período de participação no grupo.

Após diversas oportunidades de verificar os resultados da sequência, tanto com alunos da

graduação quanto com alunos da Educação Básica, ela assumiu o desafio de escrever uma

narrativa sobre a sequência (anexo 1). O grupo colaborou com a revisão dessa narrativa.

Durante o IV Seminário de Histórias e Investigações Matemáticas realizado em julho de

2013, Suelen, incorporando também as contribuições de seus estudos do mestrado,

apresentou uma nova narrativa (anexo 2), mais reflexiva, na qual buscou retratar o processo

de revisão da sequência e também o papel do grupo no processo de escrita da própria

narrativa. Muito mais confiante, Suelen ofereceu, no mesmo evento, uma oficina intitulada:

“Conhecendo os elementos da circunferência com o GeoGebra”, na qual compartilhou com

outros professores a sua sequência - disponível em

http://sumassonzeraik.blogspot.com.br/2013/02/circunferencia.html.

A experiência, que se inicia com a elaboração solitária da sequência por Suelen e passa por

fases - a discussão/revisão com o grupo, sua aplicação em vários espaços, a escrita e a revisão

colaborativa de duas versões da narrativa da experiência - pode ser interpretada como uma

prática de letramento composta por diversos eventos que afetam a todas as professoras.

Quando Suelen apresentou pela primeira vez a sequência ao grupo, a pesquuisadora e as

professoras empreenderam uma tentativa de explicar para ela o que entendiam por

abordagem investigativa. O conceito de atividade investigativa, para Suelen, era uma mistura

http://sumassonzeraik.blogspot.com.br/2013/02/circunferencia.html


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de pesquisa com ensino, assim, não carregava em sua essência a necessidade de inserir o

aluno num ambiente exploratório-investigativo. Em sua concepção, uma sequência de tarefas

exigia que o professor conduzisse todo o processo junto com os alunos. Esse modo de pensar

a atividade investigativa fez com que, inicialmente, a sequência elaborada por Suelen,

embora usasse um software dinâmico, seguisse os moldes de uma aula expositiva. A

discussão gerada permitiu que Suelen diferenciasse o conceito de investigação do professor

(sobre o aprendizado do aluno), do conceito de atividade ou tarefa investigativa para o aluno,

na qual o aluno levanta questões, investiga hipóteses, testa conjecturas, sem que o professor

conduzao processo por um único caminho, o que inviabilizaria a investigação do aluno.

As interferências do grupo que sucederam essa discussão inicial ajudaram Suelen a mudar a

abordagem da sequência e ela reconhece esse aprendizado em sua narrativa. Após contar um

pouco sobre o histórico de sua formação e de sua participação no grupo, Suelen apresenta a

sequência, em sua versão inicial, expondo suas problemáticas e a decepção com os resultados

obtidos.

A princípio eu acreditava que apenas clicando em avançar os alunos

pudessem construir o seu próprio conhecimento. Mas essa primeira versão

da sequência não alcançou a perspectiva “construcionista” (PAPERT,

1994) que eu queria propor. A maneira como a sequência foi construída,

com passos já prontos e com a falta de orientações escritas que ajudassem

o aluno a explorar a dinâmica do software, mantinha-o sempre na

dependência do professor, tornando a aula totalmente expositiva. No final

da aplicação da atividade percebi que a única a explorar o software fui eu,

os alunos ficaram somente observando e fazendo anotações em seus

cadernos (Zeraik, 2013,p. 4).

A narrativa de Suelen desvela todo o processo de revisão da sequência, além de suas

angústias ao expor para as professoras do grupo a sua produção e, ao mesmo tempo, suas

dúvidas. Em contrapartida, retrata , de um lado, o acolhimento do grupo e, de outro, a

mudança de suas percepções e concepções sobre a prática docente e o papel do grupo nesse

processo. Suelen retrata a dinâmica de elaboração da versão final da sequência, valorizando

essa vivência ao afirmar que “Percebi, ali, que um grupo colaborativo é marcado pela

imprevisibilidade e de ações pontuais [...] nesse tipo de comunidade de estudos sempre há

um objetivo comum que norteia o grupo, também espaço para as experiências e angústias

individuais” (Zeraik, 2013, p. 4).


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Suelen havia estudado, na teoria, o conceito de abordagem construcionista e de aula

investigativa, mas não conseguia levá-los para a sua prática por meio da sequência que havia

elaborado sozinha. No contexto colaborativo do grupo ela vai delineando a possibilidade de

uma práxis que relaciona teoria e prática. Além disso, começa a conceber um projeto de

pesquisa que iria promover, para todo o grupo, novas oportunidades de aprendizagem, agora

envolvendo as tecnologias. Este “conhecimento-da-prática” (Cochran-Smith & Lytle, 1999),

que toma como ponto de partida a prática mal sucedida de Suelen para, com a colaboração

do grupo, reorganizá-la e ressignificá-la, instiga e inspira Suelen a pesquisar as práticas com

tecnologias.

A versão inicial apresentada por Suelen foi desconstruída pelo grupo e esse momento não foi

fácil para ela, mas foi altamente formativo. Renata, outra professora do grupo, explicita seu

olhar sobre essa experiência, e valoriza a narrativa de Suelen sobre esse processo como algo

formativo para o grupo. Transformar um material que foi elaborado com cuidado,

desenvolvido com seus próprios alunos, pode ser um processo doloroso para quem elaborou,

mas faz parte do longo processo de transformar práticas. Apesar dos momentos de angústia,

Suelen soube extrair dessa experiência aprendizados profundos que a levaram a buscar

reconhecimento para seu desenvolvimento profissional. Isso se confirma quando ela afirma

que “este grupo é mais que um encontro de professoras de Matemática, ele me faz querer

mais na minha profissão, ele me apoia, me aponta, me direciona, me transforma em uma

formadora” (Perfil - Suelen). Renata destaca que, neste episódio, não foi apenas a Suelen que

aprendeu.

ao precisar argumentar para a Suelen a diferença entre uma atividade e uma

atividade investigativa, precisei formular e reformular o que eu mesma

entendia por atividade investigativa. Para ter argumentos era mais do que

necessário ter a compreensão do termo (Questionário - Renata).

No trecho a seguir, escrito conjuntamente por Suelen e Renata, ao responderem ao

questionário, onde uma completa a ideia da outra, é possível perceber experientes e

inexperientes aprendendo com uma mesma prática.

Ao vivenciar uma revisão de atividade em grupo percebemos o quanto

somos inexperientes em algumas situações de aula. Em determinadas aulas

achamos que o material que preparamos foi o suficiente, mas ao nos


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depararmos com uma turma quieta, sem questionamentos, percebemos que

algo estava errado.

Quando discutimos uma sequência ou preparamos uma nova, temos a

oportunidade de revisitarmos a nossa própria prática em sala de aula. Temos

a oportunidade de começar um conteúdo por um outro caminho que se torne

mais significativo para a construção do conhecimento do aluno. Pensar em

atividades ou exercícios que possam complementar e dar significado a

aprendizagem do aluno.

A partir da oportunidade de poder nos avaliar coletivamente criamos

coragem de expor nosso trabalho sem medo de receber críticas. E assim,

poder trazer novos olhares para a própria sala de aula. (Questionário –

Renata e Suelen, escrita conjunta pelo Googledocs)

Ao longo de sua participação no grupo, especialmente nesta narrativa, encontramos indícios

de diferentes aprendizagens de Suelen, que se entrelaçam e se complementam. Ao apresentar

ao grupo sua sequência, Suelen dá forma a sua experiência “pela produção de objetos que

congelam essa experiência em ‘coisificação’” (Wenger, 1998, p. 58). Esta reificação é

essencial e constitutiva da comunidade, pois ela cria os “pontos de foco em torno dos quais

a negociação de significado se torna organizada” (Wenger, 1998, pp. 58-59). Reificando seu

modo de pensar o ensino daquele conteúdo por meio da tecnologia, Suelen denota uma

“aprendizagem como fazer”, que é valorizada pelo grupo quando as professoras, apesar de

desconstruírem a versão inicial apresentada por Suelen, afirmam que não dão conta de

construir uma sequência como aquela no GeoGebra. Ao questionarem a abordagem dada às

atividades e alertarem Suelen sobre a necessidade de uma mudança de postura, elas

apresentam indícios de uma “aprendizagem como pertencimento” à comunidade, pois não

aceitam que uma sequência de tarefas reproduza o roteiro da aula tradicional. Ao refazer e

reapresentar a sequência ao grupo, Suelen vai aprendendo “na prática”, aperfeiçoando, com

a colaboração do grupo, a sua reificação. Destaca-se, nesse processo, uma “aprendizagem

como transformação” e, ao mesmo tempo, “como pertencimento”, pois ela transforma seu

modo de pensar a sequência de tarefas utilizando a tecnologia buscando, ao mesmo tempo,

adaptá-la à abordagem defendida pelo grupo. Ela procura aproximar sua prática da prática

que essa comunidade acredita ser a mais adequada.

Suelen transforma a sua prática, percebendo como conduzir um processo mais voltado para

a construção do conhecimento do aluno e, posteriormente, com sua pesquisa de mestrado,


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transforma a identidade da comunidade e das professoras, que passam a incorporar as

tecnologias em suas práticas.


Quando compartilhou com o grupo sua sequência, mostrando-se aberta para aceitar as

modificações propostas, Suelen apresenta indícios de uma “aprendizagem como

participação”, pois se sente acolhida para isso. Essa participação muda perspectivas e, nesse

movimento, transforma não só a sua concepção de ensino, mas também de outras professoras,

mediante sua identificação com o grupo, o que evidencia uma “aprendizagem como

pertencimento”. Assumindo uma postura de pesquisadora, ela se sentiu capaz de afetar a

identidade de todo o grupo, instigando as professoras a se envolverem com as tecnologias.

Uma “aprendizagem como fazer”, com as tecnologias, e uma “aprendizagem como

transformação”, trazendo para as práticas das professoras este fazer que não estava presente

em seu cotidiano, foram incentivadas por Suelen.

Esse movimento - da professora iniciante que apresenta uma sequência de tarefas

inicialmente criticada pelas professoras, mas aceita críticas e faz mudanças radicais para

pertencer e participar desta comunidade; que motivada por esta transformação se torna

pesquisadora e, em seguida, propõe a inserção das tecnologias na prática destas professoras;

que analisa os resultados dessa inserção e os efeitos da colaboração neste processo - compõe

uma espiral de aprendizagem que o trabalho colaborativo permite construir em uma

comunidade. Nessa espiral, a formação da professora iniciante e das professoras experientes

se funde e cria um ambiente complexo, permeado por práticas de pesquisar e de ensinar,

pleno de envolvimento e cumplicidade, colocando o mundo da escola e o da academia em

diálogo.

Diante do exposto, concluímos que os quatro eixos adotados constituíram-se numa

ferramenta poderosa para identificar não apenas as práticas realizadas, como se faz em muitos

trabalhos de pesquisa sobre formação de professores em comunidades, mas o que os

professores efetivamente aprendem sobre suas próprias práticas de ensinar ao se envolverem

com práticas de letramento que transitam entre o mundo da escola e o da academia.



ISBN 978-84-945722-3-4

Clandinin, D. J.; Connelly, F. M. Pesquisa narrativa: experiência e história em pesquisa

qualitativa. Tradução: Grupo de Pesquisa Narrativa e Educação de Professores ILEEI/UFU.

Uberlândia: EDUFU, 2011. 250 p.

Cochran-Smith, M.; Lytle, S. L. Relationships of Knowledge and Practice: teacher learning

in communities. In Review of Research in Education. USA, 24, p. 249-305. 1999. Tradução:

GEPFPM (Grupo de Estudo e Pesquisa sobre Formação de Professores de Matemática

(FE/Unicamp).

Cristovão, E. M. Estudo da aprendizagem professional de uma comunidade de professoras

de matemática em um contexto de práticas de letramento docente. Tese (doutorado).

Orientador Dario Fiorentini. Universidade Estadual de Caminas, Faculdade de Educação,

Campinas 2015

Fiorentini, D. Learning and professional development of mathematics teacher in research

communities. Sisyphus – Journal of Education. Volume 1, issue 3, 2013, p. 152-181.

Lave, J. La práctica del aprendizaje. In: CHAIKLIN, S.; LAVE, J. (org.). Estudiar las

practicas - perspectivas sobre actividad y contexto. Tradução Ofélia Castillo. Buenos Aires:

Amorrortu editores, 2001, p. 15-45.

Mockler, N. Beyond ‘what works’: understanding teacher identity as a practical and political

tool. Teachers and Teaching: Theory and Practice, v.17, n.5, p.517-528, oct. 2011.

Street, B. V. Letramentos Sociais: Abordagens críticas do letramento no desenvolvimento,

na etnografia e na educação. Tradução Marcos Bagno. 1ª Ed. – São Paulo: Parábola Editorial,

2014.

Wenger, E. Communities of practice: learning, meaning and identity. Cambridge:

Cambridge University Press, 1998.

Zeraik, S. M. (Re)elaborando colaborativamente uma proposta de atividade sobre o estudo

da circunferência. Anais do IV Shiam. Campinas: FE/Unicamp, 2013. Disponível em:

https://sites.google.com/site/anaisdoivsnhiam/apresentacao

Anexo 1 - UMA PROPOSTA PARA O ESTUDO DOS ELEMENTOS DA

CIRCUNFERÊNCIA COM O USO DO GEOGEBRA - Suelen Masson Zeraik

Resumo: As trocas de experiências entre professores formadores e professores da escola

básica por meio de grupo colaborativo promovem a formação continuada e vivências

valiosas, tal como, a construção de sequências didáticas com o uso de ferramentas

tecnológicas. A utilização das TICs no ensino de Matemática está cada vez mais presente

dentro da sala de aula. Atividades com esse tipo de metodologia possibilitam ao aluno

desenvolver os conceitos matemáticos com mais significado e sentido. Esse relato é uma

proposta de aula que aborda conceitos e propriedades sobre os elementos da circunferência

como: Raio, Diâmetro, Corda, Retas relativas à circunferência, ângulos internos e externos e

suas propriedades por meio do software GeoGebra. Divididos em dez quadros, os temas são

abordados por meio de construções geométricas acompanhadas de orientações escritas que

permitem ao aluno explorar a atividade de maneira dinâmica podendo, assim, agir de forma

ativa na construção do próprio conhecimento. A evolução tecnológica nos permite ir além da

mediação do conteúdo, nos auxilia na intervenção da construção do conhecimento

https://sites.google.com/site/anaisdoivsnhiam/apresentacao


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possibilitando, também, refletir sobre a prática de ensino, analisando e participando do

próprio ambiente explorado.

Anexo 2 - (RE)ELABORANDO COLABORATIVAMENTE UMA PROPOSTA DE

ATIVIDADE SOBRE O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA - Suelen Masson Zeraik -

UFSCar

Resumo: Neste relato apresento o processo de reelaboração de uma proposta de aula junto ao

grupo colaborativo de professores de Matemática. Na proposta são abordados conceitos e

propriedades sobre os elementos da circunferência de um modo dinâmico por meio do

software GeoGebra. Inicialmente o intuito de socializar a atividade no grupo foi de refletir

sobre a própria prática de ensino, mas durante as trocas de experiências com os professores,

percebemos a necessidade de mudanças em algumas partes da proposta para que adquirisse

um caráter significativo na construção do conhecimento do aluno. Essa vivência promove a

formação continuada e reflexões valiosas, tal como, a análise de sequências de atividades

com o uso de ferramentas tecnológicas. Além de me trazer crescimento profissional,

promoveu ali, relações de colaboração entre os pares envolvidos pois, em grupo de estudos,

os docentes podem aprender uns com os outros. Nesse sentido, pude me debruçar na atividade

junto ao grupo com um foco mais reflexivo e fazer algumas mudanças aperfeiçoando a

atividade em busca do sucesso da aprendizagem significativa do aluno.


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CB-1.355

I SEMINÁRIO DE TÓPICOS ESPECIAIS DE MATEMÁTICA BÁSICA: RELATO

DE EXPERIÊNCIA DE UMA PRÁTICA EDUCATIVA NO IFPR – CAMPUS

LONDRINA

Kátia Socorro Bertolazi

[email protected]

Instituto Federal do Paraná – Campus Londrina

Núcleo temático: Comunicación y divulgación matemática.

Modalidad: CB

Nivel educativo: Medio

Palabras clave: Educação Matemática; Matemática Básica; Evento científico; Ubiratan

D'Ambrósio.

Resumo Neste artigo descrevemos um relato de experiência realizado no IFPR – Campus Londrina

com estudantes da turma 2016 do Curso Técnico de Biotecnologia Integrado ao Ensino

Médio. O objetivo foi resgatar conceitos matemáticos básicos que funcionam como

estruturas cognitivas de ancoragem para a aprendizagem de novos conteúdos, bem como

fomentar a relevância de aplicações desses conceitos para a resolução de problemas, e para

a formação científica. Para isso foi promovido o I Seminário de Tópicos Especiais de

Matemática Básica com o lema Matemática em Foco: uma forma de interpretar o mundo. A

atividade de abertura foi a exibiçao da entrevista do Prof. Ubiratan D’Ambrósio promovida

pela Univesp TV, no programa Vida de Cientista em 2013, disponível gratuitamente. Para

elaboração dos seminários destacaram-se temáticas envolvendo Frações e suas

propriedades, Conjunto dos Números Reais, Equações e Sistemas de Equações de 1º grau,

Equações do 2º grau. O evento teve a presença de estudantes pareceristas da turma 2015 do

mesmo curso, os quais consideraram em suas avaliações tanto a desenvoltura dos

participantes quanto o domínio do conteúdo apresentado. Concluiu-se que o evento foi

profícuo na comunidade escolar, porque motivou a pesquisa, a aprendizagem de conceitos

e oportunizou aos estudantes organizarem um evento científico.

1. Introdução

O “I Seminário de Tópicos Especiais de Matemática Básica” com o lema “Matemática

em Foco: uma forma de interpretar o mundo” promovido no Instituto Federal do Paraná,

campus Londrina, teve por objetivos resgatar conceitos matemáticos que funcionam como

estruturas cognitivas prévias para a aprendizagem de novos conteúdos de Matemática,


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promovendo discussões e reflexões a respeito da relevância da utilização de aplicação de tais

conceitos no âmbito da formação científica.

D’Ambrosio (1999) considera um equívoco desvincular a Matemática de outras disciplinas

humanas, visto que “suas raízes se confundem com a história da humanidade” (p.97). Pois,

a construção do conhecimento matemático originou-se mediante práticas sociais que

buscavam respostas e soluções para problemas do cotidiano. Por exemplo, no campo das

atividades ligadas à agricultura, ao comércio e à engenharia foi evidenciado a necessidade de

calendários e a construção de um sistema de pesos e medidas (EVES, 2007).

Qualquer assunto se torna repulsivo se for apresentado destacando as suas dificuldades.

Dessa forma, familiarizar a/o estudante com o contexto de conhecimentos prévios para as

novas aprendizagens, estabelecer relações entre o que já se conhece e o que se pretende

conhecer, explicitar os objetivos esperados para cada etapa de formação, fortalecer sua

autoestima, e construir confiança em meio a dificuldades são estratégias pedagógicas que

podem colaborar para desenvolver uma formação educativa autônoma, crítica e reflexiva.

Nesse sentido, o enfoque pedagógico do “I Seminário de Tópicos Especiais de Matemática

Básica” buscou desenvolver e fortalecer uma formação científica e cidadã que estimulasse o

pensamento crítico-reflexivo objetivando, por exemplo, “contribuir para a superação do mar

de falta de significação que se diz ter inundado as salas de aula de ciências, onde fórmulas e

equações são recitadas sem que muitos cheguem a saber o que significam” (Matthews, 1995,

p. 165). Os objetivos específicos estabelecidos para a construção dos seminários

configuraram-se em processos de compreender a relevância do significado e uso adequado

de símbolos e terminologias matemáticas para o desenvolvimento científico; ativar e

resgatar conhecimentos matemáticos básicos; ampliar o repertório de significados e

aplicações de conteúdos matemáticos, tais como frações e equações do 1º e 2º grau; e

reconhecer conceitos estruturantes de conteúdos matemáticos explorados e discutidos em

sala de aula. Para isso, a organização e o planejamento teórico-metodológico dessa atividade

foi inspirado a luz da Teoria da Aprendizagem Significativa.

O princípio fundamental da Teoria da Aprendizagem Significativa, conforme Ausubel (2003)

consiste no fato de que aprendemos a partir do que já sabemos. Isto é, para aprender algo é

necessário que o aprendiz tenha conhecimentos prévios aos quais possa relacionar com o

novo conhecimento. Tal atitude implica em uma predisposição para aprender. Desse modo,


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a aprendizagem significativa caracteriza-se pela interação cognitiva sistêmica entre o novo

conhecimento e o conhecimento prévio. Tendo em vista essas considerações, se o intuito for

o de promover uma aprendizagem significativa é necessário investigar conhecimentos

prévios dos aprendizes associados ao conteúdo que se almeja abordar para ensinar de acordo,

uma vez que o fator isolado mais importante que influencia a aprendizagem é aquilo que o

aluno já sabe; assim é necessária por parte docente uma investigação para conhecer noções

cognitivas discentes, e a partir disso organizar práticas pedagógicas que estejam alinhadas

com as mesmas (AUSUBEL, 2003).

As atividades de pesquisas desenvolvidas por Ausubel, Novak, Hanesian (1980) explicitam

modos de pensar e sentir de centenas de pessoas, e ninguém é exatamente igual ao outro.

Dessa forma, para cada nova situação de aprendizagem há necessidade de que a/o professor

(a) conheça o ambiente e entenda aspectos cognitivos de seus aprendizes, a fim de conseguir

elaborar organizadores prévios condizentes com os aspetos da situação didática. Para

Ausubel, Novak e Hanesian (1980) é inerente ao conteúdo curricular o significado lógico,

isto é, o significado intrínseco ao próprio conteúdo. Do ponto de vista educativo, atribuiu ao

professor a responsabilidade de construir e promover um ambiente necessário para que haja

transformação do significado lógico em psicológico levando em consideração fatores, como

os conhecimentos prévios dos discentes, o material que será utilizado para o ensino e a

disposição da/do estudante em aprender significativamente.

Uma das razões para a proposição do “I Seminário de Tópicos Especiais de Matemática

Básica” foi desencadeada pelos diálogos pedagógicos desenvolvidos durante as aulas de

Matemática. Por meio da aplicação de atividades que fomentavam a reflexão e o debate de

como cada estudante se relacionava com seus próprios saberes matemáticos, ficou

evidenciado que a maioria dos estudantes apresentavam sentimento de insegurança,

nervosismo e ansiedade diante de conteúdos matemáticos. O principal motivo associado a

essas manifestações psicoemocionais estava associado ao fato de que muitos conceitos

matemáticos foram vistos ou aprendidos de forma superficial, quase ausentes de significados

e compreensão de aplicabilidades. Esse contexto de insegurança não era propício para o

desenvolvimento de novas habilidades e competências matemáticas. Além disso, muitos

estudantes demonstravam medo de errar em decorrências de constrangimentos vivenciados

anteriormente, tinham dúvidas e não conseguiam explicitar. Nesse contexto, Novak e Gowin


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(1984) afirmam que “toda prática educativa que não faça com que o aluno capte o significado

da tarefa de aprendizagem, falha normalmente em lhe proporcionar confiança nas suas

capacidades” (p.13), e por esse motivo “em nada contribui para incrementar a sensação de

domínio sobre os acontecimentos” (p.13). Dessa forma, foi necessário construir e

desenvolver um espaço de discussão aberto, acolhedor, dinâmico, reflexivo para a exercitar

a expressão e esclarecimento de dúvidas, fomentando autonomia cognitiva e o

desenvolvimento de competências sociais por meio de permanentes diálogos e partilhas de

vivências escolares.

A partir dessas considerações anteriores, foi organizado o “I Seminário de Tópicos

Especiais de Matemática Básica” para propiciar um momento pedagógico de

enriquecimento, aprofundamento e conscientização da relevância de conceitos matemáticos

básicos para o acesso de novas aprendizagens. Para isso, atividades de monitoramento da

aprendizagem, orientação de estudo, relatórios e autoavaliação foram realizados para se

obterem resultados de indícios de aprendizagem alcançados.

2. Desenvolvimento e procedimentos metodológicos

O “I Seminário de Tópicos Especiais de Matemática Básica” contou com a apresentação

de dezessete temáticas relacionadas a Matemática Básica, dinamizadas e permeadas pela

demonstração de alegria, senso de humor e responsabilidade das/dos estudantes -

palestrantes. A programação completa é apresentada no Anexo 3 – Quadro 4. Os temas foram

selecionados a partir de uma assembleia da Turma 2016 conduzida pela professora regente,

autora desse trabalho, com base em dificuldades conceituais e dúvidas manifestadas, durante

o desenvolvimento das atividades realizadas no primeiro semestre de 2016. Entre os temas

destacaram-se Frações e suas propriedades, Conjunto dos Números Reais, Equações e

Sistemas de Equações de 1º grau, e Equações do 2º grau. As temáticas apresentadas

envolveram vários procedimentos teóricos-metodológicos e muitas reuniões de orientações,

uma vez que o processo de elaboração desses seminários de Matemática básica exigiram

das/dos estudantes domínio da Língua Portuguesa para articular, interpretar e expressar

ideias; História da Ciência e da Matemática para compreender origens e os porquês

matemáticos, e percepção de aplicabilidades que se associam à resolução de problemas

cotidianos e relativos às Ciências da Natureza. Além disso, o evento oportunizou a


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participação de estudantes da Turma 2015 do Curso de Biotecnologia Integrado ao Ensino

Médio na condição de pareceristas das comunicações científicas. O Quadro 1 localizado no

Anexo 1 desse trabalho apresenta os tópicos exigidos que orientaram a elaboração dos

seminários construídos pela Turma 2016. A construção dos seminários foi organizada

previamente por cada dupla, e posteriormente realizou-se reunião com a docente responsável

para orientação e esclarecimento de dúvidas. Destaca-se nesse trabalho que quando for

necessário haverá a identificação nominal de estudantes que participaram do evento, uma vez

que há o termo de consentimento livre e esclarecido concedido para a divulgação de

atividades acadêmicas realizadas no âmbito da instituição, bem como o uso de imagem, por

exemplo, registros fotográficos.

3. O Evento

O Instituto Federal do Paraná – Campus Londrina promoveu o “I Seminário de Tópicos

Especiais de Matemática Básica” com o lema Matemática em Foco: uma forma de

interpretar o mundo, entre os dias 25 e 26 de novembro de 2016, no período matutino, no

Auditório da Unidade Alagoas, com carga horária de quatro horas por dia. O evento foi

idealizado, organizado e coordenado pela Profa. Kátia Socorro Bertolazi, e pela Turma 2016

do Curso Técnico de Biotecnologia Integrado do Ensino Médio. O enfoque pelo resgate e

compreensão de conceitos matemáticos básicos nortearem a construção desse evento, pois

concordamos com Ausubel (2003) que a ausência de conhecimentos prévios necessários à

estrutura cognitiva do/da aprendiz torna-se inviável a aprendizagem com significado.

A cerimônia de abertura do evento foi marcada pela presença de autoridades educacionais

do Campus Londrina. Participaram desse momento o Prof. Fernando Accorsi, Diretor de

Ensino, Pesquisa e Extensão, o Prof. Guilherme Lima Bruno E Silveira, Coordenador do

Curso Técnico em Biotecnologia Integrado ao Ensino Médio, e o Psicólogo Carlos Eduardo

de Souza Gonçalves, Coordenador de Ensino e membro da Seção Pedagógica e de Assuntos

Estudantis (SEPAE). O Prof. Accorsi, mestre em Ciências da Computação, enfatizou a

importância da realização de eventos que promovam a desmitificação da Matemática, pois

segundo o mesmo “quando uma pessoa declara que não gosta de Artes é visto pela sociedade

como algo incomum, mas a maioria aceita o discurso naturalizado de rejeição à


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Matemática”. Ainda em sua fala explicou a relevância dos algoritmos matemáticos para o

processo de programação e desenvolvimento de tecnologias associadas à Informática,

ressaltando a presença de modelos matemáticos quando se realiza buscas na Internet, quando

se usa GPS, e até mesmo direcionamentos que redes sociais realizam para promover ao

usuário conteúdos relacionados ao seu foco de interesse. Na ocasião recomendou aos

estudantes a leitura do livro Amor e Matemática: O coração da realidade escondida de

Edward Frenkel (2015), pois, de acordo com o professor, “a Matemática pode despertar

fascínio e curiosidade pelo potencial explicativo e harmônico que carrega em seus

princípios”. O Prof. Guilherme, graduado em Artes e mestre em Letras, destacou o caráter

atípico do evento, pois de acordo com ele “nao é todo dia que podemos ter o privilégio de

um evento voltado exclusivamente para Matemática”, e incentivou a participação dos/das

estudantes em atividades como essa que trazem elementos novos e atualizados para as

práticas educativas. O psicólogo Carlos Eduardo, mestre em Educação, explicou que o

processo cognitivo exige “açao de conectar, relacionar, associar e interligar informações,

e é isso que vocês estao desenvolvendo nesse seminário”. Ainda, contemplou em sua fala,

princípios de Piaget a respeito do desenvolvimento intelectual em estágios progressivos de

aprendizagem, o que possibilita a construção de conhecimentos. Dessa forma, “revisitar e

estudar conceitos básicos e estruturadores de Matemática contribuem para adaptar-se às

situações novas, permitindo a reorganização dos próprios esquemas prévios para manter-se

aberto a melhores esquemas futuros”.

O “I Seminário de Tópicos Especiais de Matemática Básica” teve como atividade de

abertura a exibição da entrevista do Prof. Ubiratan D’Ambrósio promovida pela Univesp

TV, no programa Vida de Cientista, publicada em 30 de agosto de 2013, disponível

gratuitamente no endereço eletrônico <goo.gl/YZJANP>. Ubiratan D'Ambrósio é

pesquisador brasileiro com reconhecimento internacional, e referência quando o assunto é

ensino de Matemática. De modo geral, as ideias do Prof. Ubiratan cativaram as/os

participantes do seminário deixando claro, por meio de sua entrevista, que podem mudar

o mundo com estudo e trabalho construídos com base no desenvolvimento de

competências acadêmicas e humanísticas.

4. Discussão dos Resultados


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Em síntese, o evento proporcionou tanto contribuições científicas quanto humanísticas

destacando aspectos referentes a processos de construção, sistematização e formalização de

conhecimentos matemáticos. De modo geral, a conscientização da relevância do uso correto

de termologias científicas ampliou perspectivas de compreensão de significados de conceitos

matemáticos, manifestado pelo domínio de fala discente durante as apresentações. A etapa

da elaboração dos seminários permitiu e oportunizou a retomada de conhecimentos prévios

necessários para ativar, organizar, ressignificar e entender conceitos matemáticos, e

linguísticos vistos ou estudados anteriormente. As relações estabelecidas por meio de

diálogos e reflexões, mediante questionamentos promovidos em aula e em reuniões

específicas de orientação, entre o que já se sabe, e o que se necessita aprender produziram

um ambiente educativo propício para a manifestação de dúvidas, e o sentimento de confiança

e liberdade para interagir e expressar ideias.

A estudante Ingrid Volpato, estudante parecerista, Turma 2015, destacou que levou em

consideração em sua avaliação “a postura e atitude dos participantes, a necessidade de usar

os slides para permear e intermediar a fala, o domínio do conteúdo, e o modo pelo qual as/os

estudantes lidavam com a ansiedade e o nervosismo”. A estudante parecerista Isabella K.

Verones, Turma 2015, parabenizou as/os colegas do 1º ano na plenária realizado ao final do

evento. Ela destacou em sua fala a importância de aproveitarem essa oportunidade para o

crescimento acadêmico e pessoal. Raquel França Pereira que cursa o 3º ano do Curso de

Técnico de Informática Integrado do Ensino Médio relatou em plenária que assistir aos

seminários contribui para que ela pudesse relembrar muitos conceitos, aprender outros, e

ficou muito satisfeita pela inserção de aspectos históricos contidos e contemplados nos

seminários. A estudante Elizabete da Silva Vieira declarou que “percebeu que a Matemática

não são só números, fórmulas, letras. A Matemática está presente no cotidiano, tem história,

definições, explicação dos porquês, e isso não é para complicar a vida. Enfim, com esse

seminário eu comecei a me interessar muito mais por Matemática”.


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As ideias do Prof. Ubiratan repercutiram fortemente nas atividades realizadas. Por

exemplo, a estudante Beatriz Alves Bertolaccini destacou a visão futurística do professor

desde o início de sua carreira, e a motivação que ele teve para trabalhar em prol do ensino

de Matemática no Brasil. Já a estudante Nathália de Souza Sanches enfatizou a ideia de

D’Ambrósio de aproximar pais, estudantes e escola por meio da valorização de seus

saberes específicos. O estudante João Pego Ferreira ressaltou que gostou muito quando o

Prof. Ubiratan explicou a respeito do papel docente no processo de aprendizagem discente;

e ainda o estudante Thiago da Silva Almeida manifestou o desejo de estudar e construir

um seminário em um próximo evento a respeito de Etnomatemática. A estudante Maria

Beatriz Acioli Silva se emocionou com a forma apaixonante que D’Ambrósio se refere à

Matemática.

5. Considerações Finais

A comunidade estudantil que participou do “I Seminário de Tópicos Especiais de

Matemática Básica” explicitou a compreensão da relevância do trabalho desempenhado

pelo Prof. D’Ambrósio em prol da Educação Matemática brasileira. Durante a plenária de

encerramento do “I Seminário de Tópicos Especiais de Matemática Básica”, a Turma

2016 do Curso Técnico de Biotecnologia Integrado ao Ensino Médio prestou homenagens e

agradecimentos à Profa. Kátia, idealizadora e coordenadora do evento, por meio da leitura

solene de uma carta, destacando o seu profissionalismo, atenção, acolhimento e afetividade

que permeiam o desenvolvimento de suas práticas educativas. Após esse momento, os

membros da plenária deliberam de forma unânime a favor da realização anual do evento. A

segunda edição do evento já está prevista para ocorrer em novembro de 2017, buscando

ampliar a participação da comunidade estudantil, envolver outros cursos da instituição, e

expandir a linha temática para contemplar aplicações matemáticas enfocando a compreensão

e estudo de fenômenos biotecnológicos.

6. Referências Bibliográficas

Ausubel, D. P. (2003). Aquisição e retenção de conhecimentos: uma perspectiva

cognitiva. Lisboa: Plátano.


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Ausubel, D. P., Novak, J. D., Hanesian, H. (1980). Psicologia educacional. São Paulo:

Interamericana.

D´Ambrosio, U. (1999). A História da Matemática: questões historiográficas e políticas e

reflexos na Educação Matemática. En M. V. Bicudo (Eds), Pesquisa em Educação

Matemática: Concepções e Perspectivas, Capítulo 5, pp. 97-115. São Paulo: Editora Unesp.

Eves, H. W. (2004). Introdução à história da matemática. Campinas: Unicamp.

Matthews, M. S. (1995). História, filosofia e ensino de ciências: a tendência atual de

reaproximação. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, 12(3), 164-214.

Novak, J. D., y Gowin, D. B. (1996). Aprender a aprender. Lisboa: Plátano Edições.

Técnicas. Tradução de Learning how to learn (1984).

Anexo 1

Quadro 1 – Elementos para a construção dos Seminários

Elementos Orientação Geral

Título para apresentação Construir um título adequado para o seminário.

Tema O tema de cada dupla foi sorteado durante a assembleia

de turma.

Apresentação do tema Resumo que contenha as ideias principais a respeito do tema que será abordado. Buscar explicações com base na História da Ciência e da Matemática.

Pergunta curiosa Elaborar uma questão que instigue o interesse pelo estudo do tema.

Conhecimentos matemáticos prévios

Definir conceitos matemáticos necessários para o estudo e compreensão do tema. Por exemplo, o que é necessário saber para aprender esse conteúdo?

Definições matemáticas Explicitar a definição de conceitos matemáticos utilizados, e explicar o significado das informações contidas na definição apresentada.

Representações/símbolos matemáticos

Organizar em um quadro de representações e símbolos matemáticos que serão utilizados no âmbito do tema apresentado.

Aplicações e/ou contextos Pesquisar exemplos de aplicações do conceito que está sendo estudado.

Usos cotidianos na sala de aula Explicar de que forma tal conceito pode se manifestar nas aulas de Matemática ou de outras áreas do conhecimento. Por exemplo, o uso de equações está associado ao estudo de funções.


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Apresentação de atividades/Problemas/Enigmas

Apresentar um problema, atividade ou enigma matemático com as devidas resoluções. Busque preferencialmente por situações que possam gerar dúvidas.

Referências bibliográficas Normatizar as referências bibliográficas utilizadas conforme as regras vigentes atuais da ABNT – Associação Brasileira de Normas e Técnicas.

Fonte: autoria própria

Anexo 2

Quadro 2 – Arte Visual

Logomarca e crachá do evento

Autoria: Brayan Barros Abelha e João Pego Ferreira

Estudantes da Turma 2016


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Quadro 3 – Exemplares de registros fotográficos do evento

Fonte: elaborado pela autora

Autoria das Fotos: Brayan Barros Abelha e João Pego Ferreira

Anexo 3

Quadro 4 – Organização da Programação do Evento

PROGRAMAÇÃO GERAL I Seminário de Tópicos Especiais de Matemática Básica

Matemática em Foco: uma forma de interpretar o mundo

DATA ATIVIDADE RESPONSÁVEIS

25

DE

NO

VEM

BR

O D

E 2

01

6

7h

30

min

às

12

h3

0m

in

Cerimônia de Abertura do Evento Exibição de entrevista: Vida de Cientista - Prof.: Ubiratan D’Ambrósio (2013)

SEMINÁRIOS REALIZADOS ESTUDANTES

1. O uso do sinal em operações de soma e subtração: definições e aspectos históricos

JOÃO PEGO FERREIRA LAIS XAVIER DOS SANTOS

2. O uso do sinal em operações de multiplicação e divisão: definições e aspectos históricos

NATHALIA DE SOUZA SANCHES VICTOR HUGO BITENCOURT BELTRAMI

3. O uso do sinal em operações de potenciação e radiciação

BEATRIZ ALVES BERTOLACCINI FERNANDA LANDIN DA SIVA

4. Frações e o significado de somar e subtrair GIOVANA RIBEIRO MUNARO


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MARIA BEATRIZ ACIOLI SILVA

5. Frações e o significado de multiplicar e dividir

HÉCTOR FELIX RIBEIRO SILVA MAXIMILIAN DE SANTANA DIAMANTE E PLINIO MACHADO

6. Potenciação: significado, propriedades e aplicações

EDVALDO RODRIGUES DE OLIVEIRA JUNIOR LAURA FERREIRA ROCHA

7. Radiciação: significado, propriedades e aplicações

GABRIEL HIDEKI SAITA ROGÉRIO DE FREITAS OLIVEIRA

8. Conjunto dos números racionais: aspectos históricos, propriedades operacionais, e aplicações

FELIPHE SOUZA DOS REIS DANIEL FELIPE PIVA DOS SANTOS

9. Conjunto dos números irracionais: aspectos históricos, propriedades operacionais, e aplicações

ELIZABETE DA SILVA VIEIRA LETÍCIA BEATRIZ INOUE

10. Números irracionais e o significado de somar e subtrair

BRAYAN BARROS ABELHA THIAGO DA SILVA ALMEIDA

26

DE

NO

VEM

BR

O D

E 2

01

6

7h

30

min

às

12

h3

0m

in

11. Números irracionais e o significado de

multiplicar e dividir. JAN ALBERTO FABIANO JUKOWSKI YAN MATHEUS WEBY TAKEDA

12. Equações do 1º grau: definições e aplicações

EMMANUEL MALDONADO LIMA ESTER KIMIE SATO

13. Sistemas de equações do 1º grau: definição,

método de substituição e aplicações FABRÍCIO DOS SANTOS CARLOTO RENAN FELIPE SANTOS JOSÉ

14. Sistemas de equações do 1º grau: definição, método de adição e aplicações

EDUARDA CRISTINA CATANDUBAS GOULART EMILY DIAS MATTOS

15. Sistemas de equações do 1º grau: definição, método de comparação e aplicações

DANIEL ANTONIO VERRI ALVES FELIPE PRADO SILVEIRA

16. Equações incompletas do 2º grau: definições e aplicações

ISADORA AVILES CABRERA NUVOLI CORREIA JÉSSICA LARISSA PAIS DOS SANTOS

17. Equações completas do 2º grau: definições e aplicações

EDVALDO RODRIGUES DE OLIVEIRA JUNIOR LAURA FERREIRA ROCHA

PLENÁRIA DE ENCERRAMENTO Fonte: autoria própria

Anexo 4

Quadro 4 – Atividade Proposta de Autoavaliação do Evento


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Participação, aprendizagem e reflexão: itinerários formativos

Nome completo:

Inspirados e enriquecidos pelos momentos acadêmicos vivenciados durante o “I Seminário

de Tópicos Especiais de Matemática Básica”, nos dias 25 e 26 de novembro, com o lema –

Matemática em Foco: uma forma de interpretar o mundo – responda as seguintes questões:

Tema de seu Seminário:

1) Explique o processo de elaboração e organização de seu seminário. Para isso leve em

consideração as etapas de pesquisa, estudo do tema, seleção de informações,

esclarecimentos de dúvidas, elaboração de slides e comunicação oral, construção de roteiros

de falas e explicações, e apresentação de seminário.

2) Destaque de forma geral três fatores positivos, e três sugestões construtivas para o próximo

evento de 2017.

3) Descreva noções/compreensões matemáticas que você “tomou consciência” após a

realização do “I Seminário de Tópicos Especiais de Matemática Básica” com o lema –

Matemática em Foco: uma forma de interpretar o mundo.

4) Relate suas compreensões e impressões a respeito da entrevista “Vida de Cientista” com o

Prof. Ubiratan D’Ambrósio a qual foi exibida na abertura do “I Seminário de Tópicos

Especiais de Matemática Básica”. Destaque três ideias que tenham potencial para lhe

inspirar em suas práticas de aprendizagem.

Fonte: autoria própria


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CB-1.357

RUÍDOS NA COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA PARA O ALUNO SURDO

INCLUÍDO NA SALA DE AULA REGULAR

Gisela Pinto – Agnaldo Esquincalha


UFRRJ – UERJ, Brasil

Núcleo temático: Ensino e aprendizagem da matemática em diferentes modalidades e níveis

educacionais

Modalidade: CB

Nível educativo: Formação e atualização docente

Palavras chave: Ensino de Matemática, Educação Inclusiva, Comunicação em Matemática.

Resumo O ensino de Matemática é um ponto culturalmente frágil na formação dos alunos em geral,

surdos e ouvintes. Se considerarmos os recentes contextos inclusivos, no Brasil, onde

compartilham o mesmo ambiente, este cenário torna-se ainda mais complexo para alunos e

professores: as barreiras linguísticas comprometem sua comunicação. A responsabilidade

do ensino acaba recaindo sobre as mãos dos intérpretes educacionais de Libras (Língua

Brasileira de Sinais), que nem sempre têm a formação adequada para dar conta desta difícil

missão. Por outro lado, o professor pouco conhece sobre o perfil cultural do surdo e suas

especificidades. Propomos uma reflexão sobre o ensino de Matemática para o aluno surdo

incluído, mediada pelo intérprete de Libras. Realizamos entrevistas semiestruturadas com

quatro professores de Matemática que têm alunos surdos incluídos em classes regulares. Os

resultados iniciais indicam o desconforto dos professores em atuar em contexto inclusivo

por não se sentirem plenamente capacitados. A partir disso, apresentamos uma proposta

para amenizar esse problema.

Introdução

A história recente do ensino de matemática no Brasil tem evidenciado o papel que esta

disciplina tem assumido como agente de exclusão. Claro que estes resultados muitas vezes

se originam de avaliações que são elaboradas visando a classificação e não o crescimento, e

fundamentando essa classificação em padrões irreais de excelência. Tais práticas conflitam,

pelo menos em âmbito ideológico, com o que se espera e se propõe para a escola básica,

confrontando eventualmente até mesmo as mais recentes legislações que conduzem à escola

inclusiva, à educação ampla e abrangente e que abarque setores da população até então

excluídos das salas de aula.


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Mais recentemente, o conceito de educação inclusiva se soma ao de educação especial,

caracterizando-se como uma realidade em nosso cenário educacional. Talvez essa união se

deva à viabilidade, visto não existirem espaços educacionais especiais suficientes para

abarcar toda a população escolar que apresenta oficialmente alguma diferença, mas

certamente é também subsidiada pela ideia da “Educação para Todos”. Principalmente nas

últimas duas décadas temos podido acompanhar o movimento de âmbito mundial em prol da

educação para todos. A inclusão educacional é, nestes contextos, ressignificada, passando a

oferecer a escola para todos os que eram social ou economicamente excluídos e também para

aqueles que rotulamos com denominações como portador de necessidades especiais,

deficientes ou, de forma mais abrangente, como diferentes, por interagirem com o mundo e

com seus pares de modo diferente que a maioria.

Quando nos debruçamos especificamente sobre a questão da população surda, há pontos que

sugerem que sua situação no cenário educacional possa ser mais premente do que a das

demais diferenças: a problemática da língua, que acarreta em falta de acesso à comunicação

oral ou escrita. Dados da Pesquisa Nacional de Saúde, realizada em 2013 pelo Instituto

Brasileiro de Geografia e Estatística, indicam que no Brasil, os deficientes auditivos são em

torno de 1,1% da população. Considerando a população brasileira em torno de 200 milhões

de habitantes, podemos inferir que cerca de 2,2 milhões de brasileiros são surdos ou possuem

algum tipo de deficiência auditiva.

O Censo Escolar indica que, em 2010, dentre as 70.823 matrículas de estudantes com surdez

e com deficiência auditiva, na Educação Básica, 52.500 estão matriculados nas escolas

comuns de ensino regular. Entre 2003 e 2010, verifica-se a taxa de crescimento de 105% no

número de matrículas desse público nas escolas comuns de ensino regular.

É preciso ir além da inclusão numérica – o direito pelo qual se precisa lutar é mais amplo,

que é o de conviver, de fazer parte de um grupo, e de poder ter acesso a todas as informações

que os ouvintes têm dentro dos espaços escolares. Quando isso acontece, por um lado ganha

o incluído em ter acesso à informação e conhecimentos escolares, e por outro ganham todos,

diferentes ou não, por terem a oportunidade da convivência que transcenda as barreiras do

preconceito e da discriminação.

A referida “Educação para Todos” tem como hipótese um ambiente isento de preconceitos e

de discriminações de qualquer tipo, fundamentando-se em uma relação simbiótica entre


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“iguais” e “diferentes”. Portanto, uma escola pode ser dita inclusiva quando entende que a

diferença é um fator que enriquece o processo educacional. Para que isso seja uma realidade,

é preciso que ela se reinvente em suas práticas e objetivos, de maneira que todos sejam

realmente participantes.

Nesse processo, podem ser definidos dois atores fundamentais, que são o professor de

Matemática da sala de aula regular e o intérprete educacional da Língua Brasileira de Sinais,

Libras. Sobre o primeiro, Taveira (2008) comenta que professores entendem a inclusão como

algo imposto e que precisam se adaptar com ou sem estudos prévios na área, evidenciando o

desconforto relatado pelos participantes de sua pesquisa.

É neste cenário que se encontra este texto, tendo como pano de fundo a população surda que

cada vez mais tem tido voz nas escolas brasileiras, gritando a exclusão historicamente sofrida

e a violência da oralização forçada a que foram submetidos durante décadas. É do trinômio

formado por professores de matemática, pelos alunos surdos incluídos na sala de aula regular

e pelo intérprete educacional em Libras (IEL) que trataremos aqui. A relevância desta

discussão é inquestionável quando consideramos uma demanda crescente de professores

angustiados que ensinam matemática e que não conseguirão produzir os resultados desejados

junto a estes alunos, e por outro, de intérpretes educacionais em Libras desprovidos de

formação disciplinar ante o ensino de matemática para estes alunos.

Esta ainda não tem sido uma preocupação nos cursos de formação inicial de professores que

ensinam matemática, talvez por se supor que a existência do IEL na sala de aula baste. No

entanto, a pressuposição dessa suficiência é tão inconsistente quanto dar a um leigo em

música a partitura de uma obra musical e supor que com isto ele possa alcançar toda a

magnitude e beleza da música ali registrada. Professores relatam desconforto em função do

que classificam como despreparo para trabalhar com estudantes que falam com suas mãos.

Naturalmente, este hiato na preparação os conduz a profundas inseguranças sobre o que a

inclusão realmente significa no contexto da educação matemática.

A pesquisa

As entrevistas aqui relatadas foram realizadas no âmbito de uma pesquisa conduzida pelos

autores em parceria com licenciandos em matemática, minuciosamente relatadas em Trigo

(2015). Consiste em entrevista semiestruturada, permitindo respostas livres e espontâneas do


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informante, de acordo com Lakatos e Marconi (2003, p. 195), para os quais “a entrevista é

um encontro entre duas pessoas, a fim de que uma delas obtenha informações a respeito de

determinado assunto, mediante uma conversação de natureza profissional”, sendo ainda

importante ser semiestruturada para “o entrevistador repetir ou esclarecer perguntas,

formular de maneira diferente, especificar algum significado, como garantia de ser

compreendido” (p.197).

Para o roteiro de entrevista foram propostas questões que buscassem fazer emergir as

percepções dos entrevistados sobre o ensino de matemática para o aluno surdo incluído na

sala de aula regular. Os quatro professores participantes tinham perfis de atuação bastante

diferenciados: todos eram formados em matemática, sendo dois professores de escolas da

rede pública do Município do Rio de Janeiro; um professor de escola particular, situada na

Baixada Fluminense; e um professor da rede pública do Município de Seropédica. As

conversas foram gravadas em áudio e tiveram cerca de 30 minutos de duração cada uma. Na

análise, não foi adotado nenhum modelo específico, seu foco foi na imersão nas falas dos

entrevistados, o que permitiu um estudo detalhado delas, enfatizando pontos em comum entre

as falas ou fatos relevantes ali destacados. Com o intuito de manter o anonimato dos

participantes, optou-se por classificá-los em: P01, P02, P03 e P04.

As falas dos professores conduziram unanimemente à percepção das dificuldades

encontradas no ambiente escolar, que se caracterizam principalmente pela inexistência do

IEL na sala de aula regular inclusiva e na formação insuficiente em âmbito inicial ou

continuado dos docentes. P01, P02 e P04 relatam nunca terem tido auxílio do IEL em sala de

aula, sendo que somente o último fez menção à sala de recursos. Os quatro professores

enfatizam não terem tido na graduação nenhum tipo de preparação para a atuação com o

aluno surdo. Cabe questionar, neste contexto, a garantia do direito de aprender

hipoteticamente assegurado por lei para o aluno em situação de necessidade educacional

especial, bem como destaca-se como premente o investimento na revisão dos currículos dos

cursos de licenciatura atualmente praticados nas instituições formadoras. No Quadro 1,

apresentamos uma síntese dos principais obstáculos pontuados pelos professores, destacando

trechos de suas falas:

Quadro 1

Síntese dos principais obstáculos pontuados pelos professores


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Turmas superlotadas; “turmas superpopulosas, uma quantidade de alunos muito grande.”

Conciliar a Língua Portuguesa

com a LIBRAS e atender as

demandas dos educandos surdos

e ouvintes ao mesmo tempo;

“[...] fazer a interpretação para o aluno surdo e dar aula para os

ouvintes ao mesmo tempo. E português e LIBRAS não é a mesma

coisa, cada um tem a sua diversidade, tem a sua língua.”

Ensinar matemática ao aluno

que apresente dificuldades com

o português;

“[...] eles apresentam, na sua maioria, uma grande dificuldade com a língua portuguesa. Ensinar matemática é ensinar o aluno a resolver problemas, não é só algoritmos. E como eu vou ensinar o aluno a resolver problemas, se eles apresentam dificuldades com a leitura, com a compreensão do texto?”

Verificar se o aluno aprendeu o

conteúdo lecionado;

“porque a gente não sabe se esse aluno aprendeu, ou não aprendeu.

Fica muito difícil.[...].”

Não conseguir atingir o objetivo

do professor nem do aluno;

“[...] Você vê que não consegue atingir o teu objetivo e nem o dele.

[...] As dificuldades estão no BÁSICO.”

A falta de recursos. “[...] para o cego, para o surdo, você fica ali, é um embate. Você não

tem recurso técnico e não sabe o que fazer.”

Fonte: dados da pesquisa.

