Virginio Gomez Calculo 2

CLCULO I ID E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas

INDICE Contenido UNIDAD N1 : Integral Indefinida Conceptos y propiedades - Reglas de integracin Integracin inmediata: - Frmulas comunes - Para funciones trigonomtricas - Para funciones trigonomtricas inversas Mtodos de integracin: Integracion por cambio de variables (sustitucin simple): - Definicin - Caso de funcin exponencial - Caso de logaritmo natural - Caso de funciones trigonomtricas con argumento - Caso de la regla de la cadena Integracion por partes: - Definicin - Resumen de algunas Integrales Por Partes Comunes.

VIRGINIO GOMEZ

Pgina 1 5 5 6 6 8 8 9 10 11 18 24 27 37 27 30 33 33 34 38 42 42 47 57 57 59 61 63 66

Integracin de Potencias de funciones trigonomtricas: Tipo A: Integracin de Monomios Senos y Cosenos: - Caso 1:S o ambos son enteros positivos impares - Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos (o uno de ellos es ceros). Tipo B: Integracin de Monomios Secante y Tangente: - Caso1:Si es un entero positivo par (La potencia de la es par) - Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar) Tipo C: Integracin de Monomios Cosecante y Cotangente. Sustitucin Trigonomtrica: - Para el integrado de la forma: - Para el integrado de la forma: -Para el integrado de la forma: Funciones Racionales: - Caso 1: Los factores de son todos lineales y ninguno se repite. - Caso 2: Los factores de son todos lineales y algunos estn repetidos. - Caso3: Los factores de son lineales y cuadrticos de la forma . Ninguno de los factores cuadrticos se repite. - Caso 4: Los factores de son lineales y cuadrticos, y algunos de los factores cuadrticos se repiten. Autoevaluacin


UNIDAD N2 : Integral definida Interpretacin de la integral definida Propiedades generales de la integral definida Areas en Coordenadas Cartesianas Areas positivas y negativas Areas simples entre curvas Volumen de Slidos en Revolucin: - Mtodo de los disco. - Mtodo de las arandelas (slido de revolucin con agujero) Caso 1: Rotacin en torno al eje . Caso 2: Rotacin en torno a un eje paralelo al eje . - Mtodo de los anillos cilndricos Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas. Area de superficie en revolucin Autoevaluacin

VIRGINIO GOMEZ

71 74 80 89 90 103 104 106 114 121 128 132 142 142 144 154 156 159 161 165 175 183 187

Unidad N3 : Ecuaciones Parmetricas y Coordenadas Polares - Conceptos - Grficos y transformaciones - Primera y segunda derivada - Areas en coordenadas parmetricas - Longitud de arco en coordenadas paramtricas Coordenadas Polares: - Sistema de Coordenadas Polares - Relacin entre Coordenadas Polares y Rectangulares. - Grfico en coordenadas polares - Areas en coordenadas polares - Longitud de arco en coordenadas polares Autoevaluacin Unidad N0 4 : Integrales impropias

Definicin Caso 1: El lmite de integracin se hace infinito - El limite superior es infinito. - El lmite inferior es infinito. - El lmite inferior y superior son infinitos. Caso 2: El integrado se torna infinito o discontinuo ya sea en los mismos limites de integracin o en algn punto del intervalo entre ellos. Autoevaluacin

192 192 192 192 193 194 201


Conceptos y propiedades

En la misma forma en que hay funciones inversas tambin existen operaciones inversas. Por ejemplo en matemticas la sustraccin es la inversa de la adicin, y la divisin es la inversa de la multiplicacin.. As el proceso inverso de la diferenciacin es la integracin La integracin la vamos a definir como el proceso inverso de la diferenciacin. En otras palabras, si tenemos la derivada de una funcin, el objetivo es: "Determinar que funcin ha sido diferenciada para llegar a esa derivada". Por lo que el proceso de integracin radica en la comprensin del proceso de la diferenciacin. Supongamos que dado un funcin siguiente modo:dado

, deseamos obtener su derivada, por lo que procedemos del

f(x)Funcin Origen Funcin Primitiva Funcin Inicial

d f x dx

Funcin Derivada

Ahora si nuestro problema es el inverso, es decir, dado una funcin derivada de una cierta funcin, encontrar dicha funcin. El objetivo es determinar la funcin , la cual fue derivada (diferenciada). Nota: A esta funcin La idea grfica es: , la vamos a llamar la funcin origen, funcin primitiva o la funcin inicial.

1

VIRGINIO GOMEZObtiene

UNIDAD N1: INTEGRAL INDEFINIDA

f '(x)

1


Funcin Derivada Funcin Primitiva Funcin Inicial

Funcin Derivada

f(x)

f ' x dx

f x

Aplicando el Operador Antiderivada

As por ejemplo: Dado: Aplicando el operador antiderivada

Aplicando el operador antiderivada

Aplicando el operador antiderivada donde

Intuitivamente podemos pensar que dado una funcin derivada , podemos aplicar un proceso inverso a la derivada o mejor dicho el operador antiderivada para encontrar la funcin origen o primitiva que fue diferenciada. Por lo tanto, podemos decir que:F u n ci n D eriva d a F u n ci n P rim itiva F u n ci n In icia l

F u n ci n D eriva d a

A plica n d o e l O pera d or D E R IV A D A d f x dx

f(x)

f ' x dx

f x

A plica n d o e l O pera d or A n tid eriv ad a (IN T E G R AL )

2

VIRGINIO GOMEZf '(x), donde , donde ,

Obtener

Dado

f'(x)


Utilizando la interpretacin de infinitesimal podemos escribir lo anterior como:

Definiendo la operacin antiderivada de ahora en adelante como Integral, con el smbolo "operador integral" y aplicndolo a nuestra expresin anterior tenemos:

Donde: Luego la funcin primitiva u origen se puede determinar como: ;

"la integral de la derivada es la funcin origen"

A esta expresin se le conoce como la INTEGRAL INDEFINIDA. Debemos notar lo siguiente:d x3 dx 3

Operador DERIVADA

x2

d x3 dx 3Funcin Derivada Funcin Primitiva Funcin Inicial

1 2

x2 x2

d x3 dx 3 d x3 dx 3

C

x2

f x

x3 3

f x

f ' x dx

f x

Aplicando el Operador Antiderivada (INTEGRAL)

3

VIRGINIO GOMEZFuncin Derivada

Matemticamente hablando diremos. Sea:

x2


- Una funcin derivable tiene una nica funcin derivada el reciproco tiene infinitas soluciones. - La derivada de una funcin tiene una familia de funciones primitivas. -Todas las funciones que difieren entre si por una constante tienen la misma derivada.

Definicin:

Si es una funcin primitiva de . La expresin define a la integral indefinida y representa todas las funciones primitivas que fueron diferenciadas y dan como resultado a (nica derivada). La cual se escribe como: ; donde es la constante de integracin (puede ser positiva o negativa)

A esta expresin, que representa el proceso inverso de derivar, se le llama Integral Indefinida de

VIRGINIO GOMEZ

Conclusin:

.

Observacin:

(1) La constante de integracin surge del hecho de que cualquier funcin de la forma tiene derivada

(2) La constante de integracin se determinar por las condiciones especificas de cada problema particular. (3) A la cantidad se llama integral indefinida, el nombre sugiere que no se puede asignar valor particular para la integral hasta que no se determine y se asigna un valor a . (4) La integral indefinida aun cuando se halla determinado entonces permanece indefinida. , es una funcin de alguna variable y

En general decimos que toda funcin tiene un numero infinito de antiderivadas, ya que a cada Antiderivada se le puede agregar una constante de magnitud arbitraria para obtener otra Antiderivada.

4


Regla de Integracin.

La obtencin de las reglas para integrar formas comunes consiste en determinar la funcin cuya derivada es una de las formas normales. Para facilitar el trabajo damos una lista de referencia de Integrales Inmediatas que deben ser memorizadas. Pero antes veremos algunas propiedades bsicas de la integracin.

Propiedades:1.La integral de una Constante: Sea la funcin

2.La integral de una funcin y una constante. Sea la funcin

3.Sea

Integrales InmediatasFormas comunes: Sean las siguientes integrales donde 1. 2.

es una constante de integracin.

3. 4. 5. 6.

; con

5

VIRGINIO GOMEZ

Mtodos de Integracin


7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Para funciones trigonomtricas inversas 19. 20.

Otras integrales 21. 22.

23.

24.

6

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Para funciones trigonomtricas


1.

2.

3.

4.

Ejemplos propuestos. 1. 2.

3. 5.

4.

Solucin 1. 2. 3.

4. 5.

7

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos resueltos de integracin aplicando las reglas bsicas de integracin.


Definicin:

Este mtodo consiste en transformar una integral dada en una integral inmediata. Para ello se utiliza una variable auxiliar y su correspondiente derivada. Cundo se utiliza?

Sea una funcin, la cual no puede ser integrada directamente debido a su complejidad, es decir, no puede ser descompuesta en varias funciones para ser integradas en forma directa. Para resolver este problema se utiliza una variable auxiliar y la funcin cambia de variable, para posteriormente ser integrada en forma directa.

x x2Por lo tanto:

2

dx

Cambio de Variable: Sea

u

x2

2

du

2 xdx

, redefiniendo la integral en trminos de la nueva variable

Ejemplos resueltos: Integracin por cambio de variables Caso de la funcin exponencial: 1. Donde:

Para la variable inicial

8

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Integracin Por Cambio De Variables (Integracin por sustitucin)

tenemos:


Sea:

Entonces


Nota: Cada vez que aparezca una funcin exponencial como en los casos anteriores, el candidato a variable auxiliar es el exponente

3. Sea:


Caso del logaritmo natural:

1. Donde


9

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2.


Donde:


Nota: en el caso del logaritmo natural la variable auxiliar ser el denominador siempre que se cumpla con la condicin

Caso de funciones trigonomtricas con argumento: 1. Sea:


2. Sea:

10

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2.



Nota: en las funciones trigonomtricas el candidato a variable auxiliar es el ngulo siempre que su derivada sea consistente con los otros trminos. Caso de la regla de la cadena: 1. Sea: Entonces:


2. Donde: / Factorizando por


11

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Entonces:


1.

2.

3.

4.

5. 7.

6. 8.

Solucin

1.

2. 3.

4. 5. 6. 7. 8.

12

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Ejemplos propuestos: Integracin por cambio de variables.


1. 3.

2. 4.

5. 7.

6. 8.

9. 11.

10. 12.

13.

14.

15. 17. 19. 21. 23. 25.

16. 18. 20. 22. 24. 26.

27. 29. 31.

28. 30. 32.

33.

34.

13

VIRGINIO GOMEZ

Miscelaneos: Resuelva las siguientes integrales:


35. 37.

36. 38.

39.

40.

41.

42.

43. 45. 47.

44. 46. 48.

14

VIRGINIO GOMEZ


15

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Soluciones


16

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17

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Cundo se usa?

Cuando una funcin que no puede ser integrada por cambio de variables, la podemos resolver por partes a travs de otra integra. Antes veremos una frmula fundamental para este tipo de integracin. La regla para determinar la derivada del producto de dos funciones Reordenando los trminos: Aplicando el operador integral: y es:

Tenemos:

Esta es la frmula fundamental para la integracin por parte. Esta frmula sugiere el hecho de que cuando deseamos calcular la integral del tipo del tipo: . , podr realizarse en funcin de una integral diferente

Definicin:

Sea una funcin que no puede ser integrada por cambio de variable. Para integrar esta funcin se puede utilizar la siguiente formula:

Ejemplo aclaratorio:La formula esudv uv vdu

x senxdx

Primero se debe elegir u y dv. La idea es dejar en la integral

vdu

menos complicado que la integral original

u

xdv

dusen xdx

dxv cos x v

sen xdx ver formulario de integrales

18

VIRGINIO GOMEZla ms directo o

Integracin Por Partes.


udv

uv

vdu

x sen xd x

x

cos x

( cos x ) dxcos xdxcos xdx

xcox

Por frmula tenemos:

sen x C

x cos xAlgunos de los casos ms usuales son

sen x

c

a) En la integral aparece un factor que no tiene integral inmediata, slo se conoce de l su derivada. Para resolverla se asigna a este factor y a lo restante Ejemplos

19

VIRGINIO GOMEZ

Aplicando la frmula de integracin por partes:


Por lo tanto,

b) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustitucin simple y uno de ellos es una potencia de . Para esta situacin es la potencia y lo restante. Ejemplos

20

VIRGINIO GOMEZ


21

VIRGINIO GOMEZ


c) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustitucin simple, pero ninguno de ellos es una potencia de . Para este caso la eleccin de es arbitraria, pero debe conservarse la caracterstica de la funcin elegida para en todas las integrales que deban desarrollarse por parte en el ejercicio. Ejemplos

Se resolver primero considerando

Se resolver ahora considerando

22

VIRGINIO GOMEZ


Este ejemplo muestra que la eleccin de

es absolutamente arbitraria.

23

VIRGINIO GOMEZ


Resumen De Algunas Integrales Por Partes Comunes.Si las integrales a resolver son del tipo:

Si la integral

, es:

24

VIRGINIO GOMEZ


1.

2.

3. 5. 7.

4. 6. 8.

9.

10.

11.

12.

13. 15. 17.

14. 16.

25

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos propuestos con respuesta.


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

10.

11.

12.

13. 14. 15. 16. 17.

26

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Solucin


Cundo se usa?

Cuando las integrales son del tipo trigonomtricas de la siguiente forma:

La integracin de potencias de funciones trigonomtricas requiere de tcnicas especiales. Para lo cual se consideran los siguientes casos:

Tipo A: Integracin de Monomios Senos y Cosenos.

En este caso se separa el factor de la potencia impar, teniendo presente la equivalencia trigonomtrica de ambas funciones: . Se tiene dos casos:

Caso 1: SSi potencias del

o ambos son enteros positivos impares.

es impar, factorizamos usando la identidad:

y expresamos la potencia par restante del

VIRGINIO GOMEZ

Integracin de Potencias de funciones trigonomtricas.

, en

Si potencias de

es impar, factorizamos , utilizando la identidad:

y expresamos la restante potencia par de

en

Ejemplo para Para Resolver: y

impar:

Expresando la potencia del

en trminos del Entonces:

, usando la identidad trigonomtrica

27


Resolviendo ambas integrales por el mtodo de variables auxiliar. Sea:

Por lo tanto:

Para la variable

Ejemplo para Resolver

impar:

En este caso la potencia impar es el , por lo tanto se debe factorizar el en trminos del usando la identidad trigonomtrica.

Tenemos:

Resolviendo por variable auxiliar, sea:

. Por lo tanto:

28

VIRGINIO GOMEZ

y expresarlo


. En trminos de la variable

Ejemplo para Resolver

y

impares:

En este caso se elige la menor potencia impar par transformar, es decir, se expresa la potencia del en trminos del y se usa la identidad trigonomtrica Entonces:

Resolviendo ambas integrales por el mtodo de variables auxiliar. Sea:

Por lo tanto:

Para la variable

29

VIRGINIO GOMEZ


En este caso debe reducirse a potencia de primer grado, haciendo uso de las frmulas del ngulo medio:

Ejemplo para

par: Resolver

Ejemplo para

par: Resolver

Usando la identidad trigonomtrica:

30

VIRGINIO GOMEZ. Entonces:

Caso 2: Si

y

(ambos) son enteros pares y positivos (o uno de ellos es ceros).


Resolver



. Entonces:

Por lo tanto:

31

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplo para

y

par:


;

Resumen:Sea Si: Si: Transformacin Trigonomtrica: una variable auxiliar, entonces:

m o n Impares Potencia del Seno m:Impar Factorizar por: Cambiando las potencias de: Usando: Potencia de Coseno n:Impar Factorizar por: Cambiando las potencias de: Usando

32

VIRGINIO GOMEZ

Tambin este ejercicio se puede resolver usando las identidades trigonomtricas:


m y n Pares Potencia del Seno Coseno son pares myn Si m n :Par Reducir a potencia haciendo uso de

bien m o n cero Para Usar TT:

Si m n:Par Idem usar:

Para Usar TT:

TT: Transformacin trigonomtrica Para integrales del tipo: Usar la transformacin:

Tipo B: Integracin de Monomios Secante y Tangente.

Se tienen dos casos:

Caso1: Si

es un entero positivo par (La potencia de lay cambiamos las a

Se debe factorizar por trigonomtrica.

Ejemplo resuelto: 1. Factorizando por

es par:

:

33

VIRGINIO GOMEZes par)

, utilizando la identidad


Transformando las potencias restantes de la secante a tangente, usando la transformacin trigonomtrica:

Sea la variable auxiliar: =

. Entonces

. En trminos de la variable

Caso2:

es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar)

En este caso se debe factorizar por y cambiamos las restantes potencia par de la a , utilizando la identidad trigonomtrica.

Ejemplo resuelto: La potencia de la tangente es impar ( 1. Factorizando por

es impar).

Cambiando las restantes potencia de la tangente a secante, usando la transformacin trigonomtrica.