Outro ponto que surgiu nas entrevistas foram os conteúdos ou áreas do estudo de matemática

que os alunos têm mais ou menos dificuldades. P01 e P03 informam que, excetuando a

divisão, normalmente as operações matemáticas em geral são aprendidas com maior

facilidade. Outros pontos como frações e questões mais visuais como algoritmos e regras

também costumam apresentar menor dificuldade. Por outro lado, o estudo da geometria,

plana ou espacial, apresenta dificuldades visto que carece de conceitos prévios e

normalmente encontra-se inserida em situações de resolução de problemas, que são outro

calcanhar de Aquiles para o aluno surdo.

Em relação ao bilinguismo, os professores divergem:

P01: “Olha, bilinguismo eu até gosto, mas a língua verdadeira do surdo é a LIBRAS. [...] O que é o

bilinguismo? Ah, é o saber LIBRAS e oralizar no português. Tá, mas eu sou surdo! A minha língua principal,

a L1 é a LIBRAS [...]. Isso que as pessoas às vezes não entendem. Existe um grupo de profissionais que

colocam a LIBRAS como se fosse uma língua segunda, E NÃO É. Ela é a língua principal em que o surdo

tem que estudar.”.

P02: “eu acho fundamental. Tem que existir escola bilíngue. Eu acho que existe uma grande quantidade de

pessoas surdas, que durante muitos anos foram deixadas de lado. Pessoas que eram consideradas como

deficientes mentais, por que não conseguiam se comunicar; e eles ficavam nervosos, começavam a bater na

mesa, começavam a gritar... E era uma forma de chamar atenção. E eles não eram. Eram pessoas que tinham


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uma língua diferente, que tinha uma cultura diferente e que precisavam ser respeitados. Acho que o governo

precisa realmente fazer isso, criar escolas que respeite a cultura do surdo, a língua do surdo, questões

linguísticas e visuais. Existe toda uma necessidade específica para o surdo, que muitas vezes é considerado

deficiente, mas não é. É uma minoria linguística. [...] Ele precisa ter esse ambiente, que não é um ambiente só

de escolarização, mas é um ambiente também de informação, relacionado à saúde, a orientação sexual, a

questão de drogas e todas as outras coisas que normalmente os pais passam para os filhos, mas que o surdo

não tem. A escola bilíngue tem um papel fundamental nesse ponto.”.

P03: “eu acho que tudo aquilo que é feito para poder ajudar, vale a pena.”.

P04: “[...] Se o governo diz e se ele assina tratados de inclusão, eles têm que ter as pessoas para fazer isso.

Então não é questão de eu concordar ou deixar de concordar [...].”.

Por fim todos os docentes fizeram uma avaliação sobre a preparação da escola regular em

receber os alunos surdos, tomando como critérios as suas práticas e a sua experiência pessoal.

Todos consideram que este é um espaço ainda inabilitado a esta função específica. Como

solução, a fim de contornar essa situação, todos tecem sugestões para que a escola se torne

mais acolhedora e preparada para o aluno surdo. Trigo (2015) organiza estas falas como um

amálgama de sugestões:

“Hoje tem que ter muito mais...”, “é preciso buscar estratégias que sejam acessíveis

ao surdo, estar sempre buscando, pesquisando” sem contar a importância “da

divulgação e aprimoramento da língua de sinais por parte dos professores.”

“Realmente tem que haver a capacitação, por que para você acolher esses alunos

sem ter uma preparação fica difícil. As escolas precisam oferecer capacitações

adequadas”, “mas não é só preparar professor não. Desde lá do porteiro, até o

pessoal da administração, tem que haver o envolvimento da comunidade escolar,

por que se a escola não estiver envolvida, não adianta nada. A formação ela tem

que partir de todos, para todos, com todos.” (TRIGO, 2015, p.46).


O cenário que vislumbramos aqui é preocupante. No entanto, precisamos nos direcionar a

propostas que promovam a superação das dificuldades. Entendemos que, mais do que a

presença do intérprete na sala de aula inclusiva, a sua interação com o professor regente é

fundamental, onde possam elaborar juntos, cada um em sua especificidade formativa,

destacar os momentos mais difíceis para o IEL e para o aluno, elaborando em parceria um

material próprio para o aluno surdo.

Concordamos que a formação específica seria o ideal, ou seja, um professor bilíngue

específico para aquele(s) aluno(s). Por outro lado, ser o docente da sala de aula regular

inclusiva simultaneamente licenciado em matemática e intérprete de Libras poderia acabar


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significando uma aula à parte para aquele aluno e não o ensino conjunto para surdos e

ouvintes, contradizendo os paradigmas da educação inclusiva.

Queremos aqui ressaltar a importância da formação híbrida do profissional IEL em

matemática e do professor da educação básica de matemática em LIBRAS para o ensino de

matemática para o aluno surdo incluído. Entendemos que a lacuna proveniente da

inexistência dessa formação caracteriza-se como uma omissão com graves consequências,

em que os principais prejudicados são principalmente os alunos surdos, em um processo que

perpetua a exclusão a que são histórica e culturalmente submetidos pela sociedade em geral,

além dos professores, frustrados pela certeza do insucesso.

O encontro de alunos ouvintes e surdos na mesma sala de aula faz com que o professor se

assuste, e muitas vezes, se considere impotente e inapto ao lidar com situações como esta.

Daí vem a importância de oferecer uma formação adequada ao professor, e não só formação,

como também ferramentas e condições necessárias para que o seu trabalho seja realizado de

maneira plena.

É importante ressaltar que para tornar a escola inclusiva, não basta investir na formação

docente se o educador não demonstrar interesse em adquiri-la. Além do mais, para que o

educando surdo se sinta acolhido e integrado, é preciso que haja o envolvimento da família

e de toda a comunidade escolar.

Por último destacam-se algumas possibilidades, que podem contribuir na prática para a

formação do futuro educador no que se refere ao ensino de matemática inclusiva, que foram

relatadas por Pinto (2014), que vão na direção de oferecer a professores situações que lhes

permita vivenciar um pouco do que pode ser encontrado em uma sala de aula inclusiva,

interagindo com IEL em situações onde o diálogo e a reflexão estejam presentes,

desenvolvendo-se uma relação de parceria de um com o outro em prol de um objetivo único,

que é a formação matemática do aluno surdo incluído na sala de aula regular.


LAKATOS, E. M.; MARCONI, M. A. (2003). Fundamentos de Metodologia Científica.

5. ed. São Paulo: Atlas.

PINTO, G. M. F. (2014). MatrizMat: um material, algumas possibilidades. Notas de aula.


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TAVEIRA, C. C. (2008). Representações Sociais de Professores sobre a Inclusão de

Alunos com Deficiência em turmas regulares. Dissertação (Mestrado em Educação).

Universidade Estácio de Sá: Rio de Janeiro, 2008.

TRIGO, T. A. (2015). Como o professor de matemática se posiciona frente ao trabalho

com os alunos surdos. Monografia de Curso de Graduação de Licenciatura em Matemática.

DEMAT-UFRRJ


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.359

DIFICULDADES NA ESCRITA MATEMÁTICA: ESTUDO REALIZADO COM

ALUNOS DE LICENCIATURA EM EDUCAÇÃO BÁSICA

Maria Helena Martinho

[email protected]

Centro de Investigação em Educação, UMinho, Portugal

Núcleo temático: Formação de Professores de Matemática

Modalidade: CB

Nível educativo: Formación y actualización docente

Palavras chave: Comunicação matemática, Futuros professores, Escrita matemática

Resumo Apesar da escrita ter, habitualmente, uma maior expressão no ensino da Matemática que a

própria oralidade, os alunos revelam muitas dificuldades na explicitação de raciocínios e

na utilização de linguagem matemática apropriada. A comunicação matemática escrita tem

algumas particularidades que podem ser diretamente trabalhadas com os alunos. Por

exemplo, a escrita ajuda os alunos a dar sentido à Matemática e a melhorarem o próprio

discurso. As produções dos alunos transportam informações para o professor contribuindo

para a planificação e concretização da sua prática profissional. Assim, e apesar de

frequentemente ser descurada, a escrita matemática pode ser trabalhada na sala de aula,

em particular, com futuros professores.

Este artigo reporta parte de uma experiência no recurso à expressão matemática escrita

numa turma de Educação Básica. Nas aulas os alunos resolviam uma tarefa em grupo e

faziam o registo escrito do processo de resolução seguido. A análise de uma das tarefas e de

um breve questionário permitiu identificar um conjunto de dificuldades sentidas pelos

alunos. Para além da dificuldade inerente a determinados conceitos, os alunos revelaram

também dificuldades na escolha da linguagem e na articulação do discurso.

Introdução

A aprendizagem comporta uma partilha de significados entre os intervenientes numa

situação de comunicação, que aqui definimos como um processo social onde os participantes

interagem trocando informações e influenciando-se mutuamente (Martinho, 2011). A

capacidade de comunicação tem vindo a ter cada vez mais expressão na comunidade de

Educação Matemática e entre os professores. No entanto, existe ainda um largo caminho a

percorrer.

A comunicação matemática escrita tem algumas particularidades que podem ser

diretamente trabalhadas com os alunos. Tem sido, no entanto, descurada ao longo da



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escolaridade. Note-se, por exemplo, que apesar dos contextos de avaliação sumativa estarem

muito dependentes da versão escrita, a competência de comunicação escrita raramente é

trabalhada de forma explicita.

Este artigo retrata parte de uma experiência exploratória realizada no âmbito da

formação inicial de professores. A dificuldade identificada na explicitação de raciocínios e

mesmo na explicação de um processo de resolução de um problema, levou à procura de

estratégias para o seu desenvolvimento. De uma forma mais ampla, pretendeu-se aferir a

forma como futuros educadores e professores do 1º e 2º ciclos do Ensino Básico encaram a

escrita matemática.

Na próxima secção discute-se a comunicação matemática escrita e seus contributos

para a aprendizagem. Segue-se a descrição do contexto do estudo e posteriormente a

apresentação de alguns dos seus resultados, e conclusões.

Comunicação escrita

A comunicação desenvolve-se essencialmente pela prática e pela reflexão sobre essa

prática. Como referido na Introdução, este artigo centra-se na escrita matemática. No entanto,

oralidade e escrita estão fortemente interligadas. A produção de textos pelos alunos e a sua

posterior discussão oral, constituem um meio importante no desenvolvimento da capacidade

de comunicação (NCTM, 1994; Pimm, 1996).

A escrita é um meio de comunicação, mas também é um meio muito poderoso de

aprendizagem e de descoberta (Sabrio, Sabrio, Tintera, 1993). Ajuda os alunos a dar sentido

à Matemática (Countryman, 1992) e a melhorar o próprio discurso (Sabrio et al., 1993). Em

particular, Rosaen (1989) refere que “ensinar os alunos a escrever sobre um determinado

conteúdo é ensiná-los a ‘escrever para aprenderem esse conteúdo’” (p. 155). Enquanto

escrevem os alunos estão ativos, a pensar e a aprender sobre matemática (Burns, 2008),

desenvolvem o seu pensamento bem como o uso da linguagem matemática – termos,

diagramas, gráficos, esquemas, analogias e símbolos (NCTM, 1994). Segundo Peterson

(2007), a escrita promove o pensamento claro e aprofunda a compreensão quando é

necessário explicitar aquilo que ocorre internamente. Ao redigir os alunos precisam de

examinar as suas ideias e refletir sobre o que já sabem, tomando melhor consciência das

dificuldades. Este processo amplia e aprofunda a compreensão (Burns, 2008). Assim, o aluno


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escreve para aprender e aprende a escrever matemática. No entanto, a expressão escrita

matemática, não abrange apenas a ação de escrever uma resposta a um exercício ou indicar

simplesmente os passos seguidos na sua resolução. Mais do que isso, trata-se de explicitar os

raciocínios que levaram à resposta e as dificuldades encontradas.

A literatura aponta para a importância do recurso a tarefas que envolvam a leitura e

escrita de textos matemáticos na sala de aula (Atieri, 2010; Danielson, 2010). Pugalee (2004)

realizou um estudo que mostrou que alunos a quem fora pedido que explicitassem por escrito

as estratégias usadas na resolução de problemas, evoluíam mais do que aqueles que apenas

as verbalizavam. De facto, o processo de escrita requer, habitualmente, uma maior atenção e

reflexão de quem escreve quando comparado com a expressão oral. No entanto, o reforço

desta prática reflexiva requer também uma intervenção explícita dos professores para

incentivar a capacidade de reflexão sobre o texto escrito produzido pelos alunos. O processo

de reflexão ajuda-os a evoluir, tornando as suas explicações mais aceitáveis e claras.

Progressivamente, os alunos revelam-se mais críticos e exigentes (Yackel, 1995). Quando o

aluno se envolve no processo de explicar as suas ideias aos outros e com o objectivo de ser

entendido, ele próprio experimenta uma evolução nas suas compreensões. A comunicação

ajuda-o a formalizar as suas próprias ideias (Pimm, 1996). Em geral, o ato de escrita,

forçando a explicitação de conjeturas e conclusões, constitui uma oportunidade para

clarificar, organizar e consolidar o pensamento do aluno, e desenvolver o conhecimento

matemático, a capacidade de resolver problemas, o poder de abstração bem como a

capacidade de raciocínio e a confiança em si próprio alcançando uma compreensão mais

profunda de conceitos e princípios matemáticos (NCTM, 1994).

A literacia matemática, passa pela habilidade de falar e escrever matematicamente,

pela capacidade de desencadear os tipos de raciocínio que caracterizam a disciplina de

Matemática bem como de se envolver nas expressão oral e escrita desses mesmos raciocínios.

Os alunos com menor literacia matemática não revelam necessariamente dificuldades na

aprendizagem das estruturas linguísticas mas no conflito de alinhamento que os discursos

envolvem. Em rigor, a prática de explicitação de raciocínios e a prática de reflexão em torno

desses raciocínios ajuda o aluno a desenvolver a literacia matemática, ao que Alrø e

Skovsmose (2002) chamam aprendizagem crítica da Matemática.


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Dificuldades

Ao longo da escolaridade, os alunos revelam, habitualmente, dificuldades na escrita

matemática. Segundo Carvalho (2011) em muitos casos detecta-se resistência à escrita

matemática e necessidade de ajuda dos professores. O mesmo autor identifica dificuldades

na conversão do pensamento em palavras, especificamente, dificuldades em saber como

escrever, a ordem como apresentar as frase e encadear as ideias. Segundo Carvalho (2011),

o insucesso na explicitação de raciocínios não resulta da falta de conhecimento matemático

mas sobretudo da incapacidade de o verbalizar.

A escrita matemática é diferente da escrita em outras áreas de conhecimento, exigindo

capacidades diferentes que podem ser desenvolvidas nas aulas de matemática (Adu-Gyamfi,

Bossé & Faulconer, 2010; Meaney, 2005). As diferentes representações matemáticas

requerem a sua utilização frequente para que as dominem: numérica, simbólica, gráfica e

verbal. Quando os alunos revelam deficiência no domínio da linguagem matemática é natural

que isso afete também toda a compreensão matemática, por exemplo a leitura e interpretação

de um enunciado.

Para que o aluno desenvolva a capacidade de escrita matemática é necessário que se

sinta à vontade para utilizar diferentes representações, de acordo com a sua necessidade. A

linguagem matemática formal e rigorosa não precisa de ser imposta aos alunos, pode surgir

com naturalidade e tornar-se comum pela necessidade do seu uso. Os alunos que escrevem

matemática com alguma frequência vão naturalmente progredindo na sua formalização,

reconhecendo nela uma maior universalização e mesmo facilidade para comunicar (NCTM,

1994). Os alunos podem começar por escrever recorrendo às suas próprias palavras enquanto

não se sentem familiarizados com os símbolos. Naturalmente, os símbolos vão deixando de

constituir um obstáculo à compreensão do texto e começam a ser mais frequentes na própria

escrita.

Experiência

A expressão matemática escrita de alunos de uma turma de Educação Básica foi

objeto de atenção ao longo de um semestre numa disciplina de Geometria. Os alunos

resolviam um conjunto de tarefas selecionadas em grupo e faziam o registo escrito do

processo de resolução seguido. Este artigo centra-se na análise das produções dos alunos na


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concretização de uma dessas tarefas (figura 1) bem como na explicitação escrita das

dificuldades que sentiam ao fazê-lo.

A turma era formada por 56 alunos (apenas 3 do género masculino) estando estes

divididos em dois turnos nas aulas práticas, trabalhando em grupos de 4 ou 5 elementos. Cada

grupo, resolvia a tarefa e escrevia a sua resolução explicitando o processo seguido bem como

as dificuldades enfrentadas. No final do semestre foi pedido aos alunos que individualmente

respondessem à seguinte questão: “Que dificuldades sentes quando estás a elaborar e

justificar uma resposta a um problema ou quando escreves qualquer outro texto

matemático?”.

Na próxima secção serão apresentadas algumas resoluções dos grupos bem como

manifestações de dificuldades na escrita reconhecidas pelos próprios. As dificuldades

identificadas, organizaram-se segundo as seguintes categorias: matemática e seus conteúdos,

escrita, linguagem matemática e clareza e organização das ideias.

Figura 1. Enunciado do problema.

Resultados

Esta secção está organizada de acordo com as dificuldades manifestadas pelos alunos

em resposta à questão colocada. Estas são apresentadas para cada caso, juntamente com

resoluções que as ilustrem.

Dificuldades na matemática e seus conteúdos

Vários alunos perante a questão colocada, manifestaram “dificuldades na

matemática” e “nos conteúdos propriamente ditos”.

Na resolução da tarefa, um dos grupos concluiu que a área e o perímetro são iguais

(figura 2), perante o comentário da professora “Não percebi como concluíram que os


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perímetros são iguais, podem explicar melhor o vosso raciocínio?” retomaram a discussão e

acrescentaram essa informação (figura 3).

Figura 2. Resposta inicial do Grupo A.

Escrevendo mais à frente, na resolução,

Figura 3. Resposta posterior do Grupo A.

Importa destacar que acrescentaram apenas uma nova resposta. Perante a questão da

professora, retomaram a discussão aceitando que a resposta estaria errada. No entanto, se não

tinham explicado a igualdade antes, continuaram sem explicar a desigualdade na resposta

seguinte. Esta resposta revela que o domínio insuficiente dos conceitos lhes dificulta a escrita

matemática.

Dificuldades na escrita

Alguns alunos revelam dificuldades na escrita propriamente dita. Uma aluna refere

que “nem sempre encontro as palavras mais adequadas”, outra diz ter dificuldade “em saber

por onde começar” e ainda em “elaborar o texto”. Revelam também ter dificuldade “em

expressar o meu pensamento” ou “é difícil transcrever o nosso raciocínio para palavras,

articulando-as”.

No texto apresentado pelo grupo B (figura 4) é possível identificar algumas dessas

dificuldades em encadear as ideias e escrever de forma clara e organizada.

Figura 4. Resposta do Grupo B.

Esta resposta revela preocupação com a ordenação e a clareza. Envolveu mesmo

discussão dentro do próprio grupo na sua elaboração e na escolha das palavras a utilizar. Os

alunos começam pela resposta à questão do problema, seguindo-se uma explicação e, por


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fim, uma conclusão que reforça a resposta inicial. Falam de linhas paralelas ao terreno

[ABCD] mas não especificam que linhas são essas. Percebe-se que estão a procurar

compensar áreas mas não conseguem fazê-lo com clareza.

Dificuldades na linguagem matemática

Os alunos revelaram que sentiam dificuldade devido à “complexidade da linguagem

[matemática]”, em “utilizar linguagem/termos científicos”, em “expressar o meu raciocínio

com linguagem científica correta” ou em “encontrar os termos adequados”. Uma aluna refere

que até sente dificuldade no uso dos termos mais comuns: “termos usados na matemática e

conseguir transcrevê-los para o papel”.

Durante a experiência essas dificuldades eram verbalizadas através de perguntas do

tipo: “Podemos dizer isso? Podemos dizer pelas nossas palavras?”. Algumas resoluções

revelam que os alunos sentiam que deviam ter recorrido a uma linguagem mais formal mas

nem sempre o conseguiam fazer de forma sistemática.

Por exemplo a resolução apresentada na figura 4, revela dificuldades no uso da

linguagem, por exemplo, “o terreno reto” ou “tornar o terreno reto”, o que será um “terreno

reto”? Dizem também que “a medida dos pedaços que sobram (...) para se tornar reto é igual

à medida dos pedaços que faltam”, não sendo claro de que medida estão a falar

(comprimento? área?) e denotando uma reduzida correção de termos.

Dificuldades na clareza e organização das ideias

A preocupação com a clareza do discurso foi manifestada por vários alunos, com se

vê nas seguintes expressões: “por vezes torno o discurso um pouco confuso”, “não consigo

explicar bem o meu raciocínio”, “a articulação do texto, o exprimir a minha maneira de

pensar e o meu raciocínio”, “estruturar um texto sintético e coerente, daquilo que queremos

retratar e descrevendo o nosso raciocínio”. A preocupação com a organização das ideias tem

também forte expressão: “organizar todas as ideias”, “sequencializar o pensamento de forma

a que se entenda como eu pensei”, “sequencializar o pensamento e de o transcrever para uma

folha tudo aquilo que pensei”, “sequencializar e estruturar todas as ideias fundamentais”.

Conclusões

A análise desse conjunto de produções e da observação das próprias aulas permitiu

identificar um conjunto de dificuldades nos alunos ao longo da experiência. Para além da


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dificuldade inerente a determinados conceitos, revelaram também dificuldades na escolha da

linguagem e na articulação do discurso. Não sentiam necessidade de explicar aquilo que

aparentemente parecia óbvio.

De um ponto de vista mais amplo, é importante referir que o recurso à escrita

matemática também se revela essencial para o professor. Através das produções dos alunos

o professor consegue aceder à sua forma de pensar (Pugalee, 2004); de facto, quanto mais

detalhadas forem essas produções mais informação comportam. O facto do professor aceder

ao pensamento e processos de raciocínio dos alunos permite que atue de forma diferenciada

e que planifique a sua prática letiva de forma mais adequada aos seus alunos concretos com

quem trabalha. A escrita matemática destes permite que o professor saiba o que aprenderam,

quais os raciocínios a que recorrem e se são adequados ou revelam falhas, se utilizam os

novos conceitos trabalhados na sala de aula e a que representações recorrem.

Dada a importância que a escrita matemática assume na construção do universo

matemático dos alunos, revela-se fundamental cuidar do seu desenvolvimento nos futuros

professores para que eles sejam capazes não só de ter um discurso oral ou escrito claro e

completo, como de reconhecerem a sua importância no trabalho com os seus alunos no

futuro. Assim, sendo este estudo exploratório e este artigo um relato de alguns dos aspetos

identificados, a investigação metodologias de trabalho e estratégias para desenvolver

capacidade de comunicação escrita nos alunos, futuros professores, constitui por si só uma

agenda de trabalho científico que valerá a pena estruturar.


Adu-Gyamfi, K., Bossé, M. J., & Faulconer, J. (2010). Assessing understanding through

reading and writing in mathematics. International Journal for Mathematics Teaching

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Publishers.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.361

ANÁLISE DOS TEMAS PRIVILEGIADOS EM 3 REVISTAS CIENTÍFICAS

BRASILEIRAS NOS NÚMEROS TEMÁTICOS E ESPECIAIS NO PERÍODO DE

2008 A 2016

Silvia D. A. Machado – Barbara L. Bianchini – M. Auxiliadora V. Paiva

[email protected]; [email protected]; [email protected]

PUC-SP, Brasil, IFES, Brasil

Núcleo temático: VII. Investigación en Educación Matematica

Modalidad: Comunicação breve: CB

Nivel educativo: Sem Especificar

Palabras clave: Educação Matemática Pesquisa, BOLEMA, Zetetiké, Números especiais.

Resumo O campo da Educação Matemática no Brasil tem se expandido, contando com inúmeras

pesquisas, relatadas em diversos eventos, trabalhos acadêmicos e artigos em revistas

científicas, evidenciando a riqueza de temas explorados. Este artigo trata de parte de uma

pesquisa que visou identificar os temas privilegiados de 2008 a 2016, por revistas científicas

brasileiras da área de Educação Matemática: BOLEMA, Educação Matemática Pesquisa

(EMP) e Zetetiké. Para tanto, realizamos uma análise de conteúdo dos números especiais e

temáticos de tais revistas. Dos 80 números dessas revistas neste período, ao todo 51 foram

edições regulares, 3 classificamos como híbridas, 14 como especiais-temáticas e 12 como

especiais advindas de artigos de eventos, ou áreas restritas. e, dentre esses, o único tema

que foi abordado nas 3 revistas científicas, porém com títulos diferentes foi o da Formação

de Professores de Matemática na EMP (2009), no BOLEMA (2016) e na Zetetiké (2016); os

que foram abordados em duas revistas são: Políticas Públicas no BOLEMA (2008) e na

Zetetiké (2009), os que foram abordados duas vezes por uma das revistas: Educação

Matemática e Tecnologias, na EMP (2010, 2015), Educação Matemática e Ensino Superior,

na EMP (2011, 2013) e Educação Estatística, no BOLEMA (2011).

Introdução

Periódicos internacionais da área da Educação Matemática, como Quadrante (v. XXI, nº2,

2012), Educational Studies in Mathematics (v.59; nº 1-3, 2005), Recherches en Didactique

des Mathematiques (v.32, 2012) lançam números especiais chamados também de “fora de

série” com o objetivo de agrupar em um de seus fascículos artigos sobre um mesmo tema.

Os editoriais desses números especiais, geralmente, justificam as edições como fomento de

pesquisas e como retrato do que se está produzindo no tema. No Brasil, o número de

pesquisadores na área da Educação Matemática tem acompanhado o crescimento do número





ISBN 978-84-945722-3-4

de Programas de Pós-Graduação, e não é raro que, os Programas editem uma revista

científica, além disso, o teor das revistas vem ao encontro da necessidade de informação dos

pesquisadores e de seus aprendizes.

Como pesquisadoras, reconhecendo a importância das revistas científicas da área da

Educação Matemática como retrato do rumo dos trabalhos de investigação, nos perguntamos

quais os temas privilegiados pelos números especiais dessas revistas a partir de 2008. Neste

artigo, selecionamos três revistas científicas paulistas, publicadas com regularidade, ligadas

a Programas de Pós-Graduação tradicionais: Boletim de Educação Matemática - BOLEMA,

Educação Matemática Pesquisa (EMP) e Zetetiké. Para tanto, realizamos uma análise de

conteúdo, nos moldes de Bardin (2011) dos números de tais revistas, constituintes do Corpus

de nossa pesquisa.

Esclarecemos que, dado às diversas denominações de números especiais adotadas pelas

diferentes revistas, no que segue, assumimos que um número regular de uma revista é

composto por artigos não encomendados, cujo(s) editor(es) pertence(m) ao corpo editorial

(editor, editores associados) da própria revista. Entendemos por número especial, aquele

que não é regular.

Dentre os números especiais, às vezes chamados de fora de série ou de número temático,

estão aqueles compostos a partir da produção de um evento determinado, e ou compostos por

artigos relacionados a um tema a partir de uma chamada do tipo call for papers, divulgada

pela própria revista e por outros meios de divulgação à comunidade científica ou ainda,

aqueles advindos de um grupo de pesquisa determinado. Comumente os números especiais

têm um ou mais editores convidados.

A partir dessa decisão, selecionamos aqueles números denominados de especial ou temático

de cada revista. Dado que, em alguns casos, encontramos sessões temáticas dentre alguns

números regulares, resolvemos considerar esses temas em nossas análises.

Selecionados os números a serem investigados, analisamos os editoriais dessas revistas

buscando justificativas para a edição, tendo em vista dois focos: a forma de chamada de

artigos e a editoração.

Apresentamos a seguir, dados e a análise de cada revista, para posteriormente concluirmos

com os temas privilegiados no período de 2008 a 2016.


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Análise da revista Boletim de Educação Matemática – BOLEMA

Em 1985, a revista BOLEMA, vinculada ao Programa de Pós-Graduação em Educação

Matemática da Universidade Estadual Paulista – UNESP- campus de Rio Claro, apresentou

sua primeira edição, com a intenção declarada de divulgar a produção científica em Educação

Matemática ou áreas afins, por meio de ensaios, artigos e resenhas versando sobre o ensino

e a aprendizagem de Matemática ou o papel da Matemática e da Educação Matemática na

sociedade. É um periódico nacional, com corpo editorial e consultores brasileiros e

estrangeiros.

A seguir apresentamos o Quadro 1 com dados dos números publicados pelo Bolema de 2008

a 2016.

Quadro 1: Volumes publicados pelo BOLEMA de 2008 a 2016 Ano

v. nº Reg Especial

Especial Temático

2008 21 29 (seção) Políticas Públicas e Educação Mat.

30 (seção) Historiografia

31 Frações/ Números Fracionários/

Números Racionais

2009 22 32, 34 Xx

33 Avaliação e Educação Mat.

2010 23 35A

História da Educação Mat 35B

36,37 Xx

2011 24 38 X

39 Educação Estatística

40

25 41 25 anos do BOLEMA/GP da UNESP

2012 26 42A, B

44

Xxx

43 Modelagem Matemática

2013 27 45, 47 Xx

46 Mestrado Profissional

2014 28 48, 50 Xx

49 (2 seções)

Narrativas como fonte recursos

metodológicos;

Currículo de Matemática

2015 29 51,52 Xx

53 Pesquisas e práticas efetivas em

Educação Matemática

2016 30 54 Gênese e desenvolvimento do

trabalho Matemático: o papel do

professor, do formador e das

interações

55,56 Xx

Total 10 30 16 4 Seções:4em 3 núm. Núm.:7


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Fonte: dados da pesquisa

Dos 30 números editados de 2008 a 2016, apenas 16 deles são regulares, três são híbridos

pois são regulares com seções especiais do tipo temáticas (o fascículo 49 conta com duas

seções temáticas, cada uma delas contou com editores da área do tema e, os fascículos 29 e

30 receberam, o primeiro, artigos advindos do grupo de trabalho de Educação Matemática da

Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação : GT19 da ANPEd, e o

segundo artigos enviados a números regulares que versavam sobre um tema comum, a

historiografia) e os demais 11 fascículos são especiais, com sete que se configuram como

temáticos e 4 advindos de eventos ou da produção de grupos fechados (como os fascículos

de número 41 e 46 que receberam artigos o primeiro dos Grupos de Pesquisa da UNESP e o

segundo artigos provenientes dos Mestrados Profissionais). Consideraremos os assuntos

reunidos nas quatro seções temáticas como temas abordados.

Quadro 2: Caracterização dos números da revista BOLEMA de 2008 a 2016

Tipos de números Fascículos Total

Regulares 16

Híbridos números regulares com seção temática 29; 30; 49-1; 49-2;

com editores convidados 3

E

S

P

E

C

I

A

I

S

Temáticos (com chamada à comunidade de Educadores

mat.) - (call for papers)

31; 33; 35A; 35B; 43;54:

com editores convidados 6

Artigos originados de um evento

39;40;53 3

Artigos originados do PPGEM-UNESP

41 1

Artigos advindos dos mestrados profissionais 46 1

Fonte: Dados da pesquisa

É necessário explicitar que a caracterização dos números do BOLEMA, não partiu da

nomenclatura utilizada pelos editoriais, pois nesses a revista emprega o nome de especial e

temático de forma livre, ora é chamado de nº especial-temático como o v.25 n.41 (2011), ora

de temático-especial no v.22 n.33 (2009).

Análise da revista Educação Matemática Pesquisa – EMP

A EMP, criada em 1999, é uma revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação

Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - PUC-SP, com objetivo de se

constituir em um espaço de divulgação científica da área, em âmbito internacional. A EMP


ISBN 978-84-945722-3-4

aborda temas contemporâneos presentes em chamadas de trabalhos e agendas investigativas

nacionais e internacionais recentes.

O projeto editorial da revista prioriza artigos científicos inéditos, da área de Educação

Matemática, particularmente os relacionados às linhas de pesquisa do Programa: A

matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores; História, Epistemologia e

Didática da Matemática; Tecnologias da Informação e Didática da Matemática.

Quadro 3: Números e volumes da EMP publicados de 2008 a 2016

Ano Vol. nº Reg Especial Tema

2008 v.10 1; 2 2

2009 v.11

1; 2 2

3 Formação de Professores X

2010 v.12 1; 2 2

3 Tecnologias da Informação e Educação Matemática X

2011 v.13 1; 2 2

3 Processos de Ensino e Aprendizagem de CDI X

2012 v.14 1; 2 2

3 Tendências e perspectivas historiográficas e novos desafios na

História da Matemática e da Educação Matemática

2013 v.15 1; 2 2

3 GT 04 SBEM:Ensino Superior

4 GT 19 ANPEd

2014 v.16 1; 2 2

3 ASI: Análise Estatística Implicativa

4 Pesquisas em Geometria X

2015 v.17 1;2;4 3

3 Fórum de discussão: Parâmetros

Balizadores da Pesquisa em Educação Matemática no Brasil

5 A pesquisa em tecnologias digitais e Educação Matemática X

2016 v.18 1;2 2

3 GT12 da SBEM

Total 30 19


A revista EMP caracteriza um número temático como a reunião de artigos relacionados a um

tema, a partir de uma chamada do tipo “call for papers” divulgada pela própria revista e por

outros meios de divulgação à comunidade científica e um número especial sendo composto

por artigos advindos de um evento científico. No entanto, essas designações nem sempre


ISBN 978-84-945722-3-4

foram adotadas, pois, na apresentação do volume 14 de 2012, consta que esse fascículo é

temático e na apresentação do mesmo é dito: Este número especial [...].

Quadro 4: Caracterização dos números da revista EMP de 2008-2016 Tipos de números Fascículos total

Regulares 19

E

S

P

E

C

I

A

I

S

Temáticos (com chamada à comunidade

de Educadores mat.) - (call for papers)

v.11 n.3 (2009)

v.12 n.3 (2010)

v.13 n.3 (2011)

v.14 n.3 (2012)

v.16 n.4 (2014)

v.17 n.5 (2015)

6

Artigos originados de um evento v.15 n.3 (2013) (GT04 ES da SBEM)

v.15 n.4 (1013) (GT 19 da ANPEd)

v.16 n.3 (2014) (ASI)

v.17 n.3 (2015) (F. D. P.B.)

v.18 n.3 (2016) (GT12 da SBEM)

5


Dos 30 números publicados de 2008 a 2016, 19 deles são números regulares e 11 especiais.

Dentre os especiais 6 são temáticos e 5 artigos originados de eventos científicos.

Análise da revista Zetetiké

A Zetetiké, criada em 1993, é uma revista ligada a Faculdade de Educação da Universidade

Estadual de Campinas - UNICAMP por meio do Círculo de Estudo, Memória e Pesquisa em

Educação Matemática (CEMPEM) da Faculdade de Educação (FE) e tem como objetivo [...]

divulgar a produção acadêmica ligada à área de Educação Matemática, tanto do Brasil

como do exterior. A seguir trazemos um quadro que retrata as publicações de 2008 a 2015

da revista.

Quadro 5: Números publicados de 2008 a 2016 pela revista Zetetiké Ano V nº Regular Temático

2008 16 29,

30

Xx

2009 17 s/n Políticas públicas e Educação Matemática

31,32 Xx

2010 18 s/n Linguagem e práticas socioculturais: perspectivas para a Educação

Matemática

33,34 Xx

2011 19 35,36 Xx

2012 20 37,38 Xx

2013 21 39,40 Xx

2014 22 41,42 Xx


ISBN 978-84-945722-3-4

2015 23 43 Educação, Matemática e artes

44 X

2016 24 45 Desenvolvimento profissional de professores que ensinam Matemática

no contexto do OBEDUC

24 2 X

Total 20 16 4


Quadro 7: Caracterização dos números da revista Zetetiké de 2008-2016 Tipos de números Fascículos total

Regulares 16

Especiais

Temáticos (com chamada á comunidade de

Educadores mat.) - (call for papers)

v.23 n.43;

v.18 s/n

2

Artigos originados de um evento v.24 n.45; GT 19 da ANPEd

v.17 s/n ;GT 19 da ANPEd

2


Dos 20 números publicados de 2008 a 2016, 16 deles são números regulares e 4 especiais.

Dentre os especiais, 2 são temáticos com os seguintes temas: “Linguagens e práticas

socioculturais: perspectivas para a Educação Matemática e Educação” e “Matemática e

Artes” e 2 fascículos originados de eventos científicos: “Políticas Públicas e Educação

Matemática” e “Desenvolvimento profissional de professores que ensinam Matemática no

contexto do OBEDUC”, ambos advindos de trabalhos aceitos pelo GT19 da ANPEd.

Considerações Finais

Analisamos ao todo 80 fascículos das 3 revistas, dos quais 51 foram edições regulares, 3

classificamos como híbridas, 14 como especiais-temáticas e 12 como especiais advindas de

artigos de eventos, ou áreas restritas. É interesante notar que a relação entre números

regulares e números não regulares varia de revista a revista. Por exemplo, embora o Bolema

e a EMP publicaram o mesmo número de fascículos no período, e que ambas tiveram 19

regulares, o BOLEMA teve 3 desses números considerados híbridos.

A partir da análise dos 25 fascículos, que compreendem os números especiais, incluindo as

seções temáticas encontramos convergências em alguns temas, são eles: os que foram

abordados nas três revistas analisadas, como em EMP (2009), Bolema (2016) e Zetetiké

(2016); Políticas Públicas, está presente em duas das revistas, quais sejam: BOLEMA (2008)

e Zetetiké (2009); assim como Educação Estatística, que foi abordado no BOLEMA (2011)

e na EMP (2014); História em BOLEMA (2008, 2010). Encontramos na revista EMP (2010,

2015) a temática: Educação Matemática e Tecnologia; nesta mesma revista foi abordado:

Educação Matemática e Ensino Superior nos anos de 2011 e 2013; Matemática sob outros


ISBN 978-84-945722-3-4

olhares (título criado pelas autoras do presente artigo) nas revistas Zetetiké (2010),

BOLEMA (2014) e Zetetiké (2015); Avaliação em Educação Matemática, no BOLEMA

(2009).

Dessa forma, concluímos este artigo com a apresentação de uma análise dos temas que foram

explorados nestes 9 últimos anos nas três revistas nacionais, ligadas a programas de Pós-

Graduação brasileiros, e que o inventário explicita os temas mais explorados e

consequentemente também revela os que ainda não foram explorados, o que poderia dar

origem a outras edições especiais.


Bardin, L. (2011). Análise de Conteúdo. Lisboa: Edições 70.

Bolema: Boletim de Educação Matemática http://www2.rc.unesp.br/bolema

Educação Matemática Pesquisa. Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em

Educação Matemática. https://revistas.pucsp.br//emp Consultado 18/04/2017.

Zetetiké: Revista de Edu. Matemática http://ojs.fe.unicamp.br/ged/index.php/zetetike/

Consultado 18/04/2017

http://www2.rc.unesp.br/bolema

https://revistas.pucsp.br/emp

http://ojs.fe.unicamp.br/ged/index.php/zetetike/


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.362

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR HABILIDADES DE ORIENTACIÓN

ESPACIAL EN UN AULA DE PRIMARIA

Teresa F. Blanco – Juan Jesús Freire Pérez – María Salgado Somoza


Universidad de Santiago de Compostela - España



Modalidad: CB.

Nivel educativo: Educación Primaria.

Palabras clave: Orientación Espacial, Espacio, Representación Espacial, Mapas.

Resumen La representación elemental del espacio, elaboración de mapas y planos, así como técnicas

de orientación en el espacio son contenidos presentes en diferentes áreas del currículum de

Educación Primaria. Presentamos en este trabajo una experiencia de aprendizaje llevada a

cabo en un aula de Educación Primaria: la primera de las actividades el alumnado trabaja

con una representación del centro escolar, en la que deberán situar diferentes elementos; en

la segunda se introducen los sistemas de coordenadas cartesianos y alfa-numéricos como

elementos de referencia; la última de las actividades consiste en un juego en cual el

alumnado a partir de la representación espacial elaborada por los compañeros deberá

orientarse en un espacio real como el recinto escolar. Con estas actividades el alumnado

desarrolla habilidades de Orientación Espacial de forma lúdica, creando así un ambiente

favorable para la comprensión de los contenidos, del mismo modo que se generan actitudes

positivas y de empatía hacia las matemáticas (Maz-Machado y Jiménez-Fanjul, 2012). Se

pretende con esta propuesta que el alumnado comprenda que las matemáticas, así como

tareas de Orientación Espacial están presentes en nuestra vida cotidiana, propiciando un

aprendizaje con mayor significatividad.

Introducción:

A diario debemos poner en juego habilidades de Orientación y Visualización Espacial. Estas

habilidades son imprescindibles en diferentes oficios y estudios, como medicina,

arquitectura, carpintería, transporte, ingenierías, geografía, topografía… y en actividades

cotidianas como el camino para ir a clase, orientarse en una ciudad, indicar una dirección, o

interpretar las líneas del transporte público, por este motivo es importante que el alumnado

desarrolle estas habilidades.





ISBN 978-84-945722-3-4

Han surgido en torno a este tema multitud de propuestas e investigaciones. Para Arrieta

(2003) la definición de los conceptos Orientación Espacial y Visualización espacial, resulta

controvertido y aparentemente anárquico. Algunos autores como McGee (1979) y Tatre

(1990) establecen diferencias entre ambos conceptos. Para estos autores las tareas de

Visualización son aquellas que requieren que la representación o una parte de ella sean

movidas mentalmente, mientras que las tareas de Orientación exigen el desplazamiento o el

cambio de perspectiva observada por el sujeto.

Sin embargo tomaremos prestadas las ideas de Gonzato, Fernández y Godino (2011), para

los cuales la Visualización y Orientación Espacial son consideradas como un conjunto de

habilidades relacionadas con el razonamiento espacial. Podemos ver “que en cualquier tarea

de Orientación Espacial están también involucradas habilidades de Visualización Espacial”

(Gonzato y Godino, 2010, p.48).

Por otra parte, resulta importante distinguir los conocimientos y conceptos de naturaleza

visual, perceptiva, observables, de aquellos conceptos verbales o reflexivos a través de los

cuales describimos dichos conocimientos. Alsina, Burgués y Fortuny (1997) nos recuerdan

que la Visualización Espacial corresponde al saber ver el espacio, en un primer momento

como concepto más visual, perceptivo, pero posteriormente deberemos acercarnos al terreno

lógico, reflexivo, incluso descriptivo, y así poder asimilar los contenidos correctamente.

Las tareas de Orientación y Visualización Espacial:

Gonzato et al. (2011) nos proponen dentro de las tareas de Orientación y Visualización

espacial diferenciar entre tres familias según el tópico tratado:

Orientación estática del sujeto y de los objetos. Trata sobre las tareas en las cuales la

orientación del sujeto se realiza con respecto a su propio esquema corporal u otros

objetos.

Interpretación de perspectivas de objetos tridimensionales. Se trata de tareas que

“requieren reconocer y cambiar puntos de vista. En estas tareas se construyen

técnicas para representar un objeto o un espacio y se aprende a leer diferentes tipos

de representaciones planas y sus códigos” (Gonzato et al., p.104).


ISBN 978-84-945722-3-4

Orientación del sujeto en espacios reales. En esta última familia quedan recogidas

tareas para las cuales “se requiere que el sujeto comprenda el espacio donde se sitúa,

su ubicación y orientación en el espacio” (Gonzato et al., p.109).

Para trabajar las tareas de Orientación y Visualización espacial, Gonzato et al. (2011) nos

plantean la siguiente clasificación atendiendo al estimulo inicial, a la acción inicial y al tipo

de respuesta esperado:

Estimulo inicial Acción Inicial Tipo de respuesta

Espacio Real Explorar el espacio

(con movimiento)

Observar espacios,

trayectos,… (sin

movimiento)

De representación:

Del espacio: construir maquetas, dibujar

mapas/planos

De trayectos

De localización de objetos y personas:

En un mapa/plano/maquetas

Con coordenadas

De descripción (verbalmente):

Trayectos

Posiciones

Física:

Orientar la representación del espacio (de

acuerdo a los puntos cardinales, de

acuerdo a objetos fijos en la realidad)

Ejecutar trayectos

Ubicar objetos o personas en el espacio

Representación

Espacial

Interpretar

información

gráfica (localizar

elementos, leer

trayectos,

interpretar

sistemas de

coordenadas,…)

Espacio real +

representación

del espacio

Relacionar el

espacio con sus

representación

espacial

Tabla 2. Tabla 1. Extraída de Gonzato et al. (2011)

Diseño de la experiencia:

A la hora de diseñar nuestra propuesta se han revisado trabajos como el de Gálvez (1985) en

el cual se establecen una serie de tareas entorno a la Orientación Espacial en un espacio

urbano y en el cual se pone de manifiesto la idoneidad de trabajar actividades como las

propuestas por la necesidad que tanto jóvenes como adultos tenemos de desplazarnos y

orientarnos en diferentes espacios y situaciones.

La experiencia ha sido desarrollada para trabajar con el alumnado del último curso de

Educación Primaria Obligatoria, y se ha llevado a cabo en el CEIP Sigüeiro.

Los objetivos generales que se plantearon a la hora de diseñar la experiencia fueron:


ISBN 978-84-945722-3-4

Posibilitar que el alumnado desarrolle de habilidades de Orientación Espacial.

Generar actitudes positivas y de empatía hacia las matemáticas en el alumnado a

través de actividades lúdicas.

Mostar que tanto las matemáticas como las habilidades de Orientación Espacial están

presentes en nuestra vida diaria y nos pueden ayudar a solucionar problemas.

Por otro lado las actividades de la experiencia presentada, están justificadas curricularmente

para el alumnado de sexto de primaria, tal y como aparece recogido en el Decreto 105/2014,

de 4 de septiembre, por el que se establece el currículo de educación primaria en la

Comunidad Autónoma de Galicia. En el bloque cuarto, Geometría, aparecen recogidos los

siguientes contenidos:

“B4.3. Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y

movimientos”

“B4.4. La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas”.

Actividad 1.

Objetivos:

En esta actividad se busca que el alumnado ante la representación espacial del recinto escolar,

interprete la información gráfica mostrada y sea capaz de localizar en el mapa diferentes

espacios del centro escolar, finalmente el alumnado deberá describir las posiciones de los

elementos señalados.

Descripción:

Se le entrega a cada alumno un plano del recinto escolar en el cual aparecen como elementos

de referencia los edificios de educación primaria y los edificios de educación infantil, así

como las puertas de entrada al recinto escolar. En este plano el alumnado deberá señalar

diferentes espacios del colegio como pueden ser la biblioteca, el campo de baloncesto, el

polideportivo. Una vez localizados en el plano deberán describir la posición en la que se

encuentra cada uno de los espacios señalados (imagen 1).


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Imagen 1. Localización de espacios en el plano del recinto escolar (izquierda) descripción de la posición

(derecha).

Actividad 2.

Objetivos:

En esta actividad buscamos que a partir de la representación espacial del recinto escolar el

alumno sea capaz de interpretar información gráfica y sea capaz de describir la localización

de objetos en un plano, pero añadiendo como sistema de referencia, el sistema de

coordenadas alfanumérico, para que puedan comprender y ver la utilidad de estos a la hora

de describir posiciones, itinerarios e interpretar información gráfica.

Descripción:

Para llevar a cabo esta actividad el alumnado utilizó el plano del recinto escolar de la

actividad 1. También se les entregó una lámina con un sistema de coordenadas alfanuméricas

rotulado, que pusieron encima de cada plano (imagen 2), y a partir de este sistema de

referencia describieron la posición de los espacios señalados.

Imagen 2. Lectura de los planos del recinto escolar con coordenadas alfanuméricas.


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Actividad 3.

Objetivos:

En la última de las actividades llevadas a cabo se pretende que el alumnado ponga en juego

las habilidades de Orientación Espacial trabajadas en las actividades previas. Así el estimulo

inicial en esta actividad es tanto el espacio real como la representación del espacio, que el

alumnado deberá relacionar. En primer lugar se busca que representen un objeto en un plano

y posteriormente deberán encontrar objetos en un espacio real a través de las representaciones

espaciales.

Descripción:

Esta actividad se plantea como un trabajo por equipos cuyo objetivo, como hemos señalado,

es encontrar objetos escondidos en un espacio real. Para comenzar se dividió la clase en

cuatro grupos. Dos de los grupos escondieron el objeto entregado en la biblioteca, mientras

que los otros dos hicieron lo propio en el aula. Una vez escondidos los objetos, cada grupo

realizó un plano del aula incluyendo únicamente dos elementos de referencia y la posición

del objeto escondido (imagen 3). Finalmente cada uno de los grupos realizó una búsqueda a

partir del mapa que sus compañeros habían realizado.

Imagen 3. Planos de la biblioteca (izquierda) y del aula (derecha) realizados por los alumnos.

Conclusiones:

En primer lugar y pese a no haber realizado una evaluación a posteriori para comprobar si

los contenidos trabajados han sido asimilados por el alumnado, creemos que en líneas


ISBN 978-84-945722-3-4

generales los objetivos planteados en el desarrollo de la propuesta se han alcanzado.

Ciertamente, las habilidades de Orientación Espacial no son adquiridas por el alumnado a

partir de tres actividades puntuales, pero, desde nuestro punto de vista, estas les han ayudado

a comprender la importancia de saber leer un mapa, a ver la utilidad de los sistemas de

coordenadas y a poner en práctica sus conocimientos y habilidades.

Sí pudimos comprobar que este tipo de prácticas, en las que se rompe un poco con el quehacer

diario del aula, generan actitudes positivas tanto por trabajar con otros materiales distintos al

libro de texto, como por salir del aula y por lo tanto genera también actitudes positiva hacia

las matemáticas.

Del mismo modo las actividades planteadas son una muestra de que tanto las matemáticas

como las habilidades de Orientación Espacial están presentes en nuestro día a día, a la hora

de desplazarnos, de indicar un itinerario o una posición. Así el alumnado pudo comprobar la

utilidad de desarrollar estas habilidades al comprobar que les resultaba mucho más sencillo

describir la posición de los espacios en el recinto escolar cuando contaban con el sistema de

coordenadas o a la hora de buscar un objeto escondido a partir del plano realizado por otros

compañeros.

Nos gustaría por otra parte destacar que a pesar de estar incluidas en el currículum oficial,

existen pocas propuestas relacionadas con la Orientación Espacial, y aunque nos hemos

encontrado con algunos errores y dificultades como el tiempo disponible para realizar cada

actividad y que deberán ser corregidos en posteriores ocasiones, creemos que se trata de una

propuesta que ha resultado interesante tanto para el alumnado como para nosotros.


Alsina, C., Burgués, C., y Fortuny, J. M. (1997). Invitación a la didáctica de la geometría.

Madrid: Síntesis.

Arrieta, M. (2003). Capacidad espacial y educación matemática: tres problemas para el futuro

de la investigación. Educación Matemática, 3, 57-76.

Carrillo, B. (2009). Dificultades en el aprendizaje matemático. Revista digital. Innovación y

experiencias educativa, 16, 1-10.

Decreto 105/2014, de 4 de septiembre, por el que se establece el currículo de educación

primaria en la Comunidad Autónoma de Galicia. Diario Oficial de Galicia. Galicia, 9 de

septiembre 2014, núm. 171, pp. 37406-38087


ISBN 978-84-945722-3-4

Gálvez, G. (1985). El aprendizaje de la orientación en el espacio urbano: Una proposición

para la enseñanza de la geometría en la escuela primaria. (Tesis doctoral inédita), Centro

de Investigación del IPN México.

Gonzato, M., Fernández, T., y Godino, J. (2011). Tareas para el desarrollo de habilidades de

visualización y orientación espacial. Números, 77, 99-117.

Gonzato, M., y Godino, J. (2010). Aspectos históricos, sociales y educativos de la orientación

espacial. Unión: revista iberoamericana de educación de la orientación espacial. Revista

iberoa

Maz-Machado, A y Jiménez-Fanjul, N. (2012). Ajedrez para trabajar patrones en

matemáticas en educación primaria. Epsilon. Revista de Educación Matemática, 81, 105-

112.

McGee, M.G. (1979). Human spatial abilities: Psychometric studies and environmental,

genetic, hormonal, and neurological influences. Psychological Bulletin, 86(5), 889-918.

Tatre, L. A. (1990). Spatial orientation skill and mathematical problem solving. Journal for

Research in Mathematics Education, 21(3), 216-229.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.364

PROPUESTA DIDÁCTICA DIRIGIDA A DOCENTES DE SECUNDARIA.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

Guadalupe Isabel Béteme Fierro – José Luis Soto Munguía


Universidad de Sonora, México.

Núcleo temático: Formación del profesorado en matemáticas.

Modalidad: CB.

Nivel educativo: Formación y actualización docente.

Palabras clave: propuesta didáctica, razones trigonométricas, ACODESA, Espacios de

Trabajo Matemático (ETM).