Por lo tanto:

34

VIRGINIO GOMEZ


Usando variable auxiliar:

, en consecuencia:

; en trminos de la variable

impar (

Qu sucede si la potencia de la secante es par ( es impar)? Ejemplo resuelto: cuando Sea la siguiente integral: es par y es impar

es par) y la potencia de la tangente es

1. Resolviendo por el lado de la potencia par de la secante, se debe factorizar por transformando las restantes potencias de la secante a tangente usando la transformacin trigonometra:

VIRGINIO GOMEZ

,

Sea la variable auxiliar:


35


Sea la variable auxiliar:


36

VIRGINIO GOMEZ

2. Resolviendo por el lado de la potencia impar de la tangente, se debe factorizar por , transformando las restantes potencias de la tangente a secante, usando la transformacin trigonomtrica:


Sea Si: Si:

la variable auxiliar, entonces:

Transformacin trigonomtrica:

Potencia de Tangente m:impar Factorizar por: Cambiando las potencias de: Usando:

Potencia de Secante n:par Factorizar por: Cambiando las potencias de: Usando:

Potencia de Tangente m:par y potencia de Secante n: impar Cambiar la Cambiar la potencia par: potencia impar Usando: Resolver Usando: Resolver

m entero positivo

n entero positivo Si n:par Usar TT:

Usar TT:

Si n:impar Se usa la integracin por partes

37

VIRGINIO GOMEZ

Resumen:


Se trabaja en forma anloga al caso anterior. Tenemos: Sea Si Si Transformacin trigonomtrica: la variable auxiliar, entonces:

Potencia de Cotangente m: Impar Factorizar por: Cambiando las potencias de Usando:

Potencia de Cosecante n:Par Factorizando por: Cambiando las potencias de Usando:

Ejemplo resuelto. 1. Factorizando por:

Cambiando las restantes potencias de

, usando la transformacin trigonomtrica


38

VIRGINIO GOMEZ

Tipo C:

Integracin de Monomios Cosecante y Cotangente.


; en trminos de

2. Factorizando por:

Cambiando las restantes potencias de

, usando la transformacin trigonomtrica:


; en trminos de

39

VIRGINIO GOMEZ


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 9. 11. 13.

8. 10. 12.

40

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos propuestos:


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. 11. 12. 13.

41

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


Cundo se usa?

Este tipo de sustitucin se usa cuando en el integrado aparecen expresiones de la forma:

Donde:

y

Generalmente se podr simplificar la integral por sustitucin trigonomtrica. En la mayora de los casos la sustitucin apropiada sugerida elimina el radical y deja en condiciones de integrar. El mtodo de sustitucin trigonomtrica para resolver la integrales se simplifica si se acompaa la sustitucin con un tringulo rectngulo. Analizando cada uno de los casos tenemos los siguientes cambios de variable:

Resumen Por Sustitucin Trigonomtrica.Sea: y :

Caso 1: Para el integrado de la forma:Si en el integrado aparece la expresin radical de la forma:

a

u

a2

u2

42

VIRGINIO GOMEZ

Sustitucin Trigonomtrica.


Luego Al reemplazar en el radical se obtiene:

Ejemplos:

Obs.:

Si existiera ms trminos en funcin de

la sustitucin tambin tendr que hacerse.

El tringulo que acompaa a esta expresin es el siguiente:

2

3x

4 9x 2Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

43

VIRGINIO GOMEZ

Por identidad trigonomtrica


Como

, entonces

Luego, de la figura podemos ver:

De la identidad tenemos:

En consecuencia, del anlisis anterior, podemos concluir que:

44

VIRGINIO GOMEZ


Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

Luego, de la figura podemos ver:

En consecuencia, del anlisis anterior, podemos concluir que:

45

VIRGINIO GOMEZ




2

3x

4 9x 2

Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

; como

46

VIRGINIO GOMEZ


De la identidad trigonomtrica:

. Entonces:

Caso 2: Si tenemos radical de la forma

a2

u2

u

a

Por identidad trigonomtrica Luego Al reemplazar en el radical se obtiene:

47

VIRGINIO GOMEZ

Del tringulo asociado a la expresin podemos ver que:


El tringulo asociado es:

Por lo tanto:

; pero

Integral que se resuelve por partes, cuya solucin es:

48

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos:


Del tringulo asociado, tenemos que:

Por lo tanto:

El tringulo asociado es:

49

VIRGINIO GOMEZ

Por lo tanto:


pero

La integral inmediata de:

. Entonces:

Del tringulo determinamos que:

Finalmente:

50

VIRGINIO GOMEZ

Por lo tanto:


u

u2

a2

a

Por iedentidad trigonomtrica Luego Al reemplazar en el radical se obtiene:

51

VIRGINIO GOMEZ

Caso 3: Si tenemos radical de la forma



u

a

4x

u2Por lo tanto:

a2

; como ; usando

52

VIRGINIO GOMEZ16 x 2 9

Ejemplos:

3


Por lo tanto:

2

El tringulo que acompaa a esta expresin:

Por lo tanto:

53

VIRGINIO GOMEZ

Del tringulo:


como:

Del tringulo asociado, se tiene:

y

En consecuencia:

54

VIRGINIO GOMEZ


1. 3.

2. 4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

55

VIRGINIO GOMEZ



1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

56

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


Cundo se utiliza?Para integrar cualquier funcin racional del tipo grado y respectivamente. , cuando

Sea la siguiente integral formada por la funcin racional en la variable )

(El cuociente de dos polinomios

Donde: es el grado de es el grado de Si el grado de (divisin sinttica) cuyo cuociente mediante Fracciones Parciales.

, es decir , entonces debe realizarse la divisin de polinomios es de integracin inmediata y cuyo resto R se descompone

Por lo tanto va a interesar la integracin de funciones de la forma: debemos descomponer la funcin de la forma en fracciones parciales.

Despus de que ha sido factorizado en productos de factores lineales y cuadrticos, el mtodo para determinar fracciones parciales depende de la naturaleza de dichos factores. Considerando varios casos por separado, tenemos:

Caso 1:Los factores de son todos lineales y ninguno se repite.

En este caso la fraccin parcial a escribir es:

Donde:

son constantes que se van a determinar.

57

VIRGINIO GOMEZy

Funciones Racionales

son polinomios de

. Para lo cual


Factorizando el denominador:

Planteando la fraccin parcial correspondiente:

Donde los valores de sacando factor comun,

y

han de calcularse de forma tal que la igualdad sea valida para todo

llegamos a la ecuacin bsica siguiente:

Podemos determinar las constantes de dos maneras:

1. Mtodo general: Consiste en igual los coeficientes de potencias identicas de Sea:

Resolviendo:

2. Mtodo Abreviado: Dado que la identidad es valida para todo , tenemos:

Evaluando para:

58

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos de integracin por fracciones parciales.

y resolver


Por lo tanto:

y

Por cualquiera de los mtodos tenemos:

Entonces:

Caso 2:Los factores de son todos lineales y algunos estn repetidos. Supongamos que el factor es un factor que se repite veces.

a este factor le corresponde la suma de fracciones parciales dada por:

Donde: Ejemplos resueltos

son constantes que se van a determinar.

59

VIRGINIO GOMEZ


Desarrollando:

1. Mtodo abreviado: Sea: Para

Para

Para

Resolviendo: 2. Mtodo General: Sea: Igualando los coeficientes de potencias identicas, tenemos:

Resolviendo:

60

VIRGINIO GOMEZ


Entonces:

Caso 3:Los factores de factores cuadrticos se repite. son lineales y cuadrticos de la forma

Por cada factor cuadrtico no factorizable y que no se repite, le corresponde la fraccin parcial dada por:

Ejemplo resuelto:

La ecuacin bsica es:

1. Mtodo general: Sea:

61

VIRGINIO GOMEZ

Por lo tanto:

. Ninguno de los


2. Mtodo abreviado: Sea: Para:

Para:

Para:

Por lo tanto:

Tenemos:

Luego:

62

VIRGINIO GOMEZ

Resolviendo:


Los factores de son lineales y cuadrticos, y algunos de los factores cuadrticos se repiten. Si es un factor cuadrtico no factorizable de que se repite veces, entonces le corresponde la siguiente descomposicin en fracciones parciales:

Ejemplo:

La ecuaciones bsicas:

Desarrollando:

1. Mtodo General: Sea:

63

VIRGINIO GOMEZ

Caso 4:



Factorizar las siguientes funciones (fracciones parciales) y evaluar la integral indefinida. 1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

64

VIRGINIO GOMEZ


1.

2.

3.

4.

5. 6. 7.

8.

9. 10.

65

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


Resuelva las siguientes Integrales

.

.

.

66

VIRGINIO GOMEZ

Autoevaluacin


67

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


68

VIRGINIO GOMEZ


69

VIRGINIO GOMEZ


70

VIRGINIO GOMEZ


Interpretacin de la integral definida:Sea y y = f(x) una funcin continua en el intervalo [

], cuya grfica es:

A x a Sea b una regin del plano comprendida entre la funcin

, el eje , las rectas

VIRGINIO GOMEZA

UNIDAD N2: Integral Definida

y

Nuestro inters esta en el siguiente problema: Como calcular el rea de la reginy y = f(x)

achurada en los lmites planteados:y

A

x 0 a b

x

Para evaluar el rea bajo la curva se realiza el siguiente proceso: 1.Dividir el intervalo [ Sea los punto de subdivisin ] en un cierto nmero

de subintervalos, no necesariamente iguales.

71


y = f(x)

y = f(x)

A x 0 a b

.........

VIRGINIO GOMEZ.........f(cn) ......... cn

y

y

x

a=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =bdonde: - Los intervalos no tienen necesariamente la misma longitud - El primer intervalo esta dado por: tal que: - Longitud de cada subintervalo es: para el 1er subintervalo para el 2do subintervalo para el 3er subintervalo para el 4to subintervalo para el -simo subintervalo para el -simo subintervalo 2.Cada subintervalo forma un rectngulo de base Donde: es decir esto esy y = f(x) y

y altura

f(ci) f(ci)

y = f(x)

A x 0 a b 0

.........

a=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =b c1 c2 ci

x

72


y altura

.

rea bajo la curva de la funcinrea Regin rea de la Regin: Debemos notar que:

Sumando el rea de todos los rectngulos formados, tenemos una buena aproximacin deseada del en el intervalo y las rectas

-A medida que el nmero de intervalos aumenta, la aproximacin ser aun mejor. -Cuando el nmero de subintervalos tiende a infinito , es equivalente a decir que la longitud de los subintervalos (este intervalo es un infinitesimal) A partir de este concepto se define el rea bajo la curva de una funcin como la integral desde hasta . lim

definida de la funcin

rea de la Regin:

Este lmite corresponde a lo que se denomina INTEGRAL DEFINIDA, se expresa como:

funcin

Por lo tanto: El rea bajo la curva entre entre los limites de integraciny y = f(x)

y y .

, se evala como la integral definida de la

rea de la Regin

Area de la Regin x 0 a b

El rea de la regin se define como la integral definida de la funcin f ( x) entre los puntos a y b.

Donde : La funcin es el integrado Los nmeros y son los lmites de integracin inferior y superior. La letra es la variable de integracin

73

VIRGINIO GOMEZb

3.Calculando el rea de cada rectngulos formados por los subintervalos de base

f ( x)dx

a


(1) Intercambiando los lmites de una integral cambia el signo al frente de la integral.

(2) La integral de una regin se dividir en la suma de cualquier numero de integrales, cubriendo cada una de ellas una porcin de la regin.

(3) Valoracin de una integral definida:

En general para continua en un intervalo de integracin propiedades bsicas de la integral indefinida. As tenemos: (1) constante

(2)

Ejemplo: Resolver las integrales definidas. (1) Resolver Desarrollo:

74

VIRGINIO GOMEZ

Propiedades generales de la integral definida

, son validas las


(2) Resolver Desarrollo:

(3) Resolver Desarrollo: Sea

Evaluando los lmites de integracin

75

VIRGINIO GOMEZ


(4) Resolver Desarrollo Sea

Como se hace un cambio de variable se deben cambiar lo lmites de integracin Para Para

22 10

Otro camino es resolver la integral como indefinida y finalmente evaluar

As,

76

VIRGINIO GOMEZ


(5) Resolver Desarrollo

Para Para As,

77

VIRGINIO GOMEZ


Evaluar las siguientes integrales definidas

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

78

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos propuestos con respuestas.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

79

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


Debido a la interpretacin geomtrica de la integral definida, es posible en clculo de reas planas. 1. rea entre una curva y el eje :

Al realizar este clculo se debe tener presente que la integral definida representa el rea encerrada por la curva el eje en un intervalo definido [ , ] Ejemplos resueltos: Determinar el rea de la regin acotada 1.Determinar el rea de la regin acotada por la curva

2. Determinar el rea encerrada por

entre los lmites

80

VIRGINIO GOMEZentre y . Graficar

Areas en Coordenadas Cartesianas

Graficar.


81

VIRGINIO GOMEZ


82

VIRGINIO GOMEZ

3. Determinar el rea encerrada por

entre los lmites

y

. Graficar


yy 1 3 x 4 2

y=2

x ox=1 x=5

83

VIRGINIO GOMEZ

4. Determinar el rea de la regin limitada por la curvas:

en el intervalo . Graficar


Por cambio de variable:

Entonces:

84

VIRGINIO GOMEZ

5.Determinar el rea encerrada por la funcin

, el eje y las rectas

y


Integrando por partes:

Sea

Por lo tanto,

85

VIRGINIO GOMEZ

6. Determinar el rea limitada por el eje

y la funcin

en el intervalo 3 , 8 . Grfica


7. Determinar el rea limitada por la funcin Graficar:

, el eje

y las rectas

VIRGINIO GOMEZy

.

y

f x

ex

1 0 x=1,5

A x=3,2

x

86


eje .yf x 1 x 1

0 -1

1

x= 2

x= 5

Resolviendo por variable auxiliar. Sea Entonces,

Por lo tanto,

9.Determinar el rea de formada con el eje

y la funcin

VIRGINIO GOMEZx

8.Determinar el rea de la regin dada por la funcin

y las rectas

,

con el

en el intervalo cerrado 0 ,

.

87


88

VIRGINIO GOMEZ


Sea

una funcin continua en el intervalo

, cuya curva esta dada por:

Supongamos que deseamos calcular el rea en el intervalo regin Debemos notar que la regin esta por encima del eje se halla por debajo del eje y es negativa.

de la regin formada por

VIRGINIO GOMEZ

Areas positivas y negativas

y

.

y es positiva mientras que la segunda

Por lo tanto, si integramos en el intervalo esta dar un cantidad positiva para la regin y una cantidad negativa para la regin , por lo que el integrado en intervalo de a producir la suma algebraica de esta dos regiones, es decir ( ). Normalmente interesa la CANTIDAD total de rea ( ) y no la suma algebraica, por lo tanto, para asegurar que la regin sea positiva empleamos el concepto de valor absoluto de tal forma que el rea total esta dada por:

este resultado ser ahora la suma de las dos regiones achuradas, en vez de la diferencia de las regiones que se obtendra al integrar entre y . Ejemplo: Determinar el rea de la regin limitada. Determinar el rea encerrada por la funciny

en3x 2

y

A2 A1

-2

2 3

5

x

89


Determinar el punto entre las reas positivas y negativas implica resolver la ecuacin

Luego,

Areas simples entre curvasSea y dos funciones, tales que y

Tenemos los siguientes casos particulares:

90

VIRGINIO GOMEZ

dos reas positivas.


o bien podemos escribir:

2)reas entre curvas (

). Donde:

y

91

VIRGINIO GOMEZ

1)Area entre curvas

y

donde

y


En general si y son continuas en y el rea de la regin limitada por la grfica de las funciones definida de la siguiente forma:

y

, para todo y las rectas

Ejemplos:Hallar el rea de una regin entre dos curvas 1. Hallar el rea de la regin limitada por las grfica de respecto eje y respecto eje y

VIRGINIO GOMEZen y , , entre para todo en

Teorema: Area de una regin entre dos curvas

, entonces queda

y

f x

x2

2

x 0 x=1

g xSea y tanto el rea la podemos calcular como: Respecto eje , podemos ver que

x

. Por

92


Observacin: Toda rea calculada respecto eje numrico.

y eje

debe dar por resultado el mismo valor

2. Hallar el rea de la regin limitada por las grficas de y respecto ejey

g x

x

x x=-2 x=1

f x

2

x2

De la grfica podemos ver que coordenadas de estos puntos, igualamos

y con

tiene dos puntos de interseccin. Para hallar las y despejamos

93

VIRGINIO GOMEZy

Respecto eje

respecto eje


Respecto eje

Respecto eje

94

VIRGINIO GOMEZ

Por tanto: podemos calcular:

y

. Dado que

para todo

en

, entonces el rea la


y

f y

y 1

x=-1 x=2

x

g y

3 y2

Si consideramos y , estas dos curvas se cortan en Puesto que en este intervalo, entonces el rea la podemos calcular: Respecto eje

VIRGINIO GOMEZe

3. Calcular el rea de la regin limitada por la grfica de y respecto eje

e

respecto eje

.