Resumen Nuestro trabajo consiste en diseñar y analizar una propuesta didáctica dirigida a docentes

de secundaria de matemáticas. El objetivo que se planteó fue involucrar a los docentes en la

resolución de situaciones problemáticas enfocadas en las razones trigonométricas, en las

cuales reflexionen sobre su propia práctica matemática.

La propuesta didáctica se compone de tres situaciones problema de contextos extra-

matemáticos, las cuales fueron diseñadas tomando en cuenta las recomendaciones de diseño

presentadas en la metodología ACODESA. Posteriormente, se llevó a cabo una primera

puesta en escena con maestros de matemáticas de secundaria, los resultados fueron una

serie de modificaciones a la redacción y al diseño de la propuesta.

En una segunda puesta en escena con docentes en formación, la intención fue analizar la

actividad matemática de los docentes bajo la perspectiva teórica de los Espacios de Trabajo

Geométrico (ETG).

Problemática y justificación

En educación básica (4-15 años de edad), se presentan una gran cantidad de contenidos y las

percepciones de las deficiencias en algunos de ellos son notables, como por ejemplo los

relacionados con trigonometría, los cuales presentan serias dificultades para los estudiantes,

según nuestra experiencia docente. Dicha afirmación se ha venido confirmando con los

resultados de las evaluaciones estandarizadas externas realizadas en nuestro sistema

educativo mexicano, tales como las evaluaciones realizadas por la Organización para la

Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) a través de la prueba PISA.

En cuanto a los conocimientos trigonométricos de los estudiantes, los resultados de la prueba

PISA arrojan que el 43% (INEE, 2012) de los sustentantes no han escuchado el concepto




ISBN 978-84-945722-3-4

coseno de un ángulo, lo cual nos indica que los conocimientos que se tienen sobre

trigonometría son muy pobres, en el nivel de educación básica. Ésta es la realidad de nuestros

estudiantes mexicanos, por otro lado, encontramos el panorama de los docentes del mismo

nivel educativo, los cuales también son evaluados a través del Instituto Nacional de

Evaluación Educativa, en el 2015 fueron 4474 sustentantes en el examen de oposición para

obtener una plaza como docente de matemáticas de secundaria, de los cuales el 42.67%

resultó no idóneo para desempeñarse como docente de matemáticas frente a grupo (INEE,

2016).

Los datos anteriores, nos muestran que existe una problemática tanto en la enseñanza como

en el aprendizaje de las razones trigonométricas, y consideramos que una de las razones

principales es que el docente carece de recursos didácticos y de experiencias de aprendizaje

sobre dicho tema, que le permitan mejorar su práctica docente.

Por lo anterior, el objetivo de nuestro trabajo de tesis (Béteme, G., 2017) se centra en

involucrar a los docentes de matemáticas en la resolución de situaciones problemáticas

enfocadas en las razones trigonométricas, en las cuales reflexionen sobre su propia práctica

matemática.

Referentes teóricos

Para realizar el diseño de la secuencia didáctica se ha tomado como base la metodología

ACODESA (Hitt & Cortés, 2009), en la cual se plantea que en una secuencia didáctica se

deben integren varias situaciones problema interrelacionadas unas con otras, definiendo a

éstas como una situación simple, fácil de entender (ello no implica que sea fácil de resolver),

ella debe provocar la reflexión y por tanto no puede ser un ejercicio. En dicha metodología

la manipulación de materiales y trabajo con papel y lápiz es sumamente importante.

La metodología propone las fases de trabajo siguientes: trabajo individual, trabajo en equipo

sobre una misma situación, debate, auto-reflexión, institucionalización.

Con el uso de la metodología antes descrita se pretende promover la producción de

representaciones institucionales a través del tratamiento de las representaciones funcionales

o espontáneas de los participantes. Las representaciones institucionales se definen como

aquellas que encontramos en libros de texto, en la web, o las que utiliza el profesor. Por otro

lado, las funcionales son aquellas representaciones mentales que emanan de la actividad

matemática no rutinaria que se expresa con una representación espontánea ligada a la acción.


ISBN 978-84-945722-3-4

Los resultados de la experimentación fueron analizados bajo la perspectiva del modelo

teórico de los Espacios de Trabajo Geométrico (ETG) propuesto por Kuzniak y

colaboradores.

A continuación, se describen las componentes teóricas y sobre todo la utilidad práctica de

dicho enfoque (Kuzniak & Richard).

Espacio de Trabajo Geométrico: es el ambiente organizado por y para el tratamiento de la

geometría. Está conformado por dos planos, el Epistemológico y el Cognitivo y tiene como

propósitos, integrar tres componentes fundamentales de la actividad matemática los objetos

matemáticos, los artefactos y los referentes teóricos del objeto matemático a través del Plano

epistemológico, y además comprender cómo comunidades de individuos, pero también

individuos particulares, utilizan, le dan sentido y se apropian de los conocimientos durante

su actividad matemática, a través del Plano Cognitivo. A continuación, se presenta un

esquema que representa la conformación de los elementos que integran el Espacio de Trabajo

Geométrico.

Las componentes del Plano Epistemológico y Plano Cognitivo se complementan entre sí

mediante tres génesis que a continuación se describen.

Génesis semiótica: proceso mediante el cual el sujeto, que está resolviendo problemas, se

apropia, le otorga significado y funcionalidad a las representaciones semióticas de los objetos

matemáticos.

Génesis instrumental: el proceso mediante el cual un artefacto (instrumentación) se convierte

en instrumento (instrumentalización).


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Génesis discursiva: proceso de interpretación y validación de los referentes teóricos, que

permitirá manejar la información y comunicar los resultados.

Resulta importante aclarar que la manera de aprender geometría o de abordar los problemas

geométricos dependerá del paradigma geométrico en el que se haya formado el geómetra. A

continuación, se describen los tipos de paradigmas geométricos (Montoya, E., pág.5):

Geometría natural (GI): en esta geometría los objetos matemáticos son concretos y además

producto de las representaciones reales que les da el sujeto. El proceso que la define podría

ser experimentación-deducción, con un componente de intuición. Para validar basta con la

visualización de las pruebas.

Geometría axiomática natural (GII): los objetos matemáticos son abstracciones y se

demuestra bajo una hipótesis.

Geometría axiomática formalista (GIII): los objetos geométricos provienen de un sistema de

axiomas, y para validar es imprescindible la utilización de demostraciones axiomáticas.

En el análisis de la puesta en escena se utilizará la teoría de los Paradigmas Geométricos para

definir en cuál de los tres paradigmas se desarrolló el Espacio de Trabajo Geométrico.

La propuesta didáctica

La propuesta didáctica está compuesta por tres secuencias didácticas de contexto extra-

matemático en las cuales se retoman los principios fundamentales de la metodología

ACODESA. La secuencia didáctica 1 se denomina “Cálculo de volúmenes”, la secuencia

didáctica 2 “Los cortes del carpintero” y la secuencia didáctica 3 “La altura máxima del paso

a desnivel”

El objetivo general de la propuesta es promover que los docentes analicen, discutan y

resuelvan situaciones problema de contexto extra-matemático utilizando herramientas

trigonométricas.

Las principales características de las secuencias didácticas diseñadas son: abordan

problemáticas de contexto extra-matemático; para su desarrollo es necesario el uso del

software GeoGebra; incluyen materiales manipulables; al finalizar cada secuencia, se

promueve la reflexión matemática y didáctica.

Cada una de las secuencias se divide en tres secciones, Inicio, Desarrollo y Cierre, dicha

estructura se retoma de lo que se propone en el Programa de Matemáticas 2011 (SEP, 2011).


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El contenido matemático que se pretende desarrollar es razones trigonométricas (seno,

coseno y tangente de un ángulo), sin embargo, por la naturaleza de las situaciones se

presentan conceptos como, área, volumen, proporcionalidad, teorema de Pitágoras, ángulos,

distancia euclidiana, congruencia.

Experimentación

Después de diseñar una versión preliminar de la propuesta didáctica, se tomó la decisión de

realizar una primera puesta en escena, como resultado de la primera aplicación de la

secuencia, se realizaron algunos cambios a la estructura, con la finalidad de mejorar el diseño

y prever posibles dificultades ocasionadas por la redacción de las indicaciones o de las

preguntas, posteriormente se llevó a cabo la segunda aplicación de la secuencia, en la cual

participaron 25 maestros en formación del sexto semestre de la carrera de Licenciado en

Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas.

El objetivo de realizar una segunda puesta en escena fue analizar la actividad matemática de

los docentes de secundaria, desde la perspectiva de los ETG, al involucrarlos en ambientes

de aprendizaje en los que se resuelven problemas de contexto extra-matemático, y validar la

pertinencia de dicha propuesta didáctica.

Análisis de la actividad matemática

El análisis consistió en definir y caracterizar los elementos que conforman el Espacio de

Trabajo Geométrico personal (ETGp), el cual se define como: “El tratamiento personal y

local que un individuo le da a un problema geométrico”. A continuación, se muestra a manera

de ejemplo, el análisis que se realizó en una de las actividades que se propusieron en la

secuencia:

Actividad: calcular el volumen de agua contenida en una pipa cuya forma es un cilindro

circular recto, los datos que se conocen son las dimensiones de la pipa y la altura a la que

llega el agua dentro de la pipa.

Espacio de Trabajo Geométrico conformado

Plano Epistemológico

Referencial teórico: fórmula para calcular el volumen de un prisma de base rectangular,

fórmula para calcular el área de un rectángulo, identificación de relaciones de


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proporcionalidad directa. teorema de Pitágoras, fórmula para calcular el área del círculo,

razones trigonométricas, fórmula para calcular el área de un sector circular

Artefactos: software GeoGebra, calculadora.

Espacio real y local: representación de un segmento circular a través de la

descomposición de áreas conocidas.

Representación gráfica inicial:

Representación gráfica final:

Génesis identificadas

Génesis semiótica: consideramos que durante la Actividad 3 se movilizó la génesis

semiótica, ya que, a través del desarrollo de cada actividad propuesta, los participantes

lograron relacionar los elementos del Espacio Real y Local con el proceso de visualización.

Génesis Instrumental: podemos decir que se activó la génesis instrumental, ya que los

participantes trabajaron con el software GeoGebra y lograron que realizara

representaciones geométricas y cálculos a través de la programación del mismo, lo cual

le permitió mejorar la visualización.

Génesis Discursiva: la génesis discursiva se activó mediante los diferentes procesos de

validación de los resultados. Como se pudo observar los participantes lograron utilizar los

elementos del referencial teórico para establecer conjeturas y generalizar sobre sus

procedimientos, lo cual se realizó a través de las distintas preguntas planteadas

Plano Cognitivo

Visualización: los elementos del Espacio Real y Local permitieron, a través de la génesis

semiótica, que se llevará a cabo el proceso de visualización. Consideramos que la principal

muestra de ello es la manera en la que los participantes lograron construir una

representación analítica que modelara la problemática planteada, a partir del

tratamiento de sus representaciones geométricas.


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Construcción: durante la Actividad, los participantes lograron realizar construcciones

geométricas a través de los artefactos, las cuales les permitieron generalizar y construir

modelos analíticos basados en dicha construcción geométrica.

Además, podemos afirmar que los participantes lograron instrumentar el artefacto, ya

que lo programaron para que realizara cálculos que no realiza de manera automática,

como es el caso de calcular áreas de segmentos circulares.

Prueba: identificamos que el proceso de prueba se presentó en tres momentos distintos.

Momento 1: las pruebas y validaciones estuvieron dadas tomando como referencia los

modelos geométricos, tal es el caso de la estimación de áreas, la cual se dijo que era

menos de la mitad porque así lo percibían gráficamente.

Momento 2: un segundo proceso de prueba consistió en validar las aproximaciones

realizadas a través del software.

Momento 3: el último proceso de prueba se desarrolló durante la validación de la

expresión analítica a través de calcular el área para diferentes valores de la altura.

A partir de la actividad matemática de los participantes, podemos inferir que formaron un

Espacio de Trabajo Matemático personal (ETGp) en el cual se trabajó bajo el paradigma de

la Geometría Natural GI, ya que las demostraciones y justificaciones que se realizaron

tuvieron como fundamento la observación de casos particulares, además el espacio de trabajo

conformado tuvo un mayor peso en la Génesis Instrumental y en la Semiótica los cual nos

indica que se llevaron a cabo, en mayor medida, los procesos de experimentación y deducción

mismos que son característicos de la GI.

Al analizar la conformación del espacio durante el desarrollo de las diferentes actividades

podemos concluir, que de manera general el ETGp quedó conformado de la siguiente manera:


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A partir del análisis realizado concluimos que los docentes enriquecieron cada uno de los

elementos que conforman el Plano Cognitivo, ya que se sumaron objetos a cada uno de ellos,

en el Referencial se agregaron objetos matemáticos como segmento circular, además se

amplió el concepto de volumen de un cilindro, en cuanto a los Artefactos se incluyó el uso

del software como una herramienta para modelar situaciones y poder analizar las magnitudes

que están variando, por último en el Espacio Real y Local se incluyó la representación de

objetos matemáticos abstractos a través de objetos concretos como por ejemplo la caja del

camión y la cisterna de la pipa.

En cuanto a la conformación del espacio pudimos observar que éste fue transformándose

conforme se fue desarrollando la secuencia, es decir, en un primer momento los elementos

de cada componente eran una serie de objetos que no tenían relación entre sí, posteriormente

y a través de las actividades presentadas, los participantes lograron articular dichos conceptos

y ampliar el significado de los mismos, incluso añadieron nuevos objetos matemáticos a la

componente Referencial, por ejemplo, el de segmento circular.

Por otra parte, se analizaron las reflexiones didácticas realizadas por los maestros

participantes, dicho análisis arrojó que los docentes presentan dificultades para reflexionar

sobre su actividad matemática, ya que en un principio mostraron cierta resistencia, sin

embargo, conforme avanzó el cuestionario se detectó que reflexionaban sobre aspectos como

el diseño de la secuencia y la diferencia entre las matemáticas que se proponen en el currículo

oficial y las que aquí se presentan.

Conclusiones

Sobre el cumplimiento del objetivo general del proyecto, que fue lograr que los docentes

reflexionaran sobre su propia práctica matemática, podemos decir que se logró, a través de


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involucrarlos en un ambiente de aprendizaje en el cual tuvieran que resolver problemas

matemáticos poco comunes.

Diseñar la propuesta didáctica bajo la metodología ACODESA, permitió organizar un

ambiente de trabajo en el cual cada uno de los elementos que conformaban las secuencias

tuvo una intención particular, lo cual dio buenos resultados.

Por otra parte, analizar la actividad matemática bajo la perspectiva teórica de los ETG, nos

permitió caracterizar cada uno de los elementos que formaron parte del ETGp y así poder

distinguir los procesos que llevaron al participante a resolver la situación planteada.

El hecho de utilizar un marco teórico para diseñar la propuesta didáctica y uno distinto para

analizar los resultados obtenidos, nos permitió mostrar las potencialidades de cada uno de

ellos, ya que los resultados obtenidos fueron favorables.


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CB-1366

LA ENSEÑANZA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL UTILIZANDO EL MODELO

DEL ESTUDIO DE CLASE EN UN BACHILLERATO MEXICANO

1Jesús Salinas Herrera – 1Julio César Valdez Monroy –1Ulises Salinas-Hernández

[email protected] – [email protected] –[email protected] 1Colegio de Ciencias y Humanidades-UNAM, México

Núcleo temático: Formación del profesorado en matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: Terciario o Bachillerato

Palabras clave: Práctica Docente; Estudio de Clase; Distribución Normal; Simulación.

Resumen El presente artículo corresponde a un trabajo en curso en el que se investiga el efecto que el

modelo del Estudio de Clase (Lesson Study) tiene en la práctica docente de un grupo de seis

profesores-investigadores de matemáticas de bachillerato en México. Para la recolección de

datos se involucró al profesores en las etapas que conforman el modelo (primer ciclo),

durante las cuales diseñaron, pusieron en práctica y posteriormente evaluaron una lección

sobre la Distribución Normal, la cual tuvo como su principal recurso el software Fathom.

El artículo documenta en detalle las etapas de planeación, implementación y evaluación

poniendo énfasis en la reflexión llevaba a cabo por los profesores de manera colaborativa.

En general, aunque se trata de un primer acercamiento, el EC se muestra como una

alternativa prometedora para la mejora de la actividad docente en el bachillerato.

Introducción

Es poco el efecto que los resultados de las investigaciones en educación tienen sobre las

prácticas de enseñanza (Kieran, Krainer & Shaughnessy, 2012). Al respecto, McIntyre

(2005) señala que la brecha que existe entre ambas áreas se debe a que el tipo de

conocimiento que la investigación ofrece es distinto del conocimiento que los profesores

necesitan en el salón de clase. El Estudio de Clase (EC) es un modelo de trabajo colaborativo

que se considera ideal para informar la práctica desde el campo de la investigación, y

viceversa (Huang, Gong & Han, 2015). Este modelo se caracteriza por experimentarse de

forma vívida, lo que permite tener una imagen fidedigna de lo que ocurre en el salón de clase;

expone el conocimiento profesional de los profesores y proporciona oportunidades para

mejorarlo; y coloca sus intereses en el centro de su proceso de aprendizaje (Murata, 2011).


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En México es poca la literatura de investigación en la que se utilice el EC, por lo que resulta

plausible indagar sobre el efecto que puede tener este modelo en la práctica docente. En

particular, en el bachillerato, ya que, a diferencia de lo que ocurre en los niveles básicos,

donde existen centros encargados de la formación de profesores, en este nivel no hay

instituciones que lleven a cabo dicha tarea. En su mayoría, los profesores poseen una

formación profesional especializada que es ajena a la educación. Por lo tanto, el presente

trabajo busca contribuir con información que coloque al EC como una alternativa para el

desarrollo profesional de los profesores de bachillerato. En particular, para los objetivos del

presentre artículo, se hace una descripción del proceso de planeación, implementación y

discusión de la lección de manera colaborativa.

El Estudio de Clase

De forma sintética, el EC consiste de cuatro etapas (Murata, 2011): Organización, en la que

se establecen metas de aprendizaje de acuerdo con las necesidades de los estudiantes;

Planeación, donde se elabora una lección dirigida al logro de esas metas; Implementación,

cuando un voluntario pone en práctica la lección en presencia de los demás participantes,

quienes se limitan a observar y tomar notas; y Revisión, que consiste en comentar y discutir

las observaciones que se hicieron. Finalmente, si es necesario, el proceso se repite, pero

teniendo en cuenta los resultados del primer ciclo. Aunque a primera vista el modelo no

parece complicado, llevar a cabo un estudio de esta naturaleza no es una tarea sencilla (Fujii,

2014).

Antecedentes

Entre los primeros trabajos en los que se hace referencia al EC como una alternativa para la

mejora de la práctica docente se encuentra el de Stigler y Hiebert (1999), quienes vieron en

este modelo una posibilidad para la reforma de la educación en EU. A partir de su puesta en

escena, en diferentes trabajos se ha estudiado el potencial y las limitaciones de este modelo

para el desarrollo profesional de los profesores, principalmente, en los niveles básicos del

área de matemáticas. Al respecto, Fernandez, Cannon y Chokshi (2003) mencionan que para

implementar un EC de forma exitosa los profesores necesitan desarrollar tres visiones

importantes para examinar las lecciones que diseñan: la visión del investigador, la visión del

desarrollador de currículum, y la visión del estudiante.


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Por otro lado, Murata, Lewis y Perry (2004) encuentran que durante el EC el aprendizaje de

los profesores ocurre a través del desarrollo de los recursos (planes de las lecciones,

representaciones/modelos, manipulables/hojas de cálculo, protocolo de evaluación) y del

desarrollo de la capacidad profesional (conocimiento del contenido matemático,

conocimiento del contenido didáctico, y el compromiso con la comunidad de aprendizaje).

Sobre este último punto, Fernandez (2005) identifica dos oportunidades de aprendizaje que

ofrece el EC: una para desarrollar el conocimiento del contenido didáctico, a través de las

reuniones y discusiones acerca de cómo los estudiantes entienden ciertas matemáticas, y

sobre la mejor manera de promover ese entendimiento y cómo superar las dificultades

encontradas en el camino; y otra para aprender a razonar matemáticamente durante la lección,

mediante la discusión acerca del manejo de los desafíos matemáticos que emergen durante

la enseñanza. Por su parte, Lewis, Perry, Hurd y O’Connell (2006) mencionan algunos

cambios que se pueden hacer para implementar el EC de manera efectiva: 1) Reconocer que

el EC se enfoca en el aprendizaje del profesor, no sólo en las lecciones; 2) que depende de la

habilidad de observar y de la subsecuente discusión; 3) que es mejorado por fuentes externas

de conocimiento (especialistas, artículos de investigación); y 4) que las etapas del EC tiene

que estar balanceadas y ser integradas.

En el contexto de México, hasta el momento, sólo se ha ubicado el trabajo de Preciado y

Liljedahl (2008), quienes analizaron el cambio en las prácticas de un grupo integrado por

profesores en servicio y en formación, de secundaria y bachillerato. Entre los resultados

señalan que además del conocimiento del contenido y del conocimiento del contenido

pedagógico que los profesores desarrollaron, reconocieron que su práctica tiene el potencial

para contribuir de forma importante con la escuela y con el sistema educativo en general.

Como conclusión, mencionan que los espacios similares al EC deben ser promovidos y

reconocidos como parte de la práctica profesional y el desarrollo de los profesores.

Asimismo, consideran que las relaciones entre los profesores, las escuelas y el sistema deben

ser de apoyo y contribución mutua. A partir de este resultado, el EC parece una alternativa

que, como en otros países, puede propiciar el desarrollo y la mejora de la práctica docente en

el bachillerato, por lo que es necesario indagar más sobre el efecto que puede tener en este

escenario.

Marco conceptual


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Para contribuir al desarrollo de la práctica docente y tener un mayor entendimiento de los

datos recabados, articulamos la metodología de EC con la Aproximación documental de lo

didáctico (Gueudet & Trouche, 2009) que se enfoca en el uso de los recursos y el efecto que

–a través de su apropiación y transformación– tienen en la reflexión de los profesores acerca

de su actividad docente. De acuerdo con esta teoría, los profesores se basan en un conjunto

de recursos para su trabajo documental, en el cual ocurre un proceso de génesis que da origen

a un documento (en nuestro caso, la lección a investigar). En este proceso el profesor

construye esquemas de utilización a partir del conjunto de recursos del que dispone. Dichos

esquemas están constituidos por una parte observable (usos) y otra invisible (esquemas

operacionales), siendo ésta última la más importante. Por otro lado, hay una relación

dialéctica entre los recursos y el documento que se genera, ya que este último puede jugar el

papel de recurso para la generación de un nuevo documento.

Método

En el estudio participan seis profesores de matemáticas de un bachillerato de la Ciudad de

México, quienes tienen una formación en investigación en educación matemática; dos

doctores, dos doctorandos y dos con grado de maestría. Sobre su experiencia docente, dos

son titulares en la institución con una antigüedad de 41 y 42 años, respectivamente; mientras

que los otros cuatro son profesores de asignatura con una antigüedad que oscila entre 1.5 y 7

años. Además, cuatro participantes impartían el curso de Estadística y Probabilidad II al

momento del estudio.

La recolección de datos consistió involucrar a los participantes en cada una de las etapas que

conforman el modelo del EC, las cuales fueron videograbadas. En una primera reunión se

discutió el diseño de la lección y se decidió quién la pondría en práctica. La implementación

consistió de tres sesiones: en la primera se introdujeron los conceptos de curva de densidad

y de distribución normal a partir de la aproximación normal de la Binomial; en la segunda

sesión se mostraron las características y las propiedades de la distribución normal,

destacándose la regla empírica; y por último se presentó la distribución Normal Estándar. En

estas sesiones, el software Fathom fue el principal recurso para la enseñanza. Además, hubo

otras dos sesiones; una dedicada a fortalecer el aspecto de resolución de problemas y la otra

a evaluar el conocimiento adquirido por los alumnos. Después de cada una de las tres

primeras sesiones se llevó a cabo una reunión para comentar lo acontecido. Finalmente, en


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una reunión general se sintetizaron los principales resultados y se discutió cómo

aprovecharlos para el rediseño de una lección y su puesta en práctica por otro profesor (lo

que corresponde al segundo ciclo del estudio, el cual está en marcha).

Análisis de datos

Previo a la primera reunión, se había contactado a cada uno de los participantes para

explicarles cuál era el propósito del trabajo y pedirles que diseñaran una lección para enseñar

la distribución normal. Una vez reunidos, se analizaron las propuestas y se consensó

implementar una lección basada en el enfoque frecuencial de probabilidad, cuyo principal

recurso fue la simulación con el software Fathom. A continuación, se describe el conjunto de

recursos utilizados en la lección, las regularidades que fueron observadas en las acciones del

profesor durante la implementación, y los invariantes operacionales que se infieren de estas

acciones.

Recursos y su articulación

El inicio de la lección se apoyó en la aproximación normal de la binomial. Se planteó por

escrito la situación de un examen de ingreso a la universidad, el cual constaba de 200

preguntas de opción múltiple, cada una con tres posibles respuestas, de las cuales sólo una

era correcta. Se mencionaba un personaje ficticio que había contestado correctamente 75

preguntas y el resto al azar. Lo que se pedía a los estudiantes era determinar la probabilidad

de que dicho personaje aprobara el examen. Para diseñar esta tarea se consideró una

experiencia previa del profesor con un estudiante expuesto a una situación similar.

Una vez exploradas las posibles respuestas de los estudiantes se buscaría que resolvieran la

tarea mediante la simulación computacional mediante el software Fathom, con el cual ya

tenían experiencia. A partir de este recurso se buscaría poner en juego los conceptos de curva

de densidad y curva normal, se mostrarían las características y las propiedades de las

distribución normal (entre ellas la regla empírica), y se haría evidente el proceso de

estandarización. Otros recursos a utilizar serían hojas de trabajo con problemas sobre la regla

empírica y la distribución normal estándar, una presentación para mostrar aspectos relevantes

de la lección, y archivos con las simulaciones que se fueran construyendo. Finalmente, se

resolvería la situación original (resultado del examen) mediante la distribución normal

estándar.

Uso de los recursos


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Durante la primera sesión correspondiente a la implementación se planteó por escrito la

situación sobre el resultado del examen. El objetivo fue ‘generar la necesidad en los

estudiantes de un recurso distinto de la distribución binomial para resolver la tarea’. Algunos

estudiantes intentaron aplicar la distribución binomial, pero se dieron cuenta de lo poco

factible que resultaba. También, debido a la experiencia que tenían con el software, hubo

quienes antes de considerar la distribución binomial propusieron simular la situación, ya que

era lo que se solía hacer cuando la clase se llevaba a cabo en la sala de cómputo.

Una vez analizadas las respuestas de los estudiantes, se simuló la experiencia para ‘dar una

respuesta aproximada’ y ‘hacer la experiencia más vivencial’. A pesar de la familiaridad de

los alumnos con el software, la mayoría aún necesitaba la guía del profesor para llevar a cabo

la simulación, pero una vez hecha casi todos eran capaces de interpretarla. Aunque

posteriormente se les propuso imaginar un escenario en el que no contaran con el software

(con la finalidad de mantener la necesidad de otro recurso distinto de la distribución

binomial), este se utilizó como un ‘referente para el desarrollo conceptual’ (Maxara &

Biehler, 2006). Así, en la primera sesión se desarrollaron los conceptos de curva de densidad

y curva normal. Durante la segunda se abordó el concepto de distribución normal; se utilizó

el software para mostrar sus características y propiedades, poniendo especial énfasis en la

regla empírica. Finalmente, en la tercera sesión se hizo explícito el proceso de

estandarización para destacar el carácter conceptual sobre el procedimental de la distribución

normal estándar. Después de cada una de las dos últimas sesiones las hojas de trabajo se

emplearon para ‘fortalecer el aspecto operativo y de resolución de problemas’. Cabe señalar

que hubo algunas dificultades con el manejo del software que, más allá del tiempo, no

tuvieron consecuencias importantes en el desarrollo de la lección.

Invariantes operacionales

De las acciones del profesor que fueron observadas durante la implementación, se pueden

destacar los siguientes invariantes operacionales: ‘Los estudiantes se involucran mejor con

una situación que les es familiar, tanto vivencial como conceptualmente’; ‘Entienden y

recuerdan mejor un concepto cuando surge como una necesidad’; ‘La simulación (el aspecto

visual y dinámico del software) facilita la comprensión de las ideas estadísticas’; ‘Los

ejercicios fortalecen la comprensión alcanzada mediante la simulación’.

Dialéctica recurso/documento


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Después de cada una de las sesiones de implementación, se llevó a cabo una reunión entre

los profesores para discutir lo acontecido, qué funcionó y qué no, con la finalidad de mejorar

la lección. Durante la primera reunión se destacó la familiaridad que los alumnos tenían con

la tarea propuesta y con el manejo del software. Incluso, hubo quien observó cómo algunos

estudiantes trataban de simular la situación de forma independiente. No obstante, se

mencionó que otros no se involucraron por completo con la tarea y que se fueron rezagando

durante la simulación. Al respecto, una propuesta fue el recurso del trabajo en equipo.

Una vez concluida la segunda sesión, nuevamente se destacan los aspectos positivos del

software y cómo esto se refleja en el buen desempeño de algunos estudiantes frente a los

problemas que les fueron planteados sobre la regla empírica. Sin embargo, la principal

observación de los profesores fue el tiempo que se invirtió para construir la simulación con

la que se mostraron las propiedades de la distribución normal. La propuesta ante esta

situación fue evitar la construcción y llevarla preparada sólo para que los alumnos

manipularan las variables involucradas (media y desviación estándar). Por otra parte, de

nueva cuenta, se destacó la falta de involucramiento de algunos alumnos con las tareas y la

necesidad de un ambiente propicio para ello. Aunque en esta ocasión no se hizo alguna

propuesta.

Finalmente, sobre lo acontecido en la tercera sesión, hacer evidente el proceso de

estandarización mediante la simulación fue una característica de la lección apreciada por los

profesores. Aunque coincidieron en que, a pesar de ser muy ilustrativa, se debe insistir con

los estudiantes en que este es un proceso que a cada valor de una distribución normal, o

aproximadamente normal, le corresponde uno de la distribución normal estándar. De igual

forma, coincidieron en que para reforzar los cálculos con esta nueva distribución se podría

integrar como un nuevo recurso el software Geogebra, pero ya como pate del rediseño de la

lección.

Discusión y conclusiones

En este primer acercamiento al modelo del EC, observar y comentar sobre la práctica que

desarrolla un profesor, desde el diseño de una lección hasta su puesta en marcha, generó un

espacio propicio para aprender sobre la enseñanza y cómo puede ser mejorada. Como

mencionan Murata et al. (2004) participar en un estudio de esta naturaleza mejora el

conocimiento del contenido para la enseñanza, los recursos que se generan, así como el


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trabajo colaborativo con otros profesores. En este estudio particular, el conocimiento

pedagógico fue al que más se hizo referencia, ya que para algunos participantes esta era la

primera ocasión en la que presenciaban una lección cuyo principal recurso era un software.

Las simulaciones generadas mediante este recurso, en opinión de los profesores, fueron

bastante ilustrativas sobre los conceptos que se querían destacar. Aunque sí advierten, y

fueron testigos de ello durante la experiencia, que se debe estar preparado frente a las posibles

contingencias que se puedan presentar al trabajar de esta manera. Sobre el grupo de trabajo

que se formó, los diversos comentarios de los profesores sobre la lección propiciaba la

reflexión de los demás profesores acerca de lo que acontece en su práctica cotidiana. En

algunas ocasiones, recordando situaciones similares a las presenciadas durante la

implementación, y en otras proponiendo estrategias para llevar por mejor comino la lección.

Por otro lado, es necesario mencionar que al ser este un primer acercamiento al modelo, hay

algunos aspectos que se deben mejorar y otros que se deben evitar. Por ejemplo, generar un

guion formal en el que se indique que aspectos se deben observar para saber si los objetivos

de la lección son alcanzados, y tratar de no ser un distractor en el desarrollo de ésta. Si se

mejoran estos, y otros, aspectos, el EC se muestra como una alternativa prometedora para la

mejora de la actividad docente en el bachillerato.


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CB-1.369

UM ESTUDO ACERCA DE PESQUISAS BRASILEIRAS QUE VERSAM SOBRE

PROFESSOR FORMADOR DE PROFESSORES QUE

ENSINAM MATEMÁTICA E SUAS CONCEPÇÕES

Mônica Gonçalves de Matos – António Águas Boralho – Tadeu Oliver Gonçalves

[email protected] – [email protected] [email protected]

Secretária de Estado de Educação do Pará, Brasil; Universidade de Évora, Portugal;

Universidade Federal do Pará, Brasil

Núcleo temático: VII. Investigación en Educación Matemática

Modalidad: CB


Palavras-chave: Formador de professores; Concepções; Professores que ensinam Matemática

Resumo

Neste texto temos por objetivo a análise de pesquisas brasileiras que têm como foco de estudo

o professor formador de professores que ensinam Matemática e suas concepções, produzidas

no período de 2001 a 2012, cuja intenção é responder à seguinte questão: que concepões

são abordadas nas pesquisas acerca dos professores formadores? As informações que

compõem o corpus da nossa investigação são oriundas de uma pesquisa em âmbito nacional,

enquadrada num projeto coordenado pelo Grupo de Estudos e Pesquisas sobre Formação

de Professores de Matemática, para mapear e fazer o estado da arte da pesquisa brasileira

sobre o professor que ensina Matemática. A metodologia seguida assenta numa abordagem

qualitativa de cunho documental. Destacamos que do total de 858 pesquisas (teses e

dissertações), 41 se referem aos professores formadores. Esse é um dos resultados do projeto

expresso no e-book publicado, e que chama nossa atenção para o número reduzido de

investigações com esse foco, bem como para o conteúdo dessas pesquisas ao se referirem as

concepções desses formadores. As pesquisas tentam compreender concepções acerca da

formação do formador, dos projetos pedagógicos de cursos, de tendências em Educação

Matemática, acerca de um conteúdo específico, da Matemática e seu ensino.

Palavras-chave: Formador de professores; Concepções; Professores que ensinam Matemática

Introdução

Esta pesquisa, de abordagem qualitativa, teve início a partir da análise dos primeiros resultados de uma

investigação em âmbito nacional, enquadrada num projeto coordenado pelo Grupo de Estudos e Pesquisas sobre




ISBN 978-84-945722-3-4

Formação de Professores de Matemática (GEPFPM)9, cujo objetivo foi mapear e fazer o estado da arte da

pesquisa brasileira acerca o professor que ensina Matemática e esses resultados foram publicados em formato

de e-book

Ao entrar em contacto e analisar os resultados apontados no documento, percebemos que as

teses e dissertações que tinham como foco de estudo ou análise o formador de professores,

se apresentavam como uma pequena parcela do total de pesquisas analisadas, 858 estudos.

Nacarato et al., (2016) ao realizarem a síntese das pesquisas das sete regiões10 afirmam que

como uma mesma pesquisa pôde ser classificada em mais de um foco de análise, o total as

pesquisas ficou expresso em número de 1034 investigações, e no que se refere aos formadores

de professores, o campo é apontado como carente, e os dados confirmam “essa condição,

com 5% do total” (p. 345).

Temos interesse por esta temática por estarmos a desenvolver uma pesquisa de doutoramento

acerca dos professores formadores e suas concepções acerca da Matemática e do seu ensino.

Nesse sentido, a pergunta que pretendemos responder neste trabalho é: que concepções são

abordadas nas pesquisas acerca dos professores formadores?

Este texto constituí-se da análise de 06 pesquisas acerca dos formadores de professores e suas

concepções, tendo como objetivo, identificar as bases epistemológicas dessas investigações,

com o intuito de perceber as discussões teóricas em torno do conceito de concepção.

Selecionamos seis pesquisas a partir de três critérios: i) ter como foco de estudo ou análise

concepções de formadores de profesores que ensinam Matemática, ii) ter como sujeito,

unicamente, professores formadores iii) que no resumo o autor declare que está investigando

concepções de formadores de professores que ensinam Matemática.

Assim, anunciamos o caminho que percorremos, compreensões acerca das pesquisas e

algumas notas de conclusão.

9 Grupo interinstitucional, com sede na Faculdade de Educação da Universidade Estadual de

Campinas (FE/Unicamp), que congrega pesquisadores de cinco universidades paulistas:

Unicamp; Universidade Estadual Paulista (Unesp/Rio Claro); Universidade Federal de São

Carlos (UFSCar); Pontifícia Universidade católica de Campinas (PUC-Campinas);

Universidade São Francisco (USF). 10 Os membros do projeto publicaram o e-book com os resultados da pesquisas em termos de sete regiões:

Centro-Oeste, Nordeste, Norte, Sul, Minas Gerais, Rio de Janeiro/Espírito Santo e São Paulo.


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Itinerário da pesquisa

A primeira fase da investigação foi a leitura do ebook, para então selecionarmos as teses e

dissertações que foram apontadas no documento como sendo aquelas que tinham como foco

de estudo ou análise os formadores de professores. O e-book é composto por nove capítulos

dos quais sete apresentam os mapeamentos regionais de teses e dissertações produzidas e

defendidas no Brasil, no período de 2002 a 2012 e que tiveram como interesse de estudo o

professor que ensina Matemática. Acedemos às pesquisas por meio do link disponibilizado

no ebook.

Inicialmente, analisámos os resumos das pesquisas, para percebemos quais delas declaravam

ter como foco de estudo as concepções dos professores formadores. Como a literatura da área

referente as concepções dos professores indica que este termo, muitas vezes, é usado como

sinónimo de crenças, percepções, visões, opiniões, decidimos seleccionar as pesquisas que

assumiam também essas terminologias. Não delimitamos que tipos de concepções dos

formadores buscaríamos, por entendermos ser importante perceber os interesses dos

investigadores brasileiros quando estudam as concepções, ou seja, o tipo de concepções

identificadas (sobre o ensino, a aprendizagem, a Matemática, a História da Matemática, a

Algebra, a avaliação ou outras). É de referir que os critérios usados na selecção das pesquisas

também teve em consideração os termos mencionados anteriormente.

Decidimos realizar fichamentos dos documentos em torno dos seguintes aspectos: dados de

identificação (autor, ano, título, instituição, tipo de trabalho), objetivo geral, questão de

pesquisa, referenciais teóricos acerca das concepções, metodología, resultados e conclusões.

Como forma de sistematização das informações, optámos por retirar excertos dos trabalhos

que indicavam tais aspectos.

Algumas compreensões acerca das pesquisas

Neste artigo apresentamos aspectos em termos de tema, questão de investigação e objetivos

das pesquisas e em segundo momento discorremos acerca dos distanciamentos e/ou

aproximações das bases epistemológicas referentes a temática das concepções.


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Um retrato das investigações

Martins (2012) investigou as concepções acerca da natureza da Matemática e ensino

manifestadas por 35 formadores. A questão de pesquisa foi anunciada nos seguintes termos:

Que elementos caracterizam as concepções sobre a natureza da Matemática e sobre o ensino

mobilizadas por professores formadores de conteúdos específicos em licenciaturas de

Matemática em Alagoas. Tendo como objetivo: Identificar elementos de concepções sobre a

natureza da Matemática, bem como sobre o ensino de Matemática, de professores que

lecionam conteúdos específicos em cursos de licenciaturas em Matemática no Estado de

Alagoas.

Mondini (2009) investigou as concepções de 11 professores formadores em relação à

Álgebra, tendo como questão norteadora: Como os professores de Álgebra, dos cursos de

Licenciatura em Matemática, compreendem e trabalham a Álgebra, em termos de conteúdo

e prática pedagógica? A autora explicita que seu objetivo de pesquisa foi estudar as

concepções que professores de Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática

apresentam sobre o ensino e a aprendizagem dessa disciplina nesses cursos.

Silva (2007) pesquisou concepções de 09 professores formadores acerca do uso da História

da Matemática no processo de ensino e aprendizagem. Anuncia a questão de pesquisa da

seguinte forma: As Concepções de Professores Formadores em relação ao uso da História da

Matemática no Processo Ensino Aprendizagem nos cursos de licenciatura em Matemática.

Tendo como objetivo geral analisar as reflexões, sugestões e críticas dos professores

formadores em relação ao uso da História da Matemática no processo de formação do futuro

licenciado em Matemática.

Ferreira (2005) realizou pesquisa acerca das concepções de 05 professores do ensino superior

em relação a disciplina de História da Matemática. Construiu as seguintes interrogações para

a investigação; i) Por que consideram a disciplina de História importante no curso? ii) Como

desenvolvem suas aulas? iii) Como avaliam seus alunos? O objetivo da pesquisa foi


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investigar as concepções dos professores em relação à disciplina História da Matemática no

ensino superior.

Haruna (2004) realizou a investigação tendo como sujeitos 12 professores, com a temática

centrada nas visões de professores formadores da Licenciatura em Matemática a respeito da

articulação da construção dos próprios saberes docentes com a atividade docente. A questão

que norteou a pesquisa foi descrita da seguinte forma: De que modo os formadores de

Professores de Matemática entendem a construção dos seus próprios saberes docentes? O

objetivo da pesquisa foi buscar compreensões sobre as visões dos professores formadores da

Licenciatura em Matemática a respeito da articulação da construção dos próprios saberes

docentes com a atividade docente.

Alonso (2003) recolheu elementos para o estudo da atuação de 06 formadores a partir da

implantação de um projeto pedagógico. O autor fez três indagações: i) Como os Projetos

Pedagógicos dos cursos de formação de professores trabalham com seus alunos o

desenvolvimento da capacidade criativa de cada um, para que o futuro professor o faça em

seus contextos de atuação? ii) Como os Projetos Pedagógicos dos cursos de formação de

professores consideram os aspectos do trabalho coletivo de professores e alunos como

ambiente propício à formação crítica e criativa do conhecimento? iii) Como os Projetos

Pedagógicos dos cursos de formação de professores vêem o conhecimento como rede,

capacitam o futuro professor a desenvolver projetos que levam o aprendiz, a partir das

experiências pessoais e/ou coletiva a refletir os fenômenos de forma criativa, crítica,

motivadora e transformadora? O objetivo desta pesquisa, foi investigar as concepções de

educação e de ensino dos professores formadores de professores, considerando o Projeto

Pedagógico da Instituição, especialmente o do Curso de Matemática.

Entre distânciamentos e aproximações teóricas

Mondini (2009) buscou explicitar o que é a Álgebra a partir dos significados atribuídos à

Matemática, afirmando ser uma Ciência construída social e historicamente, percebida pelos

sujeitos em suas atividades cotidianas. Recorre a Filosofia da Matemática e tendo como


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referencial teórico as ideias de autores como Bicudo (1999), Silva (2007), Machado (1991)

e Snapper (1984) para explicitar o pensamento matemático e como este vem se constituindo

ao longo da história da humanidade, e a Lins e Gimenez, (1997) para afirmar que não há

consenso entre os autores da área sobre qual é o campo de abrangência e quais os objetos que

Ágebra estuda. Sendo que alguns autores definem a Álgebra como a linguagem da

Matemática, outros como uma Aritmética generalizada e outros, como o estudo das

estruturas.

A autora utiliza a palavra concepção para a sua investigação, mas não encontramos no texto

a explicitação de uma definição para o seu entendimento do termo, o que percebemos ser

também presente nas pesquisas de Silva (2007), Alonso (2003) e Ferreira (2005).

O que difere da pesquisa de Martins (2012) que explicita adotar a “definição de concepção

como sendo uma estrutura mental atribuída a um sujeito por um observador do seu

comportamento” (p.43). O autor construiu o quadro teórico a partir de referenciais

circunscitos na área de Educação Matemática, citando e discutindo ideias de autores como

Thompson (1997), Ernest (1988, 1989), Guimarães (1988), Cury (1994), Canavarro (1993),

Garnica e Fernandes (2002) e Roseira (2010, 2004). Como o interesse de Martins (2012) se

refere ás concepções de Matemática e seu ensino, trouxe para o diálogo teórico, ideias de

autores como Ernest (1988), Ponte (1992; 1996), Thompson (1997), Bloch (1995; 2009),

para afirmar que “as concepções sobre a Matemática e sobre o Ensino permeiam a construção

da identidade profissional do professor de Matemática, bem como sua prática docente”.

(Martins, 2012, p .20).

Quanto a Haruana (2004), faz uso do termo visão e, em muitos momentos no texto,

percepção, porém não percebemos a explicitação por parte do autor sobre o seu entendimento

acerca do termo visão. Ao lermos o texto completo percebemos que na secção destinada aos

aspectos metodológicos, ao anunciar a importância da observação, Haruana (2004) citando

Lucke & André (1986, p. 26) permite entender o que pode ser sua compreensão acerca do

termo visão: “à medida que o observador acompanha in loco as experiências diárias dos

sujeitos, pode-se tentar apreender a visão de mundo de cada um, isto é, o significado que eles

atribuem à realidade que os cerca e às suas próprias ações.” p. (16). O autor recorre ao campo

de conhecimento referente aos saberes docentes, utilizando como referencias as teorias


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apresentadas pelos autores Tardif et al., (1991), Shulman (1986) e Saviani (1996) sobre a

tipologia dos saberes docentes.

Percebemos que Silva (2007) se refere aos termos visão, percepção e posicionamento, como

sinónimos de concepção. O autor recorreu a literatura referente a História da Matemática

para subsidiar teoricamente o seu trabalho de pesquisa, serve-se das ideias dos seguintes

autores: Baroni e Nobre (1999), Miguel (1993), Miguel e Brito (1996), Miguel e Miorim

(2004), Miorim (1998), Nobre (1996), Stamato (2003). Afirma que a área de pesquisa da

História da Matemática, conta com autores brasileiros, dentre eles: “Fossa (2001),

D’Ambrosio (1996); Brolezzi (1991), Nobre (1999), Miguel (1993), Miorim (1998). Tais

pesquisadores apoiam a utilização da História da Matemática no processo ensino

aprendizagem, mas sem deixar de citar os percalços dessa aplicação” (Silva, p.32).

Ferreira (2005) também fez uso dos termos visão e ideia como sinónimos de concepção. O

referencial teórico relacionado à História da Matemática coincide com o campo teórico

apresentado na dissertação de Silva (2007), porém Ferreira (2005) acrescenta ideias de Struik

(1985) para dizer a respeito de seis razões acerca da importância da História da Matemática.

Alonso (2003), por sua vez, construiu um quadro teórico que se apresenta em torno do dabate

das ideias de autores que argumentam em favor da mudança na formação de professores, o

papel do formador na sociedade emergente (Esteve (1995), Perrenoud (2001), Santos (2002),

Batista (2002), Novoa (1998), Lüdke (1999), Belfort (2002) Imbernon (1994)) e os

distanciamentos entre teoria e prática (Candau e Lelis (2003), Fávero (1981)).

Algumas notas interpretativas e conclusivas

A maioria dos autores das pesquisas analisadas indicam ter como área de interesse o campo

de estudo das concepções de formadores de professores, uma área que Guimarães (2010,

p.82) afirma ser reconhecida como o “estudo do pensamento do professor”. Porém, este

aspecto não é percetível nos quadros teóricos das teses e dissertações consideraradas, com

excepção de Martins (2012) que apresentou debate em torno das concepções e suas bases

epistemológicas referentes a Matemática e seu ensino. Percebemos, nas pesquisas de

Mondini (2009), Silva (2007), Ferreira (2005), Haruna (2004) e Alonso (2003), a utilização


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dos termos concepção, visão, ideia, percepção, crença sem a intensão de explicitar seus

significados a partir da literatura da área.

Cury (1994, p. 30) ao realizar uma revisão de literatura percebeu que “embora utilizados por

vários pesquisadores sem maiores cuidados, os termos concepções e crenças não têm

aceitação unânime, e suas definições são, às vezes, conflitantes”. A autora justifica que

“talvez por esse motivo, os textos mais recentes apresentam uma conceituação dos termos e

as diferenças entre eles. Problemas de tradução têm, também, influenciado a forma como

alguns autores se referem aos constructos” (Cury, 1994, p.30). Concordamos com a autora

e percebemos, na maioria das pesquisas analisadas, que não existe explicitação de um quadro

teórico em torno das concepções, refletimos que concepção é um conceito de difícil definição

e que os pesquisadores muitas vezes utilizam o conceito sem aprofundamento necessário.

Como salientam Zapata et al., (2012) do ponto de vista educacional, o termo concepção é

complexo.

Dentre as pesquisas analisadas neste artigo Martins (2012), diferentemente dos cinco outros

trabalhos, percorreu o mapa desenhado por autores da área (Thompsom, 1992; Segurado e

Ponte, 1998; Garnica e Fernandes 2002; Garnica, 2008; Guimarães, 2010) e indicou ser

necessário um esforço por parte dos pesquisadores em realizar investigações que procurem a

compreensão das relações entre teoria e prática, salientando a importância da observação dos

formadores em seu ambiente de trabalho, ou seja na acção.


Cury, H. N. (1994). As concepções de Matemática dos professores e suas formas de

considerar os erros dos alunos. Tese de Doutoramento, Universidade Federal do Rio Grande

do Sul, Porto Alegre, Brasil. Disponível em

http://www.unifra.br/professores/13935/TeseHelena.pdf

http://www.unifra.br/professores/13935/TeseHelena.pdf


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Garnica, A. V. M & Fernandes, D. N. (2002). Concepções de professores formadores de

professores: exposição e análise de seu sentido doutrinário. Quadrante, 11(2), 75-98.

Garnica. A. V. M. Um ensaio sobre as concepções de professores de Matemática:

Possibilidades metodológicas e um exercício de pesquisa. Educação e Pesquisa, São Paulo,

v. 34, n.3, p. 495-510, 2008. Disponível em:<

http://www.revistas.usp.br/ep/issue/view/2138. Acesso em 04/2014.

Guimarães, H. (2010). Concepções, crenças e conhecimento – afinidades e distinções

essenciais. Quadrante, 19(2), 82-101.

Nacarato, A. M., Passos, C. B., Cristovão, E. M., Megid, M. A. & Coelho, M. P. (2016).

Tendências das pesquisas brasileiras que têm o professor que ensina Matemática como

campo de estudo: uma síntese dos mapeamentos regionais: In D. Fiorentini, C. B. Passos &

R. R. Lima (2016), Mapeamento da pesquisa acadêmica brasileira sobre o profesor que

ensina Matemática: período 2001-2012 [E-book]. Campinas: FE-UNICAMP.

Segurado, I. & Ponte, J.P. (1998). Concepções sobre a Matemática e trabalho investigativo.

Quadrante, 7(2), 5-40.

Thompson, A. (1992). Teachers’ beliefs and conceptions: A synthesis of the research. In D.

A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 127-

146). New York: Macmill.

Zapata, M, Blanco, L, Camacho, M. (2012). Análisis de las concepciones de los estudiantes

para profesores sobre las matemáticas y su enseñanza-aprendizaje Bolema: Boletim de

Educação Matemática. 26(44):1443-1466.

ANEXO

Relação das pesquisas analisadas

Martins, R. L. (2012). Concepções sobre a matemática e seu ensino na perspectiva de

professores que ensinam matemática em licenciaturas de Alagoas. (Dissertação Mestrado).

Universidade Federal de Pernambuco, Recife. Disponível em:

http://repositorio.ufpe.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/13034/RicardoLisboaMartins_

disserta%C3%A7%C3%A3o_edumatec.pdf?sequence=1&isAllowed=y.

Alonso, R. (2003). O projeto pedagógico de um curso de Licenciatura em Matemática:

avanços e perspectivas diante das pesquisas educacionais e das exigências legais.

(Dissertação de Mestrado). Pontifícia Universidade Católica de Campinas. Campinas,

Disponível em: https://drive.google.com/open?id=0BzWBKwxWqsbtenpaUms3RlN1b3c.

Ferreira, T. F. (2005). A disciplina História da Matemática: um estudo sobre as concepções

do professor do Ensino Superior. (Dissertação de Mestrado) . Pontifícia Universidade

http://www.revistas.usp.br/ep/issue/view/2138.%20Acesso%20em%2004/2014

http://www.apm.pt/portal/quadrante.php?id=35792&rid=35648&search=words=,author=segurado,seccao=,ano=,_SEARCH_DONE=1&page=1

https://drive.google.com/open?id=0BzWBKwxWqsbtenpaUms3RlN1b3c


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Católica de São Paulo (PUC-SP), São Paulo. Disponível em: https://drive.google.com/

open?id=0BzWBKwxWqsbtbTFqdHNvVm5TRjQ.

Haruna, L. H. (2004). Visões dos formadores da Licenciatura em Matemática na construção

dos saberes docentes. ( Dissertação de Mestrado). Universidade Estadual Paulista. Rio

Claro. Disponível em: https://drive.google.com/

open?id=0BzWBKwxWqsbtSWVHMDRNV3Q5Q2c.