Respecto eje

95


1)Calcular el rea de la regin dada por: Calcular el rea de la regin dada por:

y y

Determinar la regin acotada por las dos curvas. Graficar.

VIRGINIO GOMEZ. . y ,


. y

Calcular el rea de la regin comprendida entre las grficas de . Graficar. Calcular el rea acotada por Determinar el rea acotada por las curvas: Evaluar el rea acotada por las funciones: Determinar el rea acotada respecto del eje intervalo: por las funciones:

respecto del eje

y respecto del eje ..

en el

96


Solucin

Eje X :

Eje Y:

97

VIRGINIO GOMEZ


98

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos resueltos de areas simples y entre curvas


Puntos de interseccin recta parbola

99

VIRGINIO GOMEZ


100

VIRGINIO GOMEZ


1.Encontrar el rea bajo la curva de las siguientes funciones y graficar. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

2.Calcular el rea encerrada por las siguientes funciones y graficar a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) )

101

VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios


1.a) c) e) b) d) f) h) i) 2 k) 2.a) b) j) 21 2

c) e) g) i) k) m) )

d) f) h) j) l) n)

102

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


Qu es un slido de revolucin?

Un slido de revolucin es generado al girar una regin plana en torno a una recta, llamada el eje de revolucin (o de rotacin), en el plano, este eje de revolucin puede ser vertical o horizontal. El slido de revolucin generado interesa evaluar su volumen. Sea un funcin continua en un intervalo donde . Donde es una regin del plano limitada por , el eje , las rectas y . Esta regin puede girar en torno a una recta vertical o en torno a una recta horizontal generando un slido de revolucin. Grficamente: Eje de giro horizontal (eje )y y

y = f(x)Regin A Regin A

x=a

x =b

x

x=a

Eje de giro Vertical (eje )

y y = f(x)

y

A

x=a

x=b

x

VIRGINIO GOMEZy = f(x) x =b x

Volumen de Slidos en Revolucin.

y = f(x)

A

x=a

x =b

x

El volumen de un slido de revolucin se puede calcular por uno de los siguientes procedimientos. - Mtodo de los discos

- Mtodo de los anillos Con frecuencia uno de los mtodos es preferible al otro, dependiendo del eje de giro de la regin

.

103


Cundo se usa?Presenta mayores ventaja cuando la regin de giro al eje Sea entorno al eje

es en torno del eje

la regin del plano limitada por , el eje , las rectas y generando un slido de revolucin, el cual deseamos calcular su volumen.

y

y

y = f(x)Regin A

f(x) x =b x x=a

x=a

x

Para calcular el volumen de este slido en revolucin consideremos un rectngulo representativo de esta regin plana. Donde:

x f(x)

f(x)

VEje de giro (Eje x) x

Cuando hacemos girar este rectngulo alrededor del eje de revolucin, genera un disco representativo cuyo volumen es:

Si aproximamos el volumen total del slido de revolucin por Tenemos:

VIRGINIO GOMEZRectngulo representativo y = f(x) x =b x

Mtodo del disco

o a una recta paralela ., que gira

Eje de giro (Eje x)

f x

2

x

de tales discos entre

y .

104


Volumen del slido Tomando el lmite cuando Volumen del slido Por lo tanto: . Tenemos:

Cuando el eje de revolucin es el eje y la frontera superior de la regin plana viene dada por una curva entre y , el volumen del slido de revolucin viene dado por

Como

tambin lo podemos escribir

Anlogamente, cuando el eje de rotacin de la regin es el eje , donde un lado de la regin plana esta dado por la curva entre e . El volumen del slido de revolucin es: Eje de giro Vertical (eje y)

y

y

y =dA

x =g(y)

y =d

y =c

A

y =c x =b x

105

VIRGINIO GOMEZx =g(y) x


Sea

una funcin que gira sobre una eje horizontal

;

y

[ f(x) k]

f(x)

0

y=k k x=a x x =b x

Por lo tanto: El volumen del solido de revolucin esta dado por:

Extensin del mtodo de los discos:

Mtodo de las arandelas (slido de revolucin con agujero):

El mtodo de los discos puede extenderse fcilmente para incluir slidos de revolucin generados por dos funciones, tales como y . Se tienen los siguientes casos: Caso 1: Rotacin en torno al eje . Seay

y

[ f (x ) g (x ) ]

f (x ) g (x ) x = a x x =b x

0 0

106

VIRGINIO GOMEZuna constante.

Caso especial: Cuando el eje de rotacin es paralelo al eje

, pero distinto al eje

:


Caso 2: Rotacin en torno a un eje paralelo al eje Sea constante. y

.

y consideremos al eje de rotacin

VIRGINIO GOMEZ; con

Por lo tanto, el volumen del solido de revolucin esta dado por:

una

y

[ f(x) g(x)]

f(x) g(x) x k x=a x =b

0 0 y=k x

Por lo tanto, el volumen del solido de revolucin esta dado por:

eje

Anlogamente se presentan los mismos casos cuando el eje de rotacin es paralelo y distinto del . (estudiar)

107


Calcular el volumen del slido generado al hacer girar la regin limitada en torno al eje , por la grfica de: 1. , el eje , eny

y

2x 3f(x)

x =1 x

x =4

x

108

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos resueltos mtodo de los discos - eje de giro


y

y

x2 1

f(x)

x=-1

x

x =1

Ejemplos resueltos mtodo de los discos- eje de giro eje

Calcular el volumen del slido generado al hacer girar la regin limitada con el eje , y la funcin , en y . Eje de giro eje .

y

yy x =1 f(y) x= 5

x2

109

VIRGINIO GOMEZx

2.

, el eje

, en

1

x


1 Determinar el slido en revolucin de la regin definida por: rotacin que esta dado por , en

y [ f(x) 3]

y

3

y=3 3k x=1 x x =5

Ejemplo resuelto regin limitada por dos funciones- eje de giro eje

Hallar el volumen del slido en revolucin de las regiones limitadas por: eje de giro eje .y

y

x2

1

f(x) g(x)

x x= a x =b

x

y

2x

110

VIRGINIO GOMEZx 1x4

Ejemplo resuelto Regin limitada por una funcin y eje de rotacin desfasado paralelo al eje . , con eje de


Ejemplo resuelto regin limitada por dos funciones - eje de giro desfasado paralelo al eje . 1.Hallar el volumen del slido en revolucin de las regiones limitadas por: eje de giro .y

y

x2

1f(x) +1

g (x ) +1

yx= a x x =b

2x

4

y = -1

111

VIRGINIO GOMEZx


I Volumen generado por una funcin - eje de giro: eje girar alrededor del eje parbola y la recta en [ .

/ eje

1. Hallar el volumen del slido formado al girar la regin limitada por la funcin

VIRGINIO GOMEZy la recta


, al

2. Hallar el volumen generado al girar en el eje , el rea del primer cuadrante acotado por la

II Volumen generado por dos funciones - eje de giro eje alrededor del eje . Graficar. por la parbola y la recta III Con eje desfasado: eje de giro paralelo al eje , en torno a la recta acotada por las parbolas al girar alrededor de la recta torno a la recta . . / eje y la recta .

/ eje

1. Hallar el volumen del slido formado al girar la regin limitada por las grficas de =

e

2. Determinar el slido en revolucin que se genera al girar, alrededor del eje , la regin acotada 3. Hallar el volumen generado al girar en torno al eje , el rea acotada por la parbola

1. Calcular el volumen del slido generado al girar la regin limitada por . Graficar y . 2. Calcular el volumen del slido generado al hacer girar, alrededor de la recta 3. Hallar el volumen generado al girar el rea acotada por la parbola 4. Hallar el volumen generado al girar el rea que limita el eje

,

, la regin , , en

y la parbola

IV

Ejemplos con respuestas varios.

Hallar el volumen generado al hacer girar el rea plana dada en torno a la recta que se indica, usando el mtodo del disco. en torno al eje en torno al eje en torno al eje en torno al eje en torno al eje en torno al eje en torno al eje entre en torno al eje

112


I

II

III

IV

113

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


Como alternativa al procedimiento para obtener el volumen de un slido de revolucin es el mtodo de los anillos cilndricos.

Cundo se usa?Presenta mayores ventaja cuando la regin de giro eje

es en torno del eje

En qu se basa este mtodo?

El mtodo se basa en considerar elementos rectangulares de reas paralelas al eje de revolucin, de esta manera al hacer girar un elemento de rectngulo representativo con respecto al eje se obtiene una capa o anillo cilndrico. Tal capa es un slido contenido entre dos cilindros de centro y ejes comunes. Sea una regin plana comprendida por la curva , el eje y las rectas ; . Cuando esta regin gira en torno del eje genera un slido de revolucin. Su volumen lo podemos determinar del siguiente modo:

Eje de giro Vertical (eje y)

y y = f(x)

y

A

x=a

x=b

x

x=a x

x

Consideremos un rectngulo representativo de la regin plana eje , generando un cilindro. Donde:x

que se hace girar en torno delx

f(x)

x

x

114

VIRGINIO GOMEZf(x) y = f(x) x x =b

Mtodo de los anillos cilndricos

o a una recta paralela al

f(x)


Calculando el volumen de este capa o cilindro representativo:

Aproximando el volumen del slido de revolucin por Volumen del slido Tomando el lmite , tenemos: Volumen del slido lim

cilindros o capas :

Por lo tanto, el volumen del slido de revolucin cuando la regin que gira en torno del eje dado por: y como entonces

VIRGINIO GOMEZx

Donde: : Espesor del rectngulo del Anillo : Altura del Anillo de revolucin : Radio del Anillo de revolucin.

esta

Anlogamente cuando el eje de rotacin es el eje como:

el volumen del slido de revolucin se calcula

Eje de giro Vertical (eje x)

y y=d x = g(y)

y y=d

x = g(y)

A

y=c x

y=c

x

Un caso especial mtodo de los anillos cilndricos:

115


Rotacin en torno al eje . Sea revolucin generado, esta dado por:y

y

f(x) - g(x)

y = f(x)

y = g(x) x x=a x x x=b

Por lo tanto, el volumen del slido en revolucin esta dado por:

Ejemplos resueltos Mtodo de los anillos - eje de giro

1.Determinar el volumen del slido en revolucin de la regin definida por: y

y

x2

f(x)

x =0

x

x=4

Ejemplo resuelto Mtodo de los anillos: Regin limitada por dos funciones- eje de giro, eje

116

VIRGINIO GOMEZenx

, el volumen del slido en


Determinar el volumen del slido en revolucin por el mtodo de los anillos de la regin limitada por: , . Eje de giro .y

y

x2 y

x =0

x

x=1

117

VIRGINIO GOMEZxx


y

y

x2 1

f (x) x=0 x =1

x

Calcular el volumen del slido generado al girar y en torno al eje desfasado

la regin acotada por las grficas de (paralelo al eje ) Graficar.

y

x2

1

f (x) x=0 x = -2 x =1

x

118

VIRGINIO GOMEZxx

Calcular el volumen del slido generado al girar y en torno al eje . Graficar.

la regin acotada por las grficas de


I Volumen generado por una funcin - eje de giro: eje

/ eje

1.Calcular el volumen del slido en revolucin que se genera al girar la regin limitada por con el eje . Eje de giro alrededor del eje . Graficar 2.Calcular el volumen del slido engendrado por la regin limitada por , al girar en torno al eje en con el eje

3.Calcular el volumen del slido generado al girar la regin acotada por las grficas de con el eje , entre y en torno al eje II Volumen generado por una o dos funcin: Con eje desfasado, eje de giro // Calcular el volumen del slido generado al girar, en torno de la recta por las graficas de y . Graficar. Sea la regin limitada por la curvas ylas rectas . Encontrar el volumen del slido generado. Hallar el volumen generado al girar el circulo y eje / eje

, en torno a la recta

Hallar el volumen generado cuando el rea plana acotada por se hace girar (a) en torno de (b) alrededor .

III Ejemplos varios

Hallar el volumen generado al hacer girar el rea plana dada en torno a la recta que se indica, usando el mtodo de los anillos. 1. en torno al eje en torno a en torno a en torno a en torno al eje en torno a

119

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos propuestos con respuestas

, la regin limitada

, gira alrededor de la recta

y por


Solucin I 8

II 88

III

120

VIRGINIO GOMEZ


Longitud de Arco.funcin..

Otra aplicacin de la integral definida es el clculo de la longitud de arco de la grfica de una

Definicin:Sea la funciny y = f(x) A P1 P2 Pi P3 Pi-1

continua y derivable en el intervalo

;

Pn-1

o

x= a

La porcin de curva que va desde el punto al punto , se llama Arco. Supongamos que nuestro problema es calcular la longitud de Arco entre los puntos y , procedemos del siguiente modo: Dividamos el intervalos en partes, y escojamos una parte cualquiera dentro de este intervalo, por ejemplo a . Grficamente:

Pi (xi , yi)

yi - yi-1 = Pi - 1 (xi-1 , yi-1) xi - xi-1 =Podemos ver que: Entonces:ix

121

VIRGINIO GOMEZ,B Pn x x= biy

Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas


Definamos la longitud del segmento de recta de

a

denotado por

Si sumamos todos las longitudes de los segmentos rectilneos, tenemos la longitud aproximada del Arco entre y .

Dado que:

Dado que:

Desarrollando: ; donde Por lo tanto, obtenemos:

Tomando el limite cuando el nmero de divisiones es lo suficientemente grande . Tenemos: lim lim

VIRGINIO GOMEZcomo:

,

lim

122


Anlogamente para una curva de ecuacin queda definida por:

, entre

Ejemplos 1.Determinar la longitud de arco de la funcin definida por

VIRGINIO GOMEZ; , en el intervalo

Por lo tanto la longitud de arco para una funcin del tipo definida como:

, entre

y

, queda

la longitud de arco

.

Donde:

123


y

y

x2

L x=0 x=1 x

; Resolviendo por sustitucin trigonomtrica:

3.Determinar la longitud de arco Dado que:

de la funcin definida por:

VIRGINIO GOMEZdesde los puntos

2.Determinar la longitud de arco

de la funcin definida por:

, entre

y

.

y

y

B 2, 2

y

x

3

2

L A(1,1) x x=1La longitud de arco es: ; Desarrollando por sustitucin simple:

x=2

124


Dado queyx3 6 1 2x

f x

x x = 1/2 x=2

La longitud de arco es:

5.Calcular la longitud de arco de la grfica de Despejando en funcin de :

, en el intervalo . Por lo tanto:

yy x2 3(8,5)

1

(0,1) x=0 x=8

x

La longitud de arco queda como:

125

VIRGINIO GOMEZy .

4.Calcular la longitud de arco de la grfica:

, en el intervalo

2 .


1.Determine la longitud del segmento de recta 2.Encuentre la longitud de arco de la curva 3.Hallar la longitud de arco de la curva 4.Determine la longitud de arco de la curva 5.Calcular la longitud de arco de la curva 6.Calcular la longitud de arco de la curva 7.Hallar la longitud de arco de 8.Hallar la longitud del arco de la catenaria 9.Calcular la longitud de arco de la parbola . 10.Calcular la longitud de arco de entre entre

del punto

del origen al punto del donde

VIRGINIO GOMEZal punto al punto donde al punto . . . hasta .

Ejemplos

.

del punto y e y

.

, entre entre

desde

desde los puntos

hasta el punto

y

11.Determinar la longitud de arco de las siguientes funciones: a) b) c) d) e) entre entre entre entre y y entre y y y .

126


127

VIRGINIO GOMEZ

Solucin:


Sea signo en el intervalo

una funcn contnua y derivable en el intervalo [ en torno del eje

] Donde

Si hacemos girar el arco AB entre y una superficie en revolucin generada esta dada por.

Anlogamente, Si tiene derivada contnua en el intervalo [ vertical) la superficie de revolucin es:

, con giro en eje

Ejemplo: Calcular el rea de la superficie de revolucin de Solucin:

en el intervalo [0,1] con eje de giro eje

128

VIRGINIO GOMEZ(eje

Area de una superficie en revolucin

no cambia de

(eje horizontal), el area de


El radio de giro esta dado

Por cambio de variable:

Luego,

129

VIRGINIO GOMEZ


En los siguientes ejercicios determine la superficie de revolucin generada al girar la curva plana: 1) La curva 2) La curva 3) La curva 4) La curva para para entre [1,2] ; giro en torno al eje entre [1,2] ; giro en torno al eje para ; para entre [1,8]; giro en torno al eje entre [0,2]; giro en torno al eje

5) Un cono circular recto se genera haciendo girar la regin limitada por y en torno del eje . determinar su rea lateral. 6) Calcular el rea de la porcin de esfera generada al girar la grfica de en torno al eje 7) Se disea una lmpara haciendo girar la grfica de 0

gira en torno al eje . Calcular el rea de la lmpara y usar el

resulado para estimar la cantidad de vidrio necesaria para fabricarla. Suponga que el vidrio tiene un espesor de 0,015 pulgadas.(ver figra)

130

VIRGINIO GOMEZpara

Ejercicios propuestos


1)

145 27

145

131

VIRGINIO GOMEZ

Solucin:


1) Calcular : a

b

2.