Mondini, F. (2009). Modos de conceber a álgebra em cursos de formação de professores de

Matemática. Universidade Estadual Paulista , Rio Claro, 2009. Disponível em:

https://drive.google.com/ open?id=0BzWBKwxWqsbteE5DclNodTRORmc.

Silva, J. A. (2007). As concepções de professores formadores em relação ao uso da história

da matemática no processo ensino aprendizagem nos cursos de licenciatura em matemática.

(Dissertação de Mestrado). Universidade Federal do Pará. Belém Disponível em:

http://www.ppgecm.ufpa.br/index.php/producao-cademica/dissertacoes.

https://drive.google.com/

https://drive.google.com/%20open?id=0BzWBKwxWqsbtSWVHMDRNV3Q5Q2c.

https://drive.google.com/%20open?id=0BzWBKwxWqsbtSWVHMDRNV3Q5Q2c.

https://drive.google.com/%20open?id=0BzWBKwxWqsbteE5DclNodTRORmc.

https://drive.google.com/%20open?id=0BzWBKwxWqsbteE5DclNodTRORmc.

http://www/


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.374

PENSAMIENTO VARIACIONAL EMERGENTE: UNA EXPERIENCIA EN

CÁLCULO INICIAL DESDE CATEGORÍAS DE ANÁLISIS DEL ENFOQUE

ONTOSEMIÓTICO Marvin Mendoza Valencia

[email protected]/[email protected]

Universidad Nacional Autónoma de Honduras, Danlí Honduras

Núcleo temático: Investigación en Educación Matemática

Modalidad: CB

Nivel educativo: Terciario

Palabras clave: Pensamiento Variacional Emergente, Enfoque Ontosemiótico, Cálculo

Inicial, Covariaciones

Resumo Se presenta este trabajo relativo al pensamiento variacional desde una perspectiva dinámica

centrada en el proceso cognitivo de generación de modelos mentales que dan cuenta de

covariación de variables en una situación particular, siendo la visualización un eslabón del

proceso. Esta comunicación tiene como referencia los resultados de una investigación que

fue desarrollada con estudiantes de Cálculo Inicial de la Universidad Católica del Maule,

Chile. La investigación indagó el pensamiento variacional emergente en estudiantes de

ingeniería y los objetivos propuestos se orientaron a caracterizar y categorizar las

producciones, identificando aspectos que dieran cuenta de diversas formas de manifestación

de pensamiento variacional. El Paradigma de investigación que atendió este estudio fue de

tipo cualitativo, debido a la naturaleza de la investigación y a la temática planteada. La

investigación se desarrolló en etapas: revisión de literatura pertinente al tema, planificación

– ejecución y, análisis de resultados. El acopio de información de esta indagación fue

obtenido principalmente de la observación, y de otras fuentes (audios, videos, sesiones de

estudio pruebas escritas, entre otras) durante diferentes etapas del estudio. La información

recolectada fue analizada desde los niveles didácticos provisto por el Enfoque

Ontosemiótico generando diferentes categorías de manifestaciones de pensamiento

variacional.

Introducción. El Pensamiento Variacional, constituye una línea de investigación en

Educación Matemática que tiene su génesis en el análisis y reflexión de los trabajos de

cálculo infinitesimal de Newton, Leibnitz y de sus antecesores en los que el cambio se

consideró un punto medular en aras de responder a diferentes necesidades de la época, de

brindar solución a problemas de movimiento que relacionaban aritmética, geometría y

mecánica, entre otras áreas (Mendoza, 2013).


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Las tendencias actuales en Educación Matemática adjudican importancia y dedican especial

atención a la perspectiva histórica-epistemológica (Anacona, 2003; Godino, 2003) como un

medio de comprensión de los distintos procesos que gestaron el nacimiento y desarrollo de

diferentes nociones y objetos matemáticos, ya que la matemática es una producción humana

situada en una época y contexto determinados, además influida por las culturas. Algunas

obras que se refieren al desarrollo histórico-epistemológico del cálculo (Bagni, 2005)

exponen que hubo mezcla de ideas estáticas y dinámicas para conceptualizar algunos objetos

matemáticos. En la primera etapa del desarrollo del cálculo, la idea de límite aparece a través

de la exhaución en un solo contexto, el geométrico; sin embargo, las ideas que utilizan tanto

Newton como Leibnitz, germinaron a partir de fenómenos en contextos físicos, geométricos

y, en alguna medida algebraicos, siendo las ideas dinámicas las verdaderas gestoras de los

trabajos de los padres del cálculo. En este sentido la variación y el cambio han sido aspectos

explicativos.

Pensamiento Variacional. El pensamiento variacional es concebido como una forma

dinámica de pensar que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables

internas de tal manera que cavarían en forma semejante a los patrones de covariación de

cantidades de la misma o distintas magnitudes en los subprocesos recortados de la realidad

(Vasco, 2003, p.6). Para Vasco (2006) el objetivo fundamental del pensamiento variacional

es la modelación matemática de procesos cotidianos y significativos a los estudiantes, donde

puedan poner en escena, modelos que relacionen covariación de magnitudes. Vasco distingue

dos momentos: el primero en el que se determina lo que varía, lo que permanece constante,

se identifican patrones de regularidad de los procesos y, un segundo momento que requiere

acciones cognitivas para la producción de sistemas mentales para reproducir covariaciones

entre magnitudes.

Para este autor, la cognición de cada sujeto ayuda a crear sistemas mentales, que a su vez

ejecuta, revisa, refina y, de ser necesario descarta. En esta última acción, se inicia un nuevo

proceso de génesis de modelos. Desde esta mirada, los modelos mentales se afinan, y se

convierten en representaciones mentales (Duval, 1999) los cuales son exteriorizados

mediante representaciones semióticas que pueden ser palabras, dibujos, letras, números.

Pensar variacionalmente desde este enfoque es desarrollar capacidades que permitan utilizar

diferentes representaciones, interpretarlas y analizar dinámicamente lo que sucede en la otra


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representación si se modifica una condición particular. Se trata de un proceso mental activo

en el que se generan secuencias de imágenes mentales (no ostensivas) que se van refinando

hasta que la comprensión de la situación, vía procesos de visualización, conduce a un modelo

mental de la situación planteada, la cual es objetivada por representaciones que dan cuenta

de la covariación de las variables involucradas, manifestada en algún tipo de soporte material

(registro ostensivo).

A este mismo respecto, Carlson et al., (2002), emplean otra terminología y se refieren a

razonamiento covariacional, definiendo éste como una actividad cognitiva que considera la

coordinación del cambio conjunto entre dos variables, cuantificando lo que sucede en una

variable, si la otra cambia. En este sentido, proponen: a) coordinación de los valores de las

variables, cuando hay cambio en una y en otra, b) coordinación de la dirección del cambio,

c) coordinación.

Otra componente teórica considerada en este trabajo es la visualización matemática puesto

que es el puente requerido para conectar lo ostensivo o perceptible con lo no ostensivo

(imágenes mentales). De acuerdo con Torregrosa y Quesada, (Torregrosa y Quesada, 2007),

la definición y caracterización de los procesos de visualización y razonamiento, es un avance

en la línea de conocimiento del fenómeno cognitivo, ya que separa la acción cognitiva

(proceso), de las distintas representaciones e imágenes mentales. Según Arcavi (1999), la

visualización no está solamente relacionada con la ilustración, sino también es reconocida

como una componente clave del razonamiento (profundamente unida a lo conceptual y no

meramente a lo perceptivo), en la resolución de problemas e incluso en los procesos de

demostración. Por esta razón, concordamos con Torregrosa y Quesada (2007) que afirman:

“vemos a los procesos de visualización y de razonamiento, junto con su coordinación, como

elementos esenciales de un modelo conceptual de la actividad de los alumnos. Se considera

a la visualización, en concordancia con (Arcavi, 2003), como una primera instancia de

comprensión de diferentes situaciones vinculadas con la variación, como un medio de

desarrollo y potenciación de habilidades visuales y de otros sentidos. Desde esta óptica la

visualización es un requisito indispensable para desarrollar pensamiento variacional puesto

que es el canal receptor de lo visual y lo cognitivo.

Objetivos. La investigación se orientó a caracterizar y categorizar las prácticas de los

estudiantes en distintas situaciones, desde una perspectiva de pensamiento variacional, y


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analizar desde un primer nivel de análisis didáctico del Enfoque Ontosemiótico, las prácticas

emergentes surgidas en las situaciones planteadas.

Metodología. Este artículo tiene su soporte en una investigación realizada la cual se enmarca

en un enfoque cualitativo de corte interpretativo pues busca conocer el núcleo de las

significaciones que grupos de estudiantes manifiestan en las respectivas sesiones de estudio

propias del curso en el cual se realiza la investigación. Es cualitativo por la naturaleza de sus

datos. Fue desarrollada en el marco de un curso de Cálculo Inicial y participaron 40

estudiantes de de primer año de ingeniería civil informática de la Universidad Católica del

Maule, durante el primer semestre de 2013. Las actividades, objeto de análisis de la

investigación se organizaron de modo que pudieran ser observadas y analizadas por el

equipo. Los estudiantes se constituyeron en grupos de estudio por afinidad lo que significó

que no todos los grupos tenían el mismo número de alumnos, variando de 4-7 estudiantes. El

método utilizado en la investigación consistió en la aplicación del Enfoque Ontosemiótico

del Conocimiento y la Instrucción Matemática (Godino et al., 2007), al análisis de las

configuraciones cognitivas que sintetizan las producciones de los estudiantes, en las diversas

actividades e instrumentos de control aplicados por el profesor en el desarrollo del curso.

Estas actividades e instrumentos de control analizados en la investigación fueron: a) Prueba

de diagnóstico, b) Talleres, y c) Sesiones –estudio.

Análisis didáctico desde un primer nivel propuesto por Enfoque Ontosemiótico

En este enfoque se plantean diferentes categorías de análisis para comprender de manera

sistémica el desarrollo de una tarea, una actividad didáctica en fase de diseño o en ejecución.

Un primer nivel de análisis didáctico que es de interés en este trabajo atiende al

reconocimiento de un sistema de prácticas. Desde el EOS una práctica matemática, es una

actuación o una manifestación (lingüística o no) con la intencionalidad de resolver algún

problema intra o extra matemático. En esta práctica matemática intervienen objetos tangibles

(ostensivos) y otros no tangibles (no ostensivos). Los primeros compuestos por el uso del

lenguaje, símbolos, gráficos u otros, y los segundos referidos a la utilización de conceptos,

propiedades, proposiciones, entre otros. El primer nivel de análisis didáctico del EOS

propone como elementos primarios en los sistemas de prácticas (Godino et al., 2007): a)

Lenguaje (términos utilizados, expresiones, notaciones, gráficos en sus diversos registros de

representación), b) Situaciones/problemas (descripción de la naturaleza del problema, tarea,


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ejercicio y si la situación hace referencia a un problema intra o extra matemático, y si este

atiende a una situación realista o fantasista), c) Conceptos/Definiciones ( Empleo o

acercamiento a base teórica mediante el uso de definiciones, axiomas, teoremas, propiedades,

etc.), d) Procedimientos (empleo de algoritmos, operaciones, técnicas, etc.), e) Argumentos

(Sustento teórico explicitado para validar o explicar proposiciones y procedimientos). En la

figura 1, obtenida de Font y Godino (Font y Godino, 2006) ilustra el primer nivel de EOS.

.

Fig.1 Configuración de objetos primarios del primer nivel didáctico de EOS

Actividades desarrolladas durante la investigación. Por cuestión de espacio presentamos

una de las actividades desarrolladas durante la investigación, la cual se ha mencionado

anteriormente fue analizada desde el Enfoque Ontosemiótico. La actividad formó parte la

prueba diagnóstica aplicada (ver anexo 1). La consigna solicitó que reflexionaran respecto a

la evolución de la población propuesta mediante un modelo algebraico 𝐸(𝑡) = 5 + 3−𝑡.

Etapa 1: Se responde a las preguntas básicas. Se responde a las preguntas ¿Qué problemas

y prácticas realizan los estudiantes en el proceso de instrucción analizado? ¿Cómo se

secuencian o se relacionan? Se proporciona un modelo algebraico de una función

exponencial que vincula la evolución de una especie con el tiempo. La tarea está planteada

de modo general, pues se trata de analizar si en el desarrollo de la misma, los estudiantes

manifiestan alguna forma de pensamiento variacional sin que esta sea inducida en el

enunciado de la tarea. El enunciado de la actividad debería conllevar a los estudiantes a

preguntarse acerca de la posibilidad de la evolución de una especie en el tiempo. ¿Es posible

que ocurra? ¿Cómo es que ocurre? y, si ocurre la evolución de la especie ¿Presenta esta

evolución fronteras?

En este punto, los estudiantes pueden visualizar que se trata de una función exponencial que

está asociada a la evolución de la especie, y, en este sentido, detecten la presencia de


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variables, busquen y establezcan dependencias entre las mismas. Las respuestas a la cuestión

planteada requieren la explicación del proceso de evolución en la medida que el tiempo se

modifica. Es posible que los estudiantes logren establecer en términos de covariaciones entre

las variables o en términos descriptivos de la evolución de la especie.

Etapa 2: Producciones de algunos estudiantes cuyas respuestas son representativas del

grupo total

E18: “Podemos decir que la fórmula tiende a 5 puesto que si “𝑡” va en aumento, y el mismo

es negativo, su valor será cada vez más pequeño y se acercará a 5. Entonces podemos decir

que la evolución es de 6 a 5”. E14: “Al ir aumentando el tiempo (' 𝑡 ') el resultado va

disminuyendo por lo tanto la especie va disminuyendo”.

E2: “La evolución de la especie va decreciendo, puesto que, a mayor tiempo, su variable 3−𝑡

será menor”. E3: “Primero reemplazo ‘𝑡’ por un valor cualquiera y luego resuelvo la ecuación

para determinar la evolución de la población, es decir, si tomamos ‘𝑡’ como la variable

tiempo, quiere decir que la población de cierta especie evoluciona en el tiempo dependiendo

del tiempo”. E9: “La población va aumentar cada cierto tiempo, ya que al estar elevado a un

número negativo provocaría que fuese fracción y las poblaciones no pueden aumentar en

decimal, tiene que ser en números enteros”. E29: “La población siempre irá creciendo, pero

no de manera constante (comprobando con el cambio de variable 't' al conjunto con los

valores 1, 2, 3, 4”.

Etapa 3: Lenguaje usado por los estudiantes en el desarrollo de la actividad

¿Qué lenguaje específico utilizan los estudiantes?

Lenguaje previo (Términos y expresiones usadas para referirse a los conceptos, propiedades

y procedimientos intervinientes): Población, tiempo, fórmula, evolución, especie, modelo.

Lenguaje emergente (Términos y expresiones usadas para referir a los conceptos,

propiedades que surgen durante el desarrollo de la práctica): Tiende a, función, tabla de

valores, variables, disminuyendo, menor, decrece exponencialmente, valores positivos,

aumenta, tiempo, negativo, pequeño, gráfica, representa, decreciente, menos intensidad,

mayor magnitud, tiene origen, base de cinco, grandes cantidades, unidad de tiempo, límite

inferior, pasos agigantados, constante, decimales, exponente, velocidad, aumentando

considerablemente, bajar, 0, 1, 2, 3, 4,5, fracción, 3−𝑡.


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Etapa 4: Situaciones problema emergentes

De acuerdo a los desarrollos presentados por los estudiantes, encontramos que la mayoría de

ellos atendió las consignas planteadas en la situación, sin embargo, dos estudiantes

propusieron un nuevo problema a partir de la situación inicial.

Ambos consideraron la posibilidad de la evolución de la especie en tiempos negativos,

sosteniendo que en ese caso la evolución seria considerable o crecería a pasos agigantados.

Etapa 5a: Afirmaciones que realizan los estudiantes en el desarrollo de la actividad

"Podemos decir que la fórmula tiende a 5… Entonces podemos decir que la evolución es de

6 a 5", "La evolución de la especie va decreciendo", "Quiere decir que la población de cierta

especie evoluciona en el tiempo, la población va aumentar cada cierto tiempo", "La población

siempre irá decreciendo, pero no de manera constante", "Se dice que ocurre una evolución

en la población... La evolución de 𝐸(𝑡), no solo se va acercando a 5". "Como la función de

evolución “𝐸(𝑡)” usa el valor de “𝑡” como exponente de un número… pero si “𝑡” se usa

negativamente".

Etapa 5b: Argumentos que realizan los estudiantes en el desarrollo de la actividad.

(…) puesto que si 𝑡 va en aumento y el mismo es negativo su valor será cada vez más pequeño

y se acercará a 5, (…) por lo tanto la especie va disminuyendo, (…) a medida que el tiempo

avanza, (…) podemos decir que mientras mayor será el número ' 𝑡 ' menor será la velocidad

y capacidad… entonces la velocidad y capacidad de evolución crecerían enormemente, (…)

esto decrece en función del tiempo, (…) cabe agregar que entre aumente el tiempo seguirá

siendo 5…con una gran cantidad de decimales.

Etapa 6: Concepciones de los estudiantes y los procedimientos que usan

Previas: En relación a los objetos matemáticos involucrados ( función y elementos,

clasificación, gráfica, entre otros) los estudiantes tienen las concepciones clásicas y una

buena comprensión de ellos, de hecho esto les permite abordar la actividad sin tener

dificultades relacionadas con conocimientos previos.

Emergentes: La situación-problema propuesta se plantea mediante un modelo algebraico

que requiere restringir la variable a valores no negativos por la naturaleza de la situación

propuesta que obedece a un crecimiento de una población durante un lapso de tiempo. Dos


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estudiantes del grupo de estudio, tienen concepciones confusas asociadas al dominio de la

función a pesar de realizar cálculos aritméticos coherentes.

La mayoría de los estudiantes usa diferentes representaciones (tabular, gráfica, argumentos

escritos) para expresar la evolución de la población y caracterizar el comportamiento de la

misma en diferentes tiempos. Muestran un buen dominio del álgebra involucrada en los

cálculos, sin embargo, salvo en pocos casos, hacen interpretaciones erradas de las relaciones

entre las variables involucradas, logrando conclusiones que no interpretan adecuadamente el

proceso. Asociado al concepto de función reconocen variables, pero en la interpretación de

la función como modelo, muestran no considerar su variación dentro de un proceso dinámico,

quedándose únicamente con la relación biunívoca estática pre imagen-imagen.

Procedimientos. La mayoría de los estudiantes realizan el cálculo de la evolución de la

especie, asignándole valores a la variable ' 𝑡 ', incluso algunos le asignan valores negativos a

la variable ' 𝑡 ' y presentan los datos en una tabla de valores. En otros casos, algunos

estudiantes utilizan una gráfica como un medio de visualización, y otros el argumento escrito

como procedimiento válido.

Conclusiones. Los estudiantes usan un lenguaje que involucra conceptos tales como

variable, función, crecimiento, decrecimiento y otros términos que indican la emergencia de

un pensamiento pre variacional, toda vez que las definiciones que manejan, son correctas.

Las formas de argumentación de sus afirmaciones son más bien visuales, tabulares y están

en un nivel básico y contienen ciertos elementos dinámicos, sin embargo entrando en una

etapa de argumentación formal. En particular, los estudiantes no destacan en sus

producciones la existencia de covariaciones, más bien los procesos, como los describen, son

una secuencia discreta de estados que no se relacionan entre sí significativamente. Sin

embargo el uso del lenguaje y las correctas concepciones de los elementos previos que

demuestran tener, sería una base importante para estimular el desarrollo del pensamiento

variacional de manera formal.

Referencias Bibliográficas

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46.

Arcavi, A. (1999). ... Y en matemáticas, los que instruimos ¿qué construimos? Números, (38), 39-56.


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Carlson, M., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S., & Hsu, E. (2002). Applying covariational reasoning while

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Godino, J. (2003). Perspectiva de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica. Documento

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Godino, J. D., Batanero, C., & Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in mathematics

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Mendoza, M. (2013) Significando el Paso al Límite en Estudiantes que Inician Cálculo. Tesis de Maestría

no publicada. Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán, Honduras.

Torregrosa, G., & Quesada, H. (2007). Coordinación de procesos cognitivos en geometría. Revista

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Vasco, C. E. (2003). El pensamiento variacional y la modelación matemática.

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9).

Vasco, C. E. (2006). Didáctica de las matemáticas: artículos selectos. U. Pedagógica Nacional.

ANEXO 1

PRUEBA DE DIAGNÓSTICO

Estimados estudiantes, la presente prueba es parte de un proyecto de investigación

cuyos resultados serán parte del cuerpo de la Tesis de Doctorado en Educación

Matemática, que está realizando el Profesor Mg. Marvin R. Mendoza Valencia,

estudiante del programa de post grado en la especialidad, en la Universidad de Los

Lagos, sede Santiago de Chile, bajo la tutoría del Profesor Dr. Carlos Cabezas M.


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Le agradecemos resolver los problemas planteados, con el máximo de acuciosidad

y poniendo en juego, si es posible, diferentes estrategias dentro del marco de sus

conocimientos y originalidades.

Por favor, lea las siguientes solicitudes especiales:

Realice todos los cálculos que estime necesarios. Deje plasmado en la hoja de respuestas todo lo que realice. No borre lo realizado,

aunque le parezca incorrecto. Si considera que algo es erróneo y no debe ser considerado en la revisión, sólo

enmárquelo y advierta que lo es.

Garantizamos la confidencialidad de la prueba y el uso de la misma para el

propósito que la investigación persigue.

SU APORTE SERÁ MUY VALIOSO Y AGRADECEMOS DE MANERA

MUY ESPECIAL SU PARTICIPACIÓN Problema 1 La figura que se muestra a continuación, está construida mediante una

sucesión de hexágonos regulares construidos, cada uno, en el interior del precedente

tomando como vértices los puntos medios de sus lados.

a. Haga todos los comentarios que considere pertinentes si el proceso de construcción de la figura continúa indefinidamente.

b. Agregue otros comentarios que estime pertinentes, si supone que el lado del primer hexágono de la figura mide 1 metro.

Figura 1


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Problema 2 La población de cierta especie evoluciona en el tiempo de acuerdo al

modelo representado por la fórmula:

𝑓(𝑡) = 5 + 3−𝑡

Haga un análisis de la evolución de la población

. Problema 3. Se presenta un modelo matemático que corresponde a una función

racional, expresada en un registro algebraico, 𝐴(𝑡) =6𝑡

𝑡+9 litros por hora, la cual está

asociado a cierto estanque que tiene capacidad para contener 6000 litros de agua, e

inicialmente el estanque está vacío y se vierte agua en él a razón 𝐴(𝑡). La tarea para

los estudiantes consiste en determinar:

a) ¿Cuánto tiempo deberá esperar para que el agua vertida supere los 5.000 litros?

b) ¿Cuándo llegará a llenarse el estanque?

Problema 4 Relacione cada una de las siguientes gráficas con el texto que mejor

describe la información proporcionada por ésta. Si alguna de las situaciones

planteadas no se refleja en alguna de las gráficas que se le presentan, haga una

gráfica que a su criterio represente la situación. Además, explique la razón del por

qué considera cada caso.

Figura 2

a) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es

administrada por medio de una inyección.

b) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es

administrada por medio de píldoras cada cierto tiempo.

c) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es

administrada por medio de una mezcla del medicamento con suero y vía

intravenosa.


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Problema 5 Se presentan 7 frascos y 6 gráficas. Asocie una gráfica con cada frasco

y explique el criterio utilizado para ello.

Si considera que, de acuerdo al criterio utilizado, alguna (s) de las gráficas no puede

(n) asociarse a frasco alguno, o vice versa, puede diseñar un frasco o proponer una

gráfica para completar las asociaciones. En estos casos, escriba las justificaciones

pertinentes.

Figura 3

Figura 4

Figura 5 Problema 6 Bosqueje una gráfica que represente cada una de las siguientes

situaciones:

a) La altura de los rebotes de una pelota que cae desde la azotea de una casa con

respecto al tiempo.

b) La altura con respecto al tiempo de izar manualmente una bandera en una asta.


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Problema 7 Seleccione el texto que mejor describe la siguiente gráfica. Presente

argumentos para justificar su selección o rechazo de cada texto.

Figura 6

a) Ricardo salió a caminar cerca de una pendiente y le tomó menos tiempo

bajar por el lado más bajo que por el más alto.

b) Maribel manejaba su coche a cierta velocidad, un policía le dijo que se

detuviera y después de recibir una infracción y de que el policía se

retiró, ella manejó más rápido, llegó a una velocidad mayor a la que

venía circulando y mantuvo esa velocidad durante cierto tiempo para

recuperar el tiempo perdido por la infracción.

c) En un tanque había cierta cantidad de agua que quedó de la noche

anterior. Pedro se empezó a bañar e hizo que la velocidad del flujo de

salida de agua se redujera a cero. Tiempo después llegó el agua al

tanque hasta que quedó lleno.

d) Beatriz vive en una casa con desniveles. Se encuentra sentada en la

cocina de su casa durante cierto tiempo. Sube las escaleras hacia la sala

de su casa y se queda viendo la televisión durante algún tiempo,

finalmente sube las escaleras hacia su recámara y se queda dormida.


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CB-1.376

FERIA DE LA CIENCIA EN LA CALLE DE JEREZ: UNA EXCUSA PARA

CAMBIAR LA METODOLOGÍA EN EL AULA

Mª Carmen Yélamo Blanco – Mª Magdalena Yélamo Blanco


Centro del Profesorado de Jerez - España



Modalidad: CB

Nivel educativo: Secundario

Palabras clave: Feria; ciencia; metodologías investigativas; formación

Resumen

Las ferias de las ciencias se presentan como una potente herramienta, no sólo para acercar

la ciencia a la sociedad, sino para promover un cambio metodológico en las aulas que deje

atrás una enseñanza basada fundamentalmente en la memorización y dé paso a otras

metodologías más activas donde el alumno/a sea el principal protagonista de su aprendizaje

como pueden ser, el aprendizaje basado en proyectos o la investigación científica

propiamente dicha en el aula. La Feria de la Ciencia en la Calle de Jerez, organizada por

el Centro del Profesorado de Jerez, pone especial énfasis en la formación del profesorado

como forma de mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje en el aula y, por ende, la

calidad de los trabajos presentados en el evento. En torno al evento se ha creado una red de

profesorado que a través de reuniones presenciales y de una plataforma Moodle

intercambian experiencias durante todo el curso. Por otra parte, la feria en sí es un

estupendo escaparate de buenas prácticas para todo el profesorado participante y visitante.

Ademá, se describen en este trabajo algunas de las formaciones celebradas y dirigidas

específicamente al profesorado participante en la Feria de la Ciencia en la Calle de Jerez.




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La Feria de la Ciencia en la Calle de Jerez es un evento de carácter cultural y educativo

que, anualmente, pretende comunicar a la ciudadanía la ciencia que se realiza en los centros

educativos, centros de investigación y empresas a través de sus actores principales

(alumnado, profesorado e investigadores), a la vez que fomentar las relaciones entre los

sectores implicados.

Durante los 3 días que dura este evento, en horario de mañana y tarde, las distintas entidades

participantes acercan, de una manera sencilla y atractiva, la ciencia a la ciudadanía, a través

de distintos expositores, en la plaza más céntrica de Jerez de la Frontera.

Complementariamente, en una carpa colocada en el mismo recinto ferial de la plaza, se

desarrolla un programa de actividades, dirigido a todos los públicos, con talleres, charlas

divulgativas, comunicaciones del alumnado, representaciones teatrales, espectáculos de

ciencia recreativa, etc.

http://feriadelaciencia.cepjerez.es/



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La V Feria de la Ciencia en la Calle de Jerez se celebró en el pasado mes de mayo, con más

de 3000 escolares divulgadores y 30000 visitas.

Se sugieren ver los vídeos https://www.youtube.com/watch?v=hWXj23YLMSE o

https://www.youtube.com/watch?v=PVvgxNKFqrM.

La Feria busca, por una parte, promover en el aula metodologías investigativas de

aprendizaje que favorezcan la adquisición de las competencias clave en el alumnado, a la

vez que:

Acercar la ciencia a las personas, destacando su importancia en la vida cotidiana

Estimular el interés y la curiosidad por las ciencias

Promover la formación del profesorado

Favorecer la vocación científica en el alumnado desde las primeras etapas

Fomentar actitudes innovadoras y de participación para crear una cultura científica,

de utilidad para el desarrollo del municipio

Acercar la ciencia a las personas

La ciencia y la tecnología avanzan imparables, han sido consideradas las protagonistas del

desarrollo social del pasado siglo y van camino de seguir siéndolo también del actual. Afectan

a la ciudadanía no sólo por la repercusión que sus resultados inmediatos puedan tener en

nuestras vidas, sino también por las consecuencias económicas, sociales, políticas,

ambientales, éticas y estéticas pudieran tener. Hoy más que nunca es necesario fomentar y

difundir la alfabetización científica en todos los sectores de la sociedad a fin de mejorar la

participación de los ciudadanos en la adopción de decisiones relativas a las aplicaciones de

los nuevos conocimientos y de fomentar un espíritu crítico ante los mensajes informativos y

publicitarios que nos llegan. Si conocemos el por qué de las cosas, si sabemos un poco más

de la ciencia que hay tras ellas, las aprendemos mejor y actuaremos en consecuencia de mejor

manera en relación a ellas y a temas tan importantes como son la salud, individual y colectiva,

el cuidado del medioambiente, etc.

Las dos acciones principales del evento, que son, por una parte, la muestra de ciencia, a través

de expositores, por parte de centros educativos, centros de investigación y empresas y, por

otra, el programa de actividades paralelas, tienen por objeto acercar la ciencia a las personas

https://www.youtube.com/watch?v=hWXj23YLMSE

https://www.youtube.com/watch?v=PVvgxNKFqrM


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para que la perciban como algo propio, destacando su importancia en la vida cotidiana. Para

ello, se dan a los participantes orientaciones en cuanto a la necesaria brevedad en las

explicaciones, la importante interactividad de las experiencias con el visitante y el carácter

motivador de las mismas, la conexión de las actividades con la vida cotidiana, la elaboración

de folletos a disposición del visitante con profundización sobre el proyecto, etc. Por otra

parte, dentro del programa paralelo, se organizan actividades para todos los públicos,

teniendo presentes no sólo el formato y el contenido, sino también el horario más adecuado.

Estas actividades van desde representaciones teatrales, espectáculos de ciencia recreativa y

talleres destinados al público infantil y juvenil hasta charlas divulgativas cuya temática puede

ser de interés para distintos sectores de la población adulta.

Estimular el interés y la curiosidad por las ciencias

La carencia de un elemento vital, la necesidad, la curiosidad y la voluntad son a menudo las

responsables del progreso, estimulan la creatividad y conducen a la búsqueda de soluciones

a los problemas. Conseguir estimular a los estudiantes para que tengan una actitud positiva y

receptiva ante una materia es un factor importante en el proceso educativo. La implicación

activa de los estudiantes, quienes han de aprender previamente lo que luego explican ante el

público (los conceptos, teorías, técnicas, etc. subyacentes) hace que el evento tenga un alto

poder en la enseñanza. El mayor valor de una feria de ciencias es el reconocimiento y el

aliento que brinda a los estudiantes que participan, además de ofrecer una amplia gama de

intercambio de ideas para los alumnos y maestros. Todas las ferias de ciencias son foros

donde las ideas y técnicas presentadas por los participantes pueden ser adquiridas y

desarrolladas por otros.

Las ferias de la ciencia constituyen uno de los puntos fuertes de la educación porque se logra

que estudiantes y docentes trabajen

mancomunadamente tras un proyecto

determinado, lo cual implica un gran

aprendizaje. Sin duda, la feria contribuye a

mejorar las actitudes del alumnado e

incluso del profesorado en el proceso

enseñanza-aprendizaje.


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Fomentar la investigación científica y otras metodologías activas en los centros

educativos

Las directrices de la Unión Europea (Competencias clave para el aprendizaje permanente: un

marco de referencia europeo, 2006) insisten en la necesidad de la adquisición de

competencias clave por parte de la ciudad como condición indispensable para lograr el pleno

desarrollo de los individuos -Personal, social y profesional- que responda a las exigencias de

un mundo globalizado y haga posible el vínculo entre desarrollo económico y conocimiento.

Desde entonces, las diferentes administraciones educativas europeas las han introducido en

sus planes de estudios.

Para su adquisición, por parte del alumnado y en contraste con los programas de

memorización pasivos del pasado, se necesitan metodologías más activas en las que el

alumno/a sea el protagonista de su aprendizaje. Entre ellas y en relación directa con las áreas

de STEM (Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas), se encuentran: la investigación

científica en el aula, el aprendizaje basado en la investigación (IBL) y el aprendizaje basado

en proyectos (ABP o PBL).

Los niños y niñas son grandes investigadores y utilizan una gran parte de su tiempo en

investigaciones en las que aplican todo su saber y todas las metodologías de las que disponen.

Es importante que esta forma de aprender y enseñar, es más, de vivir que es investigar no se

pierda en la adolescencia y en la secundaria. Por el contrario, hay que ser conscientes de que

estamos en la edad adecuada para que una metodología de investigación organizada y

estratégica pueda encontrar sitio en las mentes y en las actitudes del alumnado de secundaria.

El papel del profesorado debe ser ayudar a que el alumnado vaya transitando el camino para

progresar en esta tarea compleja pero también motivadora y enriquecedora.


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Investigar conlleva ser crítico y autocrítico, analizar los fenómenos naturales y sociales,

emitir hipótesis o suposiciones, proponer experimentaciones, trabajar en grupo, etc. Todos

ellos valores de alta calidad para la formación y el desenvolvimiento del ser humano.

Investigando se aprende más y mejor, se asumen mejor los conocimientos y se adquieren

en un entorno integrado y más rico. No hay que olvidar tampoco que la investigación y la

comunicación de la misma promueven en el alumnado el desarrollo de casi todas las

competencias clave: comunicación lingüística, competencia matemática y competencias

básicas en ciencia y tecnología, competencia digital, aprender a aprender, etc.

El aprendizaje basado en proyectos (ABP), por otra parte, es una pedagogía centrada en el

estudiante que implica un enfoque dinámico en el aula en el que se cree que los estudiantes

adquieren un conocimiento más profundo a través de la exploración activa de desafíos y

problemas del mundo real. Los estudiantes aprenden sobre un tema trabajando por un período

prolongado de tiempo para investigar y responder a una pregunta compleja, desafío o

problema. La importancia del ABP es que involucran directamente al alumno, lo convierten

en un actor activo, aprenden a tomar decisiones, trabajan de forma autónoma y en equipo,

utilizan las TIC, resuelven problemas y se comunican de manera efectiva.

Sin embargo, la mayoría de los estudiantes de todos los niveles de educación obligatoria

todavía no han trabajado en las metodologías anteriores. Incluso los estudiantes que trabajan

con estas metodologías, sólo lo hacen en algunos temas y con algunos profesores específicos.

El siguiente paso debería ser pasar de iniciativas individuales a proyectos de centros. Es

importante que el aprendizaje por proyectos sea el eje vertebral de la organización y el

proyecto pedagógico de las escuelas primarias y secundarias.

Las ferias de las ciencias promueven la educación STEM, la investigación en el aula y el

trabajo por proyectos interdisciplinares, metodologías idóneas para la adquisición de

competencias. Y es sin duda una excusa perfecta para despertar la curiosidad en los niños/as

sobre cosas que ocurren a su alrededor.

Promover la formación del profesorado

Los profesores y las profesoras son los que en definitiva tienen que hacer real el cambio en

la enseñanza de las ciencias y para hacerlo necesitan una formación adecuada. Y el que

participa está desde comienzo de curso inmerso en una dinámica formativa que combina

formación de expertos e intercambio de experiencias. Todo esto enfocado a incluir en el aula


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una metodología que favorezca en el alumnado el desarrollo de las competencia clave, con

la investigación. El interés por detectar las necesidades formativas de los participantes y de

facilitarles la formación necesaria con objeto de conseguir un trabajo de mayor calidad en los

centros educativos y, por ende, en el evento, es algo que hace particular a este evento,

organizado por un Centro del Profesorado, centros que persiguen apoyar la formación

permanente y el desarrollo profesional del profesorado.

Además, la feria es un escaparate de buenas prácticas para todo el profesorado visitante.

Algunas de las formaciones dirigidas al profesorado participante en la Feria de la Ciencia

celebradas han sido:

1. “Cómo enseñar a investigar en el aula”, actividad formativa que pretendía crear un

espíritu de interés hacia la investigación y enseñar al profesorado participante a orientar

eficientemente una investigación.

Los principales objetivos de esta actividad fueron:

- Utilizar la investigación como un instrumento de motivación del alumnado.

- Fomentar la participación del alumnado en congresos de jóvenes investigadores

y/o revistas científicas para jóvenes.

- Proporcionar a su alumnado instrumentos que le capaciten para realizar

autónomamente una investigación en el sentido más estricto del término.

- Utilizar instrumentos que facilitan la evaluación y el seguimiento de una

investigación.

2. “Experimentar e investigar en el aula”, actividad formativa de tres sesiones

presenciales, cuyos contenidos fueron:

- El papel del docente y la aplicación del método científico en el proceso de enseñanza-

aprendizaje.

- El método del trabajo científico: afrontar un problema, observarlo desde distintos

puntos de vista, hacerse preguntas e hipótesis y experimentar para volverse a

cuestionar.

- El trabajo por proyectos como integración de todas las áreas del saber, sobre temas

que interesen y motiven al alumnado teniendo en cuenta no sólo el producto final sino

también el proceso de investigación.

- Talleres prácticos con experiencias concretas dirigidos a distintos niveles educativos:


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o Taller 1: "Las células, los bloques de la vida: una excusa estupenda para

investigar en el aula de infantil y primaria.

o Taller 2: "Ciencia global y Ciencia a toda caña en infantil y en primaria

o Taller 3: "Taller de introducción a Scratch para primaria y secundaria.

o Taller 4: "Taller práctico de Genética Molecular e Ingeniería

o Taller 5: "Enredando con la electricidad y el magnetismo

3. “Aprendizaje basado en proyectos con introducción al aprendizaje cooperativo”,

curso con seguimiento con 20 horas presenciales y 20 horas no presenciales con los

siguientes objetivos:

- Conocer los fundamentos del Aprendizaje Basado en Proyectos (A.B.P.).

- Diseñar un proyecto en A.B.P. y aplicarlo en el aula.

- Conocer y aplicar en el aula instrumentos para la evaluación de proyectos: rúbricas,

portfolios, etc.

- Dar visibilidad a los proyectos diseñados.

- Analizar los resultados obtenidos y extraer conclusiones tras la implantación del

A.B.P. en las aulas.

- Desarrollar estrategias que favorezcan el aprendizaje cooperativo y las TIC.

Para gestionar la gran red profesional que cada año engloba a más de 300 profesores/as y 20

entidades participantes se optó por una plataforma Moodle (software libre), que está

aportando al proyecto:

Facilitar el aprendizaje entre iguales y el intercambio de experiencias. Creando espacios

de trabajo comunes en la categoría “Área de trabajo de los participantes”

Favorecer el trabajo colaborativo. Cada centro cuenta con su espacio privado donde

todos trabajan, ofreciéndoles la posibilidad de matricular también a su alumnado en la

plataforma.

Formación TIC para el profesorado.

Es un repositorio de materiales público ya que en los espacios privados de los centros

se elaboran las guías didácticas de las experiencias que llevan a la feria. Cuando están

acabadas, desde la organización son revisadas, publicadas e incluidas en un glosario,

constituyendo un buen repositorio de materiales muy útiles tanto para el profesorado que


ISBN 978-84-945722-3-4

quiere preparar previamente la visita con su alumnado como para aquel que quiere

reproducirlo en su aula, haya ido o no a la feria. Estas guías, que siguen un formato

común, se pueden encontrar no sólo dentro del espacio virtual de cada centro o entidad

participante sino en “Experiencias”. Además aparecen de forma aleatoria en la página

principal.

Permite una organización impecable de todo el evento en sí, a distintos niveles.

La dirección de la Feria es: feriadelaciencia.cepjerez.es

La Feria de la Ciencia en la Calle de Jerez ha sido financiada en su quinta edición por: la

FECYT, la Fundación Descubre, Unicaja, la Fundación Obra Social La Caixa, la Diputación

de Cádiz, las empresas Carrod, Airbus y LafargeHolcim.


Rafael García-Molina (2011). Ciencia recreativa: un recurso didáctico para enseñar

deleitando. Revista Eureka sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias 8 (Núm.

Extraordinario), 370-392.

Informe “Educación y Cultura Científica (2006). Dirección General de Ordenación y

Evaluación Educativa de la Consejería de Educación de la Junta de Andalucía.

Yrma con la Educación (2015). Consultado 23/04/2017

http://yrmaconlaeducacionblogspot.blogspot.com.es/2015_09_01_archive.html


http://yrmaconlaeducacionblogspot.blogspot.com.es/2015_09_01_archive.html


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.378

ANTECEDENTES A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL EN EL BACHILLERATO

TECNOLÓGICO

Omar Pablo Torres Vargas – Ana María Ojeda Salazar


Cinvestav, México

Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y

niveles educativos


Nivel educativo: Bachillerato

Palabras clave: Estocásticos, distribución normal, bachillerato tecnológico, enseñanza.

Resumen. Esta investigación, cualitativa, enfoca la enseñanza de variables aleatorias y sus

distribuciones, por sus prerrequisitos, en el bachillerato tecnológico. A partir de la

propuesta curricular de Heitele (1975), caracterizamos la comprensión de estudiantes de la

distribución normal y la propuesta institucional respectiva (DEMS-IPN, 2008).

Abductivamente consideramos, en retrospectiva, tres asignaturas consecutivas. En un grupo

de Probabilidad y Estadística, de sexto semestre, los estudiantes privilegiaron la

operatividad entre conjuntos sin interpretar los resultados como eventos del espacio

muestra, lo cual precedió a su dificultad para identificar los eventos correspondientes a los

valores de una variable aleatoria para describir su función de densidad de probabilidad.

Otro grupo de estudiantes, de Cálculo Integral en quinto semestre, en problemas de

relacionar una integral definida y el área bajo la curva (Orton, 1983), mostraron dificultades

con conjuntos, con el lenguaje proposicional, con identificar en una desigualdad los límites

de una integral definida y en la gráfica de esta última. Durante la enseñanza del

comportamiento de funciones a cuatro estudiantes de Cálculo Diferencial, del cuarto

semestre, se les dificultó la lectura de la simbología matemática y procedimientos

algebraicos para solucionar una inecuación. Los resultados en Cálculo explicarían

dificultades de comprensión de la función de densidad normal.

El problema de investigación. La discontinuidad del tratamiento de estocásticos en el

sistema educativo (Torres, 2013) y el énfasis en el conocimiento de cálculo (Pollatsek, Lima

y Well, 1981) de sus conceptos en el ejercicio de la propuesta educativa provocan que los

estudiantes inadviertan lo aleatorio de los fenómenos a los que se refieren. El programa de

Probabilidad y Estadística en sexto semestre (DEMS-IPN, 2008) establece como actividad

sustantiva de aprendizaje “revisar el modelo matemático de la distribución Normal, el

significado de sus parámetros, su representación gráfica y las condiciones en las que sea


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aplicable” (p. 14). Su importancia deriva de que “Una de las variables aleatorias que se

encuentran frecuentemente en la práctica es la variable aleatoria continua que tiene una

distribución normal” (Bowker y Lieberman, 1981, p. 78).

Esta investigación, parte de una más amplia, se refiere a la comprensión de estudiantes de

sexto semestre del bachillerato tecnológico de la función de distribución normal.

Abductivamente, rastreamos sus requerimientos conceptuales en los dos cursos de

matemáticas antecedentes. Más precisamente, fuimos “del resultado al caso” (Deledalle,

1990, p. 171), lo cual interpuso “una etapa suplementaria en el proceso experimental”

(Deledalle, 1990, p. 170). Presentamos los primeros resultados obtenidos con estudiantes

bachilleres que cursaban: Probabilidad y Estadística, del sexto semestre; Cálculo Integral,

del quinto semestre; y Cálculo Diferencial del cuarto semestre.

Preguntas de investigación. ¿Cuáles son las características de la comprensión de las ideas

fundamentales de estocásticos (Heitele, 1975) de estudiantes en las asignaturas Cálculo

Diferencial, Cálculo Integral y Probabilidad y Estadística del bachillerato tecnológico?

¿Cuáles son las implicaciones de la enseñanza del comportamiento de funciones, área bajo

la curva, tratamiento de datos agrupados y muestreo para la enseñanza de variables aleatorias

y sus distribuciones a los estudiantes bachilleres?

Elementos teóricos. Epistemológicamente, el triángulo propuesto por Steinbring (2005) para

la constitución del concepto matemático plantea la interrelación necesaria entre objeto, signo

y concepto. En estocásticos, la variable aleatoria implica un giro conceptual respecto a la

función de variable real, dado que el dominio de la primera es un espacio muestra, el valor

que asigna a cada evento de ese espacio es probable y su probabilidad corresponde a la del

evento; el dominio de la segunda es un conjunto que no depende del azar y se predicen con

seguridad los valores asignados. La variable estocástica es una de las diez ideas

fundamentales que Heitele (1975) ha propuesto como guía continua de un curriculum en

espiral (Bruner, 1960) para dotar al estudiante de modelos explicativos de la realidad en cada

etapa de su desarrollo. En una vía similar, la idea de variación, planteada por Burril y Biehler

(2013) como fundamental en estadística, es “la identificación y la medida de la variabilidad

para predecir, explicar y controlar, se utiliza para describir el efecto global del cambio”

(Burril y Biehler, 2013, p. 9). Wild y Pfannkuch (1999) distinguieron tres mensajes

principales de la variación como un elemento central de las definiciones publicadas del


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pensamiento estadístico, surgidas en el área de control de calidad: “La variación es

omnipresente; la variación puede tener serias consecuencias prácticas; y las estadísticas son

un medio para entender un mundo de variaciones” (p. 235). Además, la distribución es como

“los lentes por los cuales observamos la variación” (Wild, 2006, p. 11), en el mundo real y

en los datos.

Pollatsek et al. (1981) distinguieron tres tipos de conocimiento en la comprensión de un

concepto ―el de cálculo, el funcional y el analógico― y la necesidad de introducir los tres

en la enseñanza. Por su parte, Hogarth (2002) ha señalado la interacción entre los sistemas

tácito (operaciones automáticas) y deliberado (operaciones controladas) del individuo para

estimular su memoria de trabajo. Formalmente, una variable estocástica es una función, a

menudo denotada por 𝑋 y, por 𝑥 (aquí consideramos sólo 𝑥 𝜖 ), los valores que asigna a

los eventos E de un espacio muestra (𝑋(𝐸), 𝐸 ⊆ ). Por tanto, la probabilidad de que la

variable 𝑋 asuma un determinado valor (o valores) es la del evento respectivo,

correspondiente a la inversa de la variable, o 𝑋−1(𝑥) (o del conjunto de valores de que se

trate). En la enseñanza en el bachillerato, esta última notación con frecuencia se omite y se

presentan las expresiones analíticas de las variables aleatorias o sus gráficas respectivas. Así,

la enseñanza de la distribución normal frecuentemente se basa en la gráfica de su función de

densidad, pues su expresión analítica no es sencilla. Cuando se le presenta mediante su

expresión analítica, Bowker y Lieberman (1981) especifican que “esta función de densidad

no puede integrarse directamente. Sin embargo, la probabilidad de que 𝑋 sea menor o igual

a 𝑏 puede representarse por el área sombreada” (p. 79) que subtiende la curva de la función

en el intervalo (−∞, 𝑏).

Método. Con carácter cualitativo (Borovcnik, 2014) e interpretativo (Wittrock, 1986), la

realidad de la organización local de la enseñanza y del aprendizaje en el aula (IREM, 1997)

se observa como proceso contextualizado en el medio educativo; la observación participante

se enfoca en la “descripción de la realidad, además, el profesor debe ayudar a los estudiantes,

por etapas sucesivas, a que sustraigan de ella poco a poco para construir progresivamente un

modelo matemático” (p. 57). Mediante la célula de análisis (Ojeda, 2006) caracterizamos el

desempeño de estudiantes del bachillerato tecnológico, durante su estudio de la función de

densidad normal planteada como variable aleatoria y sólo como función. En los dos casos se


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estudió la comprensión de la variación (Burril y Biehler, 2013; Wild y Pfannkuch, 1999), es

decir, tanto desde el punto de vista probabilístico como determinista. Aplicamos el triángulo

epistemológico en el análisis de la interacción en el aula (Steinbring; 2005). La Figura 1

resume el procedimiento seguido e indica el tipo de instrumentos aplicados para recolectar

datos.

Del curso Probabilidad y Estadística, los datos de seis sesiones de enseñanza impartidas por

el profesor titular y de dos sesiones de enseñanza impartidas por este investigador se

recopilaron a partir de un guión de observación en bitácora y de la aplicación en 50 minutos

de un cuestionario con cinco problemas de probabilidad y estadística (PE). De la observación

de cuatro sesiones de enseñanza impartidas por el profesor titular a 44 estudiantes del quinto

semestre en Cálculo Integral, con registro en bitácora, se identificaron sus dificultades para

tratar conjuntos y el lenguaje proposicional, para reconocer una desigualdad como los límites

de una integral definida y en la presentación gráfica de ésta. Los resultados se consideraron

para diseñar una estrategia de enseñanza, en seis sesiones en condiciones institucionales, del

comportamiento de funciones en Cálculo Diferencial, impartida por este investigador, a

cuatro estudiantes del cuarto semestre y uno del sexto semestre; se trató el tema de conjuntos

solución de desigualdades, la actividad “Estaturas de los estudiantes del grupo”, y el

cuestionario (CF) “Comportamiento de funciones” con 24 preguntas abiertas, contestado en

97 min.


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Figura 1. Procedimiento de recolección de datos. Primera etapa de la investigación.

Resultados. Los resultados generales para la formación en estocásticos indican la necesidad

de implementar estrategias de enseñanza que pongan de relieve la naturaleza aleatoria de los

fenómenos en estudio.

Probabilidad y Estadística. Aunque el álgebra de conjuntos es una fuerte estructura

simbólica para definir y tratar espacios muestra, al privilegiar en la enseñanza el

conocimiento de cálculo (Pollatsek et al., 1981) de conjuntos sin interpretarlos como eventos

del espacio muestra en cuestión, con sus cardinalidades respectivas, las ideas de estocásticos

resultaron poco significativas para los estudiantes. Así, para el reactivo del cuestionario PE

caracterizado en la Tabla 1, el diagrama de Venn en la respuesta de un estudiante (véase la

Figura 2) no corresponde a la situación de referencia planteada.

Tabla 1. Caracterización del tercer reactivo del cuestionario PE según los criterios de análisis

(Ojeda, 2006). Situación Ideas

fundamentales de

estocásticos

Otros

conceptos

matemáticos

Recursos

semióticos

Términos empleados

Propuesta institucional 2008

Aula de 5to semestre.

Observación de enseñanza

de integral definida y área

bajo la curva (154 minutos)



de derivación de funciones

(155 minutos)

Cálculo Diferencial

Cálculo Integral

Probabilidad y Estadística



de tratamiento de datos

agrupados y muestreo (438

minutos)

Selección de casos para

estudio Cuestionario (PE) de

Probabilidad y Estadística

(50 minutos) Estrategia de enseñanza (620 minutos):

Actividad “Estaturas de los estudiantes del grupo”;

Cuestionario (CF) “Comportamiento de funciones”

Guiones de entrevista.

Entrevistas semiestructuradas

Resultados


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A partir de los datos

de lectura de 50

estudiantes en tres

idiomas, encontrar la

probabilidad de que

uno de ellos tomado

al azar lea al menos

uno de los idiomas.

Medida de

probabilidad, espacio

muestra, adición de

probabilidades,

combinatoria

(técnica de conteo),

variable estocástica.

Álgebra de

conjuntos,

operaciones

aritméticas.

Signos

numéricos,

lengua

natural

escrita.

Probabilidad, 50

estudiantes; 30 francés,

20 alemán, 5 náhuatl, 2

francés y náhuatl, 3

alemán y náhuatl, 2

alemán y francés, uno

los tres idiomas; cuando

menos un idioma, un

estudiante.

Las tres mayores cardinalidades propuestas en el enunciado activaron sólo una relación

aditiva entre ellas (sistema tácito; Hogarth, 2002); por las cardinalidades totales, el estudiante

interpretó el enunciado como una partición del conjunto universo en cuatro subconjuntos, en

lugar de la planteada en ocho subconjuntos no vacíos mediante las cardinalidades dadas. Su

diagrama correspondería a la proposición “si se lee náhuatl, se lee francés y alemán”. Su

asignación incorrecta de cardinalidades lo llevó a responder que la probabilidad pedida

correspondía al evento seguro. La Figura 2 sintetiza la interrelación incompleta entre objeto,

signo y concepto para este caso.