Clcular el rea encerrada por: en ,2 y el eje

en

y el eje

3. las curvas:

Plantee la integral que representa el rea respecto eje X y respecto eje Y encerrada por

Resuelva slo una de las dos integrales.

132

VIRGINIO GOMEZ

Autoevaluacin 1


|

133

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


Por simetra

u. de a.

Por simetra

134

VIRGINIO GOMEZ


Eje X

135

VIRGINIO GOMEZ

) Interseccin de las curvas


136

VIRGINIO GOMEZ

Eje Y


1)

Dada la regin formada por las curvas:

a) Usando ambos mtodos plantear la integral que representa el volumen del slido generado al girar la regin dada en torno a: a1) a2) Eje X Eje Y

b) Utilizando el mtodo que estime ms conveniente, plantee la integral que representa el volumen del slido generado al girar la regin anterior en torno a: b1) b2) 2) Determine la longitud de arco de la siguiente funcin intervalo

arco

3) Plantee la integral que representa el rea de la superficie de revolucin que se genera al girar el en [ en torno a: a) Eje X b) Eje Y

137

VIRGINIO GOMEZsi pertenece al

Autoevaluacin 2


1) a1)

Mtodo del disco

Mtodo de los anillos

a2)

138

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


Mtodo del disco

b) b1)


Mtodo del disco

b2)

Mtodo del disco

139

VIRGINIO GOMEZ



2

140

VIRGINIO GOMEZ



141

VIRGINIO GOMEZ


Conceptos:

La forma normalmente utilizada para determinar la funcin de una curva es por ecuaciones que comprenden dos incgnitas e . Esta funciones hasta ahora la hemos visto en coordenadas cartesianas. Donde se escribe del siguiente modo:

Ecuacin rectangular

un nuevo mtodo para definir una curva es introduciendo una tercera variable por ejemplo que se llama parmetro, donde las variables e se escriben por las ecuaciones del tipo

e

Ecuaciones paramtricas

estas ecuaciones se denominan ecuaciones paramtricas. Donde cada valor de determina un valor para e , respectivamente.

Grficos y Transformaciones:Ejemplo: Grficos en ecuaciones paramtricas

1.Graficar el lugar geomtrico segn las ecuaciones paramtricas dadas por:

Donde es el parmetro.

radianes

r

radianes

3

60

142

VIRGINIO GOMEZ

UNIDAD N3: ECUACIONES PARAMTRICAS


y

x

Mediante la eliminacin del parmetro obtener la ecuacin rectangular:

Elevamos al cuadrado ambos lados de cada ecuacin y sumando obtenemos.

sabemos que

, y reordenando esta relacin:

Ecuacin rectangular

Tal como la grfica lo muestra corresponde a la ecuacin de una circunferencia.

As planteada esta relacin, significa que si se dan varios valores de , y se calculan los valores correspondientes de e , el resultados sera una circunferencia.

2.Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramtricas e Efectuando una tabla de datos tenemos:

143

VIRGINIO GOMEZx 0,000 y 4,000 x 2,000 y 3,464 x 2,828 y 2,828 x 3,939 y 0,695

Dibujando estos puntos:

x

4 y

0


t t t 0 t t 1 1 t 2 2

3

Usando la eliminacin del parmetro podemos determinar la ecuacin rectangular: e Para: Reemplazando en:

Por lo tanto, la ecuacin rectangular es:

Ecuacin Rectangular

Uno de los mritos de las ecuaciones paramtricas es que pueden usarse para representar grficas que son mas generales que las grficas de funciones.

Primera y segunda derivadaSean las ecuaciones parmetricas:

La pendiente de una curva en cualquier punto cuando se puede obtener por la regla de la cadena:

e

estn dadas en trminos paramtricos,

Para la primera derivada:

144

VIRGINIO GOMEZx

y


Ejemplos: Determinar la ecuacin de la recta tangente y normal a la curva en el valor dado por el parmetro: en Solucin: La ecuacin de la recta se define como:

Donde:

representa la pendiente de la ecuacin de la recta que se define como.

Luego: y

Por lo tanto:

=

=

Entonces para La pendiente es:0 0

=

1

Por lo tanto para ecuacin de la recta tangente tenemos: 1

0

145

VIRGINIO GOMEZ

Para la segunda derivada:


entonces:

-1 1

la ecuacin de la recta normal es:

Ejercicios propuestos Primera y segunda derivada1) Dada la curva de ecuaciones parmetricas: entre ) Dada la curva de ecuaciones parmetricas: entre Determinar la ecuacin de la recta tangente a la curva en Obtenga el valor del parmetro para los cuales la curva: , es concava hacia arriba y concava hacia abajo.

Obtenga el valor del parmetro para los cuales la curva: , es cncava hacia arriba y cncava hacia abajo. ) Dada la curva de ecuacin parmetrica: Determinar el valor de la curva para donde

est dado por:

Determinar

y

para las curvas:

146

VIRGINIO GOMEZ; ;

Para la ecuacin de la recta normal: la pendiente de la recta normal esta dada por:


Ecuacin recta normal

:

Cncava hacia arriba para: es cncava hacia abajo

de otra forma

)

)

147

VIRGINIO GOMEZ

Solucin:


1) Dadas las ecuaciones paramtricas

e

(a) Confeccionar una tabla de datos y graficar (b) Determinar la ecuacin en coordenadas rectangulares. (c) Determinar la pendiente y la ecuacin de la tangente en el punto

2) Dadas las siguientes ecuaciones paramtricas: e

Graficar la curva representada Mediante la eliminacin del parmetro determinar la ecuacin rectangular 3) Dadas las siguientes ecuaciones paramtricas: e

Graficar la curva representada.Mediante la eliminacin del parmetro determinar la ecuacin rectangular. 4) Hallar el conjunto de ecuaciones paramtricas para representar la ecuacin rectangular , y usando el parmetro siguiente: (a) (b) en el punto son parmetros

5) Consideremos las ecuaciones paramtricas a) Completar la tabla:

e

b) Graficar segn las coordenadas de la tabla de datos. c) Determinar la ecuacin rectangular eliminando el parmetro, y Graficar la ecuacin rectangular. d) Determinar el valor de la pendiente para 6) Consideremos las ecuaciones paramtricas

148

VIRGINIO GOMEZ.

Ejercicios propuestos Grficos y tranformaciones


Rad

b)Graficar las coordenadas segn los datos de tabla c)Mediante la eliminacin del parmetro determinar la ecuacin rectangular.

7) La posicin de una partcula que se mueve a lo largo de una curva viene dada por las ecuaciones paramtricas donde , se miden en Kilmetros y en segundos. a) Determinar la trayectoria entre b) Graficar segn la tabla de datos. d) Determinar la ecuacin rectangular. . Confeccionar una tabla de datos. segundos y

c) Determinar la velocidad del mvil cuando

8) En las ecuaciones paramtricas siguientes dibujar la grfica correspondiente con su tabla de datos: a) b) c) d) e) f) g)

149

VIRGINIO GOMEZsegundos.

a)Completar la tabla de datos


1 b)

Grfica

Ecuacin Rectangular

Grfica (a) (b) e e

Ecuacin Rectangular

a

b

150

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


d b

Ecuacin rectangular b

c

d Ecuacin rectangular:

a

151

VIRGINIO GOMEZ

c


c

d

e

152

VIRGINIO GOMEZ

b


g

153

VIRGINIO GOMEZ

f


Sea la ecuacin paramtrica

se define el rea bajo la curva en ecuaciones paramtricas por la siguiente integral:

Ejemplo: Hallar el rea bajo la curva de la cicloide en un giro completo de la circunferencia constante positiva Solucin: donde y ;

cte positiva

Reemplazando:

=0 0

0

0

0

;0

como:

0

0

154

VIRGINIO GOMEZ

Clculo de rea en ecuaciones paramtricas


1) Sean y dos nmeros positivos. considere la curva dada paramtricamente por las ecuaciones:

Hallar el rea de la regin delimitada para entre 0 y 2) Sea la curva dada paramtricamente Hallar el rea de la regin bajo la curva. Determinar el rea de la regin delimitada por: para entre 4 y 8 Determinarel rea de la regin:

2

para entre 0 y

para

Solucin: 1)

3) 28

2

155

VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios propuestos:


Sean las siguientes ecuaciones parmetricas: Para la longitud del arco de una curva en en [ est dada por:

Ejemplo: Hallar la longitud de arco de la curva en ecuaciones parmetricas: para 1 Graficando: 8

Calculando:

156

VIRGINIO GOMEZ

Longitud de arco en ecuaciones parmetricas


Sea:

Luego,

Ejercicios propuestos 1) Hallar la longitud de arco de la cocloide: donde constante positiva. [ Para y

Una partcula se desplaza segn las ecuaciones parmetricas: Determinar la distancia recorrida que describe esta partcula durante los primeros segundos. Determinar la longitud de arco: con entre [ ) Determinar la longitud de arco: con entre Calcular la longitud de arco de para , ]

157

VIRGINIO GOMEZ

por cambio de variable


1)

)

158

VIRGINIO GOMEZ

Solucin:


Coordenadas Polares:

Una manera de ubicar un punto en un plano es por medio de un sistema de coordenadas ortogonales o cartesianas (que asocia un par ordenado). En muchas situaciones es necesario contar con otras formas de asociar un punto en un plano, una de ellas es el sistema de coordenadas polares. Su importancia esta relacionada con el echo de que proporciona ecuaciones mas simples para algunas curvas. La representacin de un punto en un plano por medio de un sistema de coordenadas polares esta dado por medio de una distancia dirigida y un ngulo respecto de un punto fijo llamado polo y a un rayo fijo llamado eje polar. Grficamente:

Sistema Coordenado Polar P (r , )

rr O: polo Eje polar

O : Polo u origen : Radio vector, distancia del punto origen al polo : Angulo (en radianes) entre el radio vector del punto Un conjunto de coordenadas polares del punto

y el eje polar.

esta dado por y y se escribe la coordenada como :

Representacin grfica en coordenadas polares de un punto P(1) Representar los siguientes puntos en coordenadas polares

22, 3

3

2

1 2

3

0

1 2 3

06

VIRGINIO GOMEZ21 2 3 03, 11 6

Coordenadas Polares

6

3,

6

3 2

3 2

3 2

159


2P 3, 3

3P 3, 7 3 P 3,

1

2

3

0

2

con

un entero arbitrario

Podemos concluir que en coordenadas cartesianas un punto tiene una representacin nica, pero en coordenadas polares este punto puede se representado en muchas formas. Tambin es posible permitir que (distancia del punto al polo) tome valores negativos, para lo cual se establece por convencin de que un par de coordenadas dadas por es otra representacin del punto con coordenadas , grficamente:

/2 =900 P( r, )

= 1800

0 2 = 360 P( - r, 3( /2) =27000

) = P( r ,

160

VIRGINIO GOMEZ5 3

Sean los siguientes punto en coordenadas polares:

Eje polar

+ )


Sea el siguiente plano que considera a dos sistemas superpuestos, donde el origen del sistema cartesiano corresponda al polo.

Eje y y P(x,y) = P(r, )y

r sen

o

x

Eje x Eje polarx

La relacin entre las coordenadas cartesianas esta dado por: Si conocemos:

y las coordenadas polares

Ejemplo resuelto. Sea el punto

determinar las coordenadas rectangulares

Como conocemos:

, las coordenadas rectangulares estn dadas por:

161

VIRGINIO GOMEZr cos .

Relacin entre Coordenadas Polares y Rectangulares.

, del punto


P(x,y) = P(r, )

x

-1

x

Eje x Eje polar

-1

5 4

y

2 sen

Ejemplos propuestos con respuestas. I Representar los puntos en coordenadas polares

1.Dibujar el punto punto, usando II 1. 3.

, Hallar tres representaciones ms en coordenadas polares de este

Convertir de coordenada polar a rectangular (dibujar) 2. 4.

5.

6.

7.

162

VIRGINIO GOMEZ2 cos 5 4 5 4

Eje y


1. 3.

2. 4.

5. 7. 9. 11.

6. 8. 10.

IV 1. 3. 5.

Convertir las coordenadas rectangulares en polares 2. 4. 6.

V

Convertir las coordenadas polares a rectangulares

1. 3. 5.

2. 4. 6.

163

VIRGINIO GOMEZ

III

Convertir de coordenada rectangular a polar para los puntos


I 1. II 1. 2.

3.

4.

5. 7. III 1.

6.

2.

3.

4.

5. 7.

6.

IV 1. 3. 5.

2. 4.

V 1. 3. 5.

2. 4. 6

164

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


El lugar geomtrico de todos los puntos coordenada polares

esta representado por la siguiente ecuacin en

puntos

Se define la grfica de una ecuacin en coordenadas polares como el conjunto de todos los que tienen por lo menos un par de coordenadas polares que satisfacen la ecuacin dada. Existen reglas de simetra que son de gran utilidad en el trazado de curvas en coordenadas

polares.

Regla 1: Si la sustitucin simtrico respecto al eje o eje polar. Regla 2: Si la sustitucin desimtrico respecto del eje o la recta .

en lugar de

da la misma ecuacin, el grfico es

en lugar de

da la misma ecuacin, el grfico es

Regla 3: Si la sustitucin de el grfico es simtrico respecto al polo.

o de

en lugar de

"Si se cumplen dos de estas simetras, automticamente se cumplen las restantes. Sin embargo es posible que una grfica tenga ciertas propiedades de simetra que no las dan las reglas anteriores". Ejemplo resuelto: 1.Determinar la grfica de la ecuacin polar dada por: Tabla de datos:

Circulo

2

r

4 sen

1

2

3 4 0

2

3 2

Simetra: Esta grfica presenta simetra con respecto de la recta

165

VIRGINIO GOMEZeje

Grficos en coordenadas polares

da la misma ecuacin,


Tabla de datos:

2

0

3 2 Simetra: Esta grfica es simtrica respecto del eje polar.

3.Determinar la grfica polar dada por: Tabla de Datos:

2

3 2Simetra: Esta grfica es simtrica respecto del eje polar.

166

VIRGINIO GOMEZ0

2.Determinar la grfica de la ecuacin polar dada por:


Caracoles.

Caracol con lazo interno

Cardioide (forma de corazn) lazo interno

Caracol Con hoyuelo

20

20

2

VIRGINIO GOMEZCaracol Convexo

Grficas polares especiales

2

0

0

3 2

3 2

3 2

3 2

a b

1

a b

1

1

a b

2

a b

2

167


Rosas de n ptalos

Nmero de ptalos

si si

es impar es par

es parRosa

Rosa (n = 4)

r

a cos 22n=2

r

a cos 42

0

a3 2: impar

Rosa

Rosa (n = 5)

2n=3 0

3 2

a

3 2168

VIRGINIO GOMEZn=40

Rosas

3 a 2

2

n=5

0

a


: par

Rosa

r

a sen 22n=2

r

a sen 42

VIRGINIO GOMEZRosan=4

Rosas de

ptalos

0 a

a

0

3 2: impar

3 2

Rosa (n = 3)

Rosa (n = 5)

r

a sen 32

r

a sen 5

n=3

2

n=4

0 a

a

0

3 2

3 2

169


Crculos

Circulo Circulo

r

a cos

r

20

3 2

a

LEMNISCATA

Lemniscata

Lemniscata

r2

a 2 sen 2

r2

a 2 cos 2

2a 0

3 2

3 2

170

VIRGINIO GOMEZa sen2a 03 2

Crculos y Lemniscatas

2

0

a


I

Para los siguientes ejercicios, determinar:

(a) tabla de datos y dibujar la grfica: (b) tipo de curva (c) la simetra:

II 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.

Dibujar la grfica de la ecuacin polar e indicar la simetra: 2. 4. 6. 8. 10. 12. co 14. 16. 18. 20.

171

VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios


(1)

Tipo de curva: rosa (2)

Simetra: Eje Polar

Tipo de curva: rosa

Simetra: Recta

172

VIRGINIO GOMEZ

Solucin


Tipo de curva: crculo (4)

Simetra: Recta

Tipo de curva: crculo (5)

Simetra: Eje Polar

Tipo de curva: rosa

Simetra: Polo

173

VIRGINIO GOMEZ

(3)


1.Simetra polar, eje polar, 3.Simetra 5.Simetra 7.Simetra eje polar 9.Simetra polar, eje polar, 11.Simetra 13.Simetra eje polar 15.Simetra eje polar 17.Simetra 19.Simetra polar

2.Simetra 4.Simetra polar 6.Simetra eje polar 8.Simetra 10.Simetra 12.Simetra 14.Simetra polo 16.Simetra eje polar

18.Simetra polar, eje polar, 20.Simetra eje polar

174

VIRGINIO GOMEZ

II

Dibujar la grfica de la ecuacin polar e indicar la simetra:


Sea una funcin continua y positiva, definida para valores de entre y Nuestro objetivo es determinar el rea delimitada por los radios vectores rectas radiales) y y la curva definida por

Para hallar el rea de esta regin, partimos el intervalo [0

,

Virginio Gomez Calculo 2

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