Figura

2. Triángulo epistemológico (Steinbring, 2005) para “Espacio muestra”.

Plantear en el enunciado del problema otras cardinalidades para las que no se evocara una

relación tan inmediata activaría el sistema deliberado (Hogarth, 2002), por lo tanto, se

fomentaría que el estudiante expresara a cada subconjunto mediante una proposición. “Como

modelo explicativo, el concepto de variable estocástica juega un papel respecto a tres puntos:

la distribución de una variable, su esperanza y la composición de variables estocásticas para

obtener otras nuevas” (Heitele, 1975, p. 200). Este concepto es fundamental para dar sentido

a fenómenos naturales, así que nuestros resultados anticipan dificultades de los estudiantes

para identificar los eventos correspondientes a los valores de una variable aleatoria, como la

distribución normal, que “juega una parte fundamental en la explicación del mundo que nos

rodea” (Heitele, 1975, p. 200).

Situación de referencia:

Que un estudiante de un

grupo de 50, elegido al azar,

lea cuando menos uno de tres

idiomas.

Signo:

Concepto:

Evento del espacio muestra.


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Cálculo Integral. Al plantear ejemplos con funciones acotadas en intervalos definidos, la

identificación en una desigualdad de los límites de una integral definida se dificultó al

suponer que el límite inferior siempre sería el origen, como ocurrió con la estudiante Eci en

una sesión (Tabla 2; “OC” denota otros conceptos, “TE” los términos empleados):

Tabla 2. Episodio analizado de la intervención de Eci en una sesión de Cálculo Integral. Intervención Observaciones

Eci ¿Siempre se pone del

origen al punto más

lejano la integral?

Antecedentes a F1 y F8.

OC: Intervalo, valores extremos, integral definida, variable real,

origen, sistema cartesiano, distancia entre dos puntos.

TE: Del, al; origen, punto más lejano.

Cálculo Diferencial. El tema de desigualdades es un requerimiento para la comprensión de

los conceptos tanto del Cálculo (números reales, intervalos, funciones, límites, continuidad,

derivada, integral definida y área bajo la curva, por ejemplo) como de Estocásticos. De la

actividad “Estaturas de los estudiantes del grupo”, resultó: 1) la inadvertencia de los

estudiantes del azar en las mediciones de magnitudes físicas; 2) desconocimiento del trazo

de un histograma de frecuencias para las mediciones efectuadas; y 3) la adopción de la moda

como resultado del conjunto de mediciones, en lugar de la media, en acuerdo con una de las

concepciones de “promedio” identificadas por Mokros y Russell (1995). El programa de la

DEMS-IPN (2008) establece como actividad sustantiva de aprendizaje del sexto semestre

“revisar el modelo matemático de la distribución Normal, el significado de sus parámetros,

su representación gráfica y las condiciones en las que sea aplicable” (p. 14).

La dificultad de los estudiantes en la aplicación de procedimientos algebraicos para

solucionar una inecuación planteada en simbología matemática, para cuya lectura también

mostraron dificultades, explicaría su incomprensión de la función de densidad normal.

Ejemplo de esto es el pasaje de la primera sesión de la estrategia de enseñanza conducida por

I, respecto al conjunto solución de una desigualdad, aún no aprehendido por los estudiantes

asistentes (E2, E3 y E4) (Tabla 3; “OC” denota otros conceptos, “RS” recursos semióticos

empleados).

Tabla 3. Episodio analizado de la primera sesión de la estrategia de enseñanza. Interventor Intervención Observaciones

I Entonces, esto [señala el intervalo (𝑎, 𝑏)] ¿que sería? “𝑎...”

eh... "(𝑎, coma, 𝑏)" entre paréntesis.

OC: Conjunto solución.

RS: Intervalo abierto.

E3 Una coordenada. Sólo un punto. Bueno, sobre la... la línea

real que se está indicando, ¿no?, entre esos dos números.

OC: Coordenada, punto,

recta real.


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I ¿Estás de acuerdo [en] que sea una coordenada? [pregunta al

estudiante E4].

OC: Coordenada.

E4 ¿Una distancia? OC: Distancia.

I Una distancia... ¿Para ti? [pregunta a la estudiante E2].

E2 Sería un... que está ubicada entre esos dos puntos, ¿no? OC: Noción de intervalo.

La Figura 3 indica que las relaciones que constituyen el concepto conjunto solución, en este

caso, no han sido consolidadas por los tres estudiantes participantes.

Figura 3. Caracterización de conjunto solución mediante el triángulo epistemológico

(Steinbring, 2005).

Comentarios. Los resultados reportados de los cursos Probabilidad y Estadística, Cálculo

Integral y Cálculo Diferencial, apuntan a una desarticulación entre ellos, no de manera

curricular sino en la forma de tratar sus temas en la enseñanza para que sean consistentes las

estructuras de los modelos explicativos, que se basen en intuiciones favorables y que

fomenten la constitución de la distribución normal por los estudiantes de grados superiores.

Privilegiar en la enseñanza la operatividad de desigualdades, sin que las diferentes formas de

presentación de sus conjuntos solución sean claras al estudiante, puede provocar la

indistinción entre referente y signo y, por tanto, se coarta el perfeccionamiento del concepto

(Steinbring, 2005), por ejemplo, el planteamiento de desigualdades en un problema en

estocásticos, como en el registro de las mediciones de estaturas mediante intervalos. Los

temas Integral definida y área bajo la curva serían antecedentes para el estudio de la

probabilidad (como áreas bajo la curva de funciones de densidad) si se incluyeran en su

enseñanza ejemplos de funciones comunes en una introducción elemental a estocásticos que,

a la vez, promovieran dotar de sentido a los temas en foco. Orton (1983) reportó que muchos

de los estudiantes de su estudio tuvieron problemas “en la comprensión de la relación entre

una integral definida y áreas bajo la curva” (p. 12). Si en la enseñanza se pretende introducir

el papel de la variación por medio del comportamiento de funciones de naturaleza estocástica,

Situación de referencia:

Intervalo abierto (𝑎, 𝑏).

Signo:

Concepto:

Conjunto solución.


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éstas deben tratarse como funciones de densidad de probabilidad contextualizadas en “la

concepción estadística de problemas del mundo real” (Wild y Pfannkuch, 1999, p. 223). La

propuesta curricular de los conceptos de la disciplina matemática tendrá que adaptarse a las

intuiciones propias del sujeto en la formación de los modelos explicativos, ya que el

establecimiento intuitivo previo en estocásticos es urgente. “Por otro lado, la adquisición

temprana de modelos explicativos inadecuados puede, aparentemente, desarrollar intuiciones

contrariées, firmemente arraigadas, difíciles de erradicar y que pueden impedir la

adquisición del conocimiento analítico” (Heitele, 1975, p. 189). La advertencia del azar en

mediciones físicas directas fue difícil para los estudiantes de ingeniería (Torres, 2013); el

conocimiento previo al estudio de la normal debe estar sustentado por un modelo explicativo

apropiado (Heitele, 1975) que incluya la comprensión de la variación (Wild y Pfannkuch,

1999), tratamiento de datos agrupados, muestreo, integral definida, área bajo la curva,

desigualdades y comportamiento de funciones, por citar algunos, para una formación

sustentada en el desarrollo de las ideas fundamentales de estocásticos.


Borovcnik, M. (2014). Empirical research on understanding probability and related concepts

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Wittrock, M. (1986). La investigación de la enseñanza II. España: Paidós.


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CB-1.380

TEMÁTICAS DO MAPEAMENTO DA PESQUISA PAULISTA SOBRE O

PROFESSOR QUE ENSINA MATEMÁTICA

Dario Fiorentini - Rosana Catarina Rodrigues de Lima


Unicamp/Brasil - PPGE-Unicamp/Brasil

Rosana Giaretta Sguerra Miskulin - Regina Célia Grando


Unesp/Brasil - UFSC/Brasil

Maria Auxiliadora Bueno Andrade Megid - Renata Prenstteter Gama

[email protected] –[email protected]

PUC-Campinas/Brasil - UFSCar/Brasil

Núcleo temático: IV- Formação de professores de Matemática.

Modalidade: CB - Comunicação Breve

Nivel educativo: 5 - Formação e atualização docente

Palavras chave: mapeamento de pesquisas; formação inicial; formação continuada;

tendências de pesquisas.

Resumo Apresentamos as temáticas das pesquisas produzidas no estado de São Paulo, que têm como

foco o professor que ensina Matemática (PEM), responsável por 42% (349 trabalhos) da

produçao brasileira do “Mapeamento e Estado da Arte da Pesquisa Brasileira sobre o

Professor que Ensina Matemática” (858 trabalhos, período 2001-2012). Nesse movimento,

para elencarmos as temáticas organizamos as pesquisas em quatro contextos: formação

inicial, formação continuada, formação inicial e continuada e outros contextos. O

mapeamento mostrou um equilíbrio entre os estudos sobre formação inicial, formação

continuada e os estudos sobre outros contextos, que reuniram 104, 106 e 124 trabalhos

respectivamente. Foram encontrados também 15 estudos relacionados à formação inicial e

continuada. Nos três primeiros grupos, os estudos foram marcados pelas temáticas:

aprendizagem docente, desenvolvimento profissional e processos formativos; saberes e

conhecimentos nos processos formativos do professor e identidade e profissionalidade

docente. Quanto aos trabalhos que agregam a formação inicial e continuada caracterizam-

se por grupos colaborativos que congregam professores e futuros professores, constituindo

uma comunidade de aprendizagem, trazendo possibilidades para a transformação da prática

e para o desenvolvimento profissional. Foi possível observar uma dispersão temática em

relação aos estudos sobre formação inicial, com predominância dos saberes e

conhecimentos dos professores que ensinam Matemática.

Introdução








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Neste texto apresentamos um mapeamento de pesquisas acadêmicas que têm como

foco de estudo o professor que ensina Matemática (PEM) - sobretudo seu processo de

formação - produzidas em programas paulistas (São Paulo, Brasil) de pós-graduação stricto

sensu pertencentes às áreas de Educação e de Ensino da Coordenação de Aperfeiçoamento

de Pessoal de Nível Superior (Capes). O período de abrangência deste mapeamento é de 2001

a 2012.

O estado de São Paulo (SP) tem sido pioneiro em relação aos estudos pós-graduados

no campo da Educação Matemática. Foi em São Paulo que surgiram os primeiros programas

específicos de pós-graduação nessa área, como foi o programa temporário de mestrado em

Ensino de Ciências e Matemática, realizado na Unicamp em convênio com o MEC-Premem-

OEA18, e que vigorou de 1975 a 1984. Nesse programa foram produzidas 13 dissertações

que tiveram como foco de estudo o professor que ensina Matemática. Em 1984, surgiu, na

Universidade Estadual Paulista (Unesp) de Rio Claro, o primeiro programa permanente no

Brasil de pós-graduação em Educação Matemática, que iniciou apenas com o curso de

mestrado. Nesse mesmo programa, apenas em 1993, teve início o primeiro curso brasileiro

de doutorado em Educação Matemática. Cabe, no entanto, destacar que antes desse período

de implantação de programas específicos de pós-graduação em Educação Matemática,

algumas dissertações e teses sobre o professor que ensina Matemática foram produzidas no

âmbito de programas de pós-graduação em Educação do estado de São Paulo. Isso tudo

evidencia uma longa trajetória de pesquisa no estado de São Paulo sobre o PEM.

Provavelmente, esse motivo explica o fato da concentração de pesquisas de Mestrado e

Doutorado nesse estado. Nesse texto apresentamos o corpus de análise da investigação sobre

as temáticas das pesquisas produzidas no estado de São Paulo. As temáticas foram

organizadas em quatro eixos: formação inicial, formação continuada, articulações entre a

formação inicial e continuada e as pesquisas desenvolvidas em outros contextos e aspectos

relativos ao PEM.

Metodologia

O Grupo de Estudo e Pesquisa sobre Formação de Professores que Ensinam

Matemática (GEPFPM) assumiu a tarefa de mapear as pesquisas acadêmicas do estado de

São Paulo, relativas ao Projeto “Mapeamento e Estado da Arte da Pesquisa Brasileira sobre


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o Professor que Ensina Matemática”11, abrangendo o período de 2001 a 2012. Para mapear e

descrever as pesquisas acadêmicas, traduzidas em dissertações e teses de doutorado,

produzidas no âmbito dos programas de Pós-Graduação stricto sensu das áreas de Educação

e Ensino do estado de São Paulo, realizamos alguns procedimentos que descrevemos a seguir.

Para subsidiar a elaboração do projeto, o GEPFPM realizou leituras e discussões de

estudos de estado da arte e de metanálise da pesquisa no campo da educação e especialmente

voltados à formação de professores, como os de André (2009), no Brasil; Roldão (2010), em

Portugal; e de Cochran-Smith et al. (2012) e Sztajn (2011), nos Estados Unidos. Após a

elaboração e a aprovação do projeto, os pesquisadores do grupo fizeram um levantamento,

no site da Capes, de todos os programas de pós-graduação do estado de São Paulo

credenciados das áreas de Educação e de Ensino. Conhecidos esses programas/instituições,

cada um dos pesquisadores participantes do GEPFPM se responsabilizou pelo levantamento

dos trabalhos concluídos no período de 2001 a 2012 em uma, duas ou três instituições.

Na primeira fase de projeto, elaboramos uma planilha eletrônica para organizar a lista

dos trabalhos encontrados que, com base apenas no título e nas palavras-chave de cada

trabalho, considerou-se tratar de uma dissertação ou tese que tinha como foco de estudo “o

professor que ensina Matemática e/ou sua formação”. A planilha, que, em diversos

momentos, foi objeto de reflexão e reestruturação na equipe de pesquisadores, consistiu em

organizar os seguintes dados: Instituição; Programa de Pós-Graduação; modalidade (MA,

MP ou DO); Ano de Defesa; Título da Pesquisa; Autor; Orientador; Resumo e Link do

trabalho completo.

Na segunda fase, realizamos o fichamento de cada um dos trabalhos encontrados,

verificando, se, de fato, eles pertenciam ou não ao corpus do Projeto. Durante o processo de

fichamento, a equipe paulista encontrou várias dificuldades, envolvendo aspectos técnicos e

conceituais. Em relação ao primeiro, verificamos a indisponibilidade dos trabalhos

digitalizados nos sites oficiais e das instituições responsáveis, trabalhos cujos links estavam

inativos etc. Quanto ao segundo, encontramos vários trabalhos cujos resumos ou palavras-

chave indicavam tratar-se de um estudo sobre formação de professores ou sobre aspectos

relevantes do pensamento ou da vida profissional de PEM. Entretanto, ao realizar o

11 Edital Chamada Universal; MCTI/ CNPq no 014/2014; Processo: 486505/2013-8 - Faixa C.


ISBN 978-84-945722-3-4

fichamento, ficava evidente que o professor (ou sua formação) não foi efetivamente tomado

como foco de estudo e de análise ao longo da pesquisa, não tendo portanto produzido

conhecimento sobre o professor que ensina Matemática ou sobre sua formação.

Assim, embora, a princípio tivéssemos levantado 418 trabalhos, ao final da segunda

fase, o corpus de dissertações/teses do estado de São Paulo passou a ser de 349 pesquisas. A

seguir, apresentamos como esses trabalhos encontram-se distribuídos ao longo do período

deste mapeamento (2001 – 2012), descrevendo as três modalidades de pesquisa: Mestrado

Acadêmico (MA), Mestrado Profissional (MP) e Doutorado (Do).

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 # %

MA 3 7 7 16 14 16 26 22 22 27 17 26 202 57,88

MP 0 0 0 0 3 3 9 8 2 8 2 2 37 10,6

Do 3 4 6 4 6 5 13 9 14 10 13 23 110 31,52

Total 6 11 13 20 23 24 48 39 38 44 32 51 349 100

Quadro 1: Distribuição anual, por modalidade, das dissertações e teses produzidas de 2001 a 2012.

Fonte: Megid et al, 2016, p. 113.

Essa produção acadêmica certamente tem muito a nos informar sobre a natureza e os

rumos da pesquisa brasileira sobre o PEM e sua formação, quanto à qualificação profissional

dos pesquisadores brasileiros. Com relação às instituições paulistas que mais desenvolveram

pesquisas sobre o PEM nas áreas de Ensino e Educação, identificamos:

INSTITUIÇÃO12 ENSINO EDUCAÇÃO TOTAL %

MA MP Do MA MP Do PUC-SP 49 32 25 2 0 7 115 32,95

Unesp-RC 17 0 13 15 0 4 49 14,04

Unicamp 0 0 0 17 0 28 45 12,89

USP 1 0 0 13 0 16 30 8,60

UFSCar 0 1 0 12 0 8 21 6,02

Uniban 17 0 2 0 0 0 19 5,44

USF 0 0 0 16 0 0 16 4,58

Unicsul 9 4 0 0 0 0 13 3,72

Puccamp 0 0 0 7 0 0 7 2,01

Unesp-PP 0 0 0 8 0 0 8 2,29

12 PUCSP – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo; Unesp - RC – Universidade Estadual Paulista campus Rio

Claro; Unicamp – Universidade Estadual de Campinas; USP – Universidade de São Paulo; UFSCar – Universidade Federal

de São Carlos; Uniban – Universidade Bandeirante de São Paulo; USF – Universidade São Francisco; Unicsul –

Universidade Cruzeiro do Sul; Puccamp – Pontifícia Universidade Católica de Campinas; Unesp-PP – Universidade

Estadual Paulista campus Presidente Prudente; Unesp - Bauru – Universidade Estadual Paulista campus Bauru; Unimep –

Universidade Metodista de Piracicaba; Unoeste – Universidade do Oeste Paulista; Unesp - Araraq – Universidade Estadual

Paulista campus Araraquara; Unisantos – Universidade Católica de Santos; Umesp – Universidade Metodista de São Paulo;

CUML – Centro Universitário Moura Lacerda; Unicid – Universidade Cidade de São Paulo; Uniso – Universidade de

Sorocaba.


ISBN 978-84-945722-3-4

Unesp - Bauru 2 0 4 0 0 0 6 1,72

Unimep 0 0 0 4 0 1 5 1,43

Unoeste 0 0 0 4 0 0 4 1,15

Unesp - Araraq 0 0 0 1 0 2 3 0,86

Unisantos 0 0 0 3 0 0 3 0,86

Umesp 0 0 0 2 0 0 2 0,57

CUML 0 0 0 1 0 0 1 0,29

Unicid 1 0 0 0 0 0 1 0,29

Uniso 0 0 0 1 0 0 1 0,29

SUBTOTAL 96 37 44 106 0 66 349 100,00

TOTAL 177 172 349 100,00

Quadro 2: Distribuição das pesquisas paulistas, por Instituição e área de avaliação no período de 2001 a 2012.

Fonte: Megid et al, 2016, p. 115.

Em relação às orientações das dissertações e teses do estado de São Paulo,

encontramos uma lista de 102 orientadores, dos quais 52 orientaram apenas uma dissertação

ou tese. O que estaria indicando essa relativa dispersão de orientadores em um estado que já

possui certa tradição de pesquisa em Educação Matemática e particularmente sobre o PEM?

Estaria indicando que esse campo de pesquisa é plural e interdisciplinar ou que não tem

identidade epistemológica própria, sendo, neste caso, um campo de estudo aberto a todas as

linhas e tendências investigativas? Acreditamos que uma análise das temáticas abordadas nas

pesquisas nos possibilitam compreender as razões dessa dispersão. Diante dessas

inquietações, passamos a descrever os estudos, que foram organizados em quatro eixos:

formação inicial; formação continuada; formação inicial e continuada; e outros contextos ou

aspectos relativos ao PEM.

Tendências Temáticas das pesquisas paulistas sobre o PEM

Ao considerarmos as temáticas das pesquisas paulistas sobre o PEM, o mapeamento

mostrou um relativo equilíbrio entre os estudos sobre formação inicial, formação continuada

e os estudos sobre outros contextos e aspectos relativos ao professor que ensina Matemática,

que reuniram 104, 106 e 124 trabalhos respectivamente. Para além desses, foram encontrados

15 estudos relacionados à formação inicial e continuada.

Nos três primeiros grupos, os estudos foram marcados pelas temáticas: 1)

aprendizagem docente, desenvolvimento profissional e processos formativos; 2) saberes e

conhecimentos nos processos formativos do professor que ensina Matemática; e 3)

identidade e profissionalidade docente. Quanto aos trabalhos que agregam a formação inicial


ISBN 978-84-945722-3-4

e continuada, caracterizam-se prioritariamente por contextos de grupos colaborativos que

congregam professores e futuros professores, numa comunidade de aprendizagem mútua,

trazendo possibilidades para a transformação da prática escolar e para o desenvolvimento

profissional do professor que ensina Matemática.

Com base na distribuição dos trabalhos apresentada no quadro 3 (anexo 1), foi

possível observar uma maior dispersão temática em relação aos estudos sobre formação

inicial, com predominância da preocupação sobre os saberes e os conhecimentos dos PEM.

Sobre os estudos que investigam aspectos relativos à formação inicial do PEM, outro ponto

a ser enfatizado refere-se ao número expressivamente maior de trabalhos referentes aos

cursos de licenciatura em Matemática (79), do que trabalhos sobre os cursos de Pedagogia

(19), para além dos 6 estudos com foco em ambos.

Destaca-se, nos dois âmbitos, a busca pela compreensão de como tem sido realizada

a formação matemática e didático-pedagógica de futuros professores. No caso da formação

matemática na licenciatura, através de investigações relativas a disciplinas específicas dos

cursos de Matemática; e, no caso da Pedagogia, referentes às disciplinas voltadas para a

formação matemática do pedagogo. Quanto à formação didático-pedagógica, nos cursos de

licenciatura, pudemos perceber uma preocupação maior em relação à prática como

componente curricular e ao estágio supervisionado, enquanto nos trabalhos com foco na

Pedagogia há uma preocupação mais acentuada com a didática e a metodologia do ensino

dos conteúdos matemáticos.

Pesquisas sobre saberes, crenças, concepções e atitudes parecem começar a dividir

espaço com aquelas que focam a identidade e a profissionalidade docente ou a aprendizagem

e o desenvolvimento profissional do PEM, o que nos permite inferir que estas são temáticas

emergentes. Por outro lado, é evidente uma forte relação entre as instituições formadoras e

os temas escolhidos para pesquisa. Os saberes que pudemos identificar nos discursos dos

professores parecem ter influência das linhas teóricas adotadas e relacionar-se com o que é

considerado relevante nas instituições em que os trabalhos foram produzidos. As pesquisas

têm se preocupado com os formadores de professores que atuam na licenciatura, tentando

compreender quem é esse formador, suas crenças e concepções, em estreita relação com os

projetos políticos dos cursos; entretanto, nos cursos de Pedagogia, não há pesquisas sobre

esse importante ator da formação inicial.


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O professor dos anos iniciais do Ensino Fundamental, com formação integrada e não

disciplinar, parece necessitar de mais atenção dos pesquisadores que estudam a formação

inicial do PEM. Os poucos trabalhos relativos à Ensino a Distância (EaD), indicam que esta

é também uma temática emergente, que começa a aparecer a partir de 2010, mas ainda pouco

explorada, principalmente pelas pesquisas com foco nos cursos de Pedagogia.

Em relação aos estudos sobre formação continuada, as pesquisas paulistas versaram

sobre diferentes níveis e modalidades de ensino: Educação Infantil, anos iniciais e/ou, anos

finais do Ensino Fundamental, Ensino Médio; EJA; Educação Indígena; e Ensino

Superior/formador de professor. Cabe destacar que, enquanto mais de 50% das pesquisas

desse contexto tenham investigado processos formativos relacionados aos anos finais do

Ensino Fundamental e, Ensino Médio, somente 4 estudos tomaram como foco a Educação

Infantil. As pesquisas sobre formação continuada distribuídas no quadro 4 (vide anexo 2),

foram subdivididas em sete categorias relacionadas aos processos formativos de PEM. Os

processos formativos pesquisados nesses diferentes níveis de ensino, tomaram a escola como

foco privilegiado de investigação. Mas, há também outros espaços, como: programas

institucionais e/ou governamentais; grupos ou comunidades. As pesquisas relacionadas à

formação continuada do PEM apresentam duas dimensões básicas de análise, sendo a

primeira o processo vivenciado na formação continuada e a segunda centrada nas percepções

de professores. Ambas as dimensões privilegiaram estudos sobre aprendizagem e

saberes/conhecimentos profissionais docentes, com destaque a aspectos relacionados às

Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) e com menor ênfase sobre a condição e a

profissionalidade docente.

O terceiro eixo, Formação Inicial e Continuada, constituído de 15 estudos,

contemplou pesquisas sobre processos formativos de professores e futuros professores que

ensinam Matemática e priorizou estudos sobre programas e formações em contexto

colaborativo e/ou compartilhado entre universidade e escola. Destaca-se a ausência de

pesquisas relacionadas à formação de professores de Ensino Fundamental e Educação

Infantil. No mapeamento das pesquisas paulistas, o quarto eixo “Outros contextos”

contemplou pesquisas que têm como foco professores que ensinam Matemática em diferentes

contextos, nas quais, embora sejam identificados processos formativos, os mesmos não se

referem a cursos institucionalizados de formação inicial e continuada.


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Este eixo, concentra um número representativo de estudos sobre o PEM, porém

disperso em relação aos focos de investigação. Os relacionados a saberes, competências,

conhecimentos, concepções e crenças abarcam o maior número de trabalhos do referido eixo.

Cabe destaque aos três focos emergentes no campo da Educação Matemática:

identidade/profissionalidade, condições de trabalho docente e histórias de PEM Matemática.

Enquanto observa-se uma maior concentração de trabalhos com foco no pensamento do

professor e o seu fazer pedagógico, este mapeamento explicita também a escassez de

trabalhos sobre o professor que atua na Educação Infantil e sobre professores de Matemática

que atuam em diferentes cursos do Ensino Superior. Merece também destacar a pouca

presença de pesquisas com foco de investigação nas políticas públicas, assim como a

ausência de estudos que promovam discussões sobre as políticas macro de formação docente,

emanadas de agências internacionais e/ou setores empresariais que apresentam propostas de

formação docente.

O mapeamento evidencia que, no período de 2001 a 2012, o estado de São Paulo foi

responsável por 42% da produção brasileira de teses e dissertações realizadas nos programas

de Educação e Ensino com foco no professor que ensina Matemática e em sua formação. O

relativo equilíbrio de estudos nos contextos de formação inicial, formação continuada e

outros contextos, reflete um panorama diversificado em relação ao PEM e a sua formação,

que, ao ser sistematizado, pode contribuir sobremaneira para reformulações que há muito

tempo têm se mostrado necessárias nesses contextos. Em cada eixo, foi possível identificar

a demanda por investigações em determinadas temáticas como: estudos sobre políticas

públicas e sobre o papel do formador dos cursos de Pedagogia, no contexto da formação

inicial; ênfase sobre a condição e a profissionalidade docente; pesquisas voltadas à formação

em EaD, na formação continuada; pesquisas relacionadas à formação de professores de

Ensino Fundamental e Educação Infantil, no contexto de formação inicial e continuada; e,

por fim, o eixo, “outros contextos”, aponta para a escassez de trabalhos sobre o professor que

atua na Educação Infantil, professores de Matemática que atuam em diferentes cursos do

Ensino Superior e de pesquisas que promovam discussões sobre as políticas macro de

formação docente. A identificação de tais demandas, assim como dos focos emergentes,

descritos no texto, pode contribuir para que a comunidade científica avance no

encaminhamento de investigações que se fazem necessárias a este campo de estudo.


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REFERÊNCIAS

André, M. (2009). A produção acadêmica sobre formação docente: um estudo comparativo

das dissertações e teses dos anos 1990 e 2000. Revista Brasileira de Pesquisa sobre Formação

de Professores, v. 1, p. 41-56.

Cochran-Smith, M. et al. (2012). Teachers education and outcomes: Mapping the research

terrain. Teachers College Record, New York, v. 114, n. 10, 2012, p. 1-49. Disponível em:

http://www.tcrecord.org Acesso em: 4 fev. 2012, 10:42:29 a.m. ID Number: 16668.

Megid, M. A. B. A.; et al. (2016). Mapeamento da pesquisa paulista sobre o professor que

ensina matemática: aspectos físicos e tendências metodológicas e temáticas. In: D. Fiorentini;

C. L.B. Passos & R. C. R. Lima (Org.), Mapeamento da pesquisa acadêmica brasileira sobre

o professor que ensina Matemática: Período 2001 a 2012, Cap. 4, p. 107-175. Campinas, SP:

FE-Unicamp.

Roldão, M. C. (2010) A formação de professores como objecto de pesquisa-contributos para

a construção do campo de estudo a partir de pesquisas portuguesas. Revista Eletrônica de

Educação, v. 1, n. 1, p. 50-118.

Sztajn, P. (2011) Standards for reporting Mathematics professional development in research

studies. Journal for Research in Mathematics Education, v. 42, n. 2, p. 220-236.

TEMÁTICAS DO MAPEAMENTO DA PESQUISA PAULISTA SOBRE O

PROFESSOR QUE ENSINA MATEMÁTICA

Anexo 1

Pesquisas Paulistas no contexto da Formação Inicial do PEM – 2001 - 2012

Subeixo Focos Trabalhos

6.1

.1 L

ICE

NC

IAT

UR

A

1.1.1- Formação

matemática

Costa (2007); Faria (2012); Marin (2009); Martines (2012); Mondini

(2009); Moreno (2010); Reis (2001); Resende (2007); Richit (2005);

Santos, J. (2012); Santos, R. (2005); Stamato (2003).

1.1.2- Formação didático-

pedagógica

Almeida (2009); Carneiro (2008); Carneiro (2009); Carvalho (2010);

Castro (2002); Ferreira (2009); Garcia (2005); Lopes (2004); Marco

(2009); Oliveira, C. (2008); Paschoalin (2005); Prado (2008); Proença

(2012); Ribeiro (2011).

1.1.3 Aprendizagem e

desenvolvimento

profissional

Cedro (2008); Lopes (2004); Moreno (2010); Silva (2010); Silva, D.

(2012); Souza, A. (2007); Tinti (2012).

1.1.4- Saberes Cardim (2008); Damico (2007); Farias (2007); Melo (2003); Moreno

(2012); Pereira, M. (2005); Rehder (2006).

1.1.5- Crenças, concepções,

atitudes, representações

Jaramillo Quiceno (2003); Lasso (2007); Marques (2004); Mussolini

(2004); Pereira, P. (2005); Pires (2012); Yamamoto (2012).

1.1.6-Identidade e

profissionalidade

Guidini (2010); Junqueira (2010); Rodrigues (2012); Roma (2010).


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1.1.7- História da formação

e de professores

Barbosa (2007); Barbosa (2012); Cury (2007); Cury (2011);

Fernandes, D. (2011); Martins-Salandim (2012); Morais (2012);

Ziccardi (2009); Voigt (2012).

1.1.8-Formadores de

professores

Alonso (2003); Canôas (2005); Ferreira, T. (2005); Figueiredo (2007);

Martines (2012); Mondini (2009); Oliveira, A. (2008); Santos, R.

(2005); Sicardi (2008); Silva, S. (2009).

1.1.9- Políticas públicas Barbosa (2010); Correia (2012); Marcatto (2012); Oliveira, I. (2008);

Perentelli (2008); Silva, M. (2004); Tinti (2012).

1.1.10 - EaD Athias (2010); Barbosa (2010); Faria (2012); Viel (2011).

1.1.11- Outros Bruno (2009); Domingues (2006); Freitas (2006); Leme (2010);

Martins (2001); Oliveira, N. (2007); Rehder (2006); Turrioni (2004).

6.1

.2 -

PE

DA

GO

GIA

1.2.1-Formação

matemática e didático-

pedagógica

Amaral (2007); Biajone (2006); Costa, S. (2011); Cunha (2008);

Gonçalez (2002); Megid (2009); Marquesin (2012); Mioto (2008);

Mota (2012); Ortega (2011); Palma (2010); Pereira (2012); Santos,

M. (2009); Zambon (2010).

1.2.2- Aprendizagem e

desenvolvimento

profissional

Marquesin (2012); Megid (2009); Souza (2012); Toricelli (2009).

1.2.3- Crenças, concepções,

atitudes, representações

Lacerda (2011); Gonçalez (2002); Zimer (2008).

1.2.4- EaD Carneiro (2012)

6.1.3 - LICENCIATURA e

PEDAGOGIA

Barros (2007); Baumann (2009); Leme (2012); Ritzmann (2009);

Souza, L. (2010); Vaccas (2012).

Quadro 3: Distribuição das pesquisas paulistas sobre a Formação Inicial do PEM Fonte: Megid et al (2016, p. 127)

Anexo 2

Pesquisas Paulistas no contexto da Formação Continuada do PEM – 2001 - 2012

Foco de estudo Subfocos Pesquisas

6.2.1 Aprendizagem

docente, desenvolvimento

profissional e processos

formativos

2.1.1 Formação

continuada em programas

institucionais e

governamentais

Bovo (2004); Cevallos (2011); Costa, M.

(2010); Kochhann (2007); Maroja (2007);

Marques (2012); Ogliari (2012); Oliveira, A.

(2003); Oliveira (2012); Rodrigues, R. (2010);

Rosa (2007); Salles (2005); Santos, S. S (2003);

Silva, A. A. (2008); Silva, A. (2007); Souza, R.

D. (2007).

2.1.2 Aprendizagem

docente e desenvolvimento

profissional em grupos ou

comunidades

Azevedo (2012); Bertucci (2009); Coelho

(2005); Coelho (2010); Ferreira (2003);

Cristovão (2007); Gama (2007); Gimenes

(2006); Lopes (2003); Marquesin (2007);

Moraes (2008); Rodrigues (2006); Pinto

(2002); Veras (2010); Vicentino (2009).


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2.1.3 Processos formativos

e o uso das tecnologias da

informação e comunicação

Alencar, S. (2012); Bagé (2008); Campos

(2007); Cancian (2001); Costa, R. (2010);

Meconi Jr (2010); Morgado (2003); Poloni

(2010); Porto (2010); Richit, Adriana (2010);

Santos, J. (2007); Sicchieri (2004); Socolowski

(2004); Zulatto (2007).

2.1.4 Histórias, mudanças

e percepções de

professores em processos

formativos

Caporale (2005); Castro (2010); Cerqueira

(2003); Guérios (2002); Lamonato (2007);

Lemos (2011); Modesto (2002); Moretti (2007);

Oliveira (2004); Oliveira (2011); Ribeiro

(2005); Santos, J. (2008); Silva, M. (2005);

Silva, K. (2012); Simão (2012); Silva, S. (2008);

Souza, R. (2007); Tonon (2010).

2.1.5 Processos formativos

do professor que ensina

Matemática

Jesus (2008); Merlini (2012); Muraca (2011);

Romano (2008); Santos, C. (2005); Santos, L.

(2008); Silva, A. A. (2008); Silva, M. (2009).

2.1.6 outro Lamonato (2011) e Marim (2011).

6.2.2 Saberes e

conhecimentos nos

processos formativos do

professor que ensina

Matemática

2.2.1 Saberes produzidos

por meio de participação

em grupos colaborativos,

estudos ou discussão

Azevedo (2012); Costa, M. (2008); Ferreira

(2003); Montezuma (2010); Oliveira (2012);

Souza, R. D. (2007).

2.2.2 Saberes e

conhecimentos do ensinar

e aprender matemática

Coelho (2010); Costa, M. (2008); Dias (2010);

Ferreira, E. (2005); Garcia (2006); Lamonato

(2007); Lamonato (2011); Lopes (2003); Maioli

(2002); Marchi (2011); Marquesin (2007);

Motta (2011); Nobre (2006); Oliveira Filho

(2011); Oliveira, P. (2003); Oliveira, (2004);

Richit, Andricelli (2010); Santos, A. (2012);

Serralheiro (2007); Silva (2005); Teixeira

(2012).

2.2.3 Conhecimento

pedagógico do ensinar e

aprender matemática

Castro (2004); Novaes (2011); Pataki (2003);

Purificação (2005); Vece (2010).

6.2.3 Atitudes, crenças,

representações, concepções

e valores

Campelo (2011); Coelho (2010); Costa, M. (2008); Dias (2007); Ferreira, E. (2005);

Fontes (2010); Grinkraut (2009); Magni (2011); Monteiro (2012); Oliveira, P.

(2003); Rossini (2006); Santos, N. (2009); Serralheiro (2007); Silva (2005); Silva,

M. (2009); Sousa, M. (2004); Tedeschi (2010).

6.2.4 Trabalho docente,

performance, condições

docentes

Corbo (2012); Moretti (2007); Ogliari (2012); Rossini (2006); Santos, A. (2012);

Santos (2003); Sousa (2004).

6.2.5 Cultura docente,

identidade e

profissionalidade

Costa, G. (2004); Mariano (2008).

6.2.6 História da formação e

de PEM Campos (2007); Modesto (2002).

6.2.7 Formação do

formador Traldi Jr. (2006)

Quadro 4: Distribuição das pesquisas paulistas sobre a Formação Continuada do PEM

Fonte: Megid et al (2016, p. 145)


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Anexo 3

Pesquisas Paulistas no contexto da Formação Inicial e Continuada do PEM

2001 - 2012

Foco Pesquisas 6.3.1 Aprendizagem docente, desenvolvimento

profissional e processos formativos

Costa, J. (2008); Jimenez Espinosa, (2002); Palanch (2011);

Roos (2007).

6.3.2 Saberes e conhecimentos nos processos

formativos do professor que ensina Matemática

Andrade (2012); Baldovinotti (2011); Costa, J. (2008);

Fernandes (2009); Reis (2007).

6.3.3 Atitudes, crenças, representações,

concepções e valores

Forner (2005); Gallego (2012); Santos, B. (2007); Soares

(2005).

6.3.4 História da formação e de PEM Melo, (2006); Viol (2010).

6.3.5 Cultura docente, identidade e

profissionalidade

Sousa (2009)

Quadro 5: Distribuição das pesquisas paulistas sobre a Formação inicial e continuada


Anexo 4

Pesquisas Paulistas relativas a outros contextos e aspectos relativos ao PEM – 2001 - 2012

Foco Pesquisas

1– Saberes,

conhecimentos e

competências

Abreu (2008); Alencar, E. (2012); Almeida (2004); Araújo (2007); Barros (2008); Benites

(2011); Beranger (2007); Borelli (2011); Bigattão Jr (2007); Brito (2012); Canova (2006);

Cardoso (2007); Carvalho (2011); Ciríaco (2012); Corrêa (2010); Costa (2006); Costa, F.

(2011); Eivazian (2012); Freitas (2010); Goulart (2007); Leandro (2012); Lellis (2002); Lima,

C. (2006); Maziero (2011); Mazon (2012); Megid (2002); Migliorança (2004); Neves (2007);

Neves (2010); Oliveira, E. (2007); Penteado (2004); Picarelli (2008); Pietropaolo (2005); Pinto

(2007); Queiroz (2007); Queiroz (2008); Raboni (2004); Ribeiro (2007); Ribeiro (2010);

Rocha (2005); Sabo (2010); Sant’anna (2012); Santana (2011); Santos, J. (2011); Sartori

(2009); Silva, S. (2009); Silva, V. (2012); Souza, J. (2006); Sousa (2007); Teixeira (2008);

Yamanaka (2009); Zacarias (2008); Zivieri Neto (2009).

2 – Atitudes, crenças,

representações,

concepções e valores

Almeida (2004); Ardiles (2007); Arrais (2006); Assis (2005); Barros (2008); Camargo (2008);

Canova (2006); Carvalho (2011); Corrêa (2008); Costa (2003); Costa, F. (2011); Foltran

(2008); Gama (2001); Gonçalves (2004); Guarnier (2012); Lellis (2002); Lima (2010);

Migliorança (2004); Moreira (2012); Neves (2002); Neves (2010); Oddi (2009); Oliveira, E.

(2007); Penteado (2004); Ribeiro (2007); Ribeiro (2010); Rocha (2005); Santana (2010);

Santana (2011); Santos, L. (2005); Sartori (2009); Sebrian (2008); Silva (2001); Silva, S.

(2009); Silva, A. (2012); Silva, V. (2012); Souza (2004); Souza, V. (2006); Souza, M. (2010);

Suleiman (2008); Teixeira (2008); Trentin (2006); Yamanaka (2009).

3 – Identidade e

profissionalidade

docente

Batista Neto (2007); Benites (2011); Beranger (2007); Bovo (2011); Francisco, P. (2009);

Matheus (2008); Oliveira (2009); Souza (2009); Trentin (2006); Zanini (2006).

4 – Trabalho

docente,

performance,

condições docentes

Barros (2008); Batista Neto (2007); Bezerra (2009); Felix (2007); Francisco, P. (2009);

Grenchi (2011); Matheus (2008); Silva, C. (2007); Souza, V. (2006).

5 – História na/da

formação de

professores que

ensinam Matemática

Alves (2010); Azevedo (2009); Camargo (2008); Pamplona (2009); Rodrigues, Z. (2010);

Rolkouski (2006); Tabosa (2010).

http://drive.google.com/open?id=0B5km2nz_PcOaODlvWGNERUIxU2s

http://drive.google.com/open?id=0B5km2nz_PcOaQmdhQ2xOdzVicFk

https://drive.google.com/open?id=0B5km2nz_PcOaRndUODRDdk5Ga0k&authuser=0

https://drive.google.com/open?id=0B5km2nz_PcOaOTBSRTc5a3dKYmM&authuser=0

http://drive.google.com/open?id=0B5km2nz_PcOaTkVfODhmUjFuQWM

https://drive.google.com/open?id=0B5km2nz_PcOaSkMzWDNUTVJSZG8&authuser=0

http://drive.google.com/open?id=0B5km2nz_PcOaX1FNcTVuX18zeEk

http://drive.google.com/open?id=0B5km2nz_PcOaTXBvWGdvdmR5V0U

https://drive.google.com/open?id=0B5km2nz_PcOadXN3Y1FKMWJFOGc&authuser=0

http://drive.google.com/open?id=0B5km2nz_PcOaVmwySVNSYUphbEU


ISBN 978-84-945722-3-4

6 – Aprendizagem

docente,

desenvolvimento

profissional e

processos formativos

Abreu (2008); Bertini (2009); Carvalho (2012); Cavallaro Junior (2009); Chieus Junior (2002);

Costa (2006); Goulart (2007); Leandro (2012); Lellis (2002); Lima, C. (2006); Lima (2010);

Perin (2009); Rocha (2005); Zivieri Neto (2009).

7 – Atuação,

pensamento e saberes

do formador que

ensina Matemática

Corrêa (2001); Costa (2009); Haruna (2004); Komatsu (2010); Malara (2008); Melo (2010);

Pamplona (2009); Santos, R. (2007); Silva, A. G. (2008).

8 – Outros Alves (2004); Andrade (2008); Crescenti (2005); Cruz (2012); Felix (2010); Fernandes, F.

(2011); Fonseca (2007); Francisco, C. (2009); Lima, F. (2006); Linardi (2006); Melo (2008);

Nascimento (2012); Ortenzi (2006); Parente (2006); Passos (2009); Peralta (2012); Santos, C.

(2011).

Quadro 6: Distribuição das pesquisas paulistas sobre Outros contextos



ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.381

RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO DOS ESTUDANTES DO 2º ANO DO ENSINO

MÉDIO AO RESOLVEREM PROBLEMAS

Taianá Silva Pinheiro – Sandra Maria Pinto Magina – Rogério Pedro Fernandes Serôdio


Prefeitura Municipal de Eunápolis – Brasil – Universidade Estadual de Santa Cruz - Brasil

– Universidade da Beira Interior - Portugal

Núcleo temático: I - Ensino e aprendizagem da matemática em diferentes modalidades e

níveis educacionais

Modalidade: Comunicação Breve (CB)

Nível educativo: Terciário (16 a 18 anos)

Palavras-chave: raciocínio combinatório; análise combinatória; estudo diagnóstico.

Resumo Este artigo apresenta um estudo realizado com 20 estudantes do 2º ano do Ensino Médio

que teve por objetivo identificar e categorizar os níveis de raciocínio utilizados ao

resolverem problemas, antes e depois de terem estudado, em ambiente escolar, o conteúdo

de Análise Combinatória. Para tal foi aplicado um instrumento diagnóstico contendo 14

questões envolvendo os quatro tipos de operações combinatórias (produto cartesiano,

permutação, arranjo e combinação), sendo controladas três variáveis: tipo de problema,

ordem de grandeza e repetição. Para subsidiar a pesquisa recorremos aos estudos de Piaget

(1951), além dos estudos realizados por Pessoa e Borba (2010,2012), Moro, Soares e Filho

(2010) sobre o raciocínio combinatório todos com o objeto matemático análise

combinatória. Metodologicamente trata-se de uma pesquisa qualitativa,com uma análise dos

dados que terá como referência os níveis propostos por Moro, Soares e Filho(2010). Tal

análise permitiu a adaptação desses níveis de raciocínio combinatório. Os resultados

apontam que os estudantes apresentam uma ínfima melhora no desempenho dos problemas

de um momento para o outro. Em relação ao nível sobre a presença de soluções

combinatórias, há um aumento nos níveis, por tipo de problema, na seguinte ordem: produto

cartesiano, permutação, arranjo e combinação.

Introdução

Em relação à Análise Combinatória, nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN é proposto

que busque o desenvolvimento do raciocínio combinatório no decorrer da Educação Básica

e para que isso ocorra deve-se “[...] levar o aluno a lidar com situações que envolvam

diferentes tipos de agrupamentos que possibilitem o desenvolvimento do raciocínio

combinatório e a compreensão do princípio multiplicativo” (BRASIL,1998, p.52). Apesar de

ser recomendado pelos PCN que seja trabalhado esse conteúdo no decorrer do Ensino


ISBN 978-84-945722-3-4

Fundamental, de acordo com Pessoa e Borba (2009), a maioria dos problemas envolvendo o

raciocínio combinatório (arranjo, permutação, combinação) só são vistos no 2º ano do Ensino

Médio, sendo somente trabalhado durante o Ensino Fundamental os problemas de produto

cartesiano.

Pesquisas relativas à Análise Combinatória (SANTANA e OLIVEIRA (2015); PESSOA e

BORBA (2009, 2010, 2012), MORO, SOARES E FILHO(2010)) apresentam e discutem

sobre níveis de raciocínio combinatório nos diversos anos escolares e diferentes modalidades

de ensino. Evidenciando as dificuldades dos estudantes quando abordados os problemas de

permutação, combinação e arranjo.

Diante das pesquisas supracitadas, evidenciamos a de Moro, Soares e Filho (2010) em que

nos níveis apresentados e discutidos pelos autores são referenciados no nosso trabalho numa

adaptação para os estudantes do 2º ano do Ensino Médio com o objetivo de identificar e

categorizar os níveis de raciocínio utilizados ao resolverem problemas, antes e depois de

terem estudado, em ambiente escolar, o conteúdo de Análise Combinatória. Para nos aportar

teoricamente, temos os estudos de Piaget sobre a ideia do acaso (1951) e algumas pesquisas

sobre o raciocínio combinatório.

Quadro teórico

Estudo sobre a ideia do acaso

Para identificar e categorizar os níveis de raciocínio dos estudantes, vamos nos guiar pelas

descrições apresentadas por Piaget e Inhelder na obra “A gênese da ideia de acaso na criança”

(1951), de acordo com os estágios apresentados na Epistemologia Genética. A obra foi

dividida em três partes (parte I e II – noções de acaso e probabilidade e parte III- operações

combinatórias), vamos nos ater a terceira, pois para a construção da compreensão do acaso é

necessária associação e apropriação das operações combinatórias.

Ressaltamos que os participantes do nosso estudo, segundo o que é proposto por Piaget, estão

no terceiro estágio, em que o nível de sistematização e formalização são mais

sofisticados.Vamos apresentar inicialmente o que os autores abordam sobre a operação

combinação, em que evidencia para o experimento realizado, as observações referentes a

cada estágio. Dessa maneira, para o primeiro estágio os sujeitos apresentam os resultados

possíveis através de tentativas, sem sistematização. Para o segundo estágio, progridem para

um método mais correto, saindo de uma ideia aditiva para a associação multiplicativa


ISBN 978-84-945722-3-4

(PIAGET; INHELDER, 1951). Já no terceiro estágio, foi realizado de maneira mais

completa, percebendo as características, com foco na regularidade determinando a

generalização.

Quando citaram sobre as permutações, Piaget e Inhelder (1951) evidenciaram que,

comparando com a combinação, a permutação apresenta um atraso sobre a compreensão do

sistema, pois essa operação passa a ser mais difícil do que a combinação por se tratar de

alteração na ordem e não apensas uma combinação entre elementos. Assim, para o primeiro

estágio, há a falta de compreensão sobre o que seria irreversibilidade, influenciando na

construção de um sistema em que fosse apresentada todas as possibilidades. No segundo

estágio, alguns sujeitos apresentaram entre impressões de regularidades sem notar a

tendência de um sistema até a dedução. Para o terceiro estágio, ocorre a descoberta do

sistema, em que ocorreram generalização de sistemas parciais.

No que concerne aos arranjos, os sujeitos pertencentes ao primeiro estágio realizaram por

tentativa, sem perceber a existência de um sistema. No segundo estágio, ocorre um progresso

gradual, no que se refere a regularidade e sistematização; como aconteceu nas permutações

e combinações; apresenta algo empírico para determinar os arranjos. Já no terceiro estágio,

ocorre a descoberta e compreensão da lei de forma a elencar todos os arranjos possíveis.

Desse modo, nessa seção apresentamos a descrição referente a cada operação combinatória,

a partir dos estágios propostos por Piaget na Teoria da Epistemologia Genética. Para que

possamos acrescentar subsídios para a análise, a fim de identificarmos e categorizarmos os

níveis de raciocínio dos estudantes vamos apresentar a seção seguinte em que apresentamos

sobre a ideia de alguns autores sobre o raciocínio combinatório.

Raciocínio combinatório

Na Análise Combinatória, para a resolução de problemas é necessário analisar as variáveis

contidas no problema e buscar uma solução diante das possibilidades, entre elas: fórmulas,

listagem, agrupamentos; sem ter que contar os elementos um a um, para isso utiliza-se do

princípio multiplicativo. Essa análise diante de situações envolvendo problemas

combinatórios acontece a partir do desenvolvimento do raciocínio combinatório. Para Pessoa

e Borba (2012) o raciocínio combinatório é “[...] como um tipo de pensamento que envolve

contagem, mas que vai além da enumeração de elementos de um conjunto” (PESSOA;

BORBA, 2012, p.4).


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Ratificando essa ideia, Santana e Oliveira (2014) ao referir-se a raciocínio combinatório

afirmam em seu estudo que estão “[...] circunscrevendo ao encadeamento de pensamentos

que nos possibilitam analisar estruturas e relações discretas relacionadas a conjuntos finitos.”

(SANTANA; OLIVEIRA, 2015, p.193). Esses encadeamentos de pensamentos serão

analisados na nossa pesquisa, a partir das estratégias de resolução utilizadas pelos estudantes.

Metodologia

O estudo trata-se de uma pesquisa qualitativa. Essa aplicação foi realizada numa escola

pública do extremo sul da Bahia, escolhida por conviniência (aceitação da escola, do

professor e da turma em receber a pesquisadora). Os sujeitos da pesquisa foram 20 estudantes

de uma turma do 2º ano do Ensino Médio que participaram de todas as fases da pesquisa

dentre a qual responderam 14 questões envolvendo os quatro tipos de operações

combinatórias (produto cartesiano, permutação, arranjo e combinação), essas situações foram

elaboradas de forma que tivéssemos condições de controlar as três variáveis: tipo de

problema, ordem de grandeza e repetição. Assim, as situações foram organizadas sendo duas

de produto cartesiano e quatro de cada um dos tipos combinatórios restantes.

A participação dos estudantes consistiu em três etapas: a primeira, a aplicação do teste prévio,

que foi realizado em dois encontros sendo que, das 14 questões, sete foram respondidas no

primeiro encontro, e as questões restantes, foram respondidas após uma semana; as questões

foram resolvidos em dois momentos de modo que não ficasse exaustivo para os estudantes.

Os mesmos desconheciam quais seriam os dias da aplicação dos testes. Entre a etapa 1 e a

etapa 2 passaram-se quatro semanas. Já na segunda etapa, a relacionada as aulas que foram

ministradas pelo professor da disciplina, aconteceram em quatro encontros. Essa etapa

aconteceu de modo que pudemos acompanhar se os conteúdos presentes no texto fossem

ensinados pelo professor. E na terceira etapa, o teste posterior foi realizado em dois

encontros, assim como foi na etapa 1.

Em relação ao instrumento13 utilizado no estudo, temos que as questões presentes no mesmo tanto na primeira

quanto na terceira etapa são de igual teor (número de questões, mesmo tipos combinatórios com as mesmas

variáveis adotadas), alterando apenas os elementos dos problemas; os estudantes só tiveram acesso ao teste,

13 As questões contidas no instrumento segue no anexo . Cabe salientar que foi necessária a

retirada de duas questões, logo o questionário apresenta a sequência faltando as questões 6

e 9.


ISBN 978-84-945722-3-4

lápis, borracha e caneta, ressaltamos ainda que nem a pesquisadora, nem o professor tirou dúvidas referentes

ao teste. Como critério de escolha das questões de cada teste, para que a distribuição das questões fosse a mais

equilibrada possível, temos, pelo menos, uma questão de cada tipo (produto cartesiano, permutação, arranjo e

combinação), com e sem repetição e com ordem de grandeza, pequena, com intervalos de 7 à 24 e grande, com

intervalos de 36 à 210.

Principais resultados

Moro, Soares e Filho (2010) propuseram níveis e subníveis para classificar o patamar do

raciocínio combinatório presentes nas resoluções de problemas de produto cartesiano. No

nosso estudo, dado o tamanho da amostra ser bem menor, optamos por classificar apenas por

níveis, no entanto fizemos alguns acréscimos nas descrições, para ajustar ao nosso estudo.

Para além dos quatro níveis que veremos mais adiante Moro, Soares e Filho (2010)14 consideraram também os

seguintes casos: (a) soluções em branco e (b) só resposta. Segue a descrição dos níveis de raciocínio acrescidos

da nossa interpretação a partir da análise dos dados coletados. Com isso, estamos afirmando que os níveis

apresentados a seguir são todos baseados na classificação propostas pelos autores supracitados.

Nível I – Ausência de solução combinatória

Ao utilizar o princípio multiplicativo e a árvore de possibilidades como estratégias, usa-as de

maneira equivocada sem qualquer significado, nem indicação de sistematização ou

generalização. Para exemplificar este nível apresentamos a figura 1.

Figura 1 – Protocolo do estudante A05 na questão 4 do teste prévio

Fonte – protocolo de pesquisa

Nível II – Primeiros indícios de relações para soluções combinatórias

Além das características apresentadas por Moro, Soares e Filho (2010), e tendo por base os

protocolos da nossa pesquisa, acrescentamos características que achamos pertinentes para

este nível. São elas: (a) soluções em que são utilizados os números que aparecem no

enunciado (por si só), mas não consideram as propriedades pertinentes do problema

14 Ver Moro, Soares e Filho(2010) para melhor compreensão dos níveis de raciocínio

combinatório.


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combinatório abordado na questão; (b) listagem de maneira aleatória (ou não), não elencando

todas as possibilidades ou ainda a escolha de um único caso de relação entre as variáveis. (c)

listagens incompletas ou aparentemente completas e aleatórias, pois nesse último caso o

aluno acaba repetindo algumas combinações mesmo chegando à solução correta. (d) uso de

barras posicionais, se equivocando na quantidade das mesmas.

Figura 2 – A13, teste prévio, questão 16

Fonte – protocolo de pesquisa

Nível III – Indícios de soluções combinatórias

Além dos sujeitos da pesquisa apresentar as características citadas anteriormente nas suas

soluções, tiveram ainda as que não compreenderam as características pertinentes aos tipos de

problemas combinatórios, não considerando, por exemplo, a variável repetição. Utiliza mais

de uma forma de resolver, por acaso, tem a correta, mas não se sente seguro, não sabe qual

resultado é o correto. Elenca sem uma sistematização, determina todas as possibilidades,

chega ao resultado, mas repete combinações.

Apresentaram também listagem parcial e sistemática; indício de sistematização. Em relação

à ordem de grandeza pequena, faz a listagem total e aleatória. Para exemplificar tal nível

apresentaremos na figura 3:

Figura 3 – A02, teste prévio, Questão 02

Fonte – protocolos da pesquisa

Nível IV – Presença de soluções combinatórias

No nosso estudo, também foram evidenciadas soluções em que houve a representação de

todos os casos possíveis, além do uso da fórmula, mesmo apresentando o resultado errado.

Como segue na figura 4:

Figura 4 – A19, teste posterior, questão 16


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Fonte – Protocolos da pesquisa

Compreendida as alterações nos respectivos níveis, analisaremos a tabela 1, em que

apresentamos as frequências e percentuais das soluções dos alunos para cada tipo de

problema combinatório e as respectivas variáveis adotadas, repetição e ordem de grandeza,

conforme os níveis apresentados.

Tabela 1 – Frequências e percentuais de soluções a cada tipo de problema, por níveis de

raciocínio combinatório(f, %)

LEGENDA15

15Vide anexo.

Tes

Te

Pré

Tipo combinatório/ variáveis do estudo

Produto

Cartesiano Arranjo Permutação Combinação

PPp PPg ASp ASg ARp ARg PSp PSg PRp PRg CSp CSg CRp CRg

(Q1) (Q15) (Q14) (Q16) (Q4) (Q13) (Q5) (Q11) (Q12) (Q3) (Q7) (Q8) (Q2) (Q10)

Em

bra

n

co

(0;0) (4;20) (1;5) (2;10) (6;30) (7;35) (3;15) (1;5) (2;10) (3;15) (0;0) (6;30) (5;25) (1;5)

Só

res

po

stas

(1;5) (1;5) (1;5) (0;0) (3;15) (1;5) (2;10) (3;15) (2;10) (3;15) (0;0) (0;0) (0;0) (0;0)

Nív

eis

I (3;15) (2; 10) (9;45) (5;25) (9;45) (5;25) (4;20) (12;60) (10;50) (7;35) (18;90) (12;60) (2;10) (6;30)

II (1;5) (0;0) (8;40) (10;50) (2;10) (4;20) (10;50) (4;20) (3;15) (7;35) (2;10) (2;10) (9;45) (13;65)

II

I (0;0) (1;5) (1;5) (0;0) (0;0) (2;10) (1;5) (0;0) (3;15) (0;0) (0;0) (0;0) (4;20) (0;0)

I

V (15;75) (12;60) (0;0) (3;15) (0;0) (1;5) (0;0) (0;0) (0;0) (0;0) (0;0) (0;0) (0;0) (0;0)

Tes

Te

Pós

Em

bra

n

co

(0;0) (0;0) (1;5) (1;5) (2;10) (10;50) (2;10) (1;5) (1;5) (1;5) (0;0) (0;0) (3;15) (0;0)

Só

res

po

stas

(1;5) (1;5) (1;5) (3;15) (2;10) (2;10) (1;5) (3;15) (2;10) (2;10) (0;0) (4;20) (0;0) (2;10)

Nív

eis

I (2;10) (1;5) (4;20) (2;10) (11;55) (1;5) (4;20) (7;35) (5;25) (6;30) (14;70) (11;55) (4;20) (6;30)

II (0;0) (0;0) (9;45) (8;40) (3;15) (1;5) (6;30) (5;25) (6;30) (8;40) (3;15) (2;10) (6;30) (6;30)

II

I (0;0) (0;0) (4;20) (3;15) (0;0) (5;25) (3;15) (2;10) (5;25) (2;10) (2;10) (3;15) (4;20) (6;30)

I

V (17;85) (18;90) (1;5) (3;15) (2;10) (1;5) (4;20) (2;10) (1;5) (1;5) (1;5) (0;0) (3;15) (0;0)


ISBN 978-84-945722-3-4

Discussão

A partir do que foi descrito nos níveis e análise da tabela 1 observamos que de um momento

para o outro (teste prévio para o posterior), que os casos em branco, diminuíram, em

contrapartida aumentaram os casos de só resposta e distribuição entre os níveis. Percebemos,

como era esperado, um desempenho maior nos problemas de produto cartesiano, tanto no

teste prévio quanto no posterior, segundo Pessoa e Borba (2009) esse é um conteúdo visto de

maneira mais formal no ensino fundamental do que os demais (arranjo, permutação e

combinação).

De maneira geral, o avanço de um teste para outro foi ínfimo. Para o primeiro nível, tivemos

que um maior desempenho, nos casos de arranjo, permutação e combinação. E que a variável

repetição mesmo para os casos em que a ordem de grandeza é pequena, teve aumento de um

teste para o outro; nos tipos de problemas envolvendo arranjo e combinação. A presença da

variável repetição pode ter contribuído para esse desempenho, já que possui um grau de

dificuldade, por ter que considerar essa variável, além das propriedades relativas a operação

de arranjo e de combinação.

Para o nível II, temos para os casos que envolviam as questões de combinações uma queda

com mais de 50 % de um teste para o outro. Quando falamos em combinações, temos uma

predominância nos dois primeiros níveis, evidenciando uma dificuldade ao resolver

problemas desse tipo combinatório.

No nível III e IV, por mais que a melhoria no desempenho de um momento para o outro tenha

sido pequena, podemos perceber com a análise dos protocolos também, sobre a listagem de

possibilidades como um passo para o desenvolvimento desse raciocínio combinatório. Esses

dados nos leva a refletir sobre como deveria ser desenvolvido esse raciocínio a partir da

compreensão inicial desses estudantes, buscando contribuições para o ensino desse conteúdo.


Brasil. Resolução CEB nº 3, de 26 de junho de 1998. Institui as Diretrizes Curriculares

Nacionais para o Ensino Médio. Câmara de Educação Básica do Conselho Nacional de

Educação. Disponível em: <

http://www.seduc.ro.gov.br/portal/legislacao/RESCNE003_1998.pdf>. Consultado 21/

06/2016

Moro, M. L. F.; Soares, M. T. C.; Filho,J. A. C(2010). Raciocínio combinatório em

problemas escolares de produto cartesiano. Zetetike,18, 211-241.


ISBN 978-84-945722-3-4

Oliveira, T. Santana, E(2015). O raciocínio combinatório revelado ao longo da Educação

Básica. Jornal Internacional de Estudos em Educação Matemática, 189-213.

Pessoa, C.A.S.; Borba, R. E.S.R (2009) Quem dança com quem: o desenvolvimento do

raciocínio combinatório de crianças de 1ª a 4ª série. Zetetike,17, 105-150.

_______(2010). O Desenvolvimento do Raciocínio Combinatório na Escolarização Básica.

Revista de Estudos Internacionais e de Fronteira da UFPE, 1,1-22.

_______(2012). Problemas combinatórios: estratégias e respostas de alunos da Educação

Básica. In: Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM), 5.

Piaget, J. Inhelder, B(1951). A origem do acaso na criança. Rio de Janeiro: Record

Cultural.

Anexo

[1] Problemas contidos no instrumento

PROBLEMA COMBINATÓRIO CLASSIFICAÇÃO

Q1) Claúdia tem 3 blusas e 4 calças. De quantas

maneiras diferentes ela pode se arrumar usando

uma calça e uma blusa?

Produto cartesiano, parte-parte,

pequeno

Q2) Somando dois números do conjunto 𝐺 =

{3, 5, 11, 23}, repetidos ou não, quantos resultados

diferentes são possíveis se obter?

Combinação com repetição

pequeno

Q3) Saussas é o nome de uma aldeia francesa.

Quantos são os anagramas da palavra

SAUSSAS? (Anagrama de uma palavra é uma

nova “arrumação” das letras dessa palavra)

Permutação com repetição

grande

Q4) A diretoria de um clube é composta por 7

membros que podem ocupar o cargo de

presidente, vice-presidente ou secretário. De

quantas maneiras podemos formar, com esses

membros, chapas que contenham presidente,

vice-presidente e secretário?

Arranjo sem repetição grande


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Q5) Quantos números de 4 algarismos

diferentes podem ser escritos com os algarismos

2,5,6 e 8?

Permutação sem repetição

pequeno

Q7) Quantas duplas diferentes podemos formar

com um grupo de 6 tenistas?

Combinação sem repetição

pequeno

Q8) Quantas comissões diferentes, de 3

pessoas, podem ser formadas a partir de um

grupo com 10 pessoas?


grande

Q10) Um menino encontra-se em uma

sorveteria que oferece 8 opções de sabores

(chocolate, coco, tapioca, morango, cajá,

maracujá, goiaba e manga). De quantas

maneiras diferentes ele pode escolher um

sorvete com três bolas, sabendo que ele pode

repetir sabores e que a ordem não importa?

Combinação com repetição

grande

Q11) Foram selecionadas para uma entrevista 5

pessoas (André, Mateus, Joana, Carla e Bruna)

que chegaram ao mesmo tempo à entrevista. De

quantas maneiras diferentes eles podem formar

filas enquanto aguardam a sua vez?

Permutação sem repetição

grande

Q12) Quantas sequências diferentes, de 4

símbolos, podemos formar com os símbolos

abaixo


pequeno

Q13)Suponhamosque 𝑥, 𝑦 𝜖 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Quantos pares ordenados, (𝑥, 𝑦) distintos,

podemos formar utilizando todos os valores

possíveis para 𝑥 𝑒 𝑦 ?

Arranjo com repetição grande

Q14) Quantas palavras de 3 letras, distintas –

com ou sem significado –, podem ser formadas

com as letras da palavra AMOR?

Arranjo sem repetição pequeno

Q15) Numa lanchonete há 12 tipos de sanduíche

e 5 tipos de refrigerante. Quantas opções de

lanche podem ser formadas com 1 sanduiche e

1 refrigerante?

Produto cartesiano, parte-

parte, grande

Q16) Quantas palavras distintas de duas letras

podem ser formadas a partir da palavra PANO

podendo repetir as letras?

Arranjo com repetição pequeno

[3] Legenda da tabela 1 - PPp = Parte parte pequena; PPg=Parte parte grande; ASp= Arranjo sem

repetição pequena; ASg =Arranjo sem repetição grande; ARp =Arranjo c/ repetição pequena; ARg =

Arranjo repetição grande; PSp =Permutação sem repetição pequena; Psg = Permutação sem repetição

grande; PRp =Permutação com repetição pequena; PRg =Permutação com repetição grande; Crp=


ISBN 978-84-945722-3-4

Combinação com repetição pequena; Crg= Combinação com repetição grande; Csp= Combinação

sem repetição pequena; Crg= Combinação com repetição grande.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.382

(IN)EXISTÊNCIA DE ARTICULAÇÃO ENTRE CONCEÇOES E PRÁTICAS NO

ENSINO DA ESTATÍTICA

Maria do Céu Espírito Santo – Cristina Martins


Universidade Pública de São Tomé e Príncipe, São Tomé e Príncipe – Escola Superior de

Educação do Instituto Politécnico de Bragança

Núcleo temático: Formação de Professores de Matemáticas

Modalidade: CB

Nível educativo: Formação e atualização de ensino

Palabras clave: ensino da Estatística, conceções de professores, práticas de ensino

Resumen É reconhecida a importância da Estatística face à necessidade crescente de informação por

parte do Estado, do cidadão comum ou da sociedade em geral, sendo esta necessária para

a tomada de decisões acertadas no âmbito económico, social e político.

Dois dos objetivos do estudo realizado foram: compreender as conceções dos professores

sobre o ensino da Estatística e identificar as práticas utilizadas.

O estudo seguiu uma metodologia qualitativa com a realização de dois estudos de caso. Os

participantes foram dois professores que lecionam a disciplina de Estatística no Ensino

Superior em São Tomé e Príncipe. Para a recolha de dados foram utilizadas entrevistas

semiestruturadas e observação de aulas. Para a análise dos dados foram criadas categorias

baseando-nos nos objetivos do estudo e no enquadramento teórico deste.

Além da discussão das concepções e práticas dos professores, foi possível verificar que estes

defendem ideias que nem sempre conseguem colocar em prática, ou seja, por vezes a sua

atuação não está articulada com a sua pretensão. Neste artigo, pretendemos apresentar

quais os aspetos em que se verificou ou não a existência de articulação entre conceçoes e

práticas, avançando com possíveis razões justicativas desta (in)existência e deixando

recomendações para a melhoria do ensino da Estatística.

1. Fundamentação e contexto do estudo

Os investigadores em educação (e.g. Batanero, 2009; Batanero, Burrill & Reading, 2011; e

Martins, 2011) consideram que as conceções e crenças dos professores determinam de forma

significativa a sua prática. Especificamente, Ponte (2012) defende que só é possível perceber

uma prática de ensino se conhecermos as conceções sobre o ensino que lhe estão subjacentes.

As práticas letivas do professor, um dos grandes domínios da sua prática profissional, são as

que decorrem na sala de aula e que estão mais orientadas para a aprendizagem da




ISBN 978-84-945722-3-4

Matemática pelos alunos (Ponte & Serrazina, 2004). Segundo Martins (2011), o professor

tem a responsabilidade de confrontar os alunos com diversos tipos de tarefas, quer sejam

exercícios de natureza mais rotineira, quer sejam investigações matemáticas que apresentam

uma natureza menos rotineira. Quando desenvolvem as tarefas os alunos devem ter

oportunidade de comunicar as suas ideias e interagir com as dos outros, sendo este processo

facilitado pela forma como o professor organiza o trabalho destes na sala de aula, sendo

aconselhável que passe pelo trabalho individual pelo trabalho de grupo ou em pares.

Conscientes que o ensino da Estatística apresenta como um dos principais objetivos motivar

os alunos a compreender a importância desta nas suas vidas, dotando-os de um sentido crítico

em relação às informações que lhes são transmitidas e preparando-os para exercer uma

cidadania ativa e participativa, impõe-se aos professores o desafio de desenvolver um ensino

que contribua para proporcionar aos seus alunos uma formação adequada. Foi neste contexto

desenvolvida uma dissertação de Mestrado (Espírito Santo, 2013), com o principal propósito

de compreender as concepções dos professores sobre o ensino da estatística e identificar as

práticas de ensino utilizadas. Neste artigo pretendemos ir além destes objetivos e, para tal,

verificar a existência ou não de articulação entre as conceções e práticas dos professores

envolvidos no estudo. É também nossa intenção dar voz a estes professores, no sentido de

ouvir as razões justificativas das suas práticas de sala de aula e, como intervenientes

empenhados no ensino da Estatística em São Tomé e Príncipe, deixar as suas recomendações

para uma prática de ensino melhor sucedida.

2. Ensino da Estatística: conceções e práticas de Marcos e Rafael

O estudo realizado, e aqui aprofundado, insere-se numa abordagem qualitativa e seguiu uma

metodologia de estudo de caso. De acordo com o que defende Ponte (2006), um estudo de

caso não tem como objetivo “encontrar soluções para todos os problemas educativos nem

formular leis gerais que descrevam o funcionamento dos fenómenos mas enriquecem o nosso

conhecimento coletivo acerca desses problemas e fenómenos” (p. 16). Participaram neste

estudo dois professores, Marcos e Rafael (nomes fictícios) que leccionavam a disciplina de

Estatística nos diversos cursos existentes no Instituto Superior Politécnico de São Tomé e

Princípe. Marcos, é licenciado em Matemática. À data de realização do trabalho empírico da


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dissertação em causa, havia dois anos que lecionava as disciplinas de Matemática e de

Estatística no Ensino Superior. Além da atividade de professor, Marcos trabalhava na

administração pública, na área de metodologia, análise e difusão estatística.

Rafael, além outra graduação, possuia uma licenciatura em Estatística e Gestão de

Informação. Iniciou a sua atividade como professor em 2004 e sempre leccionou no ensino

superior. Tinha também outra profissão – técnico na área de marketing.

A recolha de dados foi feita através da realização de entrevistas semiestruturadas individuais

aos professores, tendo por base um guião previamente elaborado, e a observação de três aulas

a cada professor, apoiada igualmente num guião de observação previamente elaborado.

Neste artigo, tentou-se ir mais além no estudo realizado e responder à questão: Quais os

aspetos do ensino da Estatística em que se verificou ou não a existência de articulação

(sintonía) entre conceçoes e práticas? Para tal, organizamos este ponto em três tópicos

principais: (i) tipo de ensino praticado; (ii) tarefas desenvolvidas; e (iii) organização dos

alunos em sala de aula.I.

(i) Tipo de ensino praticado

Conceções. No referente às conceções, Marcos referiu reconhecer a importância do professor

ir além de um ensino do tipo expositivo, tendo manifestado ter preocupação com a

aprendizagem do aluno e, consequentemente, com as suas dificuldades:

Para o aluno é sempre bom ter um professor que não só chega e despeja o conceito e volta as

costas. É sempre bom que o professor esteja presente, e saiba ver o aluno como um indivíduo que

está aqui para aprender e ter em consideração que o aluno também tem as suas dificuldades de

assimilação.

Considerou que trabalhar com os alunos muitos exemplos relacionados com o assunto em

estudo é um ponto positivo nas suas práticas, pois, na sua perspetiva, tem como objetivo

“ajudar [os alunos] a fixar os conceitos” e a “memorizar o que aprendem”.

Rafael mencionou que quando iniciou sua atividade como professor de Estatística “tinha uma

metodologia que era mais expositiva”, mas com o tempo melhorou as suas práticas,

nomeadamente propiciando aos alunos fazerem as suas pesquisas e trabalhos práticos:

Comecei a perceber que quanto mais prática melhor. Agora já mando os alunos fazer trabalhos

estatísticos em casa, como pesquisa de opinião…Acho que uma das coisas erradas que nós

fazemos, uma das insuficiências que temos, é não por os alunos a “meter a mão na massa”.(…)

Eu hoje em dia já ponho os alunos a fazer trabalhos práticos.


ISBN 978-84-945722-3-4

Práticas. Marcos e Rafael demonstraram uma forma de atuação muito semelhante, revelando

características de um ensino do tipo expositivo. Ambos adotaram uma metodologia centrada

na apresentação teórica dos termos e conceitos, através de um diálogo conduzido pelo

professor, seguida da realização de um exercício de aplicação do conceito em estudo e de

outros exercícios de consolidação. Estes exercícios visavam essencialmente o

desenvolvimento de competências ligadas à memorização, domínio dos procedimentos e

cálculos. É de referir que, em geral, os alunos manifestaram interesse nas aulas, tendo-lhe

sido dada oportunidade de esclarecerem as suas dúvidas, ajudar os colegas na compreensão

dos conteúdos em estudo e cooperaram na realização das tarefas.

(ii) Tarefas desenvolvidas

Conceções. Foi vísivel que Marcos valorizava a realização de exercícios, depositando neste

tipo de tarefas a responsabilidade de superar as dificuldades de aprendizagem dos alunos:

“Se for aula teórica, se o aluno não estiver a compreender, procuro uma outra forma de

explicar e se continua a não perceber terá que esperar pela aula de exercícios. Pode ser que

na teoria ele não compreenda, mas na prática [realizando exercícios] ele consegue assimilar

os conceitos”. Este professor acreditava que a apresentação de exemplos simples ajuda os

alunos na compreensão e assimilação dos conteúdos: “Preocupo-me muito com os exemplos,

se são claros, se são fáceis de compreender”. Marcos afirmou, ainda, “levar exercícios um

bocado diversificados, alguns relacionados com vida real”.

Rafael afirmou valorizar a resolução do que chama exercícios práticos, quer sejam exercícios

de consolidação, quer sejam exercícios recorrendo a exemplos da vida real:

Eu valorizo mais a resolução de exercícios práticos. Eu por exemplo tenho três horas, gasto uma

hora com teorias e duas a resolver exercícios. Já reparei que quando se está a resolver os

exercícios os alunos dizem “agora que eu percebi”. (…) Há vários tipos de exercícios, há

exercícios que ajudam os alunos a perceber a aula, que são os chamados exercícios de

consolidação e há exercícios que tratam exemplos da vida prática.

Adiantou também que recomenda aos alunos a realização de “um trabalho prático onde ele

sai para o terreno, identifica um tema, traça os objetivos, define dados que tem de recolher,

lê dados e depois tira conclusões”.

Práticas. Foi notório que tanto Marcos como Rafael privilegiaram tarefas do tipo exercícios,

com o objetivo de desenvolver nos alunos a capacidade de aplicação correta das fórmulas e

memorização de procedimentos. Marcos, apesar de reconhecer a necessidade de diversificar


ISBN 978-84-945722-3-4

as fontes de consulta para selecionar tarefas a propor aos alunos, podémos inferir que o tipo

de tarefas propostas foi influenciado pelo manual por si utilizado. Também nas aulas do

Rafael as tarefas preveligiadas foram exercícios, como por exemplo um exercício do manual

em uso que pedia para calcular a moda pela fórmula de Czuber e pela fórmula de Pearson e

o outro exercício que pedia para calcular D6, P65 e Q1 dada uma determinada distribuição.

Durante as aulas observadas, não foi possível observar a realização de trabalhos práticos, o

que foi justificado por este professor como sendo geralmente propostas no segundo semestre.

(iii) Forma de organização dos alunos na sala de aula

Conceções. Marcos asumindo-se, perante as circunstâncias, um profesor “muito expositivo”

que fica “centrado em cumprir os objetivos”, disse optar por resolver os exercícios com os

alunos em vez de lhes dar tempo para os resolverem autonomamente. Assumiu privilegiar o

trabalho individual, tendo mesmo afirmado que nunca experimentou a realização de trabalho

de grupo, justificando este facto pelas características da turma:

Nunca trabalhei com os alunos organizados em grupo. Exigia que tivesse uma turma mais ou

menos heterogénea. Eu não posso formar grupos em que praticamente ninguém sabe nada. Tem

que haver em cada grupo um pivô, alguém que saiba mais do que os outros”.

Rafael afirmou que incentiva os alunos a trabalharem individualmente porque só assim

poderão “aprender a resolver” as questões colocadas.

Práticas. No que se refere à forma de organização dos alunos na sala de aulas, os dois

professores privilegiaram a realização de trabalhos individuais, pois não reconhecem as

vantagens da realização de trabalhos de grupo. Marcos apesar de não recomendar aos alunos

a realização de trabalho em grupo, deu oportunidade aos alunos de ajudarem os colegas

durante a realização das tarefas: “Marcos continua no entanto a dar explicações sobre o

significado de ∆1 e ∆2. Os alunos continuam a conferenciar entre si em pequenos grupos de

2 ou de 3 elementos” [transcrição da aula 2 de Marcos]. Verificou-se também à-vontade dos

alunos em cooperaram com os colegas durante a correção das tarefas no quadro:A aluna

escreve Q3: 𝑛

4= 3 ∗

163

4 e os colegas sugerem uma correção para Q3:

3∗𝑛

4=

3∗ 163

4= 122,25.

[transcrição da aula 3 de Marcos]. O ambiente da aula foi bastante agradável, apesar de alguns

se mostrarem apáticos perante o que estava a acontecer na sala de aula: “Observa-se que

alguns alunos estão a conferenciar 2 a 2, outros estão a trabalhar sozinhos e ainda outros


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adotaram uma atitude de espera e não estão a fazer nada. De forma geral, a maioria mostraram

boa motivação e envolvimento na aula [transcrição da aula 2 de Marcos].

Rafael, no que concerne à metodologia de trabalho na realização das tarefas, privilegiou a

realização individual das tarefas, seguida geralmente de discussão coletiva com base nas

dúvidas que foram apresentadas pelos alunos.

O cálculo das frequências absolutas (Fi) é feita no quadro e Rafael pede aos alunos para

continuarem a resolução do exercício no caderno uma vez que a dúvida já foi esclarecida e

argumenta que se for feita a resolução no quadro a maioria dos alunos “vão copiar simplesmente

e não vão aprender a resolver”. [transcrição da aula 2 de Rafael]

Quando algum aluno apresentava uma dúvida, na maioria das vezes, foi colocada para toda

a turma e o seu esclarecimento feito com a ajuda dos próprios colegas. Notou-se com

frequência uma certa colaboração entre o aluno que está no quadro a realizar a tarefa e os

outros que lhe dão ajuda, notando-se a intervenção do professor quando as explicações dadas

pelos colegas não eram corretas.

3. Articulação conceções e práticas: razões e recomendações

As conceções dos professores Marcos e Rafael estiveram, por vezes, em sintonia com a

prática observada. Contudo, algumas ideias que defendem e que nem sempre conseguem

colocar em prática são justificadas por razões adiantadas pelos próprios. Assim, neste ponto

pretendemos sintetizar a articulação (ou não) manifestada entre as suas conceções e práticas,

expor os motivos que, no entender dos profesores, inviabilizam a existencia de articulação e

adiantar recomendações para o ensino da Estatística, baseando-nos igualmente nas opiniões

de Marcos e Rafael.

Concretamente em relação às conceções sobre o tipo de ensino praticado, apesar de Marcos

afirmar sentir necessidade de não ficar por um ensino do tipo expositivo e Rafael assinalar já

ter sido um professor mais expositivo, na sua prática foi unicamente possível observar uma

atuação com características de um ensino do tipo expositivo.

Foi notória quer nas conceções quer na prática preocupação com a aprendizagem do aluno e

com as suas dificuldades, não deixando contudo da sua atuação se localizar num ensino do

tipo expositivo.

Sobre as tarefas desenvolvidas foi possível verificar que as conceções se encontram em

sintonía com o verificado nas suas práticas. Marcos e Rafael valorizaram claramente a


ISBN 978-84-945722-3-4

realização de exercícios, muito embora o alerta para a importancia da diversificação de

tarefas e da ligação destas à vida real. Rafael considerou importante valorizar a resolução de

trabalhos práticos, mas não foi possível observar nas suas aulas a proposta deste tipo de

tarefas. No que concerne à forma de organização dos alunos na sala de aulas, ambos os

professores disseram privilegiar o trabalho individual, o que se encontra em sintonia com as

práticas observadas.

Acerca das razões adiantadas para o ensino praticado, abordando particularmente as tarefas

desenvolvidas e a organização do trabalho dos alunos em sala de aula, concretamente Marcos

referiu que a prática de ensino depende dos “fatores, meios e condições que existem”.

Apontou especificamente “a carência de manuais, livros” e a falta de outros materiais que

poderiam ajudar a melhorar as suas práticas letivas, afirmou “temos que trabalhar com quadro

e giz mas se pudéssemos também usar as novas tecnologias na sala de aulas [seria melhor]”.

Mencionou também como razões que condicionam a sua prática letiva as relacionadas com

os conteúdos a lecionar, indicando como exemplo a “matéria muito teórica que se dá antes

de entrar na inferência Estatística”. Igualmente, assinalou a importância da fase de

preparação das aulas, salientando especificamente a necessidade “ter alguém com quem

trocar ideias antes de pô-las em prática” e que o facto de possuir outra atividade profissional,

que embora possa contribuir positivamente para a sua profissão de professor, “lhe rouba

tempo de preparação das aulas”. Também o facto dos “alunos não terem uma preparação em

estatística” nos níveis anteriores e “o pouco interesse dos alunos” em adquirir conhecimento

foi indicado como limitador das práticas de ensino que desenvolve.

Na opinião destes profesores ficou clara a indicação de recomendações para a melhoria da

suas práticas. Marcos e Rafael, enfatizaram que a importancia da colaboração entre os

professores. Neste ámbito, Marcos refere especificamente que as dificuldades sentidas pelos

professores principiantes referentes a conteúdos ou materiais de ensino poderiam ser

superadas com a ajuda de professores mais experientes, que já tivessem sentido as mesmas

dificuldades e que pudessem transmitir os seus conhecimentos e as suas experiências aos

mais novos, bem como partilhar materiais de ensino. No mesmo sentido, Rafael deu a

conhecer que no início da carreira como professor de Estatística: “houve uma certa

dificuldade na transmissão do conhecimento (…) não ensinava tão bem como eu faço agora”,

adiantando que a troca de experiências entre professores poderia ser promovida dentro dos


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departamentos, por exemplo, durante a reunião de coordenação. Reforça que as dificuldades

relacionadas com conteúdos foram superadas através de realização de pesquisas na internet

e de troca de experiencia junto de “um professor mais experiente”. Em articulação com esta

ideia, refere especificamente a necessidade de se diversificarem as fontes de consulta de

materiais para os alunos e avança com a ideia da criação de uma sala de estudos onde estaria

disponível um professor para ajudar no esclarecimento das dúvidas dos alunos e de um

laboratório de Estatística. Apontou, também, uma outra estratégia para ajudar os alunos a

superar as suas dificuldades de aprendizagem da Estatística que consiste em “diminuir o

ritmo e levar o conhecimento de uma maneira mais pausada”.

Relativamente à diversificação de estratégias específicas a utilizar no ensino da Estatística,

Marcos considerou que o curso de Mestrado em Ensino que está a frequentar poderá

contribuir para melhorar o seu repertório. Neste contexto, Rafael defende que o professor

deve possuir um curso de pedagogia de ensino e possuir conhecimento sobre “o que leva os

alunos a ter dificuldade de aprender”. Este profesor, indica a experiência como a principal

responsável pela melhoria da sua prática letiva em relação ao início da carreira, pois “com a

experiência, melhora-se o poder de decisão”. Além disso, defendeu também que deveriam

existir orientações do Sistema de Ensino sobre como ensinar Estatística, porque “nem todos

os professores têm a mesma criatividade nem expectativa. Havendo uma orientação geral

seria melhor”. Marcos depositou na reflexão na ação e na reflexão pós-ação uma grande

utilidade para a melhoria das práticas de ensino e, consequentemente, para a aprendizagem

dos alunos. Foi no seguimento desta ideia que indicou a importância do professor “fazer uma

autoavaliação e ser capaz de ver que os alunos não estão a aprender e rever a sua forma de

atuação na sala de aulas”.

Das razões e recomendações identificadas por Marcos e Rafael fica patente que para a

melhoria do ensino da Estatística é necessário promover a colaboração entre professores, a

troca de experiências e materiais, a preparação das aulas, a diversificação de tarefas, a

aquisição de novo repertório de tarefas, a experiência, a reflexão sobre as práticas, em suma,

a aposta no desenvolvimento profissional do professor.



ISBN 978-84-945722-3-4

Batanero, C. (2009). Retos para la formación Estadística de los profesores. II encontro de

probabilidade e Estadística na scola. Braga: Universidade de Minho.

Batanero, C., Burrill, G., & Reading,C. (2011). Teaching Statistics in School-Mathematics-

Challenges for Teaching and Teacher Education: A Joint ICMI/IASE Study (pp. 407- 418),

DOI 10.1007/978-94-007-1131-0, Springer Science+Business Media B.V. 2011.

Espírito Santo, M. C. (2013). Conceções, dificuldades e práticas dos professores de

Estatística no ensino superior em São Tomé e Príncipe. Dissertação de Mestrado, Instituto

Politécnico de Bragança.

Martins, M. C. (2011). O desenvolvimento profissional de professores do 1º ciclo do Ensino

Básico: Contributo da participação num programa de formação contínua em Matemática.

Tese de doutoramento, Universidade de Lisboa.

Ponte, J. P. (2006). Estudos de caso em educação matemática. Bolema, 25, 105-132. Este

artigo é uma versão revista e actualizada de um artigo anterior: Ponte, J. P. (1994). O estudo

de caso na investigação em educação matemática. Quadrantes, 3(1), 3-18. (re-publicado com

autorização).

Ponte, J. P. (2012). Estudando o conhecimento e o desenvolvimento profissional do professor

de Matemática. In N. Planas (Ed.), Educatión Matemetics: Teoría, critica y prática.

Barcelona: Graó.

Ponte, J. P., & Serrazina, L. (2004). Práticas profissionais dos professores de Matemática.

Quadrante, 13(2), 51-74.


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CB-1.383

UMA ANÁLISE DOS ESTUDOS REALIZADOS COM PROFESSORES EM TESES

DE DOUTORADO, EM EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA, ELABORADAS NO BRASIL

Magnus Cesar Ody – Lori Viali


FACCAT (Faculdades Integradas de Taquara) – PUCRS (Pontifícia Universidade Católica

do Rio Grande do Sul) - Brasil

Núcleo temático: Investigación en Educación Matemática

Modalidad: CB

Nível: Não Especificado

Palavras-chave: Educação Estatística. Formação Docente. Ensino. Aprendizagem

Resumo. O estudo apresenta uma análise das considerações apontadas em teses de

doutorado produzidas no Brasil com temas voltados à Educação Estatística. Foram

relacionadas pesquisas realizadas com professores em diferentes níveis de ensino. Emergiu

um subgrupo de 12 investigações do universo de 40 teses publicadas nos últimos 22 anos.

Buscou-se avaliar como os elementos da Literacia Estatística e Probabilística são tratados

e contribuem para a formação docente. A abordagem foi qualitativa por estabelecer

relações e analisar o objeto de estudo. Ocorre um movimento de preocupação com a

aprendizagem e o ensino de Probabilidade e Estatística. Este, convertido em pesquisas

relevantes focadas em atividades de formação docente que mostram bons resultados no

aumento dos aspectos cognitivos e didáticos dos professores. Das 12 teses analisadas, 10

foram realizadas com professores que atuam na Educação Básica.

Considerações Iniciais

A relevância da aprendizagem da Estatística e da Probabilidade, especialmente nos espaços

formais (Batanero, 2001) e a formação de uma cultura estatística pelos cidadãos a ser usada

ao longo de toda a vida (Gal, 2002; Watson, 2006) vem sendo apontadas em pesquisas no

contexto brasileiro.

Santos (2015), mapeou 258 pesquisas brasileiras, incluindo teses e dissertações produzidas

em programas de pós-graduação até o ano de 2012 que apresentaram temas relacionados ao

ensino de Estatística, Probabilidade e Combinatória nos diversos níveis de ensino. Foram

31 teses e 227 dissertações em 56 universidades brasileiras.

Compreende-se a Educação Estatística (EE) enquanto um campo de conhecimentos que

estuda questões históricas, epistemológicas e didáticas voltadas ao seu desenvolvimento,

Malows (1998).

Para Batanero (2001) é consequência de um movimento mundial emergido na década de

1970 reconhecendo a relevância do ensino da Estatística nos espaços escolares e

acadêmicos, particularmente em seus aspectos didáticos.



ISBN 978-84-945722-3-4

Cazorla & Utsumi (2010) destacam a valorização da Estatística enquanto área do

conhecimento, sua locução intra e interdisciplinar, uma preocupação com a epistemologia

dos conceitos estatísticos, como as pessoas aprendem, o papel dos aspectos afetivos na

aprendizagem, o desenvolvimento de métodos e materiais de ensino e o papel das

instituições.

Neste artigo, o propósito é descrever e apresentar o tratamento dado à formação docente em

teses de doutorado defendidas no Brasil, cujo tema delimitou-se em realizar estudos com

professores em diferentes níveis de ensino envolvendo a Educação Estatística.

Do universo de 40 teses, foi delimitado um subgrupo formado por 12 pesquisas sendo

adotados como critérios: apresentar como finalidade a relação da Educação Estatística com

a formação docente; estudos realizados com professores da educação básica ou do ensino

superior relacionados com a Literacia.

Foram realizadas leituras dos resumos e considerações das pesquisas, além das propostas

(objetivos e problemas). Em boa parte, foram analisados os aspectos teórico/metodológicos

envolvidos, especialmente aqueles voltados à Literacia Estatística e Probabilística.

Particularmente, nas teses selecionadas, foram realizadas leituras complementares, se não, a

íntegra da mesma.

A Literacia Estatística

De acordo com Watson (2006), Katherine Walman, no ano de 1992, em seu discurso

presidencial à American Statistical Association (ASA), apresentou o tema Literacia

Estatística como a capacidade de compreender e avaliar criticamente os resultados

estatísticos que permeiam a vida, fazer uso do pensamento estatístico na tomada de

decisões.

Gal (2002) amplia para além dos espaços escolares, pensando um constructo de habilidades

para aqueles que fazem uso ao longo da vida. Define como a capacidade que uma pessoa

tem de interpretar, analisar criticamente e comunicar uma informação Estatística. Considera

a literacia como a presença de dois processos somativos. O primeiro representa uma

combinação de elementos cognitivos responsáveis pelo conhecimento: a) competências em

literacia, b) conhecimento estatístico, c) conhecimento matemático, d) o conhecimento do

contexto, e) criticidade. O segundo, considera questões atitudinais: f) postura crítica e g)

crenças e atitudes.

As competências em literacia (a) referem-se ao fato das pessoas as desenvolverem para uso

na compreensão e tomada de decisões de informações apresentadas na forma de pequenos

textos (resumo) que contém dados estatísticos. O conhecimento estatístico (b) e matemático

(c) estão associados à capacidade de compreender os significados e sentidos dados pelos

números no contexto, especialmente na resolução de problemas.

O conhecimento do contexto (d) e a criticidade (e) referem-se ao uso do conceito estatístico

e probabilístico na interpretação de informações disponíveis em seu contexto de forma

crítica. Contudo, é necessário a familiaridade do sujeito com o a realidade na qual está

inserido, contextualizando localmente e globalmente, verificando a natureza e a validade da

informação.

O segundo processo envolve as atitudes e crenças (f) e a postura crítica (g). A primeira

engloba ações individuais do sujeito frente a uma informação estatística, mais a emoção do

que a cognição e particularizada pelo sujeito por meio de ideias, opiniões sobre terceiros,


ISBN 978-84-945722-3-4

sobre si mesmo, e sobre o contexto. A segunda avalia como uma cultura de questionamento

e ampliação das ações das pessoas frente às informações quantitativas.

Descrição e análise dos materiais

Apresentamos o quadro contendo, respectivamente, o título da tese, o nome do pesquisador

e seu orientador.

Quadro 1 – Título, Autores e Objetivos/Problemas das Teses

Título Autor/Orientador Objetivo/Problema

Conhecimentos estatísticos

no ciclo I do Ensino

Fundamental: um estudo

diagnóstico com professores

em exercício.

Carlos Ricardo Bifi

- Cileda de Queiroz

e Silva Coutinho

Que conhecimentos estatísticos – didáticos e

específicos – são mobilizados em situação de

concepção e gestão de aula por um grupo de

professores em suas práticas docentes?

Os saberes profissionais dos

professores: a

problematização das práticas

pedagógicas em estatística

mediadas pelas práticas

colaborativas.

Maria Aparecida

Vilela Mendonça

Pinto Coelho -

Dione Lucchesi de

Carvalho

a) Compreender como professores de Matemática

da Escola Básica que pertencem a um grupo do

tipo colaborativo problematizaram suas

concepções sobre Educação Estatística nas

práticas de ensinar e aprender Estatística;

b) Compreender como o movimento do grupo

possibilitou a sistematização de saberes

profissionais dos professores.

Formação de professores

para o ensino da Matemática

com a informática integrada

à prática pedagógica:

exploração e análise de dados

em bancos computacionais.

Nielce Meneguelo

Lobo da Costa -

Marcos Tarciso

Masetto

Quais são os fatores significativos de um

processo de formação de professores, na

perspectiva da mediação da aprendizagem, ao

utilizar o computador para a construção de

práticas pedagógicas de Matemática?

O desenvolvimento

profissional de professores

do 1º ao 5º ano do Ensino

Fundamental em um

processo de formação para o

ensino e a aprendizagem das

medidas de tendência central.

Maria Patrícia

Freitas de Lemos -

Cileda de Queiroz e

Silva Coutinho

Que compreensão e que desenvolvimento

pedagógico e didático do conteúdo pode ser

identificado em professores que atuam no Ensino

Fundamental, do 1º ao 5º sobre as Medidas de

Tendência Central, a partir da investigação de seu

desenvolvimento profissional numa formação

continuada?

O conhecimento profissional

dos professores e suas

relações com Estatística e

Probabilidade na Educação

Infantil.

Celi Aparecida

Espasandin Lopes -

Anna Regina Lanner

de Moura

Que contribuições o estudo, a vivência e a

reflexão sobre conceitos de Estatística e

Probabilidade podem trazer para o

desenvolvimento profissional e a prática

pedagógica de um grupo de professoras da

Educação infantil?

Os saberes docentes do

professor universitário do

curso Introdutório de

Estatística expressos no

discurso de formadores.

Maria Bernadete

da Silva Malara -

Maria Lúcia

Lorenzetti

Wodewotski

Quais os saberes/conhecimentos que os

professores formadores acreditam ser necessários

para a prática pedagógica dos professores de

Estatística que ministram um Curso Introdutório

de Estatística (CIE), visando a uma aprendizagem

da disciplina direcionada para o desenvolvimento

do pensamento estatístico?


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O processo de aprender

noções de Probabilidade e

suas relações no cotidiano

das séries iniciais do Ensino

Fundamental: uma história

de parceria.

Paulo César de

Oliveira - Dione

Lucchesi de

Carvalho

Que saberes docentes foram mobilizados por

duas professoras envolvidas com o estudo de

noções elementares pertinentes à Probabilidade?

Concepções de professores

da Educação Básica sobre

variabilidade estatística.

Diva Valério

Novaes - Cileda de

Queiroz e Silva

Coutinho

Verificar se as dificuldades identificadas nos

professores evidenciam lacunas em sua formação

para trabalhar a construção do conceito de

variabilidade fazendo uso das articulações entre

as noções pertencentes ao ecossistema didático

identificado no estudo do objeto estatístico

variabilidade.

A formação Estatística e

pedagógica do professor de

Matemática em comunidades

de prática.

Admur Severino

Pamplona - Dione

Lucchesi de

Carvalho

Quais práticas os professores formadores citaram,

desenvolveram ou valorizaram no sentido de

evidenciar e fortalecer os nexos entre as práticas

de formação estatística e as de formação

pedagógica?

O desenvolvimento

profissional de educadoras da

infância: uma aproximação à

Educação Estatística.

Antonio Carlos de

Souza - Celi

Espasandin Lopes

Investigar como o grupo de estudos pode

possibilitar a ampliação do conhecimento

profissional das professoras aproximando-as da

Educação Estatística; verificar quais indícios de

aprendizagem profissional elas revelam durante a

participação no grupo de estudos; e identificar

quais práticas existentes foram mais

potencializadoras de aprendizagem.

Um estudo sobre os

conhecimentos necessários

ao professor de matemática

para a exploração de

problemas de contagem no

Ensino Fundamental.

Paulo Jorge

Magalhães Teixeira

- Ruy César

Pietropaolo

Que experiências um professor de Matemática do

Ensino Fundamental deve vivenciar em sua

formação continuada para selecionar e dirigir

situações de aprendizagem com vistas a

desenvolver o raciocínio combinatório de seus

alunos por meio da proposição de problemas de

contagem de modo a compreender as dificuldades

que os alunos enfrentam na resolução de

problemas de contagem e para ajudá-los a superar

essas dificuldades e atender às orientações do

Currículo do Estado de São Paulo (2010)?

Pensamento Estatístico e

raciocínio sobre variação: um

estudo com professores de

Matemática.

Cláudia Borim da

Silva - Cileda de

Queiroz e Silva

Coutinho

Verificar o raciocínio sobre variação e

variabilidade nas etapas do ciclo investigativo do

pensamento estatístico.

É possível evidenciar nas pesquisas:

a) Um movimento de preocupação com a aprendizagem e o ensino nos níveis

particularizados. Este, por sua vez, mostra um avanço para além do diagnóstico de

necessidades como: formação docente inicial e continuada para o ensino de Estatística e

Probabilidade, dificuldades conceituais, curricularização e extensão de atividades

didáticas.

b) Das 12 teses, 10 foram realizadas com professores que atuam na Educação Básica. No

Brasil, esta etapa divide-se em: Educação Infantil (zero a seis anos); Ensino


ISBN 978-84-945722-3-4

Fundamental (sete aos 14 anos) e o Ensino Médio (15 aos 17 anos). Destas, duas

realizaram intervenções com educadores da Educação Infantil, Lopes (2003) e Souza

(2013).

c) Boa parte das teses (10) promoveu intervenções didático-pedagógicas com a finalidade

de diagnosticar conhecimentos e competências em Estatística e Probabilidade, assim

como, promover formação com os sujeitos. A formação caracterizou-se de diferentes

modos, tais como: Grupo Colaborativo, Formação Continuada; Grupos de estudos e

Mediação da aprendizagem. Alguns exemplos:

“A postura de investigação coletiva […] se mostrou de grande importância na

sistematização dos saberes das professoras e nos processos de aprender e ensinar

estatística, […] as culturas colaborativas, reflexivas e investigativas podem exercer

influência significativa nas práticas vivenciadas pelos futuros professores na sua

formação inicial (Coelho, 2010).

“[…] o movimento dialético do processo reflexivo sobre a ação pedagógica

permitiu a mútua renovação teoria/prática, originando uma prática autónoma e

criativa a partir de discussões e estudos […] os projetos colaborativos adquirem

importante dimensão […]” (Lopes, 2003).

d) Sobre conceitos, identificou-se conteúdos: de medidas de tendência central (média,

mediana e moda); análise de gráficos; princípios de contagem; cálculo de

probabilidades; medidas de dispersão e variação e distribuição de frequências. Foram

realizadas atividades de leitura de textos envolvendo Educação Estatística; resolução de

problemas; simulação e experimentação de probabilidade e práticas pedagógicas de

investigação com o uso da tecnologia.

e) Predomina a coerência em contextualizar a relevância da Educação Estatística ao

destacar a Literacia como modo de promover a aprendizagem de alunos, professores e

futuros professores. As pesquisas que realizaram intervenções com professores,

indicaram:

“[…] evolução no letramento estatístico […] na distribuição de significado para

média (Lemos, 2011);

“[...] promover discussões para possibilitar às professoras ressignificar […]

estabelecendo um ciclo que contribuiu para o desenvolvimento dos conceitos”

(Costa, 2004).

Contudo, persistem carências pontuais relacionadas à Literacia identificadas em alguns

trabalhos. Estes, justificados pela necessidade de prosseguimento da formação continuada.

“[…] não são um bom cidadão estatístico […] que compreende as estatísticas bem o

suficiente para poder consumir as informações que recebem cotidianamente”

(Lemos, 2011).

Duas pesquisas reuniram materiais relevantes com: professores formadores de docentes que

ministram curso introdutório de estatística, Malara (2008) e docentes experientes que têm

atuado no ensino de estatística, em cursos de formação de professores de matemática

(Licenciatura em Matemática), Pamplona (2009).

As considerações dos autores, valorizam nos discursos dos sujeitos, elementos importantes

para a Educação Estatística, tais como:

“A necessidade do envolvimento do professor em projetos e pesquisas reais […] a

importância dos conhecimentos pedagógicos […] dominar conhecimento básico em

matemática, de teoria e prática estatística […] familiaridade com um pacote


ISBN 978-84-945722-3-4

estatístico de qualidade […] a docência é muito mais do que uma função […]”

(Malara, 2008).

“O compartilhamento, com os licenciandos, dos problemas, das escolhas, dos

trajetos, das perspectivas e dos prazeres que fazem parte do exercício da docência,

de modo geral, e do ensino da estatística, de modo particular […] o uso de métodos

e estratégias que possibilitem aos licenciandos a aquisição de habilidade, na

negociação de significados […] maior ênfase na abordagem de conceitos e práticas

[…]” (Pamplona, 2009).

Considerações

As pesquisas mostram avanço nas preocupações com a formação inicial e continuada.

Mesmo apontando dificuldades conceituais e didáticas de professores e futuros professores

derivadas da própria formação, são percebidas pesquisas práticas com professores que

atuam na educação básica. Parte dos pesquisadores se sentiram sujeitos da pesquisa,

melhorando suas compreensões sobre a própria Educação Estatística e o modo de ver o

processo de ensino. São produzidas sugestões para a formação docente, considerando

aspectos epistemológicos, pedagógicos e didáticos. Particularmente, emergem uma

consideração relevante: promover estudos de formação inicial e continuada que tratam da

Literacia e do Pensamento Estatístico e Probabilístico Gal (2002).


Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. Universidad de Granada. Departamento de

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práticas pedagógicas em estatística mediadas pelas práticas colaborativas. Tese (Doutorado

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São Paulo.

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Informática Integrada a Prática Pedagógica: Exploração e Análise de Dados em Bancos

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Graduação em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São

Paulo.

Gal, I. (2002) Adults’ statistical literacy: Meanings, Components, Responsibilities.

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São Paulo.

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Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

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ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.384

PRODUCCIÓN INVESTIGATIVA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA (UNEG)

Delisa Bencomo – Fredy González

[email protected] – [email protected] Universidad Nacional Experimental de Guayana - Universidad Pedagógica Experimental Libertador

Venezuela

Núcleo temático: Historia Social de la Educación Matemática en Iberoamérica


Nivel educativo: 7. No específico

Palabras clave: Producción investigativa, Educación Matemática, Cienciometría, Redes

sociales

Resumen Para construir una perspectiva para la Educación Matemática en la UNEG, se hace

necesario reflexionar sobre el quehacer investigativo en esta disciplina que tiene lugar en

esta institución venezolana de educación superior; aquí se reporta un avance de un estudio

descriptivo y retrospectivo sobre los trabajos de grado de posgrado (TrGrP) en Educación

Matemática realizados en la UNEG desde 2003 al 2017, en el que se utilizan tanto técnicas

cienciométricas (Torralbo, 2001), como otras de carácter cualitativo, haciendo énfasis en el

estudio de la vinculación entre los autores de estos TrGrP y sus tutores y miembros de los

jurados, tanto quienes son docentes en la UNEG como quienes pertenecen a otras

instituciones (Maz-Machado et al., 2012). El avance aquí consignado se refiere a la

caracterización de las redes de colaboración, establecidas entre tutores y jurados tanto de

la UNEG como de otras instituciones, generadas por los trabajos de grado en Educación

Matemática producidos en la UNEG; también se esbozan algunas ideas de potenciales

escuelas científicas basadas en la genealogía asociada con los trabajos examinados.

Introducción

Desde una perspectiva general, el estudio que aquí se reporta se ubica en el contexto global

de los esfuerzos que se realizan en Venezuela para caracterizar a la Educación Matemática

como una disciplina en este país suramericano (González, 2012, 2014ª, 2014b; Malizia,

2009); específicamente, con este trabajo se intenta caracterizar las redes académicas de

colaboración (Maz-Machado et al., 2012) que se conforman desde los trabajos de grado

aprobados durante el lapso 2003-2017, en el Programa de Maestría en Ciencias de la

Educación, mención Enseñanza de la Matemática (TrGrM) que se desarrolla en la

Universidad Nacional Experimental de Guayana (UNEG, Venezuela).





ISBN 978-84-945722-3-4

Corpus del estudio

El corpus de este estudio lo conforman todos (19) los trabajos de grado de maestría aprobados

en el programa de postgrado antes identificado y que se enlistan en la Tabla 1.

Tabla 1. Trabajos de grado presentados en el periodo 2003-2017

TG TÍTULO DEL TRABAJO DE GRADO AÑO AUTOR TUTOR

1 Los niveles de razonamiento geométrico y la apercepción del

método de fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele en

estudiantes de Educación Integral de la UNEG.

2005 Moisés

Zambrano

José Vicente

Morales

UNEG

2 Evolución de las concepciones de los docentes sobre objetos

matemáticos aritméticos 2007 Daniel Ruiz Cecilia

Tirapegui

UNEG 3 Aprendiendo geometría en ambientes interculturales: el caso de

escolares criollos y tejedores Warao (Venezuela),

2008 Carmen

Longart

Cecilia

Tirapegui

UNEG

4 Aproximación a la cultura Pemón en el sector Wonken 2009 Oscar

Villalobos

Daniel Ruiz

UNEG

5 Estrategia pedagógica centrada en el uso de software de geometría

dinámica para el aprendizaje de conceptos geométricos

2009 Oscar

Calzadilla

Sandra

Castillo

UNEG

6 Habilidades Metacognoscitivas adquiridas y desarrolladas por

estudiantes de educación en la resolución de problemas

matemáticos empleando mapas conceptuales y V de Gowin

2009 Mary Acosta Esther

Morales

UNEXPO

7 Estudio del pensamiento matemático vinculado a la definición de

límite, mediante los diagramas V de Gowin

2009 María Elena

Bejarano

Cipriano Cruz

UCV

8 El pensamiento estadístico en la formación del ingeniero

industrial

2009 Zoraida Pérez Audy Salcedo

UNA

9 Las concepciones de los profesores y sus manifestaciones en las

estrategias de enseñanza al desarrollar el contenido de funciones

2009 Ewuard

Guzmán

María Elena

Rodríguez

UNEG

10 Visualización de las funciones afín y cuadrática mediante el uso

de un software: un estudio de caso de estudiantes de

Administración y Contaduría

2009 Sonia Chahin Cipriano Cruz

UCV

11 Propuesta didáctica de Enseñanza para propiciar un Aprendizaje

Significativo de los Espacios Vectoriales

2009 José León José Morales

UNEG

12 Idoneidad epistémica de las lecciones de fracciones en Libros de

Texto de Sexto Grado

2013 Johanna

Franzone

Delisa

Bencomo

UNEG

13 Desarrollo de habilidades y destrezas matemáticas mediante la

ejercitación con juegos didácticos

2013 Yenny García Cecilia

Tirapegui

UNEG

14 Concepciones de los profesores de matemática con respecto a la

evaluación de los aprendizajes en la Educación Media de la

UENR Ana Emilia Delon

2014 María Álvarez Esther

Morales

UNEXPO

15 Aspectos didácticos de los Problemas Aritméticos planteados en

los Textos Escolares de Sexto Grado

2014 Maholy

Solano

Mary Acosta

UNEG

16 Modelo didáctico para la enseñanza de la Derivada 2016 Rafael Lanz Omero Mora

UNEG

17 Concepciones de los profesores de física sobre el movimiento de

caída libre y su enseñanza

2016 Juvencio

Mendoza

Daniel Ruiz

UNEG

18 Significados institucionales y personales de deriva en el proceso

de enseñanza-aprendizaje de la Matemática Universitaria

2016 Karen

Reinoza

Delisa

Bencomo

UNEG

19 Valoración del empleo de la V de Gowin en el aprendizaje de los

polinomios en los educando de segundo año de educación Básica

2016 Alexander

Maza

Mary Acosta/

UNEG


ISBN 978-84-945722-3-4

Discusión de resultados

Desde los inicios del programa de maestría en Ciencias de la Educación mención Enseñanza

de la Matemática, se han presentado diecinueve (19) trabajos de grado. En la Figura 1 se

presenta la distribución diacrónica de esos trabajos en el periodo 2003-2017; en ella se

observa que en el periodo 2009-2011 se alcanza la máxima producción la cual comienza a

descender a partir de ese momento, aun cuando se estabilizó durante los dos periodos

siguientes.

Figura 1: Producción diacrónica de trabajos de grado

Comité evaluador

En los diecinueve (19) comités de trabajo de grado (jurados) han participado treinta y cuatro

(34) profesores entre los cuales once (11) han sido tutor; siendo seis (06) mujeres y cinco

(05) hombres; ocho (08) son de la UNEG y tres (03) de otras universidades. En la Tabla 2

se muestran los profesores que han sido no solo tutores sino también jurado. En ella se puede

observar que Delisa Bencomo es la profesora con mayor participación, integrando ocho

comités (dos en calidad de tutor y seis en calidad de jurado; seguida por Cecilia Tirapegui

y Ángel Mora, quienes han participado en siete comités cada uno y el profesor con menos

participación es Audy Salcedo quien solo ha sido tutor un vez y no ha participado en calidad

de jurado.

Tabla 2. Profesores con mayor participación en comités evaluador

Nº Nombre del Jurado

comité evaluador

A Tutor

B Jurado A+B

Porcentaje de 19 A+B

1 Acosta, Mary 2 2 4 21,05

2 Bencomo, Delisa 2 6 8 42,11

0

2

4

6

8

10


ISBN 978-84-945722-3-4

3 Castillo, Sandra 1 1 2 10,53

4 Cruz, Cipriano 2 - 2 10,53

5 Mora, Ángel 1 6 7 36,84

6 Morales, Esther 2 3 5 26,32

7 Morales, José V 2 2 4 21,05

8 Rodríguez, María 1 4 5 26,32

9 Ruiz, Daniel 2 4 6 31,58

10 Salcedo, Audy 1 - 1 5,25

11 Tirapegui, Cecilia 3 4 7 36,84

En la Figura 2 se presenta el diagrama de dispersión de los tutores de la UNEG que han sido

jurados en los comités de trabajo de grado. Se puede observar que Delisa Bencomo es la

Tutora que más has participado en comités evaluadores (dos veces en calidad de tutora y seis

veces en calidad de jurado) y Sandra Castillo ha sido la tutora con menos participación (una

vez en calidad de tutora y una vez en calidad de jurado)

Figura 2: Diagrama de dispersión tutor de trabajo de grado-jurado

Red académica

Las redes académicas dan cuenta de la colaboración que existe entre los profesores de la

UNEG y de otras universidades. Para construir la red de colaboración se fijaron los

siguientes criterios: los nodos representan los profesores que han participado en los comités

de evaluación de los trabajos de grado, los de forma rectangular, representan a los profesores


ISBN 978-84-945722-3-4

de la UNEG y los de figura triangular representan los de otras universidades; las aristas

representan la relación de coparticipación en un mismo comité, la dirección de la relación va

de tutor a otros miembros del jurado evaluador.

Figura 3: Red de miembros de comité evaluador

Los treinta y cuatro profesores que han participado en los comités evaluadores, se distribuyen

entre las instituciones así: veintiuno (21) de la UNEG y 13 de otras universidades (UCV,

UNEXPO, UNA, UCAB, UPEL Y UDO). Esther Morales es la persona que se relaciona con

mayor número de investigadores (09 investigadores), seguida por Daniel Ruiz y Delisa

Bencomo, quienes se relacionan con ocho (08) investigadores cada uno. Además, la

inspección de la Tabla 1 y la Figura 1 permite señalar la presencia de trece (13) profesores

de la UNEG que no han sido tutores de trabajos de grado en el programa de maestría en

Ciencias de la Educación, mención enseñanza de la Matemática.

Para una mejor comprensión de la Red académica se tiene previsto el cálculo de los

indicadores de centralidad (índices de cercanía y de intermediación); así como el análisis de

la filiación de los miembros del comité.

Genealogías

La figura de tutor es importante no solo para el éxito de la elaboración del trabajo de grado

sino para la formación de futuras escuelas científicas. En el periodo estudiado las tutoras más


ISBN 978-84-945722-3-4

destacados son Cecilia Tirapegui de la UNEG con cinco (05) investigadores distribuidos en

tres (03) genealogías y Esther Morales de la UNEXPO con cuatro investigadores distribuidos

en dos (02). Estas profesoras han generado las dos (02) genealogías más largas con dos (02)

generaciones cada una.

Figura 4: Genealogías generadas a partir de las tutorías de los trabajos de grado

A modo de reflexión

El avance del estudio realizado ha revelado que la producción de trabajos de grado en el

programa de maestría en Ciencias de la Educación mención Enseñanza de la Matemática no

sigue el comportamiento esperado (que aumente en forma constante) sino que presenta

altibajos.

El análisis de la red de colaboración que se conforma entre los tutores y jurados de los

trabajos de grado de maestría permite afirmar que se están conformando dos colegios

invisibles alrededor de las profesoras Esther Morales y Cecilia Tirapegui.


González, F. (2012; Enero-Abril). Fuentes para una Reconstrucción Histórica de la

Educación Matemática en Venezuela Quipu, vol. 14, núm. 1, pp. 33-54


ISBN 978-84-945722-3-4

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Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de

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Venezuela, Maracay: CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9. Disponible

en: http://www.asovemat.org.ve/memorias.php

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Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto Pedagógico de Maracay.

Maz-Machado, A., Bracho-López, R., Torralbo-Rodríguez, M., Gutiérrez-Arenas, M.,

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tesis doctorales de educación matemática en España. Revista de Investigación Educativa, 30

(2), 271-286.

Torralbo, M. (2001). Análisis Cientimétrico, conceptual y metodológico de las tesis

doctorales españolas en educación matemática (1976-1998). (Tesis doctoral), Universidad

de Granada, España.

http://www.asovemat.org.ve/memorias.php


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.385

OS EXPERTS DA EDUCAÇÃO COMO VETORES DE OBJETIVAÇÃO DE

SABERES

Rosilda dos Santos Morais

[email protected]

Universidade Federal de São Paulo (UNIFESP)/Université de Limoges

Núcleo temático VIII: História Social da Educação Matemática na América Latina–história

da formação de professores que ensinam matemática.

Modalidade: CB

Nivel educativo:

Palabras clave: experts da educação, eventos científicos, história da educação matemática,

Anais.

Resumo Um estudo que analisa documentos produzidos nas Conferências Nacionais de Educação,

ocorridas no período de 1927 a 1954, no Brasil, vem sendo realizado por esta pesquisadora

no qual se busca identificar o papel de experts da educação na objetivação de saberes

matemáticos presentes na formação de professores e no ensino. Este texto tem como

proposição apresentar parte dessa pesquisa, em desenvolvimento, que toma como

referenciais teórico-metodológicos estudos de Michel Foucault (1974), sobretudo no que

tange aos intelectuais e o poder, bem como da Equipe de Pesquisa em História das Ciências

da Educação (ERHISE) a qual analisa, em um estudo longitudinal, a institucionalização do

expert em educação no curso do século XX. Tem-se por hipótese que esse movimento tem

efeitos diretos na forma de conceber e pensar a formação de professores de matemática e o

ensino, configurando-se essa em uma das problemáticas deste trabalho no cenário brasileiro,

o qual é parte de pesquisa em andamento.

Introdução

A temática da constituição, institucionalização e especialização da expertise profissional no campo das

ciências da educação foi sistematicamente estudada pela Equipe de Pesquisa em História das Ciências da

Educação (ERHISE) da Universidade de Genebra, na Suíça16. Tais análises revelam que dinâmicas de

constituição dos saberes para a formação de professores no nível primário (os primeiros anos escolares) e do

nível secundário (os anos escolares compreendidos pós-ensino primário e pré-ensino universitário) ligam-se à

16 Para maiores informações sobre esse grupo de pesquisa, liderado pela Profa. Rita

Hofstetter, veja-se: https://cms.unige.ch/fapse/SSE/erhise/


https://cms.unige.ch/fapse/SSE/erhise/


ISBN 978-84-945722-3-4

compreensão de como se articulam dois tipos de saberes: saberes a ensinar e saberes para ensinar. Ambos os

saberes constituem-se historicamente saberes da formação de professores e do ensino os quais terão suas

dinâmicas de constituição, sistematização e institucionalização, pela via dos experts da educação,

problematizadas neste texto a partir de documentos das Conferências Nacionais de Educação.

Margareth Rago (1995), falando sobre “O efeito-Foucault na historiografia

brasileira”, destaca que para esse filósofo/historiador, conhecer seria revelar o objeto,

atravessar a espessura dos discursos para encontrar o que permaneceria silenciosamente

aquém dele, chegar às coisas, ‘interpretar o discurso para fazer através dele uma história do

referente’” (FOUCAULT, 1986 apud RAGO, 1995, p. 74). E, nesse caso, discurso não é mais

“pensado como signo, elemento significante que remeteria a conteúdos ou a representações,

como se fosse “expressão do real” (Ibid.). Avançando em sua análise, Rago (1995) diz que

Foucault “propõe um deslocamento fundamental para o procedimento histórico, propondo

que se parta das práticas para os objetos e não o inverso, como fazíamos” (Ibid.). Em outras

palavras, não mais se parte do objeto para mostrar através de que formas havia se manifestado

e se diferenciado ao longo da História, mas chegar ao objeto a partir do estudo das práticas e

perceber como e quando tal objeto emerge como tema, como discurso e como preocupação

histórica. E nossa tarefa seria, então, diz Rago (1995, p. 74), “desconstruí-lo, revelando as

imbricadas teias de sua constituição e naturalização”.

Nessa esteira, um dos ofícios do historiador constitui-se, então, em desnaturalizar

objetos. Seguindo os pressupostos de Foucault, interrogar-se sobre naturalizações que

permeiam a trama social é tentar “atravessar a espessura dos discursos para encontrar o que

permaneceria silenciosamente aquém dele”. É interrogar-se, neste texto, sobre “Que

elementos estão ‘aquém’ de objetos naturalizados, como os saberes matemáticos, por

exemplo, que constituem historicamente o rol de saberes necessários à formação de

professores e ao ensino”?

Uma via de análise se configura no estudo de “práticas” desejando tentar chegar a tais

“objetos”, que neste texto dizem de “saberes matemáticos presentes na formação de

professores e no ensino”. Tem-se, por hipótese, que a constituição e institucionalização de

tais saberes se dá pela via dos experts da educação. E um cenário que tem se apresentado

como fértil para tal investigação são documentos produzidos em eventos científicos, tais

como anais, livros, folhetos, anúncios, dentre outros. Uma investigação empregada nesses


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documentos, buscando analisar como discursos proferidos por experts foram sendo

decantados, consolidados de modo a se tornarem sistematizados, configuram-se em

“práticas” neste texto. E aqui é importante explicitar o que se entende por “experts da

educação”.

Hofstetter et al. (2013)17, descrevendo a evolução de saberes no campo pedagógico nos séculos XIX e

XX, coloca acento na emergência de novos atores individuais e coletivos que passam a ocupar “diferentes

postos, com diferentes perfis, atribuições e com produções contrastantes” (p. 79). Dizem esses autores que “a

pedagogia é, primeiramente, assunto de ‘homens de bem’, pastores, professores, filantropos, que tem por missão

construir uma escola pública a fim de generalizar o acesso à instrução elementar” (Ibid.). O aumento de

“práticos” e da administração escolar profissionaliza a pedagogia, pois todos trabalham no sentido de assegurar

o melhor rendimento das escolas. Em um movimento contínuo, não necessariamente linear, ocorre “a ascensão

de especialistas – acadêmicos, pesquisadores – que têm como primeira função construir saberes sobre o sistema

escolar” (Ibid). A construção de tais saberes seguem “uma lógica que é definida por regras específicas do mundo

científico que não exclui uma dimensão praxeológica” (Ibid). Esses pesquisadores destacam que,

“paralelamente a essas evoluções, são esboçadas as primeiras formas de expertises” (ibid. p. 79), que se

institucionalizam e se especializam no curso do século XX.

Constituem-se, então, neste texto, em experts os especialistas da educação –

pesquisadores, acadêmicos – e por expertise, “uma instância, em princípio reconhecida como

legítima, atribuída a um ou a vários especialistas – supostamente distinguidos por seus

conhecimentos, atitudes, experiências –, a fim de examinar uma situação, de avaliar um

fenômeno, de constatar fatos” (p. 80). A expertise profissional caracteriza o expert, cujo lugar

é legitimado pela comunidade a qual pertence. A solicitação da expertise participa

poderosamente da produção de saberes, afirmam Hofstetter et al. (2013).

A circulação de experts da educação na I Conferência Nacional de Educação (1927),

Brasil

Os anos de 1920 foram anos de efervescência no Brasil. A exemplo, cite-se a Semana

de Arte Moderna de 1922 motivada por um movimento de renovação artística e cultural de

São Paulo, e do país, acentuando a necessidade de ‘descobrir’ ou ‘redescobrir’ o Brasil,

17 As traduções de fragmentos das obras de Hofstetter et al (2013) e Hofstetter e Schneuwly

(2014) aqui apresentadas foram realizadas por membros do Grupo de Pesquisa História da

Educação Matemática no Brasil (GHEMAT), as quais estão em vias de publicação.


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repensando-o de modo a desvinculá-lo, esteticamente, das amarras que ainda o prendiam à

Europa (AJZENBERG, 2012, p. 26). Além de aspectos relativos à arte e à cultura,

movimentos nessa década marcaram importantemente a educação brasileira. Em virtude do

centenário da Independência do Brasil, no ano de 1922 deram início várias conferências com

vistas a uma política nacional em matéria de educação.

No ano seguinte, 1923, médicos, engenheiros e educadores criaram a Associação

Brasileira de Educação (ABE), órgão que passou a se responsabilizar por questões

educacionais (COSTA; SHENA; SCHMIDT; 1997) tornando-se o responsável pela criação

e instauração da Conferência Nacional de Educação, um evento de extrema relevância para

o país em um momento no qual se buscava por uma uniformização do ensino primário no

Brasil, que até aquele momento atendia a uma minoria.

A Primeira Conferência Nacional de Educação18 (I-CNE) realizada pela ABE, em

Curitiba, no ano de 1927, foi tema de discussão de muitas pesquisas em nosso tempo, nas

mais diferentes áreas. Nesse evento foram apresentadas 112 teses (comunicações) que

versaram sobre os mais diferentes temas, quais sejam: higiene, celibato pedagógico feminino,

educação religiosa, o professor como centralizador do processo de ensino aprendizagem, o

caráter não laico do ensino, dentre outros. Quatro delas foram consideradas oficiais,

proferidas em conferências plenárias, e constituíram-se em eixos norteadores das discussões

do evento: 1) A unidade nacional: a) pela cultura literária; b) pela cultura cívica; c) pela

cultura moral; 2) A uniformização do ensino primário nas suas ideias capitais, mantida a

liberdade de programas; 3) A criação de escolas normais superiores, em diferentes pontos do

país, para preparo pedagógico; e 4) A organização dos quadros nacionais, corporações de

aperfeiçoamento técnico, científico e literário (COSTA; SHENA; SCHIMIDT, 1997). O

mote do evento, a partir dos anais, era trabalhar para “conseguir a unidade e a grandeza da

Pátria por um ensino bem orientado” (COSTA; SHENA; SCHIMIDT, 1997, p. 686) e

18 Seguida da primeira conferência, outras dez foram realizadas no período de 1928 a 1954 sendo que em 1935

e 1936 o título do evento foi mudado para Congresso Nacional de Educação, mas sem alterar a ordem de

ocorrência do evento, conforme segue: II Conferência Nacional de Educação – Belo Horizonte (1928); III

Conferência Nacional de Educação – São Paulo (1929); IV Conferência Nacional de Educação – Rio de Janeiro

(1931); V Conferência Nacional de Educação – Niterói (1932-1933); VI Conferência Nacional de Educação –

Fortaleza (1934); VII Congresso Nacional de Educação – Rio de Janeiro (1935); VIII Congresso Nacional de

Educação – Goiânia (1942); IX Congresso Brasileiro de Educação – Rio de Janeiro (1945); X Conferência

Nacional de Educação – Rio de Janeiro (1950); XI Conferência Nacional de Educação – Curitiba (1954).


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acreditava-se que os anais revelavam o “brilho extraordinário dos estudos e trabalhos feitos

no certame” (Ibid.), o que abria uma nova era promissora de magníficos frutos rumo ao

objetivo pretendido.

O delegado de educação do Estado de São Paulo, o professor Lourenço Filho,

responsável por proferir sessão de número 3, citada na página anterior, em entrevista

concedida ao jornal O Estado de São Paulo, em 30 de Dezembro de 1927, relata o êxito da

conferência. Ao ser interrogado pelo jornal sobre se gostaria de destacar algum dos trabalhos

do evento, o mesmo inicia sua fala colocando acento nas teses oficiais e, de acordo com o

documento analisado, na sequência, Lourenço Filho dá uma pausa e completa seu raciocínio

dizendo que ao se indicar apenas quatro teses como oficiais, chegou-se a colocar em “dúvida

o êxito dos trabalhos, pois a liberdade de apresentação de outras teses viria prejudicar a

marcha da conferência” (LOURENÇO FILHO, 1927, p. 691), mas que tal não procedeu,

alcançando, o congresso, êxito magnífico, disse ele. Em complemento, Lourenço Filho foi

interrogado sobre se houve algum trabalho alheio considerando o ponto de vista da

conferência. A resposta foi negativa. Todavia, complementou sua fala dizendo que algumas

teses apareceram dispersivas, mas que, “felizmente, foi logo firmado o princípio de que os

trabalhos apresentados que tratassem de matéria puramente científica não seriam discutidos”

(Ibid. p. 691), pois “a Conferência não fora organizada para isso, mas tão-somente para

iniciar a fixação de certos pontos capitais de uma política nacional em matéria de educação,

o que se conseguiu” (Ibid.).

Efetuando uma análise sobre o exposto, a fala de Lourenço Filho faz ascender o que

disse Rago (1995) há pouco em referência à Foucault (1986). A saber, ao destacar que

“trabalhos apresentados que tratassem de matéria puramente científica não seriam

discutidos”, Lourenço Filho delega em favor de temas os quais desejavam – os temas das

sessões principais são bastante representativos –, eles, experts, delegados, representantes da

ABE, dentre outros, fossem legitimados deixando marcas do que constituía, ao menos no que

tange uma investigação nos documentos desse evento, uma “preocupação histórica”.

Em razão da importância da I Conferência, tida por Lourenço filho como “o primeiro dos nossos

congressos pedagógicos” (LOURENÇO FILHO, 1927, p. 691), para o cenário nacional, soa com algum

estranhamento o discurso em defesa da não discussão de “matérias puramente científicas” quando se sabe, a


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partir de produções que seguiam em outros veículos de comunicação, como revistas pedagógicas19 por exemplo,

que temas relativos à Aritmética, ao que parece seria essa uma “matéria puramente científica”, mereciam

atenção havia longa data. O pedido da ABE, a partir do que disse Lourenço Filho, parece ter sido ouvido pelos

participantes, pois das 112 teses apresentadas na I Conferência, apenas duas versaram sobre Aritmética.

Em um levantamento das pesquisas que investigaram documentos produzidos na I

Conferência, Hoeller (2014) afirma que um mesmo evento produziu, ao longo do tempo,

pesquisas que abordaram diferentes problemáticas. Schmidt (1997), por exemplo, analisou

como os discursos da I Conferência “contribuíram para a produção de determinada

representação de infância no Brasil tendo como referência o discurso pedagógico construído

por um grupo de intelectuais envolvidos com a educação brasileira” (SCHMIDT, 1997 apud

HOELLER, 2014, p. 46); Galter (2002) caracterizou o evento como “uma ação presente no

embate para a organização da escola pública nacional e como primeiro movimento unificado

de intelectuais” (GALTER, 2002 apud HOELLER, 2014, p. 46-47); Vieira (2007a) analisou

“a prática social dos intelectuais nos processos de produção, veiculação e recepção do

discurso sobre a relação entre educação e modernidade” centralizando sua pesquisa na

“questão da formação do discurso e na ação político-cultural dos intelectuais na construção

do projeto da modernidade” (VIEIRA, 2007a, p. 379-380 apud HOELLER, 2014, p. 47);

enquanto que Bona Junior (2005) e Bona Junior e Vieira (2007) analisaram, em perspectiva

foucaultiana, “o discurso de modernidade presente nas teses da conferência” buscando

perceber, nesse exercício, “‘os sentidos que os termos escola, professor e criança assumiram

nas teses, bem como nos discursos educacionais mobilizados em torno do que as teses

apresentam como problemas a serem sanados’” (BONA JUNIOR, 2005; BONA JUNIOR;

VIEIRA, 2007 apud HOELLER, 2014, p. 47-48). Esses últimos analisaram paralelamente

discursos proferidos na I Conferência e aqueles proferidos em outro evento pedagógico

ocorrido na mesma época.

Hoeller (2014), em sua pesquisa, investigou documentos de cinco eventos de

educação realizados na década de 1920, sendo que um deles foi a I Conferência. Um dos

aspectos problematizados por essa pesquisadora diz do papel dos “intelectuais da educação”

19Revista Ensino (1902); Revista Educação (1930); Revista Escolar (1927). Todas essas

revistas são parte do Repositório Institucional da Universidade Federal de Santa Catarina

(UFSC). Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/. Consultado: 25/04/2017.

https://repositorio.ufsc.br/


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para além de suas presenças e atuações nas conferências por ela analisadas, em outras

palavras, diz de movimentos de apropriação desses espaços, eventos científicos, para expor

seus projetos, todos os quais desejavam, eles, viessem a ser institucionalizados, como foi o

caso do movimento educacional reformista. A pesquisadora afirma que as conferências

educacionais e as reformas educacionais no Brasil dos anos de 1920 constituem-se em

estruturas políticas de oportunidade, pois “projetam seus mentores ou participantes para além

da área educacional com ressonância na esfera mais ampla da sociedade, fazendo com [que]

alcançassem outros lugares e posições, que lhes permitiam inferir nos problemas da

sociedade [...]”. (HOELLER, 2014, p. 383-384). Além disso,

por meio destas ações – conferências, reformas e produção escrita –

os intelectuais divulgavam suas concepções, propostas, defendiam

seus projetos, demarcavam seus posicionamentos, garantiam-se e

legitimavam-se em determinados lugares, explicitavam filiações e

declaravam em nome do que ou de quem combatiam. (Ibid.)

Para Hoeller (2014), constituíram-se intelectuais da educação brasileira sujeitos que,

por ressonância de suas ações, “reivindicavam a modernidade pedagógica propondo projetos

em consonância com os ideais pretendidos pela nação” (p. 53). Essa pesquisadora esboça em

um fluxograma – “Intelectuais e Itinerários” – trajetórias de intelectuais brasileiros – Orestes

Guimarães, Francisco Campos, Lourenço Filho, Carneiro Leão, Sampaio Dória e Lysimaco

Ferreira da Costa – evidenciados em sua pesquisa. Ele revela uma rede de comunicação entre

os intelectuais reverberando, sobretudo, em reformas educacionais evidenciando a tese de

que as conferências educacionais se configuram como palcos de exposição e de legitimação

de propostas.

Os resultados da pesquisa de Hoeller (2014) associados às análises das teses da I

Conferência, bem como da II Conferência, realizada em Belo Horizonte, Minas Gerais, em

1928, na qual não se identificou nenhum trabalho sobre Aritmética, levam esta pesquisa a

uma nova interrogação, com consonância ao que disseram Hofstetter et al (2013), antes, neste

texto: Como se deu o processo de constituição, institucionalização e especialização dos

experts da educação no cenário brasileiro ao se considerar como palco as Conferências

Nacionais? Se interrogar sobre tais dinâmicas e processos se faz necessário tendo em vista a

importância desses sujeitos em diferentes esferas sociais, sobretudo no que tange à reformas

educacionais.


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Encaminhamentos finais

Peço licença ao leitor para finalizar esta narrativa na primeira pessoa do singular. Eu

gostaria de estar respondendo aqui o objetivo maior deste texto, esboçado logo no início, mas

não será possível essa ação, neste texto. Ressalto, entretanto, que ele segue orientando minha

pesquisa, pois este texto termina, mas a pesquisa continua. No caminhar da investigação aqui

exposta, buscando por movimentos de objetivação de saberes, fui interceptada por outros

elementos que mudaram minha atenção. Trago aqui, desejando exemplificar tal fato, o

experimento Selective Attention Test, de Daniel Simons e Christopher Chabris (1999). Nele,

em vídeo, é solicitado ao público “Qual é o número de vezes que três jovens, portando camisa

branca, passam uma bola de basquete entre si?”. São 6 jovens na cena, sendo que os outros

três portam camisas de cores variadas e passam, entre si, uma outra bola. Todos os 6 jovens

se movimentam na cena, mas o público deve colocar atenção nos que portam camisa branca.

Em algum momento da cena, cuja duração é de 1 minuto, um gorila cruza os jovens. Ao final,

interroga-se sobre o número de vezes que a bola é passada, o número é 15, e sobre se o

público viu o gorila. É expressivo o número dos que dizem não terem visto. A análise de

documentos de eventos como as Conferências não pode se limitar à “contagem do número

de vezes que a bola passa de mão em mão entre os jovens de camisa branca”. É preciso estar

atenta à possibilidade de “o gorila cruzar a cena...”.


Ajzenberg, E. (2012) A semana de arte moderna de 1922. Revista Cultura e Extensão USP. São Paulo. Disponível em: http://www.revistas.usp.br/rce/article/view/46491 Consultado em 19/12/2016.

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Foucault, M. (1979). Microfísica do Poder. Rio de Janeiro: Paz e Terra. Rio de Janeiro/São

Paulo: 015. 1ª. Ed.

Hoeller, S. A. O. (2014) As Conferências Educacionais: projetos para a nação e

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de Santa Catarina, Programa de Pós Graduação em Educação.

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Hofstetter, R.et al. (2013). Penétrer dans la vérité de l’école pour la juger pièces em main –

L’irrésistible institucionalisation de l’expertise dans le champ pédagogique (XIXe. – XX

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Brasília: SEDIAE/INEP/MEC/IPARDES. Disponível em:

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https://www.youtube.com/watch?v=vJG698U2Mvo


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CB-1.387

PRAXEOLOGÍAS MATEMÁTICAS EN EL PROCESO DE ELABORACIÓN DE LOS

TEJIDOS QUECHUAS EN TELAR DE CUATRO ESTACAS DE LA REGIÓN DE

PUNO – PERÚ María del Carmen Bonilla

[email protected]

Universidad Peruana Cayetano Heredia

Núcleo temático: Aspectos socioculturales de la educación matemática

Modalidad: CB

Nivel educativo: 5. Formación y actualización docente

Palabras clave: etnomatemática, quechua-collao, tejido en telar de cuatro estacas, Teoría

Antropológica de lo didáctico.

Resumen El Proyecto “Articulación de saberes etnomatemáticos en procesos de aprendizaje en

instituciones educativas quechuas y shipibas” es una investigación multidisciplinaria e

interuniversitaria desarrollada por educadores matemáticos, antropólogos y matemáticos de la

Universidad Peruana Cayetano Heredia, UPCH, y la Pontificia Universidad Católica del

Perú, PUCP. El objetivo principal del proyecto es develar nociones y propiedades matemáticas

de las culturas shipibo y quechua que subyacen en sus prácticas cotidianas, con la finalidad de

posteriormente incorporarlas en procesos de aprendizaje y enseñanza que permitan

incrementar el nivel de desempeño satisfactorio en el logro de los aprendizajes en matemática.

La metodología utilizada es cualitativa. Producto del trabajo de campo se realizó un estudio

exploratorio en el que se aplicó como método la etnografía, y como técnicas la observación

participante y la entrevista a informantes claves, en un contexto bilingüe. La información

recogida es analizada en el marco de la Etnomatemática y la Teoría Antropológica de lo

didáctico, TAD. Del conjunto de actividades observadas, se determinó profundizar en el

estudio del proceso de elaboración del tejido en telar de cuatro estacas de las comunidades

quechuas-collao de la Región de Puno, buscando identificar la organización praxeológica del

tejido en telar de cuatro estacas y su correspondiente dimensión matemática.

Introducción La idea inicial que dio origen al Proyecto “Articulación de saberes etnomatemáticos en

procesos de aprendizaje en instituciones educativas primarias quechuas y shipibas” surgió en

los cursos de Matemática de la Carrera de Educación Intercultural Bilingüe de la Facultad de


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Educación de la UPCH, que se desarrollaron los años 2014 y 2015 con estudiantes quechuas,

shipibos y aymaras becados por el Ministerio de Educación de Perú. En los procesos de

aprendizaje se pudo percibir que los estudiantes de los pueblos originarios, al elaborar sus

diseños culturales, utilizaban propiedades matemáticas que habían aprendido en sus

comunidades.

Así surgió la idea de viajar a sus comunidades para observar a los pobladores desarrollando sus

actividades de la vida cotidiana, buscando identificar en ellas nociones y propiedades

matemáticas. Se elaboró un proyecto que resultó ganador del


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primer puesto del Concurso “Premio a la Investigación Interuniversitaria y Multidisciplinar

2015” convocado por el Consorcio de Universidades del Perú, institución que financió el

proyecto. Trabajaron en el proyecto Olga Bardales y María del Carmen Bonilla, psicóloga y

educadora matemática de la UPCH, Oscar Espinosa, antropólogo de la PUCP, Corine Castela,

matemática del Laboratoire de Didactique André Revuz de Francia y Hernán Neciosup,

matemático de la PUCP.

1. Marco Teórico

La fuerza reivindicativa del derecho social a la Educación Matemática de los pueblos indígenas

representa, desde hace siglos, una crítica a los modelos opresores y colonizadores de los

saberes (De Souza, 2010) que niegan el conocimiento múltiple y que desconocen la existencia

de un paradigma relativista en matemáticas (Oliveras, 2015). Este paradigma ha dejado de ser

marginal debido al constante y creciente desarrollo del Programa de Investigación

Etnomatemática (1993), según Lakatos, que a su vez constituye una disciplina viva, en palabras

de Toulmin, desarrollo evidenciado por los trabajos del 5° Congreso Internacional de

Etnomatemáticas celebrado en Maputo, Mozambique, en julio de 2014, así como por los

trabajos del Topic Study Group N° 35 ‘El Rol de la Etnomatemática en la Educación

Matemática’ del International Congress on Mathematical Education 2016, y por las numerosas

publicaciones sobre etnomatemática elaboradas por la comunidad científica.

Etnomatemática es un programa de investigación sobre la generación, organización,

institucionalización y difusión del conocimiento, que constituye una alternativa de acción

pedagógica (D’Ambrosio, 1993). Propone un enfoque epistemológico que parte de la realidad y

tiene un carácter histórico, cultural, social, político, cognitivo y pedagógico. Se basa en una

epistemología cultural que sustenta el paradigma relativista de las matemáticas y que explica

los conocimientos teniendo en cuenta su contextualización en el grupo sociocultural de los

sujetos productores, como un constructo social que no puede nacer al margen de la cultura local

(Oliveras, 2006). D’Ambrosio resalta la importancia de las dimensiones socio-cultural y

política de la educación matemática.

Al igual que la Etnomatemática, la TAD le da una importancia muy especial a la dimensión

cultural de la producción del conocimiento. La TAD se basa en una antropología

epistemológica, un campo de la antropología que se centra en el estudio de los recursos

producidos por la humanidad para encarar las diferentes tareas problemáticas que encuentra a lo

largo de sus actividades. Estos objetos se enfocan


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desde un punto de vista relativista, es decir suponiendo que estos recursos, como

construcciones sociales llevan la impronta del contexto socio-cultural de su producción. Ese

enfoque sociocultural privilegia las instituciones (Chevallard 1992), y, por otra parte, propone

un modelo general de los recursos producidos por la humanidad a través de la noción de

organización praxeológica o praxeología.

El modelo praxeológico o praxeología pretende modelizar todas las actividades humanas y los

recursos que se producen para encararlas, en toda generalidad (Chevallard, 1999). Este modelo

se representa como [T, t, q, Q] y se compone de dos bloques:

• El saber-hacer o la praxis [T, t], donde

T es un tipo de tareas, t una técnica, es decir un conjunto de procedimientos (no necesariamente

un algoritmo) que permite tratar ciertas tareas del tipo T (posiblemente no todas), en ciertos

dispositivos y con ciertos medios.

• El saber o el logos [q, Q], donde

q representa la tecnología de t, es decir todo el discurso racional que se elabora respecto a la

técnica; la teoría Q es la tecnología de la tecnología, un segundo de nivel que sustenta la

tecnología.

2. Antecedentes

A diferencia de otros países latinoamericanos, en Perú la Etnomatemática no ha logrado

desarrollarse adecuadamente, a pesar del trabajo de Martha Villavicencio en el Proyecto

Experimental de EB de Puno (1978 – 1988); el trabajo de Joachim Schroeder (2005) que, con el

apoyo de la Cooperación Técnica Alemana y de la Unidad de Formación Docente de Primaria

del Ministerio de Educación, desarrolló desde 1997 hasta el 2002 con el nombre de

“Matemática Intercultural”; el Proyecto de Educación Intercultural Bilingüe Loreto Amazonas

(PEIBLA) dirigido por el antropólogo Andrés Chirinos Rivera, en el que se capacitó a las

autoridades de la UGEL Yurimaguas y a maestros de aula sobre el manejo de la yupana para el

aprendizaje de las operaciones básicas de matemáticas. Finalmente, se puede mencionar los

trabajos de Paulus Gerdes (2013) sobre el pueblo Bora en la Amazonía peruana.

3. Justificación

Las Evaluaciones Censales aplicadas a estudiantes de 2° grado de Educación Primaria por la

Oficina de Medición de la Calidad del Aprendizaje del Ministerio de Educación (2017), desde

el 2006 hasta el 2016, nos permiten apreciar que la curva que describe el nivel de desempeño

satisfactorio en matemática en el área rural, a lo largo de ese


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periodo, se encuentra siempre por debajo de la curva del área urbana, brecha importante que

puede ser explicada por las diferencias culturales. Las comunidades indígenas se ubican en el

área rural mayoritariamente. El 2016 la diferencia porcentual entre el nivel de desempeño

satisfactorio en matemática de los estudiantes del área urbana (36,6%) es de 19,3% con

respecto al mismo concepto del área rural (17,3%).

Uno de los factores a tomar en cuenta, y que podría explicar esa situación, es que, a pesar que

los estudiantes estudian en su lengua materna, el proceso de enseñanza y aprendizaje no

considera las nociones matemáticas implícitas en las prácticas cotidianas de sus comunidades,

divorciándose así de la lógica de los cuerpos de conocimientos matemáticos pertenecientes a

sus culturas. La presente investigación, por lo tanto, se justifica porque sus resultados

develarían conocimientos aún incipientes sobre una realidad poco estudiada, contribuyendo al

enriquecimiento del campo del conocimiento de la etnomatemática. De igual manera, sus

resultados aportarían a la implementación de políticas educativas en EIB, y la implementación

del currículo en aula por docentes indígenas.

4. Objetivos del proyecto

Objetivo General

Develar las nociones y propiedades matemáticas de las culturas shipiba y quechua que

subyacen en sus prácticas cotidianas, para posteriormente ser incorporadas en procesos de

aprendizaje y enseñanza que permitan incrementar el nivel de desempeño satisfactorio en el

logro de los aprendizajes matemáticos en estudiantes quechuas y shipibos.

Objetivo específico

Identificar y analizar las prácticas culturales realizadas por los miembros de las comunidades

quechuas y shipibas, buscando identificar en ellas nociones y propiedades matemáticas.

5. Hipótesis

Es posible identificar elementos de los cuerpos de conocimientos matemáticos de los pueblos

quechua y shipibo, que funcionan a través de una lógica interna diferente a la de la matemática

occidental y que pueden ser visualizados a través de las prácticas culturales realizadas por los

miembros de las comunidades.

6. Ámbito de referencia y consideraciones éticas

Cumpliendo con la planificación del proyecto se realizó el trabajo de campo en comunidades

rurales quechuas y comunidades nativas shipibas de las Regiones de Puno y Ucayali. Las

comunidades seleccionadas son los pueblos de donde provienen los estudiantes del Programa

de Educación Intercultural Bilingüe de la Facultad de Educación de la UPCH que colaboraron

en el proyecto.

Se pensó inicialmente que los estudiantes iban a participar como asistentes de investigación,

traductores e intérpretes de su lengua originaria. En la medida que no llegaron a viajar, los

estudiantes indicaron a sus padres, habitantes de las comunidades seleccionadas, que apoyaran

en la investigación. Este fue un factor muy importante en el logro de los objetivos propuestos.

Si se hubiera realizado el trabajo de campo, llegando a lugares donde no se establecieron

contactos previos, se hubiera tenido menos acogida y, por lo tanto, la información obtenida

sería menor. Es necesario resaltar la desconfianza de la mayoría de pobladores que les inhibe de

proporcionar información, situación comprensible por diversos acontecimientos que han vivido

en el pasado, en los que se han sentido engañados. Esa desconfianza es más acentuada en las

comunidades quechua de Puno que en las comunidades shipibo de Ucayali.


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Al momento de presentar el proyecto para su aprobación, se adjuntó las cartas de los directores

de las Instituciones Educativas de las comunidades que fueron visitadas, en las que daban su

permiso para realizar el proyecto en las instituciones que ellos dirigen; también se adjuntó las

cartas emitidas por las autoridades de las comunidades nativas en las que autorizaba la

ejecución del proyecto en sus poblaciones. Al momento de iniciar las entrevistas y la

observación se aplicó el consentimiento informado señalado en el protocolo, registrándose en

medios audiovisuales.

7. Metodología

La metodología es cualitativa. Se realizó un estudio exploratorio que aplicó como método la

etnografía, y como técnicas la observación participante y las entrevistas no dirigidas a

informantes claves, en un contexto bilingüe. En algunos casos se contó con la colaboración de

un traductor, siendo el dominio del idioma un aspecto muy importante a considerar para lograr

una real comprensión de lo registrado.

La metodología es participativa pues se realizaron reuniones con grupos de la comunidad y los

gobiernos locales como la municipalidad. Se ha podido obtener información sobre algunas

prácticas culturales de los pobladores de las comunidades de Puno y de Ucayali. Las prácticas

fueron determinadas de antemano en el protocolo de investigación, como por ejemplo, la

construcción de casas y el tejido en telar de cuatro estacas en las comunidades quechuas de la

Región de Puno, y el bordado y pintado del diseño kene, la construcción de casas y el tejido de

trampas de pescar en las comunidades shipibas de la Región de Ucayali. La información se ha

registrado en un medio audiovisual. No son suficientes los registros escrito o sonoro, es

necesario ver la representación gestual de la actividad matemática.

8. Análisis de la información

Para analizar las nociones y propiedades matemáticas que se emplean en las actividades

observadas, es imprescindible observar el proceso de construcción en cada una de ellas. Las

propiedades matemáticas se representan a través de gestos, acciones que pueden ser justificadas

utilizando un discurso. Del conjunto de actividades observadas, se determinó que el estudio se

iba a centrar en el análisis de la información recogida en el proceso de elaboración de los

tejidos quechua en telar de cuatro estacas, TT4E, de la Región de Puno. Se tomó esta decisión

porque se pudo obtener más información sobre los tejidos, principalmente debido a que los

pobladores quechuas dominan más el castellano que los pobladores shipibos.

En la observación participante el investigador cumplió el papel de aprendiz, ejerciendo la

tejedora del telar el papel de profesora en el proceso de aprendizaje y enseñanza del tejido.

Cuando un experto enseña, elabora un discurso que va describiendo con detalle la técnica que

se utiliza. Ese discurso constituye la tecnología dentro de la Organización Praxeológica del

tejido quechua en telar de cuatro estacas, OPTT4E, herramienta propuesta por la TAD. El

análisis de la información obtenida se efectúa bajo el marco de la TAD, buscando identificarse

las tareas y técnicas que corresponden a la praxis, así como las tecnologías y teorías dentro del

logos, conformando, la praxis y el logos, la OPTT4E.

Se ha podido apreciar que el proceso de elaboración del TT4E tiene las siguientes fases:

1) Plantar las cuatro estacas;

2) Amarrar las awas (palos) a las estacas;

3) Colocar las urdimbres (hilos perpendiculares al awa) en las awas en forma de ocho,

construyendo una recta de intersección, RI, es el allwido;


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4) Pasar las urdimbres que están en un awa a una pita más gruesa, que será amarrada a otro

palo, y a su vez el palo amarrado a la cintura de la tejedora;

5) Escoger las urdimbres para formar la illawa, que permitirá que las urdimbres suban y bajen

alternadamente, presionando la trama;

6) Escoger las urdimbres para elaborar el pallay (dibujos) y pasar la trama (hilo paralelo al awa)

entre las urdimbres, viene a ser el tejido;

7) Subir y bajar las urdiembres utilizando la illawa y un juego de palos, de manera tal que la

RI se desplaza a lo largo de las urdimbres, produciendo el tejido.

Al momento de escribir el presente texto el análisis de la información recogida está en curso,

por lo que el presente análisis no es el definitivo. De una manera clara se han identificado

nociones y propiedades matemáticas utilizadas por las tejedoras en cada una de las fases. En

la primera fase se ve con certeza que la tarea planteada es la construcción de un rectángulo.

En la segunda fase se puede apreciar que al colocar las awas se construye un paralelepípedo.

A partir de la tercera fase las transformaciones que se realizan con los hilos van configurando

problemas de carácter topológico.

En la primera fase del TT4E se tienen que plantar las cuatro estacas en la tierra, para después

amarrar en ellas las “awas” (palos) que sostendrán las urdimbres. Las tejedoras, al plantar las

estacas, ubican los cuatro vértices de un rectángulo, utilizando cuerdas con dos medidas, para

el largo y para el ancho, inclusive se observan gestos que indican que quieren establecer la

perpendicularidad entre los lados. Las tejedoras verifican que el rectángulo está

correctamente construido, comprobando con cuerdas que la medida de las diagonales es la

misma. En otros casos se inicia el proceso trazando primero la diagonal del rectángulo. Ver

Anexo 1.

Con respecto a la primera fase para colocar las cuatro estacas, tarea que corresponde a la

OPTT4E, corresponde la tarea matemática de construcción de un rectángulo. Las

propiedades matemáticas que se utilizan son las siguientes:

1. Un cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y solo si las parejas de lados opuestos son

congruentes (igual medida).

2. Un cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y solo si sus diagonales se bisecan.

Clasificación: Se dice que un paralelogramo ABCD es un rectángulo, si sus diagonales tienen

la misma longitud.

Las propiedades mencionadas están presentes al observar y analizar la fase de plantar las

cuatro estacas, desarrollada por varias tejedoras en distintos procesos del tejido, que si bien

es cierto, no son siguen la misma secuencia en la aplicación de las propiedades, pero

presentan gestos que se repiten y son similares.

El fin educativo que se persigue es que, en proyectos futuros, se diseñen procesos de

aprendizaje y enseñanza de las nociones y propiedades matemáticas que se han visualizado

en las actividades observadas, utilizando los objetos culturales. Es decir, si queremos que los

estudiantes de Educación Primaria de las comunidades quechuas aprendan las propiedades

matemáticas del rectángulo, una manera de garantizar un

aprendizaje pertinente y de calidad, sería utilizando el momento en que se plantan las cuatro

estacas de tejido en telar como contexto de aprendizaje.

Conclusiones

La hipótesis planteada en el proyecto de investigación ha podido ser demostrada gracias a la

aplicación del método etnográfico y al análisis efectuado bajo el marco teórico propuesto. Se

ha podido identificar nociones y propiedades matemáticas que son utilizadas por las tejedoras


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de una manera práctica al elaborar el TT4E. Esto es, en la primera fase, cuando las tejedoras

plantan las cuatro estacas del telar, construyen un rectángulo. Es así como se han obtenido

los objetivos propuestos en un trabajo multidisciplinario, en el que han trabajado en forma

conjunta la Educación Matemática, la Antropología y la Matemática.


Chevallard Y. (1992), Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par

une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 12(1), 73-112.

Chevallard Y. (1999), L’analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du

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De Sousa, B. (2010). Descolonizar el saber, reinventar el poder. Montevideo: Trilce.

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ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.388

DISEÑO DE EXPERIENCIAS DE AULA USANDO

RAZONAMIENTO AUTOMÁTICO CON GEOGEBRA

Zoltán Kovács1 – Tomás Recio2 – M. Pilar Vélez3

[email protected] – [email protected] – [email protected] 1Private Pädagogische Hochschule der Diözese Linz, Austria; 2Universidad de Cantabria,

España; 3Universidad Antonio de Nebrija, España.

Núcleo temático V: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Modalidad: CB

Nivel educativo: 3

Palabras clave: Enseñanza secundaria, geometría, razonamiento automático, GeoGebra

Resumen Las últimas versiones de GeoGebra disponen de herramientas y comandos que permiten

hacer razonamiento automático en geometría (GGB-ART); esto es, derivar, descubrir y/o

demostrar, de modo general y riguroso, propiedades sobre una construcción geométrica

representada en GeoGebra. El propósito de esta comunicación es exponer, a través de

diversos ejemplos, las posibilidades de GGB-ART, así como plantear el diseño de

experimentos de aula para estimar el posible impacto de estas herramientas en la enseñanza

y el aprendizaje de las Matemáticas. Para ello consideramos que es necesario comenzar

promoviendo la reflexión colectiva sobre las oportunidades y diferencias –frente a la

metodología tradicional-- que plantearía el uso escolar de los comandos de GGB-ART. En

definitiva, se trata de avanzar hacia un marco en el que desarrollar experiencias de aula que

aprovechen estas herramientas, tanto en un contexto escolar clásico (como utensilio auxiliar

del currículo tradicional) como en un contexto curricular diferente, en el que se asuma la

disponibilidad y popularización de una especie de “calculadora geométrica” entre el

alumnado.

Introducción

El razonamiento automático en geometría ha sido objeto de estudio e investigación durante

los últimos 50 años desde diferentes de enfoques. Véase, por ejemplo, el trabajo pionero de

Gelertner (1959) en el contexto de la inteligencia artificial; o el conocido libro de Chou

(1988), en el marco de la geometría algebraica, que ha inspirado gran número de trabajos

posteriores basados en el cálculo simbólico (por ejemplo, el de Recio & Vélez (1999)). Sin

embargo, el uso e impacto de tales aportaciones en el contexto educativo ha sido muy

limitado.




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En contraste, durante las últimas décadas se ha generalizado el uso de entornos de geometría dinámica20 en el

ámbito escolar. Entre ellos, uno de los más recientes y también el más popular, por su carácter abierto y

multiplataforma, es GeoGebra21.

Este mismo contraste se refleja en documentos recientes que pretenden dar una visión

panorámica de la enseñanza de la geometría. Así, en el “ICME-13 Survey on geometry in

education” (Sinclair et al., 2016) se incluye una sección dedicada a estudiar el papel de la

tecnología en este contexto y, otra, sobre los avances en la enseñanza y el aprendizaje de los

procesos de demostración en geometría; pero ninguna se refiere al uso de herramientas de

demostración automática. En todo caso algunas conclusiones del citado informe invitan a

investigar el papel de la tecnología en el aula, a través del diseño de tareas y de la práctica

docente: en este sentido, creemos que es llegado el momento de iniciar tales investigaciones

en lo que se refiere a GGB-ART.

Es fácil observar que los sistemas de geometría dinámica pueden resultar herramientas muy

útiles para el ejercicio del razonamiento geométrico en los procesos de enseñanza y

aprendizaje. Trazar, con uno de estos programas, una construcción geométrica y analizar

diferentes configuraciones de la misma mediante el arrastre de elementos de dicha

construcción, permite conjeturar propiedades y convencerse de su validez en un gran número

de casos, como elementos auxiliares para avanzar hacia la obtención, por parte del alumno,

de una demostración matemática rigurosa de cierta propiedad.

Pero nuestra comunicación hace referencia a otra característica de algunos de los sistemas de

geometría dinámica. Así, cuando hablamos de razonamiento automático en geometría nos

referimos, específicamente, al caso en el que estos sistemas tengan, además, implementados

ciertos algoritmos que los conviertan en una suerte de “calculadora geométrica”, capaz de

analizar automáticamente ciertas tareas (derivar relaciones, descubrir propiedades o

demostrar/refutar enunciados) con rigor matemático, es decir, no simplemente de modo

visual, numérico o probabilístico, uniendo, así, la capacidad gráfica de los sistemas de

geometría dinámica y la capacidad lógica del razonamiento automático en geometría

mediante cálculo simbólico.

20 Véase: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_interactive-geometry_software 21 Véase: https://www.geogebra.org

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_interactive-geometry_software

https://www.geogebra.org/


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Nuestra comunicación tiene como objetivo presentar la reciente implementación en

GeoGebra de herramientas y comandos para el razonamiento automático en geometría.

Además, plantea la necesidad de reflexionar, por parte de la comunidad educativa, sobre el

papel de tales herramientas y sobre su aprovechamiento, diseñando experiencias de

enseñanza y aprendizaje, tanto en el contexto actual, donde el ordenador se concibe

simplemente como un medio para la enseñanza tradicional de la geometría, como en un

contexto didáctico diferente, en el que la enseñanza de la geometría esté marcada por la

tecnología.

Derivación, descubrimiento y demostración automática en geometría

Entendemos por “derivación automática de propiedades geométricas” cualquier algoritmo

que, a partir de una configuración geométrica y una serie de elementos de ésta, nos devuelva,

de modo riguroso, alguna relación verificada por tales elementos en la configuración dada.

Por ejemplo, dado un triángulo y señalando la longitud de sus lados y su área, el algoritmo

de derivación automática hallaría la fórmula de Heron (o alguna de sus variantes)

relacionando las longitudes de los lados y el área de un triángulo.

Nos referimos a “descubrimiento automático en geometría” en el caso de aquellos algoritmos

que encuentran de modo sistemático hipótesis complementarias necesarias (y suficientes)

para que un enunciado geométrico que hemos conjeturado sea cierto.

Por ejemplo, dados un triángulo y un punto libre, consideremos los tres puntos simétricos de este con respecto

a los lados del triángulo. Conjeturamos, entonces, que estos tres puntos están alineados22. Obviamente esta

conjetura es falsa, pero un algoritmo de descubrimiento automático nos debería dar la condición necesaria (y

suficiente) para ubicar el punto libre de forma que sus simétricos estén alineados.

Finalmente, la “demostración automática de enunciados geométricos” incluye algoritmos que admiten como

entrada un enunciado geométrico, tal como: “Si trazamos dos segmentos desde un vértice de un cuadrado hasta

los puntos medios de sus dos lados adyacentes, entonces la diagonal opuesta queda dividida en tres segmentos

iguales”23, y devuelven una respuesta matemáticamente rigurosa (ej. no basándose en comprobaciones

probabilísticas) de verdadero o falso al enunciado dado.

22 Este ejemplo aparece en Recio & Vélez (1999). 23 Este ejemplo aparece en Howson, G. and Wilson, B. (1986). ICMI Study: School mathematics in the

1990’s. Cambridge University Press.


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Herramientas GeoGebra para el razonamiento automático (GGB-ART)

Como hemos señalado anteriormente el primer propósito de esta comunicación es presentar

la reciente implementación en GeoGebra (2016) de herramientas y comandos para la

derivación, el descubrimiento y la demostración automática de enunciados geométricos

(Abánades et al., 2016; Hohenwarter et al., 2016).

Para comenzar a usar GGB-ART tenemos que dibujar en GeoGebra una construcción

geométrica. A partir de aquí GeoGebra ofrece varias posibilidades para explorar y conjeturar

propiedades geométricas de nuestra construcción: podemos investigar visualmente,

arrastrando los objetos libres, creando deslizadores y/o activando la traza de un objeto al

mover otro; podemos usar la herramienta Relación, para establecer propiedades comunes a

varios objetos, o la herramienta Lugar, para conocer la traza de un punto sujeto a ciertas

restricciones dadas por nuestra construcción.

Tales métodos son bien conocidos y utilizados usualmente por la comunidad GeoGebra.

Están recogidos e ilustrados con abundantes ejemplos en los materiales de GeoGebra que se

guardan en https://www.geogebra.org/materials/ .

La pregunta entonces es: ¿qué aporta de nuevo GGB-ART a GeoGebra? Pues bien, hasta

ahora las herramientas mencionadas (Relación, Lugar) eran básicamente numéricas, es decir,

no eran rigurosas desde el punto de vista matemático ni generales: sólo aportaban

información numéricamente aproximada sobre cada instancia específica de la construcción,

con coordenadas concretas. Por lo tanto, el uso de tales herramientas no permite concluir,

con generalidad, acerca de la certeza o falsedad matemática de la relación o del lugar

visualizado, sólo podemos conjeturar que “parece” ser así en muchos casos.

GGB-ART aporta a GeoGebra nuevas capacidades para el razonamiento automático en

Geometría Euclídea plana. Esto se consigue utilizando un motor de cálculo simbólico detrás

de la construcción concreta dibujada. Básicamente, a las coordenadas de los puntos libres de

nuestra construcción se les asignan, internamente, valores paramétricos (ej. (a,b)); y a las

coordenadas de los puntos construidos a partir estos se les asignan valores variables (ej.

(x,y)); así, las relaciones geométricas entre los objetos de la construcción se expresan

mediante polinomios en esas variables con coeficientes paramétricos.

https://www.geogebra.org/materials/


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Proponemos a continuación un ejemplo de tarea que nos ayudará describir los comandos e

ilustrará las posibilidades de GGB-ART.

Derivación: hallar (comando Relación) las relaciones existentes entre objetos de una

construcción geométrica y/o conjeturar.

Cuando ejecutamos el comando Relación se muestra una caja con un mensaje que da

información numérica (esto es, para la construcción dibujada con coordenadas concretas)

sobre igualdades, incidencias, paralelismo, perpendicularidad, concurrencias o alineaciones

de uno a varios objetos seleccionados. Algunas de estas propiedades, numéricamente

establecida, puede ser analizada en el caso general (con coordenadas arbitrarias): en estos

casos aparece en la caja un botón Más… que nos aporta información adicional.

Por ejemplo, tracemos con GeoGebra tres puntos A, B y C en una recta y un punto libre O y

preguntemos por la relación entre los puntos

medios D, E y F de los segmentos OA, OB y

OC respectivamente: escribimos en la línea

de comandos Relación[{D,E,F}].

A continuación podemos proponer trazar la recta DE que evidentemente pasará por F. ¿Qué

relación hay ente las rectas AB y DE?

Investiguemos una configuración similar desde un punto de vista diferente, es decir

descubriendo donde tendría que estar E para que ambas rectas sean paralelas:

Descubrimiento: determinar (comando EcuaciónLugar[<Expresión

lógica>,<Punto libre>]) las modificaciones que se deben efectuar en la construcción

geométrica para que una relación sea cierta, es decir, ajustar nuestro enunciado para que tal

relación sea verdad.


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Por ejemplo, construyamos un triángulo de vértices A, B y

C y lados opuestos a, b y c respectivamente. Sea D el punto

medio de a y consideremos un punto E en el lado b. Nos

preguntamos ahora, ¿dónde tiene que estar E para que AB

y DE sean paralelas?

Hagamos la pregunta a GeoGebra, escribiendo en la barra

de comandos: EcuaciónLugar[SonParalelas[c,f],E]. Al ejecutar el comando

GeoGebra calcula una ecuación implícita y dibuja su traza. En este caso se trata de un único

punto que resulta ser el punto medio de b.

A continuación podríamos verificar esta conjetura creando el punto medio F del segmento b

y preguntando sobre los segmentos AB y DF mediante Relation. Incluso podríamos

plantear más preguntas sobre los segmentos AB y DF. Puesto que es evidente que no tienen

la misma longitud, podríamos preguntarnos, por ejemplo, si la longitud de DF es 1,5 veces

la longitud de AB.

La experiencia podría terminar aquí o bien podríamos intentar verificar si nuestras conjeturas

son un teorema, es decir, demostrándolas, bien acudiendo a lápiz y papel o bien aprovechando

las funcionalidades de demostración automática GGB-ART.

Demostración: Comprobar (comandos Demuestra[<Expresión lógica>] y

DemuestraDetalles[<Expresión lógica>]) si las relaciones conjeturadas son

ciertas en general (es decir, si son teoremas) o si se verifican salvo en algunos casos (en

general, degenerados).

Retomando el ejemplo anterior, una vez trazado el punto

medio F de b y el segmento g que une D y F, pedimos a

GeoGebra que demuestre nuestra conjetura. Para ello

escribiremos en la línea de comandos:

Demuestra[SonParalelas[c,g]].

La respuesta aparece en la “Vista algebraica” en el listado “Valor lógico” como true.

Intentemos ahora encontrar algún teorema válido para la relación ente los segmentos c y g.

Escribamos entonces Demuestra[c==3g] y la respuesta es indefinido. Esto significa que


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GeoGebra no puede decidir si el enunciado es falso o es cierto bajo ciertas condiciones. En

tal caso el comando DemuestraDetalles nos puede ayudar.

Pongamos en la línea de comandos DemuestraDetalles[c==3g]. La respuesta

aparece ahora en el apartado “Lista” de la “Ventana algebraica” como lista1=false. Dejamos

para el lector la demostración de c=2g.

Podríamos incluso dar una vuelta más a nuestro ejemplo

y volver al principio.

Construimos el punto medio G de c y trazamos el

segmento f entre C y G. Sea H el punto de intersección

de f y g. Preguntemos si los segmentos h e i en que

divide H al segmento g son iguales

En este caso Demuestra[h==i]responde true. Y si queremos saber más

DemuestraDetalles[h==i] nos devuelve {true,{“Están alineados[A,B,C]”} lo cual

significa que nuestra conjetura es cierta excepto en un caso degenerado, cuando A, B y C

están alineados.

Razonamiento automático con GeoGebra en el aula de matemáticas

El segundo objetivo de esta comunicación es plantear a la comunidad de educadores el diseño

de tareas de aula que nos permitan estimar, más adelante, mediante una evaluación de las

experiencias en el aula, el posible impacto de estas herramientas en la enseñanza y el

aprendizaje de las Matemáticas. Para ello hacemos una llamada a la colaboración y a la

reflexión colectiva sobre las oportunidades y diferencias que plantea el uso escolar de los

comandos de GGB-ART, buscando dar respuesta a preguntas como: ¿son realmente útiles

las herramientas GGB-ART para la enseñanza y aprendizaje de la geometría? En caso

afirmativo, ¿para qué aspectos?, ¿cuáles deberían ser los requisitos y cambios en el contexto

educativo, si se evidencia la utilidad didáctica de herramientas tales como GGB-ART?

(Botana, Recio & Vélez, 2017).

Nuestra propuesta aboga por poner en marcha experimentos de aula que estudien el

aprovechamiento de estas herramientas desde dos puntos de vista:


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1.- Desde el contexto curricular y didáctico actual, en el que GGB-ART actuaría como

utensilio auxiliar del currículo tradicional, complementado las utilidades que ya proporciona

GeoGebra al razonamiento en geometría.

En este contexto el comando Relación tendría un papel protagonista por su sencillez y

potencia a la hora de conjeturar propiedades en una construcción, mientras que la etapa de

demostración rigurosa se podría continuar desarrollando con lápiz y papel.

2.- Desde otro contexto curricular y didáctico diferente, en el que se asuma la disponibilidad

y popularización de una “calculadora geométrica”. Se trataría de otra forma de aproximarse

a la geometría que combinaría la experimentación empírica y el razonamiento formal

mediante la interacción hombre-máquina, en línea con la propuesta computer-mediated

thinking (Corless, 2004) basada en la teoría material intelligence (diSessa, 2001). Una

propuesta en la que el desarrollo cognitivo y las competencias computacionales del estudiante

se ven reforzadas por la interacción con el ordenador; y en la que el papel del profesor y el

diseño de tareas son clave.

En definitiva, se trata de confrontar (y poner a cooperar!) el “enseñar de un modo diferente”

con “enseñar algo diferente”!


Abánades, M.A., Botana, F., Kovács, Z., Recio T. & Sólyom-Gecse, C. (2016). Development

of automatic reasoning tools in GeoGebra. ACM Communications in Computer Algebra.

Volume 50 Issue 3, September 2016. pp: 85-88, and Software Demonstration Award at the

ISSAC 2016 Conference. Recuperado de http://www.issac-

conference.org/2016/awards.php).

Botana, F., Recio, T. & Vélez, M.P. (2017). The role of automated reasoning of geometry

statements in mathematics instruction. Poster CERME-10, TWG 15: Teaching Mathematics

with Technology and Other Resources. Dublin. Recuperado de https://keynote.conference-

services.net/resources/444/5118/pdf/CERME10_0181.pdf

Chou, S.C. (1988). Mechanical Geometry Theorem Proving. D. Reidel Pub. Co. Dordrecht,

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Corless, R. (2004). Computer-mediated thinking. Proceedings of the TIME-2004 Workshop,

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Di Sessa, A. (2001). Changing minds: Computers, learning and literacy. MIT Press.

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Gelertner, H. (1959): Realization of a geometry theorem proving machine. Proc. Int. Conf.

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Hohenwarter, M., Kovács, Z. & Recio, T. (2016). Deciding geometric properties

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Education, Special Issue #6, March 2017, ISSN: 2313-1640, http://journal.ph-noe.ac.at

Recio, T. & Vélez, M.P. (1999). Automatic Discovery of Theorems in Elementary

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ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.389

QUE DIZEM AS PESQUISAS BRASILEIRAS SOBRE ESTÁGIO CURRICULAR

SUPERVISIONADO NAS LICENCIATURAS EM MATEMÁTICA

Wellington Lima Cedro – Anemari Roesler Luersen Vieira Lopes – Maria Auxiliadora

Vilela Paiva – Patrícia Sandalo Pereira



Universidade Federal de Goiás (UFG/Brasil) – Universidade Federal de Santa Maria

(UFSM/Brasil) – Instituto Federal do Espírito Santo (IFES/Brasil) – Universidade Federal

de Mato Grosso (UFMS/Brasil)

Núcleo temático: Formação de Professores de Matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: Formação e atualização de Ensino

Palabras clave: formação, professor que ensina Matemática, estágio curricular

supervisionado

Resumo O presente trabalho, desenvolvido no âmbito do projeto “Mapeamento e estado da arte da

pesquisa brasileira sobre o professor que ensina Matemática”, tem como principal objetivo

mapear pesquisas voltadas ao Estágio Curricular Supervisionado em matemática e

identificar seus principais resultados e conclusões. Parte de um corpus de análise

delimitado a partir dos formulários e dos dados tabulados pela equipe executora do referido

projeto, que adotou o estado da arte como metodologia. Foram identificados vinte trabalhos

que versavam sobre o tema de interesse da pesquisa, cujos resultados foram analisados a

partir de cinco categorias: O Estágio Curricular Supervisionado como espaço de

aprendizagem da docência; O Estágio Curricular Supervisionado como espaço de reflexão

e construção de saberes docentes; O Estágio Curricular Supervisionado: metodologias de

ensino em foco; Organização e desenvolvimento do Estágio Curricular Supervisionado; O

papel do Estágio Curricular Supervisionado na identidade profissional. Nesse artigo,

especificamente, trataremos das duas primeiras. Os dados da pesquisa permitiram

identificar o aumento das investigações sobre Estágio Curricular Supervisionado; bem como

sua compreensão como uma etapa articuladora entre a escola de Educação Básica e a

Universidade e como espaço essencial para a compreensão por parte do futuro professor da

complexidade da profissão e constituição da sua identidade docente.

Introdução

O presente trabalho tem como principal objetivo mapear pesquisas voltadas ao Estágio

Curricular Supervisionado em matemática e identificar seus principais resultados e

conclusões. O corpus de análise foi delimitado com base nas dissertações e teses brasileiras


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produzidas nos programas de pós-graduação stricto sensu, nas áreas de Ensino e Educação

da Capes, no período de 2001 a 2012, que abordam a formação inicial do professor que ensina

Matemática (PEM), catalogadas no projeto intitulado: “Mapeamento e estado da arte da

pesquisa brasileira sobre o professor que ensina Matemática”. Esse projeto, financiado pelo

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq/Brasil), foi

elaborado pelo Grupo de Estudos e Pesquisas sobre Formação de Professores que Ensinam

Matemática (GEPFPM), sob a coordenação geral do Prof. Dr. Dario Fiorentini (FE/Unicamp)

com a participação de pesquisadores de diferentes regiões brasileiras.

Nos cursos de licenciaturas, a prática (entendida como disciplina ou como componente

curricular) é um dos momentos ou espaços nos quais os conhecimentos didático-pedagógicos

podem se articular com saberes dos conteúdos. E, nessa perspectiva, há de se destacar que

um dos espaços privilegiados para o desenvolvimento da prática dentro do processo de

formação inicial é o Estágio Curricular Supervisionado, que se configura como momento de

aprendizagem docente. Essa compreensão nos levou a utilizar, como corpus de análise,

dissertações e teses que abordam sobre o Estágio, entendido como o Estágio Curricular

Supervisionado em seus diferentes modos de denominação e organização.

Nesse contexto, entendemos como fundamental reconhecer esse espaço de aprendizagens,

complementar às disciplinas oferecidas em sala de aula, no qual se dá a inserção na realidade

escolar, o que permite ao licenciando aprender com a prática dos docentes da escola e com

sua experiência, ao interagir e vivenciar ações de ensino e aprendizagem com os alunos. O

movimento de integrar teoria e prática no processo formativo do aluno, futuro professor,

constitui a finalidade do Estágio, considerando, como destacam Pimenta e Almeida (2014),

o campo de atuação na condição de objeto de análise, de investigação e de interpretação

crítica, a partir das relações estabelecidas com as disciplinas do curso. Nesse sentido,

levando-se em consideração a compreensão de como o Estágio Curricular Supervisionado

pode, efetivamente, contribuir para a formação do futuro professor que ensina Matemática é

que investigamos as pesquisas que tratam dessa temática.

O caminho percorrido


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Adotamos o estado da arte como metodologia descritiva de caráter inventariante da produção

acadêmica, tomando por base os estudos realizados por Ferreira (2002), Fiorentini et al.

(2002), Romanowski e Ens (2006).

O estado da arte é uma metodologia de caráter bibliográfico, tem desafio de mapear e de

discutir uma certa produção acadêmica em diferentes campos do conhecimento, tentando

responder que aspectos e dimensões vêm sendo destacados e privilegiados em diferentes

épocas e lugares, de que formas e em que condições têm sido produzidas certas dissertações

de mestrado, teses de doutorado, publicações em periódicos e comunicações em anais de

congressos e de seminários (Ferreira, 2002, p. 257).

A delimitação de nosso corpus de análise partiu das 858 dissertações e teses brasileiras

desenvolvidas em programas de pós-graduação stricto sensu nas áreas de Ensino e Educação

da Capes, no período de 2001 a 2012, que abordam temáticas relacionadas ao professor que

ensina Matemática, mapeadas pelo projeto já citado (Fiorentini et al, 2016). Partimos das

informações da planilha geral e dos formulários do projeto, buscando identificar, por meio

dos títulos e das palavras-chave, pesquisas que se referiam à formação inicial no contexto da

Licenciatura em Matemática. Posteriormente procedemos à leitura dos resumos daquelas

que julgávamos tratarem da temática. Nesse processo identificamos 208 investigações. A

partir daí, nosso segundo refinamento centrou-se naquelas que tinham como foco a formação

didático-pedagógica do licenciando. Do resultado dessa segunda busca, foram selecionados

53 trabalhos.

Após uma nova leitura cuidadosa dos formulários dessas 53 pesquisas, optamos por focar nas

20 que tratam do Estágio Curricular Supervisionado na formação do professor de Matemática

dos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio.

Posteriormente a essa seleção, iniciamos a leitura dos trabalhos, com o objetivo de

estabelecer as categorias de análise. Foram criadas cinco categorias: O Estágio Curricular

Supervisionado como espaço de aprendizagem da docência; O Estágio Curricular

Supervisionado como espaço de reflexão e construção de saberes docentes; O Estágio

Curricular Supervisionado: metodologias de ensino em foco; Organização e

desenvolvimento do Estágio Curricular Supervisionado e O papel do Estágio Curricular

Supervisionado na identidade profissional. Na impossibilidade de apresentar toda a pesquisa,

especificamente nesse trabalho nos deteremos a discutir sobre as doze investigações que se


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referem: a) O Estágio Curricular Supervisionado como espaço de aprendizagem da docência

e b) O Estágio Curricular Supervisionado como espaço de reflexão e construção de saberes

docentes.

Com base nesta categorização, efetuamos a descrição e a análise dos trabalhos, destacando

alguns resultados e conclusões apresentados em cada um deles. Salientamos que as

referências completas dessas pesquisas encontram-se no Anexo 01.

Reflexões sobre as pesquisas

a) O Estágio Curricular Supervisionado como espaço de aprendizagem da docência

Em relação à constituição do Estágio Curricular Supervisionado como um movimento

formativo e espaço de aprendizagem da docência, com destaque para seu papel na definição

da escolha da profissão, localizamos sete pesquisas. Em nível de mestrado foram cinco

dissertações: Castro (2002), Mendes (2004), Passerini (2007), Gosmatti (2010) e Nonato

(2011), e em nível de doutorado, duas teses: Lopes (2004) e Ribeiro (2011).

A pesquisa de Castro (2002), cujo objetivo foi investigar como acontece o processo de

formação do professor de Matemática em saberes, ações e significados, quando, no trabalho

com as disciplinas de Prática de Ensino e Estágio Supervisionado, ele entra em contato com

a atividade docente na escola, identificou nos futuros professores diversas evidências

formativas. Dentre elas, ressalta a ressignificação das experiências e dos modelos ou imagens

sobre como deve ser a gestão do ensino, internalizados durante a vida estudantil; a

complexidade do campo de trabalho do professor; a importância de continuar estudando e a

importância de partilhar com o outro os saberes que produz.

Também com o objetivo de investigar o processo de formação do professor de Matemática,

Mendes (2004) direcionou seu olhar para um grupo de alunos da disciplina de Prática de

Ensino que realizavam Estágio Supervisionado. Relata que os futuros professores

compreendem a Prática de Ensino e Estágio como uma etapa da sua formação em que

ocorrem aprendizagens mas ressalta que o caráter complementar conferido à Prática de

Ensino e ao Estágio Supervisionado nos cursos de Licenciatura representa um obstáculo à

formação dos futuros professores.

Passerini (2007) investigou o papel do Estágio Supervisionado na formação inicial do

professor de matemática, na ótica dos licenciandos. Aponta para a necessidade de discutir,


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no curso de formação inicial, fatores que dificultam a implementação de práticas inovadoras

nas escolas e também de viabilizar a aproximação com o ambiente e as condições de trabalho.

Destaca que, para os cursos de Licenciatura em Matemática, é um desafio implementar

propostas em que todas as disciplinas, e não apenas as pedagógicas, tenham dimensão prática.

Gosmatti (2010) procurou desvelar como professores de Estágio Curricular Supervisionado

de cursos de Licenciatura em Matemática entendem a prática de ensino, ao elaborarem e

desenvolverem atividades em disciplinas de Estágio Curricular Supervisionado. Os

resultados da pesquisa levaram o autor a afirmar que o Estágio, a partir das ações docentes e

discentes, pode proporcionar transformações na realidade, tais como a própria aprendizagem

da docência no processo de constituição da identidade docente pelo aluno/estagiário. Ressalta

que a atividade deste na escola pode proporcionar transformações na realidade a partir das

novas aprendizagens.

Nonato (2011) investigou elementos oferecidos pelo Estágio para o Ensino Médio que

contribuem para as aproximações com a prática para o ensino de Matemática. Constatou que

o Estágio poderia proporcionar novas aproximações de forma significativa tanto do ponto de

vista de um grupo de professores em processo de formação inicial como de outro, composto

por professores já atuantes em classes da Educação Básica. Também observou que a

preocupação excessiva com disciplinas específicas de conteúdo matemático, desvalorizava a

disciplina de Estágio.

Lopes (2004) pesquisou o processo de formação de futuros professores, observando como

ocorrem suas aprendizagens docentes em um processo de Estágio com atividades

compartilhadas. Concluiu que a socialização de diferentes momentos do desenvolvimento do

Estágio permitiu que as ações pudessem ser compartilhadas e avaliadas de modo a determinar

novas ações, com novas qualidades, e o desenvolvimento coletivo das atividades contribuiu

para a reconfiguração dos motivos dos estagiários.

Procurando indicadores de um movimento formativo na direção da práxis do futuro professor

de Matemática, que conduza à formação do seu pensamento teórico para a docência, Ribeiro

(2011) buscou evidenciar o modo como o sujeito vai se constituindo professor no

desenvolvimento das disciplinas de Prática de Ensino e de Estágio. Os resultados da

investigação levaram a autora a identificar que a relação entre o professor orientador no

campo de Estágio e o professor formador na universidade é muito importante e deve superar


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o mero consentimento, pelo professor da escola, para que os futuros professores desenvolvam

as atividades de Estágio.

Em comum, as pesquisas apontam o Estágio como espaço que proporciona a relação entre

teoria e prática e como um dos momentos mais importantes para a formação do futuro

professor. Além disso, indicam que o Estágio se constituiu como um espaço de reflexão e

chamam a atenção para a inadequação com que muitas vezes é tratado nos cursos de

licenciatura, o que nos direciona às reflexões de Gatti et al. (2008) sobre as condições em

que eles são ali realizados.

b) O Estágio Curricular Supervisionado como espaço de reflexão e construção de saberes

docentes

Dentre as experiências vivenciadas por professores em sua formação, o Estágio é, sem

dúvida, um espaço rico de vivência da prática docente, no qual ocorrem reflexões e

aprendizagens de novos saberes. São cinco as pesquisas deste corpus de análise que versam

sobre saberes docentes , sendo três delas de mestrado (Lima, 2008; Magalhães, 2010;

Medeiros, 2010) e duas de doutorado (Ferreira, 2009; Cruz, 2010).

Lima (2008) discutiu as possibilidades de desenvolvimento de práticas colaborativas no

Estágio Curricular Supervisionado em Matemática, considerando as interações existentes na

tríade licenciando/professor-formador/professor-escolar e concebendo o Estágio como um

elo entre a escola e a universidade. As conclusões do autor apontam: a necessidade de superar

as práticas baseadas numa pedagogia de supervalorização dos saberes disciplinares da

Matemática, em detrimento das outras formas de saber; a opção de construir coletivamente

os saberes da ação pedagógica; a importância de pensar e analisar criteriosamente os aspectos

metodológicos do Estágio dentro da escola.

Ferreira (2009) explorou as interações discursivas vivenciadas pelos licenciandos no Estágio

Supervisionado, em termos da construção dos saberes docentes desses futuros professores de

Matemática. Os resultados de pesquisa apontaram que o Estágio supervisionado é visto como

um processo que auxilia o licenciando na familiarização com a sala de aula, pois retrata uma

face do ambiente de trabalho. A experiência do Estágio na pesquisa de Ferreira (2009)

propiciou aos futuros professores reflexões sobre estratégias didático-metodológicas

relacionadas ao ensino e à aprendizagem da Matemática, saberes necessários para o ensino,


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e mobilizou e produziu outros saberes fundamentais à formação desses futuros professores,

atuando em seu desenvolvimento profissional.

Magalhães (2010) também vai nessa direção, ao verificar se a proposta de Estágio

supervisionado dos cursos de Licenciatura em Matemática de uma instituição tem provocado

uma prática reflexiva nos alunos e investigou que tipo de reflexões o Estágio propicia. A

autora concluiu que um dos entraves para que ocorra o processo de reflexão é a pouca

interação entre os professores do curso, o professor de Estágio e os alunos, além da falta de

espaços para orientação de estagiários e discussões coletivas.

Cruz (2010) propôs-se a analisar as potencialidades do Ensino Prático Reflexivo,

desenvolvido por meio de ações coletivas, no contexto de um curso de Formação Inicial de

Professores de Matemática, durante o Estágio Supervisionado. A partir dos dados coletados,

a autora conclui que a proposta do Ensino Prático Reflexivo, quando envolve processos de

colaboração em que haja troca de experiências e possibilidade de análise das práticas no

coletivo, proporciona que significados sejam construídos.

Medeiros (2010) investigou o processo de desenvolvimento de atitudes, práticas e saberes

docentes durante o Estágio Supervisionado na relação entre professor escolar e estagiário A

análise de seus dados demonstraram que o Estágio, quando bem direcionado e quando os

professores escolares colaboram nas ações pedagógicas dos estagiários no contexto escolar,

pode reforçar ou fazer emergir nos estagiários o desejo de assumir a profissão professor, com

práticas pedagógicas diferenciadas.

Os resultados apresentados por essas cinco pesquisas brasileiras compactuam com estudos

que se intensificaram a partir de 1990, principalmente com os trabalhos de Fiorentini (2004),

Nóvoa (1995), Pimenta (2008), Ponte (2002), Schön (2000), Shulman (1986) e Tardif (2002),

que apontam a importância de constituir espaços de formação que permitam ao futuro

professor uma prática reflexiva e que leve à construção de diferentes saberes, em especial o

conhecimento pedagógico ou didático do conteúdo.


Ao olharmos para as pesquisas relacionadas aos cursos de Licenciatura em Matemática, nos

propusemos a mapear e analisar aquelas voltadas ao Estágio Curricular Supervisionado, no

que tange aos seus principais resultados e conclusões.


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Inicialmente foi possível perceber o aumento no número de pesquisas nos últimos anos e que,

se, por um lado, são distintas na medida em que se constituíram por particularidades e

mostram diferentes modos como o Estágio se organiza, por outro trazem considerações que

as aproximam.

Todos os estudos concebem o Estágio como um momento não restrito a uma ação isolada de

finalização do curso de licenciatura, em que o futuro professor aplica os conhecimentos

teóricos adquiridos ao longo do curso. Antes, sim, apresentam-no como um espaço em que

teoria e prática não se dissociam; em que, principalmente, ocorrem importantes

aproximações e interações com a Educação Básica e as possíveis articulações entre o

professor regente e o professor orientador. A compreensão da afinidade dessa relação é

primordial para compreendemos o Estágio como um espaço privilegiado de articulação entre

teoria e prática na formação do professor e, consequentemente, como meio para a construção

de saberes essenciais para a profissão docente.

Além disso, chamaram-nos a atenção para as condições objetivas e subjetivas ou, ainda, para

as inadequadas formas como esse momento da formação é tratado, o que pode influenciar de

maneira significativa as possibilidades de aprendizagem do futuro professor sobre a

complexidade da profissão docente e para a constituição da identidade docente


Ferreira, N. S. A. (2002). As pesquisas denominadas “Estado da Arte”. Educação &

Sociedade, 23(79), 257-272.

Fiorentini, D. (2006). Pesquisar práticas colaborativas ou pesquisar colaborativamente? In

M. C. Borba (Org.), Pesquisa qualitativa em educação matemática (pp.47-76). Belo

Horizonte: Autêntica.

Fiorentini, D.; Passos, C. L. B. & Lima R. C. R. (org.) (2016). Mapeamento da pesquisa

acadêmica brasileira sobre o professor que ensina Matemática: Período 2001 – 2012. FE-

Unicamp: Campinas, E-book. Disponível em: https://www.fe.unicamp.br/pf-

fe/pf/subportais/biblioteca/fev-2017/e-book-mapeamento-pesquisa-pem.pdf.

Fiorentini, D., Nacarato, A. M., Ferreira, A. C., Lopes, C. S., Freitas, M. T. M., & Miskulin,

R. G. S. (2002). Formação de professores que ensinam Matemática: um balanço de 25 anos

da pesquisa brasileira. Educação em Revista, 36, 137-160.

Gatti, B. A., Nunes, M. M. R., Gimenes, N. A. S., Tartuce, G. L. B. P., & Unbehaum, S. G.

(2008). Formação de professores para o ensino fundamental: instituições formadoras e seus

currículos: relatório de pesquisa. São Paulo: Fundação Vitor Civita.


ISBN 978-84-945722-3-4

Mizukami, M. G. (2004). Aprendizagem da docência: algumas contribuições de L. S.

Shulman. Revista Educação, 29(2), 1-11.

Nóvoa, A. (1995). Os professores e a sua formação. Lisboa: Dom Quixote.

Pimenta, S. G. (2008). Formação de professores: identidade e saberes da docência. In S. G.

Pimenta (Org.), Saberes pedagógicos e atividade docente (pp. 15-34). São Paulo: Cortez.

Pimenta, S. G., & Almeida, M. I. (2014). Estágios supervisionados na formação docente.

São Paulo: Cortez.

Ponte, J. P. (2002). Investigar a nossa própria prática. In Grupo de Trabalho sobre

Investigação (Ed.). Refletir e investigar sobre a prática profissional (pp. 05-8). Lisboa:

APM.

Romanowski, J. P., & Ens, R. T. (2006). As pesquisas denominadas do tipo “Estado da Arte”

em educação. Diálogo Educacional, 6(19), 37-50.

Schön, D. (2000). Educando o profissional reflexivo: um novo design para o ensino e a

aprendizagem. Porto Alegre: Artes Médicas Sul.

Shulman. L. S. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational

Researcher, 15(2), 4-14.

Tardif, M. (2002). Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes.

QUE DIZEM AS PESQUISAS BRASILEIRAS SOBRE ESTÁGIO CURRICULAR

SUPERVISIONADO NAS LICENCIATURAS EM MATEMÁTICA

Wellington Lima Cedro – Anemari Roesler Luersen Vieira Lopes – Maria Auxiliadora

Vilela Paiva – Patrícia Sandalo Pereira



Universidade Federal de Goiás (UFG/Brasil) – Universidade Federal de Santa Maria

(UFSM/Brasil) – Instituto Federal do Espírito Santo (IFES/Brasil) – Universidade Federal

de Mato Grosso (UFMS/Brasil)

Anexo 01: Pesquisas investigadas no artigo

Castro, F. C. (2002). Aprendendo a ser professor(a) na prática : estudo de uma experiência

em prática de ensino de Matemática e estágio supervisionado. Dissertação de Mestrado,

Universidade Estadual de Campinas, Campinas, SP, Brasil.

Cruz, M. A. S. (2010). Uma proposta metodológica para a realização do Estágio

Supervisionado em um curso de formação inicial de professores de Matemática: limites e

possibilidades. 235 f. Tese de Doutorado, Universidade Federal do Mato Grosso do Sul,

Campo Grande, MS, Brasil.






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Ferreira, C. M. S. (2010). Um estudo exploratório da construção de saberes docentes

provenientes de interações discursivas no estágio curricular. Dissertação de Mestrado,

Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil.

GOSMATTI, A. (2010). Prática de ensino na perspectiva de professores de Estágio

Curricular Supervisionado de Matemática. Dissertação de Mestrado, UFPR, Curitiba, PR,

Brasil.

Lima, J. I. (2008). O Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática: possibilidades

de colaboração. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Pará, Belém , PA, Brasil.

Lopes, A. R. L. V. (2004). A aprendizagem docente no estágio compartilhado. Tese de

Doutorado, Universidade de São Paulo, São Paulo, SP, Brasil.

Magalhães, A. P. A. S. (2010). O Estágio Supervisionado dos cursos de formação de

professores de Matemática da Universidade Estadual de Goiás: uma prática reflexiva?.

Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Goiás, Goiânia, GO, Brasil.

Medeiros, C. M. (2010). Estágio Supervisionado: uma influência na constituição dos saberes

do professor de Matemática na formação inicial. Dissertação de Mestrado, Universidade

Federal do Pará, Belém, PA, Brasil.

Mendes, M. J. F. (2004) Reflexões sobre a formação do professor de Matemática:

investigando a prática de ensino no curso de Licenciatura da UFPA. Dissertação de Mestrado,

Universidade Federal do Pará, Belém, PA, Brasil.

Nonato, K. J. (2011). Estágio Supervisionado em Matemática: contribuições para as

formações de professores de Matemática. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do

Mato Grosso do Sul, Campo Grande, MS, Brasil.

Passerini, G. A. (2007). O Estágio Supervisionado na formação inicial do professor de

Matemática na ótica de estudantes do curso de Licenciatura em Matemática da UEL.

Dissertação de Mestrado, UEL, Londrina, PR, Brasil.

Ribeiro, F. D. (2011). A aprendizagem da docência na prática de ensino e no estágio:

contribuições da teoria da atividade. Tese de Doutorado, Universidade de São Paulo, São

Paulo, SP, Brasil.


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CB-1.400

APRENDER A INVESTIGAR INVESTIGANDO. PROPUESTA DE FORMACIÓN

PARA PROFESORES DE MATEMÁTICAS

Brigitte Johana Sánchez Robayo


Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Colombia


Modalidad: Comunicación breve


Palabras clave: Formación en investigación, Investigación de la práctica, Formación

continuada y Trabajo colaborativo.

Resumen Se reporta una investigación en la que se aplicó una propuesta de formación para profesores

de matemáticas de Bogotá (Colombia). La investigación tomó como presupuesto que los

profesores son agentes de cambio en las prácticas educativas y que la investigación de la

práctica es motor de construcción de conocimiento profesional.

La metodología fue la investigación acción y dentro de las fases se encuentra la realización

de estudios de campo, el diseño y aplicación de la propuesta de formación y la

sistematización de las experiencias logradas por profesores de matemáticas.

Como resultados principales se encuentra el desarrollo de profesores respecto a

características asociadas a la acción de investigar la práctica, ellas corresponden a

actitudes y conocimientos propios de tal acción; también narrativas publicadas de los

profesores que detallan quienes son, sus dificultades durante la formación y el aporte de la

propuesta implementada.

Una de las principales conclusiones es que el trabajo colaborativo constituye una alternativa

de formación que posibilita el trabajo en grupo sin jerarquías, los profesores socializan sus

inquietudes y hallazgos sin temor a ser juzgados, escuchan a sus compañeros y abren su

mente a otras formas de abordar problemáticas usuales de clase.

PRESENTACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN Y REFERENTES TEÓRICOS

La formación de profesores es uno de los principales focos de preocupación en Educación

Matemática. En tal sentido, Potari (2012) ha identificado tres niveles de investigación en

formación de profesores de matemáticas dependiendo del contexto y la forma bajo la cual se

considere la práctica de enseñanza y aprendizaje: El nivel exploratorio que refiere a aquellos

estudios que tratan de elementos propios de la clase; el nivel de desarrollo enfocado en las

relaciones de la formación de profesores de matemáticas, con procesos de enseñanza y

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aprendizaje de las matemáticas; finalmente, el último nivel considera las relaciones del

conocimiento del profesor con su práctica. En el último se encuentran enfoques que toman

el conocimiento de contenido como punto inicial de indagación así como la perspectiva

práctica de investigación de la propia práctica.

Trabajos como los de Check & Schutt (2015), Ferreira & Miorim (2005) y Knijnik (2014) se

ubican en el tercer nivel y demuestran la importancia de hacer de la investigación, un

elemento fundamental en la práctica profesional. No obstante, Piedra, Hernandez &

Rodríguez (2012) demuestran que son muy pocas las reflexiones sistemáticas que se

encuentran de profesores de matemáticas en Colombia; la gran mayoría, pertenecen a

investigadores o profesores de colegio que trabajan con profesores universitarios o se

vinculan a proyectos de investigación emergentes en las universidades.

En consecuencia, el principal objetivo de la investigación era el diseño y la aplicación de una

propuesta de formación en investigación a partir de actividades propias de tal acción. Para el

diseño de la propuesta se tomaron los enfoques alternativos de formación de profesores

identificados por Perafán y Bravo (2005) y en particular: el crítico, pues la formación

propende por el cuestionamiento de los procesos de reproducción de mundo, se vuelve un

elemento problematizador del hacer y en esta medida, el compromiso es opuesto al que se

encuentra en situaciones descontextualizadas; el complejo, al concebir la práctica como un

sistema que requiere ser estudiado bajo la interrelación de sus partes y; el constructivo, pues

quien aprende es un agente activo que transforma su conocimiento a partir de reconstrucción

de esquemas conceptuales (Porlán, 1997).

Adicionalmente, se asume la definición de la acción de investigar dada por Lazcano, et al.

(2012) según la cual tal acción consiste en un deseo autónomo de actuación frente a ciertos

fenómenos o situaciones que afectan un determinado contexto. En este marco, se asumen las

dimensiones, características y subcaracterísticas que comportan la acción de investigar la

propia práctica (Sánchez, B., & Torres, J., 2017), particularmente las dos últimas permiten

identificar desarrollos en los profesores al proporcionar indicadores particulares de

formación en investigación.

Las dimensiones social, personal y realizativa se desarrollan mediante la acción de investigar.

La dimensión personal pues aquel que investiga es un sujeto con intención, que identifica

situaciones susceptibles de ser mejoradas; la social dado que la investigación se debe a las


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comunidades de las que emerge y a su vez, son ellas en las que se legitima tal acción;

finalmente la dimensión realizativa, pues la investigación trae consigo intención y en este

sentido, horizontes de actuación y decisión.

En la dimensión personal se encuentran las características crítica y problematización. Por un

lado, la crítica refiere a “la actitud permanente por reconocer y cuestionar elementos o

situaciones de la práctica profesional”(Sánchez & Torres,2017 p.20). La problematización es

“el proceso de identificar elementos en una situación, que permitan plantear un problema de

investigación, partiendo de una tensión entre lo que sucede y lo que se sabe al respecto”

(p.21). En la dimensión social se encuentra la interacción que se entiende como “la actitud

permanente de relacionarse con otros para construir conocimiento profesional que

trascienda” (p. 21). Finalmente en la dimensión realizativa se encuentra la estrategia que se

asume como “la acción de planificar y orientar su actuar hacia la solución de problemas de

su hacer cuando el hacer está en investigación” (p. 21).

METODOLOGÍA

La investigación fue de tipo cualitativa y se asumió como método la investigación acción

(IA) en varios escenarios:

• Como método de la investigación en general, pues se aplicó una propuesta cuya intención

principal es transformar la realidad identificada de profesores de matemáticas y el papel

de la investigación en su práctica.

• Como método en el diseño de la propuesta, pues se asumió el ciclo mediante el cual se

documenta y diseña con base en el estado identificado en los profesores, se aplica para

tomar lo sucedido y revisar lo diseñado, se modifica el diseño y se aplica; tal proceso

continuamente hasta culminar la investigación.

• Como modelo asociado al trabajo colaborativo mediante el cual los profesores

interactuaban.

Como método de la investigación, se desarrollaron las siguientes fases:

• Exploración de la formación en investigación: Refiere al tratamiento teórico de los

elementos asociados a la formación en investigación de profesores de matemáticas en

ejercicio.

• Detección de necesidades de formación: Para el posterior diseño de la propuesta, se realizó

una investigación descriptiva en la que se identificaron necesidades de formación en


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investigación mediante la realización de nueve estudios de caso a profesores de

matemáticas de diferentes localidades de Bogotá.

• Diseño de la propuesta de formación: Se tomaron de base las necesidades identificadas en

la fase anterior y la apuesta teórica asumida. Adicionalmente, las actividades se diseñaron

partiendo del principio que investigación se aprende investigando; por lo que las

actividades partieron del reconocimiento de los otros y de las inquietudes propias de la

práctica, pasaron por la indagación, la generación de preguntas, al planteamiento de metas,

la búsqueda y propuesta de estrategias para el logro de las mismas, la aplicación de

instrumentos y la generación de conclusiones, para culminar con el relato de la experiencia

de investigación vivida y la consolidación del informe de la investigación realizada.

• Implementación de las actividades: Se realizó con 12 profesores de matemáticas en

ejercicio. La aplicación de la propuesta tuvo una duración de aproximadamente año y

medio; tiempo en el que se hacían encuentros los días sábados y algunos días entre

semana. Durante la implementación se realizaron estudios de caso en los que se grababan

las diferentes sesiones y registraban las acciones y expresiones que cada profesor

realizaba.

• Sistematización y Divulgación: Aunque la sistematización se realizó durante toda la

investigación, en esta fase se consolidaron los informes de investigación de los profesores

así como el informe final de la investigación que aquí se reporta, se realizaron relatos de

la experiencia de los profesores y tanto los relatos como los informes se divulgaron en un

libro (Sánchez, Rodríguez, Fonseca & Torres, 2015b).

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Los principales resultados se enfocan en las necesidades de formación encontradas y en la

propuesta de formación aplicada.

Necesidades de Formación en Investigación

Como primera instancia se identificó que un limitante para que profesores de matemáticas en

colegios realicen investigación, refiere a diversas concepciones en los profesores, que ponen

la investigación alejada de tales contextos, particularmente la investigación y la práctica se

consideran apartadas y sin relación alguna. Se identificó que tanto profesores como sus

cercanos en el trabajo, consideran que la investigación pertenece exclusivamente a las

universidades y requiere de conocimientos y tiempos que no se tienen en la escuela.


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Tanto para profesores como para sus pares, directivos e investigadores, la lectura y escritura

se consideran necesidades de formación, así como la interacción con los pares para

intercambiar experiencias y retroalimentar situaciones problemáticas.

Dos necesidades identificadas desde los investigadores son la apertura al cambio y la

capacidad de asombro, pues la negación al cambio es natural ante esquemas asumidos. Esto

se relaciona con el acostumbrarse a situaciones de la práctica que a pesar de ser conflictivas,

se consideran cotidianas y normales.

Los directivos de los colegios reconocen que los profesores requieren divulgar sus

propuestas, particularmente, a sus pares en el trabajo, plantean que se requieren de espacios

en los que se visualicen propuestas que no sólo favorezcan el accionar del profesor en la

clase, sino que también beneficien a sus compañeros por medio del intercambio de

experiencias.

Desde las diferentes miradas, se identificó que los profesores requieren espacios para

compartir experiencias con sus compañeros y discutir situaciones que encuentran conflictivas

y de las que, sin saberlo, comparten preocupaciones. No obstante, en las instituciones

educativas es poca la presencia de tales espacios y ya sea por la distribución horaria o

inclusive, por renuencia de los profesores, es muy baja la presencia de equipos de trabajo y

de construcción de conocimiento profesional en colectivo. Por ende, se requiere vincular a

los profesores en equipos de trabajo consolidados a partir de preocupaciones comunes.

De la propuesta de formación aplicada

Dada la necesidad de consolidar equipos de trabajo tomando convergencias de intereses, la

propuesta de formación tomó de base el trabajo colaborativo. En este tipo de trabajo, los

grupos actúan en pro de un objetivo común y se requiere que los integrantes “acepten la

diversidad, respeten las diferencias y tengan una actitud tolerante y comprensiva cuando las

diferencias afloren” (Sánchez & Torres, 2013, p. 91). Esta dinámica de trabajo fortaleció la

comunicación entre los integrantes de los grupos de trabajo que simulaban equipos de

investigación, particularmente, porque la ausencia de jerarquías al interior de los grupos

generó confianza de expresar lo que se pensaba y de generar propuestas.

El trabajo colaborativo permitió fortalecer la interacción, particularmente porque se

identificaron cambios significativos en las dinámicas de trabajo en equipo, los profesores

escuchaban a sus compañeros y replicaban de manera argumentada aquellas propuestas


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relacionadas con su proceso de investigación y particularmente, aquellos elementos que

hacían referencia a su práctica. Por otro lado, mediante la propuesta de formación se generó

un reconocimiento en los profesores de la importancia de socializar aquellas propuestas que

desarrollan en sus clases y de compartir con otros sus preocupaciones.

El reconocimiento del otro, de sí mismo y de las preocupaciones propias de la práctica como

puntos de partida en la propuesta de formación, generó familiaridad entre los participantes,

permitió identificar situaciones de conflicto y facilitó el paso de las mismas a problemas de

investigación. De esta forma, se confirma la hipótesis de que la investigación en profesores

de matemáticas escolares debe partir de situaciones que emergen en la práctica misma y

deben ser ellos –los profesores- los agentes principales de tal proceso.

Durante el proceso de formación se identificaron los siguientes desarrollos en la crítica:

• Al finalizar, se reconocía la importancia de conocer posicionamientos de otros respecto

aquello sobre lo cual se preguntaban.

• Aunque antes de la propuesta existía en los profesores un reconocimiento general de la

importancia de la profesión, al finalizar mostraban elementos específicos que relacionaban

la incidencia del proceso de investigación que desarrollaban en su práctica y la

consecuencia de tal impacto en sus estudiantes. Con esto, expresaban aspectos particulares

que fundamentaban las ideas que tenían sobre la importancia de la profesión y de la

indagación sistemática de la práctica.

Respecto a la estrategia se identificaron los siguientes desarrollos:

• Los profesores demostraron apropiación de los soportes teóricos asumidos en su

investigación así como de algunas metodologías de investigación que soportaron su actuar

respecto a los cuestionamientos que abordaron.

• Al finalizar el proceso de formación, los profesores reconocían la importancia de

sistematizar su experiencia, pues valoraron algunas propuestas de enseñanza llevadas al

aula, que no trascendieron de sus clases dada la falta de tal ejercicio.

Algunos desarrollos respecto a la problematización son:

• Respecto al estado inicial, se identificó un aumento en la cantidad de situaciones que los

profesores identificaban que podían ser campo fértil de investigación.


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• El conocimiento respecto a las características que debe tener una situación para que llegue

al estatus de problema de investigación se dio de manera natural al momento de construir

este tipo de problemas y de revisar los de los compañeros.

• El ejercicio de documentación requerido desde el inicio del proceso y apoyado con la

orientación de los investigadores, generó un desarrollo en la documentación sobre la

práctica, pues un ejercicio que inició con lecturas simples relacionadas con los distintos

aspectos que los profesores se cuestionaban, culminó en la búsqueda autónoma de

documentos que desarrollaran tales temas con mayor profundidad.

A pesar de que la propuesta de formación da cuenta de los desarrollos logrados por los

profesores que participaron en ella, éstos refieren principalmente a aspectos personales y de

impacto a corto plazo particularmente en su práctica pedagógica. En la realización del estudio

descriptivo en el que se identificaron necesidades de formación en investigación, se

establecieron ausencias que no conciernen al profesor; espacios, tiempos, disposiciones

institucionales, son algunas de ellas y en diversas ocasiones, constituyen limitantes para la

realización de propuestas diferentes que pretenden transformar la práctica. Así queda un

cuestionamiento sobre el alcance de la propuesta y cómo ésta puede generar implicaciones

de largo aliento de tal suerte que permitan mediar los requerimientos administrativos y del

sistema educativo en general, con las acciones particulares que permitirían una reflexión

sistemática incorporada a la práctica pedagógica.

CONCLUSIONES

La investigación sobre la propia práctica es un hecho que no sólo se vislumbra como campo

teórico de desarrollo en la investigación en Educación Matemática, sino en acciones

específicas de investigación que cierran cada vez más la cuestionada brecha teoría – práctica.

Experiencias como las reportadas en este artículo, en la revista Bolema de Brazil, en el 15vo

estudio del ICMI (Even & Ball, 2009), en la conferencia internacional del grupo de psicología

en educación matemática (PME), entre otras, dan cuenta de trabajos comunados entre

investigadores y profesores de matemáticas de colegio, que permiten construcción de

conocimiento profesional mediante un diálogo de saberes y el reconocimiento del tipo de

conocimiento del que cada uno de estos integrantes dispone. La mirada de investigador

experto que tiene mucho que decir sobre la práctica sin tener en cuenta lo que el profesor

puede contar de ella, se transforma a una mirada en la que el conocimiento es igualmente


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valorado y aporta diferentes elementos para reflexionar, cuestionar y aportar cambios

específicos en la clase de matemáticas.

En la investigación reportada en este artículo, el trabajo colaborativo fue herramienta

fundamental para lograr que los profesores partícipes expresaran sus desacuerdos y

expusieran sus propuestas, sin miedo a ser juzgados. En un ambiente mediado por este tipo

de trabajo, la comunicación se vuelve esencial, no sólo para el reconocimiento del otro y de

sus ideas, sino también para proponer caminos de abordaje a problemas que se presenten en

el camino.

Particularmente, las dimensiones personal, social y realizativa que se despliegan mediante la

acción de investigar la propia práctica, proporcionan una perspectiva de comprensión de la

acción misma de investigar y abren el camino a cuestionar las relaciones que se ponen en

juego cuando se cuestiona en y sobre la práctica. Sus características, constituyen una primera

mirada a tales acciones y los desarrollos respecto a ellas mediante la propuesta de formación,

generan cuestionamientos desde cómo generar conciencia de la necesidad de transformar

algunos elementos de la práctica hasta como incorporar tal acción sin cambiar el fin mismo

de la profesión “ser profesor de”.


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